FIMFA 2` eme année

Djoudi Ait Mokhtar

FIMFA 2` eme année

Djoudi Ait Mokhtar

visibility

…

description

5 pages

link

1 file

Abstract

1. Lemme d'Osgood et prolongement du théorème de Cauchy-Lipschitz Soit 0 < t 0 , 0 < c, 0 < a < 1, et trois fonctions continues et positives ρ : [t 0 , T ] → [0, a], γ : [t 0 , T ] → R * + , µ : [0, a] → R + , µ(0) = 0, et µ croissante.

FIMFA 2ème année Premier semestre, 2013-2014 Cours de Laure Saint-Raymond, TD de Benjamin Texier Analyse des équations aux dérivées partielles Autour du théorème de Yudovich Feuille de TD5 - correction partielle 1. Lemme d’Osgood et prolongement du théorème de Cauchy-Lipschitz Soit 0 < t0 , 0 < c, 0 < a < 1, et trois fonctions continues et positives ρ : [t0 , T ] → [0, a], γ : [t0 , T ] → R∗+ , µ : [0, a] → R+ , µ(0) = 0, et µ croissante. Lemme 1 (Osgood). Si pour tout t ∈ [t0 , T ], on a Z t γ(s)µ(ρ(s)) ds, ρ(t) ≤ c + (1) t0 alors Z c De plus, si c = 0 dans (1) et si Z a 0 ρ(t) ds ≤ µ(s) Z t γ(s) ds. (2) t0 ds = ∞, alors ρ ≡ 0. µ(s) 1) Prouver le lemme d’Osgood. On procède comme pour la preuve du Lemme de Gronwall, en posant Z t R(t) := γ(s)µ(ρ(s)) ds. t0 Alors R′ (t) = γ(t)µ(ρ(t)). On écarte pour un moment le cas où ρ ≡ 0 pour t proche de t0 , et le cas où µ ≡ 0 dans un voisinage de zéro. Alors R′ (t) = γ(t), µ(ρ(t)) et par intégration en temps, croissance de µ, et hypothèse sur ρ : Z t Z t R′ (s) ds ≤ γ(s) ds. t0 µ(c + R(s)) t0 On calcule (en utilisant R′ 6= 0) Z t t0 R′ (s) ds = µ(c + R(s)) 1 Z c c+R(t) ds ds µ(s) d’où en utilisant à nouveau l’hypothèse sur ρ : Z ρ(t) Z c+R(t) Z t ds ds ds ≤ ds ≤ γ(s) ds. µ(s) µ(s) c c t0 (3) Voici maintenant une présentation moins intuitive des mêmes calculs, qui permet de traiter les cas ρ ≡ 0 pour t proche de t0 , ou µ ≡ 0 localement près de zéro: on pose Z x ds , M (x) = µ(s) c et on calcule d γ(t)µ(ρ(t)) M (R(t)) = ≤ γ(t), dt µ(R(t)) (4) par hypothèse et croissance de µ. Noter que le dénominateur dans (4) est non nul car on a supposé c > 0. Par intégration t0 et t, on déduit (2) de (4). Dans le cas c = 0, on suppose que ρ est non identiquement nul dans un voisinage de 0: il existe t1 > t0 tel que ρ(t1 ) > 0. On se donne ε > 0. Alors (1) est vraie pour tout t ∈ [t0 , T ], avec ε à la place de c. On a en particulier, d’après (2): Z ε ρ(t1 ) ds ≤ µ(s) Z t1 γ(s) ds. t0 L’inégalité ci-dessus étant vraie pour tout ε > 0, et le majorant ne dépendant pas de ε, on a contredit l’hypothèse µ−1 non intégrable. Donc ρ est nulle dans un voisinage de t0 . On peut répéter cet argument pour prouver que {ρ = 0} est ouvert dans [t0 , T ]. Donc par connexité ρ ≡ 0 dans [t0 , T ]. 2) En déduire un résultat d’existence et d’unicité pour le problème de Cauchy associé à l’équation différentielle x′ = f (t, x), (5) pour f : I × Rd → Rd , bornée, et telle que |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ µ(|x1 − x2 |), (6) pour tous x1 ,Zx2 ∈ Rd tels que |x1 − x2 | ≤ a, avec µ satisfaisant les hypothèses du Lemme a ds d’Osgood, et = ∞. 0 µ(s) Existence. Comme pour la preuve du théorème de Yudovich vu en cours, on prouve la convergence des itérations de Picard (c’est-à-dire qu’on utilise la preuve du Théorème de point fixe de Banach plutôt que le théorème lui-même). Soit donc (xn ) définie par Z t xn+1 (t) = x0 + f (s, xn (s)) ds. t0 2 La suite (xn ) est bien définie dans C 0 ([0, T ], Rd ), et bornée par |x0 | + M T, où |f | ≤ M. Si µ n’est définie que sur [0, a], alors on se limite à T tel que M T < a/2. Alors Z t |xn+k − xn | ≤ µ |xn+k−1 − xn | ds. t0 On pose ρn (t) := sup |xn+k − xn−1 |(t′ ). k≥0 t0 ≤t′ ≤t Alors par croissance de µ, ρn (t) ≤ Z t µ(ρn−1 (s)) ds. t0 On pose ρ̄(t) := lim sup ρn (t). Alors par Fatou, Z t Z t lim sup µ(ρn−1 (s)) ds ≤ lim sup µ(ρn−1 (s)) ds, t0 t0 et donc ρ̄(t) ≤ Z t µ(ρ̄(s)) ds, t0 ce qui implique ρ̄ ≡ 0 dans un voisinage de t0 , par Osgood. Cela prouve que (xn ) est de Cauchy, uniformément en temps, et donc la convergence vers x en norme uniforme. Par continuité de f, la limite x est solution de l’équation différentielle sous forme intégrale. Remarque: il s’agit bien d’un “prolongement” de Cauchy-Lipschitz, l’hypothèse sur le champ f dans Cauchy-Lipschitz correspondant à µ(x) = x, d’inverse non intégrable en 0. Unicité. C’est simplement le Lemme d’Osgood de la question 1, dans le cas c = 0. 3) Comparer deux trajectoires x1 et x2 de (5) issues de x1 (0) et x2 (0), en temps court, dans le cas µ(x) = −x ln x. Si c := |x1 − x2 |(0) < a, alors |x1 − x2 | < a dans un voisinage de t = 0. Par (2), Z |x1 (t)−x2 (t)| c ds ≤ t. µ(s) On calcule, pour 0 < x < 1 : d 1 d ln | ln x| = ln(− ln x) = . dx dx x ln x Donc Z c |x1 (t)−x2 (t)| ds = ln(− ln c) − ln(− ln |x1 (t) − x2 (t)|) ≤ t, µ(s) si bien que exp ln(− ln c) − t ≤ − ln |x1 (t) − x2 (t)|, 3 et donc e−t |x1 (t) − x2 (t)| ≤ exp − e−t eln(− ln c) = |x1 (0) − x2 (0)|e . 2. Borne Lp pour le gradient de la vitesse en fonction de la vorticité Théorème 2. Soit T linéaire continu L2 (Rd ) → L2 (Rd ), et K ∈ C 1 loin de l’origine, tel que pour |x| > 0, |∇K(x) ≤ |x|−(d+1) , avec (T f )(x) := (K ⋆ f )(x), pour tout f tel que la convolution soit bien définie. Alors T a un prolongement linéaire continu Lp → Lp , pour 1 < p < ∞. 1) Avec le Théorème 2, donner une borne pour la norme Lp du gradient d’un champ de vitesse à divergence nulle, en fonction de la norme Lp de la vorticité, dans le cas d = 2. La borne L2 → L2 pour T : ω → ∇v découle simplement de la définition de l’opérateur rotationnel (et Parseval). Par ailleurs, la fonction ∂xi v s’écrit en fonction de (∂xi ∂xj E)⋆ω, où E est le noyau de Poisson et ω la vorticité. Il suffit donc de borner ∇K en dehors de l’origine, avec K := ∂xi ∂xj E, pour 1 ln |x|. E = 2π Dans les question 2 à 13, j’ai suivi les notations et la rédaction des exposés de Jean-François Coulombel, disponible en ligne (Théorème de Calderón-Zygmund, Théorème de Marcinkiewicz): http://math.univ-lille1.fr/~jfcoulom/procs.html Ces textes sont particulièrement clairs et bien rédigés. Noter simplement une erreur sans conséquence à la page 2 du texte sur Calderón-Zygmund: il est énoncé ”les cubes lourds sont tous inclus dans un même compact de Rd ”. En choisissant une famille de cubes Y Cn = 2ℓn ki,n 2ℓn (ki,n + 1)[, 1≤i≤d ℓn d avec ki,n → ∞ quand P n → ∞, pour tout i, tels que (|Cn | = 2 )n∈N ∈ ℓ1 (par exemple ℓn = −n) puis f = n≥0 1Cn , on voit qu’on peut avoir une suite de cubes lourds (avec α = 1) dont les centres tendent vers l’infini. Mais en fait Jean-François n’utilise que ”la mesure totale de l’ensemble des cubes lourds maximaux est finie”, ce qui est une conséquence facile du fait que les cubes lourds maximaux sont deux à deux disjoints, et de l’intégrabilité de f. 4 3. Flot associé à la vitesse pour les vorticités “gentiment non bornées” T On dit que ω ∈ 1≤p<∞ Lp (R2 ) est “gentiment non bornée” quand Z 1 ∞ dp = ∞. p|ω|Lp (7) 1) Donner une exemple de vorticité gentiment non bornée. La fonction ω(x) := ln | ln |1/x|| convient. 2) Vérifier que le champ de vitesse associé à une vorticité non bornée satisfait une borne du type (6), avec µ comme dans le Lemme d’Osgood, et µ−1 non intégrable en 0. Il s’agit de calculs élémentaires mais un peu longs, pornant sur l’intégrale singulière qui décrit le champ de vitesse en fonction de la vorticité. Ces calculs sont faits en détail dans le chapitre 5 de la thèse de Jim Kelliher, disponible en ligne à l’adresse: http://math.ucr.edu/~kelliher/JKSchoolDays.html Voir les pages 76 à 82. 3) En déduire un prolongement du théorème de Yudovich. Avec le Théorème d’Osgood vu dans l’exercice 1, les questions 1 et 2 ci-dessus montrent que pour une vorticité gentiment non bornée, on peut définir un flot associé au champ de vitesse. Comme dans le chapitre 5 du cours, c’est la première étape dans la construction de solutions faibles pour les équations d’Euler en deux dimensions d’espace. Ce prolongement du théorème de Yudovich (chapitre 5 du cours) a été écrit par Yudovich lui-même: V. I. Yudovich. Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible uid. Math. Res. Lett., 2(1):27–38, 1995. 5

Log In

FIMFA 2` eme année

Sign up for access to the world's latest research

Abstract

Related papers

Related papers