DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS

DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS ¡W DISENO Y ~ ANALISIS DE EXPERIMENTOS segunda edición Douglas c. Montgomery UNIVERSIDAD ESTATAL DE ARIZONA ~LIMUSAWILEY@ .MP flA- PlI~ C::c7AlAl 'PAC¡¡;JRA- 1c~5 VERSiÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLES CON EL TiTULO: DESIGN ANO ANALYSIS OF EXPERIMENTS © JOHN WILEY & SONS, INC., NEW YORK, CHICHESTER, BRISBANE, SINGAPORE, TORONTO ANO WEINHEIM. COLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN: RODOLFO PIÑA GARCíA REVISiÓN: ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VÉLEZ r::!, :u:t" e j 1'[ 114-11' ir iRl fU J5!~í~j ¡", '/~-- ¿I/It"" (]" " 'r" I ;/(.7·" í OC' INGENIERA OUiMICA POR LA FACULTAD DE QUiMICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MEXICO. DOCENTE EN MATEMÁTICAS. JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ESTADisTICA DE LA UNIDAD DE ADMINISTRACiÓN DEL POSGRADO DGAE-UNAM. PROFESORA EN LA ESCUELA DE CIENCIAS QUíMICAS DE LA UNIVERSIDAD LA SALLE. LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE DISEÑO Y ANÁliSIS DE EXPERIMENTOS SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O METODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALOUIER SISTEMA DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: © 2004, EDITORIAL L1MUSA, SA DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MEXICO, D.F. C.P. 06040 'iIff2 85038050 01(800) 706 9100 ~ 55122903 '¡¡j [email protected] ~¡~ www.noriega.com.mx CANIEM NÚM. 121 SEGUNDA REIMPRESiÓN DE LA SEGUNDA EDICiÓN HECHO EN MEXICO ISBN 968-18-6156-6 Prefacio El presente libro es un texto de introducción que aborda el diseño y análisis de experimentos. Tiene como base los cursos sobre diseño de experimentos que he impartido durante más de 25 años en la Universidad Estatal de ATizona, la Universidad de Washington y el Instituto de Tecnología de Georgia. Refleja asimismo los métodos que he encontrado útiles en mi propia práctica profesional como consultor en ingeniería y estadística en las áreas generales de diseno de productos y procesos, mejoramiento de procesos e ingeniería de control de calidad. El libro está destinado a estudiantes que han llevado un primer curso de métodos estadísticos. Este curso previo debe incluir por lo menos algunas de las técnicas de estadística descriptiva, la distribución normal y una introducción a los conceptos básicos de los intervalos de confianza y la prueba de hipótesis para medias y varianzas. Los capítulos 10 y 11 requieren un manejo elemental de álgebra matricial. Como los requisitos para llevar este curso son relativamente modestos, este libro puede usarse también en un segundo curso de estadística enfocado en el diseño estadístico de experimentos para estudiantes de licenciatura de ingeniería, física, ciencias físicas y químicas, matemáticas y otros campos de las ciencias. Durante varios años he impartido un curso basado en este libro en el primer año de estudios de posgrado de ingeniería. Los estudiantes de este curso provienen de los campos tradicionales de ingeniería, física, química, matemáticas, investigación de operaciones y estadística. También he usado este libro como base de un curso breve para el sector industrial sobre diseño de experimentos para técnicos en ejercicio con una amplia diversidad en su formación profesional. Se incluyen numerosos ejemplos que ilustran todas las técnicas de diseño y análisis. Estos ejemplos se basan en aplicaciones del diseño experimental en el mundo real, y se han tomado de diferentes campos de la ingeniería y las ciencias. Esto lleva al terreno de las aplicaciones a un curso académico para ingenieros y científicos y hace de este libro una útil herramienta de referencia para experimentadores de una amplia gama de disciplinas. ACERCA DEL LIBRO La presente edición constituye una revisión sustancial del libro. He procurado mantener el equilibrio entre los tópicos de diseño y análisis; sin embargo, hay varios temas y ejemplos nuevos; asimismo he reorganizado gran parte del material. En la presente edición se resalta más el uso de la computadora. Durante los últimos años han surgido varios productos de software excelentes que auxilian al experimentador en las fases del diseño y el análisis para esta materia. He incluido las salidas de dos de estos productos, Minitab y Design-Expe/1, en varias partes del texto. Minitab es un paquete de software de estadística de carácter general ampliamente disponible, que cuenta con útiles herramientas de análisis de datos y que maneja bastante bien el análisis de experimentos tanto con factores fijos como aleatorios (incluyendo el modelo mixto). Design-Expe/1 es un paquete que se enfoca exclusivamente en el diseño experimental. Tiene muchas herramientas para la construcción y evaluación de diseños, así como múltiples características de análisis. En el sitio web de este libro puede obtenerse una versión para estudiantes de Design-Expe/1, y se hace una amplia recomendación para usarlo. Exhorto a todos los profesores que usen este libro para que incorporen software de computadora en sus cursos. En mi caso particular, llevo a todas mis clases una compuv vi PREFACIO tadora laptop y un monitor, y todos los diseños o tópicos del análisis tratados en clase se ilustran con la computadora. En esta edición destaco aún más la conexión entre el experimento y el modelo que puede desarrollar el experimentador a partir de los resultados del experimento. Los ingenieros (yen gran medida los científicos dt:: la física y la química) aprenden los mecanismos físicos y sus modelos mecanicistas fundamentales al principio de su formación académica, pero en la mayor parte de sus carreras profesionales tendrán que trabajar con estos modelos. Los experimentos diseñados estadísticamente ofrecen al ingeniero una base válida para desarrollar un modelo empírico del sistema bajo estudio. Después este modelo empírico puede manipularse (tal vez utilizando una superficie de respuesta o una gráfica de contorno, o quizá matemáticamente) como cualquier otro modelo de ingeniería. A lo largo de muchos años de docencia he descubierto que este enfoque es muy eficaz para despertar el entusiasmo por los experimentos diseñados estadísticamente en la comunidad de ingeniería. En consecuencia, al inicio del libro planteo la noción de un modelo empírico fundamental para el experimento y las superficies de respuesta y destaco la importancia del mismo. También me he esforzado por presentar mucho más rápido los puntos críticos en los que intervienen los diseños factoriales. Para facilitar este objetivo, condensé en un solo capítulo (el 3) el material introductorio sobre los experimentos completamente aleatorizados con un solo factor y el análisis de varianza. He ampliado el material sobre los diseños factoriales y factoriales fraccionados (capítulos 5 a19) en un esfuerzo por hacer que el material fluya con mayor eficiencia en la perspectiva tanto del lector como del profesor y por hacer mayor hincapié en el modelo empírico. El capítulo sobre las superficies de respuesta (el 11) sigue inmediatamente al material sobre diseños factoriales y factoriales fraccionados y modelado de regresiones. He ampliado este capítulo, agregando nuevo material sobre diseños óptimos alfabéticos, experimentos con mezclas y el problema de un diseño paramétrico robusto. En los capítulos 12 y 13 se analizan experimentos que incluyen efectos aleatorios, así como algunas aplicaciones de estos conceptos en diseños anidados y parcelas subdivididas. El capítulo 14 es una descripción general de temas importantes de diseño y análisis: la respuesta no normal, el método de Box-Cox para seleccionar la forma de una transformación, y otras alternativas; experimentos factoriales no balanceados; el análisis de covarianza, incluyendo covariables en un diseño factorial y mediciones repetidas. A lo largo del libro he destacado la importancia del diseño experimental como una herramienta que el ingeniero en ejercicio puede usar en el diseño y desarrollo de productos, así como en el desarrollo y mejoramiento de procesos. Se ilustra el uso del diseño experimental en el desarrollo de productos que sean robustos a factores ambientales ya otras fuentes de variabilidad. Considero queel uso del diseño experimental en las fases iniciales del ciclo de un producto puede reducir sustancialmente el tiempo y el costo de conducirlo, redundando en procesos y productos con un mejor desempeño en campo y una mayor confiabilidad que los que se desarrollan utilizando otros enfoques~ El libro contiene más material del que puede cubrirse sin prisas en un solo curso, por lo que espero que los profesores puedan variar el contenido de cada curso o bien estudiar más a fondo algunos temas, dependiendo de los intereses dela clase. Al final de cada capítulo hay un grupo de problemas (excepto en el 1). El alcance de estos problemas varía desde ejercicios de cálculo, destinados a consolidar los fundamentos, hasta la ampliación de principios básicos. Mi curso en la universidad lo enfoco principalmente en los diseños factoriales y factoriales fraccionados. En consecuencia, por lo general cubro el capítulo 1, el capítulo 2 (muy rápido), la mayor parte del capítulo 3, el capítulo 4 (sin incluir el material sobre bloques incompletos y mencionando sólo brevemente los cuadrados latinos), y trato en detalle los capítulos 5 a18 sobre diseños factoriales con dos niveles y diseños factoriales fraccionados. Para concluir el curso, introduzco la metodología de superficies de respuesta (capítulo 11) Yhago un repaso general de los modelos con efectos aleatorios (capítulo 12) y los diseños anidados y en parcelas subdivididas (capítulo 13). Siempre pido a los estudiantes que realicen un PREFACIO VÜ proyecto semestral que consiste en diseñar, conducir y presentar los resultados de un experimento diseñado estadísticamente. Les pido que trabajen en equipos, pues es la manera en que se realiza la mayor parte de la experimentación industrial. Deben hacer la presentación de los resultados de su proyecto de manera oral y por escrito. MATERIAL SUPLEMENTARIO DEL TEXTO Con esta edición he preparado un suplemento para cada capítulo del libro. En este material suplementario se desarrollan temas que no pudieron tratarse con mayor detalle en el libro. También presento algunos temas que no aparecen expresamente en el libro, pero que para algunos estudiantes y profesionistas en ejercicio podría resultar de utilidad una introducción de los mismos. El nivel matemático de parte de este material es más elevado que el del texto. Estoy consciente de que los profesores usan este libro con una amplia variedad de audiencias, y es posible que algunos cursos de diseño más avanzados puedan beneficiarse al incluir varios de los temas del material suplementario del texto. Este material está en formato electrónico en el CD/ROM del profesor (disponible sólo en inglés) y se encuentra en el sitio web de este libro. SITIOWEB En el sitio web http://www.wiley.com/legacy/college/engin/montgomery316490/student/student.html está disponible el material de apoyo para profesores y estudiantes. Este sitio se usará para comunicar información acerca de innovaciones y recomendaciones para el uso eficaz de este texto. El material suplementario del texto puede encontrarse en este sitio, junto con versiones electrónicas de las series de datos utilizadas en los ejemplos y los problemas de tarea, un plan de estudios del curso y proyectos semestrales del curso en la Universidad Estatal de Arizona. RECONOCIMIENTOS Expreso mi agradecimiento a los muchos estudiantes, profesores y colegas que han usado antes este libro y quienes me han hecho llegar útiles sugerencias para esta revisión. Las contribuciones de los doctores Rayrnond H. Myers, G. Geoffrey Vining, Dennis Un, John Ramberg, Joseph Pignatiello, Lloyd S. Nelson, Andre K.huri, Peter Nelson, John A. Comell, George C. Runger, Bert Keats, Dwayne Rollier, Norma Hubele, Cynthia Lowry, Russell G. Heikes, Harrison M. Wadsworth, William W Hines, Arvind Shah, Jane Arnmons, Diane Schaub, Pat Spagon y William DuMouche, y los señores Mark Anderson y Pat Whitcomb fueron particularmente invaluables. Mi Jefe de Departamento, el doctor Gary Hogg, ha proporcionado un ambiente intelectualmente estimulante en el cual trabajar. Las contribuciones de los profesionistas en activo con quienes he trabajado han sido invaluables. Es imposible mencionarlos a todos, pero algunos de los principales son Dan McCarville y Lisa Custer de Motorola; Richard Post de Intel; Tom Bingham, Dick Vaughn, Julian Anderson, Richard Alkire y Chase Neilson de Boeing Company; Mike Goza, Don Walton, Karen Madison, Jeff Stevens y Bob Kohm de Alcoa; Jay Gardiner, John Butora, Dana Lesher, Lolly Marwah, Paul Tobias y Lean Masan de IBM; Elizabeth A. Peck de The Coca-Cola Company; Sadri K.halessi y Franz Wagner de Signetics; Robert V. Baxley de Monsanto Chemicals; Harry Peterson-Nedry y Russell Boyles de Precision Castparts Corporation; Bill New y Randy Schmid de Allied-Signal Aerospace; John M. Fluke, hijo, de John Fluke Manufacturing viii PREFACIO Company; Larry Newton y Kip Howlett de Georgia-Pacific, y Ernesto Ramos de BBN Software Products Corporation. Me encuentro en deuda con el profesor E.S. Pearson y con Biometlika, John Wiley & Sons, Prentice-Hall, The American Statistical Association, The Institute of Mathematical Statistics y los editores de Biometlics por el permiso para usar material protegido por derechos de autor. Lisa Custer realizó un excelente trabajo de presentación de las soluciones que aparecen en el CD/ROM del profesor, y la doctora Cheryl Jennings realizó una corrección de estilo eficaz y de suma utilidad. Estoy agradecido con la Office of Naval Research, la National Science Foundation, las compañías integrantes de NSF/Industry/University Cooperative Research Center in Quality and Reliability Engineering de la Universidad Estatal de Arizona, e IBM Corporation por apoyar gran parte de mis investigaciones de estadística y diseño experimental de ingeniería. Douglas C. Montgomery Tempe, Alizona Contenido Capítulo 1. 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 Capítulo 2. 2-1 2-2 2-3 2-4 Introducción 1 Estrategia de experimentación Algunas aplicaciones típicas del diseño experimental Principios básicos Pautas generales para diseñar experimentos Breve historia del diseño estadístico Resumen: uso de técnicas estadísticas en la experimentación 1 8 11 13 17 19 Experimentos comparativos simples 21 Introducción Conceptos estadísticos básicos Muestreo y distribuciones de muestreo Inferencias acerca de las diferencias en las medias, diseños aleatorizados 2-4.1 Prueba de hipótesis 2-4.2 Elección del tamaño de la muestra 2-4.3 Intervalos de confianza 2-4.4 Caso en que ;é 2-4.5 Caso en que se conocen y 2-4.6 Comparación de una sola media con un valor especificado 2-4.7 Resumen Inferencias acerca de las diferencias en las medias, diseños de comparaciones pareadas 2-5.1 El problema de las comparaciones pareadas 2-5.2 Ventajas del diseño de comparaciones pareadas Inferencias acerca de las varianzas de distribuciones normales Problemas 21 22 26 33 33 40 42 44 44 45 46 47 47 50 51 54 Experimentos con un solo factor: el análisis de varianza 60 Un ejemplo El análisis de varianza Análisis del modelo con efectos fijos 3-3.1 Descomposición de la suma de cuadrados total 3-3.2 Análisis estadístico 3-3.3 Estimación de los parámetros del modelo 3-3.4 Datos no balanceados 60 63 65 66 69 74 75 a; a; 2-5 2-6 2-7 Capítulo 3. 3-1 3-2 3-3 a; a; ix x CONTENIDO 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 Capítulo 4. 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 76 Verificación de la adecuación del modelo 3-4.1 El supuesto de normalidad 3-4.2 Gráfica de los residuales en secuencia en el tiempo 3-4.3 Gráfica de los residuales contra los valores ajustados 3-4.4 Gráficas de los residuales contra otras variables Interpretación práctica de los resultados 3-5.1 Un modelo de regresión 3-5.2 Comparaciones entre las medias de los tratamientos 3-5.3 Comparaciones gráficas de medias 3-5.4 Contrastes 3-5.5 Contrastes ortogonales 3-5.6 Método de Scheffé para comparar todos los contrastes 3-5.7 Comparación de pares de medias de tratamientos 3-5.8 Comparación de medias de tratamientos con un control Muestra de salida de computadora Determinación del tamaño de la muestra 3-7.1 Curvas de operación característica 3-7.2 Especificación de un incremento de la desviación estándar 3-7.3 Método para estimar el intervalo de confianza Identificación de efectos de dispersión El enfoque de regresión para el análisis de varianza 3-9.1 Estimación de mínimos cuadrados de los parámetros del modelo 3-9.2 Prueba general de significación de la regresión Métodos no paramétricos en el análisis de varianza 3-10.1 La prueba de Kruskal-Wallis 3-10.2 Comentarios generales sobre la transformación de rangos Problemas 79 80 86 86 87 88 89 90 93 95 96 103 104 107 107 109 110 110 112 112 114 116 116 118 119 Bloques aleatorizados, cuadrados latinos y diseños relacionados 126 Diseño de bloques completos aleatorizados 4-1.1 Análisis estadístico del diseño de bloques completos aleatorizados 4-1.2 Verificación de la adecuación del modelo 4-1.3 Otros aspectos del diseño de bloques completos aleatorizados 4-1.4 Estimación de los parámetros del modelo y la prueba general de significación de la regresión Diseño de cuadrado latino Diseño de cuadrado grecolatino Diseños de bloques incompletos balanceados 4-4.1 Análisis estadístico del diseño de bloques incompletos balanceados 4-4.2 Estimación de mínimos cuadrados de los parámetros 4-4.3 Recuperación de información interbloques en el diseño de bloques incompletos balanceados Problemas 126 127 135 136 77 141 144 151 154 155 159 161 164 CONTENIDO Capítulo 5. 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 Capítulo 6. 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 Capítulo 7. 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 Capítulo 8. 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 xi Introducción a los diseños factoriales 170 Definiciones y principios básicos La ventaja de los diseños factoriales Diseño factorial de dos factores 5-3.1 Un ejemplo 5-3.2 Análisis estadístico del modelo con efectos fijos 5-3.3 Verificación de la adecuación del modelo 5-3.4 Estimación de los parámetros del modelo 5-3.5 Elección del tamaño de la muestra 5-3.6 El supuesto de no interacción en un modelo de dos factores 5-3.7 Una observación por celda Diseño factorial general Ajuste de curvas y superficies de respuesta Formación de bloques en un diseño factorial Problemas 170 174 175 175 177 185 185 189 190 191 194 201 207 211 Diseño factorial 2k 218 Introducción El diseño 22 El diseño 23 El diseño general 2k Una sola réplica del diseño 2k Adición de puntos centrales en el diseño 2k Problemas 218 219 228 242 244 271 276 Formación de bloques y confusión en el diseño factorial 2k 287 Introducción Formación de bloques de un diseño factorial 2k con réplicas Confusión del diseño factorial 2k Confusión del diseño factorial 2k en dos bloques Confusión del diseño factorial 2k en cuatro bloques Confusión del diseño factorial ~ en 'l! bloques Confusión parcial Problemas 287 287 288 289 296 297 299 301 Diseños factoriales fraccionados de dos niveles 303 Introducción La fracción un medio del diseño 2k La fracción un cuarto del diseño 2k El diseño factorial fraccionado 2k- p general Diseños de resolución III Diseños de resolución IV y V Resumen Problemas 303 304 317 326 337 347 349 350 xii CONTENIDO Capítulo 9. 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 Capítulo 10. 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 Capítulo 11. 11-1 11-2 11-3 Diseños factoriales y factoriales fraccionados con tres niveles y con niveles mixtos k 363 Diseño factorial 3 9-1.1 Notación y motivación del diseño 3k 9-1.2 El diseño 32 9-1.3 El diseño 33 9-1.4 El diseño genera13 k Confusión en el diseño factorial 3k 9-2.1 El diseño factoria13 k en tres bloques 9-2.2 El diseño factoria13 k en nueve bloques 9-2.3 El diseño factoria13 k en 3P bloques Réplicas fraccionadas del diseño factorial 3k 9-3.1 La fracción un tercio del diseño factoria13 k 9-3.2 Otros diseños factoriales fraccionados 3k - p Diseños factoriales con niveles mixtos 9-4.1 Factores con dos y tres niveles 9-4.2 Factores con dos y cuatro niveles Problemas 363 363 365 367 Ajuste de modelos de regresión 392 Introducción Modelos de regresión lineal Estimación de los parámetros en modelos de regresión lineal Prueba de hipótesis en la regresión múltiple 10-4.1 Prueba de significación de la regresión 10-4.2 Pruebas de los coeficientes de regresión individuales y de grupos de coeficientes Intervalos de confianza en regresiones múltiples 10-5.1 Intervalos de confianza para los coeficientes de regresión individuales 10-5.2 Intervalo de confianza para la respuesta media Predicción de nuevas observaciones de la respuesta Diagnósticos del modelo de regresión 10-7.1 Residuales escalados y PRESS 10-7.2 Diagnósticos de influencia Prueba de falta de ajuste Problemas 392 393 394 409 409 412 415 415 416 416 416 417 420 421 422 Métodos de superficies de respuesta y otros enfoques para la optimización de procesos 427 Introducción a la metodología de superficies de respuesta Método del ascenso más pronunciado Análisis de una superficie de respuesta de segundo orden 11-3.1 Localización del punto estacionario 11-3.2 Caracterización de la superficie de respuesta 11-3.3 Sistemas de cordilleras 427 430 436 436 440 447 372 373 373 377 378 379 379 382 383 384 385 387 CONTENIDO 11-4 11-5 11-6 11-7 11-8 Capítulo 12. 12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 Capítulo 13. 13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6 Capítulo 14. 14-1 xiii 11-3.4 Respuestas múltiples Diseños experimentales para ajustar superficies de respuesta 11-4.1 Diseños para ajustar el modelo de primer orden 11-4.2 Diseños para ajustar el modelo de segundo orden 11-4.3 Formación de bloques en los diseños de superficie de respuesta 11-4.4 Diseños (óptimos) generados por computadora Experimentos con mezclas Operación evolutiva Diseño robusto 11-7.1 Antecedentes 11-7.2 El enfoque de la superficie de respuesta para el diseño robusto Problemas 500 Experimentos con factores aleatorios 511 Modelo con efectos aleatorios Diseño factorial de dos factores aleatorios Modelo mixto con dos factores Determinación del tamaño de la muestra con efectos aleatorios Reglas para los cuadrados medios esperados Pruebas F aproximadas Algunos temas adicionales sobre la estimación de los componentes de la varianza 12-7.1 Intervalos de confianza aproximados para los componentes de la varianza 12-7.2 Método de grandes muestras modificado 12-7.3 Estimación de máxima verosimilitud de componentes de la varianza Problemas 511 517 522 529 531 535 Diseños anidados y en parcelas subdivididas 557 Diseño anidado de dos etapas 13-1.1 Análisis estadístico 13-1.2 Verificación del diagnóstico 13-1.3 Componentes de la varianza 13-1.4 Diseños anidados por etapas Diseño anidado general de 111 etapas Diseños con factores anidados y factoriales Diseño de parcelas subdivididas Otras variantes del diseño de parcelas subdivididas 13-5.1 Diseño de parcelas subdivididas con más de dos factores 13-5.2 Diseño de parcelas con doble subdivisión 13-5.3 Diseño de parcelas subdivididas en franjas Problemas 557 558 563 565 566 566 569 573 578 578 Otros tópicos de diseño y análisis 590 Respuestas y transformaciones no normales 590 448 455 455 456 462 466 472 484 488 488 492 543 543 545 547 552 580 583 584 xiv CONTENIDO 14-1.1 Selección de unatransformación: el método de Box-Cox 14-1.2 Modelo lineal generalizado 14-2 Datos no balanceados en un diseño factorial 14-2.1 Datos proporcionales: un caso sencillo 14-2.2 Métodos aproximados 14-2.3 Método exacto 14-3 Análisis de covarianza 14-3.1 Descripción del procedimiento 14-3.2 Solución por computadora 14-3.3 Desarrollo mediante la prueba general de significación de la regresión 14-3.4 Experimentos factoriales con covariables 14-4 Mediciones repetidas 14-5 Problemas 590 594 600 600 601 604 604 605 614 616 619 624 627 630 Bibliografía 637 Apéndice Tabla l. Tabla 11. Distribución normal estándar acumulada 638 Puntos porcentuales de la distribución t 640 Tabla I1I. Puntos porcentuales de la distribuciónx2 641 Tabla Iv. Puntos porcentuales de la distribuciónF 642 Tabla V. Tabla VI. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos fijos 647 Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos aleatorios Rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncan 651 655 Tabla VII. Tabla VIII. Tabla IX. Tabla X. Tabla XI. Tabla XII. Tabla XIII. Índice Puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado 656 Valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un control 658 Coeficientes de polinomios ortogonales 661 Números aleatorios 662 k Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2 Glosario para el uso de Design Expelt -P con le :5 15 Yn :5 64 663 680 681 Introducción 1..1 ESTRATEGIA DE EXPERIMENTACIÓN Investigadores de prácticamente todos los campos de estudio llevan a cabo experimentos, por lo general para descubrir algo acerca de un proceso o sistema particular. En un sentido literal, un experimento es una prueba. En una perspectiva más formal, un experimento puede definirse como una prueba o serie de pruebas en las que se hacen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema para observar e identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la respuesta de salida. Este libro trata de la planeación y realización de experimentos y del análisis de los datos resultantes a fin de obtener conclusiones válidas y objetivas. La atención se centra en los experimentos de ingeniería y las ciencias físicas y químicas. En ingeniería, la experimentación desempeña un papel importante en el diseño de productos nuevos, el desarrollo de procesos de manufactura y el mejoramiento de procesos. El objetivo en muchos casos sería desarrollar un proceso robusto, es decir, un proceso que sea afectado en forma mínima por fuentes de variabilidad externas. Como ejemplo de un experimento, suponga que un ingeniero metalúrgico tiene interés en estudiar el efecto de dos procesos diferentes de endurecimiento, el templado en aceite y el templado en agua salada, sobre una aleación de aluminio. El objetivo del experimentador es determinar cuál de las dos soluciones de templado produce la dureza máxima para esta aleación particular. El ingeniero decide someter varios ejemplares o muestras para ensayo de la aleación a cada medio de templado y medir la dureza de los ejemplares después del templado. Para determinar cuál de las soluciones es la mejor, se usará la dureza promedio de los ejemplares tratados en cada solución de templado. Al examinar este sencillo experimento salen a relucir varias cuestiones importantes: ¿Estas dos soluciones son los únicos medios de templado de interés potencial? ¿Hay en este experimento otros factores que podrían afectar la dureza y que deberían investigarse o controlarse? 3. ¿Cuántas muestras para ensayo de la aleación deberán probarse en cada solución de templado? 4. ¿Cómo deberán asignarse las muestras para ensayo de prueba a las soluciones de templado y en qué orden deberán colectarse los datos? 1. 2. 1 2 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 5. ¿Qué método de análisis de datos deberá usarse? 6. ¿Qué diferencia en la dureza promedio observada entre los dos medios de templado se considerará importante? Todas estas preguntas, y tal vez muchas más, tendrán que responderse satisfactoriamente antes de llevar a cabo el experimento. En cualquier experimento, los resultados y las conclusiones que puedan sacarse dependen en gran medida de la manera en que se recabaron los datos. Para ilustrar este punto, suponga que el ingeniero metalúrgico del experimento anterior utilizó ejemplares de una hornada para el templado en aceite y ejemplares de una segunda hornada para el templado en agua salada. Entonces, cuando compare la dureza promedio, el ingeniero no podrá saber qué parte de la diferencia observada es resultado de la solución de templado y qué parte es el resultado de diferencias inherentes entre las hornadas. 1 Por lo tanto, el método utilizado para recabar los datos ha afectado de manera adversa las conclusiones que pueden sacarse del experimento. En general, los experimentos se usan para estudiar el desempeño de procesos y sistemas. El proceso o sistema puede representarse con el modelo ilustrado en la figura 1-1. El proceso puede por lo general visualizarse como una combinación de máquinas, métodos, personas u otros recursos que transforman cierta entrada (con frecuencia un material) en una salida que tiene una o más respuestas observables. Algunas variables del procesoxl,x2, ... ,xp son controlables, mientras que otrasz 1,z2, ... ,Zq son no controlables (aunque pueden serlo para los fines de una prueba). Los objetivos del experimento podrían comprender los siguientes: 1. Determinar cuáles son las variables que tienen mayor influencia sobre la respuesta y. 2. Determinar cuál es el ajuste de lasx que tiene mayor influencia para que y esté casi siempre cerca del valor nominal deseado. 3. Determinar cuál es el ajuste de las x que tiene mayor influencia para que la variabilidad de y sea reducida. 4. Determinar cuál es el ajuste de lasx que tiene mayor influencia para que los efectos de las variables no controlables Zl' Z2, ... , Zq sean mínimos. Como se puede ver por el análisis anterior, los experimentos incluyen muchas veces varios factores. Habitualmente, uno de los objetivos de la persona que realiza un experimento, llamada el experimentador, es determinar la influencia que tienen estos factores sobre la respuesta de salida del sistema. Al enfo- Factores controlables x, Entradas X2 Salida y Proceso Z, Z2 Zq Factores no controla bies Figura 1-1 Modelo general de un proceso o sistema. 1 Un especialista en diseño experimental diría que los efectos de los medios de templado y las hornadas se confundieron; es decir, los efectos de estos dos factores no pueden separarse. . / f ! 1-1 ESTRATEGIA DE EXPERIMENTACIÓN 3 que general para planear y llevar a cabo el experimento se le llama estrategia de experimentación. Existen varias estrategias que podría usar un experimentador. Se ilustrarán algunas de ellas con un ejemplo muy sencillo. Al autor le gusta mucho jugar golf. Desafortunadamente, no le agrada practicar, por lo que siempre busca la manera más sencilla para bajar su puntuación. Algunos de los factores que él considera importantes, o que podrían influir en su puntuación, son los siguientes: 1. 2. 3. 4. El tipo de palo usado (grande o normal). El tipo de pelota usada (de goma de balata o de tres piezas). Caminar cargando los palos de golf o hacer el recorrido en un carrito. Beber agua o cerveza durante el juego. s. Jugar en la mañana o en la tarde. 6. Jugar cuando hace frío o cuando hace calor. 7. El tipo de spikes usados en los zapatos de golf (metálicos o de hule). 8. Jugar en un día con viento o en uno apacible. Evidentemente, hay muchos otros factores que podrían considerarse, pero supongamos que éstos son los de interés primario. Además, teniendo en cuenta su larga experiencia en el juego, el autor decide que los factores 5 a18 pueden ignorarse; es decir, estos factores no son importantes porque sus efectos son tan pequeños que carecen de valor práctico. Los ingenieros y los investigadores deben tomar a menudo este tipo de decisiones acerca de algunos de los factores que examinan en experimentos reales. Consideremos ahora cómo podrían probarse experimentalmente los factores 1 al 4 para determinar su efecto sobre la puntuación del autor. Suponga que en el curso del experimento pueden jugarse un máximo de ocho rondas de golf. Un enfoque consistiría en seleccionar una combinación arbitraria de estos factores, probarlos y ver qué ocurre. Por ejemplo, suponga que se selecciona la combinación del palo grande, la pelota de goma de balata, el carrito y el agua, y que la puntuación resultante es 87. Sin embargo, durante la ronda el autor notó varios tiros descontrolados con el palo grande (en el golf, grande no siempre es sinónimo de bueno) y, en consecuencia, decide jugar otra ronda con el palo normal, manteniendo los demás factores en los mismos niveles usados anteriorm~nte. Este enfoque podría continuar de manera casi indefinida, cambiando los niveles de uno (o quizá dos) de los factores para la prueba siguiente, con base en el resultado de la prueba en curso. Esta estrategia de experimentación, conocida como enfoque de la mejor conjetura, es común entre ingenieros y científicos. Funciona de manera adecuada si los experimentadores cuentan con una gran cantidad de conocimientos técnicos o teóricos del sistema que están estudiando, así como amplia experiencia práctica. Sin embargo, el enfoque de la mejor conjetura presenta al menos dos desventajas. Primera, supóngase que la mejor conjetura inicial no produce los resultados deseados. Entonces el experimentador tiene que hacer otra conjetura acerca de la combinación correcta de los niveles de los factores. Esto podría continuar por mucho tiempo, sin garantía alguna de éxito. Segunda, supóngase que la mejor conjetura inicial produce un resultado satisfactorio. Entonces, el experimentador se ve tentado a suspender las pruebas, aun cuando no hay ninguna garantía de que se ha encontrado la mejor solución. Otra estrategia de experimentación muy común en la práctica es el enfoque de un factor a la vez. Este método consiste en seleccionar un punto de partida, o línea base de los niveles, para cada factor, para después variar sucesivamente cada factor en su rango, manteniendo constantes los factores restantes en el nivel base. Después de haber realizado todas las pruebas, se construye por lo general una serie de gráficas en las que se muestra la forma en que la variable de respuesta es afectada al variar cada factor manteniendo los demás factores constantes. En la figura 1-2 se presenta una serie de gráficas para el experimento del golf, utilizando como línea base los niveles de los cuatro factores: el palo grande, la pelota de goma de 4 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN e~ e~ e~ :§ ::l e - - - - : gro -----... ::J a.. ~::J • • a.. G (grande) N (normal) Palo :gro ~ ~::J a.. GB (goma TP (tres de balata) piezas) Pelota el: :gro ~:J a.. C (caminando) EC (en carrito) Manera de desplazarse A (agua) C (cerveza) Bebida Figura 1-2 Resultados de la estrategia de un factor a la vez para el experimento de golf. balata, caminar y beber agua. La interpretación de esta gráfica es directa; por ejemplo, debido a que la pendiente de la curva de la manera de desplazarse es negativa, se concluiría que hacer el recorrido en el carrito mejora la puntuación. Con base en estas gráficas de un factor a la vez, la combinación óptima que se seleccionaría sería el palo normal, desplazarse en el carrito y beber agua. El tipo de pelota de golf aparentemente carece de importancia. La desventaja principal de la estrategia de un factor a la vez es que no puede tomar en consideración cualquier posible interacción entre los factores. Hay una interacción cuando uno de los factores no produce el mismo efecto en la respuesta con niveles diferentes de otro factor. En la figura 1-3 se muestra una interacción entre los factores del tipo de palo y la bebida para el experimento del golf. Observe que si el autor utiliza el palo normal, el tipo de bebida consumida prácticamente no tiene efecto alguno sobre su puntuación, pero si utiliza el palo grande, se obtienen resultados mucho mejores cuando bebe agua en lugar de cerveza. Las interacciones entre factores son muy comunes y, en caso de existir, la estrategia de un factor a la vez casi siempre producirá resultados deficientes. Muchas personas no perciben esto y, en consecuencia, los experimentos de un factor a la vez son comunes en la práctica. (De hecho, algunas personas piensan que esta estrategia se relaciona con el método científico o que es un principio "sólido" de ingeniería.) Los experimentos de un factor a la vez siempre son menos eficientes que otros métodos basados en un enfoque estadístico del diseño experimental. El tema se analizará con mayor detalle en el capítulo 5. El enfoque correcto para trabajar con varios factores es conducir un experimento factorial. Se trata de una estrategia experimental en la que los factores se hacen variar en conjunto, en lugar de uno a la vez. TP (tres piezas) e '0 '0 ~ ~ GB (goma de balata) L.-_..J- A (agua) C (cerveza) Tipo de bebida Figura 1-3 Interacción entre el tipo de palo y el tipo de bebida para el experimento del golf. : - - - ' -_ _ N (normal) G (grande) Tipo de palo Figura 1-4 Experimento factorial de dos factores que incluye el tipo de palo y el tipo de pelota. 1-1 E5TRATEGIA DE EXPERIMENTACIÓN 5 El concepto de diseño experimental factorial es de suma importancia, y varios capítulos de este libro se dedican a presentar experimentos factoriales básicos, así como algunas variantes y casos especiales útiles. Para ilustrar la forma en que se lleva a cabo un experimento factorial, considere el experimento de golf y suponga que sólo dos de los factores son de interés, el tipo de palo y el tipo de pelota. En la figura 1-4 se muestra un experimento factorial para estudiar los efectos conjuntos de estos dos factores sobre la puntuación de golf del autor. Observe que en este experimento factorial ambos factores tienen dos niveles y que en el diseño se usan todas las combinaciones posibles de los niveles de ambos factores. Geométricamente, las cuatro corridas forman los vértices de un cuadrado. A este tipo particular de experimento factorial se le llama diseño factorial 22 (dos factores, cada uno con dos niveles). Debido a que el autor considera razonable suponer que jugará ocho rondas de golf para investigar estos factores, un plan factible sería jugar dos rondas de golf con cada combinación de los niveles de los factores, como se muestra en la figura 1-4. Un diseñador de experimentos diría que se han hecho dos réplicas del diseño. Este diseño experimental permitiría al experimentador investigar los efectos individuales (o los efectos principales) de cada factor y determinar si existe alguna interacción entre los factores. En la figura 1-5a se presentan los resultados obtenidos al realizar el experimento factorial de la figura 1-4. En los vértices del cuadrado se indican las puntuaciones de cada ronda de golf jugada con las cuatro combinaciones de prueba. Observe que hay cuatro rondas de golf que proporcionan información acerca del uso del palo normal y cuatro rondas que proporcionan información sobre el uso del palo grande. Al encontrar la diferencia promedio de las puntuaciones que están en los lados derecho e izquierdo del cuadrado (como en la figura 1-5b), se tiene una medida del efecto de cambiar del palo grande al palo normal, o Efecto del palo TP (tres piezas) = 92+94+93+91 4 88+91+88+90 4 = 325 . 92,94 88,91 --~--- i5 "!Ol "O 8. F 88,90 GB(goma de balata) 1....-..1..-. -'-_ G (grande) N (normal) Tipo de palo a) Puntuaciones del experimento de golf TP (tres piezas) o ~~ 0..2 e.Ol Fe. GB(goma de balata) :( TP (tres piezas) Oleo "O~ 0..2 e.Ol Fe. El GB (goma de balata) 1....-..1...-_--'--- G (grande) N (normal) Tipo de palo b) Comparación de las puntuaciones que conducen al efecto del palo Figura 1·5 IDl G (grande) N (normal) Tipo de palo e) Comparación de las puntuaciones que conducen al efecto de la pelota TP (tres piezas) ,ª!9 0..2 e.Ol Fe. GB (goma de balata) L...-.L-. '--- G (grande) N (normal) Tipo de palo d) Comparación de las puntuaciones que conducen al efecto de la interacción pelota-palo Puntuaciones del experimento del golf de la figura 1-4 y cálculo de los efectos de los factores. 6 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Es decir, en promedio, al cambiar del palo grande al normal la puntuación se incrementa 3.25 golpes por ronda. De manera similar, la diferencia promedio de las cuatro puntuaciones de la parte superior del cuadrado y de las cuatro puntuaciones de la parte inferior miden el efecto del tipo de pelota usado (ver la figura 1-5e): Efecto de la pelota 88+ 91 + 92+ 94 = ---4--- 88+90+93+91 4 = 075 . Por último, puede obtenerse una medida del efecto de la interacción entre el tipo de pelota y el tipo de palo restando la puntuación promedio en la diagonal de izquierda a derecha del cuadrado de la puntuación promedio de la diagonal de derecha a izquierda (ver la figura 1-5d), cuyo resultado es · ., 1 1 Efecto de l a mteraCClOn pe ota-pa o 92+94+88+90 =--4--- 88+ 91 : 93+ 91 = 0.25 Los resultados de este experimento factorial indican que el efecto del palo es mayor que el efecto de la pelota o que el de la interacción. Podrían usarse pruebas estadísticas para determinar si cualquiera de estos efectos difiere de cero. De hecho, el caso es que hay evidencia estadística razonablemente sólida de que el efecto del palo difiere de cero y de que no es el caso para los otros dos efectos. Por lo tanto, tal vez el autor debería jugar siempre con el palo grande. En este sencillo ejemplo se pone de manifiesto una característica muy importante del experimento factorial: en los diseños factoriales se hace el uso más eficiente de los datos experimentales. Note que este experimento incluyó ocho observaciones, y que las ocho observaciones se usan para calcular los efectos del palo, de la pelota y de la interacción. Ninguna otra estrategia de experimentación hace un uso tan eficiente de los datos. Ésta es una característica importante y útil de los diseños factoriales. El concepto de experimento factorial puede extenderse a tres factores. Suponga que el autor desea estudiar los efectos del tipo de palo, el tipo de pelota y el tipo de bebida consumida sobre su puntuación de golf. Suponiendo que los tres factores tienen dos niveles, puede establecerse un diseño factorial como el que se muestra en la figura 1-6. Observe que hay ocho combinaciones de prueba de estos tres factores con los dos niveles de cada uno de ellos y que estos ocho ensayos pueden representarse geométricamente como los vértices de un cubo. Se trata de un ejemplo de un diseño factorial 23 • Como el autor sólo desea jugar ocho rondas de golf, este experimento requeriría que se juegue una ronda con cada una de las combinaciones de los factores representadas por los ocho vértices del cubo de la figura 1-6. Sin embargo, al comparar esta situación con el diseño factorial de dos factores de la figura 1-4, el diseño factorial 23 produciría la misma información acerca de los efectos de los factores. Por ejemplo, en ambos diseños hay cuatro pruebas que proporcionan información acerca del palo normal y cuatro pruebas que proporcionan I I I I ...-.J-...-...-"'- Palo Figura 1-6 Experimento factorial de tres factores que incluye el tipo de palo, el tipo de pelota y el tipo de bebida. .\ 1-1 ESTRATEGIA DE EXPERIMENTACIÓN 7 Manera de desplazarse ;1'"-----"'-----'1\ Caminando En carrito [ I I I [ I /-/~---- /// L----Palo Figura 1-7 Experimento factorial de cuatro factores que incluye el tipo de palo, el tipo de pelota, el tipo de bebida y la manera de desplazarse. información acerca del palo grande, suponiendo que se repite dos veces cada corrida del diseño de dos factores de la figura 1-4. En la figura 1-7 se ilustra la forma en que podrían investigarse los cuatro factores -el palo, la pelota, la bebida y la manera de desplazarse (caminando o en carrito)- en un diseño factorial 24 • Como en cualquier diseño factorial, se usan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. Puesto que los cuatro factores tienen dos niveles, sigue siendo posible hacer la representación geométrica de este diseño experimental mediante un cubo (en realidad un hipercubo). En general, si hay k factores, cada uno con dos niveles, el diseño factorial requeriría 2k corridas. Por ejemplo, el experimento de la figura 1-7 requiere 16 corridas. Evidentemente, cuando el número de factores de interés aumenta, el número de corridas requeridas se incrementa con rapidez; por ejemplo, un experimento con 10 factores en el que todos los factores tienen dos niveles requeriría 1024 corridas. Esto pronto se vuelve impracticable en lo que se refiere al tiempo y los recursos. En el experimento del golf, el autor sólo puede jugar ocho rondas, por lo que incluso el experimento de la figura 1-7 resulta demasiado largo. Por fortuna, cuando se trabaja con cuatro, cinco o más factores, por lo general no es necesario probar todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. Un experimento factorial fraccionado es una variación del diseño factorial básico en la que sólo se realiza un subconjunto de las corridas. En la figura 1-8 se ilustra un diseño factorial fraccionado para la versión de cuatro factores del experimento del golf. Este diseño requiere sólo 8 corridas en lugar de las 16 originales y se llamaría fracción un medio. Si el autor sólo puede jugar ocho rondas de golf, éste es un excelente diseño en el cual estudiar los cuatro factores. Proporcionará información adecuada acerca de los efectos principales de los cuatro factores, así como cierta información acerca de la forma en que interactúan estos factores. Los diseños factoriales fraccionados son muy comunes en la investigación y el desarrollo industrial, así como en el mejoramiento de procesos. Estos diseños se analizarán en el capítulo 8. ;f"" Manera de desplazarse --"A --'l\ En carrito Caminando I I I I I I ' _,,,.-;L---// ..@----Palo Figura 1-8 Experimento factorial fraccionado de cuatro factores que incluye el tipo de palo, el tipo de pelota, el tipo de bebida y la manera de desplazarse. 8 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1~2 ALGUNAS APLICACIONES TÍPICAS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Los métodos del diseño experimental han encontrado amplia aplicación en diversas disciplinas. De hecho, la experimentación puede considerarse parte del proceso científico y uno de los medios para conocer el funcionamiento de sistemas y procesos. En general, el aprendizaje ocurre a través de una serie de actividades en las que se hacen conjeturas acerca de un proceso, se llevan a cabo experimentos para generar datos del proceso y después se usa la información del experimento para establecer nuevas conjeturas, lo que lleva a nuevos experimentos, y así sucesivamente. El diseño experimental es una herramienta de importancia fundamental en el ámbito de la ingeniería para mejorar el desempeño de un proceso de manufactura. También tiene múltiples aplicaciones en el desarrollo de procesos nuevos. La aplicación de las técnicas del diseño experimental en las fases iniciales del desarrollo de un proceso puede redundar en 1. Mejoras en el rendimiento del proceso. 2. Variabilidad reducida y conformidad más cercana con los requerimientos nominales o proyectados. 3. Reducción del tiempo de desarrollo. 4. Reducción de los costos globales. Los métodos del diseño experimental desempeñan también un papel importante en las actividades del diseño de ingeniería, donde se desarrollan productos nuevos y se hacen mejoramientos en los productos existentes. Entre las aplicaciones del diseño experimental en el diseño de ingeniería se encuentran: 1. La evaluación y comparación de configuraciones de diseños básicos. 2. La evaluación de materiales alternativos. 3. La selección de los parámetros del diseño para que el producto tenga un buen funcionamiento en una amplia variedad de condiciones de campo, es decir, para que el producto sea robusto. 4. La determinación de los parámetros clave del diseño del producto que afectan el desempeño del mismo. El uso del diseño experimental en estas áreas puede redundar en productos cuya fabricación sea más sencilla, en productos que tengan un desempeño y confiabilidad de campo mejorados, en costos de producción más bajos y en tiempos más cortos para el diseño y desarrollo del producto. A continuación se presentan varios ejemplos que ilustran algunas de estas ideas. EJEMPLO 1~ 1 . Caracterización de un proceso En el proceso de fabricación de tarjetas de circuitos impresos se utiliza una máquina de soldadura líquida. La máquina limpia las tarjetas en un fundente, las somete a un proceso de precalentamiento y después las hace pasar por una onda de soldadura líquida mediante una transportadora. En este proceso de soldadura se hacen las conexiones eléctricas y mecánicas de los componentes recubiertos de plomo en la tarjeta. El proceso opera actualmente con un nivel de defectos aproximado de 1%. Es decir, cerca de 1% de las juntas de soldadura de una tarjeta son defectuosas y requieren corrección manual. Sin embargo, debido a que la tarjeta de circuitos impresos promedio contiene más de 2000 juntas de soldadura, incluso un nivel de defectos de 1% representa un número demasiado alto de juntas de soldadura que requieren corrección. Al ingeniero responsable del proceso en esta área le gustaría usar un experimento diseñado para determinar cuáles son los parámetros de la máquina que influyen en la ocurrencia de los defectos de soldadura y qué ajustes deberían hacerse en dichas variables para reducir los defectos de soldadura. 1-2 ALGUNAS APLICACIONES TÍPICAS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL 9 En la máquina de soldadura líquida hay diversas variables que pueden controlarse. Éstas incluyen: 1. La temperatura de la soldadura. La temperatura del precalentamiento. La velocidad de la transportadora. El tipo de fundente. s. La gravedad específica del fundente. 6. La profundidad de la onda de soldadura. 7. El ángulo de la transportadora. 2. 3. 4. Además de estos factores controlables, hay otros que no es sencillo manejar durante el proceso de fabricación, aunque podrían controlarse para los fines de una prueba. Éstos son: 1. 2. 3. 4. s. El espesor de la tarjeta de circuitos impresos. El tipo de componentes usados en la tarjeta. La disposición de los componentes en la tarjeta. El operador. La rapidez de producción. En esta situación, el interés del ingeniero es caracterizar la máquina de soldadura líquida; es decir, quiere determinar los factores (tanto los controlables como los no controlables) que afectan la ocurrencia de defectos en las tarjetas de circuitos impresos. Para ello puede diseñar un experimento que le permitirá estimar la magnitud y dirección de los efectos de los factores; es decir, cuánto cambia la variable de respuesta (defectos por unidad) cuando se modifica cada factor, y si la modificación de los factores en conjunto produce resultados diferentes que los obtenidos mediante el ajuste individual de los factores; es decir, ¿existe interacción entre los factores? En ocasiones a un experimento como éste se le llama experimento tamiz o de exploración exhaustiva. De manera típica, los experimentos tamiz incluyen el uso de diseños factoriales fraccionados, como en el ejemplo del golf de la figura 1-8. La información obtenida de este experimento tamiz se usará para identificar los factores críticos del proceso y determinar la dirección del ajuste de dichos factores a fin de conseguir una reducción adicional del número de defectos por unidad. El experimento también puede proporcionar información acerca de los factores que deberían controlarse con mayor atención durante el proceso de fabricación a fin de evitar los niveles elevados de defectos y el desempeño errático del proceso. Por lo tanto, una consecuencia del experimento podría ser la aplicación de técnicas como las cartas de control a una o más de las variables del proceso (la temperatura de la soldadura, por ejemplo), aunadas a las cartas de control de la producción del proceso. Con el tiempo, si se consigue una mejoría sensible del proceso, quizá sea posible basar la mayor parte del programa de control del mismo en el control de las variables de entrada del proceso en lugar de aplicar cartas de control a la producción. EJEMPLO 1~ 2 .•...........................•.....•.............•....•...•. Optimización de un proceso En un experimento de caracterización, el interés suele centrarse en determinar las variables del proceso que afectan la respuesta. El siguiente paso lógico es la optimización, es decir, determinar la región de los factores importantes que conduzca a la mejor respuesta posible. Por ejemplo, si la respuesta es el rendi- 10 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN miento, se buscaría la región del rendimiento máximo, mientras que si la respuesta es la variabilidad de una dimensión crítica del producto, se buscaría una región de variabilidad mínima. Supongamos que el interés se centra en mejorar el rendimiento de un proceso químico. Por los resultados de un experimento de caracterización se sabe que las dos variables más importantes del proceso que influyen en el rendimiento son la temperatura de operación y el tiempo de reacción. El proceso opera actualmente a 145°Fy con 2.1 horas de tiempo de reacción, produciendo rendimientos de cerca de SO%. En la figura 1-9 se muestra una vista desde arriba de la región tiempo-temperatura. En esta gráfica las líneas de rendimiento constante se unen para formar los contornos de respuesta, y se muestran las líneas de contorno para rendimientos de 60, 70, SO, 90 Y95 por ciento. Estos contornos son las proyecciones en la región tiempo-temperatura de las secciones transversales de la superficie del rendimiento correspondiente a los rendimientos porcentuales arriba mencionados. A esta superficie se le llama en ocasiones superficie de respnesta. El personal del proceso no conoce la verdadera superficie de respuesta de la figura 1-9, por lo que se necesitarán métodos experimentales para optimizar el rendimiento con respecto al tiempo y la temperatura. Para localizar el rendimiento óptimo, es necesario llevar a cabo un experimento en el que se hagan variar conjuntamente el tiempo y la temperatura, es decir, un experimento factorial. En la figura 1-9 se muestran los resultados de un experimento factorial inicial realizado con dos niveles tanto del tiempo como de la temperatura. Las respuestas que se observan en los cuatro vértices del cuadrado indican que, para incrementar el rendimiento, los cambios deberían hacerse en la dirección general del aumento de la Segundo experimento de optimización 200 190 180 E ~ :J "§ 170 Q) o. E Q) 1- 160 150 140 Condiciones de operación actuales 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Tiempo (horas) Figura 1-9 Gráfica de contorno del rendimiento como una función del tiempo de reacción y la temperatura de reacción, la cual ilustra la experimentación para optimizar un proceso. 1-3 PRINCIPIOS BÁSICOS 11 temperatura y la reducción del tiempo de reacción. Se realizarían algunas corridas adicionales en esta dirección, y esta experimentación adicional llevaría a la región del rendimiento máximo. Una vez que se ha encontrado la región del rendimiento óptimo, el siguiente paso típico sería realizar un segundo experimento. El objetivo de este segundo experimento es desarrollar un modelo empírico del proceso y obtener una estimación más precisa de las condiciones de operación óptimas para el tiempo y la temperatura. A este enfoque para la optimización de un proceso se le llama la metodología de superficies de respuesta, la cual se examina en detalle en el capítulo 11. El segundo diseño ilustrado en la figura 1-9 es un diseño central compuesto, uno de los diseños experimentales más importantes que se usan en los estudios de optimización de procesos. EJEMPLO 1,3 . Ilustración del diseño de un producto Con frecuencia los métodos de diseño experimental pueden aplicarse en el proceso de diseño de un producto. Para ilustrar esto, suponga que un grupo de ingenieros está diseñando el gozne de la puerta de un automóvil. La característica de calidad del producto que les interesa es el esfuerzo amortiguador, es decir, la capacidad de retención del tope que impide que la puerta se cierre cuando el vehículo se estaciona en una pendiente. El mecanismo amortiguador consta de un resorte de hojas y un cilindro. Cuando la puerta se abre, el cilindro se desplaza por un arco que hace que el resorte de hojas se comprima. Para cerrar la puerta es necesario vencer la fuerza del resorte, la cual produce el esfuerzo amortiguador. El equipo de ingenieros considera que el esfuerzo amortiguador es una función de los siguientes factores: 1. 2. 3. 4. 5. La La La La La distancia que se desplaza el cilindro. altura del resorte del pivote a la base. distancia horizontal del pivote al resorte. altura libre del resorte auxiliar. altura libre del resorte principal. Los ingenieros pueden construir un prototipo del mecanismo del gozne en el que es posible variar todos estos factores dentro de ciertos rangos. Una vez que se han identificado los niveles apropiados de estos cinco factores, puede diseñarse un experimento que conste de varias combinaciones de los niveles de los factores, y el prototipo del gozne puede probarse con estas combinaciones. Se obtendrá así información respecto de los factores que tienen una mayor influencia sobre el esfuerzo amortiguador del tope y, mediante el análisis de esta información, podrá mejorarse el diseño del tope. 1,3 PRINCIPIOS BÁSICOS , Si quiere llevarse a cabo un experimento como los descritos en los ejemplos 1-1 al 1-3 con la mayor eficiencia posible, es necesario utilizar un enfoque científico para planearlo. El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento de tal forma que se recaben datos adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos que llevarán a conclusiones válidas y objetivas. El enfoque estadístico del diseño experimental es necesario si se quieren sacar conclusiones significativas de los datos. Cuando el problema incluye datos que están sujetos a errores experimentales, la metodología estadística es el único enfoque objetivo de análisis. Por lo tanto, cualquier problema experimental incluye dos 12 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN aspectos: el diseño del experimento y el análisis estadístico de los datos. Estos dos aspectos se encuentran íntimamente relacionados porque el método de análisis depende directamente del diseño empleado. Ambos temas se tratan en este libro. Los tres principios básicos del diseño experimental son la realización de réplicas, la aleatorización y la formación de bloques. Por realización de réplicas se entiende la repetición del experimento básico. En el experimento metalúrgico analizado en la sección 1-1, una réplica consistiría en el tratamiento de una muestra con el templado en aceite y el tratamiento de una muestra con el templado en agua salada. Por lo tanto, si se tratan cinco ejemplares en cada medio de templado, se dice que se han obtenido cinco réplicas. La realización de réplicas posee dos propiedades importantes. Primera, permite al experimentador obtener una estimación del error experimental. Esta estimación del error se convierte en una unidad de medición básica para determinar si las diferencias observadas en los datos son en realidad estadísticamente diferentes. Segunda, si se usa la media muestral (por ejemplo, Y) para estimar el efecto de un factor en el experimento, la realización de réplicas permite al experimentador obtener una estimación más precisa de este efecto. Por ejemplo, si cr es la varianza de una observación individual y hay n réplicas, la varianza de la media muestral es La consecuencia práctica de lo anterior es que si se hicieron n = 1 réplicas y se observó Yl = 145 (templado en aceite) YY2 = 147 (templado en agua salada), probablemente no podrán hacerse inferencias satisfactorias acerca del efecto del medio de templado; es decir, la diferencia observada podría ser resultado del error experimental. Por otra parte, si n fue razonablemente grande y el error experimental fue lo suficientemente pequeño, y se observó Yl < Y2' podría concluirse con una certeza razonable que el templado en agua salada produce una dureza mayor en esta aleación de aluminio particular que el templado en aceite. Hay una diferencia importante entre réplicas y mediciones repetidas. Por ejemplo, suponga que una oblea de silicio se graba con un proceso de grabado químico con plasma para oblea única, y que se hacen tres mediciones de una dimensión crítica de esta oblea. Estas mediciones no son réplicas; son una forma de mediciones repetidas y, en este caso, la variabilidad observada en las tres mediciones repetidas es reflejo directo de la variabilidad inherente del sistema o instrumento de medición. Como otro ejemplo, suponga que, como parte de un experimento en la manufactura de semiconductores, se procesan simultáneamente cuatro obleas en un horno de oxidación con una velocidad del flujo de gas y un tiempo particulares y que se hace después una medición del espesor del óxido en cada oblea. De nueva cuenta, la medición de las cuatro obleas no son réplicas sino mediciones repetidas. En este caso reflejan las diferencias entre las obleas y otras fuentes de variabilidad dentro de esa operación de horneado particular. En las réplicas se reflejan las fuentes de variabilidad tanto entre las corridas como (potencialmente) dentro de las mismas. La aleatorización es la piedra angular en la que se fundamenta el uso de los métodos estadísticos en el diseño experimental. Por aleatorización se entiende que tanto la asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o ensayos individuales del experimento se determinan al azar. Uno de los requisitos de los métodos estadísticos es que las observaciones (o los errores) sean variables aleatorias con distribuciones independientes. La aleatorización hace por lo general que este supuesto sea válido. La aleatorización correcta del experimento ayuda también a "sacar del promedio" los efectos de factores extraños que pudieran estar presentes. Por ejemplo, suponga que los ejemplares del experimento descrito antes presentan sólo ligeras diferencias en el espesor y que la efectividad del medio de templado puede ser afectado por el espesor del ejemplar. Si todos los ejemplares sometidos al templado en aceite son más gruesos que los sometidos al templado en agua salada, quizá se esté introduciendo un sesgo sistemático en los resultados experimentales. Este sesgo estorba en uno de los medios de templa- 1-4 PAUTAS GENERALES PARA DISEÑAR EXPERIMENTOS 13 do y, en consecuencia, invalida los resultados obtenidos. Al hacer la asignación aleatoria de los ejemplares al medio de templado este problema se aligera en parte. Es muy común el uso de programas de computadora para auxiliar a los experimentadores a seleccionar y construir diseños experimentales. Estos programas presentan a menudo las corridas del diseño experimental de manera aleatoria. Por lo general este modo aleatorio se crea utilizando un generador de números aleatorios. Incluso con estos programas de computadora, con frecuencia seguirá siendo necesario que el experimentador haga la asignación del material experimental (como las obleas en los ejemplos de semiconductores mencionados antes), de los operadores, de los instrumentos o herramientas de medición, etc., que se utilizarán en el experimento. Puede recurrirse a tablas de números aleatorios para asegurar que las asignaciones se hacen al azar. En ocasiones los experimentadores se encuentran con situaciones en las que la aleatorización de un aspecto del experimento es complicada. Por ejemplo, en un proceso químico, la temperatura puede ser una variable muy difícil de modificar, haciendo casi imposible la aleatorización completa de este factor. Existen métodos de diseño estadístico para resolver las restricciones sobre la aleatorización. Algunos de estos enfoques se revisarán en capítulos subsecuentes (ver en particular el capítulo 13). La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para mejorar la precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés. Muchas veces la formación de bloques se emplea· para reducir o eliminar la variabilidad transmitida por factores perturbadores; es decir, aquellos factores que pueden influir en la respuesta experimental pero en los que no hay un interés específico. Por ejemplo, en un experimento de un proceso químico pueden requerirse dos lotes de materia prima para realizar todas las corridas necesarias. Sin embargo, podría haber diferencias entre los lotes debido a la variabilidad de un proveedor a otro y, en caso de no haber un interés específico en este efecto, los lotes de materia prima se considerarían un factor perturbador. En general, un bloque es un conjunto de condiciones experimentales relativamente homogéneas. En el ejemplo del proceso químico, cada lote de materia prima formaría un bloque, ya que es de esperarse que la variabilidad dentro de un lote sea menor que la variabilidad entre lotes. De manera típica, como en este ejemplo, cada nivel del factor perturbador pasa a ser un bloque. Entonces el experimentador divide las observaciones del diseño estadístico en grupos que se corren en cada bloque. En varias partes del texto se estudia en detalle la formación de bloques, incluyendo los capítulos 4, 5, 7, 8, 9, 11 Y13. En el capítulo 2, sección 2-5.1, se presenta un ejemplo sencillo para ilustrar la estructura básica de la formación de bloques. Los tres principios básicos del diseño experimental, la aleatorización, la realización de réplicas y la formación de bloques son parte de cada uno de los experimentos. Se ilustrarán y resaltarán repetidamente a lo largo de este libro. 1~4 PAUTAS GENERALES PARA DISEÑAR EXPERIMENTOS Para aplicar el enfoque estadístico en el diseño y análisis de un experimento, es necesario que todos los que participan en el mismo tengan desde el principio una idea clara de qué es exactamente lo que va a estudiarse, cómo van a colectarse los datos, y al menos una comprensión cualitativa de la forma en que van a analizarse estos datos. En la tabla 1-1 se muestra un esquema general del procedimiento recomendado. A continuación se presenta una breve explicación de este esquema y se elaboran algunos de los puntos clave. Para mayores detalles, ver Coleman y Montgomery [27], así como las referencias al final del libro. También es útil el material complementario para este capítulo. 1. Identificación y enunciación del problema. Este punto podría parecer muy obvio, pero es común que en la práctica no sea sencillo darse cuenta de que existe un problema que requiere experimentación, y 14 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN Tabla 1-1 Pautas generales para diseñar un experimento 1. Identificación y exposición del problema. Planeación previa 2. Elección de los factores, los niveles y los rangos." ] al experimento 3. Selección de la variable de respuesta." 4. Elección del diseño experimental. 5. Realización del experimento. 6. Análisis estadístico de los datos. 7. Conclusiones y recomendaciones. "En la práctica, los pasos 2 y3 suelen hacerse simultáneamente o en el orden inverso. tampoco es fácil desarrollar una enunciación clara, con la que todos estén de acuerdo, de este problema. Es necesario desarrollar todas las ideas acerca de los objetivos del experimento. Generalmente, es importante solicitar aportaciones de todas las áreas involucradas: ingeniería, aseguramiento de calidad, manufactura, mercadotecnia, administración, el cliente y el personal de operación (el cual por lo general conoce a fondo el proceso y al que con demasiada frecuencia se ignora). Por esta razón, se recomienda un enfoque de equipo para diseñar experimentos. En la mayoría de los casos es conveniente hacer una lista de los problemas o las preguntas específicas que van a abordarse en el experimento. Una enunciación clara del problema contribuye sustancialmente a menudo para alcanzar una mejor comprensión de los fenómenos bajo estudio y la solución final del problema. También es importante tener presente el objetivo global; por ejemplo, ¿se trata de un proceso o sistema nuevo (en cuyo caso el objetivo inicial posiblemente será la caracterización o tamizado de los factares) o se trata de un sistema maduro que se conoce con profundidad razonable y que se ha caracterizado con anterioridad (en cuyo caso el objetivo puede ser la optimización)? En un experimento puede haber muchos objetivos posibles, incluyendo la confirmación (¿el sistema se comporta de la misma manera ahora que en el pasado?), el descubrimiento (¿qué ocurre si se exploran nuevos materiales, variables, condiciones de operación, etc.?) y la estabilidad (¿bajo qué condiciones las variables de respuesta de interés sufren una degradación seria?). Obviamente, las cuestiones específicas que habrán de abordarse en el experimento se relacionan de manera directa con los objetivos globales. Con frecuencia en esta etapa de la formulación del problema muchos ingenieros y científicos se percatan de que no es posible que un experimento comprensivo extenso responda las cuestiones clave y de que un enfoque secuencial en el que se utilice una serie de experimentos más pequeños es una estrategia más adecuada. 2. Elección de los factores, los niveles y los rangos. (Como se indica en la tabla 1-1, los pasos 2 y 3 muchas veces se hacen simultáneamente o en orden inverso.) Cuando se consideran los factores que pueden influir en el desempeño de un proceso o sistema, el expelimentador suele descubrir que estos factores pueden clasificarse como factores potenciales del diseño o bien como factores perturbadores. Los factores potenciales del diseño son aquellos que el experimentador posiblemente quiera hacer variar en el experimento. Es frecuente encontrar que hay muchos factores potenciales del diseño, por lo que es conveniente contar con alguna clasificación adicional de los mismos. Algunas clasificaciones útiles son factores del diseño, factores que se mantienen constantes y factores a los que se permite variar. Los factores del diseño son los que se seleccionan realmente para estudiarlos en el experimento. Los factores que se mantienen constantes son variables que pueden tener cierto efecto sobre la respuesta, pero que para los fines del experimento en curso no son de interés, por lo que se mantendrán fijos en un nivel específico. Por ejemplo, en un experimento de grabado químico en la industria de los semiconductores puede haber un efecto, que es único, de la herramienta específica para el grabado químico con plasma que se utiliza en el experimento. Sin embargo, sería muy difícil variar este factor en un experimento, por lo que el experimentador puede decidir llevar a cabo todas las corridas experimentales en un grabador químico particular (idealmente "típico"). De este modo, este factor se mantiene constante. Como un ejemplo de factores 1-4 PAUTAS GENERALES PARA DISEÑAR EXPERIMENTOS 15 a los que se permite variar, las unidades experimentales o los "materiales" a los que se aplican los factores del diseño no son homogéneos por lo general, no obstante lo cual con frecuencia se ignora esta variabilidad de una unidad a otra y se confía en la aleatorización para compensar cualquier efecto del material o la unidad experimental. Muchas veces se trabajará con el supuesto de que los efectos de los factores que se mantienen constantes y de los factores a los que se permite variar son relativamente pequeños. Por otra parte, los factores perturbadores pueden tener efectos considerables que deben tomarse en consideración, a pesar de que no haya interés en ellos en el contexto del experimento en curso. Los factores perturbadores suelen clasificarse como factores controlables, no controlables o de ruido. Un factor perturbador controlable es aquel cuyos niveles pueden ser ajustados por el experimentador. Por ejemplo, el experimentador puede seleccionar lotes diferentes de materia prima o diversos días de la semana para condUcir el experimento. La estructura básica de la formación de bloques, comentada en la sección anterior, suele ser útil para trabajar con factores perturbadores controlables. Si un factor perturbador no es controlable en el experimento, pero puede medirse, muchas veces puede usarse el procedimiento de análisis denominado análisis de covarianza para compensar este efecto. Por ejemplo, la humedad relativa en el medio ambiente del proceso puede afectar el desempeño del proceso, y si la humedad no puede controlarse, probablemente podrá medirse y tratarse como una covariable. Cuando un factor que varía de manera natural y no controlable en el proceso puede controlarse para los fines de un experimento, con frecuencia se le llama factor de ruido. En tales situaciones, es común que el objetivo sea encontrar los ajustes de los factores controlables del diseño que minimicen la variabilidad transmitida por los factores de ruido. En ocasiones a esto se le llama el estudio de robustez del proceso o el problema de robustez del diseño. La formación de bloques, el análisis de covarianza y los estudios de robustez del proceso se comentan más adelante. Una vez que el experimentador ha seleccionado los factores del diseño, debe elegir los rangos en los que hará variar estos factores, así como los niveles específicos con los que se realizarán las corridas. También deberá pensarse cómo van a controlarse estos factores en los valores deseados y cómo van a medirse. Por ejemplo, en el experimento de la soldadura líquida, el ingeniero ha definido 12 variables que pueden afectar la ocurrencia de defectos de soldadura. El ingeniero también tendrá que tomar una decisión en cuanto a la región de interés para cada variable (es decir, el rango en el que se hará variar cada factor) y en cuanto al número de niveles de cada variable que usará. Para ello se requiere del conocimiento del proceso. Este conocimiento del proceso suele ser una combinación de experiencia práctica y conocimientos teóricos. Es importante investigar todos los factores que pueden ser de importancia y no dejarse influir demasiado por la experiencia pasada, en particular cuando uno se encuentra en las fases iniciales de la experimentación o cuando el proceso no está del todo maduro. Cuando el objetivo del experimento es el tamizado de los factores o caracterización del proceso, por lo general es mejor mantener reducido el número de niveles de los factores. En general, dos niveles funcionan bastante bien en los estudios de tamizado de factores. Elegir la región de interés también es importante. En el tamizado de factores, la región de interés deberá ser relativamente grande; es decir, el rango en el que se hacen variar los factores deberá ser amplio. Conforme se sepa más acerca de las variables que son importantes y de los niveles que producen los mejores resultados, la región de interés se hará por lo general más estrecha. 3. Selección de la variable de respuesta. Para seleccionar la variable de respuesta, el experimentador deberá tener la certeza de que esta variable proporciona en realidad información útil acerca del proceso bajo estudio. En la mayoría de los casos, el promedio o la desviación estándar (o ambos) de la característica medida será la variable de respuesta. No son la excepción las respuestas múltiples. La eficiencia de los instrumentos de medición (o error de medición) también es un factor importante. Si la eficiencia de los instrumentos de medición es inadecuada, el experimentador sólo detectará los efectos relativamente grandes de los factores o quizá sean necesarias réplicas adicionales. En algunas situaciones en que la eficiencia de los instrumentos de medición es pobre, el experimentador puede decidir medir varias veces cada unidad 16 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN experimental y usar el promedio de las mediciones repetidas como respuesta observada. Suele ser de importancia determinante identificar los aspectos relacionados con la definición de las respuestas de interés y cómo van a medirse antes de llevar a cabo el experimento. En ocasiones se emplean experimentos diseñados para estudiar y mejorar el desempeño de los sistemas de medición. Para un ejemplo, ver el capítulo 12. Se reitera lo crucial que es exponer todos los puntos de vista y la información del proceso en los pasos 1 al 3 anteriores. Se hace referencia a esto como planeación previa al experimento. Coleman y Montgomery [27] proporcionan hojas de trabajo que pueden ser útiles en la planeación previa al experimento. Véase también la información complementaria del texto para más detalles y un ejemplo del uso de estas hojas de trabajo. En muchas situaciones, no es posible que una sola persona posea todos los conocimientos requeridos para hacer esto adecuadamente. Por lo tanto, se hace una amplia recomendación para el trabajo en equipo durante la planeación del experimento. La mayor parte del éxito gravitará en torno a qué tan bien se haya hecho la planeación previa del experimento. Si las actividades de planeación previas al experimento se realizan como es debido, este paso es relativamente sencillo. La elección del diseño implica la consideración del tamaño de la muestra (número de réplicas), la selección de un orden de corridas adecuado para los ensayos experimentales y la determinación de si entran en juego o no la formación de bloques u otras restricciones sobre la aleatorización. En este libro se revisan algunos de los tipos más importantes de diseños experimentales, y puede usarse en última instancia como un catálogo para seleccionar el diseño experimental apropiado para una amplia variedad de problemas. Existen también varios paquetes interactivos de software de estadística que soportan esta fase del diseño experimental. El experimentador puede introducir la información del número de factores, los niveles y los rangos, y estos programas presentarán a la consideración del experimentador una selección de diseños o recomendarán un diseño particular. (Nosotros preferimos ver varias alternativas en lugar de confiar en la recomendación de la computadora en la mayoría de los casos.) Estos programas proporcionan también por lo general una hoja de trabajo (con el orden aleatorizado de las corridas) que se usará en la conducción del experimento. Al seleccionar el diseño, es importante tener en mente los objetivos experimentales. En muchos experimentos de ingeniería se sabe de antemano que algunos de los niveles de los factores producirán valores diferentes de la respuesta. En consecuencia, el interés se centra en identificar qué factores causan esta diferencia yen estimar la magnitud del cambio de la respuesta. En otras situaciones podría haber más interés en verificar la uniformidad. Por ejemplo, pueden compararse dos condiciones de producción Ay B, donde A es el estándar y B es una alternativa con una eficiencia de costos mayor. El experimentador estará interesado entonces en demostrar que, por ejemplo, no hay ninguna diferencia en el rendimiento entre las dos condiciones. 4. Elección del diseño experimental. Cuando se lleva a cabo el experimento es vital monitorear con atención el proceso a fin de asegurarse de que todo se esté haciendo conforme a la planeación. Los errores en el procedimiento experimental en esta etapa destruirán por lo general la validez experimental. Poner en un primer plano la planeación es crucial para el éxito. Es fácil subestimar los aspectos de logística y planeación cuando se corre un experimento diseñado en un ambiente complejo de manufactura o de investigación y desarrollo. Coleman y Montgomery [27] sugieren que antes de llevar a cabo el experimento, es conveniente en muchas ocasiones realizar algunas corridas piloto o de prueba. Estas corridas proporcionan información acerca de la consistencia del material experimental, una comprobación del sistema de medición, una idea aproximada del error experimental y la oportunidad de poner en práctica la técnica experimental global. Esto ofrece también una oportunidad para revisar, de ser necesario, las decisiones tomadas en los pasos 1 al 4. 5. Realización del experimento. 1-5 BREVE HISTORIA DEL DISEÑO ESTADÍSTICO 17 Deberán usarse métodos estadísticos para analizar los datos a fin de que los resultados y las conclusiones sean objetivos y no de carácter apreciativo. Si el experimento se ha diseñado correctamente y si se ha llevado a cabo de acuerdo con el diseño, los métodos estadísticos necesarios no deben ser complicados. Existen varios paquetes de software excelentes diseñados para auxiliar en el análisis de datos, y muchos de los programas usados en el paso 4 para seleccionar el diseño cuentan con una interfase directa para el análisis estadístico. Con frecuencia se encuentra que los métodos gráficos simples desempeñan un papel importante en el análisis e interpretación de datos. Debido a que muchas de las preguntas que el experimentador quiere responder pueden insertarse en el marco de la prueba de hipótesis, los procedimientos para probar hipótesis y estimar intervalos de confianza son muy útiles en el análisis de datos de un experimento diseñado. Muchas veces es muy útil también presentar los resultados de varios experimentos en términos de un modelo empírico, es decir, mediante una ecuación derivada de los datos que expresa la relación entre la respuesta y los factores importantes del diseño. El análisis residual y la verificación de la adecuación del modelo son también técnicas de análisis importantes. Más adelante se revisarán en detalle estos temas. Recuerde que los métodos estadísticos no pueden demostrar que un factor (o factores) posee un efecto particular, sólo proporcionan pautas generales en cuanto a la confiabilidad y la validez de los resultados. Aplicados en forma correcta, los métodos estadísticos no permiten la demostración experimental de nada, pero sí sirven para medir el error posible en una conclusión o asignar un nivel de confianza a un enunciado. La ventaja principal de los métodos estadísticos es que agregan objetividad al proceso de toma de decisiones. Las técnicas estadísticas, aunadas a una buena ingeniería o conocimiento del proceso y el sentido común, llevarán por lo general a conclusiones sólidas. 6. Análisis estadístico de los datos. 7. Conclusiones y recomendaciones. Una vez que se han analizado los datos, el experimentador debe sacar conclusiones prácticas acerca de los resultados y recomendar un curso de acción. Los métodos gráficos suelen ser útiles en esta etapa, en particular para presentar los resultados. También deberán realizarse corridas de seguimiento o pruebas de confirmación para validar las conclusiones del experimento. A lo largo del proceso completo es importante tener presente que la experimentación es una parte esencial del proceso de aprendizaje, en la que se formulan hipótesis tentativas acerca de un sistema, se realizan experimentos para investigar estas hipótesis y se formulan nuevas hipótesis con base en los resultados, y así sucesivamente. Esto sugiere que la experimentación es iterativa. Por lo general es un gran' error diseñar un solo experimento comprensivo y extenso al principio de un estudio. Un experimento exitoso requiere conocer los factores importantes, los rangos en los que deberán hacerse variar estos factores, el número apropiado de niveles que deberán usarse y las unidades de medición apropiadas para estas variables. En general, no se conocen las respuestas precisas de estas cuestiones, pero se aprende acerca de ellas sobre la marcha. A medida que avanza un programa experimental, es común abandonar algunas variables de entrada e incorporar otras, modificar la región de exploración de algunos factores o incorporar nuevas variables de respuesta. Por consiguiente, generalmente la experimentación se hace en forma secuencial y, como regla general, no deberá invertirse más de 25% de los recursos disponibles en el primer experimento. Con esto se asegurará que se contará con los recursos suficientes para realizar las corridas de confirmación y que se alcanzará en última instancia el objetivo final del experimento. 1~5 BREVE HISTORIA DEL DISEÑO ESTADÍSTICO Ha habido cuatro eras del desarrollo moderno del diseño experimental estadístico. La era agrícola fue encabezada por el trabajo pionero de Sir Ronald A. Fisher en los años 1920 y principios de la década de 1930. En este periodo, Fisher fue el responsable de las estadísticas y el análisis de datos en la Estación 18 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Agrícola Experimental de Rothamsted en las cercanías de Londres, Inglaterra. Fisher se percató de que las fallas en la forma en que se llevaba a cabo el experimento que generaba los datos obstaculizaban con frecuencia el análisis de los datos de los sistemas (en este caso sistemas agrícolas). Mediante la interacción con múltiples científicos e investigadores de diversos campos, Fisher desarrolló las ideas que llevaron a los tres principios básicos del diseño experimental que se revisan en la sección 1-3: la aleatorización, la realización de réplicas y la formación de bloques. Fisher incorporó de manera sistemática ~l pensamiento y los principios estadísticos en el diseño de las investigaciones experimentales, incluyendo el concepto de diseño factorial y el análisis de varianza. Sus libros [44a, b] tuvieron profunda influencia en el uso de la estadística, particularmente en la agricultura y las ciencias biológicas relacionadas. Para una excelente biografía de Fisher, ver Box [21]. Si bien es cierto que la aplicación del diseño estadístico en ambientes industriales se inició en la década de 1930, el catalizador de la segunda era, o era industrial, fue el desarrollo de la metodología de superficies de respuesta (MSR) por parte de Box y Wilson [20]. Estos autores se percataron y explotaron el hecho de que muchos experimentos industriales son fundamentalmente diferentes de sus contrapartes agrícolas en dos sentidos: 1) la variable de respuesta puede observarse por lo general (casi) de inmediato, y 2) el experimentador puede obtener pronto información crucial de un pequeño grupo de corridas que puede usarse para planear el siguiente experimento. Box [12f] denomina inmediatez y secuencialidad a estas dos características de los experimentos industriales. En los 30 años siguientes, la MSR y otras técnicas de diseño se generalizaron en las industrias química y de proceso, sobre todo en el trabajo de investigación y desarrollo. George Box fue el líder intelectual de este movimiento. Sin embargo, la aplicación del diseño estadístico a nivel de plantas o procesos de manufactura todavía no estaba muy generalizada. Algunas de las razones de ello incluyen la capacitación inadecuada de ingenieros y otros especialistas en procesos en los conceptos y los métodos estadísticos básicos, así como la falta de recursos de computación y software de estadística que fueran fáciles de usar para apoyar la aplicación de experimentos diseñados estadísticamente. El interés creciente de la industria occidental en el mejoramiento de calidad que empezó a fines de la década de 1970 anunció la tercera era del diseño estadístico. El trabajo de Genichi Taguchi (Taguchi y Wu [109], Kackar [62] y Taguchi [108a, b]) tuvo un impacto significativo en el aumento del interés y el uso de los experimentos diseñados. Taguchi propugnaba por el uso de experimentos diseñados para lo que denominó el diseño paramétrico robusto, es decir, 1. Hacer procesos insensibles a los factores ambientales o de otra índole que son difíciles de controlar. 2. Fabricar productos insensibles a la variación transmitida por los componentes. 3. Encontrar los niveles de las variables del proceso que obliguen a la media a un valor deseado mientras que al mismo tiempo se reduzca la variabilidad en torno a este valor. Taguchi propuso diseños factoriales altamente fraccionados y otros arreglos ortogonales junto con algunos métodos estadísticos nuevos para resolver estos problemas. La metodología resultante generó muchas discusiones y controversias. Parte de la controversia surgió porque en Occidente la metodología de Taguchi fue defendida al principio (y sobre todo) por empresarios, y no se había hecho la revisión escrutadora adecuada de la ciencia estadística fundamental. Para fines de la década de 1980, los resultados de esta revisión indicaron que aun cuando los conceptos y los objetivos enfocados en la ingeniería de Taguchi tenían bases sólidas, existían problemas sustanciales con su estrategia experimental y sus métodos para el análisis de los datos. Para detalles específicos de estas cuestiones, ver Box [12d], Box, Bisgaard y Fung [14], Hunter [59a, b], Myers y Montgomery [85a] y Pignatiello y Ramberg [94]. Gran parte de estas preo- 1-6 RESUMEN: USO DE TÉCNICAS ESTADÍSTICAS EN LA EXPERIMENTACIÓN 19 cupaciones se resumen también en el amplio panel de discusión del número de mayo de 1992 de TeehnomeDies (ver Nair, et al. [86]). Hubo al menos tres resultados positivos de la controversia desatada por Taguchi. Primero, el uso de los experimentos diseñados se hizo más generalizado en las industrias con piezas discretas, incluyendo la industria de manufacturas automotrices y aeroespaciales, de electrónica y semiconductores, y muchas otras, que anteriormente hacían poco uso de esta técnica. Segundo, se inició la cuarta era del diseño estadístico. Esta era ha incluido un renovado interés general tanto por parte de investigadores como de profesionales en ejercicio en el diseño estadístico y el desarrollo de varios enfoques nuevos y útiles para los problemas experimentales en el mundo industrial, incluyendo alternativas a los métodos técnicos de Thguchi que permiten que sus conceptos de ingeniería se lleven a la práctica de manera eficaz y eficiente. Algunas de estas alternativas se revisarán e ilustrarán en capítulos subsecuentes, en particular en el capítulo 11. Tercero, la educación formal en diseño experimental estadístico se está haciendo parte de los programas de ingeniería en las universidades, tanto a nivel de licenciatura como de posgrado. La integración exitosa de una buena práctica del diseño experimental en la ingeniería y las ciencias es un factor clave en la competitividad industrial futura. 1~6 RESUMEN: USO DE TÉCNICAS ESTADÍSTICAS EN LA EXPERIMENTACIÓN Gran parte de la investigación en la ingeniería, las ciencias y la industria es empírica y hace un uso extensiva de la experimentación. Los métodos estadísticos pueden incrementar en gran medida la eficiencia de estos experimentos y con frecuencia pueden fortalecer las conclusiones así obtenidas. El uso correcto de las técnicas estadísticas en la experimentación requiere que el experimentador tenga presentes los puntos siguientes: Los experimentadores suelen poseer amplios conocimientos de sus respectivos campos. Por ejemplo, un ingeniero civil que trabaja en un problema de hidrología cuenta de manera típica con considerable experiencia práctica y capacitación académica formal en esta área. En algunos campos existe un cuerpo enorme de teoría física en el cual indagar para explicar las relaciones entre los factores y las respuestas. Este tipo de conocimientos no estadísticos es invaluable para elegir los factores, determinar los niveles de los factores, decidir cuántas réplicas correr, interpretar los resultados del análisis, etc. El uso de la estadística no es sustituto de la reflexión sobre el problema. 1. Uso de conocimientos no estadísticos del problema. Es necesario no exagerar en el uso de técnicas estadísticas complejas y sofisticadas. Los métodos de diseño y análisis relativamente simples son siempre los mejores. En este punto cabe hacer hincapié nuevamente en el paso 4 del procedimiento recomendado en la sección 1-4. Si un diseño se hace de manera cuidadosa y correcta, el análisis casi siempre será relativamente directo. Sin embargo, si el diseño se estropea grandemente por ineptitud, no es posible que incluso la estadística más compleja y elegante salve la situación. 2. Mantener el diseño y el análisis tan simple como sea posible. Debido justamente a que dos condiciones experimentales producen respuestas medias que son estadísticamente diferentes, no existe ninguna seguridad de que esta diferencia sea de la magnitud suficiente como para tener algún valor práctico. Por ejemplo, un ingeniero puede determinar que una modificación en el sistema de inyección de combustible de un automóvil puede producir un mejoramiento promedio real en el rendimiento del combustible de 0.1 mi/gal. Éste es un resultado estadísticamente significativo. Sin embargo, si 3. Tener presente la diferencia entre significación práctica y significación estadística. 20 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN el costo de la modificación es de $1000, la diferencia de 0.1 mi/gal probablemente será muy pequeña para poseer algún valor práctico. 4. Los experimentos son generalmente iterativos. Recuerde que en la mayoría de las situaciones no es conveniente diseñar un experimento demasiado comprensivo al principio de un estudio. Un diseño exitoso requiere conocer los factores importantes, los rangos en los que estos factores se harán variar, el número aprOpiado de niveles para cada factor y los métodos y las unidades de medición adecuados para cada factor y respuesta. En general, ningún experimentador está en posición de responder estas cuestiones al principio del experimento, sino que las respuestas aparecen sobre la marcha. Esto habla en favor del enfoque iterativo o secuencial analizado anteriormente. Desde luego, hay situaciones en las que un experimento comprensivo es totalmente apropiado pero, como regla general, la mayoría de los experimentos deberán ser iterativos. Por consiguiente, no deberá invertirse más de 25% de los recursos para la experimentación (corridas, presupuesto, tiempo, etc.) en el experimento inicial. Con frecuencia estos esfuerzos iniciales constituyen sólo experiencias de aprendizaje, y es necesario contar con recursos suficientes para alcanzar los objetivos finales del experimento. Experimentos comparativos simples En este capítulo se examinan los experimentos para comparar dos condiciones (llamadas en ocasiones tratamientos), a las cuales es común denominar experimentos comparativos simples. Se empieza conel ejemplo de un experimento que se realiza para determinar si dos formulaciones diferentes de un producto producen resultados equivalentes. El estudio lleva a revisar varios conceptos básicos de la estadística, como variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, muestras aleatorias, distribuciones de muestreo y pruebas de hipótesis. 2..1 INTRODUCCIÓN La fuerza de la tensión de adhesión del mortero de cemento portland es una característica importante del producto. Un ingeniero está interesado en comparar la fuerza de una formulación modificada en la que se han agregado emulsiones de látex de polímeros durante el mezclado, con la fuerza del mortero sin modificar. El experimentador ha reunido 10 observaciones de la fuerza de la formulación modificada y otras 10 observaciones de la formulación sin modificar. Los datos se muestran en la tabla 2-1. Podría hacerse referencia a las dos formulaciones diferentes como dos tratamientos o como dos niveles del factor formulaciones. En la figura 2-1 se grafican los datos de este experimento. A esta representación se le llama diagrama de puntos. Del examen visual de estos datos se obtiene la impresión inmediata de que la fuerza del mortero sin modificar es mayor que la fuerza del mortero modificado. Esta impresión se confirma al comparar las fuerzas de la tensión de adhesiónpromedio'Yl = 16.76 kgf/cm2 para el mortero modificado YY2 = 17.92 kgf/cm2 para el mortero sin modificar. Las fuerzas de la tensión de adhesión promedio de estas dos muestras difieren en lo que parece ser una cantidad no trivial. Sin embargo, no es evidente que esta diferencia sea de la magnitud suficiente para implicar que las dos formulaciones son en realidad diferentes. Quizás esta diferencia observada en las fuerzas promedio sea el resultado de fluctuaciones del muestreo y las dos formulaciones sean idénticas en realidad. Posiblemente otras dos muestras produzcan el resultado contrario, con la fuerza del mortero modificado excediendo la de la formulación sin modificar. Puede usarse una técnica de la inferencia estadística llamada prueba de hipótesis (algunos autores prefieren el término prueba de significación) para auxiliar al experimentador en la comparación de estas 21 22 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Tabla 2.1 Datos de la fuerza de la tensión de adhesión del experimento de la formulación del cemento portland Mortero modificado Mortero sin modificar Y1j 16.85 16.40 17.21 16.35 16.52 17.04 16.96 17.15 16.59 16.57 17.50 17.63 18.25 18.00 17.86 17.75 18.22 17.90 17.96 18.15 j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dos formulaciones. La prueba de hipótesis permite que la comparación de las dos formulaciones se haga en términos objetivos, con el conocimiento de los riesgos asociados si se llega a una conclusión equivocada. Antes de presentar los procedimientos de la prueba de hipótesis en experimentos comparativos simples, se hará una breve revisión de algunos conceptos elementales de la estadística. 2.2 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS A cada una de las observaciones del experimento del cemento portland citado anteriormente se le llamaría una corrida. Observe que las corridas individuales difieren, por lo que existen fluctuaciones, o ruido, en los resultados. Es común llamar a este ruido el error experimeutal o simplemente el error. Se trata de un error estadístico, lo cual significa que se origina por la variación que no está bajo control y que generalmente es inevitable. La presencia del error o ruido implica que la variable de respuesta, la fuerza de la tensión de adhesión, es una variable aleatoria. Una variable aleatoria puede ser discreta o coutinua. Si el conjunto de todos los valores posibles de la variable aleatoria es finito o contablemente infinito, entonces la variable aleatoria es discreta, mientras que si el conjunto de todos los valores posibles de la variable aleatoria es un intervalo, entonces la variable aleatoria es continua. Descripción gráfica de la variabilidad Es frecuente usar métodos gráficos simples como ayuda para analizar los datos de un experimento. El diagrama de puntos, ilustrado en la figura 2-1, es un recurso muy útil para representar un cuerpo reducido. de datos (digamos hasta unas 20 observaciones). El diagrama de puntos le permite al experimentador ver de inmediato la localización o tendencia central de las observaciones y su dispersión. Por ejemplo, en el experimento de la fuerza de tensión dé adhesión del cemento portland, el diagrama de puntos revela ee_ 15 y, Figura 2-1 ee Ieee o 00 16 ~ 1 17 Fuerza 16.76 (kgf/cm 2) oro!> 000 18 1 Y2 ~ 17.92 19 20 e ~ Mortero modificado o ~ Mortero sin modificar Diagrama de puntos de los datos de la fuerza de la tensión de adhesión de la tabla 2-1. 2-2 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS 0.15 ro 'Ero 30 0.10 20 ro .¡¡ c: ~ ro .¡¡ c: ID ::J "~ ID ::J " .t 23 "- ID 0.05 0.00 10 60 65 70 75 Recuperación de metal (rendimiento) Figura 2-2 Histograma de 200 observaciones de la recuperación de metal (rendimiento) en un proceso de fundición. que probablemente las dos formulaciones difieran en la fuerza promedio, pero que ambas producen aproximadamente la misma variación en la fuerza. Cuando los datos son muy numerósos, es difícil distinguir las observaciones graficadas en un diagrama de puntos, y en tal caso sería preferible un histograma. En la figura 2-2 se presenta el histograma de 200 observaciones de la recuperación de metal (o rendimiento) en un proceso de fundición. El histograma muestra la tendencia central, la dispersión y la forma general de la distribución de los datos. Recuerde que un histograma se construye dividiendo el eje horizontal en intervalos (generalmente de longitud igual) y trazando un rectángulo sobre el intervalo j-ésimo con el área del rectángulo proporcional a l1j , el número de observaciones incluidas en ese intervalo. El diagrama de caja (o diagrama de caja y bigotes) es una manera muy útil de representar gráficamente los datos. En un diagrama de caja se muestra el mínimo, el máximo, los cuartiles inferior y superior (el percentil25 y el percentil 75, respectivamente) y la mediana (el percentil50) en una caja rectangular alineada horizontal o verticalmente. La caja se extiende del cuartil inferior al cuartil superior y se traza una línea por la mediana que atraviesa la caja. Se trazan dos líneas (o bigotes) que se extienden de los extremos de la caja hasta (de manera típica) los valores mínimo y máximo. (Existen diversas variantes de los diagramas de caja que tienen reglas diferentes para denotar los puntos muestrales extremos. Ver Montgomery y Runger [83d] para más detalles.) En la figura 2-3 se muestran los diagramas de caja de las dos muestras de la fuerza de la tensión de adhesión en el experimento del mortero de cemento portland. En esta representación se revela con toda claridad la diferencia en la fuerza promedio entre las dos formulaciones. Indica asimismo que ambas formulaciones producen distribuciones de la fuerza razonablemente simétricas con una variabilidad o dispersión similar. Los diagramas de puntos, los histogramas y los diagramas de caja son útiles para resumir la información de una muestra de datos. Para describir con mayor detalle las observaciones que podrían presentarse en una muestra, se usa el concepto de distribución de probabilidad. Distribuciones de probabilidad La estructura de la probabilidad de una variable aleatoria, por ejemplo y, se describe mediante su distribución de probabilidad. Cuando y es discreta, es común hacer referencia a su distribución de probabili- 24 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Diagramas de caja y bigotes ¡;¡- E 18.4 1u 1 $ Cl ~ " - 1 ¡¡, 18 1- -o .¡¡; w 17.6 - .I:: "O - - ro w "O " " 2l 17.2 - 16.8 - '0 .¡¡; $ .!!! w 16.4 - "O ro ~ w :J - 16 - - - 1 I Modificado Sin modificar Formulación del mortero LL Figura 2-3 Diagramas de caja del experimeuto de la fuerza de la tensión de adhesión del cemento portland. dad, por ejemplo p(y), como la función de probabilidad de y. Cuando y es continua, es común hacer referencia a su distribución de probabilidad, por ejemplo f(y), como la función de densidad de probabilidad de y. En la figura 2-4 se ilustran dos distribuciones de probabilidad hipotéticas, una discreta y la otra continua. Observe que en la distribución de probabilidad discreta es la altura de la función p(Yj) la que representa la probabilidad, mientras que en el caso continuo, es el área bajo la curva f(y) asociada con un L..----..LI~..L__.I__I_..I.-L-.L......L--'---LI__'_I_ Y1 Y3 Y2 Ya Y4 Yg Y7 Ya Ya Y11 Y10 Yj Y13 Y12 Y14 a} Una distribución discreta b-----=--Y b) Una distribución continua Figura 2·4 Distribuciones de probabilidad discreta y continua. 25 2-2 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS intervalo dado la que representa la probabilidad. Un resumen cuantitativo de las propiedades de las distribuciones de probabilidad sería el siguiente: y discreta: 0:5 p(Yj ):51 P(y= Yj) = p(Yj L todos los valores de Yj todos los valores de Yj ) p(yJ=1 todos los valores de y j y continua: 0:5 f(Y) P(a:5 y:5 b) = f: f(y)dy f:",f(y)dy= 1 Media, varianza y valores esperados La media, ¡,t, de una distribución de probabilidad es una medida de su tendencia central o localización. Matemáticamente, la media se define como f:oo yf(y) dy ¡,t- { LYP(Y) y continua y discreta (2-1) toda y La media también puede expresarse en términos del valor esperado o valor promedio a la larga de la variable aleatoria y como J:oo yf(y)dy ¡,t= E(y) = ~ { LJYP(Y) y continua y discreta (2-2) toda y donde E denota el operador del valor esperado. La variabilidad o dispersión de una distribución de probabilidad puede medirse con la varianza, la cual se define como y continua y discreta (2-3) Observe que la varianza puede expresarse exclusivamente en términos del valor esperado debido a que (2-4) Por último, el uso de la varianza es tan frecuente que resulta conveniente definir un operador de la varianza V tal que V(y) = E[(y_¡,t)2] = 0 2 (2-5) 26 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Los conceptos de valor esperado y varianza se usan constantemente a lo largo de este libro, y puede ser útil revisar varios resultados elementales relacionados con estos operadores. Si y es una variable aleatoria con media fl y varianza if y c es una constante, entonces 1. 2. 3. 4. 5. 6. E(c) = c E(y) = fl E( cy) = cE(y) = cfl V(c)= O _ V(y) = a 2 V(cy) = c 2V(y) = c 2a 2 Si hay dos variables aleatorias, por ejemplo'Y1 con E(Y1) a;, se tiene 7. = fl1 y V(Y1) = a; YY2 con E(Y2) = fl2 y V(Y2) = E(Y1 +y2 )= E(Y1)+E(y 2 )= fl 1+fl2 Es posible demostrar que 8. V(Y1 +y2 )=V(Y1)+V(y2 )+2 COV(Y1' Y2) donde (2-6) es la covarianza de las variables aleatorias Y1 y Y2. La covarianza es una medida de la asociación lineal entre Y1 y Y2" Más específicamente, puede demostrarse que si Y1 y Y2 son independientes, 1 entonces COV(y1' Y2) = O. También puede demostrarse que 9. V(Y1 - Y2) = V(Y1)+ V(y 2 )- 2 Cov (yl' Y2) Si Y1 YY2 son independientes, se tiene 10. V(Y1 ±Y2)=V(Y1)+V(y 2 )= a¡ +a; y Sin embargo, observe que, en general, 12. sin imp01tar si Y1 y Y2 son independientes o no. 2,3 MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Muestras aleatorias, media muestral y varianza muestral El objetivo de la inferencia estadística es sacar conclusiones acerca de una población utilizando una muestra de la misma. La mayoría de los métodos que se estudiarán aquí incluyen el supuesto de que se ¡ Observe que el recíproco no es necesariamente verdadero; es decir, puede tenerse Cov Ú'¡,Y2) = OYno obstante esto no implica que las variables sean independientes. Para un ejemplo, ver Hines y Montgomery ([55] pp. 128-129). 2-3 MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 27 usan muestras aleatorias. Es decir, si la población contiene N elementos y va a seleccionarse una muestra de n de ellos, y si cada una de las N!/(N - n)!n! muestras posibles tiene una probabilidad igual de ser escogida, entonces al procedimiento empleado se le llama muestreo aleatorio. En la práctica, en ocasiones es difícil obtener muestras aleatorias, para lo cual pueden ser útiles las tablas de números aleatorios, como la tabla XI del apéndice. En la inferencia estadística se utilizan profusamente cantidades calculadas a partir de las observaciones de la muestra. Un estadístico se define como cualquier función de las observaciones de una muestra que no contiene parámetros desconocidos. Por ejemplo, suponga queY¡'Y2' ...,Yn representa una muestra. Entonces la media muestral (2-7) y la varianza muestral S2 ! (Yi"':' y)2 = -""i=::.:1'-n-1 _ (2-8) son estadísticos. Estas cantidades son medidas de la tendencia central y la dispersión de la muestra, respectivamente. En ocasiones se usa S = -JS2, llamada la desviación estándar muestral, como medida de dispersión. Los ingenieros suelen preferir el uso de la desviación estándar para medir la dispersión debido a que se expresa en las mismas unidades que la variable de interés y. Propiedades de la media y la varianza muestrales La media muestralji" es un estimador puntual de la media poblacional,u, y la varianza muestral S2 es un estimador puntual de la varianza poblacional rJ2. En general, un estimador de un parámetro desconocido es un estadístico que corresponde con dicho parámetro. Observe que un estimador puntual es una variable aleatoria. Al valor numérico particular de un estimador, calculado a partir de los datos muestrales, se le llama una estimaciÓn. Por ejemplo, suponga que quiere estimarse la media y la varianza de la resistencia a la ruptura de un tipo particular de fibra textil. Se prueba una muestra aleatoria de n = 25 ejemplares de prueba de la fibra y se registra la resistencia de cada uno de ellos. La media y la varianza muestrales se calculan de acuerdo con las ecuaciones 2-7 y 2-8, respectivamente, obteniéndose ji" = 18.6 YS2 = 1.20. Por lo tanto, la estimación de ,u es ji" = 18.6 Y la estimación de rJ2 es S2 = 1.20. Un buen estimador puntual debe tener varias propiedades. Dos de las más importantes son las siguientes: 1. El estimador puntual deberá ser insesgado. Es decir, el parámetro que se está estimando deberá ser el promedio o valor esperado a la larga del estimador puntual. Aun cuando la ausencia de sesgo es deseable, esta propiedad por sí sola no siempre hace que un estimador sea adecuado. ' 2. Un estimador insesgado deberá tener la varianza mínima. Esta propiedad establece que el estimador puntual de varianza mínima tiene una varianza que es menor que la varianza de cualquier otro estimador del parámetro en cuestión. 28 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Es sencillo demostrar que y y S2 son estimadores insesgados de ¡,t y primero y. Al utilizar las propiedades del valor esperado, se tiene er, respectivamente. Considere =~E(~ Yi) 1 =- 2: E(Yi) n 1 =- 2: ¡,t n n i=l n i=l =¡,t porque el valor esperado de cada observación Yi es ¡,t. Por lo tanto,y es un estimador insesgado de ¡,t. Considere ahora la varianza muestral S2. Se tiene E(S2)= E ! Y)2] (Yi - .:.::i=:=...l _ n-1 = n~ 1 E[~ (Yi - y)2 ] =_1_ E (SS) n-1 donde SS = L~=l (Yi - y)2 es la suma de cuadrados corregida de las observaciones Yi' Entonces E(SS) = E[~ = E[~ (Yi - y)2] Yi (2-9) _ny2 ] n = 2: (¡,t2 +a 2)-n(¡,t2 +a 2 In) i=l =(n-1)a 2 (2-10) Por lo tanto, E(S2)=_1_ E (SS) n-1 =a 2 y se observa que S2 es un estimador insesgado de er. 2-3 MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 29 Grados de libertad A la cantidad n -1 de la ecuación 2-10 se le llama el número de grados de libertad de la suma de cuadrados SS. Se trata de un resultado muy general; es decir, si y es una variable aleatoria con varianza if y SS = L(Yi - y)2 tiene v grados de libertad, entonces (2-11) El número de grados de libertad de una suma de cuadrados es igual al número de elementos independientes en dicha suma de cuadrados. Por ejemplo, SS = L7=1 (Yi - y)2 en la ecuación 2-9 consiste en la suma de los cuadrados de los n elementos YI - y, Y2 - y, ..., Yn - y. No todos estos elementos son independientes porque L7=1 (Yi - y) = O; de hecho, sólo n -1 de ellos son independientes, lo cual implica que SS tiene n-1 grados de libertad. La distribución normal y otras distribuciones de muestreo En muchas ocasiones la distribución de probabilidad de un estadístico particular puede determinarse si se conoce la distribución de probabilidad de la población de la que se tomó la muestra. A la distribución de probabilidad de un estadístico se le llama la distribución de muestreo. A continuación se revisan brevemente varias distribuciones de muestreo útiles. Una de las distribuciones de muestreo más importantes es la distribución normal. Siy es una variable aleatoria normal, la distribución de probabilidad de y es f(y) = _1_ e-(1I2)[(Y-I')lu]' a.J2ii -oo<y<oo (2-12) donde -00 < fJ. < 00 es la media de la distribución y if > Oes la varianza. En la figura 2-5 se ilustra la distribución normal. Debido a que las corridas muestrales que difieren como resultado del error experimental a menudo se encuentran descritas adecuadamente en la distribución normal, ésta desempeña un papel fundamental en el análisis de los datos de experimentos diseñados. También es posible definir muchas distribuciones de muestreo importantes en términos de variables aleatorias normales. Con frecuencia se usa la notación y - N(¡t, if) para denotar que y sigue una distribución normal con media fJ. y varianza if. Un caso especial importante de la distribución normal es la distribución normal estándar; es decir, fJ. = O y if = 1. Se observa que si y - N(¡t, if), la variable aleatoria Y- fJ. z=-a fJ. Figura 2-5 La distribución normal. (2-13) 30 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES sigue la distribución normal estándar, denotada z - N(O, 1). A la operación ilustrada en la ecuación 2-13 suele llamársele la estandarización de la variable aleatoria normaly. En la tabla I del apéndice se presenta la distribución normal estándar acumulada. En muchas técnicas estadísticas se supone que la variable aleatoria sigue una distribución normal. El teorema del límite central es con frecuencia una justificación de la normalidad aproximada. TEOREMA 2..1 El teorema clellímite central . SiYI'Y2' ·..,Yn es una sucesión de n variables aleatorias independientes que tienen una distribución idéntica con E(Yi) = ¡t y V(Yi) = rT (ambas finitas) y x = YI + Y2 + '" + Ym entonces zn x-n¡t =,------:¡ -- vna- tiene una distribución N(O, 1) aproximada en el sentido de que, si Fn(z) es la función de la distribución de Zn y cI>(z) es la función de la distribución de la variable aleatoria N(O, 1), entonces límn -+ ",[Fn(z)1 cI>(z)] = 1. Este resultado establece en esencia que la suma de n variables aleatorias independientes que tienen una distribución idéntica sigue una distribución aproximadamente normal. En muchos casos esta aproximación es adecuada para valores muy pequeños de n, digamos n < 10, mientras que en otros casos se necesita un valor grande de n, digamos n > 100. Frecuentemente se considera que el error de un experimento surge de una manera aditiva de varias fuentes independientes; por consiguiente, la distribución normal se convierte en un modelo recomendable para el error experimental combinado. Una importante distribución de muestreo que puede definirse en términos de variables aleatorias normales es la distribución X2 o ji-cuadrada. Si ZI' Z2' ... , Zk son variables aleatorias que tienen una distribución normal e independiente con media yvarianza 1, cuya abreviatura es NID(O, 1), entonces la variable aleatoria ° sigue la distribución ji-cuadrada con k grados de libertad. La función de densidad de la distribución ji-cuadrada es x>O (2-14) En la figura 2-6 se ilustran varias distribuciones ji-cuadrada. La distribución es asimétrica, o sesgada, con media y varianza ¡l= k a2 = 2k respectivamente. En la tabla III del apéndice se presentan los puntos porcentuales de la distribución ji-cuadrada. 2-3 MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 31 Figura 2·6 Varias distribuciones ji-cuadrada. Como un ejemplo de una variable aleatoria que sigue la distribución ji-cuadrada, suponga que YI' Y2, ..., Yn es una muestra aleatoria de una distribución N(¡t, 02). Entonces n SS a2 L i=l (Yi - y)2 2 a2 - (2-15) Xn-I Es decir, SS/o2 sigue una distribución ji-cuadrada con n - 1 grados de libertad. Muchas de las técnicas utilizadas en este libro requieren el cálculo y la manipulación de sumas de cuadrados. El resultado dado en la ecuación 2-15 es de suma importancia y aparece en múltiples ocasiones; cuando una suma de cuadrados de variables aleatorias normales se divide por 02 sigue la distribución ji-cuadrada. Al examinar la ecuación 2-8, se observa que la varianza muestral puede escribirse como (2-16) Si las observaciones de la muestra son NID(¡t, 02), entonces la distribución de S2 es [o2/(n -1)]X~_I' Porlo tanto, la distribución de muestreo de la varianza muestral es una constante multiplicada por la distribución ji-cuadrada si la población tiene una distribución normal. Si z y X~ son variables aleatorias independientes normal estándar y ji-cuadrada, respectivamente, la variable aleatoria z = ---=== t k (2-17) ~XUk sigue la distribución t con k grados de libertad, denotada tic La función de densidad de t es r[(k+1)/2] 1 f(t)= .Jkiir(k/2) [(t 2 /k)+1r k +I )/2 -oo<t<oo (2-18) y la media y la varianza de t son.u = OY02 = k/(k - 2) para k> 2, respectivamente. En la figura 2-7 se ilustran varias distribuciones t. Observe que si k = 00, la distribución t se convierte en la distribución normal 32 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES k= ~ (normal) o Figura 2-7 Varias distribuciones t. estándar. En la tabla II del apéndice se presentan los puntos porcentuales de la distribución t. Siy¡,yz, ..., Yn es una muestra aleatoria de una distribución N{fl, a2), entonces la cantidad y- f1 t = SI.Jn (2-19) se distribuye como t con n - 1 grados de libertad. La última distribución de muestreo que consideraremos es la distribución F. Si X;, YX~ son dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente, entonces el cociente F X;,lu X~ Iv (2-20) =-II,V sigue la distribución F con u grados de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador. Six es una variable aleatoriaF con u grados de libertad en el numeradoryv grados de libertad en el denominador, entonces la distribución de probabilidad de x es h x _ r(T)(;f Z x(u/Z)-l ()- r(~)r(~)[(;;~+1rh)" - - - - u = 4, u = 10 - - - u=4,u=30 ------- u = 10, u = 10 - - u=10,v=30 0.8 -o tU -o :B .o ec. tU 0.6 ~ 0.4 -o tU -o .~ 0.2 ID D o Figura 2-8 Varias distribuciones F. 4 x 6 8 o<x<oo (2-21) 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORlZADOS 33 En la figura 2-8 se ilustran varias distribuciones F. Esta distribución es muy importante en el análisis estadístico de experimentos diseñados. En la tabla IV del apéndice se presentan los puntos porcentuales de la distribución F. Como un ejemplo de un estadístico que sigue una distribuciónF, suponga que se tienen dos poblaciones normales independientes con varianza común cJ2. SiYn,Ylz, Yln¡ es una muestra aleatoria de nI observaciones de la primera población y SiYZl,Y2z, .. o, YZ nz es una muestra aleatoria de nz observaciones de la segunda, entonces 000' (2-22) donde SIZ y S; son las dos varianzas muestrales. Este resultado se sigue directamente de las ecuaciones 2-15 y 2-20. 2,4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS Estamos preparados ahora para volver al problema del mortero de cemento portland de la sección 2-1. Recuerde que se estaban investigando dos formulaciones diferentes para determinar si difieren en la fuerza de la tensión de adhesión. En esta sección se examina cómo pueden analizarse los datos de este experimento comparativo simple utilizando procedimientos de prueba de hipótesis e intervalos de confianza para comparar las medias de dos tratamientos. A lo largo de esta sección se supone que se usa un diseño experimental completamente aleatorizado. En este diseño, los datos se consideran como si fueran una muestra aleatoria de una distribución normal. 2,4.1 Prueba de hipótesis Se retoma ahora el experimento del cemento portland introducido en la sección 2-1. Recuerde que el interés se encuentra en comparar la fuerza de dos formulaciones diferentes: una del mortero sin modificar y una del mortero modificado. En general, estas dos formulaciones pueden considerarse como dos niveles del factor "formulaciones". Sea queYn'Y12' .oo, Yln¡ represente las nI observaciones del primer nivel del factor y que YZl, Yzz, ... , Y2nz represente las n z observaciones del segundo nivel del factor. Se supone que las muestras se sacan al azar de dos poblaciones normales independientes. En la figura 2-9 se ilustra la situación. Nivel 1 del factor Nivel 2 del factor Figura 2-9 La situación del muestreo para la prueba t de dos muestras. 34 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Un modelo de los datos Con frecuencia los resultados de un experimento se describen con un modelo. Un modelo estadístico simple que describe los datos de un experimento como el que acaba de describirse es i =1 2 Yij=fl¡+cij { )'=1', 2, •.. , ni (2-23) donde Yij es la observaciónj-ésima del nivel i del factor, fl¡ es la media de la respuesta para el nivel i-ésimo del factor, y cij es una variable aleatoria normal asociada con la observación ij-ésima. Se supone que las C ij son NlD(O, a¡), i = 1, 2. Se acostumbra hacer referencia a cq como el componente del error aleatorio del modelo. Puesto que las medias fl1 y fl2 son constantes, se observa directamente a partir del modelo que las Yijson NID(,u¡, a¡), i = 1,2, como se acaba de suponer arriba. Para más información acerca de los modelos de los datos, referirse al material suplementario del texto. Hipótesis estadísticas . Una hipótesis estadística es un enunciado o afirmación ya sea acerca de los parámetros de una distribución de probabilidad o de los parámetros de un modelo. La hipótesis refleja alguna conjetura acerca de la situación del problema. Por ejemplo, en el experimento del cemento portland, puede pensarse que las fuerzas de la tensión de adhesión promedio de las dos formulaciones del mortero son iguales. Esto puede enunciarse formalmente como H a :fl1 = fl2 H 1 : fl1 :;z!: fl2 donde fl1 es la fuerza de la tensión de adhesión promedio del mortero modificado y fl2 es la fuerza de tensión de enlace promedio del mortero sin modificar. Al enunciado H a:fl1 = fl2 se le llama la hipótesis nula y aH1:fl1 :;z!: fl2 se le llama la hipótesis alternativa. A la hipótesis alternativa que se especifica aquí se le llama hipótesis alternativa de dos colas porque sería verdadera si fl1 < fl2 o si fl1 > fl2' Para probar una hipótesis se proyecta un procedimiento para tomar una muestra aleatoria, calcular un estadístico de prueba apropiado para después rechazar o no estar en posición de rechazar la hipótesis nula Ha. Parte de este procedimiento consiste en especificar el conjunto de valores del estadístico de prueba que llevan al rechazo de Ha. A este conjunto de valores se le llama la región c~ítica o región de re~ chazo de la prueba. Pueden cometerse dos tipos de errores cuando se prueban hipótesis. Si la hipótesis nula se rechaza cuando es verdadera, ha ocurrido un error tipo I. Si la hipótesis nula no se rechaza cuando es falsa, se ha cometido un error tipo II. Las probabilidades de estos dos errores se expresan con símbolos especiales: = P( error tipo l) = P(rechazar Ha IHa es verdadera) f3 = P( error tipo II) = P( dejar de rechazar Ha IHa es falsa) a En ocasi5>nes es más conveniente trabajar con la potencia de la prueba, donde Potencia = 1- f3 = P(rechazar Ha IHa es falsa) El procedimiento general en la prueba de hipótesis es especificar un valor de la probabilidad a del error tipo l, llamada con frecuencia el nivel de significación de la prueba, y después diseñar el procedimiento de prueba de tal modo que la probabilidadf3 del error tipo II tenga un valor convenientemente pequeño. 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS 35 La prueba t de dos muestras Considere que puede suponerse que las varianzas de las fuerzas de la tensión de adhesión fueron idénticas para ambas formulaciones del mortero. Entonces el estadístico de prueba que deberá usarse para comparar las medias de dos tratamientos en el diseño completamente aleatorizado es - -v t = Y1 - Z (2-24) o JFfl -+- S p lZl lZz dondeYl YYz son las medias muestrales, lZlY lZz son los tamaños de las muestras, S~ es una estimación de la varianza común ai = = aZ calculada a partir de a; SZ Z = (lZ l- 1)SI p nI +(lZz -1)Si +n z - 2 (2-25) s¡ si y y son las dos varianzas muestra1es individuales. Para determinar si deberá rechazarse H o:¡ll = #z, se compararía to con la distribución t con lZl + lZz - 2 grados de libertad. Si It oI > t alZ,lI1 +1I2- Z ' donde t alZ,lI1 +112 -z es el punto porcentual a/2 superior de la distribución t con nI + n z - 2 grados de libertad, entonces se rechazada H o Y se concluiría que las fuerzas promedio de las dos formulaciones del mortero de cemento portland difieren. A este procedimiento de prueba se le llama generalmente la prueba t de dos muestras. Este procedimiento puede justificarse de la siguiente manera. Si el muestreo se está haciendo de distribuciones normales independientes, entonces la distribución de Yl - Yz es N[ul - #z, er(l/n 1 + l/n z)]. Por lo tanto, si se conociera er, y si H O:#1 = ¡lz fuera verdadera, la distribución de (2-26) seríaN(O, 1). Sin embargo, al sustituir a con Sp en la ecuación 2-26, la distribución de Zo cambia de la normal estándar a la distribución t con nI + lZz - 2 grados de libertad. Ahora bien, si H o es verdadera, t o de la ecuación 2-24 se distribuye como t ¡ +1I2- Z y, por consiguiente, se esperaría que 100(I-a) por ciento de los valores de to estén entre -t alZ,II¡ +112 -Z Yt alZ,II¡ +112 -Z' Una muestra que produjera un valor de to que estuviera fuera de estos límites sería inusual si la hipótesis nula fuera verdadera y es evidencia de que H o deberá rechazarse. Por lo tanto, la distribución t con nI + n z - 2 grados de libertad es la distribución de referencia apropiada para el estadístico de prueba too Es decir, describe el comportamiento de t ocuando la hipótesis nula es verdadera. Observe que a es la probabilidad del error tipo 1 de la prueba. En algunos problemas quizá quiera rechazarse H o únicamente si una de las medias es mayor que la otra. Por lo tanto, se especificaría una hipótesis alternativa de una cola H 1 :#1 > #z YH o sólo se rechazaría si t o > t a,lI¡ +112 -z· Si se desea rechazar H o sólo si #1 es menor que #2' entonces la hipótesis alternativa es H 1:#1 < ¡lz, Y H o se rechazaría si t o < -t a ,II¡+1I2- Z ' Para ilustrar el procedimiento, considere los datos del cemento portland de la tabla 2-1. Para estos datos, se encuentra que ll Mortero modificado 5'1 = 16.76 kgf / cmz Mortero sin modificar 5'z = 17.92 kgf / cmZ S12 = Q.100 si = 0.061 SI = 0.316 11¡ = 10 12 z Sz = 0.247 =10 36 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES Puesto que las desviaciones estándar muestrales son razonablemente similares, no es improcedente concluir que las desviaciones estándar (o las varianzas) poblacionales son iguales. Por lo tanto, puede usarse la ecuación 2-24 para probar las hipótesis H o :fl1 = fl2 H 1 : fl1 :;z!: fl2 Además, 11 1 + 11 2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18, Ysi se elige a = 0.05, entonces H o:fl1 = fl2 se rechazaría si el valor numérico del estadístico de prueba to > tO.025 , 18 = 2.101, o si to < -tO.025 , 18 = -2.101. Estos límites de la región crítica se ilustran en la distribución de referencia (t con 18 grados de libertad) de la figur:a 2-10. Al utilizar la ecuación 2-25 se encuentra que S2 p = (111 -l)S{ +(11 2 -l)S; 111 +11 2 -2 = 9(0.100)+9(0.061) 10+10- 2 = 0.081 Sp = 0.284 y el estadístico de prueba es R1 = Y1 - Y2 t o Sp -+111 11 2 16.76-17.92 - O. 284J fa- + fa=-9.13 Puesto que t o = -9.13 < -tO.025 , 18 = -2.101, se rechazaríaHoy se concluiría que las fuerzas de la tensión de adhesión promedio de las dos formulaciones del mortero de cemento portland son diferentes. "'C :2 0.3 :B 1l ~ ~ 0.2 "'C "'C ro "'C 'iñ ij¡ 0.1 o -6 -4 o 2 4 to Figura 2-10 La distribución t con 18 grados de libertad con la región crítica ±tO•025 • 18 = ±2.1Dl. 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS 37 El uso de valores P en la prueba de hipótesis Una manera de reportar los resultados de una prueba de hipótesis es estableciendo que la hipótesis nula fue rechazada o no para un valor de a o nivel de significación específico. Por ejemplo, en el experimento del mortero de cemento portland anterior puede decirse que H O:f-l1 = f-l2 se rechazó con el nivel de significación 0.05. Esta enunciación de las conclusiones es con frecuencia inadecuada porque no le ofrece al responsable de la toma de decisiones idea alguna de si el valor calculado del estadístico de prueba apenas rebasó la región de rechazo o si se adentró bastante en la misma. Además, al darse los resultados de esta manera se les impone a otros usuarios de la información el nivel de significación predefinido. Este enfoque puede ser insatisfactorio porque algunos responsables de la toma de decisiones podrían sentirse incómodos con los riesgos que implica el valor a = 0.05. Para evitar estas dificultades, en la práctica se ha adoptado extensivamente el enfoque del valor P. El valor P es la probabilidad de que el estadístico de prueba asuma un valor que sea al menos tan extremo como el valor observado del estadístico cuando la hipótesis nula Ha es verdadera. Por lo tanto, un valor P transmite mucha información acerca del peso de la evidencia en contra de Ha y, por consiguiente, el responsable de la toma de decisiones puede llegar a una conclusión con cualquier nivel de significación especificado. En términos más formales, el valor P se define como el nivel de significación menor que llevaría a rechazar la hipótesis nula Ha. Se acostumbra decir que el estadístico de prueba (y los datos) es significativo cuando se rechaza la hipótesis nula; por lo tanto, el valor P puede considerarse como el menor nivel a en el que los datos son significativos. Una vez que se conoce el valor P, el responsable de la toma de decisiones puede determinar la medida en que los datos son significativos sin que el analista de los datos imponga formalmente un nivel de significación preseleccionado. No siempre es sencillo calcular el valor P exacto de una prueba. Sin embargo la mayoría de los programas de computación modernos para realizar análisis estadísticos reportan valores P, y pueden obtenerse también en algunas calculadoras portátiles. A continuación se indicará cómo obtener una aproximación del valor P para el experimento del mortero de cemento portland. Por la tabla II del apéndice, para una distribución l con 18 grados de libertad, la probabilidad menor en el área de la cola es 0.0005, para la cual lO.0005, 18 = 3.922. Ahora bien, Ilo I = 9.13 > 3.922, de donde, ya que la hipótesis alternativa es de dos colas, se sabe que el valor P debe ser menor que 2(0.0005) = 0.001. Algunas calculadoras portátiles tienen la capacidad para calcular valores P. Una de ellas es la HP-48. Utilizando esta calculadora se obtiene el valor P para el valor lo = -9.13 del experimento de la formulación del mortero de cemento portland como P = 3.68 X 10-8• Por lo tanto, la hipótesis nula Ho:f-l 1 = f-l2 se rechazaría con cualquier nivel de significación a 2:: 3.68 X 10-8. Solución por computadora Hay muchos paquetes de software de estadística que cuentan con la capacidad para probar hipótesis estadísticas. En la tabla 2-2 se presenta la salida del procedimiento para la prueba l de dos muestras de Minitab aplicado al experimento de la formulación del mortero de cemento portland. Observe que la salida incluye algunos estadísticos concisos acerca de las dos muestras (la abreviatura "SE Mean" ["SE media"] se refiere al error estándar de la media, s / J1i.), así como alguna información sobre los intervalos de confianza para la diferencia en las dos medias (los cuales se revisan en las secciones 2-4.3 y 2-6). El programa también prueba la hipótesis de interés, permitiendo que el analista especifique la naturaleza de la hipótesis alternativa ("not =" ["no ="] significa H 1:f-l1 :t: f-l2) Y la elección de a (a = 0.05 en este caso). La salida incluye el valor calculado de lo, el valor P (llamado el nivel de significación) y la decisión que debería tomarse dado el valor especificado de a. Observe que el valor calculado del estadístico l difiere ligeramente del valor que se calculó manualmente aquí y que el valor P que se reporta es P = 0.0000. Mu- 38 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Tabla 2-2 Prueba t de dos muestras usando Minitab para el experimento del mortero de cemento portland Prueba t de dos muestras e intervalo de confianza Two sample T for Modified vs Unmod N Mod i·f i ed Unmod 10 10 Mean 16.774 17.922 StDev 0.309 0.248 SE Mean 0.098 0.078 mu Unmod: (-1.411, -0.885) 95% el for mu Modified t-Test mu Modified = mu Unmod (vs not =): T = -9.16 p = 0.0000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.280 chos paquetes de software no reportarán un valor P real menor que 0.0001 y en su lugar presentan un valor "por omisión". Éste es el caso aquí. Verificación de los supuestos en la prueba t Para utilizar el procedimiento de la prueba t se establecen los supuestos de que ambas muestras se toman de poblaciones independientes que pueden describirse con una distribución normal, que las desviaciones estándar o las varianzas de ambas poblaciones son iguales, y que las observaciones son variables aleatorias independientes. El supuesto de independencia es crítico, pero si el orden de las corridas está aleatorizado (y, de ser apropiado, se seleccionan al azar otras unidades y materiales experimentales), este supuesto por lo general se satisfará. Los supuestos de la igualdad de las varianzas y la normalidad son fáciles de verificar utilizando una gráfica de probabilidad normal. En general, la graficación de probabilidades es una técnica para determinar si los datos muestrales se ajustan a una distribución hipotetizada con base en un examen visual subjetivo de los datos. El procedimiento general es muy simple y puede realizarse rápidamente con la mayoría de los paquetes de software de estadística. En el material suplementario del texto se analiza la construcción manual de las gráficas de probabilidad normal. Para construir una gráfica de probabilidad, primero se ordenan de menor a mayor las observaciones de la muestra. Es decir, la muestraYl,Yz, ... ,Yn se ordena como Y(1)'Y(2)' ...,Y(n)' donde Y(1) es la observación menor'Y(2) es la segunda observación menor, y así sucesivamente, conY(Il) la mayor. Las observaciones ordenadas Y(í) se grafican entonces contra sus respectivas frecuencias acumuladas observadas (j - 0.5)/n. La escala de la frecuencia acumulada se ha dispuesto de tal modo que si la distribución hipotetizada describe de manera adecuada los datos, los puntos graficados estarán aproximadamente sobre una línea recta; si los puntos graficados muestran una desviación significativa de una recta, el modelo hipotetizado no es apropiado. Generalmente, determinar si los datos graficados pertenecen o no a una recta es una decisión subjetiva. Para ilustrar el procedimiento, suponga que quiere verificarse el supuesto de que la fuerza de la tensión de adhesión en el experimento de la formulación del mortero de cemento portland sigue una distribución normal. Inicialmente sólo se consideran las observaciones de la formulación del mortero sin modificar. En la figura 2-11a se ilustra una gráfica de probabilidad normal generada por computadora. La mayoría de las gráficas de probabilidad normal muestran 100(j - O.5)/n en la escala vertical izquierda (yen ocasiones se muestra 100[1- (j - O.5)/n] en la escala vertical derecha), con el valor de la variable graficado en la escala horizontal. Algunas gráficas de probabilidad normal convierten la frecuencia acumulada en un valor z normalizado. Una línea recta, elegida de manera subjetiva, se ha trazado en medio de los pun- 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS o ~ ~ 99.9 99 ro ro 95 E :o 80 "O 39 :i u ro ro 50 c: 20 E o "O ro 32 :aro 5 .o ~ O- 0.1 Fuerza de la tensión de adhesión a) Mortero sin modificar _ 99.9 r-r--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,----r---r---r---r---r--¡--¡--¡--,--,¡-, o o ~ 99 ro ro 95 E :o 80 "O :i u ro ro 50 c: 20 E o "O ro ~ :cro • 5 .o o c:: 0.1 16.3 16.5 16.7 16.9 Fuerza de la tensión de adhesión b) Mortero modificado Figura 2-11 Gráficas de probabilidad normal de la fuerza de la tensión de adhesión eu el experimento del cemento portland. tos graficados. Al trazar la línea recta, uno deberá guiarse más por los puntos de la parte media de la gráfica que por los puntos extremos. Una buena regla empírica es trazar la recta aproximadamente entre los puntos de los cuartiles 25 y 75. Así se determinó la recta de la figura 2-11a. Para evaluar la "proximidad" de los puntos a la línea recta, imagine un lápiz grueso colocado sobre la recta. Si este lápiz imaginario cubre todos los puntos, entonces una distribución normal describe de manera adecuada los datos. Puesto que los puntos de la figura 2-11a pasarían la prueba del lápiz grueso, se concluye que la distribución normal es un modelo apropiado para la fuerza de la tensión de adhesión del mortero sin modificar. En la figura 2-11b se presenta la gráfica de probabilidad normal para las 10 observaciones de la fuerza de la tensión de adhesión del mortero modificado. De nueva cuenta, se concluiría que es razonable el supuesto de una distribución normal. Es posible obtener una estimación de la media y la desviación estándar directamente de la gráfica de probabilidad normal. La media se estima como el percentil50 de la gráfica de probabilidad y la desviación estándar se estima como la diferencia entre los percentiles 84 y 50. Esto significa que el supuesto de la igualdad de las varianzas poblacionales en el experimento del cemento portland puede verificarse comparando las pendientes de las dos rectas de las figuras 2-lla y 2-llb. Ambas rectas tienen pendientes muy si- 40 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES milares, por lo que el supuesto de la igualdad de las varianzas es razonable. Si se viola este supuesto, deberá usarse la versión de la prueba t que se describe en la sección 2-4.4. En el material suplementario del texto hay más información acerca de la verificación de los supuestos de la prueba t. Cuando ocurren violaciones importantes de los supuestos, se afectará el desempeño de h. prueba t. En general, las violaciones de pequeñas a moderadas no son motivo de preocupación particular, pero no deberá ignorarse cualquier falla del supuesto de independencia, así como los indicios claros de que no se satisface el supuesto de normalidad. Tanto el nivel de significación de la prueba como la capacidad para detectar diferencias entre las medias serán afectados adversamente por el incumplimiento de estos supuestos. Un recurso para resolver este problema son las transformaciones. Este tema se analiza con mayor detalle en el capítulo 3. También es posible utilizar procedimientos no paramétricos para la prueba de hipótesis cuando las observaciones provienen de poblaciones no normales. Referirse a Montgomery y Runger [83d] para más detalles. Una justificación alternativa de la prueba t La prueba t de dos muestras que acaba de presentarse depende en teoría del supuesto fundamental de que las dos poblaciones de las que se seleccionaron las muestras al azar son normales. Aun cuando el supuesto de normalidad es necesario para desarrollar formalmente el procedimiento de prueba, como ya se mencionó, las desviaciones moderadas de la normalidad no afectarán seriamente los resultados. Puede argumentarse (por ejemplo, ver Box, Hunter y Hunter [18]) que el uso de un diseño aleatorizado permite probar hipótesis sin ningún supuesto respecto de la forma de la distribución. En resumen, el razonamiento es el siguiente. Si los tratamientos no tienen ningún efecto, todas las [20!/(1O!l0!)] = 184,756 formas posibles en que podrían ocurrir las 20 observaciones son igualmente posibles. Hay un valor de t o para cada uno de estos 184,756 posibles arreglos. Si el valor de to que se obtiene en realidad de los datos es inusualmente grande o inusualmente pequeño con referencia al conjunto de los 184,756 valores posibles, es una indicación de que #1 :;é #2' A este tipo de procedimiento se le llama prueba de aleatorización. Puede demostrarse que la prueba t es una buena aproximación de la prueba de aleatorización. Por lo tanto, se usarán aquí pruebas t (y otros procedimientos que pueden considerarse aproximaciones de pruebas de aleatorización) sin prestar demasiada atención al supuesto de normalidad. Ésta es una de las razones por las que un procedimiento simple, como las gráficas de probabilidad normal, es adecuado para verificar el supuesto de normalidad. 2~4.2 Elección del tamaño de la muestra La elección de un tamaño de la muestra apropiado es uno de los aspectos más importantes de cualquier problema de diseño experimental. La elección del tamaño de la muestra y la probabilidad/3 del error tipo 11 guardan una estrecha relación. Suponga que se están probando las hipótesis H O:#1=#2 H 1 : #1 :;é #2 Yque las medias no son iguales, por lo que o = #1 -#2' Puesto que H O:#1 = #2 no es verdadera, la preocupación principal es cometer la equivocación de no rechazar H o. La probabilidad del error tipo 11 depende de la verdadera diferencia en las medias o. A una gráfica de /3 contra opara un tamaño particular de la muestra se le llama la curva de operación característica, o curva OC, de la prueba. El error f3 también es una función del tamaño de la muestra. En general, para un valor dado de o, el error /3 se reduce cuando el tamaño de la muestra se incrementa. Es decir, es más fácil detectar una diferencia especificada en las medias para tamaños grandes de la muestra que para los tamaños pequeños. 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS 41 En la figura 2-12 se muestra un juego de curvas de operación característica para las hipótesis H o :fll = fl2 H 1 : fll :;é fl2 para el caso en que las dos varianzas poblacionales o~ yo; son desconocidas pero iguales (o~ = o; = 0 2 ) Ypara un nivel de significación de a = 0.05. Las curvas también parten del supuesto de que los tamaños de las muestras de las dos poblaciones son iguales; es decir, nI = n 2 = n. El parámetro del eje horizontal de la figura 2-12 es d)fll-fl21=~ 20 20 La división de 1<3 I por 20 permite al experimentador usar el mismo juego de curvas, independientemente del valor de la varianza (la diferencia en las medias se expresa en unidades de desviación estándar). Por otra parte, el tamaño de la muestra usado para construir las curvas es en realidad n * = 211 - 1. Al examinar estas curvas, se observa lo siguiente: Entre más grande sea la diferencia en las medias, /11 -1.(,20 menor será la probabilidad del error tipo TI para un tamaño de la muestra y un valor de a dados. Es decir, para un tamaño de la muestra y un valor de a especificados, la prueba detectará con mayor facilidad las diferencias grandes que las pequeñas. 2. Cuando el tamaño de la muestra se hace más grande, la probabilidad del error tipo TI se hace más pequeña para una diferencia en las medias y un valor de a dados. Es decir, para detectar una diferencia <3 especificada, puede aumentarse la potencia de la prueba incrementando el tamaño de la muestra. 1. Las curvas de operación característica son con frecuencia útiles para seleccionar el tamaño de la muestra que debe usarse en un experimento. Por ejemplo, considere el problema del mortero de cemento portland comentado antes. Suponga que si las dos formulaciones difieren en la fuerza promedio hasta en 0.5 kgf/cm2, sería deseable detectarlo con una probabilidad alta. Por lo tanto, puesto que fll - fl2 = 1.0 .------r-----¡-------r---~--....---__¡ 0.8 lO E. ~ 0.6 lO al "C "C lO "C :5 O.4I--Hffi-t\-t--\--\--.,.-t~.--t--~d----¡ 13 J: 0.21--IrH!H\---\-\----*--:-~_+~...---p...-----+_--_¡ d Figura 2·12 Curvas de operación característica para la prueba t de dos colas con a = 0.05. (Reproducida con permiso de "Operating Characteristics Curves for the Common Statistical Tests of Significance", c.L. Ferris, EE. Grubbs y C.L. Weaver, Annals of Mathematical Statistics.) 42 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES 0.5 kgf/cm2es la diferencia "crítica" en las medias que quiere detectarse, se encuentra que d, el parámetro del eje horizontal de la curva de operación característica de la figura 2-12, es d= Ifl l-fl21= 2a 0.5= 0.25 2a a Desafortunadamente, d incluye al parámetro desconocido a. Sin embargo, suponga que con base en la experiencia previa se piensa que es altamente improbable que la desviación estándar de cualquiera de las observaciones de la fuerza exceda 0.25 kgf/cm 2. Entonces al usar a = 0.25 en la expresión anterior para d se obtiene d = 1. Si quiere rechazarse la hipótesis nula 95% de las veces cuandofll -fl2 = 0.5, entoncesf3 = 0.05, Y en la figura 2-12 conf3 = 0.05 Y d = 1 se obtiene n* = 16, aproximadamente. Por lo tanto, puesto que n * = 2n - 1, el tamaño de la muestra requerido es n= n*+l = 16+1 = 8.5=9 2 2 y se usarían los tamaños de las muestras n 1 = n 2 = n = 9. En el ejemplo que se ha venido considerando, el experimentador utilizó en realidad un tamaño de la muestra de 10. Quizás el experimentador decidió incrementar ligeramente el tamaño de la muestra a fin de prevenir la posibilidad de que la estimación previa de la desviación estándar común a haya sido demasiado conservadora y quizá fuera un poco mayor que 0.25. Las curvas de operación característica desempeñan con frecuencia un papel importante en la elección del tamaño de la muestra en los problemas de diseño experimental. Su utilización a este respecto se revisa en capítulos subsecuentes. Para un análisis de los usos de las curvas de operación característica en otros experimentos comparativos simples similares a la prueba t de dos muestras, véase Montgomery y Runger [83d]. 2~4.3 Intervalos de confianza Aun cuando la prueba de hipótesis es un procedimiento útil, en ocasiones no cuenta la historia completa. Muchas veces es preferible proporcionar un intervalo dentro del cual cabría esperar que estaría incluido el valor del parámetro o los parámetros en cuestión. A las declaraciones de estos intervalos se les llama intervalos de confianza. En m~chos experimentos de ingeniería e industriales, el experimentador sabe de antemano que las medias fll y fl2 difieren; por consiguiente, la prueba de la hipótesis fll = fl2 es de escaso interés. Por lo general el experimentador estaría más interesado en un intervalo de confianza para la diferencia en las medias fll - fl2' Para definir un intervalo de confianza, suponga que e es un parámetro desconocido. Para obtener una estimación del intervalo de e, es necesario encontrar dos estadísticos L y U tales que la declaración de probabilidad P(L::5 e::5 U) = 1- a (2-27) sea verdadera. Al intervalo (2-28) se le llama intervalo de confianza de 100(1- a) por ciento para el parámetro e. La interpretación de este intervalo es que si, en muestreos aleatorios repetidos, se construye gran número de estos intervalos, 100(1 -a) por ciento de ellos contendrán el verdadero valor de e. Alos estadísticosL y U se les llama los límites 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS 43 de confianza inferior y superior, respectivamente, y a 1- a se le llama el coeficiente de confianza. Si a == 0.05, a la ecuación 2-28 se le llama intervalo de confianza de 95% para e. Observe que los intervalos de confianza tienen una interpretación de frecuencia; es decir, no se sabe si la declaración es verdadera para esta muestra específica, pero sí se sabe que el método usado para generar el intervalo de confianza produce declaraciones correctas en 100(1 - a) por ciento de las veces. Suponga que quiere encontrarse un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para la verdadera diferencia de las medias f.-lI - f.-lz en el problema del cemento portland. El intervalo puede deducirse de la siguiente manera. El estadístico se distribuye como t /11 +112 -Z' Por lo tanto, == 1-a (2-29) (2-30) es un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para f.-lI - f.-lz. La estimación real del intervalo de confianza de 95% para la diferenCia en la fuerza de la tensión de adhesión promedio de las formulaciones del mortero de cemento portland se encuentra haciendo la siguiente sustitución en la ecuación 2-30: 16.76-17.92- (2.101)0.284~fa-+fa-'5. f.-lI - f.-lz '5.16.76 -17. 92 + (2.101 )0.284~fa- + fa-1.16-0.27'5.f.-lI-f.-lZ '5.-1.16+0.27 -1.43'5. f.-lI - f.-lz '5. -0.89 Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% estimado para la diferencia en las medias se extiende de -1.43 kgf/cm z a -0.89 kgf/cmz. Expresado en otros términos, el intervalo de confianza es f.-lI - f.-lz == -1.16 kgf/cm z ± 0.27 kgflcmz, o la diferencia enlasfuerzas promedio es -1.16 kgf/cmz, y la precisión de esta estimación es de ±0.27 kgf/cmz. Observe que como f.-lI - f.-lz == Ono está incluida en este intervalo, los datos no apoyan la hipótesis de que f.-lI == f.-lz con el nivel de significación de 5%. Es probable que la fuerza media de la formulación sin modificar exceda la fuerza media de la formulación modificada. Observe que en la ta- 44 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES bla 2-2 Minitab también reportó este intervalo de confianza cuando se llevó a cabo el procedimiento de la prueba de hipótesis. 2~4.4 Caso en que a¡ :;z!: a; Si se está probando H o : /11 = /12 H 1 : /11 :;z!: /12 y no hay bases para suponer que las varianzas a~ ya; son iguales, entonces es necesario hacer ligeras modificaciones en la prueba t de dos muestras. En este caso el estadístico de prueba es J\ - Y2 S2 S; _1_+_nI (2-31) n2 Este estadístico no se distribuye exactamente como t. No obstante, t es una buena aproximación de la distribución de to si se usa (2-32) para los grados de libertad. Una indicación clara de la desigualdad de las varianzas en una gráfica de probabilidad normal sería una situación que requeriría esta versión de la prueba t. El lector no deberá encontrar problemas para desarrollar una ecuación para encontrar ese intervalo de confianza para la diferencia en las medias en el caso de varianzas desiguales. 2~4.5 Caso en que se conocen a¡ ya; Si las varianzas de ambas poblaciones se conocen, entonces las hipótesis H o : /11 = /12 H 1 : /11 :;z!: /12 pueden probarse utilizando el estadístico z - Y Y2 1- 0- 2 2 _1 + _ 2 a a nI n2 (2-33) Si ambas poblaciones son normales, o si los tamaños de las muestras son lo suficientemente grandes para aplicar el teorema del límite central, la distribución de Zo es N(O, 1) si la hipótesis nula es verdadera. Por lo tanto, la región crítica se encontraría utilizando la distribución normal en lugar de la distribución t. Específicamente, H ose rechazaría si IZo I > Za12' donde Zal2 es el punto porcentual a/2 superior de la distribución normal estándar. r 1: l: 1. i: 2-4 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS ALEATORIZADOS 45 A diferencia de la prueba t de las secciones anteriores, en la prueba de las medias con varianzas conocidas no se requiere el supuesto de que el muestreo se haga de poblaciones normales. Puede aplicarse el teorema del límite central para justificar una distribución normal aproximada para la diferencia en las medias muestrales Yl - YZ. El intervalo de confianza de 100(1-a) por ciento para#l-#Z cuando las varianzas se conocen es (2-34) Como ya se señaló, el intervalo de confianza es con frecuencia un complemento útil del procedimiento de prueba de hipótesis. 2,4.6 Comparación de una sola media con un valor especificado Algunos experimentos incluyen la comparación de la media# de una sola población con un valor especificado, por ejemplo #0. Las hipótesis son H o:# = #0 H 1 :W:;é. #0 Si la población es normal con varianza conocida, o si la población no es normal pero el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande para aplicar el teorema del límite central, entonces la hipótesis puede probarse utilizando una aplicación directa de la distribución normal. El estadístico de prueba es Z - Y-#o 0- a/.Jii (2-35) Si H o:# = #0 es verdadera, entonces la distribución de Zo es N(O, 1). Por lo tanto, la regla de decisión para H o:# = #0 es rechazar la hipótesis nula si IZo I > ZaIZ. El valor de la media #0 especificado en la hipótesis nula se determina por lo general mediante una de las tres formas siguientes. Puede ser resultado de evidencia, conocimientos o experimentación previos. Puede ser resultado de alguna teoría o modelo que describe la situación bajo estudio. Por último, puede ser resultado de especificaciones contractuales. El intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para la verdadera media poblacional es Y- ZalZ a /.Jii :5 # :5 y+ ZalZ a / .Jii EJEMPLO 2,1 (2-36) . Un proveedor ofrece lotes de tela a un fabricante de textiles. El fabricante desea saber si la resistencia a la ruptura promedio excede 200 psi. De ser así, el fabricante aceptará el lote. La experiencia pasada indica que un valor razonable para la varianza de la resistencia a la ruptura es 100(psif Las hipótesis que deberán probarse son HO:Jl = 200 H 1 : # > 200 Observe que se trata de una hipótesis alternativa de una cola. Por lo tanto, el lote se aceptaría sólo si la hipótesis nula H o:# = 200 pudiera rechazarse (es decir, si Zo > Za). 46 ji CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Se seleccionan cuatro ejemplares aleatoriamente, y la resistencia a la ruptura promedio observada es El valor del estadístico de prueba es = 214 psi. = y- f10 = 214- 200 = 2.80 Z o a /.Jii 10/..J4 Si se especifica un error tipo 1 de a = 0.05, en la tabla 1 del apéndice se encuentra que Za = ZO.05 = 1.645. Por lo tanto, H ose rechaza y se concluye que la resistencia a la ruptura promedio del lote excede 200 psi. Cuando no se conoce la varianza de la población, es necesario establecer el supuesto adicional de que la población sigue una distribución normal, aunque las desviaciones moderadas de la normalidad no afectarán seriamente los resultados. Para probar H o:f1 = f10 en el caso de la varianza desconocida, se usa la varianza muestral 52 para estimar if. Al sustituir a con 5 en la ecuación 2-35, se obtiene el estadístico de prueba t _Y-f1o 0- (2-37) 5/.Jii La hipótesis nula H o:1-1 = f10 se rechazaría si Ito I > ta /2,1l-1' donde ta/2,1l-1 denota el punto porcentual a/2 superior de la distribución t con n -1 grados de libertad. El intervalo de confianza de 100(1-a) por ciento es en este caso (2-38) 2~4.7 Resumen En las tablas 2-3 y 2-4 se resumen los procedimientos de prueba estudiados aquí para las medias muestrales. Se muestran las regiones críticas para hipótesis alternativa tanto de una como de dos colas. Tabla 2-3 Hipótesis Pruebas para medias con varianza conocida Estadístico de prueba Criterios de rechazo H O:# = #0 H¡:# ~ #0 H o:# = #0 H¡:Jl < #0 H o:# = #0 H¡:#> #0 H o:#¡ = Jlz H¡:#z ~ #z H o:#¡ = #z H¡:Jl¡ < #z H o:#¡ = #z H¡:#¡ > Jlz Z - y - #0 o-a/.Jñ Zo < -Za r 2-5 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS DE COMPARACIONES PAREADAS Tabla 2-4 47 Pruebas para medias de distribuciones normales, varianza desconocida Hipótesis Estadístico de prueba Criterios de rechazo Ho:/-l = /-lo H¡:/-l ~ /-lo Ho:/-l = /-lo t - Ji -/-lo o - S / .Jii H¡:/-l < /-lo t < o - t a,n-¡ Ho:fl = /-lo H¡:/-l> /-lo Ho:/-l¡ = flz t = H¡:fl¡ ~ /-lz o R1 y¡ -yz S p V =Il¡ -+Il¡ /2z + /2z-2 Ho:/-l¡ = flz H¡:/-l¡ < flz Ho:/-l¡ = /-lz H¡:/-l¡ > /-lz v = (S; / Il¡f + (Si / /2z)Z Il¡ -1 2,5 2,5.1 /2z-1 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS DE COMPARACIONES PAREADAS El problema de las comparaciones pareadas En algunos experimentos comparativos simples puede conseguirse un mejoramiento significativo de la precisión haciendo comparaciones de observaciones pareadas del material experimental. Por ejemplo, considere una máquina para probar la dureza que presiona una barra con una punta afilada sobre un ejemplar de prueba de metal con una fuerza conocida. Al medir la profundidad de la depresión producida por la punta, se determina la dureza del ejemplar de prueba. En esta máquina pueden instalarse dos puntas diferentes y aun cuando la precisión (la variabilidad) de las mediciones hechas con las dos puntas parece ser la misma, se sospecha que una de las puntas produce diferentes lecturas de la dureza que la otra. Sería posible realizar un experimento de la siguiente manera. Podrían seleccionarse al azar varios ejemplares de prueba del metal (por ejemplo, 20). La mitad de estos ejemplares de prueba podrían probarse con la punta 1 y la otra mitad con la punta 2. La asignación exacta de los ejemplares a las puntas se determinaría de manera aleatoria. Puesto que se trata de un diseño completamente aleatorizado, la dureza promedio de las dos muestras podría compararse utilizando la prueba t descrita en la sección 2-4. Al reflexionar un poco al respecto, se descubriría una seria desventaja del diseño completamente aleatorizado en este problema. Suponga que los ejemplares de prueba del metal se cortaron de barras di- 48 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES ferentes que se fabricaron a temperaturas diferentes o que no fueran exactamente homogéneos en cualquier otra forma que pudiera afectar la dureza. Esta falta de homogeneidad entre los ejemplares contribuirá a la variabilidad de las mediciones de la dureza y tenderá a inflar el error experimental, haciendo más difícil detectar una diferencia real entre las puntas. Para protegerse de esta posibilidad, considere un diseño experimental alternativo. Suponga que cada ejemplar de prueba tiene el tamaño suficiente para que puedan hacerse en él dos determinaciones de la dureza. Este diseño alternativo consistiría en dividir cada ejemplar de prueba en dos secciones, para después asignar de manera aleatoria una punta a una mitad de cada ejemplar de prueba y la otra punta a la otra mitad. El orden en que se prueban las puntas en un ejemplar de prueba particular se seleccionaría al azar. El experimento, cuando se llevó a cabo de acuerdo con este diseño con 10 ejemplares de prueba, produjo los datos (codificados) que se muestran en la tabla 2-5. Un modelo estadístico que describe los datos de este experimento puede expresarse como i =1 2 Yij = /1¡ +{3j +sij { j= 1: 2, oo., 10 (2-39) donde Yij es la observación de la dureza para la puntai en el ejemplar de pruebaj,/1¡ es la verdadera dureza promedio de la punta i-ésima,{3j es un efecto sobre la dureza debido al ejemplar de pruebaj-ésimo, y sij es Es decir, es la varianza de las mediciones el error experimental aleatorio con media cero y varianza de la dureza hechas con la punta 1 ya; es la varianza de las mediciones de la dureza hechas con la punta 2. Observe que si se calcula la diferencia pareada j-ésima a¡ . dj = Y1j - Y2j j = 1, a; 2, oo., 10 (2-40) el valor esperado de esta diferencia es /1d = E(d j ) = E(Y1j - Y2j ) = E(Y1j)- E(Y2j) = /11 + {3 j - (/12 + {3 j ) =/11-/12 Es decir, pueden hacerse inferencias acerca de la diferencia en las lecturas de la dureza promedio de las dos puntas /11 - /12 haciendo inferencias acerca de la media de las diferencias /1d' Observe que el efecto adi- Tabla 2-5 Datos del experimento de la prueba de la dureza Ejemplar de prueba Punta 1 Punta 2 176 233 3 3 5 443 588 632 724 8 9 9 954 10 4 5 2-5 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEÑOS DE COMPARACIONES PAREADAS 49 tivo de las f3j de los ejemplares de prueba se cancela cuando las observaciones están pareadas de esta manera. Probar H o:/11 = /1z es equivalente a probar H o :/1d = O H 1:/1d # O El estadístico de prueba para esta hipótesis es (2-41) donde [! es la media muestral de las diferencias y t (dj_d)z]l/Z }-1 Sd = r n-1 Z d:-!(! dj)Z]l/ }=1 n }=1 (2-43) n-1 = es la desviación estándar muestral de las diferencias. H o: /1d = Ose rechazaría si ItoI > talZ,n-l' Debido a que las observaciones de los niveles del factor están "pareadas" en cada unidad experimental, a este procedimiento suele llamársele prueba t pareada. Por los datos de la tabla 2-5, se encuentra d 6 = 3- 2= 1 d 1 = 7- 6= 1 dz = 3- 3= O d 7 =2-4=-2 d 3 =3-5=-2 d s =9-9=0 d 4 =4-3=1 d g =5-4=1 d s = 8- 8= O d lO = 4-5=-1 Por lo tanto, _ 1 d=n Sd -_ 2:j=l d 11 [~ d; j 1 =-(-1)=-0.10 10 -~(~ di 1']1IZ [13-.1..(-l)Z ]1IZ = n-1 10 10-1 = 1.20 Suponga que se elige a = 0.05. Entonces, para tomar una decisión se calcularía toYH o se rechazaría si ItoI > tO.025 , 9 = 2.262. El valor calculado del estadístico de prueba t pareada es t d o = -----;= Sd/.Jii -0.10 = 1.20/ .JIO =-0.26 50 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES "C ~ 0.3 :sjg o ~0.2 "C "C <ti "C '¡ji :¡¡ 0.1 Cl -6 -4 y como Ita I = 0.261> t O.025 , 9 = 2.262, la hipótesis Ho:fld = Ono puede rechazarse. Es decir, no hay evidencia que indique que las dos puntas producen lecturas de la dureza diferentes. En la figura 2-13 se muestra la distribución de to con 9 grados de libertad, la distribución de referencia para esta prueba, con el valor de t o indicado en relación con la región crítica. En la tabla 2-6 se muestra la salida de computadora del procedimiento para la prueba t pareada de Minitab para este problema. Observe que el valor P para esta prueba es P=O.SO, lo cual implica que no puede rechazarse la hipótesis nula con ningún nivel de significación razonable. 2~5.2 Ventajas del diseño de comparaciones pareadas Al diseño que se utilizó en realidad para este experimento se le llama diseño de comparaciones pareadas, el cual ilustra el principio de la formación de bloques comentado en la sección 1-3. De hecho, es un caso especial de un tipo de diseño más general llamado diseño de bloques aleatorizados. El término bloque se refiere a una unidad experimental relativamente homogénea (en el caso tratado aquí, los ejemplares de prueba del metal son los bloques), y el bloque representa una restricción sobre la aleatorización completa debido a que las combinaciones de los tratamientos sólo se aleatorizan dentro del bloque. En el capítulo 4 se examina este tipo de diseños. En dicho capítulo el modelo matemático del diseño, la ecuación 2-39, se escribe en una forma ligeramente diferente. Tabla 2-6 Resultados de Minitab de la prueba t pareada para el ejemplo de la prueba de la dureza Prueba t pareada e intervalo de confianza Pair~d T for Tip 1 - Tip 2 N Tip 1 Tip 2 Difference 10 10 10 Mean 4.800 4.900 -0.100 StDev 2.394 2.234 1 .197 95% el for mean difference: (-0.956, 0.756) t-Test of mean difference = O (vs not = O): T-Value = -0.26 P-Value = 0.798 SE Mean 0.757 0.706 0.379 2-6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES 51 Antes de dejar este experimento, es necesario destacar varios puntos. Observe que, aun cuando se han hecho 2n = 2(10) = 20 observaciones, se cuenta únicamente con n - 1 = 9 grados de libertad para el estadístico t. (Se sabe que conforme se incrementan los grados de libertad para t, la prueba se hace más sensible.) Al hacer la formación de bloques o pareo, se han "perdido" en. realidad n -1 grados de libertad, pero se espera haber ganado un mejor conocimiento de la situación al eliminar una fuente adicional de variabilidad (la diferencia entre los ejemplares de prueba). Puede obtenerse unaindicación de la calidad de la información producida por el diseño pareado comparando la desviación estándar Sd de las diferencias con la desviación estándar combinada Sp que habría resultado si el experimento se hubiera conducido de manera completamente aleatorizada y se hubieran obtenido los datos de la tabla 2-5. Al utilizar los datos de la tabla 2-5 como dos muestras independientes, la desviación estándar combinada que se calcula con la ecuación 2-25 es Sp = 2.32. Al comparar este valor con Sd = 1.20, se observa que la formación de bloques o pareo ha reducido la estimación de la variabilidad en cerca de 50%. Esta información también puede expresarse en términos de un intervalo de confianza para,ul -flz. Utilizando los datos pareados, un intervalo de confianza de 95% para,ul - ,uz es -0.10±(2.262)(1.20)/ .JIO -0.1O±0.86 Recíprocamente, al utilizar el análisis combinado o independiente, un intervalo de confianza de 95% para,ul - ,uz es 4.80- 4.90±(2.101 )(2.32)~to+to -0.10±2.18 El intervalo de confianza basado en el análisispareado tiene una anchura sensiblemente menor que el intervalo de confianza del análisis independiente. Esto ilustra la propiedad de reducción del ruido de la formación de bloques. La formación de bloques no es siempre la mejor estrategia de diseño. Si la variabilidad dentro de los bloques es la misma que la variabilidad entre los bloques, la varianza de Yl -Yz será la misma independientemente del diseño que se use. De hecho, la formación de bloques en esta situación sería una elección de diseño pobre porque la formación de bloques produce la pérdida de n - 1 grados de libertad y llevará en realidad a un intervalo de confianza con una anchura mayor para,ul - ,uz. En el capítulo 4 se ofrece una revisión más amplia de la formación de bloques. 2~6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES En muchos experimentos, el interés se encuentra en las posibles diferencias en la respuesta media de dos tratamientos. Sin embargo, en algunos experimentos es la comparación de la variabilidad en los datos lo que es importante. En la industria de alimentos y bebidas, por ejemplo, es importante que la variabilidad del equipo de llenado sea pequeña para que todos los empaques estén cerca del peso neto nominal o el 52 CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES volumen del contenido neto nominal. En los laboratorios químicos, tal vez quiera compararse la variabilidad de dos métodos de análisis. A continuación se examinan brevemente las pruebas de hipótesis y los intervalos de confianza para las varianzas de distribuciones normales. A diferencia de las pruebas para las medias, los procedimientos para las pruebas de varianzas son bastante más sensibles al supuesto de normalidad. En el apéndice 2A de Davies [36] hay un buen análisis del supuesto de normalidad. Suponga que quiere probarse la hipótesis de que la varianza de una población normal es igual a una constante, por ejemplo, o~. Expresado en términos formales, quiere probarse 2 H O:0 =o~ H 1 :0 2 ;é (2-44) o~ El estadístico de prueba para la ecuación 2-44 es (2-45) donde SS = 2:7=1 (y¡ - y)2 es la suma de cuadrados corregida de las observaciones muestrales. La distribución de referencia apropiada para X ~ es la distribución ji-cuadrada con 12 - 1 grados de libertad. La hipótesis nula se rechaza si X~ > X~/2,n-l o si X ~ < X~-(a/2),n-1' donde X~/2,n-l y XL(a/2),n-l son los puntos porcentuales a/2 superior y 1 - (a/2) inferior de la distribución ji-cuadrada con 12 - 1 grados de libertad, respectivamente. En la tabla 2-7 se presentan las regiones críticas para las hipótesis alternativas de una cola. El intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para if es (12-1)S2 < ? X~/2,1l-1 2 < -o _ (12-1)S2 ? (2-46) Xi"-(a/2),1l-1 Considere ahora la prueba de la igualdad de las varianzas de dos poblaciones normales. Si se toman muestras aleatorias independientes de tamaño 12 1 y 12 2 de las poblaciones 1 y 2, respectivamente, el estadístico de prueba para H O''021 ? -- 0 22 (2-47) ? H l:°i";é°í es el cociente de las varianzas muestrales (2-48) La distribución de referencia apropiada para Fa es la distribuciónF con 12 1 -1 grados de libertad en el numerador y 12 2 -1 grados de libertad en el denominador. La hipótesis nula se rechazaría si Fa > Fa/2 ,1l1 -1,n2- 1 O si Fa < F1-(a/2),Il¡-1,1l2- 1 ' donde Fa/2 ,n¡-1,1l2- 1 YF1-(a/2),Il¡-1,n2- 1 denotan los puntos porcentuales a/2 superior y 1- (a/2) inferior de la distribuciónF con 12 1 -1 Y12 2 -1 grados de libertad. En la tabla IV del apéndice sólo aparecen los puntos porcentuales para la cola superior de F; sin embargo, los puntos de las colas superior e inferior se relacionan por 1 F:l-a,vl'V2 =F- - a,v2 ,v] (2-49) r I¡ 2-6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES ¡ Tabla 2-7 ! Hipótesis ¡ Pruebas para las varianzas de distribuciones normales Estadístico de prueba H o:a2 = a 02 H¡ :a 2 :;é H¡:a 2 < a~ ? 2 2 Xo = en -1 )S2 H¡ :a: :;é a; Ho:a: = a; H¡:a: < a; ? X~/2,fI-¡ o X~ < X:-a,fI-¡ a2 o X~ > X~'fI-¡ > a~ Ho:a: = a; > X~ < X:-a/2,fI-¡ H o:a2 = a~ H¡ :a Criterios de rechazo X(j a~ H o:a2 = a~ 53 Fa > ~/2'fll-¡''''-¡ o Fa < F;-aI2,'1l-¡,fI,-¡ R = S¡2 si o s; Ro=~ s-I Ho:a: = a; H¡:a: > a; En el capítulo 3, sección 3-4.3, se analizan los procedimientos de prueba para más de dos varianzas. Se revisará también el uso de la varianza o la desviación estándar como variable de respuesta en situaciones experimentales más generales. EJEMPLO . 2~2 Un ingeniero químico investiga la variabilidad inherente de dos tipos de equipo de prueba que pueden usarse para monitorear la producción de un proceso. El ingeniero sospecha que el equipo antiguo, tipo 1, tiene una varianza mayor que la del equipo nuevo. Por lo tanto, quiere probar las hipótesis H a''a21 H1 = a 22 :a; >a; Se toman dos muestras aleatorias de 11 1 = 12 Y11 2 = 10 observaciones, y las varianzas muestrales son S12 14.5 Y si = 10.8. El estadístico de prueba es = 2 = S1 = 14.5 = 1.34 F a si 10.8 En la tabla IV del apéndice se encuentra que Fa,os, 11, 9 = 3.10, por lo que no puede rechazarse la hipótesis nula. Es decir, se ha encontrado evidencia estadística insuficiente para concluir que la varianza del equipo antiguo sea mayor que la varianza del equipo nuevo. .......................................... . El intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para el cociente de las varianzas poblacionales es a; /a; (2-50) 54 , : CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES Para ilustrar el uso de la ecuación 2-50, el intervalo de confianza de 95% para el cociente de las varianzas O.025 , 9,11 = 3.59 Y F O.975 ,9,l1 = 1/FO.025,l1,9 = 1/3.92 = 0.255, o; /o; del ejemplo 2-2 es, utilizando F 14.5 (0.255):5 10.8 o~ :5 14.5 (3.59) O2 0 10.8 2 0.34:5 ---+-:5 4.81 o; 2~7 2-1. 2-2. 2-3. 2-4. 2-5. PROBLEMAS Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea de por lo menos 150 psi. La experiencia pasada indica que la desviación estándar de la resistencia a la ruptura es o = 3 psi. Se prueba una muestra aleatoria de cuatro ejemplares de prueba, y los resultados son Y¡ = 145, Yz = 153, Y3 = 150 YY4 = 147. a) Enunciar las hipótesis que el lector considere que deberían probarse en este experimento. b) Probar estas hipótesis utilizando a = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? e) Encontrar el valor P para la prueba del inciso b. d) Construir un intervalo de confianza de 95% para la resistencia a la ruptura promedio. Supuestamente, la viscosidad de un detergente líquido debe promediar 800 centistokes a 25°C. Se colecta una muestra aleatoria de 16 lotes del detergente, y la viscosidad promedio es 812. Suponga que se sabe que la desviación estándar de la viscosidad es a = 25 centistokes. a) Enunciar las hipótesis que deberán probarse. b) Probar estas hipótesis utilizando a = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? e) ¿Cuál es el valor P para la prueba? d) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la media. Los diámetros de las flechas de acero producidas en cierto proceso de manufactura deberán tener un promedio de 0.255 pulgadas. Se sabe que el diámetro tiene una desviación estándar de a = 0.0001 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 flechas tiene un diámetro promedio de 0.2545 pulgadas. a) Establecer las hipótesis apropiadas para la media !L. b) Probar estas hipótesis utilizando a = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? e) Encontrar el valor P para esta prueba. d) Construir un intervalo de confianza de 95% para el diá,metro promedio de las flechas. Una variable aleatoria con una distribución normal tiene una media desconocida!L y varianza a2 = 9. Encontrar el tamaño de la muestra que se necesita para construir un intervalo de confianza de 95% para la media, cuya anchura total sea de 1.0. La vida de anaquel de una bebida carbonatada es motivo de interés. Se seleccionan 10 botellas al azar y se prueban, obteniéndose los siguientes resultados: Días 108 124 124 106 115 138 163 159 134 139 a) Quiere demostrarse que la vida media de anaquel excede los 120 días. Establecer las hipótesis apropiadas para investigar esta afirmación. b) Probar estas hipótesis utilizando a = 0.01. ¿A qué conclusiones se llega? 2-7 PROBLEMAS 55 e) Encontrar el valor P para la plUeba del inciso b. ConstlUir un intervalo de confianza de 99% para la vida media de anaquel. Considere los datos de la vida de anaquel del problema 2-5. ¿La vida de anaquel puede describirse o modelarse adecuadamente con una distribución normal? ¿Qué efecto tendría la violación de este supuesto sobre el procedimiento de plUeba usado para resolver el problema 2-5? El tiempo para reparar un instlUmento electrónico es una variable aleatoria medida en horas que sigue una distribución normal. El tiempo de reparación de 16 de estos instlUmentos elegidos al azar es el siguiente: d) 2-6. 2-7. Horas 159 224 222 149 2-8. 2-9. 101 179 168 485 212 264 250 170 a) Quiere saberse si el tiempo de reparación promedio excede 225 horas. Establecer las hipótesis apropiadas para investigar esta cuestión. b) Probarlas hipótesis que se formularon en el inciso a. ¿A qué conclusiones se llega? Utilizara = 0.05. e) Encontrar el valor P para la plUeba. d) ConstlUir un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de reparación promedio. Considere nuevamente los datos del tiempo de reparación del problema 2-7. En opinión del lector, ¿el tiempo de reparación puede modelarse de manera adecuada con una distribución normal? Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Puede supon~ se que el proceso de llenado es normal, con desviaciones estándar de al = 0.015 yaz = 0.018. El departamento de ingeniería de calidad sospecha que ambas máquinas llenan el mismo volumen neto, sin importar si este volumen es 16.0 onzas o no. Se realiza un experimento tomando una muestra aleatoria de la producción de cada máquina. 16.03 16.04 16.05 16.05 16.02 a) b) e) d) 2-10. 280 379 362 260 Máquina 1 16.01 15.96 15.98 16.02 15.99 Máquina 2 16.02 15.97 15.96 16.01 15.99 16.03 16.04 16.02 16.01 16.00 Enunciar las hipótesis que deberán probarse en este experimento. Probar estas hipótesis utilizando a = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? Encontrar el valor P para esta plUeba. Encontrar un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en el volumen de llenado promedio de las dos máquinas. Un fabricante de calculadoras electrónicas puede usar dos tipos de plástico. La resistencia a la ruptura de este plástico es importante. Se sabe que al = a z = 1.0 psi. De muestras aleatorias de nI = 10 Yn z = 12 se obtiene YI = 162.5 YYz = 155.0. La compañía no empleará el plástico 1 a menos que su resistencia a la lUptura exceda la del plástico 2 por al menos 10 psi. Con base en la información muestral, ¿deberá usarse el plástico 1? Para responder esta pregunta se deben establecer y probar las hipótesis apropiadas utilizando a = 0.01. ConstlUir un intervalo de confianza de 99% para la verdadera diferencia media en la resistencia a la lUptura. 56 2-11. CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES A continuación se presenta el tiempo de combustión de dos cohetes químicos con formulaciones diferentes. Los ingenieros de diseño se interesan tanto en la media como en la varianza del tiempo de combustión. Tipo 1 65 81 57 66 82 82 67 59 75 70 Tipo 2 64 71 83 59 65 56 69 74 82 79 a) Probar la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Utilizar a = 0.05. 2-12. b) Utilizando los resultados del inciso a, probar la hipótesis de que los tiempos de combustión promedio son iguales. Utilizar a = 0.05. ¿Cuál es el valor P para esta prueba? e) Comentar el papel del supuesto de normalidad en este problema. Verificar el supuesto de normalidad para ambos tipos de cohetes. En un artículo de Solid State Technology, "Diseño ortogonal para optimización de procesos y su aplicación en el grabado químico con plasma" de G.Z. Yin y D.W. Jillie, se describe un experimento para determinar el efecto de la velocidad del flujo de CZF 6 sobre la uniformidad del grabado en una oblea de silicio usada en la fabricación de circuitos integrados. Los datos de la velocidad del flujo son los siguientes: Observación de la uniformidad Flujo de CZF 6 1 2 3 4 5 125 200 2.7 4.6 4.6 3.4 2.6 2.9 3.0 3.5 3.2 4.1 6 3.8 5.1 a) ¿La velocidad del flujo de CZF 6 afecta la uniformidad del grabado promedio? Utilizar a = 0.05. ¿Cuál es el valor P para la prueba del inciso a? e) ¿La velocidad del flujo de CZF 6 afecta la variabilidad de una oblea a otra en la uniformidad del grabado? Utilizar a = 0.05. d) Trazar diagramas de caja que ayuden a interpretar los datos de este experimento. Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad química. Antes de instalarlo, de una muestra aleatoria se obtuvo la siguiente información sobre el porcentaje de impurezas:)l1 = 12.5, Slz = 101.17 Y nI = 8. Después de instalarlo, de una muestra aleatoria se obtuvo )lz = 10.2, si = 94.73, n z = 9. a) ¿Puede concluirse que las dos varianzas son iguales? Utilizar a = 0.05. b) ¿El dispositivo de filtrado ha reducido de manera significativa el porcentaje de impurezas? Utilizar a = b) 2-13. 2-14. 0.05. Se hacen 20 observaciones de la uniformidad del grabado en obleas de silicio durante un experimento de evaluación de un grabador de plasma. Los datos son los siguientes: 5.34 6.00 5.97 5.25 6.65 7.55 7.35 6.35 4.76 5.54 5.44 4.61 5.98 5.62 4.39 6.00 7.25 6.21 4.98 5.32 a) Construir una estimación con un intervalo de confianza de 95% de aZ• b) Probar la hipótesis de que a Z = 1.0. Utilizar a = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? 2-7 PROBLEMAS 57 e) Comentar el supuesto de normalidad y su papel en este problema. d) Verificar la normalidad construyendo una gráfica de probabilidad normal. ¿A qué conclusiones se 2-15. llega? Doce inspectores midieron el diámetro de un cojinete de bolas, utilizando cada uno dos tipos diferentes de calibradores. Los resultados fueron Inspector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2-16. Calibrador 1 0.265 0.265 0.266 0.267 0.267 0.265 0.267 0.267 0.265 0.268 0.268 0.265 Calibrador 2 0.264 0.265 0.264 0.266 0.267 0.268 0.264 0.265 0.265 0.267 0.268 0.269 a) ¿Existe una diferencia significativa entre las medias de la población de mediciones de las que se seleccionaron las dos muestras? Utilizar a = 0.05. b) Encontrar el valor P para la prueba del inciso a. e) Construir un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en las mediciones de los diámetros promedio para los dos tipos de calibradores. En un artículo de Joumal ofStrainAnalysis (vol. 18, no. 2) se comparan varios procedimientos para predecir la resistencia al corte de vigas dé placas de acero. Los datos para nueve vigas en la forma del cociente de la carga predicha y la observada para dos de estos procedimientos, los métodos Karlsruhe y Lehigh, son los siguientes Viga Método Karlsruhe Sl/l S2/1 S3/1 S4/1 S5/1 S2/1 S2/2 S2/3 S2/4 1.186 1.151 1.322 1.339 1.200 1.402 1.365 1.537 1.559 Método Lehigh 1.061 0.992 1.063 1.062 1.065 1.178 1.037 1.086 1.052 a) ¿Existe alguna evidencia que apoye la afirmación de que hay una diferencia en el des.empeño promedio entre los dos métodos? Utilizar a = 0.05. b) ¿Cuál es el valor P para la prueba del inciso a? e) Construir un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la carga promedio predicha y la observada. d) Investigar el supuesto de normalidad en ambas muestras. e) Investigar el supuesto de normalidad para la diferencia en los cocientes para los dos métodos. /) Comentar el papel del supuesto de normalidad en la prueba t pareada. 58 2-17. CAPÍTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES Se estudia la temperatura de deflexión bajo carga de dos formulaciones diferentes de un tubo de plástico ABS. Dos muestras de 12 observaciones cada una, se preparan utilizando cada'formulación y las temperaturas de deflexión (en °F) se presentan abajo: 206 188 205 187 2-18. 2-19. Formulación 1 193 192 207 210 185 194 189 178 177 197 206 201 176 185 200 197 198 188 189 203 a) Construir las gráficas de probabilidad normal para ambas muestras. ¿Estas gráficas apoyan los supuestos de normalidad y de la igualdad de la varianza de ambas muestras? b) ¿Los datos apoyan la afirmación de que la temperatura promedio de deflexión bajo carga de la formulación 1 excede la de la formulación 2? Utilizar a = 0.05. e) ¿Cuál es el valor P para la prueba del inciso a? Referirse a los datos del problema 2-17. ¿Los datos apoyan la afirmación de que la temperatura promedio de deflexión bajo carga de la formulación 1 excede la de la formulación 2 en al menos 3°F? En la fabricación de semiconductores es común el uso del grabado químico húmedo para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la metalización. La rapidez del grabado es una característica importante de este proceso. Se están evaluando dos soluciones de grabado diferentes. Se grabaron ocho obleas seleccionadas al azar en cada solución, y las cifras de la rapidez del grabado observada (en milésimas de pulgada/min) se muestran abajo Solución 1 10.6 9.9 9.4 10.3 9.3 10.0 9.8 10.3 2-20. Formulación 2 Solución 2 10.2 10.6 10.0 10.2 10.7 10.4 10.5 10.3 a) ¿Los datos indican que la afirmación de que ambas soluciones tienen la misma rapidez de grabado promedio es verdadera? Utilizar a = 0.05 y suponer la igualdad de las varianzas. b) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la rapidez de grabado promedio. e) Usar gráficas de probabilidad normal para investigar la adecuación de los supuestos de normalidad e igualdad de las varianzas. Se están comparando dos populares analgésicos con base en la rapidez de absorción del cuerpo. Específicamente, se afirma que la tableta 1 se absorbe con el doble de rapidez que la tableta 2. Suponer que y a~ se conocen. Desarrollar un estadístico de prueba para a; H o:2f.l¡ = f.l2 H¡:2f.l¡ :;f:.f.l2 2-21. Suponga que se está probando Ho:f.l¡ =f.l2 H¡:f.l¡ :;f:.f.l2 2-22. donde a; y a~ se conocen. Los recursos para hacer el muestreo son limitados, por lo que n¡ + n 2 = N. ¿Cómo deberán asignarse las N observaciones entre las dos poblaciones para obtener la prueba con la potencia más alta? Desarrollar la ecuación 2-46 para un intervalo de confianza de 100(1- a) por ciento para la varianza de una distribución normal. í 2-7 PROBLEMAS 2-23. a) 59 ai /a;, Desarrollar la ecuación 2-50 para un intervalo de confianza de 100(1- por ciento para el cociente donde y son las varianzas de dos distribuciones normales. 2-24. Desarrollar una ecuación para encontrar un intervalo de confianza de 100(1-a) por ciento para la diferencia en las medias de dos distribuciones normales donde ;t: Aplicar la ecuación desarrollada a los datos del experimento del cemento portland, y encontrar un intervalo de confianza de 95%. 2-25. .Construir un conjunto de datos para los que el estadístico de prueba t pareada sea muy grande, pero para el cual el estadístico de prueba t de dos muestras o combinada usual sea pequeño. En general, describir cómo se crearon los datos. ¿Le da esto al lector alguna idea respecto de cómo funciona la prueba t pareada? ai a; ai a;. Experimentos con un solo factor: el análisis de varianza En el capítulo 2 se analizaron los métodos para comparar dos condiciones o tratamientos. Por ejemplo, el experimento de la fuerza de la tensión de adhesión del cemento portland incluyó dos formulaciones diferentes del mortero. Otra forma de describir este experimento es como un experimento con un solo factor, con dos niveles del factor, donde el factor es la formulación del mortero y los dos niveles son los dos métodos diferentes para hacer la formulación. Muchos experimentos de este tipo involucran más de dos niveles del factor. En este capítulo se presentan los métodos para el diseño y el análisis de los experimentos con un solo factor cona niveles del mismo (o a tratamientos). Se supondrá que el experimento se ha aleatorizado completamente. 3~ 1 UN EJEMPLO Un ingeniero de desarrollo de productos tiene interés en investigar la resistencia a la tensión de una fibra sintética nueva que se usará para hacer tela de camisas para caballero. El ingeniero sabe por experiencia previa que la resistencia a la tensión se afecta por el peso porcentual del algodón utilizado en la mezcla de materiales de la fibra. Además, sospecha que al aumentar el contenido de algodón se incrementará la resistencia, al menos en un principio. Sabe asimismo que el contenido de algodón deberá variar entre 10 y 40 por ciento para que el producto final tenga otras características de calidad que se desean (como la capacidad de ser sometido a un tratamiento de planchado permanente). El ingeniero decide probar ejemplares en cinco niveles del peso porcentual del algodón: 15,20,25,30 Y35 por ciento. También decide probar cinco ejemplares en cada nivel del contenido de algodón. Se trata de un ejemplo de un experimento con un solo factor con a = 5 niveles del factor y n = 5 réplicas. Las 25 corridas deberán realizarse de manera aleatoria. Para ilustrar cómo puede aleatorizarse el orden de las corridas, suponga que las corridas se numeran de la siguiente manera: 60 3-1 UN EJEMPLO Peso porcentual del algodón 15 20 25 30 35 61 Número de corrida experimental 1 6 2 7 12 17 22 11 16 21 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 Ahora se selecciona un número aleatorio entre 1 y 25. Suponga que este número es 8. Entonces la observación número 8 (20% de algodón) se corre primero. Este proceso se repetiría hasta que las 25 observaciones tengan asignada una posición en la secuencia de prueba. 1 Muchos paquetes de software de computadora para ayudar a los experimentadores a seleccionar y construir un diseño, aleatorizan el orden de las corridas utilizando números aleatorios de esta manera. Suponga que la secuencia de prueba obtenida es Secuencia de prueba Número de corrida Peso porcentual del algodón 1 8 2 3 4 18 10 23 17 20 30 20 35 30 15 25 20 25 30 20 15 25 20 15 35 35 25 15 25 35 30 35 30 15 5 6 5 7 14 8 9 10 11 6 15 20 12 9 4 13 12 14 15 16 7 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 24 21 11 2 13 22 16 25 19 3 Esta secuencia de prueba aleatorizada es necesaria para evitar que los efectos de variables perturbadoras desconocidas -las cuales quizá varíen fuera de control durante el experimento-- contaminen los resultados. Para ilustrar esto, suponga que las 25 corridas de prueba tuvieran que realizarse en el orden original no aleatorizado (es decir, primero se prueban los cinco ejemplares con 15% de algodón, después se prue1 La única restricción sobre la aleatorización en este caso, es que si se saca de nuevo el mismo número (es decir, 8), se descarta. Se trata de una restricción secundaria y se ignora. 62 CAPÍTULO 3 Tabla 3-1 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Datos (en lb/pulgadaZ) del experimento de la resistencia a la tensión Observaciones Peso porcentual del algodón 1 2 3 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 Total Promedio 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 -15.04 - 376 ban los cinco ejemplares con 20% de algodón, etc.). Si la máquina empleada para probar la resistencia a la tensión presenta un efecto de calentamiento tal que entre más tiempo esté funcionando sean menores las lecturas de la resistencia a la tensión observadas, el efecto del calentamiento contaminará potencialmente los datos de la resistencia a la tensión y destruirá la validez del experimento. Suponga que el ingeniero corre la prueba en el orden aleatorio que se ha determinado. En la tabla 3-1 se muestran las observaciones que obtiene para la resistencia a la tensión. Siempre es una buena idea examinar gráficamente los datos experimentales. En la figura 3-1 se muestran los diagramas de caja para la resistencia a la tensión con cada nivel del peso porcentual de algodón, y en la figura 3-2 se ilustra ún diagrama de dispersión de la resistencia a la tensión contra el peso porcentual del algodón. En la figura 3-2, los puntos rellenos son las observaciones individuales y los círculos huecos son los promedios de la resistencia a la tensión observada. Ambas gráficas indican que la resistencia a la tensión se incrementa cuando el contenido de algodón se incrementa, hasta cerca de 30% de algodón. Después de 30% de algodón, hay un marcado descenso de la resistencia a la tensión. No hay evidencia sólida que sugiera que la variabilidad de la resistencia a la tensión alrededor del promedio dependa del peso porcentual del algodón. Con base en este análisis gráfico simple, se tienen firmes sospechas de que 1) el contenido de algodón afecta la resistencia a la tensión y 2) alrededor de 30% de algodón produce la resistencia máxima. Suponga que se quiere ser más objetivo en el análisis de los datos. Específicamente, imagine que quieren probarse las diferencias entre las resistencias a la tensión promedio con todos los niveles a = 5 del 30 'b; :; ~ c: '0 .¡¡; c: 20 l!l ..!!! ro ro 'ü ij¡ 10 tí .¡¡; ID a: oL-_--L_ _- I -_ _...l-_ _l - _ - . . l ._ _- ' 15 20 25 30 Peso porcentual del algodón Figura 3-1 Diagramas de caja de la resistencia a la tensión contra el peso porcentual del algodón. 3-2 EL ANÁLISIS DE VARIANZA 63 30 • •• "b; :; O ~20 c: -o 'iñ c: 10 ~ 'iñ • • •• •• O •• • • ! ..!!! ro ro '¡; c: •• O • • •• O V •• • Q) a: OL---I.---'----'----'------' Pese eercentual del alcedón Figura 3-2 Diagrama de dispersión de la resistencia a la tensión contra el peso porcentual del algodón. peso porcentual del algodón. Por lo tanto, el interés se centra en probar la igualdad de las cinco medias. Pudiera parecer que este problema se resolvería realizando una prueba t para todos los pares de medias posibles. Sin embargo, no es ésta la mejor solución de este problema, porque llevaría a una distorsión considerable en el error tipo 1. Por ejemplo, suponga que quiere probarse la igualdad de las cinco medias usando comparaciones por pares. Hay 10 pares posibles, y si la probabilidad de aceptar correctamente la hipótesis nula en cada prueba individual es de 1 - a = 0.95, la probabilidad de aceptar correctamente la hipótesis nula en las 10 pruebas es de (0.95)10 = 0.60 si las pruebas son independientes. Por lo tanto, ha ocurrido un incremento sustancial en el error tipo l. El procedimiento correcto para probar la igualdad de varias medias es el análisis de varianza. Sin embargo, el análisis de varianza tiene un rango de aplicaciones mucho más amplio que el problema anterior. Probablemente sea la técnica más útil en el campo de la inferencia estadística. 3..2 EL ANÁLISIS DE VARIANZA Suponga que se tienen a tratamientos o niveles diferentes de un solo factor que quieren compararse. La respuesta observada de cada uno de los a tratamientos es una variable aleatoria. Los datos aparecerían como en la tabla 3-2. Una entrada de la tabla 3-2 (por ejemplo, Yij) representa la observaciónj-ésima to- Tabla 3-2 Datos típicos de un experimento de un solo factor 'Itatamiento (nivel) Observaciones Totales Promedios 1 fu fu ~ h ~, 2 h h ~ h h a Ya! Ya2 Yan y,. 5'.. 64 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA mada bajo el nivel del factor o tratamiento i. Habrá, en general,}1 observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Observe que la tabla 3-2 es el caso general de los datos del experimento de la resistencia a la tensión de la tabla 3-1. Modelos para los datos Se encontrará útil describir las observaciones de un experimento con un modelo. Una manera de escribir este modelo es i=l, 2, ,a Yij=fl¡+cij { }=1,2, ,11 (3-1) dondeYij es la observación ij-ésima, ¡t¡ es la media del nivel del factor o tratamiento i-ésimo, y cij es un componente del error aleatorio que incorpora todas las demás fuentes de variabilidad del experimento, incluyendo las mediciones, la variabilidad que surge de factores no controlados, las diferencias entre las unidades experimentales (como los materiales de prueba, etc.) a las que se aplican los tratamientos, y el ruido de fondo general en el proceso (ya sean la variabilidad con el tiempo, los efectos de variables ambientales, etc.). Es conveniente considerar que los errores tienen media cero, de tal modo que E(yij) = fl¡. A la ecuación 3-1 se le llama el modelo de las medias. Una forma alternativa de escribir un modelo de los datos es definiendo i = 1, 2, ..., a de tal modo que la ecuación 3-1 se convierte en i=l, 2, ..., a y.. = fl+í. +1' .. { IJ IJ j= 1,2, ... ,11 (3-2) 1 En esta forma del modelo, fl es un parámetro común a todos los tratamientos al que se llama la media global, y í¡ es un parámetro único del tratamiento i-ésimo al que se le llama el efecto del tratamiento i-ésimo. A la ecuación 3-2 se le llama por lo general el modelo de los efectos. Tanto el modelo de las medias como el de los efectos son modelos estadísticos lineales; es decir, la variable de respuestaYij es una función lineal de los parámetros del modelo. Aun cuando ambas formas del modelo son útiles, el modelo de los efectos se encuentra con mayor frecuencia en la literatura del diseño experimental. Tiene cierto atractivo intuitivo por cuanto fl es una constante y los efectos de los tratamientos í¡ representan desviaciones de esta constante cuando se aplican los tratamientos específicos. A la ecuación 3-2 (o a la 3-1) se le llama también el modelo del análisis de varianza simple o de un solo factor (o dirección), porque únicamente se investiga un factor. Además, será un requisito que el experimento se lleve a cabo en orden aleatorio para que el ambiente en el que se apliquen los tratamientos (llamados con frecuencia unidades experimentales) sea lo más uniforme posible. Por lo tanto, el diseño experimental es un diseño completamente aleatorizado. Los objetivos serán probar las hipótesis apropiadas acerca de las medias de los tratamientos y estimarlas. Para probar las hipótesis, se supone que los errores del modelo son variables aleatorias que siguen una distribución normal e independiente con media cero y varianza el. Se supone asimismo que la varianza el es constante para todos los niveles del factor. Esto implica que las observaciones y que las observaciones son mutuamente independientes. 3-3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS 65 ¿Factor fijo o aleatorio? El modelo estadístico (ecuación 3-2) describe dos situaciones diferentes con respecto a los efectos de los tratamientos. Primera, los a tratamientos pudieron ser elegidos expresamente por el experimentador. En esta situación quieren probarse hipótesis acerca de las medias de los tratamientos, y las conclusiones se aplicarán únicamente a los niveles del factor considerados en el análisis. Las conclusiones no pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados explícitamente. También se podría querer estimar los parámetros del modelo (p" Ti' 02). A éste se le llama el modelo con efectos fijos. De manera alternativa, los a tratamientos podrían ser una muestra aleatoria de una población más grande de tratamientos. En esta situación sería deseable poder extender las conclusiones (las cuales se basan en la muestra de los tratamientos) a la totalidad de los tratamientos de la población, sea que se hayan considerado explícitamente en el análisis o no. Aquí las Ti son variables aleatorias, y el conocimiento de las Ti particulares que se investigaron es relativamente inútil. Más bien, se prueban hipótesis acerca de la variabilidad de las Ti y se intenta estimar su variabilidad. A éste se le llama el modelo con efectos aleatorios o modelo de los componentes de la varianza. La revisión de experimentos con factores aleatorios se pospondrá hasta el capítulo 12. 3~3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS En esta sección se desarrolla el análisis de varianza de un solo factor para el modelo con efectos fijos. Recuerde que Yi. representa el total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Sea que Yi. represente el promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. De manera similar, sea que Y.. represente el gran total de todas las observaciones y que Y.. represente el gran promedio de todas las observaciones. Expresado simbólicamente, Yi.=}: i = 1, 2, oo., j=l Y.. a (3-3) = }:}: Y¡j Y.. = Y.. / N ¡=l j=l donde N = an es el número total de observaciones. Se nota que el subíndice "punto" implica la operación suma sobre el subíndice que reemplaza. El interés se encuentra en probar la igualdad de lasa medias de los tratamientos; es decir,E(y¡J =fl + T¡ = fli' i = 1, 2, a. Las hipótesis apropiadas son OO" Ho:fll = fl2 = oo. = fla H 1 : fli ;é fl j para al menos un par (i, j) En el modelo de los efectos, la mediafli del tratamiento i-ésimo se descompone en dos componentes tales que fli = fl + Ti' Por lo general, fl se considera como una media global, de tál modo que ~fli i=l --=fl a Esta definición implica que ~ i=l T¡ =O 66 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Es decir, los efectos del tratamiento o factor pueden considerarse como desviaciones de la media globaI.z Por consiguiente, una forma equivalente de escribir las hipótesis anteriores es en términos de los efectos de los tratamientos Ti> por ejemplo H o :T 1 =T 2 =···T a =O H 1 : Ti ':¡!; O para al menos una i Por 10 tanto, se habla de probar la igualdad de las medias de los tratamientos o de probar que los efectos de los tratamientos (las Ti) son cero. El procedimiento apropiado para probar la igualdad de las medias de los a tratamientos es el análisis de varianza. 3~3.1 Descomposición de la suma de cuadrados total El nombre análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en sus partes componentes. La suma de cuadrados total corregida se usa como una medida de la variabilidad global de los datos. Intuitivamente, esto es razonable porque, si SST tuviera que dividirse por el número apropiado de grados de libertad (en este caso, an -1 = N -1), se obtendría la varianza muestral de las y. La varianza muestral es, desde luego, una medida estándar de variabilidad. Observe que la suma de cuadrados total corregida SST se puede escribir como (3-4) o ~ ~ ( _ - )2 _ ~ (- _ - )2 + L.J ~ L.J ~ L.J L.J Yij Y. - nL.J Yi. Y.. i=l j=l i=l (Yij _ Yi. - )2 i=l j=l a (3-5) n +2"" L"., L"., (y-,~. - Y-.. )(y..lJ - y-,t. ) i=l j=l Sin embargo, el término del producto cruzado de la ecuación 3-5 es cero, ya que ~ y.t. -ny-.l. L"., (y lJ.. -y-.)= l. = y. l. -n(y. /n)= O l. j=l Se tiene, por 10 tanto, ~ ~ ( _ - )2 _ ~ (- _ - )2 + L.J ~ L.J ~ (Yij L.J L.J Yij Y. - n L.J Yi. y.. i=l j=l i=l _ Yi. - )2 (3-6) i=l j=l La ecuación 3-6 establece que puede hacerse la partición de la variabilidad total de los datos, medida por la suma de cuadrados total corregida, en una suma de cuadrados de las diferencias eutre los promedios de los tratamientos y el gran promedio, más una suma de cuadrados de las diferencias de las observaciones dentro de los tratamientos y el promedio de los tratamientos. Entonces, la diferencia entre los promedios 2 Para más información sobre este tema, referirse al material suplementario del texto del capítulo 3. r J 3-3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FI]OS 67 de los tratamientos observados y el gran promedio es una medida de las diferencias entre las medias de los tratamientos, mientras que las diferencias de las observaciones dentro de un tratamiento y el promedio del tratamiento, pueden deberse únicamente al error aleatorio. Por lo tanto, la ecuación 3-6 puede escribirse simbólicamente como SST = SSTratamientns +SSE donde a SSnatamientos se le llama la suma de cuadrados debida a los tratamientos (es decir, entre los tratamientos), y a SSE se le llama la suma de cuadrados debida al error (es decir, dentro de los tratamientos). Hayan = N observaciones en total; por lo tanto, SST tiene N -1 grados de libertad. Haya niveles del factor (y medias de a tratamientos), de donde SSnatamientos tiene a - 1 grados de libertad. Por último, dentro de cualquier tratamiento hay n réplicas que proporcionan n - 1 grados de libertad con los cuales estimar el error experimental. Puesto que haya tratamientos, se tienen a(n - 1) = an - a = N - a grados de libertad para el error. Es útil examinar explícitamente los dos términos del lado derecho de la identidad fundamental del análisis de varianza (ecuación 3-6). Considere la suma de cuadrados del error En esta forma es fácil ver que el término entre corchetes, si se divide por n -1, es la varianza muestral del tratamiento i-ésimo, o S~ , ! = ..:..j=_I _ i n-1 = 1, 2, oo., a .Ahora pueden combinarse a varianzas muestrales para obtener una sola estimación de la varianza poblacional común de la siguiente manera: ? 2 2 (n-1)SI- +(n-1)S2 +.oo + (n-1)Sa (n-1)+(n-1) + ... + (n-1) [LJ'~_1 L,. __a (Yif - Ji. )2] 1 = _---=.'-------= ~ L.J (n-1) i=l SSE (N-a) Por lo tanto, SSEI(N -a) es una estimación combinada de la varianza común dentro de cada uno de los a tratamientos. De manera similar, si no hubiera diferencias entre las medias de los a tratamientos, podría usarse la variación de los promedios de los tratamientos y el gran promedio para estimar cr. Específicamente SSTratamientos a-1 i=l a-1 es una estimación de cr si las medias de los tratamientos son iguales. La razón de esto puede verse de manera intuitiva de la siguiente manera. La cantidad k~=l <Yi. -yY/(a -1) estima crin, la varianza de los pro- 68 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA medios de los tratamientos, de donde nL~=1 (jIi. - --YY/(a - 1) debe estimar cJl si no hay diferencias en las medias de los tratamientos. Se observa que la identidad del análisis de varianza (ecuación 3-6) nos proporciona dos estimaciones de cJl: una basada en la variabilidad inherente dentro de los tratamientos y una basada en la variabilidad entre los tratamientos. Si no hay diferencias en las medias de los tratamientos, estas dos estimaciones deberán ser muy similares, y si no lo son, se sospecha que la diferencia observada puede ser causada por diferencias en las medias de los tratamientos. Aun cuando se ha usado un razonamiento intuitivo para desarrollar este resultado, puede adoptarse un enfoque un tanto más formal. A las cantidades = SS Tratamientos MS a- Tratamientos 1 y SSE MS = - E N-a se les llama cuadrados medios. Se examinarán ahora los valores esperados de estos cuadrados medios. Considere LL j=1 SS) =-_-E 1 [a n (Yij-Yi.)2 ] E(MSE)=E~ ( N a a N i=1 1 E[a n (y~-2y.. y-. +Y~) ] ="" lj lj N - a LJLJ ;=1 j=1 l. 1 = N_a E =_1 N-a l. [a n ~# E[!I ;=1 j=1 Al sustituir el modelo (ecuación 3-1) en esta ecuación se obtiene Entonces, al elevar al cuadrado y tomar el valor esperado de la cantidad entre corchetes, se observa que los términos que incluyen ac~ y c~ son reemplazados por cJly ncJl, respectivamente, debido a que E (cij) = O. Además, todos los productos cruzados que incluyen a cij tienen valor esperado cero. Por lo tanto, después de elevar al cuadrado y tomar el valor esperado, la última ecuación se convierte en 1 [a a] 2 E(MS E ) = N-a N,u2+n~ r:+Na2-N,u2-n~ r:-aa o 69 3·3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS Aplicando un enfoque similar puede demostrarse también que 3 E ( MS n! o 'í; ¡=I Tratamientos) = a - + -a--"--l- Por lo tanto, como se argumentó heurísticamente, MSE = SSE/(N - a) estima dl y, si no hay diferencias en las medias de los tratamientos (lo cual implica que 'í¡ = O), MSnatamientos = SSTratamientoJ(a -1) también estima dl. Sin embargo, observe que si las medias de los tratamientos difieren, el valor esperado del cuadrado medio de los tratamientos es mayor que dl. Parece claro que es posible realizar una prueba de la hipótesis de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos comparando MSnatamientos y MSE • Se considera ahora cómo puede hacerse esta comparación. 3,3.2 Análisis estadístico Se investiga ahora cómo puede llevarse a cabo una prueba formal de la hipótesis de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos (HO:f.l1 = f.l2 = = Ila, o de manera equivalente, HO:'í 1 = 'í 2 = ''ía = O). Puesto que se ha supuesto que los errores Bij siguen una distribución normal e independiente con media cero y varianza dl, las observaciones Yij tienen una distribución normal e independiente con media f.l + 'í¡ y varianza dl. Por lo tanto, SST es una suma de cuadrados de variables aleatorias con una distribución normal; por consiguiente, puede demostrarse que SST/rJ2 tiene una distribución ji-cuadrada con N -1 grados de libertad. Además, puede demostrarse que SSE/dl es una variable ji-cuadrada con N -a grados de libertad y que SSnatamientoJdl es una variable ji-cuadrada con a -1 grados de libertad si la hipótesis nula Ho:'í¡ = Oes verdadera. Sin embargo, las tres sumas de cuadrados no son necesariamente independientes, ya que la suma de SSnatamientos YSSE es SS,!, El siguiente teorema, que es una forma especial de un teorema atribuido a William Cochran, es útil para establecer la independencia de SSE Y SSnatamientos' o" TEOREMA 3,1 o. . Teorema de Cochran Sea Z¡ igual a NID(O, 1) para i = 1, 2, í o •• , vy Z¡2 = QI +Q2 + ... + Q, ;=1 donde s :5 v, YQ¡ tiene Vi grados de libertad (i = 1,2, .", s). Entonces Ql' Q2' oo., Q, son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con VI' V 2, oo., V, grados de libertad, respectivamente, si y sólo si v = VI +V 2 + ... +v, ......................................................................... Puesto que los grados de libertad de SSnatamientos YSSE suman N -1, el número total de grados de libertad, el teorema de Cochran implica que SSnatamiento,/dl Y SSE/dl son variables aleatorias ji-cuadrada con 3 Referirse al material suplementario del texto del capítulo 3 o 7O CAPÍTULO 3 Tabla 3-3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Tabla de análisis de varianza para el modelo con un solo factor y efectos fijos Suma de cuadrados Fuente de variación Grados de libertad Cuadrado medio a-l MSTratamicntos a Entre los tratamientos SSTrntamientos =n 2: (Yi. - Y.J i=l Error (dentro de los tratamientos) SSE = SST - Total SST = ~~ SSTrntamicntos N-a -y.} N-l (Yij F: = MSTrntamientos O MSE i=l 1'=1 una distribución independiente. Por lo tanto, si la hipótesis nula de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos es verdadera, el cociente F. o = SSTratamientos I (a - 1) = MS Tratamieotos SSE I(N-a) MS E (3-7) se distribuye como F con a - 1 y N - a grados de libertad. La ecuación 3-7 es el estadístico de prueba para la hipótesis de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos. Por los cuadrados medios esperados se observa que, en general, MS E es un estimador insesgado de el-. Asimismo, bajo la hipótesis nula, MSTratamientos es un estimador insesgado de el-. Sin embargo, si la hipótesis nula es falsa, el valor esperado de MSTIatamientos es mayor que el-. Por lo tanto, bajo la hipótesis alternativa, el valor esperado del numerador del estadístico de prueba (ecuación 3-7) es mayor que el valor esperado del denominador, y Ha deberá rechazarse para valores del estadístico de prueba que son muy grandes. Esto implica una región crítica de una sola cola superior. Por lo tanto, Ha deberá rechazarse y concluirse que hay diferencias en las medias de los tratamientos si Fa > Fa,a-l,N-a donde Fa se calcula con la ecuación 3-7. De manera alternativa, podría usarse el enfoque del valor P para tomar una decisión. Es posible obtener fórmulas para calcular estas sumas de cuadrados reescribiendo y simplifican~o las definiciones de SSTratamientos Y SSy en la ecuación 3-6. Se obtiene así 2 Y. Yij - N 2 (3-8) y 1 SS Tratamientos a " =-;; Lo, 2 Yi.2 - Y. N (3-9) 1=1 La suma de cuadrados del error se 'obtiene por sustracción como (3-10) E = SSy - SS Tratamientos El procedimiento de prueba se resume en la tabla 3-3. Se le conoce como tabla del análisis de varianza. .SS EJEMPLO 3,1 " . El experimento de la resistencia a la tensión Para ilustrar el análisis de varianza, se retoma al ejemplo que empezó a comentarse en la sección 3-1. Recuerde que al ingeniero de desarrollo de productos le interesa determinar si el peso porcentual del algo- 3-3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS 71 dón en una fibra sintética afecta la resistencia a la tensión, y ha llevado a cabo un experimento completamente aleatorizado con cinco niveles del peso porcentual del algodón y cinco réplicas. Por conveniencia, a continuación se repiten los datos de la tabla 3-1: Resistencia a la tensión observada (lb/pulg2) Peso porcentual del algodón 1 2 3 4 5 Totales Yi 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 Y.. = 376 Y. = 15.04 Promedios Yi. Se usará el análisis de varianza para probar H o:fl1 = fl2 = fl3 = fl4 = fl5 contra la hipótesis alternativa H 1: algunas medias son diferentes. Las sumas de cuadrados requeridas se calculan como sigue: 5 SST 5 2 = 2:2: Y~ - ~ ;=1 j=l (376)2 = (7)2 +(7)2 +(15)2 + ... +(15)2 +(11)2 ------zs-= 636.96 SSTratamientos 1 = - n 2 " Yi.2 - Y. .LJ N ;=1 1? ? (376)2 = 5[(49)- + ... +(54)- ]------zs-= 475.76 SSE = SST - SS Tratamientos = 636.96- 475.76 = 161.20 Generalmente estos cálculos se realizarían en una computadora, utilizando paquetes de software con la capacidad de analizar datos de experimentos diseñados. En la tabla 3-4 se resume el análisis de varianza. Observe que el cuadrado medio entre los tratamientos (118.94) es varias veces mayor que el cuadrado medio dentro de los tratamientos o cuadrado medio del error (8.06). Esto indica qué no es posible que las medias de los tratamientos sean iguales. En términos más formales, puede calcularse el cociente F, Fa = 118.94/8.06 = 14.76, Ycomparar este valor con un punto porcentual apropiado de la cola superior de la distribución F 4, 20' Suponga que el experimentador ha seleccionado a = 0.05. En la tabla IV del apéndice se encuentra que F o.05, 4, 20 = 2.87. Puesto que Fa = 14.76 > 2.87, se rechaza Ha y se concluye que las medias de los tratamientos difieren; es decir, el peso porcentual del algodón en la fibra afecta de manera significativa la resistencia a la tensión media. También Tabla 3-4 Análisis de varianza de los datos de la resistencia a la tensión Fuente de variación Peso porcentual del algodón Error Total Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 475.76 161.20 636.96 4 20 24 118.94 8.06 Fo Fo=14.76 Valor P <0.01 72 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA "O :Q :s 0.6 E E! c. 0.4 ID "O "O ro "O .¡¡; :¡¡ 0.2 o Figura 3-3 La distribución de referencia (F4, 20) para el estadístico de prueba F o en el ejemplo 3-1. podría calcularse un valor P para este estadístico de prueba. En la figura 3-3 se muestta la distribución de referencia (F4,20) para el estadístico de prueba Fa. Evidentemente, el valor P es muy pequeño en este caso. Puesto que F0.G1,4,20 = 4.43 YFa> 4.43, puede concluirse que un límite superior del valor Pes 0.01; es decir, P < 0.01 (el valor P exacto es P = 9.11 X 10-6) • ..... .................. ............... .......................... .. ....... Cálculos manuales Posiblemente el lector haya notado que la suma de cuadrados se definió en términos de promedios; es decir, por la ecuación 3-6, a SS Tratamientos =n 2: (jii. - )1.. )2 i=l pero las fórmulas de cálculo se desarrollaron utilizando los totales. Por ejemplo, para calcular SSnatamientoS' se usaría la ecuación 3-9: 1 a 2 SS ~ 2 Y.. Tratamientos = -;; LJ Yi. - N i=1 La razón principal de esto es por conveniencia; además, los totales Yi. y Y.. están menos sujetos al error de redondeo que los promedios Yi. y Y..' En general, no deberá prestarse demasiada atención a los cálculos, ya que se cuenta con una amplia variedad de programas de computadora para realizarlos. Estos programas de computadora son también útiles para realizar muchos otros análisis asociados con el diseño experimental (como el análisis residual y la verificación de la adecuación del modelo). En muchos casos, estos programas también ayudarán al experimentador a establecer el diseño. Cuando es necesario realizar los cálculos manualmente, en ocasiones es útil codificar las observaciones. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 3..2 . Codificación de observaciones Los cálculos del análisis de varianza pueden hacerse con frecuencia de manera más precisa o simplificada codificando las observaciones. Por ejemplo, considere los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS Tabla 3-5 Datos codificados de la resistencia a la tensión del ejemplo 3·2 Observaciones Peso porcentual 1 2 3 del algodón 15 20 25 30 35 4 5 -8 -3 -1 -8 2 3 O -4 -3 3 3 -6 3 4 10 7 -8 -5 -4 4 4 O 8 -4 4 73 Totales Yi -26 2 13 33 -21 3-1. Suponga que se resta 15 de cada observación. Los datos codificados se muestran en la tabla 3-5. Es sencillo verificar que SST = (-8)2 +(_8)2 + .. , +(_4)2 _ SS . TratamIentos (~2 = (-26)2 +(2)2 + .,. +(-21)2 5 = 636.96 (1)2 25 =4 576 7 . y SSE = 161.20 Al comparar estas sumas de cuadrados con las que se obtuvieron en el ejemplo 3-1, se observa que al restar una constante de los datos originales las sumas de cuadrados no se modifican. Suponga ahora que cada una de las observaciones del ejemplo 3-1 se multiplica por 2. Es sencillo verificar que las sumas de cuadrados de los datos transformados son SST = 2547.84, SSnatamientos = 1903.04 Y SSE = 644.80. Estas sumas de cuadrados parecen diferir considerablemente de las que se obtuvieron en el ejemplo 3-1. Sin embargo, si se dividen por 4 (es decir, 22), los resultados son idénticos. Por ejemplo, para la suma de cuadrados de los tratamientos, 1903.04/4 = 475.76. Asimismo, para los datos codificados, el cociente F es F = (1903.04/4)/(644.80/20) = 14.76, que es idéntico al cociente F de los datos originales. Por lo tanto, los análisis de varianza son equivalentes. Pruebas de aleatorización y análisis de varianza En el desarrollo del análisis de varianza con la prueba F, se ha utilizado el supuesto de que los errores aleatorios sij son variables aleatorias que siguen una distribución normal e independiente. Thmbién es posible justificar la pruebaF como la aproximación de una prueba de aleatorizacióu. Para ilustrar esto, su~ ponga que se tienen cinco observaciones de cada uno de dos tratamientos y que quiere probarse la igualdad de las medias de los tratamientos. Los datos aparecerían así: 1J:atamiento 1 1J:atamiento 2 Yl1 Y21 Y12 Y22 Y13 Y23 Y14 Y24 Y15 Y25 Podría usarse el análisis de varianza con la pruebaF para probar HO:#l = #2' De manera alternativa, podría recurrirse a un enfoque un tanto diferente. Suponga que se consideran todas las formas posibles de 74 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA asignar los 10 números de la muestra anterior a los dos tratamientos. Hay 10!/5151 = 252 arreglos posibles de las 10 observaciones: Si no hay ninguna diferencia en las medias de los tratamientos, los 252 arreglos son igualmente posibles. Para cada uno de los 252 arreglos, se calcula el valor del estadístico F usando la ecuación 3-7. A la distribución de estos valores F se le llama distribución de aleatorización, y un valor grande de F indica que los datos no son consistentes con la hipótesis Ho:fil = fiz. Por ejemplo, si el valor de F que se observó realmente fue excedido sólo por 5 de los valores de la distribución de aleatorización, esto correspondería con el rechazo de Ho:¡ll = fiz con un nivel de significación de a = 5/252 = 0.0198 (o 1.98%). Observe que no es necesario ningún supuesto de normalidad en este enfoque. La dificultad con este enfoque es que, incluso en problemas relativamente pequeños, los cálculos requeridos hacen inviable la enumeración de la distribución de aleatorización exacta. Sin embargo, numerosos estudios han demostrado que la distribución F común de la teoría normal es una buena aproximación de la distribución de aleatorización exacta. Por lo tanto, incluso sin el supuesto de normalidad, la prueba F puede considerarse como una aproximación de la prueba de aleatorización. Para más detalles sobre las pruebas de aleatorización en el análisis de varianza, ver Box, Hunter y Hunter [18]. 3~3.3 Estimación de los parámetros del modelo Se presentan ahora los estimadores de los parámetros del modelo con un solo factor y los intervalos de confianza para las medias de los tratamientos. Más adelante se demostrará que estimadores razonables de la media global y de los efectos de los tratamientos están dados por {t = Y.. (3-11) i= 1, 2, ..., a fi=Yi.-Y.., Estos estimadores poseen un considerable atractivo intuitivo; observe que la media global se estima con el gran promedio de las observaciones y que el efecto de cualquier tratamiento no es sino la diferencia entre el promedio del tratamiento y el gran promedio. Es posible determinar con facilidad una estimación del intervalo de confianza de la media del tratamiento i-ésimo. La media del tratamiento i-ésimo es Un estimador puntual defi¡ sería{t¡ = {t+f¡ = Y¡.' Ahora bien, si se supone que los errores siguen una distribución normal, cadaY¡. es una NID(u¡, cJ2/n). Por lo tanto, si cJ2 fuera conocida, podría usarse la distribución normal para definir el intervalo de confianza. Al utilizar MS E como estimador de cJ2, el intervalo de confianza se basaría en la distribución t. Por lo tanto, un intervalo de confianza de 100(1- a) por. ciento . para la media fii del tratamiento i-ésimo es - Y¡. _ t a/Z.N-a s n ~ __E_< fi ¡ <- Y¡. + t a/Z.N-a __E_ ~MS n (3-12) Un intervalo de confianza de 100(1- a) por ciento para la diferencia en las medias de dos tratamientos cualesquiera, por ejemplo fii - fij' sería _ _ J2MS E _ _ ~2MSE Yi, - Yj. - t a / Z •N - a --n-:::; ¡li - fi j :::; Y¡. - Yj. +t a / Z•N - a --n- (3-13) 3-3 ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS 75 EJEMPLO 3~3 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••• Utilizando los datos del ejemplo 3-1 pueden encontrarse las estimaciones de la media global y de los efectos de los tratamientos como f1, = 376/25 = 15.04 Y = Yl -Ji.. = 9.80-15.04=-5.24 f 2 = Y2. - Y.. = 15.40-15.04 = +0.36 f 3 = h - Y.. = 17.60-15.04 = -2.56 f 4 = Y4. - Y.. = 21.60-15.04 = +6.56 ~ 5 = Ys. -:- Y.. = 10.80-15.04 = -4.24 ~1 Un intervalo de confianza de 95% para la media del tratamiento 4 (30% de algodón) se calcula con la ecuación 3-12 como 21. 60 - 2.086 ~8.06 -5- $ fl4 $ 21. 60 + 2.086 ~8.06 -5- o 21.60- 2.65$ fl4 $ 21.60+2.65 Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% deseado es 18.95 $ fl4 $ 24.25. Intervalos de confianza simultáneos Las expresiones para los intervalos de confianza dados en las ecuaciones 3-12 y 3-13 son intervalos de confianza uno a la vez. Es decir, el nivel de confianza 1- a sólo se aplica a una estimación particular. Sin embargo, en muchos problemas, el experimentador tal vez quiera calcular varios intervalos de confianza, uno para cada una de varias medias o diferencias entre medias. Si hay interés en r de estos intervalos de confianza de 100(1- a) por ciento, la probabilidad de que los r intervalos sean correctos simultáneamente es al menos 1- ra. A la probabilidad ra se le llama con frecuencia índice de error en el modo del experi, mento o coeficiente de confianza global. El número de intervalos r no tiene que ser muy grande antes de que el conjunto de intervalos de confianza se vuelva relativamente falto de información. Por ejemplo, si hay r = 5 intervalos y a = 0.05 (una elección típica), el nivel de confianza simultáneo para el conjunto de los cinco intervalos de confianza es de al menos 0.75, y si r = 10 Ya = 0.05, el nivel de confianza simultáneo es de al menos 0.50. Un enfoque para asegurarse de que el nivel de confianza simultáneo no sea demasiado pequeño es sustituir a/2 con a/(2r) en las ecuaciones 3-12 y 3-13 del intervalo de confianza uno a la vez. A éste se le llama el método de Bonferroni, y le permite al experimentador construir un conjunto de r intervalos de confianza simultáneos para las medias de los tratamientos o las diferencias en las medias de los tratamientos para los que el nivel de confianza global es de al menos 100(1- a) por ciento. Cuando r no es muy grande, éste es un método muy atinado que produce intervalos de confianza razonablemente cortos. Para más información, referirse al material suplementario del texto del capítulo 3. 3~3.4 Datos no balanceados En algunos experimentos con un solo factor, puede ser diferente el número de observaciones que se hacen dentro de cada tratamiento. Se dice entonces que el diseño es no balanceado. Sigue siendo posible aplicar el análisis de varianza descrito arriba, pero deben hacerse ligeras modificaciones en las fórmulas 76 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA de las sumas de cuadrados. Sea que se hagan ni observaciones bajo el tratamiento i (i = 1,2, ..., a) y que N = L~=ln¡. Las fórmulas para calcular manualmente SST y SSTratamientos quedan como (3-14) y a SS Tratamientos = ~ .LJ i=l 2 2 2:'L_L N (3-15) n¡ No se requieren más cambios en el análisis de varianza. Hay dos ventajas al elegir un diseño balanceado. Primera, el estadístico de prueba es relativamente insensible a las desviaciones pequeñas del supuesto de la igualdad de las varianzas de los a tratamientos cuando los tamaños de las muestras son iguales. No es éste el caso cuando los tamaños de las muestras son diferentes. Segunda, la potencia de la prueba se maximiza cuando las muestras tienen el mismo tamaño. 3~4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO La descomposición de la variabilidad presente en las observaciones mediante la identidad del análisis de varianza (ecuación 3-6) es una relación puramente algebraica. Sin embargo, el uso de la partición para probar formalmente que no hay diferencias en las medias de los tratamientos requiere que se satisfagan ciertos supuestos. Específicamente, estos supuestos son que el modelo Yij = f1+r: i +sij describe de manera adecuada las observaciones, y que los errores siguen una distribución normal e independiente con media cero yvarianza cr constante pero desconocida. Si estos supuestos se satisfacen, el procedimiento del análisis de varianza es una prueba exacta de la hipótesis de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos. Sin embargo, es común que en la práctica estos supuestos no se satisfagan exactamente. Por consiguiente, en general no es prudente confiar en el análisis de varianza hasta haber verificado estos supuestos. Las violaciones de los supuestos básicos y la adecuación del modelo pueden investigarse con facilidad mediante el examen de los residuales. El residual de la observaciónj-ésima en el tratamiento i-ésimo se define como (3-16) donde Yij es una estimación de la observación Yij correspondiente que se obtiene como sigue: Yij = jl+i¡ = Y..- +(-Y¡. = Yi. -) Y.. (3-17) La ecuación 3-17 da el resultado intuitivamente claro de que la estimación de cualquier observación en el tratamiento i-ésimo no es sino el promedio del tratamiento correspondiente. El examen de los residuales deberá ser una parte automática de cualquier análisis de varianza. Si el modelo es adecuado, los residuales deberán estar sin estructura; es decir, no deberán contener patrones obvios. A través de un estudio de los residuales, pueden descubrirse muchos tipos de inadecuaciones del modelo y violaciones de los supuestos subyacentes. En esta sección se indica cómo puede hacerse con facilidad la verificación de diagnóstico del modelo mediante el análisis gráfico de los residuales y cómo resolver varias anormalidades que ocurren comúnmente. 3-4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO 3~4.1 77 El supuesto de normalidad La verificación del supuesto de normalidad podría hacerse graficando un histograma delos residuales. Si se satisface el supuesto de NID(O, 0 2) para los errores, esta gráfica deberá aparecer como una muestra de una distribución normal con centro en cero. Desafortunadamente, cuando se trabaja con muestras pequeñas, suelen ocurrir fluctuaciones significativas, por lo que la aparición de una desviación moderada de la normalidad no implica necesariamente una violación seria de los supuestos. Las desviaciones marcadas de la normalidad son potencialmente serias y requieren análisis adicional. Un procedimiento en extremo útil es construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales. Recuerde que en el capítulo 2 se utilizó una gráfica de probabilidad normal de los datos originales para verificar el supuesto de normalidad cuando se usó la prueba t. En el análisis de varianza, por lo general es más eficaz (y directo) hacer lo mismo con los residuales. Si la distribución fundamental de los errores es normal, esta gráfica tendrá la apariencia de una línea recta. Para visualizar la línea recta, deberá prestarse más atención a los valores centrales de la gráfica que a los valores extremos. En la tabla 3-6 se muestran los datos originales y los residuales de los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3- i. La gráfica de probabilidad normal se muestra en la figura 3-4. La impresión general que surge al examinar esta representación es que la distribución de los errores puede tener un ligero sesgo, con la cola derecha siendo más larga que la izquierda. La tendencia de la gráfica de probabilidad normal a curvarse hacia abajo ligeramente del lado izquierdo, implica que la cola izquierda de la distribución de los errores sea un tanto más delgada de lo que se anticiparía con una distribución normal; es decir, los residuales negativos no son tan grandes (en valor absoluto) como se esperaba. Sin embargo, esta gráfica no muestra una desviación marcada de la distribución normal. En general, las desviaciones moderadas de la normalidad no son motivo de gran preocupación en el análisis de varianza de efectos fijos (recuerde el análisis de las pruebas de aleatorización de la sección 3-3.2). Una distribución de los errores que tiene colas considerablemente más gruesas o delgadas que la distribución normal es motivo de mayor preocupación que una distribución sesgada. Puesto que la prueba F sólo se afecta ligeramente, se dice que el análisis de varianza (y los procedimientos relacionados como las comparaciones múltiples) es robusto con respecto al supuesto de normalidad. Las desviaciones de la normalidad hacen por lo general que tanto el verdadero nivel de significación como la verdadera potencia difieran ligeramente de los valores anunciados, con la potencia siendo generalmente más baja. El modelo de los efectos aleatorios que se revisará en el capítulo 12 se afecta en forma más severa por la no normalidad. Tabla 3-6 Datos y residuales del ejemplo 3-1 a Peso Observaciones (j) porcentual del algodón 2 15 7 1-2.8 (15) 7 20 12 1-3.4 (8) 17 25 14 1-3.6 (18) 18 30 19 1-2.6 (22) 25 1-2.8 (19) I 3.4 (5) 5 I 1-0.8 (6) 9 15 5.2 (25) 11 12 1-3.4 (1) 18 1 2.6 (11) 19 18 1 0.4 (20) 19 1 1.4 (7) 19 22 1 0.4 (2) 19 1-2.6 (24) 23 I 0.4 (13) 4 I 1.2 (12) I 1.6 (14) 3 I I I 2.6 (3) 15.4 1.4 (9) 17.6 1.4 (10) I 9.8 21.6 0.2 1 4.2 10.8 (16) 11 (23) . . Los reSIduales se mdlcan en el recuadro de cada celda. Los numeros entre parentesls mdlcan el orden en que se recolectaron los datos. . 35 7 1-3.8 (17) 10 1-0.8 (21) 11 1 0.2 (4) 15 78 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA 99 95 90 ro E o SO 70 t: "C ro 31 :5ro 50 .c e o. 30 Ql "C ::!< o 20 10 5 ¡g¡m ~.;:i' -3.8 -1.55 2.95 0.7 5.2 Residual Figura 3-4 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 3-1. Una anomalía muy común que suele ponerse de manifiesto en las gráficas de probabilidad normal es un residual que es mucho más grande que cualquier otro. A un residual así se le llama con frecuencia punto atípico. La presencia de uno o más puntos atípicos puede introducir serias distorsiones en el análisis de varianza, por lo que cuando se localiza un punto atípico potencial, se requiere una investigación atenta. En muchas ocasiones, la causa del punto atípico es un error en los cálculos o un error al codificar o copiar los datos. Si no es ésta la causa, las circunstancias experimentales que rodean esta corrida particular deben estudiarse con atención. Si la respuesta atípica ocurre en un valor particularmente deseable (alta resistencia, costo bajo, etc.), el punto atípico puede ser más informativo que el resto de los datos. Deberá tenerse cuidado de no rechazar o descartar una observación atípica a menos que se tengan razones no estadísticas de peso para hacerlo. En el peor de los casos, puede terminarse con dos análisis; uno con el punto atípico y uno sin él. Existen varios procedimientos estadísticos formales para detectar puntos atípicos (por ejemplo, ver Barnett y Lewis [8], John YPrescott [60] YStefansky [107]). Puede hacerse una verificación aproximada de los puntos atípicos examinando los residuales estandarizados e .. d = __9 (3 18) ij .JMSE - 3-4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO 79 Si los errores cij son N(O, 02), los residuales estandarizados deberán ser aproximadamente normales con media cero y varianza unitaria. Por lo tanto, cerca de 68% de los residuales estandarizados deberán estar incluidos dentro de los límites ±1, cerca de 95% de ellos deberán estar incluidos dentro de ±2 y virtualmente todos ellos deberán estar incluidos dentro de ±3. Un residual mayor que 3 o 4 desviaciones estándar a partir de cero es un punto atípico potencial. Para los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1, la gráfica de probabilidad normal no produce indicio alguno de puntos atípicos. Además, el residual estandarizado mayor es d 13 =~=~= 5.2 =1.83 .JMSE .J8.06 2.84 el cual no deberá ser motivo de preocupación. 3~4.2 Gráfica de los residuales en secuencia en el tiempo La graficación de los residuales en el orden temporal de la recolección de los datos es útil para detectar correlaciones entre los residuales. Una tendencia a tener corridas de residuales positivos y negativos indica una correlación positiva. Esto implicaría que el supuesto de independencia de los errores ha sido violado. Se trata de un problema potencialmente serio y cuya solución es difícil, por lo que de ser posible es importante evitar el problema cuando se colecten los datos. La aleatorización adecuada del experimento es un paso importante para conseguir la independencia. En ocasiones las habilidades del experimentador (o los sujetos) pueden cambiar conforme el experimento avanza, o el proceso bajo estudio puede "vagar sin rumbo" o volverse más errático. Esto producirá con frecuencia un cambio en la varianza del error con el tiempo. Esta condición suele llevar a una gráfica de los residuales contra el tiempo que muestra una dispersión mayor en uno de sus extremos que en el otro. Una varianza no constante es un problema potencialmente serio. En las secciones 3-4.3 y 3-4.4 se abundará sobre el tema. En la tabla 3-6 se muestran los residuales y la secuencia en el tiempo de la recolección de los datos para el experimento de la resistencia a la tensión. En la figura 3-5 se presenta una gráfica de estos residua6 • 5 • 4 3 • 2 . ro :::;. :J :2 • • • •• • • 1 • • 5 o '" -1 a: ID 20 15 • Tiempo • -2 -3 -4 • • • • • • •• -5 -6 Figura 3·5 Gráfica de los residuales contra el tiempo. 80 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA les contra el tiempo. No hay razón para sospechar cualquier violación de los supuestos de independencia o de una varianza constante. 3,4.3 Gráfica de los residuales contra los valores ajustados Si el modelo es correcto y se satisfacen los supuestos, los residuales deberán estar sin estructura; en particular, no deberán estar relacionados con ninguna otra variable, incluyendo la respuesta predicha. Una verificación simple es graficar los residuales contra los valores ajustados Y¡j' (Para el modelo de un experimento con un solo factor, recuerde que Yij = Yi.> el promedio del tratamiento i-ésimo.) Esta gráfica no deberá mostrar ningún patrón obvio. En la figura 3-6 se grafican los residuales contra los valores ajustados para los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1. No es evidente ninguna estructura inusual. Un defecto que sale a relucir en ocasiones en esta gráfica es una varianza no constante. En ocasiones la varianza de las observaciones se incrementa cuando la magnitud de la observación se incrementa. Éste sería el caso si el error o ruido de fondo del experimento fuera un porcentaje constante de la magnitud de la observación. (Esto ocurre comúnmente con muchos instrumentos de medición; el error es un porcentaje de la escala de medición.) Si éste fuera el caso, los residuales se harían mayores conforme Yij se hiciera más grande, y la gráfica de los residuales contraYij se vería como un embudo o un megáfono con la boca hacia afuera. Una varianza no constante también surge en los casos en que los datos siguen una distribución no normal, sesgada, porque en las distribuciones sesgadas la varianza tiende a ser una función de la media. Si se viola el supuesto de la homogeneidad de las varianzas, la prueba F sólo resulta afectada ligeramente en el modelo balanceado (el mismo tamaño de la muestra en todos los tratamientos) con efectos fijos. Sin embargo, en diseños no balanceados o en casos en que una de las varianzas es considerablemente más grande que las demás, el problema es más grave. Específicamente, si los niveles del factor que tienen las varianzas mayores corresponden también con los tamaños de las muestras más pequeños,· el índice de error tipo 1 real es mayor que lo previsto (o los intervalos de confianza tienen niveles de confianza reales más bajos que los que fueron especificados). Recíprocamente, si los niveles del factor con las varianzas mayores tienen también los tamaños de las muestras mayores, los niveles de significación son mucho menores que lo anticipado (los niveles de confianza son más altos). Ésta es una buena razón para escoger tamaños de las muestras iguales siempre que sea posible. Para los modelos con efectos aleatorios, las 6 • 5 • 4 3 2 ro -E '¡¡; -• • ri.>::;O • • • Ol-----'----J..:.----'----L.----l..5 al c:r: -1 10 •• 15 Yij -2 -3 -4 • • 25 20 • • • -5 -6 Figura 3·6 Gráfica de los residuales contra los valores ajustados. 3-4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO 81 varianzas del error diferentes pueden introducir alteraciones significativas en las inferencias sobre los componentes de la varianza, incluso cuando se usan diseños balanceados. El enfoque usual para abordar el problema de una varianza no constante que ocurre por las razones expuestas antes consiste en aplicar una transformación para estabilizar la varianza para correr después el análisis de varianza en los datos transformados. En este enfoque, deberá tenerse presente que las conclusiones del análisis de varianza se aplican a las poblaciones trans!01madas. Se han dedicado considerables esfuerzos de investigación a la selección de una transformación adecuada. Si los experimentadores conocen la distribución teórica de las observaciones, pueden hacer uso de esta información para elegir la transformación. Por ejemplo, si las observaciones siguen la distribución de poisson, se usaría la transformación de la raíz cuadrada Y~ = o Y~ = ~1 + Yij' Si los datos siguen la distribución lognormal, la transformación logarítmica Y~ = log Yij es adecuada. Para datos binomiales expresados como fracciones, la transformación arcseny~ = arcsenJY;; es útil. Cuando no hay una transformación obvia, el experimentador realizará por lo general la búsqueda empírica de una transformación que iguale la varianza independientemente del valor de la media. Al final de esta sección se ofrecen algunos consejos al respecto. En los experimentos factoriales, los cuales se introducen en el capítulo 5, otro enfoque es seleccionar una transformación que minimice el cuadrado medio de las interacciones, siendo el resultado un experimento cuya interpretación es más sencilla. En el capítulo 14 se revisan con mayor detalle los métodos para seleccionar analíticamente la forma de la transformación. Las transformaciones que se hacen para la desigualdad de la varianza afectan también la forma de la distribución del error. En la mayoría de los casos, la transformación hace que la distribución del error esté más cerca de la distribución normal. Para más detalles sobre las transformaciones, referirse a Bartlett [7], Box y Cox [15], Dolby [38] y Draper y Hunter [39]. ¡y;; Pruebas estadísticas para la igualdad de la varianza Aun cuando es frecuente el uso de las gráficas residuales para diagnosticar la desigualdad de la varianza, se han propuesto también varias pruebas estadísticas. Estas pruebas pueden considerarse como pruebas formales de las hipótesis Ho:o¡ =o~ = "'=0; H 1 : el enunciado anterior no es verdadero para al menos una o¡ Un procedimiento muy utilizado es la prueba de Bartlett. El procedimiento incluye el cálculo de un estadístico cuya distribución de muestreo está aproximada muy de cerca por la distribución ji-cuadrada con a - 1 grados de libertad cuando las a muestras aleatorias son de poblaciones normales independientes. El estadístico de prueba es x~ = 2.3026 1 (3-19) c donde q=(N-a)loglo c=1+ 1 3(a-1) S~ - (! ! 2 (ni -1)10glO Si i=l (n¡-1 r1 -(N-a r1 ) i=l a 2: (n¡ -1)S; S2 = ..o.i=-"l P y S¡2 _ N-a es la varianza muestral de la población i-ésima. 82 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA La cantidad q es grande cuando la diferencia entre las varianzas muestrales Si2 es considerablemente grande, y es igual a cero cuando todas las S¡ son iguales. Por lo tanto, H o deberá rechazarse para los valores de X~ que sean muy grandes; es decir, se rechaza H o sólo cuando 2 X o >X2a,a-l donde X~.a-l es el punto porcentual a superior de la distribución ji-cuadrada con a - 1 grados de libertad. También podría usarse el enfoque del valor P para tomar una decisión. La prueba de Bartlett es muy sensible al supuesto de normalidad. Por consiguiente, cuando la validez de este supuesto está en duda, no deberá usarse la prueba de Bartlett. EJEMPLO 3-4 . Ya que el supuesto de normalidad no está en entredicho, la prueba de Bartlett puede aplicarse a los datos de la resistencia a la tensión del experimento del peso porcentual de algodón del ejemplo 3-1. Se calculan primero las varianzas muestrales de cada tratamiento y se encuentra que S12 = 11.2, S~ = 9.8, si = 4.3, = 6.8 YS; = 8.2. Entonces si S2 = 4(11.2)+4(9.8)+4(4.3)+4(6.8)+4(8.2) = 8.06 20 p q = 20 10glO (8.06)- 4[10glO 11.2+ 10glO 9.8+ 10glO 4.3+ loglo 6.8+ 10glO 8.2] = 0.45 c= 1+ 3(14) (%- ;0)= 1.10 y el estadístico de prueba es X2 = 2.3026 (0.45) = 0.93 o (1.10) Puesto que X ~.05. 4 = 9.49, no puede rechazarse la hipótesis nula y se concluye que las cinco varianzas son iguales. Se trata de la misma conclusión a la que se llegó al analizar la gráfica de los residuales contra los valores ajustados. Debido a que la prueba de Bartlett es sensible al supuesto de normalidad, puede haber situaciones en las que sería útil un procedimiento alternativo. Anderson y McLean [2] presentan una atinada revisión de algunas pruebas estadísticas de la igualdad de la varianza. La prueba de Levene modificada (ver Levene [72] y Conover, Johnson y Johnson [31]) es un procedimiento muy útil que es robusto en cuanto a las desviaciones de la normalidad. Para probar la hipótesis de que las varianzas son iguales en todos los tratamientos, la prueba de Levene modificada utiliza la desviación absoluta de las observaciones Yij de cada tratamiento de la mediana de los tratamientos, por ejemplo y;. Sea que estas desviaciones se denoten por _{i = 1, 2, ..., d¡j =IYij - Yil J"= 1, 2, ... , a l' "i La prueba de Levene modificada evalúa entonces si la media de estas desviaciones es igual ó no para todos los tratamientos. Cuando las desviaciones medias son iguales, las varianzas de las observaciones de 3-4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO Datos de la descarga pico Método de estimación 0.12 0.34 1 0.91 2 2.94 6.31 8.37 3 17.15 4 11.82 83 Tabla 3-7 Método de estimación 1 2 3 4 Observaciones 1.23 2.14 9.75 10.95 0.70 2.36 6.09 17.20 Y¡. 1.75 2.86 9.82 14.35 0.12 4.55 7.24 16.82 0.71 2.63 7.93 14.72 Ji; 0.520 2.610 7.805 15.59 s¡ 0.66 1.09 1.66 2.77 Desviaciones d¡¡ para la prueba de Levene modificada 0.18 1.70 1.495 1.56 0.40 0.33 0.565 3.77 0.71 0.47 1.945 4.64 0.18 0.25 1.715 1.61 1.23 0.25 2.015 1.24 0.40 1.94 0.565 1.23 todos los tratamientos serán iguales. El estadístico de prueba para la prueba de Levene es simplemente el estadístico F ANOVA usual para probar la igualdad de las medias que se aplica a las desviaciones absolutas. EJEMPLO 3 ~ 5 ............................... Un ingeniero civil está interesado en determinar si cuatro métodos diferentes para estimar la frecuencia de las inundaciones producen estimaciones equivalentes de la descarga pico cuando se aplican a la misma cuenca. Cada procedimiento se usa seis veces en la cuenca, y los datos de las descargas resultantes (en pies cúbicos por segundo) se muestran en la parte superior de la tabla 3-7. El análisis de varianza de los datos, el cual se resume en la tabla 3-8, implica que hay una diferencia en las estimaciones de la descarga pico promedio obtenidas en los cuatro procedimientos. La gráfica de los residuales contra los valores ajustados, la cual se muestra en la figura 3-7, es preocupante porque la forma de embudo con la boca hacia afuera indica que no se satisface el supuesto de una varianza constante. Se aplicará la prueba de Levene modificada a los datos de la descarga pico. La parte superior de la tabla 3-7 contiene las medianas de los tratamientos Ji; y la parte inferior contiene las desviaciones dij alrededor de las medianas. La prueba de Levene consiste en realizar un análisis de varianza estándar en las dijo El estadístico de pruebaF que resulta en este caso es Fa = 4.55, para el cual el valor Pes P = 0.0137. Por lo tanto, la prueba de Levene rechaza la hipótesis nula de que las varianzas son iguales, coincidiendo en esencia con el diagnóstico que se hizo a partir del examen visual de la figura 3-7. Los datos de la descarga pico son un buen candidato para una transformación de datos. Selección empírica de una transformación Se señaló ya que si los experimentadores conocieran la relación entre la varianza de las observaciones y la media, podrían usar esta información como guía para la selección de la forma de la transformación. Se Tabla 3-8 Análisis de varianza de los datos de la descarga pico Fuente de Suma de Grados de variación cuadrados libertad Métodos 708.3471 3 Error 20 62.0811 Total 23 770.4282 Cuadrado medio 236.1157 3.1041 Valor P 76.07 <0.001 84 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA 4 3 2 ::::- '" o -1 • a •• • • •• I • -2 •• • • • • • -3 -4 o 5 Figura 3·7 Gráfica de los residuales contra Yij para el ejemplo 3-5. desarrolla ahora este punto y se presenta un método para seleccionar empíricamente la forma de la transformación requerida de los datos. SeaE(y) = ¡tIa media dey, y suponga que la desviación estándar dey es proporcional a una potencia de la media de y tal que Quiere encontrarse una transformación de y que produzca una varianza constante. Suponga que la transformación es una potencia de los datos originales, por ejemplo i'=yA (3-20) Puede demostrarse entonces que a y' oc 11 A+a-l (3-21) t'" Evidentemente, si se hace A = 1 - a, la varianza de los datos transformados y* es constante. En la tabla 3-9 se resumen varias de las transformaciones comunes analizadas anteriormente. Observe que A = O implica la transformación logarítmica. Estas transformaciones se enlistan en el orden de fuerza creciente. Por fuerza de una transformación se entiende la cantidad de curvatura que induce. Una transformación suave aplicada a datos que se extienden en un rango estrecho tiene escaso efecto sobre el Tabla 3-9 Transformaciones para estabilizar la varianza Relación entre OyY fl a o 1/2 1 3/2 2 A=l-a 1 1/2 O -1/2 -1 Transformación Sin transformación Raíz cuadrada Log Raíz cuadrada recíproca Recíproco Comentario Datos (números) de Poisson 3-4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO 85 1.5 • 1.0 • 0.5 CIjO> E • O -0.5 • -1 Figura 3-8 Gráfica de lag Si contra logy,. para los datos de la descarga pico del ejemplo 3-5. análisis, mientras que una transformación fuerte aplicada en un rango amplio puede tener resultados dramáticos. Con frecuencia las transformaciones tienen escaso efecto a menos que el cociente YrnáJ/Yrnín sea mayor que 2 o 3. En muchas situaciones de diseño experimental en las que se usan réplicas, a puede estimarse empíricamente a partir de los datos. Puesto que la combinación i-ésimo de los tratamientos a Yi ex: fl ~ = 8,u ~ , donde 8 es una constante de proporcionalidad, pueden tomarse logaritmos para obtener loga Yi = 10g8+alog,ui (3-22) Por lo tanto, una gráfica de lag a Yi contra log,ui sería una línea recta con pendiente a. Puesto que no se conocen a Yi y,u¡, pueden sustituirse estimaciones razonables de ellos en la ecuación 3-22 Yusar la pendiente del ajuste de la línea recta resultante como estimación de a. De manera típica, se usaría la desviación estándar Si y el promedio y¡. del tratamiento i-ésimo (o, en términos más generales, la combinación i-ésima de los tratamientos o conjunto de condiciones experimentales) para estimar a Yi y ,u¡. Para investigar la posibilidad de usar una transformación para estabilizar la varianza en los datos de la descarga pico del ejemplo 3-5, en la figura 3-8 se grafica lag S¡ contra logy¡.. La pendiente de la recta que pasa por estos cuatro puntos está cerca de 1/2 y, por la tabla 3-9, esto implica que la transformación de la raíz cuadrada puede ser apropiada. El análisis de varianza de los datos transformadosy* = vy se presenta en la tabla 3-10, y en la figura 3-9 se muestra una gráfica de los residuales contra la respuesta predicha. Esta gráfica residual muestra una mejoría sensible en comparación con la figura 3-7, por lo que se concIuTabla 3·10 Análisis de varianza de los datos transformados de la descarga pico, y* = yY Fuente de variación Métodos Error Thtal Suma de cuadrados Grados de libertad 32.6842 2.6884 35.3726 3 19 22 Cuadrado medio 10.8947 0.1415 ValorP 76.99 <0.001 86 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA 1.00 0.75 • • -0.25 • • ••• -0.50 • 0.50 • 0.25 O ,iJ::' -0.75 • • I • • 110 • •• ti -1.00 • O Figura 3-9 Gráfica de los residuales de los datos transformados contra yij para los datos de la descarga pico del ejemplo 3-5. ye que la transformación de la raíz cuadrada ha sido útil. Observe que en la tabla 3-10 se han reducido los grados de libertad del error en 1 para tomar en consideración el uso de los datos para estimar el parámetro de la transformación a. En la práctica, muchos experimentadores seleccionan la forma de la transformación probando varias alternativas y observando el efecto de cada transformación en la gráfica de los residuales contra la respuesta predicha. Entonces se selecciona la transformación que produjo la gráfica residual más satisfactoria. 3~4.4 Gráficas de los residuales contra otras variables Si se hán recolectado datos de cualesquiera otras variables que posiblemente pudieran afectar la respuesta, los residuales deberán graficarse contra estas variables. Por ejemplo, en el experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1, la resistencia puede ser afectada de manera significativa por el espesor de la fibra, por lo que los residuales deberán graficarse contra el espesor de la fibra. Si se usaron diferentes máquinas de prueba para recolectar los datos, los residuales deberán graficarse contra las máquinas. Los patrones en tales gráficas residuales implican que la variable afecta la respuesta. Esto sugiere que la variable debería controlarse con mayor atención en experimentos futuros o que debería incluirse en el análisis. 3~5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS Después de realizar el experimento, llevar a cabo el análisis estadístico e investigar los supuestos fundamentales, el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio. Muchas veces esto es relativamente fácil, y ciertamente en los experimentos sencillos que s.e han considerado hasta este punto, esto podría hacerse de manera un tanto informal, tal vez mediante la inspección de las representaciones gráficas, como los diagramas de caja y el diagrama de dispersión de las figuras 3-1 y 3-2. Sin embargo, en algunos casos es necesario aplicar técnicas más formales. En esta sección se presentarán algunas de ellas. 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 3~5.1 87 Un modelo de regresión Los factores que intervienen en un experimento pueden ser cuantitativos o cualitativos. Un factor cuantitativo es aquel cuyos niveles pueden asociarse con puntos en una escala numérica, como la temperatura, la presión o el tiempo. Los factores cualitativos, por otra parte, son aquellos cuyos niveles no pueden ordenarse por magnitud. Los operadores, los lotes de materia prima y los cambios de tumo son factores cualitativos típicos, ya que no existe ninguna razón para ordenarlos bajo algún criterio numérico particular. En lo que se refiere al diseño inicial y al análisis del experimento, ambos tipos de factores se tratan de manera idéntica. El experimentador está interesado en determinar las diferencias, en caso de haberlas, entre los niveles de los factores. Si el factor es cualitativo, como los operadores, no tiene sentido considerar la respuesta de una corrida subsecuente en un nivel intermedio del factor. Sin embargo, con un factor cuantitativo como el tiempo, el experimentador tiene interés por lo general en el rango completo de los valores usados, particularmente la respuesta de una corrida subsecuente con un nivel intermedio del factor. Es decir, si se usan los niveles 1.0, 2.0 Y3.0 en el experimento, tal vez quiera predecir la respuesta de 2.5 horas. Por lo tanto, el experimentador tiene con frecuencia interés en desarrollar una ecuación de interpolación para la variable de respuesta del experimento. Esta ecuación es un modelo empírico del proceso que se ha estudiado. Al enfoque general para ajustar modelos empíricos se le llama análisis de regresión, el cual se analiza en detalle en el capítulo 10. Véase también el material suplementario del texto para este capítulo. En esta sección se ilustra brevemente la técnica utilizando los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1. En la figura 3-10 se presenta el diagrama de dispersión de la resistencia a la tensión y contra el peso porcentual del algodón x en la tela para el ~xperimento del ejemplo 3-1. Los círculos huecos de la gráfica son las resistencias de tensión promedio para cada valor x del peso porcentual del algodón. A partir del examen del diagrama de dispersión, es evidente que la relación entre la resistencia a la tensión y el peso • 25 • ~ ",-X 20 '" ¿ 'o 15 .¡¡; c: :!l .!!! ro ro '0 c: :!l 10 .!!! 11I al a:: 5 ~ .. ~ • • Figura 3-10 Diagrama de dispersión para los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1. 88 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA porcentual del algodón no es lineal. Como una primera aproximación, podría intentarse ajustar un modelo cuadrático para los datos, por ejemplo donde/3o,/31 y/32 son parámetros desconocidos que deberán estimarse y [; es un término del error aleatorio. El método que se usa con mayor frecuencia para estimar los parámetros en un modelo como éste es el método de mínimos cuadrados. Éste consiste en elegir estimaciones de las /3 tales que minimicen la suma de cuadrados de los errores (las [;). El ajuste de mínimos cuadrados en el ejemplo que se considera aquí es y= -39.9886+4.596x- 0.0886x 2 (Si el lector no está familiarizado con los métodos de regresión, vea el 'capítulo 10 y el material suplementario del texto para este capítulo.) En la figura 3-10 se muestra este modelo cuadrático. No parece muy satisfactorio, ya que subestima de manera drástica las respuestas para x = 30% de algodón y sobrestima las respuestas para x = 25%. Quizá pueda lograrse un mejoramiento agregando un término cúbico enx. El ajuste con el modelo cúbico resultante es y= 62.6114- 9.0114x+0.4814x 2 - 0.0076x 3 Este ajuste cúbico se ilustra también en la figura 3-10. El modelo cúbico parece mejor que el cuadrático porque proporciona un ajuste mejor para x = 25 Y x = 30% de algodón. En general, sería preferible hacer el ajuste con el polinomio de orden menor que describa adecuadamente el sistema o proceso. En este ejemplo, el polinomio cúbico parece un mejor ajuste que el cuadrático, por lo que la complejidad adicional del modelo cúbico se justifica. Sin embargo, seleccionar el orden del polinomio de aproximación no siempre es fácil, y es relativamente sencillo excederse en el ajuste, es decir, agregar polinomios de orden superior que no mejoran en realidad el ajuste pero que incrementan la complejidad del modelo y con frecuencia demeritan su utilidad como predictor o ecuación de interpolación. En este ejemplo,.el modelo empírico podría usarse para predecir la resistencia a la tensión media para los valores del peso porcentual del algodón dentro de la región de experimentación. En otros casos, el modelo empírico podría usarse para la optimización del proceso, es decir, para encontrar los niveles de las variables del diseño que dan como resultado los mejores valores de la respuesta. Más adelante se analizarán e ilustrarán en detalle estos problemas. 3~5.2 Comparaciones entre las medias de los tratamientos Suponga que al hacer el análisis de varianza en el modelo con efectos fijos se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, hay diferencias entre las medias de los tratamientos, pero no se especifica exactamente cuáles medias difieren. En ocasiones pueden ser de utilidad en esta situación las comparaciones y los anáUsis adicionales entre grupos de las medias de los tratamientos. La media del tratamiento i-ésimo se define como fl.¡ =fl. + ti' y fl.¡ se estima con y¡.. Las comparaciones entre las medias de los tratamientos se hacen ya sea en términos de los totales de los tratamientos {y¡'} o bien de los promedios de los tratamientos {jIJ. Es común llamar a los procedimientos para hacer estas comparaciones métodos de comparaciones múltiples. En varias de las secciones siguientes se analizan los métodos para hacer comparaciones entre las medias de los tratamientos individuales o de grupos de estas medias. 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 3..5.3 89 Comparaciones gráficas de medias Es muy sencillo desarrollar un procedimiento gráfico para la comparación de las medias después de un análisis de varianza. Suponga que el factor de interés tiene a niveles y que Y1.'Y2., ...,Ya. son los promedios de los tratamientos. Si se conoce a, el promedio de cualquier tratamiento tendría una desviación estándar aNli. Por consiguiente, si todas las medias de los niveles del factor son idénticas, las medias muestrales observadas Y¡. se comportarían como un conjunto de observaciones tomadas al azar de una distribución normal con mediaY.. y desviación estándar a/..[ii. Visualice una distribución normal con la capacidad de ser deslizada sobre un eje abajo del cual están graficadasY1.'Y2., ... ,Ya.. Si todas las medias de los tratamientos son iguales, deberá haber una posición de esta distribución que haga evidente que los valores y¡. se sacaron de la misma distribución. Si no es éste el caso, los valores Y¡. que no parecen haberse sacado de esta distribución se asocian con los niveles del factor que producen respuestas medias diferentes. La única falla en esta lógica es que a es desconocida. Sin embargo, puede sustituirse a con .JMS E del análisis de varianza y usar una distribución t cQn un factor de escalación.J MS E/n en lugar de la distribución·normal. En la figura 3-11 se muestra este arreglo para los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1. Para trazar la distribución t de la figura 3-11, simplemente se multiplica el valor de la abscisa t por el factor de escalación .JMSE / n = .J8.06/ 5 = 1.27 y se grafica contra la ordenada de t en ese punto. Dada la gran similitud entre la distribución t y la normal, excepto porque la primera es un poco más plana cerca del centro y tiene colas más largas, por lo general este trazo se construye fácilmente a ojo. Si quiere obtenerse mayor precisión, en Box, Hunter y Hunter [18] se incluye una tabla de los valores de las abscisas t y las ordenadas correspondientes. La distribución puede tener un origen arbitrario, aun cuando por lo general es mejor uno que esté en la región de los valores Y¡. que van a compararse. En la figura 3-11, el origen es 15 lb/pulg2 • Visualice ahora el desplazamiento de la distribución t de la figura 3-11 sobre el eje horizontal y examine las cinco medias graficadas en la figura. Observe que no hay ninguna posición de la distribución tal que los cinco promedios puedan considerarse como observaciones típicas seleccionadas al azar de la distribución. Esto implica que las cinco medias no son iguales; por lo tanto, la figura es una representación gráfica de los resultados del análisis de varianza. La figura indica que 30% de algodón produce resistencias a la tensión mucho más altas que 20 o 25 por ciento de algodón (las cuales son aproximadamente iguales), y que 15 o 35 por ciento de algodón (las cuales son aproximadamente iguales) producirían resistencias a la tensión aún más bajas. 25 5 10 15 • 30 20 • 25 Resistencia a la tensión promedio (lb/pulg 2 ) Figura 3-11 Promedio de la resistencia a la tensión del experimento del peso porcentual del algodón en relación con una distribución t con un factor de escalación .JMSE / n =.JS.D6 / 5 =127. 90 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Este procedimiento simple es una técnica aproximada pero eficaz en muchos problemas de comparaciones múltiples. Sin embargo, existen métodos más formales. A continuación se presenta una breve revisión de algunos de estos procedimientos. 3..5.4 Contrastes Muchos métodos de comparaciones múltiples utilizan el concepto de contraste. Considere el problema de la prueba de la fibra sintética del ejemplo 3-1. Puesto que se rechazó la hipótesis nula, se sabe que algunos pesos porcentuales del algodón producen resistencias a la tensión diferentes que otros, pero, ¿cuáles son los que causan en realidad esta diferencia? Al principio del experimento podría sospecharse que los niveles 4 y 5 del peso porcentual del algodón (30 y 35 por ciento) producen la misma resistencia a la tensión, lo cual implicaría que la hipótesis por probar sería H o : fl4 = fls H l :fl4 ;é fls o, de manera equivalente, H o : ¡l4 - fls =O (3-23) H l :fl4-fls ;é0 Si desde el principio del experimento se hubiera sospechado que el promedio de los niveles más bajos del peso porcentual del algodón (1 y 2) no difería del promedio de los niveles más altos del peso porcentual del algodón (4 Y 5), entonces la hipótesis habría sido Ho:fll +flz = fl4 +fls Hl:fll +flz ;é fl4 +fls o Ho:fll +flz H l : fll + flz - -fl4 -fls fl4 - fls =O (3-24) =O En general, un contraste es una combinación lineal de parámetros de la forma donde las constantes de los contrastes cl , Cz, oo., ca suman cero; es decir, L ~=l c¡ riores pueden expresarse en términos de contrastes: :! :! Ho c¡fl¡ =O (3-25) ¡=1 Hl i=1 = O. Las dos hipótesis ante- C¡fl¡;é O 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 91 Las pruebas de hipótesis que incluyen contrastes pueden hacerse de dos maneras básicas. En el primer método se utiliza la prueba t. El contraste de interés se escribe en términos de los totales de los tratamientos, obteniéndose c=! • i=l La varianza de C es a V(C) = n0 2 2: c; (3-26) ¡=1 cuando los tamaños de las muestras de cada tratamiento son iguales. Si la hipótesis nula de la ecuación 3-25 es verdadera, el cociente i=1 tiene la distribuciónN(O, 1). Entonces se sustituiría la varianza desconocida a2 con su estimación, el error cuadrático medio MSE' y se utilizaría el estadístico (3-27) para probar las hipótesis de la ecuación 3-25. La hipótesis nula se rechazaría si It oI de la ecuación 3-27 excede tal2, N-a' En el segundo enfoque se utiliza la prueba F. Entonces, el cuadrado de una variable aleatoria t con v grados de libertad es una variable aleatoria F con un grado de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador. Por lo tanto, puede obtenerse F.o = t o2 ! ( = Ci y¡.)2 1=1 nMSE a 2: C; (3-28) i=1 como un estadístico F para probar la ecuación 3-25. La hipótesis nula se rechazaría si Fo > Fa ,1,N-a' Este estadístico de prueba de la ecuación 3-28 puede escribirse como MS c SSc /1 Fo = MS = MS E E donde la suma de cuadrados de los contrastes con un solo grado de libertad es (! C¡Yi.)2 n! C¡2 = ...:..:....1=~1_ _-'--- SS C i=1 (3-29) 92 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Intervalo de confianza para un contraste En lugar de probar hipótesis acerca de un contraste, puede ser más útil construir un intervalo de confianza. Entonces el contraste suele expresarse en términos de los promedios de los tratamientos Yi. Suponga que el contraste de interés es r=}: i=1 Al sustituir las medias de los tratamientos con los promedios de los tratamientos se obtiene y 2 a L c; n V(C)=~ i=1 cuando los tamaños de las muestras son iguales. Si se usaMSE para estimar cJ2, el intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para el contraste "L~=1cdti es (3-30) Evidentemente, si este intervalo de confianza incluye al cero, no podría rechazarse la hipótesis nula en fa ecuación 3-25. Contraste estandarizado Cuando hay interés en más de un contraste, con frecuencia es útil evaluarlos en la misma escala. Una forma de hacer esto es estandarizando el contraste para que su varianza sea a2 • Si el contraste "L~=1Cif.1i se expresa en términos de los totales de los tratamientos como "L ~=1 C i Yi. , al dividirlo por ~ n"L ~=1 c; se obtendrá un contraste estandarizado con varianza cJ2. Entonces el contraste estandarizado es en realidad donde Tamaños de las muestras desiguales Cuando los tamaños de las muestras de cada tratamiento son diferentes, se introducen modificaciones menores en los resultados anteriores. Primero, observe que la definición de un contraste requiere ahora que a ~ n.c. =0 L.J ~. l i=1 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 93 Otros cambios requeridos son directos. Por ejem'plo, el estadístico t de la ecuación 3-27 queda como y la suma de cuadrados de los contrastes de la ecuación 3-29 queda como 3~5.5 Contrastes ortogonales Un caso especial útil del procedimiento de la sección 3-5.4 es el de los contrastes ortogonales. Dos contrastes con coeficientes {cJ y {dJ son ortogonales si ! c¡d¡ =O ¡=1 o, para un diseño no balanceado, si ! n¡c¡d¡ =0 ¡=1 Para a tratamientos, el conjunto de a -1 contrastes ortogonales hace la partición de la suma de cuadrados debida a los tratamientos en a - 1 componentes independientes con un solo grado de libertad. Por lo tanto, las pruebas que se realizan en los contrastes ortogonales son independientes. Existen varias maneras de elegir los coeficientes de los contrastes ortogonales para un conjunto de tratamientos. En general, algún elemento en la naturaleza del experimento deberá sugerir las comparaciones que son de interés. Por ejemplo, si haya = 3 tratamientos, donde el tratamiento 1 es de control y donde los niveles del factor en los tratamientos 2 y 3 son de interés para el experimentador, los contrastes ortogonales apropiados podrían ser los siguientes: Tratamiento 1 (control) 2 (nivel 1) 3 (nivel 2) Coeficientes de los contrastes ortogonales -2 o 1 1 -1 1 Observe que el contraste 1 con c¡ = -2, 1, 1 compara el efecto promedio del factor con el control, mientras que el contraste 2 con di = O, -1, 1 compara los dos niveles del factor de interés. En general, el método de contrastes (o de contrastes ortogonales) es útil para lo que se llama comparaciones preplaneadas. Es decir, los contrastes se especifican antes de llevar a cabo el experimento y de examinar los datos. La razón de esto es que, si las comparaciones se seleccionan después de examinar los I!i! 1, · ¡ :i '··1'·..1. ~ ii li: li 94 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA datos, la mayoría de los experimentadores construirían pruebas que corresponderían con las diferencias grandes observadas en las medias. Estas diferencias grandes podrían ser el resultado de la presencia de efectos reales o podrían ser el resultado del error aleatorio. Si los experimentadores se inclinan consistentemente a escoger las diferencias más grandes para hacer las comparaciones, inflarán el error tipo 1 de la prueba porque es probable que, en un porcentaje inusualmente elevado de las comparaciones seleccionadas, las diferencias observadas serán el resultado del error. Al examen de los datos para seleccionar las comparaciones de interés potencial se le llama con frecuencia curioseo o sondeo de datos. El método de Scheffé para todas las comparaciones, el cual se comenta en la sección siguiente, permite el curioseo o sondeo de datos. . EJEMPLO 3..6 Considere los datos del ejemplo 3-1. Hay cinco medias de los tratamientos y cuatro grados de libertad entre estos tratamientos. Suponga que antes de correr el experimento se especificó la siguiente serie de comparaciones entre las medias de los tratamientos (y sus contrastes asociados): Contraste Hipótesis H O:f.l4 = f.l5 C¡ = Ho:f.ll + f.l3 = f.l4 + f.l5 C2 = Y!. +Y3.-Y4.-Y5. C3 = YI. -Y3. C4 = -Y!. + 4Y2. - Y3. - Y4. - Y5. Ho:f.ll =f.l3 H o:4f.l2 = f.ll + f.l3 + f.l4 + f.l5 -Y4+Y5. Observe que los coeficientes de los contrastes son ortogonales. Utilizando los datos de la tabla 3-4, se encuentra que los valores numéricos de los contrastes y de las sumas de cuadnidos son los siguientes: c1 = -1(108)+1(54) = -54 ss C 2 =+1(49) + 1(88)-1(108)-1(54) = -25 SS C3 = +1(49) -1(88) =-39 C4 = -1(49)+4(77)-1(88)-1(108)-1(54) = 9 Cl = (-54)2 = 291.60 5(2) C2 = (-25)2 5(4) c, = (-39)2 = 152.10 5(2) SS SS 31.25 ( 9)2 =--=0.81 c, 5(20) Tabla 3-11 Análisis de varianza de los datos de la resistencia a la tensión Fo 14.76 Valor P 4 Cuadrado medio 118.94 (291.60) (31.25) (152.10) (0.81) 1 1 1 1 291.60 31.25 152.10 0.81 36.18 3.88 18.87 0.10 <0.001 0.06 <0.001 0.76 Error 161.20 20 8.06 Total 636.96 24 Fuente de variación Peso porcentual del algodón contrastes ortogonales C¡:f.l4 = f.l5 C2:f.l1 + f.l3 = f.l4 + f.l5 C3:f.l1 =f.l3 C4:4f.l2 = f.ll + f.l3 + f.l4 + f.l5 Suma de cuadrados Grados de libertad 475.76 <0.001 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 95 Estas sumas de cuadrados de los contrastes hacen la partición completa de la suma de cuadrados de los tratamientos. Las pruebas de estos contrastes ortogonales se incorporan por lo general en el análisis de varianza, como se muestra en la tabla 3-11. Por los valores P se concluye que hay diferencias significativas entre los niveles 4 y 5 Y1 Y3 del peso porcentual del algodón, pero que el promedio de los niveles 1 y 3 no difiere del promedio de los niveles 4 y 5 con el nivel a = 0.05, Yque el nivel 2 no difiere del promedio de los otros cuatro niveles . • • • • 3~5.6 • • • • • • • • • • • • • (1 •••••• 1Il . Método de Scheffé para comparar todos los contrastes En muchas situaciones, los experimentadores pueden no conocer de antemano cuáles son los contrastes que quieren comparar, o pueden tener interés en más de a -1 posibles comparaciones. En muchos experimentos de exploración, las comparaciones de interés sólo se descubren después del examen preliminar de los datos. Scheffé [98a] ha propuesto un método para comparar todos y cada uno de los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos. En el método de Scheffé, el error tipo 1 es a lo sumo a para cualquiera de las comparaciones posibles. Suponga que se ha determinado un conjunto de m contrastes u=l, 2, ..., m (3-31) en las medias de los tratamientos de interés. El contraste correspondiente de los promedios de los tratamientos Yi. es C u = c1u J\ +C 2"Y2. + o" +cauYa. u=l, 2, ..., m (3-32) i ) (3-33) y el error estándar de este contraste es MsEI (c~ In SCu = i=1 donde ni es el número de observaciones en el tratamiento i-ésimo. Puede demostrarse que el valor crítico contra el que deberá compararse C" es Sa,u = SCu .J(a-1)Fa,a-1.N-a (3-34) Para probar la hipótesis de que el contraste r" difiere de manera significativa de cero, se compara C" con el valor crítico. Si IC" I > Sa,", se rechaza la hipótesis de que el contraste r" es igual a cero. El procedimiento de Scheffé puede usarse también para formar intervalos de confianza para todos los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos. Los intervalos resultantes, por ejemplo C u Sa.u ::5 r" ::5 Cu + Sa,u, son intervalos de confianza simultáneos por cuanto la probabilidad de que todos ellos sean verdaderos simultáneamente es al menos 1 - a. Para ilustrar el procedimiento, considere los datos del ejemplo 3-1 y suponga que los contrastes de interés son y r2 =¡,t1-¡,t4 Los valores numéricos de estos contrastes son C-+-h - )_4.i - -Ys. 1 - Yi = 9.80+ 17.60- 21.60-10.80 = 5.00 96 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA y Cz = Yr -Y4. = 9.80- 21.60 = -11.80 y los errores estándar se encuentran con la ecuación 3-33 como 5 Sc! = MSEL (c~/ni)=~8.06(1+1+1+1)/5=2.54 ¡=l y 5 SC, = MSEL (C;Z /ni)=~8.06(1+1)/5=1.80 i=l Por la ecuación 3-34, los valores críticos de 1% son SO.Ol,l = Sc¡ ~(a-1)Fo.Ol,a-l,N-a = 2.54~4( 4.43) = 10.69 y = Sc, ~(a -1 )FO.Ol,a-l,N-a = 1.80~4( 4.43) = 7.58 < SO.Ol,l' se concluye que el contraste r l = fll + fl3 - fl4 - fl5 es igual a cero; es decir, no SO,Ol,Z Puesto que ICll existe evidencia sólida para concluir que las medias de los tratamientos 1 y 3 como grupo difieren de las medias de los tratamientos 4 y 5 como grupo. Sin embargo, como ICzl > SO.Ol,Z' se concluye que el contraste r z = fll - fl4 no es igual a cero; es decir, las resistencias medias de los tratamientos 1 y 4 difieren significativamente. En muchas situaciones prácticas, querrán compararse sólo pares de medias. Frecuentemente, es posible determinar cuáles son las medias que difieren probando las diferencias entre todos los pares de medias de los tratamientos. Por 10 tanto, el interés se encuentra en los contrastes de la forma r = fli - flj para toda i :¡é j. Aun cuando el método de Scheffé podría aplicarse fácilmente a este problema, no es el procedimiento más sensible para tales comparaciones. Se pasa ahora a la consideración de los métodos diseñados específicamente para las comparaciones por pares entre todas las a medias poblacionales. 3~5. 7 Comparación de pares de medias de tratamientos Supongaque el interés se encuentra en comparar todos los pares de a medias de tratamientos y que las hipótesis nulas que quieren probarse son Ho:fl¡ = flj para toda i :¡é j. A continuación se presentan cuatro métodos para hacer estas comparaciones. Prueba de Tukey Suponga que, después de un análisis de varianza en el que se ha rechazado la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los tratamientos, quieren probarse todas las comparaciones de las medias por pares: Ho:fli=flj Hl:ft¡:¡é flj para toda i :¡é j. Tukey [ll1d] propuso un procedimiento para probar hipótesis para las que el nivel de significación global es exactamente a cuando los tamaños de las muestras son iguales y es a 10 sumo a cuando 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 97 los tamaños de las muestras no son iguales. Este procedimiento puede usarse también para contraer los intervalos de confianza para las diferencias en todos los pares de medias. Para estos intervalos, el nivel de confianza simultáneo es de 100(1 - a) por ciento cuando los tamaños de las muestras son iguales y de al menos 100(1- a) por ciento cuando los tamaños de las muestras no son iguales. Se trata de un procedimiento excelente para curiosear sobre los datos cuando el interés se centra en pares de medias. El procedimiento de Tukey hace uso de la distribución del estadístico del rango studentizado Ymáx - Ymio q = ----'~~M.====S:::::E=/n=- donde Ymáx YYrnín son las medias muestrales mayor y menor, respectivamente, sacadas de un grupo de p medias muestrales. La tabla VIII del apéndice contiene los valores de qaCp,j), los puntos porcentuales a superiores de q, donde f es el número de grados de libertad asociados con MSE • Para tamaños de las muestras iguales, la prueba de Tukey declara que dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede (3-35) De manera equivalente, podría construirse una serie de intervalos de confianza de 100(1- a) por ciento para todos los pares de medias de la siguiente manera: i ;é j. (3-36) Cuando los tamaños de las muestras no son iguales, las ecuaciones 3-35 y 3-36 quedan como (3-37) y respectivamente. A la versión para tamaños de las muestras diferentes se le llama en ocasiones el procedimiento Tukey-Kramer. EJEMPLO 3..7 ' . Para ilustrar la prueba de Tukey, se usan los datos del experimento del peso porcentual del algodón del ejemplo 3-1. Con a = 0.05 yf = 20 grados de libertad para el error, en la tabla VIII del apéndice se obtiene tio.os(S, 20) = 4.23. Por lo tanto, por la ecuación 3-35, To.os = qo.os (5, 20) ~MSE --n- = 4.23~8.06 -5- = 5.37 98 CAPÍTULO 3 5',. Ys. 9.8 10.8 Figura 3-12 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Resultados de la prueba de Tukey. Por lo tanto, cualquier par de promedios de los tratamientos que difieran en valor absoluto por más de 5.37 implicaría que el par correspondiente de medias poblacionales son significativamente diferentes. Los cinco promedios de los tratamientos son Yi = 9.8 Yz. = 15.4 Y4. = 21.6 Y3. = 17.6 Ys. = 10.8. y las diferencias en los promedios son Yi - Yz. = 9.8-15.4 = Yi - Y3. = 9.8-17.6 = Yi - Y4. = 9.8- 21.6 = Yi - Ys. = 9.8-10.8= Yz. -h =15.4-17.6= Yz. - Y4. = 15.4- 21.6 = Yz. - Ys. = 15.4-10.8= Y3. -Y4. =17.6-21.6= Y3. - Ys. = 17.6-10.8= Y4. - Ys. = 21.6-10.8= - 5.6 * -7.8* -11.8* -1.0 -2.2 - 6.2 * 4.6 -4.0 6.8* 10.8* Los valores marcados con asterisco indican pare¡; de medias que son significativamente diferentes. Suele ser útil trazar una gráfica, como la de la figura 3-12, donde se subraya a los pares de medias que no difieren significativamente. Esta gráfica da una indicación de que las medias de los tratamientos forman tres grupos: fi1 y fis, fiz Y fi3' Y fi4' Sin embargo, la pertenencia a estos grupos no es del todo clara. Cuando se utiliza cualquiera de los procedimientos para probar las medias por pares, ocasionalmente se encuentra que la pruebaF global del análisis de varianza es significativa, pero la comparación de las medias por pares falla para revelar cualquier diferencia significativa. Esta situación ocurre porque la prueba F considera simultáneamente todos los contrastes posibles en los que intervienen las medias de los tratamientos, no sólo las comparaciones por pares. Es decir, en los datos a la mano, quizá no todos los contrastes significativos sean de la forma fii - fij' Algunos paquetes de software de computadora presentan comparaciones por pares con intervalos de confianza. Para el procedimiento de Tukey, estos intervalos se calcularían con la ecuación 3-36 o la 3-38, dependiendo de si los tamaños de las muestras son iguales o no. La deducción del intervalo de confianza de Tukey de la ecuación 3-36 para tamaños de las muestras iguales es directa. Para el estadístico del rango studentizado q se tiene i)p( má:x(Yi. - JMSE/n fi min(Yi. - fi i ) < ( -qa a, f)) = 1- a 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 99 Si máx(Y¡. - f1.¡) - mín(Y¡. - f1.¡) es menor o igual que qaCa,f).J MS E /11, debe ser verdadero que I(Y¡. - f1.¡) - (yj. :::; qa(a, f).J MS E /11 para cada par de medias. Por lo tanto, f1.j) I ~ __ SE y. - y. - (f1.. - f1. . ) :::; q (a,f) ~SE) P -q (a,f) --:::; -11- = 1- a . a 11 J. J a ( l. 1 Al reordenar esta expresión para aislar f1.¡ - f1.j entre las desigualdades se llegará al conjunto de intervalos de confianza simultáneos de 100(1 - a) por ciento dado en la ecuación 3-38. El método de la diferencia significativa mínima (LSD) de Fisher En este procedimiento se utiliza el estadístico F para probar H o:f1.¡ = f1.j Y¡. - Yj. t o = ¡:::==;======¡= (3-39) MSE(~+~) 11¡ 11 j Suponiendo una hipótesis alternativa de dos colas, los pares de medias f.t¡ y f1.j se declararían significativamente diferentes si I)I¡. - )lj.1 > ta /Z N-a~ MS E (1 / 11¡ + 1/ 11 j ). A la cantidad LSD = ta/Z,N-a MSE(~+~) 11¡ (3-40) 11 j se le llama diferencia significativa mínima. Si el diseño es balanceado, 11 1 = LSD = t a / Z ,N-a ~2MSE -11- 11 z = ... = 11 a = 11, Y (3-41) Para usar el procedimiento LSD de Fisher, simplemente se compara la diferencia observada entre cada par de promedios conlaLSD correspondiente. Si I)I¡. -)lj.1 > LSD, se concluye que las medias poblacionales f1.¡ y f1.j difieren. EJEMPLO . 3~8 Para ilustrar el procedimiento, si se usan los datos del experimento del ejemplo 3-1, la LSD con a = 0.05 es ~2MSE LSD = t. 025 ,zo -11- = 2.086 ~2(8.06) 5 = 3.75 Por lo tanto, cualquier par de promedios de los tratamientos que difiera del valor absoluto por más de 3.75 implicaría que el par correspondiente de medias poblacionales es significativamente diferente. Las diferencias en los promedios son Yl - Yz. = 9.8-15.4 = Yl - J\ = 9.8-17.6 = Yl - Y4. = 9.8- 21.6 = Yl - )15. = 9.8-10.8= Yz. - )13. = 15.4-17.6 = )lz. - )14. = 15.4- 21.6 = )lz. - )15. = 15.4-10.8= )13. - )14. = 17.6- 21.6 = )13. - )15. = 17.6-10.8= )14. - )15. = 21.6-10.8= - 5.6* -7.8* -11.8* -1.0 - 2.2 - 6.2 * 4.6* - 4.0* 6.8* 10.8* ,1 ~¡ li !i 100 CAPÍTULO 3 Y,. Ys. 9.8 10.8 Figura 3-13 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Resultados del procedimiento LSD. Los valores marcados con asterisco indican pares de medias que son significativamente diferentes. En la figura 3-13 se resumen los resultados. Evidentemente, los únicos pares de medias que no difieren significativamente son 1 y 5 Y2 Y3, Yel tratamiento 4 produce una resistencia a la tensión significativamente mayor que los otros tratamientos. Observe que el riesgo global a puede inflarse de manera considerable al utilizar este método. Específicamente, cuando a se hace más grande, el error tipo I del experimento (el cociente del número de experimentos en los que se comete al menos un error tipo I y el número total de experimentos) se hace grande. Prueba del rango múltiple de Duncan Un procedimiento muy utilizado para comparar todos los pares de medias es la prueba del rango múltiple desarrollada por Duncan [41]. Para aplicar la prueba del rango múltiple de Duncan cuando los tamaños de las muestras son iguales, los a promedios de los tratamientos se arreglan en orden ascendente, y el error estándar de cada promedio se determina como S-Yi. = ~MSE -n- (3-42) Para tamaños de las muestras desiguales, se sustituye n en la ecuación 3-42 con la media armónica n¡, del {ni}' donde nh a =-a---- L (l/ni) (3-43) i=l Observe que si nI = n z = = na, nh = n. En la tabla de Duncan de los rangos significativos (tabla VII del apéndice) se obtienen los valores ra(p,j) parap = 2,3, oo., a, donde a es el nivel de significaciónyfes el número de grados de libertad del error. Estos rangos se convierten en un conjunto de a -1 rangos mínimos de significación (por ejemplo, Rp ) para p = 2, 3, ..., a calculando oo. parap = 2, 3, oo., a (3-44) Entonces, se prueban las diferencias observadas entre las medias, empezando con la más grande contra la menor, la cual se compararía con el rango mínimo de significaciónRa • Después se calcula la diferencia de la mayor y la segunda menor y se compara con el rango mínimo de significación R a -1' Estas comparaciones se continúan hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor. Por último, se calcula la diferencia entre la segunda media mayor y la menor y se compara con el rango mínimo de significación R a -1' Este proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias entre todos los a(a - 1)/2 pares de medias posibles. Si una diferencia observada es mayor que el rango de significación mínima correspondiente, se concluye que el par de medias en cuestión es significativamente diferente. Para evitar 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 101 contradicciones, ninguna de las diferencias entre un par de medias se considera significativa si las dos medias en cuestión se localizan entre otras dos medias que no difieren significativamente. EJEMPLO 3~9 0• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 • • • • • • • • • • • • • • • • La prueba del rango múltiple de Duncan puede aplicarse al experimento del ejemplo 3-1. Recuerde que MSE = 8.06, N = 25,12 = 5, Yhay 20 grados de libertad del error. Al arreglar los promedios de los tratamientos en orden ascendente, se tiene Yl = 9.8 Ys. = 10.8 Yz. = 15.4 Y3. = 17.6 h = 21.6 El error estándar de cada promedio es 8 Yi. = v'8.TI075 = 1.27. En el conjunto de rangos significativos de la tabla VII del apéndice para 20 grados de libertad y a = 0.05, se obtiene 'o.os(2, 20) = 2.95, 'o.os(3, 20) = 3.10, 'o.os(4, 20) = 3.18 Y 'o.os(5, 20) = 3.25. Por lo tanto, los rangos de significación mínima son R z ='o.os(2, 20)Syi. =(2.95)(1.27)=3.75 = 'o.os (3, R 4 = '0.05 (4, R s = '0.05 (5, R3 20)S Yi. 20)8 Yi. 20)S Yi. = (3.10)(1.27) = 3.94 = (3.18)(1.27) = 4.04 = (3.25)(1.27) = 4.13 Los resultados de las comparaciones serían 4 vs. 4 vs. 4 vs. 4 vs. 3 vs. 3 vs. 3 vs. 2 vs. 2 vs. 5 VS. 1: 5: 2: 3: 1: 5: 2: 1: 5: 1: 21.6 21.6 21.6 21.6 17.6 17.6 17.6 15.4 15.4 10.8 - 9.8 = 11.8 10.8 = 10.8 15.4 = 6.2 17.6 = 4.0 9.8 = 7.8 10.8 = 6.8 15.4 = 2.2 9.8 = 5.6 10.8 = 4.6 9.8 = 1.0 > > > > > > < > > < 4.13 (R s) 4.04 (R 4) 3.94 (R 3 ) 3.75 (Rz) 4.04 (R 4) 3.95 (R 3 ) 3.75 (R z) 3.94 (R 3 ) 3.75 (R z) 3.75 (Rz) Por el análisis se observa que hay diferencias significativas entre todos los pares de medias con excepción de la 3 y la 2 y la 5 y la 1. En la figura 3-14 se muestra una gráfica en la que esas medias que no son significativamente diferentes aparecen subrayadas. Observe que en este ejemplo la prueba del rango múltiple de Duncan y el método LSD llevan a conclusiones idénticas. . ....... ........ ........... ........... ...... .... ............. ............ Y,. 9.8 Ys . 10.8 Ya. 17.6 Figura 3-14 Resultados de la prueba de rango múltiple de Duncan. ~ ! 102 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA En la prueba del rango múltiple de Duncan se requiere una diferencia observada más grande para detectar pares significativamente diferentes de medias, cuando el número de medias incluidas en el grupo aumenta. De esta forma, en el ejemplo anterior R 2 = 3.75 (dos medias) mientras queR 3 = 3.94 (tres medias). Para dos medias, el valor crítico R 2 será exactamente igual al valor LSD de la prueba t. Los valores ra(p,f) de la tabla VII del apéndice se eligen de tal modo que se obtenga un nivel de protección especificado. Es decir, cuando se comparan dos medias que están p pasos aparte, el nivel de protección es (1- a y-\ donde a es el nivel de significación especificado para dos medias adyacentes. Por lo tanto, el índice de error de reportar al menos una diferencia significativa incorrecta entre dos medias es 1- (1- a Y-1, cuando el tamaño del grupo es p. Por ejemplo, si a = 0.05, entonces 1- (1- 0.05)1 = 0.05 es el nivel de significación para comparar el par de medias adyacentes, 1 - (1 - 0.05? = 0.10 es el nivel de significación para medias que están un paso aparte, y así sucesivamente. En general, si el nivel de protección es a, las pruebas de las medias tienen un nivel de significación que es mayor o igual que a. Por consiguiente, el procedimiento de Duncan tiene una gran potencia; es decir, es muy eficaz para detectar diferencias entre medias cuando existen diferencias reales. Por esta razón, la prueba del rango múltiple de Duncan es muy popular. La prueba de N ewman-Keuls Esta prueba fue creada por Newman [90]. Debido a que un interés renovado en la prueba de Newman fue generádo por Keuls [64], al procedimiento se le llama la prueba de Newman-Keuls. Operacionalmente, el procedimiento es similar a la prueba del rango múltiple de Duncan, salvo porque las diferencias críticas entre las medias se calculan en una forma un tanto diferente. Específicamente, se calcula una serie de valores críticos K p = qa(P, f)SYi. P = 2, 3, ..., a (3-45) donde qa(P,f) es el punto porcentual a superior del rango studentizado para grupos de medias de tamaño p y con!grados de libertad del error. Una vez que se calculan los valores Kp con la ecuación 3-45, los pares de medias extremos en los grupos de tamaño p se comparan conKp exactamente igual que en la prueba del rango múltiple de Duncan. ¿Qué método de comparación por pares debe usarse? Ciertamente, una pregunta lógica en este punto es qué método de comparación por pares debe usarse. Desafortunadamente, no hay una respuesta precisa para esta pregunta, y los especialistas en estadística están con frecuencia en desacuerdo en cuanto a la utilidad de los diferentes procedimientos. Carmer y Swanson [24] han realizado estudios de simulación Montecarlo con varios procedimientos de comparaciones múltiples, incluyendo algunos que no se han considerado aquí. Estos autores reportan que el método de la diferencia significativa mínima es una prueba muy eficaz para detectar diferencias reales en las medias si se aplica sólo después de que la prueba F en el análisis de varianza sea significativa en 5 %. Reportan asimismo un buen desempeño en la detección de diferencias reales con la prueba del rango múltiple de Duncan. Esto no es motivo de sorpresa, ya que estos dos métodos son los más poderosos delos que se han comentado aquí. Sin embargo, estos métodos no incluyen el índice de error en el modo del experimento. Debido a que el método de Tukey efectúa un control sobre el índice de error global, muchos experimentadores prefieren su uso. La prueba de Newman-Keuls es más conservadora que la prueba del rango múltiple de Duncan por cuanto a que el índice de error tipo 1 es menor. Específicamente, el error tipo 1 del experimento es a para todas las pruebas que incluyen el mismo número de medias. Por consiguiente, debido a que a es por lo general bajo, la potencia de la prueba de Newman-Keuls casi siempre es menor que la de la prueba del rango múltiple de Duncan. Para demostrar que el procedimiento de Newman-Keuls lleva a una prueba con menor potencia que la prueba del rango múltiple de Duncan, se observa por una comparación de las ta- 3-5 INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE LOS RESULTADOS 103 bIas VII YVIII del apéndice que parap > 2 se tiene qa(P,f) > ra(P'[). Es decir, es "más difícil" declarár que un par de medias es significativamente diferente al utilizar la prueba de Newman-Ketils que cuando se usa el procedimiento de Duncan. Esto se ilustra a continuación para el caso en que a = 0.01, a = 8 Yf = 20: p 2 3 4 5 6 7 8 4.02 4.02 4.22, 4.33 5.02 4.40 4.47 5.51 4.53 4.58 5.84 4.64 5.29 5.69 Como se señaló antes, existen otros procedimientos de comparaciones múltiples. Algunos artículos que describen estos métodos son los de Miller [78], O'Neill y Wetherill [91] YNelson [89]. También se recomienda el libro de Miller [77]. 3~5.8 Comparación de medias de tratamientos con un control En muchos experimentos, uno de los tratamientos es un control, y el analista se interesa en comparar cada una de las medias de los a -1 tratamientos restantes con el control. Por lo tanto, sólo es necesario hacer a - lcomparaciones. Un procedimiento para hacer estas comparaciones ha sido desarrollado por Dunnett [42]. Suponga que el tratamiento a es el control y que quieren probarse las hipótesis Ho:p¡ = Pa ¡; H 1 :p¡:;z!: Pa ~ 14-1 para i = 1, 2, .oo, a -1. El procedimiento de Dunnett es una modificación de la prueba t común. Para cada hipótesis se calculan las diferencias observadas en las medias muestrales /1, - r i = 1, 2, oo., a-1 La hipótesis nula Ho:p¡ = Ila se rechaza utilizando un índice a de error tipo I si 1/ IY· l. -Ya.I>da(~-l,f) () MS E ~+l... n¡ na 'd' \¡l~" ¡ e ,...,J,-F~' 2 ¡l(C j..:i' '-)-'\ (3-46) IV' donde la constante daCa -1,!) se da en la tabla IX del apéndice. (Pueden hacerse pruebas tanto de una como de dos colas.) Observe que a es el nivel de significación conjunto asociado con las a -1 pruebas. EJEMPLO 3~lO ........................................•................... Para ilustrar la prueba de Dunnett, considere el experimento del ejemplo 3-1, asumiendo que el tratamiento 5 es el control. En este ejemplo, a = 5, a -1 = 4,[ = 20 Yni = n = 5. Con el nivel de 5%, en la tabla IX del apéndice se encuentra que do.os(4, 20) = 2.65. Por lo tanto, la diferencia crítica es ~2MS E ~2(8.06) 5 = 4.76 do.os(4, 20) --n- = 2.65 (Observe que se trata de una simplificación de la ecuación 3-46 que resulta de un diseño balanceado.) Por lo tanto, cualquier media de los tratamientos que difiera del control por más de 4.76 se declararía significativamente diferente. Las diferencias observadas son 1 vs. 2 vs. 3 vs. 4 vs. 5: YI. 5: Y2. 5: Y3. 5: Y4. - Ys. - Ys. - Ys. - Ys. = 9.8 = 15.4 = 17.6 = 21.6 - 10.8= -1.0 10.8= 4.6 10.8= 6.8 10.8= 10.8 104 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Sólo las diferencias )13. -)15. Y)l4. -)15. indican alguna diferencia significativa cuando se comparan con el control; por lo tanto, se concluye que /13 ~ /15 Y /14 ~ /15' Cuando se hace la comparación de los tratamientos con un control, una buena idea es usar más observaciones para el tratamiento de control (por ejemplo, na) que para los demás tratamientos (por ejemplo, n), suponiendo un número igual de observaciones para los a -1 tratamientos restantes. El cociente naln deberá elegirse de tal modo que sea aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número total de tratamientos. Es decir, se elige naln = ,¡¡¡ · 3~6 ~ . MUESTRA DE SALIDA DÉ COMPUTADORA Hay una gran cantidad de programas de computadora para apoyar el diseño experimental y la realización de análisis de varianza. En la figura 3-15 se muestra la salida de uno de estos programas, Design-Expert, utilizando los datos del experimento con un solo factor del ejemplo 3-1. La suma de cuadrados correspondiente al "Modelo" ("Model") es la SSnatamientos usual de un diseño con un solo factor. Esa fuente se identifica adicionalmente como ''A''. Cuando hay más de un factor en el experimento, la suma de cuadrados ("Sum of Squares") del modelo se descompondrá en varias fuentes (A, B, etc.). Observe que el resumen del análisis de varianza de la parte superior de la salida de computadora contiene las sumas de cuadrados, los grados de libertad ("DF", degrees offreedom), los cuadrados medios ("Mean Square") y el estadístico de pruebaFo ("F Value") acostumbrados. La columna "Prob > F" es el valor P (de hecho, el límite superior del valor p, ya que a las probabilidades menores que 0.0001 se les asigna el valor por omisión 0.0001). Además del análisis de varianza básico, el programa presenta información adicional útil. La cantidad "R cuadrada" ("R-Squared") se define como R2 = 475.76 = 0.746923 636.96 y se interpreta en términos generales como la proporción de la variabilidad en los datos "explicada" por el modelo del análisis de varianza. Por 10 tanto, en los datos para probar la resistencia de la fibra sintética, el factor "peso porcentual del algodón" explica cerca de 74.69% de la variabilidad en la resistencia a la tensión. Evidentemente, debe tenerse O:5 R 2 :5 1, siendo más deseables los valores más grandes. En la salida se presentan también otros estadísticos enR2 • R 2 "ajustada" (''Adj R-Squared") es una variante del estadístico R 2 común que refleja el número de factores presentes en el modelo. Puede ser un estadístico útil en experimentos más complejos en los que intervienen varios factores en el diseño, cuando quiere evaluarse el impacto de aumentar o disminuir el número de términos del modelo. "Desviación estándar" ("Std. Dev.") es la raíz cuadrada del cuadrado medio del error, v'8.060 = 2.839, y "C.V:" es el coeficiente de variación, definido como (..J MS E I y)100. El coeficiente de variación mide la variabilidad no explicada o residual de los datos como un porcentaje de la media ("Mean") de la variable de respuesta. "PRESS" son las siglas de Prediction EITor Sum 01Squares (suma de cuadrados del error de predicción) y es una medida de la adecuación con que es posible que el modelo del experimento predecirá las respuestas en un nuevo experimento. Son deseables valores pequeños de PRESS. Alternativamente, puede calcularse una R 2 para predicciones con base en PRESS (más adelante se indicará cómo hacer esto). Esta R;red ("Pred R-Squared") para el problema tratado aquí es 0.6046, el cual no es irrazonable, considerando que el modelo explica cerca de 75% de la variabilidad del experimento en curso. El estadístico "Predicción adecuada" (''Adeq Precision") se calcula dividiendo la diferencia entre la respuesta predicha máxima y la respuesta predicha mínima por la desviación estándar promedio de todas las respuestas predichas. Son deseables valores grandes de esta cantidad, y los valores que exceden cuatro indican por lo general que el modelo tendrá un desempeño razonable en la predicción. SSModelo SSTotaI PO' Utilice el mouse para posicionarse en una celda y su definición. Response: Strength in psi ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sumof Squares Source Model A Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total 475.76 475.76 161.20 0.000 161.20 636.96 DF Mean Square 4 4 20 118.94 118.94 8.06 F Value Prob> F 14.76 14.76 <0.0001 <0.0001 significativo O 20 24 8.06 El valor F del Modelo de 14.76 implica que el modelo es significativo. Sólo hay una probabilidad de 0.01 % de que un 'Valor F del Modelo" de esta magnitud pudiera ocurrir debido a ruido. Los valores de "Prob > F" menores que 0.0500 indican que los términos del modelo son significativos. En este caso A son términos significativos del modelo. Los valores mayores que 0.1000 indican que los términos del modelo no son significativos. Si hay muchos términos del modelo no significativos (sin contar los que se necesitan para apoyar la jerarquización), la reducción del modelo puede mejorarlo. Std. Dev. Mean C.V. PRESS 2.84 15.04 18.88 251.88 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision 0.7469 0.6963 0.6046 9.294 La "R cuadrada predicha" de 0.6046 concuerda razonablemente con la "R cuadrada ajustada" de 0.6963. Una diferencia mayor que 0.20 entre la "R cuadrada predicha" y la "R cuadrada ajustada" indica un posible problema con el modelo y/o los datos. "Precisión adecuada" mide la relación de la señal a ruido. Es deseable una relación mayor que 4. La relación de 9.294 indica una señal adecuada para usar este modelo para navegar el espacio del diseño. Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error 1-15 2-20 3-25 4-30 5-35 Treatment 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 2 vs 3 2 vs 4 2 vs 5 3 vs 4 3 vs 5 4vs 5 9.80 15.40 17.60 21.60 10.80 Mean Difference -5.60 -7.80 -11.80 -1.00 -2.20 -6.20 4.60 -4.00 6.80 10.80 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 DF 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Standard Error t for Ho Coeff=O 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 -3.12 -4.34 -6.57 -0.56 -1.23 -3.45 2.56 -2.23 3.79 6.01 Prob> Itl 0.0054 0.0003 <0.0001 0.5838 0.2347 0.0025 Ome6 0.0375 0.0012 <0.0001 Los valores de "Prob > Itl" menores que 0.0500 indican que la diferencia en las medias de los dos tratamientos es significativa. Los valores de "Prob > Iti" mayores que 0.1000 indican que la diferencia en las medias de los dos tratamientos no es significativa. Figura 3·15 Salida de computadora de Design-Expel1 para el ejemplo 3-1. 106. CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Diagnostic Case Statistics Standard Actual Predicted Order Value Value Residual Leverage Student Residual . Cook's Distance Outlier t 7.00 7.00 15.00 11.00 9.00 12.00 17.00 12.00 18.00 18.00 14.00 18.00 18.00 19.00 19.00 19.00 25.00 22.00 19.00 23.00 7.00 10.00 11.00 15.00 11.00 -2.80 -2.80 5.20 1.20 -0.80 -3.40 1.60 -3.40 2.60 2.60 -3.60 0.40 0.40 1.40 1.40 -2.60 3.40 0.40 -2.60 1.40 -3.80 -0.80 0.20 4.20 0.20 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 -1.103 -1.103 2.048 0.473 -0.315 -1.339 0.630 -1.339 1.024 1.024 -1.418 0.158 0.158 0.551 0.551 -1.024 1.339 0.158 -1.024 0.551 -1.496 -0.315 0.079 1.654 0.079 0.061 0.061 0.210 0.011 0.005 0.090 0.020 0.090 0.052 0.052 0.100 0.001 0.001 0.015 0.015 0.052 0.090 0.001 0.052 0.015 0.112 0.005 0.000 0.137 0.000 -1.109 -1.109 2.245 0.463 -0.308 -1.368 0.620 -1.368 1.025 1.025 -1.457 0.154 0.154 0.542 0.542 -1.025 1.368 0.154 -1.025 0.542 -1.548 -0.308 0.077 1.735 0.077 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 15.40 15.40 15.40 15.40 15.40 17.60 17.60 17.60 17.60 17.60 21.60 21.60 21.60 21.60 21.60 10.80 10.80 10.80 10.80 10.80 Proceder con las gráficas de diagnóstico (el icono siguiente en progresión). Asegurarse de examinar: 1) La gráfica de probabilidad normal de los residuales studentizados para verificar la normalidad de los residuales. 2) Los residuales studentizados contra los valores predichos para verificar la constante del error. 3) Los puntos atípicos t contra el orden de las corridas para buscar puntos atípicos, es decir, valores influyentes o importantes 4) La gráfica de Box-Cox para las transformaciones de potencia. Si todos los estadísticos del modelo y las gráficas de diagnóstico están correctos, finalizar con el icono Model Graphs (Gráficas del Modelo). Figura 3-15 (Continuación.) Se hace la estimación de las medias ("Estimated Mean") de los tratamientos y se muestra el error estándar ("Standard Error") (o desviación estándar muestral de la media de cada tratamiento, .J MS E/n). Las diferencias entre pares de medias ("Mean Difference") de los tratamientos se investigan utilizando el método LSD de Fisher descrito en la sección 3-5.7. El programa de computadora también calcula y despliega los residuales, según se definen en la ecuación 3-16. El programa producirá también todas las gráficas de los residuales que se comentaron en la sección 3-4. En la salida se muestran asimismo varios diagnósticos residuales más. Algunos de ellos se revisarán más adelante. Por último, observe que el programa de computadora incluye también algunas guías para hacer la interpretación. Esta información "aconsejable" es muy común en muchos paquetes de estadística para computadoras personales. Al leer estas guías, recuerde que están escritas en términos muy generales, y quizá no se ajusten exactamente a los requerimientos de redacción del reporte de un experimentador particular. Esta salida aconsej able puede ser eliminada por el usuario. 3-7 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA 3~7 107 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DÉ LA MUESTRA En cualquier problema de diseño experimental, una decisión crítica es la elección del tamaño de la muestra; es decir, determinar el número de réplicas que deben correrse. En general, si el experimentador tiene interés en detectar efectos pequeños, se necesitan más réplicas que cuando el experimentador se interesa en detectar efectos grandes. En esta sección se analizan varios enfoques para determinar el tamaño de la muestra. Aun cuando la revisión se centra en un diseño con un solo factor, la mayoría de los métodos pueden usarse en situaciones experimentales más complejas. 3~7.1 Curvas de operación característica Recuerde que una curva de operación característica es una gráfica de la probabilidad del error tipo II de una prueba estadística para un tamaño de la muestra particular contra un parámetro que refleja la medida en que la hipótesis nula es falsa. El experimentador puede usar estas curvas como guía en la selección del número de réplicas para que el diseño sea sensible a diferencias potenciales importantes en los tratamientos. Se considera la probabilidad del error tipo II del modelo con efectos fijos para el caso en que se usa el mismo tamaño de las muestras en cada tratamiento, por ejemplo f3 = 1- p{Rechazar H oIH o es falsa} = 1- p{ Fo > Fa ,a-l,N-al H o es falsa} (3-47) Para evaluar el enunciado de probabilidad de la ecuación 3-47, es necesario conocer cuál es la distribución del estadístico de pruebaFosi la hipótesis nula es falsa. Puede demostrarse que, si H oes falsa, el estadístico F o = MSTralamienloJMSE se distribuye como una variable aleatoria F no central con a - 1 YN - a grados de libertad y parámetro de no centralidad 15. Si 15 = O, la distribuciónF no central se convierte en la distribución F (central) común. Las curvas de operación característica que se presentan en la parte V del apéndice se usan para evaluar el enunciado de probabilidad de la ecuación 3-47. En estas curvas se grafica la probabilidad del error tipo II (/3) contra un parámetro <1>, donde <1>2 n! T¡ = ----,-i 1-::-_ = -'C aa 2 (3-48) La cantidad <lJ2 está relacionada con el parámetro de no centralidad 15. Se cuenta con curvas para a = 0.05 Ya = 0.01 Y un rango de grados de libertad para el numerador y el denominador. Al usar las curvas de operación característica, el experimentador debe especificar el parámetro <1>. Con frecuencia es difícil hacer esto en la práctica. Una manera de determinar <1> es elegir los valores reales de las medias de los tratamientos para los que querría rechazarse la hipótesis nula con una alta probabilidad. Por lo tanto, si /-l1' /-l2' .oo, /-la son las medias de los tratamientos especificadas, la Ti de la ecuación 3-48 se encuentra como Ti = /-li - ¡¡, donde ¡¡ = (l/a)~ :=1 =lf-li es el promedio de las medias de los tratamientos individuales. Se requiere asimismo una estimación de 02. En ocasiones se cuenta con este valor por experiencia previa, un experimento anterior o una prueba preliminar (como se sugirió en el capítulo 1), o por una estimación discrecional. Cuando no se tiene la seguridad acerca del valor de 02, los tamaños de las muestras podrían determinarse para un rango de valores posibles de 02, a fin de estudiar el efecto de este Parámetro sobre el tamaño de la muestra requerido, antes de hacer la elección final. 108 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA EJEMPLO 3~11 . Considere el experimento de la resistencia a la tensión descrito en el ejemplo 3-1. Suponga que el experimentador está interesado en rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de al menos 0.90 si las medias de los cinco tratamientos son ,u1=11 Planea utilizar a = 0.01. ,uz=12 ,u3=15 ,u4=18 En este caso, puesto que "Li=1,u¡ = 75, y ,us=19 se tiene ji = (1/5)75 = 15 Y =,u1-;U=11-15=-4 'l' 2 = ,u 2 -;U = 12 -15 =- 3 'l' 3 = ,u 3 - ;U = 15- 15 = O 'l' 4 = ,u 4 -;U = 18- 15 = 3 'l's=,u5-;U=19-15= 4 'l'1 Por lo tanto, "Li=1 'l'; = 50. Suponga que el experimentador piensa que la desviación estándar de la resistencia a la tensión con cualquier nivel particular del peso porcentual del algodón no será mayor que 0=3 psi. Entonces, al utilizar la ecuación 3-48, se tiene Se usa la curva de operación característica para a -1 = 5 -1 = 4 con N -a = a(n ~ 1) = 5(n -1) grados de libertad del error y a = 0.01 (ver la parte V del apéndice). Como primera conjetura para el tamaño de la muestra requerido, se prueba con n = 4 réplicas. Esto produce ep2 = 1.11(4) = 4.44, ep = 2.11 Y5(3) = 15 grados de libertad del error. Por consiguiente, en la parte V se encuentra que fJ =0.30. Por lo tanto, la potencia de la prueba es aproximadamente 1- fJ = 1- 0.30 = 0.70, que es menor que el 0.90 requerido, por lo que se concluye que n = 4 réplicas no son suficientes. Procediendo de manera similar, puede construirse la siguiente tabla: n «I>2 4 4.44 5.55 6.66 5 6 Potencia (1- [3) a(n -1) 15 2.11 2.36 2.58 Por lo tanto, deben realizarse al menos n 20 25 0.30 0.15 0.04 0.70 0.85 0.96 = 6 réplicas para obtener una prueba con la potencia requerida. El único problema con este enfoque para usar las curvas de operación característica es que por lo general es difícil seleccionar el conjunto de las medias de los tratamientos en el que se basará la decisión del tamaño de la muestra. Un enfoque alternativo es seleccionar un tamaño de la muestra tal que si la diferencia entre las medias de dos tratamientos cualesquiera excede un valor especificado, la hipótesis nula deberá rechazarse. Si la diferencia entre las medias de dos tratamientos cualesquiera es tan grande como D, puede demostrarse que el valor mínimo de ep2 es ep2 = 2 nD 2a0 2 (3-49) 3-7 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DELA MUESTRA 109 puesto que éste es un valor mínimo de <1>2, el tamaño de la muestra correspondiente que se obtiene de la curva de operación característica es un valor conservador; es decir, proporciona una potencia al menos tan grande como la que especificó el experimentador. Para ilustrar este enfoque, suponga que en eL experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1, el experimentador quisiera rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de al menos 0.90 si las medias de dos tratamientos cualesquiera difieren hasta en 10 psi. Entonces, suponiendo que o = 3 psi, se encuentra que el valor mínimo de <1>2 es <1>2 = n(10)2 = 1.11n 2(5)(3 2 ) y, por el análisis del ejemplo 3-11, se concluye que se necesitan n deseada cuando a = 0.01. 3,7.2 = 6 réplicas para obtener la sensibilidad Especificación de un incremento de la desviación estándar Este enfoque es útil en ocasiones para elegir el tamaño de la muestra. Si las medias de los tratamientos no difieren, la desviación estándar de una observación elegida al azar es o. Sin embargo, si las medias de los tratamientos son diferentes, la desviación estándar de una observación elegida al azar es Si se escoge un porcentaje P para el incremento de la desviación estándar de una observación, más allá del cual quiera rechazarse la hipótesis de que las medias de todos los tratamientos son iguales, esto es equivalente a escoger 2 0 +(t 7:¡ /a) = 1=1 o 1 +O.01P (P = por ciento) o de donde ! 7:¡ / a <1>= --'--'-'i=1=--------::~= ~(1 + 0.01P)2 -1(..Jn) o/..Jn (3-50) Por lo tanto, para un valor especificado de P, <1> puede calcularse con la ecuación 3-50 y después usar las curvas de operación característica de la parte V del apéndice para determinar el tamaño de la muestra requerido. 110 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Por ejemplo, en el experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1, suponga que se desea detectar un incremento de la desviación estándar de 20% con una probabilidad de al menos 0.90 y a = 0.05. Entonces cI>= ~(1.2)2 -1(.Jii) = 0.66.Jii La referencia a las curvas de operación característica indica que'se necesita n lidad deseada. 3~7.3 = 9 para obtener la sensibi- Método para estimar el intervalo de confianza En este enfoque se supone que el experimentador quiere expresar los resultados finales en términos de intervalos de confianza y que está dispuesto a especificar por anticipado cuál es el ancho que desea para estos intervalos de confianza. Por ejemplo, suponga que en el experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1 se quiere que un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la resistencia a la tensión media de dos pesos porcentuales del algodón cualesquiera sea ±5 psi y una estimación previa de a es 3. Entonces, al utilizar la ecuación 3-13, se encuentra que la precisión del intervalo de confianza es ±t a/2,N-a ~2MSE n Suponga que se prueba con n = 5 réplicas. Entonces, al usar a2 = 3 2 = 9 como una estimación de MSE , la precisión del intervalo de confianza es ±2.086~2~) = ±3.96 que es más preciso que el requerimiento. Al probar con n = 4 se obtiene ±2.132~2~) = ±4.52 Al probar con n = 3 se obtiene ±2.22~2~) = ±5.46 Evidentemente, n = 4 es el tamaño de la muestra menor que llevará a la precisión deseada. El nivel de significación consignado en el ejemplo anterior se aplica a un solo intervalo de confianza. Sin embargo, puede usarse el mismo enfoque general si el experimentador desea especificar de antemano un conjunto de intervalos de confianza acerca del cual se hace un enunciado de confianza simultáneo o conjunto (ver los comentarios acerca de los intervalos de confianza simultáneos de la sección 3-3.3). Además, los intervalos de confianza podrían construirse con respecto a contrastes más generales en las medias de los tratamientos, que la comparación por pares ilustrada antes. 3~8 IDENTIFICACIÓN DE EFECTOS DE DISPERSIÓN Nos hemos enfocado aquí en el uso del análisis de varianza y de otros métodos relacionados para determin.ar los niveles del factor que resultan en diferencias entre las medias de los tratamientos o los niveles del factor. Se acostumbra referirse a estos efectos como efectos de localización. Cuando ocurrió la desigual- 111 3-8 IDENTIFICACIÓN DE EFECTOS DE DISPERSIÓN Tabla 3-12 Datos del experimento de fundición Observaciones Algoritmo para controlar la proporción 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 4.93(0.05) 4.85(0.04) 4.83(0.09) 4.89(0.03) 4.86(0.04) 4.91(0.02) 4.88(0.13) 4.77(0.04) 4.75(0.05) 4.79(0.03) 4.90(0.11) 4.94(0.05) 4.95(0.06) 4.85(0.05) 4.75(0.15) 4.86(0.05) 4.79(0.03) 4.75(0.03) 4.82(0.08) 4.79(0.03) 4.88(0.05) 4.85(0.02) 4.90(0.12) 4.76(0.02) dad de la varianza con los diferentes niveles del factor, se utilizaron transformaciones para estabilizar la varianza y mejorar así las inferencias hechas sobre los efectos de localización. Sin embargo, en algunos problemas el interés se centra en descubrir si los diferentes niveles del factor afectan la variabilidad; es decir, el interés está en descubrir efectos de dispersión potenciales. Esto ocurrirá siempre que la desviación estándar, la varianza o cualquier otra medida de la variabilidad se use como variable de respuesta. Para ilustrar estos conceptos, considere los datos de la tabla 3-12, los cuales se obtuvieron de un experimento diseñado en una fundición de aluminio. El aluminio se produce combinando alúmina con otros ingredientes en una celda de reacción y aplicando calor al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la celda. La alúmina se agrega de manera continua a la celda para mantener la proporción apropiada de la misma con respecto a los otros ingredientes. En este experimento se investigaron cuatro algoritmos para controlar la proporción. Las variables de respuesta estudiadas se relacionaron con el voltaje de la celda. Específicamente, un sensor registra el voltaje de la celda varias veces cada segundo, produciendo miles de mediciones del voltaje durante cada corrida del experimento. Los ingenieros del proceso decidieron usar como variables de respuesta el voltaje promedio y la desviación estándar del voltaje de la celda (indicado entre paréntesis) en la corrida experimental. El voltaje promedio es importante porque afecta la temperatura de la celda, y la desviación estándar del voltaje (llamada "ruido del crisol" por los ingenieros del proceso) es importante porque afecta la eficiencia global de la celda. Se llevó a cabo un análisis de varianza para determinar si los diferentes algoritmos para controlar la proporción afectan el voltaje promedio de la celda. Éste reveló que el algoritmo para controlar la proporción no tuvo ningún efecto de localización; es decir, al cambiar los algoritmos para controlar la proporción no hubo ningún cambio en el voltaje promedio de la celda. (Referirse al problema 3-28.) . Para investigar los efectos de dispersión, lo mejor suele ser utilizar log(s) o log(s2) como variable de respuesta, ya que la transformación logarítmica es eficaz para estabilizar la variabilidad en la distribución de la desviación estándar muestral. Puesto que todas las desviaciones estándar del voltaje del crisol son menores que la unidad, se usará y= -ln(s) como la variable de respuesta. En la tabla 3-13 se presenta el análisis de varianza para esta respuesta, el logaritmo natural del "ruido del crisol". Observe que la elección de un algoritmo para controlar la proporción afecta el ruido del crisol; es decir, el algoritmo para controlar la proporción tiene un efecto de disTabla 3-13 Análisis de varianza del logaritmo natural del ruido del crisol Fuente de variación Algoritmo para controlar la proporción Error Thtal Suma de cuadrados 6.166 1.872 8.038 Grados de libertad 3 20 23 Cuadrado medio 2.055 0.094 Valor P 21.96 <0.001 112 CAPÍTULO 3 3 2.00 • EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA I~ 3.00 4 2 • • 4.00 Ruido del crisollogarítmíco promedio [-1 n (5)] Figura 3-16 Ruido del crisol logarítmico promedio [-ln(s)] de cuatro algoritmos para controlar la proporción en relación con una distribución t escalada con factor de escalamiento ~ MS E / II = ,",,0.094/ 6 =0.125. persión. Las pruebas estándares de la adecuación del modelo, incluyendo las gráficas de probabilidad normal de los residuales, indican que no hay problemas con la validez del experimento. (Referirse al problema 3-29.) En la figura 3-16 se grafica el logaritmo promedio del ruido del crisol de cada algoritmo para controlar la proporción y se presenta también una distribución t escalada que se usa como distribución de referencia para discriminar entre los algoritmos de la proporción. Esta gráfica revela con toda claridad que el algoritmo 3 para controlar la proporción produce más ruido del crisolo una desviación estándar del voltaje de la celda mayor que los otros algoritmos. No parece haber gran diferencia entre los algoritmos 1, 2 Y 4. 3..9 EL ENFOQUE DE REGRESIÓN PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA Se ha ofrecido un desarrollo intuitivo o heurístico del análisis de varianza. Sin embargo, es posible presentar un desarrollo más formal. El método será de utilidad más adelante para entender los fundamentos del análisis estadístico de diseños más complejos. Llamada la prueba general de significación de la regresión, el procedimiento consiste en esencia en encontrar la reducción en la suma de cuadrados total para ajustar el modelo con todos los parámetros incluidos y la reducción en la suma de cuadrados cuando el modelo se restringe a la hipótesis nula. La diferencia entre estas dos sumas de cuadrados es la suma de cuadrados de los tratamientos con la que puede realizarse la prueba de la hipótesis nula. El procedimiento requiere los estimadores de mínimos cuadrados de los parámetros en el modelo del análisis de varianza. Se dieron ya (en la sección 3-3.3) las estimaciones de estos parámetros; sin embargo, ahora se presenta un desarrollo formal. 3..9.1 Estimación de mínimos cuadrados de los parámetros del modelo Se desarrollan ahora los estimadores de los parámetros en el modelo con un solo factor utilizando el método de mínimos cuadrados. Para encontrar los estimadores de mínimos cuadrados de fl y primero se forma la suma de cuadrados de los errores 'C¡, (3-51) ;=1 j=l ¡=1 j=l 3-9 EL ENFOQUE DE REGRESIÓN PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA 113 y se eligen después los valores de¡,t Yí¡, por ejemplo ílyf¡, que minimicenL. Los valores adecuados serían las soluciones de las a + 1 ecuaciones simultáneas aLI a¡,t • • - =0 . ¡.t,T¡ aLI =O i=1, 2, ..., a aí¡ . . fl.T:¡ Al derivar la ecuación 3-51 con respecto a ¡,t y -2!! íi Y al igualar con cero se obtiene (Yij-íl-f¡)=O ¡=1 j=1 y -2! i=1, 2, ..., a (Yij-íl-f¡)=O j=1 de la que, después de simplificar, se obtiene Níl+nf 1 +nf z + .. , +nf a = Y.. níl+nf 1 = Yi níl +nr z níl (3-52) = Yz. +nf a = Ya. A las a + 1 ecuaciones (ecuación 3-52) con a + 1 incógnitas se les llama las ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Observe que si se suman la últimas a ecuaciones normales, se obtiene la primera ecuación normal. Por lo tanto, las ecuaciones normales no son linealmente independientes, y no existe una solución única para¡,t, í 1, ..., í a • Esta dificultad puede superarse mediante varios métodos. Puesto que los efectos de los tratamientos se han definido como desviaciones de la media global, parece razonable aplicar la restricción ! (3-53) f¡=O ¡=1 Utilizando esta restricción, se obtiene como solución de las ecuaciones normales Y.. f¡ = Y¡. - Y.. íl= (3-54) i=1, 2, ..., a Evidentemente, esta solución no es única y depende de la restricción (ecuación 3-53) que se ha elegido. Al principio esto puede parecer desafortunado porque dos experimentadores diferentes podrían analizar los mismos datos y obtener resultados diferentes si aplican restricciones diferentes. Sin embargo, ciertas funciones del parámetro del modelo son estimadas de manera única, independientemente de la y la media del tratamienrestricción. Algunos ejemplos son í¡ - í J., que se estimaría con r. - f . = y. - y.., J. to i-ésimo ¡,ti = ¡,t + í¡, que se estimaría con íl ¡ = íl + f ¡ = y¡.. Puesto que el interés se encuentra generalmente en las diferencias entre los efectos de los tratamientos y no en sus valores reales, no produce preocupación alguna que í¡ no pueda estimarse de manera úni1 ) l. 114 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA ca. En general, cualquier función de los parámetros del modelo que sea una combinación lineal del miembro del lado izquierdo de las ecuaciones normales (ecuaciones 3-52) puede estimarse de manera única. A las funciones que se estiman de manera única independientemente de la restricción que se use se les llama funciones estimables. Para más información, ver el material suplementario del texto de este capítulo. Nos encontramos listos para usar estas estimaciones de los parámetros en un desarrollo generál del análisis de varianza. 3~9.2 Prueba general de significación de la regresión Una parte fundamental de este procedimiento es escribir las ecuaciones normales del modelo. Estas ecuaciones siempre podrán obtenerse formando la función de mínimos cuadrados y derivándola con respecto a cada parámetro desconocido, como se hizo en la sección 3-9.1. Sin embargo, se cuenta con un método más sencillo. Las reglas siguientes permiten escribir directamente las ecuaciones normales del modelo de cualquier diseño experimental: REGLA 1. Hay una ecuación normal para cada parámetro del modelo que va a estimarse. REGLA 2. El miembro derecho de cualquier ecuación normal es sólo la suma de todas las observaciones que contienen el parámetro asociado con esa ecuación normal particular. Para ilustrar esta regla, considere el modelo con un solo factor. La primera ecuación normal corresponde al parámetro fl; por lo tanto, el miembro derecho es y.., ya que todas las observaciones incluyen a fl. REGLA 3. El miembro izquierdo de cualquier ecuación normal es la suma de todos los parámetros del modelo, donde cada parámetro está multiplicado por el número de veces que aparece en el total del miembro derecho. Los parámetros se escriben con un acento circunflejo (A) para indicar que son estimadores y no los verdaderos valores de los parámetros. Por ejemplo, considere la primera ecuación normal en un experimento con un solo factor. De acuerdo con las reglas anteriores, ésta sería Nfi, + ni 1 + ni 2 + ... + ni a = Y.. porque fl aparece en las N observaciones, r 1 sólo aparece en las n observaciones hechas bajo el primer tratamiento, r 2 aparece sólo en las n observaciones tomadas bajo el segundo tratamiento, etc. Por la ecuación 3-52 se verifica que la ecuación presentada arriba es correcta. La segunda ecuación normal correspondería a r 1 y es nfi,+ni 1 = YL porque sólo las observaciones del primer tratamiento contienen a r 1 (esto daYL como miembro derecho), fl Yr 1 aparecen exactamente n veces enYL, y todas las demás r i aparecen cero veces. En general, el miem- bro izquierdo de cualquier ecuación normal es el valor esperado del miembro derecho. Ahora bien, considere encontrar la reducción en la suma de cuadrados ajustando un modelo particular a los datos. Al ajustar un modelo a los datos se "explica" parte de la variabilidad; es decir, la variabilidad no explicada se reduce en cierta cantidad. La reducción en la variabilidad no explicada es siempre la suma de las estimaciones de los parámetros, cada una de ellas multiplicada por el segundo miembro de la 3-9 EL ENFOQUE DE REGRESIÓN PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA 115 ecuación normal que corresponde al parámetro específico. Por ejemplo, en un experimento con un solo factor, la reducción debida al ajuste del modelo completo Yij = fl + 7:¡ + cij es (3-55) a = r"... í1y + L., " f.y. 1 l. 1=1 La notación R(¡1" 7:) significa la reducción en la suma de cuadrados a partir del ajuste del modelo que contiene afl Y{7:¡}. AR(¡1" 7:) se le llama en ocasiones la suma de cuadrados "de regresión" del modelo completo Y¡j = fl + 7:¡ + cij. El número de grados de libertad asociado con una reducción en la suma de cuadrados, tal como R(¡1" 7:), siempre es igual al número de ecuaciones normales linealmente independientes. El resto de la variabilidad no explicada por el modelo se encuentra con SSE = ~}: Y~ -R(fl,7:) (3-56) i=l j=l Esta cantidad se usa en el denominador del estadístico de prueba de H O:7: 1 = 7: 2 = ... = 7:a = O. A continuación se ilustra la prueba general de significación de la regresión para un experimento con un solo factor y se demuestra que produce el análisis de varianza de un solo factor común. El modelo es Yij = fl + 7:¡ + cij' y las ecuaciones normales se encuentran con las reglas anteriores como Nft+nf 1 +nf 2 + ... +nf a = Y. = Yl nft+nf 1 nft =h +nf 2 nft Compare estas ecuaciones normales con las que se obtuvieron en la ecuación 3-52. Al aplicar la restricción 2: ~=1 f 1 = O, los estimadores de fl y 7:i son ft= i=l, 2, ..., a Y.. La reducción en la suma de cuadrados debida al ajuste de este modelo completo se encuentra con la ecuación 3-55 como R(fl, 7:) = fty.. +~ f i Yi. i=l ;=1 2 a = ~+ ¿ ;=1 a =¿ i=l 2 Yi. n a Yi.Yi. - Y.. ¿ ;=1 Yi. 116 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA que tiene,a, grados de libertad porque haya ecuaciones normales:linealmenteindependientes. La suma de cuadradosl:del errores, por la ecuación 3-56, SSE = !:! Y~ - R(Jl, 7:) ¡=;1 j=l y tiene N - a grados de libertad. Para encontrarla.suma de cuadrados que resulta de los efectos de los tratamientos (el {7:¡}), se considera que el modelo se restringe ala,hipótesis nula; es decir, 7:¡ = Opara todai. El modelo reducido eSYij = Jl + f.ij' Hay ,una sola,ecuaciónnormalpara este modelo: NA = Y.. y el estimador de ¡l esA = y.. . Por lo tanto, la reducción enla suma de cuadrados que resulta de ajustar el modelo, reducido que sólo contiene a Jl es 2 R(')-()'( )-L Jl-Y.·Y.·N Puesto que hay una sola ecu<;leión normal para este modelo reducido, R(¡t) tiene un grado de libertad. La suma de cuadrados debida al \ü"¡}, dado que Jl ya está incluida en el modelo, es la diferencia entre R(¡t, 7:) Y R(¡t), que es R(rl Jl) = R.(¡l, r) - R(Jl) ,= R(Modelo Completo) - R(Modelo Reducido) 1,: y2 =;;¿ Yi. - N ? 1=1 con a -1.grados de libertad, queporla ecuación 3-9 se identifica como SS1tatamientos' Estableciendo el supuesto de normqlidadusual, elestadístico apropiado para probar H o: 7: 1 = r 2 = ... = r a = O es F= o R(rIJl)/(a-l) '[ a ~# Y~ -R(Jl, 11 ] 7:) I(N-a) que se distribuye como Fa~l,N-a bajo la hipótesis nula. Se trata, desde luego, del estadístico de prueba para el análisis de varianza de un solo factor. 3..10 3..10.1 MÉTODOS NOPARAMÉTRICOS EN EL ANÁLISIS DE VARIANZA La prueba de Kruskal..Wallis En situaciones en las que el supuesto de normalidad no está justificado, el experimentador quizá quiera usar un procedimiento alternativo del análisis de varianza con la prueba F que no dependa de este su- 3-10 MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS EN EL ANÁLISIS DE VARIANZA 117 puesto. Kruskal y Wallis [68] han desarrollado este procedimiento. La prueba de Kruskal-Wallis se usa para probar la hipótesis nula de que los a tratamientos son idénticos contra la hipótesis alternativa de que algunos de los tratamientos generan observaciones que son mayores que otras. Debido a que el procedimiento está diseñado para ser sensible al probar las diferencias en las medias, en ocasiones es conveniente considerar la prueba de Kruskal-Wallis como una prueba de la igualdad de las medias de los tratamientos. La prueba de Kruskal-Wallis es una alternativa no paramétrica del análisis de varianza usual. Para realizar la prueba de Kruskal-Wallis, primero se hace la clasificación en rangos de lasYij observaciones en orden ascendente y cada observación se reemplaza con su rango, por ejemplo Rij' asignándole a la observación menor el rango 1. En el caso de empates (observaciones que tienen el mismo valor), se asigna el rango promedio a cada una de las observaciones empatadas. SeaR¡.la suma de los rangos del tratamiento i-ésimo. El estadístico de. prueba es (3-57) donde ni es el número de observaciones del tratamiento i-ésimo, N es el número total de observaciones y S2 = -l-[I~ N-1 R~ _ N(N+1)2] Observe que S2 es sólo la varianza de los rangos. Si no hay empates, S2 prueba se simplifica a H= 12 N(N +1) a R2 f:t _i. " (3-58) 4 i=l j=l n¡ = N(N + 1)/12, y el estadístico de -3(N+1) (3-59) Cuando el número de empates es moderado, habrá pequeñas diferencias entre las ecuaciones 3-57 y 3-59, Ypuede usarse la forma más simple (ecuación 3-59). Si las ni son razonablemente grandes, por ejemplo n¡ ;::: 5, H se distribuye aproximadamente como X;-l bajo la hipótesis nula. Por lo tanto, si H> Xa,a-l 2 la hipótesis nula se r~chaza. También podría usarse el enfoque del valor P. EJEMPLO 3".12 . En la tabla 3-14 se muestran los datos del ejemplo 3-1 y sus rangos correspondientes. Puesto que hay un número bastante grande de empates, la ecuación 3-57 se usa como el estadístico de prueba.· Por la ecuación 3-58 se encuentra S2 = -l-[I~ N-1 R~ _ N(N+1)2] 4 ¡=l j=l = ~[5497.79- 25(26)2] 24 = 53.03 4 118 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Tabla 3-14 Datos y rangos para el experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1 Peso porcentual del algodón 15 Ylj 7 7 15 11 9 R¡. 25 20 Rlj 2.0 2.0 12.5 7.0 4.0 27.5 Y2¡ R2¡ 12 17 12 18 18 9.5 14.0 9.5 16.5 16.5 66.0 Y3j 14 18 18 19 19 30 R 3j Y4j 11.0 16.5 16.5 20.5 20.5 85.0 19 25 22 19 23 35 R4j 20.5 25.0 23.0 20.5 24.0 113.0 YSj R Sj 7 10 11 15 11 2.0 5.0 7.0 12.5 7.0 33.5 y el estadístico de prueba es H = -1 [a Ri~ S2 N(N+1)2] L-ni ------'---''-4 i=l = _1_[5245.0- 25(26)2] 53.03 4 = 19.25 Puesto que H > X~.01,4' 4 = 13.28, se rechazaría la hipótesis nula y se concluiría que los tratamientos difieren. (El valor PparaH = 19.25 esP = 0.0002.) Se trata de la misma conclusión obtenida por el análisis de varianza usual con la prueba F. 3~10.2 Comentarios generales sobre la transformación de rangos Al procedimiento utilizado en la sección anterior de reemplazar las observaciones con sus rangos se le llama la transformación de rangos. Es una técnica muy poderosa y útil. Si se aplicara la prueba F común a los rangos en lugar de a los datos originales, se obtendría H/(a-1) Fa = -(N---1------'-H)-/(--'-N---a-) (3-60) como el estadístico de prueba (ver Conover [20], p. 337). Observe que cuando el estadístico H de Kruskal-Wallis se incrementa o decrementa, Fa también se incrementa o decrementa, por lo que la prueba de Kruskal-Wallis es equivalente a aplicar el análisis de varianza común a los rangos. La transformación de rangos tiene una amplia aplicabilidad en los problemas de diseño experimental para los que no existe ninguna alternativa no paramétrica para el análisis de varianza. Esto incluye muchos de los diseños de capítulos subsecuentes de este libro. Si los datos están en rangos y se aplica la pruebaF común, el resultado es un procedimiento aproximado que tiene buenas propiedades estadísticas (ver Conover e lInan [30a, bD. Cuando existe preocupación acerca del supuesto de normalidad o por el efecto de puntos atípicos o valores"absurdos", se recomienda que el análisis de varianza común se realice tanto en los datos originales como en los rangos. Cuando ambos procedimientos producen resultados similares, probablemente los supuestos del análisis de varianza se satisfacen razonablemente, y el análisis estándar es satisfactorio. Cuando los dos procedimientos difieren, deberá darse preferencia a la transformación de rangos, ya que es menos posible que sea distorsionada por una condición de no normalidad o la presencia de observaciones inusuales. En tales casos, tal vez el experimentador quiera investigar el uso de transfor- )1 .il :¡ j 3-11 PROBLEMAS 119 maciones para la faIta de normalidad y examinar los datos y el procedimiento experimental a fin de determinar si hay puntos atípicos y por qué han ocurrido. 3~11 3-1. PROBLEMAS Se estudia la resistencia a la tensión del cemento portland. Pueden usarse económicamente cuatro diferentes técnicas de mezclado. Se han colectado los siguientes datos: Técnica de mezclado Resistencia a la tensión (lb/pulg2) 1 2 3 4 3129 3200 2800 2600 3000 3300 2900 2700 2865 2975 2985 2600 2890 3150 3050 2765 a) Probar la hipótesis de que las técnicas de mezclado afectan la resistencia del cemento. Utilizar a = 0.05. b) Construir una representación gráfica como se describió en la sección 3-5.3 para comparar las resistencias a la tensión promedio de las cuatro técnicas de mezclado. ¿A qué conclusiones se llega? e) Usar el método LSD de Fisher con a = 0.05 para hacer comparaciones entre pares de medias. d) Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales. ¿Qué conclusiones se sacarían acerca de la validez .del supuesto de normalidad? e) Graficar los residuales contra la resistencia a la tensión predicha. Comentar la gráfica. /) Hacer un diagrama de dispersión de los resultados como ayuda para la interpretación de los resultados de este experimento. 3-2. a) Resolver de nuevo el inciso b del problema 3-1 utilizando la prueba del rango múltiple de Duncan con a = 0.05. ¿Hay alguna diferencia en las conclusiones? b) Resolver de nuevo el inciso b del problema 3-1 utilizando la prueba de Tukey con a = 0.05. ¿Se llega a las .mismas conclusiones con la prueba de Tukey que las obtenidas con el procedimiento gráfico y/o con la prueba del rango múltiple de Duncan? e) Explicar la diferencia entre los procedimientos de Duncan y de Tukey. 3-3. Considere nuevamente el problema 3-1. Encontrar un intervalo de confianza de 95 % para la resistencia a la tensión media del cemento portland que produce cada una de las cuatro técnicas de mezclado. Encontrar también un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en las medias de las técnicas 1 y 3. ¿Sirve esto de ayuda para interpretar los resultados del experimento? 3-4. Se llevó a cabo un experimento a fin de determinar si cuatro temperaturas de cocción específicas afectan la densidad de cierto tipo de ladrillo. El experimento produjo los siguientes datos: Temperatura 100 125 150 175 Densidad 21.8 21.7 21.9 21.9 21.9 21.4 21.8 21.7 21.7 21.5 21.8 21.8 21.6 21.4 21.6 21.4 21.7 21.5 a) ¿La temperatura de cocción afecta la densidad de los ladrillos? Utilizar a = 0.05. b) ¿Es apropiado comparar las medias utilizando la prueba del rango múltiple de Duncan (por ejemplo) en este experimento? e) Analizar los residuales de este experimento. ¿Se satisfacen los supuestos del análisis de varianza? d) Construir una representación gráfica de los tratamientos como se describió en la sección 3-5.3. ¿Esta gráfica resume adecuadamente los resultados del análisis de varianza del inciso a? 120 3-5. 3-6. CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA Resolver de nuevo el inciso d del problema 3-4 utilizando el método LSD de Fisher. ¿A qué conclusiones se llega? Explicar en detalle cómo se modificó la técnica para tomar en cuenta los tamaños de las muestras desiguales. Un fabricante de televisores está interesado en el efecto de cuatro tipos diferentes de recubrimientos para cinescopias de color sobre la conductividad de un cinescopio. Se obtienen los siguientes datos de la conductividad: Tipo de recubrimiento 1 2 3 4 143 152 134 129 Conductividad 141 150 149 137 132 136 127 132 146 143 127 129 a) ¿Hay alguna diferencia en la conductividad debida al tipo de recubrimiento? Utilizar a = 0.05. b) Estimar la media global y los efectos de los tratamientos. e) Calcular la estimación de un intervalo de confianza de 95% para la media del tipo de recubrimiento 4. Calcular la estimación de un intervalo de confianza de 99% para la diferencia media entre los tipos de recubrimiento 1 y 4. d) Probar todos los pares de medias utilizando el método LSD de Fisher con a = 0.05. e) Usar el método gráfico comentado en la sección 3-5.3 para comparar las medias. ¿Cuál es el tip9 de recubrimiento que produce la conductividad más alta? f) Suponiendo que el recubrimiento tipo 4 es el que se está usando actualmente, ¿qué se recomendaría al fabricante? Quiere minimizarse la conductividad. 3-7. Considere nuevamente el experimento del problema 3-6. Analizar los residuales y sacar conclusiones acerca de la adecuación del modelo. 3-8. En un artículo deACI Matelials Jaumal (vol. 84, pp. 213-216) se describen varios experimentos para investigar el varillado del concreto para eiiminar el aire atrapado. Se usó un cilindro de 3 x 6 pulgadas; y el número de veces que esta barra se utilizó es la variable del diseño. La resistencia a la compresión resultante de la muestra de concreto es la respuesta. Los datos se muestran en la tabla siguiente: Resistencia a la compresión Nivel de varillado 10 15 20 25 1530 1610 1560 1500 1530 1650 1730 1490 1440 1500 1530 1510 a) ¿Hay alguna diferencia en la resistencia a la compresión debida al nivel de varillado? Utilizar a = 0.05. b) Encontrar el valor P para el estadístico F del inciso a. 3-9. e) Analizar los residuales de este experimento. ¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca de los supuestos fundamentales del modelo? d) Construir una representación gráfica para comparar las medias de los tratamientos, como se describió en la sección 3-5.3. En un artículo de Environment Intematianal (vol. 18, no. 4) se describe un experimento en el que se investigó la cantidad de radón liberado en las duchas. Se usó agua enriquecida con radón en el experimento, y se probaron seis diámetros diferentes de los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se muestran en la .•.~ siguiente tabla: " j 3-Ü:PROBLEMAS Diámetro de los orificios 80 75 74 67 62 60 0.37 0.51 0.71 1.02 1.40 1.99 Radón liberado (%) 83 83 75 79 73 76 72 74 62 67 61' 64 121 85" 79 ¡ 77: 74 69' 66 a) ¿El tamaño de los orificios afecta el porcentaje promedio del radónliberad6?.utilizar a = 0.05. b) Encontrar el valor P para el estadístico F del inciso a.. 3-10. e) Analizar los residuales de este experimento. d) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje promedio de radón liberado cuando el diámetro de los orificios es 1.40. e) Construir una representación gráfica para comparar las medias de los tratamientds;como se describió en la sección 3-5.3. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? Se determinó el tiempo de respuesta en milisegundos para tres diferentes tipos de circuitos que podrían usarse en un mecanismo de desconexión automática. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Tipo de circuito 1 2 3 Tiempo de respuesta 9 20 6 12 21 5 10 23 8 8 17 16 15 30 7 a) Probar la hipótesis de que los tres tipos de circuitostienen'd mismo tiempo de respuesta. Utilizar a = 0.01. b) Usar la prueba de Tukey para comparar pares de medias de los tratamientos. 'Utilizar a= 0.01. e) Usar el procedimiento gráfico de la sección3-5.3 para comparar las medias de los tratamientos. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? ¿Cómo se comparan con las conclusiones del inciso b? d) Construir un conjunto de contrastes ortogonales, suponiendo que al principio del experimento se sospechaba que el tiempo de respuesta del circuito tipo 2 era diferente del de los otros dos. e) Si el lector fuera el ingeniero de diseño y quisiera minimizar el tiempo de respuesta, ¿qué tipo de circuito seleccionaría? f) Analizar los residuales de este experimento. ¿Se satisfacen los supuestos del análisis de varianza básico? 3-11. Se estudia la vida efectiva de los fluidos aislantes en una carga acelerada de 35 kV. Se han obtenido datos de una prueba para cuatro tipos de fluidos. Los resultados fueron los siguientes: Tipo de fluido 1 2 3 4 17.6 16.9 21.4 19.3 18.9 15.3 23.6 21.1 Vida (en horas) con 35 kV de carga 17.4 16.3 18.6 17.1 18.5 19.4 17.5 16.9 20.1 19.5 20.5 18.3 21.6 20.3 22.3 19.8 122 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL ANÁLISIS DE VARIANZA a) ¿Hay algún indicio de que los fluidos difieran? Utilizar a = 0.05. ¿Cuál fluido seleccionaría el lector, dado que el objetivo es conseguir la vida efectiva más larga? e) Analizarlos residuales de este experimento. ¿Se satisfacen los supuestos del análisis de varianza básico? Se estudian cuatro diferentes tipos de diseños de un circuito digital de computadora para comparar la cantidad de ruido presente. Se obtienen los siguientes datos: b) 3-12. Diseño del circuito 1 2 3 4 3-13. 19 80 47 95 8 80 50 97 a) ¿La cantidad de ruido presente es la misma para los cuatro diseños? Utilizar a = 0.05. b) Analizar los residuales de este experimento. ¿Se satisfacen los supuestos del análisis de varianza? e) ¿Qué diseño del circuito se seleccionaría para usarlo? El ruido bajo es mejor. Se pide a cuatro químicos que determinen el porcentaje de alcohol metílico en cierto compuesto químico. Cada químico hace tres determinaciones, y los resultados son los siguientes: Químico 1 2 3 4 3-14. Ruido observado 19 30 56 73 25 35 83 78 20 61 26 46 Porcentaje de alcohol metílico 84.99 84.04 84.38 85.15 85.13 84.88 84.72 84.48 85.16 84.20 84.10 84.55 a) ¿Los químicos difieren significativamente? Utilizar a = 0.05. b) Analizar los residuales de este experimento. e) Si el químico 2 es un empleado nuevo, construir un conjunto razonable de eX>ntrastes ortogonales que podría haberse usado al principio del experimento. Se someten a estudio tres marcas de baterías. Se sospecha que las vidas (en semanas) de las tres marcas son diferentes. Se prueban cinco baterías de cada marca con los resultados siguientes: Marca 1 Semanas de vida Marca 2 100 96 92 96 92 76 80 75 84 82 Marca 3 108 100 96 98 100 a) ¿Las vidas de estas tres marcas son diferentes? b) Analizar los residuales de este experimento. e) Construir la estimación de un intervalo de confianza de 95% para la vida media de la batería marca 2. Construir la estimación del intervalo de confianza de 99% para la diferencia media entre las vidas de las baterías marcas 2 y 3. 3-11 PROBLEMAS 123 ¿Qué marca seleccionaría el lector para usarla? Si el fabricante reemplazara sin cargo cualquier batería que dure menos de 85 semanas, ¿qué porcentaje esperaría reemplazar la compañía? Se están investigando cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida de tres componentes. Se obtienen las-siguientes concentraciones: d) 3-15. Catalizador 1 58.2 57.2 58.4 55.8 54.9 2 3 4 56.3 54.5 57.0 55.3 50.1 54.2 55.4 52.9 49.9 50.0 51.7 a) ¿Los cuatro catalizadores tienen el mismo efecto sobre la concentración? b) Analizar los residuales de este experimento. 3-16. e) Construir la estimación de un intervalo de confianza de 99% para la respuesta media del catalizador 1. Se llevó a cabo un experimento para investigar la eficacia de cinco materiales aislantes. Se probaron cuatro muestras de cada material con un nivel elevado de voltaje para acelerar el tiempo de falla. Los tiempos de falla (en minutos) se muestran abajo: Material 1 2 3 4 5 3-17. Tiempo de falla (minutos) 110 1 880 495 7 157 2 1256 7040 5 194 4 5276 5307 29 178 18 4355 10,050 2 a) ¿Los cinco materiales tienen el mismo efecto sobre el tiempo de falla? b) Graficar los residuales contra la respuesta predicha. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales. ¿Qué información transmiten estas gráficas? e) Con base en la respuesta del inciso b, realizar otro análisis de los datos del tiempo de falla y sacar las conclusiones apropiadas. Un fabricante de semiconductores ha desarrollado tres métodos diferentes para reducir el conteo de partículas en las obleas. Los tres métodos se prueban en cinco obleas y se obtiene el conteo de partículas después del tratamiento. Los datos se muestran abajo: Método . 1 2 3 Conteo 31 62 53 10 40 27 21 24 120 4 30 97 1 35 68 a) ¿Todos los métodos tienen el mismo efecto sobre el conteo promedio de partículas? b) Graficar los residuales contra la respuesta predicha. Construir una gráfica de probabilidad normal de los e) residuales. ¿Hay motivo de preocupación potencial acerca de la validez de los supuestos? Con base en la respuesta del inciso b, realizar otro análisis de los datos del conteo de partículas y sacar las conclusiones apropiadas. 124 3-18. 3-19. 3-20. 3-21. 3-22. 3-23. 3-24. 3-25. 3-26. 3-27. 3-28. 3-29. 3-30. CAPÍTULO 3 EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: ELANÁLISrS DE VARIANZA Considere la prueba de la igualdad de las medias de dos poblaciones normales, donde las varianzas son desconocidas pero se suponen iguales. El procedimiento de prueba apropiado es la prueba t agrupada o combinada. Demostrar que la prueba t combinada es equivalente al análisis de varianza de un solo factor. Demostrar que la varianza de la combinación lineal ~:=¡CiYi. es a2~:=¡nici2. En un experimento con efectos fijos, suponga que hay n observaciones para cada uno de cuatro tratamientos. Sean (42, Qi, Q; los componentes con un solo grado de libertad de los contrastes ortogonales. Demostrar que S STratamientos = Q¡2 + Qi + Q;. Utilizar la prueba de Bartlett para determinar si el supuesto de la igualdad de las varianzas se satisface en el problema 3-14. Utilizar a = 0.05. ¿Se llegó a la misma conclusión respecto de la igualdad de las varianzas con el examen de las gráficas de los residuales? Utilizar la prueba de Levene modificada para determinar si el supuesto de las varianzas iguales se satisface en el problema 3-14. Utilizar a = 0.05. ¿Se llegó a la misma conclusión respecto de la igualdad de las varianzas con el examen de las gráficas de los residuales? Referirse al problema 3-10. Si quiere detectarse una diferencia máxima en los tiempos de respuesta promedio de 10 milisegundos con una probabilidad de al menos 0.90, ¿qué tamaño de la muestra deberá usarse? ¿Cómo se obtendría una estimación preliminar de a2 ? Referirse al problema 3-14. a) Si quiere detectarse una diferencia máxima en la vida de las baterías de 10 horas con una probabilidad de al menos 0.90, ¿qué tamaño de la muestra deberá usarse? Comentar cómo se obtendría una estimación preliminar de a2 para responder esta pregunta. b) Si la diferencia entre las marcas es lo suficientemente grande para que la desviación estándar de una observación se incremente en 25%, ¿qué tamaño de la muestra deberá usarse si quiere detectarse esto con una probabilidad de al menos 0.90? Considere el experimento del problema 3-14. Si quiere construirse un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en las vidas medias de dos baterías que tenga una precisión de ±2 semanas, ¿cuántas baterías de cada marca deben probarse? Suponga que cuatro poblaciones normales tienen medias,u¡ = 50,,u2 = 60,,u3 = 50 y,u4 = 60. ¿Cuántas observaciones deberán hacerse en cada población para que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de la igualdad de las medias poblacionales sea al menos 0.90? Suponer que a = 0.05 y que una estimación razonable de la varianza de error es a2 = 25. Referirse al problema 3-26. a) ¿En qué forma cambiaría la respuesta si una estimación razonable de la varianza del error experimental fuera a2 = 36? b) ¿En qué forma cambiaría la respuesta si una estimación razonable de la varianza del error experimental fuera a2 = 49? e) ¿Puede sacarse alguna conclusión acerca de la sensibilidad de la respuesta dada en esta situación particular acerca de cómo afecta la estimación de a la decisión referente al tamaño de la muestra? d) ¿Puede hacerse alguna recomendación acerca de cómo debería usarse este enfoque general para elegir n en la práctica? Referirse al experimento de la fundición de aluminio descrito en la sección 3-8. Verificar que los métodos para controlar la proporción de alúmina no afectan el voltaje promedio de la celda. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales. Graficar los residuales contra los valores predichos. ¿Existe algún indicio de que se violan algunos de los supuestos fundamentales? Referirse al experimento de la fundición de aluminio de la sección 3-8. Verificar el análisis de varianza del ruido del crisol que se resume en la tabla 3-13. Examinar las gráficas de los residuales usuales y comentar la validez del experimento. Se investigaron cuatro diferentes velocidades de alimentación en un experimento con unamáquina CNC que produce una pieza que se usa en la unidad de potencia auxiliar de un avión. El ingeniero de manufactura a cargo del experimento sabe que una dimensión crítica de la pieza de interés puede ser afectada por la velocidad de alimentación. Sin embargo, la experiencia previa indica que es probable que sólo estén presentes 3-11 PROBLEMAS 125 efectos de dispersión. Es decir, al cambiarse la velocidad de alimentación no se afecta la dimensión promedio, pero podría afectarse la variabilidad dimensional. El ingeniero realiza cinco corridas de producción con cada velocidad de alimentación y obtiene la desviación estándar de la dimensión crítica (en 10-3 mm). Los datos se muestran abajo. Suponer que todas las corridas se hicieron en orden aleatorio. Velocidad de alimentación (pulgadas/minuto) 10 12 14 16 Corrida de producción 1 0.09 0.06 0.11 0.19 2 0.10 0.09 0.08 0.13 3 0.13 0.12 0.08 0.15 4 0.08 0.07 0.05 0.20 5 0.07 0.12 0.06 0.11 a) ¿La velocidad de alimentación tiene algún efecto sobre la desviación estándar de esta dimensión crítica? b) Usar los residuales de este experimento para investigar la adecuación del modelo. ¿Hay algún problema 3-31. 3-32. 3-33. 3-34. 3-35. con la validez experimental? Considere los datos del problema 3-10. a) Escribir las ecuaciones normales de mínimos cuadrados para este problema y resolverlas para it y Ti' utilizando la restricción usual C~:¡=1Ti = O). Estimar T 1 - T 2• b) Resolver las ecuaciones del inciso a utilizando la restricción i 3 = O. ¿Los estimadores i i Yit son los mismos que se encontraron en el inciso a? ¿Por qué? Estimar ahora T 1 -T2 Y compararla respuesta con la del inciso a. ¿Qué afirmación puede hacerse respecto de estimar los contrastes en las Ti? e) Estimar fl + T¡, 2T 1 -T2 - T3, Yfl + T1 + T 2 utilizando las dos soluciones de las ecuaciones normales. Comparar los resultados obtenidos en cada caso. Aplicar la prueba general de significación de la regresión en el experimento del ejemplo 3-1. Demostrar que el procedimiento produce los mismos resultados que el análisis de varianza usual. Usar la prueba de Kruskal-Wallis en el experimento del problema 3-11. Comparar las conclusiones obtenidas con las del análisis de varianza usual. Usar la prueba de Kruskal-Wallis en el experimento del problema 3-12. ¿Los resultados son comparables con los encontrados por el análisis de varianza usual? Considere el experimento del ejemplo 3-1. Suponga que la observación mayor de la resistencia a la tensión se registró incorrectamente como 50. ¿Qué efecto tiene esto sobre el análisis de varianza usual? ¿Qué efecto tiene sobre la prueba de Kruskal-Wallis? Bloques aleatorizados, cuadrados latinos y diseños relacionados 4~ 1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados. En general, un factor perturbador puede definirse como un factor del diseño que probablemente tenga un efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe un interés específico. En ocasiones un factor perturbador es desconocido y no controlable; es decir, se desconoce la existencia de ese factor e incluso puede tener niveles variables mientras se está realizando el experimento. La aleatorización es la técnica de diseño que se utiliza para protegerse contra estos factores perturbadores "que están al acecho". En otros casos, el factor perturbador es conocido pero no controlable. Si por lo menos puede observarse el valor que asume el factor perturbador en cada corrida del experimento, es posible hacer la compensación correspondiente en el análisis estadístico mediante el uso del análisis de covarianza, una técnica que se revisará en el capítulo 14. Cuando la fuente de variabilidad perturbadora es conocida y controlable, puede usarse una técnica de diseño llamada formación de bloques para eliminar de manera sistemática su efecto sobre las comparaciones estadísticas entre los tratamientos. La formación de bloques es una técnica de diseño en extremo importante que se utiliza ampliamente en la experimentación industrial, y es la materia de este capítulo. Para ilustrar la idea general, suponga que quiere determinarse si cuatro puntas diferentes producen o no lecturas diferentes en una máquina para probar la dureza. Un experimento como éste podría ser parte de un estudio de la aptitud en la calibración de los instrumentos. La máquina funciona presionando la punta en un ejemplar de prueba de metal, y por la profundidad de la depresión resultante puede determinarse la dureza del ejemplar. El experimentador ha decidido obtener cuatro observaciones para cada punta. Hay un solo factor---'-el tipo de punta-, y un diseño completamente aleatorizado de un solo factor consistiría en asignar al azar cada una de las 4 X 4 = 16 corridas a una unidad experimental, es decir, a un ejemplar de prueba de metal, y observar qué resulta de la lectura de la dureza. Por lo tanto, se necesitarían 16 ejemplares de prueba de metal en este experimento, uno por cada corrida del diseño. Existe un problema potencialmente serio con un experimento por completo aleatorizado en esta situación de diseño. Si los ejemplares de prueba de metal difieren ligeramente en sus durezas, como podría 126 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS Tabla 4-1 Diseño de bloques completos aleatorizados para el experimento de la prueba de la dureza Tipo de punta 1 2 3 4 127 1 9.3 9.4 9.2 9.7 Ejemplar de prueba 2 3 9.4 9.3 9.4 9.6 9.6 9.8 9.5 10.0 4 10.0 9.9 9.7 10.2 ocurrir si se tomaran de lingotes que se produjeron con temperaturas diferentes, las unidades experimentales (los ejemplares de prueba) contribuirán a la variabilidad observada en los datos de la dureza. Como resultado, el error experimental reflejará tanto el error aleatorio como la variabilidad entre los ejemplares de prueba. El objetivo sería hacer el error experimental tan pequeño como fuera posible; es decir, querría eliminarse del error experimental la variabilidad entre los ejemplares de prueba. Un diseño para lograr esto requiere que el experimentador pruebe cada punta una vez en cada uno de los cuatro ejemplares de prueba. A este diseño, que se muestra en la tabla 4-1, se le llama diseño de bloques completos aleatorizados (ReBD, randomized complete block design). La respuesta observada es la dureza en la escala C de Rockwell menos 40. La palabra "completos" indica que cada bloque (ejemplar de prueba) contiene todos los tratamientos(puntas). Al utilizar este diseño, los bloques o ejemplares de prueba forman una unidad experimental más homogénea en la cual comparar las puntas. De hecho, esta estrategia de diseño mejora la precisión de las comparaciones entre las puntas al eliminar la variabilidad entre los ejemplares de prueba. Dentro de un bloque, el orden en que se prueban las cuatro puntas se determina aleatoriamente. Observe la similitud de este problema de diseño con el de la sección 2-5, donde se analizó la prueba t: pareada. El diseño de bloques completos aleatorizados es una generalización de ese concepto. El RCBD es uno de los diseños experimentales más utilizados. Son numerosas las situaciones en las que el RCBD es apropiado. Las unidades de equipo o maquinaria de prueba son con frecuencia diferentes en sus características de operación y serían un factor de formación de bloques típico. Lotes de materia prima, personas y el tiempo también son fuentes de variabilidad perturbadora comunes en un experimento que pueden controlarse de manera sistemática mediante la formación de bloques. La formación de bloques también puede ser útil en situaciones que no incluyen necesariamente factores perturbadores. Por ejemplo, suponga que un ingeniero químico está interesado en el efecto de la velocidad de alimentación del catalizador sobre la viscosidad de un polímero. Sabe que hay varios factores, como la fuente de la materia prima, la temperatura, el operador y la pureza de la materia prima, que son muy difíciles de controlar en proceso en gran escala. Por lo tanto, decide probar en bloques la velocidad de alimentación del catalizador, donde cada bloque consiste en alguna combinación de estos factores no controlables. De hecho, está utilizando los bloques para probar la robustez de su variable de proceso (la velocidad de alimentación) para las condiciones que no puede controlar con facilidad. Para un análisis más amplio de este punto, ver Coleman y Montgomery [27]. 4-1.1 Análisis estadístico del diseño de bloques completos aleatorlzados Suponga que se tienen, en general, a tratamientos que van a compararse y b bloques. El diseño de bloques completos aleatorizados se muestra en la figura 4-1. Hay una observación por tratamiento en cada bloque, y el orden en que se corren los tratamientos dentro de cada bloque se determina al azar. Debido a r']' I 128 Bloque 1 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Bloque 2 Bloque b Yab Figura 4·1 El diseño de bloques completos aIeatorizados. que la única aleatorización de los tratamientos se hace dentro de los bloques, con frecuencia se dice que los bloques representan una restricción sobre la aleatorización. El modelo estadístico del RCBD puede escribirse de varias maneras. El tradicional es el modelo de los efectos: Yij=fl+T¡+f3j+8ij i=l, 2, ..., a { ) '=1" 2 ... , b (4-1) donde fl es la media global, T¡ es el efecto del tratamiento i-ésimo, f3j es el efecto del bloque j-ésimo, y 8ij es el término del error NID(O, 02) usual. Se considerará inicialmente que los tratamientos y los bloques son factores fijos. Como en el modelo del diseño experimental con un solo factor del capítulo 3, el modelo de los efectos para el RCBD es un modelo sobreespecificado. En consecuencia, los efectos de los tratamientos y los bloques se consideran por lo general como desviaciones de la media global, por lo que También es posible usar un modelo de las medias para el RCBD, por ejemplo i=l, 2, ..., a 2 b , 'o .. , Yij=flij+8ij { )'=1 donde fl¡j = fl + T¡ + f3j. Sin embargo, en este capítulo se usará el modelo de los efectos de la ecuación 4-1. En un experimento en el que se use el RCBD, el interés se encuentra en probar la igualdad de las medias de los tratamientos. Por lo tanto, las hipótesis de interés son H o : fll = fl = ... = fla 2 H 1 : al menos una fl ¡ :;é fl j Puesto que la media del tratamiento i-ésimo es fl¡ = (l/b)L ~=l (¡J. + T¡ + f3j) = fl + T¡, una manera equivalente de escribir las hipótesis anteriores es en términos de los efectos de los tratamientos, por ejemplo H o :T 1 =T 2 ='''=T a =O H 1 : T ¡ :;é O para al menos una i Seay¡. el total de observaciones hechas bajo el tratamiento i'YJ el total de observaciones del bloquej,y'. el gran total de las observaciones y N = ab el número total de observaciones. Expresado matemáticamente, 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS 129 b Yi. = 2: Yij i=1, 2, ..., a (4-2) Yj =~ Yij j=1,.2, ..., b (4-3) j=1 i=1 y ~ b a Y.. = 2: L i=1 j=1 Yij b =L =L Yi. i=1 j=1 Yj -(4-4) De manera similar'Yi. es el promedio de las observaciones hechas bajo el tratamiento i,YJ es el promedio de las observaciones del bloque j, es el gran promedio de todas las observaciones. Es decir, Y.. Yi. = Yi. / b Y.j = Y. j / a Y.. / N (4-5) La suma de cuadrados total corregida puede expresarse como a a b b LL (Yij - y.. )2 = LL [(Yi. - Y.. )+(Y.j - Y.. )+(Yij - Yi. - Y.j + Y.. )]2 i=1 j=1 i=1 j=1 (4-6) Al desarrollar el miembro del lado derecho de la ecuación 4-6 se obtiene a b " LJ " ( Yij _ Y. - )2 LJ i=1 j=1 a b = b" - )2 +a LJ " (-Yj _ Y.. - )2 LJ (-Yi. _ Y. j=1 i=1 a a b b +" - _ Y. - j + Y.. - )2 + 2" " (-Yi. _ Y.. - )(- ) LJ " LJ ( Yij _ Yi. LJ LJ Y. j _ Y.. i=1 j=1 a i=1 j=1 b + 2" " (-Yj - Y.. -)( Yij - Yi. - - Yj - + Y.. - ) LJ LJ i=1 j=1 a b +2"" LJLJ (Yi. --)( Y.. Yij -Yi. -Y.j +Y.. ) i=1 j=1 Mediante procedimientos algebraicos simples, pero laboriosos, se prueba que los tres productos cruzados son cero. Por lo tanto, a b a "" - )2 LJ LJ ( Yij _ Y. ;=1 j=1 = b" LJ ;=1 a b (-Yi. _ Y.. - )2 + a LJ " (-Yj _ Y. - )2 j=1 b +" " (Yij - Y.- j - Yi. - + Y.. - )2 LJLJ (4-7) i=1 j=1 representa una partición de la suma de cuadrados total. Al expresar simbólicamente las sumas de cuadrados de la ecuación 4-7, se tiene SST = SSTratamientos +SSBloques +SSE (4-8) Puesto que hay N observaciones, SS T tiene N - 1 grados de libertad. Haya tratamientos y b bloques, de donde SSltatamientos y SSBloques tienen a -1 y b -1 grados de libertad, respectivamente. La suma de cuadra- 130 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS dos del error es sólo la suma de cuadrados entre las celdas menos la suma de cuadrados de los tratamientos ylos bloques. Hayab celdas conab -1 grados de libertad entre ellas, de donde SSEtiene ab -1- (a -1) - (b -1) = (a -l)(b -1) grados de libertad. Además, la suma de los grados de libertad del lado derecho de la ecuación 4-8 es igual al total del lado izquierdo; por lo tanto, al establecer los supuestos de normalidad usuales para los errores, puede usarse el teorema 3-1 para demostrar que SSTratamiento/if, SSBloque/if y SSE/if son variables aleatorias ji-cuadrada con distribuciones independientes. Cada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio. Puede demostrarse que el valor esperado de los cuadrados medios, si los tratamientos y los bloques son fijos, es a b E( MS Tratamientos ) = a 2 L 7:7 i=l + --'-a--'---lb E(MSBloques) = a 2 E(MS E)= a 2 + aL f3~ 1'=1 b-1 Por lo tanto, para probar la igualdad de las medias de los tratamientos, se usaría el estadístico de prueba F. o = MSTratamientos MS E que se distribuye como F a_1, (a-1j(b-1) si la hipótesis nula es verdadera. La región crítica es la cola superior de la distribución F, y H o se rechazaría si F o > Fa, a-1, (a-l)(b-1)' También podría haber interés en comparar las medias de los bloques porque, en caso de que la diferencia entre estas medias no sea considerable, quizá no sea necesaria la formación de bloques en experimentos futuros. Por los cuadrados medios esperados, aparentemente la hipótesis H o:f31' = O puede probarse comparando el estadístico Fo = MSBloque/MSE con Fa, b-1, (a-1)(b-1)' Sin embargo, recuerde que la aleatorización sólo se ha aplicado a los tratamientos dentro de los bloques; es decir, los bloques representan una restricción sobre la aleatorización. ¿Qué efecto tiene esto sobre el estadístico F o = MS Blo _ que/MSE? Existen diferentes puntos de vista para abordar esta cuestión. Por ejemplo, Box, Hunter y Hunter [18] señalan que la pruebaF del análisis de varianza común puede justificarse exclusivamente con base en la aleatorización,1 sin el uso directo del supuesto de normalidad. Agregan que en la prueba para comparar las medias de los bloques no puede recurrirse a dicha justificación debido a la restricción sobre la aleatorización; pero si los errores son NID(O, if), puede usarse el estadístico Fo = MSBloque/MSE para comparar las medias de los bloques. Por otra parte, Anderson y McLean [2] argumentan que la restricción sobre la aleatorización impide que este estadístico sea una prueba significativa para comparar las medias de los bloques y que este cociente F es en realidad una prueba de la igualdad de las medias de los bloques más la restricción sobre la aleatorización (a la que llaman el error de la restricción; ver Anderson y McLean [2] para detalles adicionales). Entonces, ¿qué se hace en la práctica? Debido a que con frecuencia el supuesto de normalidad es cuestionable, considerar Fo = MSBloque/MSE como una pruebaF exacta para la igualdad de las medias de los bloques no es una buena práctica general. Por esa razón, esta prueba F no se incluye en la tabla del análisis de varianza. Sin embargo, como un procedimiento aproximado para investigar el efecto de la variable formación de bloques, examinar el cociente MSBloque/MSEes muy razonable. Si este cociente es muy 1 De hecho, la distribución F de la teoría normal es una aproximación- de la distribución de aleatorización generada al calcular F o a partir de cada asignación posible de las respuestas a los tratamientos. ~ F'o. . 131 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS Tabla 4-2 Análisis de varianza de un diseño de bloques completos aleatorizados Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad SS1i:atamientos a-1 SSTrntamientos a-1 SSBloques b-1 SSBloques Error SSE (a -l)(b -1) b-1 SSE (a-1)(b -1) Total SST N-1 'Itatamientos Bloques Cuadrado medio MSTratamientos grande, implica que el factor formación de bloques tiene un efecto considerable y que la reducción del ruido obtenida por la formación de bloques probablemente fue útil para mejorar la precisión de la comparación de las medias de los tratamientos. El procedimiento suele resumirse en un esquema de análisis de varianza, como el que se muestra en la tabla 4-2. En general, los cálculos se realizarían con un paquete de software de estadística. Sin embargo, es posible obtener fórmulas de cálculo manual de las sumas de cuadrados para los elementos de la ecuación 4-7 expresándolos en términos de los totales de los tratamientos y los bloques. Estas fórmulas de cálculo son a SST = b 2 LL Y~-~ (4-9) i=1 j=1 y.~ b? Yi. - N = -;;? Y.j - N SSTratamientos = 1 a 2 (4-10) 1=1 1 SSBloques 2 b y.~ (4-11) J=1 y la suma de cuadrados del error se obtiene por sustracción como SSE = SST -SSTratamientos -SSBloques (4-12) EJEMPLO 4 1 . Considere el experimento de la prueba de la dureza de la sección 4-1. Hay cuatro puntas y cuatro ejemplares de prueba de metal. Cada punta se prueba una vez en cada ejemplar, resultando un diseño de bloques completos aleatorizados. Los datos obtenidos se repiten por conveniencia en la tabla 4-3. Recuerde que el orden en que se probaron las puntas en un ejemplar particular se determinó al azar. Para simplificar los Tabla 4-3 Diseño de bloques completos aleatorizados para el experimento de la prueba de la dureza Ejemplar de prueba (bloque) ~~p~ 1 2 3 1 2 3 4 9.3 9.4 9.2 9.7 9.4 9.3 9.4 9.6 9.6 9.8 9.5 10.0 4 10.0 9.9 9.7 10.2 132 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-4 Datos codificados del experimento de la prueba de la dureza Ejemplar de prueba (bloque) Tipo de punta 1 234 1 2 3 4 -2 -1 -3 2 -1 -2 -1 1 1 3 O 5 5 4 2 7 -2 15 -4 -3 9 18 20 = Y.. Yi. 3 4 cálculos, los datos originales se codifican restando 9.5 de cada observación y multiplicando el resultado por 10. Se obtienen así los datos de la tabla 4-4. Las sumas de cuadrados se obtienen de la siguiente manera: 4 SST = 4 2 LL y~_LN i=1 j=1 = 154.00- 1 SSTratamientos =bL 4 (22t = 129.00 2 Y.~ Yi. - N 1=1 SSBloqnes SS E =1. [(3)2 +( 4)2 +(_2)2 +(15)2]- (20)2 = 38.50 4 16 1 4 2 l =y'j - N a L j=1 = 1. [(_4)2 +(_3)2 +(9)2 +(18)2]- (20)2 = 82.50 4 16 = SST - SSTratamientos - SSBJoqUes = 129.00- 38.50- 82.50= 8.00 En la tabla 4-5 se presenta el análisis de varianza. Utilizando a = 0.05, el valor crítico de Fes F O•05 ,3.9 = 3.86. Puesto que 14.44 > 3.86, se concluye que el tipo de punta afecta la lectura de la dureza media. El valor P para la prueba también es muy pequeño. Además, al parecer los ejemplares (bloques) difieren de manera significativa, ya que el cuadrado medio de los bloques es grande en relación con el error. Es interesante observar los resultados que se habrían obtenido si no se hubiera tenido conocimiento de los diseños de bloques aleatorizados. Suponga que se usaran cuatro ejemplares, asignando al azar las puntas a cada uno de ellos, y que resultara (por casualidad) el mismo diseño que el de la tabla 4-3. El análisis incorrecto de estos datos como un diseño completamente aleatorizado de un solo factor se presenta en la tabla 4-6. Tabla 4-5 Análisis de varianza del experimento de la prueba de la dureza Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Tratamientos (tipo de punta) 38.50 3 12.83 Bloques (ejemplares) 82.50 3 27.50 0.89 Error 8.00 9 Total 129.00 15 Valor P 14.44 0.0009 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS 133 Tabla 4-6 Análisis incorrecto del experimento de la prueba de la dureza como un diseño completamente aleatorizado Fuente de variación Tipo de punta Error Total Suma de cuadrados 38.50 Grados de libertad 3 12 15 90.50 129.00 Cuadrado medio 12.83 1.70 7.54 Puesto que F O.05 ,3,l2 = 3.49, no puede rechazarse la hipótesis de la igualdad de las mediciones de la dureza media de las cuatro puntas. Por lo tanto, el diseño de bloques aleatorizados reduce lo suficiente la cantidad de ruido en los datos para que las diferencias entre las cuatro puntas sean detectadas. Esto ilustra un punto muy importante. Si un experimentador no. recurre a la formación de bloques cuando debería haberlo hecho, el efecto puede ser inflar el error experimental a tal grado que las diferencias importantes entre las medias de los tratamientos sean indetectables. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • e. • • • • • • • • • • • • Muestra de salida de computadora En la figura 4-2 se muestra la salida de computadora condensada obtenida con Design-Expert para los datos de la prueba de la dureza del ejemplo 4-1. Recuerde que en el análisis original de la tabla 4-5 se utilizaron datos codificados. (Las respuestas originales se codificaron restando 9.5 Ymultiplicando el resultado por 10.) El análisis de computadora utilizó las respuestas originales. Por consiguiente, las sumas de cuadrados de la figura 4-2 son iguales a las de la tabla 4-5 divididas entre 100 (observe que Design-Expe/1 ha redondeado las sumas de cuadrados con dos cifras decimales). Los residuales se enlisüin en la parte inferior de la salida de computadora. Éstos se calculan como eij = Yij - Yij y, como se demostrará más adelante, los valores ajustados son Yij eij = Yij - Yi. - Y.j + Y.. = Yi. + YJ - Y.., de donde (4-13) En la sección siguiente se indicará cómo se usan los residuales en la verificación de la adecuación del modelo. Comparaciones múltiples Si los tratamientos en un RCBD son fijos, y el análisis indica una diferencia significativa en las medias de los tratamientos, al experimentador le interesarán por lo general comparaciones múltiples para descubrir cuáles son los tratamientos cuyas medias difieren. Para ello puede utilizarse cualquiera de los procedimientos de comparaciones múltiples del capítulo 3 (sección 3-5). Simplemente se sustituye en las fórmulas de la sección 3-5 el número de réplicas (n) en el diseño completamente aleatorizado de un solo factor con el número de bloques (b). Asimismo, es necesario recordar usar el número de grados de libertad del error para el bloque aleatorizado [(a -l)(b -1)] en lugar de los grados de libertad del diseño completamente aleatorizado [a(n - 1)]. En la salida de Design-Expert de la figura 4-2 se ilustra el procedimiento LSD de Fisher. Observe que si se usa a = 0.05, se concluiría que f.-l2 = f.-l3' Ahora bien, puesto que Y3. :5 Yl. :5 Y2. (es decir, las medias Y2. y Y3. abarcan algunas de las medias restantes), una conclusión inmediata sería que ¡.tl = ¡.t2 = ¡.t3' Además, f.-l4 es diferente de las otras tres medias. Se concluye por lo tanto que la punta tipo 4 produce una dureza media que es significativamente más alta que las lecturas de la dureza media de los otros tres tipos de puntas. 134 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Response: Hardness in Rockwell C ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squaresl Sumof Squares DF Block Model 0.82 0.38 3 3 0.27 0.13 A Residual Cor Total 0.38 3 0.13 0.080 1.29 9 15 8.889E-003 Source 0.094 9.63 0.98 0.25 Std.Dev. Mean C.V. PRESS F Value Mean Square 0.0009 14.44 14.44 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision Prob> F significant 0.0009 0.8280 0.7706 0.4563 15.635 Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error 1-A1 2-A2 3-A3 4-A4 9.57 9.60 9.45 9.88 0.47 0.47 0.47 0.47 Treatment Mean Difference DF Standard Error t for Ho Coeff=O 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 2 vs 3 2 vs 4 3 vs 4 -0.025 0.13 -0.30 0.15 -0.27 -0.43 1 1 1 1 1 1 0.067 0.067 0.067 0.067 0.067 0.067 -0.38 1.87 -4.50 2.25 -4.12 -6.37 Diagnostics Case Statistics Standard Actual Predicted Order Value Value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Figura 4-2 9.30 9.40 9.60 10.00 9.40 9.30 9.80 9.90 9.20 9.40 9.50 9.70 9.70 9.60 10.00 10.20 9.35 9.38 9.67 9.90 9.38 9.40 9.70 9.93 9.22 9.25 9.55 9.78 9.65 9.68 9.97 10.20 Prob> Itl 0.7163 0.0935 0.0015 0.0510 0.0026 0.0001 Leverage Student Residual Cook's Distance Outlier Residual -0.050 0.025 -0.075 0.100 0.025 -0.100 0.100 -0.025 -0.025 0.150 -0.050 -0.075 0.050 -0.075 0.025 0.000 0.438 0.438 0.437 0.438 0.438 0.437 0.437 0.437 0.438 0.437 0.437 0.437 0.438 0.437 0.437 0.437 -0.707 0.354 -1.061 1.414 0.354 -1.414 1.414 -0.354 -0.354 2.121 -0.707 -1.061 0.707 -1.061 0.354 0.000 0.056 0.014 0.125 0.222 0.014 0.222 0.222 0.014 0.014 0.500 0.056 0.125 0.056 0.125 0.014 0.000 -0.6.86 0.336 -1.069 1.512 0.336 -1.512 1.512 -0.336 -0.336 2.828 -0.686 -1.069 0.686 -1.069 0.336 0.000 Salida de Design-Expe/1 (condensada) para el ejemplo 4-1. t 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS -1 Punta Punta Punta 3 1 2 • o • • 135 Punta 4 • I 4 3 2 Dureza promedio (codificada) Figura 4-3 Las medias del tipo de punta en relación con una distribución t escalada con un factor de escaIación ,JMSE / b =.J0.89 / 4 = 0.47. Thmbién puede usarse el procedimiento gráfico del capítulo 3 (sección 3-5.1) para comparar las medias del tipo de punta. En la figura 4-3 se grafican las cuatro medias del tipo de punta del ejemplo 4-1 en relación con una distribuciónt escalada con un factor de escalación.J MS E/ b = .Jo. 89 1-4 = 0.47. Esta gráfica indica que las puntas 1, 2 Y3 producen probablemente mediciones de la dureza promedio idénticas, pero que la punta 4 produce una dureza media mucho más alta. Esta figura confirma los resultados de la prueba LSD de Fisher incluida en la salida de Design-Expert de la figura 4-2. 4~ 1.2 Verificación de la adecuación del modelo Se ha comentado ya la importancia de verificar la adecuación del modelo supuesto. En general, deberá estarse alerta a los problemas potenciales con el supuesto de normalidad, con la desigualdad de la varianza por tratamiento o bloque, y con la interacción bloque-tratamiento. Como en el diseño completamente aleatorizado, el análisis residual es la herramienta principal que se utiliza en estos diagnósticos de verificación. En la parte inferior de la salida de Design-Expel1 de la figura 4-2 se enlistan los residuales del diseño de bloques aleatorizados. Los residuales codificados se encontrarían multiplicando estos residuales por 10. Las observaciones, los valores ajustados y los residuales de los datos codificados de la prueba de la dureza del ejemplo 4-1 son los siguientes: Yij Yij eij -2.00 -1.00 1.00 5.00 -1.00 -2.00 3.00 4.00 -3.00 -1.00 0.00 2.00 2.00 1.00 5.00 7.00 -1.50 -1.25 1.75 4.00 -1.25 -1.00 2.00 4.25 -2.75 -2.50 0.50 2.75 1.50 1.75 4.75 7.00 -0.50 0.25 -0.75 1.00 0.25 -1.00 1.00 -0.25 -0.25 1.50 -0.50 -0.75 0.50 -0.75 0.25 0.00 En la figura 4-4 se muestra la gráfica de probabilidad normal y el diagrama de puntos de estos residuales. No hay indicios marcados de no normalidad y tampoco hay evidencia que apunte a la posible presencia de puntos atípicos. En la figura 4-5 se muestran las gráficas de los residuales por tipo de punta o 136 CAPÍTULO 4 -0.1 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS -0.0375 0.0875 0.025 0.15 Residuales Figura 4·4 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 4-1. tratamiento y por ejemplar de prueba o bloque. Estas gráficas podrían ser, potencialmente, muy informativas. Si hay una dispersión mayor en los residuales de una punta particular, esto podría indicar que dicha punta produce lecturas de la dureza más erráticas que las otras. Una dispersión mayor en los residuales de un ejemplar de prueba particular podría indicar que la dureza del ejemplar no es uniforme. Sin embargo, en el ejemplo tratado aquí, la figura 4-5 no ofrece indicios de desigualdad de la varianza por tratamiento o por bloque. En la figura 4-6 se grafican los residuales contra los valores ajustados Yij' No deberá haber relación entre el tamaño de los residuales y los valores ajustados Yij' En esta gráfica no se observa nada de interés extraordinario. En ocasiones la gráfica de los residuales contra Yij tiene una forma curvilínea; por ejemplo, puede haber una tendencia para que ocurran residuales negativos con valores bajos de Yij' residuales positivos con valores intermedios de Yij y residuales negativos con valores altos de Yij' Este tipo de patrón sugiere la existencia de una interacción entre los bloques y los tratamientos. Cuando se presente este patrón, deberá usarse una transformación en un esfuerzo por eliminar o minimizar la interacción. En el capítulo 5 (sección 5-3.7) se describe una prueba estadística que puede utilizarse para detectar la presencia de interacción en un diseño de bloques aleatorizados. 4~ 1.3 Otros aspectos del diseño de bloques completos aleatorlzados Aditividad del modelo de bloques aleatorlzados El modelo estadístico lineal que se ha usado para el diseño de bloques aleatorizados Yij = #+T:¡ +f3 j +cij . 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS 137 2.0 1.0 • • •• •• ';'''' 0.0 -1.0 • • ••• • 2 • 4 3 Tipo de punta -2.0 a) e contra tratamiento ü 2.0 • 1.0 ';'''' 0.0 • •• ••2 -1.0 • • •• • 3 4 • Ejemplar de prueba -2.0 b) eij contra bloque Figura 4-5 Gráfica de los residuales por tipo de punta (tratamiento) y por ejemplar de prueba (bloque) para el ejemplo 4-1. es completamente aditivo. Esto quiere decir que, por ejemplo, si el primer tratamiento hace que la respuesta esperada se incremente cinco unidades (í 1 = 5) Ysi el primer bloque incrementa la respuesta esperada 2 unidades (/31 = 2), el incremento esperado en la respuesta tanto del tratamiento 1 como del • 1.50 • 1.00 .. 0.50 ';'''' 0.00 -4 -0.50 -1.00 • o -2 • • •• • • 2 Yij • 4 • 6 8 • • -1.50 Figura 4-6 Gráfica de los residuales contra Yij para el ejemplo 4-1. 138 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS bloque 1 en conjunto esE(Yll) = f-l + 'i I + f3I = It + 5 + 2 = f-l + 7. En general, el tratamiento 1 incrementa siempre la respuesta esperada 5 unidades sobre la suma de la media global y del efecto del bloque. Aun cuando este modelo aditivo simple muchas veces es útil, hay situaciones en las que resulta inadecuado. Suponga, por ejemplo, que se están comparando cuatro formulaciones de un producto químico utilizando seis lotes de materia prima; los lotes de materia prima se consideran bloques. Si una impureza en el lote 2 afecta de manera adversa la formulación 2, dando como resultado un rendimiento inusualmente bajo, pero no afecta las demás formulaciones, ha ocurrido una interacción entre las formulaciones (o tratamientos) y los lotes (o bloques). De manera similar, pueden ocurrir interacciones entre los tratamientos y los bloques cuando la respuesta se mide en la escala incorrecta. Por lo tanto, una relación que es multiplicativa en las unidades originales, por ejemplo es lineal o aditiva en una escala logarítmica, ya que, por ejemplo, o Aun cuando este tipo de interacción puede eliminarse con una transformación, no todas las interacciones pueden tratarse con tanta facilidad. Por ejemplo, una transformación no elimina la-interacción formulación-lote que se señaló antes. El análisis residual y otros procedimientos de diagnóstico de verificación pueden ser útiles para detectar la no aditividad. Si una interacción está presente, puede afectar seriamente el análisis de varianza y posiblemente lo invalide. En general, la presencia de una interacción infla el cuadrado medio del error y puede afectar adversamente la comparación de las medias de los tratamientos. En situaciones en las que ambos factores, así como su posible interacción, son de interés, deben usarse diseños factoriales. Estos diseños se analizan en detalle en los capítulos 5 al 9. Tratamientos y bloques aleatorios Aun cuando el procedimiento de prueba se ha descrito considerando los tratamientos y los bloques como factores fijos, se utiliza el mismo procedimiento de análisis si los tratamientos o los bloques (o ambos) son aleatorios. Sin embargo, hay algunas modificaciones en la interpretación de los resultados. Por ejemplo, si los bloques son aleatorios, como es con mucha frecuencia el caso, se espera que las comparaciones entre los tratamientos sean las mismas a lo largo de la población de bloques de la cual se seleccionaron aleatoriamente para realizar el experímento. Están también las modificaciones correspondientes en los cuadrados medios esperados. Por ejemplo, si los bloques son variables aleatorias independientes con varianza común, entonces E(MSBIOqUes) = if + aa~, donde a~ es el componente de la varianza de los efectos de los bloques. En cualquier situación, E(MSnatamientos) siempre está libre de cualquier efecto de bloque, y el estadístico de prueba para la variabilidad entre los tratamientos siempre es F o = MSnatamientoJMSE' En situaciones en las que los bloques son aleatorios, si está presente una interacción tratamiento-bloque, las pruebas para las medias de los tratamientos no están afectadas por la interacción. La razón de ello es que los cuadrados medios esperados de los tratamientos y del error contienen ambos el efecto de la interacción; por consiguiente, la prueba de las diferencias en las medias de los tratamientos puede realizarse como de costumbre comparando el cuadrado medio de los tratamientos con el cuadrado medio del error. Este procedimiento no proporciona ninguna información acerca de la interacción. 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS 139 Elección del tamaño de la muestra La elección del tamaño de la muestra, o número de bloques que deben correrse, es una decisión impor- tante cuando se usa un RCBD. Al incrementar el número de bloques, se incrementa el número de réplicas y el número de grados de libertad del error, con lo cual se aumenta la sensibilidad del diseño. Cualquiera de las técnicas déscritas en el capítulo 3 (sección 3-7) para seleccionar el número de réplicas que deben correrse en un experimento completamente aleatorizado con un solo factor puede aplicarse de forma directa al RCBD. Para el caso de un factor fijo, las curvas de operación característica de la parte V del apéndice pueden usarse con b Il"7 <])2=~ aa 2 (4-14) donde haya -1 grados de libertad en el numerador y (a -1 )(b -1) grados de libertad en el denominador. EJEMPLO 4..2 . Considere el problema de la prueba de la dureza del ejemplo 4-1. Suponga que quiere determinarse el número apropiado de bloques que deben correrse si el interés se encuentra en detectar una diferencia máxima real en las lecturas de la dureza media de 0.4 con una alta probabilidad, y una estimación razonable de la desviación estándar de los errores es a = 0.1. (Estos valores se dan en las unidades originales; recuerde que el análisis de varianza se realizó usando datos codificados.) Por la ecuación 3-49, el valor mínimo de <])2 es (escribiendo b, el número de bloques, en lugar de n) 2 <])2 = bD 2aa 2 donde D es la diferencia máxima que quiere detectarse. Por lo tanto, <])2 = b(0.4)2 = 2.0b 2(4)(0.1)2 Si se usan b = 3 bloques, entonces <]) = "';2.0b = "';2.0(3) = 2.45, Yhay (a -1)(b -1) = 3(2) = 6 grados de libertad del error. La parte V del apéndice con V¡ = a -1 = 3 Ya = 0.05 indica que el riesgo f3 de este diseño es aproximadamente 0.10 (potencia = 1-f3 = 0.90). Si se usan b = 4 bloques, <]) = "';2.0b = "';2.0(4) = 2.83, con (a -l)(b -1) = 3(3) = 9 grados de libertad del error, y el riesgo f3 correspondiente es aproximadamente 0.03 (potencia = 1-f3 = 0.97). Tres o cuatro bloques darán como resultado un diseño con una alta probabilidad de detectar la diferencia entre las lecturas de la dureza media consideradas importantes. Debido a que los ejemplares de prueba (bloques) son baratos y están en disponibilidad y el costo de la prueba es bajo, el experimentador decide usar cuatro bloques. ............ ........ ........ ........... ................ .......... ........ Estimación de valores faltantes Cuando se usa el RCBD, en ocasiones falta una observación en uno de los bloques. Esto puede ocurrir debido a descuido o error o por razones fuera del control del experimentador, tal como un daño inevitable a una unidad experimental. Una observación faltante introduce un nuevo problema en el análisis debido a que los tratamientos dejan de ser ortogonales a los bloques; es decir, no ocurren todos los tratamientos en 140 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-7 Diseño de bloques completos aleatorizados para el experimento de la prueba de dureza con un valor faltante Tipo de punta 1 2 3 4 1 -2 -1 -3 2 Ejemplar de prueba (bloque) 2 3 -1 1 -2 x -1 O 1 5 4 5 4 2 7 cada uno de los bloques. Existen dos enfoques generales para el problema de los valores faltantes. El primero es un análisis aproximado, en el cual la observación faltante se estima y se lleva a cabo el análisis de varianza usual como si la observación estimada fuera un dato real, con los grados de libertad del error reducidos en 1. Este análisis aproximado es materia de esta sección. El segundo es un análisis exacto, el cual se revisa en la sección 4-1.4. Suponga que falta la observaciónYij del tratamiento i en el bloque j. La observación faltante se denota comox. Como una ilustración, suponga que en el experimento de la prueba de dureza del ejemplo 4-1 el ejemplar de prueba 3 se rompió mientras se probaba la punta 2 y que no pudo obtenerse el dato para esa punta. Los datos aparecerían como en la tabla 4-7. En general, se hará que i represente el gran total con una observación faltante, que y;. represente el total del tratamiento con una observación faltante, y que Y.~ sea el total del bloque con una observación faltante. Suponga que quiere estimarse la observación faltante x de tal modo que x tenga una participación mínima en la suma de cuadrados del error. Puesto que SSE = L~=lL~=l(Yij - Yi. - Y.j + y.. )2, esto es equivalente a elegir x para minimizar a b SSE= 1 ]2 a (b i;~ Y:-¡;i; ~ Yij 1 b -~~ i; Yij )2 +ab1 (ai;~b Yij ]2 (a o SS E 1 1 1 = X2 --(y~ +X)2 __ (y'. +X)2 +-(y' +X)2 +R b a') ab" l. (4-15) donde R incluye todos los términos en los que no interviene x. A partir de dSSE/dx=O, se obtiene a ' +b ' _ x= Yi. Y.j ' Y. (4-16) (a-1)(b-1) como la estimación de la observación faltante. Para los datos de la tabla 4-7, se encuentra que 4-16, y;. = 1, Y.'3 = 6 YY.~ = 17. Por lo tanto, por la ecuación = 4(1)+4(6)-17 = 1.22 x= Y23 (3)(3) Ahora puede realizarse el análisis de varianza común utilizando Y23 = 1.22 Yreduciendo los grados de libertad del error en 1. El análisis de varianza se muestra en la tabla 4-8. Compare los resultados de este análisis aproximado con los resultados obtenidos para el conjunto de datos completo (tabla 4-5). 4-1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS Tabla 4~8 141 Análisis de varianza aproximado del ejemplo 4-1 con un valor faltante Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Tipo de punta Ejemplares de prueba (bloques) Error 'Ibtal 39.98 79.53 6.22 125.73 3 3 8 13.33 26.51 0.78 Valor P 17.12 0.0008 14 Si son varias las observaciones faltantes, pueden estimarse escribiendo la suma de cuadrados del error como una función de los valores faltantes, derivando con respecto a cada valor faltante, igualando los resultados con cero y resolviendo las ecuaciones resultantes. De manera alternativa, puede usarse la ecuación 4-16 de manera iterativa para estimar los valores faltantes. Para ilustrar el enfoque iterativo, suponga que faltan dos valores. Se estima arbitrariamente el primer valor faltante y después se usa este valor junto con los datos reales y la ecuación 4-16 para estimar el segundo. Entonces puede usarse la ecuación 4-16 para volver a estimar el primer valor faltante, y después de esto, puede volver a estimarse el segundo. Este proceso se continúa hasta que se obtiene la convergencia. En cualquier problema con valores faltantes, los grados de libertad del error se reducen en una unidad por cada observación faltante. 4-1.4 Estimación de los parámetros del modelo y la prueba general de significación de la regresión Si tanto los tratamientos como los bloques son fijos, los parámetros del RCBD pueden estimarse por mínimos cuadrados. Recuerde que el modelo estadístico lineal es i=1' 2, ..., a Yij=fl+7:¡+(3j+sij { '=12 b J " (4-17) ..., Al aplicar las reglas de la sección 3-9.2 para encontrar las ecuaciones normales del modelo de un diseño experimental, se obtiene fl: abjl + blt1 + br2 + 7:1: bjl + blt1 7:2: bjl (32: (3b: ajl + + PI + 132 + ... + 'A + PI + 132 + ... + Pb + bfa + 131+ 132 + ... + + r1 + f 2 + ajl + í\ + r2 + ajl + bra + aPl + aP2 + ... + a'A = Y. + M2 7: a: bjl (31: oo' r1 + r2 + ... + fa = Y2. Pb = Ya. + ra + aPl + fa = YI. (4-18) = Yl = Y2 + aP2 + aPb = Yb Observe que la suma de la segunda a la (a + 1)-ésima ecuaciones de la ecuación 4-18 es la primera , ecuación normal, como también es el caso de las b últimas ecuaciones. Por lo tanto, hay dos dependencias 142 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS lineales en las ecuaciones normales, lo cual implica que deben imponerse dos restricciones para resolver la ecuación 4-18. Las restricciones usuales son ! (4-19) ri=O i=l Al utilizar estas restricciones, las ecuaciones normales se simplifican considerablemente. De hecho, quedan como abJt = Y. bJt+bf. = y. aJt+afJ = ;'..J i=l, 2, j= 1,2, ,a ,b (4-20) Jt = Y.. Ji = Yi. -Y.. {3j = Y.j - Y.. i=l, 2, , a j= 1,2, , b (4-21) cuya solución es Al utilizar la solución de la ecuación normal de la ecuación 4-21, puede encontrarse el valor estimado o ajustado de Yij como Yij = Jt+r i +(Jj = Y.- +(-Yi. - Y.- )+(-Yj =Yi. + Y.j - Y.. - ) Y. Este resultado se usó anteriormente en la ecuación 4-13 para calcular los residuales de un diseño de bloques aleatorizados. La prueba general de significación de la regresión puede usarSe para desarrollar el análisis de varianza del diseño de bloques completos aleatorizados. Al utilizar la solución de las ecuaciones normales dada por la ecuación 4-21, la reducción en la suma de cuadrados para ajustar el modelo completo es a R(j-l, 7:, b L r iYi. + L (J Yj i=l j=l {3) = Jty. + j a b = Y. - Y. + LJ ~ (-)Yi. + LJ ~ (- )Yj Yi. - Y. Yj - Y. i=l 2 = ~'b + = L a _l. b i=l ~'b + L J=l L1=1 Yi. Yi. - y2 a + b L j=l b 2 y2 j=l _ y2 Yj Yj - ab y2 _.J - - " a ab con a + b - 1 grados de libertad, y la suma de cuadrados del error es a SSE b = LL Y~ -R(j-l,7:,{3) i=l j=1 a b a 2 b =LLY~-L~-L i=1 j=1 i=1 b j=1 l. +L 2 _'_J a ~ ~ (Yij - Yi. - - Yj - +-Y.. )2 = LJLJ i=1 j=1 ab 4-1 DlSEÑO DE BLOQUES COMPLETDS ALEATORIZADOS 143 con (a - l)(b - 1) grados de libertad. Compare esta última ecuación con SSE en la ecuación 4-7. Para probar la hipótesis Ho:íi = 0, el modelo reducido es = ¡,t+(3j +B ij Yij que es un análisis de varianza de un solo factor. Por analogía con la ecuación 3-5, la reducción en la suma de cuadrados para ajustar el modelo reducido es b R(¡,t, (3) = 2.:j=l 2 ~ a que tiene b grados de libertad. Por lo tanto, la suma de cuadrados debida a {íJ después de ajustar ¡,t y {(3) es R( íl ¡,t, (3) = R(¡,t, í, (3) - R(¡,t, (3) = R(Modelo completo) - R(Modelo reducido) = 2.: 11:..+ 2.: a i=l a = b 2 b j=l 2 2 _L_ 2.: 2 b 2 Yj a 2 Yj j=l a ab 2.: Y; - ~b i=1 expresión que se identifica como la suma de cuadrados de los tratamientos con a - 1 grados de libertad (ecuación 4-10). La suma de cuadrados de los bloques se obtiene ajustando el modelo reducido Yij = ¡,t+í i +Bij que también es un análisis de un solo factor. De nueva cuenta, por analogía con la ecuación 3-5, la reducción en la suma de cuadrados para ajustar este modelo es a R(¡,t, í) = 2.: 2 ~. i=l con a grados de libertad. La suma de cuadrados de los bloques {(3j} después de ajustar ¡,t y {íJ es R((31 ¡,t, í) = R(¡,t, í, (3)- R(¡,t, í) =~ ;=1 b =2:j=l 2 2.: 2 2 a ab b Yi. + b j=l Y.j Y. -- con b - 1 grados de libertad, la cual se había dado anteriormente como la ecuación 4-11. Se han desarrollado las sumas de cuadrados de los tratamientos, de los bloques y del error en el diseño de bloques completos aleatorizados utilizando la prueba general de significación de la regresión. Aun cuando la prueba general de significación de la regresión no se usaría ordinariamente para hacer el análisis real de los datos en un bloque completo aleatorizado, en ocasiones el procedimiento resulta útil en diseños de bloques aleatorizados más generales, como los que se revisan en la sección 4-4. 144 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Análisis exacto del problema del valor faltante En la sección 4-1.3 se presentó un procedimiento aproximado para solucionar las observaciones faltantes en el RCBD. Este análisis aproximado consiste en estimar el valor faltante de tal modo que se minimice el cuadrado medio del error. Puede demostrarse que el análisis aproximado produce un cuadrado medio sesgado de los tratamientos en el sentido de que E(MSnatamientos) es mayor que E(M8E) si la hipótesis nula es verdadera. Por consiguiente, se reportan demasiados resultados significativos. El problema del valor faltante puede analizarse exactamente utilizando la prueba general de significación de la regresión. El valor faltante hace que el diseño sea no balanceado, y dado que no todos los tratamientos ocurren en todos los bloques, se dice que los tratamientos y los bloques no son ortogonales. Este método de análisis también se usa en tipos más generales de diseños de bloques aleatorizados; el tema se analiza con mayor amplitud en la sección 4-4. En el problema 4-26 se le pide al lector que realice el análisis exacto para un diseño de bloques completos aleatorizados con un valor faltante. 4~2 DISEÑO DE CUADRADO LATINO En la sección 4-1 se introdujo el diseño de bloques completos aleatorizados como un diseño para reducir el error residual de un experimento al eliminar la variabilidad debida a una variable perturbadora conocida y controlable. Hay otros tipos de diseños que utilizan el principio de la formación de bloques. Por ejemplo, suponga que un experimentador estudia los efectos que tienen cinco formulaciones diferentes de la carga propulsora utilizada en los sistemas de expulsión de la tripulación de un avión basado en la rapidez de combustión. Cada formulación se hace con un lote de materia prima que sólo alcanza para probar cinco formulaciones. Además, las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencia de los operadores. Por lo tanto, al parecer hay dos factores perturbadores que serán "calculados en promedio" en el diseño: los lotes de materia prima y los operadores. El diseño apropiado para este problema consiste en probar cada formulación exactamente una vez con cada uno de los cinco operadores. Al diseño resultante, ilustrado en la tabla 4-9, se le llama diseño de cuadrado latino. Observe que el diseño es un arreglo cuadrado y que las cinco formulaciones (o tratamientos) se denotan por las letras latinas A, B, C, D YE; de ahí el nombre de cuadrado latino. Se observa que tanto los lotes de materia prima (renglones) como los operadores (columnas) son ortogonales a los tratamientos. El diseño de cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad perturbadora; es decir, permite hacer la formación de bloques sistemática en dos direcciones. Por lo tanto, los renglones y las columnas representan en realidad dos restricciones sobre la aleatorización. En general, un cuadrado latino para p factores, o cuadrado latino p X p, es un cuadrado con p renglones y p columnas. Cada una de las p2 Tabla 4-9 Diseño del cuadrado lat!no para el problema de la carga propulsora Lotes de materia prima 1 2 3 4 5 1 2 A=~ B=W B = 17 C = 18 D = 26 E = 22 C D E A = 24 = 38 = 31 = 30 Operadores 3 c=~ D E A B = 30 = 26 = 26 = 20 4 D =24 E=27 A =27 B = 23 C= 29 5 E= 24 A =36 B = 21 C = 22 D = 31 4-2 DISEÑO DE CUADRADO LATINO 145 celdas resultantes contiene una de las p letras que corresponde a los tratamientos, y cada letra ocurre una y sólo una vez en cada renglón y columna. Algunos ejemplos de cuadrados latinos son 4x4 5x5 6x6 ABDC BCAD CDBA DACB ADBEC DACBE CBEDA BEACD ECDAB ADCEBF BAECFD CEDFAB DCFBEA FBADCE EFBADC El modelo estadístico de un cuadrado latino es i=l' 2, ,P Yijk=fl+a¡+t'j+f3k+Sijk j:1, 2, , p { k-1, 2, , p (4-22) donde Yijk es la observación en el renglón i-ésimo y la columna k-ésima para el tratamiento j-ésimo, fl es la media global, a¡ es el efecto del renglón i-ésimo, t'j es el efecto del tratamientoj-ésimo, f3k es el efecto de la columnak-ésima, y Sijk es el error aleatorio. Observe que se trata de un modelo de los efectos. El modelo es completamente aditivo; es decir, no hay interacción entre renglones, columnas y tratamientos. Puesto que hay una sola observación en cada celda, sólo se necesitan dos de los tres subíndices i, j y k para denotar una observación particular. Por ejemplo, con referencia al problema de la carga propulsora de la tabla 4-9, si i = 2 Yk = 3, se encuentra automáticamente que j = 4 (formulación D), y si i = 1 Yj = 3 (formulación C), se encuentra que k = 3. Ésta es una consecuencia de que cada tratamiento aparezca una vez exactamente en cada renglón y columna. El análisis de varianza consiste en hacer la partición de la suma de cuadrados total de las N = p2 observaciones en los componentes de los renglones, las columnas, los tratamientos y el error, por ejemplo, SST = SSRenglones +SSColnmnas +SSTratamientos +SSE (4-23) con los respectivos grados de libertad p2 -1= p-1+p-1+p-1+(p-2)(p-1) Bajo el supuesto usual de que Sijk es NID(O,o2), cada suma de cuadrados del lado derecho de la ecuación 4-23 es, al dividir por 02, una variable aleatoria ji-cuadrada con una distribución independiente. El estadístico apropiado para probar que no hay diferencias en las medias de los tratamientos es F. O = MS Tratamientos MS E que se distribuye como Fp _ 1, (p -2)(P-l) bajo la hipótesis nula. También puede probarse la ausencia de efectos de los renglones o la ausencia de efectos de las columnas formando el cociente de MSRengloneS o MSColumnas con MSE' Sin embargo, puesto que los renglones y las columnas representan restricciones sobre la aleatorización, estas pruebas quizá no sean apropiadas. En la tabla 4-10 se presenta el procedimiento de cálculo para el análisis de varianza. Por las fórmulas de cálculo para las sumas de cuadrados, se observa que el análisis es una extensión simple del RCBD, con la suma de cuadrados resultante de los renglones obtenida a partir de los totales de los renglones. 146 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-10 Análisis de varianza del diseño del cuadrado latino Fuente de Grados de variación Suma de cuadrados libertad Tratamientos = SSTratamientns 1i p. 2 . 2 y. Y.j. - N Cuadrado medio p-1 J=l 1 Renglones SS Renglnnes = 2 p.2: Yi.. - Y...N P 1 SS _ Cnlumnas =p p-1 2: y ..2k _L.N2 MSTratamientns o MSE p:-1 P SSColumnas p-1 p-l k=l SSE(por sustracción) Error F = p"":l SSRenglnnes 2 1=1 Columnas S STratamientns SSE (p-2)(p-1) (p -2)(P -1) ? Total SST = 2:2::f Y~k -Yj¡ 1 p2-1 J EJEMPLO 4~3 . '~ Considere el problema de la carga propulsora descrito previamente, donde tanto los lotes de materia prima como los operadores representan restricciones sobre la a1eatorización. El diseño para este experimento, el cual se muestra en la tabla 4-9, es un cuadrado latino 5 x 5. Después de codificar los datos restando 25 de cada observación, se obtienen los datos de la tabla 4-11. Las sumas de cuadrados del total de los lotes (renglones) y los operadores (columnas) se calculan de la siguiente manera: SST = LLL i SS Lotes SS Operadores k j 2 Y:k - ~ (10)2 = 680---= 676.00 25 1 P 2 = _" 2 _ Y... p ~ Yi.. N = 2:.[(-14)2 +9 2 +5 2 +3 2 +7 2 ]_ (10)2 = 68 00 5 25 . 1 P 2 _ " 2_~ - p LJ Y. k N k=l = 2:.[(-18)2 + 18 2 +(_4)2 +5 2 +9 2]_ (10)2 = 150.00 25 5 Tabla 4-11 Datos codificados para el problema de la carga propulsora Operadores Lotes de materia prima 1 2 3 1 4 5 A =-1 B =-8 C=-7 D= 1 E=-3 B =-5 C=-l D=13 E= 6 A= 5 C=-6 D= 5 E= 1 A= 1 B=-5 D=-l E= 2 A= 2 B =-2 c= 4 Y.. k -18 18 -4 5 2 3 4 5 E= A= B= C= D= 9 Yi.. -1 -14 11 -4 -3 6 5 3 7 9 10 = Y.. 4-2 DISEÑO DE CUADRADO LATINO Tabla 4-12 Análisis de varianza del experimento de la carga propulsora Suma de Grados de Cuadrado cuadrados libertad medio Fuente de variación 330.00 4 82.50 Formulaciones 68.00 4 17.00 Lotes de materia'prima 150.00 4 37.50 Operadores 12 10.67 128.00 Error 676.00 24 Total 7.73 147 ValorP 0.0025 Los totales para los tratamientos (las letras latinas) son Letra latina Total del tratamiento = A y.!. B e Y.2. = -24 Y.3. = -13 D YA. E Y.s. = = 18 24 5 La suma de cuadrados que resulta de las formulaciones se calcula a partir de estos totales como 1 SS P -_" Formulaciones ~ J=l p 2 Yj.2_~ N = 18 2 +(-24)2 +(_13)2 +24 2 +5 2 (10)2 = 330.00 25 5 La suma de cuadrados del error se encuentra por sustracción: SSE = SST - SSLotes - SS Operadores - SSFormulacioncs = 676.00- 68.00-150.00- 330.00 = 128.00 El análisis de varianza se resume en la tabla 4-12. Se concluye que hay una diferencia significativa en la rapidez de combustión media generada por las diferentes formulaciones de' la carga propulsora. También hay indicios de que hay diferencias entre los operadores, por lo que la formación de bloques de este factor fue una buena precaución. No hay evidencia sólida de una diferencia entre los lotes de materia prima, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una preocupación innecesaria en esta fuente de variabilidad. Sin embargo, la formación de bloques de los lotes de materia prima es por lo general una buena idea. ..... .... ....... ......... ...... ..... ......... ...... ............ ..... ..... Como en cualquier problema de diseño, el experimentador debería investigar la adecuación del modelo inspeccionando y graficando los residuales. Para un cuadrado latino, los residuales están dados por eijk = Yijk - Yijk - - Yj. - - Y.k - +TY.. -- Yijk - Yi.. El lector deberá encontrar los residuales del ejemplo 4-4 y construir las gráficas apropiadas. \ Thmaño Cuadrados latinos estándares Ynúmero de cuadrados latinos de varios tamaños· 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 Ejemplos de cuadrados estándares Número de cuadrados estándares Número total de cuadrados latinos ABC BCA CAB ABCD BCDA CDAB DABC ABCDE BAECD CDAEB DEBAC ECDBA ABCDEF BCFADE CFBEAD DEABFC EADFCB FDECBA ABCDEFG BCDEFGA CDEFGAB DEFGABC EFGABCD FGABCDE GABCDEF 1 4 56 9408 16,942,080 12 576 161,280 818,851,200 61,479,419,904,000 p xp ABC BCD CDE P A B PAB ... (P-l) p!(P -1)! x (número de cuadrados estándares) "Parte de la información de esta tabla se encuentra en Statistical Tables for Biological, Agn"cul/llral and Medical Researc1J, 4a. edición, de R.A Fisher y E Yates, Oliver & Boyd, Edimburgo. Es poco lo que se sabe de las propiedades de los cuadrados latinos más grandes que 7 x 7. A un cuadrado latino en el que el primer renglón y la primera columna constan de letras escritas en orden alfabético se le llama cuadrado latino estándar, que es el diseño que se utilizó en el ejemplo 4-3. Siempre es posible obtener un cuadrado latino estándar escribiendo el primer renglón en orden alfabético y escribiendo después cada renglón sucesivo como la sucesión de letras que están justo arriba, recorridas un lugar a la izquierda. En la tabla 4-13 se resumen varios hechos importantes acerca de los cuadrados latinos y de los cuadrados latinos estándares. Como con cualquier diseño experimental, las observaciones del cuadrado latino deberán tomarse de manera aleatoria. El procedimiento de aleatorización correcto es seleccionando al azar el cuadrado empleado. Como se observa en la tabla 4-13, hay un gran número de cuadrados latinos de un tamaño particular, por lo que es imposible enumerar todos los cuadrados y seleccionar uno al azar. El procedimiento usual es seleccionar un cuadrado latino de una tabla de estos diseños, como en Fisher y Yates [45], Y después arreglar al azar el orden de los renglones, las columnas y las letras. Esto se analiza con mayor detalle en Fisher y Yates [45]. Ocasionalmente, falta una observación en un cuadrado latino. Para un cuadrado latino p x p, el valor faltante puede estimarse con Yijk = P( y,..~ + Y¡.'. + Y..'k )- 2Y..' (p_ 2)(p-l) (4-24) Y:. donde las primas indican los totales del renglón, la columna y el tratamiento con el valor faltante, y es el gran total con el valor faltante. Los cuadrados latinos pueden ser útiles en situaciones en las que los renglones y las columnas representan los factores que el experimentador en realidad quiere estudiar yen las que no hay restricciones sobre la aleatorización. Por lo tanto, los tres factores (renglones, columnas y letras), cada uno conp niveles, pueden investigarse en sólo p2 corridas. En este diseño se supone que no existe interacción entre los factores. Se abundará más adelante sobre el tema de la interacción. Réplicas de cuadrados latinos Una desventaja de los cuadrados latinos pequeños es que proporcionan un número relativamente pequeño de grados de libertad del error. Por ejemplo, un cuadrado latino 3 x 3 sólo tiene dos grados de libertad del error, un cuadrado latino 4 x 4' sólo tiene seis grados de libertad del error, etc. Cuando se usan cuadrados latinos pequeños, con frecuencia es deseable hacer réplicas de los mismos para incrementar los grados de libertad del error. 4-2 DISEÑO DE CUADRADO LATINO 149 Tabla 4-14 Análisis de varianza de un cuadrado latino con réplicas, caso 1 Fuente de variación Tratamientos Suma de cuadrados 1 P 2 " 2 y .... n'PL... Y.j .. -Ji Grados de libertad p-1 )~1 1 Renglones Columnas P 2 " 2 y.... n'PL... Yi."-Ji l=l 1 P 2 " 2 y .... n'P L... Y..k. -Ji 1 2 " 2 y .... 2L... Y...l-Ji P 1=1 p-1 p-1 k~l tI Réplicas (p -l)[n(p + 1) - 3] Sustracción Error n-1 Cuadrado medio SSTratamientos MSTratamiemos p-1 MSE S SRenglones p-1 SSColumnas p-1 SSRéPlicas n-1 SSE (p-1)[n(p+1)-3] np2-1 Total Existen varias maneras de hacer réplicas de un cuadrado latino. Para ilustrar este punto, suponga que se hacen n réplicas del cuadrado latino 5 x 5 utilizado en el ejemplo 4-3. Esto podría haberse hecho de la manera siguiente: 1. Usando los mismos lotes y operadores en cada réplica. 2. Usando los mismos lotes pero operadores diferentes en cada réplica (o, de manera equivalente, usando los mismos operadores pero lotes diferentes). 3. Usando diferentes lotes y diferentes operadores. El análisis de varianza depende del método utilizado para hacer las réplicas. Considere el caso 1, donde en cada réplica se usan los mismos niveles de los factores para la formación de bloques en los renglones y las columnas. Sea Yijklla observación del renglón i, el tratamiento j, la columna kylaréplical. Hay en total N = np2 observaciones. El análisis de varianza se resume enla tabla 4-14. Considere ahora el caso 2 y suponga que en cada réplica se usan nuevos lotes de materia prima pero los mismos operadores. Por lo tanto, hay ahora cinco nuevos renglones (en general,p nuevos renglones) Tabla 4-15 Análisis de varianza de un cuadrado latino con réplicas, caso 2 Fuente de Grados de variación libertad Suma de cuadrados 1 P 2 " 2 y .... Tratamientos p-1 n'PL... Y.j .. -Ji )=1 Renglones 1 ~~ P f;t f;t Yi~.l ~ Y~ .. Columnas 1 P 2 " 2 y.... n'PL... Y..k.-Ji p-1 Réplicas 1 ~ 2 Y.~.. 2L... Y...l-Ji P 1=1 n-l Error Sustracción ? - f;t p2 n(p -1) k=1 Total (p -l)(np -1) np2-1 Cuadrado medio SSTratamientos p-1 sS Renglones n(p -1) SSColumnas p-1 SSRéPlieas n-1 SSE (p -l)(np -1) MSTratamientos 150 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-16 Análisis de varianza de un cuadrado latino con réplicas, caso 3 Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados 1 Tratamientos L p np. J~1 1 y.. . Y·j··-N 2 p-1 ? r.l -P LLYi~./-L p. i=1 /~1 1 2 Y=./ p~~ y. H- ~ 7 1 L Y"'/- y.. . p2 N Renglones··· n Cuadrado medio 2 P ., 11 P Columnas lJ n SSColuronas n(p -1) n(p-1) 2 2 Réplicas SSRéPliCas n-1 1~1 Error Sustracción MSE n(p -1) /=1 n A1STratamientos p-1 SSReng¡Ones n(p ':"'1) ? S STratamientos (p -l)[n(p -1) -1] n-1 SSE (p -l)[n(p -1)-1] ? LLLLY~H-r . Total i j k / np2-1 N dentro de cada réplica. El análisis de varianza se resume en la tabla 4-15. Observe que la fuente de variación de los renglones mide en realidad la variación entre los renglones dentro de las n réplicas. Por último, considere el caso 3, donde se usan nuevos lotes de materia prima y nuevos operadores en cada réplica. Ahora la variación que resulta tanto de los renglones como de las columnas mide la variación que resulta de estos factores dentro de las réplicas. El análisis.de varianza se resume en la tabla 4-16. Hay otros enfoques para analizar cuadrados latinos con réplicas que permiten la presencia de algunas interacciones entre tratamientos y cuadrados (referirse al problema 4-19). Diseños alternados y diseños balanceados para efectos residuales Ocasionalmente aparece un problema en el que los periodos son uno de los factores del experimento. En general, hayp tratamientos que deben probarse enp periodos utilizando np unidades experimentales. Por ejemplo, un analista del desempeño humano está estudiando el efecto de dos fluidos de restitución para la deshidratación en 20 sujetos. En el primer periodo, a la mitad de los sujetos (elegidos al azar) se le administra el fluido A y a la otra mitad el fluido B. Al término del periodo se mide la respuesta, y se deja transcurrir un lapso en el que se elimina cualquier efecto fisiológico de los fluidos. Después el experimentador hace que los sujetos que tomaron el fluido A tomen el fluido B y aquellos que tomaron el fluido B tomen el fluidoA. A este diseño se le llama diseño alternado o entrecruzado. Se analiza como un conjunto de 10 cuadrados latinos con dos renglones (los periodos) y dos tratamientos (los tipos de fluido). Las dos columnas en cada uno de los 10 cuadrados corresponden a los sujetos. En la figura 4-7 se muestra la disposición de este diseño. Observe que los renglones del cuadrado latino representan a los periodos y que las columnas representan a los sujetos. Los 10 sujetos que reCibieron primero el fluido A (1, 4, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17 Y 19) se determinaron al azar. Cuadrados latinos I Il ID 1 2 A B B A 3 4 B A A B 5 6 B A A B V VI Vil VID IX X 9 10 A B B A Il 12 B A A B 13 14 A B B A 15 16 A B B A 17 18 A B B A 19 20 A B B A IV -- -- -- -- -- -- -- -- -- Sujeto Periodo 1 Periodo 2 Figura 4·7 Un diseño alternado. 7 8 A B B A 4-3 DISEÑO DE CUADRADO GRECOLATINO 151 Tabla 4-17 Análisis de varianza del diseño alternado de la figura 4-7 Fuente de Grados de variación libertad 19 Sujetos (columnas) Periodos (renglones) Fluidos (letras) Error Total 1 1 18 39 En la tabla 4-17 se resume un análisis de varianza. La suma de cuadrados de los sujetos se calcula como la suma de cuadrados entre los totales de los 20 sujetos corregida, la suma de cuadrados de los periodos es la suma de cuadrados entre los renglones corregida, y la suma de cuadrados de los fluidos se calcula como la suma de cuadrados entre los totales de las letras corregida. Para más detalles del análisis estadístico de estos diseños, ver Cochran y Cox [26], John [61d] y Anderson y McLean [2]. También es posible emplear diseños tipo cuadrado latino para experimentos en los que los tratamientos tienen un efecto residual; es decir, por ejemplo, si los datos del fluido B en el periodo 2 siguen reflejando algún efecto del fluido A tomado en el periodo 1. En Cochran y Cox [26] y John [61d] se estudian en . detalle los diseños balanceados para efectos residuales. 4~3 DISEÑO DE CUADRADO GRECOLATINO Considere un cuadrado latino p x p al cual se le superpone un segundo cuadrado latino p x p en el que los tratamientos se denotan con letras griegas. Si cuando se hace la superposición los dos cuadrados tienen la propiedad de que cada letra griega aparece una y sólo una vez con cada letra latina, se dice que los dos cuadrados latinos son 011ogonales, y al diseño obtenido se le llama cuadrado grecolatino. En la tabla 4-18 se muestra un ejemplo de un cuadrado grecolatino 4 x 4. El diseño de cuadrado grecolatino puede usarse para controlar sistemáticamente tres fuentes de variabilidad extraña, es decir, para hacer la formación de bloques en tres direcciones. El diseño permite la investigación de cuatro factores (renglones, columnas, letras latinas y letras griegas), cada una conp niveles en sólo p2 corridas. Existen cuadrados grecolatinos para toda p :::: 3, excepto p = 6. Tabla 4-18 Diseño del cuadrado grecolatino 4 X 4 Columna Renglón 1 2 3 1 2 3 4 Aa Ba Cf3 Bf3 Ay Da Ca Cy Dy Df3 Aa Ba 4 Do Ca By Af3 ~"l I 152 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-19 Análisis de varianza de un diseño del cuadrado grecolatino Fuente de variación Suma de cuadrados 1 P 2 SSL pL.. Y.2_~ Tratamientos con letras latinas j •• N Grados de libertad =-" p-l j~l 1 =-" Y.. P SSG Tratamientos con letras griegas pL.. 2 k. k~l 2 _~ N p-l 1 P 2 SSRenglones = -p L.. " h 2 .. - ¡:¡ y .... Renglones p-l 1=1 1 P 2 SSColumnas - " 2_~ - p L.. Y.../ N Columnas p-l /~l (P-3)(P-l) Error SSE (por sustracción) Total SST = L..L..L..L.. " " ~ " Yijk/-¡:¡ 2 r. / j k , I El modelo estadístico para el diseño de cuadrado grecolatino es i = 1,2, ,P j= 1,2, , P Yijk/=j-l+e¡+T¡+W k +\jI/+8ijkl k=l 2 . , , ,P { l= 1,2, , P (4-25) donde Yijkl es la observación del renglón i y la columna l para la letra latinaj y la letra griega k, e¡ es el efecto del renglón i-ésimo, T¡ es el efecto del tratamiento de letra latinaj, W k es el efecto del tratamiento de letra griega k, 'PI es el efecto de la columna l, y 8ijkl es un componente NID(O, 0"') del error aleatorio. Sólo son necesarios dos de los cuatro subíndices para identificar completamente una observación. El análisis de varianza es muy parecido al de un cuadrado latino. Puesto que las letras griegas aparecen exactamente una vez en cada renglón y columna, y exactamente una vez con cada letra latina, el factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de letras latinas. Por lo tanto, puede calcularse una suma de cuadrados debida al factor de las letras gtiegas a partir de los totales de las letras griegas y el error experimental se reduce adicionalmente en esta cantidad. En la tabla 4-19 se ilustran los detalles de los cálculos. La hipótesis nula de la igualdad de tratamieñtos de renglones, columnas, letras latinas y letras griegas, se probaría dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error. La región de rechazo es la cola superior del punto de la distribución Fp _ 1, (P-3)(P-l)' EJEMPLO 4,4 . Suponga que en el experimento de la carga propulsora del ejemplo 4-3 un factor adicional, los montajes de prueba, podría ser importante. Sea que haya cinco montajes de prueba denotados por las letras griegas a, {3, y, o Y 8. En la tabla 4-20 se muestra el diseño de cuadrado grecolatino 5 x 5 resultante. Observe que, debido a que los totales de los lotes de materia prima (renglones), los operadores (columnas) y las formulaciones (letras latinas) son idénticos a los del ejemplo 4-3, se tiene SSLotes = 68.00 SS Operadores = 150.00 y SSFormula~iones = 330.00 153 4-3 DISEÑO DE CUADRADO GRECOLATINO Tabla 4-20 Diseño del cuadrado grecolatino para el problema de la carga propulsora Operadores Lotes de 2 1 materia prima Aa Bf3 Cy Do Ee 1 2 3 4 5 By Ca De Ea Af3 =-1 =-8 =-7 = 1 = -3 -18 Y.../ 4 3 Cs =-6 Da= 5 Ef3 = 1 Ay = 1 Ba =-5 = -5 = -1 =13 6 = 5 Df3 Ey Aa Be Ca --4 18 5 Ea =-1 As =11 Ba =--4 Cf3 =-3 Dy= 6 =-1 = 2 = 2 =-2 = 4 9 5 Yi... -14 9 5 3 7 10 = Y.... Los totales de los montajes de prueba (las letras griegas) son Letra griega Total de la prueba de ensamblaje a Y..1. = f3 Y..2. = -6 y Y..3. o Y.A. = -3 = -4 Y..s. = 10 13 Por lo tanto, la suma de cuadrados debida a los montajes de prueba es 1 P 2 SSEnsamblajes _ " 2_~ - p LJ Y.k. N k=l 1 (10)2 = -[10 2 +(_6)2 +(_3)2 +(_4)2 +13 2] - - - = 62.00 5 25 En la tabla 4-21 se resume el análisis de varianza completo. Las formulaciones son diferentes significativamente en 1%. Al comparar las tablas 4-21 y 4-12, se observa que al sacar la variabilidad debida a los montajes de prueba, el error experimental disminuye. Sin embargo, al disminuir el error experimental, se han reducido también los grados de libertad de 12 (en el diseño del cuadrado latino del ejemplo 4-3) a 8. Por lo tanto, la estimación del error tiene menos grados de libertad, y la prueba puede ser menos sensible. Tabla 4-21 Análisis de varianza del problema de la carga propulsora Fuente de variación Formulaciones Lotes de materia prima Operadores Montajes de la prueba Error Total Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 330.00 68.00 150.00 62.00 66.00 676.00 4 4 4 4 8 24 82.50 17.00 37.50 15.50 8.25 Valor P 10.00 0.0033 r 154 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS YDISEÑOS RELACIONADOS Puede hacerse cierta ampliación del concepto de los pares ortogonales de cuadrados latinos que forman un cuadrado grecolatino. Un hipercuadrado p x p es un diseño en el que se superponen tres o más cuadrados latinos ortogonales p x p. En general, hasta p + 1 factores podrían estudiarse si se dispone de un conjunto completo de p -1 cuadrados latinos ortogonales. En este diseño se utilizarían todos los (p + 1)(P - 1) = p2 - 1 grados de libertad, por lo que se necesita una estimación independiente de la varianza del error. Desde luego, no debe haber interacciones entre los factores cuando se usan hipercuadrados. 4~4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS En ciertos experimentos en los que se utilizan diseños de bloques aleatorizados quizá no sea posible correr todas las combinaciones de los tratamientos en cada bloque. Situaciones como ésta ocurren generalmente por limitaciones del aparato experimental o de las instalaciones o por el tamaño físico del bloque. Por ejemplo, en el experimento de la prueba de la dureza (ejemplo 4-1), suponga que debido a sus dimensiones cada ejemplar de prueba sólo puede usarse para probar tres puntas. Por lo tanto, no es posible probar todas las puntas en cada uno de los ejemplares. Para este tipo de problema es posible utilizar diseños de bloques aleatorizados en los que cada tratamiento no está presente en cada bloque. Estos diseños se conocen como diseños de bloques incompletos aleatorizados. Cuando las comparaciones de todos los tratamientos son igualmente importantes, las combinaciones· de los tratamientos usadas en cada bloque deberán seleccionarse en una forma balanceada, es decir, de tal manera que cualquier par de tratamientos ocurra conjuntamente el mismo número de veces que cualquier otro par. Por lo tanto, un diseño de bloques incompletos balanceados (BIBD, balanced incomplete block design) es un diseño de bloques incompletos en el que dos tratamientos cualesquiera aparecen conjuntamente el mismo número de veces. Suponga que haya tratamientos y que cada bloque puede contener exactamente k (k < a) tratamientos. Un diseño de bloques incompletos balanceados puede construirse tomando (~) bloques y asignando una combinación de tratamientos diferente a cada bloque. Con frecuencia, sin embargo, puede obtenerse un diseño balanceado con menos de (~ ) bloques. Tablas de BIBD se proporcionan en Fisher y Yates [45], Davies [36] y Cochran y Cox [26]. Como un ejemplo, suponga que un ingeniero químico piensa que el tiempo de reacción de un proceso químico es una función del tipo de catalizador empleado. Se están investigando cuatro catalizadores. El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar l~ planta piloto, aplicar cada catalizador en una corrida separada de la planta piloto y observar el tiempo de reacción. Debido a que las variaciones en los lotes de materia prima pueden afectar el desempeño de los catalizadores, el ingeniero decide usar los lotes de materia prima como bloques. Sin embargo, cada lote es apenas lo suficientemente grande para permitir que se prueben tres catalizadores. Por lo tanto, debe usarse un diseño Tabla 4-22 Diseño de bloques incompletos balanceados para el experimento del catalizador Tratamiento (catalizador) 1 2 3 4 Bloque (lote de materia prima) 1 2 3 4 73 73 75 221 74 75 75 224 67 68 72 207 71 72 Yi. 75 218 214 216 222 218 870= y.. 4-4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS 155 de bloques incompletos aleatorizados. El diseño de bloques incompletos balanceados para este experimento, junto con las observaciones registradas, se muestran en la tabla 4-22. El orden en que se corren los catalizadores en cada bloque está aleatorizado. 4~4: 1 Análisis estadístico del diseño de bloques incompletos balanceados Como de costumbre, se supone que haya tratamientos y b bloques. Además, se supone que cada bloque contiene k tratamientos, que cada tratamiento ocurre r veces en el diseño (o que se hacen r réplicas del mismo), y que hay N = ar = bk observaciones en total. Asimismo, el número de veces que cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque es A = r(k-1) a-1 = b, se dice que el diseño es simétrico. El parámetro A debe ser un entero. Para deducir la relación paraA, considere cualquier tratamiento, por ejemplo el tratamiento 1. Puesto que el tratamiento 1 aparece en r bloques y hay otros k -1 tratamientos en cada uno de esos bloques, hay r(k -1) observaciones en un bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r(k -1) observaciones también tienen que representar a los a -1 tratamientos restantes A veces. Por lo tanto, A(a - 1) = r(k - 1). El modelo estadístico del BIBD es Si a Yij = /1+7:; +/3j +eij (4-26) donde Yij es la observación i-ésima en el bloquej-ésimo, /1 es la media global, 7:¡ es el efecto del tratamiento i-ésimo,/3j es el efecto del bloquej-ésimo, y eij es el componente NID(O, 02) del error aleatorio. La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados totales corregida: (4-27) Puede hacerse la partición de la variabilidad total en SST = SSTratamientos(ajustados) + SSBIoques + SSE donde la suma de cuadrados de los tratamientos está ajustada para separar los efectos de los tratamientos y de los bloques. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento está representado en un conjunto diferente de rbloques. Por lo tanto, las diferencias entre los totales de los tratamientos no ajustadosyl.oY2.0 oo., Ya. también son afectadas por las diferencias entre los bloques. La suma de cuadrados de los bloques es 1 SSBloques =k L b l 2 Y.j - N (4-28) J=1 donde Y j es el total del bloquej-ésimo. SSBloqueS tiene b -1 grados de libertad. La suma de cuadrados de los tratamientos ajustada es SS Tratamientos(ajustados) ;=1 = --'--'A'---a-- (4-29) 156 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS Tabla 4-23 Análisis de varianza del diseño de bloques incompletos balanceados Fuente de Grados de variación Suma de cuadrados libertad Cuadrado medio k¿ (J2 Tratamientos (ajustados) Error SSTratamientoS(3jUstadOS) E = MSTratamieotoS(.just.dOS) a-l o MSE 2 1 Bloques a-l Aa k¿Y~-~ SSBloques b-l SSE(por sustracción) b -1 SSE N-a-b+l +1 N-a-b ? Total ¿¿Y~-~ N-l donde Q¡ es el total ajustado del tratamiento i-ésimo, el cual se calcula como 1 = Yí. -y¿ L Q¡ b i = 1,2, ..., a nijy.¡ (4-30) ¡=1 con n í¡ = 1 si el tratamiento i aparece en el bloque j y nij = Oen caso contrario. Los totales de los tratamientos ajustados siempre sumarán cero. SS1tatamientos(ajustados) tiene a -1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error se calcula por sustracción como = SST - SSE SS Tratamientos(njustados) - SS Bloques (4-31) y tiene N - a - b + 1 grados de libertad. El estadístico apropiado para probar la igualdad de los efectos de los tratamientos es F. = MSTratamientos(ajustadOS) MS E o En la tabla 4-23 se resume el análisis de varianza. . EJEMPLO 4~5 Considere los datos de la tabla 4-22 para el experimento del catalizador. Se trata de un BIBD con a = 4, b = 4, k = 3, r = 3, A = 2 YN = 12. El análisis de estos datos es el siguiente. La suma de cuadrados totales SST = L¡ ? Y~ - ~.; J 1 = 63156- (870)2 = 81.00 , 12 La suma de cuadrados de los bloques se encuentra con la ecuación 4-28 como 1 SS Bloques 4 2 = -" 3.L.J Y. 2_2:'::... ¡ 12 J=l 4-4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS Tabla 4-24 Análisis de varianza del ejemplo 4-5 Suma de cuadrados Fuente de variación natamientos (ajustados para los bloques) Bloques Error lbtal 157 Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor P 22.75 3 7.58 11.66 0.0107 55.00 3.25 81.00 3 5 0.65 11 Para calcular la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados para los bloques, primero se determinan los totales de los tratamientos ajustados utilizando la ecuación 4-30 como Q1 = (218)- +(221 + 224+ 218) = -9/3 Q2 = (214)-+(207+224+218)= -7/3 Q3 = (216)-+(221+207+224)= -4/ 3 Q4 = (222)- +(221 + 207 + 218) = 20/3 La suma de cuadrados de los tratamientos ajustados se calcula con la ecuación 4-29 como 4 k¿ Q; SSTratamientos(ajustlldOS) = ---"i==~-a3[(-9/3)2 +(-7/3)2 +(-4/3)2 +(20/3)2] (2)(4) 22.75 La suma de cuadrados del error se obtiene por sustracción como SSE = SST - SS Tratamientos(aju~tados) - SS Bloques = 81.00-22.75-55.00= 3.25 Enla tabla 4-24 se muestra el análisis de varianza. Puesto que el valor P es pequeño, se concluye que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de reacción. Si el factor bajo estudio es fijo, las pruebas para las medias de tratamientos individuales pueden ser de interés. Si se emplean contrastes ortogonales, los contrastes deben hacerse sobre los totales de los tratamientos ajnstados, las {Q) en lugar de las {Ji¡). La suma de cuadrados de los contrastes es SS e = k(! C i Qi )2 ---,-_1=_1- - - ' - - Aa! c; i=l donde {c) son los coeficientes de los contrastes. Pueden usarse otros métodos de comparación múltiple 158 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS para comparar todos los pares de efectos de los tratamientos ajustados (sección 4-4.2), los cuales se estiman con:i¡ = kQJ(Aa). El error estándar del efecto de un tratamiento ajustado es s=~kMSE Aa (4-32) En el análisis que acaba de describirse, se ha hecho la partición de la suma de cuadrados total en una suma de cuadrados de los tratamientos ajustados, una suma de cuadrados de los bloques sin ajuste y una suma de cuadrados del error. En ocasiones habría interés en evaluar los efectos de los bloques. Para ello se requiere hacer una partición alternativa de SSn es decir, SST = SSTratamientos + SS Bloqnes(ajustados) +SSE Aquí, SS1tatamientos está sin ajuste. Si el diseño es simétrico, es decir, si a = b, puede obtenerse una fórmula simple para SSBloques(ajustadOS)' Los totales de los bloques ajustados son 1 a Q~=y·--Ln .. y. J .J r ;=1 lJ l. j= 1,2, ..., b (4-33) y SS Bloques(ajustados) = El BIBD del ejemplo 4-5 es simétrico porque a -"-i=_1 Ab _ (4-34) = b = 4. Por lo tanto, Q; = (221)-+(218+216+222)= 7/3 Q~ =(224)-+(218+214+216)= 24/3 Q~ = (207)- +(214+ 216+ 222) = -31/3 Q~ =(218)-+(218+214+222)= O y ss . Bloques(aJustados) = 3[(7/3)2 +(24/3)2 +(-31/ 3? +(0)2] = 6608 (2)( 4) . Asimismo, ss Tratamientos = (218)2 +(214)2 +(216)2 +(222)2 _ (870)2 _ 3 12 - 11.67 Tabla 4-25 Análisis de varianza del ejemplo 4-5, incluyendo tanto los tratamientos como los bloques Suma de Grados de Cuadrado Fuente de variación cuadrados libertad medio Tratamientos (ajustados) ltatamientos (sin ajuste) Bloques (sin ajuste) Bloques (ajustados) Error Total 22.75 11.67 55.00 66.08 3.25 81.0 3 3 3 3 5 11 Valor P 7.58 11.66 0.0107 22.03 0.65 33.90 0.0010 4-4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS 159 En la tabla 4-25 se presenta un resumen del análisis de varianza del BIBD simétrico. Observe que las sumas de cuadrados asociadas con los cuadrados medios de la tabla 4-25 no producen la suma de cuadrados total, es decir, SST :;z!: SSTratamientoS(ajUstados) + SSBIOqueS(ajustadOS) + SSE Esto es consecuencia del carácter no ortogonal de los tratamientos y los bloques. Salida de computadora Existen varios paquetes de computadora que realizarán el análisis de un diseño de bloques incompletos balanceados. El procedimiento de Modelos Lineales Generales (General Linear Models) del SAS es uno de ellos, y Minitab, un paquete de estadística para computadoras personales de uso generalizado, es otro. La parte superior de la tabla 4-26 es la salida del procedimiento de Modelos Lineales Generales de Minitab para el ejemplo 4-5. Al comparar las tablas 4-26 y 4-25, se observa que Minitab ha calculado la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados y la suma de cuadrados de los bloques ajustados (en la salida de Minitab se les llama ''AdjSS'' o SS ajustada). La parte inferior de la tabla 4-26 es un análisis de comparaciones múltiples, en el que se utiliza el método de Tukey. Se presentan los intervalos de confianza para las diferencias de todos los pares de medias y la prueba de Tukey. Observe que el método de Tukey llevaría a la conclusión de que el catalizador 4 es diferente de los otros tres. 4~4.2 Estimación de mínimos cuadrados de los parámetros Considere la estimación de los efectos de los tratamientos en el modelo BIBD. Las ecuaciones normales de mínimos cuadrados son a fl: Nft+r ~ i¡ +k ¡~1 b L P j = Y.. j~l b í¡:rft+ri¡ +~ nijP j = Y¡. i = 1, 2, ..., a (4-35) j~l !3 j : k ft+ í niji¡ +kP j = Y.j j= 1, 2, ..., b i=1 Al imponer las restricciones Li ¡ = LP j = O, se encuentra que ft = Y.. . Además, al utilizar las ecuaciones para {fJj} para eliminar los efectos de los bloques de las ecuaciones para {í¡}, se obtiene b a rki¡-ri¡- ~~ nijnpji p =ky¡. j~l p~l b ~ nijy.j (4-36) j~l p~i Observe que el miembro del lado derecho de la ecuación 4-36 es kQ¡, donde Q¡ es el total del tratamiento ajustado i-ésimo (ver la ecuación 4-29). Entonces, puesto que L~~ln¡ppj =..t sip :;z!: iyn~j = n pj (ya que n pj = O o 1), la ecuación 4-36 puede reescribirse como r(k-1)i¡ -..tí p~l p~i ip = kQ¡ i=l, 2, ..., a (4-37) ,C'. Tabla 4-26 Análisis de Minitab (Modelo Lineal General) para el ejemplo 4-5 Modelo Lineal General Factor CataLyst BLock Type LeveLs VaLues fixed 4 1 2 3 4 fixed 4 1 2 3 4 AnaLysis of Variance for Time, using Adjusted SS for Tests Source CataLyst BLock Error TotaL DF 3 3 5 11 Seq SS 11.667 66.083 3.250 81.000 Adj SS 22.750 66.083 3.250 Ad j MS 7.583 22.028 0.650 F P 11 .67 33.89 0.011 0.001 Tukey 95.0% SimuLtaneous Confidence IntervaLs Response VariabLe Time ALL Pairwise Comparisons among LeveLs of CataLyst CataLyst = 1 subtracted from: CataLyst 2 3 4 Lower -2.327 -1.952 1.048 Center 0.2500 0.6250 3.6250 Upper 2.827 3.202 6.202 ----------+---------+---------+-----(---------*---------) .(----------*---------) (----------*---------) ----------+---------+---------+-----0.0 2.5 5.0 CataLyst = 2 subtracted from: CataLyst Center 0.3750 3.3750 4 Lower -2.202 0.798 CataLyst 3 subtracted from: CataLyst Lower 0.4228 3 4 Center 3.000 Upper 2.952 5.952 ----------+---------+---------+-----(---------*---------) (----------*---------) ----------+---------+---------+-----0.0 2.5 5.0 Upper 5.577 ----------+---------+---------+----~- (---------*~--------) ----------+---------+---------+-----0.0 2.5 5.0 Tukey SimuLtaneous Tests Response VariabLe Time ALL Pairwise Comparisons among LeveLs of CataLyst CataLyst = 1 subtracted from: LeveL CataLyst 2 3 4 CataLyst LeveL CataLyst 3 4 Difference of Means 0.2500 0.6250 3.6250 SE of Difference 0.6982 0.6982 0.6982 T-VaLue 0.3581 0.8951 5.1918 Adjusted P-VaLue 0.9825 0.8085 0.0130 T-VaLue 0.5371 4.8338 Adjusted P-VaLue 0.9462 0.0175 T-VaLue 4.297 Adjusted P-VaLue 0.0281 2 subtracted from: Difference of Means 0.3750 3.3750 SE of Difference 0.6982 0.6982 CataLyst = 3 subtracted from: LeveL CataLyst 4 Difference of Means 3.000 SE of Difference 0.6982 4-4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS 161 por último, observe que la restricción L~=1f ¡ = oimplica que L~=1f p = -f ¡ yrecuerde que r(k -1) = A(a1), de donde se obtiene p",¡ Aaf¡ =kQ¡ i=l, 2, ..., a (4-38) por lo tanto, los estimadores de mínimos cuadrados de los efectos de los tratamientos en el modelo de bloques incompletos balanceados son i = 1, 2, ..., (4-39) a Como una ilustración, considere elBIBD del ejemplo 4-5. Puesto que Q1 = -9/3, Q2 = -7/3, Q3 = -4/3 Y Q4 = 20/3, se obtiene f = 3(-9/3)=_9/8 f = 3(- 7 / 3) - 7 / 8 1 (2)( 4) 2 (2)(4) f = 3(-4/3)=_4/8 3 (2)(4) f 4 =3(20/3)=20/8 (2)( 4) como se encontró en la sección 4-4.1. 4~4.3 Recuperación de información interbloques en el diseño . de bloques incompletos balanceados Al análisis del BIBD presentado en la sección 4-4.1 suele llamársele el análisis intrabloques porque las diferencias de los bloques se eliminan y todos los contrastes de los efectos de los tratamientos pueden expresarse como comparaciones entre las observaciones del mismo bloque. Este análisis es apropiado independientemente de si los bloques son fijos o aleatmios. Yates [1l3c] señaló que si los efectos de los bloques son variables aleatorias no correlacionadas con medias cero y varianza a~, es posible obtener información adicional acerca de los efectos de los tratamientos 'ti' Yates llamó análisis interbloques al método para obtener esta información adicional. Considere los totales de los b10quesYj como una colección de b observaciones. El modelo para estas observaciones (siguiendo a John [61d]) es Y.j = k¡,t+ ~ l1ij't¡ + (k,Bj +~ Sij) (4-40) donde el término entre paréntesis puede considerarse como el error. Los estimadores interb10ques de ¡,t y 'ti se encuentran minimizando la función de mínimos cuadrados L= b ( a)2 ~ Y.j -k¡,t- ~ l1ij't¡ Se obtienen así las siguientes ecuaciones normales de mínimos cuadrados: ¡,t: Nfi+r! T¡ ¡=1 = Y.. 't¡:kr¡1+rf¡ +..1. L T = L l1ijY.j p p=1 p;t:.i (4-41) b a j=1 i=l, 2'00" a 162 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS donde íí y Ti denotan los estimadores interbloques. Al imponer la restricción :2::=1 Ti soluciones de las ecuaciones 4-41 como = O, se obtienen las íí = Y.. (4-42) b ~ n .. y.-J,ayLJ l}.} .. j=l T¡ = ~-r---..l-- i=l, 2, ..., a (4-43) Es posible demostrar que los estimadores interbloques {i¡} Ylos estimadores intrabloques {Ti} no están correlacionados. Los estimadores interbloques {i 1 } pueden diferir de los estimadores intrabloques {T i }. Por ejemplo, los estimadores interbloques para el BIDD del ejemplo 4-5 se calculan de la siguiente manera: i = 663- (3)(3)(72.50) = 10.50 1 3-2 = 649- (3)(3)(72.50) i -3.50 3-2 Z = 652- (3)(3)(72.50) -0.50 f 3-2 3 = 646-(3)(3)(72.50) = -6.50 7: 4 3-2 Observe que los valores de :2: ~=1 nij Y.j se usaron en la página 157 para calcular los totales de los tratamientos ajustados en el análisis intrabloques. Suponga ahora que quieren combinarse los estimadores interbloques e intrabloques para obtener una sola estimación de la varianza mínima insesgada de cada Ti' Es posible demostrar que T¡ Yf son insesgados y también que 1 V(~ )= k(a-1) Z Ti ..la z a (intrabloques) y (intrabloques) Se usa una combinación lineal de los dos estimadores, por ejemplo (4-44) para estimar T¡. En este método de estimación, el estimador combinado insesgado de la varianza mínima T; deberá tener las ponderaciones al = U1/(U 1 + u z) y a z = UZ/(u 1 + u z), donde U1 = l/V(T i ) YU z = l/V(f i ). Por lo tanto, las ponderaciones óptimas son inversamente proporcionales a las varianzas de Ti Yf i . Esto implica que el mejor estimador combinado es T. k(a-1) (a z +ka z )+7:. k(a-1) aZ a(r-..l) fJ ..la z T; = --:-':--...,-!------:::-:---,;-:------I 1 k( a - 1) z + k( a -1) ( a z + ka z) z ~~~a ..la a(r-..l) fJ i=l, 2'00" a 4-4 DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS 163 que puede simplificarse como 2 kQi (a + * Ti ka~ )+ (± llij Y.j - lay.. )a 2 J=l i=l, 2, ..., a (1'- A)a 2+Aa(a 2 +ka~) = (4-45) Desafortunadamente, la ecuación 4-45 no puede usarse para estimar Ti porque no se conocen las varianzas a2 y a ~ . El enfoque común es estimar a2 y a ~ a partir de los datos y sustituir estos parámetros de la ecuación 4-45 con las estimaciones. La estimación que suele tomarse para a2 es el cuadrado medio del error del análisis de varianza intrabloques, o el error intrabloques. Por lo tanto, fJ2 = MS E La estimación de a~ se encuentra a partir del cuadrado medio de los bloques ajustados para los tratamientos. En general, para un diseño de bloques incompletos balanceados, este cuadrado medio es k~Q2 LJ i i=l + Aa MSBloqUeS(ajustadOS) 2 b j=l y2 _.J - k 2 Yi. i=l l' a 2 = -'-----(b---1-)------'- (4-46) y su valor esperado (cuya deducción se hace en Graybill [50]) es E[ MS Bloques(ajustados) ] = a Por lo tanto, si MSBloqueS(ajustadOS) 2 a(r-1) 2 + b _ 1 a fJ > MSE , la estimación de fJ~ es MS E ](b-1) a(r-1) 2 [MSBloqUeS(ajustados) - a = ------'----.:...=.-----'-------A fJ y si MSBloques(ajustadOS) S; MSE , se hace fJ~ = O. kQ,(I)' +M; T*i - (4-47) Esto resulta en el estimador combinado )+(~ n,Y.¡ -kry. JI)' (4-48a) (r-A)fJ 2 + Aa(fJ 2 +kfJ~) Yi. -(l/a)y. (4-48b) l' A continuación se calculan las estimaciones combinadas para los datos del ejemplo 4-5. Por la tabla 4-25 se obtiene fJ2 = MSE = 0.65 YMSBIOques(ajustadOS) = 22.03. (Observe que para calcular MSBloqueS(ajustadOS) se hace uso del hecho de que éste es un diseño simétrico. En general, debe usarse la ecuación 4-46.) Puesto que MSBloques(ajustados) > MSE , se usa la ecuación 4-47 para estimar a~ como A a 2 = fJ (22.03- 0.65)(3) 4(3-1) 8.02 Por lo tanto, pueden sustituirse fJ2 = 0.65 y fJ~ = 8.02 en la ecuación 4-48a para obtener las estimaciones combinadas que se enlistan enseguida. Por conveniencia, también se presentan las estimaciones intrablo- 1'' ', 164 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS ques e interbloques. En este ejemplo, las estimaciones combinadas están próximas a las estimaciones intrabloques debido a que la varianza de las estimaciones interbloques es relativamente grande. Parámetro 4~5 4-1. Estimación intrabloques Estimación interbloques Estimación combinada -1.12 -0.88 -0.50 2.50 10.50 -3.50 -0.50 -6.50 -1.09 -0.88 -0.50 PROBLEMAS Un químico quiere probar el efecto de cuatro agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona cinco rollos y aplica los cuatro agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se presentan las resistencias a la tensión resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Ysacar las conclusiones apropiadas. Agente químico 1 2 3 4 4-2. 2.47 Rollo 1 73 73 75 73 3 74 75 78 75 2 68 67 68 71 4 71 72 73 75 5 67 70 68 69 Se están comparando tres soluciones de lavado diferentes a fin de estudiar su efectividad para retardar el crecimiento de bacterias en contenedores de leche de 5 galones. El análisis se hace en un laboratorio y sólo pueden realizarse tres ensayos en un día. Puesto que 19s días podrían representar una fuente potencial devariabilidad, el experimentador decide usar un diseño de bloques aleatorizados. Se hacen observaciones en cuatro días, cuyos datos se muestran enseguida. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Y sacar las conclusiones apropiadas. Días 4-3. 4-4. 4-5. Solución 1 1 2 3 16 5 13 2 22 24 4 3 18 17 1 4 39 44 22 Graficar las resistencias a la tensión medias observadas para cada tipo de agente químico en el problema 4-1 y compararlas con una distribución t con la escalación apropiada. ¿Qué conclusiones se sacarían a partir de esta representación gráfica? Graficar los conteos de bacterias promedio para cada solución en el problema 4-2 y compararlos con una distribución t escalada. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? En un artículo de Fire Safety Joumal ("El efecto del diseño de boquillas en la estabilidad y el desempeño de surtidores de agua turbulenta", vol. 4) se describe un experimento en el que se determinó un factor de la forma para varios diseños diferentes de boquillas con seis niveles de la velocidad del flujo de salida del surtidor. 165 4-5 PROBLEMAS El interés se centró en las diferencias potenciales entre los diseños de las boquillas, con la velocidad considerada como una variable perturbadora. Los datos se presentan a continuación. Diseño de la boquilla 1 2 3 4 5 Velocidad del flujo de salida del surtidor (m/s) 11.73 14.37 16.59 20.43 23.46 28.74 0.78 0.85 0.93 1.140.97 0.80 0.85 0.92 0.97 0.86 0.81 0.92 0.95 0.98 0.78 0.75 0.86 0.89 0.88 0.76 0.77 0.81 0.89 0.86 0.76 0.78 0.83 0.83 0.83 0.75 a) ¿El diseño de la boquilla afecta el factor de la forma? Comparar las boquillas con un diagrama de dispersión y con un análisis de varianza, utilizando a = 0.05. b) Analizar los residuales de este experimento. ¿Qué diseños de las boquillas son diferentes con respecto al factor de la forma? Trazar una gráfica del factor de la forma promedio para cada tipo de boquilla y compararla con una distribución t escalada. Comparar las conclusiones que se sacaron a partir de esta gráfica con las de la prueba del rango múltiple de Duncan. Considere el experimento del algoritmo para controlar la proporción de alúmina del capítulo 3, sección 3-8. El experimento se llevó a cabo en realidad como un diseño de bloques aleatorizados, en el que se seleccionaron seis periodos como bloques, y se probaron los cuatro algoritmos para controlar la proporción en cada periodo. El voltaje promedio de la celda y la desviación estándar del voltaje (indicada entre paréntesis) para cada celda son los siguientes: c) 4-6. Algoritmo para controlar la proporción 1 2 3 4 Tiempo 1 4.93 4.85 4.83 4.89 (0.05) (0.04) (0.09) (0.03) 2 3 4.86 (0.04) 4.91 (0.02) 4.88 (0.13) 4.77 (0.04) 4.75 (0.05) 4.79 (0.03) 4.90 (0.11) 4.94 (0.05) 4 4.95 4.85 4.75 4.86 (0.06) (0.05) (0.15) (0.05) 5 4.79 (0.03) 4.75 (0.03) 4.82 (0.08) 4.79 (0.03) 6 4.88 4.85 4.90 4.76 (0.05) (0.02) (0.12) (0.02) a) Analizarlos datos del voltaje promedio de las celdas. (Utilizar a = 0.05.) ¿La elección del algoritmo para 4-7. controlar la proporción afecta el voltaje promedio de las celdas? b) Realizar el análisis apropiado de la desviación estándar del voltaje. (Recuerde que a éste se le llamó "ruido del crisol".) ¿La elección del algoritmo para controlar la proporción afecta el ruido del crisol? c) Realizar los análisis residuales que parezcan apropiados. d) ¿Qué algoritmo para controlar la proporción debería seleccionarse si el objetivo es reducir tanto el voltaje promedio de las celdas como el ruido del crisol? El fabricante de una aleación maestra de aluminio produce refinadores de textura en forma de lingotes. La compañía produce el producto en cuatro hornos. Se sabe que cada horno tiene sus propias características únicas de operación, por lo que en cualquier experimento que se corra en la fundición en el que se use más de un horno, los hornos se considerarán como una variable perturbadora. Los ingenieros del proceso sospechan que la velocidad de agitación afecta la medida de la textura del producto. Cada horno puede operarse con f1 I 166 CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS cuatro diferentes velocidades de agitación. Se lleva a cabo un diseño de bloques aleatorizados para un refinador particular y los datos resultantes de la medida de la textura se muestran a continuación: Velocidad de agitación (rpm) 5 10 15 20 4-8. 4-9. 4-10. 4-11. 4-12. 4-13. 1 8 14 14 17 Horno 2 3 4 5 5 6 6 9 4 6 9 9 2 3 6 a) ¿Existe evidencia de que la velocidad de agitación afecta la medida de la textura? b) Representar los residuales de este experimento en una gráfica de probabilidad normal. Interpretar esta gráfica. e) Graficar los residuales contra el horno y la velocidad de agitación. ¿Esta gráfica proporciona alguna información útil? d) ¿Cuál sería la recomendación de los ingenieros del proceso con respecto a la elección de la velocidad de agitación y del horno para este refinador de textura particular si es deseable una medida de la textura pequeña? Analizar los datos del problema 4-2 utilizando la prueba general de significación de la regresión. Suponiendo que los tipos de agentes químicos y los rollos de tela son fijos, estimar los parámetros del modelo Ti y {Ji del problema 4-1. Trazar una curva de operación característica para el diseño del problema 4-2. ¿La prueba parece ser sensible a las diferencias pequeñas en los efectos de los tratamientos? Suponga que falta la observación del agente químico 2 y el rollo 3 en el problema 4-1. Analizar el problema estimando el valor faltante. Realizar el análisis exacto y comparar los resultados. Dos valoresfaltantes en un bloque aleatorizado. Suponga que en el problema 4-1 faltan las observaciones del agente químico tipo 2 y el rollo 3 y del agente químico tipo 4 y el rollo 4. a) Analizar el diseño haciendo la estimación iterativa de los valores faltantes, como se describe en la sección 4-1.3. b) Derivar SSE con respecto a los dos valores faltantes, igualar los resultados con cero y resolver las ecuaciones para las estimaciones de los valores faltantes. Analizar el diseño utilizando estas dos estimaciones de los valores faltantes. e) Deducir las fórmulas generales para estimar dos valores faltantes cuando las observaciones están en bloques diferentes. d) Deducir las fórmulas generales para estimar dos valores faltantes cuando las observaciones están en el mismo bloque. Un ingeniero industrial está realizando un experimento sobre el tiempo de enfoque del ojo. Se interesa en el efecto de la distancia del objeto alojo sobre el tiempo de enfoque. Cuatro distancias diferentes son de interés. Cuenta con cinco sujetos para el experimento. Debido a que puede haber diferencias entre los individuos, el ingeniero decide realizar el experimento en un diseño de bloques aleatorizados. Los datos obtenidos se presentan a continuación. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Ysacar las conclusiones apropiadas. Sujeto 3 1 2 6 6 6 6 8 10 7 5 10 6 3 4 3 4 Distancia (pies) 4 6 4 5 6 6 6 1 2 2 5 3 4-5 PROBLEMAS 4-14. 167 Se estudia el efecto de cinco ingredientes diferentes (A, B, C, Dy E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material nuevD sólo alcanza para permitir la realización de cinco corridas. Además, cada corrida requiere aproximadamente 11/ 2 horas, por lo que sólo pueden realizarse cinco corridas en un día. El experimentador decide realizar el experimento como un cuadrado latino para que los efectos del día y el lote puedan controlarse sistemáticamente. Obtiene los datos que se muestran enseguida. Analizar los datos de este experimento (utilizar a= O.OS) y sacar conclusiones. Día 4-1S. Lote 1 1 2 3 4 S A = 8 C=11 B=4 D= 6 E=4 2 3 4 S B =7 E=2 A = 9 C=8 D=2 D = 1 A =7 C = 10 E=6 B = 3 C=7 D =3 E= 1 B =6 A = 8 E=3 B=8 D =S A=lO C=8 Un ingeniero industrial investiga el efecto de cuatro métodos de ensamblaje (A, B, C y D) sobre el tiempo de ensamblaje de un componente de televisores a color. Se seleccionan cuatro operadores para el estudio. Además, el ingeniero sabe que todos los métodos de ensamblaje producen fatiga, de tal modo que el tiempo requerido para el último ensamblaje puede ser mayor que para el primero, independientemente del método. Es decir, se desarrolla una tendencia en el tiempo de ensamblaje requerido. Para tomar en cuenta esta fuente de variabilidad, el ingeniero emplea el diseño del cuadrado latino que se presenta a continuación. Analizar los datos de este experimento (a = O.OS) y sacar las conclusiones apropiadas. Orden de ensamblaje 1 2 3 4 4-16. 4-17. 4-18. 4-19. Operador 1 2 C=lO B =7 A =S D = 10 = 14 C = 18 B = 10 A = 10 D 3 A D =7 = 11 C = 11 B = 12 4 B=8 A = 8 D=9 C=14 Suponga que en el problema 4-14 falta la observación del lote 3 en el día 4. Estimar el valor faltante con la ecuación 4-24, y realizar el análisis utilizando este valor. Considere un cuadrado latino p x p con renglones (a¡), columnas (A) y tratamientos (iJ fijos. Obtener estimaciones de mínimos cuadrados de los parámetros del modelo a¡, fJk y Tj . Deducir la fórmula del valor faltante (ecuación 4-24) para el diseño del cuadrado latino. Diseños que incluyen varios cuadrados latinos. (Ver Cochran y Cox [26] y John [61d].) El cuadrado latino p x p contiene únicamente p observaciones para cada tratamiento. Para obtener más réplicas, el experimentador puede usar varios cuadrados, por ejemplo n. No es relevante si los cuadrados usados son el mismo o son diferentes. El modelo apropiado es Yijkh = !l+ Ph +a¡(h) +-r j + f3k(h) + (-rp) ji. +8 ijid. i=1, 2, j= 1,2, k =1 2 , , h= 1,2, 1 ,p ,p ,P ,n .¡. '.:'" - 168 4-20. 4-21. 4-22. CAPÍTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS donde Y¡jkh es la observación del tratamiento j en el renglón i y la columna k del cuadrado h-ésimo. Observe que a¡(h) Yf3k(h) son los efectos del renglón y la columna en el cuadrado h-ésimo, Ph es el efecto del cuadrado h-ésimo y (r:P)jh es la interacción entre los tratamientos y los cuadrados. a) Establecer las ecuaciones normales para este modelo y resolverlas para las estimaciones de los parámetros del modelo. Suponga que las condiciones auxiliares apropiadas de los parámetros son LhPh = O, L¡a¡(h) = OY L kf3k(h) = Opara cada h, L/r j = O, L/ip)j1¡ = Opara cada h y L h(ip)j11 = Opara cadaj. b) Desarrollar la tabla del análisis de varianza para este diseño. Comentar la forma en que pueden utilizarse las curvas de operación característica del apéndice cón el diseño del cuadrado latino. Suponga que en el problema 4-14 los datos tornados en el día 5 se analizaron incorrectamente y fue necesario descartarlos. Desarrollar un análisis apropiado para los datos restantes. El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) Ycinco concentraciones del catalizador (a, 13, y, o, e). Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Y sacar conclusiones. Concentración del ácido Lote 1 2 3 4 5 4-23. 1 2 Aa=26 By = 18 Ce = 20 Df3 = 15 Ea = 10 Bf3 = 16 Ca = 21 Da= 12 Ey = 15 Ae = 24 1 2 3 4 4-25. 4-26. 4-27. Cy = De = Ef3 = Aa = Ba = 19 18 16 22 17 4 5 Do = 16 Ea = 11 Ay=25 Be = 14 Cf3 = 17 &=13 Af3 = 21 Bo = 13 Ca = 17 Dy = 14 Suponga que en el problema 4-15 el ingeniero sospecha que los sitios de trabajo usados por los cuatro operadores pueden representar una fuente adicional de variación. Es posible introducir un cuarto factor, el sitio de trabajo (a, 13, y, o), y realizar otro experimento, de donde resulta el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Y sacar conclusiones. Orden de ensamblaje 4-24. 3 Operador 2 3 1 Cf3 = 11 By = 10 Do = 14 Ba =8 CA = 12 Ay = 10 Da = 11 Bf3 = 7 Aa =9 Dy=9 Af3 = 8 Ca = 18 4 Aa=8 Df3 = 12 Cy = 15 Bo =6 Construir un hipercuadrado 5 x 5 para estudiar los efectos de cinco factores. Desarrollar la tabla del análisis de varianza para este diseño. Considere los datos de los problemas 4-15 y 4-23. Después de eliminar las letras griegas del problema 4-23, analizar los datos utilizando el método desarrollado en el problema 4-19. Considere el diseño de bloques aleatorizados con un valor faltante en la tabla 4-7. Analizar los datos utilizando el análisis exacto del problema del valor faltante revisado en la sección 4-1.4. Comparar los resultados con el análisis aproximado de estos datos que se presenta en la tabla 4-8. Un ingeniero estudia las características del rendimiento de combustible de cinco tipos de aditivos de gasolina. En laprueba de carretera el ingeniero desea usar los automóviles corno bloques; sin embargo, debido a 4-5 PROBLEMAS 169 una restricción de tiempo, debe utilizar un diseño de bloques incompletos. Realiza el diseño balanceado con los cinco bloques siguientes. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Ysacar conclusiones. Automóvil 4-28. 4-29. 2 4 6 8 10 12 14 4-33. 4-34. 4-35. 4-36. 4-37. 4-38. 1 1 2 3 4 5 14 12 13 11 2 3 4 5 17 14 14 13 13 12 12 12 10 9 11 12 13 11 10 8 Construir un conjunto de contrastes ortogonales para los datos del problema 4-27. Calcular la suma de cuadrados para cada contraste. Se estudian siete concentraciones diferentes de madera dura para determinar su efecto sobre la resistencia del papel producido. Sin embargo, en la planta piloto sólo pueden hacerse tres corridas de producción por día. Dado que los días pueden diferir, el analista utiliza el diseño de bloques incompletos balanceados que se muestra abajo. Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05) Y sacar conclusiones. Concentración de madera dura (%) 4-30. 4-31. 4-32. Aditivo Días 1 114 126 2 3 4 5 6 120 120 137 141 7 117 119 117 129 145 134 149 150 120 136 143 118 123 130 127 Analizar los datos del ejemplo 4-6 utilizando la prueba general de significación de la regresión. Demostrar que k'2.~=lQ! / (Aa) es la suma de cuadrados ajustada de los tratamientos en un BIBD. Un experimentador quiere comparar cuatro tratamientos en bloques de dos corridas. Encontrar un BIBD para este experimento con seis bloques. Un experimentador quiere comparar ocho tratamientos en bloques de cuatro corridas. Encontrar un BIBD con 14 bloques y . 1. = 3. Realizar el análisis interbloques del diseño del problema 4-27. Realizar el análisis interbloques del diseño del problema 4-29. Comprobar que no existe un BIBD con parámetros a = 8, r = 8, k = 4 Y b = 16. Demostrar que la varianza de los estimadores intrabloques {iJ es k(a -1 )a2 / (..1.a 2 ). Diseños ertendidos de bloques incompletos. Ocasionalmente, el tamaño del bloque cumple con la relación a < k < 2a. Un diseño extendido de bloques incompletos consiste en una sola réplica de cada tratamiento en cada bloque junto con un diseño de bloques incompletos con k* = k-a. En el caso balanceado, el diseño de bloques incompletos tendrá los parámetros k* = k - a, r* = r - by..1. *. Desarrollar el análisis estadístico. (Sugerencia: en el diseño extendido de bloques incompletos, se tiene..1. = 2r - b + . 1. *.) Introducción a los diseños factoriales 5~ 1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS En muchos experimentos interviene el estudio de los efectos de dos o más factores. En general, los dise· ños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles· de los factores. Por ejemplo, si el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles, cada réplica contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. Cuando los factores están incluidos en un diseño factorial, es común decir que están cruzados. El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia se le llama efecto principal porque se refiere a los factores de interés primario en el experimento. Por ejemplo, considere el experimento sencillo de la figura 5-1. Se trata de un experimento factorial de dos factores en el que los dos factores del diseño tienen dos niveles. A estos niveles se les ha denominado "bajo" y "alto" y se denotan como "-" y "+", respectivamente. El efecto principal del factor A de este diseño de dos niveles puede visualizarse como la diferencia entre la respuesta promedio con el nivel bajo de A y la respuesta promedio con el nivel alto de A. Numéricamente, esto es A= 40+52 _ 20+30 = 21 2 2 Es decir, cuando el factor A se incrementa del nivel bajo al nivel alto se produce un incremento de la respuesta promedio de 21 unidades. De manera similar, el efecto principal de B es B= 30+52 _ 20+40 = 11 2 2 Cuando los factores tienen más de dos niveles, es necesario modificar el procedimiento anterior, ya que existen otras formas de definir el efecto de un factor. Este punto se estudia con mayor profundidad más adelante. En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre, existe una interac- 170 5-1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 30 + 52 D (Alto) l:l:1 ... ~co u. (Bajo) + (Alto) l:l:1 o ti co u. 20 40 (Bajo) (Alto) (Bajo) 171 12 40 D 20 50 (Bajo) (Alto) + + Factor A Factor A Figura 5·1 Experimento factorial de dos factores con la respuesta (y) indicada en los vértices. Figura 5-2 Experimento factorial de dos factores con interacción. ción entre los factores. Por ejemplo, considere el experimento factorial de dos factores que se ilustra en la figura 5-2. Con el nivel bajo del factor B (o B-), el efecto de A es A= 50-20= 30 y con el nivel alto del factor B (o B+), el efecto de A es A=12-40=-28 Puesto que el efecto deA depende del nivel que se elige para el factor B, se observa que existe una interacción entre A y B. La magnitud del efecto de la interacción es la diferencia promedio de estos dos efectos de A, o AB = (-28 - 30)/2 = -29. Evidentemente, en este experimento la interacción es grande. Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la figura 5-3 se grafican los datos de las respuestas de la figura 5-1 contra el factorA para ambos niveles del factor B. Observe que las rectasB-y B+ son aproximadamente paralelas, lo cual indica la ausencia de interacción entre los factores A y B. De manera similar, en la figura 5-4 se grafican los datos de las respuestas de la figura 5-2. En este caso se observa que las rectas B- y B+ no son paralelas. Esto indica una interacción entre los factores A y B. Gráficas como éstas son de gran ayuda para interpretar las interacciones significativas y para reportar los resultados al personal sin preparación estadística. Sin embargo, no deberán utilizarse como la única técnica para el análisis de datos, ya que su interpretación es subjetiva y su apariencia con frecuencia es engañosa. 60 B+ 50 40 ::1 ¡¡¡. 30 al a: 20 ~- co m 10 B- B- m40 ::1 ¡¡¡. 30 al a: 20 10 Factor A Figura 5-3 teracción. co 60 50 + Experimento factorial sin in- + Factor A Figura 5-4 Experimento factorial con interacción. 172 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES El concepto de interacción puede ilustrarse de otra manera. Suponga que los dos factores del diseño tratado son cuantitativos (temperatura, presión, tiempo, etc.). Entonces una representación con un modelo de regresión del experimento factorial de dos factores podría escribirse como y= /30 +/31 X 1 +/32 X 2 +/312 X 1X 2 +e donde y es la respuesta, las /3 son parámetros cuyos valores deben determinarse, Xl es una variable que representa al factorA,x 2 es una variable que representa al factor B, y e es un término del error aleat.orio. Las variables Xl y X 2 se definen en una escala codificada de -1 a + 1 (los niveles bajo y alto deA y B), YX 1X 2 representa la interacción entre Xl y X 2• Las estimaciones de los parámetros en este modelo de regresión resultan estar relacionadas con las estimaciones de los efectos. Para el experimento ilustrado en la figura 5-1 se encuentra que los efectos principales deA y B sanA = 21 YB = 11. Las estimaciones de /31 y/32son la mitad del valor del efecto principal correspondiente; por lo tanto, ~1 = 21/2 = 10.5 Y ~ 2 = 11 /2 = 5.5. El efecto de la interacción de la figura 5-1 es AB = 1, por lo que el valor del coeficiente de la interacción en el modelo de regresión es ~12 = 1/2 = 0.5. El parámetro /30 se estima con el promedio de las cuatro respuestas, o ~o = (20+40+30+52)/4= 35.5. Por lo tanto, el modelo de regresión ajustado es )7= 35.5+10.5x1 +5.5x 2 +0.5x1 x 2 49 y 39 29 -0.2 0.2 0.6 al La superficie de respuesta b) La gráfica de contorno Figura 5-5 La superficie de respuesta y la gráfica de contorno para el modelo y = 35.5 + lO.5x1 + 5.5xz. 5-1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 173 Las estimaciones de los parámetros obtenidas de esta manera para el diseño factorial en el que todos los factores tienen dos niveles (- y +) resultan ser estimaciones de mínimos cuadrados (se abundará sobre el tema más adelante). El coeficiente ~e l~ interacción (/312 = O.S) es pequeño en comparación con los coeficientes de los efectos principales /31y /3 2' La interpretación que se hará de este hecho es que la interacción es pequeña y puede ignorarse. Por lo tanto, al eliminar el término 0,Sx,x2 se obtiene el modelo y= 3S.S+10,Sxl +S,Sx 2 En la figura S-S se muestran las representaciones gráficas de este modelo. En la figura S-Sa se tiene una gráfica del plano de los valores de ygenerados por las diferentes combinaciones de Xl y X 2• A esta gráfica tridimensional se le llama gráfica de superficie de respuesta. En la figura S-Sb se muestran las líneas de contorno para las respuestas constantes y en el plano Xl' x 2 • Observe que como la superficie de respuesta es un plano, la gráfica de contorno contiene líneas rectas paralelas. Suponga ahora que la contribución de la interacción en el experimento no fuera insignificante; es decir, que el coeficiente /312 no fuera pequeño. En la figura S-6 se presenta la superficie de respuesta y la gráfica de contorno del modelo x, 0.2 0.6 al La superficie de respuesta 0.6 0.2 ~ -0.2 -0.6 -1 b l La gráfica de contorno Figura 5·6 La superficie de respuesta y la gráfica de contorno para el modelo y = 35.5 + lD.5x¡ + 5.5x2 + 8x¡x2 • 174 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES (Se ha hecho que el efecto de la interacción sea el promedio de los dos efectos principales.) Observe que el efecto significativo de la interacción provoca el "torcimiento" del plano de la figura S-6a. Este torcimiento de la superficie de respuesta produce líneas de contorno curvas para las respuestas constantes en el planox1,x2, como se muestra en la figura S-6b. Por lo tanto, una interacción es una forma de curvatura en el modelo de superficie de respuesta fundamental del experimento. El modelo de superficie de respuesta de un experimento es de gran importancia y utilidad. El tema se ampliará en la sección 5-5 y en capítulos posteriores. En general, cuando una interacción es grande, los efectos principales correspondientes tienen escaso significado práctico. En el experimento de la figura 5-2, la estimación del efecto principal deA sería A= 50+12 _ 20+40 2 =1 2 que es muy pequeño, y se llegaría a concluir que no hay ningún efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinan los efectos deA con niveles diferentes del fa ctor E, se observa que no es éste el caso. El factorA tiene un efecto, pero depende del nivel del factor E. Es decir, el conocimiento de la interacciónAB es más útil que el conocimiento del efecto principal. Una interacción significativa suele enmascarar la significación de los efectos principales. Estos puntos se ponen de manifiesto con claridad en la gráfica de la interacción de la figura 5-4. En presencia de una interacción significativa, el experimentador deberá por lo general examinar los niveles de uno de los factores, por ejemplo del factor A, manteniendo fijos los niveles de los otros factores para sacar conclusiones acerca del efecto principal de A. 5~2 LA VENTAJA DE LOS DISEÑOS FACTORIALES Es sencillo ilustrar la ventaja de los diseños factoriales. Suponga que se tienen dos factores A y E, cada uno con dos niveles. Los niveles de los factores se denotan porA-,A+,E-y E+. Podría obtenerse información acerca de ambos factores haciéndolos variar uno a la vez, como se muestra en la figura 5-7. El efecto de cambiar el factor A está dado por A +E- -A-E-, y el efecto de cambiar el factor E está dado por A-E + A-E-. Debido a que está presente el error-experimental, es deseable realizar dos observaciones, por ejemplo, para cada combinación de tratamientos y estimar los efectos de los factores utilizando las respuestas promedio. Por lo tanto, se necesita un total de seis observaciones. Si se hubiera efectuado un experimento factorial, se habría registrado una combinación adicional de los tratamientos, A +E+. Ahora, utilizando sólo cuatro observaciones, pueden hacerse dos estimaciones del efecto deA:A+E- -A-E-yA+E+ -A-E+. De manera similar, pueden hacerse dos estimaciones del A-B+ + c:¡ ~ ~ca u. A+B- A-B- + Factor A Figura 5·7 Experimento con un factor a la vez. 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 175 4.0 3.5 ,. ro '';:¡ ~ ro '0 3.0 2.5 lO III '0 ¡¡:: UJ 2.0 1.5 1.0 2 3 4 5 6 Número de factores Figura 5·8 Eficiencia relativa de un diseño factorial con respecto a un experimento de un factor a la vez (dos niveles del factor). efecto de B. Estas dos estimaciones de cada efecto principal podrían promediarse para producir efectos principales promedio que tienen la misma precisión que las estimaciones del experimento con un solo factor, pero sólo se requieren cuatro observaciones en total, y nosotros diríamos que la eficiencia relativa del diseño factorial con respecto al experimento de un factor a la vez es de (6/4) = 1.5. En general, esta eficiencia relativa aumentará conforme se incremente el número de factores, como se muestra en la figura 5-8. Suponga ahora que está presente una interacción. Si el diseño de un factor a la vez indicara queA-B+ yA +B- dieron mejores respuestas queA-B-, una conclusión lógica sería que A +B+ sería todavía mejor. Sin embargo, si está presente una interacción, esta conclusión puede ser una equivocación grave. Para un ejemplo, referirse al experimento de la figura 5-2. En resumen, observe que los diseños Jactoriales ofrecen varias ventajas. Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez. Además, un diseño factorial es necesario cuando puede haber interacciones presentes a fin de evitar llegar a conclusiones incorrectas. Por último, los diseños factoriales permiten la estimación de los efectos de un factor con varios niveles de los factores restantes, produciendo conclusiones que son válidas para un rango de condiciones experimentales. 5~3 5~3.1 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES Un ejemplo Los tipos más simples de diseños factoriales incluyen únicamente dos factores o conjuntos de tratamientos. Haya niveles del factorA y b niveles del factor B, los cuales se disponen en un diseño factorial; es decir, cada réplica del experimento contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. En general, hay n réplicas. Como ejemplo de un diseño factorial en el que intervienen dos factores, un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a variaciones de temperatura extremas. El único parámetro del diseño que puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería, y tiene tres elecciones posibles. Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíe al campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que operará el dispositivo, pero sabe por expe- ·r"'· i : ,"'. 176 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-1 Datos de la vida (en horas) para el ejemplo del diseño de la batería Temperatura (OF) Tipo de material 1 2 3 155 180 188 126 110 160 130 74 150 159 138 168 125 70 15 34 80 136 106 174 150 40 75 122 115 120 139 20 82 25 58 96 82 70 58 70 45 104 60 riencia que la temperatura probablemente afectará la vida efectiva de la batería. Sin embargo, la temperatura puede controlarse en el laboratorio donde se desarrolla el producto para fines de prueba. El ingeniero decide probar los tres materiales de la placa con tres niveles de temperatura -15, 70 Y 12S oP-, ya que estos niveles de temperatura son consistentes con el medio ambiente donde se usará finalmente el producto. Se prueban cuatro baterías con cada combinación del material de la placa y la temperatura, y las 36 pruebas se corren de manera aleatoria. En la tabla 5-1 se presentan los datos del experimento y de la vida observada de la batería. En este problema, el ingeniero quiere responder las preguntas siguientes: 1. 2. ¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería? ¿Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura? La segunda pregunta es de particular importancia. Quizá sea posible encontrar una alternativa del material que no resulte afectada considerablemente por la temperatura. De ser éste el caso, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta para la variación de la temperatura en el campo. Se trata de un ejemplo de la aplicación del diseño experimental estadístico en el diseño de productos robustos, un problema de ingeniería muy importante. El anterior es un ejemplo específico del caso general de un diseño factorial de dos factores. Para pasar al caso general, sea Yijk la respuesta observada cuando el factor A tiene el nivel i-ésimo (i = 1, 2, oo., a) y e1factor B tiene el nivelj-ésimo (j = 1,2, .oo, b) en la réplicak-ésima (k = 1,2, oo., n). En general, el experimento factorial de dos factores aparecerá como en la tabla 5-2. El orden en que se hacen las abn observaciones se selecciona al azar, por lo que este diseño es un diseño completamente aleatorizado. Tabla 5-2 Arreglo general de un diseño factorial de dos factores Factor B 1 Factor A 2 a I 1 2 b Ylll,Y1l2, Yl2lo Yl22, Ylbl,Ylb2, ···,Yl1n "·'YI2J. ""Ylbn Y2ll,Y212, Y221,Y222' Y2bI,Y2b2, ""Y2In ···'Y22J1 ""Y2bn Ya 11' Ya12, Ya21,Ya22, Yabl,Yab2, .. ·,Yaln ···,Ya2n • .. ,Yabn 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 177 Las observaciones de un experimento factorial pueden describirse con un modelo. Hay varias formas de escribir el modelo de un experimento factorial. El modelo de los efectos es i=l, 2, , a j=l, 2, , b { k = 1, 2, , n Yijk =/l+T¡+f3j+(Tf3)ij+Cijk (5-1) donde /l es el efecto promedio global, T¡ es el efecto del nivel i-ésimo del factor A de los renglones, f3j es el efecto del nivelj-ésimo del factor B de las columnas, (Tf3)ij es el efecto de la interacción entre T¡ y f3 j, YC¡jk es un componente del error aleatorio. Se supone que ambos factores son fijos, y los efectos de los tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por lo que 2:~=1 T¡ = Oy 2:~=1f3 j = O. De manera similar, los efectos de las interacciones son fijos y se definen de tal modo que 2:~=l(Tf3)ij = 2:~=l(Tf3)ij = O. Puesto que hay n réplicas del experimento, hay abn observaciones en total. Otro modelo posible de un experimento factorial es el modelo de las medias = /lij +cijk Yijk i.: { 1,2, , a ] -1, 2, , b k = 1, 2, , n donde la media de la celda ij-ésima es /lij = /l+T¡ +f3j +(Tf3)ij Thmbién podría usarse un modelo de regresión como en la sección 5-1. Los modelos de regresión resultan particularmente útiles cuando uno o más de los factores del experimento son cuantitativos. En la mayor parte de este capítulo se usará el modelo de los efectos (ecuación 5-1) con referencia al modelo de regresión en la sección 5-5. En el diseño factorial de dos factores, los factores (o tratamientos) de los renglones y las columnas, A y B, son de igual interés. Específicamente, el interés se encuentra en probar hipótesis acerca d~ la igualdad de los efectos de los tratamientos de los renglones, por ejemplo, Ha: TI = T2 =...= Ta = O H 1 : al menos una T ¡ :;é O (5-2a) y de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas, por ejemplo, H a :f31 = f32 =...= f3b = O H 1 : al menos una f3 j :;é (5-2b) O También existe interés en determinar si los tratamientos de los renglones y las columnas interactúan. Por lo tanto, también querría probarse Ha: (Tf3)ij =O para todas las i, j H 1:al menos una (Tf3) ij :;é (5-2c) O A continuación se indica cómo se prueban estas hipótesis utilizando un análisis de varianza de dos factores. 5-3.2 Análisis estadístico del modelo con efectos fijos Sea que Yi.. denote el total de observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A, que y J. denote el total de observaciones bajo el nivelj-ésimo del factor B, que Yij. denote el total de observaciones de la celda fi"\'l' 178 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES ij-ésima, y que Y... denote el gran total de todas las observaciones. Se definenYi.., Y'¡.,Yij. YY.. como los promedios correspondientes de los renglones, las columnas, las celdas y el gran promedio. Expresado matemáticamente, b Yi.. = n LL Yijk Yi.. Yi.. = bn i=l, 2, ..., a í! Yijk y.=- Yj. an j= 1,2, ..., b j=l k=l Yj. = _ .J. i=l k=l i = 1, 2, j= 1, 2, a Y.. b n = LLL i=l j=l Y.. Yijk k~l (5-3) ,a ,b Y.. = abn La suma de cuadrados total corregida puede escribirse como a b n a b n LLL (Yijk _y... )2 = LLL [(Yi.. -Y... )+(Y. i=l j=l k=l j. -Y... ) i=l j=l k=l +(Y-..lJ· - y-ol.. - Y-.J.. + Y-'" )+(Y..lJok - Y- lJ... )]2 a ~ =bnLJ b (-Yi.. - Y.. -)2 + anLJ ~ (-)2 Yj. - Y.. i=l (5-4) j=l a b + nLJ ~ ~ (- _ - . . . - + - )2 LJ Yij. Yi.. Yj. Y.. i=l j=l a + b n LLL (Yijk-YijY i=l j=l k=l ya que los seis productos cruzados del lado derecho de la igualdad son cero. Observe que se ha hecho la partición de la suma de cuadrados total en una suma de cuadrados debida a "los renglones", o factor A (SSA); una suma de cuadrados debida a "las columnas", o factor B (SSB); una suma de cuadrados debida a la interacción entre A y B (SSAB); y una suma de cuadrados debida al error (SSE). Por el último componente del lado derecho de la igualdad de la ecuación 5-4, se observa que debe haber por lo menos dos réplicas (n ;:::: 2) para obtener una suma de cuadrados del error. La ecuación 5-4 puede escribirse simbólicamente como SST = SSA +SSB +SS AB +SSE El número de grados de libertad asociado con cada suma de cuadrados es Efecto A B Interacción AB Error Total Grados de libertad a-l b-l (a-l)(b-l) aben -1) abn-l (5-5) 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 179 Esta asignación de los abn - 1 grados de libertad totales a las sumas de cuadrados puede justificarse de la siguiente manera: los efectos principalesA y B tienen a y b niveles, respectivamente; por lo tanto, tienen a -1 y b - 1 grados de libertad, como se indica. Los grados de libertad de la interacción son sólo el número de grados de libertad de las celdas (que es ab - 1) menos el número de grados de libertad de los dos efectos principales A y B; es decir, ab -1- (a -1) - (b -1) = (a -1 )(b -1). Dentro de cada una de las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas; por lo tanto hay aben -1) grados de libertad para el error. Observe que la suma del número de grados de libertad en el lado derecho de la ecuación 5-5 es igual al número total de grados de libertad. Cada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio. Los valores esperados de los cuadrados medios son SS ) A E(MSA)=E- =a2+ ( a-1 bn~ 7:7 .=1 a-1 b E(MS B )= E(SSB b-1 )= a 2 + anL f3~ j=1 b-1 a = E( E(MS AB) b nL L (7:f3)~ SS AB (a-1)(b-1) )= a2 + (a-1)(b-1) .=1 j=1 y SSE ) 2 E(MSE ) = E ( ab(n-1) = a Observe que si es verdadera la hipótesis nula de que no hay efectos de los tratamientos de los renglones, ni de los tratamientos de las columnas, ni interacción, entonces MSA, MSB, MSAB y MSE son todas estimaciones de aZ. Sin e,mbargo, si hay diferencias entre los efectos de los tratamientos de los renglones, por ejemplo, entonces MSA será mayor que MSE • De manera similar, si están presentes efectos de los tratamientos de las columnas o de la interacción, entonces los cuadrados medios correspondientes serán mayores que MSE' Por lo tanto, para probar la significación de los dos efectos principales y su interacción, simplemente se divide el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error. Los valores grandes de este cociente implican que los datos no apoyan la hipótesis nula. Si se supone que el modelo (ecuación 5-1) es adecuado y que los términos del error Cijk tienen una distribución normal e independiente con varianza aZ constante, entonces cada uno de los cocientes de cuadrados medios MSA/MSE, MSB/MS E y MSAB/MSE se distribuyen con;1ü F con a - 1, b -1 Y (a - l)(b - 1) grados de libertad en el numerador, respectivamente, y aben -1) grados de libertad en el denominador, 1 y la región crítica sería la cola superior de la distribución F. El procedimiento de prueba suele resumirse en una tabla del auálisis de varianza, como se muestra en la tabla 5-3. En lo que a los cálculos se refiere, por lo general se emplea un paquete de software de estadística para realizar el análisis de varianza. Sin embargo, no es complicado obtener fórmulas para calcular manual1 La prueba F puede considerarse como una aproximación de una prueba de aleatorización, como se señaló anteriormente. 180 CAPÍTULO 5 Tabla 5-3 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES La tabla del análisis de varianza para el diseño factorial de dos factores, modelo con efectos fijos Fuente de variación 'ITatamientosA Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio F: = MSA o Tratamientos B Interacción b-1 SSB SSAB MS = SSB B b-1 M (a-1)(b -1) Error SSE aben -1) Total SSr abn-1 _ SSAB SAB - (a-1)(b-1) MSE F: = MSB o MSE F: = MSAB o MSE MS = SSE E aben -1) mente las sumas de cuadrados de la ecuación 5-5. La suma de cuadrados total se calcula como de costumbre con abn SST= y.~ 2 LLL Yijk-b a n i~l j~l k~l Las sumas de cuadrados de los efectos principales son 1 a SS A bn =-"f:t i- L y SSB =~ an ± y2 j~l .J. 2 abn l.. _ L (5-6) (5-7) 2 abn (5-8) Es conveniente obtener SSAB en dos pasos. Se calcula primero la suma de cuadrados entre los totales de las ab celdas, a la que se denomina la suma de cuadrados debida a los "subtotales": SS Sublotales 1 ab =;; L L ,~1 2 y.~ yij. - abn J~l Esta suma de cuadrados también contiene a SSA y SSB' Por 10 tanto, el segundo paso consiste en calcular SSAB comO (5-9) SS AB = SS Subtotales - SS A - SSB Puede calcularse SSE por sustracción como (5-10) SSE = SST - SS AB - SS A - SSB o SS E EJEMPLO 5~ 1 = SST - SS Subtotales . El experimento del diseño de la batería En la tabla 5-4 se prese1}ta la vida efectiva (en horas) observada en el ejemplo del diseño de la batería que se describió en la sección 5-3.1. Los totales de los renglones y las columnas se indican en los márgenes de la tabla y los números encerrados en un círculo son los totales de las celdas. 181 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES Tabla 5-4 Datos de la vida (en horas) del experimento del diseño de la batería Thmperatura ("F) Tipo de 15 material 1 2 3 Ji. 155 180 188 126 110 160 130 74 150 159 138 168 125 70 34 80 136 106 174 150 0 ª@) 1738 40 75 122 115 120 139 @ @ @ 20 82 25 58 96 82 1291 YL. 70 58 70 45 104 60 @ @ @ 770 998 1300 1501 3799 = Y... Las sumas de cuadrados se calculan de la siguiente manera: b el SS n = LJLJLJ ~~~ T i=1 j=1 k=1 2 Y~-~ gk b a n = (130)2 +(155)2 +(74)2 + ... +(60)2 SS Materia! (3799)2 36 = 77,646.97 1 a 2 =_~ 2_~ bn LJ Yi.. abn 1=1 = (3)1(4)[(998)2 +(1300)2 +(1501)2]- (37::)2 = 10,683.72 1 SS Temperatura b ~ 2 1... = an LJ Y.j. - abn 2 )=1 = (3)1(4) [(1738)2 +(1291)2 +(770)2]- (37::)2 = 39,118.72 Y.~ LL Yij. - -b n a n 1 SSInteracción ab 2 =- SSMaterial - SSTemperatura ;=1 j=1 = ¡[(539)2 +(229)2 + ... +(342)2]- (37::)2 10,683.72 - 39,118.72= 9613.78 y SS E = SST - SS Material - SSTemperatura - SS Interacción = 77,646.97-10,683.72- 39,118.72- 9613.78= 18,230.75 En la tabla 5-5 se muestra el análisis de varianza. Puesto que F a.a5 , 4, 27 = 2.73, se concluye que hay una interacción significativa entre los tipos del material y la temperatura. Además, F a.a5 , 2, 27 = 3.35, por lo que los efectos principales del tipo de material y la temperatura también son significativos. En la tabla 5-5 también se muestran los valores P para los estadísticos de la prueba. Como ayuda para interpretar los resultados de este experimento, es conveniente construir una gráfica de las respuestas promedio para cada combinación de los tratamientos. Esta gráfica se muestra en la figura 5-9. El hecho de que las rectas no sean paralelas indica que la interacción es significativa. En general, se consigue una vida más larga con una temperatura baja, independientemente del tipo de material. Al cambiar de una temperatura baja a una intermedia, la vida de la batería con el material tipo 3 tiene un in- 182 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-5 Análisis de varianza de los datos de la vida de la batería Fuente de Suma de Grados de variación cuadrados libertad Tipos de material 10,683.72 2 39,118.72 2 Temperatura Interacción 4 9,613.78 Error 27 18,230.75 Total 35 77,646.97 Cuadrado medio 5,341.86 19,559.36 2,403.44 675.21 Valor P 7.91 28.97 3.56 0.0020 0.0001 0.0186 cremento real, mientras que con los materiales tipos 1 y 2 disminuye. Con una temperatura de intermedia a alta, la vida de la batería disminuye para los materiales tipos 2 y 3 y se mantiene en esencia sin cambio pára el material tipo 1. El material tipo 3 parece producir los mejores resultados si se quiere una pérdida menor de la vida efectiva cuando la temperatura cambia. Comparaciones múltiples Cuando el análisis de varianza indica que las medias de los renglones o las columnas difieren, por lo general es de interés hacer comparaciones entre las medias individuales de los renglones o las columnas para descubrir diferencias específicas. Los métodos de comparaciones múltiples revisados en el capítulo 3 son útiles a este' respecto. Se ilustra ahora el uso de la prueba de Tukey con los datos de la vida de la batería del ejemplo S-l. Observe que en este experimento, la interacción es significativa. Cuando la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de los factores (por ejemplo, A ) pueden ser oscurecidas por la interacciónAB. Una forma de abordar esta cuestión consiste en fijar el factor B en un nivel específico y aplicar la prueba de Tukey a las medias del factorA con ese nivel. Para ilustrar, suponga que en el ejemplo S-l el interés se encuentra en detectar las diferencias entre las medias de los tres tipos de material. Puesto que la interacción es significativa, esta comparación se hace con un solo nivel de la temperatura, por ejemplo el nivel 2 (70°F). Se supone que la mejor estimación de la varianza del error es MSE de la tabla del análisis de varianza, utilizando el supuesto de que la varianza del error experimental es la misma para todas las combinaciones de tratamientos. 175 150 1';':$125 o :g 100 e o. 75 :> 50 E ro -o Material tipo 3 . . . .----..;;¡~ Material tipo 1 Material tipo 2 25 0'-----:'::-----::':-------:-:-::----Temperatura (DFI Figura 5-9 Gráfica tipo de material-temperatura para el ejemplo 5-1. 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 183 Los promedios de los tres tipos de material a 70°F dispuestos en orden ascendente son Y12. Y22. Y32. = 57.25 = 119.75 = 145.75 (material tipo 1) (material tipo 2) (material tipo 3) y TO. 05 = qo . 05 (3, 27) ~MSE -11- = 3.50~67~21 = 45.47 donde qo.05(3, 27) = 3.50 se obtiene por interpolación en la tabla VIII del apéndice. Las comparaciones por pares dan como resultado 3 vs. 1: . 3 vs. 2: 2 vs. 1: 145.75 - 57.25 = 88.50 > T O.05 = 45.47 145.75 - 119.75 = 26.00 < T O•05 = 45.47 119.75 - 57.25 = 62.50 > T O•05 = 45.47 Este análisis indica que con el nivel de temperatura de 70°F, la vida media de la batería es la misma para los materiales tipos 2 y 3, Yque la vida media de la batería para el material tipo 1 es significativamente menor. Si la interacción es significativa, el experimentador podría comparar las medias de todas las ah celdas para determinar cuáles difieren significativamente. En este análisis, las diferencias entre las medias de las celdas incluyen los efectos de la interacción, así como ambos efectos principales. En el ejemplo 5-1, esto daría 36 comparaciones entre todos los pares posibles de las nueve medias de las celdas. Saüda de computadora En la figura 5-10 se presenta la salida de computadora de Design-Expert para los datos de la vida de la batería del ejemplo 5-1. Observe que SS Modelo = SS Material + SS Temperatura + SS Interacción = 10,683.72+39,118.72+9613.78 = 59,416.22 y que 59,416.22 = 0.7652 77,646.97 Es decir, cerca de 77% de la variabilidad de la vida de la batería es explicada por el material de la placa de la batería, la temperatura y la interacción entre el tipo de material y la temperatura. En la salida de computadora se muestran también los residuales del modelo ajustado. A continuación se indica cómo usar estos residuales para verificar la adecuación del modelo. ~I CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES 184 in hours Response: Life ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Mean Sum of Square Squares DF Source 7427.03 8 59416.22 Model 5341.86 2 10683.72 A 19559.36 2 39118.72 B 2403.44 9613.78 4 AB 675.21 18230.75 27 Residual 0.000 O Lack of Fit 675.21 18230.75 27 Pure Error 77646.97 35 Cor Total Std. Dev. Mean C.V. PRESS 25.98 105.53 24.62 32410.22 F Value 11.00 7.91 28.97 3.56 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision Prob> F <0.0001 significant 0.0020 <0.0001 0.0186 0.7652 0.6956 0.5826 8.178 Diagnostics Case Statistics Standard Actual Predicted Value Value Order Residual Leverage Student Residual Cook's Distance Outlier t 130.00 74.00 155.00 180.00 150.00 159.00 188.00 126.00 138.00 168.00 110.00 160.00 34.00 80.00 40.00 75.00 136.00 106.00 122.00 115.00 174.00 150.00 120.00 139.00 20.00 82.00 70.00 58.00 25.00 58.00 70.00 45.00 96.00 82.00 104.00 60.00 -4.75 -60.75 20.25 45.25 -5.75 3.25 32.25 -29.75 -6.00 24.00 -34.00 16.00 -23.25 ·22.75 -17.25 17.75 16.25 -13.75 2.25 -4.75 28.25 4.25 -25.75 -6.75 -37.50 24.50 12.50 0.50 -24.50 8.50 20.50 -4.50 10.50 -3.50 18.50 -25.50 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 -0.211 -2.700 0.900 2.011 -0.256 0.144 1.433 -1.322 -0.267 1.066 -1.511 0.711 -1.033 1.011 -0.767 0.789 0.722 -0.611 0.100 -0.211 1.255 0.189 -1.144 -0.300 -1.666 1.089 0.555 0.022 -1.089 0.378 0.911 -0.200 0.467 -0.156 0.822 -1.133 0.002 0.270 0.030 0.150 0.002 0.001 0.076 0.065 0.003 0.042 0.085 0.019 0.040 0.038 0.022 0.023 0.019 0.014 0.000 0.002 0.058 0.001 0.048 0.003 0.103 0.044 0.011 0.000 0.044 0.005 0.031 0.001 0.008 0.001 0.025 0.048 -0.207 -3.100 0.897 2.140 -0.251 0.142 1.463 -1.341 -0.262 1.069 -1.550 0.704 -1.035 1.011 -0.761 0.783 0.716 -0.604 0.098 -0.207 1.269 0.185 -1.151 -0.295 -1.726 1.093 0.548 0.022 -1.093 0.372 0.908 -0.196 0.460 -0.153 0.817 -1.139 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 134.75 134.75 134.75 134.75 155.75 155.75 155.75 155.75 144.00 144.00 144.00 144.00 57.25 57.25 57.25 57.25 119.75 119.75 119.75 119.75 145.75 145.75 145.75 145.75 57.50 57.50 57.50 57.50 49.50 49.50 49.50 49.50 85.50 85.50 85.50 85.50 Figura 5·10 Salida de Design-Expert para el ejemplo 5-1. 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES ·5,3.3 185 Verificación de la adecuación del modelo Antes de adoptar las conclusiones del análisis de varianza, deberá verificarse la adecuación del modelo fundamental. Como anteriormente, la herramienta primaria de diagnóstico es el análisis residual. Los residuales del modelo factorial de dos factores son (5-11) y puesto que el valor ajustado Yijk ción 5-11 queda como = )lij, (el promedio de las observaciones de la celda ij-ésima), la ecua(5-12) En la salida de computadora de Design-Expert (figura 5-10) y en la tabla 5-6 se muestran los residuales de los datos de la vida de la batería del ejemplo 5-1. La gráfica de probabilidad normal de estos residuales (figura 5-11) no revela nada particularmente problemático, aun cuando el residual negativo más grande (-60.75 con 15°F para el material tipo 1) se aparta un poco de los demás. El valor estandarizado de este residual es -60.751'1675.21 = -2.34, Y es el único residual cuyo valor absoluto es mayor que 2. En la figura 5-12 se grafican los residuales contra los valores ajustados Yijk' Esta gráfica indica una ligera tendencia de la varianza de los residuales a incrementarse cuando la vida de la batería se incrementa. En las figuras 5-13 y 5-14 se grafican los residuales contra los tipos del material y la temperatura, respectivamente. Ambas gráficas indican una ligera desigualdad de la varianza, con la combinación del tratamiento 15°F y material tipo 1, teniendo posiblemente una varianza mayor que las demás. En la tabla 5-6 se observa que la celda 15°F-material tipo 1 contiene los dos residuales extremos (-60.75 y 45.25). Estos dos residuales son los principales responsables de la desigualdad de la varianza detectada en las figuras 5-12 a 5-14. Al examinarse nuevamente los datos no se observa ningún problema obvio, tal como un error al registrar los datos, por lo que estas respuestas se aceptan como legítimas. Es posible que esta combinación de tratamientos particular produzca una vida de la batería ligeramente más errática que las demás. Sin embargo, el problema no es lo suficientemente grave como para tener un impacto dramático en el análisis y las conclusiones. 5,3.4 Estimación de los parámetros del modelo Los parámetros del modelo de los efectos para el diseño factorial de dos factores Yijk Tabla 5-6 2 3 (5-13) Residuales del ejemplo 5-1 Temperatura Tipo de material 1 = fl +í¡ + f3 j +(íf3)ij +8 ijk 15 -4.75 -60.75 -5.75 3.25 -6.00 24.00 (OF) 70 20.25 45.25 32.25 -29.75 -34.00 16.00 -23.25 22.75 16.25 -13.75 28.25 4.25 125 -17.25 17.75 2.25 -4.75 -25.75 -6.75 -37.50 24.50 -24.50 8.50 10.50 -3.50 12.50 0.50 20.50 -4.50 18.50 -25.50 186 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES 99 ro E oc: -o ro ;g :cro ..c o o. '" -o ::R o -7.75 -34.25 -60.75 18.75 45.25 Residuál Figura 5-11 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 5-1. pueden estimarse por mínimos cuadrados. Puesto que el modelo tiene 1 + a + ab parámetros que deben estimarse, hay 1 + a + b + ab ecuaciones normales. Al utilizar el método de la sección 3-9, no es difícil demostrar que las ecuaciones normales son a b tt:abn{t+bnL tri +anL~j +n j=l i=l 80 60 40 20 ~ '" O -20 -40 -60 ., •• • •• • 100· ·50 • •• • • • ••• • Yijk 200 • •• • • -80 Figura 5-12 Gráfica de los residuales contra Yijk para el ejemplo 5-1. a b LL i=l j=l A (rf3)ij = Y... (5-14a) 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 187 60 ., ~ 40 • 20 I O -20 • • •• I I ·1 '12 63 • • l1po de materia I •• • -40 • -60 • • " • • • -130 Figura 5·13 Gráfica de los residuales contra el tipo de material para el ejemplo 5-1. i = 1, 2,0 .. ,a (5-14b) j = 1, 2, 000' b (5-14c) i 1, 2, a { } -1,2'000' b : o o o o, (5-14d) Por conveniencia, el parámetro que corresponde a cada ecuación normal se indica a la izquierda de las ecuaciones 5-14. 60 40 20 • • •• • •• • : 125 Temperatura (OF) -20 -40 -60 • • • • • • -130 Figura 5-14 Gráfica de los residuales contra la temperatura para el ejemplo 5-1. 188 CAPÍTULo 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES El modelo de los efectos (ecuación 5-13) está sobreparametrizado. Observe que la suma de las a ecuaciones de la ecuación 5-14b es igual a la ecuación 5-14a y que la suma de las b ecuaciones de la ecuación 5-14c es igual a la ecuación 5-14a. Asimismo, la operación suma de la ecuación 5-14d sobre j para una i particular dará la ecuación 5-l4b, y la operación suma de la ecuación 5-14d sobre i para unaj particular dará la ecuación 5-14c. Por lo tanto, haya + b + 1 dependencias lineales en este sistema de ecuaciones y no existirá ninguna solución única. A fin de obtener una solución, se imponen las restricciones a L¡=1 f¡=O Lj=1 fij = O (S-ISa) b a L¡=1 (5-15b) /1 j = 1,.2, ..., b (5-15c) i = 1, 2, ... ,a (5-15d) (r:(3)ij = O y b /1 Lj=1 (r:(3)ij = O Las ecuaciones S-ISa y 5-15b constituyen dos restricciones, mientras que las ecuaciones 5-15c y 5-15d forman a + b - 1 restricciones independientes. Por lo tanto, se tienen en total a + b + 1 restricciones, el número que se requiere. Al aplicar estas restricciones, las ecuaciones normales (ecuaciones 5-14) se simplifican considerablemente, y se obtiene la solución jl = Y... i = 1, 2, ... ,a r:¡ = Yi.. - Y.. h _ fi = Y. j /1 (r:(3)ij _ = Yij. - _ j. - Ji... _ j _ = 1, 2, ..., b _ {i=1'2,oo.,a Y¡.. - Yj. + Y... j = 1,2, oo., b (5-16) Observe el gran atractivo intuitivo de esta solución de las ecuaciones normales. Los efectos de los tratamientos de los renglones se estiman con el promedio del renglón menos el gran promedio; los tratamientos de las columnas se estiman con el promedio de la columna menos el gran promedio, y la interacción ij-ésima se estima con el promedio de la celda ij-ésima menos el gran promedio, el efecto del renglón i-ésimo y el efecto de la columna j-ésima. ' Al utilizar la ecuación 5-16, el valor ajustado Y¡jk puede encontrarse como h Yijk /1 = jl+f¡ +(3j +(r:(3h - +(-Y¡.. - Y.. - )+(-) = Y... Yj. - Y.. + ) +( Yij, - Y¡.. - Yj. Y.. =Yij. Es decir, la observación k-ésima de la celda ij-ésima se estima con el promedio de las n observaciones de esa celda. Este resultado se usó en la ecuación 5-12 para obtener los residuales del modelo factorial de dos factores. Puesto que se han usado restricciones (ecuaciones 5-15) para resolver las ecuaciones normales, los parámetros del modelo no tienen estimaciones únicas. Sin embargo, ciertas funciones importantes de los parámetros del modelo son estimables, es decir, tienen una estimación única independientemente de las restricciones elegidas. Un ejemplo es r:¡ - r: u + (r:(3)i. - (r:(3)"., que podría considerarse como la "verdade- 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 189 ra" diferencia entre los niveles i-ésimo y u-ésimo del factorA. Observe que la verdadera diferencia entre los niveles de cualquier efecto principal incluye un efecto de la interacción "promedio". Es este resultado el que perturba las pruebas de los efectos principales en presencia de una interacción, como se señaló anteriormente. En general, cualquier función de los parámetros del modelo que sea una combinación lineal del miembro izquierdo de las ecuaciones normales es estimable. Esta propiedad también se hizo notar en el capítulo 3 cuando se estudió el modelo de un solo factor. Para mayores detalles, ver el material suplementario del texto de este capítulo. 5-3.5 Elección del tamaño de la muestra Para determinar un tamaño de la muestra (el número de réplicas, n) apropiado en un diseño factorial de dos factores, el experimentador puede apoyarse en las curvas de operación característica que aparecen en la parte V del apéndice. En la tabla S-7 se muestra el valor apropiado del parámetro <1>2, así como los grados de libertad del numerador y el denominador. Una forma muy eficaz de emplear estas curvas consiste en encontrar el valor menor de <1>2 que corresponde a una diferencia especificada entre las medias de dos tratamientos cualesquiera. Por ejemplo, si la diferencia en las medias de dos renglones cualesquiera es D, entonces el valor mínimo de <1>2 es 2 = nbD2 (S-17) 2aa mientras que si la diferencia en las medias de dos columnas cualesquiera es D, entonces el valor mínimo de <1>2 es <1>2 . 2 = naD2 (S-18) 2ba Por último, el valor mínimo de <1>2 que corresponde a una diferencia D entre dos efectos de interacción cualesquiera es nD 2 <1>2 =--,-----_ (S-19) 2a 2 [(a-1)(b-1)+ 1] <1>2 Para ilustrar el uso de estas ecuaciones, considere los datos de la vida de la batería del ejemplo S-1. Suponga que antes de correr el experimento se decide que la hipótesis nula deberá rechazarse con una alta Tabla 5-7 Parámetros de la curva de operación característica de la parte V del apéndice para el diseño factorial de dos factores, modelo con efectos fijos Factor Grados de libertad del numerador Grados de libertad del denominador a -1 aben -1) b-1 aben -1) (a -1)(b -1) aben -1) a A bn¿ Ti i=l aa 2 b B an j=l a AB ¿ f3~ b n¿¿ (Tf3)~ i=l j=l a 2 [(a-1 )(b -1)+ 1] "r ,,¡T 190 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES probabilidad si la diferencia en la vida media de la batería entre dos temperaturas cualesquiera es hasta de 40 horas. Por lo tanto D = 40, Ysi se supone que la desviación estándar de la vida de la batería es aproximadamente 25, entonces por la ecuación 5-18 se obtiene <1>2 = naD 2 2 2ba n(3)(40)2 2(3)(25)2 =1.28n como el valor mínimo de <1>2. Suponiendo que a construir la tabla siguiente: = 0.05, ahora puede usarse la parte V del apéndice para n <1>2 <1> VI = Grados de libertad del numerador v2 = Grados de libertad del error 2 3 4 2.56 3.84 5.12 1.60 1.96 2.26 2 2 2 9 18 27 f3 0.45 0.18 0.06 Observe que con n = 4 réplicas se obtiene un riesgo f3 de cerca de 0.06, o una probabilidad aproximada de 94%, de rechazar la hipótesis nula si la diferencia en la vida media de la batería con dos niveles de temperatura cualesquiera es hasta de 40 horas. Por lo tanto, se concluye que cuatro réplicas bastan para proporcionar la sensitividad deseada siempre y cuando la estimación usada para la desviación estándar de la vida de la batería no tenga un error grave. En caso de duda, el experimentador podría repetir el procedimiento anterior con otros valores de a para determinar el efecto que tendría una estimación equivocada de este parámetro sobre la sensitividad del diseño. 5~3.6 El supuesto d.e no interacción en un modelo de dos factores Ocasionalmente, un experimentador siente que es apropiado un modelo de dos factores sin interacción, por ejemplo '.: 1,2, ..., a J -1,2, oo., b { k = 1,2, oo., n (5-20) Sin embargo, se deberá ser muy cuidadoso al hacer caso omiso de los términos de interacción, ya que la presencia de una interacción significativa puede tener un impacto dramático sobre la interpretación de los datos. El análisis estadístico de un modelo factorial de dos factores sin interacción es directo. En la tabla 5-8 presenta el análisis de los datos de la vida de la batería del ejemplo 5-1, suponiendo que es válido el mose Tabla 5-8 Análisis de varianza de los datos de la vida de la batería suponiendo que no hay interacción Fuente de variación Tipos de material Temperatura Error Total Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 10,683.72 39,118.72 27,844.52 77,646.96 2 2 5,341.86 19,559.36 898.21 31 35 5.95 21.78 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 191 delo sin interacción (ecuación 5-20). Como ya se señaló, los dos efectos principales son significativos. Sin embargo, tan pronto como se efectúa el análisis residual de estos datos, se pone de manifiesto que el modelo sin interacción es inadecuado. Para el modelo de dos factores sin interacción, los valores ajustados son J¡jk =)li.. + yj. - y.... En la figura 5-15 se presenta la gráfica de Yij. - J¡jk (los promedios de las celdas menos el valor ajustado de esa celda) contra el valor ajustado Yijk. Ahora las cantidades Yij. - Yijk pueden considerarse como las diferencias entre las medias de las celdas observadas y las medias de las celdas estimadas suponiendo que no hay interacción. Cualquier patrón en estas cantidades sugiere la presencia de una interacción. En la figura 5-15 se observa un patrón claro cuando las cantidades Yij. - Yijk pasan de positivo a negativo, y después de nuevo a positivo y a negativo. Esta estructura es el resultado de la interacción entre los tipos del material y la temperatura. 5.3.7 Una observación por celda En ocasiones se encuentran experimentos de dos factores con una sola réplica, es decir, en los que sólo hay una observación por celda. Cuando hay dos factores y una sola observación por celda, el modelo de los efectos es i. : 1, 2, { J -1,2, ,a ,b (5-21) El análisis de varianza para esta situación se presenta en la tabla 5-9, suponiendo que ambos factores son fijos. Al examinar los cuadrados medios esperados, se observa que la varianza del error es no estimable; es decir, que el efecto de la interacción de los dos factores (rf3)ij y el error experimental no pueden separarse de alguna manera obvia. Por consiguiente, no se cuenta con pruebas para los efectos principales a menos que el efecto de la interacción sea cero. Si no hay una interacción presente, entonces (rf3)ij = Opara toda i y j, y un modelo plausible es er i. : 1, 2, { J-1, 2, ,a ,b (5-22) Si el modelo (ecuación 5-22) es apropiado, entonces el cuadrado medio de los residuales de la tabla 5-9 es y los efectos principales pueden probarse comparando MSA y MSB con un estimador insesgado de er, MSResidUa¡' 30 30 10 (~ I I~ o • • • • 50 100 150 200 Yijk -10 -20 • • -30 Figura 5-15 Gráfica de Yij. de la batería. • • - Jijk contra Jijk para los datos de la vida ,.I!f'" 192 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-9 Análisis de varianza de un modelo de dos factores, una observación por celda Fuente de variación Suma de cuadrados a L Renglones (A) i=l b L Columnas (B) j~l Residual o AB Yi~ ? _r b ab ? Y.j _r a ab a b Cuadrado medio Cuadrado medio esperado a-1 MSA (J2+-_' b-1 MSB (J2+ _ _ 1 (a -l)(b -1) MSResidunl ? bL!2 a-1 aL,B~ ? Sustracción Total Grados de libertad b -1 ? (J- + L L(!,B)~ (a-1)(b-1) ? LL Yi~-Y~ i~l j~l ab ab-1 Una prueba desarrollada por Tukey [111a] es útil para determinar si está presente una interacción. En el procedimiento se supone que el término de la interacción tiene una forma particularmente simple, a saber, ('ífJ)ij = Y'í i fJ j donde y es una constante desconocida. Al definir así el término de la interacción, puede usarse un enfoque de regresión para probar la significación del término de la interacción. En la prueba se hace la partición de la suma de cuadrados de los residuales en un componente con un solo grado de libertad debido a lana aditividad (interacción) yun componente del error con (a -l)(b -1) -1 grados de libertad. En lo que a los cálculos se refiere, se tiene (5-23) con un grado de libertad, y SS Error = SSResidunl-SSN (5-24) con (a - l)(b -1) - 1 grados de libertad. Para probar la presencia de una interacción, se calcula F Si F o > Fa, 1, (u _ 1)(b EJEMPLO 5 2 _ 1) _ b o = SSN SS Error /[(a-1)(b-1)-1] (5-25) debe rechazarse la hipótesis de que no hay ninguna interacción. . Las impurezas presentes en un producto químico son afectadas por dos factores, la presión y la temperatura. En la tabla 5-10 se muestran los datos de una sola réplica de un experimento factorial. Las sumas de cuadrados son 5-3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES 193 Tabla 5-10 Datos de las impurezas del ejemplo 5-2 Presión 'Thmperatura ("F) 25 30 35 100 125 150 5 3 1 4 1 1 6 y'j 9 6 1 "y 45 5 3 2 23 13 13 6 10 44 = 1.. YL 8 2 b 2 SS = B a L.J.J 4 3 40 3 2 1 _ J=1 L... ab ",; ~[92 +6 2 +13 2 +6 2 +102]_~= 11.60 3 (3)(5) SST a b i=1 j=1 2 = L Ly~-L... ab = 166-129.07 = 36.93 y SSResidual = SST - SSA - SSB = 36.96- 23.33-11.60 = 2.00 La suma de cuadrados de la no aditividad se calcula con la ecuación 5-23 de la siguiente manera: a b LL YijY¡.Y.j = (5)(23)(9)+(4)(23)(6)+.. +(2)(8)(10)= 7236 i=1 j=1 SS - [~~ y,Y;Yn(SSA +SS, +;:)J -=--------------~--=-- abSSASSB N - [7236- (44)(23.33+ 11.60+129.07)]2 (3)(5)(23.33)(11.60) =.:o......._---''---'-'- _'_=__ = [20.00]2 = 0.0985 4059.42 y la suma de cuadrados del error es, por la ecuación 5-24, SS Error = SSResidual - SS N = 2.00- 0.0985= 1.9015 El análisis de varianza completo se resume en la tabla 5-11. El estadístico de prueba para la no aditividad es Fa = 0.0985/0.2716 = 0.36, de donde se concluye que no hay evidencia de interacción en estos datos. Los efectos principales de la temperatura y la presión son significativos. Para concluir esta sección, se hace notar que el modelo factorial de dos factores con una observación por celda (ecuación 5-22) luce exactamente igual que el modelo de bloques completos aleatorizados 194 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-11 Análisis de varianza del ejemplo 5·2 Suma de Fuente de variación cuadrados Temperatura 23.33 Presión 11.60 No aditividad 0.0985 Error Total Grados de libertad 2 4 1 7 14 1.9015 36.93 Cuadrado medio 11.67 2.90 0.0985 0.2716 Fo Valor P 42.97 10.68 0.36 0.0001 0.0042 0.5674 (ecuación 4-1). De hecho, la prueba de Tukey con un solo grado de libertad para la no aditividad puede aplicarse directamente para probar la presencia de una interacción en el modelo de bloques aleatorizados. Sin embargo, es necesario recordar que las situaciones experimentales que llevan al modelo de bloques aleatorizados y al modelo factorial son muy diferentes. En el modelo factorial, todas las ab corridas se hacen de manera aleatoria, mientras que en el modelo de bloques aleatorizados la aleatorización sólo ocurre dentro del bloque. Los bloques constituyen una restricción sobre la aleatorización. Por lo tanto, la manera en que se corren los experimentos, así como la interpretación de los dos modelos, es muy diferente. 5..4 DISEÑO FACTORIAL GENERAL Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden ampliarse al caso general en que haya niveles del factor A, b niveles del factor B, e niveles del factor e, etc., dispuestos en un experimento factorial. En general, habrá abe ... n observaciones totales si se hacen n réplicas del experimento completo. De nueva cuenta, observe que es necesario un mínimo de dos réplicas (n ~ 2) para determinar una suma de cuadrados debida al error si todas las interacciones posibles están incluidas en el modelo. Cuando todos los factores del experimento son fijos, es sencillo formular y probar hipótesis acerca de los efectos principales y las interacciones. Para un modelo con efectos fijos, los estadísticos de prueba para cada efecto principal e interacción pueden construirse dividiendo el cuadrado medio correspondiente del efecto o interacción por el cuadrado medio del error. Todas estas pruebas F serán de una cola superior. El número de grados de libertad de cualquier efecto principal es el número de niveles del factor menos uno, y el número de grados de libertad de una interacción es el producto del número de grados de libertad asociados con los componentes individuales de la interacción. Por ejemplo, considere el modelo del análisis de varianza de tres factores: Yijkl = ¡,t +r: i + f3 j +y k +( r:f3)ij +( r:y)ik + (f3y) jk i. :: 1, 2, oo., a ( f3 ) ] - 1, 2, . oo, b + r: y ijk +Sijkl {k = 1,2, oo., e (5-26) l= 1,2, oo., n Suponiendo queA, B y e son fijos, la tabla del análisis de varianza se presenta en la tabla 5-12. Las pruebas F para los efectos principales y las interacciones se siguen directamente de los cuadrados medios esperados. Tabla 5-12 La tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores con efectos fijos Fuente de variación 1-' \O U1 Cuadrado medio esperado Fo Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio A SSA a-1 MSA a+ B SSB b-'-l MSB a-+ C SSc e-1 MSc a-+ AB SSAB (a -l)(b -1) MSAB AC SSAC (a -l)(e -1) MSAC a 2+ bn BC SSBC (b-1)(e-1) MSBC a+ an (f3y )~k (b -l)(e -1) MS R = -BCo MSE ABC SSABC (a -l)(b -l)(e -1) MS ABC a 2+ n 2:2:2: (Tf3Y)~k R - MSABC 0 - MS E Error SSE abe(n -1) MSE Total SST aben -1 7 7 2: ben Ti a-1 2: aen f3~ b-1 2: Fa = MSB MS E abn y~ e-1 MSc R=-o MSE 2:2: (Tf3)~ MS R - -AB 0 - MS E a 2+ en (a-1)(b -1) 2:2: (ry)~ (a-1)(e-1) 2 R _MSA 0 - MS E 2:2: (a-1)(b -l)(e -1) a7 R _ MSAC 0 - MS E 196 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES En general, los cálculos del análisis de varianza se efectuarían utilizando un paquete de software de estadística. Sin embargo, en ocasiones resultan útiles las fórmulas para calcular manualmente las sumas de cuadrados de la tabla 5-12. La suma de cuadrados total se encuentra de la manera acostumbrada como b a = SST e n 2 y.~. 2:2:2:2: Yijkl--b a en (5-27) i=l j=l k=l 1=1 Las sumas de cuadrados de los efectos principales se encuentran a partir de los totales de los factores A(yiJ, B(y JJ Y C(Y..k) de la siguiente manera: 1 a 2 2 (5-28) SS Aben LJ yi... -~ aben =-" 1=1 ss = _1_ ~ y2 _ y.~. .J.. aben (5-29) SS =_1 ~ y2 _ y.~. C abn LJ .. k. aben (5-30) aen LJ B J=l k=l Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones de dos factores, se necesitan los totales de las celdasA x B,A x Cy B x C. Con frecuenciaes útil desplegar la tabla de los datos originales en tres tablas de dos vías para calcular estas cantidades. Las sumas de cuadrados se encuentran con 1 a b 2 SS AB = - LJ "" LJ l g.. -~-SS b A -SSB en 1=1 j=l a en = SSSubtotaleS(AB) -SSA -SSB 1 SS AC a = -b 2:2: yZk. - Y···· - SS A aben = SSSubtotales(AC) - SS A - SSc n (5-31) 2 e SSC i=l k=l (5-32) y 1 SSBC b e 2 2:2: l· an =- j=l k=l -~-SS -SSc .Jk. aben B = SSSubtotaleS(BC) - SS (5-33) B- SSc Observe que las sumas de cuadrados de los subtotales de dos factores se encuentran a partir de los totales de cada tabla de dos vías. La suma de cuadrados de la interacción de los tres factores se calcula a partir de los totales de las celdas (yijd de tres vías como SS ABC 1 =- 2:2:2: n a b e i=l j=l k=l y.~. 2 Yijk. - - - - SS A - SSB - SSc aben SS AB - SS AC - SSBC = SSSubtotaleS(ABC) -SSA -SSB -SSc -SSAB -SSAC -SSBC (5-34a) (5-34b) La suma de cuadrados del error puede encontrarse restando la suma de cuadrados de cada efecto principal e interacción de la suma de cuadrados total o con SSE = SST -SSSubtotaleS(ABC) (5-35) 5-4 DISEÑO FACTORIAL GENERAL EJEMPLO 5..3 197 ó •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• El problema del embotellado de un refresco Una empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. Teóricamente, la máquina de llenado llena cada botella a la altura objetivo correcta, pero en la práctica, existe variación en torno a este objetivo, y a la embotelladora le gustaría entender mejor las fuentes de esta variabilidad y, en última instancia, reducirla. El ingeniero del proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: el porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de línea (e). Es sencillo controlar la presión y la rapidez, pero el porcentaje de carbonatación es más difícil de controlar durante la manufactura real debido a que varía con la temperatura. Sin embargo, para los fines de un experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatación en tres niveles: 10, 12 Y14 por ciento. Elige dos niveles para la presión (25 y 30 psi) Ydos niveles para la rapidez de línea (200 y 250 bpm). El ingeniero decide correr dos réplicas de un diseño factorial con estos tres factores, haciendo las 24 corridas de manera aleatoria. La variable de respuesta observada es la desviación promedio de la altura del llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones. En la tabla 5-13 se muestran los datos que resultaron de este experimento. Las desviaciones positivas son alturas de llenado arriba del objetivo, mientras que las desviaciones negativas son alturas de llenado abajo del objetivo. Los números encerrados en círculos de la tabla 5-13 son los totales de las celdas de tres vías Yijk.' La suma de cuadrados total corregida que se encuentra con la ecuación 5-27 es a SST b e 2 y'~. Yijki - aben n = ~~~~ = 571- (75)2,= 336.625 24 Tabla 5-13 Datos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo 5-3 Presión de operación (B) Porcentaje de carbonatación (A) 25 psi 30 psi Rapidez de línea (C) 200 250 Rapidez de línea (C) 200 250 10 -3 -1 Gj:\ '0 -1 O C[\ 12 ~ CD i ® ¡ 14 Totales B x CY.jk. ~ ® @ '5' \:!.../ fí6\ ~ 20 21 Y.j.. TbtalesA x B TotalesA x C Yij.. Yi.k. 10 12 14 25 -5 4 22 @ @ 34 -4 20 59 75 = Y.... 54 B A (3) 1 1 6 5 10 11 c.v O 2 3 7 9 15 6 C[\ -1 c.v C 30 A 200 250 1 16 37 10 12 14 -5 6 25 1 14 34 1 1 1\ I 198 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES y las sumas de cuadrados de los efectos principales que se calculan con las ecuaciones 5-28, 5-29 Y5-30 son SS 1 a 2 =-~ 2_~ ben -f::; Yi... aben Carbonatación = ~[(_4)2 +(20)2 +(59)2]- (7;{ = 252.750 1 b 2 =_~ 2_~ aen LJ y.j.. aben SS Presión ]=1 1 = 12 [(21)2 +(54)2]- (7;{ = 45.375 y SS 1 . Rapidez e 2 = _ V y 2 -~ abn L.J .. k. aben k=1 1 = 12 [(26)2 +(49)2 ]_ (7;{ = 22.042 Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones de dos factores, se deben encontrar los totales de las celdas de dos vías. Por ejemplo, para encontrar la carbonatación-presión o interacciónAB, se necesitan los totales de las celdas A x B {Yij.) que se muestran en la tabla 5-13. Utilizando la ecuación 5-31, se encuentra que las sumas de cuadrados son 1 SS AB a b = - ~~ en ~LJ ¡=1 ]=1 2 Y~ -~-SS -SS y.. aben A B 1 (75)2 = -[(_5)2 +(1)2 +(4)2 +(16)2 +(22)2 +(37)2 ] - - - - 252.750- 45.375 4 . ~ = 5.250 Para la carbonatación-rapidez o interacciónAC se usan los totales de las celdasA x C {YUe} que se muestran en la tabla 5-13 y la ecuación 5-32: 1 SS AC a e = -b L L Y~k. n i=1 k=l 2 yb···· - SSA a en - SS C = ¡[(_5)2 +(1)2 +(6)2 +(14)2 +(25)2 +(34)2]- (7;{ - 252.750- 22.042 = 0.583 La presión-rapidez o interacción BC se encuentra con los totales de las celdas B x C {y Jk} que se muestran en la tabla 5-13 y la ecuación 5-33: 1 SSBC b e 2 = ~ LL Y.~k. -~-SSB -SSC an j=1 k=1 aben =i[(6)2 +(15)2 +(20)2 +(34)2]- (7;{ = 1.042 45.375- 22.042 5-4 DISEÑO FACTORIAL GENERAL 199 La suma de cuadrados de la interacción de los tres factores se encuentra con los totales de las celdas B X e {Yijk.}, los cuales están encerrados en un círculo en la tabla 5-13. Por la ecuación 5-34a se encuentra 1 a b e 2 Y.~. SSABC = Yijk. ----SSA -SSB -SSC -SSAB -SSAC -SSBC n ;=1 j=l k=l aben .Á. X LLL 2 (75) 2 1 = -[(-4)+(-1)- +(-1)- +···+(16)- +(21) ] - ? ? ? ? 2 24 - 252.750- 45.375- 22.042- 5.250- 0.583-1.042 = 1.083 por último, al observar que 1 SSsublotaleS(ABC) a b e =-;; LLL ;=1 j=l k=l se tiene SSE 2 2 y... 328125 Y¡ik . ,. --b-= a en = SST - SS Subtotales(ABC) = 336.625- 328.125 = 8.500 En la tabla 5-14 se resume el análisis de varianza. Se observa que el porcentaje de carbonatación, la presión de operación y la rapidez de línea afectan significativamente el volumen de llenado. El cociente F de la interacción carbonatación-presión tiene un valor P de 0.0558, lo cual indica cierta interacción entre estos factores. El siguiente paso deberá ser un análisis de los residuales de este experimento. Se deja como ejercicio para el lector, pero se señala que la gráfica de probabilidad normal de los residuales y los demás diagnósticos usuales no indican ningún motivo de preocupación importante. Como ayuda para la interpretación práctica de este experimento, en la figura 5-16 se grafican los tres efectos principales y la interacciónAB (carbonatación-presión). Las representaciones de los efectos principales son sólo gráficas de los promedios de las respuestas marginales para los niveles de los tres factores. Observe que las tres variables tienen efectos principales positivos; es decir, el incremento de la variable mueve hacia arriba la desviación promedio dell1enado objetivo. La interacción entre la cabonatación y la presión es bastante pequeña, como lo indica la forma similar de las dos curvas de la figura 5-16d. Puesto que la empresa quiere que la desviación promedio del llenado objetivo esté cerca de cero, el ingeniero decide recomendar el nivel bajo de la presión de operación (25 psi) y el nivel alto de la rapidez de línea (250 bpm, que maximizará la rapidez de producción). En la figura 5-17 se grafica la desviación Tabla 5-14 Análisis de varianza del ejemplo 5-3 Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Porcentaje de carbonatación (A) Presión de operación (B) Rapidez de línea (C) AB AC BC ABC Error Total 252.750 45.375 22.042 5.250 0.583 1.042 1.083 8.500 336.625 2 1 1 2 2 1 2 12 23 Cuadrado medio 126.375 45.375 22.042 2.625 0.292 1.042 0.542 0.708 Fa Valor P 178.412 64:059 31.118 3.706 0.412 1.471 0.765 <0.0001 <0.0001 0.0001 0.0558 0.6713 0.2485 0.4867 ;·'1 I 200 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES o -o co 8 8 ª 1:: 6 6 -o o 'O E 4 4 o. 2 2 o;;co O O Qi " ~ / 1:: -o o¡¡ lI) o" -2 10 12 14 A -2 B 25 Presión (B) bl Porcentaje de carbonatación (Al al 10 o -o co 8 1:: ª Qi 6 6 -o o 'O 4 E 4 / " ~ o. 2 1:: o¡¡ co o;; O o" -2 00 2 O lI) 250 200 C -2 10 12 14 A Interacción carbonatación-presión Rapidez de linea (Cl el dI Figura 5-16 Gráficas de los efectos principales y la interacción del ejemplo 5-30 a) Porcentaje de carbonatación (A), b) presión (B), e) rapidez de línea (e), d) interacción carbonatación-presióno promedio observada de la altura de llenado objetivo con los tres diferentes niveles de carbonatación para este conjunto de condiciones de operación. Ahora, el nivel de la carbonatación no puede actualmente controlarse perfectamente en el proceso de manufactura, y la distribución normal indicada con la línea continua de la figura 5-17 es una aproximación de la variabilidad de los niveles de carbonatación que se o -o co 8 1:: " =co "0-oE 6 ~I:: Distribución mejorada del porcentaje de carbonatación :::loa ~'Cii co" JEa 4 ~lii E-o 00~o. 2 ,,> -oco 0-o""co o.~ 1::1:: O :Q o uu co o;; lI) " o -2 10 12 14 Porcentaje de carbonatación (Al Figura 5·17 Desviación promedio de la altura de llenado con rapidez alta y presión baja para diferentes niveles de carbonatacióno 5-5 AJUSTE DE CURVAS YSUPERFICIES DE RESPUESTA 201 registran actualmente. Como el proceso es impactado por los valores del nivel de carbonatación sacado de esta distribución, la fluctuación de las alturas de llenado será considerable. Esta variabilidad de las alturas de llenado podría reducirse si la distribución de los valores del nivel de carbonatación siguieran la distribución normal indicada con la línea punteada de la figura 5-17. La reducción de la desviación estándar de la distribución del nivel de carbonatación se consiguió finalmente mejorando el control de la temperatura durante la manufactura. .... ... . ......... . .............. ........................ ............ . .... Se señaló ya que si todos los factores de un experimento factorial son fijos, la construcción del estadístico de prueba es directa. El estadístico para probar cualquier efecto principal o interacción se forma siempre dividiendo el cuadrado medio del efecto principal o la interacción por el cuadrado medio del error. Sin embargo, si el experimento factorial incluye uno o más factores aleatorios, la construcción del estadístico de prueba no siempre se hace de esta manera. Es necesario examinar los cuadrados medios esperados para determinar las pruebas correctas. La revisión completa de los experimentos con factores aleatorios se pospone hasta el capítulo 12. 5~5 AJUSTE DE CURVAS y SUPERFICIES DE RESPUESTA Se ha visto que puede resultar útil ajustar una curva de respuesta a los niveles de un factor cuantitativo para que el experimentador cuente con una ecuación que relacione la respuesta con el factor. Esta ecuación podría utilizarse para hacer interpolaciones, es decir, para predecir la respuesta en niveles intermedios entre los factores, respecto de los que se utilizaron realmente en el experimento. Cuando al menos dos de los factores son cuantitativos, puede ajustarse una superficie de respuesta para predecir y con varias combinaciones de los factores del diseño. En general, se usan métodos de regresión lineal para ajustar estos modelos a los datos experimentales. Este procedimiento se ilustra en la sección 3-5.1 para un experimento con un solo factor. A continuación se presentan dos ejemplos que incluyen experimentos factoriales. Se utilizará un paquete de software de computadora para generar los modelos de regresión. Para mayor información acerca del análisis de regresión, referirse al capítulo 10 y al material suplementario del texto de este capítulo. EJEMPLO 5~4 . Considere el experimento que se describe en el ejemplo 5-1. El factor temperatura es cuantitativo y el tipo de material es cualitativo. Además, hay tres niveles de la temperatura. Por consiguiente, puede calcularse un efecto de la temperatura lineal y uno cuadrático para estudiar la forma en que la temperatura afecta la vida de la batería. En la tabla 5-15 se presenta la salida condensada de Design-Expert para este experimento, donde se supone que la temperatura es cuantitativa y el tipo de material es cualitativo. El análisis de varianza de la tabla 5-15 indica que la fuente de variabilidad "modelo" se ha subdividido en varios componentes. Los componentes "A" Y"A 2" representan los efectos lineal y cuadrático de la temperatura, y "B" representa el efecto principal del factor tipo de material. Recuerde que el tipo de material es un factor cualitativo con tres niveles. Los términos "AB" y "A2B" son las interacciones delfactor temperatura lineal y cuadrático con el tipo de material. Los valores P indican queA 2 y AB no son significativos, mientras que el términoA 2B es significativo. Con frecuencia se piensa en eliminar los términos o factores no significativos del modelo, pero en este P" " Tabla 5-15 Salida de Design-Expert para el ejemplo 5-4 Response: Life in hr ANOVA for Response Surface Reduced Cubic Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Squares DF Square Source Value 59416.22 7298.69 18230.75 8 1 2 1 2 2 27 0.000 18230.75 O 27 Cor Total 77646.97 35 Std. Dev. Mean C.V. PRESS 25.98 105.53 24.62 32410.22 Model A a A2 Aa Na Residual Lack of Fit Pure Error 39042.67 10683.72 76.06 2315.08 7427.03 5341.86 11.00 57.82 7.91 76.06 0.11 1157.54 3649.35 675.21 5.40 39042.67 Prob> F <0.0001 significant <0.0001 0.0020 0.7398 0.1991 0.0106 1.71 675.21 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision Term Coefticient Estimate DF Standard Error Intercept A-Temp B[1] B[2] N AB[1] AB[2] NB[1] NB[2] 107.58 -40.33 -50.33 12.17 -3.08 1.71 -12.79 41.96 -14.04 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7.50 5.30 10.61 10.61 9.19 7.50 7.50 12.99 12.99 Final Equation in Terms of Coded Factors: Life = +107.58 -40.33 *A -50.33 *B[1] +12.17 *B[2] -3.08 *N +1.71 *AB[1] -12.79 *AB[2] +41.96 *NB[1] -14.04 *NB[2] Final Equation in Terms of Actual Factors: Material Type 1 Life = +169.38017 -2.48860 *Temp +0.012851 *Temp 2 Material Type 2 Life = +159.62397 -0.17901 *Temp +0.41627 *Temp 2 Material Type 3 Life = +132.76240 +0.89264 *Temp -0.43218 *Temp 2 0.7652 0.6956 0.5826 8.178 95%CI Low 92.19 -51.22 -72.10 -9.60 -21.93 -13.68 -28.18 15.30 -40.70 95%CI High 122.97 -29.45 -28.57 33.93 15.77 17.10 2.60 68.62 12.62 VIF 1.00 1.00 5-5 AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA 203 caso eliminar A 2 YAB Yconservar A 2B resultará en un modelo que no es jerárquico. El priucipio de jerarquía establece que si un modelo contiene un término de orden superior (tal comoA 2B), deberá contener también todos los términos de orden inferior que lo componen (A 2 y AB en este caso). La jerarquía promueve un tipo de consistencia interna en un modelo, y muchos constructores de modelos estadísticos siguen rigurosamente este principio. Sin embargo, la jerarquía no es siempre una buena idea, y muchos modelos en realidad funcionan mejor como ecuaciones de predicción que no incluyen los términos no significativos que propone la jerarquía. Para mayor información, ver el material suplementario del texto de este capítulo. La salida de computadora incluye también estimaciones de los coeficientes del modelo y una ecuación para la predicción final de la vida de la batería en términos de factores codificados. En esta ecuación, los niveles de la temperatura sanA = -1, 0, + 1, respectivamente, cuando la temperatura está en los niveles bajo, intermedio y alto (15,70, 125°F). Las variables B[l] YB[2] son variables iudicadoras codificadas que se definen de la siguiente manera: ---------,----- Tipo de material 123 B[l] B[2] 1 O O 1 -1 -1 Hay también ecuaciones para la predicción de la vida de la batería en términos de los niveles de los factores reales. Observe que como el tipo de material es un factor cualitativo, hay una ecuación para la vida predicha como una función de la temperatura para cada tipo de material. En la figura 5-18 se muestran 188 • • • 146 ~ 104 62 •• 20 15.00 42.50 70.00 97.50 125.00 Temperatura Figura 5-18 La vida predicha como una función de la temperatura para los tres tipos de material, ejemplo 5-4. ffr""! 204 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES las curvas de respuesta generadas por estas tres ecuaciones de predicción. Compárense con la gráfica de la interacción de dos factores para este experimento de la figura 5-9. Si varios de los factores de un experimento factorial son cuantitativos, puede usarse una superficie de respuesta para modelar la relación entre y y los factores del diseño. Además, los efectos de los factores cuantitativos pueden representarse con efectos polinomiales con un solo grado de libertad. De manera similar, es posible hacer la partición de las interacciones de factores cuantitativos en componentes de interacción con un solo grado de libertad. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO . 5~5 Se piensa que la vida efectiva de una herramienta de corte instalada en una máquina controlada numéricamente se afecta por la velocidad de corte y el ángulo de la herramienta. Se seleccionan tres velocidades y tres ángulos, y se lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas. En la tabla 5-16 se muestran los datos codificados. Los números de las celdas encerrados en círculos son los totales de las celdas {yij)' En la tabla 5-17 se presenta la salida condensada de Design-Expen para este ejemplo. Los términos A y A 2 son los efectos lineal y cuadrático del ángulo de la herramienta, y By B 2 son los efectos lineal y cuadrático de la velocidad. Los términosAB,A 2B,AB 2 y A 2B 2 representan los componentes lineal x lineal, cuadrático x lineal, lineal x cuadrático y cuadrático x cuadrático de la interacción de dos factores. Aun cuando hay algunos valores P grandes, se han conservado todos los términos del modelo para respetar la jerarquía. En la ecuación de predicción expresada en factores codificados se utilizan los niveles -1, OY+ 1 de A y B para representar los niveles bajo, intermedio y alto, respectivamente, de estos factores. En la figura 5-19 se presenta la gráfica de contorno de la superficie generada por la ecuación de predicción de la vida de la herramienta. El examen de esta superficie de respuesta indica que la vida máxima de la herramienta se consigue con velocidades de corte de alrededor de 150 rpm y ángulos de la herramienta de 25°. La gráfica de la superficie de respuesta tridimensional de la figura 5-20 proporciona en esencia la misma información, pero ofrece una perspectiva diferente, y en ocasiones más útil, de la superficie de respuesta de la vida de la herramienta. La exploración de las superficies de respuesta es un aspecto muy importante del diseño experimental, el cual se estudiará en detalle en el capítulo 11. Tabla 5-16 Datos del experimento de la vida de la herramienta de corte Velocidad de corte (pulg/min) Ángulo de la herramienta (grados) 15 20 25 Y.j. 125 -2 -1 O 2 -1 O -2 150 175 @ (1) -3 O @ 1 G) @ 5 6 3 @ 12 2 3 4 6 O -1 14 Yi.. 0) -1 @ 16 @ 9 24 = Y... s-s AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 5-17 Salida de Design-Expert para el ejemplo S-S Response: Life in Hours ANOVA for Response Surface Reduced Order 4 Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F DF Square Value Squares Source Model A B A2 B2 AB NB AB2 A 2 B2 Residual Lack of Fit Pure Error CorTotal Std. Dev. Mean C.V. PRESS 111.00 49.00 16.00 0.000 1.33 8.00 2.67 42.67 8.00 13.00 0.000 13.00 124.00 1.20 1.33 90.14 52.00 8 1 1 1 1 13.87 49.00 16.00 0.00r:! 1.33 8.00 2.67 42.67 8.00 1.44 1 1 1 1 9 O 9 17 Prob> F 0.0013 0.0003 0.0088 1.0000 0.3618 0.0431 0.2073 0.0004 0.0431 9.61 33.92 11.08 0.000 0.92 5.54 1.85 29.54 5.54 significant 1.44 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision 0.8952 0.8020 0.5806 8.237 Factor Coefficient Estimate DF Standard Error 95%CI Low 95%CI High VIF Intercept A-Too 1 Angle B-Speed A2 B2 AB NB A8 2 NB 2 2.00 3.50 2.00 0.000 1.00 -1.00 -1.00 -4.00 -3.00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.85 0.60 0.60 1.04 1.04 0.42 0.74 0.74 1.27 0.078 2.14 0.64 -2.35 -1.35 -1.96 -2.66 -5.66 -5.88 3.92 4.86 3.36 2.35 3.35 -0.039 0.66 -2.34 -0.12 3.00 3.00 3.00 3.00 1.00 3.00 3.00 5.00 Final Equation in Terms of Coded Factors: Life = +2.00 +3.50 *A +2.00 *8 +0.000 *N +1.00 *8 2 -1.00 *A *8 -1.00 *N *8 -4.00 *A *82 -3.00 *A2 *8 2 Final Equation in Terms of Actual Factors: Life = -1068.00000 +136.30000 *Tool Angle +14.48000 *Speed -4.08000 *Tool Angle2 . -0.049600 *Speed 2 -1.86400 *Tool Angle *Speed +0.056000 *Tool Angle 2 *Speed +6.40000E-003 *Tool Angle *Speed2 -1.92000E-004 *Tool Angle 2 *Speed2 205 2 175.00 • 2 2 ......,...------...::--------.....f - - - - . . , - - -__--'<;;:==:;--. . 162.50 1:l ro 1:l 'C:; o ID > 137.50 ._-L 125.00 2 15.00 --l...~"__ ~t- 17.50 20.00 .L__"""'" ~ 22.50 Ángulo de la herramienta Figura 5·19 Gráfica de contorno bidimensional de la superficie de respuesta de la vida de la herramienta del ejemplo 5-5. 5.5 ro 1:l :> Velocidad Ángulo de la herramienta 125.00 Figura 5·20 ejemplo 5-5. 206 15.00 Superficie de respuesta tridimensional de la vida de la herramienta del 5-6 FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL 5,6 207 FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL Se han revisado los diseños factoriales en el contexto de un experimento completamente aleatorizado. En ocasiones no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de todas las corridas de un diseño factorial. Por ejemplo, la presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento se corra en bloques. Los conceptos básicos de la formación de bloques se analizaron en el capítulo 4 en el contexto de un experimento con un solo factor. Ahora se indica la forma en que la formación de bloques puede incorporarse en un diseño factorial. Otros aspectos de la formación de bloques en diseños factoriales se presentan en los capítulos 7, 8, 9 Y 13. Considere un experimento factorial con dos factores (A y B) Y11 réplicas. El modelo estadístico lineal de este diseño es i = 1, 2, a (5-36) Yijk = p,+7:¡ +f3 j +(7:f3)ij +cijk j= 1,2, , b { k=1,2, ,11 o •• , donde 7:¡, f3j Y (7:f3)ij representan los efectos de los factores A, B y la interacciónAB, respectivamente. Suponga ahora que para realizar este experimento se necesita una materia prima particular. Esta materia prima está disponible en lotes cuyo tamaño no es suficiente para permitir que se corran todas las abll combinaciones de los tratamientos con el mismo lote. Sin embargo, si un lote contiene material suficiente para hacer ab observaciones, entonces un diseño alternativo es correr cada una de las 11 réplicas utilizando un lote separado de materia prima. Por consiguiente, los lotes de materia prima representan una restricción sobre la aleatorización o un bloque, y se corre una sola réplica de un experimento factorial completo dentro de cada bloque. El modelo de los efectos para este nuevo diseño es i : 1, 2, , a o (5-37) Yijk = p,+7:¡ +f3j +(7:f3)ij +Ok +cijk J -1,2, , b { k= 1, 2, ,11 donde Ok es el efecto del bloque k-ésimo. Desde luego, dentro de un bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está completamente aleatorizado. En el modelo (ecuación 5-37) se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante. Anteriormente se estableció el mismo supuesto en el análisis de diseños de bloques aleatorizados. Si estas interacciones existen, no pueden separarse del componente del error. De hecho, el término del error en este modelo se compone en realidad de las interacciones (7:0)¡k' (f30)jk y (7:f30)ijk' En la tabla 5-18 se describe el análisis de varianza. La disposición tiene un gran parecido con la de un diseño factorial, con la suma de cuadrados del error reducida por la suma de cuadrados de los bloques. En lo que a los cálculos se refiere, la suma de cuadrados de los bloques se encuentra como la suma de cuadrados entre los totales de los n bloques {Yook}' En el ejemplo anterior, la aleatorización se restringió al interior de un lote de materia prima. En la práctica, una diversidad de fenómenos pueden producir restricciones sobre la aleatorización, como el tiempo, los operadores, etc. Por ejemplo, si el experimento factorial completo no pudo correrse en un día, entonces el experimentador podría correr una réplica completa el día 1, una segunda réplica el día 2, etc. Por consiguiente, cada día sería un bloque. EJEMPLO 5,6 . . Un ingeniero estudia los métodos para mejorar la capacidad para detectar objetivos en el campo de acción de un radar. Dos factores que el ingeniero considera importantes son la cantidad de ruido de fondo, . o "desorden de terreno", en el campo de acción del radar y el tipo de filtro colocado sobre la pantalla. Se 208 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-18 Análisis de varianza de un diseño factorial de dos factores en bloques completos aleatorizados Fuente de Suma de Grados de Cuadrado variación cuadrados libertad medio esperado 1 2 _ " y 2 -~ (/+aba~ n-1 Bloques ab L.J .. k abn k 1 a-1 MSA MSE b-1 MSB MSE y~'J. -~-SS -SSB abn A (a -l)(b -1) MSAB MSE Sustracción (ab -l)(n -1) 2 A _ " y2_~ B _ " y2_~ bn.L2 L. 1 an L.J .j. abn 2 ) AB 1 -n L.J "" , L.J } Error Total 2 L.J L.J L.J """ , abn } k 2 Yijk - y~. abn-1 abn diseña un experimento utilizando tres niveles del desorden de terreno y dos tipos de filtro. Estos factores se considerarán fijos. El experimento se lleva a cabo seleccionando al azar una combinación de los tratamientos (nivel del desorden de terreno y tipo de filtro) e introduciendo después una señal que representa el objetivo en el campo de acción del radar. La intensidad de este objetivo se incrementa hasta que el operador lo observa. Entonces se mide el nivel de intensidad en el momento de la detección como la variable de respuesta. Debido a la disponibilidad de los operadores, es conveniente seleccionar un operador y mantenerlo en el sistema hasta que se han realizado todas las corridas necesarias. Además, los operadores difieren en su habilidad y capacidad para operar el sistema. Por consiguiente, parece lógico usar los operadores como bloques. Se seleccionan cuatro operadores al azar. Una vez que se ha elegido a un operador, el orden en que se corren las seis combinaciones de los tratamientos se determina aleatoriamente. Por lo tanto, se tiene una corrida de un experimento factorial 3 X 2 en un bloque completo aleatorizado. Los datos se presentan en la tabla 5-19. El modelo lineal para este experimento es ¡ f Yijk = fl+r:¡ +f3j +(r:f3)ij +Ok +cijk i = 1, 2, 3 j= 1, 2 k=1,2,3,4 donde r:¡ representa el efecto del desorden de terreno, f3j representa el efecto del tipo de filtro, (r:f3)ij es la interacción, Ok es el efecto del bloque y C¡jk es el componente NID(O, cr) del error. Las sumas de cuadrados del desorden de terreno, del tipo de filtro y de su interacción se calculan de la manera usual. La suma de Tabla 5-19 Nivel de intensidad al detectarse el objetivo Operadores (bloques) Tipo de filtro 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 90 102 114 86 87 93 96 106 112 84 90 91 100 105 108 92 97 95 92 96 98 81 80 83 Desorden de terreno Bajo Intermedio Alto 5-6 FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL Tabla 5-20 Análisis de varianza del ejemplo 5-6 Suma de cuadrados Fuente de variación r>esorden de terreno (G) Tipo de filtro (F) GF Bloques Error Total 335.58 1066.67 71.08 402.17 166.33 2047.83 Grados de libertad 2 1 2 3 15 23 Cuadrado medio 167.79 1066.67 38.54 134.06 11.09 Fa 15.13 96.19 3.48 209 Valor P 0.0003 <0.0001 0.0573 cuadrados debida a los bloques se encuentra a partir de los totales de los operadores {Y..k} de la siguiente manera: 1 11 2 SS -_~ 2_~ , Bloques - ab L.,¡ Y.. k abn k=l = (3)1(2) [(572)2 +(579)2 +(597)2 +(530)2]- (~~~~~~:) = 402.17 En la tabla 5-20 se resume el análisis de varianza completo de este experimento. La presentación de la tabla 5-20 indica que todos los efectos se probaron dividiendo sus cuadrados medios por el cuadrado medio del error. Tanto el desorden de terreno como el tipo de filtro son significativos en el nivel de 1 %, mientras que su interacción sólo es significativa en el nivel de 10%. Por lo tanto, se concluye que tanto el nivel del desorden de terreno como el tipo de filtro de campo usado en la pantalla afectan la habilidad del operador para detectar el objetivo, y existe cierta evidencia de una ligera interacción entre ambos factores. En el caso de dos restricciones sobre la aleatorización, cada una con p niveles, si el número de combinaciones de los tratamientos en un diseño factorial de k factores es exactamente igual al número de niveles de la restricción, es decir, si p = ab ... m, entonces el diseño factorial puede correrse en un cuadrado latino p x p. Por ejemplo, considere una modificación del experimento de la detección del objetivo en el radar del ejemplo 5-6. Los factores de este experimento son el tipo de filtro (dos niveles) y el desorden de terreno (tres niveles), y los operadores se consideran como bloques. Suponga ahora que debido a limitaciones de tiempo, sólo pueden hacerse seis corridas por día. Por lo tanto, los días se convierten en una segunda restricción sobre la aleatorización, lo cual resulta en un diseño del cuadrado latino 6 x 6, como se muestra en la tabla 5-21. En esta tabla se han usado las letras minúsculas!; y gj para representar los nivelesi-ésimo yj-ésimo del tipo de filtro y del desorden de terreno, respectivamente. Es decir,f¡gz representa el filtro tipo 1 y un desorden de terreno intermedio. Observe que se necesitan ahora seis operadores, en lugar de los cuatro del experimento original, por lo que el número de combinaciones de tratamientos en el diseño factorial 3 x 2 es exactamente igual al número de niveles de restricción. Además, en este diseño cada operador se usaría una sola vez en cada día. Las letras latinas A, B, C, D, E YF representan las 3 x 2 =6 combinaciones de tratamientos del diseño factorial como sigue:A =f¡gl,B = f¡gz, C = f¡g3,D = f'l!Sl' E :::: f'l!Sz y F = f'l!S3' 210 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tabla 5-21 El experimento de la detección del radar realizado en un cuadrado latino 6 X 6 Operador 6 3 4 5 Día 2 1 F(fzg3 = 90) D(fzgl = 81) E(fzgz = 88) B(flgz = 106) C(flg3 = 108) 1 A(flgl = 90) F(fzg3 = 83) E(fzgz = 86) D(fzgl = 84) B(flgZ = 105) 2 C(flg3 = 114) A(flgl = 96) D(fzgl = 85) F(fzg3 = 95) A(flgl = 92) C(f¡g3 = 104) 3 B(flgZ = 102) E(fzgz = 90) B(flgz = 96) C(flg3 = 110) F(fzg3 = 91) E(fzgz = 887) D(fzg¡ = 84) A(f¡g¡ = 100) 4 E(fzgz = 80) A(flgl = 90) B(f¡gz = 98) F(fzg3 =93) C(flg3 = 112) D(fzg¡ = 92) 5 C(f¡g3 = 98) B(flgz = 100) A(flgl = 92) D(fzgl = 86) F(fzg3 = 91) E(fzgz = 97) 6 Los cinco grados de libertad entre las seis letras latinas corresponden a los efectos principales del tipo de filtro (un grado de libertad), el desorden de terreno (dos grados de libertad) y su interacción (dos grados de libertad). El modelo estadístico lineal de este diseño es Yijkl i. : 1, 2, ..., 6 J-1,2,3 k = 1, 2 = ¡,t+a¡ +'l"j + fJk +('l"fJ)jk +e l +cijkJ { (5-38) 1= 1, 2, ...,6 donde 'l"j YfJk son los efectos del desorden de terreno y del tipo de filtro, respectivamente, y a¡ y el representan las restricciones sobre la aleatorización de los días y los operadores, respectivamente. Para calcular las sumas de cuadrados, la siguiente tabla de dos vías de los totales de los tratamientos es útil: Desorden de terreno Bajo Intermedio Alto Y..k. Filtro tipo 2 512 528 543 -1583 Filtro tipo 1 560 607 646 -1813 Y.j.. 1072 1135 1189 -3396 =Y.... Además, los totales de los renglones y las columnas son Renglones (Y.j/d): Columnas (yijk.): 563 572 568 568 568 565 564 579 597 530 561 557 En la tabla 5-22 se resume el análisis de varianza. Se ha agregado una columna a esta tabla que indica cómo se determina el número de grados de libertad de cada suma de cuadrados. Tabla 5-22 Análisis de varianza del experimento de la detección en el radar realizado como un diseño factorial 3 X cuadrado latino Fórmula general Fuente de Suma de para los grados Cuadrado Grados de medio Fo variación cuadrados libertad de libertad Desorden de terreno, G a-1 285.75 28.86 571.50 2 Tipo de filtro, F 1469.44 b-1 1469.44 148.43 1 63.37 6.40 GF 126.73 2 (a -l)(b -1) Días (renglones) ab-1 0.87 4.33 5 ab-1 85.60 Operadores 428.00 5 (columnas) (ab -l)(ab - 2) 9.90 Error 198.00 20 (ab)Z-l Total 2798.00 36 2en un ValorP <0.0001 <0.0001 0.0071 !.".'i., '.'i \I 5-7 PROBLEMAS 5~7 5-1. PROBLEMAS Se estudia el rendimiento de un proceso químico. Se piensa que las dos variables más importantes son la presión y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor y se lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas. Los datos del rendimiento son: Temperatura (OC) 150 160 170 5-2. 0.20 0.25 0.30 5-4. 200 90.4 90.2 90.1 90.3 90.5 90.7 Presión (psig) 215 90.7 90.6 90.5 90.6 90.8 90.9 230 90.2 90.4 89.9 90.1 90.4 90.1 a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar a = 0.05. b) Construir las gráficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuación del modelo. e) ¿Bajo qué condiciones debería operarse este proceso? Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza metálica se afecta por la velocidad de alimentación y la profundidad de corte. Selecciona tres velocidades de alimentación y cuatro profundidades de corte. Después realiza un experimento factorial y obtiene los siguientes datos: Velocidad de alimentación (pulg/min) 5-3. 211 0.15 74 64 60 92 86 88 99 98 102 Profundiad de corte (pulg) 0.18 0.20 0.25 79 82 99 68 88 104 73 92 96 98 99 104 104 108 110 88 95 99 104 108 114 99 110 111 95 99 107 a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar a = 0.05. b) Construir las gráficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuación del modelo. e) Obtener estimaciones puntuales del acabado superficial promedio con cada velocidad de alimentación. d) Encontrar los valores P para las pruebas del inciso a. Para los datos del problema 5-2, calcular la estimación de un intervalo de confianza de 95% de la diferencia media en la respuesta para velocidades de alimentación de 0.20 y 0.25 pulg/min. En un artículo de Industrial Quality Control se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal y del tipo de fósforo sobre la brillantez de un cinescopio. La variable de respuesta es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel de brillantez específico. Los datos son los siguientes: 212 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Tipo de cristal 1 2 Tipo de fósforo 123 280 300 290 290 310 285 285 295 290 230 260 220 235 240 225 240 235 230 ¿Existe algún indicio de que alguno de los dos factores influye en la brillantez? Utilizar a = 0.05. b) ¿Los dos factores interactúan? Utilizar a = 0.05. e) Analizar los residuales de este experimento. Johnson y Leone (Statisties and Expelimental Design in Engineeling and the Physieal Scienees, John Wiley) describen un experimento realizado para investigar la torcedura de placas de cobre. Los dos factores estudiados fueron la temperatura y el contenido de cobre de las placas. La variable de respuesta fue una medida de la cantidad de torcedura. Los datos fueron los siguientes: a) 5-5. Contenido de cobre (%) Temperatura (OC) 50 75 100 125 5-6. 40 17,20 12, 9 16, 12 21, 17 60 16,21 18,13 18,21 23,21 80 24,22 17,12 25,23 23,22 100 28,27 27,31 30,23 29,31 a) ¿Existe algún indicio de que alguno de los dos factores afecta la cantidad de torcedura? ¿Hay alguna interacción entre los factores? Utilizar a = 0.05. b) Analizar los residuales de este experimento. e) Graficar la torcedura promedio con cada nivel del contenido de cobre y compararlas con una distribución t con la escala apropiada. Describir las diferencias en los efectos de los diversos niveles del contenido de cobre sobre la torcedura. Si es deseable una torcedura baja, ¿qué nivel del contenido de cobre debería especificarse? d) Suponga que no es sencillo controlar la temperatura en el medio ambiente donde van a usarse las placas de cobre. ¿Este hecho modifica la respuesta que se dio para el inciso e? Se estudian los factores que influyen en la resistencia a la ruptura de una fibra sintética. Se eligen cuatro máquinas de producción y tres operadores y se corre un experimento factorial utilizando fibra del mismo lote de producción. Los resultados son los siguientes: Máquina Operador 1 2 3 1 109 110 110 112 116 114 2 110 115 110 111 112 115 3 108 109 111 109 114 119 4 110 108 114 112 120 117 . 5-7 PROBLEMAS 5-7. a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar a = 0.05. b) Construir las gráficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuación del modelo. Un ingeniero mecánico estudia la fuerza de empuje desarrollada por una taladradora. Sospecha que la velocidad de taladrado y la velocidad de alimentación del material son los factores más importantes. Selecciona cuatro velocidades de alimentación y usa una velocidad de taladrado alta y otra baja elegidas para representar las condiciones de operación extremas. Obtiene los siguientes resultados. Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar a = 0.05. Velocidad de taladrado 125 200 5-8. 100 1 2 3 5-10. Velocidad de alimentación 0.015 0.030 0.045 0.060 2.70 2.60 2.45 2.75 2.78 2.49 2.72 2.86 2.83 2.85 2.86 2.94 2.88 2.86 2.80 2.87 Se realiza un experimento para estudiar la influencia de la temperatura de operación y tres tipos de placas de recubrimiento de cristal, en la salida luminosa de un tubo de osciloscopio. Se registraron los siguientes datos: Tipo de cristal 5-9. 213 580 568 570 550 530 579 546 575 599 Temperatura 125 1090 1087 1085 1070 1035 1000 1045 1053 1066 150 1392 1380 1386 1328 1312 1299 867 904 889 a) Utilizar a = 0.05 en el análisis. ¿Existe un efecto de interacción significativo? ¿El tipo de cristal o la temperatura afectan la respuesta? ¿A qué conclusiones se llega? b) Ajustar un modelo apropiado que relacione la salida luminosa con el tipo de cristal y la temperatura. e) Analizar los residuales de este experimento. Comentar la adecuación de los modelos que se hayan considerado. Considere el experimento del problema 5-1. Ajustar un modelo apropiado a los datos de la respuesta. Usar este modelo como guía para las condiciones de operación del proceso. Usar la prueba de Tukey para determinar los niveles del factor presión que son significativamente diferentes para los datos del problema 5-1. , .1 214 5-11. CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES Se llevó a cabo un experimento para determinar si la temperatura de cocción o la posición en el horno afectaban el espesor del endurecimiento de un ánodo de carbono. Los datos se presentan a continuación: Posición 570 565 583 528 547 521 1 2 5-12. 5-13. 1 2 3 1 36 18 30 Factor de la columna 3 2 39 20 37 36 22 33 4 32 20 34 Se piensa que la resistencia al corte de un adhesivo se afecta por la presión de aplicación y la temperatura. Se realiza un experimento factorial en el que ambos factores se suponen fijos. Analizar los datos y sacar conclusiones. Realizar una prueba de no aditividad. Presión (lb/pulg2) 120 130 140 150 5-15. 850 565 510 590 526 538 532 Suponga que se considera que no existe ninguna interacción. Desarrollar el modelo estadístico. Realizar el análisis de varianza y probar las hipótesis sobre los efectos principales. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? Comentar la adecuación del modelo. Deducir los cuadrados medios esperados para un análisis de varianza de dos factores con una observación por celda, suponiendo que ambos factores son fijos. Considere los siguientes datos de un experimento factorial de dos factores. Analizar los datos y sacar conclusiones. Realizar una prueba de no aditividad. Utilizar a = 0.05. Factor del renglón 5-14. 800 Temperatura ("C) 825 1063 1080 1043 988 1026 1004 Temperatura ("F) 250 260 270 9.60 9.69 8.43 9.98 11.28 10.10 11.01 10.44 9.00 9.57 9.03 9.80 Considere el modelo de tres factores Yijk = ¡,t+7:¡ +f3j +Yk +(7:f3)q +(f3Y)jk +cijk i. : 1, 2, oo., a J -1,2, oo., b { k= 1,2, oo., e Observe que hay una sola réplica. Suponiendo que los tres factores son fijos, desarrollar la tabla del análisis de varianza, incluyendo los cuadrados medios esperados. ¿Qué se usaría como "error experimental" para probar las hipótesis? .. 5-7 PROBLEMAS 5-16. 215 El porcentaje de la concentración de madera dur& en la pulpa bruta, la presión de la cuba y el tiempo de cocción de la pulpa se investigan en cuanto a sus efectos sobre la resistencia del papel. Se seleccionan tres niveles de la concentración de madera dura, tres niveles de la presión y dos tiempos de cocción. Se lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas, obteniéndose los siguientes datos: Porcentaje de la concentración de madera dura Tiempo de cocción 3.0 horas Tiempo de cocción 4.0 horas Presión Presión 400 500 650 400 500 650 2 196.6 196.0 197.7 196.0 199.8 199.4 199.6 200.4 200.6 200.9 4 198.5 197.2 196.0 196.9 198.4 197.6 198.4 198.6 197.5 198.1 198.7 198.0 199.6 199.0 8 197.5 196.6 195.6 196.2 197.4 198.1 197.6 198.4 197.0 197.8 198.5 199.8 a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar a = 0.05. b) Construir las gráficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuación del modelo. e) ¿B&jo qué conjunto de condiciones deberí& operárse este proceso? ¿Por qué? 5-17. _ El dep&rtamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y fibr&s sintéticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas, y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela b&jo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón, y se le asignó una evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y sacar conclusiones. Comentar la adecuación del modelo. Thmperatura 300 0 350 Operador 5-19. Operador Dumción del ciclo 1 2 3 1 2 3 40 23 24 25 27 28 26 31 32 29 24 23 28 34 36 39 36 35 36 34 38 39 33 50 34 37 39 35 38 36 35 34 38 36 28 24 27 35 35 34 26 29 25 36 37 34 28 26 24 60 5-18. 0 35 26 27 25 34 36 31 Suponga que en el problema 5-1 quiere rechazarse la hipótesis nula con una alta probabilidad si la diferencia entre el verdadero rendimiento promedio con dos presiones cualesquiera es mayor que 0.5. Si una estim&ción previa razonable de la desviación estándar del rendimiento es 0.1, ¿cuántas réplicas deberán correrse? Se estudia el rendimiento de un proceso químico. Los dos factores de interés son la temperatura y la presión. Se seleccionan tres niveles de cada factor; sin embargo, sólo es posible hacer nueve corridas en un día. El ex- I! 216 CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES perimentador corre una réplica completa en cada día. Los datos se muestran en la tabla siguiente. Analizar los datos, suponiendo que los días son bloques. Temperatura Baja Intermedia Alta 5-20. 5-21. 5-22. Día 1 Presión 260 84.0 87.3 90.2 250 86.3 88.5 89.1 Día 2 Presión 270 85.8 89.0 91.3 250 86.1 89.4 91.7 260 85.2 89.9 93.2 270 87.3 90.3 93.7 Considere los datos del problema 5-5. Analizar los datos, suponiendo que las réplicas son bloques. Considere los datos del problema 5-6. Analizar los datos, suponiendo que las réplicas son bloques. En un artículo de JOllrnal ofTesting and Evalllation (vol. 16, no. 2, pp. 508-515) se investigaron los efectos de la frecuencia de carga cíclica y de las condiciones ambientales sobre el crecimiento de las fisuras por fatiga con un esfuerzo constante de 22 MPa para un material particular. Los datos del experimento se presentan abajo (la respuesta es el índice de crecimiento de las fisuras por fatiga): Medio ambiente Frecuencia 10 1 0.1 5-23. Aire 2.29 2.47 2.48 2.12 2.65 2.68 2.06 2.38 2.24 2.71 2.81 2.08 HzO 2.06 2.05 2.23 2.03 3.20 3.18 3.96 3.64 11.00 11.00 9.06 11.30 HzO salada 1.90 1.93 1.75 2.06 3.10 3.24 3.98 3.24 9.96 10.01 9.36 10.40 a) Analizar los datos de este experimento (utilizar a = 0.05). b) Analizar los residuales. e) Repetir los análisis de los incisos a y b utilizando ln(y) como la respuesta. Comentar los resultados. En un artículo de IEEE Transactions on Electron Devices se describe un estudio sobre el dopado del polisilicia. El experimento que se muestra a continuación es una variante de dicho estudio. La variable de respuesta es la corriente fundamental. Dopado del polisilicio (iones) 1 X lOzo 2 X 10z0 Temperatura de revenido ("C) 900 950 1000 4.60 10.15 11.01 4.40 10.20 10.58 3.20 9.38 10.81 3.50 10.02 10.60 5-7 PROBLEMAS 217 a) ¿Existe evidencia (cona = 0.05) que indique que el nivel de dopado del polisilicio o la temperatura de fijación afecten la corriente fundamental? b) Construir representaciones gráficas como ayuda para interpretar este experimento. e) Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo. d) mI modelo y= /30 +/31 x l +/32 x 2+/322 x i +/312 x lx 2+8 está apoyado por este experimento (Xl = nivel de dopado, X 2 = temperatura)? Estimar los parámetros de este modelo y graficar la superficie de respuesta. \~ '. :K Diseño factorial 2k ,: " 6~1 INTRODUCCIÓN Los diseños factoriales se usan ampliamente en experimentos que incluyen varios factores cuando es necesario estudiar el efecto conjunto de los factores sobre una respuesta. En el capítulo 5 se presentaron los métodos generales para el análisis de los diseños factoriales. Sin embargo, hay varios casos especiales del diseño factorial general que son importantes debido a su uso generalizado en el trabajo de investigación y porque constituyen las bases de otros diseños de gran valor práctico. El más importante de estos casos especiales es el de k factores, cada uno con sólo dos niveles. Estos niveles pueden ser cuantitativos, como dos valores de temperatura, presión o tiempo, o bien cualitativos, como dos máquinas, dos operadores, los niveles "alto" y "bajo" de un factor, o quizá la presencia o ausencia de un factor. Una réplica completa de este diseño requiere 2 x 2 x ... x 2 = 2k observaciones y se le llama diseño factorial 2k • Este capítulo se enfoca en esta clase en extremo importante de diseños. A lo largo del capítulo se supone que 1) los factores son fijos, 2) los diseños son completamente aleatorizados y 3) se satisfacen los supuestos de normalidad usuales. El diseño 2k es de particular utilidad en las etapas iniciales del trabajo experimental, cuando probablemente se estén investigando muchos factores. Este diseño proporciona el menor número de corridas con las que pueden estudiarse k factores en un diseño factorial completo. Por consiguiente, estos diseños se usan ampliamente en los experimentos de tamizado o selección de factores. Puesto que sólo hay dos niveles para cada factor, se supone que la respuesta es aproximadamente lineal en el rango elegido para los niveles de los factores. En muchos experimentos de tamizado de factores, cuando se acaba de iniciar el estudio del proceso o sistema, este supuesto suele ser razonable. En la sección 6-6 se presentará un método simple para verificar este supuesto, y se analizarán las acciones que deberán emprenderse en caso de que se viole. 218 .. I 6-2 EL DISEÑO 22 6,2 219 EL DISEÑO 22 El primer diseño de la serie 2k es el que sólo tiene dos factores, por ejemplo,A y B; cada uno se corre a dos niveles. A este diseño se le llama diseño factorial 22• Los niveles de los factores pueden denominarse arbitrariamente "bajo" y "alto". Como un ejemplo, considere la investigación del efecto de la concentración del reactivo y de la cantidad del catalizador sobre la conversión (rendimiento) de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A, y sean 15 y 25 por ciento los dos niveles de interés. El catalizador es el factor B, con el nivel alto denotando el uso de 2 libras del catalizador y el nivel bajo denotando el uso de 1 libra. Se hacen tres réplicas del experimento, y los datos son los siguientes: A Factor B + Combinación de tratamientos A bajo, B bajo A alto, B bajo A bajo, Balto A alto, Balto + + + Réplica 1 II III Total 28 36 18 31 25 32 19 30 27 32 23 29 80 100 60 90 Las combinaciones de los tratamientos se ilustran gráficamente en la figura 6-1. Por convención, el efecto de un factor se denota con una letra mayúscula latina. Por 10 tanto, "A" se refiere al efecto del factorA, "B" al efecto del factor B, y "AB" alainteracciónAB. En el diseño 22, los niveles bajoy alto deAy B se denotan por "-" y "+", respectivamente, en los ejesA y B. Por lo tanto, - en el ejeA representa el nivel bajo de la concentración (15%), mientras que + representa el nivel alto (25%), Y- en el eje B representa el nivel bajo del catalizador, mientras que + denota el nivel alto. Las cuatro combinaciones de tratamientos suelen representarse con letras minúsculas, como se muestra en la figura 6-1. Por la figura se observa que el nivel alto de cualquiera de los factores en una combinación de tratamientos se denota por la letra minúscula correspondiente y que el nivel bajo de un factor .en una combinación de tratamientos se denota por la ausencia de la letra respectiva. Por lo tanto, a repre- + 19 + 23) ab = 90 (31 + 30 + 29) (1) = 80 + 25 + 27) a= 100 (36 + 32 + 32) b =60 Alto + (18 (2 libras) Bajo _ (1 libra) (28 I I + Bajo (15%) Alto (25%) Concentración del reactivo, A Figura 6·1 seño 22, Combinaciones de los tratamientos en el di- I I "'1" L, 220 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 21< senta la combinación de tratamientos conA en el nivel alto y B en el nivel bajo, b representaA en el nivel bajo yB en el nivel alto, y ab representa ambos factores en el nivel alto. Por convención, se usa (1) para denotar que ambos factores están en el nivel bajo. Esta notación se utiliza en todas las series 2k • En un diseño factorial con dos niveles, el efecto promedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para los niveles del otro factor. Asimismo, los símbolos (1), a, by ab representan ahora el total de las n réplicas hechas con la combinación de los tratamientos, como se ilustra en la figura 6-1. Ahora el efecto deA en el nivel bajo deB es [a - (1) ]/n y el efecto deA con el nivel alto de Bes [ab - b]/n.Al promediarse estas dos cantidades se obtiene el efecto principal de A: 1 A= -([ab-b]+[a-(l)]} 2n 1 = -[ab+a- b- (1)] 2n (6-1) El efecto principal promedio deB se encuentra a partir del efecto deB con el nivel bajo deA (es decir, [b - (l)]/n) y con el nivel alto de A (o sea, [ab - a]/n) como 1 B= -{[ab-a]+[b-(l)]} 2n 1 = -[ab+b- a- (1)] 2n (6-2) El efecto de la interacciónAB se define como la diferencia promedio entre el efecto deA con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B. Por lo tanto, 1 AB= 2n ([ab-b]-[a-(l)]} 1 = 2n [ab+(l)-a-b] (6-3) De manera alternativa, AB puede definirse como la diferencia promedio entre el efecto de B con el nivel alto de A y el efecto de B con el nivel bajo de A. Esto llevará también a la ecuación 6-3. Las fórmulas de los efectos deA, ByAB pueden deducirse con otro método. El efecto deA puede encontrarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos combinaciones de tratamientos situadas a la derecha del cuadrado de la figura 6-1 (a este promedio se le llamay>, porque es la respuesta promedio con las combinaciones de tratamientos dondeA está en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos situadas a la izquierda del cuadrado de la figura 6-1 (o YA-). Es decir, A= YA + - YA - ab+a _ b+(l) 2n 2n 1 = -[ab+a-b-(l)] 2n Se trata exactamente del mismo resultado que el de la ecuación 6-1. El efecto de B, ecuación 6-2, se encuentra como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos de la parte su- .. 6-2 EL DISEÑO 22 221 perior del cuadrado (YB+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos de la parte inferior (JB-), o B= YB + - YB - = ab+b _ a+(l) 2n 2n 1 = 2n[ab+b-a-(1)] Por último, el efecto de la interacciónAB es el promedio de las combinaciones de tratamientos de la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado [ab y (1)] menos el promedio de las combinaciones de tratamientos de la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o AB= ab+(l) 2n a+b 2n 1 =-[ab+(l)-a- b] 2n resultado que es idéntico a la ecuación 6-3. Utilizando el experimento de la figura 6-1, los efectos promedio pueden estimarse como A 1 = 2(3) (90+ 100~ 60- 80) = 8.33 1 B= 2(3)(90+60-100-80)=-5.00 .. ,¡';olr 1 AB = 2(3) (90+ 80-100- 60) = 1.67 'o•• ID l' El efecto de A (concentración del reactivo) es positivo; esto sugiere que al incrementar A del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%), el rendimiento se incrementará. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que al incrementar la cantidad del catalizador que se agrega al proceso se reducirá el rendimiento. El efecto de la interacción parece ser pequeño en comparación con los dos efectos principales. En muchos experimentos que incluyen diseños 2\ se examinará la magnitud y la dirección de los efectos de los factores a fin de determinar las variables que son de posible importancia. En la mayoría de los casos puede usarse el análisis de varianza para confirmar esta interpretación. Hay varios paquetes de sofíware de estadística excelentes que son útiles para establecer y analizar diseños 2k • Se cuenta también con métodos especiales que ahorran tiempo cuando los cálculos se hacen manualmente. Considere las sumas de cuadrados deA, By AB. Observe, por la ecuación 6-1, que se usó un contraste para estimar A, a saber Contraste A = ab+a- b- (1) (6-4) A este contraste suele l1amársele el efecto total deA. A partir de las ecuaciones 6-2 y 6-3, se observa que también se usan contrastes para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquier contraste puede calcularse con la ecuación 3-29, la cual establece que la suma de cuadrados del contraste es igual al cuadrado del contraste dividido por el número de observaciones en " I ! 222 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k cada total del contraste multiplicado por la suma de cuadrados de los coeficientes del contraste. Por Consiguiente, se tienen ss = [ab+a-b-(1)]2 4n A = [ab+b-a-(1)]2 SS 4n B (6-5) (6-6) y s _ [ab+(1)-a-b]2 SAB - 4n (6-7) como las sumas de cuadrados de A, B YAB. A! utilizar el experimento de la figura 6-1, las sumas de cuadrados de las ecuaciones 6-5, 6-6 Y6-7 pueden encontrarse como ss = (50)2 = 208 33 4(3) (-30)2 SSB = 4(3) A . = 75.00 (6-8) y ss = (10)2 = 8.33 AB 4(3) La suma de cuadrados total se encuentra como de costumbre, es decir, 22n 2 y'~ SST = Yijk-4 2:2:2: (6-9) n i=1 j=1 k=1 En general, SST tiene 4n -1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n -1) grados de libertad, suele calcularse por sustracción como SS E = SST - SS A - SSB - SS AB Para el experimento de la figura 6-1, se obtiene 2 2 3 SST = t;#~ (6-10) 2 Y~k - ~'3) = 9398.00- 9075.00 = 323.00 y SS E = SST - SS A - SSB - SS AB = 323.00- 208.33-75.00- 8.33 = 31.34 al utilizar SSA' SSB y SSAB de la ecuación 6-8. En la tabla 6-1 se resume el análisis de varianza completo. Con base en los valores P, se concluye que los efectos principales son estadísticamente significativos y que no hay interacción entre estos factores. Esto confirma la interpretación de los datos que se hizo originalmente con base en las magnitudes de los efectos de los factores. Con frecuencia resulta conveniente escribir las combinaciones de los tratamientos en el orden (1), a, 6-2 EL DISEÑO 22 Tabla 6-1 Análisis de varianza del experimento de la figura 6-1 Suma de Grados de Fuente de cuadrados libertad variación 208.33 1 A 75.00 1 B 8.33 1 AB 31.34 8 Error 323.00 11 Total Cuadrado medio 208.33 75.00 8.33 3.92 223 Fo ValorP 53.15 19.13 2.13 0.0001 0.0024 0.1826 b, abo Se hace referencia a esto como el orden estándar (u orden de Yates, por el Dr. Frank Yates). Al utilizar este orden estándar, se observa que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son Efectos (1) a b A: -1 B: -1 +1 AB: +1 +l -1 -1 ab +1 +1 +1 -1 -1 Observe que los coeficientes de los contrastes para estimar el efecto de la interacción son sólo el producto de los coeficientes correspondientes de los dos efectos principales. El coeficiente de un contraste es siempre + 1 o -1, y puede usarse una tabla de signos positivos y negativos como la tabla 6-2 para determinar el signo correcto para cada combinación de tratamientos. Los encabezados de las columnas de la tabla 6-2 son los efectos principales (Ay B), la interacciónAB e J, que representa el total o promedio del experimento completo. Observe que la columna que corresponde a J incluye únicamente signos positivos. Las etiquetas de los renglones son las combinaciones de los tratamientos. Para encontrar el contraste para estimar cualquier efecto, simplemente se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la combinación de tratamientos correspondiente y se hace la suma. Por ejemplo, para estimarA, el contraste es -(1) + a - b + ab, que concuerda con la ecuación 6-1. El modelo de regresión En un diseño factorial2 k es sencillo expresar los resultados del experimento en términos de un modelo de regresión. Puesto que 2k es tan sólo un diseño factorial, podría usarse un modelo de los efectos o de las medias, pero el enfoque del modelo de regresión es mucho más natural e intuitivo. Para el experimento del proceso químico de la figura 6-1, el modelo de regresión es y= {Jo +{JIXI +{J2 X2 +.s donde Xl es una variable codificada que representa la concentración del reactivo y x 2 es una variable codificada que representa la cantidad del catalizador y las {J son los coeficientes dé regresión. La ,relación enTabla 6-2 Signos algebraicos para calcular los efectos en el diseño 22 Efecto factorial Combinación de tratamientos 1 (1) a b ab + + + + A + + B AB + + + + 224 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k tre las variables naturales -la concentración del reactivo y la cantidad de catalizador- y las variables codificadas es Concentración - (Concentración baa + Concentración alta) / 2 = X J (Concentración alta 1 - Concentración baja) / 2 y x2 = Catalizador - (Catalizadorbajo + Catalizadoralto ) / 2 (Catalizadoralto - Catalizadorbajo ) / 2 Cuando las variables naturales sólo tienen dos niveles, esta codificación producirá la familiar notación ± 1 para los niveles de las variables codificadas. Para ilustrar esto en el ejemplo tratado, observe que Concentración - (15 + 25) / 2 x = 1 (25-15)/2 Concentración - 20 = 5 Por lo tanto, si la concentración está en el nivel alto (Concentración = 25%), entonces Xl centración está en el nivel bajo (Concentración = 15%), entonces Xl = -1. Además, Catalizador- (1 + 2) /2 X = -----~--<--2 (2-1)/2 Catalizador-1.5 0.5 = + 1; si la con- Por lo tanto, si el catalizador está en el nivel alto (Catalizador = 2 libras), entoncesx2 = + 1; si el catalizador está en el nivel bajo (Catalizador = 1 libra), entonces X 2 = -1. El modelo de regresión ajustado es y= 27.5+ (28.33) Xl + (-5.00) -2- x2 donde la ordenada al origen es el gran promedio de las 12 observaciones, y los coeficientes de regresión '/31 y '/3 2 son la mitad de las estimaciones de los efectos de los factores correspondientes. La razón de que el coeficiente de regresión sea la mitad de la estimación del efecto es que un coeficiente de regresión mide el efecto de un cambio unitario enx sobre la media de y, y la estimación del efecto se basa en un cambio de dos unidades (de -1 a + 1). Se demostrará más adelante que este método simple para estimar los coeficientes de regresión consiste en producir las estimaciones de mínimos cuadrados de los parámetros. Ver también el material suplementario de este capítulo. Residuales y adecuación del modelo El modelo de regresión puede usarse para obtener el valor predicho o ajustado de y en los cuatro puntos del diseño. Los residuales son las diferencias entre el valor observado y el valor ajustado de y. Por ejemplo, cuando la concentración del reactivo está en el nivel bajo (Xl = -1) Yel catalizador está en el nivel bajo (x 2 = -1), el rendimiento predicho es y= 27.5+ (28.33) (-1)+ (-5.00) - 2 - (-1) = 25.835 6-2 EL DISEÑO 22 225 Hay tres observaciones en esta combinación de tratamientos, y los residuales son = 28-25.835= 2.165 e2 = 25- 25.835= -0.835 e3 = 27- 25.835= 1.165 el Los valores predichos y los residuales restantes se calculan de manera similar. Para el nivel alto de la concentración del reactivo y el nivel bajo del catalizador, 8.33) (+1)+ (-5.00) y= 27.5+ (-2- 2 - (-1) = 34.165 y e4 = 36- 34.165 = 1.835 es = 32- 34.165= -2.165 e 6 = 32- 34.165= -2.165 Para el nivel bajo de la concentración del reactivo y el nivel alto del catalizador, 8.33) (-1)+ (-5.00) y= 27.5+ (-2- 2 - (+1) = 20.835 y e 7 = 18- 20.835= -2.835 es = 19- 20.835= -1.835 eg = 23- 20.835= 2.165 Por último, para el nivel alto de ambos factores, 8.33) (+1)+ (-5.00) y= 27.5+ (-2- 2 - (+1) = 29.165 y elO = 31- 29.165 = 1.835 en = 30-29.165= 0.835 el2 = 29- 29.165 = -0.165 En la figura 6-2 se presenta una gráfica de probabilidad normal de estos residuales y una gráfica de los residuales contra el rendimiento predicho. Estas gráficas parecen ser satisfactorias, por lo que no hay razón para sospechar problemas con la validez de las conclusiones. La superficie de respuesta El modelo de regresión 8.33) Xl + (-5.00) y= 27.5+ (-2-2- x2 226 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k 99.-......- - ; - - - - r - -.....- - , . . - - - - , . . - - - , - - , + 95 90 ~ 80 o 70 c: -o ;g 50 :c J!l 30 .t 20 10 + 5 al Gráfica de probabilidad normal ~ 2.167 - I IX I I I I X X 1.333 - - X X X i: /: ",¡ .:~r ;;~; - 0.500 w ro'" .g '00 _ X -0.333 f-- w ce - X - -1.167f-- EL:; ....1 :2 X -2.000 f- -2.833 "- X ~ I I I I I I 20.83 23.06 25.28 27.50 29.72 31.94 34.17 - Rendimiento predicho b) Residuales contra el rendimiento predicho Figura 6-2 Gráficas de los residuales para el experimento del proceso químico. puede usarse para generar gráficas de superficie de respuesta. Si se desea construir estas gráficas en términos de los niveles de los factores naturales, entonces simplemente las relaciones entre las variables naturales y las codificadas que se dieron anteriormente se sustituyen en el modelo de regresión, de donde se obtiene y= 27.5+ (8;3)(Concentr;ción - 20)+(-5~OO)(Cataliz~.~or-1.5) = 18.33+ O. 8333Concentración - 5.00Catalizador En la figura 6-3a se presenta la gráfica de superficie de respuesta tridimensional del rendimiento de este modelo, y la figura 6-3b es la gráfica de contorno. Puesto que el modelo es de primer orden (es decir, contiene únicamente los efectos principales), la superficie de respuesta ajustada es un plano. Al examinar 1'1 ,', 1,I .. 'r l,:1i! 1] 6-2 EL DISEÑO 22 227 34.17 29.72 y 25.28 "" 20.83 2.000 1.800 0.;'''''' 1'>~O'or 1.000 15.00 "" "" "" 25.00 23.00 21.00 ',.jo 19.00 ~ ~B'l>C'S 1.600 I~O'Ql 1.400 $ C'~!~¡" 1.200 "" 17.00 B \br-° CBr-'l.~'l>C Co~ , i I 1 1 :i i a) Superficie de respuesta i j;; ,.j~~ 2.000 r - - - - - - : r - - - - - , - - - - - r - - - - - r l 1.833 (; "O .~ ~ al "O "O ro :g á 1.333 1.167 1.000 '--_---I.'-'-__--l.-L._ _L-_-L....l-_ _-L.L-_---l 15.00 18.33 20.00 21.67 23.33 25.00 Concentración del reactivo b) Gráfica de contorno Figura 6-3 Gráfica de la superficie de respuesta y gráfica de contorno del experimento del proceso químico. la gráfica de contorno se observa que el rendimiento aumenta cuando la concentración del reactivo se incrementa y la cantidad de catalizador disminuye. Frecuentemente se usa una superficie ajustada como ésta para encontrar la dirección del mejoramiento potencial de un proceso. Una manera formal de hacer esto, llamada método del ascenso más pronunciado, se presentará en el capítulo 11 cuando se estudien los métodos para realizar la exploración sistemática de las superficies de respuesta. 228 6~3 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k EL DISEÑO 2 3 Suponga que tres factores,A, By C, cada uno con dos niveles, son de interés. Al diseño se le llama diseño factorial 23, y en este caso la representación geométrica de las ocho combinaciones de tratamientos puede hacerse con un cubo, como se muestra en la figura 6-4a. Utilizando la notación" +" y "-" para representar los niveles alto y bajo de los factores, las ocho corridas del diseño 23 pueden enlistarse como en la figura 6-4b. Se le conoce en ocasiones como la matriz del diseño. Haciendo una ampliación de la notación de las etiquetas revisada en la sección 6-2, las combinaciones de los tratamientos en el orden estándar se escriben como (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc. Recuerde que estos símbolos representan también el total de las n observaciones hechas con esa combinación de tratamientos particular. Existen en realidad tres notaciones diferentes para las corridas del diseño 23 que son de uso general. La primera es la notación + y -, llamada con frecuencia notación geométrica. La segunda es el uso de las etiquetas en letras minúsculas para identificar las combinaciones de los tratamientos. La tercera y última notación utiliza 1 y Opara denotar los niveles alto y bajo, respectivamente, de los factores, en lugar de + y -. Estas diferentes notaciones se ilustran enseguida para el diseño 23 : Corrida A 1 2 3 4 5 B + + + + + 6 7 8 + + + e A B (1) o o e o a b ab e ae be abe 1 O 1 O 1 O 1 O 1 1 O O 1 1 O O O 1 1 1 1 Etiquetas + + + + Hay siete grados de libertad entre las ocho combinaciones de tratamientos del diseño 23 • Tres grados de libertad se asocian con los efectos principales deA, By C. Cuatro grados de libertad se asocian con las interacciones; uno con cada una de las interacciones AB, AC y BC y uno con la interacción ABe. Considere la estimación de los efectos principales. Primero, considere la estimación del efecto principalA. El efecto deA cuando B y C están en el nivel bajo es [a - (l)]/n. De manera similar, el efecto deA be ~ Alto +1 abe I I e : ae ,,}J--- ~" // Bajo - " -Z ab - Bajo (1) a I I + Bajo Factor Corrida + Alto ~ ~~o <e A 2 + 3 4 5 + 6 + 7 Alto B Factor A a) Vista geométrica B + + + + + b) La matriz del diseño Figura 6·4 El diseño factorial 2 3• e 1 + + + + 6-3 EL DISEÑO 23 229 cuandoB está en el nivel alto y C está en el nivel bajo es [ab -b l/no El efecto deA cuando C.está en el nivel alto y B está en el nivel bajo es [ae - el/no Por último, el efecto deA cuando tanto B como C están en el nivel alto es [abe - be]/n. Por lo tanto, el efecto promedio deA es sólo el promedio de estos cuatro efectos, o 1 A= -[a-(l)+ab- b+ae- e+abe-be] 4n (6-11) Esta ecuación también puede desarrollarse como un contraste entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara derecha del cubo de la figura 6-5a (donde A está en el nivel alto) y las cuatro de la cara izquierda (dondeA está en el nivel bajo). Es decir, el efecto deA es sólo el promedio de las cuatro corridas donde A está en el nivel alto (YA + ) menos el promedio de las cuatro corridas dondeA está en el nivel bajo (Y[), o A= YA + - YA - = a+ab+ae+abe 4n (l)+b+e+be 4n Esta ecuación puede reescribirse como 1 A = - [a + ab + ae + abe - (1) - b - e - be] 4n que es idéntica a la ecuación 6-11. A B al AC AB C Efectos principales BC b) Interacción de dos factores CfL • = corridas + O = corridas - A ABC cl Interacción de los tres factores Figura 6-5 Representación geométrica de los contrastes que corresponden a los efectos principales y las interacciones del diseño 23 , 230 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k De manera similar, el efecto de B es la diferencia en los promedios entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara frontal del cubo y las cuatro de la cara posterior. Se obtiene así B= YB + - YB - 1 4n = -[b+ab+be+abe-(l)-a- e-ae] (6-12) El efecto de C es la diferencia en los promedios entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara superior del cubo y las cuatro de la cara inferior, es decir, C= Ye + - Yc- 1 =- [e + ae + be + abe 411 (l) - a - b - ab] (6-13) Los efectos de la interacción de dos factores pueden calcularse con facilidad. Una medida de la interacciónAB es la diferencia entre los efectos promedio deA con los dos niveles de B. Por convención, a la mitad de esta diferencia se le llama la interacción AB. Utilizando símbolos, Alto (+) Efecto promedio de A [(abe -be)+(ab -b)] Bajo (-) {(ae - e)+ [a -(1)]} B 2n 2n [abe - be + ab - b - ae + e - a + (1)] Diferencia 2n Puesto que la interacción AB es la mitad de esta diferencia, AB = -"-a[ _b_c_-_b_e_+_ab_-_b_-_a_e_+_e_-_a_+_(.o...l~)] 4n (6-14) La ecuación 6-14 puede escribirse de la siguiente manera: AB= abe+ab+e+(l) 411 be+b+ae+a 411 En esta forma, resulta fácil ver que la interacciónAB es la diferencia en los promedios entre las corridas de dos planos diagonales del cubo de la figura 6-5b. Utilizando un razonamiento lógico similar y con referencia a la figura 6-5b, las interacciones AC y BC son 1 ! AC= -[(l)-a+b-ab- e+ae-be-liabe] 4n (6-15) y 1 BC = - [(1) + a - b - ab - e - ae + be + abe] 4n (6-16) 6-3 EL DISEÑO 23 231 La interacciónABC se define como la diferencia promedio entre la interacciónAB para los dos diferentes niveles de C. Por lo tanto, 1 ABC = -{[abc- bc]- [ac- c]- [ab- b]+[a- (1)]} 4n 1 =-[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)] (6-17) 4n Como antes, la interacciónABC puede considerarse como la diferencia de dos promedios. Si se aíslan las corridas de los dos promedios, éstas definen los vértices de los dos tetraedros que componen el cubo de la figura 6-Sc. En las ecuaciones 6-11 a 6-17, las cantidades entre corchetes son contrastes de las combinaciones de los tratamientos. Es posible desarrollar una tabla de signos positivos y negativos a partir de los contrastes, la cual se muestra en la tabla 6-3. Los signos de los efectos prinCipales se determinan asociando un signo positivo con el nivel alto y un signo negativo con el nivel bajo. Una vez que se han establecido los signos de los efectos principales, los signos de las columnas restantes pueden obtenerse multiplicando las columnas precedentes apropiadas, renglón por renglón. Por ejemplo, los signos de la columnaAB son el producto de los signos de la columnaA y la columna B en cada renglón. El contraste de cualquier efecto puede obtenerse fácilmente con esta tabla. La tabla 6-3 tiene varias propiedades interesantes: 1) Con excepción de la columna J, cada una de las columnas tienen el mismo número de signos positivos y negativos. 2) La suma de los productos de los signos de dos columnas cualesquiera es cero. 3) La columna J multiplicada por cualquiera de las columnas deja la columna sin cambio. Es decir, J es un elemento identidad. 4) El producto de dos columnas cualesquiera produce una columna de la tabla. Por ejemplo, A x B = AB, Y ABxB= AB 2 = A Se observa que los exponentes de los productos se forman utilizando la aritmética módulo 2. (Es decir, el . exponente sólo puede ser Oo 1; si es mayor que 1, se reduce con múltiplos de 2 hasta que es Oo 1.) Todas estas propiedades se derivan de la ortogonalidad de los contrastes usados para estimar los efectos. .Las sumas de cuadrados de los efectos se calculan con facilidad, ya que cada efecto tiene un contraste correspondiente con un solo grado de libertad. En el diseño 23 con n réplicas, la suma de cuadrados de cualquier efecto es ss = (Contraste )2 (6-18) 8n Tabla 6·3 Signos algebraicos para calcular los efectos del diseño 23 Combinación de tratamientos (1) a b ab e ae be abe Efecto factorial 1 + + + + + + + + A + + + + B AB C + + + + + + + + AC + + + + + + + + BC + + ABC + + + + + + 232 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k EJEMPLO 6~ 1 . Recuerde el ejemplo 5-3, donde se presentó un estudio del efecto del porcentaje de carbonatación, la presión de operación y la velocidad de línea sobre la altura de llenado de una bebida carbonatada. Suponga que sólo se usan dos niveles de carbonatación, de tal modo que el experimento es un diseño factorial 23 con dos réplicas. Los datos (es decir, las desviaciones de la altura de llenado de especificación) se muestran en la tabla 6-4, y en la figura 6-6 se presenta la representación geométrica del diseño. Al utilizar los totales bajo las combinaciones de los tratamientos que se muestran en la tabla 6-4, los efectos de los factores pueden estimarse de la siguiente manera: 1 A= -[a-(l)+ab-b+ac-c+abc-bc] 411 1 = 8[1- (-4)+5- (-1)+3- (-1)+ 11- 2] 1 = 8[24] = 3.00 1 B = 411 [b+ab+bc+abc- (1)- a- c- ac] 1 = 8[-1 +5+2+ 11- (-4)-1- (-1)- 3] 1 = 8 [18] = 2.25 1 C= -[c+ac+bc+abc-(l)-a-b-ab] 411 1 = 8[-1+3+2+ 11- (-4)-1-(-1)- 5] 1 =-[14]=175 8 . 1 AB = 411 [ab-a- b+(l)+abc-bc- ac+c] 1 = 8[5-1-(-1)+(-4)+ 11- 2- 3+(-1)] 1 = -[6]= 075 8 . Tabla 6-4 El experimento de la altura de llenado, ejemplo 6·1 Factores codificados Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 B e -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 Desviación de la altura de llenado Réplica 2 Réplica 1 -3 O -1 2 -1 2 1 6 -1 1 O 3 O 1 1 5 Niveles del factor Bajo (-1) A (psi) 10 B (psi) 25 e (b/min) 200 Alto (+1) 12 30 250 6-3 EL DISEÑO 23 be =2 233 abe =11 e =-1 250 bpm + ~--"""I--"" I I I Velocidad (e) ",,,,).2:.-2.. 11)=-4 200bpm _ '-- -7730PSi a=1~. --l+1 10% Presión(B) 25 psi 12% Carbonatación (A) Figura 6·6 El diseño 23 para el experimento de la desviación de la altura de llenado del ejemplo 6-1. 1 AC= -[(1)-a+b-ab- c+ac-bc+abc] 411 1 = -[-4-1 +(-1)- 5- (-1)+3- 2+ 11] 8 1 = -[2]= 025 2 . 1 BC= -[(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc] 411 1 = -[-4+1-(-1)-5-(-1)- 3+2+11] 8 1 = -[4]= 050 8 . y 1 AEC= 411 [abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)] 1 = 8[11- 2- 3+(-1)- 5+(-1)+1-(-4)] 1 = -[4]= 050 8 . Los efectos más grandes son para la carbonatación (A = 3.00), la presión (B = 2.25), la velocidad (C = 1.75) Yla interacción carbonatación-presión (AE = 0.75), si bien el efecto de la interacción no parece tener un impacto tan grande sobre la desviación de la altura de llenado como los efectos principales. Las sumas de cuadrados se calculan con la ecuación 6-18 de la siguiente manera: SS = (24)2 = 36.00 A 16 = (18)2 = 20.25 SS B SS e 16 = (14)2 16 = 12.25 234 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2" Tabla 6-5 Resumen de la estimación de los efectos del ejemplo 6-1 Factor A B C AB AC BC ABC Estimación del efecto Sumas de cuadrados Contribución porcentual 3.00 2.25 1.75 0.75 0.25 0.50 0.50 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00 46.1538 25.9615 15.7051 2.88462 0.320513 1.28205 1.28205 6.41026 Error puro Total ss AB = (6)2 = 2.25 16 AC = (2)2 = 0.25 16 BC =(4)2=1.00 16 SS SS y SS ABC = (4)2 = 1.00 16 La suma de cuadrados total es SST = 78.00, Ypor sustracción, SSE = 5.00. En la tabla 6-5 se resumen las estimaciones de los efectos y las sumas de cuadrados. La columna etiquetada "contribución porcentual" mide la contribución porcentual de cada uno de los términos del modelo a la suma de cuadrados total. La contribución porcentual es con frecuencia una guía aproximada pero efectiva de la importancia relativa de cada término del modelo. Observe que los efectos principales dominan en realidad este proceso, explicando más de 87% de la variabilidad total, mientras que la interacción AB explica menos de 3%. El análisis de varianza de la tabla 6-6 puede usarse para confirmar la magnitud de estos efectos. Por la tabla 6-6 se observa que los efectos principales son altamente significativos (todos tienen valores P muy Tabla 6-6 Análisis de varianza de los datos de la altura de llenado Fuente de Suma de Grados de variación cuadrados libertad Porcentaje de carbonatación (A) Presión (B) Velocidad de línea (C) AB AC BC ABC Error Total 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00 1 1 1 1 1 1 1 8 15 Cuadrado medio 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 0.625 Fa 57.60 32.40 19.60 3.60 0.40 1.60 1.60 Valor P <0.0001 0.0005 0.0022 0.0943 0.5447 0.2415 0.2415 ti 6-3 EL DISEÑO 23 235 pequeños). La interacciónAB es significativa con un nivel aproximado de 10%; parlo tanto, existe una ligera interacción entre la carbonatación y la presión. Quizá el lector quiera referirse al ejemplo 5-3 para la interpretación práctica de este experimento. Los responsables del proceso decidieron correrlo con presión baja y velocidad de línea alta, y reducir la variabilidad de la carbonatación controlando con mayor precisión la temperatura. Se consiguió así una reducción sustancial en la desviación de la altura de llenado del valor objetivo. .......... .......... ................... ... .... .. .. ........... ............ El modelo de regresión y la superficie de respuesta El modelo de regresión para predecir la desviación de la altura de llenado es y= ~a +~lX1 +~2X2 +~3X3 +~12X1X2 3.00) Xl + (2.25) = 1.00+ (-2-2- x 2 + (1.75) 2 X 3 + (0.75) 2 X 1X 2 , donde las variables codificadas Xl' X 2 YX 3 representan a A, B Ye, respectivamente. El término X 1X 2 es la interacciónAB. Los residuales pueden obtenerse como la diferencia entre las desviaciones de la altura de llenado observada y la predicha. El análisis de estos residuales se deja como ejercicio para el lector. En la figura 6-7 se muestra la superficie de respuesta y la gráfica de contorno para la desviación de la altura de llenado obtenida con el modelo de regresión, suponiendo que la velocidad de línea está en el nivel alto (x 3 = 1). Observe que como el modelo contiene la interacción, las líneas de contorno de la desviación de las alturas de llenado constantes son curvas (o la superficie de respuesta es un plano "torcido"). Es deseable operar este proceso de llenado de tal modo que la desviación del llenado esté tan cerca de cero como sea posible. La gráfica de contorno indica que si la velocidad de línea está en el nivel alto, entonces hay varias combinaciones de los niveles de la carbonatación y la presión que satisfarán este objetivo. Sin embargo, será necesario ejercer un control preciso de estas dos variables. Solución por computadora Hay muchos paquetes de software de estadística que establecerán y analizarán diseños factoriales con dos niveles. La salida de uno de estos programas de computadora, Design-Expelt, se muestra en la tabla 6-7. En la parte superior de la tabla se presenta el análisis de varianza del modelo completo. El formato de esta presentación es un tanto diferente de los resultados dados en la tabla 6-6. Observe que el primer renglón del análisis de varianza es un resumen global del modelo completo (todos los efectos principales y las interacciones), y la suma de cuadrados del modelo es . SSModelo = SSA +SSB +SSc +SSAB +SSAC +SSBC +SSABC = 73.0 Por lo tanto, el estadístico F. a = _M_S----::.:M.::.;:od;;;.:el.:...o MS E 10.43 = 16.69 0.63 está probando las hipótesis Ha: /31 = /32 = /33 = /312 = H 1 : al menos una /3 ~ ° /313 = /323 = /3123 = ° í 236 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k 4.875 1.375 y -0.3750 "" 30.00 29.00 28.00 ,o" 26.00 30.00 12.00 0<'\'0 25.00 10.00 al "" 11.60 11.20 10.80 \'Oc\b<,\ 27.00 "'''''61¡ "" 10.4O C'O~ La superficie de respuesta ~-~-'---or-r---r---"'-~--.-~--" 29.17 c: -o .¡¡; ~ 27.50 a. 26.67 25.00 L..-----:-~:__---L=--~":_:_-__:'":":'::____:'"::":=_-_=' 10.00 12.00 Carbonatación b) La gráfica de contorno Figura 6-7 Superficie de respuesta y gráfica de contorno de la desviación de la altura de llenado, con la velocidad en el nivel alto (250 bpm), ejemplo 6-1. Tabla 6-7 Salida de Design-Expert para el ejemplo 6-1 Response: FiII Deviation in Height ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Squares DF Square Value Source 16.69 73.00 7 10.43 Model 36.00 1 36.00 A 57.60 2~25 1 2~25 32.40 B 12.25 1 12.25 19.60 C 2.25 1 2.25 3.60 AB 0.25 1 0.25 AC 0.40 1.00 1 1.00 BC 1.60 1 1.00 1.00 1.60 ABC 5.00 8 0.63 Residual 0.000 O Lack of Fit 0.63 5.00 8 Pure Error 78.00 15 Cor Total Std.Dev. Mean C.V. PRESS Factor Intercept A-Carbonation B-Pressure C-Speed AB AC BC ABC 0.79 1.00 79.06 20.00 Coefficient Estimate 1.00 1.50 1.13 0.88 0.38 0.13 0.25 0.25 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision DF 1 1 1 1 1 1 1 1 Prob> F 0.0003 <0.0001 0.0005 0.0022 0.0943 0.5447 0.2415 0.2415 significant 0.9359 0.8798 0.7436 13.416 Standard Error 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 950/0 Cl 95% CI Low 0.54 1.04 0.67 0.42 -0.081 -0.33 -0.21 -0.21 High 1.46 1.96 1.58 1.33 0.83 0.58 0.71 0.71 VIF 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Final Equation in Terms of Coded Factors: FiII Deviation = +1.00 +1.50 *A +1.13 *8 +0.88 *C +0.38 *A *8 +0.13 *A *C +0.25 *8 *C +0.25 *A *8 *C Final Equation in Terms of Actual Factors: FiII Deviation = -225.50000 +21.00000 *Carbonation +7.80000 *Pressure + 1.08000 *Speed -0.75000 *Carbonation *Pressure -0.10500 *Carbonation *Speed -0.040000 *Pressure *Speed +4.00000E-00: *Carbonation *Pressure *Speed Reduced Model: Response: FiII Deviation in Height ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] 237 Tabla 6-7 (continuación) Sumof Squares 70.75 Source Model A B e AB Residual Lack ofFit Pure Error '.~'; ;:1 ;'~:':j1 :~~~ ~~:~ I;~:-;: j~: 12.25 2.25 7.25 2.25 5.00 Cor Total 78.00 Std. Dev. Mean C.V. PRESS 0.81 1.00 81.18 15.34 Factor Intercept A-Ca rbo natio n B-Pressure C-Speed AB w' 36.00 20.25 DF 4 1 1 1 1 11 3 8 15 Coefficient Estimate 1.00 1.50 1.13 0.88 0.38 Mean Square 17.69 36.00 20.25 F Value 26.84 54.62 Prob> F <0.0001 12.25 2.25 0.66 18.59 3.41 <0.0001 0.0002 0.0012 0.0917 0.75 0.63 1.20 0.3700 30.72 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision DF 1 1 1 1 1 Standard Error 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 significant not significant 0.9071 0.8733 0.8033 15.424 95% CI Low 0.55 1.05 0.68 0.43 -0.072 95% CI High 1.45 1.95 1.57 1.32 0.82 1.00 1.00 1.00 1.00 Student Residual -1.300 1.671 -0.186 1.300 -0.557 0.928 -1.671 -0.186 -0.928 0.557 0.186 -1.300 -0.186 -0.186 1.671 0.186 Cook's Distance 0.154 0.254 0.003 0.154 0.028 0.078 0.254 0.003 0.078 0.028 0.003 0.154 0.003 0.003 0.254 0.003 Outlier t -1.347 1.845 -0.177 1.347 -0.539 0.922 -1.845 -0.177 -0.922 0.539 0.177 -1.347 -0.177 -0.177 1.845 0.177 VIF Final Equation in Terms of Coded Factors: FiII Deviation = +1.00 +1.50 *A +1.13*B +0.88 *C +0.38 *A *B Final Equation in Terms of Actual Factors: FiII Deviation = +9.62500 -2.62500 *Carbonation -1.20000 *Pressure +0.035000 *Speed +0.15000 *Carbonation *Pressure Diagnostics Case Statistics Standard Actual Predicted Order Value Value -3.00 -2.13 1 -1.00 -2.13 2 0.000 3 0.12 1.00 4 0.12 -1.00 -0.63 5 -0.63 0.000 6 2.00 7 3.13 3.00 3.13 8 -1.00 -0.37 9 10 0.000 -0.37 2.00 11 1.88 1.00 12 1.88 13 1.00 1.13 1.00 14 1.13 6.00 15 4.88 16 5.00 4.88 238 Residual -0.88 1.13 -0.12 0.88 -0.38 0.63 -1.13 -0.13 -0.63 0.37 0.13 -0.88 -0.13 -0.13 1.13 0.13 Leverage 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 " 6-3 EL DISEÑO 23 239 puesto que F o es grande, se concluiría que al menos una de las variables tiene un efecto diferente de cero. Entonces se prueba la significación de cada efecto factorial individual utilizando el estadístico F. Estos resultados concuerdan con la tabla 6-6. Abajo del análisis de varianza del modelo completo se presentan varios estadísticosR2 • LaR 2 ordinaria es R2 = SSModelo = 73.00 = 0.9359 SSTotal 78.00 y mide la proporción de la variabilidad total explicada por el modelo. Un problema potencial con este estadístico es que siempre se incrementa cuando se agregan factores al modelo, incluso cuando estos factores no son significativos. El estadístico R 2 ajustada, definido como =1- R 2. Ajustada SSEldfE =1- 5.00/8 =08798 1 dfTotal 78.00/15' SSTotal es un estadístico que está ajustado para el "tamaño" del modelo; es decir, para el número de factores. La R 2 ajustada puede decrecer en realidad si se agregan términos no significativos al modelo. El estadístico PRESS es una medida de qué tan bien predecirá datos nuevos el modelo (PRESS es en realidad el acrónimo de Prediction En'or Sum ofSquares -suma de cuadrados del error de predicción-, y se calcula a partir de los errores de predicción obtenidos al predecir el punto i-ésimo de los datos con un modelo que incluye todas las observaciones, excepto la i-ésima). Un modelo con un valor pequeño de PRESS indica que es posible que el modelo sea un buen predictor. El estadístico "R2 de predicción" se calcula como R2 ..• Predlcclon = 1- PRESS = 1- 20.00 = 0.7436 SS Total 78 • 00 Esto indica que se esperaría que el modelo completo explique cerca de 74% de la variabilidad de los datos nuevos. La siguiente sección de la salida presenta el coeficiente de regresión de cada término del modelo y el error estándar (se, standard error) de cada coeficiente, definido como se(f3) = V~ V(f3) = ~MSE - k = A n2 ~O.625 = 0.20 2(8) Los intervalos de confianza de 95% para cada coeficiente de regresión se calculan a partir de ~ - t O.025.N_pse(~):o:; f3:O:; ~ +t O.025.N-pse(~) donde los grados de libertad de t es el número de grados de libertad del error; es decir, N es el número total de corridas en el experimento (16), y p es el número de parámetros del modelo (8). Thmbién se presenta el modelo completo en términos de las variables codificadas y de las variables naturales. En la última sección de la tabla 6-7 se ilustra la salida después de eliminar los términos de las interacciones no significativas. Este modelo reducido contiene ahora sólo los efectos principales A, By C, y la interacciónAB. La suma de cuadrados de los residuales o del error se compone ahora de un componente del error puro ("Pure Error") que surge de las réplicas de los ocho vértices del cubo, y un componente de falta de ajuste ("Lack of Pit"), compuesto por las sumas de cuadrados de las interacciones que se eliminaron del modelo (Be, AC y ABC). De nueva cuenta, la representación del modelo de regresión de los resultados experimentales se presenta en términos de las variables codificadas y las variables na- 240 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k turales. La proporción de la variabilidad total de lá desviación de la altura del llenado que se explica por este modelo es R2 = SS Modelo = 70.75 = 0.9071 78.00 SSTotal que es menor que laR 2 del modelo completo. Observe, sin embargo, que laR 2 ajustada del modelo reducido apenas ha cambiado ligeramente respecto de laR 2 ajustada del modelo completo, y PRESS del modelo reducido es considerablemente menor, lo cual produce un valor más grande de R;rediccióo del modelo reducido. Evidentemente, la eliminación de los términos no significativos del modelo completo ha producido un modelo final que posiblemente funcionará con mayor eficiencia como predictor de datos nuevos. Observe que los intervalos de confianza para los coeficientes de regresión del modelo reducido son ligeramente más cortos que los intervalos de confianza correspondientes en el modelo completo. En la última sección de la salida se presentan los residuales del modelo reducido. Design-Expel1 también construirá todas las gráficas de los residuales que se estudiaron anteriormente. Otros métodos para evaluar la significación de los efectos El análisis de varianza es una manera formal de determinar cuáles son los efectos de los factores que son diferentes de cero. Existen varios métodos más que son útiles. A continuación se indica cómo calcular el error estándar de los efectos y cómo usar los errores estándar para construir intervalos de confianza para los efectos. Otro método, que se ilustrará en la sección 6-5, utiliza gráficas de probabilidad normal para valorar la importancia de los efectos. Es sencillo encontrar el error estándar de un efecto. Si se supone que hay n réplicas en cada una de las 2k corridas del diseño, y si Yi!' Yi2' ..., Yin son las observaciones de la corridai-ésima, entonces i = 1, 2, ..., 2k es una estimación de la varianza de la corrida i-ésima. Las estimaciones de la varianza del diseño 2k pueden combinarse para dar una estimación de la varianza global: (6-19) Ésta es también la estimación de la varianza dada por el cuadrado medio del error en el análisis de varianza. La varianza de la estimación de cada efecto es V(Efecto) = V (c:n;~~lste ) 1 (n2 k-l ? )- V(Contraste) Cada contraste es una combinación lineal de los 2k totales de los tratamientos, y cada total consta de n observaciones. Por lo tanto, V(Contraste) = n2 k 0 2 " 6-3 EL DISEÑO 23 241 y la varianza de un efecto es V(Efecto):=: :=: :=: :-1 ) 2n2 a k (n2 2 1 -a -? k 2 n2 2a .Jn2 k El error estándar estimado se encontraría sacando la raíz cuadrada de esta última expresión y sustituyendo ¿ con su estimación S2: . 2S se(Efecto):=:.J k. (6-20) n2 Observe que el error estándar de un efecto es el doble del error estándar de un coeficiente de regresión estimado en el modelo de regresión del diseño 2k (ver la salida de computadora de Design-Expel1 del ejemplo 6-1). Los intervalos de confianza de 100(1 - a) por ciento para los efectos se calculan a partir de Efecto ± ta/2.N_pSe(Efecto), donde los grados de libertad de t son sólo los grados de libertad de los residuales o del error (N - p :=: número total de corridas - número de parámetros del modelo). Para ilustrar este método, considere el experimento de la desviación de la altura de llenado del ejemplo 6-1. El cuadrado medio del error esMSE :=: 0.625. Por lo tanto, el error estándar de cada efecto es (utilizando S2 :=: MSE) se(Efecto):=: :=: 2S ~ vn2 k 2.JOJ?E ~2(23 ) :=: 0.40 Entonces, tO.025.8 :=: 2.31 y t O.025 • gSe(Efecto) :=: 2.31(0.40) 95% aproximados para los efectos de los factores son :=: 0.92, de donde los intervalos de confianza de A: 3.00±0.92 B: 2.25±0.92 C: 1.75±0.92 AB: 0.75±0.92 AC: 0.25±0.92 BC: 0.50±0.92 ABC: 0.50±0.92 Este análisis indica queA, By C son factores importantes, porque son las únicas estimaciones de los efectos de los factores para las que los intervalos de confianza de 95% aproximados no incluyen al cero. Efectos de dispersión El ingeniero de proceso que trabajó en el caso del llenado también se interesó en los efectos de dispersión; es decir, ¿alguno de los factores afecta la variabilidad de la desviación de la altura de llenado de una 242 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k R=O R= 1 R= 1 250 bpm Velocidad (e) +~--~I--"" I I I R=ll__ R=1 -7730 ,,"~ 200 bpm R =_2F-" R_=~1.... ~_, + psi Presión (B) 25 psi .~!,..--------:-:" 10% 12% Carbonatación (A) Figura 6-8 Rangos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo 6-1. corrida a otra? Una manera de responder esta pregunta es examinando el rango de las desviaciones de la altura de llenado para cada una de las ocho corridas del diseño 23 • Estos rangos se grafican en el cubo de la figura 6-8. Observe que los rangos son aproximadamente iguales para las ocho corridas del diseño. Por consiguiente, no hay evidencia sólida que indique que alguna de las variables del proceso afecte directamente la variabilidad de la desviación de la altura de llenado en el proceso. 6~4 EL DISEÑO GENERAL 2k Los métodos de análisis que se han presentado hasta este punto pueden generalizarse para el caso de un diseño factorial2k, es decir, un diseño con k factores que tfenen dos niveles cada uno. El modelo estadístico para un diseño 2k incluiría k efectos principales, (~) interacciones de dos factores, (~) interacciones de tres factores, oo., y una interacción de k factores. Es decir, para un diseño 2k el modelo completo contendría 2k -1 efectos. Thmbién se usa aquí la notación introducida anteriormente para las combinaciones de . los tratamientos. Por ejemplo, en un diseño 25, abd denota la combinación de tratamientos con los factoresA, By D en el nivel alto y los factores e y E en el nivel bajo. Las combinaciones de los tratamientos pueden escribirse en orden estándar introduciendo los factores uno a la vez y combinando sucesivamente cada nuevo factor con los que lo preceden. Por ejemplo, el orden estándar de un diseño 24 es (1), a, b, ab, e, ae, be, abe, d, ad, bd, abd, ed, aed, bed y abed. El enfoque general para el análisis estadístico del diseño 2k se resume en la tabla 6-8. Como se señaló anteriormente, suele emplearse un paquete de software de computadora en este proceso de análisis. A estas alturas, la secuencia de pasos de la tabla 6-8 debe resultar familiar. El primer paso es estimar los efectos de los factores y examinar sus signos y magnitudes. De este modo el experimentador obtiene inTabla 6-8 1. 2. 3. 4. 5. 6. Procedimiento de análisis para un diseño 2" Estimar los efectos de los factores Formar el modelo inicial Realizar las pruebas estadísticas Refinar el modelo Analizar los residuales Interpretar los resultados ti 6-4 EL DISEÑO GENERAL 2k 243 formación preliminar respecto de los factores y las interacciones que pueden ser importantes, y en qué direcciones deberán ajustarse estos factores para mejonrr la respuesta. Para formar el modelo inicial del experimento, por lo general se elige el modelo completo, es decir, todos los efectos principales y las interacciones, siempre que se haya hecho una réplica de al menos uno de los puntos del diseño (en la sección siguiente se revisa una modificación de este paso). Después, en el paso 3 se usa el análisis de varianza para probar formalmente la significación de los efectos principales y las interacciones. En la tabla 6-9 se presenta la forma general de un análisis de varianza para un diseño factorial 2k con 11 réplicas. El paso 4, refinar el modelo, suele consistir en la eliminación de las variables no significativas del modelo completo. El paso 5 es el análisis residual usual para verificar la adecuación del modelo y los supuestos. En ocasiones ocurrirá una refinación del modelo después del análisis residual, si se encuentra que el modelo es inadecuado o que hay violaciones serias de los supuestos. El último paso consiste generalmente en el análisis gráfico: gráficas de los efectos principales o las interacciones, o superficies de respuesta y gráficas de contorno. Aun cuando los cálculos descritos se realizan por lo general con una computadora, en ocasiones es necesario calcular manualmente la estimación de un efecto o la suma de cuadrados de un efecto. Para estimar un efecto o calcular la suma de cuadrados de un efecto, primero debe determinarse el contraste asociado con ese efecto. Esto puede hacerse siempre utilizando una tabla de signos positivos y negativos, como la tabla 6-2 o 6-3. Sin embargo, para valores grandes de k esto resulta laborioso, y puede usarse un método alternativo. En general, el contraste del efecto AB"K se determina expandiendo el miembro derecho de Contraste AB...K = (a ± l)(b ± 1)·· ·(k ±1) Tabla 6-9 Análisis de varianza de un diseño 2k Fuente de Suma de variación cuadrados k efectos principales A B Grados de libertad SSB 1 1 SSK 1 SSAB SSA K (~ ) interacciones (6-21) de dos factores AB AC SSAC 1 1 JK SSJK 1 ABC ABD SSABC SSABD 1 1 IJK SSIJK 1 SSABC...K SSE 1 (; ) interacciones de tres factores (Z ) = 1 interacción de k factores ABC···K Error Total SST 2k (n -1) n2 k -1 11' i 244 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Para expandir la ecuación 6-21 se usa el álgebra ordinaria reemplazando "1" con (1) en la expresión final. El signo de cada grupo de paréntesis es negativo si el factor está incluido en el efecto y es positivo si el factor no está incluido. Para ilustrar el uso de la ecuación 6-21, considere un diseño factorial 2 3• El contraste deAB sería Contraste AB = (a-1)(b-1)(e+1) = abe + ab + e + (1) - ae - be - a - b Como un ejemplo más, en un diseño 25, el contraste de ABCD sería Contraste ABCD = (a-1)(b-1)(e-1)(d-1)(e+1) =abede + ede + bde + ade + bee + aee + abe + e + abed + ed + bd +ad +be+ae+ab+(l)- a- b- e - abe - d - abd - aed - bed - ae - be - ce - abee - de - abde - aede - bede Una vez que se han calculado los contrastes de los efectos, pueden estimarse los efectos y calcular las sumas de cuadrados de acuerdo con 2 AB .. · K = n2 k (Contraste AB ...K) (6-22) y SS AB' ..K 1 = n2 k (Contraste AB ...K 2 ) (6-23) respectivamente, donde n denota el número de réplicas. Se cuenta también con un algoritmo tabular debido al Dr. Frank Yates que en ocasiones puede ser útil para el cálculo manual de las estimaciones de los efectos y las sumas de cuadrados. Referirse al material suplementario del texto de este capítulo. 6~5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k Incluso para un número moderado de factores, el número total de combinaciones de tratamientos en un diseño factoria12k es grande. Por ejemplo, un diseño 25 tiene 32 combinaciones de tratamientos, un diseño 2 6 tiene 64 combinaciones de tratamientos, etc. Debido a que por lo general los recursos son limitados, el número de réplicas que el experimentador puede emplear quizás esté restringido. Con frecuencia, los recursos disponibles permiten hacer únicamente una sola réplica del diseño, a menos que el experimentador esté dispuesto a omitir algunos de los factores originales. Un riesgo obvio cuando se realiza un experimento que tiene una sola corrida para cada combinación de prueba es que el modelo puede ajustarse al ruido. Es decir, si la respuesta y es sumamente variable, pueden resultar conclusiones engañosas del experimento. La situación se ilustra en la figura 6-9a. En esta figura, la línea recta representa el verdadero efecto del factor. Sin embargo, debido a la variabilidad aleatoria presente en la variable de respuesta (representada por la franja sombreada), el experimentador obtiene en realidad las dos respuestas medidas representadas por los puntos negros. Por consiguiente, el efecto del factor estimado está cerca de cero y el experimentador ha llegado a una conclusión errónea respecto de este factor. Ahora bien, si hay menos variabilidad en la respuesta, la posibilidad de una conclusión errónea será más reducida. Otra forma de asegurarse de que se obtienen estimaciones confiables de los efectos es incrementando la distancia entre los niveles bajo (-) y alto ( +) del factor, como se ilustra en 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 245 Verdadero efecto del factor Efecto estimado del factor + Factor, x al Distancia pequeña entre los niveles del factor Verdadero efecto del factor Efecto estimado del factor + Factor, x bl Separación agresiva de los niveles del factor Figura 6-9 El impacto de la elección de los niveles del factor en un diseño no replicado. la figura 6-9b. Observe que en esta figura la distancia incrementada entre los niveles bajo y alto del factor resulta en una estimación razonable del verdadero efecto del factor. El uso de la estrategia de una sola réplica es común en los experimentos de exploración cuando hay un número relativamente grande de factores bajo consideración. Debido a que en estos casos nunca puede tenerse la certeza absoluta de que el error experimental es pequeño, una buena práctica en este tipo de experimentos es separar los niveles de los factores de manera agresiva. Quizás el lector encuentre útil releer las pautas generales para elegir los niveles de los factores del capítulo 1. Una sola réplica de un diseño 2k se denomina en ocasiones diseño factorial no replicado. Con una sola réplica, no se cuenta con ninguna estimación interna del error (o "error puro"). Una forma de abordar este análisis de un diseño factorial no replicado consiste en suponer que algunas interacciones de orden superior son insignificantes y combinar sus cuadrados medios para estimar el error. Esto es una apelación al principio de efectos esparcidos; es decir, la mayoría de los sistemas están dominados por algunos de los efectos principales y las interacciones de orden inferior, y la mayor parte de las interacciones de orden superior son insignificantes. 246 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Cuando se analizan datos de diseños factoriales no replicados, ocasionalmente ocurren interacciones de orden superior reales. El uso de un cuadrado medio del error que se obtiene agrupando las interacciones de orden superior no es apropiado en estos casos. Un método de análisis atribuido a Daniel [35a] proporciona una forma simple de resolver este problema. Daniel sugiere examinar una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. Los efectos que son insignificantes siguen una distribución normal, con media cero y varianza cT, y tenderán a localizarse sobre una línea recta en esta gráfica, mientras que los efectos significativos tendrán medias diferentes de cero y no se localizarán sobre la línea recta. Por lo tanto, el modelo preliminar se especificará de tal modo que contenga aquellos efectos que aparentemente son diferentes de cero, con base en la gráfica de probabilidad normal. Los efectos aparentemente insignificantes se combinan como una estimación del error. EJEMPLO . 6~2 Una sola réplica del diseño 24 lF; 11" Un producto químico se fabrica en un envase presurizado. Se lleva a cabo un experimento factorial en la planta piloto para estudiar los factores que se piensa influyen en el índice de filtración de este producto. Los cuatro factores son la temperatura (A), la presión (B), la concentración del formaldehído (C) y la velocidad de agitación (D). Cada factor está presente con dos niveles. La matriz del diseño y los datos de la respuesta obtenidos de una sola réplica del experimento 24 se muestran en la tabla 6-10 y en la figura 6-10. Las 16 corridas se hacen de manera aleatoria. El ingeniero del proceso está interesado en maximizar el índice de filtración. Las condiciones actuales del proceso producen índices de filtración de alrededor de 75 gal/h. Asimismo, en el proceso actual la concentración de formaldehído, factor C, se usa en el nivel alto. Al ingeniero le gustaría reducir la concentración de formaldehído lo más posible, pero no ha podido hacerlo porque siempre produce índices de filtración más bajos. El análisis de estos datos se iniciará construyendo una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. La formación de signos positivos y negativos para las constantes de los contrastes Tabla 6-10 Experimento del índice de filtración en la planta piloto Factor Número de corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A + + + + + 11 12 + B + + + + + + 13 14 15 16 + + + + e D Etiqueta de la corrida (1) a b ab + + + + + + + + e + + + + + + + + ae be abe d ad bd abd ed acd bed abed Índice de filtración (gal/h) 45 71 48 65 68 60 80 65 43 100 45 104 75 86 70 96 " 6·5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k D 247 r----I + ctL A Figura 6-10 Datos del experimento del índice de filtración en la planta piloto para el ejemplo 6-2. del diseño 24 se muestra en la tabla 6-11. A partir de estos contrastes pueden estimarse 15 efectos factoriales, y las sumas de cuadrados se presentan en la tabla 6-12. En la figura 6-11 se muestra la gráfica de probabilidad normal de estos efectos. Todos los efectos que caen sobre la recta son insignificantes, mientras que los efectos grandes están apartados de ella. Los efectos importantes que surgen de este análisis son los efectos principales de A, C y D Ylas interacciones ACyAD. Los efectos principales de A, C y D se grafican en la figura 6-12a. Los tres efectos son positivos, y si sólo se consideraran estos efectos principales, los tres factores se correrían en el nivel alto a fin de maximizar el índice de filtración. Sin embargo, siempre es necesario examinar cualquier interacción que sea importante. Recuerde que los efectos principales no tienen mucho significado cuando están presentes en interacciones significativas. Las interaccionesAC y AD se grafican en la figura 6-12b. Estas interacciones son la clave para resolver el problema. Observe, por la interacciónAC, que el efecto de la temperatura es muy pequeño cuando la concentración está en el nivel alto y muy grande cuando la concentración está en el nivel bajo, obteniéndose los mejores resultados con la concentración baja y la temperatura alta. La interacciónAD indica que la velocidad de agitaciónD tiene un efecto reducido con una temperatura baja, pero un efecto positivo grande con la temperatura alta. Por lo tanto, los mejores índices de filtración parecerían obtenerse cuandoA y D están en el nivel alto y C está en el nivel bajo. Esto permitiría la reducción de la concentración de formaldehído a un nivel más bajo, otro de los objetivos del experimentador. Proyección de un diseño Es posible hacer otra interpretación de los efectos de la figura 6-11. Puesto que B (presión) no es significativa y todas las interacciones en las que interviene B son insignificantes, B puede descartarse del experimento, de tal modo que el diseño se convierte en un factorial 23 enA, C y D con dos réplicas. Esto es fácil de ver examinando únicamente las columnas A, C y D en la matriz del diseño que se muestra en la tabla 6-10 y observando que esas columnas forman dos réplicas de un diseño 23• En la tabla 6-13 se resume el análisis de varianza de los datos utilizando este supuesto de simplificación. Las conclusiones que se sacarían de este análisis se mantienen enesencia sin cambios respecto de las del ejemplo 6-2. Observe que al hacer la proyección de la réplica única del diseño 24 en un diseño 23 con dos réplicas, se tiene ahora tanto una estimación de la interacciónACD como una estimación del error basada en lo que en ocasiones se denomina réplica oculta. "~~ nfg'nr~~~n~;1(1 n~~n~\~Ll~~7.~ N ..¡:,. 00 Constantes de los contrastes del diseño 24 Tabla 6-11 (1) A B AB C - - + - + - - + + - - + - + + - - - - + + + + - - a b ab + - - + + + c - - ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd + - - + + + - - + - - + + + - - + + + - - - + + - + + + - + + - + AC + - BC ABC - + + + - + + ACD BCD ABCD - - + + + - - - - - + + - - - - + - + + + + + + - + - - - - - + + + + - - + + + - CD - - + + - - + - ABD - - + BD - - + + AD - + + + + + + + + - D + - + + + + + + - + + - - + + + + + + + + + - - + - + + - - - - + + - - - + - + + - - + + + + + + + - - + + + - - - + + - + + + + + + + - + ti 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k Tabla 6-12 Estimaciones de los efectos de los factores y sumas de cuadrados del diseño factorial 24 del ejemplo 6-2 Término del modelo A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Estimación del efecto Suma de cuadrados Contribución porcentual 21.625 3.125 9.875 14.625 0.125 -18.125 16.625 2.375 -0.375 -1.125 1.875 4.125 -1.625 -2.625 1.375 1870.56 39.0625 390.062 855.563 0.0625 1314.06 1105.56 22.5625 0.5625 5.0625 14.0625 68.0625 10.5625 27.5625 7.5625 32.6397 0.681608 6.80626 14.9288 0.00109057 22.9293 19.2911 0.393696 0.00981515 0.0883363 0.245379 1.18763 0.184307 0.480942 0.131959 99 A 95 o• • AO 90 C ro 80 E o c: 70 1J ro ~ :¡; ro • 50 .c eo. " 1J ~ o 30 20 10 5 AC 111 21.62 Efecto Figura 6-11 Gráfica de probabilidad normal de los efectos para el diseño factorial 24 del ejemplo 6-2. 249 250 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k ~ ro 90 .9 o 90 90 1j 80 80 80 E eo. 70 e '13 '0 ~ 60 ii= al "C al / 70 60 / 70 60 SO 50 tJ '5 .E / SO C A D al Gráficas de los efectos principales § 100 100 Interacción AC ro .9 90 o 90 C=- '5 al E 80 80 e '13 70 70 60 60 SO SO eo. '0 ~ ~ al "C al tJ '5 .E 40 40 + A A b) Gráficas de las'interacciones Figura 6·12 plo 6-2. Gráficas de los efectos principales y las interacciones para el ejem- Tabla 6-13 Análisis de varianza del experimento del índice filtración en la planta piloto en A, C y D Fuente de variación A C n AC AD cn ACn Error Total Suma de cuadrados 1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 5.06 10.56 179.52 5730.94 Grados de libertad 1 1 1 1 1 1 1 8 15 Cuadrado medio 1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 5.06 10.56 22.44 Valor P 83.36 17.38 38.13 58.56 49.27 <1 <1 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 " 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 251 El concepto de proyectar un diseño factorial no replicado en un diseño factorial con réplicas en menoS factores es muy útil. En general, si se tiene una sola réplica del diseño 2\ y si h (h < k) factores son insignificantes y pueden descartarse, entonces los datos originales corresponden a un diseño factorial completo con dos niveles en los k - h factores restantes con 2" réplicas. Verificación de diagnóstico Deberán aplicarse las verificaciones de diagnóstico usuales a los residuales de un diseño 2k • El análisis realizado indicaquelos únicos efectos significativos sanA = 21.625, C = 9.875,D·= 14.625,AC = -18.125 YAD = 16.625. Si esto es correcto, los índices de filtración estimados están dados por donde 70.06 es la respuesta promedio y las variables codificadas Xl' X 3, X4 asumen valores entre -1 y + 1. El índice de filtración predicho para la corrida (1) es y= 70.06+(21.~25) _ (-1)+ (9.~75)(_1)+(14.~25)(-1) (18~25) (-1)(-1)+ (16.~25) (-1)(-1) = 46.22 Puesto que el valor observado es 45, el residual es e = y - y = 45 - 46.22 sentan los valores de y, y y e = y - y para las 16 observaciones. (1) a b ab e ae be abe d ad bd abd ed aed bed abed y y e =y-y 45 71 48 65 68 60 80 65 43 100 45 104 75 86 70 96 46.22 69.39 46.22 69.39 74.23 61.14 74.23 61.14 44.22 100.65 44.22 100.65 72.23 92.40 72.23 92.40 -1.22 1.61 1.78 -4.39 -6.23 -1.14 5.77 3.86 -1.22 -0.65 0.78 3.35 2.77 -6.40 -2.23 3.60 = -1.22. A continuación se pre- En la figura 6-13 se muestra la gráfica de probabilidad normal de los residuales. Los puntos de esta gráfica se localizan razonablemente próximos a una línea recta, brindando apoyo a la conclusión de queA, C, D, AC yAD son los únicos efectos significativos y que se satisfacen los supuestos fundamentales del análisis. 1'11'1 1; 252 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k 99 ro 80 oc: 70 E -o ro ;g :oro 50 .n c. e Q) -o <Ji. 10 5 -6.375 -0.3125 -3.34375 2.71875 5.75 Residual Figura 6·13 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 6-2. La superficie de respuesta Las gráficas de las interacciones de la figura 6-12 se utilizaron para ofrecer una interpretación práctica de los resultados de este experimento. En ocasiones es útil emplear la superficie de respuesta para este fin. La superficie de respuesta se genera por el modelo de regresión (9.875) Y = 7006 . + (21.625) 2 Xl + 2 x 3 + (14.625) 2 x4 A 18.125) - (2 - X I X 3 + (16.625) -2- X IX 4 En la figura 6-14a se muestra la gráfica de contorno de la superficie de respuesta cuando la velocidad de agitación está en el nivel alto (es decir, X 4 = 1). Los contornos se generan a partir del modelo anterior conx4 = 1, o 38.25) Xl + (9.875) y= 77.3725+ (-2-2- x 3 - (18.125) -2- X IX 3 Observe que los contornos son líneas curvas porque el modelo contiene un término de interacción. La figura 6-14b es la gráfica de contorno de la superficie de respuesta cuando la temperatura está en el nivel alto (es decir, Xl = 1). Cuando se hace Xl = 1 en el modelo de regresión se obtiene y= 80.8725- (8.25) 2 X 3 + (31.25) -2- x 4 A 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 253 1.000 ,..----,...------,-...-----r----r---.,.....,---, 0.667 _ 1' 0.333 C..l 90.00 ¿ o() .~ 0.000 e Q) "c: 8-0.333 -0.667 -1.000 l.----l_l...----ll-...J_ _L...J._ _.L...l_ _.LL_ _.....J -1.000 -0.667 -0.333 0.000 0.333 0.667 1.000 Temperatura,A (x,) a) Gráfica de contorno con la velocidad de agitación (D), x4 = 1 1.000 1 C¡ ¿ 'O '13 .~ el ro Q) -c 'C ro il o -0.333 ID > -0.667 -1.0001oo:::::==-_l...-_----lL....-_--1_......:::..J._ _-I-_ _.....J -1.000 -0.667 -0.333 0.000 0.333 0.667 Concentración, (x3) e b) Gráfica de contorno con la temperatura (A), Figura 6-14 x, = 1 Gráficas de contorno del índice de filtración, ejemplo 6-2. Estos contornos son rectas paralelas porque el modelo contiene únicamente los efectos principales de los factores e (x3 ) y D (x 4 ). Ambas gráficas de contorno indican que si se quiere maximizar el índice de filtración, las variables A (Xl) y D (x4) deberán estar en el nivel alto y que el proceso es relativamente robusto para la concentración C. Se obtuvieron conclusiones similares a partir de las gráficas de las interacciones. La mitad de gráfica normal de los efectos Una alternativa para la gráfica de probabilidad normal de los efectos de los factores es la mitad de gráfica normal. Es una gráfica del valor absoluto de las estimaciones de los efectos contra sus probabilidades normales acumuladas. En la figura 6-15 se muestra la mitad de gráfica normal de los efectos para el ejemplo 6-2. La línea recta de la mitad de gráfica normal siempre pasa por el origen y deberá pasar también cerca del valor de los datos del percentil cincuenta. Muchos analistas sienten que es más fácil interpretar la mitad de 254 CAPÍTULO 6. DISEÑO FACTORIAL 2" 99 A 97 ~ ISJ 95 19 'E Ci ro c. E Cic: ~ AC ~ 90 85 80 D ~ lO ;g :c lO 70 oC ec. 60 ID ~ 'ift. 40 20 o 0.00 5.41 16.22 10.81 21.63 Efecto Figura 6-15 Mitad de gráfica normal de los efectos de los factores del ejemplo 6-2. gráfica normal, en particular si sólo se cuenta con pocas estimaciones de los efectos, como cuando el experimentador ha usado un diseño de ocho corridas. Algunos paquetes de software construirán ambas gráficas. Otros métodos para analizar diseños factoriales no replicados El procedimiento de análisis estándar para un diseño factorial de dos factores no replicado es la gráfica normal (O mitad de gráfica normal) de los efectos estimados de los factores. Sin embargo, los diseños no replicados son tan usados en la práctica que se han propuesto muchos procedimientos formales de análisis para resolver la subjetividad de la gráfica de probabilidad normal. Ramada y Balakrishnan [52] compararon algunos de estos métodos. Encontraron que el método propuesto por Lenth [70] tiene una potencia adecuada para detectar efectos significativos. También es fácil de implementar y, como resultado, está empezando a aparecer en algunos paquetes de software para analizar datos de diseños factoriales no replicados. Se ofrece una breve descripción del método de Lenth. Suponga que se tienen m contrastes de interés, por ejemplo el' C2, ... , Cm' Si el diseño es un factoria12k no replicado, estos contrastes corresponden a las m = 2k -1 estimaciones de los efectos de los factores. La base del método de Lenth es estimar la varianza de un contraste a partir de las estimaciones más pequeñas (en valor absoluto) de los contrastes. Sean So y =1.5 x mediana (Icji) ... 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 255 PSE denota el "pseudo error estándar", y Lenth demuestra que es un estimador razonable de la varianza del contraste cuando no hay muchos efectos activos (significativos). EIPSE se usa para juzgar la significa- ción de los contrastes. Un contraste individual puede compararse con el margen de error (ME, margin of error) ME= t O. 025 ,d xP8E donde los grados de libertad se definen como d = m13. Para hacer inferencias sobre un grupo de contrastes, Lenth sugiere usar el margen de error simultáneo (8ME, simultaneous margin of error) SME= t)',d xPSE donde el punto porcentual de la distribución t que se usa es y = 1 - (1 + 0.951/m )/2. Para ilustrar el método de Lenth, considere el experimento 24 del ejemplo 6-2. Los cálculos dan como resultado So = 1.5 x 1-2.6251 = 3.9375 Y 2.5 x 3.9375 = 9.84375, de donde PSE= 1.5 x 11.751 = 2.625 ME=2.571 x 2.625= 6.75 SME= 5.219 x 2.625= 13.70 Considere ahora las estimaciones de los efectos de la tabla 6-12. El criterio SME indicaría que los cuatro efectos más grandes (en magnitud) son significativos, ya que las estimaciones de sus efectos exceden SME. El efecto principal de C es significativo de acuerdo con el criterio ME, pero no con respecto al SME. Sin embargo, puesto que es evidente que la interacciónAC es importante, probablemente C se incluiría en la lista de efectos significativos. Observe que en este ejemplo el método de Lenth produjo la misma respuesta que la obtenida anteriormente con el examen de la gráfica de probabilidad normal de los efectos. Varios autores (ver Ramada y Balakrishnan [52], Loughin [73], Loughin y Noble [74] y Larntz y Whitcomb [69]) han hecho notar que el método de Lenth falla para controlar los índices del error tipo I, y que pueden usarse métodos de simulación para calibrar su procedimiento. Larntz y Whitcomb [69] sugieren reemplazar los multiplicadores ME y SME con multiplicadores ajustados de la siguiente manera: Número de contrastes ME original ME ajustado SME original SME ajustado 7 15 31 3.764 2.295 9.008 4.891 2.571 2.140 5.219 4.163 2.218 2.082 4.218 4.030 Estos resultados coinciden en gran medida con los de Ye y Ramada [114]. En general, el método de Lenth es un procedimiento ingenioso y útil. Sin embargo, recomendamos utilizarlo como complemento de la gráfica de probabilidad normal usual de los efectos, no como su sustituto. Bisgaard [10] ha proporcionado una sutil técnica gráfica, llamada carta de inferencia condicional, como ayuda para interpretar la gráfica de probabilidad normal. La finalidad de esta gráfica es ayudar al experimentador a juzgar los efectos significativos. Esto sería relativamente sencillo si se conociera la desviación estándar 0, o si pudiera estimarse a partir de los datos. En diseños no replicados, no se cuenta con ninguna estimación interna de 0, por 10 que la carta de inferencia condicional está diseñada para ayudar al experimentador a evaluar la magnitud de los efectos para un rango de valores de la desviación estándar. 256 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 21< Bisgaard fundamenta la gráfica en el resultado de que el error estándar de un efecto, en un diseño de dos niveles con N corridas (para un diseño factorial no replicado, N = 2k ), es 2a .JN donde a es la desviación estándar de una observación individual. Entonces ±2 veces el error estándar de un efecto es 4a +-- -.JN Una vez que se estiman los efectos, se hace una gráfica como la que se muestra en la figura 6-16, con las estimaciones de los efectos graficadas en el eje vertical, o eje y. En esta figura se han usado las estimaciones de los efectos del ejemplo 6-2. El eje horizontal, OX, de la figura 6-16 es la escala de la desviación estándar (a). Las dos rectas están en 4a 4a y=+- y y = - - .JN .JN En el ejemplo tratado aquí, N = 16, por lo que las rectas están eny = +ayy = -a. Por lo tanto, para cualquier valor dado de la desviación estándar a, la distancia entre estas dos rectas puede leerse como un intervalo de confianza de 95% aproximado para los efectos insignificantes. En la figura 6-16 se observa que si el experimentador piensa que la desviación estándar está entre 4 y 8, entonces los factores A, C, D y las interaccionesAC y AD son significativos. Si el experimentador piensa que la desviación estándar tiene un valor de hasta 10, el factor C quizá no sea significativo. Es decir, para A 22. AD 18 • D 14. -14 -18 AC • -22 Figura 6-16 Carta de inferencia condicional para el ejemplo 6-2. --, D 9.97---9.07 /1 .-/ 3.24--t-3 .44 ,.L _1~.-/ -5.70 " 1 . 6 8 -1.98 . Figura 6·17 6·5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 257 + )..ll5---=:)6.30 4.09-¡--4.53 " 7.L-'~.-/ -9.43 2.07---2.44 c~ A Datos del experimento de perforación del ejemplo 6-3. cualquier supuesto dado acerca de la magnitud de a, el experimentador puede construir una "cinta de medir" para juzgar la significación aproximada de los efectos. La carta también puede usarse en sentido inverso. Por ejemplo, suponga que estuviera en duda si el factor e es significativo o no. Entonces el experimentador podría preguntar si es razonable esperar que a pudiera ser tan grande como 10 o más. Si es improbable que a sea tan grande como 10, entonces puede concluirse que e es significativo. Se presentan ahora tres ilustrativos ejemplos de diseños factoriales 2k no replicados. EJEMPLO . 6~3 1J:ansformación de datos en un diseño factorial Daniel [35b] describe un diseño factorial 24 utilizado para estudiar la rapidez de avance de una perforadora como una función de cuatro factores: la carga de la perforadora (A), la rapidez de flujo (B), la velocidad de rotación (C) y el tipo de lodo de perforación usado (D). Los datos del experimento se presentan en la figura 6-17. En la figura 6-18 se muestra la gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos de este experimento. Con base en esta gráfica, los factores B, e y D, junto con las interacciones Be y BD, requieren interpretación. La figura 6-19 es la gráfica de probabilidad normal de los residuales y la fi- 99 B • 5 95 o ~ 10 90 x R:' 20 1 ~ 80 30 70 o o -¡¡¡ 50 E o 50 '; c: ¡;¡;'''' "C ;g'" 70 :c 80 30 20 95 5 .o '" o. 90 e 10 • 99 o 7 Estimación del efecto Figura 6-18 Gráfica de probabilidad normal de los efectos del ejemplo 6·3. 258 DISEÑO FACTORIAL 2k CAPÍTULO 6 99 • 5 o o 90 ..... 10 x 80 ;;:-. 20 I 70 30 S 95 ro o o E 50 50 '; ." 30 20 oc: ;g'" ¡¡';-' 70 J3 80 e'" .a "- 10 90 95 5 • 99 o -1 -2 2 Residuales Figura 6-19 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 6-3. gura 6-20 es la gráfica de los residuales contra la velocidad de avance predicha a partir del modelo que contiene los factores identificados. Hay problemas evidentes con la normalidad y la igualdad de la varianza. Con frecuencia se usa una transformación de los datos para abordar estos problemas. Puesto que la variable de respuesta es una razón de cambio, la transformación logarítmica parece un candidato razonable. • 2 Ul al ro:J ." •¡¡; al c:: o • • • • • • • • • • -1 • 2 5 8 Velocidad de avance predicha Figura 6-20 Gráfica de los residuales contra la velocidad de avance predicha en el ejemplo 6-3. 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2' 259 99 B • 5 95 ...g 10 ¡;:;~ 20 80 ~ 30 70 90 x ii1 o o E 50 50 ~ 16 70 "O 30 20 oc: :B ¡i,'" 80 ~ 90 95 10 5 • 99 o 0.6 0.9 1.2 Estimación del efecto Figura 6·21 Gráfica de probabilidad normal de los efectos del ejemplo 6-3 después de la transformación logarítmica. En la figura 6-21 se presenta la gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos después de hacer la transformación y* = lny. Observe que al parecer ahora es posible una interpretación mucho más simple, ya que sólo los factores B, e y D están activos. Es decir, expresar los datos en la métrica correcta ha simplificado su estructura hasta el punto de que las dos interacciones han dejado de requerirse en el modelo explicatorio. 99 5 95 10 90 ¡;:;... 20 80 ...oox I :::: 30 ro 70 o o E o 50 50 ~ "O 70 80 30 20 ¡i,'" c: ;g" :c " oC ~ 90 95 • 10 5 • 99 -0.2 -0.1 o 0.1 0.2 Residuales Figura 6·22 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 6-3 después de la transformación logarítmica. . J~ i , I ' 260 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k • 0.2 • • • 0.1 • Ul al ro::;¡ • "O .¡;; al oc O • • • -0.1 • • • O 1.5 0.5 Velocidad de avance logarftmica predicha Figura 6·23 Gráfica de los residuales contra la velocidad predicha para el ejemplo 6-3 después de la transformación logarítmica. En las figuras 6-22 y 6-23 se presentan, respectivamente, una gráfica de probabilidad normal de los residuales y una gráfica de los residuales contra la rapidez de avance predicha para el modelo en la escala logarítmica que contiene a B, e y D. Ahora estas gráficas son satisfactorias. Se concluye que el modelo y* = lny sólo requiere los factores B, e y D para una interpretación adecuada. En la tabla 6-14 se resume el análisis de varianza de este modelo. La suma de cuadrados del modelo es SSModelo = SSB +SSc +SSD = 5.345+ 1.339 + 0.431 = 7.115 YR 2 = SSModelo/SST = 7.11517.288 = 0.98, por lo que el modelo explica cerca de 98% de la variabilidad de la rapidez de avance de la perforadora. . EJEMPLO 6~4 Efectos de localización y dispersión en un diseño factorial no replicado Se corrió un diseño 24 en un proceso de manufactura de paneles laterales y ventanas de un avión comercial. Los paneles se hacen en una prensa, y bajo las condiciones actuales es demasiado elevado el número Tabla 6-14 Análisis de varianza del ejemplo 6·3 después de la transformación logarítmica Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio B (Flujo) e (Velocidad) D (Lodo) Error Total 5.345 1.339 0.431 0.173 7.288 1 1 1 12 15 5.345 1.339 0.431 0.014 ValorP 381.79 <0.0001 95.64 <0.0001 30.79 <0.0001 " 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k Factores ji""= Temperatura (OF) B = Tiempo de sujeción (min) e = Flujo de resina D = Tiempo de cierre (s) Bajo(-) Alto(+) 295 325 7 9 10 15 20 30 261 D 5 1.5 9.5 /¡ 8/ 0.5 I 5 CtL: )5-+7' 5~ 11 A Figura 6·24 Datos del experimento del proceso de los paneles del ejemplo 6·4. promedio de defectos por panel en una operación de prensado. (El promedio actual del proceso es 5.5 defectos por panel.) Se investigan cuatro factores utilizando una sola réplica de un diseño 2\ en el que cada réplica corresponde a una sola operación de prensado. Los factores son la temperatura (A), el tiempo de sujeción (B), el flujo de resina (C) y el tiempo de cierre en el prensado (D). En la figura 6-24 se muestran los datos de este experimento. En la figura 6-25 se muestra la gráfica de probabilidad normal de los efectos de los factores. Es evidente que los dos efectos más grandes sanA = 5.75 YC = -4.25. Ningún efecto de los otros factores parece ser tan grande, y A YC explican cerca de 77% de la variabilidad total, por lo que se concluye que la temperatura (A) baja y el flujo de resina (C) alío reducirían la incidencia de defectos en los paneles. El análisis residual cuidadoso es un aspecto importante de cualquier experimento. La gráfica de probabilidad normal de los residuales no indicó anomalías, pero cuando el experimentador graficó los resi99 eA 5 95 10 90 ~ 20 80 ¡;;--.30 70 o x I S ¡¡; E o c: "C " .c" e ~ g 50 50 70 x 30 ¡:¡';-' 80 20 90 10 :c ll. 95 5 Ce 99 -10 -5 O 5 10 Efectos de los factores Figura 6·25 Gráfica de probabilidad normal de los efectos de los factores para el experimento del proceso de los paneles del ejemplo 6-4. W!l! I 262 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2" 5 e e ee Ul QJ .g <ti Of - - - .~ e ----J. eee ce e _ B = Tiempo de sujeción e e eee -5 Figura 6·26 Gráfica de los residuales contra el tiempo de sujeción para el ejemplo 6-4. duales contra cada uno de los factoresA aD, la gráfica de los residuales contraB (tiempo de sujeción) presentó el patrón de la figura 6-26. Este factor, que carece de importancia en lo que se refiere al número promedio de defectos por panel, es muy importante en su efecto sobre la variabilidad del proceso, con el tiempo de sujeción bajo dando como resultado una variabilidad menor en el número promedio de defectos por panel en una operación de prensado. El efecto de dispersión del tiempo de sujeción también es muy evidente en la gráfica de cubo de la fi· gura 6·27, donde se grafica el número promedio de defectos por panel y el rango del número de defectos en cada punto del cubo definido por los factoresA, B y c. El rango promedio cuando B está en el nivel alto (la cara posterior del cubo de la figura 6-27) esRB + = 4.75, y cuandoB está en el nivel bajo esRB - = 1.25. Como resultado de este experimento, el ingeniero decidió operar el proceso con la temperatura baja y el flujo de resina alto para reducir el número promedio de defectos, con el tiempo de sujeción bajo para reducir la variabilidad en el número de defectos por panel, y con el tiempo de cierre en el prensado bajo (el cual no tuvo ningún efecto ni sobre la localización ni sobre la dispersión). El nuevo ajuste de las condiciones de operación produjo un nuevo promedio del proceso de menos de un defecto por panel. Los residuales de un diseño 2k proporcionan mucha información acerca del problema bajo estudio. Puesto que los residuales pueden considerarse como los valores observados del ruido o error, con frecuencia ofrecen información acerca de la variabilidad del proceso. Puede hacerse el examen sistemático de los residuales de un diseño 2k no replicado para proporcionar información acerca de la variabilidad del proceso. R 20 c= Flujo de resina 10 = 3.5 R =4.5 3.25-----7.25 ¡ R=O.V" 0.75 I R=2/ 7.0 I I I IR =4.5 ",?75-- R=6.5 -~12.~9 R = 1 '" '" R_= 5.5' 11.75 I I 295 325 A = Temperatura (OF) 7 B = Tiempo de sujeción (min) 7 Figura 6·27 Gráfica de cubo de la temperatura, el tiempo de sujeción y el flujo de resina para el ejemplo 6-4. Tabla 6-15 Corrida A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - \,,¡J + - - - + + - + + + - + + + + BC ABC AD BD + + - + + - - + + + + - D - - - - - - + + + + - + - + + - - - - + + - - + - - + + - - + + + + - + - - - - - + + - + - - + + + + + + + + 2.25 1.85 0.39 2.72 0.83 2.37 2.21 1.86 0.34 1.91 2.20 -0.28 - AC + + - + + + C - - + I 0\ + + + 12 13 14 15 16 F* AB + - - s(1-) B + 11 SV) N Cálculo de los efectos de dispersión para el ejemplo 6-4 + ACD BCD ABCD Residual - + + + + - - - + + + + - - - + + + + - - + + + + + - - - - - - + + + - -0.94 -0.69 -2.44 -2.69 -1.19 0.56 -0.19 2.06 0.06 0.81 2.06 3.81 -0.69 -1.44 3.31 -2.44 - - + + - - + + - + + + + 1.81 2.24 -0.43 1.80 2.26 -0.46 1.80 2.24 -0.44 2.24 1.55 0.74 - CD - + + + + + + + + + + ABD + - + - - + + + 2.05 1.93 0.12 2.28 1.61 0.70 + + - + - + + + + - - + - - + 1.61 2.33 -0.74 + + + + + + + + 1.97 2.11 -0.14 1.93 1.58 0.40 1.52 2.16 -0.70 2.09 1.89 0.28 - + - + - • 264 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Considere la gráfica de los residuales de la figura 6-26. La desviación estándar de los ocho residuales donde B está en el nivel bajo es S(B-) = 0.83, Yla desviación estándar de los ocho residuales donde B está en el nivel alto es S(B+) = 2.72. El estadístico S2 F*=ln (B:) (6-24) B S2(B-) tiene una distribución aproximadamente normal cuando las dos varianzas if(B+) y if(B-) son iguales. Para ilustrar los cálculos, el valor de F; es S2(B+) F* = In ---'----'B S2(B-) = In (2.72)2 (0.83)2 = 2.37 En la tabla 6-15 se presenta el conjunto completo de contrastes para el diseño 24 junto con los residuales para cada corrida del experimento del proceso de los paneles del ejemplo 6-4. Cada columna de esta tabla contiene el mismo número de signos positivos y negativos, y es posible calcular la desviación estándar de los residuales de cada grupo de signos en cada columna, por ejemplo, SW) y Sen, i = 1,2, ;.., 15. Entonces S2 (i +) F.* = In i = 1, 2, ..., 15 (6-25) S2(i-) 1 es un estadístico que puede usarse para evaluar la magnitud de los efectos de dispersión del experimento. Si la varianza de los residuales de las corridas donde el factor i es positivo es igual a la varianza de los residuales de las corridas donde el factor i es negativo, entonces F;* tiene una distribución aproximadamente normal. Los valores de F;* se presentan al final de cada columna de la tabla 6-15. La figura 6-28 es la gráfica de probabilidad normal de los efectos de dispersión F;*. Evidentemente, B es un factor importante en lo que se refiere a la dispersión del proceso. Para un estudio más amplio de 99.9 0.1 / 99 o o ~ 95 x ii:;-' I 80 s o o ro 50 E o ~ x ~... c: "O 20 ro ;g :.cro .n 5 e "- 0.1 0.2 1.2 r 2.2 1 Figura 6·28 Gráfica de probabilidad normal de los efectos de dispersión F¡' del ejemplo 6-4. ti 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 265 este procedimiento, ver Boxy Meyer [19] y Myers y Montgomery [85a]. Asimismo, para que los residuales del modelo ofrezcan la información apropiada acerca de los efectos de dispersión, es necesario especificar correctamente el modelo de localización. Referirse al material suplementario del texto de este capítulo para mayores detalles y un ejemplo. EJEMPLO 6~5 .....•...••...........•.............•.....•....•............. Mediciones duplicadas de la respuesta Un equipo de ingenieros en una fábrica de semiconductores realizaron un diseño factorial 24 en un horno de oxidación vertical. Se "apilan" cuatro obleas en el horno, y la variable de respuesta de interés es el espesor del óxido en las obleas. Los cuatro factores del diseño son la temperatura (A), el tiempo (B), la pre.sión (e) y el flujo de gas (D). El experimento se lleva a cabo cargando cuatro obleas en el horno, ajustando las variables del proceso en las condiciones de prueba requeridas por el diseño experimental, procesando las obleas y midiendo después el espesor del óxido en las cuatro obleas. En la tabla 6-16 se presentan el diseño y las mediciones del espesor resultantes. En esta tabla, las cuatro columnas bajo el encabezado "Espesor" contienen las mediciones del espesor del óxido de cada oblea individual, y las dos últimas columnas contienen el promedio muestral y la varianza muestral de las mediciones del espesor en las cuatro obleas de cada corrida. La manera apropiada de analizar este experimento es considerar las mediciones del espesor de las obleas individuales como mediciones duplicadas, y no como réplicas. Si fueran en realidad réplicas, cada oblea se habría procesado individualmente en una sola corrida del horno. Sin embargo, debido a que las cuatro obleas se procesaron en conjunto, recibieron los factores de los tratamientos (es decir, los niveles de las variables d~l diseño) simultáneamente, por lo que hay mucho menos variabilidad en las mediciones del espesor de las obleas individuales que la que se habría observado si cada oblea fuera una réplica. Por lo tanto, el promedio de las mediciones del espesor es la variable de respuesta correcta que deberá considerarse inicialmente. En la tabla 6-17 se muestran las estimaciones de los efectos de este experimento, utilizando el espesor del óxido promedio ycomo la variable de respuesta. Observe que los factoresA y B Yla interacciónAB tienen efectos grandes que explican en conjunto cerca de 90% de la variabilidad del espesor promedio del Tabla 6-16 El experimento del espesor del óxido Orden estándar Orden de la corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 7 3 9 6 2 5 4 12 16 8 1 14 15 11 13 \ A B e D -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 Espesor 378 415 380 450 375 391 384 426 381 416 371 445 377 391 375 430 376 416 379 446 371 390 385 433 381 420 372 448 377 391 376 430 379 416 382 449 373 388 386 430 375 412 371 443 379 386 376 428 y 379 417 383 447 369 391 385 431 383 412 370 448 379 400 377 428 378 416 381 448 372 390 385 430 380 415 371 446 378 392 376 429 S2 2 0.67 3.33 3.33 6.67 2 0.67 8.67 12.00 14.67 0.67 6 1.33 34 0.67 1.33 ,rlt 266 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Tabla 6-17 Término del modelo A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Estimaciones de los efectos del ejemplo 6-5, la variable de respuesta es el espesor promedio del óxido Estimación del efecto Suma de cuadrados 43.125 18.125 -10.375 -1.625 16.875 -10.625 1.125 3.875 -3.875 1.125 -0.375 2.875 -0.125 -0.625 0.125 7439.06 1314.06 430.562 10.5625 1139.06 451.563 5.0625 60.0625 60.0625 5.0625 0.5625 33.0625 0.0625 1.5625 0.0625 Contribución porcentual 67.9339 12.0001 3.93192 0.0964573 10.402 4.12369 0.046231 0.548494 0.548494 0.046231 0.00513678 0.301929 0.000570753 0.0142688 0.000570753 óxido. La figura 6-29 es una gráfica de probabilidad normal de los efectos. Al examinar esta representación, se concluiría que los factores A, By C y las interaccionesAB yAC son importantes. En la tabla 6-18 se muestra el análisis de varianza de este modelo. El modelo para predecir el espesor promedio del óxido es y= 399.19+ 21.56x1 + 9.06x z - 5.19x 3 + 8.44x 1x Z - 5.31x1X 3 El análisis residual de este modelo es satisfactorio. Los experimentadores están interesados en obtener un espesor promedio del óxido de 400 A, y las especificaciones del producto requieren que el espesor sea de entre 390y 410 A. En la figura 6-30 se presentan dos gráficas de contorno del espesor promedio, una con el factor C (o x 3 ), la presión, en el nivel bajo (es decir, X 3 = -1) Yla otra con C (o x 3) en el nivel alto (es decir, X 3 = + 1). Al examinar estas gráficas de contorno, es evidente que hay muchas combinaciones del tiempo y la temperatura (factores A y B) que producirán resultados aceptables. Sin embargo, si la presión se mantiene constante en el nivel bajo, la "ventana" de operación se corre hacia el extremo izquierdo, o más bajo, del eje del tiempo, indicando que se necesitarán duraciones del ciclo más cortas para conseguir el espesor del óxido deseado. Es interesante observar los resultados que se hubieran obtenido si las mediciones del espesor del óxido de las obleas se hubieran considerado incorrectamente como réplicas. En la tabla 6-19 se presenta el análisis de varianza del modelo completo basado en tratar el experimento como un diseño factoria12 4 con réplicas. Observe que hay muchos factores significativos en este análisis, lo cual sugiere un modelo mucho más complejo del que se encontró cuando se utilizó el espesor promedio del óxido como la respuesta. La razón de esto es que la estimación de la varianza del error de la tabla 6-19 es muy pequeña (a z = 6.12). El cuadrado medio de los residuales de la tabla 6-19 refleja la variabilidad entre las obleas dentro de una corrida yla variabilidad entre las corridas. La estimación del error que se obtiene en la tabla 6-18 es mucho más grande, aZ = 17.61, Yes principalmente una medida de la variabilidad entre las corridas. Ésta es la mejor estimación del error que deberá usarse para juzgar la significación de las variables del proceso que se modifican de una corrida a otra. Una pregunta lógica que podría plantearse es: ¿qué daño causa identificar demasiados factores como importantes?, como ciertamente sería el caso en el análisis incorrecto de la tabla 6-19. La respuesta es que ., 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k A ~ s AS ~ ~ 29.69 43.13 Efecto Figura 6-29 Gráfica de probabilidad normal de los efectos para la respuesta del espesor promedio del óxido, ejemplo 6-5. Tabla 6-18 Análisis de varianza (de Design-Expert) para la respuesta espesor promedio del óxido, ejemplo 6-5 Source Sum of Squares DF Model A B C AB AC Residual Cor Total 10774.31 7439.06 1314.06 430.56 1139.06 451.56 176.12 10950.44 5 1 1 1 1 1 10 15 Std. Dev. Mean C.V. PRESS 4.20 399.19 1.05 450.88 Factor Intercept A-Time B-Temp C-Pressure AB AC Mean Square 2154.86 7439.06 1314.06 430.56 1139.06 451.56 17.61 F Value Prob> F 122.35 422.37 74.61 24.45 64.67 25.64 <0.000 <0.000 <0.000 0.0006 <0.000 0.0005 0.9839 0.9759 0.9588 27.967 R-Squared Adj. R-Squared Pred. R-Squared Adeq. Precision Coefficient Estimate DF Standard Error 95% CI Low 95% CI High 399.19 21.56 9.06 -5.19 8.44 -5.31 1 1 1 1 1 1 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 396.85 19.22 6.72 -7.53 6.10 -7.65 401.53 23.90 11.40 -2.85 10.78 -2.97 267 268 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 21< 1.00,....--,---.------;;----r--....- - - - - , 0.50 ~ .a ~ ~ 0.00 380 E ~ -0.50 -1.00 L--L._ _-l._-1-_ _...l-_---\..._ _L - _ ~ - _ _ l -1.00 -0.50 Tiempo (a) x 3 =-1 1.00,...,------¡----,----.------,¡----, 0.50 ~ :J '§ al ~ 0.00 ~ -0.50 _1.00L----2--..l.----....I-----.l...-...:::...----:-! -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 Tiempo lb) x 3 = +1 Figura 6-30 Gráficas de contorno del espesor promedio del óxido con la presión (x3 ) mantenida constante. intentar manipular u optimizar los factores que no son importantes sería un desperdiéio de recursos, y podría resultar en agregar variabilidad innecesaria a otras respuestas de interés. Cuando se hacen mediciones duplicadas de la respuesta, casi siempre hay información útil acerca de algún aspecto de la variabilidad del proceso contenida en estas observaciones. Por ejemplo, si las mediciones duplicadas son pruebas múltiples hechas con un instrumento de medición en la misma unidad ex- " 6-5 UNA SOLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2k 269 Tabla 6-19 Análisis de varianza (de Design-Expert) de la respuesta individual del espesor del óxido de las obleas Source Model A B C O AB AC AO BC BO CO ABO ABC ACO BCD ASCO Residual Lack of Fit Pure Error Coro Total Surnof Squares DF 43801.75 29756.25 5256.25 1722.25 42.25 4556.25 1806.25 20.25 240.25 240.25 20.25 132.25 2.25 0.25 6.25 0.25 294.00 0.000 294.00 44095.75 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 O 48 63 Mean Square 2920.12 29756.25 5256.25 1722.25 42.25 4556.25 1806.25 20.25 240.25 240.25 20.25 132.25 2.25 0.25 6.25 0.25 6.12 F Value Prob> F 476.75 4858.16 858.16 281.18 6.90 743.88 294.90 3.31 39.22 39.22 3.31 21.59 0.37 0.041 1.02 0.041 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0115 <0.0001 <0.0001 0.0753 <0.0001 <0.0001 0.0753 <0.0001 0.5473 0.8407 0.3175 0.8407 6.13 perimental, entonces las mediciones duplicadas proporcionan cierta información acerca de la eficiencia del instrumento de medición. Si las mediciones duplicadas se hacen en diferentes lugares dentro de una unidad experimental, pueden brindar cierta información acerca de la uniformidad de la variable de respuesta en esa unidad. En el ejemplo tratado aquí, ya que se tiene una observación en cada una de cuatro unidades experimentales que se han sometido a un procesamiento conjunto, se tiene cierta información acerca de la variabilidad dentro de las corridas del proceso. Esta información se encuentra contenida en la varianza de las mediciones del espesor del óxido de las cuatro obleas de cada corrida. Sería de interés determinar si alguna de las variables del proceso influye en la variabilidad al interior de las corridas. La figura 6-31 es una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos obtenidas utilizando ln(s2) como la respuesta. Recuerde que en el capítulo 3 se indicó que la transformación logarítmica es por lo general apropiada para modelar la variabilidad. No hay ningún efecto individual fuerte, pero el factor A y la interacción BD son los más grandes. Si se incluyen también los efectos principales de By D para obtener un modelo jerárquico, entonces el modelo de ln(S2) es /i-ln(s )=1.08+0Alx 1 -OAOx 2 +0.20x 4 -0.56x 2 x 4 El modelo explica apenas poco menos de la mitad de la variabilidad en la respuesta ln(S2), lo cual desde luego no es nada espectacular para un modelo empírico, pero con frecuencia es difícil obtener modelos excepcionalmente buenos de las varianzas. La figura 6-32 es una gráfica de contorno de la varianza predicha (no del logaritmo de la varianza predicha) con la presiónx3 en el nivel bajo (recuerde que con esto se minimiza la duración del ciclo) y el flujo de gasx4 en el nivel alto. Esta elección del flujo de gas produce los valores mínimos de la varianza predicha en la región de la gráfica de contorno. En este caso, los experimentadores se enfocaron en seleccionar valores de las variables de diseño que dieran un espesor medio del óxido dentro de las especificaciones del proceso y tan cerca de 400 Á como fuera posible, haciendo al mismo tiempo que la variabilidad dentro de las corridas sea pequeña, por ejemplo S2 :::; 2., 270 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k 99 A illJl 95 90 ro 80 o c: 70 E "C ro :!2 :aro 50 .n ec. al "C ?f' -1.12 -0.64 -0.15 0.34 0.82 Efecto Figura 6-31 Gráfica de probabilidad normal de los efectos utilizando In (S2) como la respuesta, ejemplo 6-5. 1.00..--------""7'---------:;;...._. e ::l 1§ 15. 0.00 E ~ -1.00 L------"::::..---L----...J.--""'O:::'-"--.l,-----:-' -1.00 -0.50 1.00 Tiempo Figura 6-32 Gráfica de contorno de S2 (variabilidad dentro de las corridas) con la presión en el nivel bajo y el flujo de gas en el nivel alto. 6-6 ADICIÓN DE PUNTOS CENTRALES EN EL DISEÑO 2k 271 1.00 0.50 l!! ~ e (1) 0.00 {!!. -0.50 -1.00 -1.00 -0.50 0.00 0.50 Tiempo Figura 6·33 Superposición del espesor promedio del óxido y las respuestas S2 con la presión en el nivel bajo y el flujo de gas en el nivel alto. Una manera posible de encontrar un conjunto de condiciones adecuado es superponiendo las gráficas de contorno de las figuras 6-30 y 6-32. La gráfica de la superposición se muestra en la figura 6-33, con las especificaciones del espesor medio del óxido y la restricción S2 :5 2 indicadas como contornos. En esta gráfica, la presión se mantiene constante en el nivel bajo y el flujo de gas se mantiene constante en el nivel alto. La región no sombreada cerca de la parte central izquierda de la gráfica identifica una región factible para las variables tiempo y temperatura. Éste es un ejemplo simple del uso de las gráficas de contorno para estudiar dos respuestas simultáneamente. Este problema se analizará con mayor detalle en el capítulo 11. 6~6 ADICIÓN DE PUNTOS CENTRALES EN EL DISEÑO 2k Una preocupación potencial en el uso de diseños factoriales de dos niveles es el supuesto de la linealidad de los efectos de los factores. Desde luego, no es necesaria la linealidad perfecta, y el sistema 2k funcionará bastante bien incluso cuando el supuesto de linealidad sea válido sólo de manera muy aproximada. De hecho, se ha señalado ya que si se agregan los términos de interacción a un modelo de los efectos principales o de primer orden, de donde se obtiene k Y=f30+ Lj=l f3 j Xj + LL ¡<j f3ijX¡X j +c (6-26) entonces se tiene un modelo con la capacidad de representar cierta curvatura en la función de respuesta. Esta curvatura, desde luego, es resultado del torcimiento del plano inducido por los términos de interacción f3¡l'iXj' 272 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL2h Habrá situaciones en que la curvatura de la función de respuesta no esté modelada adecuadamente por la ecuación 6-26. En tales casos, un modelo lógico por considerar es k y= {30 + 2: {3jX j + 2:2: j=l k {3ijX i X j + i<j 2: {3jjXJ +8 (6-27) j=l donde las {3jj representan efectos cuadráticos o de segundo orden puros. A la ecuación 6-27 se le llama modelo de superficie de respuesta de segundo orden. Cuando se realiza un experimento factorial de dos niveles, por lo general se anticipa el ajuste del modelo de primer orden de la ecuación 6-26, pero deberá estarse alerta ante la posibilidad de que el modelo de segundo orden de la ecuación 6-27 sea en realidad más apropiado. Existe un método para hacer una réplica de ciertos puntos de un diseño factorial2 k que ofrecerá protección contra la curvatura de los efectos de segundo orden a la vez que permitirá una estimación independiente del error que va a obtenerse. El método consiste en agregar puntos centrales en el diseño 2k • Éstos consisten en n réplicas que se corren en los puntos Xi = O(i = 1, 2, oo., k). Una razón importante para agregar réplicas de las corridas en el centro del diseño es que los puntos centrales no afectan las estimaciones usuales de los efectos en un diseño 2k • Cuando se agregan puntos centrales, se supone que los k factores son cuantitativos. Para ilustrar este enfoque, considere un diseño 22 con una observación en cada uno de los puntos factoriales (-, -), (+, -), (-, +)y (+, +), yn e observaciones en el punto central (O, O). En la figura 6-34 se ilustra la situación. Sea YF el promedio de las cuatro corridas en los cuatro puntos factoriales y sea Ye el promedio de las ne corridas en el punto central. Si la diferenciaYF - Ye es pequeña, entonces los puntos centrales caen en el plano (o cerca de él) que pasa por los puntos factoriales, y no hay curvatura cuadrática. Por otra parte, si YF - Ye es grande, entonces está presente una curvatura cuadrática. La suma de cua· drados de la curvatura cuadrática pura con un solo grado de libertad está dada por SS Cuadrática pura nFn (JiF - Ye )2 e = ---.:...----=--'-'---'------'-=---=-n +n F (6-28) e donde, en general, nF es el número de puntos del diseño factorial. Esta cantidad puede compararse con el cuadrado medio del error para probar la curvatura cuadrática pura. Más específicamente, cuando se y I -1 Figura 6-34 Diseño 22 con puntos centrales. !Ir - I 6-6 ADICIÓN DE PUNTOS CENTRALES EN EL DISEÑO 2k 273 agregan puntos en el centro del diseño 2\ con la prueba de la curvatura (utilizando la ecuación 6-28) en realidad se prueban las hipótesis k H O: 2.: fi jj =O jj ;z!:'0 j=l k H1: 2.: fi j=l Además, si los puntos factoriales del diseño no tienen réplicas, pueden usarse los He puntos centrales para construir una estimación del error con He - 1 grados de libertad. EJEMPLO 6~6 . Un ingeniero químico estudia el rendimiento de un proceso. Hay dos variables de interés, el tiempo de reacción y la temperatura de reacción. Debido a que no se tiene la seguridad sobre el supuesto de linealidad en la región de exploración, el ingeniero decide realizar un diseño factorial 22 (con una sola réplica de cada corrida factorial) aumentando con cinco puntos centrales. El diseño y los datos del rendimiento se muestran en la figura 6-35. En la tabla 6-20 se resume el análisis de varianza de este experimento. El cuadrado medio del error se calcula a partir de los puntos centrales de la siguiente manera: = MS E SSE 12-1 e (6-29) = .o..Pu""n""tos'-"ce""ntr:;::al::::;es'--- _ Por lo tanto, por la tabla 6-20, 5 2.: (Yi - 40.46)2 = -"i=""l MS E 0.1720 = 4 = 0.0430 40.0 41.5 160 E E :J ~ c. 155 o • E ~ 11 I:l:l 150 39.3 -1 I I r' 40.5 40.7 40.2 40.6 40.9 I -1 o +1 I 30 I 35 I 40 A = Tiempo de reacción (min) Figura 6-35 El diseño 22 con cinco puntos centrales para el ejemplo 6-6. 4 _ 274 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Tabla 6-20 Análisis de varianza del ejemplo 6-6 Fuente de Suma de Grados de libertad variación cuadrados 1 A (Tiempo) 2.4025 1 B (Temperatura) 0.4225 1 AB 0.0025 1 0.0027 Cuadrática pura 4 0.1720 Error 3.0022 8 Total Cuadrado medio 2.4025 0.4225 0.0025 0.0027 0.0430 Valorp 55.87 9.83 0.06 0.06 0.0017 0.0350 0.8185 0.8185 El promedio de los puntos de la parte factorial del diseño esyp = 40.425, Y el promedio de los puntos situados en el centro eSYe = 40.46. La diferenciaYp-Ye = 40.425 -40.46 = -0.035 parece ser pequeña. La suma de cuadrados de la curvatura cuadrática pura de la tabla del análisis de varianza se calcula con la ecuación 6-28 de la siguiente manera: = 1lp1l e (rp - SS Cuadrática pura 1l p + 1l e re )2 = (4)(5)(-0.035)2 4+5 = 0.0027 El análisis de varianza indica que ambos factores tienen efectos principales significativos, que no existe interacción, y que no hay evidencia de curvatura de segundo orden en la respuesta en la región de exploración. Es decir, la hipótesis nula H o: fJn + fJ22 = O no puede rechazarse. ,., " En el ejemplo 6-6 se llegó a la conclusión de que no había indicios de efectos cuadráticos; es decir, un modelo de primer orden y= fJo +fJl x l +fJ2 x 2+fJ 12 x 1x 2+8 es apropiado (aun cuando probablemente no se necesite el término de la interacción). Habrá situaciones en las que se necesitarán los términos cuadráticos. Es decir, se tendrá que suponer entonces un modelo de segundo orden tal como y= fJo +fJl x l +fJ2 x 2+fJ12 x l x 2 +fJnx~ +fJ22X~ +8 Desafortunadamente, los parámetros desconocidos (las fJ) de este modelo no pueden estimarse, ya que hay seis parámetros por estimar y el diseño 22 más los puntos centrales de la figura 6-35 sólo tienen cinco corridas independientes. Una solución simple y de gran efectividad de este problema es aumentar el diseño 22 con cuatro corridas axiales, como se ilustra en la figura 6-36a. El diseño resultante, llamado diseño central compuesto, puede usarse entonces para ajustar el modelo de segundo orden. En la figura 6-36b se muestra un diseño central compuesto parak = 3 factores. Este diseño tiene 14 + 1le corridas (generalmente 3:5 1l e :5 5), Yes un diseño muy eficiente para ajustar el modelo de segundo orden con 10 parámetros en k = 3 factores. Los diseños compuestos centrales se usan ampliamente para construir modelos de superficie de respuesta de segundo orden. Estos diseños se estudiarán con mayor detalle en el capítulo 11. . 6-6 ADICIÓN DE PUNTOS CENTRALES EN EL DISEÑO 2k _-f---+---f--- a.) Dos factores 275 X1 b ) Tres factores Figura 6·36 Diseños centrales compuestos. Se concluye esta sección con algunas sugerencias y observaciones adicionales útiles referentes al uso de puntos centrales. Cuando un experimento factorial se lleva a cabo en un proceso en marcha, considere utilizar las condiciones de operación actuales (o de receta) como el punto central del diseño. Esto con frecuencia le asegura al personal de operación que al menos una parte de las corridas del experimento van a realizarse bajo condiciones familiares, y por lo tanto es improbable que los resultados obtenidos (por lo menos para estas corridas) sean peores que los que se obtienen típicamente. 2. Cuando el punto central de un experimento factorial corresponde con las condiciones de operación actuales, el experimentador puede usar las respuestas observadas en el punto central para proporcionar una verificación aproximada de si algo "inusual" ocurrió durante el experimento. Es decir, las respuestas del punto central deberán ser muy similares a las respuestas observadas históricamente en la operación rutinaria del proceso. Con frecuencia el personal de operación llevará una carta de control para monitorear el desempeño del proceso. En ocasiones las respuestas de los puntos centrales pueden graficarse directamente en la carta de control como una verificación de la forma en que estuvo operando el proceso durante el experimento. 3. Considere correr las réplicas del punto central en orden no aleatorio. Específicamente, deberán correrse uno o dos puntos centrales en o cerca del principio del experimento, uno odas cerca de la parte media, y uno o dos cerca del final. Al separar los puntos centrales en el tiempo, el experimentador tiene una verificación aproximada de la estabilidad del proceso durante el experimento. Por ejemplo, si ha ocurrido una tendencia en la respuesta mientras se realizaba el experimento, graficar las respuestas de los puntos centrales contra el tiempo puede poner de manifiesto esta situación. 4. En ocasiones los experimentos tienen que realizarse en situaciones en las que la información previa acerca de la variabilidad del proceso es escasa o nula. En estos casos, correr dos o tres puntos centrales como las primeras corridas en el experimento puede ser de suma utilidad. Estas corridas pueden proporcionar una estimación preliminar de la variabilidad. Si la magnitud de la variabilidad parece razonable, se continúa; por otra parte, si la variabilidad observada es mayor que la anticipada (io que la razonable!), habrá que detenerse. Con frecuencia es muy provechoso estudiar la cuestión de por qué es tan grande la variabilidad antes de proceder con el resto del experimento. s. Generalmente, se utilizan puntos centrales cuando todos los factores del diseño son cuantitati· vos. Sin embargo, en ocasiones habrá una o más variables cualitativas o categóricas y varias cuan1. ~. , .•:•. . ,.!.. •. ~, . i '-1 '1 ¡I¡ :¡ '¡ CAPÍTULO 6 276 DISEÑO FACTORIAL 21< """'----=---+-:---....-----I I I I I I I I o I I I Eb I "\\e~"O o I I 1 I ~ I I I I I I ... --_ .... ---~--------------- Tipo de catalizador -------- Figura 6-37 Un diseño 23 con un factor cualitativo y puntos centrales. titativas. Sigue siendo posible emplear los puntos centrales en estos casos. Para ilustrar este punto, considere un experimento con dos factores cuantitativos, el tiempo y la temperatura, cada uno con dos niveles, y un solo factor cualitativo, el tipo de catalizador, también con dos niveles (orgánico e inorgánico). En la figura 6-37 se muestra el diseño 23 para estos factores. Observe que los puntos centrales se colocan en las caras opuestas del cubo que incluyen los factores cuantitativos. En otras palabras, los puntos centrales pueden correrse con las combinaciones de los tratamientos en los niveles alto y bajo de los factores cualitativos, siempre y cuando esos subespacios incluyan únicamente factores cuantitativos. 6~7 6-1. PROBLEMAS Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial 23 • Los resultados fueron los siguientes: A B C Combinación de tratamientos (1) + + + + 6-2. + + + + a b ab + + + + e ae be abe Réplica I II III 22 32 35 55 44 40 60 39 31 43 34 47 45 37 50 41 25 29 50 46 38 36 54 47 a) Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes? b) Usar el análisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a. e) Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento. d) Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente? e) Con base en el análisis de las gráficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuáles serían los niveles de A, B Y C que se recomendaría utilizar? Considere nuevamente el inciso e del problema 6-1. Utilizar el modelo de regresión para generar las gráficas de la superficie de respuesta y de contorno de la respuesta, la vida de la herramienta. Interpretar estas gráficas. ¿Ofrecen alguna idea respecto de las condiciones de operación deseables para este proceso? \\~ 11 1, 1:, 6-7 PROBLEMAS 6-3. 6-4. 6-5. Encontrar el error estándar de los efectos de los factores y aproximar los límites de confianza de 95% para los efectos de los factores en el problema 6-1. ¿Los resultados de este análisis concuerdan con las conclusiones del análisis de varianza? Representar los efectos de los factores del problema 6-1 en una gráfica relativa a una distribución t escalada apropiadamente. ¿En esta representación gráfica se identifican de manera adecuada los factores importantes? Comparar las conclusiones de esta gráfica con los resultados del análisis de varianza. Se usa una máquina para hacer ranuras de localización en una tarjeta de circuitos impresos. El nivel de vibración en la superficie de la tarjeta cuando se hacen las ranuras se considera una fuente principal de variación dimensional de las ranuras. Se piensa que dos factores influyen en la vibración: el tamaño de las ranuras (A) Y la velocidad de corte (E). Se seleccionan dos tamaños de las ranuras (kyt de pulgada) y dos velocidades (40 Y 90 rpm), y se hacen ranuras en cuatro tarjetas con cada conjunto de condiciones que se muestran abajo. La variable de respuesta es la vibración medida como el vector resultante de tres acelerómetros (x, y yz) en cada tarjeta de prueba. A E Combinación de tratamientos (1) + + 6-6. 6-7. 277 + + a b ab Réplica I II III 18.2 27.2 15.9 41.0 18.9 24.0 14.5 43.9 12.9 22.4 15.1 36.3 IV 14.4 22.5 14.2 39.9 a) Analizar los datos de este experimento. b) Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales, y graficar los residuales contra el nivel de vibración predicho. Interpretar estas gráficas. e) Hacer la gráfica de la interacciónAE. Interpretar esta gráfica. ¿Qué niveles del tamaño de las ranuras y la velocidad se recomendarían para la operación rutinaria? Considere nuevamente el experimento descrito en el problema 6-1. Suponga que el experimentador efectuó únicamente ocho ensayos de la réplica 1. Además, corrió cuatro puntos centrales y obtuvo los siguientes valores de la respuesta: 36, 40, 43, 45. a) Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos son grandes? b) Efectuar un análisis de varianza, incluyendo una verificación de la curvatura cuadrática pura. ¿A qué conclusiones se llega? e) Escribir un modelo apropiado para predecir la vida de la herramienta, con base en los resultados de este experimento. ¿Este modelo difiere en alguna forma sustancial del modelo del problema 6-1, inciso e? d) Analizar los residuales. e) ¿A qué conclusiones se llegaría acerca de las condiciones de operación apropiadas para este proceso? Se llevó a cabo un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso químico. Se seleccionaron cuatro factores y se corrieron dos réplicas de un experimento completamente aleatorizado. Los resultados se presentan en la tabla siguiente: Combinación de tratamientos Réplica I II (1) 90 74 81 83 77 81 88 73 a b ab e ae be abe 93 78 85 80 78 80 82 70 Combinación de tratamientos d ad bd abd ed aed bed abed Réplica I 98 72 87 85 99 79 87 80 II 95 76 83 86 90 75 84 80 278 6-8. CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL2k a) Estimar los efectos de los factores. b) Construir la tabla del análisis de varianza y determinar cuáles factores son importantes para explicar el rendimiento. e) Escribir un modelo de regresión para predecir el rendimiento, suponiendo que los cuatrc factores se hicieron variar en el rango de -1 a +1 (en unidades codificadas). d) Graficar los residuales contra el rendimiento predicho y en una escala de probabilidad normal. ¿El análisis residual parece ser satisfactorio? e) Dos interacciones de tres factores,ABCyABD, aparentemente tienen efectos grandes. Trazar una gráfica de cubo en los factores A, By C con los rendimientos promedio indicados en cada vértice. Repetir lo anterior utilizando los factores A, B y D. ¿Estas dos gráficas ayudan en la interpretación de los datos? ¿Dónde se recomendaría que se corriera el proceso con respecto a las cuatro variables? Un bacteriólogo está interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un virus particular. Realiza seis réplicas de un diseño 22, haciendo las corridas de manera aleatoria. Analizar los datos del crecimiento viral que se presentan enseguida y sacar las conclusiones apropiadas. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo. Medio de cultivo 2 Tiempo, h 12 18 6-9. 1 21 23 20 37 38 35 22 28 26 39 38 36 26 25 27 34 33 35 25 24 29 31 29 30 Un ingeniero industrial empleado por una compañía refresquera está interesado en los efectos de dos diferentes tipos de botellas de 32 onzas sobre el tiempo de entrega de cajas de 12 botellas del producto. Los dos tipos de botellas son de vidrio y de plástico. Se usan dos empleados para realizar una tarea que consiste en mover 40 cajas del producto 50 pies en una plataforma de carga estándar y acomodarlas en un estante de venta. Se hacen cuatro réplicas de un diseño factorial 22 y los tiempos observados se enlistan en la siguiente tabla. Analizar los datos y sacar las conclusiones apropiadas. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo. Empleado Tipo de botella Vidrio Plástico 6-10. 2 1 5.12 4.98 4.95 4.27 4.89 5.00 4.95 4.25 6.65 5.49 5.28 4.75 6.24 5.55 4.91 4.71 En el problema 6-9, el ingeniero también estuvo interesado en las diferencias en la fatiga potencial que resulta de los tipos de botellas. Como una medida de la cantidad de esfuerzo requerido, midió el aumento del ritmo cardiaco (pulso) inducido por la tarea. Los resultados se presentan a continuación. Analizar los datos y sacar conclusiones. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo. 6-7 PROBLEMAS 279 Empleado Tipo de botella Vidrio 39 58 44 42 Plástico 6-11. 6-12. 2 1 45 35 35 21 20 16 13 16 13 11 10 15 Calcular los límites de confianza aproximados para los efectos de los factores del problema 6-10. ¿Los resultados de este análisis concuerdan con el análisis de varianza realizado en el problema 6-10? En un artículo deAT&T Technical Joumal (vol. 65, pp. 39-50) se describe la aplicación de diseños factoriales de dos niveles en la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico del procesamiento es hacer crecer una capa epitaxial sobre obleas de silicio pulidas. Las obleas se montan en un susceptor, se colocan en el interior de una campana de cristal y se introducen vapores químicos. El susceptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial tiene el espesor suficiente. Se corrió un experimento utilizando dos factores: rapidez de flujo de arsénico (A) y tiempo de deposición (B). Se corrieron cuatro réplicas y se midió el espesor de la capa epitaxial (en !lm). Los datos se muestran a continuación: Niveles de factores Réplica A + + 6-13. 6-14. 6-15. B 1 II III IV + + 14.037 13.880 14.821 14.888 16.165 13.860 14.757 14.921 13.972 14.032 14.843 14.415 13.907 13.914 14.878 14.932 A B Bajo (-) 55% Alto (+) 59% Corto (10 min) Largo (15 min) a) Estimar los efectos de los factores. b) Conducir un análisis de varianza. ¿Qué factores son importantes? e) Escribir una ecuación de regresión que podría usarse para predecir el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizado en este experimento. d) Analizar los residuales. ¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación? e) Comentar la forma en que se podría resolver el punto atípico potencial encontrado en el inciso d. Continuación del problema 6-12. Usar el modelo de regresión del inciso e del problema 6-12 para generar una gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el espesor epitaxial. Suponga que es de importancia crítica obtener un espesor de la capa de 14.5!lm. ¿Qué ajustes de la velocidad de flujo del arsénico y del tiempo de deposición se recomendarían? Continuación del problema 6-13. ¿En qué forma cambiaría la respuesta dada en el problema 6-13 si la velocidad de flujo del arsénico fuera más difícil de controlar en el proceso que el tiempo de deposición? Se utiliza una aleación de níquel y titanio para fabricar componentes de los motores de turbina de aviones. La formación de fisuras es un problema potencialmente serio de las piezas terminadas, ya que pueden provocar fallas irreversibles. Se realiza una prueba de las piezas para determinar el efecto de cuatro factores sobre las fisuras. Los cuatro factores son la temperatura de vaciado (A),el contenido de titanio (B), el método de tratamiento térmico (C) y la cantidad de refinador de grano usada (D). Se hacen dos réplicas de un diseño 24 y se mide la longitud de las fisuras (en mm x 10-2) inducidas en un ejemplar de prueba de muestra sometido a una prueba estándar. Los datos se muestran en la siguiente tabla: '1 ff¡W'I' , \"~ ':\!, I I 280 DISEÑO FACTORIAL 2k CAPÍTULO 6 A B C D Combinación de tratamientos (1) a b ab + + + + + + + + + + + + + + + + e + + + + + + + + + + + + + + + + ae be abe d ad bd abd ed aed bed abed Réplica I II 7.037 14.707 11.635 17.273 10.403 4.368 9.360 13.440 8.561 16.867 13.876 19.824 11.846 6.125 11.190 15.653 6.376 15.219 12.089 17.815 10.151 4.098 9.253 12.923 8.951 17.052 13.658 19.639 12.337 5.904 10.935 15.053 a) Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos de los factores parecen ser grandes? b) Conducir un análisis de varianza. ¿Alguno de los factores afecta la formación de fisuras? Utilizar a = 0.05. Escribir un modelo de regresión que pueda usarse para predecir la longitud de las fisuras como una función de los efectos principales y las interacciones significativas que se han identificado en el inciso b. d) Analizar los residuales de este experimento. e) ¿Hay algún indicio de que alguno de los factores afecte la variabilidad de la formación de fisuras? f) ¿Qué recomendaciones se harían respecto de las operaciones del proceso? Utilizar gráficas de las interacciones y/o de los efectos principales como ayuda para sacar conclusiones. . Continuación del problema 6-15. Una de las variables del experimento descrito en el problema 6-15, el método de tratamiento térmico (C), es una variable categórica. Suponga que los demás factores son continuos. a) Escribir dos modelos de regresión para predecir la longitud de las fisuras, uno para cada nivel de la variable método de tratamiento térmico. ¿Qué diferencias, en caso de haberlas, se observan en estas dos ecuaciones? b) Generar las gráficas de contorno apropiadas de la superficie de respuesta para los dos modelos de re,gresión del inciso a. . e) ¿Qué conjunto de condiciones se recomendaría para los factoresA, By D si se utiliza el método de tratamiento térmico C = +? d) Repetir el inciso e suponiendo que quiere usarse el método de tratamiento térmico C = -. Un experimentador corre una sola réplica de un diseño 24• Se calcularon las siguientes estimaciones de los efectos: e) 6-16. 6-17. A = 76.95 B = -67.52 C = -7.84 D = -18.73 AB = -51.32 AC = 11.69 AD = 9.78 BC = 20.78 BD = 14.74 CD = 1.27 ABC = -2.82 ABD = -6.50 ACD = 10.20 BCD =-7.98 ABCD = -6.25 a) Construir una gráfica de probabilidad normal de estos efectos. b) Identificar un modelo tentativo, con base en la gráfica de los efectos del inciso a. " 6-7 PROBLEMAS 6-18. 281 En un artículo de Solid State Technology ("Diseño ortogonal para optimización de procesos y su aplicación en el grabado químico con plasma") se describe la aplicación de diseños factoriales en el desarrollo de un proceso de grabado químico con nitruros en un dispositivo de grabado químico con plasma para una sola oblea. El proceso usa ~F6 como gas de reacción. Cuatro factores son de interés: el entrehierro ánodo-cátodo (A), la presión en la cámara del reactor (B), el flujo del gas C 2F 6 (C) y la potencia aplicada al cátodo (D). La respuesta de interés es la rapidez de grabado para el nitruro de silicio. Se corre una sola réplica de un diseño 24 ; los datos se muestran enseguida: Número de Orden real de la corrida corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 8 12 9 4 15 16 3 1 14 5 10 A C D + + + + + + + + + + + + + + + 11 2 7 6 B + + + + + + + + + + + + + + + + + Rapidez de grabado Niveles de los factores Bajo (-) Alto (+) (Álrnin) 550 0.80 1.20 A (cm) 669 B (mTorr) 450 550 604 C (SCCM) 125 200 650 275 325 D(W) 633 642 601 635 1037 749 1052 868 1075 860 1063 729 a) Estimar los efectos de los factores. Considere una gráfica de probabilidad normal de los efectos de los 6-19. 6-20. 6-21. factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes? b) Efectuar un análisis de varianza para confirmar los resultados obtenidos en el inciso a. e) ¿Cuál es el.modelo de regresión que relaciona la rapidez de grabado con las variables significativas del proceso? d) Analizar los residuales de este experimento. Comentar la adecuación del modelo. e) Si no todos los factores son importantes, hacer la proyección del diseño 24 en un diseño 2k con le < 4 y conducir el análisis de varianza. f) Trazar gráficas para interpretar cualquier interacción significativa. g) Graficar los residuales contra el orden real de las corridas. ¿Qué problemas podrían ponerse de manifiesto en esta gráfica? Continuación del problema 6-18. Considere el modelo de regresión obtenido en el inciso e del problema 6-18. a) Construir las gráficas de contorno de la rapidez de grabado utilizando este modelo. b) Suponga que fuera necesario operar este proceso con una rapidez de 800 Álmin. ¿Cuáles serían los ajustes de las variables del proceso que se recomendarían? Considere la réplica única del diseño 24 del ejemplo 6-2. Suponga que se decidió arbitrariamente analizar los datos suponiendo que las interacciones de tres y cuatro factores eran insignificantes. Conducir este análisis y comparar los resultados con los que se obtuvieron en el ejemplo. ¿Piensa el lector que es una buena idea suponer de manera arbitraria que las interacciones son insignificantes incluso cuando sean de orden relativamente alto? Se realizó un experimento en una fábrica de semiconductores en un esfuerzo para incrementar el rendimiento. Se estudiaron cinco factores, cada uno con dos niveles. Los factores (y los niveles) fueron: A = ajuste de apertura (pequeña, grande), B = tiempo de exposición (20% abajo del nominal, 20% arriba del nominal), 282 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k e = tiempo de desarrollo (30 s, 45 s),D = tamaño de la máscara (pequeña, grande) y E = tiempo de grabado (14.5 min, 15.5 min). Se corrió el diseño 25 no replicado que se muestra a continuación. (1) = 7 a=9 b = 34 ab = 55 e = 16 ac = 20 be = 40 abe =60 d=8 ad = 10 bd = 32 abd = 50 cd = 18 aed = 21 bed = 44 abed = 61 e=8 ae = 12 be = 35 abe = 52 ce = 15 aee = 22 bee = 45 abee = 65 de = 6 ade = 10 bde = 30 abde = 53 cde = 15 aede = 20 bede = 41 abcde= 63 a) Construir una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. ¿Qué efectos parecen ser grandes? b) Efectuar un análisis de varianza para confirmar los resultados obtenidos en el inciso a. e) Escribir el modelo de regresión que relacione el rendimiento con las variables significativas del proceso. d) Graficar los residuales en papel probabilidad normal. ¿La gráfica es satisfactoria? e) Graficar los residuales contra los rendimientos predichos y contra cada uno de los cinco factores. Comentar las gráficas. 1) Interpretar cualquier interacción significativa. g) ¿Qué recomendaciones se harían respecto de las condiciones de operación del proceso? 11) Hacer la proyección del diseño 25 de este problema en un diseño 2k en los factores importantes. Esquematizar el diseño e indicar el promedio y el rango de los rendimientos en cada corrida. ¿Es de ayuda este esquema para interpretar los resultados de este experimento? 6-22. Continuación delproblema 6-21. Suponga que el experimentador corrió cuatro puntos centrales además de los 32 ensayos del experimento original. Los rendimientos obtenidos en las corridas de los puntos centrales fueron 68, 74, 76 y 70. a) Analizar de nuevo el experimento, incluyendo una prueba para la curvatura cuadrática pura. b) Comentar cuál sería el siguiente paso. 6-23. Se estudiaron cuatro factores, cada uno con dos niveles, en un estudio del rendimiento de un proceso: el tiempo (A), la concentración (B), la presión (C) y la temperatura (D). Se corrió una sola réplica de un diseño 24 y los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla: Número de Orden real de corrida la corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 9 8 13 3 7 14 1 6 11 2 15 4 16 10 12 A B e D Rendimiento (lbs) + + + + + + + + 12 18 13 16 17 15 20 15 10 25 13 24 19 21 17 23 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Niveles de los factores BajoH A (h) B (%) e (psi) DCC) 2.5 14 60 225 Alto (+) 3 18 80 250 ti 6-7 PROBLEMAS 6-24. 6-25. 283 a) Construir una gr~fica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. ¿Qué factores parecen tener efectos grandes? b) Efectuar un análisis de varianza utilizando la gráfica de probabilidad normal del inciso a como guía para formar el término del error. ¿A qué conclusiones se llega? e) Escribir un modelo de regresión que relacione el rendimiento con las variables importantes del proceso. d) Analizar los residuales de este experimento. ¿El análisis indica algún problema potencial? e) ¿Es posible plegar este diseño a un diseño 23 con dos réplicas? De ser así, esquematizar el diseño con el promedio y el rango del rendimiento indicados en cada punto del cubo. Interpretar los resultados. Continuación del problema 6-23. Usar el modelo de regresión del inciso e del problema 6-23 para generar una gráfica de contorno de la superficie de respuesta del rendimiento. Analizar el valor práctico de esta gráfica de superficie de respuesta. El experimento del brownie (pastelito) exquisito. El autor es un ingeniero hecho en la práctica y un firme creyente de aprender haciendo las cosas. Durante muchos años ha impartido el curso de diseño experimental a una amplia variedad de audiencias y siempre asigna la planeación, realización y análisis de un experimento real a los participantes de la clase. Los participantes parecen disfrutar esta experiencia práctica y siempre aprenden mucho de ella. En este problema se utilizan los resultados de un experimento realizado por Gretchen Krueger en la Universidad Estatal de Arizona. Existen muchas formas diferentes de hornear brownies. El propósito de este experimento fue determinar la forma en que el material del molde, la marca de la harina para brownies y el método de batido afectan la exquisitez de los brownies. Los niveles de los factores fueron: Factor A :=: material del molde B :=: método de batido e :=: marca de la harina BajoH Vidrio Cuchara Cara Alto (+) Aluminio Batidora Barata La variable de respuesta fue la exquisitez, una medida subjetiva derivada de un cuestionario aplicado a los sujetos que hicieron el muestreo de cada lote de brownies. (Este cuestionario incluía aspectos como el sabor, la apariencia, la consistencia, el aroma, etc.) Un panel de prueba integrado por ocho personas hizo el muestreo de cada lote y llenó el cuestionario. La matriz del diseño y los datos de la respuesta se presentan a continuación: Lote de brownies 1 2 3 4 5 6 7 8 Resultados del panel de prueba A + + + + B + + + + e 1 2 3 4 5 + + + + 11 15 9 16 10 12 10 15 9 10 12 17 11 13 12 12 10 16 11 15 15 14 13 15 10 14 11 12 8 13 10 13 11 12 11 13 6 9 7 12 6 109 11 13 8 13 7 12 7 8 8 6 11 11 9 14 17 9 9 15 12 11 14 9 13 14 a) Analizar los datos de este experimento como si se tratara de ocho réplicas de un diseño 23• Comentar los resultados. 284 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k ¿El análisis del inciso a es el enfoque correcto? Hay únicamente ocho lotes; ¿se tienen en realidad ocho réplicas de un diseño factorial 23 ? e) Analizar el promedio y la desviación estándar del puntaje de la exquisitez. Comentar los resultados. ¿Este análisis es más apropiado que el del inciso a? ¿Por qué sí o no? Se condujo un experimento en un proceso químico para producir un polímero. Los cuatro factores estudiados fueron la temperatura (A), la concentración del catalizador (B), el tiempo (C) y la presión (D). Se observaron dos respuestas, el peso molecular y la viscosidad. La matriz del diseño y los datos de la respuesta se presentan a continuación: b) 6·26. Número Orden real de de corrida las corridas A 1 18 2 9 + 3 13 4 8 + 5 3 6 11 + 7 14 8 17 + 9 6 10 7 + 11 2 12 10 + 13 4 14 19 + 15 15 16 20 + 17 1 O 18 5 O 19 16 O 20 12 O J~!~~: ~!~¡~~ ~:~:'::;l ·jl::: ~!~ ".";1' JI,:.. ~::.:' ji:;:: ::~!' n. l:: :1- ::: ji;· :3 6-27. B C D + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + O O O O O O O O O O O O + + Niveles de los factores Peso molecular Viscosidad 2400 2410 2315 2510 2615 2625 2400 2750 2400 2390 2300 2520 2625 2630 2500 2710 2515 2500 2400 2475 1400 1500 1520 1630 1380 1525 1500 1620 1400 1525 1500 1500 1420 1490 1500 1600 1500 1460 1525 1500 Bajo (-) A (oC) 100 4 B (%) 20 C (min) 60 D (psi) Alto (+) 120 8 30 75 a) Considere únicamente la respuesta del peso molecular. Graficar las estimaciones de los efectos en una escala de probabilidad normal. ¿Qué efectos parecen ser importantes? b) Usar un análisis de varianza para confirmar los resultados del inciso a. ¿Hay algún indicio de curvatura? e) Escribir un modelo de regresión para predecir el peso molecular como una función de las variables importantes. d) Analizar los residuos y comentar la adecuación del modelo. e) Repetir los incisos a-d utilizando la respuesta de la viscosidad. Continuación del problema 6-26. Utilizar los modelos de regresión del peso molecular y la viscosidad para res· ponder las preguntas siguientes. a) Construir una gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el peso molecular. ¿En qué dirección se ajustarían las variables del proceso a fin de incrementar el peso molecular? b) Construir una gráfica de contorno de la superficie de respuesta para la viscosidad. ¿En qué dirección se ajustarían las variables del proceso para disminuir la viscosidad? 6-7 PROBLEMAS 6-28. 6-29. e) ¿Qué condiciones de operación se recomendarían si fuera necesario producir un producto con peso molecular entre 2400 y 2500, Y con la viscosidad más baja posible? Considere una sola réplica del diseño 24 del ejemplo 6-2. Suponga que se hicieron cinco corridas de puntos en el centro (O, O, O, O) Yque se observaron las respuestas siguientes: 73, 75, 71, 69 Y76. Probar la curvatura en este experimento. Interpretar los resultados. Un valorfaltallte ellll1l diseñofactoria12 k • No es raro encontrar que falta una de las observaciones de un diseño 2k debido a un equipo de medición defectuoso, una prueba fallida, o alguna otra razón. Si el diseño se hace con n réplicas (n > 1), puede emplearse alguna de las técnicas estudiadas en el capítulo 5. Sin embargo, para un diseño factorial sin réplicas (n = 1) debe usarse otro método. Un enfoque lógico es estimar el valor faltante con un número que haga cero el contraste de la interacción de orden más alto. Aplicar esta técnica al experimento del ejemplo 6-2, suponiendo que falta la corrida abo Compare los resultados obtenidos con los del ejemplo 6-2. Un ingeniero realizó un experimento para estudiar el efecto de cuatro factores sobre la aspereza superficial de una pieza maquinada. Los factores (y sus niveles) sanA = ángulo de la herramienta (12, 15°), B = viscosidad del fluido de corte (300, 400), e = velocidad de alimentación (10, 15 pulg/min) y D = enfriador del fluido de corte usado (no, sí). Los datos de este experimento (con los factores codificados en los niveles usuales -1, + 1) se muestran a continuación. Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6-31. 285 A + + + + + + + + B + + + + + + + + e + + + + + + + + D Rugosidad superficial + + + + + + + + 0.00340 0.00362 0.00301 0.00182 0.00280 0.00290 0.00252 0.00160 0.00336 0.00344 0.00308 0.00184 0.00269 0.00284 0.00253 0.00163 a) Estimar los efectos de los factores. Representar las efectos de los factores en una gráfica de probabilidad normal y seleccionar un modelo tentativo. b) Ajustar el modelo identificado en el inciso a y analizar los residuales. ¿Hay algún indicio de que el modelo no sea adecuado? e) Repetir el análisis de los incisos a y b utilizando l/y como la variable de respuesta. ¿Hay algún indicio de que la transformación ha sido útil? d) Ajustar un modelo en términos de las variables codificadas que pueda usarse para predecir la rugosidad superficial. Convertir esta ecuación de predicción en un modelo en las variables naturales. La resistividad de una oblea de silicio está influida por varios factores. Los resultados de un experimento factorial 24 realizado durante un paso crítico del procesamiento se muestran en la tabla ~iguiente: 11 ,.1ft :( I~ , I~ i .!$ 1.4 ,¡ "~ji ~ i 1 286 CAPÍTULO 6 DISEÑO FACTORIAL 2k Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6-32. 6-33. 6-34. A + + + + + + + + B + + + + + + + + e + + + + + + + + D + + + + + + + + Resistividad 1.92 11.28 1.09 5.75 2.13 9.53 1.03 5.35 1.60 11.73 1.16 4.68 2.16 9.11 1.07 5.30 a) Estimar los efectos de los factores. Representar las efectos de los factores en una gráfica de probabilidad normal y seleccionar un modelo tentativo. b) Ajustar el modelo identificado en el inciso a y analizar los residuales. ¿Hay algún indicio de que el modelo no sea adecuado? e) Repetir el análisis de los incisos a y b utilizando In (y) como la variable de respuesta. ¿Hay algún indicio de que la transformación haya sido útil? d) Ajustar un modelo en términos de las variables codificadas que pueda usarse para predecir la resistividad. Continuación del problema 6-31. Suponga que el experimentador corrió también cuatro puntos centrales junto con las 16 corridas del problema 6-31. Las mediciones de la resistividad en los puntos centrales son: 8.15, 7.63, 8.95 y 6.48. Analizar de nuevo el experimento incorporando los puntos centrales. ¿Qué conclusiones pueden sacarse ahora? Es frecuente usar el modelo de regresión ajustado de un diseño factoria12 k para hacer predicciones en puntos de interés del espacio del diseño. a) Encontrar la varianza de la respuesta predicha y en un punto Xl' Xz, .•• , Xk del espacio del diseño. Sugerencia: recuerde que lasx están codificadas, y suponga un diseño 2k con el mismo número de réplicas n en cada punto del diseño, de tal modo que la varianza de un coeficiente de regresión /3 sea aZ/(n2k ) y que la covarianza entre cualquier par de coeficientes de regresión sea cero. b) Usar el resultado del inciso a para encontrar la ecuación de un intervalo de confianza de 100(1- a) por ciento para la verdadera respuesta media en el punto Xl' Xz, .•• , Xk del espacio del diseño. Modelosjerárquicos. Se ha usado varias veces el principio de jerarquía para seleccionar un modelo; es decir, se han incluido términos de orden inferior no significativos en un modelo porque eran factores que estaban incluidos en términos de orden superior significativos. Ciertamente, la jerarquía no es un principio absoluto que deba seguirse en todos los casos. Para ilustrar esto, considere el modelo que resultó en el problema 6-1, el cual requirió que se incluyera un efecto principal no significativo para respetar la jerarquía. Utilizar los datos del problema 6-1. a) Ajustar el modelo jerárquico y el modelo no jerárquico. b) Calcular el estadístico PRESS, la RZ ajustada y el cuadrado medio del error para ambos modelos. e) Encontrar un intervalo de confianza de 95 % para la estimación de la respuesta media en el vértice de un cubo (Xl = X z = x 3 = ±1). Sugerencia: usar los resultados del problema 6-33. d) Con base en los análisis que se han realizado, ¿qué modelo preferiría el lector? Formación de bloques y confusión en el diseño factorial 2k 7,1 INTRODUCCIÓN Hay múltiples situaciones en las que es imposible efectuar todas las corridas de un experimento factorial 2k bajo condiciones homogéneas. Por ejemplo, un lote de materia prima podría no ser suficiente para hacer todas las corridas requeridas. En otros casos, podría ser conveniente modificar deliberadamente las condiciones experimentales para asegurar que los tratamientos tengan la misma efectividad (es decir, que sean robustos) en diversas situaciones que es posible encontrar en la práctica. Por ejemplo, un ingeniero químico puede correr un experimento en una planta piloto con varios lotes de materia prima porque sabe que en el proceso real a gran escala posiblemente se usarán diferentes lotes de materia prima con diversos grados de calidad. La técnica de diseño utilizada en estas situaciones es la formación de bloques. Este capítulo se enfoca en algunas técnicas especiales para separar en bloques un diseño factorial 2k • 7,2 FORMACIÓN DE BLOQUES DE UN DISEÑO FACTORIAL 2k CON RÉPLICAS Suponga que se han corrido n réplicas del diseño factoria12k • Esta situación es idéntica a la que se estudió en el capítulo 5, donde se indicó cómo correr un diseño factorial general en bloques. Si hay n réplicas, entonces cada conjunto de condiciones no homogéneas define un bloque, y cada réplica se corre en uno de los bloques. Las corridas de cada bloque (o réplica) se harían de manera aleatoria. El análisis del diseño Tabla 7-1 Experimento del proceso químico en tres bloques Totales de los bloques Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 (1) = 28 a = 36 b = 18 ab = 31 (1) = 25 (1) a b ab B l = 113 B 2 = 106 a = 32 b = 19 ab = 30 = 27 = 32 = 23 = 29 B 3 = 111 287 288 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 21< Tabla 7-2 Análisis de varianza del experimento del proceso químico en tres bloques Fuente de variación Bloques A (concentración) B (catalizador) AB Error Total Suma de cuadrados 6.50 208.33 75.00 8.33 24.84 323.00 Grados de libertad 2 1 1 1 6 11 Cuadrado medio 3.25 208.33 75.00 8.33 4.14 Valor P 50.32 18.12 2.01 0.0004 0.0053 0.2060 es similar al de cualquier experimento factorial separado en bloques; por ejemplo, véase la revisión de la sección 5-6. EJEMPLO 7 ~ 1 . Considere el experimento del proceso químico que se describió en la sección 6-2. Suponga que sólo pueden hacerse cuatro ensayos experimentales con un solo lote de materia prima. Por lo tanto, se necesitarán tres lotes de materia prima para correr las tres réplicas de este diseño. En la tabla 7-1 se muestra el diseño donde cada lote de materia prima corresponde a un bloque. En la tabla 7-2 se muestra el análisis de varianza de este diseño separado en bloques. Todas las sumas de cuadrados se calculan exactamente igual que en un diseño 2k estándar sin formación de bloques. La suma de cuadrados de los bloques se calcula a partir de los totales de los bloques. Sea que Bl> B 2 YB 3 representen los totales de los bloques (ver la tabla 7-1). Entonces 3 SS Bloques B¡2 y.~ = L 4-12 1=1 = (113)2 +(106)2 +(111)2 4 (330)2 12 = 6.50 Hay dos grados de libertad entre los tres bloques. La tabla 7-2 indica que las conclusiones de este análisis, si el diseño se hubiera corrido en bloques, son idénticas a las de la sección 6-2 y que el efecto de los bloques es relativamente pequeño. 7~3 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2 k Hay muchos problemas en los que es imposible realizar una réplica completa de un diseño factorial en un bloque. La confusión (o mezclado) es una técnica de diseño mediante la cual un experimento factorial completo se distribuye en bloques, donde el tamaño del bloque es menor que el número de combinaciones de los tratamientos de una réplica. La técnica hace que la información acerca de ciertos efectos de los tratamientos (por lo general las interacciones de orden superior) sea indistinguible de los bloques o esté confundida con los bloques. En este capítulo la atención se centra en los sistemas de confusión (o mezclado) para el diseño factorial 2k • Observe que aun cuando los diseños que se presentan son diseños de bloques incompletos, ya que cada bloque no contiene todos los tratamientos o las combinaciones de los tratamientos, la estructura especial del sistema factorial2 k permite un método de análisis simplificado. Se considera la construcción y el análisis del diseño factorial 2k en 2P bloques incompletos, donde p < k. Por consiguiente, estos diseños pueden correrse en dos bloques, en cuatro bloques, en ocho bloques, etcétera. 1 7·4 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN DOS BLOQUES 289 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2'< EN DOS BLOQUES suponga que quiere correrse una sola réplica del diseño 22 • Cada una de las 22 = 4 combinaciones de los tratamientos requiere una cantidad de materia prima, por ejemplo, y cada lote de materia prima sólo alcanza para probar dos combinaciones de tratamientos. Por lo tanto, se necesitan dos lotes de materia prima. Si los lotes de materia prima se consideran como bloques, entonces deben asignarse a cada bloque dos de las cuatro combinaciones de tratamientos. En la figura 7-1 se muestra uno de los diseños posibles para este problema. La vista geométrica, figura 7-1a, indica que las combinaciones de tratamientos localizadas en diagonales opuestas se asignan a bloques diferentes. Observe, por la figura 7-1b, que el bloque 1 contiene las combinaciones de los tratamientos (1) Yab y que el bloque 2 contiene-a y b. Desde luego, el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos dentro de un bloque se determina aleatoriamente. Thmbién se decidirá aleatofiamente cuál de los bloques se correrá primero. Suponga que los efectos principales deA y B se estiman como si no se hubiera hecho la formación de bloques. Por las ecuaciones 6-1 y 6-2 se obtiene A = t[ab+a- b- (1)] B = t[ab+b- a- (1)] Observe que niA ni B son afectados por la formación de bloques, debido a que en cada estimación hay una combinación de un tratamiento positivo y uno negativo de cada bloque. Es decir, cualquier diferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 se cancela. Considere ahora la interacción AB AB= Hab+(l)-a-b] Puesto que las dos combinaciones de tratamientos con signo positivo [ab y (1)] están en el bloque 1 y las dos con signo negativo (a y b) están en el bloque 2, el efecto de los bloques y la interacciónAB son idénticos. Es decir, AB está confundido (o mezclado) con los bloques. La razón de esto es evidente en la tabla de signos positivos y negativos del diseño 22 • Se presentó originalmente en la tabla 6-2, pero por conveniencia se repite como la tabla 7-3. A partir de esta tabla se observa que todas las combinaciones de tratamientos que tienen signo positivo para AB se asignan al bloque 1, +0------. I i! • ~ Corrida en el bloque 1 O ~ Corrida en el bloque 2 B + A a) Vista geométrica Bloque 1 Bloque 2 rml [JJ L:J b) Asignación de las cuatro corridas en dos bloques Figura 7-1 Diseño 22 en dos bloques. 290 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2" Tabla 7-3 Tabla de signos positivos y negativos para el diseño 22 Combinación de tratamientos Efecto factorial A 1 + + + + (1) a b ab + + B AB + + + + mientras que todas las combinaciones de tratamientos que tienen signo negativo para AB se asignan al bloque 2. Este enfoque puede usarse para confundir o mezclar cualquier efecto (A, B o AB) con los bloques. Por ejemplo, si (1) Yb se hubieran asignado al bloque 1 ya yab al bloque 2, el efecto principal deA se habría confundido con los bloques. La práctica usual es confundir la interacción de orden más alto con los bloques. Este esquema puede usarse para confundir o mezclar cualquier diseño 2k en dos bloques. Como un segundo ejemplo, considere un diseño 23 que se corre en dos bloques. Suponga que se quiere confundir la interacción de los tres factoresABC con los bloques. Por la formación de signos positivos y negativos de la tabla 7-4, las combinaciones de tratamientos que son negativas paraABC se asignan al bloque 1 y las que son positivas paraABC al bloque 2. El diseño resultante se muestra en la figura 7-2. De nueva cuenta se resalta que las combinaciones de tratamientos dentro de un bloque se corren de manera aleatoria. Otros métodos para construir bloques Se cuenta con otro método para construir estos diseños. El método utiliza la combinación lineal (7-1) dondex¡ es el nivel del factor i-ésimo que aparece en una combinación de tratamientos particular y a¡ es el exponente que aparece en el factor i-ésimo para el efecto que va a confundirse. Para el sistema 2\ se tiene a¡= O01 yx¡ = O(nivel bajo) ox¡ = 1 (nivel alto). Ala ecuación 7-1 se le llama la definición de contrastes. Las combinaciones de tratamientos que producen el mismo valor de L (mod 2) se colocarán en el mismo bloque. Puesto que los únicos valores posibles deL (mod 2) son Oy 1, con esto las 2k combinaciones de tratamientos se asignarán a exactamente dos bloques. Tabla 7-4 Tabla de signos positivos y negativos para el diseño 23 Combinación de tratamientos (1) a b ab e ae be abe Efecto factorial 1 + + + + + + + + A + + + + B AB C + + + + + + + + AC BC + + + + + + + + ABC + + + + + + + + " 7-4 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN DOS BLOQUES 291 • = Corrida en el bloque 1 O = Corrida en el bloque 2 I I I / &--- / / el¿ A al Vista geométrica Bloque 1 Bloque 2 (1) a ab b ae e be abe b) Asignación de las ocho corridas en dos bloques Figura 7-2 El diseño 23 en do~ bloques conABC confundido. Para ilustrar este enfoque, considere un diseño 23 conABC confundido con los bloques. En este caso, Xl corresponde aA,x z aB,x3 a Cy al = a z = a 3 = 1. Por lo tanto, la definición del contraste correspondiente aABC es ¡\ I L= Xl +x z +x3 La combinación de tratamientos (1) se escribe 000 en la notación (O, 1); por lo tanto, L= 1(0)+1(0)+1(0)= 0= O (mod 2) De manera similar, la combinación de tratamientos a es 100, obteniéndose L= 1(1)+1(0)+1(0)= 1= 1 (mod 2) Por lo tanto, (1) ya se correrían en bloques diferentes. Para el resto de las combinaciones de tratamientos se tiene b: L= 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (mod 2) ab: L= 1(1)+1(1)+1(0)= 2= O (mod 2) e: L= 1(0)+1(0)+1(1) = 1 = 1 (mod 2) ae: L= 1(1)+1(0)+1(1)= 2= O (mod 2). be: L= 1(0)+1(1)+1(1)= 2= O (mod 2) abe: L= 1(1)+1(1)+1(1)= 3= 1 (mod 2) Por lo tanto, (1), ab, ae y be se corren en el bloque 1 ya, b, e yabe se corren en el bloque 2. Se trata del mismo diseño que se ilustró en la figura 7-2, el cual se generó con la tabla de signos positivos y negativos. Puede usarse otro método para construir estos diseños. Al bloque que contiene la combinación de tratamientos (1) se le llama el bloque principal. Las combinaciones de los tratamientos incluidas en este bloque poseen una útil propiedad de la teoría de grupos; a saber, forman un grupo con respecto a la mu1ti- I 1 292 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2" plicación módulo 2. Esto implica que cualquier elemento [con excepción de (1)] del bloque principal pue. de generarse multiplicando otros dos elementos del bloque principal módulo 2. Por ejemplo, considere el bloque principal del diseño 23 conABC confundido, como se muestra en la figura 7-2. Observe que ab'ae= a 2 be= be ab .be = ab 2 e = ae ae .be = abe 2 = ab Las combinaciones de tratamientos del otro bloque (o bloques) pueden generarse multiplicando uno de los elementos del nuevo bloque por cada uno de los elementos del bloque principal módulo 2. Para el di· seña 23 conABC confundido, puesto que el bloque principal es (1), ab, ae y be, se sabe que b está en el otro bloque. Por lo tanto, los elementos de este segundo bloque son b'(l) =b b'ab= ab b'ae 2 =a = abe 2 b'be=b e=e Estos resultados concuerdan con los que se obtuvieron anteriormente. Estimación del error Cuando el número de variables es pequeño, por ejemplo k = 2 o 3, por lo general es necesario hacer réplicas del experimento a fin de obtener una estimación del error. Por ejemplo, suponga que un diseño factorial 23 debe correrse en dos bloques con ABC confundido, y el experimentador decide hacer cuatro réplicas del diseño. El diseño resultante podría verse como el de la figura 7-3. Observe queABC está confundido en cada réplica. En la tabla 7-S se muestra el análisis de varianza de este diseño. Hay 32 observaciones y 31 grados de libertad. Además, puesto que hay ocho bloques, siete grados de libertad deben asociarse con estos bloques. En la tabla 7-S se presenta la descomposición de esos siete grados de libertad. La suma de cuadrados del error se compone en realidad de las interacciones de dos factores entre las réplicas, y cada uno de los efectos (A, B, C, AB, AC, BC). Por lo general es seguro considerar que las interacciones son cero y tratar el cuadrado medio resultante como una estimación del error. Los efectos principales y las interacciones de dos factores se prueban contra el cuadrado medio del error. Cochran y COX [2Sb] hacen notar que el cuadrado medio del bloque oABC podría compararse con el error del cuadrado medioABC, que es en realidad réplicas x bloques. Esta prueba suele tener una sensibilidad muy baja. Si se cuenta con recursos suficientes para hacer réplicas de un diseño confundido, por lo general es mejor usar un método ligeramente diferente para diseñar los bloques en cada réplica. Este enfoque consiste en confundir un efecto diferente en cada réplica para obtener cierta información sobre todos los Réplica IV Réplica [[[ Réplica 1I Réplica [ Bloque 1 Bloque 2 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 1 Bloque 2 (1) abe (1) abe (1) abe (1) abe a ae a ae a b ab b e be e ae ab be Figura 7-3 a b ae ab be b e ab be Cuatro réplicas del diseño 23 con ABe confundido. 7-4 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2" EN DOS BLOQUES Tabla 7-5 293 Análisis de varianza de cuatro réplicas de un diseño 23 con ABe confundido Fuente de variación Réplicas Bloques (ABC) Error deABC (réplicas x bloques) A B C AB AC BC Error (o réplicas x efectos) Total Grados de libertad 3 1 3 1 1 1 1 1 1 18 31 efectos. A este procedimiento se le llama confusión (o mezclado) parcial, y se estudia en la sección 7-7. Si k es moderadamente grande, por ejemplo k ;:: 4, con frecuencia sólo es posible hacer una réplica. El experimentador suele suponer que las interacciones de órdenes superiores son insignificantes y combina sus sumas de cuadrados como el error. La gráfica de probabilidad normal de los efectos de los factores puede ser muy útil a este respecto. EJEMPLO 7,2 . Considere la situación descrita en el ejemplo 6-2. Recuerde que se estudian cuatro factores-la temperatura (A), la presión (B), la concentración de formaldehído (C) y la velocidad de agitación (D)- en una planta piloto para determinar su efecto sobre el índice de filtración del producto. Se usará este experimento para ilustrar las ideas de la formación de bloques y la confusión en un diseño no replicado. Se introducirán dos modificaciones al experimento original. Primera, suponga que no es posible correr las 24 = 16 combinaciones de tratamientos utilizando un solo lote de materia prima. El experimentador puede correr ocho combinaciones de los tratamientos con un solo lote de material, por lo que un diseño 24 confundido en dos bloques parece apropiado. Es lógico confundir la interacción de orden más alto ABCD con los bloques. La definición del contraste es . y es sencillo verificar que el diseño es como el que se ilustra en la figura 7-4. De manera alternativa, puede examinarse la tabla 6-12 y observar que las combinaciones de los tratamientos que son + en la columna ABCD se asignan al bloque 1 y que las que son - en la columna ABCD, están en el bloque 2. La segunda modificación que se hará es introducir un efecto de los bloques para que pueda demostrarse la utilidad de la formación de bloques. Suponga que cuando se seleccionan los dos lotes de materia prima que se necesitan para correr el experimento, uno de ellos es de calidad mucho más baja y, como resultado, todas las respuestas serán 20 unidades menores en este lote de material que en el otro. El lote de calidad menor se convierte en el bloque 1y el lote de buena calidad se convierte en el bloque 2 (no es relevante a cuál de los dos lotes se le llama bloque 1 o bloque 2). Entonces todas las pruebas del bloque 1 se realizan primero (las ocho corridas del bloque se hacen, desde luego, de manera aleatoria), pero las respuestas son 20 unidades más bajas que las que se habrían obtenido si se hubiera usado el material de buena calidad. En la figura 7-4b se muestran las respuestas resultantes; observe que éstas se han encontrado rt 1.'- j ·1, li I I I . . .•. . . •. r '.:' r~ " 294 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 21< D + • = Corridas en el bloque 1 o = Corridas en el bloque 2 eL¿ A a) Vista geométrica Bloque 1 Bloque 2 (1) = 25 a = 71 b=48 e = 68 d=43 abe = 65 bed = 70 aed =86 abd = 104 ab=45 ae=40 bc = 60 ad=80 bd=25 ed= 55 abed = 76 b) Asignación de las 16 corridas en los dos bloques Figura 7·4 El diseño 2 en dos bloques para el ejemplo 7-2. 4 restando el efecto del bloque de las observaciones originales dadas en el ejemplo 6-2. Es decir, la respuesta original de la combinación de tratamientos (1) fue 45, Yen la figura 7-4b se consigna como (1) == 25 (== 45 - 20). Las demás respuestas de este bloque se obtienen de manera similar. Después de que se realizan las pruebas del bloque 1, se prosigue con las ocho pruebas del bloque 2. No hay ningún problema con la materia prima de este lote, por lo que las respuestas son exactamente como fueron originalmente en el ejemplo 6-2. En la tabla 7-6 se muestran las estimaciones de los efectos para esta versión "modificada" del ejemplo 6-2. Observe que las estimaciones de los cuatro efectos principales, de las seis interacciones de dos factores y de las cuatro interacciones de tres factores son idénticas a las estimaciones de los efectos obtenidas en el ejemplo 6-2, donde no hubo ningún efecto de bloques. Cuando se construye una gráfica de probabilidad normal de estas estimaciones de los efectos, los factoresA, C, D y las interaccionesAC y AD aparecen como los efectos importantes, justo como en el experimento original. (El lector deberá verificar esto.) ¿Qué puede decirse del efecto de la interacciónABCD? La estimación de este efecto en el experimento original (ejemplo 6-2) fueABCD == 1.375. En el presente ejemplo, la estimación del efecto de la interacciónABCD esABCD == -18.625. Puesto queABCD está confundido con los bloques, la interacción ABCD estima el efecto de la interacción original (1.375) más el efecto de bloque (-20), de dondeABCD == 1.375 + (-20) == -18.625. (¿Puede el lector ver por qué el efecto del bloque es -20?) El efecto del bloque " 7-4 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN DOS BLOQUES Tabla 7-6 Estimaciones de los efectos para el diseño ejemplo 7-2 Término del modelo Coeficiente de regresión A B C D AB AC BC BD CD ABC ABD ACD BCD Bloques (ABCD) 295 del Estimación del efecto Suma de cuadrados Contribución porcentual 21.625 3.125 9.875 14.625 0.125 -18.125 16.625 2.375 -0.375 -1.125 1.875 4.125 -1.625 -2.625 -18.625 1870.5625 39.0625 390.0625 855.5625 0.0625 1314.0625 1105.5625 22.5625 0.5625 5.0625 14.0625 68.0625 10.5625 27.5625 1387.5625 26.30 0.55 5.49 12.03 <0.01 18.48 15.55 0.32 <0.01 0.07 0.20 0.96 0.15 0.39 19.51 10.81 1.56 4.94 7.31 0.062 -9.06 8.31 1.19 -0.19 -0.56 0.94 2.06 -0.81 -1.31 AD 24 separado en bloques también puede calcularse directamente como la diferencia en la respuesta promedio entre los dos bloques, o Efecto del bloque = YBloque 1 - YBloque 2 406 555 --8 8 -149 8 = -18.625 Desde luego, este efecto es en realidad la estimación de Bloques + ABCD. En la tabla 7-7 se resume el análisis de varianza de este experimento. Los efectos que tienen estimaciones grandes están incluidos en el modelo, y la suma de cuadrados de los bloques es ss = (406)2 +(555)2 Bloques Tabla 7-7 Bloques (ABCD) A C D AC Error Total (961)2 16 = 1387.5625 Análisis de varianza del ejemplo 7-2 Fuente de variación AD 8 Suma de cuadrados 1387.5625 1870.5625 390.0625 855.5625 1314.0625 1105.5625 187.5625 7111.4375 Grados de libertad 1 1 1 1 1 1 9 15 Cuadrado medio 1870.5625 390.0625 855.5625 1314.0625 1105.5625 20.8403 Fo Valor P 89.76 18.72 41.05 63.05 53.05 <0.0001 0.0019 0.0001 <0.0001 <0.0001 ~T ,', ., . .... . ~. .. ;".1 I .\ 296 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2k Las conclusiones de este experimento coinciden exactamente con las del ejemplo 6-2, donde no estuvo presente ningún efecto de bloques. Observe que si el experimento no se hubiera corrido en bloques, y si un efecto de magnitud -20 hubiera afectado los 8 primeros ensayos (los cuales se habrían seleccionado de manera aleatoria, ya que los 16 ensayos se habrían corrido en orden aleatorio en un diseño sin formación de bloques), los resultados pudieron haber sido muy diferentes. ........................................................................ . 7~5 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2" EN CUATRO BLOQUES Es posible construir diseños factoriales 2k confundidos en cuatro bloques con 2k - z observaciones cada uno. Estos diseños son particularmente útiles en situaciones en las que el número de factores es moderadamente grande, por ejemplo k 2: 4, Y el tamaño de los bloques es relativamente pequeño. Como un ejemplo, considere el diseño 2s . Si cada bloque incluirá únicamente ocho corridas, entonces deberán usarse cuatro bloques. La construcción de este diseño es relativamente directa. Se seleccionan dos efectos para confundirlos con los bloques, por ejemploADE y BCE. Estos efectos tienen las dos definiciones de contrastes L¡ = x¡ +x 4 +x s L z = X z +x 3 +x s asociadas con ellos. Entonces cada combinación de tratamientos producirá un par particular de valores deL¡ (mod 2) yL z (mod 2), es decir,.cualquiera de (L¡, L z) = (O, O), (O, 1), (1, O) o bien (1,1). Las combinaciones de tratamientos que producen los mismos valores de (L¡, L z) se asignan al mismo bloque. En el ejemplo tratado aquí se encuentra L¡ = O, Lz = O T =1' Z L =0 .L.J¡ = O, Lz = 1 L¡ = 1, L z = 1 L¡ (1), ad, be, abed, abe, aee,! ede, bde para a,d,abe, bed,be,abde, ee,aede para b,abd,e,aed,ae, de, abee, bede para e,ade, bee, abede, ab,bd,ae, ed para Estas combinaciones de tratamientos se asignarían a bloques diferentes. En la figura 7-5 se muestra el diseño completo. Con un poco de reflexión, nos damos cuenta de que otro efecto además deADE y BCE debe confundirse con los bloques. Puesto que hay cuatro bloques con tres grados de libertad entre ellos, y puesto que ADE y BCE tienen un solo grado de libertad cada una, es evidente la necesidad de confundir un efecto adicional con un grado de libertad. Este efecto es la interacción generalizada deADE y BCE, la cual se Bloque 1 Bloque 2 L, =0 L 2 =O L = 1. L 2 =O , Bloque 3 L, L2 =O =1 Bloque 4 L, L2 =1 =1 (1) abe a be b abee ad ace d abde abd ae be ede abe ce e bede bee ae aed de ab ed abed bde bed aede e abede ade bd Figura 7·5 El diseño 25 en cuatro bloques conADE, BCE y ABCD confundidos. 7-6 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN 2» BLOQUES 297 define como el producto deADE y BCE módulo 2. Por lo tanto, en el ejemplo tratado aquí la interacción generalizada (ADE)(BCE) =ABCDE2 =ABCD también está confundido con los bloques. Es sencillo verificar esto refiriéndose a la tabla de signos positivos y negativos del diseño 25, como en Davies [36]. La inspección de esta tabla revela que las combinaciones de los tratamientos se asignan a los bloques de la siguiente manera: Combinaciones de los tratamientos en el SignodeADE Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Signo de BCE Signo deABCD + + + + + + Observe que el producto de los signos de dos efectos cualesquiera de un bloque particular (por ejemplo ADE y BCE) produce el signo del otro efecto de ese bloque (en este caso, ABCD). Por lo tanto, ADE, BCE y ABCD están confundidos con los bloques. Las propiedades de la teoría de grupos del bloque principal mencionadas en la sección 7-4 siguen siendo válidas. Por ejemplo, se observa que el producto de dos combinaciones de tratamientos del bloque principal produce otro elemento del bloque principal. Es decir, ad . be = abed y abe' bde = ab 2 de 2 = ad etcétera. Para construir otro bloque se selecciona una combinación de tratamientos que no esté en el bloque principal (por ejemplo b), Yb se multiplica por todas las combinaciones de tratamientos del bloque principal. Se obtiene así b ·(1)= b b'ad= abd b 'abed = ab 2 ed = aed etcétera, lo que producirá las ocho combinaciones de tratamientos del bloque 3. En la práctica, el bloque principal puede obtenerse a partir de la definición de contrastes y de la propiedad de la teoría de grupos, y los demás bloques pueden determinarse a partir de estas combinaciones de los tratamientos aplicando el método que se presentó anteriormente. El procedimiento general para construir un diseño 2k confundido en cuatro bloques consiste en elegir dos efectos para generar los bloques, confundiéndose automáticamente un tercer efecto que es la interacción generalizada de las dos primeras. Después se construye el diseño utilizando las dos definiciones de contrastes (L 1, L 2 ) Ylas propiedades de la teoría de grupos del bloque principal. Al seleccionar los efectos que van a confundirse con los bloques, debe tenerse cuidado de obtener un diseño en el que no estén confundidos efectos que pueden ser de interés. Por ejemplo, en un diseño 25 podría elegirse confundir ABCDE y ABD, con lo cual se confunde automáticamente CE, un efecto que es de posible interés. Una mejor elección es confundir ADE y BCE, con lo cual se confunde automáticamenteABCD. Es preferible sacrificar información en las interacciones de tres factoresADE y BCE en lugar de la interacción de dos factores CE. 7·6 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2 k EN 2 P BLOQUES Los métodos descritos antes pueden extenderse a la construcción de un diseño factoria12k confundido (o mezclado) en 2P bloques (p < k), donde cada bloque contiene exactamente 2k- p corridas. Se seleccionan p efectos independientes que van a confundirse, donde por "independientes" se entiende que ninguno de los efectos elegidos es la interacción generalizada de los demás. Los bloques pueden generarse mediante ...~ V1Y.tn~Pt'íff:L:TI. ~.{ Iiiltfji:HuKIñ - - - ..... '!i! 'o...S'lIut.l - --------- M~) ~ ~ - -·H;:; '!"'l:; ¡ N \O C1J Tabla 7-8 Disposiciones de los bloques sugeridas para el diseño factorial 21< Número de factores, k Número de bloques,2P Tamaño del bloque, 2k-p 3 2 4 4 2 AB,AC AB,AC,BC 4 2 8 ABCD ABCD 5 6 7 Efectos elegidos para generar los bloques ABC Interacciones confundidas con los bloques ABC 4 4 ABC,ACD ABC,ACD,BD 8 2 AB, Be, CD AB, BC, CD, AC, BD, AD, ABCD 2 16 ABCDE ABCDE 4 8 ABC, CDE ABC, CDE, ABDE 8 4 ABE, BCE, CDE ABE, BCE, CDE, AC, ABCD, BD, ADE 16 2 AB, AC, CD, DE Todas las interacciones de dos y cuatro factores (15 efectos) 2 32 ABCDEF ABCDEF 4 16 ABCF, CDEF ABCF, CDEF, ABDE 8 8 ABEF, ABCD, ACE ABEF, ABCD, ACE, BCF, BDE, CDEF, ADF 16 4 ABF, ACF, BDF, DEF ABE, ACF, BDF, DEF, BC, ABCD, ABDE, AD, ACDE, CE, BDF, BCDEF, ABCEF, AEF, BE 32 2 AB, Be, CD, DE, EF Todas las interacciones de dos, cuatro y seis factores (31 efectos) 2 64 ABCDEFG ABCDEFG 4 32 ABCFG, CDEFG ABCFG, CDEFG, ABDE 8 16 ABC, DEF, AFG ABC, DEF, AFG, ABCDEF, BCFG, ADEG, BCDEG 16 8 ABCD, EFG, CDE, ADG ABCD, EFG, CDE, ADG, ABCDEFG, ABE, BCG, CDFG, ADEF, ACEG, ABFG, BCEF, BDEG, ACF, BDF 32 4 ABG, BCG, CDG, DEG, EFG ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, AC, BD, CE, DF, AE, BE, ABCD, ABDE, ABEF, BCDE, BCEF, CDEF, ABCDEFG, ADG, ACDEG, ACEFG, ABDFG, ABCEG, BEG, BDEFG, CFG, ADEF, ACDF, ABCF,AFG 64 2 AB, Be, CD, DE, EF, FG Todas las interacciones de dos, cuatro y seis factores (63 efectos) 7-7 CONFUSIÓN PARCIAL 299 el uso de las p definiciones de contrastes L 1, L 2 , ••• , L p asociadas con estos efectos. Asimismo, se confundi.rán otros 2P - P -1 efectos con los bloques, siendo éstos las interacciones generalizadas de los p efectos independientes elegidos inicialmente. Deberá tenerse cuidado al seleccionar los efectos que van a confundirse para que no se sacrifique información sobre los efectos que pueden ser de interés potencial. El análisis estadístico de estos diseños es directo. Las sumas de cuadrados de todos los efectos se calculan como si no se hubiera hecho la formación de bloques. Después, la suma de cuadrados de los bloques se encuentra sumando las sumas de cuadrados de todos los efectos confundidos con los bloques. Obviamente, la elección de los p efectos usados para generar el bloque es crítica, ya que la estructura de la confusión (o mezclado) del diseño depende directamente de ellos. En la tabla 7-8 se presenta una lista de diseños útiles. Para ilustrar el uso de esta tabla, suponga que quiere construirse un diseño 26 confundido en 23 = 8 bloques con 23 = 8 corridas cada uno. La tabla 7-8 indica que se elegiríanABEF, ABCD . yACE como los p = 3 efectos independientes para generar los bloques. Los 2f' - p -1 = 23 - 3 -1 = 4 efectos restantes que están confundidos son las interacciones generalizadas de estos tres; es decir, (ABEF)(ABCD) = A 2 B 2 CDEF= CDEF (ABEF)(ACE) = A 2 BCE 2 F= BCF (ABCD)(ACE) = A 2 BC 2 ED= BDE (ABEF)(ABCD)(ACE) = A 3 B 2 C 2 DE 2 F= ADF En el problema 7-11 se le pide al lector que genere los ocho bloques de este diseño. 7.7 CONFUSIÓN PARCIAL En la sección 7-4 se subrayó que, a menos que los experimentadores cuenten con una estimación previa del error o que estén dispuestos a suponer que ciertas interacciones son insignificantes, deben hacer réplicas del diseño para obtener una estimación del error. En la figura 7-3 se muestra un diseño factorial 23 en dos bloques conABC confundido, con cuatro réplicas. Por el análisis de varianza de este diseño, el cual se presenta en la tabla 7-5, se observa que no puede sacarse información acerca de la interaccióllABC debido a queABC está confundido con los bloques en todas las réplicas. Se dice que este diseño está completamente confundido (o mezclado). Considere la alternativa que se presenta en la figura 7-6. De nueva cuenta hay cuatro réplicas del diseño 23, pero en cada réplica se ha confundido una interacción diferente. Es decir,ABC está confundido en la réplica I,AB está confundido en la réplica n, BC está confundido en la réplica nI yAC está confundido en la réplica IV: Como resultado puede obtenerse información deABC a partir de los datos de las réplicas n, In y IV; información deAB puede obtenerse de las réplicas I, nI y IV; información deAC puede obteRéplica ID Réplica IV BC Confundido AC Confundido Réplica U Réplica I ABe Confundido AB Confundido a (1) a (1 ) a (1) b (1 ) ab b e b a e b e ae e ab ae be ab ae ab be abe abe be abe ae abe be Figura 7·6 Confusión parcial en el diseño 23 • IIn ~l' .·1 300 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2" Tabla 7-9 Análisis de varianza de un diseño 23 parcialmente confundido Grados de libertad 3 Fuente de variación Réplicas Bloques dentro de réplicas [oABC (rép. 1) + BC (rép. III) + AC (rép. IV)] + AB (rép. II) 4 1 1 1 1 1 1 A B C AB (de las réplicas 1, III YIV) A C (de las réplicas 1, II YIII) BC (de las réplicas 1, II YIV) ABC (de las réplicas 1, III YIV) 1 17 31 Error Total ::?!' ¡¡; ~: 1" r.:. ¡¡;. :5 nerse de las réplicas I, II Y III; e información de BC puede obtenerse de las réplicas I, II Y IV. Se dice que pueden obtenerse tres cuartas partes de la información de las interacciones porque no están confundidas en sólo tres réplicas. Yates [l13b] llama a la relación 3/4 la información relativa de los efectos confundi· dos. Se dice que este diseño está parcialmente confundido ( o mezclado). En la tabla 7-9 se muestra el análisis de varianza de este diseño. Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones, sólo se usan los datos de las réplicas en las que no está confundida una interacción. La suma de cuadrados del error consta de las sumas de cuadrados de réplicas x sumas de cuadrados de efecto principal, más las sumas de cuadrados de réplicas x sumas de cuadrados de interacción para cada réplica en la que esa interacción no está confundida (por ejemplo, réplicas x ABC para las réplicas II, III Y IV). Además, hay siete grados de libertad entre los ocho bloques. Es común hacer la partición de tres grados de libertad para las réplicas y cuatro grados de libertad para los bloques dentro de las réplicas. La composición de la suma de cuadrados de los bloques se muestra en la tabla 7-9 y se sigue directamente de la elección del ef~cto confundido en cada réplica. EJEMPLO 7,3 . 3 Un diseño 2 con confusión parcial Considere el ejemplo 6-1, en el que se realizó un estudio para determinar el efecto del porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación (B) y la velocidad de línea (C) sobre la altura de llenado de una bebida carbonatada. Suponga que cada lote de jarabe alcanza sólo para probar cuatro combinaciones de tratamientos. Por lo tanto, cada réplica del diseño 23 debe correrse en dos bloques. Se corren dos réplicas, con ABC confundido en la réplica I y AB confundido en la réplica II. Los datos son los siguientes: Réplica 1 Réplica II ABC confundido AB confundido (1) = -3 ab = 2 ae = 2 be = 1 a= O b =-1 e = -1 abe = 6 (1) = -1 e= ab = abe = a = 1 O b=O 3 5 ae ="l be = 1 " \1' 7-8 PROBLEMAS , Tabla 7-10 Análisis de varianza del ejemplo 7-3 Fuente de Suma de variación cuadrados 1.00 2.50 36.00 20.25 12.25 0.50 0.25 1.00 0.50 3.75 78.00 Réplicas Bloques dentro de las réplicas A B C AB (sólo en la réplica 1) AC BC ABC (sólo en la réplica 11) Error . 'Ibtal Grados de libertad 1 2 1 1 1 1 1 1 1 5 15 Cuadrado medio 1.00 1.25 36.00 20.25 12.25 0.50 0.25 1.00 0.50 0.75 Fa 48.00 27.00 16.33 0.67 0.33 1.33 0.67 301 Valor P 0.0001 0.0035 0.0099 0.4503 0.5905 0.3009 0.4503 Las sumas de cuadrados deA, B, C, AC y BC pueden calcularse de la manera usual, utilizando las 16 observaciones. Sin embargo, SSABC debe encontrarse utilizando únicamente los datos de la réplica n y SSAB utilizando únicamente los datos de la réplica 1 de la siguiente manera: [a+b+c+abc- ab- ac- bc-(1)]2 SSABC = k n2 = [1+0+0+5-3-1-1-(-1)f =0.50 (1)(8) = [(l)+abc-ac+c-a-b+ab-bcf S AB n2k [-3+6-2+(-1)-0-(-1)+2-1]2 = 0.50 (1)(8) La suma de cuadrados de las réplicas es, en general, n R2 2 SS _ h _I::Rep LJ 2 k N =" h=l (16)2 = 16 foo donde R h es el total de las observaciones en la réplica h-ésima. La suma de cuadrados de los bloques es la suma de SSABC de la réplica 1 y SSAB de la réplica n, o SSBloques = 2.50. En la tabla 7-10 se resume el análisis de varianza. Los tres efectos principales son importantes. 7.8 7-1. 7-2. 7-3. PROBLEMAS Considere el experimento descrito en el problema 6-1. Analizar este experimento suponiendo que cada réplica representa un bloque de un solo turno de producción. Considere el experimento descrito en el problema 6-5. Analizar este experimento suponiendo que cada una de las cuatro réplicas representa un bloque. Considere el experimento de la formación de fisuras en la aleación de níquel y titanio descrito en el problema 6-15. Suponga que sólo pudieron hacerse 16 corridas en un solo día, por lo que cada réplica se trató como un bloque. Analizar el experimento y sacar conclusiones. 302 7-4. 7-5. 7-6. 7-7. 7-8. 7-9. 7-10. 7-11. 7-12. CAPÍTULO 7 FORlviACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2k Considere los datos de la primera réplica del problema 6-1. Suponga que no fue posible correr todas estas ob. servaciones utilizando barras del mismo lote. Establecer un diseño para correr estas observaciones en dos bloques de cuatro observaciones cada uno con ABC confundido. Analizar los datos. Considere los datos de la primera réplica del problema 6-7. Construir un diseño con dos bloques de ocho ob. servaciones cada uno con ABCD confundido. Analizar los datos. Repetir el problema 7-5 suponiendo que se requieren cuatro bloques. Confundir ABD y ABC (y por consiguiente CD) con los bloques. Utilizando los datos del diseño 25 del problema 6-21, construir y analizar un diseño en dos bloques con ABCDE confundido con los bloques. Repetir el problema 7-7 suponiendo que se necesitan cuatro bloques. Sugerir un esquema de confusión (o mezclado) razonable. Considere los datos del diseño 25 del problema 6-21. Suponga que fue necesario correr este diseño en cuatro bloques con ACDE y BCD (y por consiguiente ABE) confundidos. Analizar los datos de este diseño. Diseñar un experimento para confundir un diseño factorial 26 en cuatro bloques. Sugerir un esquema de confusión apropiado, diferente del que se ilustró en la tabla 7-8. Considere el diseño 26 en ocho bloques con ocho corridas cada uno conABCD, ACE y ABEF como los efectos independientes elegidos para confundirlos con los bloques. Generar el diseño. Encontrar los demás efectos confundidos con los bloques. Considere el diseño 22 en dos bloques conAB confundido. Hacer la demostración algebraica de que SSAB = SSmoques' 7-13. 7-14. 7-15. 7-16. 7-17. Considere los datos del ejemplo 7-2. Suponga que todas las observaciones del bloque 2 se incrementan en 20. Analizar los datos que resultarían. Estimar el efecto de bloque. ¿Puede el lector explicar su magnitud? ¿Los bloques parecen ser ahora un factor importante? ¿Hay otras estimaciones de los efectos que sufran el impacto de este cambio hecho en los datos? Suponga que en el problema 6-1 se confundióABC en la réplica I,AB en la réplica 11 y BC en la réplica 111. Calcular las estimaciones de los efectos. Construir la tabla del análisis de varianza. Repetir el problema 6-1 suponiendo que ABC se confundió con los bloques en todas las réplicas. Suponga que en el problema 6-7 ABCD se confundió en la réplica I yABC se confundió en la réplica 11. Realizar el análisis estadístico de este diseño. Construir un diseño 23 conABC confundido en las dos primeras réplicas y BC confundido en la tercera réplica. Delinear el análisis de varianza y comentar la información obtenida. " Diseños factoriales fraccionados de dos niveles 8.1 INTRODUCCIÓN Cuando el número de factores de un diseño factorial 2k se incrementa, el número de corridas necesarias para realizar una réplica completa del diseño rebasa con rapidez los recursos de la mayoría de los experimentadores. Por ejemplo, una réplica completa de un diseño 26 requiere 64 corridas. En este diseño, sólo 6 de los 63 grados de libertad corresponden a los efectos principales, y sólo 15 a las interacciones de dos factores. Los 42 grados de libertad restantes se asocian con las interacciones de tres o más factores. Si el experimentador puede suponer razonablemente que ciertas interacciones de orden superior son insignificantes, es posible obtener información de los efectos principales y las interacciones de orden inferior corriendo únicamente una fracción del experimento factorial completo. Estos diseños factoriales fraccionados se encuentran entre los tipos de diseños de uso más generalizado en el diseño de productos y procesos y en el mejoramiento de procesos. Una de las principales aplicaciones de los diseños factoriales fraccionados es en los experimentos de tamizado o exploración. Se trata de experimentos en los que se consideran muchos factores y el objetivo es identificar aquellos factores (en caso de haberlos) que tienen efectos grandes. Los experimentos de tamizado suelen realizarse en las etapas iniciales de un proyecto, cuando es posible que muchos de los factores considerados en un principio tengan un efecto reducido o nulo sobre la respuesta. Entonces los factores que se identifican como importantes se investigan con mayor detalle en experimentos subsecuentes. El uso exitoso de los diseños factoriales fraccionados se basa en tres ideas clave: 1. Elprincipio de efectos esparcidos o escasez de efectos. Cuando hay varias variables, es posible que el sistema o proceso esté dominado principalmente por algunos de los efectos principales y las interacciones de orden inferior. 2. La propiedad de proyección. Los diseños factoriales fraccionados pueden proyectarse en diseños más fuertes (más grandes) en el subconjunto de los factores significativos. 3. Experimentación.secuencial. Es posible combinar las corridas de dos (o más) diseños factoriales fraccionados para ensamblar secuencialmente un diseño más grande para estimar los efectos de los' factores y las interacciones de interés. 303 ro 1:' ~: r: t,~ 1 JI 304 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Este capítulo se enfoca en estos principios, los cuales se ilustran con varios ejemplos. 8~2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2 k Considere una situación en la que tres factores, cada uno con dos niveles, son de interés, pero los experimentadores no están en posición de correr las 23 = 8 combinaciones de tratamientos. Sin embargo, pueden llevar a cabo cuatro corridas. Esto sugiere una fracción un medio de un diseño 23 • Puesto que el diseño contiene 23- 1 = 4 combinaciones de tratamientos, es común llamar diseño 23 -1 a una fracción un medio del diseño 23 • En la tabla 8-1 se muestra la agrupación de signos positivos y negativos del diseño 23 • Suponga que se seleccionan las cuatro combinaciones de tratamientos a, b, e yabe como la fracción un medio con la que se trabajará. Estas corridas se muestran en la parte superior de la tabla 8-1 y en la figura 8-1a. Observe que el diseño 23- 1 se forma seleccionando sólo las combinaciones de tratamientos que tienen signo positivo en la columnaABC. Por lo tanto, aABC se le llama el generador de esta fracción particular. En ocasiones se hará referencia a un generador, por ejemploABC, como una palabra. Además, la columna identidad 1 también es siempre positiva, por lo que a I=ABC se le llama la relación de definición del diseño. En general, la relación de definición de un diseño factorial fraccionado será siempre el conjunto de todas las columnas que son iguales a la columna identidad!. Las combinaciones de tratamientos del diseño 23- 1 producen tres grados de libertad que pueden usarse para estimar los efectos principales. Con referencia a la tabla 8-1, se observa que las combinaciones lineales de las observaciones usadas para estimar los efectos principales de A, B Y C son eA = Ha - b - e + abe) e = H-a+b- e+abe) B fc = H-a- b+e+abe) También es sencillo verificar que las combinaciones lineales de las observaciones usadas para estimar las interacciones de dos factores son = Ha - b - e + abe) eAC = H-a+b- e+abe) eAB = H-a - b + e + abe) f Tabla 8-1 Signos positivos y negativos del diseño factorial 23 Combinación de tratamientos a b C abc ab ae be (1) BC Efecto factorial 1 A + + + + + + + + + + + + B + + + + C + + + + AB AC + + + + + + + + BC ABC + + + + + + + + 8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k 305 abe I I I ./ . J~-- ./ ./ a a) La fracción principal, 1 ; +ABC be ./ ab ./ ./ (1) b) La fracción alterna, 1 ; -ABC Figura 8-1 seño 23 , Las dos fracciones un medio del di- Por lo tanto, RA = RBo RB = RAC YRc = RAE; por consiguiente, es imposible diferenciar entre A y BC, entreB,Y AC y entre C y AB. De hecho, cuando se estimanA, By C, se están estimando en realidadA + BC, B + AC y C + AB. A dos o más efectos que tienen esta propiedad se les llama alias. En el ejemplo tratado aquí,A y BC son alias,ByAC son aliasyCyAB son alias. Esto se indica con la notación eA ~A + BC, RB ~ B + ACy Rc ~ C +AB. La estructura de los alias para este diseño puede determinarse con facilidad utilizando la relación de definición J = ABC. Al multiplicar cualquier columna (o efecto) por la relación de definición se obtienen los alias de esa columna (o efecto). En el ejemplo tratado aquí se encuentra que el alias de A es A' J = A· ABC = A 2 BC o, puesto que el cuadrado de cualquier columna es la identidad J, A=BC De manera similar, se encuentra que los alias de B y C son B·J=B·ABC B= AB 2 C= AC y C'J=C'ABC C=ABC 2 =AB A esta fracción un medio, con J = +ABC, suele llamársele la fracción principal. Suponga ahora que se eligió la otra fracción un medio, es decir, las combinaciones de tratamientos de la tabla 8-1 asociadas con los signos negativos de la columnaABC. Esta fracción un medio alterna o com- 306 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES plementaria (la cual se compone de las corridas (1), ab, ae y be) se ilustra en la figura 8-1b. La relación de definición de este diseño es I=-ABC De la combinación lineal de las observaciones, por ejemplo J!'A' P' BY J!' CJ de la fracción alterna se obtiene P~ ...;.A-BC P~ ...;.B-AC e~...;.c-AB Por lo tanto, cuando se estiman A, B YC con esta fracción particular, en realidad se están estimando A-BC, B-AC y C-AB. En la práctica, no importa cuál de las fracciones se usa. Ambas fracciones pertenecen a la misma fa. milia; es decir, las dos fracciones un medio forman un diseño 23 completo. Esto puede observarse con facilidad con referencia a los incisos a y b de la figura 8-1. Suponga que después de correr una de las fracciones un medio del diseño 23, también se corrió la otra. Por lo tanto, se cuenta ahora con las ocho corridas asociadas con el diseño 23 completo. Pueden obtenerse entonces las estimaciones sin alias de todos los efectos analizando las ocho corridas como un diseño 23 completo en dos bloques de cuatro corridas cada uno. Esto también podría hacerse sumando y restando la combinación lineal de los efectos de las dos fracciones individuales. Por ejemplo, considere PA ...;. A + BC y J!'A ...;. A - Be. Esto implica que tUA +P~)=hA+BC+A-BC)...;.A y que tUA -P~)= hA+BC-A+BC)...;. BC Por lo tanto, para los tres pares de combinaciones lineales se obtendría lo siguiente: A B e A B e Be Ae AB Resolución del diseño Al diseño 23- 1 precedente se le llama diseño de resolución ill. En este diseño, los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores. Un diseño es de resolución R cuando ningún efecto del factor p es alias de otro efecto que contiene menos de R - P factores. Por ~ se emplea un subíndice con un numeral romano para denotar la resolución del diseño; por lo tanto, la fracción un medio del diseño 23 con la relación de definición 1 = ABC (o 1 = -ABC) es un diseño 2~1. Los diseños de resolución 111, IV YV son particularmente importantes. A continuación se presentan las definiciones de estos diseños y un ejemplo de cada uno: 1. Diseños de resolución JI!. Se trata de diseños en los que ninguno de los efectos principales es alias de ningún otro efecto principal, pero los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores, y algunas de las interacciones de dos factores pueden ser alias entre sí. El diseño 23- 1 de la tabla 8-1 es un diseño de resolución 111 (2~1). 2. Diseños de resolución Iv. Se trata de diseños en los que ninguno de los efectos principales es alias de ningún otro efecto principal ni de las interacciones de dos factores, pero las interacciones de 8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k dos factores son alias entre sí. Un diseño 24-1 con 1 307 = ABCD es un diseño de resolución IV (2~1). 3. Diseños de resolución V. Se trata de diseños en los que ninguno de los efectos principales ni de las interacciones de dos factores son alias de otro efecto principal o interacción de dos factores, pero las interacciones de dos factores son alias de las interacciones de tres factores. Un diseño 25- 1con 1 = ABCDE es un diseño de resolución V (2~-1). En general, la resolución de un diseño factorial fraccionado de dos niveles es igual al menor número de letras en cualquier palabra de la relación de definición. Por consiguiente, los diseños precedentes podrían denominarse diseños de tres, cuatro y cinco letras, respectivamente. Por lo común, es preferible emplear diseños fraccionados que tengan la resolución más alta posible que sea consistente con el grado de fraccionamiento requerido. Entre más alta sea la resolución, menos restrictivos serán los supuestos que se requieren respecto de cuáles de las interacciones son insignificantes para obtener una interpretación única de los datos. Construcción de fracciones un medio Una fracción un medio del diseño 2k de la resolución más alta puede construirse apuntando el diseño básico, que consta de las corridas de un diseño factorial2k- 1completo, y agregándole después el factor k-ési- mo identificando sus niveles positivo y negativo con los signos positivo y negativo de la interacciónABC (K -1) del orden más alto. Por lo tanto, el diseño factorial fraccionado 2~1 se obtiene apuntando el diseño 22 completo como diseño básico e igualando después el factor C con la interacciónAB. La fracción alterna se obtendría igualando el factor C con la interacción -AB. Este enfoque se ilustra en la tabla 8-2. Observe que el diseño básico siempre tiene el número correcto de corridas (renglones), pero le falta una columna. El generador 1 = ABC ... K se resuelve entonces para la columna faltante (K), de tal modo que K =ABC ... (K -1) define el producto de los signos positivos y negativos que deberá usarse en cada renglón para producir los niveles del factor k-ésimo. Observe que podría usarse cualquier efecto de interacción para generar la columna del factor k-ésimo. Sin embargo, al utilizarse cualquier efecto que no seaABC ... (K - 1), no se producirá el diseño con la _________ resolución más alta posible. Otra forma de visualizar la construcción de una fracción un medio es mediante la partición de las corridas en dos bloques con la interacción de orden más altoABC ... K confundida. Cada bloque es un diseño factorial fraccionado 2k - 1 con la resolución más alta. o •• Proyección de fracciones en diseños factoriales Cualquier diseño factorial fraccionado de resolución R contiene diseños factoriales completos (posiblemente diseños factoriales con réplicas) en cualquier subconjunto de R -1 factores. Éste es un concepto importante y útil. Por ejemplo, si un experimentador tiene varios factores de interés potencial pero piensa Tabla 8-2 Las dos fracciones un medio del diseño 23 Diseño factorial 22 completo (diseño básico) Corrida 1 2 3 4 A + + B + + 2~1,I=ABC A + + B 2~\I=-ABC C=AB + + + + A + + B + + C=-AB + + 308 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES ~B ~ I I I I I / / 1- / ---7-/ --7-- b / -/j / / / I / / __ ..J_ /' abe I"/L..I -7r-e / / / / / -----1- -.----1- / / I I I I / /a 1 I I I I _V~~V / ;?C Figura 8-2 Proyección de un diseño 2i;;! en tres diseños 22 • que sólo R - 1 de ellos tienen efectos importantes, entonces un diseño factorial fraccionado de resolución R es la elección de diseño apropiada. Si el experimentador está en lo correcto, el diseño factorial fraccionado de resolución R se proyectará en un diseño factorial completo en los R - 1 factores significativos. Este proceso se ilustra en la figura 8-2 para el diseño 2::;;1, el cual se proyecta en un diseño 22 en cada subconjunto de dos factores. . ~ Puesto que la máxima resolución posible de una fracción un medio del diseño 2k es R = k, todos los diseños ~-1 se proyectarán en un factorial completo en (k -1) cualq iera de los k factores originales. Además, un diseño 2k- 1 puede proyectarse en dos réplicas de un factorial ca. pleto en cualquier subconjunto de le - 2 factores, cuatro réplicas de un factorial completo en cualquier subconjunto de k - 3 factores, etcétera. EJEMPLO , 8~1 . Considere el experimento del índice de filtración del ejemplo 6-2. El diseño original, ilustrado en la tabla 6-10, es una sola réplica del diseño 24• En ese ejemplo se encontró que los efectos principales deA, C y D Y las interaccionesAC y AD eran diferentes de cero. Se retoma ahora este experimento y se simula lo que habría ocurrido si se hubiera corrido una fracción un medio del diseño 24 en vez del diseño factorial completo. Se usará el diseño 24-1 con! =ABCD, ya que esta elección del generador dará como resultado un diseño con la resolución más alta posible (IV). Para construir el diseño, primero se apunta el diseño básico, el cual es un diseño 23, como se muestra en las tres primeras columnas de la tabla 8-3. Este diseño básico tiene el número necesario de corridas (ocho) pero sólo tres columnas (factores). Para encontrar los niveles del cuarto factor, se resuelve! =ABCD paraD, oD =ABC. Por lo tanto, el nivel deD de cada corrida Tabla 8-3 El diseño 2;':;1 con la relación de definición I=ABCD Diseño básico Corrida A B C D=ABC 1 2 3 + 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + + + + + + + Combinación de tratamientos (1) ad bd ab ed ae be abed Índice de filtración 45 100 45 65 75 60 80 96 8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k D 309 + abed = 96 be = 80 ed =75 ,L----"1r-----.;,ae = 60 I I I I ./ I I I bd = 45,L.... __ ab = 65 ./ ./ ./ ./ (1) ./ ./ ad =45 Figura 8-3 = 100 El diseño 2~1 para el experimento del índice de filtración del ejemplo 8-1. es el producto de los signos positivos y negativos de las columnas A, By C. El proceso se ilustra en la tabla 8-3. Puesto que el generadorABCD es positivo, este diseño 2~1 es la fracción principal. El diseño se ilustra gráficamente en la figura 8-3. Utilizando la relación de definición, se observa que cada uno de los efectos principales es alias de una interacción de tres factores; es decir,A =A 2BCD = BCD,B =AB 2CD =ACD, C =ABC2D =ABDyD = ABCD 2 = ABC. Además, cada interacción de dos factores es alias de otra interacción de dos factores. Estas relaciones de los alias sonAB = CD,AC = BD YBC = AD. Los cuatro efectos principales más los tres pares de alias de interacciones de dos factores representan los siete grados de libertad del diseño. En este punto, normalmente se aleatorizarían las ocho corridas y se llevaría a cabo el experimento. Puesto que se ha corrido ya el diseño 24 completo, simplemente se seleccionan los ocho índices de filtración observados del ejemplo 6-2 que corresponden a las corridas del diseño 2~1. Estas observaciones se muestran en la última columna de la tabla 8-3, así como en la figura 8-3. En la tabla 8-4 se muestran las estimaciones de los efectos obtenidas de este diseño 2~1 . Para ilustrar los cálculos, la combinación lineal de las observaciones asociadas con el efecto de A es f!. A = t(-45+100- 45+65-75+60- 80+96)= 19.00 ...... A+BCD mientras que para el efecto AB se obtendría f!. AB = t(45-100- 45+65+75- 60- 80+96)= -1.00 ...... AB+CD Por la inspección de la información de la tabla 8-4, no es irrazonable concluir que los efectos principales deA, C y D son grandes. Además, siA, C y D son los efectos principales importantes, entonces es lógico concluir que las dos cadenas de alias de interaccionesAC + BD y AD + BC tienen efectos grandes, ya que Tabla 8-4 Estimaciones de los efectos y los alias del ejemplo 8-1 a Estimación f!A f!B f!c f!D AB e f!AC f!,w Estructura de los alias 19.00 f!A 1.50 f!B 14.00e c 16.50 f!D -1.00 f! AB = -18.50 f!AC = 19.00 f!AD A+ BCD B+ACD C+ ABD D+ ABC AB+ CD AC+ BD AD+BC aLas efectos significativos se indican en negritas. r I~(" i 310 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES 96 75 80 60 Alta '13 I I I I 10 l!l I 1 45 c '0 ~ U c: o 2 / / \J -- /' / -7~'O:::aad ~ Ud~v:gitación) / / Baja 100 .-*---- / / ~-------..- 45, Baja /65 y Baja A (temperatura) Alta Figura 8-4 Proyección del diseño 2::~;J en un diseño 23 enA, y D para el ejemplo 8-1. e las interaccionesAC y AD también son significativas. En otras palabras, siA, C y D son significativos, entonces lo más posible es que las interacciones significativas seanAC y AD. Se trata de una aplicación de la navaja de Ockham (en honor de Guillermo de Ockham), un principio científico que establece que cuando uno se confronta con varias interpretaciones posibles de un fenómeno, la interpretación más simple suele ser la correcta. Observe que esta interpretación concuerda con las conclusiones del análisis del diseño 24 completo del ejemplo 6-2. Puesto que el factor B no es significativo, puede sacarse de consideración. Por consiguiente, este diseño 2::;¡ puede proyectarse en una sola réplica del diseño 23 en los factores A, Cy D, como se muestra en la figura 8-4. El examen visual de esta gráfica de cubo nos hace sentirnos más cómodos con las conclusiones a las que se llegó antes. Observe que si la temperatura (A) está en el nivel bajo, la concentración (C) tiene un efecto positivo grande, mientras que si la temperatura está en el nivel alto, la concentración tiene un efecto muy pequeño. Esto se debe probablemente a una interacciÓnAC. Además, si la temperatura está en el nivel bajo, el efecto de la velocidad de agitación (D) es insignificante, mientras que si la temperatura está en el nivel alto, la velocidad de agitación tiene un efecto positivo grande. Esto se debe probablemente a la interacción AD que se identificó de manera tentativa unos párrafos antes. Con base en el análisis anterior, puede obtenerse ahora un modelo para predecir el índice de filtración en la región experimentaL Este modelo es y= lJo +lJ¡x¡ +lJ3 X3+lJ4 X4+lJ13 X¡X3 +lJ14 X¡X4 donde Xl' X3YX4son variables codificadas (-1 :::; Xi :::; + 1) que representan aA, C y D, Ylas lJ son coeficientes de regresión que pueden obtenerse a partir de las estimaciones de los efectos como se hizo anteriormente. Por lo tanto, la ecuación de predicción es Recuerde que la ordenada al origen lJ o es el promedio de todas las respuestas en las ocho corridas del diseño. Este modelo es muy similar al que resultó del diseño factorial 2k completo del ejemplo 6-2. 311 8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k EJEMPLO 8~2 .•••.•••.••..••••••••••.••.••••••••••••••....••.....••.•.••.. Un diseño 25- 1 usado para mejorar un proceso Se investigaron cinco factores en un proceso de manufactura de un circuito integrado en un diseño 25- 1 con el objetivo de mejorar el rendimiento del proceso. Los cinco factores fueron A = ajuste de apertura (pequeña, grande), B = tiempo de exposición (20% abajo del nominal, 20% arriba del nominal), C = tiempo de desarrollo (30 s, 45 s), D = tamaño de la máscara (pequeña, grande) y E = tiempo de grabado (14.5 min, 15.5 min). En la tabla 8-5 se muestra la construcción del diseño 25- 1• Observe que el diseño se construyó apuntando el diseño básico que tiene 16 corridas (un diseño 24 enA, B, C y D), seleccionando ABCDE como generador, y ajustando después los niveles del quinto factor E = ABCD. En la figura 8-5 se presenta una representación geométrica del diseño. La relación de definición del diseño es 1 = ABCDE. Por consiguiente, todos los efectos principales son alias de una interacción de cuatro factores (por ejemplo, eA . .,. . A + BCDE), y cada una de las interacciones de dos factores son alias de una interacción de tres factores (por ejemplo, i!AB ...,... AB + CDE). Por lo tanto, el diseño es de res'olución V Se esperaría que este diseño 25- 1 proporcionara excelente información respecto de los efectos principales y las interacciones de dos factores. La tabla 8-6 contiene las estimaciones de los efectos, las sumas de cuadrados y los coeficientes del modelo de regresión para los 15 efectos de este experimento. En la figura 8-6 se presenta la gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos de este experimento. Los efectos principales deA, By C y la interacciónAB son grandes. Recuerde que, debido a los alias, estos efectos son en realidad A + BeDE, B + ACDE, C + ABDE y AB + CDE. Sin embargo, puesto que parece plausible que las interacciones de tres factores y de órdenes superiores sean insignificantes, uno siente seguridad en concluir que sólo A, B, C YAB son los efectos importantes. En la tabla 8-7 se resume el análisis de varianza de este experimento. La suma de cuadrados del modelo es SS Modelo = SSA + SSB + SSc + SSAB = 5747.25, Yesto explica más de 99% de la variabilidad total del rendimiento. En la figura 8-7 se presenta la gráfica de probabilidad normal de los residuales Tabla 8-5 Un diseño 25- 1 para el ejemplo 8·2 Diseño básico Corrida 1 2 3 4 5 6 7 A + + + 8 9 + 10 + 11 12 + 13! + 14 15 16 + I B C D E=ABCD + + + + + + + + + + + + + + + + + + Combinación de tratamientos e a b abe e + + + + + + + + + + + + + + aee bee abe d ade bde abd ede aed bed abede Rendimiento 8 9 34 52 16 22 45 60 6 10 30 50 15 21 44 63 ,. t " 1I 312 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES D bce = + 45 abede = 63 ede = 15 I I I + ./ ./ ~-- abe = 52 ./ ./ ./bde = 30 ./ ./ e=8 ade = 10 E abe = 60 beb = 44 I I I b=34~ __ ./ ./ ./ ./ ./ a=9 ./ ./ abd = 50 d=6 cÍ¿B A Figura S-S El diseño 2~-1 del ejemplo 8-2. Tabla 8-6 Efectos, coeficientes de regresión y sumas de cuadrados del ejemplo 8·2 Variable A B C D E Variable Promedio global A B C D E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Nombre Apertura Tiempo de desarrollo Tiempo de exposición Thmaño de la máscara Tiempo de grabado Coeficiente de regresión 30.3125 5.5625 16.9375 5.4375 -0.4375 0.3125 3.4375 0.1875 0.5625 0.5625 0.3125 -0.0625 -0.0625 0.4375 0.1875 -0.6875 Nivel-1 Nivel +1 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Efecto estimado Suma de cuadrados 11.1250 33.8750 10.8750 -0.8750 0.6250 6.8750 0.3750 1.1250 1.1250 0.6250 -0.1250 -0.1250 0.8750 0.3750 -1.3750 495.062 4590.062 473.062 3.063 1.563 189.063 0.563 5.063 5.063 1.563 0.063 0.063 3.063 0.563 7.563 99 • B 5 Cl Cl 95 90 .... 10 x 2"~ 20 80 I 30 70 50 50 : S ¡ij E o o o ~.., c: -oro 70 :g 30 20 :5ro 80 .c e "- 90 10 95 5 99 o 10 5 15 20 25 30 Estimaciones de los efectos Figura 8-6 Gráfica de probabilidad normal de los efectos del ejemplo 8-2. Tabla 8-7 Análisis de varianza del ejemplo 8-2 Suma de cuadrados 495.0625 4590.0625 473.0625 189.0625 28.1875 5775.4375 Fuente de variación A (Apertura) B (Tiempo de exposición) e (Tiempo de desarrollo) AB Error 'Ibtal Grados de libertad Cuadrado medio 495.0625 4590.0625 473.0625 189.0625 2.5625 1 1 1. 1 11 15 " r ¡ ValorP 193.20 1791.24 184.61 73.78 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 99 f "! H' Fo • 5 o o ~ 10 95 90 x ¡;;-... 20 80 S 30 70 I ro E o o o 50 : 50 ~.., c: "C ;g 70 :oro 80 30 20 e 90 10 95 5 ro .c "- 99 -3 -2 -1 o Residuales Figura 8-7 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 8-2. 313 Ir'" !':"I ~ 314 2 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES • Ul al ro::J "O .¡¡; o • • • • • • el • • al a: • • • -1 • e -2 -3 L-_...L-_ _- ' -_ _- - ' 10 20 30 • -'---_ _..L-_ _- ' -_ _ 40 50 60 Rendimiento predicho Figura 8-8 Gráfica de los residuales contra el rendimiento predicho para el ejemplo 8-2. y la figura 8-8 es una gráfica de los residuales contra los valores predichos. Ambas gráficas son satisfactorias. Los tres factoresA, B ye tienen efectos positivos grandes. La interacción apertura-tiempo de exposición oAB se grafica en la figura 8-9. Esta gráfica confirma que el rendimiento es más alto cuando tanto A como B están en el nivel alto. 63 ~al 'E B+ 15 c: al a: .. B- B-6 Bajo A Alto Figura 8-9 Interacción apertura-tiempo de exposición del ejemplo 8-2. 8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k 315 61.5 44.5 + ~.~--J...I---'-51.0 I I 115.5 21.5 /(¡------7/' B L-,¡~----- ~ .. 9.5 L r.; I A + Figura 8-10 Proyección del diseño 2~-1 del -ejemplo 8-2 en dos réplicas de un diseño 23 en los factores A, B Y C. El diseño 25- 1 se reducirá a dos réplicas de un diseño 23 en tres cualesquiera de los cinco factores originales. (Observar la figura 8-5 ayuda a visualizar esto.) La figura 8-10 es una gráfica de cubo en los factores A, By C con los rendimientos promedio superpuestos en los ocho vértices. Es evidente por la inspección de la gráfica de cubo que los rendimientos más altos se consiguen conA, By C en el nivel alto. Los factores D y E tienen un efecto pequeño sobre el rendimiento promedio del proceso y pueden ajustarse en los valores que optimicen otros objetivos (como el costo). .......... .......... .......... .............. ............... ........... ... Secuencias de diseños factoriales fraccionados o El uso de los diseños factoriales fraccionados lleva con frecuencia a una gran economía y eficiencia en la experimentación, en particular si las corridas pueden hacerse secuencialmente. Por ejemplo, suponga que se están investigando k = 4 factores (24 = 16 corridas). Casi siempre es preferible correr un diseño fraccionado 2~1 (ocho corridas), analizar los resultados y después decidir cuál es la mejor serie de corridas que deberá correrse después. Si es necesario resolver ambigüedades, siempre puede correrse la fracción alterna y completar el diseño 24• Cuando se usa este método para completar el diseño, ambas fracciones un medio representan bloques del diseño completo con las interacciones de orden superior confundidas con los bloques (en este casoABCD estaría confundida). Por lo tanto, la experimentación secuencial tiene como resultado la pérdida de información sólo en la interacción de orden más alto. Su ven- . taja es que en muchos casos se saca información suficiente de la fracción un medio para proceder a la siguiente etapa de la experimentación, lo cual podría implicar la incorporación o eliminación de factores, el cambio de las respuestas, o la variación de algunos de los factores en nuevos rangos. Algunas de estas posibilidades se ilustran gráficamente en la figura 8-11. EJEMPLO 8~3 . Considere nuevamente el experimento del ejemplo 8-1. Se ha usado un diseño 2~1 y se ha hecho la identificación tentativa de los tres efectos principales grandes: A, Cy D. Hay dos efectos grandes asociados con interacciones de dos factores,AC + BD yAD + BC. En el ejemplo 8-2 se utilizó el hecho de que el efecto principal de B era insignificante para concluir de manera tentativa que las interacciones importantes eran 316 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES I I ·0 I )---/ / b) Agregar otra fracción a) Moverse a una nueva localización para explorar una tendencia aparente a la respuesta para resolver las ambigüedades de la fracción original Diseño inicial t e I -o -¡¡; • }------- ~ c.. / / cl Reescalar algunos factores porque pueden haberse hecho variar en los rangos inapropiados f) Hacer un aumento para modelar la curvatura aparente .)~~-Q. t e -o -¡¡; ~ c.. I I I • / S-<f "-----.,~~ Temperatura e) Hacer una réplica para mejorar las estimaciones de los efectos o porque algunas corridas se hicieron incorrectamente / )---~ d) Eliminar y agregar factores porque el factor original correspondiente a la velocidad de alimentación del cstalizador es insignificante Figura 8-11 Posibilidades para el seguimiento de la experimentación después de un experimento factoria! fraccionado [adaptado de Box ("Sequential Experimentation and Sequential Assembly of Designs") con permiso del editor]_ AC yAD. En ocasiones el experimentador tendrá que procesar conocimientos que puedan ayudarle a discriminar entre las interacciones que probablC?mente sean importantes. Sin embargo, siempre es posible aislar la interacción significativa corriendo la fracción alterna, dada por I = -ABCD. Es directa la demostración de que el diseño y las respuestas son los siguientes: Diseño básico Corrida A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + D =-ABC + + + + + + + + + + Combinación de tratamientos d a b abd e + + aed bed abe Índice de filtración 43 71 48 104 68 86 70 65 8-3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2k 317 Las combinaciones lineales de las observaciones obtenidas a partir de esta fracción alterna son .e~ 24.25 A - BCD .e~ 4.75 B-ACD .e~ 5.75 C-ABD .e~ 12.75 D- ABC = 1.25 .e~c = -17.75 AB- CD .e~ e~ = 14.25 AC- BD AD-BC :estas estimaciones pueden combinarse con las que se obtuvieron de la fracción un medio original para obtener las siguientes estimaciones de los efectos: A B e D AB Ae AD 21.63 3.13 9.88 14.63 0.13 -18.13 16.63 ~A ~B ~ e ~D ~AB ~Ae ~AD -2.63 -1.63 4.13 1.88 -1.13 -0.38 2.38 ~BeD ~AeD ~ABD ~ABe ~ eD ~BD ~Be Estas estimaciones concuerdan exactamente con las del análisis original de los datos como una sola réplica de un diseño factorial 2\ como se consigna en el ejemplo 6-2. Evidentemente, son las interaccionesAC y AD las que son grandes. Agregar la fracción alterna a la fracción principal puede considerarse como un tipo de experimento de confirmación, por cuanto proporciona información que permitirá fortalecer las conclusiones iniciales acerca de los efectos de la interacción de dos factores. En la sección 8-5 se investigarán otros aspectos de la combinación de diseños factoriales fraccionados para aislar las interacciones. En ocasiones un experimento de confirmación no es tan elaborado como éste. Por ejemplo, podría usarse la ecuación del modelo para predecir la respuesta en un punto de interés dentro del espacio del diseño (no uno de los puntos del diseño actual), correr después realmente ese ensayo (quizá varias veces) y usar la comparación entre la respuesta predicha y la observada para confirmar los resultados. 8~3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2" Para un número moderadamente grande de factores, con frecuencia son útiles fracciones menores del diseño 2k • Considere una fracción un cuarto del diseño 2k • Este diseño contiene 2k- 2 corridas y es común llamarlo diseño factorial fraccionado 2k - 2 • El diseño 2k - 2 puede construirse apuntando primero un diseño básico compuesto por las corridas asociadas con un diseño factorial completo en k - 2 factores y asociando después las dos columnas adicionales' con las interacciones elegidas apropiadamente que incluyan los primeros k - 2 factores. Por lo tanto, 318 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES una fracción un cuarto del diseño 2k tiene dos generadores. Si P YQ representan los generadores escogi_ dos, entonces a I = P e I = Q se les llama las relaciones generadoras del diseño. Los signos de P y Q ( + o -) determinan cuál de las fracciones un cuarto se produce. Las cuatro fracciones asociadas con la elección de los generadores ±Py ±Q pertenecen a la misma familia. La fracción para la que tanto P como Q son positivas es la fracción principal. La relación de definición completa del diseño está compuesta por todas las columnas que son iguales a la columna identidadI. Éstas constarán de P, Q y su interacción generalizadaPQ; es decir, la relación de definición es I = P = Q = PQ. A los elementos P, Q y PQ de la relación de definición se les denomina pa. labras. Los alias de cualquier efecto se obtienen mediante la multiplicación de la columna de ese efecto por cada palabra de la relación de definición. Evidentemente, cada efecto tiene tres alias. El experimentador deberá estar atento al elegir los generadores para que los efectos potencialmente importantes no sean alias entre sí. Como un ejemplo, considere el diseño 26- 2 • Suponga que se escogen I = ABCE e I = BCDF como los generadores del diseño. Entonces la interacción generalizada de los generadores ABCE y BCDF es ADEF; por lo tanto, la relación de definición completa de este diseño es I = ABCE = BCDF = ADEF Por consiguiente, se trata de un diseño de resolución IV. Para encontrar los alias de cualquier efecto (por ejemplo deA), se multiplica ese efecto por cada palabra de la relación de definición. ParaA, esto produce A = BCE = ABCDF = DEF . Es sencillo verificar que todos los efectos principales son alias de interacciones de tres y cinco factores, mientras que las interacdones de dos factores son alias entre sí y de interacciones de órdenes superiores. Por lo tanto, cuando se estimaA, por ejemplo, en realidad se está estimando A + BCE + DEF + ABCDF. En la tabla S-S se muestra la estructura completa de los alias de este diseño. Si las interacciones de tres factores y de órdenes superiores son insignificantes, este diseño produce estimaciones claras de los efectos principales. Para construir este diseño se anota primero el diseño básico, el cual consiste en las 16 corridas para un diseño completo 26--2 = 24 enA,B, Cy D. Después se añaden los dos factoresEy F, asociando sus niveles más y menos con los signos más y menos de la interacciónABC y BCD, respectivamente. Este procedimiento se muestra en la tabla S-9. Otra forma de construir este diseño es deduciendo los cuatro bloques del diseño 26 con ABCE y BCDF confundidas y eligiendo después el bloque con las combinaciones de tratamientos que son positivas paraAB CE y BCDF. Se trataría de un diseño factorial fraccionado 26- 2 con relaciones generadoras I = ABCE e I = BCDF, y puesto que los dos generadoresABCE y BCDF son positivos, se trata de la fracción principal. Tabla 8-8 Estructura de los alias del dis~ño 2~;2 con I = ABCE = BCDF = ADEF A = BCE = DEF = ABCDF B = ACE = CDF = ABDEF e = ABE = BDF = ACDEF D = BCF = AEF = ABCDE E =ABC =ADF = BCDEF F = BCD = ADE = ABCEF ABD = CDE = ACF = BEF ACD = BDE = ABF = CEF AB = CE = ACDF = BDEF AC = BE = ABDF = CDEF AD = EF = BCDE = ABCF AE = BC = DF ,; ABCDEF AF = DE = BCEF =ABCD BD= CF = ACDE =ABEF BF = CD = ACEF = ABDE " 8-3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2k Tabla 8-9 319 Construcción del diseño 2~;2 con los generadores 1 = ABCE e 1 = BCDP Diseño básico Corrida A 1 2 + 3 4 5 6 7 8 9 + + + 10 + 12 + ·11 13 14 15 16 + + B + + + + + + + + C D E=ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F=BCD + + + + + + + + + + Hay, desde luego, tres fracciones alternas de este diseño 2~2 particular. Se trata de las fracciones con las relaciones generadoras 1 = ABCE e 1 = -BCDF; 1 = -ABCE el = BCDF; el = -ABCE el = -BCDF. Es sencillo construir estas fracciones con el método que se muestra en la tabla 8-9. Por ejemplo, si quiere encontrarse la fracción para la que 1 = ABCE el = -BCDF, entonces en la última columna de la tabla 8-9 se hace F = -BCD, Yla columna de los niveles del factor F queda como ++----++--++++-La relación de definición completa de esta fracción alterna es 1 = ABCE = -BCDF = -ADEF. Ahora ciertos signos en la estructura de los alias de la tabla 8-9 se han cambiado; por ejemplo, los alias deA son A = BCE = -DEF = -ABCDF. Por lo tanto, la combinación lineal de las observaciones eA estima en realidad A + BCE - DEF - ABCDF. Por último, observe que el diseño factorial fraccionado 2~2 se proyectará en una sola réplica de un diseño 24 en cualquier subconjunto de cuatro factores que no sea una palabra de la relación de definición. También se pliega en una fracción un medio con una réplica de un diseño 24 en cualquier subconjunto de cuatro factores que sea una palabra de la relación de definición. Por lo tanto, el diseño de la tabla 8-9 se convierte en dos réplicas de un diseño 24-1 en los factoresABCE, BCDF y ADEF, porque éstas son las palabras de la relación de definición. Hay otras 12 combinaciones de los seis factores, comoABCD,ABCF, etc., para las que el diseño se proyecta en una sola réplica del diseño 24 • Este diseño también se pliega en dos réplicas de un diseño 23 en cualquier subconjunto de tres de los seis factores o en cuatro réplicas de un diseño 22 en cualquier subconjunto de dos factores. En general, cualquier diseño factorial fraccionado 2k- 2 puede plegarse en un diseño factorial completo o bien en un diseño factorial fraccionado en algún subconjunto de r :5. k - 2 de los factores originales. Estos subconjuntos de variables que forman diseños factoriales completos no son palabras de la relación de definición completa. EJEMPLO 8~4 . Las piezas fabricadas en un proceso de moldeo por inyección están presentando una contracción excesiva. Esto está ocasionando problemas en las operaciones de ensamblaje que se realizan después del moldeo por inyección. Un equipo de mejoramiento de calidad ha deeidido llevar a cabo un experimento 320 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES diseñado para estudiar el proceso de moldeo por inyección a fin de poder reducir la contracción. El equipo decide investigar seis factores -la temperatura de moldeo (A), la velocidad del enroscado (B), el tiempo de retención (C), la duración del ciclo (D), el tamaño del vaciadero (E) y la presión de la retención (F)- con dos niveles cada uno, con el fin de saber cómo se afecta la contracción debido a cada factor, así como para obtener información preliminar acerca de la forma en que los factores interactúan. El equipo decide usar el diseño factorial fraccionado de 16 corridas con dos niveles de la tabla 8-9. El diseño se muestra de nuevo en la tabla 8-10, junto con la contracción observada (x 10) en la pieza de prueba producida en cada una de las 16 corridas del diseño. En la tabla 8-11 se muestran las estimaciones de los efectos, las sumas de cuadrados y los coeficientes de regresión de este experimento. En la figura 8-12 se presenta la gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos de este experimento. Los únicos efectos grandes sanA (temperatura de moldeo), B (velocidad del enroscado) y la interacciónAB. A la luz de las relaciones de los alias de la tabla 8-8, parece razonable adoptar estas conclusiones de manera tentativa. La gráfica de la interacción AB de la figura 8-13 indica que el proceso muestra una alta insensibilidad a la temperatura si la velocidad del enroscado está en el nivel bajo, pero que es muy sensible a la temperatura si la velocidad del enroscado está en el nivel alto. Con la velocidad del enroscado en el nivel bajo, el proceso deberá producir una contracción promedio de alrededor de 10%, independientemente del nivel de temperatura elegido. Con base en este análisis inicial, el equipo decide hacer el ajuste de la temperatura de moldeo y la velocidad del enroscado en el nivel bajo. Este conjunto de condiciones reducirá la contracción media de las piezas en alrededor de 10%. Sin embargo, la variabilidad de la contracción de una pieza a otra sigue siendo un problema potencial. De hecho, la contracción media puede reducirse adecuadamente mediante las modificaciones anteriores; sin embargo, la variabilidad de la contracción de una pieza a otra en una corrida de producción podría seguir causando problemas en el ensamblaje. Una manera de abordar esta cuestión es investigando si alguno de los factores del proceso afecta la variabilidad de la contracción de las piezas. En la figura 8-14 se presenta la gráfica de probabilidad normal de los residuales. Esta gráfica parece ser satisfactoria. Se construyeron después las gráficas de los residuales contra cada factor. En la figura ~ Tabla 8-10 Un diseño 2~';z para el experimento del moldeo por inyección del ejemplo 8-4 Diseño básico Corrida A 1 2 3 + 4 + 5 6 7 + 8 9 + 10 + 11 12 13 14 15 16 + + + B + + + + + + + + C D E=ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F=BCD + + + + + + + + + + Contracción observada (x 10) 6 10 32 60 4 15 26 60 8 12 34 60 16 5 37 52 1 1 I 8-3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2" Tabla 8-11 Efectos, sumas de cuadrados y coeficientes de regresión del ejemplo 8-4 Variable A B C Nombre temperatura_moldeo velocidad enroscado duración retención duración-ciclo tamaño_vaciadero presiónJetención Coeficiente de regresión 27.3125 6.9375 17.8125 -0.4375 0.6875 0.1875 0.1875 5.9375 -0.8125 -2.6875 -0.9375 0.3125 -0.0625 -0.0625 0.0625 -2.4375 D E F Variable" 'Promedio global A B C D E F AB+CE AC+BE AD+EF AE+BC+DF AF+DE BD+CF BF+CD ABD ABF Nivel-1 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 Efecto estimado 13.8750 35.6250 -0.8750 1.3750 0.3750 0.3750 11.8750 -1.6250 -5.3750 -1.8750 0.6250 -0.1250 -0.1250 0.1250 --4.8750 "Sólo los efectos principales y las interacciones de dos factores. 99 B • 5 o o ~ I S 95 A 10 AB x ¡Z.., • 20 • 90 80 70 30 ro o o E 50 o 50 '; ~ 70 80 30 20 a. 90 10 R.,-' c: :aro 321 J:l e 5 95 99 -5 o 5 10 15 20 25 30 35 40 Estimaciones de los efectos Figura 8-12 Gráfica de probabilidad normal de los efectos del ejemplo 8-4. Nivel +1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Suma de cuadrados 770.062 5076.562 3.063 7.563 0.563 0.563 564.063 10.562 115.562 14.063 1.563 0.063 0.063 0.063 95.063 r l I 322 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES 60 B+ 5" ~ " '0 '13 B+ u ~ "o U _---------... B- .. B" 4'-- _ Baja Alta Temperatura de moldeo, A Figura 8·13 Gráfica de la interacciónAB (temperatura de moldeo-velocidad del enroscado) para el ejemplo 8-4. 1: l' 8-15 se muestra una de estas gráficas, la de los residuales contra el factor e (tiempo de retención). La gráfica revela que hay una dispersión sensiblemente menor en los residuales con el tiempo de retención bajo que con el tiempo de retención alto. Estos residuales se obtuvieron de la manera usual a partir del modelo de la contracción predicha: y= Po +P1 X l +P2 X 2+P12 X1X 2 e: = 27.3125+ 6. 9375x1 +17.8125x 2 +5.9375x1X 2 r ~, , JI 99 • 5 o o ...x 95 10 90 ¡;:.., 20 80 I ~ 30 70 ro o o E 50 50 ';; "tl :cro 80 30 20 e 10 o "ro 70 ~.., ;g .n c.. 90 95 5 • 99 -6 -3 o 3 6 Residuales Figura 8-14 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 8-4. 8-3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2k 323 • 6 4 : 2 • 01----------------,----I -2 • • • -4 Alta Baja Tiempo de retención (e) Figura 8-15 Residuales contra el tiempo de retención (e) para el ejemplo 8-4. donde Xl' X 2 YX IX 2 son las variables codificadas que corresponden a los factores A y B Ya la interacciónAB. Entonces los residuales son e= y-y El modelo de regresión usado para producir los residuales elimina, en esencia, los efectos de localización deA, ByAB de los datos; por lo tanto, los residuales contienen información acerca de la variabilidad no explicada. La figura 8-15 indica que existe un patrón en la variabilidad y que la variabilidad de la contracción de las piezas puede ser menor cuando el tiempo de retención está en el nivel bajo (recuerde que en el capítulo 6 se señaló que los residuales sólo transmiten información acerca de los efectos de dispersión cuando es correcto el modelo de localización o la media). Lo anterior se observa con mayor claridad en el análisis de los residuales que se presenta en la tabla 8-12. En esta tabla, los residuales se ordenan en los niveles bajo (-) y alto ( +) de cada factor, y se ha calculado la desviación estándar de los residuales en los niveles bajo y alto de cada factor. Observe que la desviación estándar de los residuales con C en el nivel bajo [S(C-) = 1.63] es considerablemente menor que la desviación estándar de los residuales con C en el nivel alto [S(C+) = 5.70]. En el último renglón de la tabla 8-12 se presenta el estadístico S2('+ ) F.*=1n l S2(i-) 1 Recuerde que si las varianzas de los residuales en los niveles alto ( +) y bajo (-) del factor i son iguales, entonces este cociente sigue una distribución aproximadamente normal con media cero, y puede usarse para evaluar la diferencia en la variabilidad de la respuesta en los dos niveles del factor i. Puesto que el cociente F~ es relativamente grande, se concluiría que la aparente dispersión o efecto de variabilidad observado en la figura 8-15 es real. Por lo tanto, ajustar el tiempo de retención en su nivel bajo contribuiría a reducir la variabilidad de una pieza a otra durante una corrida de producción. En la figura 8-16 se presen- 1 ¡ I! !' - •."-"" __----"<. •. _ • • - -- ..~~ =...... "-"'.. . "-"-"'t.--O="-=---" -.'o..j:~~j~I;f~\~~ -= ~~!':~~ !-~"':.!~=~=- W N ~ Tabla 8-12 Cálculo de los efectos de dispersión del ejemplo 8-4 Corrida A B AB=CE C AC=BE AE=BC=DF E D AD=EF BD=CE ABD 1 + + + + + 2 + + + + + 3 + + + + + 4 + + + 5 + + + + + 6 + + + + + 7 + + + + + 8 + + + + + + + 9 + + + + + 10 + + + + + 11 + + + + + 12 + + + + + + + 13 + + + + + 14 + + + + + 15 + + + + + 16 + + + + + + + + + + + 4.33 5.70 3.85 4.17 4.64 3.39 4.01 3.68 4.72 S(i+) 3.80 4.01 S(i-) 4.60 4.41 1.63 4.25 3.59 4.10 4.53 4.33 2.75 4.41 3.51 F' -0.38 -0.19 0.11 2.50 -0.42 -0.23 -0.04 0.51 0.42 -0.19 0.59 I BF=CD + + + + - - + + + + 4.71 3.65 0.51 ACD - F - AF = DE Residual -2.50 + -0.50 + -0.25 + 2.00 + + + -4.50 + + 4.50 + + -6.25 + + 2.00 -0.50 + + 1.50 + + 1.75 + + 2.00 7.50 + -5.50 + 4.75 + -6.00 + + + 3.50 3.88 4.87 3.12 4.52 3.40 0.23 -0.31 0.72 8·3 LA FRACCIÓN UN CUARTO DEL DISEÑO 2" 325 - 99.9 .01 99 "~ c. 5 95 20 so . E 50 50 x ¡;:;~ I o o ¡¡¡ ~ x ¡¡:,~ o c: -g "C 20 ~ 5 ~ 0.1 0.6 1.1 r Figura 8-16 1.6 2.6 2.1 1 Gráfica de probabilidad normal de los efectos de dispersión F'¡- del ejemplo 8·4. ta una gráfica de probabilidad normal de los valores F¡* de la tabla 8-12; ésta también indica que el factor e tiene un efecto de dispersión grande. En la figura 8-17 se muestran los datos de este experimento proyectados en un cubo en los factoresA, By C. La contracción promedio observada y el rango de la contracción observada se indican en cada vértice del cubo. Por la inspección de la figura se observa que correr el proceso con la velocidad del enroscado (B) en el nivel bajo es la clave para reducir la contracción promedio de las piezas. SiB está en el nivel bajo, virtualmente cualquier combinación de la temperatura (A) Yel tiempo de retención (C) resultará en valores bajos de la contracción promedio de las piezas. Sin embargo, al examinar los rangos de los valores de la contracción en cada vértice del cubo, es claro de inmediato que ajustar el tiempo de retención (C) en el nivel bajo es la única elección razonable si se quiere mantener baja la variabilidad de la contracción de .una pieza a otra en una corrida de producción. ......- - - - - - - - - - , e y ~ 56.0 R~S 1:Ji~31.5 ~ 11 I R I I 08+ :Ji 1lUl ~ 60.0 R~O ec: "~ :Ji ~ 10.0 R ~ 11 "C :E _ ~:'Od' ""0016" "o ] rtl - y + A, temperatura de moldeo Figura 8·17 Contracción promedio y rango de la contracción en los factores A, B Y e para el ejemplo 8·4. 326 8..4 ¡:: . ' > 1"" ", <:: CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES EL DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO 2"-P GENERAL A un diseño factorial fraccionado 2k que contiene 2k - p corridas se le llama fracción 1/2! del diseño 2k o, de manera más simple, diseño factorial fraccionado 2k-p. En estos diseños deben seleccionarse p generadores independientes. La relación de definición de este diseño se compone de los p generadores elegidos inicialmente y sus 2! -p -1 interacciones generalizadas. En la presente sección se estudia la construcción y el análisis de estos diseños. La estructura de los alias puede encontrarse multiplicando la columna de cada efecto por la relación de definición. Deberá prestarse atención al elegir los generadores para que los efectos de interés potencial no sean alias entre sí. Cada efecto tiene 2P -1 alias. Para valores moderadamente grandes de k, es común suponer que las interacciones de órdenes superiores (por ejemplo, de tercero y cuarto orden y superiores) son insignificantes, con lo cual se simplifica en gran medida la estructura de los alias. Es importante seleccionar los p generadores de un dise~o factorial fraccionado 2k- p de tal modo que se obtengan las mejores relaciones de los alias posibles. Un criterio razonable es seleccionar los generadores para que el diseño 2k- p resultante tenga la resolución más alta posible. Para ilustrar, considere el diseño 2C;:;2 de la tabla 8-9, donde se usaron los generadores E =ABCyF = BCD, con lo cual se produce un diseño de resolución IV Éste es el diseño con la resolución más alta. Si se hubieran seleccionado E == ABC y F = ABCD, la relación de definición completa hubiera sido 1 = ABCE = ABCDF = DEF, Yel diseño habría sido de resolución III. Se trata, evidentemente, de una elección inferior porque sacrifica de manera innecesaria información acerca de las interacciones. En ocasiones la resolución por sí sola no es suficiente para distinguir entre los diseños. Por ejemplo, considere los tres diseños 2~2 de la tabla 8-13. Todos estos diseños son de resolución IV, pero tienen estructuras de los alias muy diferentes (se ha supuesto que las interacciones de tres factores y las de órdenes superiores son insignificantes) con respecto a las interacciones de dos factores. Evidentemente, el diseño A es el que tiene más alias y el diseño C el que tiene menos, por lo que el diseño C sería una buena elección para un diseño 2~2 . Las tres palabras del diseñoA tienen longitud 4; es decir, el patrón de la longitud de las palabras es {4, 4, 4}. Para el diseño B es {4, 4, 6} Ypara el diseño C es {4, 5, 5}. Observe que la relación de definición del diseño C tiene una sola palabra de cuatro letras, mientras que los demás diseños tienen dos o tres. Por lo tanto, el diseño C minimiza el número de palabras de la relación de definición que son de longitud mínima. A un diseño como éste se le llama diseño de aberración mínima. Minimizar la aberración en un diseño de resoluciónR asegura que el diseño tiene el número mínimo de efectos principales que son alias de Tabla,8-13 Tres elecciones de generadores para el diseño 2~2 Generadores del diseñoA: F ==ABC, G == BCD 1 == ABCF == BCDG == ADFG Alias (interacciones de dos factores) AB==CF AC=BF AD==FG AG=DF BD=CG BG=CD AF=BC=DG Generadores del diseño B: Generadores del diseño C: F ==ABc, G ==ADE 1 = ABCF = ADEG = BCDEFG F=ABCD, G =ABDE 1 = ABCDF = ABDEG == CEFG Alias (interacciones de dos factores) Alias (interacciones de dos factores) AB=CF AC==BF AD=EG AE=DG AF=BC AG==DE CE==FG CF=EG CG==EF 8-4 EL DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO zk-P GENERAL 327 interacciones de orden R -1, el número mínimo de interacciones de dos factores que son alias de interac'dones de orden R - 2, etcétera. Referirse a Fries y Hunter [46] para mayores detalles. En la tabla 8-14 se presenta una selección de diseños factoriales fraccionados 2k- p para k :5 15 factores y hasta n :5 128 corridas. Los generadores sugeridos en esta tabla resultarán en un diseño con la resolución más alta posible. Son también los diseños con aberración mínima. Las relaciones de los alias para todos los diseños de la tabla 8-14 para los que n :5 64 se presentan en la tabla XII(a-w) del apéndice. Las relaciones de los alias incluidas en esta tabla se enfocan en los efectos principales Ylas interacciones de dos y tres factores. Se da la relación de definición completa para cada diseño. Esta tabla del apéndice hace muy sencillo seleccionar un diseño con la resolución suficiente para asegurar que cualesquiera interacciones de interés potencial puedan estimarse. EJEMPLO 8~5 . Para ilustrar el uso de la tabla 8-14, suponga que se tienen siete factores y que el interés se encuentra en estimar los siete efectos principales y hacerse una idea aproximada de las interacciones de dos factores. Estamos dispuestos a suponer que las interacciones de tres factores y de órdenes superiores son insignificantes. Esta información sugiere que un diseño de resolución IV sería apropiado. La tabla 8-14 muestra que se cuenta con dos fracciones de resolución IV: la 2~2 con 32 corridas y la 2~3 con 16 corridas. La tabla XII del apéndice contiene las relaciones de los alias completas para estos dos diseños. Los alias para el diseño 2~3 de 16 corridas se encuentran en la tabla XII(i) del apéndice. Observe que los siete efectos principales son alias de interacciones de tres factores. Las interacciones de dos factores son alias en grupos de tres. Por lo tanto, este diseño satisfará los objetivos del problema; es decir, permitirá la estimación de los efectos principales y dará cierta idea respecto de las interacciones de dos factores. No es necesario correr el diseño 2~2, el cual requeriría 32 corridas. La tabla XII(j) del apéndice indica que este diseño permitiría la estimación de los siete efectos principales y que 15 de las 21 interacciones de dos factores también podrían estimarse de manera única. (Recuerde que las interacciones de tres factores y de órdenes superiores son insignificantes.) Ésta es más de la información necesaria acerca de las interacciones. El diseño completo se muestra en la tabla 8-15. Observe que se construyó empezando con la corrida 16 del diseño 24 enA, B, C y D como el diseño básico y agregando después las tres columnas E = ABC, F = BCD YG = ACD. Los generadores son 1 = ABCE,I = BCDF e 1 = ACDG (tabla 8-14). La relación de definicióncompletaesI=ABCE = BCDF =ADEF =ACDG =BDEG = CEFG = ABFG. Análisis de los diseños factoriales fraccionados 2k- p Hay varios programas de computadora que pueden usarse para analizar el diseño factorial fraccionado 2k- p • Por ejemplo, el programa Design-Expel1 ilustrado en el capítulo 6 tiene esta capacidad. El diseño también puede analizarse recurriendo a los principios básicos; el efecto i-ésimo se estima con J!¡ = 2(Contraste¡) Contraste¡ N = (N/2) donde el Contraste¡ se encuentra utilizando los signos positivos y negativos de la columna i y donde N = 2k- p es el número total de observaciones. El diseño 2k- p sólo permite la estimación de 2k- p -1 efectos (y sus alias). f,r e, ~t : ,1 Tabla 8-14 Diseños factoriales fraccionados Número de factores, k 3 4 5 6 7 Fracción 3- 1 2 ID 4 2 IV- 1 2 5v- 1 25ID- 2 21<-1' Generadores del diseño 4 8 16 8 C= ±AB D = ±ABC E= ±ABCD D= ±AB E= ±AC F= ±ABCDE E= ±ABC F= ±BCD D= ±AB E=±AC F= ±BC G= ±ABCDEF F= ±ABCD G= ±ABDE E= ±ABC F= ±BCD G= ±ACD D= ±AB E= ±AC F=±BC G= ±ABC G= ±ABCD H= ±ABEF F= ±ABC G= ±ABD H= ±BCDE E= ±BCD F= ±ACD G= ±ABC H= ±ABD H= ±ACDFG J= ±BCEFG G= ±ABCD H= ±ACEF J= ±CDEF F= ±BCDE G= ±ACDE H= ±ABDE J= ±ABCE E= ±ABC F= ±BCD G = ±ACD H= ±ABD J= ±ABCD H= ±ABCG J= ±ACDE K= ±ACDF 2 6VI- 1 2 6- 2 IV 32 16 26-~ III 8 -1 2 7VII 7 2 IV- 2 64 32 7- 3 2 ID 16 7- 4 2 ID 8 2 8- 2 V 64 2 8- 3 IV 32 2 8- 4 IV 16 2 9VI- 2 128 2 9IV- 3 64 2 9- 4 IV 32 9- 5 2 ID 16 2 10V - 3 128 U~ :ir '. ~:! ¡ 8 It 1" <:.. r" t.: " ji 9 10 328 seleccionados Número de corridas 11 Tabla 8-14 (continuación) Número de factores, k 11 Fracción 210 -4 N Número de corridas 64 210- 5 N 32 210- 6 III 16 211N - 5 64 211 -6 N 211- 7 III 32 16 12 212 - 8 III 16 13 213III- 9 16 Generadores del diseño G= ±BCDF H= ±ACDF J= ±ABDE K= ±ABCE F= ±ABCD G= ±ABCE H= ±ABDE J= ±ACDE K= ±BCDE E= ±ABC F= ±BCD G = ±ACD H= ±ABD J= ±ABCD K=±AB G= ±CDE H= ±ABCD J= ±ABF K= ±BDEF L = ±ADEF F= ±ABC G= ±BCD H= ±CDE J= ±ACD K= ±ADE L = ±BDE E= ±ABC F= ±BCD G= ±ACD H= ±ABD J= ±ABCD K=±AB L= ±AC E= ±ABC F= ±ABD G= ±ACD H= ±BCD J= ±ABCD K=±AB L= ±AC M=±AD E= ±ABC F= ±ABD G= ±ACD H= ±BCD J= ±ABCD K=±AB 1'1 I m ~ ",/!t ,I!." ::4~i ,:?~ II,,~ :~.l:~ W¡:::i 'rr ,I.¡j "1'" ::1,;[: ~I .. ,,~ ~~:-; -I"'-j 1['~ r~ m:;;w ll~ " 'jiI i! 329 r 330 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Tabla 8-14 (continuación) Número de factores, k Fracción Número de corridas 14 214111- 10 16 15 215- 11 16 111 ~¡: :ir '. f,' ¡: lt l' <:-. r'l." Generadores del diseño L= ±AC M=±AD N=±BC E= ±ABC F= ±ABD G= ±ACD H= ±BCD J= ±ABCD K= ±AB L= ±AC M=±AD N= ±BC 0= ±BD E= ±ABC F= ±ABD G = ±ACD H= ±BCD J= ±ABCD K= ±AB L= ±AC M=±AD N= ±BC 0= ±BD p= ±CD "o "~ j¡ Tabla 8-15 Un diseño factorial fraccionado ziv 3 Diseño básico Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A + + + + + + + + B + + + + + + + + C D E=ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F=BCD + + + + + + + + + + G=ACD + + + + + + + + 8-4 EL DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO z"-P GENERAL 331 Proyección del diseño factorial fraccionado 2 k-p El diseño 2k- p se reduce a un factorial completo o bien a un factorial fraccionado en cualquier subconjunto de r :::; k - p de los factores originales. Esos subconjuntos de factores que producen diseños factoriales fraccionados son subconjuntos que aparecen como palabras en la relación de definición completa. Esto resulta de particular utilidad en los experimentos de tamizado cuando se sospecha desde el principio del experimento que la mayoría de los factores originales tendrán efectos pequeños. El diseño factorial fraccionado 2k- p puede proyectarse entonces en un factorial completo, por ejemplo, en los factores de mayor interés. Las conclusiones a que se llegue con diseños de este tipo deberán considerarse tentativas y someterse a análisis adicional. Por lo general es posible encontrar explicaciones alternativas de los datos que intervienen en interacciones de órdenes superiores. Como un ejemplo, considere el diseño 2~3 del ejemplo 8-5. Se trata de un diseño con 16 corridas en el que intervienen siete factores. Se proyectará en un factorial completo en cuatro cualesquiera de los siete factores originales que no sean una palabra de la relación de definición. Hay 35 subconjuntos de cuatro factores, siete de los cuales aparecen en la relación de definición completa (ver la tabla 8-15). Por lo tanto, hay 28 subconjuntos de cuatro factores que formarían diseños 24• Una combinación que es obvia al inspeccionar la tabla 8-15 es A, B, C Y D. Para ilustrar apropiadamente la utilidad de esta proyección, suponga que se realiza un experimento para mejorar la eficiencia de un molino de bolas y los siete factores son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Velocidad del motor Muesca Modo de alimentación Tamaño de la alimentación Tipo de material Ángulo de la criba Nivel de vibración de la criba Se tiene una certeza razonable de que la velocidad del motor, el tamaño de la alimentación y el tipo de material afectarán la eficiencia y que además estos factores pueden interactuar. Se sabe menos del papel de los otros tres factores, pero es probable que sean insignificantes. Una estrategia razonable sería asignar la velocidad del motor, el modo de alimentación, el tamaño de la alimentación y el tipo de material a las columnas A, B, Cy D, respectivamente, de la tabla 8-15. La muesca, el ángulo de la criba y el nivel de vibración de la criba se asignarían a las columnas E, F YG, respectivamente. Si se está en lo correcto y las "variables menores" E, Fy G son insignificantes, quedará un diseño 24 completo en las variables clave del proceso. Separación en bloques de diseños factoriales fraccionados Ocasionalmente, un diseño factorial fraccionado requiere tantas corridas que no es posible realizarlas todas bajo condiciones homogéneas. En estas situaciones, los diseños factoriales fraccionados pueden confundirse o mezclarse en bloques. La tabla XII del apéndice contiene los arreglos recomendados para la separación en bloques de varios de los diseños factoriales fraccionados de la tabla 8-14. El tamaño mínimo de los bloques para estos diseños es de ocho corridas. Para ilustrar el procedimiento general, considere el diseño factorial fraccionado 2~2 con la relación de definición! =ABCE = BCDF =ADEF que se muestra en la tabla 8-10. Este diseño fraccionado contiene 16 combinaciones de tratamientos. Suponga que quiere correrse este diseño en dos bloques con ocho combinaciones de tratamientos cada uno. Al seleccionar una interacción para confundirla con los bloques, se observa por el examen de la estructura de los alias de la tabla XII(f) del apéndice que hay dos rnI ,n II 332 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES I Bloque 1 Bloque 2 (1 ) ae abf aef eef bef abee be abef df bde abd aed ede bedf abedef Figura 8-18 El diseño 2~2 en dos bloques con ABD confundida. / series de alias que incluyen únicamente interacciones de tres factores. La tabla sugiere seleccionar ABD (y sus alias) para confundirla con los bloques. Se obtendrían así los dos bloques que se muestran en la figura 8-18. Observe que el bloque principal contiene las combinaciones de tratamientos que tienen un número igual de letras en común conABD. Son también las combinaciones de tratamientos para las que L = Xl + X 2 + X 4 = O (mod 2). EJEMPLO 8..6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Se usa una máquina CNC de cinco ejes para maquinar un propulsor utilizado en un motor de turbina. Los perfiles de los álabes son una característica importante de la calidad. Específicamente, es de interés la desviación del perfil del álabe del perfil especificado en el plano de ingeniería. Se corre un experimento para determinar cuáles son los parámetros de la máquina que afectan la desviación del perfil. Los ocho factores seleccionados en el diseño son los siguientes: Factor A = desviación en el ejex (0.001 pulg) B = desviación en el eje y (0.001 pulg) e = desviación en el eje z (0.001 pulg) D = fabricante de la herramienta E = desviación del eje a (0.001 grados) F = velocidad del areómetro (%) G = altura de la plantilla sujetadora (0.001 pulg) H = velocidad de alimentación (%) Nivel bajo (-) o O O 1 O 90 Nivel alto ( +) 15 15 15 2 30 lio O 15 90 110 Se selecciona un álabe de prueba en cada pieza para inspeccionarlo. La desviación del perfil se mide utilizando una máquina de medición coordenada, y la desviación estándar de la diferencia entre el perfil real y el perfil especificado se usa como la variable de respuesta. La máquina tiene cuatro areómetros. Puesto que puede haber diferencias en los areómetros, los ingenieros del proceso piensan que éstos deberán tratarse como bloques. Los ingenieros se sienten confiados de que las interacciones de tres o más factores no son muy importantes, pero están renuentes a ignorar las interacciones de dos factores. Por la tabla 8-14, inicialmente dos 8-4 EL DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO Zk-p GENERAL 333 ,diseños parecen ser apropiados: el diseño 2~4 con 16 corridas y el diseño 2~3 con 32 corridas. La tabla Xn(l) del apéndice indica que si se usa el diseño con 16 corridas, habrá un número considerable de alias con interacciones de dos factores. Además, este diseño no puede correrse en cuatro bloques sin confundir cuatro interacciones de dos factores con los bloques. Por lo tanto, los experimentadores deciden usar el diseño 2~3 en cuatro bloques. En este diseño se confunden con los bloques una cadena de alias de interacciones de tres factores y una interacción de dos factores (EH) y sus alias de interacciones de tres factores. La interacción EH es la interacción entre la desviación del eje a y la velocidad de alimentación, y los ingenieros consideran que una interacción entre estas dos variables es altamente improbable. La tabla 8-16 contiene el diseño y las respuestas resultantes en términos de desviación estándar x 103 pulg. Puesto que la variable de respuesta es una desviación estándar, con frecuencia es mejor efectuar el análisis después de una transformación logarítmica. En la tabla 8-17 se muestran las estimaciones de los .efectos. La figura 8-19 es una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos, utilizando In (desviación estándar x 103) como la variable de respuesta. Los únicos efectos grandes sonA == desviación del ejex, E == desviación del eje y, y la cadena de alias que incluyeAD + EG. Ahora bien,AD es la in- Tabla 8-16 El diseño 28-3 .• en cuatro bloques del ejemplo 8-6 Diseño básico Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 A B C D E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F=ABC G=ABD H=BCDE + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Orden real Desviación estándar Bloque de las corridas (x 103 pulg) 3 2 4 1 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 4 1 2 3 1 4 4 1 3 2 4 1 3 2 2 3 1 4 18 16 29 4 6 26 14 22 8 32 15 19 24 11 27 3 10 21 7 28 30 2 17 13 25 1 23 12 9 20 5 31 2.76 6.18 2.43 4.01 2.48 5.91 2.39 3.35 4.40 4.10 3.22 3.78 5.32 3.87 3.03 2.95 2.64 5.50 2.24 4.28 2.57 5.37 2.11 4.18 3.96 3.27 3.41 4.30 4.44 3.65 4.41 3.40 ji: 1:: I,'-~ 1 ,~, ¡;~¡ II,"¡ ~:¡;~ ~ .. .,,, 1..~ " r.r ¡.:S jJ!= 1::~ r:~," 11i I~ 11 I 334 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES Tabla 8-17 Estimaciones de los efectos, coeficientes de regresión y sumas de cuadrados del ejemplo 8-6 Variable Nombre Nivel-1 Nivel + 1 A Desviación del eje x O 15 B Desviación del eje y O 15 C Desviación del eje z O 15 D Fabricante de la herramienta 1 2 E Desviación del eje a O 30 F Velocidad del areómetro 90 110 G Altura de la plantilla sujetadora O 15 H Velocidad de alimentación 90 110 Variable" Coeficiente de regresión Efecto estimado Suma de cuadrad; Promedio global 1.28007 A 0.14513 0.29026 0.674020 B -0.10027 -0.20054 0.321729 C -0.01288 -0.02576 0.005310 D 0.05407 0.10813 0.093540 E -2.531E-04 -5.063E-04 2.050E-06 F -0.01936 -0.03871 0.011988 G 0.05804 0.11608 0.107799 H 0.00708 0.01417 0.001606 AB + CF + DG -0.00294 -0.00588 2.767E-04 -0.06206 AC + BF -0.03103 0.030815 AD + BG -0.18706 -0.37412 1.119705 AE 0.00402 0.00804 5.170E-04 -0.04502 AF + BC -0.02251 0.016214 AG + BD 0.02644 0.05288 0.022370 AH -0.02521 -0.05042 0.020339 BE 0.04925 0.09851 0.077627 BH 0.00654 0.01309 0.001371 CD + FG 0.01726 0.03452 0.009535 0.01991 CE 0.03982 0.012685 CG + DF -0.00733 -0.01467 0.001721 CH 0.03040 0.06080 0.029568 DE 0.00854 0.01708 0.002334 DH 0.00784 0.001969 0.01569 EF -0.00904 -0.01808 0.002616 EG -0.02685 0.023078 -0.05371 EH -0.01767 -0.03534 0.009993 FH -0.01404 -0.02808 0.006308 GH 0.00245 1.914E-04 0.00489 ABE 0.01665 0.008874 0.03331 ABH -0.00631 -0.01261 0.001273 ACD -0.02717 0.023617 -0.05433 "Sólo los efectos principales y las interacciones de dos factores. 8-4 EL DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO A • z"-P GENERAL 335 99 5 95 10 90 80 70 ¡¡¡ o o 50 E o 50 '; "C 70 80 30 20 90 10 " lU "C :a .lU ~.... J:J e [1. 5 95 AD 99 • -040 -.30 -.20 -.10 o .10 .20 .30 Estimaciones de los efectos Figura 8-19 Gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos del ejemplo 8-6. '~~l' 'il teracción desviación del eje x-fabricante de la herramienta, y BG es la interacción desviación del eje y-altura de la plantilla sujetadora, y como estas dos interacciones son alias es imposible separarlas con base en los datos del experimento en curso. Puesto que ambas interacciones incluyen un efecto principal grande, también es difícil aplicar cualquier simplificación lógica "obvia" en esta situación. Si se contara con algún conocimiento de ingeniería o del proceso que arrojara luz sobre la situación, entonces quizá podría hacerse una elección entre las dos interacciones; en caso contrario, se necesitarán más datos para separar estos dos efectos (el problema de agregar corridas en un diseño factorial fraccionado para separar los alias de las interacciones, se estudia en la sección 8-5 y en el material suplementario de este capítulo). Suponga que el conocimiento del proceso sugiere que posiblemente la interacción apropiada seaAD. La tabla 8-18 es el análisis de varianza resultante para el modelo con los factores A, B, D yAD (el factor D se incluyó para preservar el principio de jerarquía). Observe que el efecto del bloque es pequeño, lo cual sugiere que los areómetros de la máquina no son muy diferentes. La figura 8·20 es una gráfica de probabilidad normal de los residuales de este experimento. Esta gráfica sugiere la presencia de colas ligeramente más gruesas que las normales, por lo que posiblemente deTabla 8.18 Análisis de varianza del ejemplo 8-6 Fuente de variación A B D AD Bloques Error Thtal Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 0.6740 0.3217 0.0935 1.1197 0.0201 0.4099 2.6389 1 1 1 1 3 24 31 0.6740 0.3217 0.0935 1.1197 0.0067 0.0171 Fo Valor P 39.42 18.81 5.47 65.48 <0.0001 0.0002 0.0280 <0.0001 .. ~ ',1 336 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES • o o 99 5 95 10 90 x o::~ 1 S ro E o 20 80 30 70 50 50 ';; o o ..;~ c: "D ;g 70 :cro 80 30 20 e 10 ro ..D a.. 90 95 5 99 o -0.25 0.25 Residuales Figura 8·20 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 8-6. 1.825 M o ~ X ro 'E" ~'E ro Ol .2 ~ ro "D c: 'ro iñ c: " 'O '¡; ro .~ o" D- 0.75 Alta Baja Desviación del eje x (Al Figura 8-21 Gráfica de la interacción AD para el ejemplo 8-6, 8-5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III 1.247 337 1.273 0.8280 +15 ~--"""I------f( 1.370 1 I I 11.504 Desviación del eje O 1.3"10 /~:;::'--'~~5-~;::;~~~D y,B I O Desviación del eje x, I +15 1 A Figura 8-22 El diseño 2~3 del ejemplo 8-6 proyectado en cuatro réplicas de un diseño 23 en los factores A, B Y D. ban considerarse otras transformaciones. La gráfica de la interacciónAD se presenta en la figura 8-21. Observe que el fabricante de la herramienta (D) y la magnitud de la desviación del ejex (A) tienen un impacto profundo en la variabilidad, del perfil del álabe, de las especificaciones de diseño. CarrerA en el nivel bajo (O desviación) y comprar las herramientas al fabricante 1 produce los mejores resultados. En la figura 8-22 se muestra la proyección de este diseño 2~3 en cuatro réplicas de un diseño 23 en los factores A, By D. La mejor combinación de las condiciones de operación esA en el nivel bajo (O desviación), B en el nivel alto (0.015 en desviación) y D en el nivel bajo (fabricante de herramientas 1). 8~5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III Como se señaló anteriormente, el uso secuencial de los diseños factoriales fraccionados es muy útil, llevando con frecuencia a una gran economía y eficiencia de la experimentación. Se ilustran ahora estas ideas utilizando la clase de los diseños de resolución lIl. Es posible construir diseños de resolución III para investigar hasta le = N - 1 factores en sólo N corridas, donde N es un múltiplo de 4. Con frecuencia estos diseños son útiles en la experimentación industrial. Los diseños en los que N es una potencia de 2 pueden construirse con los métodos presentados anteriormente en este capítulo, y éstos se presentan primero. De particular importancia son los diseños que requieren 4 corridas para hasta 3 factores, 8 corridas para hasta 7 factores y 16 corridas para hasta 15 factores. Si le = N - 1, se dice que el diseño factorial fraccionado está saturado. Un diseño para analizar hasta tres factores en cuatro corridas es el diseño 2:;;1, el cual se presentó en la sección 8-2. Otro diseño factorial fraccionado saturado muy útil es el diseño para estudiar siete factores en ocho corridas, es decir, el diseño 2i;¡4 . Este diseño es una fracción un dieciseisavo del diseño 27 • Puede construirse apuntando primero los niveles positivos y negativos de un diseño 23 completo en A, B Y C como el diseño básico, y asociando después los niveles de cuatro factores adicionales con las interacciones de los tres factores originales de la siguiente manera: D = AB, E = AC, F = BC YG = ABC. Por lo tanto, los generadores de este diseño sonl =ABD,I =ACE,I = BCF el =ABCG. El diseño se muestra en la ta. bla 8-19. rr r .: i 1 338 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Tabla 8-19 El diseño 2~-4 con los generadores 1 = ABD, 1 = ACE, 1 = BCF e 1 = ABCG Diseño básico Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 A + + + + B + + + + C + + + + D=AB E=AC F=BC + + + + + + + + + + G=ABC + + + + + + def afg beg abd edg aee bef abedefg La relación de definición completa de este diseño se obtiene multiplicando entre sí los cuatro generadoresABD, ACE, BCFyABCG de dos en dos, de tres en tres y los cuatro a la vez, de donde se obtiene I= ABD= ACE= BCF= ABCG= BCDE= ACDF= CDG = ABEF= BEG= AFG= DEF= ADEG= CEFG= BDFG= ABCDEFG Para encontrar los alias de cualquier efecto, simplemente se multiplica el efecto por cada palabra de la re"-- -- . lación de definición. Por ejemplo, los alias de B son B= AD= ABCE= CF= ACG= CDE= ABCDF= BCDG= AEF= EG = ABFG= BDEF = ABDEG= BCEFG= DFG= ACDEFG Este diseño es una fracción un dieciseisavo, y como los signos elegidos para los generadores son positivos, se trata de la fracción principal. Es también de resolución III porque el número menor de letras de cualquier palabra de la definición de contraste es tres. Cualquiera de los 16 diferentes diseños 2;;4 de esta familia podría construirse utilizando los generadores con 1 de los 16 arreglos posibles de los signos en I = ±ABD, I = ±ACE, I = ±BCF, I = ±ABCG. Los siete grados de libertad de este diseño pueden usarse para estimar los siete efectos principales. Cada uno de estos efectos tiene 15 alias; sin embargo, si se supone que las interacciones de tres o más factores son insignificantes, se consigue entonces una simplificación considerable en la estructura de los alias. Estableciendo este supuesto, cada una de las combinaciones lineales asociadas con los siete efectos principales de este diseño es en realidad una estimación del efecto principal y las tres interacciones de dos factores: RA -;. A + BD+ CE + FG RE -;. B+AD+CF+EG ee -;. C + AE + BF + DG Rn -;. D+AB+CG+EF RE -;. E+AC+BG+DF RF -;.F+BC+AG+DE RG -;. G+CD+BE+AF (8-1) Estos alias se encuentran en la tabla XII(h) del apéndice, ignorando las interacciones de tres factores y de órdenes superiores. 8-5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III 339 El diseño saturado 2;;4 de la tabla 8-19 puede usarse para obtener diseños de resolución nI para estudiar menos de siete factores en ocho corridas. Por ejemplo, para generar un diseño para seis factores en ocho corridas, simplemente se elimina cualquiera de las columnas de la tabla 8-19, digamos la G. Se obtiene así el diseño que se muestra en la tabla 8-20. Es sencillo verificar que este diseño es también de resolución In; de hecho es un diseño 2~;3 , o una fracción un octavo, del diseño 26• La relación de definición del diseño 2~Ii3 es igual a la relación de definición del diseño 2;ri 4 original, con las palabras que incluyen la letra G eliminadas. Por lo tanto, la relación de definición del nuevo diseño ei5/ . 1 = ABD = ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF = DEF .En general, cuando se eliminan d factores para producir un nuevo diseño, la nueva relación de definición se obtiene de las palabras de la relación de definición original que no contienen ninguna de las letras eliminadas. Cuando se construyen diseños con este método, deberá prestarse atención para obtener el mejor arreglo posible. Si se eliminan las columnas B, D, F YG de la tabla 8-19, se obtiene un diseño para tres factores en ocho corridas, no obstante que las combinaciones de tratamientos corresponden a dos réplicas de un diseño 23 . Probablemente el experimentador preferiría correr un diseño 23 completo enA, C y E. También es posible obtener un diseño de resolución In para estudiar hasta 15 factores en 16 corridas. Este diseño 2~~-1l saturado puede generarse apuntando primero las 16 combinaciones de tratamientos asociadas con un diseño 24 enA,B, Cy D e igualando después 11 nuevos factores con las interacciones de dos, tres y cuatro factores de los cuatro factores originales. En este diseño, cada uno de los 15 efectos principales es alias de siete interacciones de dos factores. Puede usarse un procedimiento similar para el diseño 2i~-26, lo cual permite el estudio de hasta 31 factores en 32 corridas. Ensamblaje secuencial de fracciones para separar efectos Mediante la combinación de diseños factoriales fraccionados en los que se han intercambiado ciertos signos, es posible aislar de manera sistemática los efectos de interés potencial. A este tipo de experimento secuencial se le llama doblez O plegado ifold over) del diseño original. La estructura de los alias de cualquier fracción con los signos de uno o más de los factores invertidos se obtiene haciendo el cambio de signo apropiado en los factores de la estructura de los alias de la fracción original. Tabla 8-20 El diseño 2;3 con los generadores 1 = ABD, 1 = ACE e 1 = BCF Diseño básico Corrida A 1 2 3 4 + 5 6 7 8 + + + B + + + + C + + + + D=AB E=AC F=BC + + + + + + + + + + + + def af be abd ed aee bef abedef ::1 111 ~' 340 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Considere el diseño 2iI~4 de la tabla 8-19. Suponga que junto con esta fracción principal se corre también un segundo diseño fraccionado con los signos invertidos en la columna del factor D. Es decir, la columna de D de la segunda fracción es -++--++Los efectos que pueden estimarse a partir de la primera fracción se muestran en la ecuación 8-1, y a partir de la segunda fracción se obtiene J!~ ~A-BD+CE+FG e~ ~B-AD+CF+EG J!~ ~C+AE+BF-DG J!~ ~D-AB-CG-EF es decir, J!~D ~-D+AB+CG+EF (8-2) J!~ ~E+AC+BG-DF e~ ~F+BC+AG-DE e~ ~G-CD+BE+AF suponiendo que no son significativas las interacciones de tres factores y de órdenes superiores. Ahora bien, a partir de las dos combinaciones lineales de los efectos t( J!¡ + J!' ¡) y t( J!¡ - J!' ¡) se obtiene ,. li A B C D E F G l' .5:, 1'" 1""" (:; " n, l."' Det((+.e;) A + CE+FG B+ CF+EG C+AE+BF D E+AC+BG F+BC+AG G+BE+AF Det(( -.e;) BD AD DG AB + CG+EF DF DE CD " ~] .r; Por lo tanto, se ha aislado el efecto principal de D y todas sus interacciones de dos factores. En general, si a un diseño fraccionado de resolución III o mayor se le agrega una fracción adicional con los signos de un solo factor invertidos, entonces el diseño combinado producirá las estimaciones del efecto principal de ese factor y sus interacciones de dos factores. Suponga ahora que a un diseño fraccionado de resolución III se le agrega una segunda fracción en la que los signos de todos los factores están inveltidos. Este tipo de doblez (llamado en ocasiones doblez como pleto o reflexión) rompe los vínculos de alias entre los efectos principales y las interacciones de dos factores. Es decir, puede usarse el diseño combinado para estimar todos los efectos principales quitados de todas las interacciones de dos factores. En el siguiente ejemplo se ilustra la técnica. EJEMPLO 8~7 ..................•......•........................•.•........ Un analista de desempeño humano conduce un experimento para estudiar el tiempo de enfoque del ojo y ha construido un aparato en el que pueden controlarse varios factores durante la prueba. Los factores que considera importantes inicialmente son la agudeza o claridad visual (A), la distancia del objetivo al ojo (B), la forma del objetivo (C), el nivel de iluminación (D), el tamaño del objetivo (E), la densidad del objetivo (F) y el sujeto (G). Se consideran dos niveles de c;ada factor. El analista sospecha que sólo algunos de estos siete factores son de importancia principal y que pueden omitirse las interacciones de órde- 8-5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III 341 Diseño 2{11 4 para el experimento del tiempo de enfoque del ojo Tabla 8-21 Diseño básico Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 A + + + + B + + + + C + + + + D=AB E=AC F=BC + + + + + + + + + + G=ABC + + + + + + Tiempo def afg beg abd edg aee bef abedefg 85.5 75.1 93.2 145.4 83.7 77.6 95.0 141.8 nes superiores entre los factores. Con base en este supuesto, el analista decide correr un experimento de tamizado para identificar los factores más importantes para después enfocar el estudio en los mismos. Para explorar estos siete factores, el experimentador corre las combinaciones de tratamientos del diseño 2i;¡4 de la tabla 8-19 de manera aleatoria, obteniendo los tiempos de enfoque en milisegundos, como se muestra en la tabla 8-21. A partir de estos datos pueden estimarse siete efectos principales y sus alias. Por la ecuación 8-1 se observa que los efectos y sus alias son == fE == fe == f n == fE == f F == ea == fA 20.63 ~A+BD+CE+FG 38.38 ~B+AD+CF+EG ~ C+AE+BF+DG 28. 88 ~ D + AB + CG+ EF -0.28 ~E+AC+BG+DF -0.63 ~F+BC+AG+DE -2.43 ~G+CD+BE+AF -0.28 Por ejemplo, fA == H-85.5+75.1- 93.2+ 145.4- 83.7+77.6- 95.0+ 141.8) == 20.63 Los tres efectos más grandes son fA' fE yen' La interpretación más simple de los datos es que los efectos principales deA, B y D son todos significativos. Sin embargo, esta interpretación no es única, ya que otra conclusión lógica sería queA, B y la interacciónAB, o quizáB, D y la interacción BD, o tal vezA, D y la interacción AD son los verdaderos efectos. Observe queABD es una palabra en la relación de definición de este diseño. Por lo tanto, este diseño 2i;¡4 no se proyecta en un factorial 23 enABD; en cambio, se proyecta en dos réplicas de un diseño 23-1, como se ilustra en la figura 8-23. Puesto que el diseño 23- 1 es de resolución III,A será alias de BD, B será alias deAD y D será alias deAB, por lo que no es posible separar las interacciones de los efectos principales. En este caso, quizá el analista haya tenido mala suerte. Si hubiera asignado el nivel de iluminación a C en lugar de aD, el diseño se habría proyectado en un diseño 23 completo, y la interpretación podría haber sido más sencilla. Para separar los efectos principales y las interacciones de dos factores, se corre una segunda fracción con todos los signos invertidos. Este doblez del diseño se muestra en la tabla 8-22, junto con las respuestas observadas. Note que cuando se hace el doblez de un diseño de resolución III de esta manera, de hecho se 342 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES + r- . I " - - - - - r - - - - ( ' D I I I I //---- 0< + A Figura 8-23 El diseño 2i,~4 proyectado en dos réplicas de un diseño 2;;;' enA,B y D. cambian los signos de los generadores que tienen un número impar de letras. Los efectos estimados por esta fracción son e~ =-17.68 -?oA-BD-CE-FG e~ = 37.73 -?oB-AD-CF-EG te = - 3.33 E~ = 29.88 E~ = 0.53 E~ "'. ", r' ....:r.::,' Il:::. 1"" (~: ,'1' , ..... E/o = = -?o C- AE- BF- DG -?o D- AB- CG- EF -?o E- AC- BG- DF 1.63 -?o F- BC- AG- DE 2.68 -?o G- CD- BE- AF Al combinar esta segunda fracción con la original se obtienen las siguientes estimaciones de los efectos: , A BD + CE +FG = 19.15 AD + CF + EG = 0.33 AE + BF + DG = 1.53 AB + CG +EF = -0.50 AC + BG + DF = -0.40 BC +AG +DE =-1.53 CD + BE + AF = -2.55 A = 1.48 B = 38.05 C = -1.80 D = 29.38 E = 0.13 F = 0.50 G = 0.13 B C D E F G Tabla 8-22 Un doblez del diseño 2;¡¡4 en el experimento del tiempo de enfoque del ojo Diseño básico Corrida A B C D=-AB E=-AC 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F=-BC + + + + + Tiempo G=ABC + + + abcg bcde acdf cefg abef bdfg adeg (1) 91.3 136.7 82.4 73.4 94.1 143.8 87.3 71.9 r'l'l S-5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III 343 Los dos efectos más grandes son By D. Además, el tercer efecto más grande es BD + CE + FG, por lo que parece razonable atribuir esto a la interacciónBD. El analista usó los dos factores, distancia (B) y nivel de iluminación (D), en experimentos subsecuentes con los demás factores A, C, E y F en ajustes estándar, y verificó los resultados obtenidos aquí. Decidió usar los sujetos como bloques en estos nuevos experimentos en lugar de ignorar el efecto potencial del sujeto debido a que fue necesario utilizar varios sujetos diferentes para completar el experimento. ........................................................................ . La relación de definición para un diseño de doblez La combinación de diseños factoriales fraccionados por medio de un doblez, como la que se hizo en el ejemplo 8-7, es una técnica muy útil. Con frecuencia es de interés conocer la relación de definición del diseño combinado. Puede determinarse con facilidad. Cada fracción separada tendrá L + U palabras usadas como generadores: L palabras con el mismo signo y U palabras con signos diferentes. En el diseño combinado se usaránL + U -1 palabras como generadores. Éstas serán lasL palabras con el mismo signo y las U -1 palabras que constan de productos pares independientes de las palabras que tienen signos diferentes. (Los productos pares son las palabras tomadas de dos en dos, de cuatro en cuatro, etcétera.) Para ilustrar este procedimiento, considere el diseño del ejemplo 8-7. Para la primera fracción, los generadores son I=ABD, I=ACE, I=BCF I=ABCG e y para la segunda fracción son I=-AB~ I=-AC~ I=-BCF e I=ABCG Observe que en la segunda fracción se han intercambiado los signos de los generadores con un número impar de letras. Asimismo, observe queL + U = 1 + 3 = 4. El diseño combinado tendráI =ABCG (la palabra con el mismo signo) como generador y dos palabras que son productos pares independientes de las palabras con signos diferentes. Por ejemplo, tómese I = ABD e I = ACE; entonces I = (ABD)(ACE) = BCDE es un generador del diseño combinado. Asimismo, tómese I = ABD e I = BCF; entonces I = (ABD)(BCF) = ACDF es un generador del diseño combinado. La relación de definición completa para el diseño combinado es I= ABCG= BCDE= ACDF= ADEG= BDFG= ABEF= CEFG Diseños de Plackett-Burman Estos diseños, atribuidos a Plackett y Burman, son diseños factoriales fraccionados de dos niveles para estudiar k = N -1 variables enN corridas, donde N es un múltiplo de 4. SiN es una potencia de 2, estos diseños son idénticos a los que se presentaron anteriormente en esta sección. Sin embargo, para N = 12, 20, 24,28 Y36, los diseños de Plackett-Burman en ocasiones son de interés. Puesto que estos diseños no pueden representarse como cubos, en ocasiones se les llama diseños no geométricos. En la mitad superior de la tabla 8-23 se presentan los renglones de signos positivos y negativos que se usan para construir los diseños de Plackett-Burman paraN = 12,20,24 Y36, mientras que en la mitad inferior de la tabla se presentan los bloques de signos positivos y negativos para construir el diseño paraN = 28. Los diseños para N = 12, 20, 24 Y36 se obtienen escribiendo el renglón apropiado de la tabla 8-23 como una columna (o renglón). Entonces se genera una segunda columna (o renglón) a partir de la primera moviendo los elementos de la columna (o renglón) hacia abajo (o hacia la derecha) una posición y colocando el último elemento en la primera posición. Una tercera columna (o renglón) se produce a partir de la segunda de manera similar, y el proceso se continúa hasta que se genera la columna (o renglón) k. 1 i I ¡ 344 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Tabla 8-23 Signos positivos y negativos para los diseños de Plackett-Burman le =11, N =12 ++ -+++ ---+le =19, N =20++--++++-+-+ ----++le = 23, N = 24+++++ -+ -++ --++ --+ -+ ---le = 35, N = 36 -+ -+++ ---+++++ -+++ --+ ----+ -+ -++ --+le =27, N=28 -+---+--+ +-++++----++--+-++ -+++ --+---+--+-+++++----+-+---+ ---+-++++ ---++~+++ +----++-----+++++ -+-+---++++---+-+ --+--+-++++ ---+++--+----+ +++----++ -+--+-+-- ++-+-++-+ -++++ -+++-+-++-++ +-+++-+-+ ++--++++-+++-+-++ + -++ -+++++-++--++ -++-+++-+ Después se agrega un renglón de signos negativos, completándose así el diseño. ParaN = 28, los tres bloques X; Y YZ se apuntan en el orden XYZ ZXy YZX I "111 1'"," 1", '" 1'-, l••, '. l'" :''" . "."" r:: 1::' )1 1" y se agrega un renglón de signos negativos a estos 27 renglones. El diseño para N = 12 corridas y k = 11 . factores se muestra en la tabla 8-24. Los diseños no geométricos de Plackett-Burman paraN = 12,20,24,28 Y36 tienen estructuras de los alias muy intrincadas. Por ejemplo, en el diseño de 12 corridas, todos los efectos principales son alias parciales de cada una de las interacciones de dos factores en los que no están incluidos. Por ejemplo, la interacción AB es alias de los nueve efectos principales e, D, ..., K. Además, cada uno de los efectos, principales son alias parciales de 45 interacciones de dos factores. En diseños más grandes, la situación es todavía más compleja. Se recomienda al experimentador usar estos diseños con mucho cuidado. Tabla 8-24 Diseño de Plackett-Burman para N = 12, k = 11 Corrida A 1 2 + + 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 + + + B e D E F + + + + + + + + G H 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + J + + + + + + + + + K + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 8-5 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN III 345 • I I I . ././~-./ • a) Proyección en tres factores + I I I ./ ./ ~-./ ./ ./ ./ b) Proyección en cuatro factores Figura 8-24 Proyección del diseño de PlackeU-Burman de 12 corridas en diseños de tres y cuatro factores. Las propiedades proyectivas de los diseños no geométricos de Plackett-Burman no son avasalladoramente atractivas. Por ejemplo, considere el diseño de 12 corridas de la tabla 8-24. Este diseño se proyectará en tres réplicas de un diseño 22 completo en dos cualesquiera de los 11 factores originales. Sin embargo, en tres factores, el diseño proyectado es un diseño 23 completo más un factorial fraccionado 2~¡ (ver la figura 8-24a). Por lo tanto, el diseño de Plackett-Burman de resolución III tiene proyectividad 3, lo cual significa que se plegará en un diseño factorial completo en cualquier subconjunto de tres factores. El diseño 2;P sólo tiene proyectividad 2. Las proyecciones de cuatro dimensiones se muestran en la figura 8-24b. Observe que estas proyecciones de tres y cuatro factores no son diseños balanceados. EJEMPLO . 8~8 Se ilustrarán algunas de las dificultades potenciales asociadas con los diseños de Plackett-Burman utilizando el diseño de 11 variables con 12 corridas y un conjunto de datos simulados. Se supondrá que el proceso tiene tres efectos principales significativos (A, B, D) Ydos interacciones significativas de dos factores (AB y AD). El modelo es y= 200+8x¡ +10x 2 +12x 4 -12x¡x 2 +9x¡x 4 +e donde cadax¡ es una variable codificada definida en el intervalo -1, + 1 ye es un término NID(O, 9) del error aleatorio. Por lo tanto, tres de los k = 11 factores son grandes, y hay dos interacciones grandes; la situación no está fuera de razón. En la tabla 8-25 se presenta el diseño de Plackett-Burman con 12 corridas y las respuestas simuladas. Este diseño luce diferente al diseño de 12 corridas de la tabla 8-24 porque se construyó utilizando el ren- 346 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Tabla 8-25 Diseño de Plackett-Burman para el ejemplo S-S Corrida A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + + + 11 + + + + + + + + + e + + + + + + D E F + + + + + + + + + + + + + + + + + + G + + + + + + H J K L + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 12 - Respu;sta 231 207 230 217 175 176 183 185 181 220 229 168 glón de signos para k = 11, N = 12 de la tabla 8-23 como renglón. En la tabla 8-26 se muestran las estimaciones de los efectos. Observe que hay siete efectos grandes: A, B, C, D, E, J YK (y, desde luego, sus alias). No es evidente de inmediato que algunos de estos efectos podrían ser interacciones. Parte de esta ambigüedad podría resolverse haciendo el doblez del diseño. Con esto por 10 general se resolverán los efectos principales, pero con frecuencia sigue dejando al experimentador con la incertidumbre acerca de los efectos de las interacciones. La dificultad para interpretar un diseño de Plackett-Burman, ilustrada en el ejemplo anterior, ocurre con mucha frecuencia en la práctica. Si la elección está entre un diseño geométrico 2~i~7 con 16 corridas o un diseño de Plackett-Burman con 12 corridas que quizá tenga que doblarse (para 10 cual se requerirían 24 corridas), el diseño geométrico puede resultar una mejor elección. Para mayores detalles ver Montgomery, Borrar y Stanley [81]. Bajo ciertas condiciones, los alias de un diseño no geométrico de Plac- Tabla 8-26 Estimaciones de los efectos, coeficientes de regresión y sumas de cuadrados del ejemplo 8-S Variable" Coeficiente de regresión Promedio global A B . 200.167 6.333 Efecto estimado 12.667 13.333 e 6.833 12.667 34.000 D 17.000 13.667 E 6.833 F 0.500 1.000 -2.333 G -1.167 3.000 H 1.500 J -6.333 -12.667 K -5.833 -11.667 -0.333 L -0.167 aTados los efectos principales son alias parciales de 45 interacciones de dos factores. 6.667 Suma de cuadrados 481.333 533.333 560.333 3468.000 560.333 3.000 16.333 27.000 481.333 408.333 0.333 8-6 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN IV Y V 347 kett-Burman pueden desenredarse utilizando técnicas de construcción de modelos de regresión. Esto se analiza en Hamada y Wu [53]. 8-6 DISEÑOS DE RESOLUCIÓN IV Y V Un diseño factorial fraccionado 2k- p es de resolución IV si los efectos principales están separados de las interacciones de dos factores y algunas interacciones de dos factores son alias entre sí. Por lo tanto, si se suprimen las interacciones de tres factores y de órdenes superiores, los efectos principales pueden estimarse directamente en un diseño 2~p. Un ejemplo es el diseño 2~2 de la tabla 8-10. Además, las dos fracciones combinadas del diseño 2~4 del ejemplo 8-7 producen un diseño 2~3 . Cualquier diseño 2~ P debe incluir al menos 2k corridas. A los diseños de resolución IV que contienen exactamente 2k corridas se les llama diseños mínimos. Los diseños de resolución IV pueden obtenerse a partir de diseños de resolución III por el proceso de doblado. Recuerde que para hacer el doblez de un diseño 2~?, simplemente se agrega a la fracción original una segunda fracción con todos los signos invertidos. Entonces los signos positivos en la columna identidad 1 de la primera fracción podrían intercambiarse en la segunda fracción, y el factor (k + 1)-ésimo podría asociarse con esta columna. El resultado es un diseño factorial fraccionado 2~1-P. El proceso se muestra en la tabla 8-27 para el diseño 2~1. Es sencillo verificar que el diseño resultante es un diseño 2~1 con la relación de definición 1 =ABCD. También es posible hacer el doblez de diseños de resolución IV para separar las interacciones de dos factores que son alias entre sí. Montgomery y Runger [83c] hacen notar que un experimentador puede tener varios objetivos al hacer el doblez de un diseño de resolución IV, como 1) romper tantas cadenas de alias de interacciones de dos factores como sea posible, 2) romper las interacciones de dos factores en una cadena de alias específica, o 3) romper las interacciones de dos factores que incluyen un factor específico. Una manera de hacer el doblez de un diseño de resolución IV es corriendo una segunda fracción en la que se invierte el signo de todos los generadores del diseño que tienen un número impar de letras. Para ilustrar, considere el diseño 2~2 usado en el experimento del moldeo por inyección del ejemplo 8-4. Los generadores del diseño de la tabla 8-10 son 1 = ABCE el = BCDF. La segunda fracción usaría los Tabla 8.27 Diseño 2i;1 obtenido por doblez D 1 A B e Diseño 2~1 orginal con 1 = ABe + + + + + + + + + + Segundo diseño 2~1 con los signos intercambiados + + + + + + 348 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES generadores I = -ABCE e I = -BCDF, y el generador único para el diseño combinado sería I = ADEF. Por lo tanto, el diseño combinado sigue siendo un diseño factorial fraccionado de resolución N. Sin embargo, las relaciones de los alias serán mucho más sencillas que en el diseño 2~2 original. De hecho, las únicas interacciones de dos factores que tendránalias sonAD = EF, AE = DFyAF = DE. Todas las demás interacciones de dos factores pueden estimarse a partir del diseño combinado. Como otro ejemplo, considere el diseño 2~3 con 32 corridas. La tabla 8-14 indica que el mejor con. junto de generadores para este diseño es I = ABCF, I = ABDG e I = BCDEH. En la tabla XII (m) del apéndice se muestran los alias para este diseño. Observe que hay seis pares de interacciones de dos factores y un grupo de tres interacciones de dos factores que son alias. Si se hace el doblez de este diseño, la segunda fracción tendría los generadoresI = -ABCF, I = -ABDG e I = BCDEH. El diseño combinado tiene los generadores I = CDFG e I = BCDEH, y la relación de definición completa es I '1 ~ ,'~ ,,' I~ = CDFG= BCDEH = BEFGH El diseño combinado es de resolución IV, pero las únicas interacciones de dos factores que siguen teniendo alias son CD = FG, CF = DG YCG = DF. Se trata de una simplificación considerable de los alias de la fracción original. Observe que cuando se empieza con un diseño de resolución III, el procedimiento de doblez garantiza que el diseño combinado será de resolución Iv, con lo cual se asegura que todos los efectos principales pueden separarse de sus alias en interacciones de dos factores. Cuando se hace el doblez de un diseño de resolución IV, no necesariamente se separarán todas las interacciones de dos factores. De hecho, si la fracción original tiene una estructura de los alias con más de dos interacciones de dos factores en cualquier cadena de alias, el doblez no separará completamente todas las interacciones de dos factores. Ambos ejemplos anteriores, e12~2 y el2~3, tienen al menos una de tales cadenas de alias de interacciones de dos factores. Montgomeryy Runger [83c] dan una tabla de diseños hechos doblez recomendados para fracciones de resolución N con 6 :5 le :5 10 factores. Los diseños de resolución V son factoriales fraccionados en los que los efectos principales y las interacciones de dos factores no tienen como alias otros efectos principales u otras interacciones de dos factores. Estos diseños son muy poderosos, permitiendo la estimación única de todos los efectos principales y las interacciones de dos factores, siempre que todas las interacciones de tres factores y de órdenes superiores sean insignificantes. La palabra más pequeña de la relación de definición de tal diseño debe tener cinco letras. El diseño 25- 1 con la relación de definición I =ABCDE es de resolución v: Otro ejemplo es el diseño 2~-2 con las relaciones de definición I = ABCDG e I = ABEFH. Ejemplos adicionales de estos diseños se presentan en Box y Hunter [17c]. Debido a que los diseños estándar de resolución V son diseños grandes cuando el número de factores es moderadamente grande, existe cierto interés práctico en los diseños factoriales fraccionados irregulares de resolución V. Se cuenta con diseños útiles para 4:5 1e:5 9 factores. El diseño de 24 corridas para le = 5 factores se muestra en la tabla 8-28. Puesto que se trata de un diseño de resolución V; es posible estimar los cinco efectos principales y las 10 interacciones de dos factores, suponiendo que las interacciones de tres factores y órdenes superiores son insignificantes. El diseño para le = 4 factores tiene 12 corridas y se comenta en el problema 8-22. Para le = 6, 7 Y8, estos diseños tienen 48 corridas, y el diseño de nueve factores tiene 96 corridas. El paquete de software Design-Expert contiene todos estos diseños. Por último, cabe señalar que un doblez completo de un diseño de resolución IV o V suele ser innecesario. En general, sólo hay una o dos (o muy pocas) interacciones con alias que son de interés potencial. Los alias de estas interacciones pueden por lo general separarse agregando un número pequeño de corri- ;) das a la fracción original. Esta técnica se denomina en ocasiones doblez parcial. Para formarse una idea de cómo se hace esto, referirse al ejemplo 10-5 y al material suplementario del texto de este capítulo, "11 :'~r !;l, :¡ji.. ~~ 11 il I_! 8~7 RESUMEN [!, l' ! En este capítulo se introdujo el diseño factorial fraccionado 2k- p • Se ha hecho hincapié en el uso de estos diseños en experimentos de tamizado para identificar de manera rápida y eficaz el subconjunto de factores que están activos, así como para proporcionar cierta información sobre las interacciones, La propiedad de proyección de estos diseños hace posible en muchos casos examinar los factores activos con mayor detalle. El ensamblaje secuencial de estos diseños por medio de un doblez es una manera muy eficaz de obtener información adicional acerca de las interacciones que pueden identificarse como de posible importancia en un experimento inicial. En la práctica, los diseños factoriales fraccionados 2k-p con N = 4, 8, 16 Y32 corridas son muy útiles. En la tabla 8-29 se resumen estos diseños, identificando cuántos factores pueden usarse con cada diseño para obtener diferentes tipos de experimentos de tamizado. Por ejemplo, el diseño de 16 corridas es un factorial completo para 4 factores, una fracción un medio para 5 factores, una fracción de resolución IV para 6 u 8 factores y una fracción de resolución III para 9 a 15 factores. Todos estos diseños pueden cons~ truirse utilizando los métodos explicados en este capítulo, y muchas de sus estructuras de los alias se muestran en la tabla XII del apéndice. - 1 I Ir 350 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Tabla 8-29 Diseños factoriales y factoriales fraccionados útiles del sistema 2h-p, Los números en las celdas son el número de' factores del experimento Número de corridas Tipo de diseño Factorial completo Fracción un medio Fracción de resolución IV Fracción de resolución III 8~8 8-1. 8-2. 8-3. li 8-4. 1: ~: ",' r 8-5. 8-6. 8 16 32 2 3 3 4 4 5-7 4 5 6-8 9-15 5 6 7-16 17-31 3 PROBLEMAS Suponga que en el experimento del desarrollo del proceso químico descrito en el problema 6-7 sólo pudo correrse una fracción un medio del diseño 24• Construir el diseño y llevar a cabo el análisis estadístico utilizando los datos de la réplica I. Suponga que en el problema 6-15 sólo pudo correrse una fracción un medio del diseño 24• Construir el diseño y llevar a cabo el análisis utilizando los datos de la réplica I. Considere el experimento del grabado con plasma del problema 6-18. Suponga que sólo pudo correrse una fracción un medio del diseño. Establecer el diseño y analizar los datos. En el problema 6-21 se describe el estudio para mejorar un proceso durante la manufactura de un circuito integrado. Suponga que sólo pudieron hacerse ocho corridas de este proceso. Establecer un diseño 25- 2 apropiado y encontrar la estructura de los alias. Utilizar las observaciones apropiadas del problema 6-21 como las observaciones de este diseño y estimar los efectos de los factores. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? Continuación del problema 8-4. Suponga que ha hecho las ocho corridas del diseño 25- 2 del problema 8-4. ¿Qué corridas adicionales se necesitarían para identificar los efectos de los factores que son de interés? ¿Cuáles son las relaciones de los alias en el diseño combinado? R.D. Snee ("Experimentación con un número grande de variables", en Experiments in Industry: Design, Analysis and Inte¡pretation 01Results, de R.D. Snee, L.B. Rare y J.B. Trout, editores, ASQC) describe un experimento en el que se usó un diseño 25- 1 con 1 = ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre el color de un producto químico. Los factores sanA = solvente/reactivo, B = catalizador/reactivo, C = temperatura, D = pureza del reactivo y E = pH del reactivo. Los resultados obterJdos fueron los siguientes: e = -0.63 d = 6.79 2.51 ade = 5.47 b = -2.68 bde = 3.45 a= 1.66 abd = 5.68 e= 2.06 ede = 5.22 aee = 1.22 aed = 4.38 bee = -2.09 bed = 4.30 1.93 abede = 4.05 abe = abe = 8-7. 4 a) Construir una gráfica de probabilidad normal de los efectos. ¿Qué efectos parecen estar activos? b) Calcular los residuales. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales y graficar los residuales contra los valores ajustados. Comentar las gráficas. e) Si algunos de los factores son insignificantes, plegar el diseño 25- 1 aun diseño factorial completo en los factores activos. Comentar el diseño resultante e interpretar los resultados. En un artículo de 1.1. Pignatiello, Jr. y J.S. Ramberg delJoumal 01Quality Teehnology (vol. 17, pp. 198-206) se describe el uso de un diseño factorial fraccionado con réplicas para investigar el efecto de cinco factores sobre la altura libre de los resortes de hojas utilizados en una aplicación automotriz. Los factores sanA = tem- liI 1\ 8-8 PROBLEMAS 351 peratura del horno, B = tiempo de calentamiento, C = tiempo de transferencia, D = tiempo de retención y = temperatura del aceite de templado. Los datos se presentan a continuación: E A + + + + + + + + 8-8. B + + + + + + + + C D Altura libre E 7.78 8.15 7.50 7.59 7.54 7.69 7.56 7.56 7.50 7.88 7.50 7.63 7.32 7.56 7.18 7.81 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 7.78 8.18 7.56 7.56 8.00 8.09 7.52 7.81 7.25 7.88 7.56 7.75 7.44 7.69 7.18 7.50 7.81 7.88 7.50 7.75 7.88 8.06 7.44 7.69 7.12 7.44 7.50 7.56 7.44 7.62 7.25 7.59 a) Escribir la estructura de los alias de este diseño. ¿Qué resolución tiene este diseño? b) Analizar los datos. ¿Qué factores influyen en la altura libre promedio? e) Calcular el rango y la desviación estándar de la altura libre para cada corrida. ¿Hay algún indicio de que cualquiera de estos factores afecta la variabilidad de la altura libre? d) Analizar los residuales de este experimento y comentar los resultados. e) ¿Este diseño es el mejor posible para cinco factores en 16 corridas? Específicamente, ¿es posible encontrar un diseño fraccionado para cinco factores en 16 corridas con una resolución más alta que la de este diseño? En un artículo de Industrial and Engineering Chemistry ("Información adicional acerca de la planeación de experimentos para aumentar la eficiencia de la investigación") se utiliza un diseño 25- 2 para investigar el efecto deA = temperatura de condensación, B = cantidad del material 1, C = volumen del solvente, D = tiempo de condensación y E = cantidad del material 2 sobre el rendimiento. Los resultados obtenidos son los siguientes: e = 23.2 ab =15.5 ad =16.9 be =16.2 ed = 23.8 aee = 23.4 bde =16.8 abede =18.1 a) Verificar que los generadores que se utilizaron en el diseño fueron I = ACE e I = BDE. b) Apuntar la relación de definición completa y los alias de este diseño. e) Estimar los efectos principales. d) Elaborar la tabla del análisis de varianza. Verificar que las interaccionesAB y AD están disponibles para usarlas como error. e) Graficar los residuales contra los valores ajustados. Construir también la gráfica de probabilidad normal de los residuales. Comentar los resultados. 8-9. Considere el experimento con el resorte de hojas del problema 8-7. Suponga que el factor E (temperatura del aceite de templado) es muy difícil de controlar durante la manufactura. ¿Cuál sería el ajuste de los factores A, B, C YD para reducir la variabilidad de la altura libre tanto como sea posible, independientemente de la temperatura del aceite de templado usada? 8-10. Construir un diseño 27- 2 seleccionando dos interacciones de dos factores como los generadores independientes. Apuntar la estructura de los alias completa de este diseño. Delinear la tabla del análisis de varianza. ¿Cuál es la resolución de este diseño? r ~ I.'el :',',1 ,!" 1,,: '1 ! i/ I I I ;1 l: :!(.'¡ ji: '11, ~~ll l"" I,~, r" r",:1 ~ii -: .... ,, ", ',. ... 'Ir' ~"I ¡1'1 ::11 352 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES Considere el diseño 25 del problema 6-21. Suponga que sólo pudo correrse una fracción un medio. Además se requirieron dos días para hacer las 16 observaciones, y fue necesario confundir el diseño 25- 1 en dos bloques. Construir el diseño y analizar los datos. 8-12. Analizar los datos del problema 6-23 como si provinieran de un diseño 2~1 conI =ABCD. Proyectar el diseño en un factorial completo en el subconjunto de los cuatro factores originales que parecen ser significativos. 8-l3. Repetir el problema 8-12 utilizando I = -ABCD. ¿El uso de la fracción alterna modifica la interpretación de los datos? 8-14. Proyectar el diseño 2~1 del ejemplo 8-1 en dos réplicas de un diseño 22 en los factores A y B. Analizar los datos y sacar conclusiones. 8-15. Construir un diseño 2~3. Determinar los efectos que pueden estimarse si se corre una segunda fracción de este diseño con todos los signos invertidos. 8-16. Considere el diseño 2~3 qel problema 8-15. Determinar los efectos que pueden estimarse si se corre una segunda fracción de este diseño con los signos del factor A invertidos. 8-17. Hacer el doblez del diseño 2~4 de la tabla 8-19 para producir un diseño de ocho factores. Verificar que el diseño resultante sea 2~4. ¿Se trata de un diseño mínimo? 8-18. Hacer el doblez de un diseño 2i;? para producir un diseño de seis factores. Verificar que el diseño resultante sea 2~2. Comparar este diseño con el diseño 2~2 de la tabla 8-10. 8-19. Un ingeniero industrial realiza un experimento utilizando un modelo de simulación Montecarlo de un sistema de inventario. Las variables independientes de su modelo son la cantidad del pedido (A), el punto de un nuevo pedido (B), el costo de organización (C), el costo del refrendo de pedidos (D) y la tarifa de transportación (E). La variable de respuesta es el costo anual promedio. Para ahorrar tiempo de computadora, el ingeniero decide investigar estos factores utilizando un diseño 2;;;2 con I = ABD e I =.BCE. Los resultados que obtiene son de = 95, ae = 134, b = 158, abd = 190, ed = 92, ae = 187, bee = 155 Y abede = 185. a) Verificar que las combinaciones de tratamientos dadas sean correctas. Estimar los efectos suponiendo que las interacciones de tres factores y de órdenes superiores son insignificantes. b) Suponga que se agrega una segunda fracción a la primera, por ejemplo, ade = 136, e = 93, ab = 187, bd = 153, aed = 139, e = 99, abee·= 191 Ybede = 150. ¿Cómo se obtuvo esta segunda fracción? Incorporar estos datos a la fracción original y estimar los efectos. e) Suponga que se corrió la fracción abe = 189, ce = 96, bed = 154, aede = 135, abe = 193, bde = 152, ad = 137 Y(1) = 98. ¿Cómo se obtuvo esta fracción? Incorporar estos datos en la fracción original y estimar los efectos. 8-20. Construir un diseño 25- 1• Indicar cómo puede correrse el diseño en dos bloques de ocho observaciones cada uno. ¿Alguno de los efectos principales o de las interacciones de dos factores están confundidos con los bloques? 8-21. Construir un diseño 27- 2 • Indicar cómo puede correrse el diseño en cuatro bloques de ocho observaciones cada uno. ¿Alguno de los efectos principales o de las interacciones de dos factores están confundidos con los bloques? 8-22. Fracciones irregulares del diseño 2k (John [61dJ). Considere un diseño 24• Tienen que estimarse los cuatro efectos principales y las seis interacciones de dos factores, pero no puede correrse el factorial 24 completo. El tamaño del bloque más grande posible contiene 12 corridas. Estas 12 corridas pueden obtenerse de las cuatro réplicas un cuarto definidas por I = ±AB = ±ACD = ±BCD omitiendo la fracción principal. Indicar cómo pueden combinarse las tres fracciones 24-2 restantes para estimar los efectos requeridos, suponiendo que las interacciones de tres factores y de órdenes superiores son insignificantes. Este diseño podría considerarse como una fracción tres cuartos. 8-23. Los ánodos de carbono utilizados en un proceso de fundición se fabrican en un horno anular. Se corre un experimento en el horno para determinar cuáles son los factores que influyen en el peso del material de empaque que se adhiere a los ánodos después de la cocción. Seis variables son de interés, cada una con dos niveles: A = relación paso/finos (0.45, 0.55), B = tipo de material de empaque (1, 2), C = temperatura del material de empaque (ambiente, 325°C), D = localización de la chimenea (adentro, afuera), E = temperatura del foso (ambiente, 195°C) y F = tiempo de retraso antes del empaque (cero, 24 horas). Se corre un diseño 26- 3 y se 8-11. i I .¡ 8-8 PROBLEMAS 8-24. 353 obtienen tres réplicas en cada uno de los puntos del diseño. El peso del material de empaque adherido a los ánodos se mide en gramos. Los datos en el orden de las corridas son los siguientes: abd = (984, 826, 936); abedef= (1275,976,1457); be = (1217,1201,890); af= (1474, 1164, 1541); def= (1320,1156,913); ed = (765,705,821); aee = (1338, 1254, 1294) Ybef = (1325, 1299, 1253). Se desea minimizar la cantidad de material de empaque adherido. a) Verificar que las ocho corridas correspondan a un diseño 2~3. ¿Cuál es la estructura" de los alias? b) Usar el peso promedio como respuesta. ¿Qué factores parecen tener influencia? e) Usar el rango de los pesos como respuesta. ¿Qué factores parecen tener influencia? d) ¿Qué recomendaciones podrían hacerse a los ingenieros del proceso? Se corrió un experimento de 16 corridas en una planta de manufactura de semiconductores para estudiar los efectos de seis factores sobre la curvatura o combadura de los dispositivos del sustrato producidos. Las seis variables y sus niveles se presentan a continuación: Temperatura de laminación Corrida CC) Tiempo de laminación (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 75 55 75 55 75 55 75 55 75 55 75 55 75 55 75 10 10 25 25 10 10 25 25 10 10 25 25 10 10 25 25 Presión de laminación (tn) Thmperatura de cocción 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 10 10 10 10 1580 1580 1580 1580 1580 1580 1580 1580 1620 1620 1620 1620 1620 1620 1620 1620 (oC) Duración del ciclo de cocción (h) 17.5 29 29 17.5 29 17.5 17.5 29 17.5 29 29 17.5 29 17.5 17.5 29 Punto de rocío de la cocción CC) 20 26 20 26 26 20 26 20 26 20 26 20 20 26 20 26 ~¡ ::: " "". ~~t, -1"" mí, -, ;t"T' 1;:; ::1 )1 ·61 '~I ";l¡1 io' rjlh I 1, Se hicieron cuatro réplicas de cada corrida, y se hizo una medición de la combadura del sustrato. Los datos se presentan enseguida: Combadura por réplica (pulg/pulg) Corrida 1 2 3 4 Total (10-4 pulg/pulg) Media (10-4 pulg/pulg) Desviación estándar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0167 0.0062 0.0041 0.0073 0.0047 0.0219 0.0121 0.0255 0.0032 0.0078 0.0128 0.0066 0.0043 0.0081 0.0047 0.0258 0.0090 0.0250 0.0023 0.0158 0.0149 0.0044 0.0042 0.0039 0.0040 0.0147 0.0092 0.0226 0.0077 0.0060 0.0185 0.0020 0.0050 0.0030 0.0089 0.0296 0.0086 0.0169 0.0069 0.0045 629 192 176 223 223 920 389 900 201 341 157.25 48.00 44.00 55.75 55.75 230.00 97.25 225.00 50.25 85.25 24.418 20.976 4.083 25.025 22.410 63.639 16.029 39.42 26.725 50.341 ",.,. 1 ','" 354 CAPÍTULO 8 L¡' DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES '~'i ;¡.j Combadura por réplica (pulg/pulg) Corrida 1 2 3 4 Total (10-4 pulg/pulg) Media (10-4 pulg/pulg) Desviación estándar 11 12 13 14 15 16 0.0043 0.0186 0.0110 0.0065 0.0155 0.0093 0.0027 0.0137 0.0086 0.0109 0.0158 0.0124 0.0028 0.0158 0.0101 0.0126 0.0145 0.0110 0.0028 0.0159 0.0158 0.0071 0.0145 0.0133 126 640 455 371 603 460 31.50 160.00 113.75 92.75 150.75 115.00 7.681 20.083 31.12 29.51 6.75 17.45 a) b) e) d) ¿Qué tipo de diseño utilizaron los experimentadores? ¿Cuáles son las relaciones de los alias en este diseño? ¿Alguna de las variables del proceso afecta la combadura promedio? ¿Alguna de las variables del proceso afecta la variabilidad de las mediciones de la combadura? Tabla 8-30 Datos para el problema 8-25 B F A e D E Espesor del recubrimiento protector Corrida Volumen Lote Tiempo, s Velocidad Aceleración Cubierta Izq. Centro DeI. Prom. Rango 1I~ 1: ~" e:, ~~II ~::: ". ~~~: ~:!!, ;:; ¡: )!: 1::' ;11' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 5 5 3 3 3 5 3 5 5 3 3 3 5 3 5 5 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 5 5 5 5 3 Lote 2 Lote 1 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 1 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 1 Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 Lote 2 . Lote 2 14 6 6 14 14 6 6 14 14 14 14 6 6 6 14 6 14 14 6 6 14 6 14 6 14 6 14 6 6 6 14 14 7350 7350 6650 7350 7350 6650 7350 6650 6650 6650 6650 7350 6650 6650 7350 7350 7350 6650 7350 7350 6650 6650 7350 7350 7350 6650 7350 6650 7350 6650 6650 6650 5 5 5 20 5 20 5 20 5 5 20 20 5 20 20 5 5 20 20 5 20 5 20 20 5 20 20 5 20 20 5 5 Sin Sin Sin Sin . Sin Sin Con Sin Sin Con Con Sin Con Con Con Con Con Sin Sin Sin Con Con Sin Con Con Sin Con Sin Con Con Con Sin 4531 4446 4452 4316 4307 4470 4496 4542 4621 4653 4480 4221 4620 4455 4255 4490 4514 4494 4293 4534 4460 4650 4231 4225 4381 4533 4194 4666 4180 4465 4653 4683 4531 4464 4490 4328 4295 4492 4502 4547 4643 4670 4486 4233 4641 4480 4288 4534 4551 4503 4306 4545 4457 4688 4244 4228 4391 4521 4230 4695 4213 4496 4685 4712 4515 4428 4452 4308 4289 4495 4482 4538 4613 4645 4470 4217 4619 4466 4243 4523 4540 4496 4302 4512 4436 4656 4230 4208 4376 4511 4172 4672 4197 4463 4665 4677 4525.7 4446 4464.7 4317.3 4297 4485.7 4493.3 4542.3 4625.7 4656 4478.7 4223.7 4626.7 4467 4262 4515.7 4535 4497.7 4300.3 4530.3 4451 4664.7 4235 4220.3 4382.7 4521.7 4198.7 4677.7 4196.7 4474.7 4667.7 4690.7 16 36 38 20 18 25 20 9 30 25 16 16 22 25 45 44 37 9 13 33 24 38 14 20 15 22 58 29 33 33 32 35 ¡1~ :j Ij f I 8-8 PROBLEMAS 8-25. e) Si es importante reducir la combadura tanto como sea posible, ¿qué recomendaciones se harían? Se usa un revestimiento por centrifugado para aplicar un recubrimiento fotoprotector en una oblea de silicio natural. Esta operación suele hacerse en las fases iniciales del proceso de fabricación de semiconductores, y el espesor promedio del recubrimiento protector y la variabilidad del espesor del mismo tienen un impacto importante en los pasos subsecuentes de manufactura. Seis variables se usan en el experimento. Las variables y sus niveles alto y bajo se presentan a continuación: Factor Nivel bajo Velocidad de centrifugado final Índice de aceleración Volumen de recubrimiento protector aplicado Tiempo del centrifugado Variación del lote del recubrimiento protector Presión de descarga 8-26. 355 7350 rpm 5 3 cc 14 s Lote 1 Sin cubierta Nivel alto 6650 rpm 20 5 cc 6s Lote 2 Con cubierta El experimentador decide usar un diseño 26-1 y hacer tres lecturas del espesor del recubrimiento protector en cada oblea de prueba. Los datos se muestran en la tabla 8-30. a) Verificar que se trata de un diseño 26- 1. Discutir las relaciones de los alias de este diseño. b) ¿Qué factores parecen afectar el espesor promedio del recubrimiento protector? e) Considerando que el volumen del recubrimiento protector aplicado tiene un efecto reducido sobre el espesor promedio, ¿tiene esto alguna implicación práctica im~ortante para los ingenieros del proceso? d) Proyectar este diseño en un diseño menor que incluya únicamente los factores significativos. Presentar los resultados gráficamente. ¿Ayuda esto en la interpretación? e) Usar el rango del espesor del recubrimiento protector como variable de respuesta. ¿Hay algún indicio de que alguno de estos factores afecte la variabilidad del espesor del recubrimiento protector? f) ¿Dónde se recomendaría que corrieran el proceso los ingenieros? Harry y Judy Peterson-Nedry (dos amigos del autor) son propietarios de un viñedo y una fábrica vinícola en Newberg, Oregon. Cultivan varias variedades de uvas y fabrican vino. Harry y Judy han usado diseños factoriales para el desarrollo de procesos y productos en el segmento de fabricación vinícola de su negocio. Este problema describe el experimento realizado para su Pinot Noir 1985. Originalmente se estudiaron ocho variables, las cuales se muestran en este experimento: Variable A = Clan de Pinot Noir B = Tipo de roble e = Edad de la barrica D = Levadura/contacto con la piel E = Vapores F = Tostado de las barricas G = Racimos completos H = Temperatura de fermentación Nivel bajo (-) Nivel alto ( +) Pornmard Allier Vieja Champagne Ninguno Ligero Ninguno Baja (75°F máx.) Wadenswil Tron<;;ais Nueva Montrachet Todos Medio 10% Alta (92°F máx.) Harry y Judy decidieron usar un diseño 2~4 con 16 corridas. El vino fue catado por un panel de expertos e18 de marzo de 1986. Cada experto calificó las 16 muestras de vino catadas, siendo la calificación lla mejor. El diseño y los resultados del panel de catadores se muestra en la tabla 8-31. a) ¿Cuáles son las relaciones de los alias en el diseño seleccionado por Harry y Judy? b) Usar las calificaciones promedio 6i) como variable de respuesta. Analizar los datos y sacar conclusiones. Se encontrará útil examinar una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones de los efectos. .. ,---~~; -=:~¡¡- \,jJ \J1 0\ Tabla 8-31 Diseño y resultados del experimento de la prueba del vino Variable B - e D - + + + - - + - Corrida A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - + - + - + - + + - - + + + + - - - + - + + - + + + + - - - + + + + - - + + + + + + + + E - + + + + CaIificaciones del panel . F G H - - - + + + + + - + + - - + - - + + + - - + - + - + + - + - - - - - + + + + - - + + - + - + + - - - - + + + HPN 12 10 14 9 8 16 6 15 1 7 13 3 2 4 5 11 JPN 6 7 13 9 8 12 5 16 2 11 3 1 10 4 15 14 CAL DCM 13 14 10 7 11 15 6 16 3 4 8 5 2 1 9 12 10 14 11 9 8 16 5 15 3 7 12 1 4 2 6 13 Resumen RGB 7 9 15 12 10 16 3 14 2 6 8 4 5 1 11 13 Ji s 9.6 10.8 12.6 9.2 9.0 15.0 5.0 15.2 2.2 7.0 8.8 2.8 9.6 2.4 9.2 12.6 3.05 3.11 2.07 1.79 1.41 1.73 1.22 0.84 0.84 2.55 3.96 1.79 3.29 1.52 4.02 1.14 In 8-8 PROBLEMAS 357 c) Usar la desviación estándar de las calificaciones (o alguna transformación apropiada tal como lag s) como variable de respuesta. ¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca de los efectos de las ocho variables sobre la variabilidad de la calidad del vino? d) Después de mirar los resultados, Harry y Judy coincidieron en que uno de los miembros del panel (DCM) sabía más de cerveza que de vino, por lo que decidieron eliminar su calificación. ¿Qué efecto tendría esto en los resultados y las conclusiones de los incisos b y c? e) Suponga que justo antes de empezar el experimento, Harry y Judy se enteraron de que las ocho nuevas barricas que ordenaron de Francia para usarlas en el experimento no llegarían a tiempo, y que las 16 corridas tendrían que hacerse con las barricas viejas. Si Harry y Judy simplemente eliminan la columna C de su diseño, ¿qué ocurre con las relaciones de los alias? ¿Es necesario que empiecen de nuevo y construyan otro diseño? f) Harryy Judy saben por experiencia que es improbable que algunas de las combinaciones de tratamientos produzcan buenos resultados. Por ejemplo, la corrida con las ocho variables en el nivel alto generalmente resulta en un vino con una calificación baja. Esto se confirmó e18 de marzo de 1986 en la prueba del vino. Quieren establecer un nuevo diseño para su Pinot Noir 1986 utilizando estas mismas ocho variables, pero no quieren correr el experimento con los ocho factores en el nivel alto. ¿Qué diseño sugeriría el lector? 8-27. En un artículo de Quality Engineering ("Una aplicación de los diseños experimentales factoriales fraccionados", vol. 1, pp. 19-23) M.B. Kilgo describe un experimento para determinar el efecto de la presión del COz (A), la temperatura del COz (B), la humedad del cacahuate (C), la velocidad de flujo del COz (D) Yel tamaño de las partículas de cacahuate (E) sobre el rendimiento total del aceite por lote de cacahuates (y). Los niveles que usó para estos factores son los siguientes: Nivel codificado -1 1 A, presión (bar) B, temperatura CC) C, humedad (% por peso) 415 550 25 95 5 15 D, flujo (litros/min) 40 60 E, tamaño de las partículas (mm) 1.28 4.05 Kilgo realizó el experimento factorial fraccionado con 16 corridas que se muestra a continuación. A B C D E 415 550 415 550 415 550 415 550 415 550 415 550 415 550 415 550 25 25 95 95 25 25 95 95 25 25 95 95 25 25 95 95 5 5 5 5 15 15 15 15 5 5 5 5 15 15 15 15 40 40 40 40 40 40 40 40 60 60 60 60 60 60 60 60 1.28 4.05 4.05 1.28 4.05 1.28 1.28 4.05 4.05 1.28 1.28 4.05 1.28 4.05 4.05 1.28 Y 63 21 36 99 24 66 71 54 23 74 80 33 63 21 44 96 358 8-28. : Ir (" !~:: t:; .. ~¡;I l:::: !"j .~:~:~ 11;:]1; 1":·" ~~:~~ r"\1'" (" .. "r 1'" ~~~il .(;11/ CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? Identificar la relación de definición y las relaciones de los alias. b) Estimar los efectos de los factores y usar una gráfica de probabilidad normal para hacer la identificación tentativa de los factores importantes. e) Efectuar el análisis estadístico apropiado para probar las hipótesis de que los factores identificados en el inciso b anterior tienen un efecto significativo sobre el rendimiento del aceite de cacahuate. d) Ajustar un modelo que pueda usarse para predecir el rendimiento del aceite de cacahuate en términos de los factores que se han identificado como importantes. e) Analizar los residuales de este experimento y comentar la adecuación del modelo. Los ingenieros de la planta EssexAluminum de Ford Motor Company llevaron a cabo un experimento factorial fraccionado en 10 factores con 16 corridas para el vaciado en arena de tubos múltiples para motor, el cual se describe en el artículo "Estudio del proceso de vaciado evaporativo para múltiples de admisión de 3.0 litros 'Poor Sandfill"', de D. Becknell (FoUlth Symposium Oll Taguchi Methods, American Supplier Institute,. Dearborn, MI, pp. 120-130). El objetivo fue determinar cuáles de los 10 factores tienen un efecto sobre la proporción de vaciados defectuosos. El diseño y la proporción resultante de vaciados no defectuosos p que se observaron en cada corrida se presentan enseguida. Se trata de una fracción de resolución 111 con generadores E = CD,F =BD, G =BC, H=AC,J=AByK=ABC. Suponga que el número de vaciados hechos en cada corrida del diseño es 1000. Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B C D + + + + + + + + + + + + + + F G H J + + + + + + + + + + + + + + + + E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + K + + + + + + + + + + + + + + + + + + + P arcsenJP 0.958 1.000 0.977 0.775 0.958 0.958 0.813 0.906 0.679 0.781 1.000 0.896 0.958 0.818 0.841 0.955 1.364 1.571 1.419 1.077 1.364 1.364 1.124 1.259 0.969 1.081 1.571 1.241 1.364 1.130 1.161 1.357 Modificación deF&T 1.363 1.555 1.417 1.076 1.363 1.363 1.123 1.259 0.968 1.083 1.556 1.242 1.363 1.130 1.160 1.356 a) Encontrar la relación de definición y las relaciones de los alias de este diseño. b) Estimar los efectos de los factores y usar una gráfica de probabilidad normal para hacer la identificación tentativa de los factores importantes. e) Ajustar el modelo apropiado utilizando los factores identificados en el inciso b anterior. d) Graficar los residuales de este modelo contra la proporción predicha de vaciados no defectuosos. Construir también una gráfica de probabilidad normal de los residuales. Comentar la adecuación de estas gráficas. e) El lector habrá notado en el inciso d un indicio de que la varianza de la respuesta no es constante (consi.derando que la respuesta es una proporción, esto debería haberse anticipado). La tabla anterior también muestra una transformación de p, arcsen de la raíz cuadrada de p, que es de uso generalizado como tralls!onnacióll para estabilizar la vmiallza de los datos de la proporción (referirse a la discusión de las transformaciones para estabilizar la varianza del capítulo 3). Repetir los incisos a al d anteriores utilizan- s-s f) PROBLEMAS 359 do la respuesta transformada y comentar los resultados. Específicamente, ¿son mejores ahora las gráficas de los residuales? Hay una modificación de la transformación arcsen de la raíz cuadrada, propuesta por Freeman y Tukey ("Transformaciones relacionadas con ángulos y la raíz cuadrada", Annals ofMathematical Statistics, vol. 21, pp. 607-611) que mejora su desempeño en las colas. La modificación de F&T es: [arcsen.Jnp 1(n+ 1) + arcsen.J(np+ 1)1 (n+ 1)]/2 8-29. Resolver de nuevo los incisos a al d utilizando esta transformación y comentar los resultados. (Para una interesante discusión y análisis de este experimento, referirse a ''Análisis de experimentos factoriales con defectos o partes defectuosas como respuesta", de S. Bisgaard y H.T. Fuller, Quality Engineering, vol. 7, pp. 429-443.) Un experimento factorial fraccionado en nueve factores y 16 corridas fue conducido por el departamento Chrysler Motors Engineering y se describe en el artículo "Mejoramiento del proceso compuesto de moldeo de planchas", de P.I. Hsieh y D.E. Goodwin (Fowth Symposium on Taguchi Methods, American Supplier Institute, Dearborn, MI, pp. 13-21). El objetivo era reducir el número de defectos en el acabado de rejillas de planchas moldeadas de recuadros abiertos. El diseño y el número resultante de defectos, e, observados en cada corrida se muestran a continuación. Se trata de una fracción de resolución III con generadores E = BD, F = BCD, G = AC, H = ACD y J = AB. Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B C D + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + F + + + + E + + + + G H J + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + e 56 17 2 4 3 4 50 2 1 O 3 12 3 4 O O ..fC Modificación deF&T 7.48 4.12 1.41 2.00 1.73 2.00 7.07 1.41 1.00 0.00 1.73 3.46 1.73 2.00 0.00 0.00 7.52 4.18 1.57 2.12 1.87 2.12 7.12 1.57 1.21 0.50 1.87 3.54 1.87 2.12 0.50 0.50 a) Encontrar la relación de definición y las relaciones de los alias de este diseño. b) Estimar los efectos de los factores y usar una gráfica de probabilidad normal para hacer la identificación tentativa de los factores importantes. e) Ajustar un' modelo apropiado utilizando los factores identificados en el inciso b anterior. d) Graficar los residuales de este modelo contra el número predicho de defectos. Asimismo, construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales. Comentar la adecuación de estas gráficas. CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES 360 e) f) 8-30. Resolver de nuevo los incisos a al d utilizando esta transformación y comentar los resultados. (Para una interesante discusión y análisis de este experimento, referirse a '1\nálisis de experimentos factoriales con defectos o partes defectuosas como respuesta", de S. Bisgaard y H.T. Puller, Quality Engineering, vol. 7, pp. 429-443.) Se corre un experimento en una fábrica de semiconductores para investigar el efecto de seis factores sobre la amplificación del transistor. El diseño seleccionado es el 2~2 que se muestra a continuación: Orden Orden de estándar las corridas ~;: ' ,.,,,' 1','" ::::1 1~1I1 I'~~ El lector habrá notado en el inciso d un indicio de que la varianza de larespuesta no es constante (considerando que la respuesta es un conteo, esto debería haberse anticipado). La tabla anterior también incluye una transformación de c, la raíz cuadrada, que es una transfonnación para estabilizar la varianza de uso generalizado con datos de conteos (referirse a la exposición de las transformaciones para estabilizar la varianza del capítulo 3). Repetir los incisos a al d utilizando la respuesta transformada y comentar los resultados. Específicamente, ¿han mejorado ahora las gráficas de los residuales? Hay una modificación de la transformación de la raíz cuadrada, propuesta por Freeman y Tukey. ("Transformaciones relacionadas con ángulos y raíz cuadrada", Annals ofMathematical Statistics, vol. 21, pp. 607-611) que mejora su desempeño. La modificación de F&T de la transformación de la raíz cuadrada es: , 1""., "1, ., ::1, 1'1 a) b) c) d) 8-31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 8 5 9 3 14 11 10 15 13 12 14 15 16 4 7 16 13 1 6 A B e D - + + + + + + + + - + - - + + + + + - + + + + + + F + + + - + + + + + + + + E + + + + + + + + + - + + + + + - - + + + Amplificación 1455 1511 1487 1596 1430 1481 1458 1549 1454 1517 1487 1596 1446 1473 1461 1563 Usar una gráfica normal de los efectos para identificar los factores significativos. Conducir las pruebas estadísticas apropiadas para el modelo identificado en el inciso a. Analizar los residuales y comentar los resultados. ¿Es posible encontrar un conjunto de condiciones de operación que produzca una amplificación de 1500 ± 25? El tratamiento térmico es de uso común para carbonizar piezas metálicas, como engranes. El espesor de la capa carbonizada es una variable de salida crítica de este proceso, y suele medirse realizando un análisis de carbono del paso del engrane (la cara superior del diente del engrane). Se estudiaron seis factores en un diseño 2~2:A = temperatura del horno, B = duración del ciclo, e = concentración de carbono,D = duración del 11 8-8 PROBLEMAS 361 ciclo de carbonización, E = concentración de carbono del ciclo difuso y F = duración del ciclo difuso. El exp'erimento se presenta a continuación: Orden estándar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8-32. Orden de las corridas A 5 7 8 2 10 12 16 1 6 9 14 13 11 3 15 4 B e D + + + + + + + + + + + + + + + + F + + + + + + + + + + + + + + + E + + + + + + + + + + + + + + + + + Paso 74 190 133 127 115 101 54 144 121 188 135 170 126 175 126 193 a) Estimar los efectos de los factores y representarlos en una gráfica de probabilidad normal. Seleccionar un modelo tentativo. b) Efectuar las pruebas estadísticas apropiadas en el modelo. e) Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo. d) Interpretar los resultados de este experimento. Suponer que es deseable un espesor de la capa de entre 140 y 160. Se estudian cinco factores en el diseño factorial fraccionado irregular de resolución V mostrado enseguida: l11i ~. I~ I I Orden Orden de estándar las corridas 1 1 2 10 5 3 4 4 15 5 19 6 16 7 8 7 8 9 10 3 11 13 12 11 12 13 20 14 15 9 A + B + + + + D E Y + + + 16.33 18.43 27.07 16.95 14.58 19.12 18.96 23.56 29.15 15.74 20.73 21.52 15.58 21.03 26.78 + + + + + + e + + + + + + + + + + + + + + + + ~ .".' 362 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NNELES Orden Orden de estándar las corridas 16 22 21 17 18 6 19 23 20 18 21 24 22 17 23 2 24 14 B e + + + + + + + + + A + + + + + + D E + + + + + + + + + + + + + + + Y 13.39 18.63 19.01 17.96 20.49 29.31 17.62 16.03 21.42 a) Analizar los datos de este experimento. ¿Qué factores influyen en la respuesta y? b) Analizar los residuales. Comentar la adecuación del modelo. r.::,:!::: "'"'''' ¡:;:JI;:: '11-."" ..' .... '1 "1""" ·1'~" ~~ ·~"I.· "I¡''f',' ....."'1 ~::i;¡ r.;/!I'l,. " Diseños factoriales.y factoriales fraccionados con tres niveles y con niveles mixtos Las series con dos niveles de los diseños factoriales y factoriales fraccionados que se comentaron en los capítulos 6, 7 Y8 son de uso generalizado en la investigación y el desarrollo industrial. Hay algunas extensiones y variantes de estos diseños que en ocasiones son útiles, como los diseños para los casos en que todos los factores están presentes con tres niveles. Estos diseños 3k se analizan en este capítulo. Se consideran también los casos en que algunos de los factores tienen dos niveles y otros factores tienen ya sea tres o cuatro niveles. m~~ ~i ::i!' 9.1 DISEÑO FACTORIAL 3 k .... ~ tj1 ro\f>.~ F ft~ ",,~.. >" 9·1.1 Notación y motivación del diseño 3 k ~t';1 r-.. f-'::r t') ~i~; ~~ ~g f; Se estudia ahora el diseño factorial 3k ; es decir, un arreglo factorial de k factores que tienen tres nivelfff. K~ cada uno. Se usarán letras mayúsculas para denotar los factores y las interacciones. Se hará referencia ~) los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto. Hay varias notaciones diferentes que se usaJ? ~ §, para representar estos niveles de los factores; una posibilidad es representar los niveles de los factores con los dígitos O(bajo), 1 (intermedio) y 2 (alto). Cada combinación de tratamientos del diseño 3k se denotará por k dígitos, donde el primer dígito indica el nivel del factor A, el segundo dígito indica el nivel del factor B, oo., y el dígito k-ésimo indica el nivel del factor K. Por ejemplo, en un diseño 32, 00 denota la combinación de tratamientos correspondiente aA y B ambos en el nivel bajo, y 01 denota la combinación de tratamientos correspondiente aA en el nivel bajo y B en el nivel intermedio. En las figuras 9-1 y 9-2 se muestra la representación geométrica de los diseños 32 y 33, respectivamente, utilizando esta notación. Este sistema de notación pudo haberse usado en los diseños 2k presentados anteriormente, utilizando Oy 1 en lugar del 1 negativo y el1 positivo, respectivamente. En el diseño 2k se prefirió la notación ± 1 porque facilita la vista geométrica del diseño y porque puede aplicarse directamente al modelado de regresión, la separación en bloques y la construcción de factoriales fraccionados. En el sistema de los diseños 3\ cuando los factores son cuantitativos, es común denotar los niveles bajo, intermedio y alto con -1, OY + 1, respectivamente. Con esto se facilita el ajuste de un modelo de re· %l 363 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NNELES 364 2 02 12 22 01 11 21 00 10 20 'Q B u ro u- O Factor A Figura 9-1 diseño 32• Combinaciones de tratamientos en un 111 gresión que relaciona la respuesta con los niveles de los factores. Por ejemplo, considere el diseño 32 de la figura 9-1, y sea que Xl represente al factorA y quex2 represente al factor B. Un modelo de regresión que relaciona la respuesta y con Xl y X 2 que se basa en este diseño es (9-1) Observe que la adición de un tercer nivel de los factores permite que la relación entre la respuesta y los factores del diseño se modele como un modelo cuadrático. El diseño 3k es ciertamente una elección posible para un experimentador que se preocupa por la curvatura en la función de respuesta. Sin embargo, es necesario tomar en consideración dos puntos: 1. El diseño 3k no es la forma más eficiente de modelar una relación cuadrática; los diseños de superficie de respuesta que se exponen en el capítulo 11 son alternativas superiores. 222 ...----~':"::"::----::;o'220 O 1 Factor A Figura 9-2 Combinaciones de tratamientos en un diseño 33 . 9-1 DISEÑO FACTORIAL 3k 365 2. El diseño 2k aumentado con los puntos centrales, como se analizó en el capítulo 6, es una forma excelente de obtener una indicación de la curvatura. Permite conservar reducido el tamaño y la complejidad del diseño y al mismo tiempo permite obtener cierta protección contra la curvatura. Entonces, si la curvatura es importante, el diseño de dos niveles puede aumentarse con corridas axiales para obtener un diseño central compuesto, como se ilustra en la figura 6-36. Esta estrategia secuencial de experimentación es más eficiente, por mucho, que correr un diseño factoria13 k con factores cuantitativos. 9,1.2 El diseño 3 2 El diseño más simple del sistema 3k es el diseño 32, el cual tiene dos factores, cada uno con tres niveles. Las combinaciones de tratamientos de este diseño se mostraron en la figura 9-1. Puesto que están presentes 32 = 9 combinaciones de tratamientos, hay ocho grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos. Los efectos principales deA y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacciónAB tiene cuatro grados de libertad. Si hay n réplicas, habrá n3 2 -1 grados de libertad totales y 32(n -1) grados de libertad del error. Las sumas de cuadrados de A, B YAB pueden calcularse mediante los métodos usuales para los diseños factoriales analizados en el capítulo S. Cada efecto principal puede representarse con un componente lineal y uno cuadrático, cada uno con un solo grado de libertad, como se observa en la ecuación 9-1. Desde luego, esto sólo tiene sentido si el factor es cuantitativo. La partición de la interacción de dos factores AB puede hacerse de dos maneras. El primer método consiste en subdividir AB en los cuatro componentes con un solo grado de libertad que corresponden a ABL x UABL x Q,ABQ x L YABQ x Q' Esto puede hacerse ajustando los términos /3l'iX¡X2' /312iXIX~, /3112X¡X2y f31122X¡ x~, respectivamente, como se indicó en el ejemplo S-S. Para los datos de la vida de la herramienta de ese ejemplo se obtiene SSABL xL = 8.00,SSABL xQ = 42.67,SSABQXL = 2.67y SSABQxQ = 8.00. Puesto que se trata de una partición ortogonal deAB, observe que SSAB = SSABL xL + SSABL x Q + SSABQ xL + SSABQXQ = 61.34. El segundo método se basa en los cuadrados latinos ortogonales. Considere los totales de las combinaciones de los tratamientos para los datos del ejemplo S-S. Estos totales se muestran en la figura 9-3 como los números encerrados en círculos dentro de los cuadrados. Los dos factoresA yB corresponden a los renglones y las columnas, respectivamente, de un cuadrado latino 3 x 3. En la figura 9-3 se muestran dos cuadrados latinos 3 x 3 particulares, superpuestos en los totales de las celdas. Estos dos cuadrados latinos son ortogonales; es decir, si uno de los cuadrados se superpone en el otro, cada letra del primer cuadrado aparecerá exactamente una vez con cada letra del segundo cuadrado. Los totales de las letras en el cuadrado a son Q = 18, R = -2 YS = 8, Yla suma de cuadrados entre estos totales Factor B Factor B o o Q R 2 S 1 o 2 G G 0 0 8 G 8 G G o R S Q S Q S Q R a) 2 R 2 1 G G 0 0 8 G G G 8 R S Q R S Q b) Figura 9-3 Totales de las combinaciones de los tratamientos del ejemplo 5-5 con dos cuadrados latinos superpuestos. 366 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES es [18 2 + (_2)2 + 82]/(3)(2) - [242/(9)(2)] = 33.34, con dos grados de libertad. De manera similar, los totales de las letras en el cuadrado b son Q = O, R = 6 YS = 18, Yla suma de cuadrados entre estos totales es [0 2 + 62 + 182]/(3)(2) - [242/(9)(2)] = 28.00, con dos grados de libertad. Observe que la suma de estos dos componentes es 33.34+ 28.00 = 61.34 = SS ÁB con 2 + 2 = 4 grados de libertad. En general, a la suma de cuadrados calculada con el cuadrado a se le llama el componenteAB de la in· teracción, y a la suma de cuadrados calculada con el cuadrado b se le llama el componenteAB 2 de la inte· racción. Cada uno de los componentes AB y AB2 tiene dos grados de libertad. Se usa esta terminología porque si los niveles (O, 1, 2) deA y B se denotan por Xl y X 2, respectivamente, entonces se encuentra que las letras ocupan celdas de acuerdo con el siguiente patrón: Cuadrado a Q: Xl + X 2 = O(mad 3) R:xl +x 2 =1 (mad3) S: Xl + x 2 = 2 (mad 3) Cuadradob Q: Xl + 2X 2 = O(mad 3) S: Xl + 2x 2 = 1 (mad 3) R: Xl + 2x 2 = 2 (mad 3) Por ejemplo, en el cuadrado b se observa que la celda de en medio corresponde aXI = 1 YX 2 = 1; por lo tanto,x l + 2x2 = 1 + (2)(1) = 3 = O(mod 3), y Q ocuparía la celda de en medio. Cuando se consideran expresiones de la formaAPBq, se establece la convención de que el único exponente permitido en la primera letra es 1. Si el exponente de la primera letra no es 1, la expresión completa se eleva al cuadrado y los exponentes se reducen al módulo 3. Por ejemplo, A 2B es lo mismo que AB 2 porque Los componentesAB y AB 2 de la interacciónAB no tienen significado real y por lo general no se incluyen en la tabla del análisis de varianza. Sin embargo, esta partición en gran medida arbitraria de la interacciónAB en dos componentes ortogonales con dos grados de libertad es muy útil para construir diseños más complicados. Además, no hay relación entre los componentesAB y AB 2 de la interacción y las sumas de cuadrados de ABL x Lo ABL x Q' ABQ x L YABQ x Q' Los componentesAB yAB 2 de la interacción pueden calcularse de otra manera. Considere los totales de las combinaciones de los tratamientos en cualquiera de los cuadrados de la figura 9-3. Si se hace la suma de los datos en las diagonales hacia abajo de izquierda a derecha, se obtienen los totales -3 + 4 -1 = O, -3 + 10 -1 = 6 Y5 + 11 + 2 = 18. La suma de cuadrados entre estos totales es 28.00 (AB 2 ). En forma similar, los totales de la diagonal hacia abajo de derecha a izquierda son 5 + 4-1 = 8, -3 + 2-1 = -2 Y-3 + 11 + 10 = 18. La suma de cuadrados entre estos totales es 33.34 (AB). Yates llamó a estos componentes de la interacción los componentes 1 y J de la interacción, respectivamente. Se usarán aquí indistintamente las dos notaciones; es decir, I(AB) = AB 2 J(AB) = AB 9-1 DISEÑO FACTORIAL3k 9~ 1.3 367 El diseño 3 3 Suponga ahora que hay tres factores (A, B YC) bajo estudio, y que cada factor tiene tres niveles dispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseño factorial 33, y la disposición experimental y la notación de las combinaciones de los tratamientos se presentaron anteriormente en la figura 9-2. Las 27 combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad. Cada efecto principal tiene 2 grados de libertad, cada interacción de dos factores tiene 4 grados de libertad y la interacción de tres factores tiene 8 grados de libertad. Si se hacen 11 réplicas, hay 113 3 -1 grados de libertad totales y 33 (11 -1) grados de libertad del error. Las sumas de cuadrados pueden calcularse utilizando los métodos estándares para los diseños factoriales. Además, si los factores son cuantitativos, es posible hacer la partición de los efectos principales en un componente lineal y uno cuadrático, cada uno con un solo grado de libertad. Las interacciones de dos factores pueden descomponerse en efectos lineal x lineal, lineal x cuadrático, cuadrático x lineal y cuadrático x cuadrático. Por último, puede hacerse la partición de la interacción de tres factoresABC en ocho componentes con un solo grado de libertad que corresponden a lineal x lineal x lineal, lineal x lineal x cuadrático, etcétera. Esta descomposición de la interacción de tres factores no es por lo general de gran utilidad. También es posible hacer la partición de las interacciones de dos factores en sus componentes 1 y J. Éstos se designarían AB, AB 2, AC, AC2, BC YBC2, y cada componente tendría dos grados de libertad. Como en el diseño 32, estos componentes no tienen significación física. Es posible hacer la partición de la interacción de tres factoresABC en cuatro componentes ortogonales con dos grados de libertad, a los que suele denominarse los componentes ¡:,v, X; y y Z de la interacción. Thmbién se hace referencia a ellos como los componentes AB 2C2 , AB 2C, ABC2 YABC de la interacción ABC, respectivamente. Las dos notaciones se usan indistintamente; es decir, W(ABC) = AB 2 C 2 2 X(ABC) = AB C Y(ABC) = ABC 2 Z(ABC)=ABC Observe que ninguna de las primeras letras puede tener un exponente diferente de 1. Al igual que los componentes 1 y J, los componentes ¡:,v, X; y y Z no tienen ninguna interpretación práctica. Sin embargo, son útiles para construir diseños más complejos. EJEMPLO 9~ 1 . Se usa una máquina para llenar contenedores metálicos de 5 galones con jarabe para una bebida gaseosa. La vari.able de interés es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo. Se piensa que tres factores influyen en el espumeo: el diseño de la boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C). Se seleccionan tres boquillas, tres velocidades de llenado y tres presiones, y se corren dos réplicas de un experimento factorial 33 • En la tabla 9-1 se muestran los datos codificados. El análisis de varianza de los datos de la pérdida de jarabe se muestra en la tabla 9-2. Las sumas de cuadrados se calcularon con los métodos usuales. Se observa que la velocidad de llenado y la presión de operación son estadísticamente significativas. Las tres interacciones de dos factores también son significativas. En la figura 9-4 se analizan gráficamente las interacciones de dos factores. El nivel intermedio de la velocidad produce el mejor desempeño, mientras que las boquillas tipo 2 y 3, y la presión baja (10 psi) o bien alta (20 psi) parecen ser las más efectivas para reducir la pérdida de jarabe. . .. . ...................................................... ............... 1 . •' •. ! ·.···:·· f' '. i: " I n· 368 Tabla 9-1 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Datos de la pérdida de jarabe del ejemplo 9-1 (las unidades son centímetros cúbicos - 70) Tipo de boquilla (A) Presión (en psi) (C) -35 -25 110 75 4 5 10 15 20 ~:::: '~ .,.. 120 100 3 2 Velocidad (en rpm) (E) 1 -45 -60 -10 30 -40 -30 140 100 -40 15 80 54 31 36 17 24 55 120 -23 120 -64 -5 -62 -65 -58 -55 -44 140 100 120 140 20 4 110 44 -20 -31 -39 -35 90 113 -30 -55 -55 -67 -28 -26 -61 -52 15 -30 110 135 54 4 El ejemplo 9-1 ilustra una situación en la que el diseño de tres niveles suele encontrar cierta aplicación; uno o más de los factores es cualitativo, asumiendo desde luego tres niveles, y los demás factores son cuantitativos. En este ejemplo, suponga que sólo hay tres diseños de la boquilla que son de interés. Se trata evidentemente, entonces, de un factor cualitativo que requiere tres niveles. La velocidad de llenado y la presión de operación son factores cuantitativos. Por lo tanto, podría ajustarse un modelo cuadrático como el de la ecuación 9-1 en los dos factores, velocidad y presión, con cada nivel del factor boquilla. En la tabla 9-3 se muestran estos modelos de regresión cuadráticos. Las f3 de estos modelos se estimaron usando un programa de computadora de regresión lineal estándar. (En el capítulo 10 se analizará con mayor detalle la regresión de mínimos cuadrados.) En estos modelos, las variables Xl YX2 están codificadas en los niveles -1,0, + 1, como se estudió anteriormente, y se supusieron los siguientes niveles naturales para la presión y la velocidad: Nivel codificado Velocidad (rpm) Presión (psi) -1 100 120 140 10 15 20 O +1 En la tabla 9-3 se presentan estos modelos tanto en términos de estas variables codificadas como en términos de los niveles naturales de la velocidad y la presión. Tabla 9-2 Análisis de varianza de los datos de la pérdida de jarabe Fuente de variación A, boquilla E, velocidad C, presión AB AC EC ABC Error Total Suma de cuadrados 993.77 61,190.33 69,105.33 6,300.90 7,513.90 12,854.34 4,628.76 11,515.50 174,102.83 Grados de libertad 2 2 2 4 4 4 8 27 53 Cuadrado medio 496.89 30,595.17 34,552.67 1,575.22 1,878.47 3,213.58 578.60 426.50 1.17 71.74 81.01 3.69 4.40 7.53 1.36 Valor P 0.3256 <0.0001 <0.0001 0.0383 0.0222 0.0025 0.2737 rI 9-1 DISEÑO FACTORIAL3" 400 400 ~C=15 O ~ ~B=140 200 x 200 ~ en ro i(J '"C "C íi 369 Qi B = 100 O !~-200 ~C=10 .rg "en " -200 "C O ~8_12C -¡¡¡ ~ '" A. C=20 ~ -400 I-.l:---:--....L---- -400 ' - ' : - - - ' - - - - ' - - - - - 2 3 Tipo de boquilla al (Al b) 600 e = 15 400 O x CQ 200 en ro '"C Qi u .rg C=20 o C= 10 "¡jJ '"C ~ -200 -400 ' - ' : - - - ' - - - - ' - - - - 100 120 140 Velocidad en rpm (B) el Figura 9-4 Interacciones de dos factores del ejemplo 9-1. Tabla 9-3 Modelos de regresión para el ejemplo 9-1 Tipo de boquilla 1 2 3 X¡ = velocidad (S),x 2 = Presión (P) en unidades codificadas y = 22.1 + 3.5x¡ + 16.3x2+ 51.7x¡2 -71.8x~ + 2.9x¡x2 y = 1217.3 -31.256S+ 86.017P+ O.12917S 2 -2.8733p2+ O.02875SP y = 25.6 - 22.8x¡ -12.3x2+ 14.1x¡2 - 56.9x~ - O.7x¡x 2 y =180.1-9.475S+ 66.75P+ Q.035S 2 -2.2767p 2 -O.0075SP y = 15.1 + 20.3x¡ + 5.9x 2+ 75.8x¡2 - 94.9x~ + 10.sx¡x2 y = 194Q.1-40.058S+ 102.48P+ Q.18958S 2 -3.7967p 2+ 0.105SP r 370 !e .,'" CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NNELES En la figura 9-5 se muestran las gráficas de contorno de las superficies de respuesta de la pérdida de jarabe constánte, como una función de la velocidad y la presión para cada tipo de boquilla. Estas gráficas revelan información de considerable utilidad acerca del desempeño de este sistema de llenado. Puesto que el objetivo es minimizar la pérdida de jarabe, se preferiría la boquilla tipo 3, ya que los contornos observados más pequeños (-60) sólo aparecen en esta gráfica. Deberán usarse la velocidad de llenado cerca del nivel intermedio de 120 rpm y el nivel de presión ya sea bajo o alto. Cuando se construyen gráficas de contorno para un experimento que tiene una mezcla de factores cuantitativos y cualitativos, no es raro encontrar que las formas de las superficies de respuesta de los factores cuantitativos son muy diferentes en cada nivel de los factores cualitativos. Esto puede observarse en cierta medida en la figura 9-5, donde la forma de la superficie para la boquilla tipo 2 es considerablemente alargada en comparación con las superficies de las boquillas tipo 1 y 3. Cuando esto ocurre, implica que las condiciones de operación óptimas (y otras conclusiones importantes) en términos de los factores cuantitativos son muy diferentes en cada nivel de los factores cualitativos. Es sencillo mostrar la partición numérica de la interacciónABC en sus cuatro componentes ortogonales con dos grados de libertad utilizando los datos del ejemplo 9-1. El procedimiento general ha sido descrito por Cochran y Cox [26] y Davies [36]. Primero se seleccionan dos cualesquiera de los tres factores, por ejemplo AB, y se calculan los totales I y J de la interacciónAB en cada nivel del tercer factor C. Estos cálculos se presentan a continuación: .' A e ,.' 10 ., 15 20 1 -60 -105 -25 185 20 134 9 -70 67 B 100 120 140 100 120 140 100 120 140 Totales 2 3 41 -74 -123 -122 24 -15 175 203 -99 -54 154 245 -28 -85 -126 -113 -51 58 I J -198 -106 -155 331 255 377 -59 -74 -206 -222 -79 -158 238 440 285 -144 -40 -155 Después, los totales I(AB) y J(AB) se arreglan en una tabla de dos vías con el factor C, y se calculan los totales de las diagonales I y J de esta nueva disposición: Totales Thtales e 10 15 20 I(AE) -198 331 -59 -106 255 -74 -155 377 -206 I J e -149 212 102 41 19 105 10 15 20 J(AE) -222 238 -144 -79 440 -40 -158 285 -155 I J 63 62 40 138 4 23 Los totales de las diagonales I y J calculados arriba son en realidad los totales que representan las cantidades I[I(AB) X C] = AB2C2 , 1[I(AB) X C] = AB2C, I[J(AB) x C] = ABC2 y 1[J(AB) x C] = ABC, o los componentes U{ X, Yy Z deABC. Las sumas de cuadrados se encuentran de la manera usual; es decir, 9-1 DISEÑO FACTORIAL3k 20.00 18.33 16.67 c: '0 'iñ al 15.00 ¡1: 13.33 11.67 10.00 100.0 106.7 al Boquilla tipo 1 -40.00 -20.00 0.000 c: oQ 'iñ e: 20.00 a.. 0.000 -20.00 106.7 113.3 1120.0 126.7 133.3 140.0 Velocidad b) Boquilla tipo 2 c: '0 'iñ e: a.. Contornos de la pérdida de jarabe constante (unidades: cc - 70) como una función de la velocidad y la presión para las boquillas tipo 1, 2 Y3, ejemplo 9-1. Figura 9-5 371 372 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NNELES I[I(AB)xC]= AB 2 C 2 = W(ABC) _ (-149)2 +(212)2 +(102)2 18 (165)2 54 = 3804.11 J[I(AB)xC]= AB 2 C= X(ABC) (41)2 +(19)2 +(105)2 18 2 I[J(AB)xC]= ABC = Y(ABC) = (63)2 +(62)2 +(40)2 18 J[J(AB)xC]= ABC= Z(ABC) (138)2 +(4)2 +(23)2 18 (165/ 54 = 221. 77 (165)2 54 = 18.77 (165)2 54 = 584.11 Aun cuando se trata de una partición ortogonal de SSABC' se señala de nuevo que no se acostumbra presentarla en la tabla del análisis de varianza. En secciones subsecuentes se analiza la necesidad ocasional de calcular uno o más de estos componentes. 9..1.4 ;ii •., ''''1 7" ,,, ¡"., i:J El diseño general 3 k Los conceptos utilizados en los diseños 32 y 33 pueden extenderse de inmediato al caso de k factores, cada uno con tres niveles, es decir, a un diseño factoria13 k • Se emplea la notación digital usual para las combinaciones de tratamientos, por lo que 0120 representa una combinación de tratamientos en un diseño 34 conA y D en los niveles bajos, B en el nivel intermedio y C en el nivel alto. Hay 3k combinaciones de tratamientos, con 3k - 1 grados de libertad entre ellas. Estas combinaciones de tratamientos permiten determinar las sumas de cuadrados de k efectos principales, cada uno con dos grados de libertad; (;) interacciones de dos factores, cada una con cuatro grados de libertad; ...; y una interacción de k factores con 2k grados de libertad. En general, una interacción de h factores tiene 2/z grados de libertad. Si se hacen n réplicas, hay n3 k - 1 grados de libertad totales y 3k (n - 1) grados de libertad del error. Las sumas de cuadrados de los efectos y las interacciones se calculan con los métodos usuales para los diseños factoriales. De manera típica, no se hace ninguna descomposición adicional de las interacciones de tres factores y de órdenes superiores. Sin embargo, cualquier interacción de h factores tiene 2/z-1componentes ortogonales con dos grados de libertad. Por ejemplo, la interacción de cuatro factores ABCD tiene 24-1 = 8 componentes ortogonales con dos grados de libertad, denotados por ABCD2 , ABCD, AB 2CD, ABCD, ABC2D 2 , AB2C2D, AB2CD 2 y AB 2C2D 2 • Al escribirse estos componentes, observe que el único exponente permitido en la primera letra es 1. Si el exponente de la primera letra no es 1, entonces la expresión completa debe elevarse al cuadrado y los exponentes deben reducirse al módulo 3. Para ilustrar lo anterior, considere Estos componentes de la interacción no tienen ninguna interpretación física, pero son útiles para construir diseños más complejos. El tamaño del diseño se incrementa rápidamente con k. Por ejemplo, un diseño 33 tiene 27 combinaciones de tratamientos por réplica, un diseño 34 tiene 81, un diseño 35 tiene 243, etcétera. Por lo tanto, con frecuencia sólo se considera una sola réplica del diseño 3\ y las interacciones de órdenes superiores se combinan para proporcionar una estimación del error. Como una ilustración, si las interacciones de tres I FI 9-2 CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 3" 1 373 factores Yde órdenes superiores son insignificantes, entonces una sola réplica del diseño 33 proporciona 8 grados de libertad del error, y una sola réplica del diseño 34 proporciona 48 grados de libertad del error. Estos diseños siguen siendo grandes para k ~ 3 y, por consiguiente, son de escasa utilidad. 9-2 CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 3 k Incluso cuando se considera una sola réplica del diseño 3\ ésta requiere tantas corridas que es improbable que puedan hacerse las 3k corridas bajo condiciones uniformes. Por lo tanto, con frecuencia es necesario hacer la confusión (o mezclado) en bloques. El diseño 3k puede confundirse en Y' bloques incompletos, donde p < k. Por lo tanto, estos diseños pueden confundirse en tres bloques, nueve bloques, etcétera. 9-2.1 El diseño factorial3 k en tres bloques Suponga que se quiere confundir el diseño 3k en tres bloques incompletos. Estos tres bloques tienen dos grados de libertad entre ellos; por lo tanto, debe haber dos grados de libertad confundidos con los bloques. Recuerde que en la serie factorial 3k cada efecto principal tiene dos grados de libertad. Además, cada interacción de dos factores tiene cuatro grados de libertad y puede descomponerse en dos componentes de la interacción (por ejemplo, AB y AB2 ), cada uno con dos grados de libertad; cada interacción de tres factores tiene ocho grados de libertad y puede descomponerse en cuatro componentes de la interacción (por ejemplo, ABC, ABC2, AB 2C y AB 2C2 ), cada uno con dos grados de libertad; y así sucesivamente. Por lo tanto, es conveniente confundir un componente de interacción con los bloques. El procedimiento general consiste en construir una definición de contrastes ;¡I¡ ,l' ~I ~ (9-2) donde a¡ representa el exponente del factor i-ésimo en el efecto que va a confundirse y X¡ es el nivel del factor i-ésimo en una combinación de tratamientos particular. Para la serie 3k se tiene a¡ = O, 1 o 2, donde la primera a¡ diferente de cero es la unidad, y x¡ = O(nivel bajo), 1 (nivel intermedio) o 2 (nivel alto). Las combinaciones de tratamientos del diseño 3k se asignan a los bloques con base en el valor de L (mod 3). Puesto que L (mod 3) sólo puede asumir los valores O, 1 o 2, tres bloques están definidos de manera única. Las combinaciones de tratamientos que satisfacen L = O(mod 3) constituyen el bloque principal. Este bloque incluirá siempre la combinación de tratamientos 00 ...0. Por ejemplo, suponga que quiere construirse un diseño factorial 32 en tres bloques. Cualquiera de los componentes de la interacciónAB,AB oAB2 , puede confundirse con los bloques. Al elegir arbitrariamente AB 2, se obtiene la definición de contrastes El valor de L (mod 3) de cada combinación de tratamientos puede encontrarse de la siguiente manera: 00: 01: 02: 10: L=1(0)+2(0)=0=0(mod3) 11: L= 1(1)+2(1)= 3= O(mod 3) L=1(0)+2(1)=2=2(mod3) 21: L=1(2)+2(1)=4=1(mod3) L= 1(0)+2(2)= 4= 1 (mod 3) 12: L= 1(1)+2(2)= 5= 2(mod 3) L=1(1)+2(0)=1=1(mod3) 22: L=1(2)+2(2)=6=0(mod3) 20: L= 1(2)+2(0)= 2= 2(mod 3) En la figura 9-6 se muestran los bloques. 11 j' 374 CAPÍTULO 9 Bloque 1 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Bloque 2 Bloque 3 888 ~ L:J L:J a) Asignación de las combinaciones de tratamiento a los bloques 2 02 12 22 01 11 21 ex:¡ B 1 u ro • = Bloque 1 Ll.. O = Bloque 2 O () = Bloque 3 20 10 00 O Factor A b) Vista geométrica Figura 9-6 fundida. El diseño 32 en tres bloques conAB2 con- .1"'. ." :J I.¡., Los elementos del bloque principal forman un grupo con respecto a la adición módulo 3. Con referencia a la figura 9-6, se observa que 11 + 11 == 22 Y11 + 22 == OO. Las combinaciones de tratamientos de los otros dos bloques pueden generarse sumando, en módulo 3, cualquier elemento del nuevo bloque con los elementos del bloque principal. Por lo tanto, para el bloque 2 se usa 10 para obtener 10+00==10 10+11==21 Y 10+22==02 Para generar el bloque 3, al utilizar 01, se encuentra 01 + 00 == 01 EJEMPLO 9~2 01 + 11 == 12 Y 01 + 22 == 20 ............................•....•...................•......• El análisis estadístico del diseño 32 confundido en tres bloques se ilustra empleando los datos siguientes, los cuales provienen de la réplica única del diseño 32 que se muestra en la figura 9-6. Totales de los bloques = Bloque 1 00= 4 Bloque 2 10=-2 Bloque 3 01 = 5 11 =-4 22 = O 21 = 1 02 = 8 12 =-5 20= O O 7 O Al aplicar los métodos convencionales para el análisis de factoriales, se encuentra que SSA == 131.56 Y SSB == 0.22. 9-2 CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 3" 375 Tabla 9-4 Análisis de varianza de los datos del ejemplo 9-2 Fuente de Suma de Grados de variación cuadrados libertad Bloques (AE") A B AE Total 10.89 131.56 0.22 2.89 2 2 2 2 145.56 8 Se encuentra también que ss = (0)2 +(7)2 +(0)2 _ (7)2 = 10.89 Bloques 3 9 Sin embargo, SSBloques es exactamente igual al componenteAB 2 de la interacción. Para ver esto, las observaciones se escriben de la siguiente manera: Factor B Factor A O 4 -2 O O 1 2 1 2 5 8 -5 O -4 1 ;Ji 2 Recuerde, por la sección 9-1.2, que el componente! oAB de la interacciónAB puede encontrarse calculando la suma de cuadrados entre los totales de la diagonal de izquierda a derecha de la representación anterior. Se obtiene así SS AB 2 = (0)2 +(0)2 +(7)2 3 (7)2 9 = 10 89 . valor que es idéntico a SSBloques. El análisis de varianza se presenta en la tabla 9-4. Puesto que hay una sola réplica, no puede hacerse una prueba formal. No es una buena idea utilizar el componenteAB de la interacción como una estimación del error. Se considera ahora un diseño un poco más complicado; un diseño factorial 33 confundido en tres bloques con nueve corridas cada uno. El componenteAB 2C2 de la interacción de tres factores se confundirá con los bloques. La definición de contrastes es Es sencillo verificar que las combinaciones de tratamientos 000, 012 Y101 se encuentran en el bloque principal. Las corridas restantes del bloque principal se generan de la siguiente manera: (1) 000 (4) 101 + 101 = 202 (2)012 (5) 012 + 012 = 021 (3) 101 (6) 101+012= 110 (7) 101 + 021 = 122 (8) 012+202= 211 (9) 021+202= 220 11 11 1 376 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Para encontrar las corridas de otro bloque se observa que la combinación de tratamientos 200 no está en el bloque principal. Por lo tanto, los elementos del bloque 2 son (1) 200+000= 200 (2) 200+012= 212 (3) 200+ 101 = 001 (4) 200+202= 102 (5) 200+021 = 221 (6) 200+110= 010 (7) 200+ 122 = 022 (8) 200+211 = 111 (9) 200+220= 120 Observe que todas estas corridas satisfacenL = 2 (mod 3). El último bloque se encuentra observando que 100 no pertenece al bloque 1 ni al bloque 2. Al usar 100 como arriba, se obtiene (1) 100+000= 100 (2) 100+012= 112 (3) 100+101 = 201 (4) 100+202=002 (5) 100+021 = 121 (6) 100+110= 210 Los bloques se ilustran en la figura 9-7. Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 000 012 101 202 021 110 122 211 220 200 212 001 102 221 010 022 111 120 100 112 201 002 121 210 222 011 020 I¡: ",r. ri,,,,, " a) Asignación de las combinaciones de tratamientos a los bloques 122 022 . ; Bloque 1 o; Bloque 2 CJ; Bloque 3 222 CJ112 002 2 221 C,) 0111 ~ ~ca u. 1 201 ~í'> «0'",,-o O 020 1 .110 O 000 100 200 1 O Factor A b) Figura 9·7 El diseño 33 Vista geométrica en tres bloques con AB'C' confundida. ; 220 (7) 100+122= 222 (8) 100+211 = 011 (9) 100+ 220 = 020 1 9-2 CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL3k Tabla 9-5 377 Análisis de varianza de un diseño 33 con AB 2C 2 confundida Fuente de variación Bloques (AB2C2) A B C AB 2 2 2 2 4 4 4 AC BC Error (ABC Grados de libertad + AB2C +ABC2) 6 26 Total En la tabla 9-5 se presenta el análisis de varianza de este diseño. Al utilizar este esquema de confusión (o mezclado), se cuenta con información acerca de todos los efectos principales y las interacciones de dos factores. Los componentes restantes de la interacción de tres factores (ABC, ABzC y ABCz) se combinan como una estimación del error. La suma de cuadrados de esos tres componentes podría obtenerse por sustracción. En general, para el diseño 3k en tres bloques se seleccionaría siempre un componente de la interacción de orden más alto para confundirlo con los bloques. Los demás componentes de esta interacción que no están confundidos pueden obtenerse calculando la interacción de k factores de la manera usual y restando de esta cantidad la suma de cuadrados de los bloques. 9~2.2 El diseño factorial3 k en nueve bloques. En algunas situaciones experimentales puede ser necesario confundir el diseño 3k en nueve bloques. Por lo tanto, ocho grados de libertad se confundirán con los bloques. Para construir estos diseños se eligen dos componentes de interacción y, como resultado, dos más se confundirán automáticamente, produciendo los ocho grados de libertad requeridos. Estos dos son las interacciones generalizadas de los dos efectos elegidos originalmente. En el sistema 3\ las interacciones generalizadas de dos efectos (es decir, Py Q) se definen como PQ y PQz (o pZQ). Los dos componentes de interacción elegidos inicialmente producen dos definiciones de contrastes L¡ = a1x1+azx z + L z = f3 1X 1+f3 zx z + +akxk = u (mod 3) u= 0, 1, 2 +f3kxk = h (mod 3) h= 0,1,2 (9-3) donde {a¡} y {f3j} son los exponentes de la primera y la segunda interacciones generalizadas, respectivamente, con la convención de que las primeras a¡ y f3j diferentes de cero son la unidad. Las definiciones de contrastes de la ecuación 9-3 implican nueve ecuaciones simultáneas especificadas por el par de valores paraL 1 y L z. Las combinaciones de tratamientos que tienen el mismo par de valores para (L1,L z) se asignan al mismo bloque. El bloque principal consta de las combinaciones de tratamientos que satisfacenL 1 = L z = (mod 3). Los elementos de este bloque forman un grupo con respecto a la adición módulo 3; por lo tanto, el esquema presentado en la sección 9-2.1 puede usarse para generar los bloques. ° l' 378 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES_ Como un ejemplo, considere el diseño factorial 34 confundido en nueve bloques con nueve corridas cada uno. Suponga que se elige confundir ABC y AB2D 2. Sus interacciones generalizadas 2 (ABC)(AB 2D 2 ) = A 2B 3 CD 2 = (A 2B 3 CD 2 )2 = AC D (ABC)(AB 2D 2 )2 =A 3 B 5 CD 4 =B 2CD=(B 2CD)2 =BC 2D 2 también están confundidas con los bloques. Las definiciones de contrastes de ABC y AB 2D 2 son Ll = Xl +X 2 +X 3 L 2 = Xl +2x 2 +2x 4 (9-4) Los nueve bloques pueden construirse utilizando las definiciones de contrastes (ecuación 9-4) Yla propiedad de la teoría de grupos del bloque principal. El diseño se muestra en la figura 9-8. Para el diseño 3k en nueve bloques habrá cuatro componentes de interacción confundidos. Los demás componentes de estas interacciones que no están confundidos pueden determinarse restando la suma de cuadrados del componente confundido de la suma de cuadrados de la interacción completa. El método descrito en la sección 9-1.3 puede ser útil para calcular los componentes de interacción. 9~2.3 El diseño factorial3 k en 3p bloques El diseño factorial 3k puede confundirse en Y' bloques con 3k- p observaciones cada uno, donde p < k. El procedimiento consiste en seleccionar p efectos independientes que habrán de confundirse con los bloques. Como resultado, exactamente otros (Y' - 2p - 1)/2 efectos se confunden de manera automática. Estos efectos son las interacciones generalizadas de los efectos elegidos originalmente. Como una ilustración, considere un diseño 37 que va a confundirse en 27 bloques. Puesto que p = 3, se seleccionarían tres componentes de interacción independientes y se confundirían automáticamente otros [3 3 - 2(3) -1]/2 = 10. Suponga que se eligenABC2DG, BCE 2F 2G y BDEFG. A partir de estos efectos pue- Bloque 9 Bloque 1 Bloque2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 5 Bloque 6 Bloque 7 Bloque 8 0000 0001 2000 0200 0020 0010 1000 0100 0002 1122 0222 0121 0011 0210 0122 0120 2122 0022 0112 0102 0211 0212 2211 0111 0201 0221 1211 1021 1022 0021 0221 1011 1001 2021 1121 1020 1110 1111 0110 1010 1100 1120 2110 1210 1112 1202 1200 0202 1102 1222 1212 2202 1002 1201 2011 2012 2010 1012 2212 2002 2022 0012 2112 2101 2012 1101 2001 2121 2111 0101 2201 2100 2220 2221 1220 2120 2210 2200 0220 2020 2222 (L" L z) = (0,0) (0,1) (2,2) (2,0) (2,1) (1,2) (1,1) (1,0) (0,2) Figura 9-8 El diseño 34 en nueve bloques con ABC, AB2D2, AC2D y BC2D2 confundidas. 9-3 RÉPLICAS FRACCIONADAS DEL DISEÑO FACTORIAL 3k 379 den construirse tres definiciones de contrastes, y los 27 bloques pueden generarse con los métodos descritos anteriormente. Los otros 10 efectos confundidos con los bloques son (ABC 2DG)(BCE 2F 2G)= AB 2DE 2F 2G 2 (ABC 2DG)(BCE 2F 2G)2 = AB 3 C 4 DE 4 F 4 G 3 = ACDEF (ABC 2DG)(BDEFG) = AB 2C 2D 2EFG 2 (ABC 2DG)(BDEFG) 2 = AB 3 C 2D 3 E 2F 2G 3 = Ac 2E 2F 2 (BCE 2F 2G)(BDEFG) = B 2CDE 3 F 3 G 2 = BC 2D 2G (BCE 2F 2G)(BDEFG)2 = B 3 CD 2E 4 F 4 G 3 = CD 2EF (ABC 2DG)(BCE 2F 2G)(BDEFG) = AB 3 C 3 D 2E 3 F 3 G 3 = AD 2 (ABC 2DG)2(BCE 2F 2 G)(BDEFG) = A 2B 4 C 5 D 3 G 4 = AB 2CG 2 (ABC 2DG)(BCE 2 F 2G)2(BDEFG) = ABCD 2E 2F 2G (ABC 2DG)(BCE 2F 2G)(BDEFG)2 = ABC 3 D 3 E 4 F 4 G 4 = ABEFG Se trata de un diseño enorme que requiere 37 = 2187 observaciones dispuestas en 27 bloques con 81 observaciones cada uno. 9-3 RÉPLICAS FRACCIONADAS DEL DISEÑO FACTORIAL 3k El concepto de réplica fraccionada puede extenderse a los diseños factoriales 3k • Debido a que una réplica completa del diseño 3k puede requerir un número bastante grande de corridas incluso para valores moderados de k, las réplicas fraccionadas de estos diseños son de interés. Sin embargo, como se verá más adelante, algunos de estos diseños tienen estructuras de alias complicadas. 9-3.1 La fracción un tercio del diseño factoria13 k La fracción más grande del diseño 3k es la fracción un tercio que contiene 3k- 1 corridas. Por consiguiente, se hace referencia a él como el diseño factorial fraccionado 3k- 1• Para construir un diseño factorial fraccionado 3k- 1 se selecciona un componente de interacción con dos grados de libertad (generalmente, la interacción de orden más alto) y se hace la partición del diseño 3k completo en tres bloques. Cada uno de los tres bloques resultantes es un diseño fraccionado 3k - 1 y puede seleccionarse cualquiera de los bloques para usarlo. Si AB a Ca, ... Kak es el componente de interacción utilizado para definir los bloques, entonces al = AB a ca, '" Kak se le llama la relación de definición del diseño factorial fraccionado. Cada efecto principal o componente de interacción estimado a partir del diseño 3k - 1 tiene dos alias, los cuales pueden encontrarse multiplicando el efecto tanto por 1 como por P módulo 3. Como un ejemplo, considere una fracción un tercio del diseño 33 • Puede seleccionarse cualquiera de los componentes de la interacciónABC para construir el diseño, es decir,ABC,AB 2C,ABC2oAB2C2 • Por lo tanto, hay en realidad 12 fracciones un tercio diferentes del diseño 33 definidas por 2 2 Xl +a 2 x 2 +a 3 x 3 = u (mod 3) donde a = 10 2 y u = O, 10 2. Suponga que se selecciona el componente deAB 2C2 • Cada fracción del diseño 33- 1 resultante contendrá exactamente 32 = 9 combinaciones de tratamientos que deben satisfacer 380 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES donde u = 0, 1 o 2. Es sencillo verificar que las tres fracciones un tercio son las que se muestran en la figura 9-9. Si se corre cualquiera de los diseños 33- 1 de la figura 9-9, la estructura de los alias resultante es A=A(AB2C2)=A2B2C2 =ABC A=A(AB 2C 2 )2 =A 3 B 4 C 4 =BC B= B(AB 2C 2 )= AB 3 C 2 = AC 2 B=B(AB 2C 2 )2 =A 2B 5 C 4 =ABC 2 C=C(AB 2C 2 )=AB 2 C 3 =AB 2 C=C(AB 2 C 2 )2 =A 2 B 4 C 5 =AB 2C AB= AB(AB 2 C 2 )= A 2B 3 C 2 = AC AB= AB(AB 2C 2 )2 = A 3 B 5 C 4 = BC 2 Por consiguiente, los cuatro efectos que en realidad se estiman a partir de los ocho grados de libertad del diseño sanA + BC + ABC, B + AC2 + ABC2, C + AB2 + AB2C y AB + AC + BC2 • Este diseño sólo tendría valor práctico si todas las interacciones fueran pequeñas en comparación con los efectos principales. Puesto que los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores, se trata de un diseño de resolución lII. Observe lo complejas que son las relaciones de los alias en este diseño. Cada efecto principal es alias de un componente de interacción. Si, por ejemplo, la interacción de dos factores BC es grande, esto distorsionará potencialmente la estimación del efecto principal de A y hará que sea muy complicada la interpretación del efecto deAB + AC + BC2 • Es muy dificil ver cómo este diseño podría ser de utilidad, a menos que se suponga que todas las interacciones son insignificantes. Diseño 1 Diseño 1 Diseño 1 u=o u=1 u=2 000 012 101 202 021 110 122 100 112 201 002 121 210 222 011 020 200 212 001 102 221 010 022 211 220 111 120 al Combinaciones de tratamientos e ~A . ".--- )---- '" '" '" u=o '" '" '" u=1 )--- '" e' '" u=2 b) Vista geométrica Figura 9-9 Las tres fracciones un tercio del diseño 33 con la relación de definición 1 = AB 2 C2 • ir 1\ l' 9-3 RÉPLICAS FRACCIONADAS DEL DISEÑO FACTORIAL 3k 381 Antes de dejar el diseño 3~1, observe que para el diseño con u = O(ver la figura 9-9), si se hace queA denote el renglón y B la columna, entonces el diseño puede escribirse como 000 012 021 101 110 122 202 211 220 que es un cuadrado latino 3 x 3. El supuesto de las interacciones insignificantes requerido para la interpretación única del diseño 3t~1 tiene su paralelo en el diseño del cuadrado latino. Sin embargo, los dos diseños surgen por motivos diferentes, uno como consecuencia de la réplica fraccionada y el otro de las restricciones sobre la aleatorización. Por la tabla 4-13 se observa que sólo hay 3 x 3 cuadrados latinos y . que cada uno corresponde a uno de los doce diferentes diseños factoriales fraccionados 33-1. Las combinaciones de tratamientos en un diséño 3k - 1 con la relación de definición 1 = AB a2 Ca, ... Kak pueden construirse utilizando un método similar al que se empleó en la serie 2k- p • Primero se escriben las 3k - 1 corridas para un diseño factorial de tres niveles completo en k - 1 factores, con la notación común O, 1, 2. Éste es el diseño básico en la terminología del capítulo 8. Después se introduce el factor k-ésimo igualando sus Xk niveles con el componente apropiado de la interacción de orden más alto, por ejemplo AB a2 Ca, ···(K- l tk - 1 , mediante la relación (9-5) l ..." 1""" 1"' :,:~ donde/3¡ = (3-ak)a¡ (mod 3) para 1:5 i :5 k-l. Se obtiene así un diseño con la resolución más alta posible. Como una ilustración, se usa este método para generar el diseño 3~1 con la relación de definición 1 = AB2CD que se muestra en la tabla 9-6. Es sencillo verificar que los tres primeros dígitos de cada combinación de tratamientos de esta tabla son las 27 corridas de un diseño 33completo. Se trata del diseño básico. ParaAB2CD se tiene al = a 3 = a 4 = 1 ya 2 = 2. Esto implica que /31 = (3 -1 )a1 (mod 3) = (3 -1)(1) = 2,/32 = (3-1)a 2 (mod3) = (3 -1)(2) = 4 = 1 (mod3) Y/33 = (3 -1)a 3 (mod3) = (3 -1)(1) = 2. Parlo tanto, la ecuación 9-5 queda como (9-6) Los niveles del cuarto factor satisfacen la ecuación 9-6. Por ejemplo, se tiene 2(0) + 1(0) + 2(0) = 0,2(0) + 1(1) + 2(0) = 1, 2(1) + 1(1) + 2(0) = 3 = O, etcétera. El diseño 3~1 resultante tiene 26 grados de libertad que pueden usarse para calcular las sumas de cuadrados de los 13 efectos principales y los componentes de las interacciones (y sus alias). Los alias Tabla 9-6 Un diseño 3;';;1 con I=AB 2CD 0000 0101 1100 1002 0202 1201 2001 2102 2200 0012 0110 0211 1011 1112 1210 2010 2111 2212 2221 0021 0122 0220 1020 1121 1222 2022 2120 :J " 382 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES de cualquier efecto se encuentran de la manera usual; por ejemplo, los alias de A son A (AB 2CD) == ABC2D 2y A(AB 2CD)2 = BC2D 2. Puede verificarse que los cuatro efectos principales están separados de cualquier componente de interacciones de dos factores, pero que algunos componentes de interacciones de dos factores son alias entre sí. Una vez más se observa la complejidad de la estructura de los alias. Si cualquiera de las interacciones de dos factores es grande, probablemente será muy difícil aislarla con este diseño. El análisis estadístico de un diseño 3k-¡ se lleva a cabo con los procedimientos usuales del análisis de varianza para experimentos factoriales. Las sumas de cuadrados de los componentes de interacciones pueden calcularse como en la sección 9-1. Cuando interprete los resultados, recuerde que los componentes de las interacciones no tienen ninguna interpretación práctica. 9~3.2 j'!¡, ;:, :) Otros diseños factoriales fraccionados 3k-p Para moderar los valores grandes de k, es deseable un fraccionamiento todavía mayor del diseño 3k • En general, puede construirse una fracción (ir del diseño 3k parap < k, donde la fracción contiene 3k- p corridas. A este diseño se le llama el diseño factorial fraccionado 3k - p • Por lo tanto, un diseño 3k- 2 es una fracción un noveno, un diseño 3k- 3 es una fracción un veintisieteavo, etcétera. El procedimiento para construir un diseño factorial fraccionado 3k-p consiste en seleccionar p componentes de interacciones y usar estos efectos para hacer la partición de las 3k combinaciones de tratamientos en Y bloques. Entonces cada bloque es un diseño factorial fraccionado 3k- p • La relación de definiciónI de cualquier fracción consta de los p efectos elegidos inicialmente y sus (Y - 2p - 1)/2 interacciones generalizadas. El alias de cualquier efecto principal o componente de interacción se obtiene con la multiplicación módulo 3 del efecto por I e P. Las corridas que definen un diseño factorial fraccionado 3k- p también pueden generarse anotando primero las combinaciones de tratamientos de un diseño factorial3 k-p completo e introduciendo después los p factores adicionales igualándolos con los componentes de las interacciones, como se hizo en la sección 9-3.1. El procedimiento se ilustrará construyendo un diseño 34-2, es decir, una fracción un noveno del diseño 34• SeanAB 2C y BCD los dos componentes de interacciones elegidos para construir el diseño. Sus interacciones generalizadas son (AB 2C)(BCD) = AC2D y (AB 2C)(BCD)2 = ABD2. Por lo tanto, la relación de definición de este diseño es I = AB2C = BCD = AC2D = ABD2, Yel diseño es de resolución lII. Las nueve combinaciones de tratamientos del diseño se encuentran apuntando un diseño 32en los factores A y B, Y agregando después dos nuevos factores haciendo X3 = 2x¡ +X 2 X4 = 2x 2 +2x 3 Tabla 9-7 0000 1021 2012 Un diseño 3ri~2 con 1 =AB 2C e 1 =BCD 0111 1102 2120 0222 1210 2201 9-4 DISEÑOS FACTORIALES CON NNELES MIXTOS Tabla 9-8 383 Estructura de los alias del diseño 3~~2 de la tabla 9-7 Efecto Alias A , ABC 2 B AC ! ABCD ACD 2 AB D BC BC 2 D 2 ABC 2 D AB 2 D 2 2 2 C AB C D AB 2CD BCD 2 2 1.2 2 BC D AD ABCD AC 2D 2 AB 2 2 2 2 AB C D 2 CD 2 BD 2 CD AB 2C 2D AD 2 2 BD ACD ABC 2D 2 AB 2CD 2 BC AC 2 ABD ABC AB Esto es equivalente a usar AB 2C y BCD para hacer la partición del diseño 34 completo en nueve bloques y luego seleccionar uno de estos bloques como la fracción deseada. El diseño completo se muestra en la tabla 9-7. Este diseño tiene ocho grados de libertad que pueden usarse para estimar cuatro efectos principales y sus alias. Los alias de cualquier efecto pueden encontrarse multiplicando el efecto módulo 3 por AB 2C, BCD,AC2D,ABD 2 y sus cuadrados. En la tabla 9-8 se presenta la estructura de los alias completa del diseño. Por la estructura de los alias se observa que este diseño sólo es útil en ausencia de interacciones. Además, siA denota los renglones y B las columnas, entonces al examinar la tabla 9-7 se observa que el diseño 3~~2 también es un cuadrado grecolatino. El escrito de Connory Zelen [28] contiene una extensa selección de diseños para 4:5 k :5 10. Este escrito se elaboró para la National Bureau of Standards y es la tabla más completa disponible de los planes 3k- p • En esta sección se ha hecho notar en varias ocasiones la complejidad de las relaciones de los alias de los diseños factoriales fraccionados 3k- p • En general, si k es moderadamente grande, por ejemplo k ~ 4 o 5, el tamaño del diseño 3k llevará a muchos experimentadores a considerar fracciones bastante pequeñas. Desafortunadamente, estos diseños tienen relaciones de alias que incluyen alias parciales de componentes de interacciones con dos grados de libertad. Esto, a su vez, resulta en un diseño cuya interpretación será difícil, si no imposible, si las interacciones no son insignificantes. Además, no hay esquemas de aumento simples (como el doblez) que puedan usarse para combinar dos o más fracciones a fin de aislar las interacciones significativas. El uso del diseño 3k suele sugerirse cuando hay curvatura presente. Sin embargo, hay alternativas más eficientgs (ver el capítulo 11). Por estas razones, se puede concluir que los diseños factoriales fraccionados 3k- p son soluciones que causan problemas; no son, en general, buenos diseños. 9,4 DISEÑOS FACTORIALES CON NIVELES MIXTOS Se han resaltado los diseños factoriales y factoriales fraccionados en los que todos los factores tienen el mismo número de niveles. El sistema con dos niveles revisado en los capítulos 6, 7 y 8 es de particular utilidad. El sistema de tres niveles presentado en este capítulo es de utilidad mucho menor debido a que los diseños son relativamente grandes incluso para un número modesto de factores, y la mayoría de las fracciones pequeñas tienen relaciones de alias complejas que requerirían supuestos muy restrictivos respecto de las interacciones para ser útiles. Estamos convencidos de que los diseños factoriales y factoriales fraccionados de dos niveles deberán ser la piedra angular de la experimentación industrial para el desarrollo de productos y procesos, detección de defectos y mejoramiento. Sin embargo, existen situaciones en las que es necesario incluir un fac~ tor (o algunos factores) que tiene más de dos niveles. Esto suele ocurrir cuando hay factores tanto cuantitativos como cualitativos en el experimento, y el factor cualitativo tiene (por ejemplo) tres niveles. i 1: 1: 11 I I1 ,1 ii¡ I1 11 :I l' , I 11 I[ Ii 11 384 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Tabla 9-9 Uso de factores con dos niveles para formar un factor con tres niveles Factores con dos niveles B Factores con tres niveles x C + + + + Si todos los factores son cuantitativos, entonces deberán usarse diseños de dos niveles con puntos centrales. En esta sección se indica cómo pueden incorporarse factores con tres y cuatro niveles en un diseño 2k • 9~4.1 '1 ~" Factores con dos y tres niveles Los diseños en los que algunos factores tienen dos niveles y otros tres niveles pueden derivarse de la tabla de signos positivos y negativos del diseño 2k usual. El procedimiento general se ilustra mejor con un ejemplo. Suponga que se tienen dos variables, dondeA tiene dos niveles y X tres. Considere la tabla de signos positivos y negativos del diseño 23 usual con ocho corridas. Los signos de las columnas B y e tienen el patrón que se muestra en el lado izquierdo de la tabla 9-9. Sea que los niveles deX estén representados por Xl' X 2 Yx 3 · En el lado derecho de la tabla 9-9 se muestra cómo se combinan los patrones de los signos de 13 y e para formar los niveles del factor con tres niveles. Entonces el factor X tiene dos grados de libertad, y si el factor es cuantitativo, es posible hacer su partición en un componente lineal y uno cuadrático, con cada componente teniendo un grado de libertad. En la tabla 9-10 se muestra un diseño 23 con las columnas rotuladas para indicar los efectos reales que estiman, donde XL y X Q denotan los efectos lineal y cuadrático, respectivamente, deX. Observe que el efecto lineal deX es la suma de las estimaciones de los dos efectos calculadas a partir de las columnas asociadas generalmente conB y e, y que el efecto deA sólo puede calcularse a partir de las corridas donde X está en el nivel bajo o bien en el alto, es decir, las corridas 1, 2, 7 Y8. De manera similar, el efecto A x XL es la suma de los dos efectos que se habrían calculado a partir de las columnas rotuladas generalmente AB y Tabla 9-10 Un factor con dos niveles y un factor con tres niveles en un diseño 23 Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 A XL XL A xXL A xXL XQ A xXQ A B C AB AC BC ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Combinaciones de tratalnientos reales A X Bajo Alto Bajo Alto Bajo Alto Bajo Alto Bajo Bajo Intermedio Intermedio Intermedio Intermedio Alto Alto 9-4 DISEÑOS FACTORIALES CON NIVELES MIXTOS Tabla 9-11 385 Análisis de varianza del diseño de la tabla 9-10 Fuente de Suma de Grados de Cuadrado variación cuadrados libertad medio A X (XL +XQ) AX(A xXL +A xXQ) Error (a partir de las corridas 3 y 5 y de las corridas 4 y 6) Total SSA SSx SSAX SSE 1 2 2 SST 7 2 MSA MSB MSAX MS E AC. Además, observe que las corridas 3 y 5 son réplicas. Por 10 tanto, puede hacerse una estimación del error con un grado de libertad del error utilizando estas dos corridas. De manera similar, las corridas 4 y 6 son réplicas, y esto llevaría a una segunda estimación del error con un grado de libertad. La varianza promedio de estos dos pares de corridas podría usarse como cuadrado medio del error con dos grados de libertad. En la tabla 9-11 se resume el análisis de varianza completo. Si se está dispuesto a suponer que las interacciones de dos factores y de órdenes superiores son insignificantes, el diseño de la tabla 9-10 puede convertirse en una fracción de resolución III con hasta cuatro factores con dos niveles y un solo factor con tres niveles. Esto se conseguiría asociando los factores de dos niveles con las columnasA,AB,AC y ABe. La columnaBC no puede usarse para un factor de dos niveles porque contiene el efecto cuadrático del factor X de tres niveles. Puede aplicarse el mismo procedimiento en los diseños 2k de 16, 32 Y64 corridas. Para 16 corridas es posible construir factoriales fraccionados de resolución V con dos factores de dos niveles y con dos o tres factores de tres niveles. También puede obtenerse una fracción con 16 corridas de resolución V con 3 factores de dos niveles y un factor de tres niveles. Si se incluyen cuatro factores de dos niveles y un solo factor de tres niveles en 16 corridas, el diseño será de resolución III. Los diseños de 32 y 64 corridas permiten arreglos similares. Para un estudio adicional de algunos de estos diseños, ver Addleman [lb]. 9~4.2 Factores con dos y cuatro niveles Es muy sencillo incorporar un factor con cuatro niveles en un diseño 2k • El procedimiento para hacerlo implica el uso de dos factores con dos niveles para representar el factor con cuatro niveles. Por ejemplo, suponga queA es un factor de cuatro niveles con los niveles al' az, a3ya 4. Considere dos columnas de la tabla usual de signos positivos y negativos, por ejemplo las columnas P y Q. El patrón de los signos de estas dos columnas se muestra en el lado izquierdo de la tabla 9-12. El lado derecho de esta tabla muestra cómo estos cuatro patrones de signos corresponderían con los cuatro niveles del factorA. Los efectos represen- Tabla 9-12 El factor A con cuatro niveles expresado como dos factores con dos niveles Factores con dos niveles Corrida 1 2 3 4 P Q Factores con cuatro niveles A al + + + + az a3 a4 · - .. fj!~-'g~AV! ~t:!C ~U ~~ H~l~~JiJ~n w 00 0\ Tabla 9-13 Un factor con cuatro niveles y 2 factores con dos niveles en 16 corridas AB Corrida C D AC BC =x (A B) 1 Xl + + + 2 Xz + + X3 3 + + 4 x4 + + + 5 Xl + + 6 Xz + + + 7 x3 + + + 8 x4 + + + + + + 9 Xl + + + + 10 Xz + + + 11 x3 + + + 12 X4 + + + + 13 Xl + + + 14 Xz + + + + 15 X3 + + + + 16 + + X4 + + + + + ABC + + AD BD + + + - + - - + + - + + - - - + + + - + - + - + + + CD ACD + + + + + + + - + + - + + - + + + - - - ABD - + + + + - + - - + + + + - + + - + + - + - + - + BCD ABCD - + + + + + + + + + + - + + - + + + + _._~~::!II 9-5 PROBLEMAS 387 tados por las columnasPy Q y la interacciónPQ son mutuamente ortogonales y corresponden al efecto de A con tres grados de libertad. Para i~ustrar esta idea con mayor detalle, suponga que se tiene un factor de cuatro niveles y dos factores de dos niveles y que es necesario estimar todos los efectos principales y las interacciones en las que intervienen estos factores. Esto puede hacerse con un diseño de 16 corridas. En la tabla 9-13 se presenta la tabla usual de signos positivos y negativos del diseño 24 con 16 corridas, donde las columnas A y B se usan para formar el factor de cuatro niveles, por ejemplo X, con los niveles Xl' X 2, X 3 YX 4. Se calcularían las sumas de cuadrados de cada columnaA, B, ...,ABCD exactamente igual que en el sistema 2k usual. Después las sumas de cuadrados de todos los factores X, C, D y sus interacciones se forman de la manera siguiente: = SSA +SSB +SSAB SSc = SSc SSD = SSD SSCD = SSCD SS xc = SS AC +SSBC +SSABC SSx SS XD SS XCD (3 grados de libertad) (1 grado de libertad) (1 grado de libertad) (1 grado de libertad) (3 grados de libertad) (3 grados de libertad) (3 grados de libertad) = SS AD +SSBD +SSABD = SS ACD + SSBCD + SS ABCD A este diseño podría llamársele 4 x 22 • Si uno está dispuesto a ignorar las interacciones de dos factores, pueden asociarse hasta nueve factores adicionales de dos niveles con la columna de la interacción de dos factores (exceptoAB), la columna de la interacción de tres factores y la columna de la interacción de cuatro factores. 9-5 9-1. PROBLEMAS Se estudian los efectos de la fuerza del revelador (A) Yel tiempo de revelado (B) sobre la densidad de la película de placa fotográfica. Se usan tres fuerzas y tres tiempos, y se corren cuatro réplicas de un experimento factorial 32 • Los datos de este experimento se presentan a continuación. Analizar los datos utilizando los métodos estándares para experimentos factoriales. Tiempo de revelado (minutos) Fuerza del revelador 1 2 3 9-2. 9-3. 14 10 O 5 4 7 7 8 2 4 1 4 6 5 6 10 7 7 10 8 18 3 2 8 7 10 7 2 4 9 8 12 9 5 6 10 5 10 8 Calcular los componentes 1 y J de la interacción de dos factores del problema 9-1. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de tres tipos diferentes de botellas de 32 onzas (A) y tres tipos diferentes de aparadores de venta (B) -anaqueles permanentes lisos, aparadores al final del pasillo con anaqueles emejados y refrigeradores para refrescos- sobre el tiempo que toma acomodar diez cajas de 12 botellas en los aparadores. Se usaron tres empleados (factor C) en el experimento, y se corrieron dos réplicas de un diseño factorial 33 • Los datos del tiempo observado se muestran en la tabla siguiente. Analizar los datos y sacar conclusiones. "'l. ~n 388 CAPÍTULO 9 Empleado 2 3 9-5. 9-6. Tipo de botella Plástico Vidrio de 28 mm Vidrio de 38 mm Plástico Vidrio de 28 mm Vidrio de 38 mm Plástico Vidrio de 28 mm Vidrio de 38 mm 1 9-4. DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Réplica II Réplica 1 Final del Final del pasillo Refrigerador Permanente Permanente pasillo Refrigerador 4.14 3.36 3.45 5.80 4.19 5.23 3.52 4.07 4.38 5.48 4.26 4.85 4.20 4.26 5.67 3.68 4.37 5.58 6.21 5.22 4.40 4.80 4.70 5.88 6.25 4.44 4.52 5.15 4.65 6.20 4.96 5.17 6.03 4.39 4.75 6.38 4.08 3.94 5.14 3.65 4.08 4.49 4.30 4.53 4.99 4.04 4.08 4.59 4.17 4.86 4.85 3.88 4.48 4.90 Un investigador médico estudia el efecto de la lidocaína sobre el nivel de enzimas en el músculo cardiaco de perros beagle. En el experimento se usan tres marcas comerciales de lidocaína (A), tres dosis (B) y tres perros (C), y se corren dos réplicas de un diseño factorial 33 • Los niveles de enzimas observados se presentan a continuación. Analizar los datos de este experimento. Réplica 1 Réplica II Perro Perro Marca de lidocaína Fuerza de la dosis 1 2 1 1 2 3 96 94 101 84 99 106 2 1 2 3 85 95 108 3 1 2 3 84 95 105 3 84 98 114 85 98 98 86 97 109 83 97 100 81 93 106 1 2 3 84 95 105 85 97 104 86 90 103 80 93 110 82 99 102 84 95 100 83 92 102 80 96 111 79 93 108 Calcular los componentes 1 y J de las interacciones de dos factores del ejemplo 10-1. Se realiza un experimento en un proceso químico utilizando un diseño factorial 32 • Los factores del diseño son la temperatura y la presión, y la variable de respuesta es el rendimiento. Los datos que resultan de este experimento se presentan a continuación: Presión, psig Temperatura, oC 100 120 140 80 90 100 47.58, 48.77 51.86, 82.43 71.18, 92.77 64.97, 69.22 88.47, 84.23 96.57, 88.72 80.92, 72.60 93.95, 88.54 76.58, 83.04 a) Analizar los datos de este experimento conduciendo un análisis de varianza. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? b) Analizar gráficamente los residuales. ¿Hay algún motivo de preocupación respecto de los supuestos subyacentes o de la adecuación del modelo? irl'l I 9-5 PROBLEMAS 389 e) Verificar que si se hace que los niveles bajo, intermedio y alto de ambos factores de este diseño asuman los niveles -1, OY + 1, entonces un ajuste de mínimos cuadrados de un modelo de segundo orden del rendimiento es d) Confirmar que el modelo del inciso e puede escribirse en términos de las variables naturales -la temperatura (T) y la presión (P)- como y= -1335.63+18.56T+8.59P- ü.ünT 2 e) 9-7. 9-8. 9-9. 9-10. 9-11. 9-12. 9-13. 9-14. 9-15. 9-16. 9-17. 9-18. 9-19. 9-20. 9-21. 9-22. ü.ü196p 2 - ü.ü384TP Construir una gráfica de contorno del rendimiento como una función de la presión y la temperatura. Con base en el examen de esta gráfica, ¿dónde se recomendaría operar este proceso? a) Confundir un diseño 33 en tres bloques utilizando el componenteABC2 de la interacción de tres factores. Comparar los resultados obtenidos con el diseño de la figura 9-7. b) Confundir un diseño 33 en tres bloques utilizando el componenteAB2C de la interacción de tres factores. Comparar los resultados con el diseño de la figura 9-7. e) Confundir un diseño 33 en tres bloques utilizando el componenteABC de la interacción de tres factores. Comparar los resultados obtenidos con el diseño de la figura 9-7. d) Después de observar los diseños de los incisos a, b y e y la figura 9-7, ¿qué conclusiones pueden sacarse? Confundir un diseño 34 en tres bloques utilizando el componenteAB2CD de la interacción de cuatro factores. Considere los datos de la primera réplica del problema 9-3. Suponiendo que no fue posible hacer las 27 observaciones el mismo día, establecer un diseño para conducir el experimento en tres días conAB2C confundida con los bloques. Analizar los datos. Delinear la tabla del análisis de varianza del diseño 34 en nueve bloques. ¿Se trata de un diseño práctico? Considere los datos del problema 9-3. SiABC está confundida en la réplica 1 y ABC2 está confundida en la réplica II, realizar el análisis de varianza. Considere los datos de la réplica 1 del problema 9-3. Suponga que sólo se corre una fracción un tercio de este diseño con l = ABe. Construir el diseño, determinar la estructura de los alias y analizar los datos. Por el examen de la figura 9-9, ¿qué tipo de diseño quedaría si después de completar las nueve primeras corridas pudiera eliminarse uno de los tres factores? Construir un diseño 3i;;1 con l = ABCD. Escribir la estructura de los alias de este diseño. Verificar que el diseño del problema 9-14 es un diseño de resolución IV Construir un diseño 35- 2 conl =ABC el = CDE. Escribir la estructura de los alias de este diseño. ¿Cuál es la resolución de este diseño? Construir un diseño 39- 6 y verificar que es un diseño de resolución III. Construir un diseño 4 x 23 confundido en dos bloques con16 observaciones cada uno. Delinear el análisis de varianza de este diseño. Delinear la tabla del análisis de varianza de un diseño factorial 2232• Comentar la manera en que este diseño puede confundirse en bloques. Empezando con un diseño 24 de 16 corridas, indicar cómo pueden incorporarse dos factores de tres niveles en este experimento. ¿Cuántos factores de dos niveles pueden incluirse si se quiere cierta información sobre las interacciones de dos factores? Empezando con un diseño 24 de 16 corridas, indicar cómo pueden incorporarse un factor con tres niveles y tres factores con dos niveles, de tal modo que siga siendo posible la estimación de las interacciones de dos factores. En el problema 8-26 el lector conoció a Harry y Judy Peterson-Nedry, dos amigos del autor que son propietarios de un viñedo y una fábrica vinícola en Newberg, Oregon. En ese problema se describió la aplicación de diseños factoriales fraccionados de dos niveles en su producto Pinot Noir 1985. En 1987 quisieron conducir otro experimento Pinot Noir. Las variables de este experimento fueron ~' • 1 390 CAPÍTULO 9 DISEÑOS FACTORIALES Y FACTORIALES FRACCIONADOS CON TRES NIVELES Variable Clan de Pinot Noir Wadenswil, Pommard Tamaño de la uva Pequeño, grande Temperatura de fermentación 80 oP, 85°P, 90/80 oP, 90 P Uva completa Ninguno, 10% Niveles 0 Tiempo de maceración 10 días, 21 días Tipo de levadura Assmanhau, Champagne Tipo de roble Tron«ais, Allier Harry y Judy decidieron usar un diseño factorial fraccionado de dos niveles con 16 corridas, tratando los cuatro niveles de la temperatura de fermentación como dos variables de dos niveles. Como en el problema 8-26, utilizaron las calificaciones de un panel de catadores como variable de respuesta. El diseño y las calificaciones promedio resultantes se presentan enseguida: Corrida Clan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 q"1.1iI1 ''''', ;::~¡,: ni" {""l'~ .. ' " ~:'''::: '''~'''''' ,::.::::1 .~~:¡:~~' :::;1' 'n ::!'J "Ji:)' Sil . ~. 111 ·"~I ::~. li":l 9-23. + + + + + + + + Tamaño de la uva Temperatura de Tiempo de Uva fermentación completa maceración + + + + + + + + + + + + + + + + Tipo de roble + + + + + + + + + + + + + + + + + Tipo de levadura + + + + + + + + + + + + + + 4 10 6 9 11 1 15 5 12 2 16 3 8 14 7 13 + + + + Calificación promedio + + + + + a) Describir los alias de este diseño. b) Analizar los datos y sacar conclusiones. e) ¿Qué comparaciones pueden hacerse entre este experimento y el experimento del Pinot Noir 1985 del problema 8-26? En un artículo de WD. Baten publicado en el volumen de 1956 de Industlial Quality Contl'Ol se describe un experimento para estudiar el efecto de tres factores sobre la longitud de unas barras de acero. Cada barra se sometió a uno de dos procesos de tratamiento térmico y se cortó en una de cuatro máquinas en una de tres horas durante el día (8 a.m., 11 a.m. o 3 p.m.). Los datos de la longitud codificada son los siguientes: Hora del día 1 8 a.m. Máquina Proceso de tratamiento térmico 2 1 2 6 1 9 3 7 5 9 5 4 6 1 6 3 5 4 O 4 3 O 2 4 6 7 6 3 -1 O 4 5 5 4 1 O 1 ., 9-5 PROBLEMAS Hora del día 11 a.m. 3 p.m. Máquina Proceso de tratamiento térmico 2 1 3 1 3 -1 8 4 7 8 2 3 1 1 -2 6 4 3 1 5 9 4 6 2 6 3 7 1 391 6 O 1 10 6 11 4 8 10 O 7 2 O 2 O -1 1 -1 2 6 1 O -2 4 -4 3 1 4 7 11 9 6 9 6 4 3 10 4 5 8 4 7 3 O a) Analizar los datos de este experimento suponiendo que las cuatro observaciones de cada celda son réplicas. b) Analizar los residuales de este experimento. ¿Existe algún indicio de que hay un punto atípico en una de las celdas? Si se encuentra un punto atípico, eliminarlo y repetir el análisis del inciso a. ¿A qué conclusiones se llega? e) Suponga que las observaciones de las celdas son las longitudes (codificadas) de barras que se procesaron conjuntamente en el tratamiento térmico y después se cortaron secuencialmente (es decir, en orden) en las cuatro máquinas. Analizar los datos y determinar los efectos de los tres factores sobre la longitud promedio. d) Calcular la varianza logarítmica de las observaciones de cada celda. Analizar esta respuesta. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? e) Suponga que la hora en que se corta una barra en realidad no puede controlarse durante la producción rutinaria. Analizar la longitud promedio y la varianza logarítmica de la longitud de cada una de las 12 barras cortadas en cada combinación máquina/proceso de tratamiento térmico. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? Ajuste de modelos de . "' regreslon 10~1 INTRODUCCIÓN En muchos problemas hay dos o más variables relacionadas, y el interés se centra en modelar y explorar esta relación. Por ejemplo, en un proceso químico el rendimiento del producto está relacionado con la temperatura de operación. Quizá el ingeniero químico quiera construir un modelo que relacione el rendimiento con la temperatura para usarlo después como herramienta de predicción o bien de optimización o control del proceso. En general, suponga que hay una sola variable dependiente o de respuesta y que depende de k variables independientes o regresores, por ejemplo, Xl' X 2, ••• , X k • La relación que existe entre estas variables se caracteriza por un modelo matemático llamado modelo de regresión. Dicho modelo se ajusta a un conjunto de datos muestrales. En ocasiones el experimentador conoce la forma exacta de la verdadera relación funcional entreyyx ü x 2, .•. ,Xk , por ejemplo y = r/J(X I ,X2, ••• ,xk ). Sin embargo, en la mayoría de los casos no se conoce la verdadera relación funcional, y el experimentador elige una función apropiada para aproximar r/J. Los modelos polinomiales de orden inferior son de uso generalizado como funciones de aproximación. Existe una fuerte relación recíproca entre el diseño de experimentos y el análisis de regresión. A lo largo de este libro se ha destacado la importancia de expresar cuantitativamente los resultados de un experimento, en términos del modelo empírico, a fin de facilitar su comprensión, interpretación e implementación. Los modelos de regresión constituyen la base para conseguirlo. Se ha presentado en múltiples ocasiones el modelo de regresión que representaba los resultados de un experimento. En este capítulo se presentan algunos aspectos del ajuste de estos modelos. Presentaciones más completas de la regresión se encuentran en Montgomery y Peck [82] y Myers [84]. Los métodos de regresión se utilizan con frecuencia para analizar datos de experimentos no planeados, como podría ser el caso de la observación de fenómenos no controlados o de registros históricos. Los métodos de regresión también son muy útiles en experimentos diseñados cuando algo "salió mal". En este capítulo se ilustran algunas de estas situaciones. 392 10-2 MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 10-2 393 MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL La atención se centrará en el ajuste de modelos de regresión lineal. Para ilustrar, suponga que quiere desarrollarse un modelo empírico que relacione la viscosidad de un polímero con la temperatura y la velocidad de alimentación del catalizador. Un modelo que podría describir esta relación es (10-1) donde y representa la viscosidad, Xl la temperatura y X 2 la velocidad de alimentación del catalizador. Se trata de un modelo de regresión lineal múltiple con dos variables independientes. Es común llamar a las variables independientes variables predictoras o regresores (variables de regresión). Se utiliza el término lineal porque la ecuación 10-1 es una función lineal de los parámetros desconocidos /30' /31 y /32' El modelo describe un plano en el espacio bidimensional Xl' X 2. El parámetro /30 define la intersección del plano con el eje de las ordenadas. En ocasiones /31 y /32 se denominan los coeficientes de regresión parcial, porque (31 mide el cambio esperado en y para cada cambio unitario de Xl cuando X 2 se mantiene constante, y /32 mide el cambio esperado en y para cada cambio unitario de X 2 cuando Xl se mantiene constante. En general, la variable de respuesta y puede relacionarse con k regresares. Al modelo (10-2) se le llama modelo de regresión lineal múltiple con k regresares. A los parámetros /3j,j = O, 1, ..., k se les llama los coeficientes de regresión. Este modelo describe un hiperplano en el espacio de k dimensiones de los regresares {xj }. El parámetro /3j representa el cambio esperado en la respuesta y para un cambio unitario en xj cuando las variables independientes restantes Xi (i :t:- j) se mantienen constantes. Con frecuencia los modelos cuya apariencia es más compleja que la ecuación 10-2 pueden también analizarse mediante técnicas de regresión lineal múltiple. Por ejemplo, considere la incorporación de un término de interacción en el modelo de primer orden en dos variables, por ejemplo (10-3) Si se hace X3 = XrX2 Y/33 = /312' entonces la ecuación 10-3 puede escribirse como y= /30 + /31 x 1 + /32 x 2 + /33 x 3 +s (10-4) que es un modelo de regresión lineal múltiple estándar con tres regresares. Recuerde que en algunos ejemplos de los capítulos 6, 7 Y8 se presentaron varios modelos empíricos similares a las ecuaciones 10-2 y 10-4 para expresar cuantitativamente los resultados de un diseño factorial de dos niveles. Como otro ejemplo, considere el modelo de superficie de respuesta de segundo orden en dos variables: y= /3 0+ /3 1x1 + /3 2 x 2 + /3u x; + /322X~ + /312 x 1x 2 +s (10-5) Si se hacex3= x; 'X4 = x~ ,Xs =X1X 2,/33 = /3u,/34 = /322Y/3s = /312' entonces esta expresión queda como (10-6) que es un modeio de regresión lineal. Este modelo se ha visto también en ejemplos anteriores de este libro. En general, cualquier modelo de regresión que es lineal en los parámetros (los valores /3) es un modelo de regresión lineal, independientemente de la forma de la superficie de respuesta que genera. En este capítulo se resumirán los métodos para estimar los parámetros de los modelos de regresión lineal múltiple. A este procedimiento suele llamársele el ajuste del modelo. Se analizarán también los métodos para probar hipótesis y para construir intervalos de confianza para estos modelos, así como para 394 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN verificar la adecuación del ajuste del modelo. La atención se centra en los aspectos del análisis de regresión que son útiles en los experimentos diseñados. Para presentaciones más completas de la regresión, referirse a Montgomery y Peck [82] y Myers [84]. 10~3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL El método de mínimos cuadrados se usa de manera típica para estimar los coeficientes de regresión de un modelo de regresión lineal múltiple. Suponga que se cuenta con n > k observaciones de la variable de respuesta, por ejemplo, YI, Yz, ... ,Yn- Junto con cada respuesta observaday¡ se tendrá una observación de cada uno de los regresares, y sea quexij denote la observación o nivel i-ésimo de la variablexj . Los datos aparecerán como en la tabla 10-1. Se supone que el término del error e del modelo tiene E( e) = OYV( e) = ,j2 y que las {e¡} son variables aleatorias no correlacionadas. La ecuación del modelo (ecuación 10-2) puede escribirse en términos de las observaciones de la tabla 10-1 como Y¡ = f30 +f3I Xil +f32 X¡2 + ... +f3k X¡k +e¡ (10-7) k ¡:II.. =f3o+Lf3jXij+e¡ iJ¡ i=1,2, ...,n j=l ji" ..." ''''1 El método de mínimos cuadrados consiste en elegir las f3 de la ecuación 10-7 de tal modo que la suma de cuadrados de los errores, e¡, se minimice. La función de mínimos cuadrados es L=! e~ "U ,,' 'H ¡=l (10-8) La función L debe minimizarse con respecto a f3o, f31, ejemplo ~o' ~1' ... , ~k' deben satisfacer ..., f3k' Los estimadores de mínimos cuadrados, por (10-9a) y (10-%) Tabla 10-1 Datos de una regresión lineal múltiple y Xl YI XJl X2 X12 Xlk Y2 X 21 X 22 X 2k YtI XIII X Il2 X llk Xk 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 395 Al simplificar la ecuación 10-9, se obtiene n~o +~I~ +~2~ X¡2 Xil ;=1 + ~2 n + ... +~kL X¡k ;=1 i=1 i=1 n n n L ;=1 X il X i2 + ... + ~ k L XilX ik ;=1 = L ;=1 XilY¡ (10-10) Estas ecuaciones se denominan ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Observe que hay p = k + 1 ecuaciones normales, una para cada uno de los coeficientes de regresión desconocidos. La solución de las ecuaciones normales serán los estimadores de mínimos cuadrados de los coeficientes de regresión ~o, ~1" .. , ~k' Es más sencillo resolver las ecuaciones normales si se expresan en la notación matricial. A continuación se presenta el desarrollo matricial de las ecuaciones normales que es análogo al desarrollo de la ecuación 10-10. El modelo en términos de las observaciones, ecuación 10-7, puede escribirse en notación matricial como y= Xp + e donde . [11 YI Y2 ] y= [ x X ll 2I x X 12 22 ",x .. , X X= .: . :. : ;n ' 1 x nI x n2 Ik ] 2k : . ' ••• x nk y En general, y es un vector (n X 1) de las observaciones, X es una matriz (n X p) de los niveles de las variables independientes, p es un vector (p xl) de los coeficientes de regresión, ye es un vector (n Xl) de los errores aleatorios. Quiere encontrarse el vector de los estimadores de mínimos cuadrado~, jJ, que minimice L= ~ s; =e'e=(y-Xp)'(y-xP) ;=1 Observe que L puede expresarse como L= y'y-P'X'y-y'XP+P'X'XP = y'y- 2P'X'y+P'X'XP ya quep'X'y es una matriz (1 x 1), o un escalar, y su transpuesta (/J'X'y)' estimadores de mínimos cuadrados deben satisfacer (10-11) = y'XP es el mismo escalar. Los 396 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN aL/ = -2X'y + 2X'xjJ = o ap Í3 cuya simplificación es X'xjJ= X'y (10-12) La ecuación 10-12 es la forma matricial de las ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Es idéntica a la ecuación 10-10. Para resolver las ecuaciones normales, ambos miembros de la ecuación 10-12 se multiplican por la inversa de X'X. Por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados de p es (X'Xr I X'y (10-13) p= Es sencillo ver que la forma matricial de las ecuaciones normales es idéntica a la forma escalar. Al desarrollar en detalle la ecuación 10-12, se obtiene n n L 2: n ;=1 n L ;=1 L ;=1 ::;1' I"H ;:¡ :.1 L ;=1 L L i=1 Y¡ n X iI X ik {JI XilY¡ ;=1 n X ik X i2 L = L ;=1 ;=1 n XikX il {Jo n X il X i2 i=1 n X¡k X ik i=1 n Xi; i=l n L L X i2 i=1 n Xil n n L L Xil n 2 X ik i=1 {Jk L XikY¡ ;=1 Si se efectúa la multiplicación matricial indicada, se obtendrá la forma escalar de las ecuaciones normales (es decir, la ecuación 10-10). En esta forma es sencillo ver que X'X es una matriz simétrica (p X p) y que X'y es un vector columna (p X 1). Observe la estructura especial de la matriz X'X. Los elementos de la diagonal de X'X son las sumas de cuadrados de los elementos de las columnas de X, y los elementos que no están en la diagonal son las sumas de los productos cruzados de los elementos de las columnas de X. Además, observe que los elementos de X/y son las sumas de los productos cruzados de las columnas de X y las observaciones {y¡}. El modelo de regresión ajustado es (10-14) y= xjJ En notación escalar, el modelo ajustado es k Ji = {Jo + L i = 1, 2, .oo, n {JjXij ;=1 La diferencia entre la observación real Yi y el valor ajustado correspondiente = Yi - Ji' El vector (n X 1) de los residuales se denota por Ji es el residual, es decir, ei e =y - y (10-15) Estimación de a2 Por lo general también es necesario estimar rT. Para desarrollar un estimador de este parámetro, considere la suma de cuadrados de los residuales, por ejemplo SSE I =I = (Yi - Ji )2 i=1 ;=1 = e'e e¡2 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL Al sustituir e = y - y = y - 397 Xp, se tiene = (y - xjJ)(y - xjJ) SS E = y'y - P'X'y - y'xjJ+ P'X'xjJ = y'y-2P'X'y+P'X'xjJ puesto que X'xjJ= X'y, esta última ecuación queda como SSE = y'y- P'X'y (10-16) A la ecuación 10-16 se le llama la suma de cuadrados residual o del error, y tiene n - p grados de libertad asociados con ella. Puede demostrarse que por lo que un estimador insesgado de cr está dado por a~2 SSE =-- (10-17) n-p Propiedades de los estimadores El método de mínimos cuadrados produce un estimador insesgado del parámetro p del modelo de regresión lineal. Esto puede demostrarse fácilmente tomando el valor esperado de de la siguiente manera: P E(P) = E[(X'XrIX'y] = E[(X'X)-I(xp+S)] = E[(X'Xr l X'xp+(X'Xr l X's] =p p ya que E(s) = O Y (X'xtIX'X = l. Por lo tanto, es un estimador insesgado de p. La propiedad de la varianza de se expresa en la matriz de covarianza: p (10-18) Cov(P) == E{[P- E(P)][P- E(P)]'} que es una matriz simétrica cuyo elemento i-ésimo de la diagonal principal es la varianza del coeficiente de regresióp individual Ycuyo elemento (ij)-ésimo es la covarianza entre Y j • La matriz de covarianza de p es Pi' Pi p (10-19) EJEMPLO 10,1 .....................................................•...... En la tabla 10-2 se muestran 16 observaciones de la viscosidad de un polímero (y) y dos variables del proceso: la temperatura de reacción (Xl) y la velocidad de alimentación del catalizador (x 2 ). Se ajustará el modelo de regresión lineal múltiple MI'I,' 'I! 398 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Tabla 10-2 Datos de la viscosidad del ejemplo 10-1 (viscosidad en centistokes @ 100°C) Temperatura Velocidad de alimentación del catalizador (x z, lb/h) Viscosidad (Xl' oC) Observación 8 2256 1 80 9 2340 2 93 10 2426 3 100 12 2293 4 82 11 2330 5 90 8 2368 6 99 8 2250 7 81 10 2409 8 96 12 2364 9 94 11 2379 10 93 11 97 13 2440 12 95 11 2364 13 100 8 2404 12 2317 14 85 15 86 9 2309 12 2328 16 87 11Ih" 'rll,,-' 111""- ::II~: 'ji"' "'''41 ,,' ''':j' ::::lr a estos datos. La matriz X y el vector y son :~:: ';1' "11 1 80 8 1 93 9 1 100 10 1 82 12 1 90 11 1 99 8 1 81 8 1 96 10 X= 1 94 12 1 93 11 1 97 13 1 95 11 1 100 8 1 85 12 1 86 9 1 87 12 ;¡ ) :!' 2256 2340 2426 2293 2330 2368 2250 2409 y= 2364 2379 2440 2364 2404 2317 2309 2328 La matriz X'X es x'x~H 1 93 9 1 87 12 l 80 93 87 l~j 1D-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 16 =[1458 164 399 1458 164] 133,560 14,946 14,946 1,726 y el vector X'y es 2~40 1 [2256] 87] 12 2328 37,577] = 3,429,550 [ 385,562 La estimación de mínimos cuadrados de P es o lJ = 14.176004 -0.129746 -0.223453 ][ 37,577] -0.129746 1.429184x10- 3 -4.763947x10- 5 3,429,550 385,562 2.222381x10- 2 -0.223453 -4.763947x10- 5 r 1566.07777] 7.62129 8.58485 =[ El ajuste de mínimos cuadrados, con los coeficientes de regresión expresados con dos cifras decimales, es Tabla 10-3 Valores predichos, residuales y otros diagnósticos del ejemplo 10-1 Observación Valor predicho Residual i e¡ hu Yi Ji 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2256 2340 2426 2293 2330 2368 . 2250 2409 2364 2379 2440 2364 2404 2317 2309 2328 2244.5 2352.1 2414.1 2294.0 2346.4 2389.3 2252.1 2383.6 2385.5 2369.3 2416.9 2384.5 2396.9 2316.9 2298.8 2332.1 11.5 -12.1 11.9 -1.0 -16.4 -21.3 -2.1 25.4 -21.5 9.7 23.1 -20.5 7.1 0.1 10.2 -4.1 0.350 0.102 0.177 0.251 0.077 0.265 0.319 0.098 0.142 0.080 0.278 0.096 0.289 0.185 0.134 0.156 Residual studentizado Di R-student 0.87 -0.78 0.80 -0.07 -1.05 -1.52 -0.15 1.64 -1.42 0.62 1.66 -1.32 0.52 0.01 0.67 -0.28 0.137 0.023 0.046 0.001 0.030 0.277 0.004 0.097 0.111 0.011 0.354 0.062 0.036 0.000 0.023 0.005 0.87 -0.77 0.79 -0.07 -1.05 -1.61 -0.15 1.76 -1.48 0.60 1.80 -1.36 0.50 <0.01 0.66 -0.27 ~ 'j i 400 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN 99 _ 95 390 e e'o" 80 c. ro 70 E 5e 50 ~ 30 :Bro 20 e5 10 ll.. Figura 10-1 Gráfica de probabilidad normal de los residuales, ejemplo 10-1.' Y== 1566.08+ 7. 62xI +8.5Sx 2 '1Il"" ,.".h ::1I¡; 'd t1 En las tres primeras columnas de la tabla 10-3 se presentan las observaciones reales Yi' los valores predichos o ajustados Yi y los residuales. La figura 10-1 es una gráfica de probabilidad normal de los residuales. Las gráficas de los residuales contra los valores predichos Ji y contra las dos variables Xl y X 2 se muestran en las figuras 10-2, 10-3 Y10-4, respectivamente. Como en los experimentos diseñados, la graficación de los residuales forma parte integral de la construcción de modelos de regresión. Estas gráficas indican que en la varianza de la viscosidad observada existe una tendencia a incrementarse con la magnitud de la viscosidad. La figura 10-3 sugiere que la variabilidad de la viscosidad aumenta cuando se incrementa la temperatura. 25.43 , -' 1 I 1 +1 1- + - 17.61 9.79 - + + + + - + Ul ro;;;¡'" "C 1.97 - '¡ji '" cr: - + + + + -5.85 - + -13.68 - - + -21.50 -, 2244 1 , I 1 2273 2302 2331 2359 1ft 2388 ,2417 Viscosidad predicha en centistokes Figura 10-2 Gráfica de los residuales contra la viscosidad predicha, ejemplo 10-1. 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL ro'" 25.43 P 17.61 f- 9.79 f- 1 I 1 I 401 L +1 + - + + + - + + Ql " 'O 1.97 f- .~ a: - + ++ + - -5.85 f-13.68 + f- - + -21.50 h 80.0 1 I 1 83.3 86.7 90.0 x" 1+ 93.3 + 1 96.7 + 1100.0 temperatura Figura 10-3 Gráfica de los residuales contraxt (temperatura), ejemplo 10-1. Uso de la computadora El ajuste de los modelos de regresión casi siempre se hace por medio de un paquete de software de estadística. En la tabla 10-4 se muestra la salida obtenida cuando se usa el programa Minitab para ajustar el modelo de regresión de la viscosidad del ejemplo 10-1. Muchas de las cantidades de esta salida deberán ser familiares, ya. que sus significados son similares a las cantidades de las salidas de computadora para el análisis de datos de experimentos diseñados. Se han visto ya muchas salidas de computadora como ésta en este libro. En secciones subsecuentes se revisará en detalle el análisis de varianza y la información de la prueba t de la tabla 10-4 y se indicará de manera pormenorizada cómo se calcularon estas cantidades. 25.43 1-1 17.61 f- 9.79 f- 1 1 + 1 1 1 1- + - + + + - + + '" Ql ro " .¡¡; 'O 1.97 Ql f- :\: + el: + -5.85 f- + -13.68 f- - - + -21.50 f-t 8.00 I I I + 1 +1 1- 10.50 11.33 12.17 13.00 8.83 9.67 x2' velocidad de alimentación del catalizador Figura 10·4 Gráfica de los residuales contra X 2 (velocidad de alimentación), ejemplo 10-1. 402 Tabla 10-4 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Salida de Minitab para el modelo de regresión de la viscosidad, ejemplo 10-1 Análisis de regresión The regress;on equat;on ;s V;scos;ty = 1566 + 7.62 Temp + 8.58 Feed Rate Pred;ctor Constant Temp Feed Rat Coef 1566.08 7.6213 8.585 StDev 61.59 0.6184 2.439 R-Sq = 92.7% S = 16.36 T P 25.43 12.32 3.52 0.000 0.000 0.004 R-Sq<adj) = 91 .6% Analys;s of Var;ance SS 44157 3479 47636 Source Regress;on Res;dual Error Total DF 2 13 15 Source Temp Feed Rat Seq SS 40841 3316 DF 1 1 F P 82.50 0.000 68 57 36 MS 22079 268 I I I ....I ,," 57 - 32 "" 46 Variables del proceso Variables codificadas Rendimiento, Corrida Temperatura (OC) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 120 160 120 160 120 160 120 160 140 140 140 140 x,= Presión (psigi Concentración (gil) x, x, x, y 40 40 80 80 40 40 80 80 60 60 60 60 15 15 15 15 30 30 30 30 22.5 22.5 22.5 22.5 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 O O O O -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 O O O O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 O O O O 32 46 57 65 36 48 57 68 50 44 53 56 Temperatura -140 Presión- 60 20 • x,=~. x,= Concentración- 225 Figura 10-5 Diseño experimental del ejemplo 10-2. 7.5 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 403 Ajuste de modelos de regresión en experimentos diseñados Se ha usado con frecuencia un modelo de regresión para presentar los resultados de un experimento diseñado en una forma cuantitativa. Se ofrece ahora un ejemplo completo donde se indica cómo se hace esto. Se presentan enseguida otros tres ejemplos breves que ilustran otras aplicaciones útiles del análisis de regresión en los experimentos diseñados. EJEMPLO 10-2 . . Análisis de regresión de un diseño factorial 23 Un ingeniero químico está investigando el rendimiento de un proceso. Tres de las variables del proceso son de interés: la temperatura, la presión y la concentración del catalizador. Cada variable puede correrse en un nivel bajo y uno alto, y el ingeniero decide correr un diseño 23 con cuatro puntos centrales. En la figura 10-5 se muestra el diseño y los rendimientos resultantes, donde se presentan tanto los niveles naturales del diseño como la notación de variables codificadas + 1, -1 que se utiliza normalmente en los diseños factoriales 2k para representar los niveles de los factores. Suponga que el ingeniero decide ajustar un modelo que sólo incluye los efectos principales, por ejemplo y= /30 +/31 x l +/32 X2+/33 X3+8 Para este modelo, la matriz X y el vector y son 1 -1 -1-1 1 1 -1-1 1 -1 1-1 1 1 1-1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 X= 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 O O O 1 O O O 1 O O O 1 O O O 32 46 57 65 36 48 y= 57 68 50 44 53 56 Es sencillo demostrar que 12 O X'X- O 8 - [ O O O O O O 8 O O] O O 8 X'y= 612] [ ¿g Puesto que X'X es diagonal, el inverso que se requiere también es diagonal, y las estimaciones de mínimos cuadrados de los coeficientes de regresión son 1/12 O 45 [51.000] 5.625 O] [612] 1 (X'Xr X'y= ~ 1/ ~ 1/8O O O 85 = 10.625 [ 9 1.125 O 1/8 p= El modelo de regresión ajustado es y= 51.000+ 5. 625x 1 + 10. 625x 2 +1.125x 3 404 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Como se ha hecho uso de ellos en muchas ocasiones, los coeficientes de regresión guardan una estrecha relación con las estimaciones de los efectos que se obtendrían por el análisis usual de un diseño 23 • Por ejemplo, el efecto de la temperatura es (referirse a la figura 10-5) T=)ir -)ir = 56.75- 45.50 = 11.25 Observe que el coeficiente de regresión de Xl es (11.25)/2 = 5.625 Es decir, el coeficiente de regresión es exactamente la mitad de la estimación usual del efecto. Esto siempre se cumplirá para un diseño 2k • Como se señaló antes, en los capítulos 6 al 8 se empleó este resultado para producir modelos de regresión, valores ajustados y residuales en varios experimentos de dos niveles. Este ejemplo demuestra que las estimaciones de los efectos de un diseño 2k son estimaciones de mínimos cuadrados. ......................................................................... En el ejemplo 10-2 es sencillo obtener la matriz inversa porque X'X es diagonal. Intuitivamente, esto parece ofrecer ventajas, no sólo porque los cálculos se simplifican sino también porque los estimadores de todos los coeficientes de regresión no están correlacionados, es decir, COV(~i' ~j) = O. Si los niveles de las variables X pueden elegirse antes de recabar los datos, quizá sea deseable diseñar el experimento de tal modo que resulte una X'X diagonal. En la práctica puede ser relativamente sencillo conseguir esto. Se sabe que los elementos de X'X que están fuera de la diagonal son las sumas de los productos cruzados de las columnas en X. Por lo tanto, es necesario hacer que el producto interior de las columnas deX sean iguales a cero; es decir, estas columnas deben ser ortogonales. A los diseños experimentales que poseen esta propiedad para ajustar un modelo de regresión se les llama diseños ortogonales. En general, el diseño factorial 2k es un diseño ortogonal para ajustar el modelo de regresión lineal múltiple. Los métodos de regresión son en extremo útiles cuando algo "sale mal" en un experimento diseñado. Esto se ilustra en los dos ejemplos siguientes. EJEMPLO . 10~3 Un diseño factorial 23 con una observación faitante Considere el diseño factorial 23 con cuatro puntos centrales del ejemplo 10-2. Suponga que cuando se realizó este experimento, faltó la corrida con todas las variables en el nivel alto (la corrida 8 de la figura 10-5). Esto puede ocurrir por varias razones: el sistema de medición puede producir una lectura incorrecta, la combinación de los niveles 'de los factores quizá no sea la apropiada, la unidad experimental puede estar dañada, etcétera. Se ajustará el modelo de los efectos principales y= [Jo + [JlX l +[J2 X2+[J3 X3 +8 utilizando las 11 observaciones restantes. La matriz X y el vector y son 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 1 1 1 1 1 X= 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 O O O O -1 -1 1 1 -1 -1 1 O O O O -1 -1 -1 -1 1 1 1 O O O O 405 32 46 57 65 36 48 57 50 44 53 56 y= Para estimar los parámetros del modelo se forman 11 -1 X'X= -1 [-1 ~~ =~ =:1 -1 -1 7 X'y= r =~ j -59 y entonces jJ = (X'X) -1 X'y 9.61538X 10-z 1.92307 XlO- z 1.92307 XlO- z 1.92307x10-z 0.15385 2.88462 XlO- z = [ 1.92307 XlO- z 2.88462 x lO- z 0.15385 1.92307 XlO- z 2.88462x10- z 2.88462xlO- z = Z 1.92307XlO- z ] [544] -23 2.88462xlO2.88462x10- z 17 0.15385 -59 [:~:;~] 1.25 Por lo tanto, el modelo ajustado es )1= 51.25+ 5. 75x 1 +10.75x z +1.25x 3 Compare este modelo con el que se obtuvo en el ejemplo 10-2, donde se usaron las 12 observaciones. Los coeficientes de regresión son muy similares. Debido a la estrecha relación entre los coeficientes de regresión y los efectos de los factores, las conclusiones no sufrirían una alteración sustancial por la observación faltante. Sin embargo, observe que las estimaciones de los efectos han dejado de ser ortogonales, ya que (X'X) y su inversa ya no son diagonales. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• EJEMPLO 1O~4 e_e ••••••••••••••••••••••••• . Niveles imprecisos de los factores del diseño Cuando se corre un experimento diseñado, en ocasiones es difícil alcanzar y mantener los niveles precisos de los factores requeridos por el diseño. Las discrepancias pequeñas no son importantes, pero las grandes son motivo de preocupación potencial. Los métodos de regresión son útiles en el análisis de un 406 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Tabla lO-S Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Diseño experimental del ejemplo 10-4 Variables codificadas Variables del proceso Concentración Temperatura Presión (g/l) (psig) CC) 125 158 121 160 118 163 122 165 140 140 140 140 14 15 15 15 33 30 30 30 22.5 22.5 22.5 22.5 41 40 82 80 39 40 80 83 60 60 60 60 X2 X¡ X3 -0.75 0.90 -0.95 1 -1.10 1.15 -0.90 1.25 -0.95 -1 1.1 1 -1.05 -1 1 1.15 O O O O· O O O O -1.133 -1 -1 -1 1.14 1 1 1 O O O O Rendimiento y 32 46 57 65 36 48 57 68 50 44 53 56 experimento diseñado cuando el experimentador no ha podido obtener los niveles requeridos de los factores. Para ilustrar, el experimento de la tabla 10-5 presenta una variación del diseño 23 del ejemplo 10-2, donde muchas de las combinaciones de prueba no son exactamente las que se especifican en el diseño. Las dificultades parecen haber ocurrido sobre todo con la variable temperatura. Se ajustará el modelo de los efectos principales Y= f30 +f3¡x¡ +f32 x 2 +f33 x 3+8 La matriz X y el vector y son 1 1 1 1 1 1 X= 1 1 1 1 1 1 -0.75 0.90 -0.95 1 -1.10 1.15 -0.90 1.25 O O O O -0.95 -1 1.1 1 -1.05 -1 1 1.15 O O O O -1.133 -1 -1 -1 1.4 1 1 1 O O O O 32 46 57 65 36 48 y= 57 68 . 50 44 53 56 Para estimar los parámetros del modelo se necesitan 12 0.60 0.25 0.2670] 0.31 -0.1403 X'X - 0.60 8.18 - [ 0.25 0.31 8.5375 -0.3437 0.2670 -0.1403 -0.3437 9.2437 612 77.55 ] I Xy= 161.50 [ 19.144 10-3 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL 407 Entonces 8.37447x10-2 _ -6.09871xlO- 3 - -2.33542xlO- 3 [ -2.59833xlO-3 -6.09871 x10- 3 0.12289 -4.20766x10- 3 1. 88490 x 10-3 -2.33542x10-3 -4.20766 X 10-3 0.11753 4.37851 x 10-3 X 3 -2.59833 10- 3 ] [612 ] 77.55 1.88490x104.37851 x 10- 3 161.50 0.10845 19.144 50.36496] 5.41932 = [ 10.16672 1.07653 El modelo de regresión ajustado, con los coeficientes reportados con dos cifras decimales, es 51= 50.36+2x1+10.17x 2 +1.0Sx 3 Al comparar este resultado con el modelo original del ejemplo 10-2, donde los niveles de los factores fueron exactamente los que se especificaron en el diseño, se observa muy poca diferencia. La interpretación práctica de los resultados de este experimento no sufriría alteraciones sustanciales por la incapacidad del experimentador para alcanzar exactamente los niveles deseados de los factores . ......................................................................... EJEMPLO 10-5 . Separación de alias de interacciones en un diseño factorial fraccionado En el capítulo 8 se señaló la posibilidad de separar los alias de las interacciones de un diseño factorial fraccionado mediante el proceso llamado doblez o plegado. Para un diseño de resolución III, un plegado completo se construye corriendo' una segunda fracción en la que los signos están invertidos respecto de los signos de la fracción original. Entoncesel diseño combinado puede usarse para separar los alias de todos los efectos principales de las interacciones de dos factores. Una dificultad con el plegado es que requiere un segundo grupo de corridas de tamaño idéntico al del diseño original. Por lo general es posible separar los alias de ciertas interacciones de interés aumentando el diseño original con un número de corridas menor que las que se requieren en un plegado completo. Los métodos de regresión son una forma fácil de formular este problema y de ver cómo puede resolverse. Para ilustrar, suponga que se ha corrido un diseño 2~1. En la tabla 8-3 se muestra la fracción principal de este diseño, en la que 1 = AECD. Suponga que después de que se observaron los datos de los ocho primeros ensayos, los efectos más grandes fueron A , E, C, D (se ignoran las interacciones de tres factores que son alias de estos efectos principales), y la cadena de aliasAE + CD. Las otras dos cadenas de alias pueden ignorarse, pero es claro queAE o CD o ambas interacciones de dos factores son grandes. Para dilucidar cuáles son las interacciones importantes podría, desde luego, correrse la fracción alterna, para lo cual se requerirían otros ocho ensayos. Entonces las 16 corridas podrían usarse para estimar los efectos principales y las interacciones de dos factores. Es posible separar los alias deAB y CD en un número de ensayos adicionales menor que ocho. Suponga que quiere ajustarse el modelo y= 130 +f31 x 1+f32 x 2 +f33 x 3 +f34 x 4 +f312 XI X2 +f3 34 x 3x 4 +10 408 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN dondex¡,x2,x3yx4son las variables codificadas que representan aA,B, Cy D. Utilizando el diseño de la tabla 8-3, la matriz X de este modelo es 1 1 1 1 X== 1 1 1 1 X¡ X2 X3 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 X4 X¡X2 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 X~4 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 donde se han anotado las variables arriba de las columnas a fin de facilitar la comprensión, Observe que la columnax¡x 2 es idéntica a la columnax~4 (como se anticipaba, ya queAB ox¡x 2 es alias de CD OX~4)' lo cual implica una dependencia lineal en las columnas de X. Por lo tanto, no pueden estimarse tanto (3¡2 como (334 en el modelo. Sin embargo, suponga que se agrega la corrida únicax¡ == -1,x2 == -1,x3 == -1 Yx 4 == 1 de la fracción alterna a las ocho corridas originales. Entonces la matriz X del modelo queda como ,",,,,O' IT.,,"- ::u¡:¡ "~;""I ''''~, "':jl :::lo !\~ ~ll 'H 1 1 1 1 1 X== 1 1 1 1 1 x¡ x2 x3 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 x 4 X1X2 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 X~4 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 Observe que ahora las columnas x¡x2 YX~4 ya no son idénticas, y el modelo puede ajustarse incluyendo a las dos interaccionesx¡x2 (AE) y X~4 (CD). Las magnitudes de los coeficientes de regresión brindarán información respecto a cuáles son las interacciones importantes. Aun cuando al agregar una sola corrida se separarán los alias de las interaccionesAE y CD, este enfoque tiene una desventaja. Suponga que existe un efecto de tiempo (o un efecto de bloque) entre las ocho primeras corridas y la última corrida que se agregó arriba. Al agregarse una columna a la matriz X para los bloques, se obtiene lo siguiente: 1 1 1 1 X== 1 1 1 1 1 X¡ X2 X3 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 X4 X¡X2 X~4 bloques -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 10-4 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN MÚLTIPLE 409 Se ha supuesto que el factor del bloque estaba en el nivel bajo o "-" durante las ocho primeras corridas, y en el nivel alto o "+" durante la novena corrida. Es sencillo ver que la suma de los productos cruzados de cada columna con la columna del bloque no es cero, lo cual significa que los bloques han dejado de ser ortogonales para los tratamientos, o que el efecto del bloque afecta ahora a las estimaciones de los coeficientes de regresión del modelo. Para conseguir la ortogonalidad de los bloques, debe agregarse un número par de corridas. Por ejemplo, con las cuatro corridas X¡ X2 X3 X4 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 se separarán los alias deAB de CD y permitirán que los bloques sean ortogonales (esto puede verse desarrollando la matriz X como se hizo anteriormente). En general, suele ser directo el examen de la matriz X del modelo reducido que se obtiene de un diseño factorial fraccionado, así como la determinación de cuáles son las corridas que habrán de aumentarse en el diseño original para separar los alias de las interacciones de interés potencial. Además, el impacto de las estrategias específicas para aumentar el diseño puede evaluarse utilizando los resultados generales de los modelos de regresión que se presentan más adelante en este capítulo. Se cuenta también con métodos basados en computadora para construir diseños que pueden ser útiles en el aumento del diseño para separar los alias de los efectos. Estos diseños generados por computadora se revisarán en el capítulo siguiente. 10..4 PRUEBA DE ffiPÓTESIS EN LA REGRESIÓN MÚLTIPLE En los problemas de regresión lineal múltiple, ciertas pruebas de hipótesis acerca de los parámetros del modelo son una ayuda para medir la utilidad del modelo. En esta sección se describen varios procedimientos de prueba de hipótesis importantes. Estos procedimientos requieren que los errores 8 i del modelo sigan una distribución normal e independiente con media cero y varianza er, lo cual se abrevia 8 - NID(O, er). Como resultado de este supuesto, las observaciones Yi tienen una distribución normal e independiente con media /30 + 2:.~=¡/3jX;j y varianza er. 10..4.1 Prueba de significación de la regresión La prueba de significación de la regresión es un procedimiento para determinar si existe una relación lineal entre la variable de respuesta y y un subconjunto de los regresores Xl' X 2, .•• , X k • Las hipótesis apropiadas son H o :/3¡ =/32 H¡ : /3 j :;z!: O = ···=/3k =0 (10-20) para al menos una j El rechazo deHode la ecuación 10-20 implica que almenas uno de los regresoresx¡,x2, •• "Xk contribuye de manera significativa al modelo. El procedimiento de prueba incluye un análisis de varianza en el que se 410 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN hace la partición de la suma de cuadrados total SS T en una suma de cuadrados debida al modelo (o a la re. gresión) y una suma de cuadrados debida a los residuales (o al error), es decir, (10-21) Ahora bien, si la hipótesis nula H o:¡31 == 132 == ... == ¡3k == Oes verdadera, entonces SSRkr se distribuye como X~, donde el número de grados de libertad parax2 es igual al número de regresores del modelo. Asimismo, puede demostrarse que SSE/cr se distribuye como X~-k-l y que SSE y SSR son independientes. El procedimiento de prueba para H O:¡31 == 132 == ... == ¡3k == O consiste en calcular SSR / k MS R Fo == SSE /(n-k-1) MS (10-22) E yen rechazar H o siFoexcede aFa ,k,lI-k-l' De manera alternativa, podría usarse el enfoque del valor Ppara la prueba de hipótesis y, por lo tanto, rechazar H o si el valor P del estadístico F o es menor que a. Por lo general la prueba se resume en una tabla del análisis de varianza como la tabla 10-6. Es sencillo encontrar una fórmula para calcular SSR' En la ecuación 10-16 se estableció una fórmula para calcular SSE; es decir, SSE == y'y- /J'X'y ''';JI Ahora bien, puesto que SST == L7=1 reescribirse como l- (L;'=l Yi)2 / n == y'y - (L7=1 Yi)2 / n, la ecuación anterior puede o Por lo tanto, la suma de cuadrados de regresión es SS == /J'X'Y_ (! Yi)2 ...:.:i,--,=1=------,---- (10-23) n R mientras la suma de cuadrados del error es SSE == y'y- /J'X'y (10-24) Tabla 10-6 Análisis de varianza de la significación de la regresión en una regresión múltiple Fuente de variación Regresión Error o residual Total Suma de cuadrados SSR SSE Grados de libertad SST n- 1 le n-le -1 Cuadrado medio MS R MS E 10-4 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN MÚLTIPLE 411 y la suma de cuadrados total es (I SS T Yi)2 = Y'y _ -,-,-i=-=--l- - ' - n (10-25) Estos cálculos casi siempre se realizan con software de regresión. Por ejemplo, en la tabla 10-4 se muestra una parte de la salida de Minitab para el modelo de regresión de la viscosidad del ejemplo lO-lo La sección superior de esta presentación es el análisis de varianza del modelo. La prueba de significación de la regresión en este ejemplo incluye las hipótesis H O :/3 l H l : /3 j = /3 2 = O :j:. O para al menos una j El valor P de la tabla 10-4 para el estadístico F (ecuación 10-22) es muy pequeño, por lo que se concluiría que al menos una de las dos variables -la temperatura (Xl) y la velocidad de alimentación (x z)- tiene un coeficiente de regresión diferente de cero. En la tabla 10-4 se presenta también el coeficiente de determinación múltiple R 2, donde 2 SSR SST SSE SST R =-=1-- (10-26) Como en los experimentos diseñados, R 2 es una medida de la cantidad de reducción en la variabilidad de y que se obtiene al utilizar las variables de regresión Xl' xz, ..., X k en el modelo. Sin embargo, como se señaló antes, un valor grande de R 2 no implica necesariamente que el modelo de regresión sea adecuado. Siempre que se agregue una variable al modelo, R 2 se incrementará, independientemente de que la variable adicional sea estadísticamente significativa o no. Por lo tanto, es posible que los modelos que tienen valores grandes de R Z produzcan predicciones pobres de nuevas observaciones o estimaciones pobres de la respuesta media. Puesto que R 2 siempre se incrementa cuando se agregan términos al modelo, algunos constructores de modelos de regresión prefieren usar el estadístico R 2 ajustada definido como R2 aJustnda =1_SSEI(n-p)=1_(n-1)(1_R2) SST I (n-1) n- p (10-27) En general, el estadístico R Z ajustada no siempre se incrementará cuando se agreguen variables al modelo. De hecho, si se agregan términos innecesarios, el valor de R~ustndn se decrementará con frecuencia. Por ejemplo, considere el modelo de regresión de la viscosidad. La R 2 ajustada para el modelo se muestra en la tabla 10-4. Se calcula como Z RajUstnda = 1- (n-1) n- p (1- R 2 ) = 1- G~)(l- 0.92697) = 0.915735 que está muy cerca de la R Z ordinaria. Cuando la diferencia entre R Z YR~ustnda es considerable, existe un buen riesgo de que se hayan incluido en el modelo términos no significativos. 412 10~4.2 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Pruebas de los coeficientes de regresión individuales y de grupos de coeficientes Muchas veces el interés se centra en probar hipótesis sobre los coeficientes de regresión individuales. Estas pruebas serían útiles para determinar el valor de cada uno de los regresares del modelo de regresión. Por ejemplo, el modelo podría ser más eficaz con la inclusión de variables adicionales o quizá con la eliminación de una o más de las variables que están ya en el modelo. Agregar una variable al modelo de regresión ocasiona siempre que la suma de cuadrados de regresión se incremente y que la suma de cuadrados del error se decremente. Es necesario decidir si el incremento de la suma de cuadrados de regresión es suficiente para garantizar el uso de la variable adicional en el modelo. Además, agregar una variable no importante al modelo en realidad puede incrementar el cuadrado medio del error, reduciéndose así la utilidad del modelo. Las hipótesis para probar la significación de cualquier coeficiente de regresión individual, por ejemplo f3j , son H o :f3j = O H 1 :f3j:;i: O "~O ,,- Si H o:f3j = Ono se rechaza, entonces esto indica quexj puede eliminarse del modelo. El estadístico de prueba para esta hipótesis es t o 13· = r:;;z-c J VA L- (10-28) jj donde Cjj es el elemento de la diagonal de (X'xt1 correspondiente a 13 j' La hipótesis nula H o:f3j = Ose rechazasi ItoI > t a /2,n-k-l' Observe que se trata en realidad de una prueba parcial o marginal, ya que el coeficiente de regresión 13 j depende de todos los demás regresares Xi (i :;i: j) que están en el modelo. Al denominador de la ecuación 10-28, ~a2 C».. , se le llama con frecuencia error estándar (se) del coeficiente de regresión f3 j' Es decir, A (10-29) Por lo tanto, una manera equivalente de escribir el estadístico de prueba de la ecuación 10-28 es to = 13j - A - se(f3 j (10-30) ) La mayoría de los programas de computadora de regresión proporcionan la prueba t para cada parámetro del modelo. Por ejemplo, considere la tabla 10-4, la cual contiene la salida de Minitab para el ejemplo 10-1. En la sección superior de esta tabla se da la estimación de mínimos cuadrados de cada parámetro, el error estándar, el estadístico t y el valor P correspondiente. Se concluiría que ambas variables, la temperatura y la velocidad de alimentación, contribuyen de manera significativa en el modelo. También puede examinarse directamente la contribución de una variable particular, por ejemploxj , a la suma de cuadrados de regresión, dado que otras Xi variables (i :;i: j) están incluidas en el modelo. El procedimiento para hacer esto es la prueba general de la significación de la regresión o, como se denomina con frecuencia, el método de suma de cuadrados extra. Este procedimiento también puede usarse para investigar la contribución de un subconjunto de los regresores al modelo. Considere el modelo de regresión con k regresores: y= Xf3+e i~ 10-4 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN MÚLTIPLE 413 donde y es (n x l),Xes(n x p),pes(p x l),ees(n x l)yp =k+ 1. Querría determinarse si el subconjunto de regresares Xl' X 2, ••• , X r (r < k) contribuye significativamente al modelo de regresión. Sea que se haga la partición del vector de los coeficientes de regresión de la siguiente manera: P= donde PI es (r x 1) y P2 es [(p - r) X [;:J 1]. Quieren probarse las hipótesis HO:Pl =O Hl:Pl :;t= (10-31 ) O El modelo puede escribirse como (10-32) donde Xl representa las columnas de X asociadas con PI y X2 representa las columnas de X asociadas con po. P;ra el modelo completo (incluyendo tanto aPl como ap2) se sabe que /J = (X'xtlX'y. Además, la suma de cuadrados de regresión para todas las variables incluyendo la ordenada al origen es SSR (P) = /J'X'y (p grados de libertad) y = y'y-/JX'y MS E n- p A SSR(/J) se le llama la suma de cuadrados de regresión debida ap. Para encontrar la contribución de los términos enPl a la regresión, se ajusta el modelo suponiendo que la hipótesis nulaHo:fJl = Oes verdadera. El modelo reducido se encuentra a partir de la ecuación 10-32 con PI = O: y = X 2P2 +e El estimador de mínimos cuadrados de P2 es (10-33) /J2 = (X' 2X2tlX '2Y, y (10-34) La suma de cuadrados de regresión debida a PI dado que P2 está ya en el modelo es SSR(PIIP2) = SSR(P)- SSR(P2) (10-35) Esta suma de cuadrados tiene r grados de libertad. Es la "suma de cuadrados extra" debida aPl' Observe que SSR(/JIIP2) es el incremento en la suma de cuadrados de regresión debido a la inclusión de las variables Xl' X 2 , ... , X r en el modelo. Ahora bien, SSR(/JIIP2) es independiente de MSE, y la hipótesis nulaPl = Opuede probarse con el estadístico (10-36) SiFo > Fa,r,n-p, se rechazaHo, y se concluye que al menos uno de los parámetros enPl es diferente de cero y, por consiguiente, al menos una de las variablesxh x2, ""Xr en Xl contribuye significativamente al modelo de regresión. Algunos autores llaman a la prueba de la ecuación 10-36 la prueba F parcial. 414 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN La pruebaF parcial es muy útil. Puede usarse para medir la contribución dexj como si fuera la última variable que se agregó al modelo, calculando SSR(/3jl/3o, /31' ..., /3j-1' /3j+1' oo., /3k) Éste es el incremento en la suma de cuadrados de regresión debido a que se agregaxj a un modelo que ya contiene ax1, oo., xj_1,xj + l' oo., xk. Observe que la prueba F parcial de una sola variable xj es equivalente a la prueba t de la ecuación 10-28. Sin embargo, la prueba F parcial es un procedimiento más general por cuanto puede medir el efecto de conjuntos de variables. EJEMPLO 1O~6 .•••••••••.•••••••...•••••••••••.••••..•••••••••••••.••••••• Considere los datos de la viscosidad del ejemplo 10-1. Suponga que se quiere investigar la contribución de la variablex2 (velocidad de alimentación) al modelo. Es decir, las hipótesis que quieren probarse son H O :/32=0 H 1:/32 :;t:. O Esto requerirá la suma de cuadrados extra debida a /32' o SSR(/321/31' (30)=SSR(/30' /31' (32)-SSR(/30' (31) =SSR(/31' /321(30) -SSR(/321/30) Entonces, por la tabla 10-4, donde se probó la significación de la regresión, se tiene SS R (/31' /321(30) = 44,157.1 a la que se llamó en la tabla la suma de cuadrados del modelo. Esta suma de cuadrados tiene dos grados de libertad. El modelo reducido es Y= /30 + /31 X 1+10 El ajuste de mínimos cuadrados de este modelo es y= 1652.3955+ 7. 6397x 1 y la suma de cuadrados de regresión para este modelo (con un grado de libertad) es SS R (/311 (30) = 40,840.8 Observe que SSR(J311/30) se muestra en la parte inferior de la salida de Minitab de la tabla 10-4 bajo el encabezado "Seq SS". Por lo tanto, SS R (/321 /30' (31) = 44,157.1- 40,840.8 = 3316.3 con 2 -1 = 1 grado de libertad. Éste es el incremento en la suma de cuadrados de regresión que resulta de agregar X 2 a un modelo que contenía ya axlo Yse muestra en la parte inferior de la salida de Minitab en la tabla 10-4. Para probar H O:/32 = O, por el estadístico de prueba se obtiene F. o = SSR(/321/30' MS E (31)/1 3316.3/1 267.604 = 12.3926 Observe que en el denominador deFose usaMSE del modelo completo (tabla 10-4). Entonces, puesto que Fo.os, 1, 13 = 1.67, se rechazaría H O:/32 = Oy se concluiría quex2 (velocidad de alimentación) contribuye significativamente al modelo. 10-5 INTERVALOS DE CONFIANZA EN REGRESIONES MÚLTIPLES 415 Debido a que esta prueba F parcial incluye un solo regresor, es equivalente a la prueba t porque el cuadrado de una variable aleatoria t con v grados de libertad es una variable aleatoria F con 1 y v grados de libertad. Para ver esto, observe, por la tabla 10-4, que el estadístico t para H O:f32 = Odio como resultado t o == 3.5203 y que t~ = (3.5203? == 12.3925 = F o• ................................... . .................... ................. 10-5 INTERVALOS DE CONFIANZA EN REGRESIONES MÚLTIPLES Con frecuencia es necesario construir estimaciones de intervalos de confianza para los coeficientes de regresión {(3) y para otras cantidades de interés del modelo de regresión. El desarrollo de un procedimiento para obtener estos intervalos de confianza requiere suponer que los errores {s¡} tienen una distribución normal e independiente con media cero yvarianzaaZ, el mismo supuesto que se estableció en la sección sobre la prueba de hipótesis de la sección 10-4. 10-5.1 Intervalos de confianza para los c()eficientes de regresión individuales . Puesto que el estimador de mínimos cuadrados jJ es una combinación lineal de las observaciones, se sigue que jJ tiene una distribución normal con vector medio Py matriz de covarianza aZ(X'xtI • Entonces cada uno de los estadísticos ~¡-f3¡ ~O'2e¡¡ j= 0,1, ..., k (10-37) se distribuye como t con n - p grados de libertad, donde e¡¡ es el elemento (jj)-ésimo de la matriz (X'xt\ y 0'2 es la estimación de la varianza del error, obtenida con la ecuación 10-17. Por lo tanto, un intervalo de confianza de 100(1-a) por ciento para el coeficiente de regresión f3¡, j == O, 1, ..., k, es ~¡-ta/2.n_p~O'2e¡¡ ~f3j ~~j+ta/2.n_p~O'2ejj (10-38) Observe que este intervalo de confianza también podría escribirse como ~j - ta/2.n_pse(~ j ) ~ f3 j ~ ~ j +ta/2.n_pse(~ j ) EJEMPLO 10-7 . Se construirá un intervalo de confianza de 95% para el parámetro f3I del ejemplo 10-1. Ahora bien, ~I 7.62129, y puesto que 0'2 = 267.604 yen == 1.429184 x 10-3, se encuentra que = ~I -t O.025 ,13.¡¡;zc;:: ~f3I ~~I +tO.025.13~O'2ell 7.62129- 2.16~(267.604)(1.429184X103) ~ f3I ~ 7.62129+2.16~(267.604)(1.429184XlO-3) 7.62129- 2.16(0.6184) ~ f3I ~ 7.62129+ 2.16(0.6184) ~ 8.9570 y el intervalo de confianza de 95% para f3I es 6.2855 ~ f3I ::1 ')' II I 416 1O~5.2 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Intervalo de confianza para la respuesta media También puede obtenerse un intervalo de confianza para la respuesta media en un punto particular, por ejemplo, XOI' X 02 , ••• , X Ok • Se define primero el vector Xo = Xx10l] 02 X Ok La respuesta media en este punto es J.lYl xo = (30 + (3IX Ol +(32 X 02 + ... +(3k X Ok = x~p La respuesta media estimada en este pU'1to es Y(x o ) = x~jJ (10-39 Este estimador es insesgado, ya que E[5{x o)] = E(x~jJ) ~ x~p = Jl ylxo' Y la varianza de Y(xo) es V[y(x o )] = a2x~ (X'Xr I X o (10-40) Por lo tanto, un intervalo de confianza de 100(1- a) por ciento para la respuesta media en el puntoxOl ,x02 , ... , XOk es (10-41) 1O~6 PREDICCIÓN DE NUEVAS OBSERVACIONES DE LA RESPUESTA Es posible usar un modelo de regresión para predecir observaciones futuras de la respuesta y que corresponden a valores particulares de los regresores, por ejemploxOl ,x02, ••• ,XOk • Si x'o = [1,X OI 'X02' ••• ,XOk]' entonces una estimación puntual de la observación futura yo en el punto X OI , X 02 , ••. ,XOk se calcula con la ecuación 10-39: Y(X O) = x~jJ Un intervalo de predicción de 100(1-a) por ciento para esta observación futura es Y(x o )- f al2 ,lI-p ~a2 (1 +x~ (X'XrIxo) S; Yo S; (10-42) Y(x o )+f aI2 ,"-p ~a2 (1 +x~ (X'XrIxo) Cuando se predicen nuevas observaciones y se estima la respuesta media en un punto dadox ol ,x02 , ••• , X Ok , es necesario tener cuidado para no hacer una extrapolación fuera de la región que contiene las observaciones originales. Es muy posible que un modelo que se ajuste bien en la región de los datos originales deje de hacerlo fuera de esa región. 1O~7 DIAGNÓSTICOS DEL MODELO DE REGRESIÓN Como se destacó en los experimentos diseñados, la verificación de la adecuación del modelo es una parte importante en el procedimiento del análisis de datos. Es de igual importancia en la construcción de modelos de regresión y, como se ilustró en el ejemplo 10-1, en un modelo de regresión deberán examinarse 10-7 DIAGNÓSTICOS DEL MODELO DE REGRESIÓN 417 siempre las gráficas de los residuales que se usaron en los experimentos diseñados. En general, siempre es necesario: 1) examinar el modelo ajustado para asegurarse de que proporciona una aproximación adecuada del verdadero sistema y 2) verificar que no se infringe ninguno de los supuestos de la regresión de mínimos cuadrados. El modelo de regresión probablemente producirá resultados pobres o equivocados a menos que sea un ajuste adecuado. Además de las gráficas de los residuales, existen otros diagnósticos del modelo que con frecuencia son útiles en la regresión. En esta sección se presenta un breve resumen de estos procedimientos. Para análisis más completos, ver Montgomery y Peck [82] y Myers [84]. 1O~ 7.1 Residuales escalados y PRESS Residuales estandarizados y studentizados Muchos constructores de modelos prefieren trabajar con residuales escalados en lugar de los residuales de mínimos cuadrados ordinarios. Estos residuales escalados transmiten con frecuencia más información que los residuales ordinarios. Un tipo de residual escalado es el residual estandarizado: d.=2 fj ¡ i = 1, 2, ... ,12 (10-43) donde por lo general se usa fj = ~ MS E en los cálculos. Estos residuales estandarizados tienen media cero y varianza aproximadamente unitaria; por consiguiente, son muy útiles para buscar puntos atípicos. La mayoría de los residuales estandarizados deberán localizarse en el intervalo -3 :5 di :5 3, y cualquier observación con un residual estandarizado que esté fuera de este intervalo es potencialmente inusual con respecto a su respuesta observada. Estos puntos atípicos deberán examinarse con atención, ya que pueden representar algo tan simple como un error al registrar los datos o algo que sea motivo de mayor preocupación, como una región del espacio del regresor, donde el modelo ajustado es una aproximación pobre de la verdadera superficie de respuesta. El proceso de estandarización de la ecuación 10-43 escala los residuales al dividirlos por su desviación estándar promedio aproximada. En algunos conjuntos de datos, los residuales pueden tener desviaciones estándar que difieren considerablemente. A continuación se presenta una escalación que toma en consideración esta situación. El vector de los valores ajustados )Ji que corresponden a los valores observados Yi es y =xP =X(X'X)-¡ X'y (10-44) =Hy A la matriz 12 x 12, H = X(X'xt1X' se le llama generalmente la matriz "gorro" porque mapea el vector de los valores observados en un vector de los valores ajustados. La matriz gorro y sus propiedades desempeñan un papel central en el análisis de regresión. Los residuales del modelo ajustado pueden escribirse convenientemente en la notación matricial como e =y- y y resulta que la matriz de covarianza de los residuales es (10-45) Cov(e)= a 2 (I-H) La matriz 1 - H no es por lo general diagonal, por lo que los residuales tienen varianzas diferentes y están correlacionados. I i 418 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Por lo tanto, la varianza del residual i-ésimo es 2 V(e i )=a (1-h¡i) (10-46) donde hu es el elemento i-ésimo de la diagonal de H. Puesto que O ~ h¡¡ ~ 1, al utilizar el cuadrado medio residual MSE para estimar la varianza de los residuales en realidad se está sobreestimando V( e¡). Además, puesto que hu es una medida de localización del punto i-ésimo en el espacio x, la varianza de e¡ depende de dónde esté el punto Xi' En general, los residuales situados cerca del centro del espacio x tienen varianzas más grandes que los residuales situados en lugares más apartados. Las violaciones de los supuestos del modelo son más probables en los puntos remotos, y estas violaciones pueden ser difíciles de detectar por la inspección de e¡ (o d¡) porque sus residuales serán por lo general más pequeños. Se recomienda tomar en consideración esta desigualdad de la varianza cuando se escalen los residuales. Se sugiere graficar los residuales studentizados: r. I = i = 1, 2, ..., e¡ ~(j2(1-hi¡) 11 (10-47) con (j2 = MS E en lugar de e¡ (o d¡). Los residuales studentizados tienen varianza constante V(r¡) = 1 independientemente de la localización de X¡ cuando la forma del modelo es correcta. En muchas situaciones la varianza de los residuales se estabiliza, en particular para conjuntos de datos grandes. En estos casos puede haber poca diferencia entre los residuales estandarizados y los studentizados. Por lo tanto, los residuales estandarizados y studentizados transmiten con frecuencia información equivalente. Sin embargo, ya que cualquier punto con un residual grande y una hu grande tiene una influencia potencialmente considerable sobre el ajuste de mínimos cuadrados, suele recomendarse el examen de los residuales studentizados. En la tabla 10-3 se presentan las diagonales gorro hu Ylos residuales studentizados para el modelo de regresión de la viscosidad del ejemplo 10-1. Residuales PRESS La suma de cuadrados del error de predicción (PRESS, del inglés Prediction Error Sum of Squares) proporciona una útil escalación de los residuales. Para calcular la PRESS se selecciona una observación, por ejemplo la i. Se ajusta el modelo de regresión a las 11 - 1 observaciones restantes y se usa esta ecuación para predecir la observación que se apartó Yi' Al denotar este valor predicho Y(i)' puede encontrarse el error de predicción del punto i como e(i) = Y¡ = Y(i)' Al error de predicción suele llamársele el residual PRESS i-ésimo. Este procedimiento se repite para cada observación i = 1, 2, ... ,11, produciéndose un conjunto de 11 residuales PRESS e(l)' e(2)' oo., e(n)' Entonces el estadístico PRESS se define como la suma de cuadrados de los 11 residuales PRESS como en PRESS = ! e~¡) = ! i=l [Yi - Y(i)]2 (10-48) i=l Por lo tanto, la PRESS utiliza cada subconjunto posible de 11 -1 observaciones como un conjunto de datos de estimación, y se utiliza una observación a la vez para formar un conjunto de datos de predicción. Inicialmente, parecería que para calcular la PRESS es necesario ajustar 11 regresiones diferentes. Sin embargo, la PRESS puede calcularse a partir de los resultados de un solo ajuste de mínimos cuadrados a las 11 observaciones totales. Resulta que el residual PRESS i-ésimo es e¡ e(i) = 1- h.. (10-49) 11 Por lo tanto, ya que la PRESS es tan sólo la suma de cuadrados de los residuales PRESS, una fórmula de cálculo simple es PRESS = ! ( ~¡h )2 i=l 1 u (10-50) 10-7 DIAGNÓSTICOS DEL MODELO DE REGRESIÓN 419 por la ecuación 10-49 es sencillo ver que el residual PRESS es sólo el residual ordinario ponderado de acuerdo con los elementos de la diagonal de la matriz gorro hu. Los puntos de los datos para los que hu es grande tendrán residuales PRESS grandes. Estas observaciones serán por lo general puntos de alta influencia. En general, una diferencia grande entre el residual ordinario y los residuales PRESS indicará un punto donde el modelo se ajusta bien a los datos, pero un modelo construido sin dicho punto producirá predicciones pobres. En la siguiente sección se estudiarán otras medidas de influencia. Por último, cabe señalar que la PRESS puede usarse para calcular una R 2 aproximada de predicción, por ejemplo ? . PRESS (10-51 ) RprediccióD = 1S JY Este estadístico ofrece cierto indicio de la capacidad predictiva del modelo de regresión. Para el modelo de regresión de la viscosidad del ejemplo 10-1, los residuales PRESS pueden calcularse utilizando los residuales ordinarios y el valor de hu encontrado en la tabla 10-3. El valor correspondiente del estadístico PRESS es PRESS = 5207.7. Entonces 2 PRESS RprediccióD = 1S JY = 1- 5207.7 47,635.9 = 0.8907 Por lo tanto, podría esperarse que este modelo "explique" cerca de 89% de la variabilidad al predecir nuevas observaciones, en comparación con el aproximadamente 93% de la variabilidad en los datos originales que explica el ajuste de mínimos cuadrados. La capacidad predictiva global del modelo basado en este criterio parece ser muy satisfactoria. R-student Es común considerar al residual studentizado T¡ comentado antes como el diagnóstico de un punto atípico. Se acostumbra usar MSE como una estimación de cr en el cálculo de T¡. Se hace referencia a este enfoque como la escalación interna del residual, ya que MSE es una estimación de cr generada internamente que se obtiene del ajuste del modelo a las n observaciones. Otro enfoque sería usar una estimación de cr basada en un conjunto de datos en el que se elimina la observación i-ésima. La estimación de cr así obteniPuede demostrarse que da se denota por S 2 (n- p)MSE _e¡2 /(l-h¡¡) S(i)= n-p-1 (10-52) t¡). La estimación de cr de la ecuación 10-52 se usa en lugar de MSE para producir un residual studentizado externamente, al que es común llamar R-student, dado por t. 1 = e. 1 ~sti) (1- h¡¡) i = 1, 2, ..., n (10-53) En muchas situaciones habrá una ligera diferencia entre t¡ y el residual studentizado ri' Sin embargo, si la observación i-ésima es influyente, entonces S puede diferir significativamente de MSE, y por lo tanto la R-student será más sensible a este punto. Además, bajo los supuestos usuales, ti tiene una distribución tll - p - 1' Por lo tanto, la R-student ofrece un procedimiento más formal para detectar puntos atípicos a través de la prueba de hipótesis. En la tabla 10-3 se muestran los valores de laR-student para el modelo de regresión de la viscosidad del ejemplo 10-1. Ninguno de esos valores es inusualmente grande. ti) r 420 1O~7.2 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN Diagnósticos de influencia En ocasiones se encuentra que un subconjunto pequeño de los datos ejerce una influencia desproporcio_ nada sobre el modelo de regresión ajustado. Es decir, las estimaciones o predicciones de los parámetros pueden depender más del subconjunto influyente que de la mayoría de los datos. Sería conveniente localizar estos puntos influyentes y valorar su impacto en el modelo. Si estos puntos influyentes son valores "malos", deberán eliminarse. Por otra parte, quizá no haya nada malo con estos puntos. Pero si controlan propiedades clave del modelo, sería deseable saberlo, ya que podría afectar el uso del modelo. En esta sección se describen e ilustran algunas medidas útiles. de influencia. Puntos de acción de palanca La localización de los puntos en el espacio x es importante para determinar las propiedades del modelo. En particular, las observaciones apartadas tienen potencialmente acciones o brazos de palanca desproporcionados sobre las estimaciones de los parámetros, los valores predichos y los estadísticos de resumen usuales. La matriz gorro H :=: X(X'Xt1X' es muy útil para identificar las observaciones influyentes. Como ya se señaló, H determina las varianzas y covarianzas de y y e, ya que V(Y) :=: a2H y V( e) :=: a2(I - H). Los elementos hu de H pueden interpretarse como la cantidad de acción de palanca ejercida porYj sobre J¡. Por lo tanto, la inspección de los elementos de H puede .revelar puntos que son potencialmente influyentes en virtud de su localización en el espacio x. La atención suele centrarse en los elementos de la diagonal h¡¡. Puesto que L;~l h¡¡:=: rango(H) :=: rango(X) :=: p, el tamaño promedio de los elementos de la diagonal de la matriz H es pln. Como guía aproximada, entonces, si un elemento h¡¡ de la diagonal es mayor que 2pln, la observación i es un punto con acción de palanca alta. Para aplicar lo anterior al modelo de la viscosidad del ejemplo 10-1, observe que 2pln :=: 2(3)/16 :=: 0.375. En la tabla 10-3 se dan las diagonales gorro h¡¡ para el modelo de primer orden; puesto que ninguna de las h¡¡ excede 0.375, se concluiría que no hay puntos de acción de palanca en estos datos. Influencia sobre los coeficientes de regresión Las diagonales gorro identificarán los puntos potencialmente influyentes debido a su localización en el espaciox. Es deseable considerar la localización del punto y la variable de respuesta cuando se mide la influencia. Cook [32a, b] ha sugerido el uso de una medida del cuadrado de la distancia entre la estimación de mínimos cuadrado~, basada en todos los n puntos y la estimación obtenida al eliminar el punto i, por ejemplo P(i)' Esta medida de la distancia puede expresarse como P D. :=: , (P u)- P)'X'x(jJU) - P) pMS E i :=: 1, 2, OO" n (10-54) Un valor de referencia razonable paraD¡ es la unidad. Es decir, en general las observaciones para las que D¡ > 1 se consideran influyentes. El estadístico D¡ se calcula en realidad a partir de D. :=: r/ V[Y(x¡ )] , p V(e¡) r/ h¡¡ p (l-h¡¡) i :=: 1, 2, .oo, 11 (10-55) Observe que, aparte de la constante p, D¡ es el producto del cuadrado del residual studentizado i-ésimo y hu/(l-h¡¡). Puede demostrarse que este cociente es la distancia del vector X¡ al centroide de los datos restantes. Por lo tanto, D¡ está compuesto por un componente que refleja la medida en que el modelo ajusta lO-S PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE 421 la observación i-ésimaYi y un componente que mide qué tan alejado está ese punto del resto de los datos. Cualquiera de los componentes (o ambos) puede contribuir a un valor grande de Di' En la tabla 10-3 se muestran los valores de Di para el ajuste del modelo de regresión a los datos de la viscosidad del ejemplo 10-1. Ninguno de estos valores de Di excede 1, por 10 que no hay evidencia sólida de observaciones influyentes en estos datos. 10-8 PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE En la sección 6-6 se indicó cómo agregar puntos centrales a un diseño factorial 2" le permite al experimentador obtener una estimación del error experimental puro. Esto permite hacer la partición de la suma de cuadrados de los residuales SSE en dos componentes; es decir, SSE = SSpE +SSWF donde SSPE es la suma de cuadrados debida al ~rror puro y SSLOF es la suma de cuadrados debida a la falta de ajuste. Puede presentarse un desarrollo general de esta partición en el contexto de un modelo de regresión. Suponga que se tienen ni observaciones de la respuesta en el nivel i-ésimo de los regresores Xi' i = 1, 2, ..., m. Sea queYij denota la observaciónj-ésima de1a respuesta en Xi' i = 1,2, ... ,m yj = 1,2, ..., ni' Hay n = 2:;':1 ni observaciones en total. El residual (ij)-ésimo puede escribirse como (lO-56) donde jii es el promedio de las ni observaciones en Xi' Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación 10-56 y hacer la operación suma sobre i y j se obtiene (10-57) El primer miembro de la ecuación 10-57 es la suma de cuadrados de los residuales ordinaria. Los dos componentes del segundo miembro miden el error puro y la falta de ajuste. Se observa que la suma de cuadrados del error puro (10-58) se obtiene calculando la suma de cuadrados corregida de las observaciones repetidas en cada nivel de X y haciendo después la agrupación en los m niveles de x. Si se satisface el supuesto de la varianza constante, ésta es una medida independiente del modelo del error puro, ya que para calcular SSPE sólo se usa la variabilidad de las y en cada nivel Xi' Puesto que hay ni - 1 grados de libertad del error puro en cada nivel Xi' el número total de grados de libertad asociados con la suma de cuadrados del error puro es ~ (n¡-l)=n-m (10-59) =~ (10-60) i=l La suma de cuadrados de la falta de ajuste SSWF i=1 n¡(Yi -)Ji)2 422 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN es una suma ponderada de los cuadrados de las desviaciones entre la respuesta media Yi en cada nivel Xi y el valor ajustado correspondiente. Si los valores ajustados )Ji están cerca de las respuestas promedio)í; correspondientes, entonces hay un fuerte indicio de que la función de regresión es lineal. Si lasv¡se desvían mucho de lasy¡, entonces es probable que la función de regresión no sea lineal. Hay m - p grajos de libertad asociados con SSLOF porque hay m niveles de x, y se pierden p grados de libertad porque deben estimarse p parámetros para el modelo. En lo que a los cálculos se refiere, por lo general SSLOF se obtiene restando SSPE de SSE' El estadístico de prueba para la falta de ajuste es F a- El valor esperado de MSPE es SSWF I (m- p) MSWF - -SSPE I(n-m) - MS pE er, y el valor esperado (10-61) de MSLOF es (10-62) Si la verdadera función de regresión es lineal, entonces E(Yi ) = f3 a + 2:.J=If3 jXij' y el segundo término de la ecuación 10-62 es cero, dando como resultado E(MSLOF) = er. Sin embargo, si la verdadera función de regresión no es lineal, entonces E(Yi ) :;t: f3 a + 2:.J=If3 jXij y E(MSLOF) > er. Además, si la verdadera función de regresión es lineal, entonces el estadístico Fa sigue la distribución Fm-p,n-m' Por lo tanto, para probar la falta de ajuste, se calcularía el estadístico de prueba Fa y se concluiría que la función de regresión no es lineal si Fa > Fa, m-p,n-m' Es sencillo incorporar este procedimiento de prueba en el análisis de varianza. Si se concluye que la función de regresión no es lineal, entonces el modelo tentativo habrá de abandonarse y deberán hacerse intentos para encontrar una ecuación más apropiada. De manera alternativa, si Fa no excede Fa,m-p, n-m' no existe evidencia sólida de falta de ajuste y MSPE y MSLOF se combinan con frecuencia para estimar er. El ejemplo 6-6 es una ilustración muy completa de este procedimiento, donde las réplicas de las corridas son puntos centrales de un diseño factorial 22 • 10~9 PROBLEMAS 10-1. La resistencia a la tensión de un producto de papel se relaciona con la cantidad de madera dura en la pulpa. Se producen 10 muestras en la planta piloto y los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla. Resistencia Porcentaje de madera dura Resistencia Porcentaje de madera dura 160 10 15 15 20 20 181 188 20 171 175 182 184 193 195 200 25 25 28 30 a) Ajustar un modelo de regresión lineal que relacione la resistencia con el porcentaj e de madera dura. Probar el modelo del inciso a para la significación de la regresión. e) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para el parámetro {31' 10-2. En una planta se destila aire líquido para producir oxígeno, nitrógeno y argón. Se piensa que el porcentaje de impurezas en el oxígeno se relaciona linealmente con la cantidad de impurezas en el aire, medida por el b) Il'rrnm i 1 i 10-9 PROBLEMAS 423 "conteo de contaminación" en partes por millón (ppm). Una muestra de los datos de operación de la planta se presenta a continuación: Pureza (%) 93.3 Conteo de contaminación (ppm) 1.10 93.1 1.45 93.2 0.99 10-3. 10-4. 10-5. 10-6. 92.0 92.9 0.83 1.22 92.4 1.36 92.2 1.47 91.7 1.59 91.3 1.81 94.0 1.08 90.1 2.03 94.6 0.75 91.6 1.75 93.6 1.20 91.9 1.68 a) Ajustar un modelo de regresión lineal a los datos. b) Probar la significación de la regresión. e) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para 13¡. Graficar los residuales del problema 10-1 y comentar la adecuación del modelo. Graficar los residuales del problema 10-2 y comentar la adecuación del modelo. Utilizando los resultados del problema 10-1, probar el modelo de regresión para la falta de ajuste. Se realizó un estudio sobre el desgaste y de un cojinete y su relación conx¡ = viscosidad del aceite y X 2 = carga. Se obtuvieron los siguientes datos: y 193 230 172 91 113 125 x¡ 1.6 15.5 22.0 43.0 33.0 40.0 X2 851 816 1058 1201 1357 1115 a) Ajustar un modelo de regresión lineal múltiple a los datos. b) Probar la significación de la regresión. e) Calcular el estadístico t para cada parámetro del modelo. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? 10-7. Se piensa que la potencia al freno desarrollada por el motor de un automóvil en un dinamómetro es una función de la rapidez del motor en revoluciones por minuto (rpm), el octanaje del combustible y la compresión del motor. Se llevó a cabo un experimento en el laboratorio y los datos colectados fueron: Potencia al freno rpm Octanaje Compresión 225 212 229 222 219 278 246 237 233 224 223 230 2000 1800 2400 1900 1600 2500 3000 3200 2800 3400 1800 2500 90 94 88 91 86 96 94 90 88 86 90 89 100 95 110 96 100 110 98 100 105 97 100 104 " 424 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN a) Ajustar un modelo de regresión múltiple a estos datos. b) Probar la significación de la regresión. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? e) Con base en las pruebas t, ¿son necesarios los tres regresares en el modelo? 10-8. Analizar los residuales del modelo de regresión del problema 10-7. Comentar la adecuación del modelo. 10-9. El rendimiento de un proceso químico se relaciona con la concentración del reactivo y la temperatura de operación. Se realiza un experimento con los siguientes resultados: Rendimiento Concentración 81 89 83 91 79 87 84 90 1.00 1.00 2.00 2.00 1.00 1.00 2.00 2.00 Temperatura 150 180 150 180 150 180 150 180 a) Suponga que quiere ajustarse un modelo de los efectos principales a estos datos. Establecer la matriz X'X utilizando los datos exactamente como aparecen en la tabla. b) ¿La matriz que se obtuvo en el inciso a es diagonal? Comentar la respuesta. e) Suponga que el modelo se escribe en términos de las variables codificadas "usuales" xI = Concentración -1.5 0.5 x2 = Temperatura -165 15 Establecer la matriz X'X para el modelo en términos de estas variables codificadas. ¿Esta matriz es diagonal? Comentar la respuesta. d) Definir un nuevo conjunto de variables codificadas XI Concentración - 1.O 1.0 = -------- Temperatura - 150 30 =------''---------- X 2 Establecer la matriz X'X para el modelo en términos de este conjunto de variables codificadas. ¿Esta matriz es diagonal? Comentar la respuesta. e) Resumir lo que se haya aprendido acerca de la codificación de variables con este problema. 10-10. Considere el experimento factaria12 4 del ejemplo 6-2. Suponga que falta la última observación. Volver a analizar los datos y sacar conclusiones. ¿Cómo se comparan estas conclusiones con las del ejemplo original? 10-11. Considere el experimento factorial 24 del ejemplo 6-2. Suponga que faltan las dos últimas observaciones. Volver a analizar los datos y sacar conclusiones. ¿Cuál es el resultado de la comparación de estas conclusiones con las del ejemplo original? 10-12. Dados los datos siguientes, ajustar el modelo de regresión polinomial de segundo orden 10-9 PROBLEMAS y x¡ X2 26 24 175 160 163 55 62 100 26 30 70 71 1.0 1.0 1.5 1.5 1.5 0.5 1.5 0.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 1.0 4.0 4.0 4.0 2.0 2.0 3.0 1.5 1.5 2.5 2.5 425 Después de que se haya ajustado el modelo, probar la significación de la regresión. 10-13. a) Considere el modelo de regresión cuadrático del problema 10-12. Calcular los estadísticos t de cada uno de los parámetros del modelo y comentar las conclusiones a que se llega a partir de estas cantidades. b) Usar el método de la suma de cuadrados extra para evaluar el valor de los términos cuadráticos X¡2, x~ y X¡X 2 del modelo. 10-14. Relación entre el análisis ae varianza y el análisis de regresión. Cualquier modelo del análisis de varianza puede expresarse en términos del modelo lineal general y = xfJ + e, donde la matriz X se compone de ceros y unos. Demostrar que el modelo con un solo factor Yij = 1-1 + T¡ + cij, i = 1,2, 3,j = 1,2,3,4 puede escribirse en la forma del modelo lineal general. Después a) Escribir las ecuaciones normales (X'X)jJ = X'y y compararlas con las ecuaciones normales que se encontraron en el capítulo 3 para este modelo. b) Encontrar el rango de X'X. ¿Es posible obtener (X'X)-¡? e) Suponga ql1e se elimina la primera ecuación normal y se agrega la restricción ~;~¡ ni ¡ = o. ¿Tiene solución el sisterila de ecuaciones resultante? De ser así, encontrarla. Hallar la suma de cuadrados de regresión jJ'X'yy compararla con la suma de cuadrados de los tratamientos del modelo con un solo factor. 10-15. Suponga que se está haciendo el ajuste de una línea recta y se desea hacerla varianza de /3¡ tan pequeña como sea posible. Al trabajar con la restricción de un número par de puntos experimentales, ¿dónde deberán colocarse estos puntos para minimizar V(/3¡)? (Nota: usar el diseño que se pide en este ejercicio con sumo cuidado, ya que, aun cuando minimiza V(/3¡), tiene propiedades indeseables; ver, por ejemplo, Myers y Montgomery [85a]. Únicamente si se tiene una gran seglllidad de que la verdadera relación funcional es lineal deberá considerarse el uso de este diseño.) 10-16. Mínimos cuadrados ponderados. Suponga que se está ajustando la línea recta Y = 130 + f3¡x + c, pero la varianza de las y depende ahora del nivel de x; es decir, a? V(ylx.)=a 2 = 1 l w¡ i = 1,2, ... ,11 donde las W¡ son constantes desconocidas, llamadas con frecuencia ponderaciones. Demostrar que si se eligen las estimaciones de los coeficientes de regresión para minimizar la suma de cuadrados de los errores ponderados dada por.± w¡(y¡ - 130 - f3¡x¡ )2, las ecuaciones normales de mínimos cuadrados resultantes son 1=1 n n i=l i=1 ~02: w¡+~¡2: w¡x¡ = ~o! W¡x¡+~¡! W¡X; ;=1 ;=1 n 2: w¡Y¡ ;=1 =! ;=1 W¡X¡Y¡ ~'''1 426 CAPÍTULO 10 AJUSTE DE MODELOS DE REGRESIÓN 10-17. Considere el diseño 2i;:/ analizado en el ejemplo 10-5. a) Suponga que se opta por aumentar el diseño con la corrida única seleccionada en ese ejemplo. Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión del modelo (ignorando los bloques): y= 130 +f3¡x¡ +f32 x 2+f33 x 3+f34 x 4 +f3 12 X¡X 2 +f334X3X4 +e ¿Hay otras corridas de la fracción alterna que separarían los alias AB de CD? e) Suponga que el diseño se aumenta con las cuatro corridas sugeridas en el ejemplo 10-5. Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión (ignorando los bloques) para el modelo del inciso a. d) Considerando los incisos a y e, ¿qué estrategia de aumento se preferiría y por qué? 10-18. Considere un diseño 2;;t Suponga que después de correr el experimento, los efectos observados más grandes sanA + BD, B + AD y D + AB. Quiere aumentarse el diseño original con un grupo de cuatro corridas para separar los alias de estos efectos. a) ¿Cuáles son las cuatro corridas que se harían? b) Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión del modelo b) y= 130 +f3¡x¡ +f32 X2+f34 x 4+f312 X¡X 2 +f3¡4 X¡X 4 +13 24X2X4 + e :::1 ~:J "¡ , :11 e) ¿Es posible separar los alias de estos efectos con menos de cuatro corridas adicionales? Métodos de superficies de respuesta y otros enfoques para la optimización de procesos 11~1 INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA La metodología de superficies de respuesta, o MSR, es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas útiles en el modelado y el análisis de problemas en los que una respuesta de interés recibe la influencia de diversas variables y donde el objetivo es optimizar esta respuesta. Por ejemplo, suponga que un ingeniero químico quiere encontrar los niveles de temperatura (Xl) y presión (x 2) que maximicen el rendimiento (y) de un proceso. El rendimiento del proceso es una función de los niveles de la temperatura y la presión, por ejemplo, y= ¡(xp X2 )+8 donde 8 representa el ruido o error observado en la respuestay. Si la respuesta esperada se denota por E(y) = ¡(Xl' X2) = r¡, entonces a la superficie representada por r¡ = ¡(Xp X2 ) se le llama· superficie de respuesta. Por 10 general la superficie de respuesta se representa gráficamente como en la figura 11-1, donde r¡ se grafica contra los niveles de X¡ y X 2• Se han visto ya gráficas de superficie de respuesta como ésta, particularmente en los capítulos sobre diseños factoriales. Para ayudar a visualizar la forma de una superficie de respuesta, con frecuencia se grafican los contornos de la superficie de respuesta, como se muestra en la figura 11-2. En la gráfica de contorno se trazan las líneas de respuesta constante en el plano Xl' X 2• Cada contorno corresponde a una altura particular de la superficie de respuesta. También se ha visto antes la utilidad de las gráficas de contorno. En la mayoría de los problemas MSR, la forma de la relación entre la respuesta y las variables independientes es desconocida. Por 10 tanto, el primer paso de la MSR es encontrar una aproximación adecuada de la verdadera relación funcional entre y y el conjunto de variables independientes. Por 10 general se emplea un polinomio de orden inferior en alguna región de las variables independientes. Si la respuesta está bien modelada por una función lineal de las variables independientes, entonces la función de aproximación es el modelo de primer orden y= 130 +f3¡x¡ +f32 X2 + ... +f3k Xk +8 (11-1) 427 '1 428 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 70 ¡::11 :b ""o 60 "O ~ Ql o. CIl Ql 50 o e Ql 'E 'C e 40 Ql OC 100 X, ~ 20 Temperatura (oC) 160 X 2 ~ Presión (psi) 10 Figura 11-1 Superficie de respuesta tridimensional donde se indica el rendimiento esperado (1]) como una función de la temperatura (Xl) y la presión (x 2). 70 ¡::11 :b 60 ""o "O ~ Ql o. CIl Ql 50 Ele Ql 'E 'C e 40 Ql OC X, ~ X Temperatura (oC) 2 ~ Presión (psi) 10 Figura 11-2 Gráfica de contorno de una superficie de respuesta. 11-1 INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 429 Si hay curvatura en el sistema, entonces debe usarse un polinomio de orden superior, tal como el modelo de segundo orden k y= 130 + L k f3¡X¡ + i=l L f3¡¡X; + LL f3ijX¡X j +10 (11-2) i<} i=1 En casi todos los problemas MSR se usa uno de estos modelos, o ambos. Desde luego, es probable que un modelo polinomial sea una aproximación razonable de la verdadera relación funcional en el espacio completo de las variables independientes, pero para una región rdativamente pequeña suelen funcionar bastante bien. El método de mínimos cuadrados, estudiado en el capítulo 10, se usa para estimar los parámetros de los polinomios de aproximación. Después se realiza el análisis de la superficie de respuesta utilizando la superficie ajustada. Si la superficie ajustada es una aproximación adecuada de la verdadera función de la respuesta, entonces el análisis de la superficie ajustada será un equivalente aproximado del análisis del sistema real. Los parámetros del modelo pueden estimarse de manera más eficiente cuando se emplean los diseños experimentales apropiados para recolectar los datos. Los diseños para ajustar superficies de respuesta se denominan diseños de superficie de respuesta. Estos diseños se revisan en la sección 11-4. La MSR es un procedimiento secuencial. Muchas veces, cuando se está en un punto de la superficie de respuesta que está apartado del óptimo, como en el caso de las condiciones de operación actuales de la figura 11-3, el sistema presenta una curvatura moderada y el modelo de primer orden será apropiado. El objetivo en este caso es llevar al experimentador de manera rápida y eficiente por la trayectoria del mejoramiento hasta la vecindad general del óptimo. Una vez que se ha encontrado la región del óptimo, puede emplearse un modelo más elaborado, como el de segundo orden, y llevarse a cabo un análisis para localizar el óptimo. En la figura 11-3 se puede ver que el análisis de una superficie de respuesta puede considerarse como "el ascenso a una colina", donde la cima de ésta representa el punto de la respuesta máxima. Si el verdadero óptimo es un punto de respuesta mínima, entonces la situación puede considerarse como "el descenso a un valle". El objetivo último de la MSR es determinarlas condiciones de operación óptimas del sistema o determinar una región del espacio de los factores en la que se satisfagan los requerimientos de operación. """""--- Región de la operabilidad del proceso Región del óptimo ) r/E--~-- / 85 / / l!ayectoria del _ mejor~miento //80 // /' /75 // /' Figura 11·3 El carácter secuencial de la MSR. ¡: 70 Contornos de respuesta constante r, 430 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 1 ., ~. Análisis más detallados de la MSR se encuentran en Myers y Montgomery [85a], Khuri y Cornell [67] y Box y Draper [16b]. 11~2 MÉTODO DEL ASCENSO MÁs PRONUNCIADO Frecuentemente la estimación inicial de las condiciones de operación óptimas del sistema estarán lejos del óptimo real. En tales circunstancias, el objetivo del experimentador es pasar con rapidez a la vecindad general del óptimo. Para ello desea usarse un procedimiento experimental económico y eficiente. Cuando se está muy lejos del óptimo, por lo general se supone que un modelo de primer orden es una aproximación adecuada de la verdadera superficie en una región pequeña de las x. El método del ascenso más pronunciado es un procedimiento para moverse secuencialmente sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado, es decir, en la dirección del incremento máximo de la respuesta. Desde luego, si lo que se pretende es una minimización, entonces esta técnica se llama método del deseen. so más pronunciado. El modelo ajustado de primer orden es k y= ~o + L ~iXi (11-3) i=l y la superficie de respuesta de primer orden, es decir, los·contornos de y, es una serie de líneas paralelas como las que se muestran en la figura 11-4. La dirección del ascenso más pronunciado es aquella enla que y se incrementa con mayor rapidez. Esta dirección es paralela a la normal de la superficie de respuesta ajustada. Por lo general se toma como la trayectoria del ascenso más pronunciado a la recta que pasa por el centro de la región de interés y que es normal a la superficie ajustada. Por lo tanto, los pasos sobre la ~i~rli'" m.",,,\ Trayectoria del ascenso de respuesta de primer orden ajustada y = 50 y=10 y=20 X1 Figura 11·4 Superficie de respuesta de primer orden y trayectoria del ascenso más pronunciado. 11-2 MÉTODO DEL ASCENSO MÁs PRONUNCIADO 431 trayectoria son proporcionales a los coeficientes de regresión {~¡}. El tamaño real del paso lo determina el experimentador con base en el conocimiento del proceso o de otras consideraciones prácticas. Se conducen experimentos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado hasta que deja de observarse un incremento adicional en la respuesta. Entonces puede ajustarse un nuevo modelo de primer orden, determinarse una nueva trayectoria del ascenso más pronunciado y el procedimiento continúa. En última instancia, el experimentador llegará a la vecindad del óptimo. En general, la falta de ajuste del modelo de primer orden indica que se ha llegado a ella. En este momento se realizan experimentos adicionales para obtener una estimación más precisa del óptimo. EJEMPLO 11~ 1 . Un ingeniero químico está interesado en determinar las condiciones de operación que maximizan el rendimiento de un proceso. Dos variables controlables influyen en el rendimiento del proceso: el tiempo de reacción y la temperatura de reacción. El ingeniero opera actualmente el proceso con un tiempo de reacción de 35 minutos y una temperatura de 155°F, que dan como resultado rendimientos de cerca de 40%. Puesto que es improbable que esta región contenga el óptimo, el ingeniero ajusta un modelo de primer orden y aplica el método del ascenso más pronunciado. El ingeniero decide que la región de exploración para ajustar el modelo de primer orden deberá ser (30,40) minutos de tiempo de reacción y (150, 160tE Para simplificar los cálculos, las variables independientes se codificarán en el intervalo usual (-1,1). Por lo tanto, si;l denota la variable natural tiempo y;2 la variable natural temperatura, entonces las variables codificadas son ;1- 35 x =--1 5 y x2 ;0 -155 = -5 El diseño experimental se muestra en la tabla 11-1. Observe que el diseño usado para recabar estos datos es un factorial 22 aumentado con cinco puntos centrales. Las réplicas del centro se usan para estimar el error experimental y permitir la verificación de la adecuación del modelo de primer orden. Además, el diseño está centrado alrededor de las condiciones de operación actuales del proceso. Es posible ajustar un modelo de primer orden a estos datos por el procedimiento de mínimos cuadrados. Aplicando los métodos para diseños de dos niveles se obtiene el siguiente modelo en las variables codificadas: y= 40.44+0.775x1 +0.325x 2 Tabla 11-1 Variables naturales 30 30 40 40 35 35 35 35 35 150 160 150 160 155 155 155 155 155 Datos del proceso para ajustar el modelo de primer orden Variables codificadas Xl X2 Respuesta y -1 -1 1 1 O O O O O -1 1 -1 1 O O O O O 39.3 40.0 40.9 41.5 40.3 40.5 40.7 40.2 40.6 432 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Antes de explorar a lo largo de la trayectoria del ascenso más pronunciado, deberá investigarse la adecuación del modelo de primer orden. El diseño 22con puntos centrales permite al experimentador 1. Obtener una estimación del error. 2. Verificar las interacciones (o términos de productos cruzados) del modelo. 3. Verificar los efectos cuadráticos (curvatura). Las réplicas del centro pueden usarse para calcular una estimación del error de la siguiente manera: A a 2 (40.3)2 +( 40.5)2 +( 40. 7)2 +( 40.2)2 +( 40.6)2 - (202.3)2 /5 =-'--"'----------'----'---'----<----'-----''----------'----'-----'------'--- 4 = 0.0430 En el modelo de primer orden se supone que las variablesx¡ y X 2 tienen un efecto aditivo sobre la respuesta. La interacción entre las variables se representaría por el coeficiente /312 del término de un producto cruzadox¡x2sumado al modelo. La estimación de mínimos cuadrados de este coeficiente es simplemente la mitad del efecto de la interacción que se calcula como en un diseño factorial 22 ordinario, o ~¡2 ::1 :J = t[(lx39.3)+(lx41.5)+(-lx40.0)+(-lx40.9)] =t(-0.1) = -0.025 '1 , 11 La suma de cuadrados de la interacción con un solo grado de libertad es (-0.1)2 SS Interacción = 4 = 0.0025 Al comparar SSInteracción con &2 se obtiene el estadístico para la falta de ajuste F = SSInteracción &2 0.0025 0.0430 = 0.058 que es pequeño, lo cual indica que la interácción es insignificante. Otra verificación de la adecuación del modelo de línea recta se obtiene aplicando la verificación del efecto de curvatura cuadrática pura de la sección 6-6. Recuerde que ésta consiste en comparar la respuesta promedio en los cuatro puntos de la porción factorial del diseño, por ejemplo YF = 40.425, con la respuesta promedio en el centro del diseño, por ejemplo Ye = 40.46. Si existe curvatura cuadrática en la verdadera función de la respuesta, entonces yF -ye es una medida de esta curvatura. Si /311 y/322 son los coeficientes de los términos "cuadráticos puros" x¡ y x~, entoncesYF-Ye es una estimación de/311 + /322' En el ejemplo tratado aquí, una estimación del término cuadrático puro es ~11 +~22 = YF - Ye = 40.425- 40.46 = -0.035 433 11-2 MÉTODO DEL ASCENSO MÁS PRONUNCIADO Tabla 11-2 Análisis de varianza del modelo de primer orden Suma de cuadrados Fuente de variación Modelo (/31' /32) Residual (Interacción) (Cuadrático puro) (Error puro) Total Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor P 2 6 1.4125 47.83 0.0002 0.0025 0.0027 0.0430 0.058 0.063 0.8215 0.8142 2.8250 0.1772 (0.0025) (0.0027) (0.1720) 3.0022 1 1 4 8 La suma de cuadrados con un solo grado de libertad asociada con la hipótesis nula, H o:/3u + /322 = O, es /1 F/1 e (rF )2 SS Cuadrática pura = /1 F +/' re 'e = (4)(5)(-0.035)2 4+5 = 0.0027 donde /1 F Y/1 e son el número de puntos de la porción factorial y el número de puntos centrales, respectivamente. Puesto que F = SSCuadráticapura 8'2 0.0027 = 0.0430 = 0.063 es pequeño, no hay indicios de un efecto cuadrático puro. En la tabla 11-2 se resume el análisis de varianza de este modelo. Las verificaciones de la interacción y la curvatura no son significativas, mientras que la prueba F de la regresión global es significativa. Además, el error estándar de 131 y 132 es se(13i)=~M:E =P;=~0.0:30 =0.10 i=1,2 Ambos coeficientes de regresión 131 y 132 son grandes en comparación con sus errores estándar. En este punto no hay razón para cuestionar la adecuación del modelo de primer orden. Para apartarse del centro del diseño -el punto (Xl = 0,x2 = 0)- sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado, se haría un movimiento de 0.775 unidades en la dirección Xl por cada 0.325 unidades en la direcciónx2 • Por lo tanto, la trayectoria del ascenso más pronunciado pasa por el punto (Xl = 0,x2 = O) Y tiene pendiente 0.325/0.775. El ingeniero decide usar 5 minutos de tiempo de reacción como tamaño básico del paso. Al utilizar la relación entre Sl y Xl' se observa que 5 minutos de tiempo de reacción es equivalente a un paso en la variable codificada Xl de &1 = 1. Por lo tanto, los pasos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado son &1 = 1.0000 Y &2 = (0.325/0.775) &1 = 0.42. El ingeniero calcula puntos sobre esta trayectoria y observa los rendimientos en los mismos hasta que se nota un decremento en la respuesta. En la tabla 11-3 se muestran los resultados tanto en variables codificadas como naturales. Aun cuando la manipulación matemática de las variables codificadas es más sencilla, deben usarse las variables naturales cuando se corre el proceso. En la figura 11-5 se grafica el 434 CAPÍTULO 11 Tabla 11-3 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Experimento del ascenso más pronunciado para el ejemplo 11-1 Variables naturales Variables codificadas Pasos Origen ~ Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen Origen ::1 :¡ ". '1 , Ii +~ + 2~ + 3~ + 4~ + 5~ +M + 7~ + S~ + 9~ + 10~ + 1l~ + 12~ x1 X2 ';1 O 1.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 S.OO 9.00 10.00 11.00 12.00 O 0.42 0.42 0.84 1.26 1.68 2.10 2.52 2.94 3.36 3.78 4.20 4.62 5.04 35 5 40 45 50 55 60 65 70 75 SO 85 90 95 ';2 155 2 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 179 181 Respuesta y 41.0 42.9 47.1 49.7 53.8 59.9 65.0 70.4 77.6 80.3 76.2 75.1 rendimiento en cada paso de la trayectoria del ascenso más pronunciado. Se observan incrementos de la respuesta hasta el décimo paso; sin embargo, todos los pasos después de este punto resultan en un decremento del rendimiento. Por lo tanto, deberá ajustarse otro modelo de primer orden en la vecindad general del punto (~l = 85, ~2 = 175). Se ajusta un nuevo modelo de primer orden alrededor del punto (~l = 85, ~2 = 175). La región de exploración para ~1 es [80, 90] Y para ~2 es [170, 180]. Por lo tanto, las variables codificadas son ~l - 85 x =--- y 5 1 90 80 E e 70 Ql 'E 'C e ~ 60 50 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pasos Figura 11-5 Rendimiento contra pasos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado para el ejemplo 11-1. x2 = ~2 -175 5 11-2 MÉTODO DEL ASCENSO MÁs PRONUNCIADO 435 Tabla 11-4 Datos para el segundo modelo de primer orden Variables naturales ~l 80 80 90 90 85 85 85 85 85 Variables codificadas ~2 170 180 170 180 175 175 175 175 175 Respuesta y Xz Xl -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 o o o o o 76.5 no 78.0 79.5 79.9 80.3 80.0 79.7 79.8 o o o o o De nueva cuenta se usa un diseño 22 con cinco puntos centrales. El diseño experimental se muestra en la tabla 11-4. El ajuste del modelo de primer orden a las variables codificadas de la tabla 11-4 es y= 78.97+1.00xl +O.SOx 2 En la tabla 11-5 se presenta el análisis de varianza de este modelo, incluyendo las verificaciones de la interacción y del término cuadrático puro. Las verificaciones de la interacción y del término cuadrático puro implican que el modelo de primer orden no es una aproximación adecuada. Esta curvatura en la verdadera superficie puede indicar que el experimentador se encuentra cerca del óptimo. En este punto es necesario hacer análisis adicionales para localizar el óptimo con mayor precisión. Por el ejemplo 11-1 se observa que la trayectoria del ascenso más pronunciado es proporcional a los sig~ nos y magnitudes de los coeficientes de regresión del modelo ajustado de primer orden Y=~a+ k L ~iXi i=l Es sencillo dar un algoritmo general para determinar las coordenadas de un punto sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado. Suponga que el punto Xl =X 2 = ... = Xk = Oes la base o punto origen. Entonces 1. Se elige el tamaño del paso en una de las variables del proceso, por ejemplo D.xj • En general, se seleccionaría la variable de la que se tenga mayor información, o se seleccionaría la variable que tiene el coeficiente de regresión absoluto I~ j I más grande. Tabla 11-5 Análisis de varianza del segundo modelo de primer orden Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Regresión Residual (Interacción) (Cuadrático puro) (Error puro) Total 5.00 11.1200 (0.2500) (10.6580) (0.2120) 16.1200 2 6 1 1 4 8 Cuadrado medio 0.2500 10.6580 0.0530 Fa Valor P 4.72 201.09 0.0955 0.0001 436 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 2. El tamaño del paso de las otras variables es ~¡ A"'=A L.U Z. f3 j /&j 1 k = 12 , , ...,; z'-+J' .,. . 3. Se convierten las &¡ de variables codificadas a variables naturales. Para ilustrar, considere la trayectoria del ascenso más pronunciado calculada en el ejemplo 11-1. Puesto quex I tiene el coeficiente de regresión más grande, se selecciona el tiempo de reacción como la variable del paso 1 del procedimiento anterior. Cinco minutos de tiempo de reacción es el tamaño del paso (con base en el conocimiento del proceso). En términos de las variables codificadas, éste es &1 = 1.0. Por lo tanto, por el lineamiento 2, el tamaño del paso de la temperatura es & = 2 ~2 ~I / &1 = 0.325 = 0.42 (0.77511.0) Para convertir los tamaños de los pasos codificados (&1 = 1.0 Y&2 = 0.42) a las unidades naturales de tiempo y temperatura, se usan las relaciones ~Sl & =51 y que dan como resultado y ~S2 11~3 = &2(5)= 0.42(5)= 2°P ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN Cuando el experimentador se encuentra relativamente cerca del óptimo, por lo general se requiere un modelo que incorpore la curvatura para aproximar la respuesta. En la mayoría de los casos, el modelo de segundo orden y= 130 + k k i=1 i=1 2: f3¡x¡ + 2: f3¡¡x: + 2:2: f3ijx¡X j +8 (11-4) i<j es adecuado. En esta sección se indicará cómo usar este modelo ajustado para encontrar el conjunto óptimo de condiciones de operación para lasx, así como para caracterizar la naturaleza de la superficie de respuesta. 11~3.1 Localización del punto estacionario Suponga que quieren encontrarse los niveles dex¡,x2, ""Xk que optimizan la respuesta predicha. Este punto, en caso de existir, será el conjunto de las XI' X2, ..., Xk para las que las derivadas parciales ay / aXI = ay / aX 2 = ... = ay / aXk = O. A este punto, por ejemplo x¡,,, x2,,, ""Xk,., se le llama punto estacionario. El punto estacionario podría representar 1) un punto de respuesta máxima, 2) un punto de respuesta mínima, o 3) un punto silla. Estas tres posibilidades se ilustran en las figuras 11-6 a 11-8. Las gráficas de contorno desempeñan un papel muy importante en el estudio de las superficies de respuesta. Mediante la generación de gráficas de contorno utilizando software de computadora para el " 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN 103.04 92.03 81.02 70.01 59 1.00 a) Superficie de respuesta 1.00_---..---r------cr-----......- - - - - - - - - . 0.50 l-(N 0.00 -0.50 _1.00e-1.00 -L -0.50 L- 0.00 ===-...L__...-!!.::..---.. 0.50 1.00 x, b) Gráfica de contorno Figura 11-6 Superficie de respuesta y gráfica de contorno que ilustran una superficie con un máximo. 437 438 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 1.00,-----;::=:;:;;:;;....-----.:::;;;::-----"'--~-__.¡¡:_____, 0.50 ;..:N 0.00 -0.50 -1.00..-------''''------l..--...L..---l..--'-----'.--. -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 x, b) Gráfica de contorno Figura 11-7 Superficie de respuesta y gráfica de contorno que ilustran una superficie con un mínimo. 11-3 ANÁLlSIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN x, 1.00_---.----,.----¡,..-----¡-----r-----. -0.50 _1.00..-._ _L - _ - L -1.00 -0.50 ...L..J 0.00 x, ~...l_ 0.50 _ _..L__ _4I 1.00 b) Gráfica de contorno Figura 11-8 Superficie de respuesta y gráfica de contorno que ilustran una superficie con un punto silla (o minimax). 439 I! t\" [, 440 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA análisis de superficie de respuesta, el experimentador puede por lo general caracterizar la forma de la superficie y localizar el óptimo con una precisión razonable. Es posible obtener una solución matemática general para la localización del punto estacionario. Al escribir el modelo de segundo orden en notación matricial, se tiene y= lJo +x'b+x'Bx (11-5) donde lJn' lJ12J 2, ..., ~lk /2] f322,·:·,f32k/ 2 B= y [ simétrica lJ kk Es decir, b es un vector (k Xl) de los coeficientes de regresión de primer orden y B es una matriz simétrica (k x k) cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes cuadráticos puros (lJi!) y cuyos elementos que están fuera de la diagonal son la mitad de los coeficientes cuadráticos mixtos (lJ ij' i :;t: j). La derivada de y con respecto a los elementos del vector x igualada con O es ay ax - = b+2Bx = O (11-6) El punto estacionario es la solución de la ecuación 11-6, o x, =-tB-Ib (11-7) Además, al sustituir la ecuación 11-7 en la 11-5, la respuesta predicha en el punto estacionario puede encontrarse como ~ y, = 11~3.2 f3~ l'b o +i x , (11-8) Caracterización de la superficie de respuesta Una vez que se ha encontrado el punto estacionario, generalmente es necesario caracterizar la superficie de respuesta en la vecindad inmediata de este punto. Por caracterizar se entiende determinar si el punto estacionario es el punto de una respuesta máxima, mínima o un punto silla. Por lo general también se desea estudiar la sensibilidad relativa de la respuesta a las variables Xl' X 2 , oo., Xk' Como ya se señaló, la forma más directa de hacer esto es examinando una gráfica de contorno del modelo ajustado. Si sólo hay dos o tres variables en el proceso (las x), la construcción e interpretación de esta gráfica de contorno es relativamente sencilla. Sin embargo, incluso cuando hay un número relativamente reducido de variables, un análisis más formal, llamado análisis canónico, puede ser útil. Es conveniente transformar primero el modelo en un nuevo sistema de coordenadas con el origen en el punto estacionario x, y después hacer la rotación de los ejes de este sistema hasta que sean paralelos a los ejes principales de la superficie de respuesta ajustada. Esta transformación se ilustra en la figura 11-9. Puede demostrarse que se obtiene así el modelo ajustado ~ ~ y= y, +1 2 1? ILIW I +1L 2 W;: 1 2 + oo. +lLkW k (11-9) donde las {w¡} son las variables independientes transformadas y las {A¡} son constantes. A la ecuación 11-9 se le llama la forma canónica del modelo. Además, las {A¡} son sólo eigenvalores o raíces características de la matriz B. 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN 441 X2 Figura 11-9 Forma canónica del modelo de segundo orden. La naturaleza de la superficie de respuesta puede determinarse a partir del punto estacionario y de los signos y magnitudes de las {A¡}. Primero suponga que el punto estacionario está dentro de la región de exploración para ajustar el modelo de segundo orden. Si todas las {A¡} son positivas, X s es un punto de respuesta mínima; si todas las {A¡} son negativas, X s es un punto de respuesta máxima; y si las {A¡} tienen signos diferentes, X s es un punto silla. Además, la superficie presenta una inclinación mayor en la dirección w¡ para la que \A¡ I es el máximo. Por ejemplo, la figura 11-9 describe un sistema para el que X s es un máximo (Al y ,.1.2 son negativas) con 1,.1.1 \ > 1,.1.2\' EJEMPLO 11~2 •••••••.•••.••••••••••.••••••••.•••••.•••..•••••••.••.••••.• Se continuará el análisis del proceso químico del ejemplo 11-1. No es posible ajustar un modelo de segundo orden en las variables Xl y X 2 utilizando el diseño de la tabla 11-4. El experimentador decide aumentar este diseño con puntos suficientes para ajustar un modelo de segundo orden. 1 Obtiene cuatro observaciones en (Xl = 0,x2 = ±1.414) Y(Xl = ±1.414,x2 = O). El experimento completo se muestra en la tabla 11-6, y el diseño se ilustra en la figura 11-10. A este diseño se le llama diseño central compuesto (o DCC), el cual se estudiará con mayor detalle en la sección 11-4.2. En esta segunda fase del estudio, dos respuestas adicionales fueron de interés, la viscosidad y el peso molecular del producto. Las respuestas también se muestran en la tabla 11-6. La atención se centrará en el ajuste de un modelo cuadrático para la respuesta rendimiento Y1 (las otras respuestas se analizarán en la sección 11-3.4). Por lo general se utiliza software de computadora para ajustar una superficie de respuesta y construir las gráficas de contorno. La tabla 11-7 contiene la salida de Design-Expel1. Al examinar la tabla se observa que este paquete de software calcula primero las "sumas de cuadrados extra o secuenciales" de los términos lineales, cuadráticos y cúbicos del modelo (hay un mensaje de advertencia referente a los alias del modelo cúbico, ya que el DCC no contiene corridas suficientes para apoyar un modelo cúbico completo). Con base en el valor P pequeño de los términos cuadrá1 El ingeniero corrió las cuatro observaciones adicionales aproximadanlente en el mismo periodo en que corrió las nueve observaciones originales. Si hubiera transcurrido un lapso grande entre las dos series de corridas, habría sido necesaria la separación en bloques. La separación en bloques en los diseños de superficie de respuesta se revisa en la sección 11-4.3. 442 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 11-6 Diseño central compuesto para el ejmplo 11-2 Respuestas Variables naturales ~¡ ~2 80 80 90 90 85 85 85 85 85 92.07 77.93 85 85 170 180 170 180 175 175 175 175 175 175 175 182.07 167.93 Variables codificadas X¡ X2 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 O O O O O O O O O O O O 1.414 -1.414 O O 1.414 -1.414 Y¡ Y2 Y3 (rendimiento) (viscosidad) (peso molecular) 76.5 77.0 78.0 79.5 79.9 80.3 80.0 79.7 79.8 78.4 75.6 78:5 77.0 62 60 66 59 2940 3470 3680 3890 3480 3200 3410 3290 3500 3360 3020 3630 3150 72 69 68 70 71 68 71 58 57 ticos, se decide ajustar un modelo de segundo orden a la respuesta rendimiento. La salida de computadora muestra el modelo final en términos tanto de las variables codificadas como de los niveles naturales o reales de los factores. En la figura 11-11 se muestra la gráfica de la superficie de respuesta tridimensional y la gráfica de contorno para la respuesta rendimiento en términos de las variables del proceso tiempo y temperatura. Es relativamente sencillo ver por el examen de estas figuras que el óptimo se encuentra muy cerca de 175°P y 85 minutos de tiempo de reacción y que la respuesta está en un máximo en este punto. Por el examen de la gráfica de contorno se observa que el proceso puede ser ligeramente más sensible a los cambios en el tiempo de reacción que a los cambios en la temperatura. +2 1- (0,1.414) (-1,1) (1, 1) I -2 I (0,0) (-1.414, O) (-1,-1) (1.414, O) +2 (1, -1) (O, -1.414) -2 - Figura 11·10 Diseño central compuesto para el ejemplo 11-2. x, 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN Salida de computadora de Design-Expert para ajustar un modelo a la respuesta rendimiento del ejemplo 11-2 Tabla 11-7 Response: yield ***WARNING: The Cubic Model is Aliased!*** Sequential Model Surn of Squares Surn of Squares Source DF Mean 80062.16 1 Linear 10.04 2 2FI 0.25 1 Mean Square 80062.16 5.02 0.25 F Value Prob> F 2.69 0.12 0.1166 0.7350 Ouadratic 17.95 2 8.98 126.88 <0.0001 Suggested Cubic Residual Total 2.042E-003 0.49 80090.90 2 5 13 1.021 E-003 0.099 6160.84 0.010 0.9897 Aliased "Suma de cuadrados del modelo secuenciar': se selecciona el polinomio de orden más alto cuando los términos adicionales son significativos. Lack of Fit Tests Surn of Squares 18.49 18.24 0.28 0.28 0.21 Source Linear 2FI Ouadratic Cubic Pure Error "p'ru~!?as.de significativa. DF 6 5 3 1 4 Mean Square 3.08 3.65 0.094 0.28 0.053 F Value 58.14 68.82 Prob> F 0.0008 0.0006 0.2897 0.0826 1.78 5.31 Suggested Aliased falta de ajuste" : se quiere que el Iliodeloseleécionado no tenga falta de ajuste Model Surnrnary Statistics Std. Source Dev. R-Squared Linear 1.37 0.3494 1.43 0.3581 2FI Ouadratic 0.27 0.9828 Cubic 0.31 0.9828 Adjusted R-Squared 0.2193 0.1441 0.9705 0.9588 Predicted R-Squared -0.0435 -0.2730 0.9184 0.3622 PRESS 29.99 36.59 2.35 Suggested 18.33 Aliased "Estadísticos de resumen del modelo": se enfocan en el modelo que minimiza "PRESS" o, de manera equivalente, que maximiza la "R CUADRADA DE PREDICCION". Response: yield ANOVA for Response Surface Quadratic Model Analysis of variance table [Partial surn of squares] Surn of Mean Squares Source DF Square Model 28.25 5 5.65 A B N B2 AB Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Std. Dev. Mean C.V. PRESS 7.92 2.12 13.18 6.97 a~ 0.50 0.28 0.21 28.74 0.27 78.48 0.34 2.35 1 1 1 1 1 7.92 2.12 13.18 6.97 7 3 0.071 4 a~ 0.094 0.053 F Value 79.85 111.93 30.01 186.22 98.56 3.53 Prob> F <0.0001 <0.0001 0.0009 <0.0001 <0.0001 0.1022 1.78 0.2897 12 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision 0.9828 0.9705 0.9184 23.018 443 ~I I 444 CAPÍTULO 11 Tabla 11·7 Factor Intercept A-time B-temp MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA (continuación) Coefficient Estimate DF Standard Error 95% CI Low 95% CI High VIF 79.94 0.99 0.52 -1.38 -1.00 0.25 1 1 1 1 1 1 0.12 0.094 0.094 0.10 0.10 0.13 79.66 0.77 0.29 -1.61 -1.24 -0.064 80.22 1.22 0.74 -1.14 -0.76 0.56 1.00 1.00 1.02 1.02 1.00 A2 B2 AB Final Equation in Terms of Coded Factors: yield = +79.94 +0.99 * A +0.52 * B -1.38 * A 2 -1.00 * B2 +0.25 * A * B Final Equation in Terms of Actual Factors: yield = .-1430.52285 + 7.80749 * time +13.27053 * temp -0.055050 ~ time 2 -0.040050 * temp 2 +0.010000 * time * temp Diagnostics Case Statistics Student Cook's Outlier Run Standard Actual Predicted Order Order Value Value Residual Leverage Residual Distance t 8 6 9 11 12 10 7 1 5 3 13 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 76.50 78.00 77.00 79.50 75.60 78.40 77.00 78.50 79.90 80.30 80.00 79.70 79.80 76.30 77.79 76.83 79.32 75.78 78.59 77.21 78.67 79.94 79.94 79.94 79.94 79.94 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.20 0.21 0.17 0.18 -0.18 -0.19 -0.21 -0.17 -0.040 0.36 0.060 -0.24 -0.14 1.213 1.275 1.027 1.089 -1.107 -1.195 -1.283 -1.019 -0.168 1.513 0.252 -1.009 -0.588 0.409 0.452 0.293 0.329 0.341 0.396 0.457 0.289 0.001 0.095 0.003 0.042 0.014 1.264 1.347 1.032 1.106 -1.129 -1.240 -1.358 -1.023 -0.156 1.708 0.235 -1.010 -0.559 La localización del punto estacionario también podría encontrarse utilizando la solución general de la ecuación 11-7. Observe que [0.995] b = 0.515 B= [-1.376 0.1250] 0.1250 -1. 001 y, por la ecuación 11-7, el punto estacionario es xs=-tB-1b __ 1. [-0.7345 - 2 -0.0917] [0.995]_ [0.389] -0.0917 -1.0096 0.515 - 0.306 " 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN 80.29 82.64 85.00 445 92.07 87.36 Tiempo a) La gráfica de contorno 80.21 77.99 E <:: 'E" 'ti <:: " a: 73.55 182.1 179.2 ): 92.07 89.24 176.4 173.6 86.41 &/}¡,o &I'~ ~(¡I'" 83.59 80.76 167.9 77.93 170.8 ~o ~\e~ b) La gráfica de superficie de respuesta Figura 11-11 Gráficas de contorno y de superficie de respuesta de la respuesta rendimiento, ejemplo 11-2. Es decir, Xl, s = 0.389 YX 2,s = 0.306. En términos de las variables naturales, el punto estacionario es f: -85 0.389 = _"1__ S f: -175 0.306 = -,-"-,,--2_ _ 5 de donde se obtienes 1 = 86.95 =87 minutos de tiempo de reacciónYs2 = 176.53 = 176,SOF Este valor está muy cerca del punto estacionario que se encontró por examen visual en la gráfica de contorno de la figura 11-11. Al utilizar la ecuación 11-8, la respuesta predicha en el punto estacionario puede encontrarse como Ys = 80.21. 446 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA El análisis canónico que se describe en esta sección también puede usarse para caracterizar la Superficie de respuesta. Primero es necesario expresar el modelo ajustado en la forma canónica (ecuación 11-9). Los eigenvalores Al y Az son las raíces de la ecuación de determinantes IB-AII == O 1- -1.376-A 0.1250 -1.001- A - 0 \ 0.1250 que se reduce a AZ +2.3788A+1.3639== O Las raíces de esta ecuación cuadrática sonA I == -0.9641 YAz == -1.4147. Por lo tanto, la forma canónica del modelo ajustado es y== 80.21- 0.9641w; -1.4147wi Puesto que tanto Al como Az son negativas y el punto estacionario está en la región de exploración, se concluye que el punto estacionario es un máximo. ......................................................................... En algunos problemas MSR puede ser necesario encontrar la relación entre las variables canónicas {w¡} y las variables del diseño {x¡}. Esto es particularmente cierto cuando es imposible operar el proceso en el punto estacionario. Como una ilustración, suponga que en el ejemplo 11-2 el proceso no pudo operarse en ~l == 87 minutos y ~z == 176SF debido a que esta combinación de factores resulta en un costo excesivo. Se quiere "regresar" ahora del punto estacionario a un punto con un costo menor sin incurrir en pérdidas considerables en el rendimiento. La forma canónica del modelo indica que la superficie es menos sensible a la pérdida de rendimiento en la dirección wl . La exploración de la forma canónica requiere convertir los puntos del espacio (w l , wz) en puntos del espacio (Xl' X z). En general, las variables x se relacionan con las variables canónicas w por w == M'(x-xs) donde M es una matriz ortogonal (k x k). Las columnas de M son los eigenvectores normalizados asociados con {A i }. Es decir, si mi es la columna i-ésima de M, entonces mi es la solución de (B - A¡I)m¡ == O (11-10) para la que LJ=lm~ == 1. El procedimiento se ilustra usando el modelo de segundo orden ajustado del ejemplo 11-2. ParaA I == -0.9641, la ecuación 11-10 queda como [OJ (-1.376+0.9641) 0.1250 ][mn ]_ [ 0.1250 (-1.001+0.9641) m ZI - O o -0.4129m n + 0.1250m zl == O 0.1250m n - 0.0377m ZI == O Quiere obtenerse la solución normalizada de estas ecuaciones, es decir, aquella para la que m lzl + mil == 1. No existe una solución única para estas ecuaciones, por lo que lo más conveniente es asignar un valor ar- 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN bitrario a una de las incógnitas, resolver el sistema y normalizar la solución. Al hacer m;l = 0.3027. Para normalizar esta solución, m;l Y m;l se dividen entre 447 = 1, se encuentra m;l Se obtiene así la solución normalizada = ~ = 0.3027 = 0.2897 m 1. 0448 11 1. 0448 y m~l =--=-1- = 0.9571 m 1. 0448 21 1. 0448 que es la primera columna de la matriz M. Utilizando A2 = -1.4147 puede repetirse el procedimiento anterior, obteniéndose m22 = 0.2888 como la segunda columna de M. Por lo tanto, se tiene m 12 = -0.9574 Y M- [0.2897 -O. 9574J - 0.9571 0.2888 La relación entre las variables w y x es W1]= [0.2897 [w2 -0.9574 0.9571] [Xl - 0.389] 0.2888 x 2 - 0.306 o W1 = 0.2897(x1 - 0.389)+0.9571(x 2 - 0.306) w 2 = -0.9574(x1 - 0.389)+0.2888(x 2 - 0.306) Si quisiera explorarse la superficie de respuesta en la vecindad del punto estacionario, podrían determinarse los puntos apropiados en los cuales hacer las observaciones en el espacio (W1' w2) Yusar después la relación anterior para convertir estos puntos en el espacio (X 1,X2) para que puedan realizarse las corridas. 11 ~ 3.3 Sistemas de cordilleras No es raro encontrar variaciones de las superficies de respuesta con máximos o mínimos puros o con puntos silla estudiadas en la sección anterior. Los sistemas de cordilleras, en particular, son muy comunes. Considere la forma canónica del modelo de segundo orden presentado anteriormente en la ecuación 11-9: Y= Ys +A 1W; +A2W~ + oo. +AkW~ Suponga ahora que el punto estacionario X s está dentro de la región de experimentación; además, sea que una o más de lasA¡ sean muy pequeñas (por ejemplo, A¡ = O). Entonces la variable de respuesta es muy insensible a las variables W¡ multiplicadas por las A¡ pequeñas. En la figura 11-12 se presenta una gráfica de contorno en la que se ilustra esta situación parak = 2 variables canAl = O. (En la práctica, Al estaría cerca de cero pero no sería exactamente igual a cero.) En teoría, el modelo canónico para esta superficie de respuesta es A A y= Ys 1 +A 2 W ? í 448 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 60 65 65 x, 60 L.- L- Figura 11·12 Gráfica de contorno de un sistema de cordilleras estacionarias. x, Figura 11·13 Gráfica de contorno de un sistema de cordilleras crecientes. conA z negativa. Observe que el marcado estiramiento en la dirección W 1 ha resultado en una línea de centros en y = 70 Yel óptimo puede tomarse en cualquier lugar a lo largo de esta línea. A este tipo de superficie de respuesta se le llama sistema de cordilleras estacionarias. Si el punto estacionario está muy apartado de la región de exploración para el ajuste del modelo de segundo orden y unaA¡ (o más) está cerca de cero, entonces la superficie puede ser un sistema de cordille· ras crecientes. En la figura 11-13 se ilustra una cordillera creciente para k = 2 variables con Al cerca de cero YA z negativa. En este tipo de sistema de cordilleras no pueden hacerse inferencias acerca de la verdadera superficie o del punto estacionario porque X s está fuera de la región donde se ha ajustado el modelo. Sin embargo, la exploración adicional está garantizada en la dirección w1• Siíl. z hubiera sido positiva, este sistema se habría llamado cordillera descendente. 11~3.4 Respuestas múltiples Muchos problemas de superficies de respuesta incluyen el análisis de varias respuestas, como en el ejemplo 11-2, donde el experimentador midió tres. En dicho ejemplo, el proceso se optimizó únicamente con respecto a la respuesta rendimiento Y1' La consideración simultánea de respuestas múltiples requiere construir primero un modelo de superficie de respuesta apropiado para cada respuesta y después intentar encontrar un conjunto de condiciones de operación que optimice en cierto sentido todas las respuestas o que al menos las mantenga en los rangos deseados. Un estudio completo del problema de las respuestas múltiples se ofrece en Myers y Montgomery [85a]. En el ejemplo 11-2 pueden obtenerse modelos para las respuestas viscosidad y peso molecular (yz YY3' respectivamente) de la siguiente manera: yz = 70.00- 0.16x1 - Y3 = 3386.2+ 205. lx 1 4- 17.4x z 0.95x z - 0.69x; - 6.69x; -1.25x1 x z En términos de los niveles naturales del tiempo (';1) y la temperatura (.;z), estos modelos son Yz = -9030.74+ 13.393'; 1 + 97. 70s.; z - 2.75xlO- 2 y .;i - 0.26757.;; - 5xlO- z ';l';Z 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN 449 En las figuras 11-14 y 11-15 se presentan las gráficas de contorno y superficie de respuesta para estos modelos. Un enfoque relativamente directo para optimizar varias respuestas que funciona bien cuando sólo hay pocas variables en el proceso es la superposición de las gráficas de contorno de cada respuesta. En la figura 11-16 se muestra una gráfica de superposición para las tres respuestas del ejemplo 11-2, con los contornos para los que YI (rendimiento) ;:o: 78.5, 62 :5 Yz (viscosidad) :5 68, YY3 (peso molecular Mn) :5 3400. Si estos límites representan condiciones importantes que el proceso debe satisfacer, entonces, como se muestra en la porción no sombreada de la figura 11-16, existen varias combinaciones del tiempo y la temperatura que resultarán en un proceso satisfactorio. El experimentador puede hacer el examen visual de 182.1 60.00 58.00 62.00 179.7 65.00 68.00 177.4 E ~ Ql c. 175.0 <::::::::> 70.00 E ~ 172.6 170.3 82.64 85.00 87.36 89.71 92.07 Tiempo a} La gráfica de contorno 70.03 63.75 o E Ql 'E 57.47 'ti <:: Ql tI: 51.19 182.1 179.2 92.07 89.24 /: 176.4 &0 :0& 173.6 >'"<i't, Vl'<i' 86.41 83.59 ~Qo 170.8 167.9 80.76 ~\e 77.93 b) La gráfica de la superficie de respuesta Figura 11-14 Gráfica de contorno y gráfica de la superficie de respuesta de la viscosidad, ejemplo 11-2. 450 CAPÍTULO 11 182.1 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA r-~-'----r--...-----'----r~--'---' 179.7 177.4 E 2 ~c. 175.0 E ~ 172.6 170.3 167.9 L--_ _L--_"'>O"''--_---'_---3o...-J._ _--L_-''--' 77.93 80.29 82.64 85.00 Tiempo a) La gráfica de contorno 3566 ~ 3266 2845 .... .... .... .... 182.1 179.2 .... .... 92.07 89.24 h 176.4 &O.0 173.6 I!'I'Qtl¡" 170.8 83.59 80.76 Q 167.9 86.41 o -<.\e~~ 77.93 b) La gráfica de la superficie de respuesta Figura 11-15 Gráfica de contorno y gráfica de la superficie de respuesta del peso molecular, ejemplo 11-2. la gráfica de contorno para determinar las condiciones de operación apropiadas. Por ejemplo, es posible que el experimentador esté más interesado en la región más grande de las dos regiones factibles que se muestran en la figura 11-16. Cuando hay más de tres variables del diseño, se hace muy complicada la superposición de las gráficas de contorno, ya que la gráfica de contorno es bidimensional, y k - 2 de las variables deldiseño deben mantenerse constantes para construir la gráfica. Con frecuencia se necesita una gran cantidad de ensayo y error para determinar cuáles son los factores que deben mantenerse constantes y qué niveles seleccionar para obtener la mejor vista de la superficie. Por lo tanto, existe interés práctico en métodos de optimización más formales para las respuestas múltiples. 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN 451 182.1"""""~""""" 179.7 177.4 e ~~ 175.0 E t! 80.29 82.64 85.00 Tiempo 87.36 89.71 92.07 Figura 11-16 Región del óptimo encontrada superponiendo las superficies de respuesta delrendimiento, la viscosidad y el peso molecular, ejemplo 11-2. Un enfoque popular consiste en formular y resolver el problema como un problema de optimización restringida. Para ilustrar este enfoque utilizando el ejemplo 11-2, el problema podría formularse como MáxYl sujeto a 62:5 Y2 :5 68 Y3 :5 3400 Se cuenta con varias técnicas numéricas que pueden usarse para resolver este problema. En ocasiones se hace referencia a estas técnicas como métodos de programación no lineal. El paquete de software Design-Expert resuelve esta versión del problema utilizando un procedimiento de búsqueda directa. Las dos soluciones encontradas son tiempo = 83.5 temperatura = 177.1 5'1 = 79.5 y temperatura = 172.25 5'1 = 79.5 tiempo = 86.6 Observe que la primera solución es la región factible superior (la más pequeña) del espacio del diseño (referirse a la figura 11-16), mientras que la segunda solución es la región más grande. Ambas soluciones están muy cerca de los límites de las restricciones. Otro enfoque útil para la optimización de respuestas múltiples es usar la técnica de optimización simultánea popularizada por Derringery Suich [37]. Su procedimiento hace uso de las funciones con condición de deseable. El enfoque general consiste en convertir primero cada respuestaYi en una función con condición de deseable individual di que varía en el rango 0:5d i :51 donde si la respuestaYi está en su meta u objetivo; entonces di = 1, Ysi la respuesta está fuera de una región aceptable, di = O. Después las variables del diseño se eligen para maximizar la condición de deseable global D = (d1 . d2 ..... d )l/m . m donde hay m respuestas. 452 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Las funciones con condición de deseable individual están estructuradas como se indica en la figura 11-17. Si el objetivo T para la respuesta y es un valor máximo, d=¡(;~~r ~::~T 1, (11-11) y>T cuando la ponderación t = 1, la función con condición de deseable es lineal. Al elegir t > 1 se pone más interés en estar cerca del valor objetivo, y cuando se elige O < t < 1 esto tiene menos importancia. Si el objetivo para la respuesta es un valor mínimo, 1 y<T d= ¡ (~-o-:r (11-12) T75y75U y>U La función con condición de deseable de dos colas que se muestra en la figura 11-17c supone que el objetivo se localiza entre los límites inferior (L) Y superior (U), y se define como O d= y<L (y-Lr T-L L75y75T (U-Y)" U-T T75y75U O (11-13) y>U Se usó el paquete de software Design-Expel1 para resolver el ejemplo 11-2 utilizando el enfoque de la función con condición de deseable. Se eligió T = 80 como el objetivo para la respuesta rendimiento, U = 70, Yse fijó la ponderación de esta condición de deseable individual igual a la unidad. Se hizo T = 65 para la respuesta viscosidad con L = 62 Y U = 68 (para ser consistente con las especificaciones), con ambas ponderaciones t 1 = t z = 1. Por último, se indicó que cualquier peso molecular abajo de 3400 era aceptable. Se encontraron dos soluciones. Solución 1: Tiempo = 86.5 j\ = 78.8 = 170.5 yz = 65 Temperatura D = 0.822 Y3 = 3287 Solución 2: = 82 Temperatura = 178.8 Y1 = 78.5 Yz = 65 Tiempo D = 0.792 Y3 = 3400 La solución 1 tiene la condición de deseable global más alta. Observe que resulta en una viscosidad acorde con el objetivo y en un peso molecular aceptable. Esta solución está contenida en la más grande de las dos regiones de operación de la figura 11-16, mientras que la segunda solución está contenida en la región más pequeña. En la figura 11-18 se muestran las gráficas de la superficie de respuesta y de contorno de la función con condición de deseable global D. 11-3 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN ,r..--I-- r = 1 OL----&<~-------..l--- L T y a) El objetivo (blanco) es maximizar y r>1 O<r<1 OL-----L.--------=ilI--T u y b) El objetivo (blanco) es minimizar y r, > 1-+--~'----->-/ OL-----:::::..----------'--------~'------- L T u y e) El objetivo (blanco) es que y esté tan cerca como sea posible de la especificación Figura 11·17 Funciones con condición de deseables individuales para la optimización simultánea. 453 454 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 0.820 Q) :¡; ro Q) "' -o Q) Q) -o e ·0 .C:; 'O e O U 175.00 Temperatura Tiempo 172.50 170.00 a) Superficie de respuesta 180.00----..----------------------1l 177.50 ~========~ E ::J 5 ~ Q) 175.00 c. E ~ • 172.50 170.00~----..L--------' ~========::I===~~ 80.00 82.50 85.00 87.50 90.00 Tiempo bl Gráfica de contorno Gráfica de la superficie de respuesta y de contorno de la función con condición de deseable del ejemplo 11-2. Figura 11-18 ·'1 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 11-4 455 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA El ajuste y análisis de superficies de respuesta se facilita en gran medida con la elección apropiada del diseño experimental. En esta sección se revisan algunos aspectos de la selección del diseño apropiado para ajustar superficies de respuesta. Cuando se selecciona un diseño de superficie de respuesta, algunas de las características deseables en el diseño son las siguientes: 1. Proporciona una distribución razonable de los puntos de los datos (yen consecuencia informa- 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. ción) en toda la región de interés. Permite que se investigue la adecuación del modelo, incluyendo la falta de ajuste. Permite que los experimentos se realicen en bloques. Permite que los diseños de orden superior se construyan secuencialmente. Proporciona una estimación interna del error. Proporciona estimaciones precisas de los coeficientes del modelo. Proporciona un buen perfil de la varianza de predicción en toda la región experimental. Proporciona una robustez razonable contra los puntos atípicos o los valores faltantes. No requiere un gran número de corridas. No requiere demasiados niveles de las variables independientes. Asegura la simplicidad del cálculo de los parámetros del modelo. Estas características entran en conflicto en ocasiones, por lo que con frecuencia debe aplicarse la discrecionalidad al seleccionar un diseño. Para mayor información sobre la elección de un diseño de superficie de respuesta, referirse a Myers y Montgomery [85a], Box y Draper [16b] y Khuri y Cornell [67]. 11-4.1 Diseños para ajustar el modelo de primer orden Suponga que quiere ajustarse el modelo de primer orden en k variables k y= f30 + 2: f3i X +8 ¡ (11-14) i=l Hay una clase única de diseños que minimizan la varianza de los coeficientes de regresión {~i}' Se trata de los diseños de primer orden ortogonales. Un diseño de primer orden es ortogonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal de la matriz (X'X) son cero. Esto implica que la suma de los productos cruzados de las columnas de la matriz X sea cero, La clase de los diseños de primer orden ortogonales incluye los factoriales 2k y las fracciones de la serie 2k en las que los efectos principales no son alias entre sí. Al usar estos diseños se supone que los niveles bajo y alto de los k factores están codificados en los niveles usuales ± 1. El diseño 2k no permite la estimación del error experimental a menos que se hagan réplicas de algunas corridas. Un método común de incluir las réplicas en el diseño 2k es aumentar el diseño con varias observaciones en el centro (el punto Xi = 0, i = 1, 2, 'oo, k). La adición de puntos centrales al diseño 2k no influye en las {~¡ } para i ;::: 1, pero la estimación de f30 se convierte en el gran promedio de todas las observaciones. Además, la adición de puntos centrales no altera la propiedad de ortogonalidad del diseño. En 456 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA x, 0.) X 3 b) Figura 11-19 El. diseño símplex para a) le = 2 variables y b) le = 3 variables. el ejemplo 11-1 se ilustra el uso de un diseño 22 aumentado con cinco puntos centrales para ajustar un modelo de primer orden. Otro diseño de primer orden ortogonal es el diseño símplex. El diseño símplex es una figura de lados regulares con k + 1 vértices en k dimensiones. Por 10 tanto, el diseño símplex para k = 2 es un triángulo equilátero, y para k = 3 es un tetraedro regular. En la figura 11-19 se muestran diseños símplex de dos y tres dimensiones. 11~4.2 Diseños para ajustar el modelo de segundo orden En el ejemplo 11-2 se hizo la introducción informal (e incluso antes en el ejemplo 6-6) del diseño central compuesto o DCC para ajustar un modelo de segundo orden. Se trata de la clase más popular de diseños usados para ajustar estos modelos. En general, el DCC consta de un factoria12k (o de un factorial fraccionado de resolución V) con 11 F corridas, 2k corridas axiales o estrella y 11 c corridas centrales. En la figura 11-20 se muestra el DCC para k = 2 Y k = 3 factores. El despliegue práctico de un DCC surge con frecuencia a través de la experimentación secuencial, como en los ejemplos 11-1 y 11-2. Es decir, se ha usado un diseño 2k para ajustar un modelo de primer orden, este modelo ha presentado falta de ajuste, y después se agregaron las corridas axiales para permitir la incorporación de los términos cuadráticos en el modelo. El DCC es un diseño muy eficiente para ajustar el modelo de segundo orden. Hay dos parámetros en el diseño que deben especificarse: la distancia a de las corridas axiales al centro del diseño y el número de puntos centrales 11 c . A continuación se analiza la elección de estos dos parámetros. 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 457 (O,a) (-1, +1) (+1, +1) --_'I---b~-I---¡"""--X1 (-a, O) (0,0) (-1,-1) (a, O) (+1, -1) (O, -a) Figura 11-20 Diseños centrales compuestos para k = 2 Y k = 3. Rotabilidad Es importante que el modelo de segundo orden proporcione buenas predicciones en toda la región de interés. Una manera de definir "buenas" es requerir que el modelo tenga una varianza razonablemente consistente y estable de la respuesta predicha en los puntos de interés x. Recuerde, por la ecuación 10-40, que la varianza de la respuesta predicha en algún punto x es V[Y(x)] = a 2 x'(X'Xr 1 x Boxy Hunter [17a] propusieron que un diseño de superficie de respuesta de segundo orden debe ser rotable. Esto significa que la V[Y(x)] es la misma en todos los puntos x que están a la misma distancia del centro del diseño. Es decir, la varianza de la respuesta predicha es constante en esferas. En la figura 11-21 se muestran los contornos de v'V[Y(x)] constante para el ajuste del modelo de segundo orden utilizando el DCC en el ejemplo·11-2. Observe que los contornos de desviación estándar constante de la respuesta predicha son círculos concéntricos. Un diseño con esta propiedad dejará la varianza de ysin cambio cuando el diseño se rota alrededor del centro (O, 0, ..., O), de ahí el nombre de diseño rotable. La rotabilidad es una base razonable para la selección de un diseño de superficie de respuesta. Puesto que la finalidad de la MSR es la optimización, y la localización del óptimo se desconoce antes de correr el experimento, tiene sentido el uso de un diseño que proporcione una precisión de estimación igual en todas las direcciones (puede demostrarse que cualquier diseño de primer orden ortogonal es rotable). Un diseño central compuesto se hace rotable mediante la elección de a. El valor de a para la rotabilidad depende del número de puntos en la porción factorial del diseño; de hecho, a = (fI F)1/4 produce un diseño central compuesto rotable, donde nF es el número de puntos usados en la porción factorial del diseño. El DCC esférico La rotabilidad es una propiedad esférica; es decir, tiene mayor sentido como criterio de diseño cuando la región de interés es una esfera. Sin embargo, no es importante tener una rotabilidad exacta para tener un buen diseño. De hecho, para una región esférica de interés, la mejor elección de a desde el punto de vista de la varianza de predicción para el DCC es hacer a = Vk. Este diseño, llamado DCC esférico, coloca todos los puntos factoriales y axiales del diseño sobre la superficie de una esfera de radio Vk. Para una exposición más amplia del tema, ver Myers y Montgomery [85a]. 458 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 0.3019 0.3484 179.7 ~ ;;;¡ ro O; 175.0 Q. E ~ 172.6 170.3 0.3019 87.36 a) Contornos de ~V[y(x)1 0.3949 0.3020 ~ 0.2091 0.1161 182.1 179.2 176.4 )'$ 0.0 173.6 19¡-"t...,,, 170.8 " 167.9 92.07 89.24 86.41 83.59 o 80.76 -<;\0~9 77.93 b) La gráfica de la superficie de respuesta Figura 11-21 Contornos de desviación estándar constante de la respuesta predicha para el DCC rotable, ejemplo 11-2. Corridas centrales en el DCC La elección de a en el DCC está dictada principalmente por la región de interés. Cuando esta región es una esfera, el diseño debe incluir corridas centrales para proporcionar una varianza razonablemente estable de la respuesta predicha. En general, se recomiendan de tres a cinco corridas centrales. El diseño de Box-Behnken Box y Behnken [13] han propuesto algunos diseños de tres niveles para ajustar superficies de respuesta. Estos diseños se forman combinando factoriales 2k con diseños de bloques incompletos. Los diseños re- 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 11-8 Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 459 Diseño de Box-Behnken para tres variables Xl X2 X3 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 O O O O O O O O O O O O O O O -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 O O O O O O sultantes suelen ser muy eficientes en términos del número requerido de corridas, y son rotables o casi rotables. En la tabla 11-8 se muestra el diseño de Box-Behnken para tres variables. El diseño también se ilustra geométricamente en la figura 11-22. Observe que el diseño de Box-Behnken es un diseño esférico, con todos los puntos localizados en una esfera de radio...n. Asimismo, el diseño de Box-Behnken no contiene ningún punto en los vértices de la región cúbica creada por los límites superior.e inferior de cada variable. Esto podría ser una ventaja cuando los puntos de los vértices del cubo representan combinaciones de los niveles de los factores cuya prueba es prohibitivamente costosa o imposible debido a restricciones físicas del proceso. Región cuboidal de interés Existen muchas situaciones en las que la región de interés es cuboidal en lugar de esférica. En estos casos, una variante útil del diseño central compuesto es el diseño central compuesto con centros en las caras o el cubo con centros en las caras, en el que a = 1. En este diseño los puntos axiales o estrella se localizan en los centros de las caras del cubo, como se muestra en la figura 11-23 para k = 3. Esta variante del diseño central compuesto se usa en ocasiones d.ebido a que sólo requiere tres níveles de cada factor, y en la prác- -1 Figura 11·22 Diseño de Box-Behnken para tres factores. +1 . Figura 11-23 Diseño central compuesto con centros en las caras para k == 3. .<:. fl 460 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA -1.00 (a) -1.00 Superficie de respuesta Xl lb) Gráfica de contorno Desviación estándar de la respuesta predicha ~V[y(x)] para el cubo con centros en las caras con k = 3, /le = 3 YX 3 = O. Figura 11-24 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA --'---"---¡~--Xl al Figura 11·25 tagono. 461 ---t+--..--\-t--- x , b) Diseños equirradiales para dos variables. a) Hexágono. b) Pen- tica con frecuencia es difícil cambiar los niveles de los factores. Sin embargo, observe que los diseños centrales compuestos no son rotables. El cubo con centros en las caras no requiere tantos puntos centrales como el DCC esférico. En la práctica, nc = 2 o 3 es suficiente para proporcionar una buena varianza de predicción en toda la región experimental. Cabe señalar que en ocasiones se emplearán más corridas centrales para dar una estimación razonable del error experimental. En la figura 11-24 se muestra la raíz cuadrada de la varianza de predicción v'V[5'(x)] del cubo con centros en las caras para k = 3 con n c = 3 puntos centrales (x 3 = O). Observe que la desviación estándar de la respuesta predicha es razonablemente uniforme en una porción relativamente larga del espacio del diseño. Otros diseños Existen muchos otros diseños de superficie de respuesta que en ocasiones son útiles en la práctica. Para dos variables, podrían usarse diseños compuestos de puntos cuya separación en un círculo es igual y que forman polígonos regulares. Puesto que los puntos del diseño son equidistantes del origen, a estos arreglos con frecuencia se les llama diseños equirradiales. Para k = 2, un diseño equirradial rotable se obtiene combinando n z ;::: 5 puntos con una separación igual en un círculo con nI ;::: 1 punto en el centro del círculo. Diseños de particular utilidad para k = 2 son el pentágono y el hexágono. Estos diseños se muestran en la figura 11-25. Otros diseños útiles incluyen el diseño compuesto pequeño, el cual consiste en un factorial fraccionado en el cubo de resolución III* (los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores y ninguna de las interacciones de dos factores es alias entre sí) y las corridas axiales y centrales usuales, y la clase de los diseños híbridos. Estos diseños pueden ser de valor considerable cuando es importante reducir el número de corridas tanto como sea posible. En la tabla 11-9 se muestra un diseño compuesto pequeño para k = 3 factores. Este diseño usa la fracción un medio estándar del diseño 23 en el cubo, ya que satisface los criterios de la resolución III*. El diseño tiene cuatro corridas en el cubo y seis corridas axiales, y debe incluir al menos un punto central. Por lo tanto, el diseño tiene un mínimo de N = 11 ensayos, y el modelo de segundo orden en k = 3 variables tiene p = 10 parámetros por estimar, por lo que se trata de un diseño muy eficiente con respecto al número de conidas. El diseño de la tabla 11-9 tiene n c = 4 corridas centrales. Se seleccionó a = 1. 73 para obtener un diseño esférico debido a que el diseño compuesto pequeño no puede hacerse rotable. En la tabla 11-10 se muestra un diseño híbrido para k = 3. Algunos de estos diseños tienen niveles irregulares, y esto puede ser un factor limitante para su aplicación. Sin embargo, se trata de diseños muy ~'l , I l' 462 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 11-9 Diseño compuesto pequeño para k = 3 factores Orden X2 X3 Xl estándar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.00 1.00 -1.00 -1.00 -1.73 1.73 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 0.00 0.00 -1.73 1.73 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.73 1.73 0.00 0.00 0.00 0.00 pequeños, y poseen excelentes propiedades de la varianza de predicción. Para mayores detalles acerca de los diseños compuestos pequeños y los diseños 1uoridos, referirse a Myers y Montgomery [85a]. 11~4.3 Formación de bloques en los diseños de superficie de respuesta Cuando se usan diseños de superficie de respuesta, con frecuencia es necesario considerar la formación de bloques para eliminar las variables perturbadoras. Por ejemplo, este problema puede ocurrir cuando un diseño de segundo orden se ensambla secuencialmente a partir de un diseño de primer orden, como se ilustró en los ejemplos 11-1 y 11-2. Puede transcurrir tiempo considerable entre que se corre el modelo de primer orden y se corren los experimentos complementarios requeridos para construir un diseño de se- Tabla 11-10 Diseño híbrido para k = 3 factores Orden X2 x3 Xl estándar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.00 0.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 1.41 -1.41 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.41 -1.41 0.00 1.41 -1.41 0.71 0.71 0.71 0.71 -0.71 -0.71 -0.71 -0.71 0.00 ,i 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 463 gundo orden, y durante este tiempo las condiciones de prueba pueden cambiar, haciendo necesaria la formación de bloques. Se dice que un diseño de superficie de respuesta se forma de bloques ortogouales si se divide en bloques tales que sus efectos no afecten las estimaciones de los parámetros del modelo de superficie de respuesta. Si se usa un diseño 2/c o 2/c-P como un diseño de superficie de respuesta de primer orden, pueden usarse los métodos del capítulo 7 para disponer las corridas en 2' bloques. Los puntos centrales de estos diseños deberán asignarse por igual entre los bloques. Para hacer la formación de bloques ortogonales de un diseño de segundo orden, deben satisfacerse dos condiciones. Si hay nb observaciones en el bloque b-ésimo, entonces estas condiciones son 1. Cada bloque debe ser un diseño ortogonal de primer orden; es decir, nb L XillX jll =O i =;t:. para todab j= 0,1, ..., k u=l donde X ill Yxju son los niveles de las variables i-ésima y j-ésima en la corrida u-ésima del experimento con X Oll = 1 para toda u. 2. La fracción de la suma de cuadrados total para cada variable con que contribuye cada bloque, debe ser igual a la fracción de las observaciones totales que están contenidas en el bloque; es decir, nb L x~ L X~t ll=l N i = 1, 2, ..., k para todab ll=l donde N es el número de corridas del diseño. Como un ejemplo de la aplicación de estas condiciones, considere un diseño central compuesto rotable en k = 2 variables con N = 12 corridas. Los niveles Xl y X 2 de este diseño pueden escribirse en la matriz del diseño Xl X2 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 O O O O D= 1.414 O -1.414 O O 1.414 O -1.414 O O O O 1 Bloqoe 1 Bloque 2 Observe que el diseño se ha dispuesto en dos bloques, con el primer bloque consistiendo en la porción factorial del diseño más dos puntos centrales y el segundo bloque consistiendo en los puntos axiales más , i 464 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA dos puntos centrales adicionales. Es claro que la condición 1 se satisface; es decir, ambos bloques son diseños de primer orden ortogonales. Para investigar la condición dos, considere primero el bloque 1 y observe que ~ X¡" = ~ xi" = 4 u=l 1l=1 N N L x¡" = Lxi" = 8 u=l y 1l=1 Por lo tanto, ", L Xi~l L X~l nI N u=l N 1l=1 4 8 ASÍ, - 6 12 la condición 2 se satisface en el bloque 1. Para el bloque 2 se tiene 2 _ ~ 2 Xl" - ,LJ X 211 u=! 4 -- y u=l Por lo tanto, ", L L 2 X iu u=l N o X'~l n2 N u=l 4 6 - =8 12 Puesto que la condición 2 también se satisface en el bloque 2, este diseño está formado de bloques ortogonales. En general, el diseño central compuesto siempre puede construirse para hacer la formación de bloques ortogonales en dos bloques con el primer bloque consistiendo en nF puntos factoriales más n CF puntos centrales y el segundo bloque consistiendo en nA = 2k puntos axiales más nCA puntos centrales. La primera condición de la formación de bloques ortogonales se cumplirá siempre independientemente del valor que se use para a en el diseño. Para que la segunda condición se cumpla, I "," x~, (11-15) LXi:' " El miembro izquierdo de la ecuación 11-15 es 2a 2/np, y después de sustituir esta cantidad, la ecuación para el valor de a que resultará en la formación de bloques ortogonales puede resolverse como 112 a= nF(nA +nCA ) [ 2(n +n ] CF ) F (11-16) 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 465 Este valor de a no dará como resultado, en general, un diseño rotable o esférico. Si se requiere que el diseño también sea rotable, entonces a = (n F)I/4 Y (n F ) 1/? - = nF(n A +n CA ) 2(n F +n CF ) (11-17) No siempre es posible encontrar un diseño que satisfaga exactamente la ecuación 11-17. Por ejemplo, si k = 3, n F = 8 Y nA = 6, la ecuación 11-17 se reduce a ? (8) 1/ - = 8(6+n CA ) ---.:..-----=:"--'-- 2(8+n CF ) 2.83= 48+8n CA 16+2n CF Es imposible encontrar valores de nCA Yn CF que satisfagan exactamente esta última ecuación. Sin embargo, observe que si n CF = 3 Y n CA = 2, entonces el segundo miembro es 48+8(2) 2.91 16+2(3) por lo que el diseño se separa en bloques casi ortogonales. En la práctica podría relajarse un tanto el requerimiento de la rotabilidad o bien el de la formación de bloques ortogonales sin ninguna pérdida importante de información. El diseño central compuesto es muy versátil en cuanto a su capacidad para incorporar la formación de bloques. Si k es lo suficientemente grande, la porción factorial del diseño puede dividirse en dos o más bloques. (El número de bloques factoriales debe ser una potencia de 2, con la porción axial formando un solo bloque.) En la tabla 11-11 se presentan varias disposiciones útiles de la formación de bloques para el diseño central compuesto. Tabla 11-11 Algunos diseños centrales compuestos rotables y casi rotables que se separan en bloques ortogonales 6 5 7 6 2 5 k tRepo tRepo 7 3 4 tRepo Bloque(s) factorial(es) 16 64 32 4 8 16 32 128 64 nF Número de bloques Número de puntos en cada bloque Número de puntos centrales en cada bloque Número total de puntos en cada bloque 1 2 2 4 1 8 2 16 8 4 4 8 8 16 8 16 8 8 3 2 2 2 6 1 4 1 1 7 6 10 10 22 9 20 9 9 4 6 8 10 10 12 12 14 14 3 2 2 4 1 6 2 11 4 7 8 10 14 11 18 14 25 18 14 20 30 54 33 90 54 169 80 Bloque axial nA nCA Número total de puntos en el bloque axial Número total de puntos N del diseño Valores dea Separación en bloques ortogonales 1.4142 1.6330 2.0000 2.3664 2.0000 2.8284 2.3664 3.3636 2.8284 Rotabilidad 1.4142 1.6818 2.0000 2.3784 2.0000 2.8284 2.3784 3.3333 2.8284 466 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Cabe destacar dos puntos importantes acerca del análisis de varianza cuando el diseño de superficie de respuesta se ha corrido en bloques. El primero se refiere al uso de los puntos centrales para calcular una estimación del error puro. Sólo los puntos centrales que se corren en el mismo bloque pueden considerarse como réplicas, por lo que el término del error puro sólo puede calcularse dentro de cada bloque. Si la variabilidad es consistente en todos los bloques, entonces estas estimacionesdel error puro podrían agruparse. El segundo punto se refiere al efecto de bloque. Si el diseño se forma de bloques ortogonales en m bloques, la suma de cuadrados de los bloques es ni SSBloques =L b=! nb N (11-18) donde E b es el total de las n b observaciones en el bloque b-ésimo y G es el gran total de las N observaciones en los m bloques. Cuando los bloques no son exactamente ortogonales, puede usarse la prueba general de significación de la regresión (el método de la "suma de cuadrados extra") que se describió en el capítulo 10. 11~4.4 Diseños (óptimos) generados por computadora Los diseños estándares de superficie de respuesta estudiados en las secciones anteriores, como el diseño central compuesto y el diseño de Box-Behnken y sus variantes (como el cubo con centros en las caras), son de uso generalizado porque son diseños bastante generales y flexibles. Si la región experimental es un cubo o una esfera, de manera típica existe un diseño de superficie de respuesta que será aplicable al problema. Sin embargo, ocasionalmente un experimentador se encuentra con una situación en la que el diseño estándar de superficie de respuesta puede no ser una elección obvia. Los diseños generados por computadora son una alternativa por considerar en estos casos. Hay tres situaciones en las que puede ser apropiado algún tipo de diseño generado por computadora. 1. Una región experimental irregular. Si la región de interés del experimento no es un cubo o una esfera, los diseños estándares quizá no sean la mejor elección. Las regiones de interés irregulares ocurren con bastante frecuencia. Por ejemplo, un experimentador está investigando las propiedades de un adhesivo particular. El adhesivo se aplica a dos piezas y después se cura a una temperatura elevada. Los dos factores de interés son la cantidad de adhesivo aplicada y la temperatura de curado. En los rangos de estos dos factores, tomados como -1 a + 1 en la escala de la variable codificada usual, el experimentador sabe que si se aplica muy poco adhesivo y la temperatura de curado es muy baja, las piezas no se pegarán satisfactoriamente. En términos de las variables codificadas, esto lleva a una restricción sobre las variables del diseño, por ejemplo dondex l representa la cantidad aplicada de adhesivo YXzla temperatura. Además, si la temperatura es demasiado elevada y se aplica mucho adhesivo, las piezas resultarán dañadas por la fatiga térmica o bien ocurrirá un pegado inadecuado. Por lo tanto, hay otra restricción sobre los niveles de los factores Xl +X z :51 En la figura 11-26 se muestra la región experimental que resulta de aplicar estas restricciones. Observe que las restricciones eliminan de hecho dos de los vértices del cuadrado, produciendo una región experi- 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 467 0.5 -1.0 -0.5 b x, 0.5 1.0 Figura 11-26 Región restringida del diseño en dos variables. mental irregular (en ocasiones a estas regiones irregulares se les llama "latas abolladas"). No existe ningún diseño de superficie de respuesta estándar que se ajuste exactamente a esta región. 2. Un modelo no estándar. Por lo general, ~~ experimentador elige un modelo de superficie de respuesta de primer o de segundo orden, consciente de que este modelo empírico es una aproximación del verdadero mecanismo subyacente. Sin embargo, en ocasiones el experimentador puede tener un conocimiento o idea especial acerca del proceso bajo estudio que puede sugerir un modelo no estándar. Por ejemplo, el modelo y= f3 0 + f31 x l + f32 x 2 + f312 x IX2 + f3llx~ + f322 x i +f31l2X~X2 +f31112X;X2 +E puede ser de interés. El experimentador estaría interesado en obtener un diseño eficiente para ajustar este modelo reducido de cuarto graqo. Como otra ilustración, en ocasiones se encuentran problemas de superficie de respuesta en los que algunos de los factores del diseño son variables categóricas. No hay diseños de superficie de respuesta estándares para esta situación (referirse a Myers y Montgomery [85a] para un estudio de las variables categóricas en problemas de superficie de respuesta). 3. Requerimientos inusuales para el tamaño de la muestra. Ocasionalmente, un experimentador quizá necesite reducir el número de corridas requeridas en un diseño estándar de superficie de respuesta. Por ejemplo, suponga que se pretende ajustar un modelo de segundo orden en cuatro variables. El diseño central compuesto para esta situación requiere entre 28 y 30 corridas, dependiendo del número de puntos centrales seleccionados. Sin embargo, el modelo sólo tiene 15 términos. Si las corridas tienen un costo muy elevado o se llevan mucho tiempo, el experimentador querrá un diseño con menos ensayos. Aun cuando los diseños generados por computadora pueden usarse para este fin, por lo general se cuenta con enfoques mejores. Por ejemplo, puede construirse un diseño compuesto pequeño para cuatro factores 468 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA con 20 corridas, incluyendo cuatro puntos centrales, y también se cuenta con un diseño híbrido con apenas 16 corridas. Éstas son en general elecciones superiores al uso de un diseño generado por computadora para reducir el número de ensayos. Gran parte del desarrollo de los diseños generados por computadora se deriva del trabajo de Kiefer [65a, b] y Kiefer y Wo1fowitz [66] en la teoría de los diseños optimales. Por diseño optimal se entiende un diseño que es "mejor" con respecto a algún criterio. Se requieren programas de computadora para construir estos diseños. El enfoque usual es especificar un modelo, determinar la región de interés, seleccionar el número de corridas que deberán hacerse, especificar el criterio de optimalidad y después elegir los puntos del diseño de un conjunto de puntos candidatos que el experimentador consideraría usar. De manera típica, los puntos candidatos son una matriz de puntos distribuidos en la región factible del diseño. Hay varios criterios de optimalidad populares. Quizá el de uso más generalizado es el criterio de optimalidad D. Se dice que un diseño es optimal D si se minimiza. Ocurre que un diseño optimal D minimiza el volumen de la región de confianza conjunta para el vector de los coeficientes de regresión. Una medida de la eficiencia relativa del diseño 1 respecto del diseño 2 de acuerdo con el criterio D está dada por (11-19) donde Xl Y X2 son las matrices X de los dos diseños y p es el número de parámetros del modelo. El criterio de optimalidadA sólo se ocupade las varianzas de los coeficientes de regresión. Un diseño es optimalA si minimiza la suma de los elementos de la dÜj.gonal principal de (X'xtl [a ésta se le llama la traza de (X'xt\ denotada generalmente como tr(X'Xtl]. Por lo tanto, un diseño optimalA minimiza la suma de las varianzas de los coeficientes de regresión. Puesto que muchos experimentos de superficie de respuesta se refieren a la predicción de la respuesta, los criterios de la varianza de predicción son de gran interés práctico. Quizás el más popular de estos criterios sea el criterio de optimalidad G. Se dice que un diseño es optimal G si minimiza la varianza de predicción escalada máxima en la región del diseño. Es decir, si el valor máximo de en la región del diseño es un mínimo, donde N es el número de puntos del diseño. Si el modelo tiene p parámetros, la eficiencia G de un diseño es precisamente p Ge = , NV[5'(x)] max (11-20) ? a- El criterio V considera la varianza de predicción en un conjunto de puntos de interés en la región del diseño, por ejemplo Xl' X2 , ••• , XIII. El conjunto de puntos podría ser el conjunto de candidatos del que se seleccionó el diseño, o podría ser alguna otra colección de puntos que tienen un significado específico para el experimentador. Un diseño que minimiza la varianza de predicción promedio en este conjunto de m puntos es un diseño optimal V. En conjunto, a los criterios de diseño que se han venido estudiando suele llamárseles criterios de optimalidad alfabética. Existen algunas situaciones en las que el diseño optimal alfabético se conoce o bien 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 469 puede construirse analíticamente. Un buen ejemplo es el diseño 2\ que es optimal D, A, G YV para ajustar el modelo de primer orden en k variables o para ajustar el modelo de primer orden con interacción. Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseño optimal no se conoce y debe emplearse un algoritmo basado en computadora para encontrar un diseño. Muchos paquetes de software de estadística que soportan experimentos diseñados cuentan con esta capacidad. La mayoría de los procedimientos para construir diseños se basan en el algoritmo de intercambio. En esencia, el experimentador selecciona una matriz de puntos candidatos y un diseño inicial (quizá al azar) a partir de este conjunto de puntos. Entonces el algoritmo intercambia los puntos que están en la matriz, pero no en el diseño, con los puntos que están actualmente en el diseño, en un esfuerzo por mejorar el criterio de optimalidad seleccionado. Debido a que no se evalúan explícitamente todos los diseños posibles, no hay garantía de que se ha encontrado un diseño optimal, pero el procedimiento de intercambio suele asegurar que se obtiene un diseño que está "cerca" del optimal. Algunas implementaciones repiten varias veces el proceso de construcción del diseño, empezando con diseños iniciales diferentes, para incrementar la posibilidad de que se obtendrá un diseño final que esté muy cerca del optimal. Para ilustrar algunas de estas ideas, considere el experimento del adhesivo expuesto anteriormente y que llevó a la región experimental irregular de la figura 11-26. Suponga que la respuesta de interés es la fuerza de desprendimiento y que quiere ajustarse un modelo de segundo orden para esta respuesta. En la figura 11-27a se muestra un diseño central compuesto con cuatro puntos centrales (12 corridas en total) inscrito dentro de esta región. Se trata de un diseño que no es rotable, pero es el DCC más grande que puede ajustarse dentro del espacio del diseño. Para este diseño I(X'xt11 = 1.852 E-2, Yla traza de (X'xt1 es 6.375. En la figura 11-27a también se muestran los contornos de desviación estándar constante de la respuesta predicha, calculada suponiendo que a = 1. En la figura 11-27b se muestra la gráfica de superficie de respuesta correspondiente. En la figura 11-28a y en la tabla 11-12 se muestra un diseño optimalD de 12 corridas para este problema, generado con el paquete de software Design-Expert. Para este diseño, I(X'xt11 = 2.153 E-4. Observe que el criterio D es considerablemente mejor para este diseño que el DCC inscrito. La eficiencia relativa del DCC inscrito con respecto al diseño optimal D es Es decir, el DCC inscrito tiene una eficiencia de sólo 47.6% que la del diseño optimalD. Esto implica que tendrían que hacerse 1/0.476 = 2.1 réplicas del DCC (o aproximadamente el doble) para tener la misma precisión de la estimación de los coeficientes de regresión que la que se consigue con el diseño optimalD. La traza de (X'xt1 es 2.516 para el diseño optimal D, lo cual indica que la suma de las varianzas de los coeficientes de regresión es considerablemente más pequeña para este diseño que para el DCC. En las figuras 11-28a y b se muestran también los contornos de desviación estándar constante de la respuesta predicha y la gráfica de la superficie de respuesta asociada (suponiendo que a = 1). En general, los contornos de la desviación estándar de la predicción son más bajos para el diseño optimalD que para el DCC inscrito, particularmente cerca de los límites de la región de interés, donde el DCC inscrito no incluye ninguno de los puntos del diseño. En la figura 11-29a se muestra un tercer diseño, creado al tomar las dos réplicas de los vértices de la . región en el diseño optimalD y pasarlas al centro del diseño. Esto podría ser una idea útil, ya que la figura 11-28b muestra que la desviación estándar de la respuesta predicha se incrementa ligeramente cerca del centro de la región del diseño para el diseño optimalD. En la figura 11-29a se muestran también los contornos de desviación estándar constante de la predicción para este diseño optimalD modificado, y en la fi- 470 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 1.00 0.50 >iN 0.00 -0.50 -1.001------1.00 -0.50 (a) 0.50 0.00 %, 1.00 El diseño y los contornos de "'¡V (9(xll/oZ constante -0.50 (1)) -0.50 La gráfica de superficie de respuesta Figura 11·27 Un diseño central compuesto inscrito para la región restringida del diseño de la figura 11-26. 11-4 DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA 2 l-{N 0.00 2 __......=::t:::i.. -1.00 L -1.00 ~~..:::::::~__--.J~- -0.50 (a) 0.00 x, 0.50 1.00 El diseño y los contornos de N [ji(x) 1/0' constante -1.00 -1.00 Ibl La gráfica de superficie de respuesta Figura 11-28 11-26. Un diseño optimaI D para la región restringida del diseño de la figura 471 472 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla U-12 Diseño optimal D para la región restringida de la figura 11-26 Orden estándar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Xl X2 -0.50 1.00 -0.08 -1.00 1.00 0.00 -1.00 0.25 -1.00 1.00 0.00 -0.08 -1.00 0.00 -0.08 1.00 -1.00 1.00 0.25 -1.00 -0.50 0.00 1.00 -0.08 gura 11-29b se muestra la gráfica de la superficie de respuesta. El criterioD para este diseño es I(X'xyll = 3.71 E-4, Y la eficiencia relativa es D = e (I(X;X 2 fll )lIP =(0.0002153)1/6 =0.91 I(X~Xlfll 0.000371 Es decir, este diseño es casi tan eficiente como el diseño optimalD. La traza de (X'xtl es 2.448 para este diseño, un valor ligeramente mayor que el que se obtuvo para el diseño optimalD. Los contornos de desviación estándar constante de la predicción para este diseño dan la impresión visual de ser al menos tan buenos como los del diseño optimal D, particularmente en el centro de la región. Los diseños generados por computadora con base en los criterios de optimalidad alfabética pueden ser ciertamente útiles en situaciones en las que la región experimental no es ni esférica ni cuboidal. Sin embargo, no son sustitutos de los diseños estándares en la mayoría de los problemas. Los diseños optimales alfabéticos se generan apegándose estrictamente a un solo criterio y, como se señaló al principio de la sección 11-4, donde se enlistaron varios criterios para diferentes diseños, incluyen varios que son de carácter un tanto cualitativo o subjetivo. En problemas experimentales reales, por lo general hay muchos criterios que es necesario evaluar para seleccionar un diseño. Para un estudio más amplio de este tema, referirse a Myers y Montgomery [85a, capítulo 8]. 11~5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS En las secciones anteriores se presentaron diseños de superficie de respuesta para aquellas situaciones en las que los niveles de cada factor son independientes de los niveles de otros factores. En los experimentos con mezclas, los factores son los componentes o ingredientes de una mezcla y, por consiguiente, sus niveles no son independientes. Por ejemplo, six l ,x2, ... ,xp denota las proporciones de p componentes de una mezcla, entonces i = 1,2, oo., p y xl .+x 2 +oo·+XP =1 (es decir, 100%) 1'11' 1 11 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS -0.50 L __~~;;::::::::::::=~--JC=~_ -1.00 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 X, la) El diseño y los contornos de ~V [jilxll/a2 constante lb) La gráfica de superficie de respuesta Figura 11.29 Un diseño optimalD modificado para la región restringida del diseño de la figura 11-26. 473 r1 ., 474 CAPÍTULO 11 o MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA X, X, X, + x 2 = 1 a) b) Figura 11-30 Espacio de los factores restringidos para mezclas con a) p = 2 componentes y b)p = 3 componentes. Figura 11-31 Sistema coordenado trilineal. Estas restricciones se ilustran gráficamente en la figura 11-30 para p = 2 YP = 3 componentes. Para dos componentes, el espacio de los factores del diseño incluye todos los valores de los dos componentes que están sobre el segmento de recta Xl + X 2 = 1, con cada componente siendo acotado por Oy 1. Con tres componentes, el espacio de la mezcla es un triángulo con vértices que corresponden a las formulaciones que son mezclas puras (mezclas que son 100% de un solo componente). Cuando hay tres componentes en la mezcla, la región experimental restringida puede representarse convenientemente en papel milimétrico trilineal, como se muestra en la figura 11-31. Cada uno de los tres lados de la gráfica de la figura 11-31 representa una mezcla que no contiene nada de alguno de los tres componentes (el componente indicado en el vértice opuesto). Las nueve líneas de graduación en cada dirección marcan incrementos de 10% en el componente respectivo. Los diseños símplex se usan para estudiar los efectos de los componentes de una mezcla sobre la variable de respuesta. Un diseño símplex reticular {p, m} parap componentes consta de los puntos definidos por los siguientes arreglos de las coordenadas: las proporciones asumidas por cada componente toman los In + 1 valores que están separados por una distancia igual de O a 1, 1 2 Xi = 0,-,-,"',1 i = 1,2, .oo, p (11-21) m m y se usan todas las combinaciones posibles (mezclas) de las proporciones de la ecuación 11-21. Como un ejemplo, sean p = 3 Y m = 2. Entonces i = 1, 2, 3 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS Xl = 1 X, = X, Retfcula [3, 2] X3 = 1 475 1 Xl Retícula [3, 31 = 1 X Retfcula [4, 2] 3 = 1 = 1 Retícula [4, 31 Figura 11-32 Algunos diseños símplex reticulares para p = 3 YP = 4 componentes. y el diseño símplex reticular consta de las seis corridas siguientes: (xl'x 2 , x 3 ) = (1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1), (t, t, O), (t, O, t), (O, t, t) En la figura 11-32 se ilustra este diseño. Los tres vértices (1, O, O), (O, 1, O) Y(O, O, 1) son las mezclas puras, mientras que los puntos (t, t, O), (t, O, t) y (O, t, t) son mezclas binarias o mezclas de dos componentes localizadas en los puntos medios de los tres lados del triángulo. En la figura 11-32 se muestran también los diseños símplex reticulares {3, 3}, {4, 2} Y{4, 3}. En general, el número de puntos en un diseño símplex reticular {P, m} es N = ..:..;:(p,-+_n_l_-_1,--)! m!(p-1)! Una alternativa del diseño símplex reticular es el diseño símplex de centroide. En un diseño símplex de centroide con p componentes, hay 2P -1 puntos, que corresponden a las p permutaciones de (1, O, O, oo., O), las (~) permutaciones de (t, t, O, oo., O), las (f) permutaciones de (t, t, t, O, oo., O), .oo, Yel centroide global (;, ;, .oo, ;). En la figura 11-33 se muestran algunos diseños símplex de centroide. a) Figura 11-33 Diseños símplex de centroide con a) p b) = 3 componentes y b) p = 4 componentes. 476 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Una crítica a los diseños símplex descritos antes es que la mayoría de las corridas ocurren en la frontera de la región y, por consiguiente, incluyen sólo p -1 de los p componentes. Suele ser deseable aumentar el diseño símplex reticular o de centroide con puntos adicionales en el interior de la región donde las mezclas estarán formadas por la totalidad de los p componentes. Para un estudio más amplio, ver Comell [33] y Myers y Montgomery [85a]. Los modelos para mezclas difieren de los polinomios usuales empleados en los diseños de superficie de respuesta debido a la restricción Lx¡ = 1. Las formas estándares de los modelos para mezclas que se usan ampliamente son Lineal: p E(y) = L f3¡x¡ (11-22) ¡=1 Cuadrático: E(y) = p p ;=1 i<j L f3¡x¡ + LL f3ijx¡X j (11-23) Cúbico completo: p E(y) = L p f3¡x¡ + ;=1 LL f3ijx¡X j i<j (11-24) i<j Cúbico especial: p E(y) = L ;=1 p f3¡x¡ + LL f3ijx¡X i<j j (11-25) Los términos de estos modelos tienen interpretaciones relativamente simples. En las ecuaciones 11-22 a 11-25, el parámetro f3¡ representa la respuesta esperada para la mezcla purax¡ = 1 Yxj = Ocuando j ;:é i. A la porción L;=lf3¡X¡ se le llama porción de mezcla lineal. Cuando hay curvatura derivada de una mezcla no lineal entre pares de componentes, los parámetros f3ij representan una mezcla sinérgica o bien antagónica. Los términos de órdenes superiores suelen ser necesarios en los modelos para mezclas porque 1) los fenómenos estudiados pueden ser complejos y 2) la región experimental con frecuencia es la región de operabilidad completa y, en consecuencia, es grande y requiere un modelo elaborado. EJEMPLO 11..3 . Una mezcla de tres componentes Comell [33] describe el experimento con una mezcla en el que se combinaron tres componentes -polietileno (Xl), poliestireno (x z) y polipropileno (x3)- para hilar una fibra que se usará en cortinas. La variable de respuesta de interés es la elongación del hilo en kilogramos de fuerza aplicada. Se usa un diseño símplex 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS Tabla 11-13 El diseño símplex reticular {3, 2} para el problema de la elongación del hilo Proporciones de los componentes Valores observados Punto del diseño 1 2 3 4 5 6 X2 Xl 1 O l l "2 "2 O O O 1 l "2 O O l "2 X3 O O O l "2 1 l "2 477 de la elongación Valor promedio_ de la elongación (y) 11.0,12.4 15.0, 14.8, 16.1 8.8,10.0 10.0,9.7, 11.8 16.8,16.0 17.7,16.4,16.6 11.7 15.3 9.4 10.5 16.4 16.9 reticular para estudiar el producto. El diseño y las respuestas observadas se muestran en la tabla 11-13. Observe que todos los puntos del diseño incluyen mezclas puras o binarias; es decir, únicamente se usan a lo sumo dos de los tres componentes en cualquier formulación del producto. También se corren réplicas de las observaciones, con dos réplicas de cada una de las mezclas puras y tres réplicas de cada una de las mezclas binarias. La desviación estándar del error puede estimarse a partir de estas réplicas de las observaciones como fj = 0.85. Comel1 ajusta el polinomio de segundo grado de la mezcla a los datos, obteniendo y= 11.7xI + 9.4x 2 + 16.4x3 + 19.0XI X2 + 11.4xl x 3 - 9.6x 2 x 3 Puede demostrárse que este modelo es una representación adecuada de la respuesta. Observe que como {J3 > {JI > {J2' se concluiría que el componente 3 (polipropileno) produce el hilo con la elongación máxima. Además, puesto que {J12 y {J13 son positivos, la mezcla de los componentes 1 y 2 o de los componentes 1 y 3 produce valores más altos de la elongación de los que se esperarían si nos limitáramos a promediar las elongaciones de las mezclas puras. Se trata de un ejemplo de los efectos de mezclado "sinérgicos". Los componentes 2 y 3 tienen efectos de mezclado antagónicos, ya que {J23 es negativa. En la figura 11-34 se grafican los contornos de la elongación, lo cual puede ser de utilidad para interpretar los resultados. Al examinar la figura, se observa que si se desea la elongación máxima, deberá elegirse la mezcla de los componentes 1 y 3, la cual está formada por aproximadamente 80% del componente 3 y 20% del componente 1. x, Figura 11·34 Contornos de la elongación estimada del hilo constante en el modelo de segundo orden para la mezcla del ejemplo 11-3. 478 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Se señaló ya que los diseños símplex reticular y símplex de centroide son diseños de puntos fronte. ra. Si el experimentador quiere hacer predicciones acerca de las propiedades de mezclas completas, sería muy deseable contar con más corridas en el interior del símplex. Se recomienda aumentar los diseños símplex ordinarios con corridas axiales y el centroide global (si el centroide no es ya un punto del diseño). El eje del componente i es la recta o rayo que se extiende del punto basex¡ = O,xj = 1/(p -1), para toda j ;é i, al vértice opuesto dondex¡ = 1,xj = Opara todaj ;é i. El punto base siempre se localizará en el centroide de la frontera de (p - 2) dimensiones del diseño símplex que está opuesto al vértice Xi = 1, xj = O para todaj ;é i. [Ala frontera se le llama en ocasiones el (p - 2)-llano.] La longitud del eje del componente es una unidad. Los puntos axiales se sitúan sobre los ejes de los componentes a una distancia !1 del centroide. El valor máximo de!1 es (p -1)/p. Se recomienda que las corridas axiales se coloquen a la mitad entre el centroide del diseño símplexy cada vértice para que!1 = (p -1)/2p. En ocasiones a estos puntos se les llama mezclas de verificación axial, porque es una práctica común excluirlas cuando se ajusta el modelo preliminar de la mezcla y usar después las respuestas en estos puntos axiales para verificar la adecuación del ajuste del modelo preliminar. En la figura 11-35 se muestra el diseño símplex reticular {3, 2} aumentado con los puntos axiales. Este diseño tiene 10 puntos, con cuatro de ellos en el interior del diseño símplex. La retícula símplex {3, 3} soportará el ajuste del modelo cúbico completo, mientras que la retícula símplex aumentada no lo hará; sin embargo, la retícula símplex aumentada permitirá al experimentador ajustar el modelo cúbico especial o agregar al modelo cuadrático términos especiales de cuarto orden, como ¡31233XIX2X~, La retícula símplex aumentada es superior para estudiar la respuesta de mezclas completas en el sentido de que puede detectar y modelar la curvatura en el interior del triángulo que no puede tomarse en consideración por los términos del modelo cúbico completo. La retícula símplex aumentada tiene más potencia para detectar la falta de ajuste que la retícula {3, 3}. Esto es de particular utilidad cuando el experimentador no está seguro acerca del modelo apropiado que debe usar y también planea construir un modelo secuencialmente empezando con un polinomio simple (quizá de primer orden), probar el modelo para la Figura 11-35 Un diseño símplex reticular aumentado. 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS 479 falta de ajuste, después aumentar el modelo con términos de órdenes superiores, probar el nuevo modelo para la falta de ajuste y así sucesivameme. En algunos problemas de mezclas surgen restricciones sobre los componentes individuales. Las restricciones sobre la frontera inferior de la forma i = 1, 2, ..., P son muy comunes. Cuando sólo están presentes restricciones sobre la frontera inferior, la región factible del diseño sigue siendo un diseño símplex, pero se inscribe dentro de la región del símplex original. Esta situación puede simplificarse mediante la introducción de pseudocomponentes, definidos como x> (1:'~\1 (11-26) x'l +x'2 +···+x'P = 1 por lo que el uso de pseudocomponentes permite utilizar diseños tipo símplex cuando las fronteras inferiores forman parte de la situación experimental. Las formulaciones especificadas por el diseño símplex para los pseudocomponentes se transforman en formulaciones para los componentes originales invirtiendo la transformación de la ecuación 11-26. Es decir, six~es el valor asignado al pseudocomponente i-ésimo en una de las corridas del experimento, el componente i-ésimo de la mezcla original es x, ~ 1, +(1- ~ 1¡ )x; (11-27) Cuando los componentes tienen restricciones tanto sobre la frontera superior como la inferior, la región factible deja de ser un diseño símplex; será, en cambio, un politopo irregular. Puesto que la región experimental no tiene una forma "estándar", los diseños generados por computadora son muyútiles para este tipo de problemas de mezclas. EJEMPLO 11..4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulación de una pintura Un experimentador está intentando optimizar la formulación de una pintura automotriz de recubrimiento total. Se trata de productos complejos que tienen requerimientos de desempeño muy específicos. El cliente quiere, en particular, que la dureza Knoop exceda de 25 y que el porcentaje de sólidos esté abajo de 30. El recubrimiento total es una mezcla de tres componentes, que consiste en un monómero (Xl), un entrelazador (x 2 ) y una resina (x3 ). Existen restricciones sobre las proporciones de los componentes: Xl +x 2 +x 3 = 100 5.:::; Xl .:::; 25 25':::;x 2 .:::; 40 50,:::;x 3 .:::; 70 El resultado es la región de experimentación restringida ilustrada en la figura 11-36. Puesto que la región de interés no es símplex, se usará un diseño optimal D para este problema. Suponiendo que posiblemente ambas respuestas serán modeladas con un modelo cuadrático de una mezcla, el diseño optimalD ilustra- 480 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Monómero 25.00 45 5.00 Entrelazador Resina La región experimental restringida para el problema de la formulación de la pintura del ejemplo 11-4 (mostrada en la escala real del componente). Figura 11-36 Tabla 11-14 Diseño optimal D para el problema de la formulación de la pintura del ejemplo 11-4 Orden Monómero Entrelazador Resina Dureza Sólidos estándar Corrida X2 X3 X¡ Y¡ Y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 4 13 7 3 6 11 10 14 12 9 5 8 17.50 10.00 15.00 25.00 5.00 5.00 11.25 5.00 18.13 8.13 25.00 15.00 10.00 5.00 32.50 40.00 25.00 25.00 25.00 32.50 32.50 40.00 28.75 28.75 25.00 25.00 40.00 25.00 50.00 50.00 60.00 50.00 70.00 62.50 56.25 55.00 53.33 63.13 50.00 60.00 50.00 70.00 29 26 17 28 35 31 21 20 29 25 19 14 30 23 9.539 27.33 29.21 30.46 74.98 31.5 15.59 19.2 23.44 32.49 23.01 41.46 32.98 70.95 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS 481 Tabla 11-15 Ajuste del modelo para la respuesta dureza Response: hardness ANOVA for Mixture Quadratic Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Mean Sumof Squares DF Square Source 279.73 5 55.95 Model 29.13 2 14.56 Linear Mixture AB AC BC Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Std. Dev. Mean C.V. PRESS Component A-Monomer B-Crosslinker C-Resin AS AC SC 72.61 179.67 8.26 188.63 63.63 72.61 179.67 8.26 23.58 15.91 31.25 1 1 1 8 125.00 4 4 468.36 13 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision 4.86 24.79 19.59 638.60 Coefficient Estimate DF Standard Error 23.81 16.40 29.45 44.42 -44.01 13.80 1 1 1 1 1 1 3.36 7.68 '3.36 25.31 15.94 23.32 F Value Prob> F 2.37 0.1329 0.62 3.08 0.35 0.5630 0.1174 0.0247 0.5703 0.51 0.7354 7.62 0.5973 0.3455 -0.3635 4.975 95%CI Low 16.07 -1.32 21.71 -13.95 -80.78 -39.97 95%CI High 31.55 34.12 37.19 102.80 -7.25 67.57 Final Equation in Terms of Pseudo Components: hardness = +23.81 +16.40 +29.45 +44.42 -44.01 +13.80 *A *B *C *A*S *A*C *S*C do en la figura 11-36 puede generarse utilizando Design-Expelt. Se supuso que, además de las seis corridas requeridas para ajustar el modelo cuadrático de una mezcla, se harían cuatro corridas diferentes adicionales para verificar la falta de ajuste y que se harían réplicas de cuatro de estas corridas a fin de proporcionar una estimación del error puro. Design-Expen utilizó los vértices, los centros en los bordes, el centroide global y las corridas de verificación (los puntos localizados a la mitad entre el centroide y los vértices) como los puntos candidatos. El diseño con 14 corridas se muestra en la tabla 11-14 junto con las respuestas dureza y sólidos. Los resultados del ajuste de modelos cuadráticos para ambas respuestas se resumen en las tablas 11-15 y 11-16. Observe que los modelos cuadráticos se ajustan muy bien tanto a la respuesta dureza como a la respuesta sólidos. En estas tablas se muestran las ecuaciones ajustadas para ambas respuestas (en términos de los pseudocomponentes). En las figuras 11-37 y 11-38 se muestran las gráficas de contorno de las respuestas. La figura 11-39 es una gráfica de superposición de las dos superficies de respuesta, donde se muestra el contorno de la dureza Knoop de 25% y el contorno de 30% para los sólidos. La región factible para este producto es el área sin sombrear cerca del centro de la gráfica. Evidentemente, existen varias elecciones r' Tabla 11-16 Ajuste del modelo para la respuesta sólidos Response: solids ANOVA for Mixture Quadratic Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean Source Squares DF Square Model 4297.94 5 859.59 Linear Mixture 2931.09 2 1465.66 AB 211.20 1 211.20 AC BC Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Std. Dev. Mean C.V. PRESS Component A-Monomer B-Crosslinker C-Resin AB AC BC 285.67 1036.72 266.79 139.92 126.86 4564.73 1 1 8 4 4 13 285.67 1036.72 31.09 <0.0001 0.0360 0.0191 0.0005 33.35 34.98 31.72 1.10 0.4633 Coefficient Estimate DF Standard Error 26.53 46.60 73.23 -75.76 -55.50 -154.61 1 1 1 1 1 1 3.99 9.14 3.99 30.11 18.96 27.73 Final Equation in Terms of Pseudo Components: solids = +26.53 +46.60 +73.23 -75.76 -55.50 -154.61 *A *B *C *A* B *A*C * B* C Monómero 25.00 2 2 45.00 Entrelazador 5.00 Prob> F 25.78 43.95 6.33 8.57 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared Adeq Precision 5.77 33.01 17.49 991.86 F Value 70.00 Resina Figura 11-37 Gráfica de contorno de la respuesta dureza Knoop, ejemplo 11-4. <0.0001 0.9416 0.9050 0.7827 15.075 95%CI Low 95%CI High 17.32 25.53 64.02 -145.19 -99.22 -218.56 35.74 67.68 82.43 -6.34 -11.77 -90.67 11-5 EXPERIMENTOS CON MEZCLAS Monómero 25.00 2 '+45.00 L+o_~....L.. 5.00 __2 70.00 Resina Entrelazador Figura 11-38 Gráfica de contorno de la respuesta sólidos, ejemplo 11-4. Monómero 25.00 2 45.00 Entrelazador 5.00 70.00 Resina Figura 11-39 Gráfica de contorno de las respuestas dureza Knoop y porcentaje de sólidos, donde se indica la región factible para la formulación de la pintura. 483 484 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA para las proporciones del monómero, el entrelazador y la resina para el recubrimiento total que redunda_ rá en un producto que satisfaga los requerimientos de desempeño. ... ........ ..... ....... . ........................ ....... .................. 11.6 OPERACIÓN EVOLUTIVA Personal de investigación y desarrollo aplica con frecuencia la metodología de superficies de respuesta en operaciones de plantas piloto. Cuando se apli~a a un proceso de producción a gran escala, suele hacerse una sola vez (o con poca frecuencia), ya que el procedimiento experimental es relativamente minucioso. Sin embargo, las condiciones que fueron óptimas para la planta piloto quizá no lo sean para el proceso a gran escala. La planta piloto puede producir 2 libras de producto por día, mientras que el proceso a gran escala puede generar 2000 libras diarias. Esta "escalación" de la planta piloto al proceso de producción a gran escala da por lo general como resultado la distorsión de las condiciones óptimas. Incluso si la planta a gran escala empieza a operar en el óptimo, con el tiempo se "desvía" de ese punto debido a las variaciones en las materias primas, los cambios ambientales y el personal de operación. Se requiere un método para el monitoreo y el mejoramiento continuo de un proceso a gran escala cuyo objetivo sea mover las condiciones de operación hacia el óptimo o después de una "desviación". El método no deberá requerir cambios grandes o repentinos de las condiciones de operación que pudieran interrumpir la producción. La operación evolutiva (EVOP, por sus siglas en inglés) fue propuesta por Box [12c] como un procedimiento de operación con estas características. Está diseñado como un método de operación rutinaria en la planta que lleva a cabo el personal de manufactura con un mínimo de asistencia del equipo de investigación y desarrollo. La EVOP consiste en introducir de manera sistemática pequeños cambios en los niveles de las variables de operación bajo consideración. Generalmente se emplea un diseño 2k para hacer esto. Se supone que los cambios de las variables son lo suficientemente pequeños para que no ocurran perturbaciones serias en el rendimiento, la calidad o la cantidad, pero lo suficientemente grandes para descubrir en última instancia mejoras potenciales en el desempeño del proceso. Se colectan datos de las variables de respuesta de interés en cada punto del diseño 2k • Cuando se ha hecho una observación en cada punto del diseño, se dice que se ha completado un ciclo. Entonces pueden calcularse los efectos y las interacciones de las variables del proceso. Finalmente, después de varios ciclos, el efecto de una o más variables del proceso o sus interacciones sobre la respuesta puede parecer significativo. En este punto se debe tomar una decisión para modificar las condiciones de operación básicas a fin de mejorar la respuesta. Cuando se han detectado las condiciones mejoradas, se dice que se ha terminado una fase. Para probar la significación de las variables e interacciones del proceso, se necesita una estimación del error experimental. Ésta se calcula a partir de los datos del ciclo. Además, el diseño 2k se centra por lo general en torno a las mejores condiciones de operación actuales. Mediante la comparación de la respuesta en este punto con los 2k puntos de la porción factorial, es posible verificar la curvatura o cambio en la media (CIM, por sus siglas en inglés); es decir, si el proceso en realidad se centra en el máximo, por ejemplo, entonces la respuesta en el centro deberá ser significativamente mayor que las respuestas en los puntos periféricos del diseño 2k • En teoría, la EVOP puede aplicarse akvariables del proceso. En la práctica es común considerar sólo dos o tres variables. Se presentará un ejemplo del procedimiento para dos variables. Box y Draper [16a] ofrecen un estudio detallado del caso de tres variables, incluyendo las formas y hojas de trabajo necesarias. Myers y Montgomery [85a] revisan la implementación en computadora de la EVOP. 11-6 OPERACIÓN EVOLUTIVA 84.9 84.3 150 485 (5) (3) (1) • ].. 145 84.5 N H (2) 140 (4) 84.5 84.2 245 250 x, (OF) Figura 11·40 Un diseño 22 para la EVOP. EJEMPLO . 11~5 Considere un proceso químico cuyo rendimiento es una función de la temperatura (Xl) y la presión (x2 ). Las condiciones de operación actuales sonx I = 250°F YX 2 = 145 psi. El procedimiento EVOP utiliza el diseño 22 más el punto central mostrado en la figura 11-40. El ciclo se completa corriendo cada punto del diseño en orden numérico (1,2,3,4,5). Los rendimientos del primer ciclo se muestran también en la figura 11-40. Los rendimientos del primer ciclo se anotan en la hoja de cálculo EVOP, la cual se muestra en la tabla 11-17. Al término del primer ciclo no puede hacerse ninguna estimación de la desviación estándar. Tabla 11.17 Hoja de cálculo EVOP para el ejemplo 11-5, n = 1 5 í]l3 2 W 4 Condiciones de operación (1) Ciclo: n = 1 Respuesta: Rendimiento Fase: 1 Fecha: 1/11/00 Cálculo de los promedios Cálculo de la desviación estándar (2) (3) (4) (5) (i) Suma del ciclo anterior (ii) Promedio del ciclo anterior Suma anterior S = Promedio anterior S= (iü) Nuevas observaciones 84.5 84.2 84.9 84.5 84.3 Nueva S = rango x /5",= (iv) Diferencias [(ii) - (iü)] (v) Nuevas sumas [(i) + (iii)] (vi) Nuevos promedios lYi = (v)/n] 84.5 84.5 84.2 84.2 84.9 84.9 Cálculo de los efectos Efecto de la temperatura = t(5'3+ 5'4 - 5'2 - 5'5) = 0.45 84.5 84.5 84.3 84.3 Rango de (iv)= Nueva suma S = Nuevo promedio S = Nueva sumaS n-l Cálculo de los límites de error . 2 Para el nuevo promedIo = Jii S = 2 Efecto de la presión = !(5'3 + 5'5 - 5'2 - 5'4) = 0.25 Efecto de la interacción T x P = !(5'2 + 5'3 - 5'4 - 5'5) = 0.15 Para los nuevos efectos Efecto del cambio en la media =t(5'2 + 5'3 + 5'4 + 5'5 -45'1) = 0.02 · en 1a me d'13 1.78 Para e1camb10 Jii S = Jii S = 486 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 11-18 Hoja de cálculo EVOP para el ejemplo 11-5, n 5 rjl3 2 W 4 Fase: 1 Fecha: 1/11/00 Cálculo de los promedios Cálculo de la desviación estándar (1) (2) (i) Suma del ciclo anterior (ii) Promedio del ciclo anterior (iii) Nuevas observaciones 84.5 84.5 84.9 84.2 84.2 84.6 -0.4 169.4 84.70 2 Ciclo: n = 2 Respuesta: Rendimiento Condiciones de operación (iv) Diferencias [(ii) - (iii)] (v) Nuevas sumas [(i) + (iii)] (vi) Nuevos promedios lYi = (v)/n] = -0.4 168.8 84.40 (3) 84.9 84.9 85.9 -1.0 170.8 85.40 (4) 84.5 84.5 83.5 +1.0 168.0 84.00 (5) 84.3 84.3 84.0 0.3 168.3 84.15 Suma anterior S = Promedio anterior S = Nueva S = rango x fs,n = 0.60 Rango de (iv) = 2.0 Nueva suma S = 0.60 Nuevo promedio S = Nueva suma S . -----=0.60 n-1 Cálculo de los efectos Efecto de la temperatura = t (y3 + Y4 - Y2 - Ys) = 0.43 Efecto de la presión = hY3 + Ys -Y2 -Y4) = 0.58 Efecto de la interacción T x P = t(Y2 + Y3 - Y4 - Ys) = 0.83 Efecto del cambio en la media = -0.17 t(Y2 + Y3 + Y4 + Ys - 4Yl) = Cálculo de los límites de error . 2 Para el nuevo promedlO = ..¡n S = 0.85 2 Para los nuevos efectos e S = 0.85 ..,¡n . en 1a me d'la..¡n 1.78 S = 0.76 Para el camblO Los efectos y la interacción de la temperatura y la presión se calculan de la manera usual para un diseño 22 • Después se corre un segundo ciclo y los datos del rendimiento se registran en otra hoja de cálculo EVOp, la cual se muestra en la tabla 11-18. Al final del segundo ciclo, el error experimental puede estimarse y las estimaciones de los efectos pueden compararse con límites aproximados de 95% (dos desviaciones estándar). Observe que el rango se refiere al rango de las diferencias del renglón (iv); por lo tanto, el rango es + 1.0 - (-1.0) = 2.0. Puesto que ninguno de los efectos de la tabla 11-18 excede sus límites de error, probablemente el verdadero efecto sea cero, y no se contemplan modificaciones en las condiciones de operación. En la tabla 11-19 se muestran los resultados de un tercer ciclo. Ahora, el efecto de la presión excede su límite de error y el efecto de la temperatura es igual al límite de error. Probablemente ahora se justifique un cambio en las condiciones de operación. A la luz de los resultados, parece razonable empezar una nueva fase EVOP alrededor del punto (3). Por lo tanto, Xl = 225°F Y X 2 = 150 psi serían el centro del diseño 22 en la segunda fase. Un aspecto importante de la EVOP es la retroalimentacióp. de información generada por el proceso para operadores y supervisores. Esto se consigue mediante un tablero con información EVOP a la vista de todos. En la tabla 11-20 se muestra el tablero de información para este ejemplo al final del ciclo 3. " 11-6 OPERACIÓN EVOLUTIVA 487 Tabla 11-19 Hoja de cálculo EVOP para el ejemplo 11-5, n = 3 5 i]13 2 W 4 Condiciones de operación (i) Suma del ciclo anterior (ii) Promedio del ciclo anterior (iii) Nuevas observaciones (iv) Diferencias [(ii) - (iii)] (v) Nuevas sumas [(i) + (iii)] (vi) Nuevos promedios ¡Ji = (V)/I1] Ciclo: 11 = 3 Respuesta: Rendimiento Fase: 1 Fecha: 1/11/00 Cálculo de los promedios Cálculo de la desviación estándar (1) (2) (3) (4) (5) 169.4 84.70 168.8 84.40 170.8 85.40 168.0 84.00 168.3 84.15 85.0 84.0 86.6 84.9 85.2 -0.30 254.4 84.80 +0.40 252.8 84.27 -1.20 257.4 85.80 -0.90 252.9 84.30 -1.05 253.5 84.50 Cálculo de los efectos Efecto de la temperatura = Suma anterior S = 0.60 Promedio anterior S = 0.60 Nueva S = rango x f5,n = 0.56 Rango de (iv) = 1.60 Nueva suma S = 1.16 Nuevo promedio S = Nueva sumaS = 0.58 11- 1 Cálculo de los límites de error t(Y3 + Y4 - Y2 - Y5) = 0.67 Para el nuevo promedio = Efecto de la presión = teY3 + Y5 - Y2 - Y4) = 0.87 Efecto de la interacción T x P = t(Y2 + Y3 - Y4 - Y5) = 0.64 Efecto del cambio en la media =!(Y2+ Y3+ Y4 + Y5 -0.07 Para los nuevos efectos -4Yl) = Rendimiento porcentual 85.80 84.50 • • c::: ~ 145 • ~ 84.80 "- 140 • • 84.30 84.27 255 Temperatura Límites de error para los promedios: ±0.67 Efectos con limites de error de 95%: Desviación estándar 2 ..;n S = 0.67 ... 11 Requerimiento: Maximizar 150 S = 0.67 · en 1a me d'la 1.78 P ara e1camb la e S =0.60 Tabla 11-20 Tablero de información EVOp, ciclo 3 Respuesta: in Thmperatura Presión 0.67 0.87 TxP 0.64 Cambio en la media 0.58 0.07 ±0.67 ±0.67 ±0.67 ±0.60 !1I 488 CAPÍTULO 11 Tabla 11-21 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Valores de A, n n= k=5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.30 0.35 0.37 0.38 0.39 0.40 0.40 0.40 0.41 9 0.24 0.27 0.29 0.30 0.31 0.31 0.31 0.32 0.32 10 0.23 0.26 0.28 0.29 0.30 0.30 0.30 0.31 0.31 La mayoría de las cantidades de la hoja de cálculo EVOP se obtienen directamente del análisis del diseño factorial2k.Por ejemplo, la varianza de cualquier efecto, como tcY3 + )lS-)l2 -)14)' es simplemente donde es la varianza de las observaciones (y). Por lo tanto, los límites de error de dos desviaciones estándar (que corresponden a 95 %) para cualquier efecto serían ± 2a1"¡¡:¡'. La varianza del cambio en la media es crin, cr V(CIM) = V[~(Y2 + Y3 + Y4 + Ys - 4Y1)] = ~(5a1.+16a1.)= (20)~ 25 y y 25n Por lo tanto, los límites de error de dos desviaciones estándar para el CIM son ± (2V20/25)al"¡¡:¡' = ±1.78al"¡¡:¡'. La desviación estándar a se estima por el método del rango. Sea que y¡(n) denote la observación en el punto del diseño i-ésimo en el ciclo n, Yquey¡(n) denote el promedio correspondiente dey¡(n) después de n ciclos. Las cantidades del renglón (iv) de la hoja de cálculo EVOP son las diferenciasy;(n) -)l;(n-l). La varianza de estas diferencias es V[y¡(n)-y¡(n-l)]=a~ =a 2[1+-I_J=a (n-l) 2 ( nI) n- El rango de las diferencias, por ejemplo Rn , se relaciona con la estimación de la desviación estándar de las diferencias por an = RJd2 • El factor d 2 depende del número de observaciones utilizadas para calcular R n · Entonces R nld2 = tNnl(n - 1), por lo que puede usarse /n-l) R n _ a= -n-d;=(fk,n)Rn = S A para estimar la desviación estándar de las observaciones, donde k denota el número de puntos que se utilizaron en el diseño. Para un diseño 22 con un punto central se tiene k = 5, y para un diseño 23 con un punto central se tiene k = 9. Los valores de k n se dan en la tabla 11-21. 11~7 11~7.1 DISEÑO ROBUSTO Antecedentes A lo largo de este libro se ha hecho hincapié en la importancia del uso de experimentos diseñados estadísticamente en el proyecto, desarrollo y mejoramiento de productos y procesos. A partir de la década de 1980, los ingenieros y científicos han adquirido la conciencia creciente de los beneficios del uso de experi- 11-7 DISEÑO ROBUSTO 489 mentas diseñados y, en consecuencia, ha habido muchas áreas de aplicaciones nuevas. Una de las más importantes de éstas es el diseño robusto, donde la atención se centra en uno o más de los siguientes puntos: 1. El diseño de sistemas (productos o procesos) que no sean sensibles a factores ambientales que puedan afectar el desempeño una vez que el sistema se ha desplegado en el campo. Un ejemplo es la formulación de una pintura para exteriores que debe tener gran duración cuando se exponga a una variedad de condiciones climáticas. Puesto que las condiciones climáticas no son del todo predecibles, y ciertamente no son constantes, el responsable de la formulación del producto quiere que éste sea robusto contra un amplio rango de factores de temperatura, humedad y precipitación pluvial que afectan el desgaste y acabado de la pintura. 2. El diseño de productos para que no sean sensibles a la variabilidad transmitida por los componentes del sistema. Un ejemplo es el diseño de un amplificador electrónico para que el voltaje de salida esté tan cerca como sea posible del valor nominal deseado, independientemente de la variabilidad de los parámetros eléctricos de los resistores, transistores y fuentes de poder que son los componentes del aparato. 3. El diseño de procesos para que el producto manufacturado esté tan cerca como sea posible de las especificaciones nominales, aun cuando sea imposible controlar con toda precisión algunas variables del proceso (como la temperatura) o las características de las materias primas. 4. Determinar las condiciones de operación de un proceso para que las características críticas del producto estén tan cerca como sea posible del valor objetivo deseado y la variabilidad en torno a este objetivo se minimice. Ejemplos de este tipo de problema ocurren con frecuencia. Uno de ellos sucede en la manufactura de semiconductores, donde sería deseable que el espesor del óxido de una oblea estuviera lo más cerca posible del espesor objetivo promedio, así como que la va~ riabilidad del espesor a lo largo de la oblea (una medida de uniformidad) fuese lo más pequeña posible. A principios de la década de 1980, el ingeniero japonés Genichi Taguchi introdujo un enfoque para resolver problemas de este tipo, a los que se hace referencia de manera conjunta como el problema del diseño paramétrico robusto (RPD, por sus siglas en inglés) (ver Taguchi y Wu [109] y Taguchi [108a, bD. SU enfoque se basó en la clasificación de las variables de un proceso o producto como variables de control (o controlables) y variables de ruido (o no controlables) para después encontrar los ajustes de las variables controlables que minimizan la variabilidad transmitida a la respuesta por las variables no controlables. Se establece el supuesto de que aun cuando los factores de ruido no son controlables en el sistema a gran escala, pueden controlarse para los fines de un experimento. Referirse a la figura 1-1 para una ilustración gráfica de las variables controlables y no controlables en el contexto general de un experimento diseñado. Taguchi introdujo algunos métodos estadísticos novedosos y ciertas variantes de las técnicas establecidas como parte de este procedimiento RPD. Hizo uso de diseños factoriales altamente fraccionados y otros tipos de diseños fraccionados obtenidos a partir de arreglos ortogonales. Su metodología generó múltiples debates y controversias. Parte de la polémica surgió porque la metodología de Taguchi fue defendida en Occidente inicialmente (y principalmente) por empresarios, y la ciencia estadística subyacente no había sido revisada adecuadamente por los especialistas. Para finales de la década de 1980, los resultados de una revisión muy completa indicaron que aun cuando los conceptos de ingeniería de Taguchi y el objetivo global del RPD tenían bases sólidas, había problemas de fondo con esta estrategia experimental y con los métodos para el análisis de datos. Para detalles específicos de estos temas, ver Box [12d], Box, Bisgaard y Fung [14], Hunter [59a, b], Montgomery [80b], Myers y Montgomery ~85a] y Pignatiello y Ramberg [94]. Muchas de estas preocupaciones se encuentran resumidas también en el amplio panel de .¡:.. \O o Tabla 11-22 Diseño paramétrico con arreglos tanto interior como exterior b) Arreglo exterior E F G Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a) Arreglo interior B e 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 15.6 15.0 16.3 18.3 19.7 16.2 16.4 14.2 16.1 9.5 16.2 16.7 17.4 18.6 16.3 19.1 15.6 19.9 16.9 19.4 19.1 18.9 19.4 20.0 18.4 15.1 19.3 19.9 19.2 15.6 18.6 25.1 19.8 23.6 16.8 17.3 19.6 19.7 22.6 21.0 25.6 14.7 16.8 17.8 23.1 19.6 19.8 18.2 18.9 21.4 19.6 18.6 19.6 22.7 20.0 24.2 23.3 23.2 27.5 22.5 24.3 23.2 22.6 19.1 21.9 20.4 24.7 25.3 24.7 21.6 24.2 28.6 D 1 2 3 3 1 2 2 3 1 11-7 DISEÑO ROBUSTO 491 discusión publicado en Technometrics (ver Nair, et al. [86]). En el material suplementario del texto de este capítulo también se comentan e ilustran muchos de los problemas implícitos en los métodos técnicos de Taguchi. La metodología de Taguchi para el problema RPD gira en torno al uso de un diseño ortogonal para los factores controlables, el cual se "cruza" con un diseño ortogonal separado para los factores de ruido. En la tabla 11-22 se presenta un ejemplo de Byrne y Taguchi [23] que trata del desarrollo de un método para ensamblar un conector elastométrico en un tubo de nylon que produciría la fuerza de separación requerida. Hay cuatro factores controlables, cada uno con tres niveles (A = interferencia, B = espesor de la pared del conector, e = profundidad de inserción y D = porcentaje de adhesivo), y tres factores de ruido o no controlables (E = tiempo de acondicionamiento,F = temperatura de acondicionamiento y G = humedad relativa del acondicionamiento). El panel a de la tabla 11-22 contiene el diseño para los factores controlables. Observe que se trata de un diseño factorial fraccionado de tres niveles; específicamente, es un diseño 34-2. Taguchi lo llama el diseño de arreglo interior. El panel b de la tabla 11-22 contiene un diseño 23 para los factores de ruido, al que Taguchi llama el diseño de arreglo exterior. Entonces se realiza cada corrida del arreglo interior para todas las combinaciones de tratamientos del arreglo exterior, produciéndose las 72 observaciones de la fuerza de separación que se muestran en la tabla. A este tipo de diseño se le llama diseño de arreglo cruzado. Taguchi sugirió que los datos de un experimento de arreglo cruzado se resumieran con dos estadísticos: el promedio de cada observación en el arreglo interior para todas las corridas del arreglo exterior y un resumen de estadísticas que intentaba combinar información acerca de la media y la varianza, llamado relación señal a ruido. Las relaciones señal a ruido se definen a propósito para que un valor máximo de la relación minimice la variabilidad transmitida por las variables de ruido. Entonces se lleva a cabo un análisis para determinar cuáles son los ajustes de los factores controlables que dan como resultado 1) una media tan próxima como sea posible al objetivo deseado y 2) un valor máximo de la relación señal a ruido. El examen de la tabla 11-22 revela un problema importante con la estrategia de diseño de Taguchi; a saber, el enfoque del arreglo cruzado llevará a un experimento muy grande. En el ejemplo tratado aquí sólo hay siete factores, pero el diseño tiene 72 corridas. Además, el diseño de arreglo interno es un diseño 34-2 de resolución III (ver el capítulo 9 para un estudio de este diseño), por lo que a pesar del gran número de corridas, no es posible obtener ninguna información acerca de las interacciones entre las variables controlables. De hecho, incluso la información acerca de los efectos principales está potencialmente corrompida, ya que los efectos principales tienen estrechas relaciones de alias con las interacciones de dos factores. Ocurre también que las relaciones señal a ruido de Taguchi son problemáticas; al maximizarse la relación no se minimiza necesariamente la variabilidad. Referirse al material complementario del texto para mayores detalles. Un punto importante acerca del diseño de arreglo cruzado es que sí proporciona información acerca de las interacciones factor controlable x factor de ruido. Estas interacciones son cruciales para la solución de un problema RPD. Por ejemplo, considere las gráficas de las interacciones de dos factores de la figura 11-41, donde x es el factor controlable y z el factor de ruido. En la figura 11-41a no hay ninguna interacción x x z; por lo tanto, no hay ningún valor de la variable controlable x que afecte la variabilidad transmitida a la respuesta por la variabilidad enz. Sin embargo, en la figura 11-41b hay una fuerte interacciónx x z. Observe que cuando x se pone en el nivel bajo, hay mucho menos variabilidad en la variable de respuesta que cuando x está en el nivel alto. Por lo tanto, a menos que haya como mínimo una interacción factor controlable x factor de ruido, no hay ningún problema de diseño robusto. Como se verá en la siguiente sección, enfocarse en la identificación y el modelado de estas interacciones es una de las claves de un enfoque más eficiente y eficaz del RPD. 492 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA y x = + La variabilidad eny se reduce cuando x =- z z a) Ninguna interacción control x ruido b) Interacción control x ruido significativa Figura 11-41 El papel de la interacción control x ruido en un diseño robusto. 11~7.2 El enfoque de la superficie de respuesta para el diseño robusto Como se señaló en la sección anterior, las interacciones entre los factores controlables y los de ruido son la clave en un problema de diseño robusto. Por lo tanto, es lógico usar un modelo de respuesta que incluya tanto a los factores controlables como a los factores de ruido y sus interacciones. Para ilustrar, suponga que se tienen dos factores controlables Xl YX 2 yun solo factor de ruidoz 1 . Se supone que tanto los factores controlables como el de ruido se expresan como las variables codificadas usuales (es decir, tienen su centro en cero y tienen límites inferior y superior ±a). Si quiere considerarse un modelo de primer orden que incluya las variables controlables, un modelo lógico es (11-28) Observe que este modelo incluye los efectos principales de ambos factores controlables, su interacción, el efecto principal de la variable de ruido y las dos interacciones entre las variables controlables y la de ruido. A este tipo de modelo, el cual incorpora a las variables controlables y las de ruido, suele l1amársele modelo de respuesta o de reacción. Excepto cuando al menos uno de los coeficientes de regresión 0 11 y 021 sea diferente de cero, no habrá ningún problema de diseño robusto. Una ventaja importante del enfoque del modelo de respuesta es que tanto los factores controlables como los factores de ruido pueden colocarse en un solo diseño experimental; es decir, puede evitarse la estructura de los arreglos interior y exterior del enfoque de Taguchi. Al diseño que contiene tanto los factores controlables como los de ruido suele l1amársele diseño de arreglo combinado. Como se señaló anteriormente, se supone que las variables de ruido son aleatorias, aun cuando son controlables para los fines de un experimento. Específicamente, se supone que las variables de ruido están expresadas en unidades codificadas, que tienen valor esperado cero, varianza y que si hay varias variables de ruido, tienen covarianzas cero. Bajo estos supuestos es sencillo encontrar un modelo para la respuesta media tomando el valor esperado de y en la ecuación 11-28. Se obtiene así a;, donde el subíndice z del operador expectativa es un recordatorio para tomar el valor esperado con respecto a ambas variables aleatorias de la ecuación 11-28, Zl Yc. Para encontrar un modelo de la varianza de la 11 11-7 DISEÑO ROBUSTO 493 respuesta y se usa el enfoque de la transmisión del error. Primero, el modelo de respuesta de la ecuación 11-28 se expande en una serie de Taylor de primer orden alrededor de Zl = O. Se obtiene así dy Y== Yz=o +-d (zl- 0 )+R+s Zl == f30 +f31 x l +f32 x 2+f312 x l x 2 +(Yl +Oll Xl +021 X2)Zl +R+s donde R es el término del residuo de la serie de Taylor. Como es común en la práctica, se ignorará el término del residuo. Ahora puede obtenerse la varianza de y aplicando el operador varianza en esta última expresión (sin R). El modelo para la varianza resultante es 2 Vz(Y)= a~(Yl +OllXl +021X2)2 +a De nueva cuenta se ha usado el subíndice z en el operador varianza como recordatorio de que tanto Zl como s son variables aleatorias. Se han derivado modelos simples para la media y la varianza de la variable de respuesta de interés. Observe lo siguiente: 1. Los modelos de la media y la varianza incluyen únicamente las variables controlables. Esto significa que es potencialmente posible fijar las variables controlables para alcanzar un valor objetivo de la media y minimizar la variabilidad transmitida por la variable de ruido. 2. Aun cuando en el modelo de la varianza intervienen sólo las variables controlables, incluye asimismo los coeficientes de regresión de la interacción entre las variables controlables y la de ruido. Es así como la variable de ruido influye en la respuesta. 3. El modelo de la varianza es una función cuadrática de las variables controlables. 4~ El modelo de la varianza (dejando de lado if) es sólo el cuadrado de la pendiente del modelo de respuesta ajustado en la dirección de la variable de ruido. Para dar un uso operacional a estos modelos sería necesario: 1. Realizar un experimento y ajustar un modelo de respuesta apropiado, tal como la ecuación 11-28. 2. Sustituir los coeficientes de regresión desconocidos en los modelos de la media y la varianza con sus estimaciones de mínimos cuadrados del modelo de la respuesta o de reacción, y sustituir la if del modelo de la varianza con el cuadrado medio de los residuales que se encontró cuando se ajustó el modelo de respuesta. 3. Optimizar los modelos de la media y la varianza utilizando los métodos estándares de optimización de respuestas múltiples revisadas en la sección 11-3.4. Es muy sencillo generalizar estos resultados. Suponga que hay k variables controlables yrvariables de ruido. El modelo de respuesta general que incluye estas variables se escribirá como y(x, z) = f(x)+h(x, z)+s (11-29) dondef(x) es la porción del modelo que incluye sólo las variables controlables y h(x, z) son los términos que incluyen los efectos principales de los factores de ruido y las interacciones entre los factores controlables y los de ruido. De manera típica, la estructura de h(x, z) es "1 494 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA k r h(x, z)=:¿i=l riZi + r :¿:¿ OijX¡Zj i=l j=l La estructura de¡(x) dependerá de cuál sea el tipo de modelo que el experimentador considere apropiado para las variables controlables. Las elecciones lógicas son el modelo de primer orden con interacción y el modelo de segundo orden. Si se supone que las variables de ruido tienen media cero, varianza y covarianzas cero, y que las variables de ruido y los errores aleatorios s tienen covarianzas cero, entonces el modelo de la media para la respuesta es Ez[Y(x, z)]= ¡(x) (11-30) y el modelo de la varianza para la respuesta es a; Vz[y(x, z)]=a;~ [a~~¡ Z)r +a 2 (11-31) Myers y Montgomery [85a] presentan una forma un tanto más general de la ecuación 11-31 basada en la aplicación directa de un operador de varianza condicional al modelo de respuesta. EJEMPLO ; 11~6 . Para ilustrar el procedimiento anterior, considere nuevamente el ejemplo 6-2 en el que se estudiaron cuatro factores en un diseño factorial 24 para investigar su efecto sobre la rapidez de filtración de un producto químico. Se supondrá que el factor A, la temperatura, es difícil de controlar en el proceso a gran escala, pero que puede controlarse durante el experimento (el cual se llevó a cabo en una planta piloto). Los otros tres factores, la presión (B), la concentración (C) y la velocidad de agitación (D), son fáciles de controlar. Por lo tanto, el factor de ruidoz1 es la temperatura, y las variables controlablesxl,x2 y X 3 son la presión, la concentración y la velocidad de agitación, respectivamente. Puesto que tanto los factores controlables como el factor de ruido están en el mismo diseño, el diseño factorial 24 utilizado en este experimento es un ejemplo de un diseño de arreglo combinado. Utilizando los resultados del ejemplo 6-2, el modelo de respuesta es fI .!'\ x, Zl ) = 7006 . + (21.625) 2 Zl + (9.875) 2 x 2 + (14.625) 2 x3 18.125) - (2 - X 2 Z 1 + (16.625) -2- X3 Z1 = 70.06+10.81z1 + 4. 94x 2 +7.31x 3 -9.06x 2 Z1 +8.31x 3 z 1 Utilizando las ecuaciones 11-30 y 11-31, se encuentra que los modelos de la mediay la varianza son Ez[y(x, Zl)]= 70.06+4.94x 2 +7.31x 3 y Vz[y(x, Zl)]= a;(10.81- 9.06x 2 +8.31x 3 )2 +a 2 = a; (116.91+ 82.08x; + 69.06xi -195.88x 2 + 179. 66x 3 -150.58x 2 x 3 )+a 2 respectivamente. Suponga ahora que los niveles bajo y alto de la variable de ruido, temperatura, se corrieron a una desviación estándar a ambos lados de su valor típico o promedio, de tal modo que = 1, Yque se usaa 2 = 19.51 (éste es el cuadrado medio de los residuales obtenido al ajustar el modelo de respuesta). Por lo tanto, el modelo de la varianza queda como a; Vz [y(x, Zl)] = 136.42-195.88x 2 + 179.66x 3 -150.58x 2 x 3 + 82.08x; + 69.06xi 11-7 DISEÑO ROBUSTO 1.000 495 ,-----r---------,r--------~--_, 0.500 - e -o ·ü l'.: e1] e 0.000 o U 11 >t'"' -0.500 -1.000 L -_ _i - _ - L . -1.000 _ ___J ~ -0.500 0.000 X4 ...l____ll~ 0.500 1.000 = Velocidad de agitación Figura 11·42 Contornos del índice de filtración medio constante, ejemplo 11-6, con Xl = temperatura = o. En la figura 11-42 se presenta la gráfica de contorno del paquete de software Design-Expert de los contornos de respuesta del modelo de la media. Para construir esta gráfica se fijó el factor de ruido (temperatura) en cero y el factor controlable no significativo (presión) también en cero. Observe que la rapidez de filtración promedio se incrementa cuando tanto la concentración como la velocidad de agitación se incrementan. Design-Expel1 constituirá también de manera automática gráficas de la raíz cuadrada de los contornos de la varianza, que denomina propagación del error (o POE, por sus siglas en inglés). Evidentemente, la POE no es sino la desviación estándar de la variabilidad que se transmite a la respuesta como una función de las variables controlables. En la figura 11-43 se muestra la gráfica de contorno y la gráfica de superficie de respuesta tridimensional de la POE, obtenida con Design-Expert (en esta gráfica la variable de ruido se mantiene constante en cero, como se explicó anteriormente). Suponga que el experimentador quiere mantener una rapidez de filtración promedio de cerca de 75 y minimizar la variabilidad alrededor de este valor. En la figura 11-44 se muestra una gráfica de superposición de los contornos de la rapidez de filtración media y la POE como una función de la concentración y la velocidad de agitación, las variables controlables significativas. Para conseguir los objetivos deseados será necesario mantener la concentración en el nivel alto y la velocidad de agitación muy cerca del nivel intermedio. El ejemplo 11-6 ilustra el uso de un modelo de primer orden con interacción como el modelo para los factores controlables,f(x). Se presenta ahora un ejemplo adaptado de Montgomery [8Üb] que induye un modelo de segundo orden. 496 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA c: '0 '13 ¡g c: QJ "oc: U 11 >{'" -1.00 '---_ _--"''---JL...-1.00 .L...l -0.50 --J.-L 0.00 X4 0.50 --' 1.00 = Velocidad de agitación al Gráfica de contorno 28.5315 22.5032 16.4748 ~ w O Q. 10.4465 4.41816 1.00 1.00 b) Gráfica de superficie de respuesta Figura 11·43 Gráfica de contorno y superficie de respuesta de la propagación del error (POE) en el ejemplo 11-6, con Xl = temperatura = O. 11-7 DISEÑO ROBUSTO 497 1.00 1--'==::::::::=::::::z=:::::;---:-~-:--~,7----:--:-----:-1 0.50 c: ·0 '<; ni ,l:l c: el> "oc: 0.00 <.J 11 M >l -0.50 -1.00 L.;...C~~=--=-..L..""';";"'; -1.00 -0.50 Concentración 0.00 0.50 1.00 x. = Velocidad de agitación Figura 11-44 Gráfica de superposición de los contornos de la media y la POE del índice de filtración, ejemplo 11-6, con Xl = temperatura = O. EJEMPLO 11~7 ...•........................................................ En una fábrica de semiconductores se realizó un experimento que incluyó dos variables controlables y tres variables de ruido. En la tabla 11-23 se muestra el diseño de arreglo combinado utilizado por los experimentadores. El diseño es una variante de 23 corridas de un diseño central compuesto que se creó empezando con un DCC estándar para cinco factores (la porción del cubo es un diseño 25-1) Yeliminando las corridas axiales asociadas con las tres variables de ruido. Este diseño soportará un modelo de respuesta que tiene un modelo de segundo orden en las variables controlables, los efectos principales de las tres variables de ruido y las interacciones entre los factores controlables y los de ruido. El modelo de respuesta ajustado es Y(x, z)= 30.37-2.92x1 -4.l3x 2 +2.60x; +2.18x~ + 2. 87x 1 X 2 +2.73z1 - 2.33z 2 +2.33z 3 - 0.27x1 Z 1 +0.89x1 Z 2 +2.58x1 z 3 + 2.01x 2 Z1 -1.43x 2 Z2 + 1.56x2 Z3 Los modelos de la media y la varianza son Ez[y(x, z)]= 30.37- 2.92x1 - 4.13x 2 +2.60x; +2.18x~ + 2. 87x1X 2 y Vz[y(X, z)]= 19.26+3.20x1 + 12.45x 2 + 7. 52x; +8.52x~ +2.21x1 x 2 donde se han sustituido las estimaciones de los parámetros del modelo de respuesta ajustado en las ecuaciones de los modelos de la media y la varianza y, como en el ejemplo anterior, se supone que =1. En las figuras 11-45 y 11-46 se presentan las gráficas (de Design-Expel1) de contorno de la media y la POE del proceso (recuerde que la POE es la raíz cuadrada de la varianza de la superficie de respuesta) generadas a partir de estos modelos. a; r:' 498 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Tabla 11-23 Experimento de arreglo combinado con dos variables controlables y tres variables de ruido, ejemplo 11-7 Número de corrida X¡ X2 Z¡ Z2 Z3 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -2.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 -2.00 2.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 44.2 30.0 30.0 35.4 49.8 36.3 41.3 31.4 43.5 36.1 22.7 16.0 43.2 30.3 30.1 39.2 46.1 36.1 47.4 31.5 30.8 30.7 31.0 1.00,...---,¡------------------.::::=o 30 0.50 N 1-t 0.00 --0.50 -1.00 L-_...::.-_ _ -1.00 Figura 11·45 ~ --0.50 __....::I...._ __JL.__ 0.00 0.50 x, ---J 1.00 Gráfica de contorno del modelo de la media, ejemplo 11-7. 11-7 DISEÑO ROBUSTO 1.00 r---------------O;;:::--------, 0.50 ~N 0.00 -0.50 -1.00 LL -1.00 -L -0.50 ---l 0.00 _ ___l ..L-~'__ 0.50 1.00 Xl Figura 11-46 Gráfica de contorno de la POE, ejemplo 11-7. 1.00 0.50 }iN 0.00 -0.50 -1.001.'-"'~~~= -1.00 -0.50 0.00 á.50 1.00 Superposición de los contornos de la media y la POE para el ejemplo 11-7, con la región en blanco indicando condiciones de operación satisfactorias para la media y la varianza. Figura 11-47 499 500 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA En este problema es deseable mantener la media del proceso abajo de 30. Al inspeccionar las figuras 11-45 y 11-46, es claro que se necesitará hacer un ajuste si se quiere hacer pequeña la varianza del proceso. Puesto que sólo hay dos variables controlables, una forma lógica de llegar a este arreglo es superponer los contornos de la respuesta media constante y la varianza constante, como se muestra en la figura 11-47. Esta gráfica muestra los contornos para los que la media del proceso es menor o igual que 30 y la desviaciónestándar del proceso es menor o igual que 5. La región delimitada por estos contornos representaría una zona de operación típica de respuesta media baja y varianza del proceso baja. ............................ .............. ............ ... ........... ..... 11·8 PROBLEMAS 11-1. En una planta química se produce oxígeno licuando aire y separándolo por destilación fraccionada en sus gases componentes. La pureza del oxígeno es una función de la temperatura del condensador principal y de la relación de la presión entre las columnas superior e inferior. Las condiciones de operación actuales son temperatura (s¡) == -220°C y la relación de la presión (S2) == 1.2. Utilizando los datos siguientes, encontrar la trayectoria del ascenso más pronunciado: Temperatura (s¡) Índice de la presión (S2) Pureza -225 1.1 82.8 -225 1.3 83.5 -215 1.1 84.7 -215 1.3 85.0 84.1 -220 1.2 -220 1.2 84.5 -220 1.2 83.9 -220 1.2 84.3 11-2. Un ingeniero industrial ha desarrollado un modelo de simulación por computadora para un sistema de inventario de dos artículos. Las variables de decisión son la cantidad del pedido y el punto de reorden de cada artículo. La respuesta que debe minimizarse es el costo total del inventario. El modelo de simulación se usa para producir los datos que se muestran en la tabla siguiente. Identificar el diseño experimental. Encontrar la trayectoria del descenso más pronunciado. Artículo 1 Cantidad del pedido (s¡) 100 140 140 140 100 100 100 140 120 120 120 Artículo 2 Punto de reorden (S2) 25 45 25 25 45 45 25 45 35 35 35 Cantidad del pedido (S3) 250 250 300 250 300 250 300 300 275 275 275 Punto de reorden (S4) 40 40 40 80 40 80 80 80 60 60 60 Costo total 625 670 663 654 648 634 692 686 680 674 681 11-8 PROBLEMAS 501 11-3. Verificar que el siguiente diseño es símplex. Ajustar el modelo de primer orden y encontrar la trayectoria del ascenso más pronunciado. y X¡ o -J2 O J2 J2 O -J2 O -1 1 -1 1 lS.5 19.5 17.4 22.5 11-4. Para el modelo de primer orden y= 60+1.5x¡-0.Sx 2 +2.0x 3 encontrar la trayectoria del ascenso más pronunciado. Las variables están codificadas como -1::5 Xi ::5 1. 11-5. La región de experimentación de tres factores son el tiempo (40 ::5 T¡ ::5 SO min), la temperatura (200 ::5 Tz ::5 300°C) y la presión (20 ::5 P ::5 50 psig). Se ha ajustado un modelo de primer orden en variables codificadas a los datos del rendimiento de un diseño 23 • El modelo es y= 30+5x¡ +2.5x 2 +3.5x 3 ¿El punto T¡ = S5, Tz = 325, P = 60 está en la trayectoria del ascenso más pronunciado? 11-6. La región de experimentación de dos factores son la temperatura (100::5 T::5 300°F) y la velocidad de alimentación del catalizador (10 ::5 e ::5 30 lb/pulg). Un modelo de primer orden con las variables codificadas usuales ±1 se ha ajustado a la respuesta peso molecular, obteniéndose el modelo siguiente: y= 2000 +125x¡ +40x 2 a) Encontrar la trayectoria del ascenso más pronunciado. Se desea mover a una región donde los pesos moleculares rebasen 2500. Con base en la información que se tiene por la experimentación en esta región, ¿aproximadamente cuántos pasos en la trayectoria del ascenso más pronunciado se necesitan para moverse a la región de interés? 11-7. La trayectoria del ascenso más pronunciado suele calcularse suponiendo que el modelo es en realidad de primer orden; es decir, que no hay interacción. Sin embargo, incluso si hay interacción, el ascenso más pronunciado que se determina ignorando la interacción seguirá produciendo por lo general buenos resultados. Para ilustrar, suponga que se ha ajustado el modelo b) utilizando variables codificadas (-1 ::5 Xi ::5 + 1). a) Trazar la trayectoria del ascenso más pronunciado que se obtendría si se ignorara la interacción. b) Trazar la trayectoria del ascenso más pronunciado que se obtendría incluyendo la interacción en el modelo. Compararla con la trayectoria que se encontró en el inciso a. l1-S. Los datos que se muestran en la siguiente tabla se recolectaron en un experimento para optimizar el crecimiento de un cristal como una función de tres variablesx¡,xzY X 3• Son deseables los valores grandes de y (rendimiento en gramos). Ajustar un modelo de segundo orden y analizar la superficie ajustada. ¿Bajo qué conjunto de condiciones se alcanza el crecimiento máximo? 502 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA y X¡ -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 O O O O -1.682 1.682 O O O O O O -1 1 1 1 1 -1.682 1.682 O O O O O O O O O O -1 1 1 O O -1.682 1.682 O O O O O O O O 66 70 78 60 80 70 100 75 100 80 68 63 65 82 113 100 118 88 100 85 11-9. Un ingeniero químico recolectó los siguientes datos. La respuesta y es el tiempo de filtración,x¡ es la temperatura y X z es la presión. Ajustar un modelo de segundo orden. x¡ -1 -1 1 1 -1.414 1.414 O O O O O O O Xz y -1 1 -1 1 O O -1.414 1.414 O O O O O 54 45 32 47 50 53 47 51 41 39 44 42 40 a) ¿Qué condiciones de operación se recomendarían si el objetivo es minimizar el tiempo de filtración? b) ¿Qué condiciones de operación se recomendarían si el objetivo es operar el proceso con una velocidad de filtración media muy próxima a 46? 11-10. El diseño hexagonal que se presenta a continuación se usa en un experimento que tiene como objetivo ajustar un modelo de segundo orden: 11-8 PROBLEMAS Xl y X2 68 74 65 60 63 70 58 60 57 55 69 O 1 0.5 -0.5 -1 503 .Jo.75 .Jo.75 O -0.5 0.5 -.J0.75 -.J O.75 O O O O O O O O O O a) Ajustar el modelo de segundo orden. b) Efectuar el análisis canónico. ¿Qué tipo de superficie se ha encontrado? e) ¿Qué condiciones de operación para Xl y X 2 llevan al punto estacionario? d) ¿Dónde se correría este proceso si el objetivo eS obtener una respuesta que esté tan cerca de 65 como sea posible? 11-11. Un experimentador corrió un diseño de Box-Behnken y obtuvo los siguientes resultados, donde la variable de respuesta es la viscosidad de un polímero: Nivel Alto Intermedio Bajo Temperatura Velocidad de agitación Presión Xl X2 X3 200 175 150 10.0 7.5 5.0 25 20 15 +1 +1 +1 Corrida Xl X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -1 -1 +1 +1 11 12 13 14 15 +l -1 +1 -1 +1 -1 +1 O O O O O O O O O O O -1 +1 -1 +1 O O O X3 Yl 535 580 596 563 -1 645 -1 458 +1 350 +1 600 -1 595 -1 648 +1 532 +1 656 O 653 O 599 O 620 O O O O a) Ajustar el modelo de segundo orden. b) Efectuar el análisis canónico. ¿Qué tipo de superficie se ha encontrado? O -1 O -1 O -1 , ,'~ 504 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFiCiES DE RESPUESTA e) ¿Qué condiciones de operación para XI' X 2 Y X 3 llevan al punto estacionario? ¿Qué condiciones de operación se recomendarían si es importante obtener una viscosidad que esté tan cerca de 600 como sea posible? 11-12. Considere el diseño central compuesto de tres variables que se muestra a continuación. Analizar los datos y sacarconclusiones, suponiendo que se quiere maximizar la conversión 0'1) con la actividad 0'2) entre 55 y 60. d) Conversión Corrida I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tiempo (min) -1.000 1.000 -1.000 1.000 -1.000 1.000 -1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.682 1.682 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Temperatura Catalizador (%) CC) (%) YI Y2 -1.000 -1.000 1.000 1.000 -1.000 -1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.682 1.682 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.682 1.682 0.000 0.000 74.00 51.00 88.00 70.00 71.00 90.00 66.00 97.00 81.00 75.00 76.00 83.00 76.00 79.00 85.00 97.00 55.00 81.00 80.00 91.00 53.20 62.90 53.40 62.60 57.30 67.90 59.80 67.80 59.20 60.40 59.10 60.60 59.10 65.90 60.00 60.70 57.40 63.20 60.80 58.90 Actividad 11-13. Un fabricante de herramientas de corte ha desarrollado dos ecuaciones empíricas para la vida de la herra~ mienta en horas 0'1) y para el costo de la herramienta en dólares 0'2)' Ambos modelos son funciones lineales de la dureza del acero (XI) y de la fecha de fabricación (x 2). Las dos ecuaciones son j\ = lü+5x¡ +2x 2 Y2 = 23+ 3x¡ + 4x 2 y ambas ecuaciones son válidas en el rango -1.5 :s; Xi :s; 1.5. El costo unitario de la herramienta debe estar abajo de $27.50 y la vida debe exceder 12 horas para que el producto sea competitivo. ¿Existe algún conjunto de condiciones de operación factible para este proceso? ¿Dónde se recomendaría correr este proceso? 11-14. Se corre un diseño central compuesto eh un proceso de deposición química por vapor y se obtienen los datos experimentales que se muestran a continuación. Se procesaron simultáneamente cuatro unidades experimentales en cada corrida del diseño, y las respuestas son la media y la varianza del espesor, calculadas en las cuatro unidades. 11-8 PROBLEMAS Xl X2 -1 1 -1 1 1.414 -1.414 O O O O O O -1 -1 1 1 O O 1.414 -1.414 O O O O Y 360.6 445.2 412.1 601.7 518.0 411.4 497.6 397.6 530.6 495.4 510.2 487.3 505 S2 6.689 14.230 7.088 8.586 13.130 6.644 7.649 11.740 7.836 9.306 7.956 9.127 a) Ajustar un modelo a la respuesta media. Analizar los residuales. b) Ajustar un modelo a la respuesta varianza. Analizar los residuales. e) Ajustar un modelo a ln(S2). ¿Este modelo es superior al que se encontró en el inciso b? Suponga que se quiere que el espesor medio esté en el intervalo 450 ± 25. Encontrar un conjunto de condiciones de operación que consiga este objetivo y que al mismo tiempo minimice la varianza. e) Comentar los aspectos de la minimización de la varianza del inciso d. ¿Se ha minimizado también la varianza total del proceso? Verificar que el diseño de primer orden ortogonal es también un diseño de primer orden rotable. Demostrar que aumentar un diseño 2k conn e puntos centrales no afecta las estimaciones de/3¡ (i = 1,2, .oo, k), pero que la estimación de la ordenada al origen /30 es el promedio de las 2k + n e observaciones. El diseño central compuesto rotable. Puede demostrarse que un diseño de segundo orden es rotable si L7t=IX:XJ" = Osi a o b (o ambas) son impares y si L::=IX~, = 3L::=IX~XJ.,. Demostrar que para el diseño central compuesto estas condiciones llevan a a = (/lF)1/4 para la rotabilidad, donde /lF es el número de puntos en la porción factoriaL Verificar que el diseño central compuesto que se muestra abajo está separado en bloques ortogonales: d) 11-15. 11-16. 11-17. 11-18. Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Xl X2 X3 Xl X2 X3 Xl X2 X3 O O 1 1 -1 -1 O O 1 -1 -1 1 O O 1 -1 1 -1 O O 1 1 -1 -1 O O 1 -1 1 -1 O O -1 1 1 -1 -1.633 1.633 O O O O O O O O -1.633 1.633 O O O O O O O O -1.633 1.633 O O 11-19. Formación de bloques del diseño central compuesto. Considere un diseño central compuesto para k = 4 varia- bles en dos bloques. ¿Puede encontrarse siempre un diseño rotable formado de bloques ortogonales? 11-20. ¿Cómo puede correrse un diseño hexagonal en dos bloques ortogonales? 506 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 11-21. En la tabla siguiente se muestra el rendimiento durante los cuatro primeros ciclos de un proceso químico. Las variables son el porcentaje de concentración (x¡) en los niveles 30,31 Y32 Yla temperatura (x 2 ) en 140, 142 Y 144°F. Hacer el análisis utilizando métodos EVOP. Condiciones Ciclo 1 2 3 4 (1) (2) (3) (4) (5) 60.7 59.1 56.6 60.5 59.8 62.8 59.1 59.8 60.2 62.5 59.0 64.5 64.2 64.6 62.3 61.0 57.5 58.3 61.1 60.1 11-22. Suponga que se aproxima una superficie de respuesta con un modelo de orden di, tal como y = XJJ¡ + 8, cuando la verdadera superficie está descrita por un modelo de orden d 2 > di; es decir,E(y) = XJJ¡ + XJJ2' a) Demostrar que los coeficientes de regresión son sesgados, es decir, que E(JJ¡) = p¡ + AfJ2' donde A = (X'¡X¡)-¡X'¡X2 • Es común llamar a A la matriz alias. b) Si d¡ = 1 Yd2 = 2, Yse utiliza un diseño 2k completo para ajustar el modelo, usar el resultado del inciso a para determinar la estructura de los alias. e) Si d¡ = 1, d 2 = 2 Yk = 3, encontrar la estructura de los alias, suponiendo que se usa un diseño 23-¡ para ajustar el modelo. d) Si d¡ = 1, d 2 = 2 Yk = 3, Yse utiliza el diseño símplex del problema 11-3 para ajustar el modelo, determinar la estructura de los alias y comparar los resultados con el inciso e. 11-23. En un artículo ("Conozcamos todos el cuadrado latino", en Quality Engineeling, vol. 1, pp. 453-465), J.S. Hunter ilustra algunos de los problemas asociados con los diseños factoriales fraccionados 3k -p. El factor A es la cantidad de etanol agregada a un combustible estándar y el factor B representa la: relación aire/combustible. La variable de respuesta es la emisión de monóxido de carbono (CO) en g/m3 • El diseño se muestra abajo: Diseño A B O 1 2 O 1 2 O 1 2 O O O 1 1 1 2 2 2 X¡ -1 O +1 -1 O +1 -1 O +1 X2 -1 -1 -1 O O O +1 +1 +1 Observaciones y 66 78 90 72 80 75 68 66 60 62 81 94 67 81 78 66 69 58 Observe que se ha usado el sistema de notación de O, 1 Y2 para representar los niveles bajo, intermedio y alto de los factores. Se ha usado también una "notación geométrica" de -1, OY + 1. Se hacen dos réplicas de cada corrida del diseño. a) Verificar que el modelo de segundo orden y= 78.5+4.5x¡ -7.0x 2 - 4.5x¡ - 4.0xi - 9.0x¡x 2 es un modelo razonable para este experimento. Trazar los contornos de la concentración de CO en el espacio Xl' X 2. lil 1I 1 lil 1 11-8 PROBLEMAS 507 '1, i il 1 b) Suponga ahora que en lugar de sólo dos factores, se usaron cuatro factores en un diseño factorial fraccionado 34-2 Yque se obtuvieron exactamente los mismos datos que en el inciso a. El diseño sería el si- guiente: Diseño A B o o o o 1 2 o 1 2 o 1 2 1 1 1 2 2 2 e o D o 1 2 2 1 1 2 o X2 X3 X4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 o 1 2 1 2 o Xl +1 -1 +1 -1 1 +1 o +1 +1 -1 o o o o o 2 o o o o +1 +1 +1 +1 -1 o +1 o +1 -1 +1 -1 o Observaciones y 66 78 90 72 80 75 68 66 60 62 81 94 67 81 78 66 69 58 Confirmar que este diseño es un arreglo ortogonal L 9• c) Calcular los promedios marginales de la respuesta CO en cada nivel de los cuatro factoresA, B, e yD. Construir gráficas de estos promedios marginales e interpretar los resultados. ¿Los factores eyD parecen tener efectos grandes? ¿Estos factores tienen en realidad algún efecto sobre la emisión de CO? ¿Por qué su efecto aparente es grande? . d) El diseño del inciso b permite el ajuste del modelo y= /30 + 4 4 i=1 i=1 L /3¡x¡ + L /3¡¡x; +e Suponga que el verdadero modelo es 4 y= /30 + L i=1 4 /3¡x¡ + L i=1 /3¡¡X¡2 + LL /3ijx¡x j =e i<j Demostrar que si las 13j representan las estimaciones de mínimos cuadrados de los coeficientes del modelo ajustado, entonces E(/3o) = /30 - /313 - /314 - /334 E(~l) = /31 - (/323 + (324)/2 E(~2)= /32 -(/313 +/314 +(334)/2 E(~3)= /33 -(/312 +(324)/2 E(~ 4) = /3 4- (/312 + (323) /2 E(~11) = /3 11 - (/323 - (324)/2 E(~22) = /322 +(/313 + /314 + (334)/2 E(~33 ) = /3 33 - (/324 - (312)/2+ /314 E(~44)= /3 44 -(/312 - (323)/2+/313 ¿Ayuda esto a explicar los efectos grandes de los factores eyD que se observaron gráficamente en el inciso c? I 508 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA 11-24. Suponga que es necesario diseñar un experimento para ajustar un modelo cuadrático en la región -1 ::; Xi ::; + 1, i = 1,2 sujeto a la restricción Xl + X 2 ::; 1. Si se viola la restricción, el proceso no funcionará adecuada_ mente. No es posible hacer más de n = 12 corridas. Establecer los siguientes diseños: a) Un modelo DCC "inscrito" con punto central en Xl = X 2 = O. b) Un diseño factorial 32 "inscrito" con punto central en Xl = X 2 = -0.25. e) Un diseño optimal D. d) Un diseño optimalD modificado que sea idéntico al del inciso e, pero con todas las réplicas de las corridas en el centro del diseño. e) Evaluar el criterio I(X'X)-l¡ para cada diseño. f) Evaluar la eficiencia D para cada diseño en comparación con el diseño optimal D del inciso c. g) ¿Qué diseño preferiría el lector? ¿Por qué? 11-25. Considere un diseño 23 para ajustar un modelo de primer orden. a) Evaluar el criterio D I(X'X)-l¡ para este diseño. b) Evaluar el criterio A tr(X'X)-1 para este diseño. e) Encontrar la varianza de predicción escalada máxima para este diseño. ¿Este diseño es optimal G? 11-26. Repetir el problema 11-25 utilizando un modelo de primer orden con las interacciones de dos factores. 11-27. Un ingeniero químico desea ajustar una curva de calibración para un nuevo procedimiento utilizado para medir la concentración de un ingrediente particular de un producto fabricado en sus instalaciones. Pueden prepararse 12 muestras, cuya concentración es conocida. El ingeniero quiere construir un modelo para las concentraciones medidas. Piensa que una curva de calibración lineal será adecuada para modelar la concentración medida como una función de las concentraciones conocidas; es decir,y = /30 + /31X + s, donde X es la concentración real. Están bajo consideración cuatro diseños experimentales. El diseño 1 consta de seis corridas con la concentración conocida 1 y seis corridas con la concentración conocida 10. El diseño 2 consta de cuatro corridas con las concentraciones 1, 5.5 y 10. El diseño 3 consta de tres corridas con las concentraciones 1,4,7 y 10. Por último, el diseño 4 consta de tres corridas con las concentraciones 1 y 10 Yseis corridas con la concentración 5.5. a) Graficar la varianza de predicción escalada para los cuatro diseños en la misma gráfica en el rango de la concentración 1 ::; X ::; 10. ¿Qué diseño sería preferible? b) Calcular el determinante de (X'X)-l para cada diseño. ¿Qué diseño sería preferible de acuerdo con el criterio D? e) Calcular la eficienciaD de cada diseño en comparación con el "mejor" diseño que se haya encontrado en el inciso b. d) Para cada diseño, calcular la varianza de predicción promedio en el conjunto de puntos dado por X = 1, 1.5, 2, 2.5, oo., 10. ¿Qué diseño sería preferible de acuerdo con el criterio V? e) Calcular la eficiencia V de cada diseño en comparación con el mejor diseño que se haya encontrado en el inciso d. f) ¿Cuál es la eficiencia G de cada diseño? 11-28. Resolver de nuevo el problema 11-27, suponiendo que el modelo que el ingeniero quiere ajustar es cuadrático. Evidentemente, ahora sólo pueden considerarse los diseños 2, 3 y 4. 11-29. Un experimentador quiere correr un experimento de una mezcla de tres componentes. Las restricciones sobre las proporciones de los componentes son las siguientes: 0.2:<:; Xl :<:; 0.4 O.l:<:;x z :<:;0.3 O.4:<:;x z :<:;0.7 a) Establecer un experimento para ajustar un modelo cuadrático para mezclas. Usar n = 14 corridas, con cuatro réplicas. Usar el criterio D. b) Trazar la región experimental. 11-8 PROBLEMAS 509 e) Establecer un experimento para ajustar un modelo cuadrático para mezclas con Il == 12 corridas, suponiendo que tres de estas corridas son réplicas. Usar el criterio D. d) Comentar los dos diseños que se encontraron. 11-30. Myers y Montgomery [85a] describen un experimento con una mezcla de gasolina en el que intervienen tres componentes de la mezcla. No hay restricciones sobre las proporciones de la mezcla, y se usó el siguiente diseño con 10 corridas: Punto del diseño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xl 1 O O 1 "2 1 "2 X2 X3 O 1 O O O 1 O 1 "2 O 1 3" 2 3" "2 1 3" "2 1 "2 1 3" "6 "6 "6 3" "6 "6 3" O 1 1 1 "6 1 1 2 1 1 1 2 y, mi/gal 24.5,25.1 24.8,23.9 22.7,23.6 25.1 24.3 23.5 24.8,24.1 24.2 23.9 23.7 a) ¿Qué tipo de diseño utilizaron los experimentadores? b) Ajustar un modelo cuadrático para mezclas a los datos. ¿Es adecuado este modelo? e) Graficar los contornos de la superficie de respuesta. ¿Qué mezcla se recomendaría para maximizar las millas por galón? 11-31. Considere el experimento del llenado de las botellas del ejemplo 6-1. Suponga que el porcentaje de carbona== 1). tación (A) es una variable de ruido (en unidades codificadas a) Ajustar el modelo de respuesta a estos datos. ¿Se trata de un problema de diseño robusto? b) Encontrar el modelo de la media y el modelo de la varianza o bien la POE. e) Encontrar un conjunto de condiciones que resulten en una desviación del llenado promedio tan próxima a cero como sea posible con varianza transmitida mínima. 11-32. Considere el experimento del problema 11-12. Suponga que la temperatura es una variable de ruido (a; == 1 en unidades codificadas). Ajustar modelos de respuesta para las dos respuestas. ¿Se trata de un problema de diseño robusto con respecto a ambas respuestas? Encontrar un conjunto de condiciones que maximicen la conversión con la actividad entre 55 y 60 y que minimice la variabilidad transmitida por la temperatura. 11-33. Se ha corrido un experimento en un proceso que aplica un material de recubrimiento a una oblea. En cada corrida del experimento se fabricó una oblea y se midió varias veces el espesor del recubrimiento en varios sitios de la misma. Después se obtuvo la mediaYl yla desviación estándarY2 de la medición del espesor. Los datos (adaptados de Box y Draper [16b]) se muestran en la tabla siguiente: a; Corrida Velocidad 1 2 3 4 5 6 7 -1.000 0.000 1.000 ~1.000 0.000 1.000 -1.000 Presión -1.000 -1.000 ~1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 Distancia -1.000 -1.000 -1.000 ~1.000 -1.000 -1.000 -1.000 Media Desviación estándar Yl 24.0 120.3 213.7 86.0 136.6 340.7 112.3 Y2 12.5 8.4 42.8 3.5 80.4 16.2 27.6 510 CAPÍTULO 11 MÉTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Media Desviación estánd;; Corrida Velocidad Presión Distancia Yi Y2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000 1.000 1.000 1.000 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 1.000 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 256.3 271.7 81.0 101.7 357.0 171.3 372.0 501.7 264.0 427.0 730.7 220.7 239.7 422.0 199.0 485.3 673.7 176.7 501.0 1010.0 4.6 23.6 0.0 17.7 32.9 15.0 0.0 92.5 63.5 88.6 21.1 133.8 23.5 18.5 29.4 44.7 158.2 55.5 138.9 142.4 a) ¿Qué tipo de diseñó utilizaron los experimentadores? ¿Es ésta una buena elección del diseño para ajustar un modelo cuadrático? b) Construir los modelos para ambas respuestas. e) Encontrar un conjunto de condiciones óptimas que resulten en una media tan grande como sea posible con la desviación estándar menor que 60. 11-34. Una variación del ejemplo 6-2. En el ejemplo 6-2 se encontró que una de las variables del proceso (B = presión) no era importante. Al eliminar esta variable se producen dos réplicas de un diseño 23. Los datos se muestran enseguida: e D A (+) A (-) Y - - 45,48 71,65 57.75 + - 68,80 60,65 68.25 72.25 - + + 43,45 100, 104 73.00 1124.67 75, 70 86,96 81.75 134.92 + S2 121.19 Suponer que e y D son factores controlables y que A es una variable de ruido. a) Ajustar un modelo para la respuesta media. b) Ajustar un modelo para la respuesta In (S2). e) Encontrar las condiciones de operación que resulten en la respuesta de rapidez de filtración media que exceda 75 con varianza mínima. d) Comparar los resultados obtenidos con los del ejemplo 11-6, en el que se aplicó el enfoque de la transmisión del error. ¿Hasta qué punto son similares las dos respuestas? Experimentos con factores aleatorios A lo largo de gran parte de este libro se ha supuesto que los factores de un experimento son factores fijos, es decir, los niveles de los factores usados por el experimentador son los niveles de interés específico. La implicación de esto es, desde luego, que las inferencias estadísticas que se hacen acerca de estos factores se restringen a los niveles específicos estudiados. Es decir, si se investigan tres tipos de materiales, como en el experimento de la vida de la batería del ejemplo 5-1, las conclusiones sólo son válidas para esos tipos específicos de materiales. Una variante de esto ocurre cuando el factor o factores son cuantitativos. En estas situaciones, con frecuencia se usa un modelo de regresión que relaciona la respuesta con los factores para predecir la respuesta en la región que abarcan los niveles de los factores usados en el diseño experimental. Varios ejemplos de esto se presentaron en los capítulos 5 al 9. En general, cuando se trabaja con un efecto fijo, se dice que el espacio inferencial del experimento es el conjunto específico de los niveles de los factores investigados. En algunas situaciones experimentales, los niveles de los factores se eligen al azar de una población más grande de niveles posibles, y el experimentador quiere sacar conclusiones acerca de la población completa de los niveles, no sólo de los que se usaron en el diseño experimental. En esta situación se dice que se trata de un factor aleatorio. Se empieza con una situación simple, un experimento con un solo factor en el que el factor es aleatorio y se usa esto para introducir el modelo de efectos aleatorios para el análisis de varianza y los componentes de la varianza. Los factores aleatorios ocurren también normalmente en experimentos factoriales, así como en otros tipos de experimentos. Este capítulo se enfoca en los métodos para el diseño y análisis de experimentos factoriales con factores aleatorios. En el capítulo 13 se presentarán los diseños anidados y de parcelas subdivididas, dos situaciones en las que es frecuente encontrar factores aleatorios en la práctica. 12~1 MODELO CON EFECTOS ALEATORIOS Es común que un experimentador esté interesado en un factor que tiene un gran número de posibles niveles. Cuando el experimentador selecciona aleatoriamente a de estos niveles de la población de los niveles del factor, entonces se dice que el factor es aleatorio. Puesto que los niveles del factor utilizados realmente en el experimento se eligieron al azar, se hacen inferencias acerca de la población completa de los niveles del factor.Se supone que la población de los niveles del factor es de tamaño infinito o bien lo suficientemen- 511 ' '1 512 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS te grande para considerarla infinita. No es frecuente encontrar situaciones en las que la población de los niveles del factor sea lo suficientemente pequeña para emplear el enfoque de una población finita. Referirse a Bennett y Franklin [9] y Searle y Fawcett [101] para una revisión del caso de una población finita. El modelo estadístico lineal es i Y¡j = 1, 2, oo., a = f-l+r¡ +eij { J.= 1, 2, ... , 11 (12-1) donde tanto r¡ como eij son variables aleatorias. Si r¡ tiene varianza o; y es independiente de eij' la varianza de cualquier observación es V(Yij) = o; +0 2 o; A las varianzas y 02 se les llama los componentes de la varianza, y al modelo (ecuación 12-1) se le llama modelo de efectos aleatorios o de los componentes de la varianza. Para probar hipótesis en este modelo se requiere que las {e¡j.} sean NlD(O, 02), que las {r¡} sean NlD(O, o; ), y que r¡ y eij sean independientes. 1 La suma de cuadrados identidad SST = SSTratamientos + SSE (12-2) sigue siendo válida. Es decir, se hace la partición de la variabilidad total en las observaciones en un componente que mide la variación entre los tratamientos (SS'Itat~mientos) y un componente que mide la variación dentro de los tratamientos (SSE)' Probar hipótesis acerca de los efectos de tratamientos individuales no tiene sentido, por lo que en su lugar se prueban hipótesis acerca del componente de la varianza Ho:o; = o; : ° (12-3) :0; >0 Si o; = 0, todos los tratamientos son idénticos; pero si o; > 0, existe variabilidad entre los tratamientos. H1 Como anteriormente, SSE/a2 se distribuye como ji-cuadrada con N - a grados de libertad y, bajo la hipótesis nula, SSTratamientoJa2 se distribuye como ji-cuadrada con a - 1 grados de libertad. Ambas variables aleatorias son independientes. Por lo tanto, bajo la hipótesis nula = 0, el cociente o; SSTratamientos F. - _--'a::.,.--,-=l'-----_ = MS Tratamieatos SSE N-a 0- (12-4) MS E se distribuye como F con a - 1 YN - a grados de libertad. Sin embargo, es necesario examinar los cuadrados medios esperados para tener la descripción completa del procedimiento de prueba. Considere 1 1 E( MSTratamientos ) = a - 1 E( SSTratamientos ) = a - 1 E y; l] L --;;N [a 1=1 1 la [ n 1 a L (Lj=l f-l+r¡+eij )2- N- (LL f-l+ri+e¡j )2] j=l =---::-E a 1 n i=l 11 ¡=1 Cuando se eleva al cuadrado y se toma la función esperanza de las cantidades entre corchetes, se observa que los términos que incluyen a r: son reemplazados por o; como E(r¡) = O. Además, los términos que inEl supuesto de que las {r J son variables aleatorias independientes implica que el supuesto usual de que ~~=1 r i = Odel modelo de efectos fijos no se aplica al modelo de efectos aleatorios. 1 12-1 MODELO CON EFECTOS ALEATORIOS 513 ,'ai=l":" "nj=l T i2 son reemp1aza dos por neT,? ? ? duyen a Si.2 ' S ..2 y..:.. aneT y an-a 2 respect'¡vament e. Por otra parte, todos los productos cruzados que incluyen a Ti y sij tienen valor esperado cero. Esto lleva a T , E(MSTratamientos)= _1-[N,u2 + Na; +aa 2 - N,u2 - na; - a 2 ] a-1 o E( MS Tratamientos) = a 2 + na; (12-5) De manera similar, puede demostrarse que (12-6) Por los cuadrados medios esperados, se observa que bajo H o tanto el numerador como el denominador del estadístico de prueba (ecuación 12-4) son estimadores insesgados de if, mientras que bajo H 1 el valor esperado del numerador es mayor que el valor esperado del denominador. Por lo tanto, H o deberá rechazarse para los valores de F o que sean muy grandes. Esto implica una región crítica de una cola superior, por lo que H o se rechaza si Fo > Fa, " _ 1, N _"' El procedimiento de cálculo y el análisis de la tabla de varianza del modelo de efectos aleatorios son idénticos a lasque se utilizaron en el caso de efectos fijos. Sin embargo, las conclusiones son muy diferentes, ya que se aplican a la población completa de los tratamientos. Por lo general habrá interés en estimar los componentes de la varianza (if ya;) del modelo. Al procedimiento que se usa para estimar if ya; se le llama método del análisis de varianza, ya que hace uso de las líneas de la tabla del análisis de varianza. El procedimiento consiste en igualar los cuadrados medios esperados con sus valores observados en la tabla del análisis de varianza y despejar los componentes de la varianza. Al igualar los cuadrados medios observados con los esperados en el modelo de efectos aleatorios con un solo factor, se obtiene 2 MSTratnmientos = a +na; y MS E =a 2 Por lo tanto, los estimadores de los componentes de la varianza son a = MS 2 (12-7) E y aA?- = MSTratamientos - MS E (12-8) _~==""-_----,:e... n T Para tamaños de las muestras desiguales, se reemplaza n en la ecuación 12-8 con L" n 1" 2 i=l' ] n o =a-1 - - " n·---LJ' a i=l " LJ ni (12-9) i=l En el método del análisis de varianza para estimar los componentes de la varianza no se requiere el supuesto de normalidad. Produce estimadores de if y que son los mejores estimadores cuadráticos insesgados (es decir, de todas las funciones cuadráticas insesgadas de las observaciones, estos estimadores tienen mínima varianza). a; l!l!i 11 514 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Ocasionalmente, el método del análisis de varianza produce una estimación negativa de uno de los componentes de la varianza. Evidentemente, los componentes de la varianza son por definición no negativos, por lo que la estimación negativa de un componente de la varianza se considera con cierta preocupación. Un curso de acción es aceptar la estimación y usarla como evidencia de que el verdadero valor del componente de la varianza es cero, suponiendo que la variación muestralllevó a la estimación negativa. Esto tiene un atractivo intuitivo, pero adolece de algunas dificultades teóricas. Por ejemplo, usar cero en lugar de la estimación negativa puede alterar las propiedades estadísticas de otras estimaciones. Otra alternativa es volver a estimar el componente de la varianza negativa utilizando un método que produzca siempre estimaciones no negativas. Una alternativa más es considerar la estimación negativa como evidencia de que el modelo lineal supuesto es incorrecto y examinar de nuevo el problema. El tratamiento completo de la estimación de los componentes de la varianza se ofrece en Searle [99a, b], Searle, Casella y McCullogh [100] y Burdick y Graybill [22]. EJEMPLO . 12~1 Una compañía textil fabrica un tejido en un gran número de telares. Le gustaría que los telares fueran homogéneos a fin de obtener un tejido de resistencia uniforme. El ingeniero del proceso sospecha que, además de la variación usual de la resistencia dentro de las muestras del tejido del mismo telar, puede haber también variaciones significativas en la resistencia entre un telar y otro. Para investigar esta posibilidad, er ingeniero selecciona cuatro telares al azar y hace cuatro determinaciones de la resistencia del tejido fabricado en cada telar. Este experimento se corre de manera aleatoria, y los datos obtenidos se muestran en la tabla 12-1. Se realiza el análisis de varianza, el cual se muestra en la tabla 12-2. Por el análisis de varianza se concluye que los telares de la planta difieren significativamente. Los componentes de la varianza se estiman con a2 = 1.90 Y a; = 29.73-1.90 = 6.96 4 Por lo tanto, la varianza de cualquier observación de la resistencia se estima con a, = a2 +a; = 1.90+6.96= 8.86. La mayor parte de esta variabilidad es atribuible a las diferencias entre los telares. Este ejemplo ilustra un uso importante de los componentes de la varianza: la separación de las diferentes fuentes de variabilidad que afectan un producto o sistema. El problema de la variabilidad de un producto se presenta con frecuencia en el control de calidad, y en muchas ocasiones es difícil aislar las Tabla 12-1 Datos de la resistencia del ejemplo 12-1 Observaciones Thlares 1 2 3 4 1 98 91 96 95 2 97 90 95 96 3 99 93 97 99 4 Yi. 96 92 95 98 390 366 383 388 1527 = Y.. 12-1 MODELO CON EFECTOS ALEATORIOS Tabla 12.2 515 Análisis de varianza de los datos de la resistencia Fuente de variación Telares Error Total Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 89.19 22.75 111.94 3 12 15 29.73 1.90 Fo 15.68 Valor P <0.001 fuentes de la variabilidad. Por ejemplo, este estudio puede haber sido motivado por una gran variabilidad en la resistencia del tejido, como se ilustra en la figura 12-1a. En esta gráfica se presenta la salida del proceso (resistencia del tejido) modelado como una distribución normal con varianza f¡ ~ = 8.86. (Ésta es la estimación de la varianza de cualquier observación de la resistencia del ejemplo 12-1.) Las especificaciones superior e inferior de la resistencia se muestran también en la figura 12-1a, y es relativamente inmediato ver que una proporción bastante grande de la salida del proceso se sale de las especificaciones (las áreas sombreadas de las colas de la figura 12-1a). El ingeniero del proceso se ha preguntado por qué es tan grande la cantidad de tejido defectuoso que debe desecharse, reelaborarse o degradarse a un producto de menor calidad. La respuesta es que la mayor parte de la variabilidad de la resistencia del producto es el resultado de las diferencias entre los telares. El desempeño irregular de los telares podría ser el resultado de una instalación incorrecta, un mantenimiento deficiente, una supervisión ineficaz, operadores sin la capacitación suficiente, fibra de entrada defectuosa, etcétera. El ingeniero del proceso debe intentar ahora aislar las causas específicas de la diferencia en el desempeño de los telares. Si pudiera identificar y eliminar estas fuentes de variabilidad entre los telares, sería posible reducir considerablemente la varianza de la salida del proceso, quizá hasta f¡~ = 1.90, la estimación del componente de la varianza dentro del telar (error) en el ejemplo 12-1. En la figura 12-1b se muestra la distribución normal de la resistencia de la fibra con f¡~ = 1.90. Observe que la proporción del producto defectuoso en la salida se ha reducido radicalmente. Aun cuando es improbable que pueda eliminarse toda la variabilidad entre los telares, es claro que una reducción significativa en este componente de la varianza incrementaría sensiblemente la calidad de la fibra producida. LS (especificación inferior) US (especificación superior) al Variabilidad de la salida del proceso. LS (especificación inferior) US (especificación superior) b l Variabilidad de la salida del proceso si C1: =0. Figura 12-1 Salida del proceso en el problema de la resistencia de la fibra. 516 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Es sencillo encontrar un intervalo de confianza para el componente de la varianza 02. Si las observa_ ciones siguen una distribución normal e independiente, entonces (N -a)MSE /o2 se distribuye como X~-a' Por lo tanto, (N - a )MSE 2 P [ X 1-(a/2),N-a a2 :5 2 ] :5 X a/2,N-a = 1- a y un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para 02 es (N-a)MS E < 2 < (N-a)MS E _a - ? X~/2,N-a Considere ahora el componente de la varianza A? a- ,- (12-10) 2 XI-(a/2),N-a a;. El estimador puntual de a; es MSTratamienlns - MS E = ---'-'==::::""'--"n La variable aleatoria (a -l)MSnatamientn'/(o2 + na;) se distribuye como X;-l' y (N - a)MSE /a2 se distribuye como X~-a' Por lo tanto, la distribución de probabilidad de (j; es una combinación lineal de dos variables aleatorias ji-cuadrada, por ejemplo donde 2 2 = a +na ,- u n(a-1) 1 a2 u =---2 n(N-a) y Desafortunadamente, no puede obtenerse una expresión predeterminada para la distribución de esta combinación lineal de variables aleatorias ji-cuadrada. Por lo tanto, no es posible construir un intervalo de confianza exacto para En Graybill [50] y Searle [99a] se presentan procedimientos aproximados. Ver también la sección 12-7. Es sencillo encontrar una expresión exacta para un intervalo de confianza del cociente a; /(a; + 02). Se trata de un cociente con significado, ya que refleja laproporción de la varianza de una observación [recuerde que V(Yij) = + 02] que es el resultado de las diferencias entre los tratamientos. Para desarrollar este intervalo de confianza en el caso de un diseño balanceado, observe que MSnatamientos y MS E son variables aleatorias independientes y, además, que puede demostrarse que a;. a; (na; +a MSJi / a 2 MSTratamienlos / 2 ) _ F a-l,N-a Por lo tanto, ( F < 2 MSTralamientos ~"'S l-a/2,a-I,N-a - lY1, a na; +a?? E -:5 Fa/2 ) "a-I N-a = 1- a (12-11) Al reordenar la ecuación 12-11, puede obtenerse la siguiente expresión: P(L:5 :~ :5 U) = 1- a (12-12) donde L=l.(MSTratamienlOS n MS E 1 1) Fa/2 ,a-I,N-a (12-13a) 12-2 OlSEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES ALEATORIOS 517 y U = 1. (MSTralamicnlos MS E lZ 1 1) (12-13b) F1- a/2 ,a-l,N-a Observe que L y U son los límites de confianza inferior y superior del intervalo 100(1- a) por ciento, respectivamente, del cociente a;/if. Por lo tanto, un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para a;/(a; + if) es a2 U ' <-l+L - a; +a 2 -l+U L --< (12-14) Para ilustrar este procedimiento, se encontrará un intervalo de confianza de 95% de a;/(a; + a2) para los datos de la resistencia del ejemplo 12-1. Recuerde que MSTratamientos = 29.73, MSE = 1.90, a = 4, lZ =4,Foo025,3,12 = 4.47 YFOo975,3,12 = 1/Foo025,12,3 = 1/14.34 = 0.070. Por lo tanto, por las ecuaciones 12-13a y b, L=1.4 [(29.73)(_1)-1]= 0.625 1.90 4.47 U =1. [(29.73)(_1_)_1]= 54.883 4 1.90 0.070 y por la ecuación 12-12, el intervalo de confianza de 95% para a;/(a; + if) es a; 0.625 54.883 <-1.625 - a; +a 2 - 55.883 --< o a2 ? :50.98 a, +a- 0.39:5 2' Se concluye que la variabilidad entre los telares explica entre 39 y 98% de la varianza en la resistencia observada del tejido producido. Este intervalo de confianza es relativamente ancho debido al tamaño pequeño de la muestra que se usó en el experimento. Sin embargo, es evidente que la variabilidad entre los telares (a;) no es insignificante. 12~2 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES ALEATORIOS Suponga que se tienen dos factores, A y B, Y que ambos tienen un gran número de niveles de interés (como en la sección anterior, se supondrá que el número de niveles es infinito). Se escogerán al azar a niveles del factor A y b niveles del factor B, y estos niveles de los factores se incluirán en un diseño experimental factorial. Si el experimento se hace con lZ réplicas, las observaciones pueden representarse con el modelo lineal i = 1, 2, .oo, a j= 1,2, b { k = 1, 2, .oo, lZ OO" (12-15) donde todos los parámetros del modelo, t¡,f3j, (tf3)¡j YSijk' son variables aleatorias independientes. También se supondrá que las variables aleatorias Ti' f3 j, (tf3)¡j Ys¡po siguen una distribución normal con media cero y 518 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS varianzas dadas por V(r¡) quier observación es = a;, V(f3j) = a~, V[(r,B)ij] = a;p y V(C¡jk) = er. Por lo tanto, la varianza de cual(12 -16) ? V( Yijk ) = a;? +a¡¡? +a;¡¡ +a-? ya; ,a~ ,a;¡¡ ya2 son los componentes de la varianza. Las hipótesis que quieren probarse son Ho:a; = 0, Ho:a~ = y Ho:a;p = O. Observe la similitud con el modelo de efectos aleatorios de un solo factor. Los cálculos numéricos del análisis de varianza se mantienen sin cambios; es decir, SSA, SSB' SSAB' SSr y SSE se calculan como en el caso de efectos fijos. Sin embargo, para formar los estadísticos de prueba, deben examinarse los cuadrados medios esperados. Puede demostrarse que ° ? ? b ? E(MSA) = a- +na;¡¡ + na; E(MS B ) = a 2 +na;p +ana~ 2 E(MSJB)=a 2 +na .p (12-17) r y E(MS E ) =a2 Por los cuadrados medios esperados se observa que el estadístico apropiado para probar la hipótesis de que no hay interacción, Ho:a;p = O, es MS F. = -AB (12-18) o MS E er, ya que bajoHo tanto el numerador como el denominador deFotienen valor esperado y sólo siHo es falsaE(MSAB) es mayor que E(MSE). El cociente F o se distribuye como F(a -l),ab(n -1)' De manera similar, para probar Ho:a; = O se usaría MS F. = - A(12-19) o MS AB que se distribuye como Fa _ 1, (a _ l)(b _ 1)' Y para probar Ho:a~ MS F. = - Bo MS AB = O el estadístico es (12-20) que se distribuye como F b - 1, (a-1)(b -1)' Todas estas pruebas son de una sola cola superior. Observe que estos estadísticos de prueba no son los mismos que se usarían si ambos factoresA y B fuesen fijos. Los cuadrados medios esperados se usan siempre como guía para construir los estadísticos de prueba. En muchos experimentos que incluyen factores aleatorios existe al menos interés tanto en estimar los componentes de la varianza como en la prueba de las hipótesis. Los componentes de la varianza pueden estimarse con el método del análisis de varianza, es decir, igualando los cuadrados medios observados de las líneas de la tabla del análisis de varianza con sus valores esperados y resolviendo para los componentes de la varianza. Se obtiene así (12-21) 12-2 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES ALEATORIOS 519 como las estimaciones puntuales de los componentes de la varianza en el modelo de efectos aleatorios de dos factores. En la sección 12-7 se revisarán otros métodos para obtener estimaciones puntuales de los componentes de la varianza y los procedimientos para construir intervalos de confianza. EJEMPLO 12,2 . Estudio de capacidad o aptitud de sistemas de medición Con frecuencia se usan experimentos diseñados estadísticamente para investigar las fuentes de variabilidad que afectan a un sistema. Una aplicación industrial común es usar un experimento diseñado para estudiar los componentes de la variabilidad en un sistema de medición. Estos estudios se conocen comúnmente como estudios de capacidad o aptitud de instrumentos de medición (calibradores) o estudios de repetibilidad y reproductibilidad (R&R) de instrumentos de medición (calibradores), ya que éstos son los componentes de la variabilidad de interés. En la tabla 12-3 se muestra un experimento R&R de instrumentos de medición típico (de Montgomery [80aD. Se usa un instrumento o calibrador para medir una dimensión crítica de una pieza. Se han seleccionado 20 piezas del proceso de producción, y tres operadores escogidos al azar miden dos veces cada pieza con este calibrador. El orden en que se hacen las mediciones está completamente aleatorizado, por lo que se trata de un experimento factorial de dos factores en el que los factores del diseño son las piezas y los operadores, con dos réplicas. Las piezas y los operadores son factores aleatorios. Es válida la identidad del componente de la varianza de la ecuación 12-15; es decir, a y2 = a ,2 +a 2f3 +a 'f32 +a 2 donde a ~ es la variabilidad total (que incluye la variabilidad debida a las diferentes piezas, la variabilidad es el componente de la vadebida a los diferentes operadores y la variabilidad debida al calibrador), rianza de las piezas, a~ es el componente de la varianza de los operadores, a;f3 es el componente de la va- a; Tabla 12-3 El experimento de la capacidad o aptitud del sistema de medición del ejemplo 12-2 Número de Operador 1 Operador 2 Operador 3 la pieza 20 1 21 20 19 21 20 24 23 24 24 23 24 2 20 21 19 21 20 22 3 27 28 26 27 28 4 27 18 5 19 18 19 18 21 23 21 24 21 23 22 6 22 22 21 22 24 20 7 18 20 19 8 19 17 18 24 23 25 23 24 24 9 25 23 26 25 24 25 10 21 11 21 20 20 20 20 17 19 18 19 12 18 19 23 25 25 25 25 25 13 14 24 24 23 25 24 25 31 15 29 30 30 28 30 25 26 25 27 16 26 26 20 19 20 20 20 17 20 18 19 21 19 19 21 23 25 19 25 26 25 24 25 19 17 20 19 19 18 17 1 520 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS rianza que representa la interacción entre las piezas y los operadores, y 0 2 es el error experimental aleatorio. De manera típica, al componente de la varianza a2 se le llama la repetibilidad del instrumento de medición (calibrador), ya que puede considerarse que 0 2 refleja la variación obtenida cuando la misma pieza es medida por el mismo operador, y es común llamar a la reproductibilidad del instrumento de medición (calibrador), ya que refleja la variabilidad adicional en el sistema de medición que resulta del uso del instrumento por parte del operador. Estos experimentos . suelen realizarse con el objetivo de estimar los componentes de la varianza. En la tabla 12-4 se muestra el análisis de varianza de este experimento. Los cálculos se realizaron utilizando la rutina Balanced ANOVA (análisis de varianza balanceado) de Minitab. Con base en los valores P, se concluye que el efecto de las piezas es grande, que los operadores quizá tengan un efecto pequeño y que no hay ninguna interacción significativa pieza-operador. La ecuación 12-21 puede usarse para estimar los componentes de la varianza de la siguiente manera: f¡2 = r f¡2 fJ f¡2 rfJ 62.39- 0.71 = 10.28 (3)(2) = 1.31- 0.71 = 0.015 (20)(2) = 0.71- 0.99 = -0.14 2 y f¡2 = 0.99 La parte inferior de la salida de Minitab de la tabla 12-4 contiene los cuadrados medios esperados del modelo aleatorio, con los números entre paréntesis representando los componentes de la varianza [(4) representa a2, (3) representa o;fJ' etc.]. Se presentan también las estimaciones de los componentes de la varianza, junto con el término del error que se utilizó para probar ese componente de la varianza en el análisis de varianza. Más adelante se estudiará la terminología modelo no restringido; ésta no tiene relevancia en los modelos aleatorios. Observe que la estimación de uno de los componentes de la varianza, f¡;fJ' es negativa. Desde luego, esto no tiene sentido, ya que por definición las varianzas son no negativas. Desafortunadamente, pueden obtenerse estimaciones negativas de los componentes de la varianza cuando se usa el método de estimación del análisis de varianza (lo cual se considera una de sus desventajas). Existen varias maneras de abordar esta situación. Una posibilidad es suponer que la estimación negativa significa que el componente de la varianza en realidad es cero y simplemente se hace cero, dejando sin cambios las demás estimaciones. no negativas. Otro enfoque es estimar los componentes de la varianza con un método que asegure estimaciones no negativas (este enfoque se revisará brevemente en la sección 12-7). Por último, podría observarse que el valor P del término de interacción de la tabla 12-4 es muy grande, tomar esto como evidencia de que o ~fJ es en realidad cero (es decir, que no hay efecto de interacción) y ajustar un modelo reducido de la forma Yijk = /l+r:¡ +(3j +8ijk que no incluye el término de interacción. Éste es un enfoque relativamente sencillo y que con frecuencia funciona casi tan bien como los métodos más elaborados. Tabla 12-4 Análisis de varianza balanceado (Balanced ANOYA de Minitab) del ejemplo 12-2 Análisis de varianza (diseños balanceados) Factor part Type Levels Values random 20 1 operator random 3 4 5 6 7 11 12 19 13 20 14 16 10 17 2 3 8 2 9 15 1 3 18 Analys;s of Var;ance for y Source part operator part*operator Error Total Source DF 19 2 38 60 119 SS 1185.425 2.617 27.050 59.500 1274.592 Var;ance component 1 part 10.2798 2 operator 0.0149 3 part*operator -0.1399 4 Error 0.9917 U1 N ...... MS 62.391 1.308 0.712 0.992 Error term 3 3 4 F p 87.65 1 .84 0.000 0.173 0.861 0.72 Expected Mean Square for Each Term (us;ng unrestr;cted model) (4) + 2(3) + 6(1) (4) + 2(3) + 40(2) (4) (4 ) + 2(3) 'l!I 522 CAPÍTULO 12 Tabla 12-5 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Análisis de varianza del modelo reducido, ejemplo 12-2 Análisis de varianza (diseños balanceados) Factor part Type Levels Values 2 1 random 20 9 8 16 15 1 2 3 operator random 3 10 17 3 6 13 20 5 12 19 4 11 18 7 14 Analysis of Variance for y Source part operator Error TotaL DF 19 2 98 119 Source 1 part 2 operator 3 Error SS 1185.425 2.617 86.550 1274.592 Variance component 10.2513 0.0106 0.8832 MS 62.391 1.308 0.883 Error term 3 3 F P 70.64 1 .48 0.000 0.232 Expected Mean Square for Each Term (using unrestricted modeL) (3) + 6( 1) (3) + 40(2) (3) En la tabla 12-5 se muestra el análisis de varianza del modelo reducido. Puesto que no hay término de interacción, los dos efectos principales se prueban contra el término del error, y las estimaciones de los componentes de la varianza son {j2 = 62.39- 0.88 = 10.25 , (3)(2) = 1.31- 0.88 {j2 {j2 0.0108 (20)(2) {3 = 0.88 Por último, la varianza del calibrador podría estimarse como la suma de las estimaciones de los componentes de la varianza {j2 y {j~ como , {j2 _ {j2 +{j2 calibrador - {3 = 0.88+0.0108 = 0.8908 La variabilidad del calibrador parece ser pequeña en comparación con la variabilidad del producto. Se trata generalmente de una situación deseable, la cual implica que el calibrador tiene la capacidad de distinguir entre las diferentes gradaciones del producto. . 12,3 MODELO MIXTO CON DOS FACTORES Se considera ahora la situación en que uno de los factores,A, está fijo y el otro, B, es aleatorio. Se le llama análisis de varianza del modelo mixto. El modelo estadístico lineal es i = 1, 2, ,a (12-22) Yijk = fl+T¡ +f3 j +(Tf3)ij +t:ijk j= 1,2, ,b { k= 1,2, ,11 523 12-3 MODELO MIXTO CON DOS FACTORES Aquí T¡ es un efecto fijo, (Jj es un efecto aleatorio, se supone que la interacción (T(J)¡j es un efecto aleatorio y &ijk es un error aleatorio. Se supone también que las {T) son efectos fijos tales que L ~=1 Ti = OYque (Jj es una variable aleatoria NID(O, a~). El efecto de la interacción, (T(J)¡j' es una variable aleatoria normal con media Oy varianza [(a -1 )/a]a;p; sin embargo, la operación suma del componente de la interacción en el rango del factor fijo es igual a cero. Es decir, ! (T(J)ij = (T(J).j = O j= 1,2, ... ,b ¡=1 Esta restricción implica que algunos elementos de la interacción en diferentes niveles del factor fijo no son independientes. De hecho, puede demostrarse (ver el problema 12-25) que e ov[ ((3) 1? T ¡j,(T(3) ¡}]=-~a;p l' ;f; i I 'La covarianza entre (T(J)ij y (T(J)ij' paraj ;f; j' es cero, y el error aleatorio &;jk es NID(O, 02). Puesto que la suma de los efectos de la interacción en los niveles del factor fijo es igual a cero, a esta versión del modelo mixto con frecuencia se le llama modelo restringido. En este modelo la varianza de (T(J);j se define como [(a -l)/a]a;p en vez de como a;p para simplificar los cuadrados medios esperados. El supuesto (T(J)j = Otambién tiene un efecto sobre los cuadrados medios esperados, los cuales puede demostrarse que son a E(MS )= a 2 +na 2 + A TP bnL T; ;=1 a-1 E(MS B )= a 2 +ana~ E(MSAB ) = a 2 + na;p (12-23) y E(MS E )= a 2 Por lo tanto, el estadístico de prueba apropiado para probar que las medias de los efectos del factor fijo son iguales, o Ha:r:; = O, es MS F = - Aa MS AB que tiene la distribución de referenciaFa _ 1, (a-1)(b-1)' Para probar Ha: a~, el estadístico de prueba es MS B F =-a MS E con la distribución de referencia Ha: a;p = O, se usaría F b _ 1, aben _ 1)' Por último, para probar la hipótesis de la interacción MS MS E F = -AB a que tiene la distribución de referencia F(a _ l)(b _ 1), aben _ 1)' En el modelo mixto es posible estimar los efectos del factor fijo como p, = Y... i¡ = y;.. - Y... i = 1, 2, ... ,a (12-24) --,'. ~' ' "j-- ,;,:I¡; '1". ~:v , I :;-:1\ '1' I 524 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Los componentes de la varianza a~, a;p ya 2 pueden estimarse aplicando el método del análisis de varianza. Al eliminar la primera ecuación de las ecuaciones 12-23 quedan tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyas soluciones son (12-25) y {}2 = MS E Este enfoque general puede emplearse para estimar los componentes de la varianza en cualquier modelo mixto. Después de eliminar los cuadrados medios que contienen factores fijos, siempre quedará un sistema de ecuaciones que puede resolverse para los componentes de la varianza. En los modelos mixtos, el experimentador puede tener interés en probar hipótesis o en construir intervalos de confianza para las medias de tratamientos individuales del factor fijo. Al utilizar estos procedimientos, deberá tenerse cuidado de usar el error estándar apropiado de la media de los tratamientos. El error estándar de la media de los tratamientos del efecto fijo es Cuadrado medio para probar el efecto fijo ]1/2 [ Número de observaciones en la media de cada tratamiento ~ MS AB =---,;;;- Observe que esto es simplemente el error estándar que se usaría si éste fuera un modelo con efectos fijos, salvo porqueMSE se ha reemplazado con el cuadrado medio que se usó en la prueba de la hipótesis. EJEMPLO 12~3 ...................•.................•...................... Retomando el experimento de la capacidad o aptitud del sistema de medición Considere de nuevo el experimento R&R del calibrador descrito en el ejemplo 12-2. Suponga ahora que sólo tres operadores usan este calibrador, de tal modo que los operadores son un factor fijo. Sin embargo, puesto que las piezas se eligen al azar, se trata ahora de un experimento con un modelo mixto. El análisis de varianza del modelo mixto se muestra en la tabla 12-6. Los cálculos se realizaron utilizando la rutina Balanced ANOVA (análisis de varianza balanceado) de Minitab. Se especificó el uso del modelo restringido en el análisis de Minitab, el cual generó también los cuadrados medios esperados para este modelo. En la salida de Minitab, la ca)ltidad Q[2] indica una expresión cuadrática que incluye aloperador del efecto de factor fijo. Es decir, Q[2] = L ~=1f3~ / (b -1). Las conclusiones son similares al ejemplo 12-2. Los componentes de la varianza pueden estimarse con la ecuación 12-25 como = MSPiezas -MSE = 62.39-0.99 = 10.23 {}2 an PIezas A? a Piezas X operadores {}2 = MSPiezns x operadores n (3)(2) - MS E = 0.71- 0.99 = -0.14 2 = MS E = 0.99 Estos resultados también se muestran en la salida de Minitab. De nueva cuenta, resulta una estimación negativa del componente de la varianza de la interacción. Un curso de acción apropiado sería ajustar un Tabla 12.6 SiR" ii±- y -"i:Wit5"r"é"íY&t¡e'-'",~$"=\;~:'~;¡~~IA Análisis de varianza (Minitab) del modelo mixto del ejemplo 12). Se supone el modelo restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Type Levels Values random 20 1 2 8 9 16 15 operator f;xed 3 1 2 Factor part "1 3 10 17 3 4 11 18 5 12 19 6 13 20 7 14 Analys;s of Var;ance for y Source part operator part*operator Error Total DF 19 2 38 60 119 Source 1 2 3 4 lJ1 N lJ1 part operator part*operator Error SS 1185.425 2.617 27.050 59.500 1274.592 Var;ance component 10.2332 -0.1399 0.9917 MS 62.391 1.308 0.712 0.992 Error term 4 3 4 F 62.92 1 .84 0.72 P 0.000 0.173 0.861 Expected Mean Square for Each Term (us;ng restr;cted model) (4 ) + 6 (1 ) (4) + 2(3) + 4oQ[2J (4) + 2(3) (4 ) 526 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS modelo reducido, como se hizo en el ejemplo 12-2. En el caso de un modelo mixto con dos factores, esto lleva a los mismos resultados del ejemplo 12-2. ......................................................................... . Modelos mixtos alternativos Sehan propuesto varias versiones diferentes del modelo mixto. Estos modelos difieren de la versión restringida del modelo mixto estudiado anteriormente en los supuestos establecidos acerca de los componentes aleatorios. A continuación se revisa brevemente uno de estos modelos alternativos. Considere el modelo Yijk = ¡;.+a¡ +y j +(aY)ij +cijk donde a¡ (i = 1,2, ..., a) son efectos fijos tales que L~=la¡ = 0YYj' (aY)¡j y Cijk son variables aleatorias no correlacionadas que tienen media cero y varianzas V(Yj) = o~, V[(aY)ij] = o~, y V(Cijk) = er. Observe que aquí no se usa la restricción impuesta anteriormente sobre el efecto de la interacción; por consiguiente, a esta versión del modelo mixto se le llama con frecuencia modelo mixto no restringido. Es posible demostrar que los cuadrados medios esperados para este modelo son (referirse al material suplementario del texto de este capítulo) a E(MS A) = 0 2 +noa¡2, + E( MS B ) bnL a¡ ¡=1 a-1 = 0 2 + no ~ + ano ~ E(MS AB )= 0 2 +no~ (12-26) y Al comparar estos cuadrados medios esperados con los de la ecuación 12-23, se observa que la única diferencia evidente es la presencia del componente de la varianza o~ en el cuadrado medio esperado del efecto aleatorio. (En realidad, hay otras diferencias debido a las definiciones diferentes de la varianza del efecto de la interacción en los dos modelos.) Por consiguiente, se probaría la hipótesis de que el componente de la varianza del efecto aleatorio es igual a cero (Ho:o~ = O) usando el estadístico MS MS AB B F=-- o en contraste con probar H o : o~ con Fo = MSB/MSE en el modelo restringido. La prueba deberá ser más conservadora cuando se emplee este modelo porque por lo general MSAB será mayor que MS E • Los parámetros de los dos modelos guardan una relación cercana. De hecho, puede demostrarse que f3 j =yj+(aY).j (rf3)ij 2 0 1, = (aY)ij +(aY).j 2 1 2 =Op+-Oay a y 2 _ 2 O,p - 0a¡, 12-3 MODELO MIXTO CON DOS FACTORES 527 Puede usarse el método del análisis de varianza para estimar los componentes de la varianza. Con referencia a los cuadrados medios esperados, se encuentra que el único cambio de las ecuaciones 12-25 es que d MS B -MS AB a - = --=-----'=-(12-27) y an Estos dos modelos son casos especiales del modelo mixto propuesto por Scheffé [98b, d]. En este modelo se supone que las observaciones pueden representarse con = 1, 2, ,a j=1,2, ,b k ,lZ i Yijk =mij+cijk { = 1, 2, donde m;j y cijk son variables aleatorias independientes. La estructura de m;j es mij = fl+7:; +b j +cij E(mij ) = fl + 7:; ! 7:;=0 ;=1 y C. .) =O j= 1,2, ... ,b Las varianzas y covarianzas de bj y cij se expresan a través de las covarianzas de las mijo Además, los parámetros de los efectos aleatorios en otras formulaciones del modelo mixto pueden relacionarse con bj y cijo El análisis estadístico del modelo de Scheffé es idéntico al del modelo restringido tratado aquí, salvo porque, en general, el estadístico MSA/MSAB no siempre se distribuye como F cuando Ha: 7:i = Oes verdadera. A la luz de esta multiplicidad de modelos mixtos, una pregunta lógica es: ¿qué modelo deberá usarse? La mayoría de los especialistas en estadística prefieren el modelo restringido, mismo que se encuentra con mayor frecuencia en la literatura del tema. El modelo restringido es en realidad un poco más general que el no restringido, ya que en el primero la covarianza entre dos observaciones del mismo nivel del factor aleatorio puede ser positiva o negativa, mientras que en el segundo esta covarianza sólo puede ser positiva. Si la estructura correlativa de los componentes aleatorios no es grande, entonces cualquiera de los dos modelos mixtos es apropiado, y sólo hay diferencias menores entre ellos. Cuando se haga referencia más adelante a los modelos mixtos, se supondrá la estructura del modelo r~stringido. Sin embargo, si hay correlaciones grandes en los datos, entonces quizá deba emplearse el modelo de Scheffé. La elección del modelo deberá ser siempre dictada por los datos. El artículo de Hocking [56] es un resumen claro de diferentes modelos mixtos. EJEMPLO 12..4 . El modelo no restringido Algunos paquetes de software de computadora tienen soporte para un solo modelo mixto. Minitab soporta tanto el modelo restringido como el no restringido, aun cuando la selección por omisión es el modelo no restringido. En la tabla 12-7 se muestra la salida de Minitab para el experimento del ejemplo 12-3 utilizando el modelo no restringido. Observe que los cuadrados medios esperados concuerdan con los de la ecuación 12-26. Las conclusiones son idénticas a las del análisis del modelo restringido, y las estimaciones de los componentes de la varianza son muy similares. ........................... . .... ............ . ............................ \Jl N 00 Tabla 12-7 Análisis del experimento del ejemplo 12-3 utilizando el modelo restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Type Levels Values 1 random 20 8 15 operator fixed 3 1 Factor part 2 9 16 2 3 10 17 3 4 5 6 7 11 18 12 19 13 20 14 Analysis of Variance for y Source part operator part*operator Error' Total DF 19 2 38 60 119 Source 1 2 3 4 part operator pa rt*ope ra to r Error SS 1185.425 2.617 27.050 59.500 1274.592 Variance component 10.2798 -0.1399 0.9917 MS 62.391 1.308 0.712 0.992 Error term 3 3 4 F p 87.65 1. 84 0.72 0.000 0.173 0.861 Expected Mean Square for Each Term (using unrestricted model) (4) + 2(3) + 6(1) (4) + 2(3) + Q[2J (4) + 2(3) (4 ) '1'} 529 12-4 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA CON EFECTOS ALEATORIOS 12~4 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA CON EFECTOS ALEATORIOS Pueden usarse las curvas de operación característica del apéndice para determinar el tamaño de la muestra en experimentos con factores aleatorios. Se empieza con el modelo de efectos aleatorios con un solo factor de la sección 12-1. La probabilidad del error tipo II para el modelo de efectos aleatorios es {3 = 1- P{Rechazar Ha IHa es falsa} = 1- P{Fa > Fa a-1 N-a la; > O} (12-28) De nueva cuenta se requiere la distribución del estadístico de prueba Fa = MSTratamientoJMSE bajo la hipótesis alternativa. Puede demostrarse que siH1 es verdadera (a; > O), la distribución de Fa esF central con a - 1 Y N - a grados de libertad. Puesto que la probabilidad del error tipo II del modelo de efectos aleatorios se basa en la distribución F central usual, podrían usarse las tablas de la distribución F del apéndice para evaluar la ecuación 12-28. Sin embargo, es más simple determinar la sensibilidad de la prueba mediante el uso de las curvas de operación característica. En la parte IV del apéndice se presenta una serie de estas curvas para varios valores . de los grados de libertad del numerador, de los grados de libertad del denominador y a de 0.05 y 0.01. En estas curvas se grafica la probabilidad del error tipo II contra el parámetro .íl, donde lla 2 .íl = 1+ -2 ' (12-29) a Observe que.íl incluye dos parámetros desconocidos, a 2 y a;. Quizá pueda estimarse a; si se tiene una idea acerca de cuánta variabilidad de la población de tratamientos es importante detectar. Puede escogerse una estimación de 02 recurriendo a la experiencia previa o discrecionalmente. En ocasiones es úttJ' , ~. definir el valor de a; que quiere detectarse en términos del cociente a;/a2. .~t!}:; PrT1 tl.: Q.. I ;r¡ --'" tG' r-,: EJEMPLO 12,.5 J j Cr' l7''''~~' __ I~~ ":·'~¡:"'~~J~.~1 °'2 I~ }~ ,~.~~! Suponga que se han seleccionado cinco tratamientos al azar con seis observaciones por tratamiento y 'W~ r;) .1:::-;",' ·8 - , '- a = o.o~, y quiere determinarse la potencia de la prueba cuando a; es igual a a • Puesto que a = 2 a; = 0-, puede calcularse .íl=.J1+6(1) = 2.646 S'G(~i.fC: \Q4.J.;t,-,~~ ll . . - ' \ 0~ ¡g: !ii - ~d Por la curva de operación característica con a -1 = 4, N-a = 25 grados de libertad y a = 0.05, se encuentra que {3=0.20 Ypor lo tanto la potencia es de aproximadamente 0.80. También puede usarse el incremento porcentual en la desviación estándar de un método de observación para determinar el tamaño de la muestra. Si los tratamientos son homogéneos, entonces la desviación estándar de una observación seleccionada al azar es a. Sin embargo, si los tratamientos son diferentes, la desviación estándar de una observación elegida al azar es Ja +a; 2 '0"i 530 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Si P es el incremento porcentual fijo en la desviación estándar de una observación más allá del cual se desea rechazar la hipótesis nula, entonces 1+0.ü1P o a-o -+ = (1 + 0.01P)2 -1 aPor lo tanto, utilizando la ecuación 12-29, se encuentra que (12-30) Para unaP dada pueden usarse las curvas de operación característica de la parte VI del apéndice para encontrar el tamaño de la muestra deseado. También pueden usarse las curvas de operación característica para determinar el tamaño de la muestra del modelo de efectos aleatorios con dos factores y del modelo mixto. Se utiliza la parte VI del apéndice para el modelo de efectos aleatorios. El parámetro íl, los grados de libertad del numerador y los grados de libertad del denominador se muestran en la mitad superior de la tabla 12-8. Para el modelo mixto deben usarse las partes V y VI del apéndice. Los valores apropiados de ep2 y íl se muestran en la mitad inferior de la tabla 12-8. . Tabla 12-8 Parámetros de las curvas de operación característica de las tablas V y VI del apéndice para los modelos con dos factores de efectos aleatotios y mixto Factor El modelo de efectos aleatorios Grados de libertad del numerador Ji 1+ A bna; o a-1 (a-1)(b-1) b-1 (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) ab(n -1) o (r+na;p B AB Grados de libertad del denominador El modelo mixto Grados de libertad del numerador Grados de libertad del denominador Parte del apéndice A (fijo) a-1 (a-1)(b-1) v B (aleatorio) b-1 ab(n -1) VI (a-1)(b-1) ab(n -1) VI Parámetro Factor AB , __ 11. o na;p 1+- - a-0 12-5 REGLAS PARA LOS CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS 12~5 531 REGLAS PARA LOS CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS Una parte importante de cualquier problema de diseño experimental es la realización del análisis de varianza. Esto implica determinar la suma de cuadrados de cada componente del modelo y el número de grados de libertad asociados con cada suma de cuadrados. Después, para construir los estadísticos de prueba apropiados, deben determinarse los cuadrados medios esperados. En situaciones de diseño complejas, particularmente las que incluyen modelos aleatorios o mixtos, con frecuencia es útil contar con un procedimiento formal para este proceso. Se presentará un conjunto de reglas para anotar los cuadrados medios esperados en cualquier experimento factorial balanceado, anidado: o factorial anidado. (Observe que los arreglos parcialmente balanceados, como los cuadrados latinos y los diseños de bloques incompletos, se excluyen explícitamente.) Estas reglas son estudiadas por varios autores, incluyendo Scheffé [98d], Bennett y Franklin [9], Cornfield y Tukey [34] YSearle [99a, b]. Mediante el examen de los cuadrados medios esperados puede desarrollarse el estadístico apropiado para probar hipótesis acerca de cualquier parámetro del modelo. El estadístico de prueba es el cociente de los cuadrados medios que se elige, de tal modo que el valor esperado del cuadrado medio del numerador difiere del valor esperado del cuadrado medio del denominador únicamente por el componente de la varianza o el factor fijo en el que se tiene interés. Siempre es posible determinar los cuadrados medios esperados de cualquier modelo como se hizo en el capítulo 3, es decir, mediante la aplicación directa del operador valor esperado. Este método de fuerza bruta, como suele llamársele, puede ser muy laborioso. Las reglas que se presentan a continuación producen siempre los cuadrados medios esperados sin recurrir al enfoque de fuerza bruta y, con la práctica, su uso se vuelve relativamente simple. Cuando se aplican a un modelo mixto, estas reglas producen cuadrados medios esperados que son consistentes con los supuestos del modelo mixto restringido de la sección 12-3. Las reglas se ilustran utilizando el modelo factorial de efectos fijos con dos factores. El término del error del modelo, 8 ij ...m , se escribe como 8(ij... )m, donde el subíndice m denota el subíndice de la réplica. Para el modelo con dos factores, esta regla implica que 8 ijk se convierte en 8 (ij)k' Regla 1. Además de una media global (P) y un término del error [8(ij... )n,], el modelo contiene todos los efectos principales y las interacciones cuya existencia supone el experimentador. Si existen todas las interacciones posibles entre los k factores, entonces hay (; ) interacciones de dos factores, (; ) interacciones de tres factores, .oo, 1 interacción de k factores. Si uno de los factores de un término aparece entre paréntesis, entonces no hay interacción entre ese factor y los demás factores de ese término. Regla 2. Regla 3. Para cada término del modelo, los subíndices se dividen en tres clases: a) vivos: aquellos que están presentes en el término y no están entre paréntesis; b) muertos: aquellos que están presentes en el término y están entre paréntesis; y e) ausentes: aquellos subíndices que están presentes en el modelo pero no en ese término particular. Por lo tanto, en ('r:(3)ij, i y j son subíndices vivos y k es un subíndice ausente, y en 8(ij)b k es un subíndice vivo, mientras que i y j son subíndices muertos. 2 Los diseños anidados se estudian en el capítulo 13. 532 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Regla 4. Grados de libertad. El número de grados de libertad de cualquier término del modelo es el producto del número de niveles asociados con cada subíndice muerto y el número de niveles asociados con cada subíndice vivo menos lo Por ejemplo, el número de grados de libertad asociados con (rf3)ij es (a -1 )(b -1), Y el número de grados de libertad asociados con 8 (ij)k es ab(n - 1). Cada término del modelo tiene asociado con él un componente de la varianza (efecto aleatorio) o bien un factor fijo (efecto fijo). Si una interacción contiene al menos un efecto aleatorio, la interacción completa se considera aleatoria. Un componente de la varianza tiene letras griegas como subíndices para identificar el efecto aleatorio particular. Por 10 tanto, en un modelo mixto de dos factores con el factor A fijo y el factor B aleatorio, el componente de la varianza de B es a~, y el componente de la varianza deAB es a;fJ' Un efecto fijo se representa siempre por la suma de cuadrados de los componentes del modelo asociados con ese factor dividida por sus grados de libertad. En el ejemplo tratado aquí, el efecto de A es Regla 5. i=1 a-1 Regla 6. Cuadrados medios esperados. Para obtener los cuadrados medios esperados, se elabora la tabla siguiente. Hay un renglón para cada componente (cuadrado medio) del modelo y una columna para cada subíndice. Arriba de cada subíndice se escribe el número de niveles del factor asociados con ese subíndice y si el factor es fijo (F) o aleatorio (R). Las réplicas siempre se consideran aleatorias. a) En cada renglón se escribe 1 si uno de los subíndices muertos en el componente del renglón coin- cide con el subíndice de la columna: Factor F F a i b j 1 1 R n k b) En cada renglón, si cualquiera de los subíndices del componente del mismo coincide con el sub- índice de la columna, se escribe Osi el encabezado de la columna es un factor fijo y 1 si es un factor aleatorio: Factor F a i Ti O f3j (Tf3)¡j c(ij)k O 1 F b j O O 1 R n k 1 12-5 REGLAS PARA LOS CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS 533 e) En las posiciones del renglón que quedan vacías se escribe el número de niveles que aparecen indicados arriba del encabezado de la columna: Factor r:i f3j (r:f3)ij c(ij)k F F R a i b 11 j le O a O 1 b O O 1 11 11 11 1 d) Para obtener los cuadrados medios esperados de cualquier componente del modelo, primero se cubren todas las columnas cuyos encabezados sean subíndices vivos de ese componente. Después, en cada renglón que contiene al menos los mismos subíndices que los del componente bajo consideración, se toma el producto de los números visibles y se multiplica por el factor fijo o aleatorio apropiado de la regla 1. La suma de estas cantidades es el cuadrado medio esperado del componente del modelo bajo consideración. Por ejemplo, para encontrar E(MSA), se cubre la columna i. El producto de los números visibles en los renglones que contienen al menos el subíndice i sonbn (renglón 1), O(renglón 3) y 1 (renglón 4). Observe que i no está presente en el renglón 2. Por lo tanto, el cuadrado medio esperado es a bn E(MSA)=a2 + 2: 7:; i=l a-1 En la tabla 12-9 se presenta la tabla completa de los cuadrados medios esperados para este diseño. En las tablas 12-10 y 12-11 se muestran las derivaciones de los cuadrados medios esperados para los modelos con dos factores, aleatorio y mixto, respectivamente. Observe que se ha supuesto la versión restringida del modelo mixto para producir los cuadrados medios esperados. En el ejemplo siguiente se considera un diseño factorial con tres factores. EJEMPLO . 12~6 Considere un experimento factorial de tres factores con a niveles del factor A, b niveles del factor B, e niveles del factor e y n réplicas. El análisis de este diseño, suponiendo que todos los factores son de efectos Tabla 12-9 Derivación de los cuadrados medios esperados, modelo de efectos fijos con dos factores F F R b 11 Factor a i j le r:¡ O b 11 a-+-- f3j a O 11 a-+ b -1 (r:f3)¡j O O 11 a-+ C(ij)k 1 1 1 a- Cuadrado medio esperado ? ? ? ? bl1"Lr:; a-1 al1"Lf3~ 11"L"L(r:f3)¡' ~ (a-1)(b -1) 534 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Tabla 12-10 Derivación de los cuadrados medios esperados, modelo de efectos aleatorios con dos factores R R R a b n Factor i j k T¡ 1 b n u 2 + nu;p + bnu; f3i (Tf3)ij a 1 n u 2 +nurp2 + anu2p 1 1 1 1 n u 2 + IW rp2 C(¡j)k Tabla 12-11 1 Cuadrado medio esperado ? u- Derivación de los cuadrados medios esperados, modelo mixto con dos factores F R a R n Cuadrado medio esperado Factor i b j T¡ O b n ? ? bn"LT u- + nu- + - - ' rp a-l f3i (Tf3)y a 1 n u O 1 1 n 1 1 u + nu;p u-? k 2 C(ij)k ¡ i 2 + anu~ 2 Tabla 12-12 Derivación de los cuadrados medios esperados, modelo de efectos aleatorios con tres factores R R R R a b n Factor i j e k T¡ 1 b e n f3i a 1 e n Yk a b 1 n (Tf3)¡i 1 1 e n (ry)¡k 1 b n (f3Y)ik a (Tf3Y)¡ik 1 1 1 1 1 1 1 1 i I cijkl 1 Cuadrado medio esperado 1 2 n + enu;p + bnu~, + nu;py + benu; + enu;p + anu~l' + nu;Pl' + aenu~ ?b? b? u- + IW~, + anu P1' + nu;py + a nu; 2 u + nu;py + enu;p b u- + nu;py + IW~, 2 u + nU;Pl' + alW~y 2 u + nu;py 1 u-? n u u 2 ? ? ? ? ? 12-6 PRUEBAS F APROXIMADAS 535 fijos, se presenta en la sección 5-4. Ahora se determinan los cuadrados medios esperados suponiendo que todos los factores son aleatorios. El modelo estadístico apropiado es Yijkl = p,+7:¡ +f3 j +Yk +(7:f3)ij +(7:Y)ik +(f3Y)jk +(7:f3Y)ijk +Eijkl Utilizando las reglas descritas antes, en la tabla 12-12 se derivan los cuadrados medios esperados. Se observa, al examinar los cuadrados medios esperados de la tabla 12-12, que siA, B y e son factores aleatorios, entonces no existe ninguna prueba exacta para los efectos principales. Es decir, si se quiere probar la hipótesis = 0, no es posible formar un cociente de dos cuadrados medios esperados tal que el único término del numerador que no está en el denominador sea bcna;. El mismo fenómeno ocurre para los efectos principales de B y C. Observe que efectivamente existen las pruebas apropiadas para las interacciones de dos y tres factores. Sin embargo, es posible que las pruebas de los efectos principales sean de importancia básica para el experimentador. Por lo tanto, ¿cómo deberán probarse los efectos principales? Este problema se considera en la siguiente sección. a; ........................................................................ . 12,6 PRUEBAS F APROXIMADAS Es frecuente que en experimentos factoriales con tres o más factores incluidos en un modelo aleatorio o mixto, así como en otros diseños más complejos, no exista un estadístico de prueba exacto para ciertos efectos de los modelos. Una posible solución a este dilema es suponer que ciertas interacciones son insignificantes. Para ilustrar, si fuera razonable suponer que todas las interacciones de dos factores del ejemplo 12-6 son insignificantes, entonces podría hacerse a;/3 = a~ = a~y = 0, y sería posible conducir pruebas de los efectos principales. Aun cuando parece tratarse de una posibilidad atractiva, es necesario señalar que debe haber algo en la naturaleza del proceso -o algún conocimiento previo sólido- que permita suponer que una o más de las interacciones son insignificantes. En general, no es sencillo establecer este supuesto, y tampoco deberá hacerse a la ligera. No deberán eliminarse ciertas interacciones del modelo sin evidencia concluyente de que es apropiado hacerlo. Un procedimiento defendido por algunos experimentadores es probar primero las interacciones, después fijar en cero aquellas interacciones que se hayan encontrado no significativas, para después suponer que estas interacciones son cero cuando se prueben otros efectos en el mismo experimento. Aun cuando en ocasiones se aplica en la práctica, este procedimiento puede ser riesgoso, ya que cualquier decisión respecto a una interacción está sujeta tanto al error tipo 1 como al error tipo H. Una variante de esta idea es agrupar ciertos cuadrados medios en el análisis de varianza para obtener una estimación del error con más grados de libertad. Por ejemplo, suponga que en el ejemplo 12-6 no fue significativo el estadístico de prueba Fo = MSABc/MSE • Por lo tanto, H o:a;/3Y = no se rechaza, y tanto MSABC como MS E estiman la varianza del error cJl. El experimentador podría considerar la agrupación o combinación de MSABC Y MSE de acuerdo con ° MS , = abc(n-1)MS E +(a-1)(b-1)(c-1)MSABC E abc(n-1 )+(a -1)(b-1)(c-1) de tal modo queE(MSE ,) = cJl. Observe queMSE' tiene abc(n -1) + (a -l)(b -l)(c -1) grados de libertad, en comparación con los abc(n - 1) grados de libertad del MSE original. El riesgo de agrupar es que puede incurrirse en un error tipo H y combinar con el error el cuadrado medio de un factor que en realidad es significativo, obteniéndose así un nuevo cuadrado medio residual 536 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS (MS E ,) que es muy grande. Esto hará que sea más difícil detectar otros efectos significativos. Por otra parte, si el cuadrado medio del error original tiene un número muy pequeño de grados de libertad (por ejemplo, menos de seis), el experimentador quizá tenga mucho que ganar al hacer la agrupación, ya que podría conseguirse así un incremento potencialmente considerable de la precisión de pruebas posteriores. Un procedimiento razonablemente práctico es el siguiente. Si el cuadrado medio del error original tiene seis o más grados de libertad, no hacer la agrupación. Si el cuadrado medio del error original tiene menos de seis grados de libertad, hacer la agrupación sólo si el estadístico F del cuadrado medio que se agrupará no es significativo para un valor grande de a, tal como a = 0.25. Cuando no es posible suponer que ciertas interacciones son insignificantes y sigue siendo necesario hacer inferencias acerca de los efectos para los que no existen pruebas exactas, puede emplearse un procedimiento atribuido a Satterthwaite [97]. El método de Satterthwaite utiliza combinaciones lineales de cuadrados medios, por ejemplo, MS'= MS r + ... +MSs (12-31) MS" = MS + ... + MS (12-32) y 11 V donde los cuadrados medios de las ecuaciones 12-31 y 12-32 se seleccionan de tal modo que E(MS') E(MS") sea igual a un múltiplo del efecto (el parámetro del modelo o el componente de la varianza) considerado en la hipótesis nula. Entonces el estadístico de prueba sería MS' MS" F=-- (12-33) que se distribuye aproximadamente como Fp , q' donde I p= MS r2 /!,r + ... +MSS2 /fS (12-34) q= MS u2 /!,u + (12-35) . I , y .00 +MSv2 /!,v En p y q,/; es el número de grados de libertad asociados con el cuadrado medio MS¡o No existe la seguridad de que p y q sean enteros, por lo que puede ser necesario hacer una interpolación en las tablas de la distribuciónFo Por ejemplo, en el modelo de efectos aleatorios con tres factores (tabla 12-12), es relativamente sencillo ver que un estadístico de prueba apropiado para Ho:a; = O sería F = MS' /MS", con MS'= MS A +MS ABC y MS"= MS AB + MS AC Los grados de libertad de F se calcularían con las ecuaciones 12-34 y 12-35. La teoría subyacente de esta prueba es que tanto el numerador como el denominador del estadístico de prueba (ecuación 12-33) se distribuyen aproximadamente como múltiplos de variables aleatorias 537 12-6 PRUEBAS F APROXIMADAS ji-cuadrada, y puesto que no aparece ningún cuadrado medio en el numerador o el denominador de la ecuación 12-33, el numerador y el denominador son independientes. Por lo tanto, en la ecuación 12-33, F se distribuye aproximadamente como Fp , q' Satterthwaite hace hincapié en que deberá prestarse atención al aplicar el procedimiento cuando algunos de los cuadrados medios de MS' y MS" aparezcan con signos negativos. Gaylory Hopper [48] reportan que siMS' = MS 1 -MS 2, entonces la aproximación de Satterthwaite tiene una validez razonable si MS >F xF MS O.025.!2.!j O.SO.!2.!2 __ 1 2 Y si 11 :5 100 Y 12 2:: EJEMPLO N2. . 12~7 Se estudia la caída de la presión medida en una válvula de expansión de una turbina. El ingeniero de diseño considera que las variables importantes que influyen en las lecturas de la caída de la presión son la temperatura del gas en la admisión (A), el operador (B) y el manómetro específico que utiliza el operador (C). Estos tres factores se incluyen en un diseño factorial, con la temperatura del gas fija y el operador y el manómetro aleatorios. En la tabla 12-13 se muestran los datos codificados de dos réplicas. El modelo lineal de este diseño es donde 7:; es el efecto de la temperatura del gas (A), f3j es el efecto del operador (B) y Yk es el efecto del manómetro (C). El análisis de varianza se muestra en la tabla 12-14. Se ha agregado la columna titulada "Cuadrados medios esperados" a esta tabla, y las entradas de esta columna se derivan por los métodos estudiados en la sección 12-5. Por la columna Cuadrados medios esperados, se observa que existen pruebas exactas para todos los efectos esperados salvo el efecto principalA. En la tabla 12-14 se muestran los resultados de estas pruebas. Para probar el efecto de la temperatura del gas, o H o:7:; = O, podría usarse el estadístico MS' F= MS" 'labIa 12-13 Datos codificados de la caída de la presión para el experimento de la turbina Temperatura del gas (A) 60 P 7SoP Operador (B) Operador (B) 0 Manómetro (C) 1 1 -2 -3 2 3 -6 4 -1 -2 2 3 O -9 -S -1 -1 -8 -8 -2 -4 O -8 -7 4 4 4 -3 -7 -2 4 1 14 14 22 24 20 16 2 6 O 8 6 2 O 90 P 0 3 1 2 6 2 3 O . Operador (B) 4 -7 6 -S 2 -S -1 1 -8 -8 -8 3 -2 -1 2 -2 20 1 -7 -1 -2 3 -1 -2 -9 -8 4 -2 1 -8 3 -4 1 -7 3 ~-' .:~--:~=~:-=~- \J1 l.J,.l 00 Tabla 12-14 Análisis de varianza de los datos de la caída de la presión Fuente de variación Temperatura, A Operador,B Manómetro, C Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrados medios esperados 2 2 2 2 bcn2:.7:¡ + bn(J'1' + cn(Jrp + n(Jrpy + - - - Cuadrado medio Fo Valor P 2.22 0.17 1023.36 2 423.82 3 (J2 + an(J~y + acn(J~ 141.27 4.05 0.07 7.19 2 (J2 + an(J~y + abn(J~ 3.60 0.10 0.90 1211.97 (J a-1 511.68 6 (J2 + n(J;py + cn(J;p 202.00 14.59 <0.01 AC BC ABC 137.89 4 (J2 + n(J;p)' + bn~'1' 34.47 2.49 0.10 209.47 6 (J2 + an(J~y 34.91 1.63 0.17 166.11 12 (J2 + n(J;py 0.79 770.50 36 (J- 13.84 . 21.40 0.65 Error Total 3950.32 71 AB , ,jJ illilJ 12-6 PRUEBAS F APROXIMADAS 539 donde MS'=MS A + MS ABC y MS"= MS AB + MS AC ya que E(MS')-E(MS")= bcn2::¡;2 a-1 ¡ Para determinar el estadístico de prueba para Ha:'í¡ = O, se calculan MS'= MS A +MS ABC = 511.68+ 13.84 = 525.52 MS"= MS AB + MS AC = 202.00+34.47= 236.47 y F = MS' = 525.52 = 2.22 MS" 236.47 Los grados de libertad de este estadístico se encuentran con las ecuaciones 12-34 y 12-35 de la siguiente manera: (MS A + MS ABC )2 2 p= MS A2 /2+MS ABC /12 (525.52)2 = 2.11=2 (511.68)2 /2+(13.84)2 /12 y (MS AB +MS AC )2 q = MS AB 2 / 6 + MS 2 / 4 AC = (236.47)2 = 7.88=8 (202.00)2 /6+(34.47)2 /4 Al comparar F = 2.22 con Fa.a5 ,2, 8 = 4.46, no puede rechazarse Ha. El valor P aproximado esP = 0.17. La interacciónAB, o temperatura-operador, es grande, y hay ciertos indicios de una interacciónAC o temperatura-manómetro. El análisis gráfico de las interaccionesAB yAC, ilustrado en la figura 12-2, indica que el efecto de la temperatura puede ser grande cuando se usan el operador 1 y el manómetro 3. Por lo tanto, parece posible que los efectos principales de la temperatura y el operador estén enmascarados por la interacción AB grande. En la tabla 12-15 se presenta la salida de la rutina Balanced ANOVA (análisis de varianza balanceado) de Minitab para el experimento del ejemplo 12-7. Se ha especificado el modelo restringido. Q[l] representa el efecto fijo de la presión del gas. Observe que las entradas de la tabla del análisis de varianza ~.'i·l 'I ¡ji 1I ji 11 540 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS 125 100 100 I:Q 75 x 75 CJ ~ 'ro" "IuD '" .!!! QJ "'" x ~ 50 "IDu 25 B~2 QJ ro ~ O B ~4 B~ 1 B~3 -25 -50 50 'ro" 60 75 A 90 25 '" .!!! QJ "'" O QJ ro o 1-25 -50 60 Figura 12-2 Interacciones en el experimento de la caída de la presión. concuerdan en general con las de la tabla 12-14, salvo por la pruebaF de la temperatura del gas (factorA). Minitab indica que la prueba no es exacta (lo que se ve por los cuadrados medios esperados). La Prueba Sintetizada construida por Minitab es en realidad el procedimiento de Satterthwaite, pero usa,un estadístico de prueba diferente del que se utilizó aquí. Observe que, por la salida de Minitab, el cuadrado medio del error para probar el factor A es (4)+(5)-7= MS AB 1 , I I + MS AC -MS ABC cuyo valor esperado es E[(4)+(5)-(7)]= a 2 +na;py +cna;p +a 2 +na;py 2 +bna 'l' - 2 (a 2 +na ,py ) 2 2 2 = a 2 +na ,py +cna ,p +bna 'l' que es un cuadrado medio del error apropiado para probar el efecto promedio deA. Esto es una muy buena ilustración de que puede haber más de una manera de construir los cuadrados medios sintéticos usados en el procedimiento de Satterthwaite. Sin embargo, se preferiría en general la combinación lineal de los cuadrados medios que se seleccionaron, en lugar de la que eligió Minitab, ya que no incluye ningún cuadrado medio con signo negativo en las combinaciones lineales. El análisis del ejemplo 12-7, suponiendo el modelo no restringido, se presenta en la tabla 12-16. La diferencia principal con el modelo restringido es que ahora los valores esperados de los cuadrados medios de los tres efectos principales son tales que no existe ninguna prueba exacta. En el modelo restringido, los dos efectos aleatorios promedio podrían probarse contra su interacción, pero ahora el cuadrado medio esperado deB incluye aa;py y aa;p,yel cuadrado medio esperado de Cincluye aa;py y aa~. De nueva cuenta, Minitab construye cuadrados medios sintéticos y prueba estos efectos con el procedimiento de Satterthwaite. Las conclusiones generales no son radicalmente diferentes del análisis del modelo restringido, además del cambio grande en la estimación del componente de la varianza del operador. El modelo no restringido produce una estimación negativa de a ~ . Puesto que el factor manómetro no es significativo en ninguno de los dos análisis, es posible que sea pertinente alguna reducción del modelo. - t roo &'"rmét¿tt"t,·,:Zl';. Tabla 12-15 Análiss de varianza balanceado de Minitab (Balanced AN avA) del ejemplo 12-7, modelo restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Factor Type Levels Values GasT fixed 3 60 Operator random 4 1 Gauge random 3 1 75 2 2 90 3 3 4 Analysis of Variance for Drop Source GasT Operator Gauge GasT*Operator GasT*Gauge Operator*Gauge GasT*Operator*Gauge Error Total DF SS MS F 2 3 2 6 4 6 12 36 71 1023.36 423.82 7.19 1211.97 137.89 209.47 166.11 770.50 3950.32 511.68 141.27 3.60 202.00 34.47 34.91 13.84 21. 40 2.30 4.05 0.10 14.59 2.49 1.63 0.65 P 0.171 x 0.069 0.904 0.000 0.099 0.167 0.788 "1l x Not an exact F-test. Source 1 2 3 4 5 6 7 8 GasT Operator Gauge GasT*Operator GasT*Gauge Operator*Gauge GasT*Operator*Gauge Error Variance Error Expected Mean Square for Each Term component term (using restricted model) * 5.909 -1.305 31.359 2.579 2.252 -3.780 21.403 6 6 7 7 8 8 (8) (8) (8) (8) + 2(7) + 6(6) + 6(6) + 2(7) (8) + 2(7) (8) + 6(6) (8) + 2(7) + 8(5) + 6(4) + 24Q[1J + 18(2) + 24(3) + 6(4) + 8(5) (8) * Synthesized Test. Error Terms for Synthesized Tests lJ1 .... ~ Source 1 GasT Error DF Error MS 6.97 222.63 Synthesis of Error MS (4) + (5) - (7) ~ ____ ,__ U1 ~ N Tabla 12-16 Análisis de varianza balanceado de Minjtab (Balanced ANOVA) del ejemplo 12-7, modelo no restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Factor Type Levels Values GasT fixed 3 60 Operator random 4 1 Gauge random 3 1 75 2 2 90 3 3 4 Analysis of Variance for Drop Source GasT Operator Gauge GasT*Operator GasT*Gauge Operator*Gauge GasT*Operator*Gauge Error Total DF 2 3 2 6 4 6 12 36 71 SS 1023.36 423.82 7.19 1211.97 137.89 209.47 166.11 770.50 3950.32 MS 511 .68 141.27 3.60 202.00 34.47 34.91 13.84 21 .40 F 2.30 0.63 0.06 14.59 2.49 2.52 0.65 P 0.171 x 0.616 x 0.938 x 0.000 0.099 0.081 0.788 x Not an exact F-test. Variance Error Expected Mean Square for Each Term component term (using unrestricted model) * (8) + 2(7) + 8(5) + 6(4) + Q[1J GasT * (8) + 2(7) + 6(6) + 6(4) + 18(2) Operator -4.544 * (8) + 2(7) + 6(6) + 8(5) + 24(3) Gauge -2.164 7 (8) + 2(7) + 6(4) GasT*Operator 31.359 7 (8) + 2(7) + 8(5) GasT*Gauge 2.579 7 (8) + 2(7) + 6(6) Operator*Gauge 3.512 8 (8) + 2(7) GasT*Operator*Gauge -3.780 (8) Error 21.403 Source 1 2 3 4 5 6 7 8 * Synthesized Test. Error Terms for Synthesized Tests Source' 1 GasT 2 Operator 3 Gauge Error DF 6.97 7.09 5.98 Error MS 222.63 223.06 55.54 Synthesis of Error MS (4) (4) (S) + + + (5) (6) (6) - (7) (7) (7) =---~ =--=~:'~--C::S3I 12-7 ALGUNOS TEMAS ADICIONALES SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARIANZA 12..7 543 ALGUNOS TEMAS ADICIONALES SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARIANZA Como se señaló anteriormente, la estimación de los componentes de la varianza en un modelo aleatorio o mixto reviste con frecuencia considerable importancia para el experimentador. En esta sección se presentan algunos resultados y técnicas adicionales que son útiles para estimar los componentes de la varianza. La atención se centra en los procedimientos para encontrar intervalos de confianza para los componentes de la varianza, y se ilustra asimismo cómo encontrar estimaciones de máxima verosimilitud de los componentes de la varianza. El método de máxima verosimilitud puede ser una alternativa útil cuando el método del análisis de varianza produce estimaciones negativas. 12..7.1 Intervalos de confianza aproximados para los componentes de la varianza Cuando se introdujo el modelo de efectos aleatorios en la sección 12-1, se presentaron intervalos de confianza exactos de 100(1-a) por ciento paraerypara otras funciones de los componentes de la varianza en ese diseño experimental simple. Siempre es posible encontrar un intervalo de confianza exacto para cualquier función de los componentes de la varianza que es el valor esperado de uno de los cuadrados medios del análisis de varianza. Por ejemplo, considere el cuadrado medio del error. Puesto que E(MSE ) = siempre es posible encontrar un intervalo de confianza exacto para ya que la cantidad 2 2 tEMSE / a = tEo2 / a er, er, tiene una distribución ji-cuadrada cantE grados de libertad. El intervalo de confianza exacto de 100(1-a) por ciento es (12-36) Desafortunadamente, en experimentos más complejos en los que intervienen varios factores del diseño no es posible por lo general encontrar intervalos de confianza exactos para los componentes de la varianza de interés, ya que estas varianzas no son el valor esperado de un solo cuadrado medio del análisis de varianza. Sin embargo, los conceptos fundamentales de las "pseudo" pruebas F aproximadas de Satterthwaite, introducidos en la sección 12-6, pueden emplearse para construir intervalos de confianza aproximados de los componentes de la varianza para los que no se cuenta con ningún intervalo de confianza exacto. Recuerde que el método de Satterthwaite utiliza dos combinaciones lineales de cuadrados medios MS' = MS r + ... + MS s y MS" = MS u + ... +MS v con el estadístico de prueba MS' F=MS" que tiene una distribuciónF aproximada. Al utilizar los grados de libertad apropiados paraMS' y MS", definidos en las ecuaciones 12-34 y 12-35, este estadístico F puede usarse en una prueba de significación aproximada del parámetro o del componente de la varianza de interés. milI PI' 111, I,i 'i1l i i 544 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS Para probar la significación de un componente de la varianza, por ejemplo a~, las dos combinaciones lineales, MS' y MS", se eligen de tal modo que la diferencia en sus valores esperados sea igual a un múltiplo del componente, por ejemplo E(MS')- E(MS") = ka~ o 2 _ ao - E(MS')- E(MS") k (12-37) . La ecuación 12-37 proporciona una base para una estimación puntual de a~: MS'-MS" f¡2 - - - - ok = ..!..k MS r + ... +..!..k MS s_..!.. MS k - ... 11 ..!.. MS k u (12-38) Los cuadrados medios (MS¡) de la ecuación 12-38 son independientes, donde lasf;MS/a¡ = SS/a¡ tienen distribuciones ji-cuadrada con/; grados de libertad. La estimación del componente de la varianza, f¡~, es una combinación lineal de múltiplos de los cuadrados medios, y rf¡ ~ la ~ sigue una distribución ji-cuadrada aproximada con r grados de libertad, donde r ( f¡2 )2 = o 1 MS~ 2:-2-' k h ni ¡=1 ( MS r +···+MSs -MS - ... -MSv )2 MS; MS; MS,~ MS; --+ ... +--+--+ ... +-fr fs f., fu Il , I '! (12-39) Este resultado sólo puede usarse si f¡~ > O. Como r no será un entero en la mayoría de los casos, por lo general será necesario hacer una interpolación de las tablas ji-cuadrada. Graybill [50] establece un resultado general para r. Ahora bien, puesto que rf¡ ~ laZ tiene una distribución ji-cuadrada aproximada con r grados de libertad, 2 - 1~2 < <_o 2 } __ p { X1-a/2,r - a~ - Xa/2,r. -1 a y rf¡2 rf¡2 } 0_<a2 < o =l-a P { __ 2 0? Xa/2,r Xl-a/2,r Por lo tanto, un intervalo de confianza aproximado de 100(1 - a) por ciento para a~ es rf¡2 rf¡2 __0_<a2 < o 2 o2 Xa/2,r X1-a/2,r EJEMPLO (12-40) . 12~8 Para ilustrar este procedimiento, considere nuevamente el experimento del ejemplo 12-7, donde se usó un modelo mixto con tres factores en un estudio de la caída de la presión en una válvula de expansión de una turbina. El modelo es Yijkl = fl+r¡ +f3 j +Yk +("íf3)ij +(rY)¡k +(f3Y)jk +(rf3Y)¡jk +cijkl 12-7 ALGUNOS TEMAS ADICIONALES SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARIANZA 545 donde 7:¡ es un efecto fijo y todos los demás efectos son aleatorios. Se encontrará un intervalo de confianza aproximado para a;,8 . Al utilizar los cuadrados medios esperados de la tabla 12-14, se observa que la diferencia en los valores esperados de los cuadrados medios para el efecto de la interacción de dos factores AB y el efecto de interacción de tres factores ABe es un múltiplo del componente de la varianza de interés, a;,8' _ 2 - cna ,,8 Por lo tanto, la estimación puntual de a;,8 es 2 _ MS AB - MS ABC a ,,8 cn A = 134.91-19.26 (3)(2) 19.28 y (MS AB - MS ABC)2 r = ----'---------'-=--------'=-'------MS~ MS~c ------'-"''------+ --_----=..:=-=---(a-1)(b-1) (a-1)(b-1)(c-1) (134.91-19.26)2 (134.91)2 (2)(3) + (19.26)2 4.36 (2)(3)(2) El intervalo de confianza aproximado de 95% paraa;,8 se encuentra entonces con la ecuación 12-40 de la siguiente manera: ..... ? "'? ra;,8 2 ra;,8 :5 a ,,8 :5 - 2 - X O.025,r X 0.975,r (4.36)(19.28) 2 ( ,4_.3----'6)'-'-(1_9_.28~) -'---------'---'-------'- < a < 11.58 - ,,8 0.61 7.26:5 a;,8 :5137.81 -2-- Este resultado es consistente con los resultados de la prueba F exacta para a;,8' en que hay evidencia sólida de que este componente de la varianza es diferente de cero. 12~7.2 Método de grandes muestras modificado El método de Satterthwaite de la sección anterior es una forma relativamente simple de encontrar un intervalo de confianza aproximado para un componente de la varianza que puede expresarse como una combinación lineal de cuadrados medios, por ejemplo a~ = Q 2: c¡MS¡ (12-41) ¡=1 El método de Satterthwaite funciona bien cuando los grados de libertad de cada cuadrado medio MS¡ son relativamente grandes, y cuando todas las constantes c¡ de la ecuación 12-41 son positivas. Sin embargo, en ocasiones algunas de las c¡ son negativas. Graybill y Wang [51] propusieron un procedimiento llamado método de grandes muestras modificado, que puede ser una alternativa muy útil del método de Satterthwaite. Si todas las constantes c¡ de la ecuación 12-41 son positivas, entonces el intervalo de confianza modificado de 100(1 - a) por ciento de una muestra grande para a~ es Q Q aA2o - 2: G¡2 ¡MS¡2 :5 a~ :5 a~ + 2: C ¡=1 i=l (12-42) 546 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS donde 1 Fa,Ji,ee 1 1 H ---¡- F y G. = 1 - - - 1 l-a,J¡,lXl Observe que una variable aleatoria F con un número infinito de grados de libertad en el denominador es equivalente a una variable aleatoria ji-cuadrada dividida por sus grados de libertad. Considere ahora el caso más general de la ecuación 12-41, donde las constantes C¡ no tienen restricciones sobre el signo. Esto puede escribirse como o~ = P Q ¡=1 j=P+l 2: c¡MS¡ - 2: C j MS j , (12-43) Ting, etal [110], dan un intervalo de confianza inferior aproximado de 100(1-a) por ciento paraa~ como L= o~ -.jf7; (12-44) donde Q P Q j=P+1 ¡=1 j=P+l P VL = 2: 0¡2 C; ¡=1 + P-1 P i=l t>i 2: Hfcf MSf + 2: 2: 0Jc¡cjMS¡MS MS¡2 + j 2: 2: G¿c¡c¡MS¡MS¡ 1 G. = 1 - - - Fa,f¡,lXl 1 H. = J O .. 1 Fl-a,f¡,CCJ 1 = ( Fa,f;,fj _1)2 F IJ 1 1[( 1 Fa,f;+f" oo si P > 1 y _ a,f¡,fj H 2 J a,f¡,fj 2 a= II 0 2F 2 ) 2 (h + h ) j¡h O~ = o 02.f' 0 .f'] (P-1), 2 _ ¡J_i¡ _ _ 1 J_II h h si P = 1 Estos resultados también pueden extenderse para incluir intervalos de confianza aproximados para cocientes de componentes de la varianza. Para una relación completa de estos métodos, referirse al excelente libro de Burdick y Graybill [22]. EJEMPLO . 12~9 Para ilustrar el método de grandes muestras modificado, considere nuevamente el modelo mixto con tres factores del ejemplo 12-7. Se encontrará un intervalo de confianza inferior aproximado de 95% para 0;13. Recuerde que la estimación puntual de 0;13 es 02 ,13 = MS AB - MS ABe cn = 134.91-19.26 = 19.28 (3)(2) fI 12-7 ALGUNOS TEMAS ADICIONALES SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARlANZA Por lo tanto, en la notación de la ecuación 12-43, G = 11 H? = - 1 = FO.05,6,~ 1 = C2 = 1/6, Y 1-~= 0.524 2.1 1 FO.95,12,~ = ( F0.05,6,12 - G C1 547 1=---1=1.30 0.435 1)2 - (G)2 p2 1 0.05,6,12 - (H 2 )2 F 12 0.05,6,12 (3.00-1)2 - (0.524)2 (3.00)2 - (1.3)2 3.00 -0.054 Por la ecuación 12-44 VL = G 12 c; MS~ + H~ c~ MS~e + G 12 c1c 2 MS AH MS ABe = (0.524)2 (1 / 6)2 (134.91)2 +(1.3)2 (1 /6)2 (19.26)2 +(-0.054)(1/ 6)(1/ 6)(134.91)(19.26) = 152.36 Así, un límite de confianza inferior aproximado de 95% para L= a;p a;p es -JV: = 19.28-.J152.36 = 6.94 Este resultado es consistente con los resultados de la prueba F exacta para este efecto. 12~7.3 Estimación de máxima verosimilitud de componentes de la varianza En este capítulo se ha subrayado el método del análisis de varianza para estimar los componentes de la varianza debido a que es relativamente directo y hace uso de cantidades familiares: los cuadrados medios de la tabla del análisis de varianza. Sin embargo, el método tiene ciertas desventajas, incluyendo la molesta tendencia a producir en ocasiones estimaciones negativas. Además, el método del análisis de varianza es en realidad un método de estimador de momentos, una técnica que los especialistas en estadística matemática prefieren en general no usar para estimar parámetros, debido a que resulta con frecuencia en estimaciones de parámetros que no tienen buenas propiedades estadísticas. A la técnica de estimación de parámetros preferida se le llama método de máxima verosimilitud. La implementación de este método puede ser un tanto complicada, en particular para el modelo de un diseño experimental, pero en cierto sentido el método de máxima verosimilitud selecciona estimaciones de los parámetros que, para un modelo y una distribución del error especificados, maximiza la probabilidad de ocurrencia de los resultados muestrales. Una descripción general muy adecuada del método de máxima verosimilitud aplicado a modelos de diseños experimentales se ofrece en Milliken y Johnson [79]. La revisión completa del método de máxima verosimilitud sale del alcance de este libro, pero la idea general puede ilustrarse con suma facilidad. Soponga quex es una variable aleatoria con una distribución ~. 11 548 i;! de probabilidad/ex; 8), donde 8 es un parámetro desconocido. Sea Xl' X 2, ... , X n una muestra aleatoria de n observaciones. Entonces la función de verosimilitud de la muestra es 1 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS ,1 I I Observe que ahora la función de verosimilitud es una función únicamente del parámetro desconocido 8. El estimador de máxima verosimilitud de 8 es el valor de 8 que maximiza la función de verosimilitudL(8). Para ilustrar cómo se aplica esto en el modelo de un diseño experimental con efectos aleatorios, considere un modelo de dos factores con a = b = n = 2. El modelo es = fl+7:¡ +{3j +(7:{3)ij +cijk Yijk con i = 1, 2, j = 1, 2 Y k = 1, 2. La varianza de cualquier observación es 2 2 2 V( Yijk ) =a 2y =a r2 +a(3+a r(3+a y las covarianzas son eov(Yijk' 2 2 2 Y¡'j'k')= a r +a (3 +a r(3 =a; -- a 2(3 =0 i = i', i = i', i -:1= i', i -:1= i', Es conveniente considerar las observaciones como un vector 8 j = j', k -:1= k' j' j = j' j -:1= j' j -:1= X (12-45) 1, es decir, Ym Yll2 Y211 y= Y212 Yl21 Y122 Y221 Y222 y las varianzas y covarianzas pueden expresarse como una matriz de covarianza 8 x 8 1: = donde 1:11 , 1:22 , 1:12 Y 1:21 = 1:' 12 son matrices a y2 2 2 a r +a (3 +a r(3 = a r2 a r2 2 1: 11 = 1: 22 2 [1: 11 1: 12 ] 1: 21 1: 22 4 x 4 definidas de la siguiente manera: 2 2 a r +a (3 +a r (3 a-?ya r2 a r2 a r2 a r2 a 2y 2 2 ? a r +a (3 +a;(3 a 2(3 a (32 O O a-?(3 a (32 O O 1: 12 = O O a 2(3 a 2(3 O O a 2(3 a 2(3 a r2 a r2 ? ? 2 a; +af¡ +a r (3 a y2 ú' 12-7 ALGUNOS TEMAS ADICIONALES SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARlANZA Y};21 549 es sólo la transpuesta de };12' Entonces cada observación sigue una distribución normal con varianza a ~, y si se supone que todas las N = abn observaciones tienen una distribución normal conjunta, entonces la función de verosimilitud del modelo aleatorio queda como donde jN es un vector N x 1 compuesto de unos. Las estimaciones de máxima verosimilitud de /-l, a;, a~, a;/l yaZ son los valores de estos parámetros que maximizan la función de verosimilitud. También sería deseable restringir las estimaciones de los componentes de la varianza a valores no negativos. Por lo tanto, en la práctica la función de verosimilitud se maximizaría sujeta a esta restricción. La estimación de los componentes de la varianza por el método de máxima verosimilitud requiere software de computadora especializado. Algunos paquetes de software de estadística general cuentan con esta capacidad. El sistema SAS calcula estimaciones de máxima verosimilitud de los componentes de la varianza de modelos aleatorios o mixtos con la rutina SAS PROC MIXED. Se ilustrará el uso de la rutina PROC MIXED aplicándola al modelo factorial de dos factores introducido en los ejemplos 12-2 y 12-3. Considere primero el ejemplo 12-2. Se trata del modelo de un diseño factorial de efectos aleatorios con dos factores. El método del análisis de varianza ha producido una estimación negativa del componente de la varianza de la interacción. Las estimaciones negativas de los componentes de la varianza pueden evitarse en la rutina PROC MIXED especificando el uso del método de máxima verosimilitud restringida (o residual) (REML, por sus siglas en inglés). En esencia, la REML restringe las estimaciones de los componentes de la varianza a valores no negativos. La rutina PROC MIXED del sistema SAS requiere como entrada la matriz de covarianza de los parámetros del modelo. La estructura de un modelo aleatorio en el que todas las variables aleatorias son mutuamente independientes es (12-46) donde las 1 son matrices identidad. (La estructura de la covarianza de un modelo puede especificarse en la rutina PROC MIXED con la opción TYPE= stnlcture en el enunciado RANDOM.) La estructura de la covarianza del modelo del ejemplo 12-2 se especifica como TYPE = SIM (el valor por omisión de PROC MIXED), que especifica la estructura simple de la covarianza para los parámetros del modelo dados en la ecuación 12-46. En la tabla 12-17 se presenta la salida de la rutina PROC MIXED de SAS para el experimento del ejemplo 12-2. Se especificó el método de estimación REML de los componentes de la varianza. La salida se ha anotado con números para facilitar la descripción que se presenta a continuación: 1. Estimaciones de los componentes de la varianza y la salida relacionada. 2. Parámetro covarianza. Identifica los parámetros del modelo: a;, a~, a~/l y aZ. 3. Cociente de la varianza estimada del efecto y la varianza estimada del error residual: 0 2 /0 2 1 4. Estimaciones de los parámetros. Son las estimaciones REML de los componentes de la varianza 2 o~, o~/l y 0 • Observe que la estimación REML de o;/l es cero. o;, _~~ ,__ ~ ~ ,,~O"'=~ ,,""ª' lJ1 lJ1 o Tabla 12-17 Salida de PROC MIXED del sistema SAS del análisis del estudio de repetibilidad y reproductibilidad de instrumentcis de medición (calibradores) ddJ:;i~IDPJo_l)-2 !ltili~ªndo la estimación REML de los componentes de varianza The MIXED Procedure Class Level Information Levels Values 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 OPERATOR 3 1 2 3 REPLICAT 2 1 2 Class PART W Covariance Parameter Estimates (REML) [I] [I] OPERATOR PART PART*OPERATOR Residual GJ rn []] [I] > Iz I W Ratio Estimate Std Errors 0.01203539 11.60743820 -0.00000000 1.00000000 0.01062922 10.25126446 -0.00000000 0.88316339 0.03286000 3.37376878 0.32 3.04 0.7463 0.0024 0.05 0.05 0.12616620 7.00 0.0000 0.05 Cov Parm Z Pr Alpha @] Lower Upper -0.0538 0.0750 3.6388 16.8637 0.6359 1.1304 [Q] Asymptotic Covariance Matrix of Estimates Cov Parm OPERATOR PART PART*OPERATOR Residual OPERATOR 0.00107978 0.00006632 0.00000000 -0.00039795 PART 0.00006632 11.38231579 0.00000000 -0.00265287 PART*OPERATOR 0.00000000 0.00000000 0.00000000 -0.00000000 Residual -0.00039795 -0.00265287 -0.00000000 0.01591791 [j] Model Fitting Information for VALUE Description Value Observations 120.0000 Variance Estimate 0.8832 Standard Deviation Estimate 0.9398 REML Log Likelihood -204.696 Akaike's Information Criterion -208.696 Schwarz's Bayesian Criterion -214.254 -2 REML Log Likelihood 409.3913 ~.'~ ,ici\t" ". q---= n----____ =e"'"5'O' "7 '"'M':cr,¡:;d~". Tabla 12-18 Salida de PROC MlXED del sistema SAS del análisis del estudio de repetibilidad y reproductibilidad de instrumentos de medición (calibradores) con el operador como efecto fijo utilizando la estimación REML de los componentes de la vatianza The MIXED Procedure Covariance Parameter Estimates (REMU Cov Parm PART PART*OPERATOR Residual Iz I Alpha 3.04 0.0024 0.05 3.6388 16.8637 7.00 0.0000 0.05 0.6359 Ratio Estimate Std Error Z 11.60743876 0.00000000 1.00000000 10.25126472 0.00000000 0.88316337 3.37376895 0.12616620 Pr > PART PART*OPERATOR Residual 11.38231693 0.00000000 -0.00265287 0.00000000 0.00000000 0.00000000 -0.00265287 -0.00000000 -0.01591791 Cov Parm Model Fitting lnformation for VALUE Description Observations Variance Estimate Standard Dev;at;on Est;mate REML Log Likelihood Akaike's lnformat;on Criterion Schwarz's Bayesian Cr;ter;on -2 REML Log Likelihood Value 120.0000 0.8832 0.9398 -204.729 -207.729 -211.872 409.4572 Tests of F;xed Effects Source OPERATOR U1 U1 t-' Upper ;:::~ Asymptotic Covariance Matrix of Estimates PART PART*OPERATOR Residual Lower NDF DDF Type 111 F Pr > F 2 38 1.48 0.2401 1.1304 552 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS 5. Error estándar de la estimación. Es el error estándar (se) para muestras grandes de la estimación del parámetro: se(a¡) = ~V( a¡ ). 6. El estadístico Z asociado con la varianza estimada: Z=a¡ /se(a¡). 7. Valor P del estadístico Z calculado. S. Nivel alfa usado para calcular el intervalo de confianza. 9. Límites inferior y superior de un intervalo de confianza de la teoría normal para muestras grandes de 100(1 - a) por ciento para los componentes de la varianza: L= a¡ - Za/2se(a¡) U = a¡ +Za/2se(a¡) 10. Matriz asintótica de la covarianza de las estimaciones. Es la matriz de la covarianza para muestras grandes de las estimaciones de los componentes de la varianza. 11. Medidas del ajuste del modelo para comparar el ajuste de modelos alternativos. Observe que los resultados de la rutina PROC MIXED de SAS coinciden muy de cerca con los valores presentados en el ejemplo 12-2 cuando el modelo reducido (sin el término de la interacción) se ajustó a los datos. En el ejemplo 12-3 se consideró el mismo experimento, pero se supuso que los operadores eran un factor fijo, lo cual llevó a un modelo mixto. La rutina PROC MIXED de SAS puede emplearse para estimar los componentes de la varianza para esta situación. La estructura de la covarianza de las observaciones, suponiendo que todas las variables aleatorias son mutuamente independientes (es decir, el modelo mixto no restringido), es 2 COV(Yijk' Yi)'k') = a~ +a;p +a i = i', j = j', k = k' =a~+a;p i=i', j=j', k;t:k' (12-47) = a~ i ;é i', j = j' =0 j;t:j' La matriz de la covarianza de los parámetros del modelo es G= [a~I a~I] (12-48) (Esto se especifica en el enunciado TYPE = SIM en la entrada de la rutina PROC MIXED.) En la tabla 12-18 se muestra la salida de la rutina PROC MIXED de SAS para la forma no restringida del modelo mixto del ejemplo 12-3. De nueva cuenta se seleccionó el método REML. La estimación del componente de la varianza para el factor "pieza" es muy similar a la estimación que se obtuvo utilizando el modelo aleatorio. La estimación de la varianza del error residual también es similar. Además, la salida incluye una prueba F para el efecto fijo. 12~8 PROBLEMAS 12-1. Una fábrica textil tiene un gran número de telares. Se supone que cada telar produce la misma cantidad de tela por minuto. Para investigar este supuesto, se eligen cinco telares al azar y se registra su producción en tiempos diferentes. Se obtienen los siguientes datos: Telar 1 2 3 4 5 14.0 Producción (lb/min) 14.2 14.1 13.9 13.8 13.9 14.1 14.2 13.6 13.8 13.8 13.6 14.1 14.0 13.9 14.0 14.0 14.0 13.9 13.8 14.1 14.0 13.9 13.7 14.0 12-8 PROBLEMAS 553 a) Explicar por qué este experimento es de efectos aleatorios. ¿Todos los telares tienen la misma producción? Utilizar a = 0.05. b) Estimar la variabilidad entre los telares. e) Estimar, la varianza del error experimental. d) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para a; / (a; + a2 } e) Analizar los residuales de este experimento. ¿Considera el lector que se satisfacen los supuestos del análisis de varianza? 12-2. Un fabricante sospecha que los lotes de materia prima suministrados por su proveedor difieren de manera significativa en el contenido de calcio. Hay un gran número de lotes actualmente en el almacén. Se seleccionan cinco de ellos para hacer un estudio. Un químico hace cinco determinaciones en cada lote y obtiene los siguientes datos: Lote 1 23.46 23.48 23.56 23.39 23.40 Lote 2 23.59 23.46 23.42 23.49 23.50 Lote 3 23.51 23.64 23.46 23.52 23.49 Lote 4 23.28 23.40 23.37 23.46 23.39 Lote 5 23.29 23.46 23.37 23.32 23.38 a) ¿Existe una variación significativa en el contenido de calcio de un lote a otro? Utilizar a = 0.05. b) Estimar los componentes de la varianza. e) Encontrar un intervalo de confianza de 95 % para a; / (a; + a 2 } d) Analizar los residuales de este experimento. ¿Se satisfacen los supuestos del análisis de varianza? 12-3. En una fábrica metalúrgica se usan varios hornos para calentar ejemplares de metal. Se supone que todos los hornos operan a la misma temperatura, aunque se sospecha que quizá no sea éste el caso. Se seleccionan al azar tres hornos y se registran sus temperaturas en cargas sucesivas. Los datos recabados son los siguientes: Horno 1 2 3 491.50 488.50 490.10 498.30 484.65 484.80 Thmperatura 498.10 493.50 479.90 477.35 488.25 473.00 493.60 471.85 478.65 a) ¿Existe una variación significativa de la temperatura entre los hornos? Utilizar a = 0.05. b) Estimar los componentes de la varianza de este modelo. e) Analizar los residuales de este experimento y sacar conclusiones acerca de la adecuación del modelo. 12-4. En un artículo de Joumal ofthe Electrochemical Society (vol. 139, no. 2, pp. 524-532) se describe un experimento para investigar la deposición de vapor a baja presión del polisilicio. El experimento se llevó a cabo en el reactor de alta capacidad de Sematech en Austin, Texas. El reactor tiene varias posiciones para las obleas, y se seleccionan al azar cuatro de estas posiciones. La variable de respuesta es la uniformidad del espesor de la película. Se hicieron tres réplicas del experimento y se obtuvieron los siguientes datos: Posición de la oblea 1 2 3 4 Uniformidad 2.76 1.43 2.34 0.94 5.67 1.70 1.97 1.36 4.49 2.19 1.47 1.65 554 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS a) ¿Hay alguna diferencia en las posiciones de las obleas? Utilizar a = 0.05. b) Estimar la variabilidad debida a las posiciones de las obleas. e) Estimar el componente del error aleatorio. d) Analizar los residuales de este experimento y comentar la adecuación del modelo. 12-5. Considere el experimento de la deposición de vapor del problema 12-4. a) Estimar la variabilidad total de la respuesta uniformidad. b) ¿Qué parte de la variabilidad total de la respuesta uniformidad se debe a la diferencia entre las posiciones en el reactor? e) ¿Hasta qué nivel podría reducirse la variabilidad de la respuesta uniformidad si pudiera eliminarse la variabilidad entre una posición y otra en el reactor? ¿Considera el lector que ésta es una reducción significativa? 12-6. En un artículo de Joumal ofQuality Technology (vol. 13, no. 2, pp. 111-114) se describe un experimento para investigar los efectos de cuatro sustancias químicas blanqueadoras sobre la brillantez de la pulpa. Estas cuatro sustancias químicas se seleccionaron al azar de una población grande de agentes blanqueadores potenciales. Los datos son los siguientes: Sustancia química 1 2 3 4 Brillantez de la pulpa 74.466 92.746 76.208 79.306 81.914 80.346 78.017 91.596 80.802 78.358 77.544 77.364 77.199 80.522 79.417 78.001 82.876 73.385 80.626 77.386 a) ¿Existe alguna diferencia en los tipos de sustancias químicas? Utilizar a = 0.05. b) Estimar la variabilidad debida al tipo de sustancias químicas. e) Estimar la variabilidad debida al error aleatorio. d) Analizar los residuales de este experimento y comentar la adecuación del modelo. 12-7. Considere el modelo de efectos aleatorios, balanceado, en una variable. Desarrollar un procedimiento para encontrar un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para a2/(a; + a2 ). 12-8. Referirse al problema 12-1. a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar Ha si a; es 4 veces la varianza del error a2 ? b) Si la diferencia entre los telares es lo suficientemente grande para incrementar la desviación estándar de una observación en 20%, quiere detectarse esto con una probabilidad de al menos 0.80. ¿Qué tamaño de la muestra deberá usarse? 12-9. Se llevó a cabo un experimento para investigar la capacidad o aptitud de un sistema de medición. Se seleccionaron diez piezas al azar, y dos operadores escogidos aleatoriamente midieron tres veces cada pieza. Las pruebas se hicieron en orden aleatorio y se obtuvieron los siguientes datos: Número de pieza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 50 52 53 49 48 52 51 52 50 47 Mediciones del operador 1 2 49 52 50 51 49 50 51 50 51 46 Mediciones del operador 2 3 50 51 50 50 48 50 51 49 50 49 1 50 51 54 48 48 52 51 53 51 46 2 48 51 52 50 49 50 50 48 48 47 3 51 51 51 51 48 50 50 50 49 48 fI 12-8 PROBLEMAS 12-10. 12-11. 12-12. 12-13. 12-14. 12-15. 12-16. 12-17. 12-18. 12-19; 12-20. 12-21. 12-22. 555 a) Analizar los datos de este experimento. b) Encontrar estimaciones puntuales de los componentes de la varianza utilizando el método del análisis de varianza. Considere nuevamente los datos del problema 5-6. Suponga que ambos factores, las máquinas y los operadores, se eligen al azar. a) Analizar los datos de este experimento. b) Encontrar estimaciones puntuales de los componentes de la varianza utilizando el método del análisis de varianza. Considere nuevamente los datos del problema 5-13. Suponga que ambos factores son aleatorios. a) Analizar los datos de este experimento. b) Estimar los componentes de la varianza. Suponga que en el problema 5-11 las posiciones en el horno se seleccionaron aleatoriamente, dando como resultado un experimento con un modelo mixto. Analizar de nuevo los datos de este experimento bajo este nuevo supuesto. Estimar los componentes apropiados del modelo. Analizar de nuevo el experimento de los sistemas de medición del problema 12-9, suponiendo que los operadores son un factor fijo. Estimar los componentes apropiados del modelo. En el problema 5-6, suponga que sólo hay cuatro máquinas de interés, pero los operadores se seleccionaron aleatoriamente. a) ¿Qué tipo de modelo es apropiado? b) Efectuar el análisis y estimar los componentes del modelo. Mediante la aplicación del operador valor esperado, desarrollar los cuadrados medios esperados del modelo factorial mixto con dos factores. Usar los supuestos del modelo restringido. Verificar los resultados con los cuadrados medios esperados de la tabla 12-11 para constatar que concuerdan. Considere el diseño factorial de tres factores del ejemplo 12-6. Proponer los estadísticos de prueba apropiados para todos los efectos principales y las interacciones. Repetir para el caso en: que A y B son fijos y e es aleatorio. Considere el experimento del ejemplo 12-7. Analizar los datos para el caso en queA, B y e son aleatorios. Deducir los cuadrados medios esperados de la tabla 12-14. Considere un experimento factorial de cuatro factores donde el factor A tiene a niveles, el factor B tiene b niveles, el factor e tiene e niveles, el factor D tiene d niveles y hay n réplicas. Anotar las sumas de cuadrados, los grados de libertad y los cuadrados medios esperados para los siguientes casos. Suponer el modelo restringido para todos los modelos mixtos. Puede usarse un paquete de computadora como Minitab. a) A, B, e y D son factores fijos. b) A, B, e y D son factores aleatorios. e) A es fijo y B, e y D son aleatorios. d) A y B son fijos y e y D son aleatorios. e) A, B Y e son fijos y D es aleatorio. ¿Existen pruebas exactas para todos los efectos? Si no es así, proponer estadísticos de prueba para los efectos que no puedan probarse directamente. Considere nuevamente los incisos e, d y e del problema 12-19. Obtener los cuadrados medios esperados suponiendo un modelo no restringido. Puede usarse un paquete de computadora como Minitab. Comparar los resultados obtenidos con los del modelo restringido. En el problema 5-17, suponga que los tres operadores se seleccionaron al azar. Analizar los datos bajo estas condiciones y sacar conclusiones. Estimar los componentes de la varianza. Considere el modelo factorial de tres factores i. :. 1, 2, J -1, 2, { k= 1,2, ,a ,b ,e Suponiendo que los tres factores son aleatorios, desarrollar la tabla del análisis de varianza, incluyendo los cuadrados medios esperados. Proponer los estadísticos de prueba apropiados para todos los efectos.. 556 CAPÍTULO 12 EXPERIMENTOS CON FACTORES ALEATORIOS 12-23. El modelo factorial de tres factores para una sola réplica es Yijk 12-24. 12-25. 12-26. 12-27. = ¡,t+r: i +f3¡ +Yk +(r:f3)ij +(f3Y)¡k +(r:Y)ik +(r:f3Y)ijk +8ijk Si todos los factores son aleatorios, ¿puede probarse alguno de los efectos? Si las interacciones de tres facto. res y (r:f3h no existen, ¿es posible probar todos los demás efectos? En el problema 5-6, suponga que tanto las máquinas como los operadores se escogieron al azar. Determinar la potencia de la prueba para detectar un efecto de la máquina tal que a~ = aZ, donde a~ es el componente de la varianza del factor máquina. ¿Son suficientes dos réplicas? En el análisis de varianza del modelo mixto de dos factores, demostrar que Cov[(r:f3)jj, (r"f3)j]l = -(l/a) a;p para i ;.: i'. Demostrar que el método del análisis de varianza siempre produce estimaciones puntuales insesgadas de los componentes de la varianza en cualquier modelo aleatorio o mixto. Invocando los supuestos de normalidad usuales, encontrar una expresión para la probabilidad de obtener una estimación negativa de un componente de la varianza por el método del análisis de varianza. Utilizando este resultado, escribir un enunciado para la probabilidad de que < Oen un análisis de varianza de un factor. Comentar la utilidad de este enunciado de probabilidad. Analizar los datos del problema 12-9, suponiendo que los operadores son fijos y utilizando tanto la forma no restringida como la restringida de los modelos mixtos. Comparar los resultados que se obtienen con los dos modelos. Considere el modelo mixto de dos factores. Demostrar que el error estándar de la media del factor fijo (por ejemplo, A) es [MSAB/bn]1/2. Considere los componentes de la varianza del modelo aleatorio del problema 12-9. a) Encontrar un intervalo de confianza exacto del 95% para aZ. b) Encontrar intervalos de confianza aproximados del 95 % para los otros componentes de la varianza utilizando el método de Satterthwaite. Usar el experimento descrito en el problema 5-6 y suponer que ambos factores son aleatorios. Encontrar un intervalo de confianza exacto del 95% para aZ. Construir intervalos de confianza aproximados del 95% para los otros componentes de la varianza utilizando el método de Satterlhwaite. Considere el experimento de tres factores del problema 5-17 y suponga que los operadores se seleccionaron al azar. Encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95 % para el componente de la varianza del operador. Resolver de nuevo el problema 12-30 utilizando el método de grandes muestras modificado que se describe en la sección 12-7.2. Comparar las dos series de intervalos de confianza obtenidas y comentarlas. Resolver de nuevo el problema 12-32 utilizando el método de grandes muestras modificado que se describe en la sección 12-7.2. Comparar este intervalo de confianza con el que se obtuvo anteriormente y comentarlo. &; 12-28. 12-29. 12-30. 12-31. 12-32. 12-33. 12-34. Diseños anidados y de parcelas subdivididas En este capítulo se introducen dos importantes tipos de diseños experimentales: el diseño anidado y el diseño de parcelas subdivididas. Estos dos diseños encuentran una aplicación razonablemente generalizada en el uso industrial de los experimentos diseñados. Con frecuencia incluyen también uno o más factores aleatorios, por lo que algunos de los conceptos introducidos en el capítulo 12 tendrán cabida aquí. 13..1 DISEÑO ANIDADO DE DOS ETAPAS En algunos experimentos con factores múltiples, los niveles de uno de los factores (por ejemplo el factor B) son similares pero no idénticos a los diferentes niveles de otro factor (por ejemplo A). A un arreglo como éste se le llama diseño anidado o jerárquico, con los niveles del factor B anidados bajo los niveles del factorA. Por ejemplo, considere una compañía que compra su materia prima a tres proveedores diferentes. La compañía quiere determinar si la pureza de la materia prima de cada proveedor es la misma. Hay cuatro lotes de materia prima disponibles de cada proveedor, y se harán tres determinaciones de la pureza en cada lote. La situación se describe en la figura 13-1. Se trata de un diseño anidado de dos etapas, con los lotes anidados bajo los proveedores. A primera vista se podría preguntar por qué no es un experimento factorial. Si fuera un experimento factorial, entonces el lote 1 se referiría siempre al mismo lote, el lote 2 se referiría siempre al mismo lote, etcétera. Evidentemente, no es éste el caso, ya que los lotes de cada proveedor son únicos para ese proveedor particular. Es decir, el lote 1 del proveedor 1 no tiene relación con el lote 1 de cualquier otro proveedor, el lote 2 del proveedor 1 no tiene relación con el lote 2 de cualquier otro proveedor, etcétera. Para subrayar el hecho de que los lotes de cada proveedor son diferentes, se pueden numerar como 1, 2, 3 y 4 para el proveedor 1; 5, 6, 7 Y8 para el proveedor 2; y 9,10,11 Y12 para el proveedor 3, como se muestra en la figura 13-2. En ocasiones quizá no se sepa si un factor está cruzado en un arreglo factorial o anidado. Si los niveles del factor pueden numerarse arbitrariamente como en la figura 13-2, entonces el factor está anidado. 557 558 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS ~ ~ Proveedores Lotes Observaciones {Y'" Y121 Yl3l Y141 Y 211 Y221 Y231 Y241 Y311 Y321 Y331 Y341 y 112 Y122 Y132 Y142 Y 212 Y222 Y232 Y242 Y312 Y322 Y332 Y342 Y 113 Y123 Y133 Y143 Y 213 Y223 Y 233 Y243 Y313 Y323 Y333 Y343 Figura 13·1 Diseño anidado de dos etapas. 13~ 1.1 Análisis estadístico El modelo estadístico lineal para el diseño anidado de dos etapas es i = 1, 2, , a Yijk=¡t+'i;+{3j(i)+S(ij)k j=l, 2, , b . {k = 1, 2, , n (13-1) Es decir, haya niveles del factor A, b niveles del factor B anidados bajo cada nivel deA, y n réplicas. El subíndicej(i) indica que el nivelj-ésimo del factor B está anidado bajo el nivel i-ésimo del factorA. Resulta conveniente considerar que las réplicas están anidadas dentro de la combinación de los nivelesdeA y B; por lo tanto, se usa el subíndice (ij)k para el término del error. Se trata de un diseño anidado balanceado, ya que hay el mismo número de niveles de B con cada nivel deA y el mismo número de réplicas. Puesto que no todos los niveles del factor B aparecen dentro de todos los niveles del factor A, no puede haber interacción entre A y B. La suma de cuadrados total corregida puede escribirse como a b n a b n 2:2:2: (Yijk - y... )2 = 2:2:2: [(Yi.. - Y... )+(Yij, - y;.. )+(Yijk - Yij, )]2 j=1 k=1 j=1 k=1 i=1 (13-2) ;=1 Al desarrollar el miembro derecho de la ecuación 13-2, se obtiene abn a ah abn 2:2:2: (Yijk - y'.. )2 = bn 2: (Yi.. - Y... )2 + n 2:2: (Yij, - Yi.. )2 + 2:2:2: (Yijk - Yij,)2 j=1 k=1 j=1 j=1 k=1 i=1 ;=1 i=1 (13-3) i=1 ya que los tres términos con productos cruzados son cero. La ecuación 13-3 indica que puede hacerse la partición de la suma de cuadrados total en una suma de cuadrados debida al factor A, una suma de cuadrados debida al factor B bajo los niveles deA, y una suma de cuadrados debida al error. Simbólicamente, la ecuación 13-3 puede escribirse como SST = SS A + SSB(A) + SSE (13-4) Hay abn -1 grados de libertad para SSr. a -1 grados de libertad para SSA' a(b -1) grados de libertad para SSB(A) y aben -1) grados de libertad para el error. Observe que abn -1 = (a -1) + a(b -1) + aben -1). Si los errores son NID(O, ci), cada una de las sumas de cuadrados del miembro derecho de la ecuación 13-4 Proveedores Lotes Figura 13·2 Disposición alternativa del diseño anidado de dos etapas. ¡J 559 13-1 DISEÑO ANIDADO DE DOS ETAPAS Tabla 13-1 Cuadrados medios esperados en el diseño anidado de dos etapas E(MS) A fijo B fijo A fijo B aleatorio A aleatorio B aleatorio puede dividirse por sus grados de libertad para obtener cuadrados medios con una distribución independiente tales que el cociente de dos cuadrados medios cualesquiera se distribuye como F. Los estadísticos apropiados para probar los efectos de los factores A y B dependen de siA y B son fijos o aleatorios. Si los factoresAy B son fijos, se supone que ~;=1 Ti = Oy ~~=1 f3j(1) = O(i = 1,2, ..., a). Es decir, la suma de los efectos del tratamiento A es cero, y la suma de los efectos del tratamiento B es cero dentro de cada nivel deA. De manera alternativa, siA y B son aleatorios, se supone que T¡ es NID(O, a;) y que f3j(i) es NID(O, a~). También es frecuente encontrar modelos mixtos conA fijo y B aleatorio. Los cuadrados medios esperados pueden determinarse aplicando directamente las reglas del capítulo 12. Para el modelo mixto, estos cuadrados medios esperados suponen la forma restringida del modelo del capítulo 12. En la tabla 13-1 se muestran los cuadrados medios esperados para estas situaciones. La tabla 13-1 indica que si los niveles deAy B son fijos, Ho:T; = Ose prueba con MSA/MS E y H o:f3j(;) = O se prueba con MSB(A/MSE • Si A es un factor fijo y B es aleatorio, entonces Ho:T¡ = O se prueba con MSA/MSB(A) y Ho:a~ = Ose prueba con MSB(A/MSE • Por último, si tantoA comoB son factores aleatorios, ·Ho:a; = Ose prueba con MSA/MSB(A) y Ho:a~ = Ocon MSB(A/MSE • El procedimiento de prueba se resume en la tabla del análisis de varianza, como se muestra en la tabla 13-2. Las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados se obtienen desarrollando las cantidades de la ecuación 13-3 y simplificando. Éstas son 1 =_" 2_~ ~ Yi.. a SS abn 1 a l a b 2 'SS B(A) = _ _ " n" LJ " ~ yij. _bn LJ y¡..2 A bn 2 1=1 J=l a SSE = b 1 /l a b a b (13-7) ;=1 j=l ;=1 j=l k=l = (13-6) 1=1 2:2:2: Y;~k - -n 2:2: Y~. SST (13-5) 1=1 2 11 Y... 2:2:2: Yijk - abn 2 (13-8) ;=1 j=l k=l Tabla 13-2 Tabla del análisis de varianza para el diseño anidado de dos etapas Fuente de variación Suma de cuadrados eY;" --Y... f Grados de libertad A bn¿ B dentro deA n¿2: (Yij. -Yi..f a(b -1) Error 2:2:2: (Yijk -YijY ab(n-l) Total 2:2:2: (Yijk - y.f abn-l a-l Cuadrado medio , ,i 560 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDMDIDAS Se observa que la ecuación 13-6 para puede escribirse como SSB(A) SSB(A) = 2: [1-;; 2: Y~. a b 1=1 J=l l];~ Esto expresa la idea de que SSB(A) es la suma de cuadrados entre los niveles de B para cada nivel deA, sumados en todos los niveles de A. EJEMPLO . 13~1 Considere una compañía que compra materia prima en lotes de tres proveedores diferentes. La pureza de esta materia prima varía considerablemente, lo cual ocasiona problemas en la manufactura del producto terminado. Quiere determinarse si la variabilidad de la pureza es atribuible a las diferencias entre los proveedores. Se seleccionan al azar cuatro lotes de materia prima de cada proveedor, y se hacen tres determinaciones de la pureza en cada lote. Se trata, desde luego, de un diseño anidado de dos etapas. Los datos, después de codificarlos restando 93, se muestran en la tabla 13-3. Las sumas de cuadrados se calculan de la siguiente manera: a SST n b = 2:2:2: 2 Y.. abn 2 Yijk - i=l j=l k=l = 153.00- (13)2 = 148.31 36 1 a 2 SS =_ ~ y2_~ A bn~ ,.. abn 1=1 = _1_[(_5)2 +(4)2 +(14)2]- (13)2 (4)(3) 36 = 19.75-4.69= 15.06 a SS B(A) 1 a ~ bn LJ b = _1 ~ ~ n LJ LJ 2 __ Yij. 1=1 J=l = 2 Yi.. 1=1 ~ [(0)2 +(_9)2 +(_1)2 + ... +(2)2 +(6)2 ]-19.75 3 = 89.67-19.75= 69.92 y abn? SSE = 2:2:2: 1ab Yijk - - Tabla 13-3 2:2: Y~. n i=l j=l = 153.00- 89.67 = 63.33 i=l j=l k=l Datos codificados de la pureza del ejemplo 13-1 (Codificación: Y;jk Proveedor 1 Totales de los lotes Totales de los proveedores Lotes 1 Yij. 1 -1 O O Yi.. 3 -2 O 1 -1 2 -2 -3 --4 -9 -5 = pureza - 93) Proveedor 3 Proveedor 2 4 1 4 O 5 1 1 -2 -3 2 O 4 2 3 -1 O -2 4 1 O 3 2 2 4 O 2 -2 O 2 --4 6 -3 5 6 O 4 3 1 -1 2 2 14 4 3 2 1 6 13-1 DISEÑO ANlDADO DE DOS ETAPAS Tabla 13-4 561 Análisis de varianza de los datos del ejemplo 13-1 Fuente de variación Suma de cuadrados Proveedores Lotes (dentro de los proveedores) Error Total 15.06 69.92 63.33 148.31 Grados de libertad Cuadrado medio 2 7.53 7.77 2.64 9 24 35 Cuadrado medio esperado a + 3a~ + a 2, + 3a~ a2 6¿ .-¡ Fo Valor P 0.97 2.94 0.42 0.02 En la tabla 13-4 se resume el análisis de varianza. Los proveedores son fijos y los lotes aleatorios, por lo que los cuadrados medios esperados se obtienen de la columna de en medio de la tabla 13-1 y se repiten por conveniencia en la tabla 13-4. Por el examen de los valores P, se concluiría que no hay ningún efecto significativo sobre la pureza debido a los proveedores, pero la pureza de los lotes de materia prima del mismo proveedor difieren significativamente. Las implicaciones prácticas de este experimento y del análisis son muy importantes. El objetivo del experimentador es encontrar la fuente de la variabilidad en la pureza de la materia prima. Si ésta es resultado de las diferencias entre los proveedores, el problema puede resolverse seleccionando al "mejor" proveedor. Sin embargo, esa solución no es aplicable aquí porque la principal fuente de variabilidad es la variación de la pureza de un lote a otro dentro de los proveedores. Por lo tanto, el problema debe atacarse trabajando con los proveedores para reducir su variabilidad de un lote a otro. Esto puede implicar modificaciones en los procesos de producción de los proveedores o en su sistema interno de control de calidad. Observe lo que habría pasado si se hubiera hecho un análisis incorrecto de este diseño como un experimento factorial de dos factores. Si se considera que los lotes están cruzados con los proveedores, se obtienen los totales de los lotes de 2, -3, -2 y 16, donde cada celda lote x proveedores contiene tres réplicas. Por lo tanto, puede calcularse una suma de cuadrados debida a los lotes y una suma de cuadrados de interacción. El análisis de varianza factorial completo se muestra en la tabla 13-5, suponiendo un modelo mixto. Este análisis indica que los lotes difieren significativamente y que hay una interacción significativa entre los lotes y los proveedores. Sin embargo, es difícil ofrecer una interpretación práctica de la interacción lotes x proveedores. Por ejemplo, ¿esta interacción significativa quiere decir que el efecto del proveedor no es constante de un lote a otro? Además, la interacción significativa aunada al efecto no significativo del proveedor podría llevar al analista a concluir que los proveedores en realidad difieren, pero su efecto está enmascarado por la interacción significativa. Tabla 13-5 Análisis de varianza incorrecto del diseño anidado de dos etapas del ejemplo 13-1 como un diseño factorial (proveedores fijos, lotes aleatorios) Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Proveedores (S) Lotes (B) Interacción S x B Error Total 15.06 25.64 44.28 63.33 148.31 2 3 6 24 35 7.53 8.55 7.38 2.64 Valor P 1.02 3.24 2.80 0.42 0.04 0.03 562 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDMDIDAS Cálculos Algunos paquetes de software de estadística realizarán el análisis de un diseño anidado. En la tabla 13-6 se presenta la salida del procedimiento Balanced ANOVA (análisis de varianza balanceado) de Minitab (utilizando el modelo restringido). Los resultados numéricos concuerdan con los cálculos manuales reportados en la tabla 13-4. Minitab también reporta los cuadrados medios esperados en la parte inferior de la tabla 13-6. Recuerde que el símbolo Q[1] es un término cuadrático que representa el efecto fijo de los proveedores, por lo que en la notación que se usa aquí, ! ~; Q[1]=~ a-1 Por lo tanto, el término del efecto fijo en el cuadrado medio esperado de Minitab para los proveedores 12Q[1] = 12L;=l (3-1) = 6L;=1 resultado que concuerda con el que se presenta en el algoritmo tabular de la tabla 13-4. En ocasiones no se cuenta con un programa de computadora especializado para analizar diseños anidados. Sin embargo, observe, al comparar las tablas 13-4 y 13-5, que T; / T;, SSB +SSSXB = 25.64+44.28= 69.92= SSB(S) Es decir, la suma de cuadrados de los lotes dentro de los proveedores se compone de la suma de cuadrados de los lotes más la suma de cuadrados de la interacción lofes x proveedores. Los grados de libertad poseen una propiedad similar; es decir, Lotes Lotes x Proveedores Lotes dentro de los proveedores 3 6 9 --+-------- Por lo tanto, un programa de computadora para analizar diseños factoriales podría usarse también para analizar diseños anidados agrupando el "efecto principal" del factor anidado y las interacciones de ese factor con el factor bajo el que está anidado. Tabla 13-6 Salida de Minitab (Balanced ANOVA) [análisis de varianza balanceado] para el ejemplo 13-1 Análisis de varianza (diseños balanceados) Factor Type Levels Values Supplier fixed 3 1 Batch(Supplier) random 4 1 2 2 3 3 4 Analysis of Variance for Purity Source Supplier Batch(Supplier) Error Total Source' DF 2 9 24 35 SS 15.056 69.917 63.333 148.306 MS 7.528 7.769 2.639 F P 0.97 2.94 0.416 0.017 Variance Error Expected Mean Square for Each Term component term (using restricted model) (3) + 3(2) + 12Q[1J 1 Supplier 2 (3) + 3(2) 2 Batch(Supplier) 1. 71 O 3 (3) 3 Error 2.639 13·1 DISEÑO ANIDADO DE DOS ETAPAS 13~1.2 563 Verificación del diagnóstico La herramienta principal para verificar el diagnóstico es el análisis residual. Para el diseño anidado de dos etapas, los residuales son El valor ajustado es Yijk = ¡l+f +13 j (i) i y si se establecen las restricciones usuales sobre los parámetros del modelo (2: i f i 2, oo., a), entonces jl = Y... , f i Y... ' y 13j(i) = Yi.. A __ Yijk - Y.. = Yij. - +(_ = Oy 2: j 13 j(i) = O, i = 1, Yi.. · Por consiguiente, el valor ajustado es _ )+(_ Yi.. - Y.. _) Yij. - Yi.. = Yij. Por lo tanto, los residuales del diseño anidado de dos etapas son (13-9) donde Yij. son los promedios de los lotes individuales. Las observaciones, los valores ajustados y los residuales para los datos de la pureza del ejemplo 13-1 son: Valor observado Yijk 1 -1 O -2 -3 -4 -2 O 1 1 4 O 1 -2 -3 O 4 2 -1 O -2 O 3 2 2 Valor ajustado Yijk = Yij. 0.00 0.00 0.00 -3.00 -3.00 -3.00 -0.33 -0.33 -0.33 1.67 1.67 1.67 -1.33 -1.33 -1.33 2.00 2.00 2.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.67 1.67 1.67 2.00 1.00 -1.00 0.00 1.00 0.00 -1.00 -1.67 0.33 1.33 -0.67 2.33 -1.67 2.33 -0.67 -1.67 -2.00 2.00 0.00 0.00 1.00 -1.00 -1.67 1.33 0.33 0.00 564 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Valor observado Yijk Valor ajustado Yijk = 2.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.67 0.67 0.67 2.00 2.00 2.00 4 O -2 O 2 1 -1 2 3 2 1 Yij. 2.00 -2.00 -2.00 0.00 2.00 0.33 -1.67 1.33 1.00 0.00 -1.00 Pueden realizarse ahora las verificaciones de diagnóstico usuales; incluyendo las gráficas de probabilidad normal, la verificación de puntos atípicos y la graficación de los residuales contra los valores ajustados. Como una ilustración, en la figura 13-3 se grafican los residuales contra los valores ajustados y contra los niveles del factor proveedor. 3 o o o o 2 o '" ..!!! 1 ro • o o o o o o o :::l "O o .¡¡; ~ o o o o o o -1 o o o • o o -2 -2 -3 o -1 Valores predichos al 3- Gráfica de los residuales contra los valores predichos , I o o 2- • ¡¡j1- o "O o ro:::l .~ c:: , - o • - o o o o o o o o o , o - O o -11- -21- I 1 2 • 3 Proveedor bl Gráfica de los residuales contra el proveedor Figura 13-3 Gráficas de los residuales del ejemplo 13-1. - i] 13-1 DISEÑO ANIDADO DE DOS ETAPAS 565 En la situación de un problema como el que se describe en el ejemplo 13-1, las gráficas de los residuales son particularmente útiles debido a la información de diagnóstico adicional que contienen. Por ejemplo, el análisis de varianza ha indicado que la pureza media de los tres proveedores no difiere pero que hay una variabilidad estadísticamente significativa de un lote a otro (es decir, a~ > O). Pero, lla variabilidad dentro de los lotes es la misma para todos los proveedores? Se ha supuesto de hecho que éste es el caso, y si no es cierto desde luego que nos gustaría saberlo, ya que tiene un impacto práctico considerable sobre la interpretación de los resultados del experimento. La gráfica de los residuales contra los proveedores de la figura 13-3b es una manera simple pero eficaz de verificar este supuesto. Puesto que la dispersión de los residuales es aproximadamente la misma para los tres proveedores, se concluiría que la variabilidad en la pureza de un lote a otro es aproximadamente la misma para los tres proveedores. 13~ 1.3 Componentes de la varianza Para el caso de efectos aleatorios, el método del análisis de varianza puede usarse para estimar los componentes de la varianza a~ ya;. Por los cuadrados medios esperados de la última columna de la tabla 13-1, se obtiene cr, (13-10) ~2 a MSB(A) -MS E (13-11) =--'---'---- f3 11 y ~? MS A -MSB(A) a-=----------'------' " (13-12) bl1 En muchas aplicaciones de diseños anidados interviene un modelo mixto, con el efecto principal (A) fijo y el factor anidado (B) aleatorio. Éste es el caso para el problema descrito en el ejemplo 13-1; los proveedores (factorA) son fijos, y los lotes de materia prima (factor B) son aleatorios. Los efectos de los proveedores pueden estimarse con -5 13 -28 i 1 = Yi. - Y... = 12 - 36 = 36 ~ í 2 ~ í 3 = h. - _ 4 Y... _ = 12 - 13 36 = 36 _ _ 14 13 36 = 36 = h. - Y.. = 12 - -1 29 cr Para estimar los componentes de la varianza y a~, se elimina la línea de la tabla del análisis de varianza relativo a los proveedores y se aplica el método de estimación del análisis de varianza a las dos líneas siguientes. Se obtiene así y f¡2 f3 = MSB(A) - MS E 11 = 7.77- 2.64 = 1.71 3 566 Etapa 1 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Lote 1 ... Etapa 2 Etapa 3 Figura 13·4 Diseño anidado escalonado de dos etapas. Estos resultados se muestran también en la parte inferior de la salida de Minitab de la tabla 13-6. Por el análisis del ejemplo 13-1, se sabe que T:¡ no difiere significativamente de cero, mientras que el componl(nte de la varianza a~ es mayor que cero. 13~1.4 Diseños anidados por etapas Un problema potencial en la aplicación de los diseños anidados es que en ocasiones para obtener un número razonable de grados de libertad en el nivel más alto, puede terminarse con muchos grados de libertad (quizá demasiados) en las etapas inferiores. Para ilustrar, suponga que se están investigando las diferencias potenciales en el análisis químico entre diferentes lotes de material. Se planea tomar cinco muestras por lote, y cada muestra se medirá dos veces. Si quiere estimarse un componente de la varianza para los lotes, entonces 10 lotes no sería una elección irrazonable. Esto resulta en 9 grados de libertad para los lotes, 40 grados de libertad para las muestras y 50 grados de libertad para las mediciones. Una manera de evitar esta situación es usar un tipo particular de diseño anidado no balanceado llamado diseño anidado por etapas. En la figura 13-4 se muestra un ejemplo de un diseño anidado escalonado. Observe que sólo se toman dos muestras de cada lote; una de ellas se mide dos veces, mientras que la otra una sola vez. Si haya lotes, entonces habrá a -1 grados de libertad para los lotes (o, en general, la etapa superior), y todas las etapas inferiores tendrán exactamente a grados de libertad. Para más información sobre el uso y el análisis de estos diseños, ver Bainbridge [5], Smith y Beverly [104] y Nelson [88a, b, c], así como el material suplementario del texto de este capítulo. 13~2 DISEÑO ANIDADO GENERAL DE m ETAPAS Los resultados de la sección 13-1 pueden extenderse fácilmente al caso de m factores completamente anidados. A este diseño se le llamaría diseño anidado de m etapas. Como un ejemplo, suponga que una fundición quiere investigar la dureza de dos formulaciones diferentes de una aleación de metal. Se preparan tres hornadas de cada formulación de la aleación, se seleccionan dos lingotes al azar de cada hornada para probarlos, y se hacen dos mediciones de la dureza en cada lingote. La situación se ilustra en la figura 13-5. En este experimento, las hornadas están anidadas bajo los niveles del factor formulación de la aleación, y los lingotes están anidados bajo los niveles del factor hornada. Por lo tanto, se trata de un diseño anidado de tres etapas con dos réplicas. 13-2 DISEÑO ANIDADO GENERAL DE m ETAPAS 567 Formulación de la aleación Hornadas Lingotes Observaciones e"" Y1112 Y1121 Y1211 Y'221 Y 1311 Y1321 Y1122 Y1212 Y'222 Y 1312 Y'322 Figura 13·5 Diseño anidado de tres etapas. El modelo para el diseño anidado general de tres etapas es i=1' 2, j= 1,2, k { = 1,2, 1= 1,2, 000' 000' o .. , 000' a b e (13-13) 11 Para el ejemplo tratado aquí, T:i es el efecto de la formulación de la aleación i-ésima, f3j (i) es el efecto de la hornadaj-ésima dentro de la aleación i-ésima, Yk(ij) es el efecto del lingote k-ésimo dentro de la hornada Variabilidad de la formulación de la aleación Variabilidad de una hornada a otra Variabilidad de la prueba analftica Dureza media Dureza observada Figura 13-6 Fuentes de variación en el ejemplo del diseño anidado de tres etapas. TI II I I 568 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Tabla 13-7 Análisis de varianza del diseño anidado de tres etapas Fuente de variación Suma de cuadrados A ben2: (511 ... -y.. j B (dentro deA) en e (dentro de B) n2:2:2: Error 2:2:2:2: Total 2:2:2:2: I 2:2: (h. - y.. j I j ¡ i ¡ j j (Yijk. -y.. j k j k k (Yijk/ -Yijk.f I (Yljkl I -y.. j Grados de Cuadrado libertad medio a-1 MSA a(b -1) MSB(A) ab(e -1) MSC(B) abe(n-1) MS E aben -1 j-ésima y la aleación i-ésima, y E(ijk)/ es el término del error NID(O, 02) usual. La extensión de este modelo a In factores es directa. Observe que en el ejemplo anterior la variabilidad global de la dureza constó de tres componentes: uno que resultó de las formulaciones de las aleaciones, otro que se generó de las hornadas y uno más que salió del error de la prueba analítica. Estos componentes de la variabilidad en la dureza global se ilustran en la figura 13-6. Este ejemplo demuestra la manera en que se usa frecuentemente el diseño anidado en el análisis de procesos para identificar las principales fuentes de variabilidad en la salida. Por ejemplo, si el componente de la varianza de la formulación de la aleación es grande, entonces esto implica que la variabilidad global de la dureza podría reducirse utilizando únicamente una de las formulaciones de la aleación. El cálculo de las sumas de cuadrados y el análisis de varianza del diseño anidado de In etapas son similares al análisis presentado en la sección 13-1. Por ejemplo, el análisis de varianza del diseño anidado de tres etapas se resume en la tabla 13-7. En esta tabla se muestran también las definiciones de las sumas de cuadrados. Observe que son una extensión simple de las fórmulas para el diseño anidado de dos etapas. Muchos paquetes de software de estadística realizarán los cálculos. Para determinar los estadísticos de prueba apropiados deben encontrarse los cuadrados medios esperados empleando los métodos del capítulo 12. Por ejemplo, si los factores A y B son fijos y el factor e es aleatorio, entonces los cuadrados medios esperados pueden derivarse como se indica en la tabla 13-8. En esta tabla se indican los estadísticos de prueba apropiados para esta situación. Tabla U-S Derivación de los cuadrados medios esperados para un diseño anidado de tres etapas con A y B fijos y e aleatorio F F R a b Factor i j e k R n l T¡ O b e n Cuadrado medio esperado ? ? a-+na-+ y 2+ 2+ en f3 j(l) 1 O e n a Yk(ij) 1 1 1 1 1 1 n 1 a 2 + naY2 a- c/U;k) ? nay 2: ben Ti a-1 2:2: f3~(i) a(b -1) 13-3 DISEÑOS CON FACTORES ANIDADOS Y FACTORIALES 13~3 569 DISEÑOS CON FACTORES ANIDADOS Y FACTORIALES En experimentos con factores múltiples, algunos factores pueden estar incluidos en un arreglo factorial y otros estar anidados. En ocasiones a estos diseños se les llama diseños factoriales-anidados. El análisis estadístico de un diseño así con tres factores se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO . 13~2 Un ingeniero industrial estudia la inserción manual de componentes electrónicos en tarjetas de circuitos impresos a fin de mejorar la rapidez de la operación de ensamblaje. Ha diseñado tres dispositivos de ensamblaje y dos arreglos del sitio de trabajo que parecen prometedores. Se necesitan operadores para realizar el ensamblaje, y se decide seleccionar aleatoriamente cuatro operadores para cada combinación dispositivo-arreglo del sitio de trabajo. Sin embargo, debido a que los sitios de trabajo se encuentran en diferentes puntos dentro de la planta, es difícil usar los mismos cuatro operadores para cada arreglo del sitio de trabajo. Por lo tanto, los cuatro operadores escogidos para el arreglo 1 son diferentes de los cuatro para el arreglo 2. Puesto que sólo hay tres dispositivos y dos arreglos del sitio de trabajo, y los operadores se escogen al azar, se trata de un modelo mixto. Las combinaciones de tratamientos de este diseño se corren en orden aleatorio y se obtienen dos réplicas. Los tiempos de ensamblaje se miden en segundos y se muestran en la tabla 13-9. En este experimento, los operadores están anidados dentro de los niveles de los arreglos del sitio de trabajo, mientras que los dispositivos y los arreglos del sitio de trabajo están incluidos en un factorial. Por lo tanto, este diseño tiene factores anidados y factoriales. El modelo lineal para este diseño es i=1,2,3 j= 1,2 (13-14) k=1,2,3,4 1= 1,2 donde r¡ es el efecto del dispositivo i-ésimo, f3j es el efecto del arreglo del sitio de trabajo j-ésimo, YkU) es el efecto del operador k-ésimo dentro del nivelj-ésimo del arreglo del sitio de trabajo, (rf3)ij es la interacción dispositivo x arreglo del sitio de trabajo, (rY)¡kU) es la interacción dispositivo x operadores dentro del arreglo del sitio de trabajo, y é(ijk)[es el término del error usual. Observe que no puede existir ninguna interacción arreglo del sitio de trabajo x operador porque no todos los operadores usan todos los arreglos del sitio de trabajo. Asimismo, tampoco puede haber ninguna interacción dispositivo x arreglo del sitio de trabajo x operador. En la tabla 13-10 se derivan los cuadrados medios esperados utilizando el algoritmo tabular del capítulo 12. Esto produce el análisis de un modelo mixto restringido. El estadístico de prueba apropiado para cualquier efecto o interacción puede encontrarse inspeccionando esta tabla. j Tabla 13-9 Datos del tiempo de ensamblaje del ejemplo 13-2 Arreglo 1 Arreglo 2 Operador 1 2 3 4 1 2 3 4 Yi... Dispositivos 1 22 24 30 27 25 21 23 24 29 28 24 22 28 29 30 32 27 25 25 23 27 25 26 23 26 28 29 28 27 25 27 25 30 27 26 24 28 25 24 23 24 27 24 23 28 30 28 27 404 149 150 171 149 163 159 151 160 Dispositivos 2 Dispositivos 3 Totales de los operadores, Y.jk. Totales de los arreglos, Y.j.. 619 633 447 401 1252 == y.... 570 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Tabla 13-10 Derivación del cuadrado medio esperado del ejemplo 13-2 F 3 Factor f3j O 3 YkU) 3 7:¡ (7:f3)ij (ry )ikU) c(ijk)¡ O O 1 F 2 j R R 4 k 2 1 2 4 2 a 2 + 2a'1'2 + 8¿ O 1 O 1 1 4 2 1 2 a + 6a~ + 24¿ f3~ 2 a + 6a~ 4 2 1 2 1 1 Cuadrado medio esperado 2 7: 1 2 a + 2a~ + 4¿ ¿ 2 a + 2a~ a2 (7:f3)~ ? En la tabla 13-11 se muestra el análisis de varianza completo. Se observa que los dispositivos de ensamblaje son significativos y que los operadores dentro de los arreglos del sitio de trabajo también difieren significativamente. Está presente también una interacción significativa entre los dispositivos y los operadores dentro de los arreglos del sitio de trabajo, indicando que los efectos de los diferentes dispositivos no son los mismos para todos los operadores. Los arreglos del sitio de trabajo parecen tener un efecto reducido sobre el tiempo de ensamblaje. Por lo tanto, para minimizar el tiempo de ensamblaje, la atención debería centrarse en los dispositivos tipo 1 y 3. (Observe que los totales de los dispositivos de la tabla 13-9 son menores para los tipos 1 y 3 que para el tipo 2. Esta diferencia en las medias del tipo de dispositivo podría probarse formalmente utilizando comparaciones múltiples.) Además, la interacción entre los operadores y los dispositivos implica que algunos operadores son más eficientes que otros al utilizar los mismos dispositivos. Quizás estos efectos operador-dispositivo podrían aislarse y los operadores cuyo desempeño es menos eficiente podrían mejorar impartiéndoles capacitación adicional. Cálculos Hay varios paquetes de software de estadística que analizan con facilidad diseños factoriales-anidados, incluyendo Minitab y SAS. En la tabla 13-12 se presenta la salida de Minitab (Balanced ANOVA, análisis de varianza balanceado), suponiendo la forma restringida del modelo mixto, para el ejemplo 13-2. Los cuadrados medios esperados de la parte inferior de la tabla 13-12 concuerdan con los que se derivaron con el método tabular de la tabla 13-10. Q[l], Q[3] YQ[4] son los efectos del factor fijo para los arreglos del sitio de trabajo, los dispositivos, y la interacción arreglo del sitio de trabajo x dispositivo, respectivamente. Las estimaciones de los componentes de la varianza son: Operador (arreglo): a~ = 1.609 Dispositivo x operador (arreglo): a~ = 1.576 Error: a 2 = 2.333 Tabla 13-11 Análisis de varianza del ejemplo 13-2 Fuente de variación Dispositivos (F) Arreglos (L) Operadores (dentro de los arreglos), O (L) FL FO(L) Error Total Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio 82.80 4.08 71.91 19.04 65.84 56.00 299.67 2 1 6 2 12 24 47 41.40 4.09 11.99 9.52 5.49 2.33 Fa Valor P 7.54 0.34 5.15 1.73 2.36 0.01 0.58 <0.01 0.22 0.04 'P'" _Y_HU -m"~'~ - ""',. Mm f ' E"'--' t ----''""7''0 "'!I-$n-~'WMW!r:='te"'i'F\;¡;:r;;gg81;~,g±r2;"j'i,,¡'~t~liiiiI Tabla 13-12 Análisis Balanced ANOVA de Minitab del ejemplo 13-2 utiliz_ando el modelo restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Type Levels Values Factor 1 2 fixed Layout 1 4 Operator(Layout) random 1 3 fixed Fixture 2 2 2 3 3 4 "'" Analysis of Variance for Time Source Layout Operator(Layout) Fixture Layout*Fixture Fixture*Operator(Layout) Error Total DF 1 6 2 2 12 24 47 SS 4.083 71.917 82.792 19.042 65.833 56.000 299.667 MS 4.083 11 .986 41.396 9.521 5.486 2.333 F P 0.34 5.14 7.55 1. 74 2.35 0.581 0.002 0.008 0.218 0.036 Variance Error Expected Mean Square for Each Term component term (using restricted model) 2 (6) + 6(2) + 24Q[1J Layout 6 (6) + 6(2) 1.609 Operator(Layout) 5 (6) + 2(5) + 16Q[3J Fixture 5 (6) + 2(5) + 8Q[4J Layout*Fixture 6 (6) + 2(5) 1.576 Fixture*Operator(Layout) (6) 2.333 Error Source 1 2 3 4 5 6 lJl --.,J 1-' U=;; Ul -...l N ThWa U-13 Análisis Balanced ANOVA de Minitab del ejemplo 13-2 utilizando el modelo no restringido Análisis de varianza (diseños balanceados) Type Levels Values Factor Layout fixed 2 1 Operator(Layout) random 4 1 Fixture fixed 3 1 2 2 2 3 3 4 Analysis of Variance for Time Source Layout Operator(Layout) Fixture Layout*Fixture Fixture*Operator(Layout) Error Total Source 1 2 3 4 S 6 DF 1 6 2 2 12 24 47 SS 4.083 71.917 82.792 19.042 65.833 56.000 299.667 MS 4.083 11. 986 41.396 9.S21 5.486 2.333 F 0.34 2.18 7.S5 1. 74 2.3S P 0.S81 0.117 0.008 0.218 0.036 Variance Error Expected Mean Square for Each Term component term (using unrestricted model) 2 (6) + 2(5) + 6(2) + Q[1,4J Layout S (6) + 2(S) + 6(2) Operator(Layout) 1.083 S (6) + 2(5) + Q[3,4J Fixture 5 (6) + 2(S) + Q[4J Layout*Fixture 6 (6) + 2(S) Fixture*Operator(Layout) 1. S76 (6) Error 2.333 13-4 DISEÑO DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS 573 En la tabla 13-13 se presenta el análisis de Minitab del ejemplo 13-2 utilizando la forma no restringida del modelo mixto. Los cuadrados medios esperados de la parte inferior de esta tabla son ligeramente diferentes de los que se reportaron para el modelo restringido y, por lo tanto, la construcción de los estadísticos de prueba será ligeramente diferente para el factor operadores (arreglo). Específicamente, el denominador del cociente F de los operadores (arreglo) es la interacción dispositivos x operadores (arreglo) del modelo restringido (12 grados de libertad para el error), y es la interacción arreglo x dispositivos en el modelo no restringido (2 grados de libertad para el error). Puesto que MSarreglo x dispositivos> MSdispositivos x operador (arreglo)' Ytiene menos grados de libertad, se encuentra ahora que el operador dentro del efecto del arreglo sólo es significativo en el nivel aproximado de 12% (el valor Ptue 0.002 en el análisis del modelo restringido). Además, la estimación del componente de la varianza a~ = 1.083 es menor. Sin embargo, puesto que está presente un efecto grande de los dispositivos y una interacción dispositivos x operador (arreglo) significativa, seguiría sospechándose que existe un efecto del operador y, por lo tanto, las conclusiones prácticas de este experimento no son afectadas mucho por elegir la forma restringida o la no restringida del modelo mixto. Las cantidades Q[l, 4] y Q[3, 4] son términos cuadráticos del tipo fijo que contienen el efecto de interacción arreglos x dispositivos. Si no se cuenta con un paquete de software especializado como SAS o Minitab, entonces puede usarse un programa para analizar experimentos factoriales con factores anidados y factoriales. Así, el experimento del ejemplo 13-2 podría considerarse como un factorial de tres factores, con los dispositivos (F), los operadores (O) y los arreglos (L) como los factores. Entonces se agruparían ciertas sumas de cuadrados y ciertos grados de libertad para formar las cantidades apropiadas requeridas para el diseño con los factores anidados y factoriales de la siguiente manera: Análisis factorial Suma de cuadrados SSF SSL SSFL SSo SSw SSFO SSFOL SSE SST 13..4 Análisis factorial-anidado Grados de libertad Suma de cuadrados 2 1 2 SSF SSL SSFL 3 3 SSO(L) = SSo 6 6 SSFO(L) = SSFO 24 47 SSE SST Grados de libertad 2 1 2 + SSw + SSFOL 6 12 24 47 DISEÑO DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS En algunos experimentos factoriales con factores múltiples quizá no sea posible la aleatorización completa del orden de las corridas. Esto suele resultar en una generalización del diseño factorial llamada diseño de parcelas subdivididas. Como un ejemplo, considere un fabricante de papel que está interesado en tres métodos diferentes para preparar la pulpa y cuatro temperaturas de cocción diferentes de la pulpa y que desea estudiar el efecto de estos dos factores sobre la resistencia a la tensión del papel. Cada réplica de un experimento factorial requiere 12 observaciones, y el experimentador ha decidido correr tres réplicas. Sin embargo, la ca- ~1 I; 574 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS pacidad de la planta piloto sólo permite realizar 12 corridas por día, por lo que el experimentador decide correr una réplica en cada uno de tres días y considerar los días o las réplicas como bloques. En un día lleva a cabo el experimento de la siguiente manera. Se produce un lote de pulpa con uno de los tres métodos bajo estudio. Después este lote se divide en cuatro muestras, y la cocción de cada muestra se hace con una de las cuatro temperaturas. Entonces se produce un segundo lote de pulpa utilizando otro de los tres métodos. Este segundo lote también se divide en cuatro muestras que se prueban con las cuatro temperaturas. Después se repite el proceso, utilizando un lote de pulpa producido por el tercer método. Los datos Se muestran en la tabla 13-14. Inicialmente, esto podría considerarse un experimento factorial con tres niveles del método de preparación (factorA) y cuatro niveles de la temperatura (factor B) en un bloque aleatorizado. Si éste fuera el caso, entonces el orden de experimentación dentro de cada réplica o bloque debería ser completamente aleatorizado. Es decir, dentro de un bloque debería seleccionarse aleatoriamente una combinación de tratamientos (un método de preparación y una temperatura) y obtener una observación, después debería seleccionarse aleatoriamente otra combinación de tratamientos y obtener una segunda observación, y así sucesivamente hasta que se hayan tomado las 12 observaciones en el bloque. Sin embargo, el experimentador no recabó los datos de esta manera. Él hizo un lote de pulpa y obtuvo observaciones para las cuatro temperaturas de ese lote. Debido a la economía para preparar los lotes y al tamaño de los lotes, ésta es la única manera factible de correr este experimento. Un experimento factorial completamente aleatorizado requeriría 36 lotes de pulpa, lo cual es totalmente irrealista. El diseño de parcelas .subdivididas requiere sólo tres lotes de pulpa por bloque (réplica), en este caso 9 lotes en total. Evidentemente, el diseño de parcelas subdivididas ha dado como resultado una eficiencia experimental considerable. El diseño utilizado en el ejemplo de la pulpa es de parcelas subdivididas. Cada réplica o bloque del diseño de parcelas subdivididas se divide en tres partes llamadas parcelas completas, y a los métodos de preparación se les llama tratamientos principales o de parcelas completas. Cada parcela completa se divide en cuatro partes llamadas subparcelas (o parcelas subdivididas), y se asigna una temperatura a cada una de ellas. A la temperatura se le llama el tratamiento de la subparcela. Observe que si están presentes otros factores no controlados o fuera del diseño, y si estos factores no controlados varían cuando los métodos para preparar la pulpa se modifican, entonces cualquier efecto de los factores fuera del diseño sobre la respuesta estará completamente confundido (o mezclado) con el efecto de los métodos para preparar la pulpa. Puesto que los tratamientos de las parcelas completas de un diseño de parcelas subdivididas están confundidos con las parcelas completas y los tratamientos de las subparcelas no están confundidos, es mejor asignar el factor en el que haya mayor interés a las subparcelas, de ser posible. Este ejemplo es bastante típico de la forma en que se usan los diseños de parcelas subdivididas en un ambiente industrial. Observe que, en esencia, los dos factores "se aplicaron" en tiempos diferentes. Por consiguiente, un diseño de parcelas subdivididas puede considerarse como dos experimentos "combina- Tabla 13-14 El experimento de la resistencia a la tensión del papel Método de preparación de la pulpa Réplica (o bloque) 1 Réplica (o bloque) 2 Réplica (o bloque)3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 30 35 37 36 34 41 38 42 29 26 33 36 28 32 40 41 31 36 42 40 31 30 32 40 31 37 41 40 35 40 39 44 32 34 39 45 Temperatura (OP) 200 225 250 275 575 13-4 DISEÑO DE PARCELAS SUBDMDIDAS dos" o superpuestos entre sí. Un "experimento" tiene el factor parcela completa aplicado a las unidades experimentales grandes (o es un factor cuyos niveles son difíciles de cambiar) y el otro "experimento" tiene el factor subparcela aplicado a las unidades experimentales más pequeñas (o es un factor cuyos niveles son fáciles de cambiar). El modelo lineal para el diseño de parcelas subdivididas es Yijk = p,+r¡ + f3 j +(rf3)ij +n +(rY)ik i. :: 1, 2, oo., r +(f3Y)jk +(rf3Y)ijk +8ijk (13-15) ] -1, 2, oo., a { k= 1,2, oo., b donde r¡, f3j y (rf3)ij representan la parcela completa y corresponden respectivamente a los bloques (o réplicas), alas tratamientos principales (factorA) y al error de la parcela completa [réplicas (o bloques) x A); y Yk> (rY)¡k' (f3Y)jk y (rf3Y)ijk representan la subparcela y corresponden respectivamente al tratamiento de la subparcela (factor B), las réplicas (o bloques) x B y las interaccionesAB, y al error de la subparcela (bloques x AB). Observe que el error de la parcela completa es la interacción réplicas (o bloques) x A y que el error de la subparcela es la interacción de tres factores bloques x AB. Las sumas de cuadrados para estos factores se calculan como en el análisis de varianza de tres factores sin réplicas. Los cuadrados medios esperados del diseño de parcelas subdivididas, con las réplicas o bloques aleatorios y los tratamientos principales y los tratamientos de subparcelas fijas, se derivan en la tabla 13-15. Observe que el factor principal (A) de la parcela completa se prueba contra el error de la parcela completa, mientras que el subtratamiento (B) se prueba contra la interacción réplicas (o bloques) x subtratamientas. La interacciónAB se prueba contra el error de la subparcela. Observe que no hay pruebas para el efecto de la réplica (o bloque) (A) o la interacción réplica (o bloque) x subtratamiento (Ae). El análisis de varianza de los datos de la resistencia a la tensión de la tabla 13-14 se resume en la tabla 13-16. Puesto que tanto los métodos de preparación como las temperaturas son fijos y las réplicas son aleatorias, son aplicables los cuadrados medios esperados de la tabla 13-15. El cuadrado medio de los métodos de preparación se compara con el cuadrado medio del error de la parcela completa, y el cuadra- Tabla 13-15 Derivación del cuadrado medio esperado del diseño de parcelas subdivididas Subparcela R h T¡ 1 f3j r O b 1 (Tf3)ij 1 O b 1 Yk r a O 1 (TY)ik 1 a O 1 (j3Y)jk r O O 1 (Tf3Y)ijk C(ijk)h 1 1 O 1 O 1 1 1 Factor Parcela completa b F k b a F j a r R 1 1 Cuadrado medio esperado u 2 + abu2 , rb:¿ f3~ u 2 + bu,p2 + a-1 } u 2 + bu2,p 2 2 ra:¿ Y~ u +autJ'+ (b-1) u 2 + au 2 2 tJ' r:¿:¿ (f3Y)~k u +u;py+ (a-1)(b-1) ? u 2 + U;py u 2 (no estimable) 576 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Tabla 13-16 Análisis de varianza del diseño de parcelas subdivididas utilizando los datos de la resistencia a la tensión de la tabla 13-14 Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de Cuadrado libertad medio Réplicas (o bloques) Método de preparación (A) Error de la parcela completa [réplicas (o bloques) x A] 77.55 128.39 36.28 2 2 4 38.78 64.20 9.07 Temperatura (B) Réplicas (o bloques) x B AB Error de la subparcela [réplicas (o bloques) x AB] Total 434.08 20.67 75.17 50.83 822.97 3 6 6 12 35 144.69 3.45 12.53 4.24 Fa Valor P 7.08 0.05 41.94 <0.01 2.96 0.05 do medio de las temperaturas se compara con el cuadrado medio de réplica (o bloque) x temperatura (Ae). Por último, el cuadrado medio del método de preparación x temperatura se prueba contra el error de la subparcela. Tanto los métodos de preparación como la temperatura tienen un efecto significativo sobre la resistencia. Observe, por la tabla 13-16, que el error de la subparcela (4.24) es menor que el error de la parcela completa (9.07). Éste es comúnmente el caso en los diseños de parcelas subdivididas porque las subparcelas por lo general son más homogéneas que las parcelas completas. Esto da como resultado dos estlUcturas diferentes del en'or del experimento. Puesto que la comparación de los tratamientos de las subparcelas se hace con mayor precisión, es preferible, de ser posible, asignar el tratamiento en el que haya mayor interés a las subparcelas. Algunos autores proponen un modelo estadístico un tanto diferente para el diseño de parcelas subdivididas, i.: {le = 1,2, J -1, 2, 1, 2, ,r ,a ,b (13-16) En este modelo (rf3)ij sigue siendo el error de la parcela completa, pero las interacciones bloques x By bloques x AB en esencia se han agrupado con Sijk para formar el error de la subparcela. Si la varianza del término del error Sijk de la subparcela se denota por a; y se establecen los mismos supuestos que para el modelo (ecuación 13-15), los cuadrados medios esperados quedan como Factor Ti (réplicas o bloques) f3i (A) E(MS) a;+aba; L f3~ a2+ba2 + rb a; + ba;p (error de la parcela completa) , a-1 rp J L 2 ra y~ a,+ ab-1 (j3Yh (AB) ? I'LL (f3Y)~k a;+ (a-1)(b-1) a; (error de la subparcela) ;1 13-4 DISEÑO DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS 577 Observe que ahora tanto el tratamiento de la subparcela (B) como la interacciónAB se prueban contra el cuadrado medio del error de la subparcela. Si el experimentador se encuentra razonablemente cómodo con el supuesto de que las interacciones réplicas (o bloques) X B Yréplicas (o bloques) xAB son insignificantes, entonces este modelo alternativo es del todo satisfactorio. El diseño de parcelas subdivididas tiene una herencia agrícola: las parcelas completas son áreas extensas de tierra y las subparcelas son áreas más pequeñas dentro de las extensas. Por ejemplo, diversas variedades de un cultivo podían sembrarse en diferentes campos (parcelas completas), una variedad por campo. Después cada campo podía dividirse en, por ejemplo, cuatro subparcelas, y cada subparcela podía tratarse con un tipo diferente de fertilizante. Aquí las variedades del cultivo son los tratamientos principales y los diferentes fertilizantes son los subtratamientos. No obstante su base agrícola, el diseño de parcelas subdivididas es útil en muchos experimentos científicos e industriales. En estos ambientes experimentales, es usual encontrar que algunos factores requieren unidades experimentales grandes mientras que otros necesitan pequeñas, como en el problema de la resistencia a la tensión descrito antes. De manera alternativa, en ocasiones se encuentra que la aleatorización completa no es factible debido a que es más difícil cambiar los niveles de algunos factores que otros. Los factores que son difíciles de variar forman las parcelas completas mientras que los factores que son fáciles de variar se corren en las subparcelas. En principio es necesario considerar con mucha atención la forma en que debe llevarse a cabo el experimento e incorporar todas las restricciones sobre la aleatorización en el análisis. Este punto se ilustra utilizando una modificación del experimento del tiempo del enfoque del ojo del capítulo 6. Suponga que sólo hay dos factores, la agudeza visual (A) y el nivel de iluminación (B). Un experimento factorial con a niveles de agudeza, b niveles de iluminación y n réplicas requeriría que las abn observaciones se hicieran de manera aleatoria. Sin embargo, en el aparato de prueba es bastante difícil ajustar estos dos factores en diferentes niveles, por lo que el experimentador decide obtener las n réplicas ajustando el dispositivo para una de las a agudezas visuales y uno de los b niveles de iluminación y correr las n observaciones de una sola vez. En el diseño factorial, el error representa en realidad la dispersión o ruido en el sistema más la habilidad del sujeto para reproducir el mismo tiempo de enfoque. El modelo para el diseño factorial podría escribirse como { i = 1, 2, j = 1, 2, k = 1,2, ,a ,b ,n (13-17) donde r/Jijk representa la dispersión o ruido en el sistema que resulta del "error experimental" (es decir, el fracaso para duplicar exactamente los mismos niveles de agudeza e iluminación en diferentes corridas, la variabilidad en las condiciones ambientales, y aspectos parecidos), y ()ijk representa el "error de reproductibilidad" del sujeto. Generalmente estos componentes se combinan en un término del error global, por ejemplo E ijk = r/Jijk + ()ijk' Suponga que V(Eijk) = el- = a~ + a~. Ahora bien, en el diseño factorial, el cuadrado medio del error tiene un valor esperado el- = a~ + a~, con aben - 1) grados de libertad. Si la aleatorización se restringe como en el segundo diseño anterior, entonces el cuadrado medio "del error" del análisis de varianza proporciona una estimación del "error de reproductibilidad" a~ con aben -1) grados de libertad, pero no produce información acerca del "error experimental" a ~ . Por lo tanto, el cuadrado medio del error en este segundo diseño es muy pequeño; por consiguiente, con mucha frecuencia se rechazará incorrectamente la hipótesis nula. Como lo señaló John [61d], este diseño es similar a uno de parcelas subdivididas con ab parcelas completas, cada uno dividido en n subparcelas, y ningún 578 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDMDIDAS subtratamiento. Esta situación también es similar a un submuestreo, como lo describe Ostle [92]. Suponiendo que A y B son fijos, los cuadrados medios esperados en este caso son bnL 'i; E(MSA)= a~ +na: +----'=-- a-1 '1' 2 E( MS B ) 2 = a B + na", + 2 2 E(MSAB)=a B +na", an n L f3~ b_ 1 LL ('if3) ~ + (a-1) (b - 1) E(MSE)=a~ (13-18) Por lo tanto, no hay pruebas para los efectos principales a menos que la interacción sea insignificante. La situación es exactamente la de un análisis de varianza de dos factores con una observación por celda. Si los dos factores son aleatorios, entonces los efectos principales pueden probarse contra la interacciónAB. Si sólo uno de los factores es aleatorio, entonces el factor fijo puede probarse contra la interacciónAB. En general, si se analiza un diseño factorial y todos los efectos principales y las interacciones son significativos, entonces deberá examinarse con atención cómo se realizó realmente el experimento. Puede haber restricciones sobre la aleatorización en el modelo que no se tomaron en cuenta en el análisis y, por. consiguiente, los datos no deberán analizarse como un factorial. 13..5 13..5.1 OTRAS VARIANTES DEL DISEÑO DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS Diseño de parcelas subdivididas con más de dos factores En ocasiones se encuentra que la parcela completa o la subparcela contendrán dos o más factores, dispuestos en una estructura factorial. Como un ejemplo, considere un experimento conducido en-un horno para hacer crecer un óxido en una oblea de silicio. Las variables de respuesta de interés son el espesor de la capa de óxido y la uniformidad de la capa. Hay cuatro factores del diseño: la temperatura (A), el flujo de gas (B), el tiempo (C) y la posición de la oblea en el horno (D). El experimentador planea correr un diseño factorial 24 con dos réplicas (32 ensayos). Ahora bien, los factores A y B (la temperatura y el flujo de gas) son difíciles de cambiar, mientras que Cy D (el tiempoyla posición de la oblea) son fáciles de modificar. Esto lleva al diseño de parcelas subdivididas que se muestra en la figura 13-7. Observe que las dos réplicas del experimento están subdivididas en cuatro parcelas completas, cada una de las cuales contiene una combinación de los ajustes de la temperatura y el flujo de gas. Una vez que se eligen estos niveles, cada parcela completa se subdivide en cuatro subparcelas, y se realiza un diseño factorial 22 en los factores tiempo y posición de la oblea, donde las combinaciones de tratamientos de la subparcela se prueban en orden aleatorio. Únicamente se hacen cuatro cambios de la temperatura y del flujo de gas en cada réplica, mientras que los niveles del tiempo y la posición de la oblea están completamente aleatorizados. Un modelo para este experimento, consistente con la ecuación 13-16, es Yijklm = p.+'i¡ +f3 j +Yk +(f3Y)jk +(}ijk +0 1 +A m+(OA)lm +(f3o)jl +(f3A)jm +(YO)kl +(OA)lm +(f3YO)jkl +(f3YA)jkm i=l, 2 j= 1,2 k=1,2 1= 1,2 m=1,2 1 (13-19) 13-5 OTRAS VARIANTES DEL DISEÑO DE PARCELAS SUBDMDIDAS Bloque 2 Bloque 1 ~u CJ CJ Parcela completa Subparcela 579 U CJ UU CJ ! ! ! ! ! ! ! ! C:O:O:O:O:O:O"O:O +- +- D D +..., +- D D +- D +- D +- D + D Figura 13-7 Diseño de parcelas subdivididas con cuatro factores del diseño, dos en la parcela completa y dos en la subparcela. donde 7:¡ representa el efecto de la réplica, {Jj y Yk los efectos principales de la parcela completa, eijk es el error de la parcela completa, 01 y Am representan los efectos principales de la subparcela y sijklm es el error de la subparcela. Se han incluido todas las interacciones entre los cuatro factores del diseño. En la tabla 13-17 se presenta el análisis de varianza de este diseño, suponiendo que las réplicas son aleatorias y que representan las varianzas de los errotodos los factores del diseño son efectos fijos. En esta tabla, es la varianza de los efectos de los blores de la parcela completa y de la subparcela, respectivamente, a; ya; a; Tabla 13-17 Análisis abreviado de un diseño de parcelas subdivididas con los factores A y B en las parcelas completas y D en las subparcelas (referirse a la figura 13-7) y los factores e Fuente de variación Réplicas (1:;) A (f3j) B (Yk) AB Error de la parcela completa (eijk) C (o[) D (..1. m ) CD AC BC AD BD ABC ABD ACD BCD ABCD Error de la subparcela (C¡jk/m) Total Suma de cuadrados SSRépliCll5 SSA SSB SSAB SSwp SSc SSD SSCD SSAC SSBC SSAD SSBD SSABC SSABD SSACD SSBCD SSABCD SSsP SST Grados de libertad 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 31 Cuadrado medio esperado a;+I&r, a;+8a~+A a;+8a~+B a;+ 8a~+ AB a;+ 8a~ a;+C a;+D a;+CD a;+AC a;+BC a;+AD a;+BD a;+ABC a;+ABD a;+ACD a;+BCD a;+ABCD a 2E 580 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS ques, y (para simplificar) se han usado letras mayúsculas latinas para denotar los efectos de tipo fijo. Los efectos principales y la interacción de la parcela completa se prueban contra el error de la parcela completa, mientras que los factores de la subparcela y todas las demás interacciones se prueban contra el error de la subparcela. Si algunos de los factores del diseño son aleatorios, los estadísticos de prueba serán diferentes. En algunos casos no habrá ninguna prueba F exacta y deberá usarse el procedimiento de Satterthwaite (descrito en el capítulo 12). Los experimentos factoriales con tres o más factores en una estructura de parcelas subdivididas tienden a ser experimentos bastante grandes. Por otra parte, la estructura de parcelas subdivididas con frecuencia facilita la realización de un experimento grande. Por ejemplo, en el caso del horno de oxidación, los experimentadores sólo tienen que cambiar ocho veces los factores que son difíciles de modificar (A y B), por lo que quizá un experimento de 32 corridas no sea demasiado ilógico. Es posible reducir el número de corridas utilizando un factorial fraccionado para los factores del diseño de interés. 13,5.2 Diseño de parcelas con doble subdivisión El concepto de diseños de parcelas subdivididas puede extenderse a situaciones en las que pueden ocurrir restricciones sobre la aleatorización en cualquier número de niveles dentro del experimento. Si hay dos niveles de restricciones sobre la aleatorización, al arreglo se le llama diseño de parcelas con doble subdivisión. En el ejemplo siguiente se ilustra este diseño. EJEMPLO 13,3 . Un investigador estudia los tiempos de absorción de un tipo particular de cápsula de antibiótico. Hay tres técnicos, tres concentraciones de la dosis y cuatro espesores de la pared de la cápsula. Cada réplica de un experimento factorial requeriría 36 observaciones. El experimentador se ha decidido por cuatro réplicas, y es necesario correr cada réplica en un día diferente. Observe que los días pueden considerarse como bloques. Dentro de una réplica (o un bloque) (día), el experimento se realiza asignando una unidad· de antibiótico a un técnico que lleva a cabo el experimento con las tres concentraciones de la dosis y los cuatro espesores de la pared. Una vez que se ha formulado una concentración particular de la dosis, se prueban los cuatro espesores de la pared con esa concentración. Después se selecciona otra concentración de la dosis y se prueban los cuatro espesores de la pared. Por último se prueba la tercera concentración de la dosis y los cuatro espesores de la pared. Mientras tanto, otros dos técnicos del laboratorio también siguen el mismo plan, empezando cada uno con una unidad de antibiótico. Observe que hay dos restricciones sobre la aleatorización dentro de cada réplica (o bloque): el técnico y la concentración de la dosis. Las parcelas completas corresponden al técnico. El orden en que se asignan los técnicos a las unidades de antibiótico se determina aleatoriamente. Las concentraciones de la dosis forman tres subparcelas. La concentración de la dosis puede asignarse aleatoriamente a una subparcela. Por último, dentro de una concentración particular de la dosis se prueban los cuatro espesores de la pared de la cápsula de manera aleatoria, formando cuatro sub-subparcelas. A los espesores de la pared suele llamárseles sub-subtratamientos. Puesto que hay dos restricciones sobre la aleatorización en el experimento (algunos autores dicen que hay dos "divisiones" en el diseño), al diseño se le llama diseño de parcelas con doble subdivisión. En la figura 13-8 se ilustran las restricciones sobre la aleatorización y el arreglo experimental de este diseño. 13-5 OTRAS VARIANTES DEL DISEÑO DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS 581 Espesor de la pared 1 Antibiótico asignado a un técnico 2 Primera restricción sobre la aleatorización 3 Segunda restricción sobre la aleatorización Orden aleatorio 4 Técnico 3 2 Bloques Concentración de la dosis Espesor de la pared 2 3 4 Figura 13-8 3 2 Espesor de la pared Espesor de la pared Espesor de la pared 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 3 4 2 3 2 3 4 4 3 4 Diseño de parcelas con doble subdivisión. Un modelo estadístico lineal para el diseño de parcelas con doble subdivisión es Y¡jldl = f-t+7:¡ +{3j +(7:{3)ij +Yk +(7:Y)¡k +({3?/)jk +(7:{3?/)¡jk +Olz +(7:0)¡1z + ({30)]11 +(7:{30)ijlz +(YO)kll + (7:YO)¡kll +({3YO)jklz + ( f3 7: y o) ijkJ¡+cijklz i j = 1, = 1, 2, 2, le:l, 2, { h-l, 2, , r ,a , b ,e (13-20) donde 7:¡, {3j Y (7:{3h representan la parcela completa y corresponden a las réplicas o bloques, a los tratamientos principales (factor A) y al error de la parcela completa [réplicas (o bloques) x A)], respectiva- 582 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDNIDIDAS mente; y Yb ('¡;Y)ib (j3Y)jk y (rf3Y)¡jk representan la subparcela y corresponden al tratamiento de la subparcela (factor B), las interacciones de réplicas (o bloques) x B yAB, Yal error de la subparcela, respectivamente; y o" y los parámetros restantes corresponden a la sub-subparcela y representan, respectivamente, al tratamiento de la sub-subparcela (factor C) y a las interacciones restantes. A la interacción de cuatro factores (rf3yO)¡jk" se le llama el error de la sub-subparcela. Suponiendo que las réplicas (bloques) son aleatorias y que los demás factores del diseño son fijos, pueden derivarse los cuadrados medios esperados como se muestra en la tabla 13-18. Las pruebas de los tratamientos principales, los subtratamientos, los sub-subtratamientos y sus interacciones son obvias al inspeccionar esta tabla. Observe que no existen pruebas para las réplicas o bloques ni para las interacciones en las que intervienen réplicas o bloques. El análisis estadístico de un diseño de parcelas con doble subdivisión es como el de una sola réplica de un factorial de cuatro factores. El número de grados de libertad de cada prueba se determina de la manera usual. Para ilustrar, en el ejemplo 13-3, donde se manejaron cuatro réplicas, tres técnicos, tres concentraciones de la dosis y cuatro espesores de la pared, se tendrían sólo (r -l)(a -1) = (4 -1)(3 -1) = 6 grados de libertad del error de la parcela completa para probar a los técnicos. Se trata de un número relativamente pequeño de grados de libertad, y el experimentador podría considerar el uso de réplicas adicioTabla 13-18 Derivación del cuadrado medio esperado para el diseño de parcelas con doble subdivisión r c 1 a b R R F F F Cuadrado medio esperado Factor h l k j a 2+ abcda 2 1 c a b Ti 1 ;bcL {J2 c r O b a 2+a2 + } {Jj Parcela completa 1 TP (a-1) 1 b c (T{J)ij O 1 a 2+ bcaTP2 Subparcela Sub-subparcela a 2+ aca 2 + rac L Y~ (b -1) a O c 1 a O c 1 (j3Y)jk r O O c 1 (T{JY)ijk 1 O O c 1 2 2'1' rCLL ({JY)~h a +caTpy + (a-1)(b-1) a 2+ ca;py o" r a b O 1 a 2+ aba 2 + (TO)i1. 1 a b O 1 a 2+ aba;d (j30)jh r O b O 1 (T{JO)ijh 1 O b O 1 (yo)k1' r a O O 1 (r'l'o)¡k1. 1 a O O 1 (j3yo)jkl. r O O O 1 (T{JyO)ijkl. 1 O O O 1 a + a;pYd é/(ijkh) 1 1 1 1 1 a 2 (no estimable) Yk r (ry)ik 1 '1' a 2+ aca2 Td rab L o~ (c-1) 2 rb L L ({JO)~h a +ba;Pd+ (a-1)(c-1) 2 a + ba;Pd raLL (1'0)1. a-+aa;;'d+ (b-1)(c-1) 2 a + aa~d rLLL (j3YO)~k a- + a;pyd + (b -1)(c -1) ? ? ? ? ? 2 rJ 13-5 OTRAS VARIANTES DEL DISEÑO DE PARCELAS SUBDNIDIDAS Parcelas completas B, 583 f A3 A, Az A~, A,B, A~, A~3 A,B3 A~3 Parcelas en franjas ~ A~z A,B z A~z Figura 13-9 Una réplica (bloque) de un diseño de parcelas subdivididas en franjas. nales para incrementar la precisión de la prueba. Si haya réplicas, se tendrán 2(r - 1) grados de libertad para el error de la parcela completa. Por lo tanto, cinco réplicas producirán 2(5 -1) = 8 grados de libertad, seis réplicas producü:án 2(6 -1) = 10 grados de libertad, siete réplicas producirán 2(7 -1) = 12 grados de libertad, etcétera. Por consiguiente, es probable que el experimentador no quiera correr menos de cuatro réplicas, ya que se producirían así sólo cuatro grados de libertad. Cada réplica adicional permite ganar dos grados de libertad para el error. Si se cuenta con recursos para correr cinco réplicas, la precisión de la prueba podría incrementarse en un tercio (de seis a ocho grados de libertad). Además, al pasar de cinco a seis réplicas, hay 25% de ganancia adicional en la precisión. Si los recursos lo permiten, el experimentador deberá correr cinco o seis réplicas. 13~5.3 Diseño de parcelas subdivididas en franjas El diseño de parcelas subdivididas en franjas ha tenido una amplia aplicación en las ciencias agrícolas, pero sólo ocasionalmente encuentra un uso en la experimentación industrial. En el caso más simple, se tienen dos factores A y B. El factorA se aplica a las parcelas completas como en el diseño de parcelas subdivididas estándar. Después el factor B se aplica a franjas (que son en realidad sólo otro conjunto de parTabla 13-19 Análisis de varianza abreviado de un diseño de parcelas subdivididas en franjas Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Réplicas (o bloques) SSRéplicas r-1 A SSA a-1 ErrarA de la parcela completa SSwPA B SSB ErrarB de la parcela completa SSwPB (r-1)(b -1) AB SSAB (a-1)(b-1) Errar de la subparcela Total SSsP SST (r-1)(a -l)(b -1) rab -1 Cuadrado medio esperado a;+aba; (r-1)(a-1) b-1 LL r (rf3)~k a;+ (a-1)(b -1) ? 584 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS celas completas) que son ortogonales a las parcelas completas originales utilizadas para el factorA. En la figura 13-9 se ilustra una situación en la que los dos factores A y B tienen tres niveles. Observe que los niveles del factor A están confundidos (o mezclados) con las parcelas completas, y que los niveles del factor B están confundidos con las franjas (las cuales pueden considerarse como un segundo conjunto de parcelas completas). Un modelo para el diseño de parcelas subdivididas en franjas de la figura 13-9, suponiendo y réplicas, a niveles del factor A y b niveles del factor B, es i.:: 1, 2, . oo,, ar {k= 1,2, , b J -1, 2, donde (rf3)ij y ('íY)ik son los errores de la parcela completa de los factores A y B, respectivamente, y Bijk es el error "de la subparcela" usado para probar la interacciónAB. En la tabla 13-19 se muestra un análisis de varianza abreviado, suponiendo queA y B son factores fijos y que las réplicas son aleatorias. En ocasiones las réplicas se ~onsideran como bloques. 13,6 PROBLEMAS 13-1. El fabricante de la carga propulsora de una turbina está estudiando la rapidez de combustión del propulsor obtenido de tres procesos de producción. Se seleccionan al azar cuatro lotes del propulsor de la salida de cada proceso y se hacen tres determinaciones de la rapidez de combustión de cada lote. Los resultados se presentan a continuación. Analizar los datos y sacar conclusiones.. Proceso 1 Lote Proceso 2 Proceso 3 1 2 3 4 1 2 3 25 30 26 19 28 20 15 17 14 15 16 13 19 17 14 23 24 21 18 21 17 4 35 27 25 1 2 3 4 14 15 20 35 21 24 38 54 50 25 29 33 13-2. Se estudia el acabado superficial de piezas metálicas fabricadas en cuatro máquinas. Se conduce un experimento en el que cada máquina es operada por tres operadores diferentes y se colectan y prueban dos ejemplares de cada operador. Debido a la ubicación de las máquinas, se usan operadores diferentes en cada máquina, y los operadores se eligen al azar. Los datos se muestran en la tabla siguiente. Analizar los datos y sacar conclusiones. Máquina 1 Operador 1 2 3 79 62 94 74 46 57 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4 123 123 123 88 75 36 53 92 99 85 79 76 68 53 56 46 57 40 56 62 47 13-3. Un ingeniero de manufactura está estudiando la variabilidad dimensional de un componente particular que se produce en tres máquinas. Cada máquina tiene dos mandriles, y se seleccionan al azar cuatro componentes de cada mandril. Los resultados se presentan a continuación. Analizar los datos, suponiendo que las máquinas y los mandriles son factores fijos. 13-6 PROBLEMAS Máquina 1 1 2 12 8 9 9 11 10 12 8 Mandril Máquina 2 Máquina 3 1 2 1 2 14 15 13 14 12 10 11 13 14 10 12 11 16 15 15 14 585 13-4. Para simplificar la programación de la producción, un ingeniero industrial está estudiando la posibilidad de asignar un tiempo estándar a una clase particular de tareas, con la creencia de que las diferencias entre las tareas son insignificantes. Para ver si esta simplificación es posible, se seleccionan seis tareas al azar. Cada tarea se encarga a un grupo diferente de tres operadores. Cada operador completa dos veces la tarea en momentos diferentes durante la semana, y se obtienen los resultados siguientes. ¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca del uso del tiempo estándar común para todas las tareas de esta clase? ¿Qué valor se usaría para el estándar? Operador 1 Threa 1 2 3 4 5 6 158.3 154.6 162.5 160.0 156.3 163.7 Operador 3 Operador 2 159.4 154.9 162.6 158.7 158.1 161.0 159.2 157.7 161.0 157.5 158.3 162.3 158.9 154.8 160.5 161.1 157.7 162.6 159.6 156.8 158.9 158.9 156.9 160.3 157.8 156.3 159.5 158.5 156.9 161.8 13-5. Considere el diseño anidado de tres etapas que se muestra en la figura 13-5 para investigar la dureza de una aleación. Utilizando los datos que se presentan a continuación, analizar el diseño, suponiendo que la química de la aleación y las hornadas son factores fijos y que los lingotes son aleatorios. Usar la forma restringida del modelo mixto. Química de la aleación Hornadas 1 1 Lingotes 1 40 63 2 2 2 27 30 1 95 67 3 2 69 47 1 65 54 2 78 45 1 22 10 3 2 1 2 23 39 1 83 62 2 75 64 1 2 61 77 35 42 13-6. Analizar nuevamente el experimento del problema 13-5 utilizando la forma no restringida del modelo mixto. Comentar las diferencias que se observan entre los resultados del modelo restringido y el no restringido. Puede usarse un paquete de software de computadora. 13-7. Derivar los cuadrados medios esperados para el diseño anidado balanceado de tres etapas, suponiendo que A es fijo y que B y e son aleatorios. Obtener las fórmulas para estimar los componentes de la varianza. Suponer la forma restringida del modelo mixto. 13-8. Repetir el problema 13-7 suponiendo la forma no restringida del modelo mixto. Puede usarse un paquete de software de computadora para hacerlo. Comentar las diferencias entre el análisis y las conclusiones del modelo restringido y el no restringido. 13-9. Derivar los cuadrados medios esperados para el diseño anidado balanceado de tres etapas si los tres factores son aleatorios. Obtener las fórmulas para estimar los componentes de la varianza. 586 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDMDIDAS 13-10. Verificar los cuadrados medios esperados que se dan en la tabla 13-lo 13-11. Diseños anidados no balanceados. Considere un diseño anidado de dos etapas no balanceado con b¡ niveles de B bajo el nivel i-ésimo de A y nij réplicas en la celda ij-ésima. a) Anotar las ecuaciones normales de mínimos cuadrados para esta situación. Resolver las ecuaciones normales. b) Construir la tabla del análisis de varianza para el diseño anidado no balanceado de dos etapas. e) Analizar los datos siguientes, utilizando los resultados del inciso b. Factor A Factor B 1 2 1 2 1 2 3 6 4 8 -3 5 1 7 9 6 2 4 1 O 3 -3 13-12. Componentes de la varianza en el diseño anidado no balanceado de dos etapas. Considere el modelo i = 1, 2, j= 1, 2, {. k = 1, 2, ,a ,b , l1ij donde A Y B son factores aleatorios. Demostrar que donde N- e o e t (~ ni In, 1 = ----'-------------'-b-a t (~n,;tn,)- t~ ni IN =---'--------'------a-1 1 a N-2: 11~ l. ;=1 e2 = N a-1 13-13. Un ingeniero de procesos está probando el rendilniento de un producto manufacturado en tres máquinas. Cada máquina puede operarse con dos ajustes de la potencia. Además, una máquina tiene tres estaciones en las que se fabrica el producto. Se conduce un experimento en el que cada máquina se prueba con ambos ajustes de la potencia, y se toman tres observaciones del rendimiento de cada estación. Las corridas se hacen en orden aleatorio, y los resultados se presentan a continuación. Analizar este experimento, suponiendo que los tres factores son fijos. rl 13-6 PROBLEMAS Máquina 1 Estación Ajuste de la potencia 1 Ajuste de la potencia 2 1 34.1 30.3 31.6 24.3 26.3 27.1 2 1 31.1 33.5 34.0 24.1 25.0 26.3 3 36.2 36.8 37.1 25.7 26.1 24.9 33.7 34.9 35.0 28.1 29.3 28.6 Máquina 2 2 33.1 34.7 33.9 24.1 25.1 27.9 3 32.8 35.1 34.3 26.0 27.1 23.9 1 32.9 33.0 33.1 24.2 26.1 25.3 587 Máquina 3 2 33.8 33.4 32.8 23.2 27.4 28.0 3 33.6 32.8 31.7 24.7 22.0 24.8 13-14. Suponga que en el problema 13-13 podrían emplearse un gran número de ajustes de la potencia y que los dos que se seleccionaron para el experimento se escogieron al azar. Obtener los cuadrados medios esperados para esta situación suponiendo la forma restringida del modelo mixto y hacer las modificaciones apropiadas al análisis anterior. 13-15. Analizar nuevamente el experimento del problema 13-14 suponiendo la forma no restringida del modelo mixto. Puede usarse un paquete de software de computadora para hacerlo. Comentar las diferencias entre el análisis y las conclusiones del modelo restringido y el no restringido. 13-16. Un ingeniero de estructuras está estudiando la resistencia de una aleación de aluminio adquirida de tres fabricantes. Cada fabricante entrega la aleación en barras de tamaño estándar de 1.0, 1.5 o 2.0 pulgadas. El procesamiento de los diferentes tamaños de las barras a partir de un lingote común implica técnicas diferentes de forjado, por lo que este factor puede ser importante. Además, las barras se forjan de lingotes fabricados en hornadas diferentes. Cada fabricante entrega dos ejemplares de prueba de cada tamaño de las barras de tres hornadas. Los datos de la resistencia resultantes se presentan a continuación. Analizar los datos, suponiendo que los fabricantes y el tamaño de las barras son fijos y las hornadas son aleatorias. Usar la forma restringida del modelo mixto. Fabricante 1 Hornada Tamaño de la barra: 1 pulgada 1tpulgadas 2 pulgadas 1 1.230 1.259 1.316 1.300 1.287 1.292 2 1.346 1.400 1.329 1.362 1.346 1.382 3 1.235 1.206 1.250 1.239 1.273 1.215 Fabricante 2 2 1 3 1.301 1.346 1.315 1.263 1.392 1.320 1.274 1.384 1.346 1.268 1.375 1.357 1.247 1.362 1.336 1.215 1.328 1.342 Fabricante 3 1 1.247 1.296 1.273 1.264 1.301 1.262 2 1.275 1.268 1.260 1.265 1.280 1.271 3 1.324 1.315 1.392 1.364 1.319 1.323 13-17. Resolver de nuevo el problema 13-16 utilizando la forma no restringida del modelo mixto. Puede usarse un paquete de software de computadora para hacerlo. Comentar cualquier diferencia entre el análisis y las conclusiones del modelo restringido y el no restringido. 13-18. Suponga que en el problema 13-16 las barras pueden adquirirse en muchos tamaños y que los tres tamaños que realmente se utilizaron en el experimento fueron seleccionados al azar. Obtener los cuadrados medios esperados para esta situación y hacer las modificaciones apropiadas al análisis anterior. Usar la forma restringida del modelo mixto. 13-19. La normalización del acero se hace calentándolo arriba de la temperatura crítica, recalentándolo y después enfriándolo con aire. Este proceso incrementa la resistencia del acero, refina el grano y homogeneiza la estructura. Se lleva a cabo un experimento para determinar el efecto de la temperatura y de la duración del tratamiento térmico sobre la resistencia del acero normalizado. Se seleccionan dos temperaturas y tres dura- 588 CAPÍTULO 13 DISEÑOS ANIDADOS Y DE PARCELAS SUBDNIDIDAS ciones. El experimento se realiza calentando el horno a una temperatura seleccionada aleatoriamente e insertando tres ejemplares de prueba. Después de 10 minutos se retira uno de ellos, después de 20 minutos se retira un segundo ejemplar y después de 30 minutos se retira el último. Entonces se corre la temperatura al otro nivel y se repite el proceso. Se requieren cuatro corrimientos para recabar los datos, los cuales se muestran abajo. Analizar los datos y sacar conclusiones, suponiendo que ambos factores son fijos. Temperatura, °F Corrimiento 1 2 3 Tiempo, minutos 10 20 30 10 20 30 10 20 30 10 4 20 30 1500 63 54 61 50 52 59 48 74 71 54 48 59 1600 89 91 62 80 72 69 73 81 69 88 92 64 13-20. Se diseña un experimento para estudiar la dispersión de los pigmentos de una pintura. Se estudian cuatro mezclas diferentes de un pigmento particular. El procedimiento consiste en preparar una mezcla particular y en aplicarla después a un panel utilizando tres métodos (con brocha, por rocío y con rodillo). La respuesta medida es el porcentaje de reflectancia (coeficiente de reflexión) del pigmento. Se necesitan tres días para correr el experimento, y los datos obtenidos se presentan a continuación. Analizar los datos y sacar conclusiones, suponiendo que las mezclas y los métodos de aplicación son fijos. Día 1 2 3 Método de aplicación 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 64.5 68.3 70.3 65.2 69.2 71.2 66.2 69.0 70.8 Mezcla 2 3 66.3 74.1 69.5 73.8 73.1 78.0 65.0 73.8 70.3 74.5 72.8 79.1 66.5 72.3 69.0 75.4 74.2 80.1 4 66.5 70.0 72.3 64.8 68.3 71.5 67.7 68.6 72.4 13-21. Repetir el problema 13-20, suponiendo que las mezclas son aleatorias y que los métodos de aplicación son fijos. 13-22. Considere el diseño de parcelas con doble subdivisión del ejemplo 13-3. Suponga que este experimento se conduce como se describe y que se obtienen los datos que se muestran en la siguiente tabla. Analizar los datos y sacar conclusiones. ¡} 13-6 PROBLEMAS Réplicas (o bloques) 1 2 3 4 Concentración de las dosis Espesor de la pared 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 1 95 104 101 108 95 106 103 109 96 105 106 113 90 100 102 114 71 82 85 85 108 115 117 116 110 109 116 110 107 106 112 117 109 112 115 118 96 99 95 97 100 101 99 112 78 84 86 84 70 81 88 90 68 84 85 88 94 100 104 121 98 102 100 118 Técnico 2 2 3 70 84 83 85 72 79 80 86 66 84 87 90 68 81 85 85 108 100 105 109 104 102 108 109 100 101 109 117 106 103 110 116 589 1 3 2 3 95 102 105 107 92 100 101 108 90 97 100 110 98 102 105 110 70 81 84 87 69 76 80 86 73 75 82 91 72 78 80 95 100 106 113 115 101 104 109 113 98 100 104 112 101 105 110 120 13-23. Resolver nuevamente el problema 13-22, suponiendo que los técnicos se eligen al azar. Usar la forma restringida del modelo mixto. 13-24. Suponga que en el problema 13-22 se usaron cuatro técnicos. Suponiendo que todos los factores son fijos, ¿cuántos bloques deberán correrse para obtener un número adecuado de grados de libertad para probar las diferencias entre los técnicos? 13-25. Considere el experimento que se describe en el ejemplo 13-3. Demostrar cómo se determinaría el orden en que se corren la combinaciones de tratamientos si este experimento se realizara como a) una parcela con doble subdivisión, b) una parcela subdividida, c) un diseño factorial en un bloque aleatorizado y d) un diseño factorial completamente aleatorizado. Otros tópicos de diseño y análisis El tema de los experimentos diseñados estadísticamente es muy amplio. En los capítulos previos se ha ofrecido una presentación introductoria de muchos de los conceptos y métodos básicos, aunque en algunos casos sólo se ha podido presentar un panorama general. Por ejemplo, hay exposiciones que ocupan un libro sobre tópicos, como la metodología de superficies de respuesta, los experimentos con mezclas, la estimación de los componentes de la varianza y los diseños óptimos. En este capítulo se presenta un panorama general de varios tópicos más que el experimentador puede encontrar potencialmente útiles. 14,1 14,1.1 RESPUESTAS Y TRANSFORMACIONES NO NORMALES Selección de una transformación: el método de Box,Cox En la sección 3-4.3 se estudió el problema de una varianza no constante de la variable de respuestay en un experimento diseñado, y se señaló que se trata de una desviación de los supuestos del análisis de varianza estándar. Este problema de la desigualdad de la varianza ocurre con relativa frecuencia en la práctica, muchas veces en conjunción con una variable de respuesta no normal. Algunos ejemplos incluirían el conteo de defectos o partículas, los datos de proporciones, como el rendimiento o la proporción de productos defectuosos, o una variable de respuesta que sigue alguna distribución sesgada (una "cola" de la distribución de la respuesta es más larga que la otra). Se introdujo la transformación de la variable de respuesta como un método apropiado para estabilizar la varianza de la respuesta. Se revisaron dos métodos para seleccionar la forma de la transformación, una técnica gráfica empírica y un procedimiento esencialmente de ensayo y error en el que el experimentador simplemente intenta una o más transformaciones, y selecciona la que produce la gráfica más agradable o satisfactoria de los residuales contra la respuesta ajustada. En general, las transformaciones se usan para tres propósitos: estabilizar la varianza de la respuesta, hacer que la distribución de la variable de respuesta esté más cerca de la distribución normal y mejorar el ajuste del modelo a los datos. Este último objetivo podría incluir la simplificación del modelo, por ejem- 590 14-1 RESPUESTAS y TRANSFORMACIONES NO NORMALES 591 plo, eliminando términos de interacción. En ocasiones, una transformación será razonablemente eficaz para conseguir de manera simultánea más de uno de estos objetivos. Se ha señalado ya que la familia de potencias de las transformacionesy* =¡ es muy útil, donde Aes el parámetro de la transformación que habrá de determinarse (por ejemplo A = t significa usar la raíz cuadrada de la respuesta original). Box y Cox [15] han indicado cómo puede estimarse el parámetro de la transformación Aal mismo tiempo que los demás parámetros del modelo (la media global y los efectos de los tratamientos). La teoría fundamental en su procedimiento utiliza el método de máxima verosimilitud. El procedimiento de cálculo real consiste en efectuar, para varios valores de A, el análisis de varianza estándar de y(A) l-1 A ji In y A=O j = A)/-1 O :¡t:. (14-1) donde y = ln-1[(1/n) L lny] es la media geométrica de las observaciones. La estimación de máxima verosimilitud dd es el valor para el que la suma de cuadrados del error, por ejemplo SSE(A), es un mínimo. Este valor de Ase encuentra generalmente construyendo una gráfica de SSE(A) contra Ay leyendo después en la gráfica el valor de Aque minimiza SSE(A). En general, son suficientes entre 10 y 20 valores de Apara estimar el valor óptimo. Si se necesita una estimación más precisa de A, podría realizarse una segunda iteración utilizando un número mayor de valores. Observe que no es posible seleccionar el valor de Acomparando directamente las sumas de cuadrados del error obtenidas en los análisis de varianza de yA, ya que para cada valor de Ala suma de cuadrados del error se mide en una escala diferente. Además, surge un problema con y cuando A = O; a saber, cuando A tiende a cero, ¡ tiende a la unidad. Es decir, cuando A = O, todos los valores de la respuesta son una constante. El componente (i -1 )/A de la ecuación 14-1 alivia este problema porque cuando Atiende a cero, (y" - 1 )/A tiende a un límite de In y. El componente del divisor )/ - 1 de la ecuación 14-1 reescala las respuestas para que las sumas de cuadrados del error sean comparables directamente. Al utilizar el método de Box-Cox, se recomienda que el experimentador use elecciones simples de A, ya que es probable que la diferencia práctica entre A = 0.5 y A = 0.58 sea pequeña, pero la transformación de la raíz cuadrada (A = 0.5) es mucho más fácil de interpretar. Obviamente, los valores de Apróximos a la unidad sugerirían que no es necesaria ninguna transformación. Una vez que se ha seleccionado un valor de Apor el método de Box-Cox, el experimentador puede analizar los datos utilizando ¡ como la respuesta, a menos desde luego que A = O, en cuyo caso se usa In y. Es perfectamente aceptable utilizar y(A) como la respuesta real, aun cuando las estimaciones de los parámetros del modelo tendrán una diferencia de escala y un corrimiento del origen en comparación con los resultados obtenidos cuando se usa ¡ (o In y). Es posible encontrar un intervalo de confianza aproximado de 100(1 - a) por ciento para Acalculando (14-2) donde 11 es el número de grados de libertad, y graficando una recta paralela al ejeA a la altura SS* sobre la gráfica de SSE(A) contraA. Entonces, allocalizarlos puntos sobre el ejeA donde SS* corta la curva SSE(A), pueden leerse directamente en la gráfica los límites de confianza paraA. Si este intervalo de confianza incluye el valor A = 1, esto implica (como se señaló antes) que los datos no soportan la necesidad de una transformación. in ,1, 592 CAPÍTULO 14 EJEMPLO 14~ OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS 1 . El procedimiento de Box-Cox se ilustrará utilizando los datos de la descarga pico presentados originalmente en el ejemplo 3-5. Recuerde que se trata de un experimento con un solo factor (ver la tabla 3-7 para los datos originales). Utilizando la ecuación 14-1 se calcularon los valores de SSE(A) para varios valores de A: A -1.00 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 SSE(A) 7922.11 687.10 232.52 91.96 46.99 35.42 40.61 62.08 109.82 208.12 En la figura 14-1 se muestra una gr~fica de los valores próximos al mínimo, en la que se observa que A =0.52 produce un valor mínimo de aproximadamente SSE(A) = 35.00. Un intervalo de confianza aproximado de 95% paraA se encuentra calculando la cantidad SS* de la ecuación 14-2 de la siguiente manera: SS· = SSE(A) (1+ t~.;~20 ) = 35.00 [1 + (2.~~6)2 ] = 42.61 Al representar SS* en la gráfica de la figura 14-1 y al leer los puntos de la escala A donde esta recta interseca la curva, se obtienen los límites de confianza inferior y superior deA deA- = 0.27y A+ = 0.77. Puesto que estos límites de confianza no incluyen el valor 1, es correcto el uso de una transformación, y la transformación de la raíz cuadrada (A = 0.50) que se usó en realidad se justifica con facilidad. Algunos programas de computadora incluyen el procedimiento de Box-Cox para seleccionar una transformación de la familia de potencias. En la figura 14-2 se presenta la salida de este procedimiento como se implementa en Design-Expel1 para los datos de la descarga pico. Los resultados concuerdan en gran medida con los cálculos manuales resumidos en el ejemplo 14-1. Observe que la escala vertical de la gráfica de la figura 14-2 es ln[SSe(A)]. 14-1 RESPUESTAS Y TRANSFORMACIONES NO NORMALES 110 100 90 80 70 ~ 60 50 40 30 20 10 O 0.00 Figura 14-1 14-1. 0.25 /.,-; 0.27 0.50 0.75 1.00 1.25 /., /.,+; 0.77 Gráfica de SSE(A) contra A para el ejemplo Gráfica de Box-Cox transformaciones de potencias Gráfica de DESIGN-EXPERT Descarga pico Lambda Corriente=1 Mejor = 0.541377 Intervalo de confianza bajo = 0.291092 Intervalo de confianza alto = 0.791662 Transformación recomendada Raíz cuadrada (Lambda = 0.5) 20.32 16.14 ro ::J 'O 'iij ~ 11.95 ~ c: --' 7.76 3.58 -3 -2 -1 o Lambda Figura 14·2 Salida de Design-Expel't para el procedimiento de Box-Cox. 2 3 593 594 14.1.2 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Modelo lineal generalizado Con frecuencia las transformaciones de datos son una forma muy eficaz de abordar el problema de las respuestas no normales y de la desigualdad asociada de la varianza. Como se ha visto en la sección anterior, el método de Box-Cox es una forma sencilla y eficaz de seleccionar la forma de la transformación. Sin embargo, puede haber problemas asociados con el uso de una transformación de datos. Un problema es que el experimentador puede sentirse incómodo al trabajar con la respuesta en la escala transformada. Es decir, el experimentador se interesa en el número de defectos, no en la raíz cuadrada del número de defectos, o en la resistividad en lugar del logaritmo de la resistividad. Por otra parte, si una transformación en realidad tiene éxito y mejora el análisis y el modelo asociado de la respuesta, los experimentadores adoptarán por lo general con rapidez la nueva métrica. Un problema más serio es que una transformación puede resultar en un valor sin sentido para la variable de respuesta en alguna porción del espacio de los factores del diseño que es de interés para el experimentador. Por ejemplo, suponga que se ha usado la transformación de la raíz cuadrada en un experimento que incluye el número de defectos observados en obleas de semiconductores, y para alguna porción de la región de interés la raíz cuadrada predicha del conteo de defectos es negativa. Es probable que esto suceda en situaciones en las que el número real de defectos observados es pequeño. Por consiguiente, el modelo del experimento ha producido una predicción evidentemente no confiable justo en la región donde sería deseable que este modelo tuviera un buen desempeño predictivo. Por último, como se señaló en la sección 14-1.1, es frecuente el uso de transformaciones a fin de estabilizar la varianza, inducir la normalidad y simplificar el modelo. No existe la seguridad de que una transformación conseguirá eficazmente todos estos objetivos al mismo tiempo. Una alternativa del enfoque típico de la transformación de datos seguida del análisis estándar de mínimos cuadrados de la respuesta transformada es usar el modelo lineal generalizado. Se trata de un enfoque desarrollado por Nelder y Wedderburn [87] que en esencia unifica modelos lineales y no lineales con respuestas normales y no normales. McCullagh y Nelder [76] ofrecen un completo estudio de los modelos lineales generalizados y Myers y Montgomery [85b] proporcionan un tutorial. También se presentan detalles adicionales en el material suplementario del texto de este capítulo. Se ofrecerá un panorama general de los conceptos y se ilustrarán con dos ejemplos breves. Un modelo lineal generalizado es básicamente un modelo de regresión (el modelo de un diseño experimental también es un modelo de regresión). Como todos los modelos de regresión, está constituido por un componente aleatorio (lo que se ha llamado generalmente el término del error) y una función de los factores del diseño (las x) y algunos parámetros desconocidos (las f3). En un modelo de regresión lineal de la teoría normal estándar se escribe (14-3) donde se supone que el término del error e tiene una distribución normal con media cero y varianza constante, y la media de la variable de respuesta y es (14-4) A la parte x'p de la ecuación 14-4 se le llama predictor lineal. El modelo lineal generalizado contiene la ecuación 14-3 como un caso especial. En un modelo lineal generalizado, la variable de respuesta puede tener cualquier distribución que sea un miembro de la familia exponencial. Esta familia incluye las distribuciones normal, de Poisson, bi· 14-1 RESPUESTAS Y TRANSFORMACIONES NO NORMALES 595 nomial, exponencial y gamma, por lo que la familia exponencial es una colección rica y flexible de distribuciones aplicables en muchas situaciones experimentales. Además, la relación entre la media de la respuesta f-l y el predictor lineal x'P se determina por una función de enlace. g(f-l) = x 'fJ (14-5) El modelo de regresión que representa la respuesta media está dado entonces por E(y) = f-l = g-l(x'fJ) (14-6) Por ejemplo, a la función de enlace que lleva al modelo de regresión lineal ordinario en la ecuación 14-3 se le llama enlace identidad, ya que¡l = g-\x'P) = x'p. Como otro ejemplo, el enlace log (logarítmico) 1o(f-l) = x'fJ (14-7) produce el modelo f-l = ex'P (14-8) El enlace logarítmico se usa con frecuencia con datos de conteos (respuesta de Poisson) y con respuestas continuas que presentan una distribución que tiene una cola larga a la derecha (la distribución exponencial o gamma). Otra función de enlace importante que se usa con datos binomiales es el enlace logit ~ lo (1 f-l) = x'fJ Esta elección de la función de enlace lleva al modelo 1 f-l = 1 +ex'P (14-9) (14-10) Hay muchas elecciones posibles de la función de enlace, pero debe ser siempre monótona y diferenciable. Observe asimismo que en un modelo lineal generalizado, la varianza de la variable de respuesta no tiene que ser una constante; puede ser una función de la media (y de las variables predictoras a través de la función de enlace). Por ejemplo, si la respuesta es de Poisson, la varianza de la respuesta es exactamente igual a la media. Para usar un modelo lineal generalizado en la práctica, el experimentador debe especificar una distribución de la respuesta y una función de enlace. Después se hace el ajuste del modelo o la estimación de los parámetros por el método de máxima verosimilitud, el cual para la familia exponencial resulta ser una versión iterativa de los mínimos cuadrados ponderados. Para los modelos de regresión lineal o de diseños experimentales ordinarios con una varia1?le de respuesta normal, esto se reduce a los mínimos cuadrados estándares. Utilizando un enfoque que es análogo al análisis de varianza de datos de la teoría normal, pueden hacerse inferencias y la verificación de diagnósticos para un modelo lineal generalizado. Referirse a Myers y Montgomery [85b] para los detalles y ejemplos. Dos paquetes de software que soportan el modelo lineal generalizado son SAS (PROC GENMOD) Y S-PLUS. EJEMPLO 14~ 2 . . . . . . •. . . . . . . . . •. . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El experimento de los defectos en las rejillas En el problema 8-29 se introdujo un experimento para estudiar los efectos de nueve factores sobre los defectos en rejillas de planchas moldeadas de recuadros abiertos. Bisgaard y Fuller realizaron un interesante y útil análisis de estos datos para ilustrar el valor de la transformación de datos en un experimento \JI \O 01 Tabla 14-1 Análisis de mínimos cuadrados y del modelo lineal generalizado para el experimento rejilla de recuadros abiertos Utilizando métodos de mínimos cuadrados con la transformación de los datos de la raíz cuadrada modificada de Freeman y Tukey Transformados Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No transformados Modelo lineal generalizado [respuesta de Poisson, enlace log (logarítmico)] Longitud del intervalo de confianza del 95% Valor predicho Intervalo de confianza de 95% Valor predicho Intervalo de confianza de 95% Valor predicho Intervalo de confianza de 95% Mínimos cuadrados GLM (modelo lineal generalizado) 5.50 3.95 1.52 3.07 1.52 3.07 5.50 3.95 1.08 -0.47 1.96 3.50 1.96 3.50 1.08 -0.47 (4.14,6.85) (2.60,5.31) (0.17,2.88) (1.71,4.42) (0.17, 2.88) (1.71,4.42) (4.14,6.85) (2.60,5.31) (-0.28,2.43) (-1.82, 0.89) (0.61,3.31) (2.15, 4.86) (0.61,3.31) (2.15, 4.86) (-0.28,2.43) (-1.82,0.89) 29.70 15.12 1.84 8.91 1.84 8.91 29.70 15.12 0.71 * 3.36 11.78 3.36 11.78 0.71 * (16.65,46.41) (6.25, 27.65) (1.69,7.78) (2.45, 19.04) (1.69, 7.78) (2.45, 19.04) (16.65,46.41) (6.25, 27.65) (*,5.41) (*,0.36) (0.04, 10.49) (4.13,23.10) (0.04, 10.49) (4.13,23.10) (*,5.41) (*,0.36) 51.26 11.74 1.12 4.88 1.12 4.88 51.26 11.74 0.81 0.19 1.96 8.54 1.96 8.54 0.81 0.19 (42.45,61.90) (8.14, 16.94) (0.60, 2.08) (2.87, 8.32) (0.60, 2.08) (2.87, 8.32) (42.45, 61.90) (8.14, 16.94) (0.42, 1.56) (0.09, 0.38) (1.16, 3.30) (5.62, 12.98) (1.16, 3.30) (5.62, 12.98) (0.42, 1.56) (0.09, 0.38) 29.76 21.39 6.09 16.59 6.09 16.59 29.76 21.39 * * 10.45 18.96 10.45 18.97 * * 19.45 8.80 1.47 5.45 1.47 5.45 19.45 8.80 1.13 0.29 2.14 7.35 2.14 7.35 1.13 0.29 "i~ . .,¡J 14-1 RESPUESTAS Y TRANSFORMACIONES NO NORMALES 597 diseñado. Como se señaló en el inciso f del problema 8-29, los autores utilizaron una modificación de la transformación de la raíz cuadrada que llevó al modelo ~ (.JY +.Jy+ 1) /2= 2.513- O.996x 4 -1.21x 6 - O. 772x 2 x 7 donde, como de costumbre, las x representan los factores del diseño codificados. Esta transformación hace un excelente trabajo para estabilizar la varianza del número de defectos. En las dos primeras secciones de la tabla 14-1 se presenta parte de la información acerca de este modelo. Bajo el encabezado "Transformados", la primera columna contiene la respuesta predicha. Observe que hay dos valores predichos negativos. El encabezado "No transformados" presenta los valores predichos no transformados, junto con los intervalos de confianza de 95% para la respuesta media en cada uno de los 16 puntos del diseño. Puesto que hubo algunos valores predichos negativos, así como límites de confianza inferiores negativos, no fue posible calcular los valores de todas las entradas de esta sección de la tabla. La respuesta es en esencia una raíz cuadrada del conteo de los defectos. Un valor predicho negativo es claramente ilógico. Observe que esto ocurre donde los conteos observados fueron pequeños. Si es importante usar el modelo para predecir el desempeño en esta región, el modelo puede ser no confiable. Esto no deberá tomarse como una crítica del experimento original ni del análisis de Bisgaard y Fuller. Fue un experimento de exploración en extremo exitoso que definió con toda claridad las variables importantes del proceso. La predicción no fue una de las metas originales, y tampoco fue el objetivo del análisis realizado por Bisgaard y Fuller. Sin embargo, si hubiera sido importante obtener un modelo de predicción, probablemente un modelo lineal generalizado habría sido una buena alternativa para el enfoque de la transformación. Myers y Montgomery usan un enlace lag (logarítmico) (ecuación 14-7) y una respuesta de Poisson para ajustar exactamente el mismo predictor lineal dado por Bisgaard y Fuller. Esto produce el modelo y = e (L128-0.896x, - L176x 6 -o. 737 x,x,) La tercera sección de la tabla 14-1 contiene los valores predichos de este modelo y los intervalos de confianza de 95% para la respuesta media en cada punto del diseño (obtenida con el procedimiento PROC GENMOD de SAS). No hay valores predichos negativos (lo cual se asegura con la elección de la función de enlace) ni límites de confianza inferiores negativos. En la última sección de la tabla se comparan las longitudes de los intervalos de confianza de 95% para la respuesta no transformada y el modelo lineal generalizado (GLM). Observe que los intervalos de confianza del modelo lineal generalizado son uniformemente más C01toS que sus contrapartes de mínimos cuadrados. Esto es un sólido indicio de que el enfoque del modelo lineal generalizado ha explicado la variabilidad y ha producido un modelo superior en comparación con el enfoque de la transformación. ••••••••••• EJEMPLO • - ••••••• 11 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14~3 . El experimento del hilado de estambre En la tabla 14-2 se presenta un diseño factorial 33 que se realizó para investigar el desempeño de un hilado de estambre bajo ciclos de carga repetida. El experimento se describe completo en Box y Draper [16b]. La respuesta es el número de ciclos hasta una falla. De manera típica, los datos de confiabilidad como éstos son no negativos y continuos, y con frecuencia tienen una distribución con una cola derecha alargada. Los datos se analizaron inicialmente utilizando el enfoque estándar (mínimos cuadrados), y la transformación de datos fue necesaria para estabilizar la varianza. Se encuentra que el logaritmo de los datos 598 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Tabla 14-2 El experimento del hilado de estambre Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Xl X2 X3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 O O O O O O O O O 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 O O O 1 1 1 -1 -1 -1 O O O 1 1 1 -1 -1 -1 O O O 1 1 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 -1 O 1 Ciclos hasta una falla 674 370 292 338 266 210 170 118 90 1414 1198 634 1022 620 438 442 332 220 3636 3184 2000 1568 1070 566 1140 884 360 Logaritmo de los ciclos hasta una falla 2.83 2.57 2.47 253 2.42 2.32 2.23 2.07 1.95 3.15 3.08 2.8 3.01 2.79 2.64 2.65 2.52 2.34 3.56 3.5 3.3 3.19 3.03 2.75 3.06 2.95 2.56 de los ciclos hasta una falla produce un modelo adecuado en términos del ajuste global del modelo, así como gráficas satisfactorias de los residuales. El modelo es logy= 2 751+0.3617x1 - O.2739xz - O.1711x 3 o en términos de la respuesta original, ciclos hasta una falla, y= 10Z' 751+0.3617.<, -0.Z739x2 -0.1711x3 • Este experimento se analizó también utilizando el modelo lineal generalizado, seleccionando la distribución gamma para la respuesta y el enlace lag (logarítmico). Se usó exactamente la misma forma del modelo encontrada por el análisis de mínimos cuadrados de la respuesta con la transformación logarítmica. El modelo que resultó es y = e6.3489+0.8425x¡ -O. 6313x2 -0.3851x3 • En la tabla 14-3 se presentan los valores predichos del modelo de mínimos cuadrados y del modelo lineal generalizado, junto con los intervalos de confianza de 9i% para la respuesta media de cada uno de los 27 !;FSHi=Et7F.... ~M ... "r·~·~··· - ,. """'"1 . '-j • Tabla 14-3 Análisis del modelo de mínimos cuadrados y del modelo lineal generalizado para el experimento del hilado de estambre Métodos de mínimos cuadrados con la transformación logarítmica de los datos Transformados \.1l \O \O '",4 ~'-..... Observación Valor predicho Intervalo de confianza de 95% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2.83 2.66 2.49 2.56 2.39 2.22 2.29 2.12 1.94 3.20 3.02 2.85 2.92 2.75 2.58 2.65 2.48 2.31 3.56 3.39 3.22 3.28 3.11 2.94 3.01 2.84 2.67 (2.76,2.91) (2.60,2.73) (2.42, 2.57) (2.50, 2.62) (2.34,2.44) (2.15,2.28) (2.21, 2.36) (2.05, 2.18) (1.87, 2.02) (3.13, 3.26) (2.97, 3.08) (2.79,2.92) (2.87,2.97) (2.72, 2.78) (2.53, 2.63) (2.58,2.71) (2.43, 2.53) (2.24, 2.37) (3.48, 3.63) (3.32, 3.45) (3.14,3.29) (3.22, 3.35) (3.06, 3.16) (2.88,3.01) (2.93, 3.08) (2.77,2.90) (2.59,2.74) No transformados Modelo lineal generalizado Valor predicho Intervalo de confianza de 95% Valor predicho Intervalo de confianza de 95% 682.50 460.26 310.38 363.25 244.96 165.20 193.33 130.38 87.92 1569.28 1058.28 713.67 835.41 563.25 379.84 444.63 299.85 202.16 3609.11 2433.88 1641.35 1920.88 1295.39 873.57 1022.35 689.45 464.94 (573.80,811.52) (397.01, 533.46) (260.98, 369.06) (313.33,421.11) (217.92, 275.30) (142.50, 191.47) (162.55,229.93) (112.46, 151.15) (73.93,104.54) (1353.94, 1819.28) (941.67,1189.60) (615.60,827.37) (743.19, 938.86) (523.24, 606.46) (337.99,426.97) (383.53,515.35) (266.75,336.98) (174.42,234.37) (3034.59, 4292.40) (2099.42, 2821.63) (1380.07, 1951.64) (1656.91, 2226.90) (1152.66, 1455.79) (753.53, 1012.74) (859.81,1215.91) (594.70,799.28) (390.93, 552.97) 680.52 463.00 315.01 361.96 246.26 167.55 192.52 130.98 89.12 1580.00 1075.00 731.50 840.54 571.87 389.08 447.07 304.17 206.95 3670.00 2497.00 1699.00 1952.00 1328.00 903.51 1038.00 706.34 480.57 (583.83, 793.22) (407.05,526.64) (271.49, 365.49) (317.75,412.33) (222.55, 272.51) (147.67,190.10) (165.69,223.70) (115.43, 148.64) (76.87, 103.32) (1390.00, 1797.00) (972.52, 1189.00) (644.35,830.44) (759.65, 930.04) (536.67, 609.38) (351.64,430.51) (393.81,507.54) (275.13, 336.28) (182.03,235.27) (3165.00, 4254.00) (2200.00, 2833.00) (1462.00, 1974.00) (1720.00, 2215.00) (1200.00, 1470.00) (793.15, 1029.00) (894.79, 1205.00) (620.99, 803.43) (412.29,560.15) \ \ Longitud del intervalo de confianza del 95% GLM (modelo Mínimos lineal cuadrados generalizado) 237.67 136.45 108.09 107.79 57.37 48.97 67.38 38.69 30.62 465.34 247.92 211.77 195.67 83.22 88.99 131.82 70.23 59.95 1257.81 722.21 571.57 569.98 303.14 259.22 356.10 204.58 162.04 209.39 119.59 94.00 94.58 49.96 42.42 58.01 33.22 26.45 407.00 216.48 186.09 170.39 72.70 78.87 113.74 61.15 53.23 1089.00 633.00 512.00 495.00 270.00 235.85 310.21 182.44 147.86 0;;:;" 600 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS puntos del diseño. La comparación de las longitudes de los intervalos de confianza revela que es posible que el modeÍo lineal generalizado sea un mejor predictor que el modelo de mínimos cuadrados. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••• Los modelos lineales generalizados han encontrado amplia aplicación en la investigación y el desarrollo biomédico y farmacéutico. Conforme más paquetes de software incluyan esta capacidad, encontrará una aplicación más amplia en el ámbito de la investigación y el desarrollo industrial general. 14~2 DATOS NO BALANCEADOS EN UN DISEÑO FACTORIAL El centro de atención principal de este libro ha sido el análisis de diseños factoriales balanceados, es decir, los casos en que en cada celda hay el mismo número II de observaciones. Sin embargo, es común encomrar situaciones en las que el número de observaciones en las celdas son desiguales. Estos diseños factoriales no balanceados ocurren por varias razones. Por ejemplo, el experimentador puede haber diseñado inicialmente un experimento balanceado, pero debido a problemas imprevistos cuando se corre el experimento, los cuales resultan en la pérdida de algunas observaciones, termina trabajando con datos no balanceados. Por otra parte, algunos experimentos no balanceados se diseñan expresamente de este modo. Por ejemplo, ciertas combinaciones de tratamientos pueden ser más costosas o más difíciles de correr que otras, por lo que pueden hacerse menos observaciones en esas celdas. De manera alternativa, algunas combinaciones de tratamientos pueden ser de mayor interés para el experimentador debido a que representan condiciones nuevas o no exploradas, por lo que puede optar por obtener réplicas adicionales de dichas celdas. La propiedad de ortogonalidad de los efectos principales y las interacciones, presente en los datos balanceados, no es válida en el caso no balanceado. Esto significa que las técnicas del análisis de varianza usual no son aplicables. Por consiguiente, el análisis de factoriales no balanceados es mucho más difícil que el de los diseños balanceados. En esta sección se ofrece un breve panorama general de los métodos para abordar los factoriales no balanceados, centrando la atención en el caso del modelo de efectos fijos con dos factores. Suponga que el número de observaciones en la celda ij-ésima es nij' Además, sea lli. = L~=l llij el número de observaciones en el renglón i-ésimo (el nivel i-ésimo del factor A), sea II J = L ~=1 llij el número de observaciones de la columnaj-ésima (el nivelj-ésimo del factor B) y seall.. = L~=l L~=l nij el número total de observaciones. 14~2.1 . Datos proporcionales: un caso sencillo Una de las situaciones que incluye datos no balanceados presenta escasa dificultad para el análisis; se trata del caso de los datos proporcionales. Es decir, el número de observaciones en la celda ij-ésima es ll .. IJ ll.l. II .). =-II (14-11) Esta condición implica que el número de observaciones en dos renglones o columnas cualesquiera es proporcional. Cuando ocurren datos proporcionales, puede emplearse el análisis de varianza estándar. Sólo 14-2 DATOS NO BALANCEADOS EN UN DISEÑO FACTORIAL 601 es necesario hacer modificaciones menores en las fórmulas del cálculo manual de las sumas de cuadrados, las cuales quedan como b a SST nij = 2:2:2: i=1 j=1 k=1 a SS A ~ = L.J 2 ll i . i=l b SSB = 2: ~ nj = L.JL.J ~~ i=1 j=1 SSE 11 Y.~. - Y.~ - j=1 SS 2 Yi.. Y... --- = SST - 11 Y~. - Y.~ -SS A -SSB llij 11.. SS A = ~±~ i=1 j=1 k=1 - SSB - SS ~ Y~k- ~± ~~. i=1 j=1 ij Como un ejemplo de datos proporcionales, considere el experimento del diseño de la batería del ejemplo 5-1. En la tabla 14-4 se muestra una versión modificada de los datos originales. Desde luego, los datos son proporcionales; por ejemplo, en la celda 1,1 se tienen _ 111 n 1 _ 10(8) _ 4 1111 11 20 observaciones. Los resultados que se obtienen al aplicar el análisis de varianza usual a estos datos se presentan en la tabla 14-5. Tanto el tipo de material como la temperatura son significativos, lo cual concuerda con el análisis del conjunto completo de datos del ejemplo 5-1. Sin embargo, la interacciónque se observó en el ejemplo 5-1 no está presente. 14~2.2 Métodos aproximados Cuando los datos no balanceados no se apartan demasiado del caso balanceado, en ocasiones es posible usar procedimientos aproximados que convierten el problema no balanceado en uno balanceado. Esto Tabla 14-4 Experimento del diseño de la batería con datos proporcionales Temperatura, °F Tipo de material 15 =4 130 74 155 180 = 2 159 126 = 2 138 160 /1 11 1 /1. 1 = 8 Y.1. = 1122 40 75 = 2 136 115 /1 13 /1 22 /1 31 3 = 4 34 80 /1 12 /1 21 2 125 70 /132 /1.2 = 8 Y.2. = 769 70 58 = 10 = 896 /1 2. = 5 Y1.. Y2.. = 581 = 1 96 /1 3. = 5 Y3.. = 683 /1 33 139 /11. = 1 45 /1']3 = 2 150 = 2 n3 = 4 Y.3. = 269 /1 = 20 Y.:: = 2160 ,1 :,[ '¡I ji 602 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS 11 11 Tabla 14-5 ¡¡ )1 :11 1'1 '[ ; Análisis de varianza de los datos del diseño de la batería de la tabla 14-4 Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Tipos de material Temperatura Interacción Error Total 8,170.400 16,090.875 5,907.725 8,981.000 39,150.000 2 2 4 11 19 4,085.20 8,045.44 1,476.93 816.45 Fo 5.00 9.85 1.18 hace, desde luego, que el análisis sea tan sólo aproximado, pero el análisis de datos balanceados es tan sencillo que con frecuencia el experimentador se ve tentado a usarlo. En la práctica, es necesario decidir cuándo los datos no son lo suficientemente diferentes del caso balanceado para hacer que el grado de aproximación introducido sea relativamente de escasa importancia. A continuación se describen brevemente algunos de estos métodos aproximados. Se supone que todas las celdas contienen al menos una observación (es decir, 11ij 2': 1). Estimación de observaciones faltantes Si sólo unas cuantas 11ij son diferentes, un procedimiento razonable es estimar los valores faltantes. Por ejemplo, considere el diseño no balanceado de la tabla 14-6. Evidentemente, estimar el único valor faltante de la celda 2,2 es un enfoque razonable. Para un modelo con interacción, la estimación del valor faltante en la celda ij-ésima que minimiza la suma de cuadrados del error es Yij' Es decir, el valor faltante se estima tomando el promedio de las observaciones que están disponibles en esa celda. El valor estimado se trata como un dato real. La única modificación del análisis de varianza es reducir los grados de libertad del error en el número de observaciones faltantes que se han estimado. Por ejemplo, si se estima el valor faltante en la celda 2,2 de la tabla 14-6, se usarían 26 grados de libertad en lugar de 27. Apartado de datos Considere los datos de la tabla 14-7. Observe que la celda 2,2 sólo tiene una observación más que las otras. Estimar los valores faltantes de las ocho celdas restantes quizá no sea una buena idea en este caso, ya que esto resultaría en estimaciones equivalentes a cerca de 18% de los datos finales. Una alternativa es apartar una de las observaciones de la celda 2,2, para obtener así un diseño balanceado con 11 = 4 réplicas. La observación que se aparte deberá elegirse al azar. Además, en lugar de descartar completamente la observación, podría reintegrarse al diseño, después elegir al azar otra observación para apartarla y re- Tabla 14-6 Los valores nij para un diseño no balanceado Columnas Renglones 1 2 3 1 2 3 4 4 4 4 3 4 4 4 4 14-2 DATOS NO BALANCEADOS EN UN DISEÑO FACTORIAL Tabla 14-7 603 Los valores n,j para un diseño no balanceado Columnas Renglones 1 2 3 1 2 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 petir el análisis. Y, se esperaría, estos dos análisis no llevarán a interpretaciones antagónicas de los datos. Si lo hacen, se sospecha que la observación que se apartó es un valor atípico o disparatado y deberá manejarse en consecuencia. En la práctica es improbable que ocurra esta confusión cuando sólo se aparta un número reducido de observaciones y la variabilidad dentro de las celdas es pequeña. Método de las medias no ponderadas En este enfoque, introducido por Yates [IBa], los promedios de las celdas se tratan como si fueran datos y son objeto de un análisis de datos balanceados estándar para obtener las sumas de cuadrados de los renglones, las columnas y la interacción. El cuadrado medio del error se encuentra como b a nij LLL(Yijk - Yij.)2 = _i=_l....:j_=l_k_·=_l MS _ (14-12) -ah 11 E Entonces, MS E estima er, la varianza de Yijk, una observación individual. Sin embargo, se ha realizado un análisis de varianza de los promedios de las celdas, y como la varianza del promedio de la celda ij-ésima es er/11ij' el cuadrado medio del error que se usa en realidad en el análisis de varianza deberá ser una estimación de la varianza promedio de las Yij, por ejemplo a b " " a LJLJ V(Yij,)= 2 i=l j=l ah /11 IJ.. 2 a b = ~ LL ah i=l j=l 1 11ij (14-13) Utilizando MSE de la ecuación 14-12 para estimar er en la ecuación 14-13, se obtiene MS~=MSE!± ~ ah i=l j=l 11ij (14-14) como el cuadrado medio del error (con 11.. -ah grados de libertad) que se usará en el análisis de varianza. El método de las medias no ponderadas es un procedimiento aproximado porque las sumas de cuadrados de los renglones, las columnas y la interacción no se distribuyen como una variable aleatoria ji-cuadrada. La ventaja principal del método parece ser la simplicidad de los cálculos. Cuando las 11ij no difieren de manera radical, el método de las medias no ponderadas funciona con frecuencia razonablemente bien. Una técnica relacionada es el método de los cuadrados ponderados de las medias, propuesto también por Yates [113a]. Esta técnica se basa también en las sumas de cuadrados de las medias de las celdas, pero los términos de las sumas de cuadrados se ponderan en proporción inversa a sus varianzas. Para mayores detalles de este procedimiento, ver Searle [99a] y Speed, así como Hocking y Hackney [106]. 604 14~2.3 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Método exacto En situaciones en que los métodos aproximados no son apropiados, como cuando ocurren celdas vacías (algunas ll ij = O) o cuando las llij presentan diferencias radicales, el experimentador debe usar un análisis exacto. El enfoque utilizado para desarrollar las sumas de cuadrados para probar los efectos principales y las interacciones consiste en representar el modelo del análisis de varianza como un modelo de regresión, ajustar ese modelo a los datos y usar el enfoque de la prueba general de significación de la regresión. Sin embargo, existen varias formas en que puede hacerse esto, y estos métodos pueden producir valores diferentes para las sumas de cuadrados. Además, las hipótesis que se están probando no siempre son análogos directos de las del caso balanceado, y su interpretación tampoco es siempre sencilla. Para mayor información al respecto, ver el material suplementario del texto de este capítulo. Otras buenas referencias son Searle [99a]; Speed y Hocking [105]; Hocking y Speed [58]; Hocking, Hackney y Speed [57]; Speed, Hocking y Hackney [106]; Searle, Speed y Henderson [102]; Searle [99c]; y Milliken y Johnson [79]. El software de estadística SAS proporciona un excelente enfoque del análisis de datos no balanceados a través del procedimiento PROC GLM. . 14~3 ANÁLISIS DE COYARIANZA En los capítulos 2 y 4 se introdujo el uso del principio de la formación de bloques para mejorar la precisión con la que se hacen comparaciones entre tratamientos. La prueba t pareada fue el procedimiento ilustrado en el capítulo 2, mientras que en el capítulo 4 se presentó el diseño de bloques aleatorizados. En general, el principio de la formación de bloques puede usarse para eliminar el efecto de los factores perturbadores controlables. El análisis de covarianza es otra técnica que en ocasiones es útil para mejorar la precisión de un experimento. Suponga que en un experimento con una variable de respuesta y existe otra variable, por ejemplo x, y que y se relaCiona linealmente conx. Además, suponga quex no puede ser controlada por el experimentador, pero puede observarse junto con y. A la variable x se le llama variable con· comitante o covariable. El análisis de covarianza implica ajustar la variable de respuesta observada para el efecto de la variable concomitante. Si no se hace este ajuste, la variable concomitante podría inflar el cuadrado medio del error y hacer que sean más difíciles de detectar las verdaderas diferencias en la respuesta debidas a los tratamientos. Por lo tanto, el análisis de covarianza es un método de ajuste para los efectos de una variable perturbadora no controlable. Como se verá, el procedimiento es una combinación del análisis de varianza y del análisis de regresión. Como un ejemplo de un experimento en ef que puede emplearse el análisis de covarianza, considere el estudio realizado para determinar si existe una diferencia en la resistencia de una fibra de monofilaTabla 14-8 Datos de la resistencia a la ruptura (y = diámetro en 10-3 pulgadas) = resistencia en libras yx Máquina 1 Máquina 3 Máquina 2 y x 36 41 39 42 49 207 20 25 24 25 32 126 y x y x 40 48 39 45 44 216 22 28 35 37 42 34 32 180 21 23 26 21 15 106 22 30 28 130 ~ r 14-3 ANÁLISIS DE COVARIANZA 605 50 45 '"~ ::l 15. 40 2 .!!l ro ro c: '" 35 ID tí '¡¡; ID c: 30 O 10 30 20 40 Diámetro, x Figura 14-3 Resistencia a la ruptura (y) contra el diámetro de la fibra ~"l:), mento producida por tres máquinas diferentes. Los datos de este experimento se muestran en la tabla 14-8. En la figura 14-3 se presenta un diagrama de dispersión de la resistencia (y) contra el diámetro (o grosor) de la muestra. Evidentemente, la resistencia de la fibra también se afecta por su grosor; por consiguiente, una fibra más gruesa será por lo general más resistente que una delgada. El análisis de covarianza podría usarse para eliminar el efecto del grosor (x) sobre la resistencia (y) cuando se prueban las diferencias en la resistencia entre las máquinas. 14~3.1 Descripción del procedimiento A continuación se describe el procedimiento básico para el análisis de covarianza, ilustrándolo para un experimento de un solo factor con una covariable. Suponiendo que existe una relación lineal entre la respuesta y la covariable, un modelo estadístico apropiado es i = 1, 2, ,a (14-15) y.. = fl+'t·t +[3(x i.. j-x )+s 1).. { j= 1, 2, ,n .. EJ donde Yij es la observaciónj-ésima de la variable de respuesta tomada bajo el tratamiento o nivel i-ésimo del único factor,x¡¡ es la medición hecha de la covariable o variable concomitante correspondiente aY¡¡ (es decir, la corrida ij-ésima), es la media de los valoresx¡¡, fl es la media global, 'ti es el efecto del tratamiento i-ésimo, [3 es el coeficiente de regresión lineal que indica la dependencia de Y¡¡ dexij y Sij es un componente del error aleatorio. Se supone que los errores Sij son NID(O, if), que la pendiente [3 :;é OYque la verdadera relación entre Yij y xii es lineal, que los coeficientes de regresión de cada tratamiento son idénticos, que la suma de los efectos de los tratamientos es cero (L~=l 'ti = O) Yque la variable concomitantex¡¡ no se afecta por los tratamientos. Observe, por la ecuación 14-15, que el modelo del análisis de covarianza es una combinación de los modelos lineales empleados en el análisis de varianza y regresión. Es decir, se tienen efectos de los tratamientos {'tJ, como en un análisis de varianza de un solo factor, y un coeficiente de regresión [3, como en una ecuación de regresión. La variable concomitante de la ecuación 14-15 se expresa como (xij -x.,) x.. :! 606 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS en lugar dexij, para que el parámetro f-i se preserve como la media global. El modelo pudo haberse escrito como 1,2, , a (14-16) ] - 1,2, , n {i.: donde f-i es una constante diferente de la media global, que para este modelo es f-i + (Ji.,. Es más común encontrar la ecuación 14-15 en la literatura sobre el tema. Para describir el análisis, se introduce la siguiente notación: I I a S¡y = n a y2 n LL (yij - y.. )2 = LL Y~ i=l j=l j=l a;z (14-17) i=l a S,u: n = LJLJ ""'"'" i=l j=l a (x"IJ - X.. )2 x2 a n 1=1 J=l = ~LJ ""'"'" X~ - -an" a LL (Xij -x.. )(Yij - Y.. )= LL XijYij j=l i=l j=l 1 T¡y = n"'" LJ (y - Y )2 = -"'" n LJ y L an S~y = 11 _ (14-18) lj _ 11 (X,)(y..) an (14-19) i=l a a 2 2 i, i. .. 1=1 = n"'" LJ (14-20) 1=1 a Trx; - (X i, -x.. )2 i=1 1 a =-n LJ "'" 1=1 X2 Xi.2 __ an 'o (14-21) = n~ (Xi. -X.. )(Yi. - Y.. )= 1:. ~ (Xi. )(Yi.)- (X,~~.. ) (14-22) E¡y = ~! (Yij - Yi.)2 = S¡y -T¡y (14-23) Eu: = ~! (Xij -xif = S,,-'I: -Trx; (14-24) = ~! (Xij -Xi. )(Yij - Yi,)= T.TJ' i=l i=l j=l i=l E.t), i=l j=l j=l n i";l S~y -T.TJ' (14-25) Observe que, en general, S = T + E, donde los símbolos S, Ty E se usan para denotar las sumas de cuadrados y los productos cruzados del total, los tratamientos y el error, respectivamente. Las sumas de cuadrados dexyy deben ser no negativas; sin embargo, las sumas de los productos cruzados (xy) pueden ser negativas. A continuación se indica la forma en que el análisis de covarianza ajusta la variable de respuesta para el efecto de la covariable. Considere el modelo completo (ecuación 14-15). Los estimadores de mínimos cuadrados de f-i, "íi Yf3 son íl = Ji.., ri = Yi. - Y.. - ~(Xi. - x.. ), y ~ Exy f3 = - E,,-'I: (14-26) La suma de cuadrados del error en este modelo es SSE = E¡y _(ETJ')2 / Erx; con a(n - 1) - 1 grados de libertad. La varianza del error experimental se estima con MS _ E - SSE a(n-1)-1 (14-27) 14-3 ANÁLISIS DE COVARIANZA 607 Suponga ahora que no hay ningún efecto de los tratamientos. El modelo (ecuación 14-15) sería entonces Y1).. = Jl+(3(x l.. J -x. . )+8 lJ.. y puede demostrarse que los estimadores de mínimos cuadrados de Jl y (3 son fl de cuadrados del error en este modelo reducido es (14-28) = y.. y jJ = Sxy/Sxx. La suma (14-29) con an - 2 grados de libertad. En la ecuación 14-29, la cantidad (Sxy)2/Sxx es la reducción de la suma de cuadrados de y obtenida a través de la regresión lineal de y sobre x. Además, observe que SSE es menor que SS~ [ya que el modelo (ecuación 14-15) contiene los parámetros adicionales {r¡}] y que la cantidad SS~ SSE es una reducción en la suma de cuadrados debida alas {r¡}. Parlo tanto, la diferencia entre SS~ y SSe. es decir, SS~ - SSE, proporciona una suma de cuadrados con a -1 grados de libertad para probar la hipótesis de que no hay ningún efecto de los tratamientos. Por consiguiente, para probar Ho:r¡ = O, se calcula F. =..:....(S_S..:::.~ _-_S_SE"-.:)c-/--'. (a_-_1-'...) o SSE /[a(n-1)-1] (14-30) que, si la hipótesis nula es verdadera, se distribuye como Fa -1, a(n -1) -1' Por lo tanto, Ho:r¡ = Ose rechaza si o > Fa, a _ 1, a(n _ 1) _ l' También podría usarse el enfoque del valor P. Es instructivo examinar la presentación de la tabla 14-9. En ella el análisis de covarianza se ha presentado como un análisis de varianza "ajustado". En la columna de la fuente de variación, la variabilidad total se mide por SYY' con an - 1 grados de libertad. La fuente de variación "regresión" tiene la suma de cuadrados (Sxy?/Sxx con un grado de libertad. Si no hubiera ninguna variable concomitante, se tendría Sxy = Srx; = Exy = E xx = O. Entonces la suma de cuadrados del error sería simplementeEyy y la suma de cuadrados de los tratamientos sería Syy - E yy = Tyy . Sin embargo, debido a la presencia de la variable concomitante, Syy y E yy deben"ajustarse" para la regresión de y sobre x, como se muestra en la trbla 14-9. La suma de cuadrados del error ajustada tiene a(n -1) -1 grados de libertad en lugar de a(n 1) grados de libertad debido a que se ajusta un parámetro adicional (la pendiente (3) a los datos. Los cálculos suelen presentarse en una tabla del análisis de covarianza como la tabla 14-10. Se emplea esta presentación porque resume de manera conveniente todas las sumas de cuadrados y los productos cruzados requeridos, así como las sumas de cuadrados para probar las hipótesis acerca de los efectos de los tratamientos. Además de utilizarla para probar la hipótesis de que no hay diferencias en los efectos de los tratamientos, con frecuencia esta tabla se encuentra útil en la interpretación de los datos para presentar las medias de los tratamientos ajustadas. Estas medias ajustadas se calculan de acuerdo con F T i=1,2, ... ,a (14-31) jJ= Exy / E xx . Esta media de los tratamientos ajustada es el estimador de mínimos cuadrados de Jl + r¡, i = 1,2, .oo, a, en el modelo (ecuación 14-15). El error estándar de cualquier media ajustada de los donde tratamientos es (14-32) 0\ o 00 Tabla 14-9 El análisis de covarianza como un análisis de varianza "ajustado" Fuente de variación Regresión Suma de cuadrados Grados de libertad (Sxy?/S;cr 1 SS~ -SSE =Syy _(Sx¡,)2 / S;cr -[Eyy -(Exy? / E;cr] a-1 Error SSE = E yy _(Exy)2 / E;cr a(n -1)-1 Total Syy an-1 Tratamientos Cuadrado medio SS~ -SSE a-1 Fa (SS~ -SSE)/(a-1) MSE SSE MSE = a(n -1)-1 Tabla 14-10 Análisis de covarianza de un experimento de un solo factor con una covariable Sumas de cuadrados y productos Fuente de variación Grados de libertad x xy y Tratamientos a-1 T;cr Txy Tyy Error a(n -1) E;cr Exy EYJ , SSE = Eyy -(Exy? / E;cr a(n -1)-1 Total an-1 S;cr Sxy SYJ' SS~ = Syy -(S')j / S;cr an-2 SS~ -SSE Tratamientos ajustados y Ajustados para la regresión Grados de libertad a-1 Cuadrado medio SSE MSE = a(n -1)-1 SS~ -SSE a-1 :/J ~ 11 14-3 ANÁLISIS DE COVARIANZA 609 Por último, cabe recordar que se ha supuesto que el coeficiente de regresión {3 del modelo (ecuación 14-15) es diferente de cero. La hipótesis H o:{3 = Opuede probarse utilizando el estadístico de prueba = (E,-oY / E F xx (14-33) MS E a que bajo la hipótesis nula se distribuye como F 1, a(n -1) _ l' Por lo tanto, H o:{3 = Ose rechaza si Fa > Fa ,l, a(n - 1) -1' EJEMPLO . 14~4 Considere el experimento descrito al principio de la sección 14-3. Tres máquinas producen una fibra de monofilamento en una fábrica textil. El ingeniero del proceso tiene interés en determinar si existe alguna diferencia en la resistencia a la ruptura de la fibra producida por las tres máquinas. Sin embargo, la resistencia de una fibra se relaciona con su diámetro, con las fibras más gruesas, siendo éstas, en general, más resistentes que las más delgadas. Se selecciona una muestra aleatoria de cinco ejemplares de prueba de fibra de cada máquina. En la tabla 14-8 se muestra la resistencia de la fibra (y) y el diámetro correspondiente (x) de cada ejemplar. El diagrama de dispersión de la resistencia a la ruptura contra el diámetro de la fibra (figura 14-3) indica una clara tendencia a una relación lineal entre la resistencia a la ruptura y el diámetro, y parece apropiado eliminar el efecto del diámetro sobre la resistencia mediante un análisis de covarianza. Suponiendo que la relación lineal entre la resistencia a la ruptura y el diámetro es apropiada, el modelo es Yl)" i = 1,2,3 { j= 1,2'00.,5 . = j1.+r:. + {3(x .. -x )+8 lJ.. l).. 1 Utilizando las ecuaciones 14-17 a 14-25, pueden calcularse 3 5 2 (603)2 SJY = Y~ -~= (36)2 +(41)2 + +(32)2 - - - = 346.40 2:2: ~~1 Su = 2:2: X~ 3 oo' an x2 5 --" Sxy = ±± = (20)2 +(25)2 + .. , +(15)2 - - - = 261.73 (3)(5) an i=l j=l (~(~ (362)2 (x.,~~.. ) = (20)(36)+(25)(41)+ oo. +(15)(32) xijYij - 1=1 )=1 (362)(603) (3)(5) T YJ , = 1:. n 1 Tu = n T<y =~ ±l_l i=l 2: x i=l ± 2 l. - = ![(207)2 +(216)2 +(180)2]- (603)2 = 140.40 (3)(5) (362)2 - " = - [(126)2 +(130)2 +(106)2]- - - = 66.13 an 5 (3)(5) an x2 l. 3 282.60 X¡.Yi. - (x. 5 1 ~~..) ~[(126)(207)+(130)(216)+(106)(184)] 1=1 _ (362)(603) = 96.00 (3)(5) 610 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS E yy = S yy - Tyy = 346.40 - 140.40 = 206.00 E xx = S.TX -Txx = 261.73- 66.13= 195.60 EX). = S T = 282.60- 96.00 = 186.60 X)' - X)' Por la ecuación 14-29 se encuentra SS~ = Syy - (SX)')2 / Sxx = 346.40- (186.60)2 /261. 73 = 41.27 con an - 2 = (3)(5) - 2 = 13 grados de libertad; y por la ecuación 14-27 se encuentra SSE = E yy -(EX)')2 / E xx = 206.00- (186.60)2 /195.60 = 27.99 con a(n - 1) - 1 = 3(5 - 1) - 1 = 11 grados de libertad. La suma de cuadrados para probar H O:7: l = 7:2 = 7:3 = O es SS~-SSE =41.27-27.99 = 13.28 con a - 1 = 3 - 1 = 2 grados de libertad. Estos cálculos se resumen en la tabla 14-11. Para probar la hipótesis de que las máquinas difieren en la resistencia a la ruptura de la fibra producida, es decir, H o:7:¡ = O, por la ecuación 14-30 el estadístico de la prueba se calcula como = (SS~-SSE)/(a-1) F o SSE /[a(n-1)-1] = 13.28/2 27.99/11 = 6.64 = 2.61 2.54 Al comparar este valor con F O.lO , 2,11 = 2.86, se encuentra que no puede rechazarse la hipótesis nula. El valor P de este estadístico de la prueba es P = 0.1181. Por lo tanto, no hay evidencia sólida de que las fibras producidas por las tres máquinas difieran en la resistencia a la ruptura. La estimación del coeficiente de regresión se calcula con la ecuación 14-26 como l3 = EX)' E xx = 186.60 = 0.9540 195.60 La hipótesis H o:f3 = O puede probarse usando la ecuación 14-33. El estadístico de prueba es F= (EX)')2 / E xx = (186.60)2 1195.60 o MS E 2.54 70.08 y puesto que F O.Ol , 1, 11 = 9.65, se rechaza la hipótesis de que f3 = O. Por lo tanto, existe una relación lineal entre la resistencia a la ruptura y el diámetro, y el ajuste proporcionado por el análisis de covarianza fue necesario. ""id,,. Tabla 14-11 Análisis de covarianza de los datos de la resistencia a la ruptura Ajustados para la región Fuente de variación Máquinas Error Total Máquinas ajustadas Grados de libertad 2 12 14 Sumas de cuadrados y productos x y xy 66.13 195.60 261.73 96.00 186.60 282.60 140.40 206.00 346.40 y Grados de libertad Cuadrado medio 27.99 41.27 11 13 2.54 13.28 2 6.64 Fa Valor P 2.61 0.1181 0\ t-' t-' ,--~ 612 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Las medias de los tratamientos ajustadas pueden calcularse con la ecuación 14-31. Estas medias ajustadas son Yl ajustada = Yl - ~(Xl - x.. ) = 41.40- (0.9540)(25.20- 24.13) = 40.38 Y2. ajustada = Y2. - ~(X2. - x.. ) = 43.20- (0.9540)(26.00- 24.13) = 41.42 y Y3. ajustada = Y3. - ~(X3. - x..) = 36.00- (0.9540)(21.20- 24.13) = 38.80 Al comparar las medias ajustadas con las medias no ajustadas de los tratamientos (las)!;.), se observa que las medias ajustadas se encuentran mucho más próximas entre sí, una indicación más de que el análisis de covarianza fue necesario. Un supuesto básico en el análisis de covarianza es que los tratamientos no influyen en la covariablex, ya que la técnica elimina el efecto de las variaciones en las Xi.' Sin embargo, si la variabilidad en las Xi. se debe en parte a los tratamientos, entonces el análisis de covarianza elimina parte del efecto de los tratamientos. Por lo tanto, deberá tenerse una seguridad razonable de que los tratamientos no afectan los valoresxij • En algunos experimentos esto puede ser obvio a partir de la naturaleza de la covariable, mientras que en otros puede ser más dudoso. En el ejemplo tratado aquí puede haber una diferencia en el diámetro de la fibra (xij ) entre las tres máquinas. En tales casos, Cochran y Cox [26] sugieren la posible utilidad de un análisis de varianza de los valoresxij para determinar la validez de este supuesto. Para el problema tratado aquí, con este procedimiento se obtiene , F. = 66.13/2 o 195.60/12 33.07 = 2.03 16.30 que es menor que F O.10,2,12 = 2.81, por lo que no hay razón para creer que las máquinas producen fibras con diámetros diferentes. La verificación del diagnóstico del modelo de covarianza se basa en el análisis residual. Para el modelo de covarianza, los residuales son donde los valores ajustados son .. -x )=y-_. +[y-.l .-y_(3A(X.l .-x)] 1 1].. .. .. YA..tj = t,.,íl+f.+(3A(x + (3A(X .. - X ) = y-o +(3A(X.. - x. ) lJ •• . l. lJ l. Por lo tanto, (14-34) Para ilustrar el uso de la ecuación 14-34, el residual de la primera observación de la primera máquina del ejemplo 14-4 es en = Yn - Yi. - ~(Xn - Xl) = 36- 41.4- (0.9540)(20- 25.2) = 36 - 36.4392 = -0.4392 14-3 ANÁLISISDECOVARIANZA 613 En la tabla siguiente se presenta una lista completa de las observaciones, los valores ajustados y los residuales: Valor observado Yi¡ 36 41 39 42 49 40 48 39 45 44 35 37 42 34 32 Valor ajustado Yi; 36.4392 41.2092 40.2552 41.2092 47.8871 39.3840 45.1079 39.3840 47.0159 45.1079 35.8092 37.7171 40.5791 35.8092 30.0852 Residual ei¡ = Yi¡ -Yi¡ -0.4392 -0.2092 -1.2552 0.7908 1.1129 0.6160 2.8921 -0.3840 -2.0159 -1.1079 -0.8092 -0.7171 1.4209 -1.8092 1.9148 Los residuales se grafican contra los valores ajustados 5\¡ en la figura 14-4, contra la covariablexij en la figura 14-5 y contra las máquinas en la figura 14-6. En la figura 14-7 se muestra la gráfica de probabilidad normal de los residuales. Estas gráficas no revelan ninguna desviación importante de los supuestos, por lo quese concluye que el modelo de covarianza (ecuación 14-15) es apropiado para los datos de la resistencia a la ruptura. Es interesante observar 10 que habría ocurrido en este experimento si no se hubiera realizado el análisis de covarianza, es decir, si los datos de la resistencia a la ruptura (y) se hubieran analizado como un experimento de un solo factor en el que se ignorara la covariablex. En la tabla 14-12 se muestra el análisis de varianza de los datos de la resistencia a la ruptura. Se concluiría, con base en este análisis, que las máquinas difieren significativamente en la resistencia de la fibra producida. Es exactamente la conclusión +4 • +2 • • • •• • -2 -4L.-_ _....L_ _--l. 25 30 35 • • • •• • • • .l..-_ _- ' -_ _- ' 40 45 50 Figura 14·4 Gráfica de los residuales contra los valores ajustados del ejemplo 14-4. 614 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS 4 • 2 .. :;:. • • •• • • • • • • • ... O -2 -4l-_ _--l-_ _-.l.. O 10 20 .L-_ _--l-_ _---l 30 40 50 Figura 14-5 Gráfica de los residuales contra el diámetro x de la fibra en el ejemplo 14-4. opuesta del análisis de covarianza. Si se sospechara que las máquinas difieren significativamente en su efecto sobre la resistencia de la fibra, entonces se intentaría igualar la resistencia producida por las tres máquinas. Sin embargo, en este problema las máquinas no difieren en la resistencia de la fibra producida después de que se elimina el efecto lineal del diámetro. Sería conveniente reducir la variabilidad del diámetro de la fibra dentro de las máquinas, ya que con esto probablemente se reduciría la variabilidad de la resistencia de la fibra. 14~3.2 Solución por computadora Se cuenta con varios paquetes de software que pueden realizar el análisis de covarianza. En la tabla 14-13 se muestra la salida del procedimiento General Linear Models (modelos lineales generales) de Minitab 4 • 2 • • •• • 11 • -2 -4 •e •• 1 -_ _-1-_ _-..1. O 2 Máquina •• • .1-._ _ 3 Figura 14-6 Gráfica de los residuales contra las máquinas. 14-3 ANÁLI515DECOVARIANZA 615 99 95 90 a ~ 80 ro :cro 70 60 50 40 30 e 20 x E O c: "O ro ;g .c c.. 10 5 -4 o -2 2 4 Residuales, eij Figura 14-7 Gráfica de probabilidad normal de los residuales del ejemplo 14-4. para los datos del ejemplo 14-4. Esta salida es muy similar a las que se presentaron anteriormente. En la sección de la salida bajo el encabezado "Análisis de varianza" ("Analysis ofvariance"), "SS Seq" corresponde a la partición "secuencial" de la suma de cuadrados del modelo global, es decir, SS (Modelo) = SS (Diámetro) + SS(Máquina IDiámetro) = 305.13+ 13.28 = 318.41 mientras que "SS ajustada" corresponde a la suma de cuadrados "extra" para cada factor, es decir, SS(Máquina IDiámetro) = 13. 28 y SS(Diámetro IMáquina) = 178.01 Observe que SS(Máquina IDiámetro) es la suma de cuadrados que deberá usarse para probar que no hay ningún efecto de la máquina, y que SS(Diámetro IMáquina) es la suma de cuadrados corregida que deberá usarse para probar la hipótesis de que f3 = O. Los estadísticos de la prueba de la tabla 14-13 difieren ligeramente de los que se calcularon manualmente debido al redondeo. Tabla 14-12 Análisis incorrecto de los datos de la resistencia a la ruptura como un experimento de un solo factor Fuente de variación Máquinas Error Total Suma de cuadrados 140.40 206.00 346.40 Grados de libertad 2 12 14 Cuadrado medio 70.20 17.17 Fo 4.09 Valor P 0.0442 616 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Tabla 14·13 Salida de Minitab (análisis de covarianza) del ejemplo 14-4 Modelo lineal general Factor Machine Type Levels Values fixed 3 1 2 3 Analysis of Variance for Strength, using Adjusted SS for Tests Source Diameter Machine Error Total Term Constant Diameter Machine 1 2 Seq SS 305.13 13.28 27.99 346.40 DF 1 2 11 14 Adj SS 178.01 13.28 27.99 Adj MS 178.01 6.64 2.54 Coef 17.177 0.9540 StDev 2.783 0.1140 T 6.17 8.36 0.000 0.000 0.1824 1.2192 0.5950 0.6201 0.31 1. 97 0.765 0.075 F 69.97 2.61 P 0.000 0.118 P Means for Covariates Covariate Diameter Mean 24.13 StDev 4.324 Least Squares Means for Strength Machine 1 2 3 Mean 40.38 41.42 38.80 StDev 0.7236 0.7444 0.7879 El programa calcula también las medias de los tratamientos ajustadas con la ecuación 14-31 (Minitab hace referencia a éstas como las medias de mínimos cuadrados en la salida muestral) y los errores estándar. El programa comparará asimismo todos los pares de medias de tratamientos utilizando losprocedimientas de comparación múltiple por pares estudiados en el capítulo 3. 14..3.3 Desarrollo mediante la prueba general de significación de la regresión Es posible desarrollar formalmente el procedimiento para probar H o:7:; = Oen el modelo de covarianza y.. =fl.+7:.+f3(x.. -X )+8.. 9 ¡ IJ.. IJ {i.:1 ,22,···,a J - 1, , ..., n (14-35) utilizando la prueba general de significación de la regresión. Considere la estimación de los parámetros del modelo (ecuación 14-15) por mínimos cuadrados. La función de mínimos cuadrados es L= !! [Yij - fl.-7:; - f3(xij -X.Jf ;=1 j=l (14-36) 14-3 ANÁLlS1SDECOVARIANZA y a partir de aL/a¡t = aL/ar:i = aL/af3 = O, ¡t: an.u+ n! se obtienen las ecuaciones normales = Y. fi 617 (14-37a) i=l r:.:níi+nf. +f3h .L.J ~ (x lJ.. -x.. )= y. t''' 1 1 i = 1, 2, ... ,a l. (14-37b) j=l f3:! f i i=l ! (Xi)' j=l -X..)+~Sx:< = Sxy (14-37c) Al sumar las a ecuaciones de la ecuación 14-37b, se obtiene la ecuación 14-37a porque L:=lL;=l (xijx..) = O, por lo que existe una dependencia lineal en las ecuaciones normales. Por lo tanto, es necesario aumentar las ecuaciones 14-37 con una ecuación linealmente independiente para obtener una solución. Una condición lógica es L:=l f i = O. Al utilizar esta condición, de la ecuación 14-37a se obtiene (14-38a) .u = Y.. y de la ecuación 14-37b fi = Y-i .-Y-x . . -f3(xi . .. ) (14-38b) La ecuación 14-37c puede reescribirse como a n a n i=l j=l i=l j=l ~ (Y-1. -Y-.• )~ )+f3hS .xx = S xy L"., LJ (x ij -x.. )_f3h~ ¿, (x i. -x.. )~ L.J (x i j-x .. después de sustituir para fi' Pero se observa que a ~ (y-. L.J l. n -y- •• )~ L"., (x .. -x )= T xy I} i=l j=l a n •• y ~ (X. -X)~ L..J L"., (X lJ.. -X•• )=T.xx l. •• j=l i=l Por lo tanto, la solución de la ecuación 14-37c es Sxy -Txy Exy f3= =Sx:<-Tx:< Ex:< h • que fue el resultado dado anteriormente en la sección 14-3.1 en la ecuación 14-26. La reducción en la suma de cuadrados total debida al ajuste del modelo (ecuación 14-15) puede expresarse como R(¡t, r:, f3) = .uY. + ! f i Yi. ;=1 + ~S xy a =(Y.. )Y. + L [Yi. - Y.. - (Exy / Ex:< )(xi. - X.. )]Yi. +(Exy / Ex:< )Sxy ;=1 = Y~ /an+! (Yi. -:Y..)Yi. -(Exy / Ex:<)! = Y~ / an+Tyy -(Exy / E;r;,)(Txy - Sxy) i=l = Y~ / an+Tyy +(Exy? / Ex:< i=1 (Xi. -X..)Yi. +(Exy / Ex:<)Sxy 618 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Esta suma de cuadrados tiene a + 1 grados de libertad porque el rango de las ecuaciones normales es + 1. La suma de cuadrados del error de este modelo es a SSE í! y~ = í! y~ = -R(/-l, T, [3) i=l j=l 2 - y lan-Tyy _(E"y)2 lE,.,. i=l j=l =Syy-Tyy -(Exy)2 lEn = E yy _(E.')')2 lE,.,. (14-39) con an - (a + 1) = a(n -1) -1 grados de libertad. Esta cantidad se obtuvo anteriormente como la ecuación 14-27. Considere ahora el modelo restringido a la hipótesis nula, es decir, a H o:T 1 = T2 = ... = Ta = O. Este modelo reducido es y.. = /-l+[3(x .. -x lJ 1].. )+s l}.. i = 1, 2, { j= 1,2, ,a ,n (14-40) Se trata de un modelo de regresión lineal simple, y las ecuaciones normales de mínimos cuadrados para este modelo son anp, = Y. (14-41a) (14-41b) Las soluciones de estas ecuaciones son p, = Y.. y jJ debida al ajuste del modelo reducido es = SxyIS,.,.; y la reducción en la suma de cuadrados total R(/-l, [3) = p,y. + jJS xy = (Y.. )Y. +( S.')' I S.n )S.')' = y~ I an + (S')' )2 I S,.,. Esta suma de cuadrados tiene dos grados de libertad. La suma de cuadrados apropiada para probar H o:T 1 = T2 = ... (14-42) = Ta = Opuede encontrarse como R( TI ¡l, [3) = R(¡l, T, [3) - R(/-l, [3) = y~ I an + Tyy +(E')' ) 2 lE.\., - y~ I an - (S')' ) 2 I Sn = Syy - (S.\y)2 I Sn - [E yy - (E.\y)2 lEn] (14-43) utilizando Tyy = Syy - Eyy . Observe que R(T l/-l, [3) tiene a + 1- 2 = a -1 grados de libertad y que es idéntica a la suma de cuadrados dada por SSl,-SSE en la sección 14-3.1. Por lo tanto, el estadístico de prueba para Ho:T i = O es F. = R( TI /-l, [3) I (a - 1) = ..:....(S_S",-~ -_SS--=E...:....)I---,(_a------'-1) o SSE l[a(n-1)-1] SSE l[a(n-1)-1] (14-44) expresión que se dio anteriormente como la ecuación 14-30. Por lo tanto, utilizando la prueba general de significación de la regresión, se ha justificado el desarrollo heurístico del análisis de covarianza de la sección 14-3.1. 14-3 ANÁLISISDECOVARIANZA 14~3.4 619 Experimentos factoriales con covariables El análisis de covarianza puede aplicarse a estructuras de tratamientos más complejas, como los diseños factoriales. Siempre que existan datos suficientes para cada combinación de tratamientos, prácticamente cualquier estructura de tratamientos compleja puede analizarse mediante el enfoque del análisis de covarianza. A continuación se indica cómo podría usarse el análisis de covarianza en la familia más común de diseños factoriales utilizados en la experimentación industrial, los factoriales 2k • Al establecer el supuesto de que la covariable afecta a la variable de respuesta de manera idéntica para todas las combinaciones de tratamientos, podría construirse una tabla del análisis de covarianza similar al procedimiento dado en la sección 14-3.1. La única diferencia sería la suma de cuadrados de los tratamientos. Para un factorial 22 con n réplicas, la suma de cuadrados de los tratamientos (Ty'y) sería (1/n) L;=l L~=l y'~/(2)(2)n. Esta cantidad es la suma de las sumas de cuadrados de los factores A, B y la interacciónAB. Entonces podría hacerse la partición de la suma de cuadrados ajustada de los tratamientos en componentes de los efectos individuales, es decir, la suma de cuadrados de los efectos principales ajustados SSA y SSB' y una suma de cuadrados de la interacción, SSAB' El número de réplicas es un aspecto clave cuando se amplía la estructura de los tratamientos del diseño. Considere un arreglo factorial 23 • Se necesita un mínimo de dos réplicas para evaluar todas las combinaciones de tratamientos con una covariable separada para cada combinación de tratamientos (una covariable por interacción de tratamientos). Esto es equivalente a ajustar un modelo de regresión simple a cada combinación de tratamientos o celda del diseño. Con dos observaciones por celda, un grado de libertad se usa para estimar la ordenada al origen (el efecto del tratamiento), y el otro se usa para estimar la pendiente (el efecto de la covariable). Con este modelo saturado, no se cuenta con ningún grado de libertad para estimar el error. Por lo tanto, se necesitan al menos tres réplicas para un análisis de covarianza completo, suponiendo el caso más general. Este problema se agudiza cuando se incrementa el número de celdas distintas del diseño (combinaciones de tratamientos) y las covariables. Si el número de réplicas está limitado, pueden hacerse varios supuestos para permitir un análisis útil. El supuesto más simple (y típicamente el peor) que puede hacerse es que la covariable no tiene ningún efecto. Si la covariable, incorrectamente, deja de tomarse en consideración, el análisis completo y las conclusiones subsecuentes podrían tener graves errores. Otra elección es suponer que no hay ningún tratamiento por interacción de la covariable. Aun cuando este supuesto sea incorrecto, el efecto promedio de la covariable en todos los tratamientos seguirá incrementando la precisión de la estimación y la prueba de los efectos de los tratamientos. Una desventaja de este supuesto es que si varios niveles de los tratamientos interactúan con la covariable, los diferentes términos pueden cancelarse entre sí y el término de la covariable, si se estima solo sin ninguna interacción, puede resultar no significativo. Una tercera elección sería suponer que algunos de los factores (como algunas interacciones de dos factores y de órdenes superiores) no son significativos. Esto permite usar parte de los grados de libertad para estimar el error. Sin embargo, este curso de acción deberá emprenderse con cuidado, y los modelos subsecuentes deberán evaluarse a profundidad, ya que la estimación del error será relativamente imprecisa a menos que se le asignen suficientes grados de libertad. Con dos réplicas, cada uno de estos supuestos liberará algunos grados de libertad para estimar el error y permitirá realizar pruebas de hipótesis útiles. El supuesto que se establecerá deberá ser dictado por la situación experimental y por el riesgo que el experimentador esté dispuesto a correr. Cabe hacer notar que en la estrategia de construcción del modelo de los efectos, si se elimina el factor de uno de los tratamientos, entonces las dos "réplicas" resultantes de cada factorial 23 original no son en realidad réplicas. Estas "réplicas ocultas" liberan grados de libertad para la estimación de parámetros, pero no deberán usarse como réplicas para estimar el error puro porque la ejecución del diseño original quizá no se haya aleatorizado para ello. y:. - 620 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Tabla 14-14 Datos de la respuesta y la covariable para un: diseño 23 con: 2 réplicas A x e y B -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 4.05 0.36 5.03 1.96 5.38 8.63 4.10 11.44 3.58 1.06 15.53 2.92 2.48 13.64 -0.67 5.13 -30.73 9.07 39.72 16.30 -26.39 54.58 44.54 66.20 -26.46 10.94 103.01 20.44 -8.94 73.72 15.89 38.57 Para ilustrar algunas de estas ideas, considere el diseño factorial 23 con dos réplicas y una covariable que se muestra en la tabla 14-14. Si la variable de respuesta y se analiza sin tomar en cuenta la covariable, resulta el siguiente modelo: y= 25.03+11.20A+18.05B+7.24C-18.91AB+ 14.80AC El modelo global es significativo en el nivel de a = 0.01 con R 2 = 0.786 y MSE = 470.82. El análisis residual no indica problemas con este modelo, excepto porque la observación con y = 103.01 es inusual. Si se elige el segundo supuesto, que las pendientes son comunes con ningún tratamiento por interacción de la covariable, pueden estimarse el modelo de los efectos completo y el efecto de la covariable. La salida de Minitab (de la rutina General Linear Models) se muestra en la tabla 14-15. Observe que MSE se ha reducido considerablemente al tomar en consideración la covariable. El análisis final resultante después de eliminar de manera secuencial cada interacción no significativa y el efecto principal C se muestra en la tabla 14-16. Este modelo reducido proporciona un MS E todavía menor que el modelo completo con la covariable de la tabla 14-15. Por último, podria considerarse un tercer curso de acción, suponiendo que ciertos términos de interacción son insignificantes. Se considera el modelo completo que permite pendientes diferentes entre los tratamientos y la interacción tratamiento por covariable. Se supone que no son significativas las interacciones de tres factores (tantoABC comoABCx) y se usan los grados de libertad asociados con ellas para estimar el error en el modelo de los efectos más general que pueda ajustarse. Éste es con frecuencia un supuesto práctico. Las interacciones de tres factores son porlo general insignificantes en la mayoría de los ambientes experimentales. La versión actual de Minitab no puede modelar covariables queinteractúan con los tratamientos, por lo que se usa PROC GLM de SAS. Las sumas de cuadrados tipo III son las sumas de cuadrados ajustadas que se necesitan. En la tabla 14-17 se presentan los resultados de SAS para este modelo. Con un modelo casi saturado, la estimación del error será bastante imprecisa. Incluso cuando unos cuantos términos son individualmente significativos en el nivel a = 0.05, el sentido general es que este modelo es mejor que losdos escenarios previos (basados enR 2 y el cuadrado medio del error). Debido a que el aspecto de los efectos de los tratamientos del modelo es de mayor interés, se eliminan de manera secuencial términos de la porción de la covariable del modelo a fin de agregar grados de libertad para esti- 14-3 ANÁLISIS DE COVARIANZA 621 Tabla 14-15 Análisis de covarianza de Minitab para el experimento de la tabla 14-14, suponiendo una pendiente com!Ín Modelo lineal general Factor 14.-- B C Type Levels Values f;xed 2 -1 1 f;xed 2 -1 1 fixed 2 -1 1 Analys;s of Var;ance for y, us;ng Adjusted SS for Tests Source x A B C A*B A*C B*C A*B*C Error Total Term Constant x DF 1 1 1 1 1 1 1 1 7 15 Seq SS 12155.9 1320.7 3997.6 52.7 3788.3 10.2 5.2 33.2 628.1 21992.0 Coef -1.016 4.9245 StDev 5.454 0.9290 Adj SS 2521.6 1403.8 4066.2 82.3 3641.0 1 .1 8.4 33.2 628.1 T -O .19 5.30 Adj MS 2521.6 1403.8 4066.2 82.3 3641.0 1.1 8.4 33.2 89.7 F 28.10 15.64 45.31 0.92 40.58 0.01 0.09 0.37 P 0.001 0.005 0.000 0.370 0.000 0.913 0.769 0.562 P 0.858 0.001 mar el error. Si se elimina secuencialmente el término ACx seguido de BCx, el MSE decrece a 0.7336 y varios términos no son significativos. En la tabla 14-18 se muestra el modelo final después de eliminar secuencialmente ex, AC y Be. Este ejemplo destaca la necesidad de contar con grados de libertad para estimar el error experimental a fin de incrementar la precisión de las pruebas de hipótesis asociadas con los términos individuales del modelo. Este proceso deberá hacerse de manera secuencial para evitar la eliminación de términos significativos enmascarados por una estimación pobre del error. Tabla 14-16 Análisis de covarianza de Minitab, modelo reducido parad experimento de la tabla 14-14 Modelo lineal general Factor A B Type Levels Values f;xed 2 -1 1 f;xed 1 2 -1 Analys;s of Var;ance for y, us;ng Adjusted SS for Tests Source x A B A*B Error Total Term Constant x DF 1 1 1 1 11 15 Seq SS 12155.9 1320.7 3997.6 3754.5 763.3 21992.0 Coef -1.878 5.0876 StDev 3.225 0.4655 Adj SS 8287.9 1404.7 4097.7 3754.5 763.3 T -0.58 10.93 Adj MS 8287.9 1404.7 4097.7 3754.5 69.4 P 0.572 0.000 F 119.43 20.24 59.05 54.10 P 0.000 0.001 0.000 0.000 0\ N N libIa 14-17 Salida de PROC GLM (análisis d,: covarianza) de SAS para el experimento de la tabla 14-14 Dependent Variable: Y Source Model Error Corrected Total Source A B C AB AC BC X AX BX CX ABX ACX BCX DF 13 2 15 Sum of Squares 21989.20828 2.80406 21992.01234 Mean Square 1691.47756 1.40203 R-Square 0.999872 C.V. 4.730820 Root MSE 1.184074 DF 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Type III SS 4.6599694 13.0525319 35.0087994 17.1013635 0.0277472 0.4437474 49.2741287 33.9024288 95.7747490 0.1283784 336.9732676 0.0020997 0.0672386 Mean Square 4.6599694 13.0525319 35.0087994 17 .1 013635 0.0277472 0.4437474 49.2741287 33.9024288 95.7747490 0.1283784 336.9732676 0.0020997 0.0672386 F Value 1206.45 Pr > F 0.0008 y Mean 25.02895 F Value 3.32 9.31 24.97 12.20 0.02 0.32 35.14 24.18 68.31 0.09 240.35 0.00 0.05 Pr > F 0.2099 0.0927 0.0378 0.0731 0.9010 0.6304 0.0273 0.0390 0.0143 0.7908 0.0041 0.9726 0.8470 J '>7 ._._..... · · H ', .. Tabla 14-18 Salida de PROC GLM de SAS para el experimento de la tabla 14-14, modelo reducido Dependent Vari~ble: Source Model Error Corrected Total Source 7 15 Sum of Squares 21986.33674 5.67560 21992.01234 Mean Square 2748.29209 0.81080 R-Square 0.999742 C. V. 3.597611 Root MSE 0.900444 Type 111 SS 19.1597158 38.0317496 232.2435668 31.7635098 240.8726525 233.3934567 550.1530561 542.3268940 Mean Square 19.1597158 38.0317496 232.2435668 31.7635098 240.8726525 233.3934567 550.1530561 542.3268940 [H 8 DF A 8 1 1 C 1 1 1 1 1 AB X AX BX ABX Parameter 1ntercept A S C AS X AX BX ABX 0'1 N W y 1 Estimate 10.2438830 2.7850330 3.6596279 5.4560862 -3.3636850 2.0471937 2.0632049 3.0340997 -3.D342229 F Value 3389.61 Pr > F 0.0001 Ol\ T for HO: Parameter=O 18.74 4.86 6.85 16.92 -6.26 17.24 16.97 26.05 -25.86 Pr > y Mean 25.02895 F Value 23.63 46.91 286.44 39.18 297.08 287.86 678.53 668.88 IT I 0.0001 0.0018 0.0002 0.0001 0.0004 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 Pr > F 0.0018 0.0002 0.0001 0.0004 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 Std Error of Estimate 0.54659908 0.57291820 0.53434356 0.32237858 0.53741264 0.11877417 0.12160595 0.11647826 0.11732045 ".'MI!!! 624 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Al revisar los resultados obtenidos de los tres enfoques, se observa que cada método mejora de manera sucesiva el ajuste del modelo en este ejemplo. Si hay una razón fundada para creer que la covariable no interactúa con los factores, quizá sea mejor establecer ese supuesto desde el principio del análisis. Esta opción también puede ser dictada por el software. Aun cuando los paquetes de software para diseños experimentales quizá sólo tengan capacidad para modelar covariables que no interactúan con los tratamientos, el analista puede tener una oportunidad razonable de identificar los factores principales que influyen en el proceso, incluso si hay alguna covariable por interacción de tratamientos. Se observa asimismo que las pruebas usuales de la adecuación del modelo siguen siendo apropiadas y se recomiendan enérgicamente como parte del proceso de construcción del modelo del análisis de covarianzaANCOVA. 14~4 MEDICIONES REPETIDAS En el trabajo experimental de las ciencias sociales y el comportamiento, así como en algunos aspectos de la ingeniería y las ciencias físicas, las unidades experimentales son con frecuencia personas. Debido a las discrepancias en experiencia, capacitación o formación, en algunas situaciones experimentales las diferencias en las respuestas de distintas personas al mismo tratamiento pueden ser muy grandes. A menos que esté controlada, esta variabilidad entre las personas se convertirá en parte del error experimental, y en algunos casos inflará significativamente el cuadrado medio del error, haciendo más difícil detectar las diferencias reales entre los tratamientos. Es posible controlar esta variabilidad entre las personas utilizando un diseño en el que cada uno de los a tratamientos se usa en cada persona (o "sujeto"). A éste se le llama diseño de mediciones repetidas. En esta sección se ofrece una breve introducción a los experimentos de mediciones repetidas con un solo factor. Suponga que un experimento incluye a tratamientos y que cada tratamiento se va a usar exactamente una sola vez en cada uno de n sujetos. Los datos aparecerían como en la tabla 14-19. Vea que la observaciónYij representa la respuesta del sujeto j al tratamiento i y que sólo se usan n sujetos. El modelo que se utiliza para este diseño es (14-45) donde 'í¡ es el efecto del tratamiento i-ésimo y f3j es un parámetro asociado con el sujetoj-ésimo. Se supone que los tratamientos son fijos (de donde L~=l'í ¡ = O) Yque los sujetos empleados son una muestra aleatoria de alguna población más grande de individuos potenciales. Por lo tanto, colectivamente los sujetos representan un efecto aleatorio, por lo que se supone que la media de f3j es cero y que la varianza de f3j es a ~ . Puesto que el término f3j es común a todas las a mediciones del mismo sujeto, la covarianza entreYij YY¡'j no Tabla 14-19 Datos de un diseño de mediciones repetidas con un solo factor Sujeto Totales de los tratamientos Tratamiento 1 2 n 1 2 Yn Y?l Yl2 Y?2 Y211 YL Y2' a Totales de los sujetos Yal Y.l Ya2 Y.2 Yan Ya. Y.lI Y.. y~ 14-4 MEDICIONES REPETIDAS 625 es, en general, cero. Se acostumbra suponer que la covarianza entre Yij YYi'j es constante a lo largo de todos los tratamientos y los sujetos. Considere una partición en el análisis de varianza de la suma de cuadrados total, por ejemplo ! ~ (Yij _ y.. )2 = ~ (Y.j _ Y.. )2 +! ~ (Yij _ y. j )2 a i=1 j=1 j=1 (14-46) i=1 j=1 El primer término del miembro derecho de la ecuación 14-46 puede considerarse como una suma de cuadrados que resulta de las diferencias entre los sujetos, y el segundo término es una suma de cuadrados de las diferencias dentro de los sujetos. Es decir, SST = SSEntrelossujetos + SSDentro de los sujetos Las sumas de cuadrados SSEntre los sujetos YSSDentro de los sujetos son estadísticamente independientes, con grados de libertad an-1 = (n-1)+n(a-1) Las diferencias dentro de los sujetos depende;n tanto de las diferencias en los efectos de los tratamientos como de la variabilidad no controlada (ruido o error). Por lo tanto, la suma de cuadrados resultante de las diferencias dentro de los sujetos puede descomponerse de la siguiente manera: ! ~ (Yij - Y.j)2 = n! (Yi. - Y.. )2 +! ~ (Yij - Yi. _ Y.j + Y.. )2 i=1 j=1 (14-47) i=1 j=1 i=1 El primer término del miembro derecho de la ecuación 14-47 mide la contribución de la diferencia entre las medias de los tratamientos a SSDentro de los sujetoS' Yel segundo término es la variación residual debida al error. Ambos componentes de SSDentro de los sujetos son independientes. Por lo tanto, SS Dentro de los sujetos = SSTratamientos + SSE con los grados de libertad dados por n(a-1)= (a-1)+(a-1)(n-1) respectivamente. Para probar la hipótesis de que no hay ningún efecto de los tratamientos, es decir, H o: í 1 = í 2 = ... = í H 1 : Al menos una í a = i :;t: O O se usaría el cociente F. o = SSTratamientos / (a-1) = MSTratamientos SSE / (a - 1)(n"""" 1) MS E (14-48) Si los errores del modelo siguen una distribución normal, entonces bajo la hipótesis nula, H o: í i = O, el estadísticoFosigue una distribución Fa _ 1, (a-1)(n-1)' La hipótesis nula se rechazaría siFo > Fa, a-l,(a-1)(n-l)' En la tabla 14-20 se resume el procedimiento del análisis de varianza, donde se presentan también fórmulas convenientes de cálculo para las sumas de cuadrados. El lector deberá identificar el análisis de varianza de un diseño de un solo factor con mediciones repetidas como el equivalente del análisis de un diseño de bloques completos aleatorizados, donde los sujetos se consideran como los bloques. _~,;·o 0'1 N 0'1 Tabla 14-20 Análisis de varianza del diseño de mediciones repetidas con un solo factor Suma de cuadrados Fuente de variación 1. Entre los sujetos }: Y; _~~ Grados de libertad Fa Cuadrado medio n-1 j=l a 2. Dentro de los sujetos n 11 j~l j~l 2:2:y~-2: i=l 2 Y.j a n(a-1) 3. (Tratamientos) ~ y2 2 LJ ----'-'-_L j~l n an a-1 4. (Error) Sustracción: línea (2) -línea (3) (a-1)(n -1) 5. Total 2:2: Yíj - an a n i=l j=l ? y.2 an-1 S STrntamientos MSTrntamienlos = a -1 SSE MSE = (a-1)(n -1) MSTratamientos MSE "c-z::~~~= __ , f 14-5 PROBLEMAS 14~5 627 PROBLEMAS 14-1. Considere nuevamente el problema 5-22. Usar el procedimiento de Box-Cox para determinar si es apropiada (o útil) una transformación de la respuesta para analizar los datos de este experimento. 14-2. En el ejemplo 6-3 se seleccionó una transformación logarítmica para la respuesta velocidad de avance de una perforadora. Usar el procedimiento de Box-Cox para demostrar que se trata de una transformación de datos apropiada. 14-3. Considere de nuevo el experimento del proceso de fundición del problema 8-23, donde se usó un diseño factorial fraccionado 26 - 3 para estudiar el peso del material de empaque que se adhiere a ánodos de carbono después de la cocción. Se hicieron tres réplicas de las ocho corridas del diseño, y el peso promedio y el rango de los pesos de cada combinación de prueba se trataron como las variables de respuesta. ¿Existe algún indicio de que se necesite una transformación para cualquiera de las dos respuestas? 14-4. En el problema 8-24 se usó un diseño factorial fraccionado con réplicas para estudiar el abombamiento o combadura del sustrato en la fabricación de semiconductores. Se usaron como variables de respuesta tanto la media como la desviación estándar de las mediciones de la combadura. ¿Existe algún indicio de que se necesite una transformación para cualquiera de las dos respuestas? 14-5. Considere nuevamente el experimento del recubrimiento fotoprotector del problema 8-25. Usar la varianza del espesor del recubrimiento en cada combinación de prueba como la variable de respuesta. ¿Existe algún indicio de que se necesite una transformación? 14-6. En el experimento defectos en la rejilla del problema 8-29 se empleó una variante de la transformación de la raíz cuadrada en el análisis de los datos. Usar el método de Box-Cox para determinar si ésta es la transformación apropiada. 14-7. En el diseño central compuesto del problema 11-14 se obtuvieron dos respuestas, la media y la varianza del espesor del óxido. Usar el método de Box-Cox para investigar la utilidad potencial de una transformación para estas dos respuestas. ¿Es apropiada la transformación logarítmica sugerida en el inciso e de ese problema? 1.4-8. En el diseño factorial 33 del problema 11-33, una de las respuestas es la desviación estándar. Usar el método de Box-Cox para investigar la utilidad de las transformaciones para esta respuesta. ¿Cambiaría su contestación si se usara la varianza como la respuesta? 14-9. En el problema 11-34 se sugiere usar ln(S2) como la respuesta (referirse al inciso b). ¿El método de Box-Cox indica que. es apropiada una transformación? 14-10. Un distribuidor de bebidas gaseosas está estudiando la efectividad de los métodos de descarga. Se han desarrollado tres tipos diferentes de carretillas, y se lleva a cabo un experimento en el laboratorio de ingeniería de métodos de la compañía. La variable de interés es el tiempo de descarga en minutos (y); sin embargo, el tiempo de descarga también guarda una estrecha relación con el volumen de las cajas descargadas (x). Cada carretilla se usó cuatro veces y se obtuvieron los datos siguientes. Analizar estos datos y sacar las conclusiones apropiadas. Utilizar a = 0.05. Tipo de carretilla 1 Y 27 44 33 41 2 x 24 40 35 40 Y 25 35 46 26 3 x 26 32 42 25 Y 40 22 53 18 x 38 26 50 20 14-11. Calcular las medias ajustadas de los tratamientos y los errores estándar de éstas para los datos del problema 14-10. 14-12. A continuación se presentan las sumas de cuadrados y los productos de un análisis de covarianza de un solo factor. Terminar el análisis y sacar las conclusiones apropiadas. Utilizar a = 0.05. 628 CAPÍTULO 14 OTROS TÓPICOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS Fuente de variación Tratamiento Error Total Sumas de cuadrados y productos Grados de libertad 3 12 15 x 1500 6000 7500 xy 1000 1200 2200 y 650 550 1200 14-13. Encontrar los errores estándar de las medias ajustadas de los tratamientos del ejemplo 14-4. 14-14. Se están probando cuatro formulaciones diferentes de un adhesivo industrial. La resistencia a la tensión del adhesivo cuando se aplica para unir piezas se relaciona también con el espesor de la aplicación. Se obtienen cinco observaciones de la resistencia (y) en libras y del espesor (x) en 0.01 pulgadas para cada formulación. Los datos se muestran en la siguiente tabla. Analizar estos datos y sacar las conclusiones apropiadas. Formulación del adhesivo 1 Y 46.5 45.9 49.8 46.1 44.3 3 2 x 13 14 12 12 14 x 12 10 11 12 14 Y 48.7 49.0 50.1 48.5 45.2 4 x 15 14 11 11 10 Y 46.3 47.1 48.9 48.2 50.3 Y 44.7 43.0 51.0 48.1 48.6 x 16 15 10 12 11 14-15. Calcular las medias ajustadas de los tratamientos y sus errores estándar utilizando los datos del problema 14-14. 14-16. Un ingeniero estudia el efecto de la rapidez de corte sobre el índice de metal eliminado en una operación de maquinado. Sin embargo, el índice de metal eliminado se relaciona también con la dureza del ejemplar de prueba. Se hacen cinco observaciones de cada rapidez de corte. La cantidad de metal eliminado (y) y la dureza del ejemplar (x) se muestran en la tabla siguiente. Analizar los datos usando un análisis de covarianza. Utilizar a = 0.05. Rapidez de corte (rpm) 1200 1000 1400 Y x Y x Y x 68 90 98 77 88 120 140 150 125 136 112 94 65 74 85 165 140 120 125 133 118 82 73 92 80 175 132 124 141 130 14-17. Demostrar que en un análisis de covarianza de un solo factor con una sola covariable, un intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para la media ajustada del tratamiento i-ésimo es Yi. - ~(Xi. -x,.)±ta/z ,a(Il-1l-1[MS E (~+ (xi. ~.:.y )fZ 14-5 PROBLEMAS 629 Usando esta fórmula, calcular un intervalo de confianza de 95% para la media ajustada de la máquina 1 del ejemplo 14-4. 14-18. Demostrar que en un análisis de covarianza de un solo factor con una sola covariable, el error estándar de la diferencia entre dos medias ajustadas de los tratamientos cualesquiera es S",j__ ,;,j~,~ ~ [MSE(~+ex, ;~¡)' JI" 14-19. Comentar la forma en que pueden usarse las curvas de operación característica para el análisis de varianza en el análisis de covarianza. Bibliografía Addelman, S. [la.] "Irregular Fractions of the 2n Factorial Experiments", en Technometries, vol. 3, pp. 479-496. Addelman, S. 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Distribución normal estándar acumulada" cI>(z) = f -00 -1- Vfir e-U'"/ 7- du z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .50000 .53983 .57926 .61791 .65542 .50399 .54379 .58317 .62172 .65910 .50798 .54776 .58706 .62551 .66276 .51197 .55172 .59095 .62930 .66640 .51595 .55567 .59483 .63307 .67003 O .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .69146 .72575 .75803 .78814 .81594 .69497 .72907 .76115 .79103 .81859 .69847 .73237 .76424 .79389 .82121 .70194 .73565 .76730 .79673 .82381 .70540 .73891 .77035 .79954 .82639 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 .84134 .86433 .88493 .90320 .91924 .84375 .86650 .88686 .90490 .92073 .84613 .86864 .88877 .90658 .92219 .84849 .87076 .89065 .90824 .92364 .85083 .87285 .89251 .90988 .92506 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 .93319 .94520 .95543 .96407 .97128 .93448 .94630 .95637 .96485 .97193 .93574 .94738 .95728 .96562 .97257 .93699 .94845 .95818 .96637 .97320 .93822 .94950 .95907 .96711 .97381 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 .97725 .98214 .98610 .98928 .99180 .97778 .98257 .98645 .98956 .99202 .97831 .98300 .98679 .98983 .99224 .97882 .98341 .98713 .99010 .99245 .97932 .93882 .98745 .99036 .99266 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 .99379 .99534 .99653 .99744 .99813 .99396 .99547 .99664 .99752 .99819 .99413 .99560 .99674 .99760 .99825 .99430 .99573 .99683 .99767 .99831 .99446 .99585 .99693 .99774 .99836 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 .99865 .99903 .99931 .99952 .99966 .99869 .99906 .99934 .99953 .99968 .99874 .99910 .99936 .99955 .99969 .99878 .99913 .99938 .99957 .99970 .99882 .99916 .99940 .99958 .99971 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 .99977 .99984 .99989 .99993 .99995 .99978 .99985 .99990 .99993 .99995 .99978 .99985 .99990 .99993 .99996 .99979 .99986 .99990 .99994 .99996 .99980 .99986 .99991 .99994 .99996 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 ,:, "Reproducida con permiso de Probability alld Statistics ill Ellgilleerillg alld Mallagemellt Sciellce, 3a. ed., w,w, Hines y D.C. Montgomery, Wiley, Nueva York Ii'l d APÉNDICE l. cI>(z) = z .05 r Distribución normal estándar acumulada (continuación) .06 -~ _1_ e-u'/l du yr:¡;. .07 .08 .09 z .53586 .57534 .61409 .65173 .68793 .0 .1 .2 .3 ,4 .0 .1 .2 .3 ,4 .51994 .55962 .59871 .63683 .67364 .52392 .56356 .60257 .64058 .67724 .52790 .56749 .60642 .64431 .68082 .53188 .57142 .61026 .64803 .68438 .5 .6 .7 .8 .9 .70884 .74215 .77337 .80234 .82894 .71226 .74537 .77637 .80510 .83147 .71566 .74857 .77935 .80785 .83397 .71904 .75175 _ .78230 .81057 .83646 .72240 .75490 .78523 .81327 .83891 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 1,4 .85314 .87493 .89435 .91149 .92647 .85543 .87697 .89616 .91308 .92785 .85769 .87900 .89796 .91465 .92922 .85993 .88100 .89973 .91621 .93056 .86214 .88297 .90147 .91773 .93189 1.0 1.1 1.2 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 .93943 .95053 .95994 .96784 .97441 .90462 .95154 .96080 .96856 .97500 .94179 .95254 .96164 .96926 .97558 .94295 .95352 .96246 .96995 .97615 .94408 .95448 .96327 .97062 .97670 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2,4 .97982 .98422 .98778 .99061 .99286 .98030 .98461 .98809 .99086 .99305 .98077 .98500 .98840 .99111 .99324 .98124 .98537 .98870 .99134 .99343 .98169 .98574 .98899 .99158 .99361 2.0 2.1 2.2 2.3 2,4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 .99461 .99598 .99702 .99781 .99841 .99477 .99609 .99711 .99788 .99846 .99492 .99621 .99720 .99795 .99851 .99506 .99632 .99728 .99801 .99856 .99520 .99643 .99736 .99807 .99861 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3,4 .99886 .99918 .99942 .99960 .99972 .99889 .99921 .99944 .99961 .99973 .99893 .99924 .99946 .99962 .99974 .99897 .99926 .99948 .99964 .99975 .99900 .99929 .99950 .99965 .99976 3.0 3.1 3.2 3.3 3,4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 .99981 .99987 .99991 .99994 .99996 .99981 .99987 .99992 .99994 .99996 .99982 .99988 .99992 .99995 .99996 .99983 .99988 .99992 .99995 .99997 .99983 .99989 .99992 .99995 .99997 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 639 640 APÉNDICE Sa n. Puntos porcentuales de la distribución ta .40 .25 .10 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005 1 2 3 4 .325 .289 .277 .271 1.000 .816 .765 .741 3.078 1.886 1.638 1.533 6.314 2.920 2.353 2.132 12.706 4.303 3.182 2.776 31.821 6.965 4.541 3.747 63.657 9.925 5.841 4.604 127.32 14.089 7.453 5.598 318.31 23.326 10.213 7.173 636.62 31.598 12.924 8.610 5 6 7 8 9 .267 .265 .263 .262 .261 .727 .727 .711 .706 .703 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 4.773 4.317 4.019 3.833 3.690 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 1"0 11 12 13 14 .260 .260 .259 .259 .258 .700 .697 .695 .694 .692 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 15 16 17 18 19 .258 .258 .257 .257 .257 .691 .690 .689 .688 .688 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 2.131 2.120 2.110 2.101 2,093 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 20 21 22 23 24 .257 .257 .256 .256 .256 .687 .686 .686 .685 .685 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.850 3.819 3.792 3.767 3.745 25 26 27 28 29 .256 .256 .256 .256 .256 .684 .684 .684 .683 .683 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 30 40 60 120 .256 .255 .254 .254 .253 .683 .681 .679 .677 .674 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282 1.697 1.684 1.671 1.658 1.645 2.042 2.021 2.000 1.980 1.960 2.457 2.423 2.390 2.358 2.326 2.750 2.704 2.660 2.617 2.576 3.030 2.971 2.915 2.860 2.807 3.385 3.307 3.232 3.160 3.090 3.646 3.551 3.460 3.373 3.291 00 = grados de libertad. Adaptada con permiso de Biometrika Tables fol' Statisticians, vol. 1, 3a. ed., E.S. Pearson y H.O. Hartley, Cambridge University Press, Cambridge 11 a ~ APÉNDICE ID. Puntos porcentuales de la distribución XZ a a 11 .995 .990 + 0.00 0.02 0.11 0.30 0.55 .975 + 0.00 0.05 0.22 0.48 0.83 .950 + 0.00 0.10 0.35 0.71 1.15 + .500 .050 .025 .010 .005 0.45 1.39 2.37 3.36 4.35 3.84 5.99 7.81 9.49 11.07 5.02 7.38 9.35 11.14 12.38 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75 1 2 3 4 5 0.00 0.01 0.07 0.21 0.41 6 7 8 9 10 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 18.55 20.28 21.96 23.59 25.19 11 12 13 14 15 2.60 3.07 3.57 4.07 4.60 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 3.82 4.40 5.01 5.63 6.27 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 10.34 11.34 12.34 13.34 14.34 19.68 21.03 22.36 23.68 25.00 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 16 17 18 19 20 5.14 5.70 6.26 6.84 7.43 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 15.34 16.34 17.34 18.34 19.34 26.30 27.59 28.87 30.14 31.41 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 32.00 33.41 34.81 36.19 37.57 34.27 35.72 37.16 38.58 40.00 25 30 40 50 60 10.52 13.79 20.71 27.99 35.53 11.52 14.95 22.16 29.71 37.48 13.12 16.79 24.43 32.36 40.48 14.61 18.49 26.51 34.76 43.19 24.34 29.34 39.34 49.33 59.33 37.65 43.77 55.76 67.50 79.08 40.65 46.98 59.34 71.42 83.30 44.31 50.89 63.69 76.15 88.38 46.93 53.67 66.77 79.49 91.95 70 80 90 100 43.28 51.17 59.20 67.33 45.44 53.54 61.75 70.06 48.76 57.15 65.65 74.22 51.74 60.39 69.13 77.93 69.33 79.33 89.33 99.33 90.53 101.88 113.14 124.34 1OQ.42 95.02 106.63 /112.33 118.14 124.12 129.56 135.81 104.22 116.32 128.30 140.17 v = grados de libertad aAdaptada con permiso de Biometlika Tables for Statisticians, vol. 1, 3a. ed., E.S. Pearson y H.O. Hartley, Cambridge University Press, Cambridge 641 Iv. 0\ -\:>. Puntos porcentuales de la distribución F N FO.25'VI a .V¡ Grados de libertad del numerador (Vl) VI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 7.50 3.00 2.28 2.00 8.20 3.15 2.36 8.58 8.82 9.32 9.41 3.39 2.45 2.08 9.63 3.43 2.46 2.08 3.44 2.47 2.08 3.45 2.47 2.08 9.76 3.46 2.47 2.07 3.38 2.44. 2.08 9.58 3.43 2.46 9.71 3.37 2.44 2.08 9.49 3.41 9.67 3.28 2.41 9.19 3.35 2.44 2.08 9.26 3.23 2.39 2.06 8.98 3.31 2.42 9.10 2 3 4 5.83 2.57 2.02 1.81 5 6 7 8 1.69 1.62 1.57 1.54 1.85 1.76 1.70 1.89 1.79 1.71 1.89 1.78 1.71 1.65 1.89 1.78 1.70 1.64 1.89 1.77 1.69 1.88 1.88 1.75 1.66 1.60 1.88 1.51 1.66 1.62 1.89 1.79 1.72 1.66 9 1.88 1.78 1.72 1.67 1.63 10 11 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.60 1.58 1.56 1.55 1.60 1.58 1.56 1.55 1.59 1.57 1.53 1.53 1.52 1.51 1.5 [ 1.52 1.51 17 1.43 1.42 1.42 18 1.41 1.50 'O 19 1.41 "'" 20 21 1.40 ª" 22 23 V! 120 '" 12 13 14 2.05 1.63 1.66 1.62 1.59 3.34 2.43 2.08 1.89 1.89 1.76 1.68 1.62 1.88 1.76 1.67 1.61 1.57 1.56 1.75 1.67 1.60 1.56 1.53 1.50 [.48 1.44 1.52 1.49 1.47 1.45 1.43 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.43 1.41 1.40 1.41 1.40 1.39 1.41 1.39 1.38 1.87 1.74 1.65 1.55 1.59 1.54 1.59 1.54 1.51 1.5 [ 1.50 1.48 1.45 1.43 1.41 1.47 1.45 1.42 1.41 1.47 1.44 1.42 1.40 1.40 1.38 1.37 1.39 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.34 1.47 1.55 1.52 1.50 1.48 1.46 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.46 [.45 1.44 1.44 1.43 1.42 1.44 1.43 1.43 [.41 1.42 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.41 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.32 1.32 1.60 1.58 1.55 1.53 1.51 1.50 1.57 1.54 1.52 1.50 1.56 1.53 1.51 1.49 1.56 1.53 1.51 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.46 1.46 1.45 1.55 1.53 1.52 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.47 1.44 1.46 1.44 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.45 1.49 1.49 1.46 1.44 1.43 1.43 1.42 1.49 1.48 1.48 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43 1.42 1.44 1.43 1.42 1.40 1.48 1.47 1.46 1.45 1.39 1.47 1.45 1.40 1.39 1.44 1.43 1.41 1.41 1.40 1.39 1.38 1.47 1.47 1.46 1.42 1.42 1.41 1.39 1.39 1.44 1.43 1.41 1.40 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.38 1.38 1.47 1.46 1.46 1.45 1.44 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.46 1.46 1.45 1.45 1.45 1.43 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.38 1.42 1.42 1.43 1.43 1.41 1.41 1.40 1.40 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.36 1.37 1.37 1.36 1.45 1.44 1.42 1.40 1.44 1.42 1.41 1.42 1.41 1.39 1.40 1.38 1.37 1:35 1.39 1.37 1.35 1.37 1.35 1.33 1.33 1.31 1.37 1.35 1.32 1.30 1.28 1.36 1.34 1.31 1.29 1.27 1.46 2.08 1.75 1.66 1.63 1.59 1.64 1.60 1.61 2.08 1.89 1.77 1.68 1.62 1.58 1.89 1.77 1.70 1.63 1.59 1.78 1.70 2.08 2.46 2.08 9.80 3.47 2.47 2.08 9.85 3.48 2.47 2.08 1.87 1.74 1.65 1.58 1.53 1.87 1.74 1.65 1.58 1.49 1.46 1.43 1.41 1.39 1.48 1.45 1.42 1.40 1.38 1.53 N ¿ .... o 'O ·s'"'o" "'" 'O 'O t: " 'O "'o 'O c''"5 15 16 24 26 27 25 1.39 1.38 1.38 28 29 1.38 1.38 30 40 60 120 1.38 1.36 1.35 1.34 1.32 1.39 1.45 1.39 1.37 1.39 1.38 1.38 1.36 1.33 1.31 1.29 1.39 1.36 1.35 1.35 1.33 1.30 1.28 1.25 1.34 1.33 1.33 1.35 1.33 1.32 1.31 1.36 1.34 1.35 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.33 1.32 1.32 1.35 1.31 1.30 1.30 1.34 1.31 1.29 1.26 1.24 1.37 1.36 1.32 1.31 1.31 1.31 1.30 1.31 1.30 1.32 1.30 1.27 1.30 1.28 1.25 1.29 1.26 1.24 1.22 1.22 1.19 1.24 1.21 1.18 1.36 1.33 1.34 1.33 1.32 1.32 1.30 1.32 1.31 1.29 1.30 1.31 1.31 1.30 1.28 1.28 1.31 1.30 1.29 1.28 1.30 1.29 1.28 1.26 1.29 1.28 1.28 1.27 1.26 1.25 1.25 1.27 1.27 1.26 1.26 1.25 1.24 1.24 1.25 1.23 1.26 1.22 1.19 1.16 1.12 1.24 1.21 1.17 1.19 1.15 1.13 1.08 1.10 1.00 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.27 1.28 1.25 1.22 1.27 1.24 1.21 1.19 1.16 1.18 1.14 v = grados de libertad aAdaptada con permiso de Biametrika Tables far Statisticians, vol. 1, 3a. ed., E.S. Pearson y R.O. Rartley, Cambridge University Press, Cambridge 1.37 1.35 1.34 1.33 1.27 1.23 .•..... ~ .:S ... o 'O .§'" o "'" 03 'O 'O 'O '" 1:: Q) ª" 'O ¡s 'O d'" 0\ ~ W .. .._, ~ ~ .--,,-~._-~,~~ Grados de libertad del numerador (VI) 5 6 7 8 55.83 9.24 5.34 4.11 57.24 9.29 5.31 4.05 58.20 9.33 5.28 4.01 58.91 9.35 5.27 3.98 59.44 9.37 5.25 3.95 3.62 3.29 3.07 2.92 2.81 3.52 3.18 2.96 2.81 2.69 3.45 3.11 2.88 2.73 2.61 3.40 3.05 2.83 2.67 2.55 3.37 3.01 2.78 2.62 2.51 2.92 2.86 2.81 2.76 2.73 2.73 2.66 2.61 2.56 2.52 2.61 2.54 2.48 2.43 2.39 2.52 2.45 2.39 2.35 2.31 2.46 2.39 2.33 2.28 2.24 2,41 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.70 2.67 2.64 2.62 2.61 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 236 233 2.31 2.29 2.27 2.27 2.24 2.22 2.20 2.18 2.21 2.18 2.15 2.97 2.96 2.95 2.94 2.93 2.59 2.57 2.56 2.55 2.54 2.38 2.36 2.35 2.34 2.33 2.25 2.23 2.22 2.21 2.19 2.16 2.14 2.09 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2.92 2.91 2.90 2.89 2.89 2.53 2.52 2.51 2.50 2.50 2.32 2.31 2.30 2.29 2.28 30 40 60 120 2.88 2.84 2.79 2.75 2.71 2.49 2.44 2.39 2.35 2.30 2.28 2.23 2.18 2.13 2.08 1 2 3 1 2 3 4 39.86 8.53 5.54 4.54 49.50 9.00 5.46 4.32 53,59 9.16 5.39 4.19 5 6 7 8 9 4.06 3.78 3.59 3.46 3.36 3.78 3.46 3.26 3.11 3.01 10 11 12 13 14 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 15 16 17 18 19 20 C10 --,---~-~_.-_._,~ Puntos porcentuales de la distribución F (continuación) Fo.lo,v, ,v, Iv. '" v,'\. _. 24 30 12 15 59.86 9.38 5.24 3.94 60.19 9.39 5.23 3.92 60.71 9.41 5.22 3.90 61.22 9.42 5.20 3.87 61.74 9.44 5.18 3.84 62.00 9.45 5.18 3.83 62.26 9.46 5.17 3.82 3.34 2.98 2.75 2.59 2.47 3.32 2.96 2.72 2.56 2.44 3.30 2.94 2.70 2.54 2.42 3,27 2.90 2.67 2.50 2.38 3.24 2.87 2.63 2.46 2.34 3.21 2.84 2.59 2.42 2.30 3.19 2.82 2.58 2.40 2.28 2.34. 2.28 2.23 2.19 2.38 2.30 2.24 2.20 2.15 2.35 2.27 2.21 2.16 2.12 2.32 2.25 2.19 ,2.14 2.10 2.28 2.21 2.15 2.10 2.05 2.24 2.17 2.10 2.05 2.01 2.20 2.12 2.06 2.01 1.96 2.16 2.13 2.10 2.08 2.06 2.12 2.09 2.06 2.04 2.02 2.09 2.06 2.03 2.00 1.98 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 2.02 1.99 1.96 1.93 1.91 1.97 1.94 1.91 1.89 1.86 1.96 2.13 2.11 2.10 2.04 2.02 2.01 1.99 1.98 2.00 2.08 2.06 2.05 2.04 1.98 1.97 1.96 1.94 1.95 1.93 1.92 1.91 1.94 1.92 1.90 1.89 1.88 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 2.18 2.17 2.17 2.16 2.15 2.09 2.08 2.07 2.06 2.06 2.02 2.01 2.00 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 1.89 1.88 1.87· 1.87 1.86 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 2.14 2.09 2.04 1.99 1.94 2.03 2.00 1.95 1.90 1.85 1.98 1.93 1.87 1.82 1.77 1.93 1.87 1.82 1.77 1.72 1.88 1.83 1.77 1.72 1.67 1.85 1.79 1.74 1.68 1.63 1.82 1.76 1.71 1.65 1.60 2.13 2.11 9 20 10 4 40 60 120 62.53 9.47 5.16 3.80 62.79 9.47 5.15 3.79 63.06 9.48 5.14 3.78 63.33 9.49 5.13 3.76 3.17 2.80 2.56 2.38 2.25 3.16 2.78 2.54 2.36 2.23 3.14 2.76 2.51 2.34 2.21 3.12 2.74 2.49 2.32 2.18 3.10 2.72 2.47 2.29 2.16 2.18 2.10 2.04 1.98 1.94 2.16 2.08 2.01 1.96 1.91 2.13 2.05 1.99 1.93 1.89 2.11 2.03 1.96 1.90 1.86 2.08 2.00 1.93 1.88 1.83 2:06 1.97 1.90 1.85 1.80 1.92 1.89 1.86 1.84 1.81 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.79 1.75 1.72 1.69 1.67 1.76 1.72 1.69 1.66 1.63 1.84 1.83 1.81 1.80 1.78 1.79 1.78 1.76 1.74 1.73 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.82 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 1.71 1.70 1.69 1.68 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 1.66 1.65 1.64 1.63 1.62 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.77 1.71 1.66 1.60 1.55 1.72 1.66 1.60 1.55 1.49 1.67 1.61 1.54 1.48 1.42 1.64 1.57 1.51 1.45 1.38 1.61 1.54 1.48 1.41 1.34 1.57 1.51 1.44 1.37 1.30 1.54 1.47 1.40 1.32 1.24 1.50 1.42 1.35 1.26 1.17 1.46 1.38 1.29 1.19 1.00 o:::.. 0\ Iv. ~ ~ Puntos porcentuales de la distribución F (continuación) Fo.os .1,! ,Vz Grados de libertad del numerador (1'1) VI 1', '\. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 10 241.9 12 15 20 24 243.9 245.9 248.0 249.1 30 250.1 40 60 251.l 252.2 120 253.3 254.3 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 4.43 3.74 4.40 4.36 3.67 19.50 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.70 3.27 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.53 2.49 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.51 2.43 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.54 2.46 2.42 2.38 2.34 2.38 2.30 2.45 2.34 2.40 12 2.57 2.47 2.25 2.21 3.23 2.30 N 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 .... o 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07 01 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2_11 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 01 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84 OJ 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 -o 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 d 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.75 1.69 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.13 2.06 1.93 1.88 1.79 1.73 1.67 2.12 2.04 .1.97 1.96 1.85 1.84 1.80 27 2.22 2.20 2.19 2.18 1.91 1.87 1.82 1.65 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.77 1.75 1.71 2.10 1.70 1.64 ¿ -o ·so" " -o OJ "i:i -o -o t:: .D := OJ -o :B 01 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2..55 2.43 2.35 2.28 2.22 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2M 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.55 1.43 1.35 1.25 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00 ....• =- "._.~~~-~._••~ IV. Puntos porcentuales de la distribución F (continuación) FO.OZ5 ,v¡ ,1'Z ,,, N ¿ ...o "C ·s'"o ¡:: ¡:: '" "C "~ "C "C '" '" :g ª "C "C '" O 0'1 ...¡::.. \JI Grados de libertad del numerador (1'1) VI \, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 2 3 4 647.8 38.51 17.44 12.22 799.5 39.00 16.04 10.65 864.2 39.17 15.44 9.98 899.6 39.25 15.10 9.60 921.8 39.30 14.88 9.36 937.1 39.33 14.73 9.20 948.2 39.36 14.62 9.07 956.7 39.37 14.54 8.98 963.3 39.39 14.47 8.90 968.6 39.40 14.42 8.84 976.7 39.41 14.34 8.75 984.9 39.43 14.25 8.66 5 6 7 8 9 10.01 8.81 8.07 7.57 7.21 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 7.39 6.23 5.52 5.05 4.72 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 6.98 5.82 5.12 4.65 4.32 6.85 5.70 4.99 4.53 4.20 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 10 11 12 13 14 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.78 3.59 3.44 3.31 3.21 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 15 16 17 18 19 6.20 6.12 6.04 5.98 5.92 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90 3.80 3.73 3.66 3.61 3.56 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17 3.29 3.22 3.16 3.10 3.05 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88 20 21 22 23 24 5.87 5.83 5.79 5.75 5.72 4,46 4.42 4.38 4.35 4.32 3.86 3.82 3.78 3.75 3.72 3.51 3.48 3.44 3.41 3.38 3.29 3.25 3.22 3.18 3.15 3.13 3.09 3.05 3.02 2.99 3.01 2.97 2.93 2.90 2.87 2.91 2.87 2.84 2.81 2.78 25 26 27 28 29 5.69 5.66 5.63 5.61 5.59 4.29 4.27 4.24 4.22 4.20 3.69 3.67 3.65 3.63 1.61 3.35 3.33 3.31 3.29 3.27 3.13 3.10 3.08 3.06 3.04 2.97 2.94 2.92 2.90 2.88 2.85 2.82 2.80 2.78 2.76 30 40 60 120 5.57 5.42 5.29 5.15 5.02 4.18 4.05 3.93 3.80 3.69 3.59 3.46 3.34 3.23 3.12 3.25 3.13 3.01 2.89 2.79 3.03 2.90 2.79 2.67 2.57 2.87 2.74 2.63 2.52 2.41 2.75 2.62 2.51 2.39 2.29 24 30 40 60 120 993.1 39.45 14.17 8.56 997.2 39.46 14.12 8.51 1001 39.46 14.08 8.46 1006 39.47 14.04 8.41 1010 39.48 13.99 8.36 1014 39.49 13.95 8.31 1018 39.50 13.90 8.26 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 6.28 5.12 4.42 3.95 3.61 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 6.12 4.96 4.25 3.78 3.45 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 3.42 3.23 3.07 2.95 2.84 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 3.20 3.00 2.85 2.72 2.61 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72 2.86 2.79 2.72 2.67 2.62 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33 2.52 2.45 2.38 2.32 2.27 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20 2.40 2.32 2.25 2.19 2.13 2.84 2.80 2.76 2.73 2.70 2.77 2.73 2.70 2.67 2.64 2.68 2.64 2.60 2.57 2.54 2.57 2.53 2.50 2.47 2.44 2.46 2.42 2.39 2.36 2.33 2.41 2.37 2.33 2.30 2.27 2.35 2.31 2.27 2.24 2.21 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 2.09 2.04 2.00 2.75 2.73 2.71 2.69 2.67 2.68 2.65 2.63 2.61 2.59 2.61 2.59 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.47 2.45 2.43 2.41 2.39 2.36 2.34 2.32 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.24 2.19 2.17 2.15 2.18 2.16 2.13 2.11 2.09 2.12 2.09 2.07 2.05 2.03 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 2.65 2.53 2.41 2.30 2.19 2.57 2,45 2.51 2.39 2.27 2.16 2.05 2,41 2.31 2.18 2.06 1.94 1.83 2.20 2.07 1.94 1.82 1.71 2.14 2.01 1.88 1.76 1.64 2.07 1.94 1.82 1.69 1.57 2.01 1.88 1.74 1.61 1,48 1.94 1.80 1.67 1.53 1.39 1.87 1.72 1.58 1.43 1.27 1.79 1.64 1.48 1.31 1.00 2.33 2.22 2.11 2.29 2.17 2.05 1.94 15 20 2.22 1.97 1.94 -":0 Iv. 0'1 ...¡::.. 0'1 Puntos porcentuales de la distribución F (continuación) FO.01 •v ¡ ,Vz Grados de libertad del numerador (Jl 1) Jll JI:! 01 ¿ ...o "'Cl ro .¡¡ o "" "'Cl al "'Cl "'Cl ro t: " ª" "'Cl "'o "'Cl E! tJ '\. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 2 3 4 4052 98.50 34.12 21.20 4999.5 99.00 30.82 18.00 5403 99.17 29.46 16.69 5625 99.25 28.71 15.98 5764 99.30 28.24 15.52 5859 99.33 27.91 15.21 5928 99.36 27.67 14.98 5982 99.37 27.49 14.80 6022 99.39 27.35 14.66 6056 99.40 27.23 14.55 6106 99.42 27.05 14.37 6157 99.43 26.87 14.20 6209 99.45 26.69 14.02 6235 99.46 26.00 13.93 6261 99.47 26.50 13.84 6287 99.47 26.41 13.75 6313 99.48 26.32 13.65 6339 99.49 26.22 13.56 6366 99.50 26.13 13.46 5 6 7 8 9 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 13.27 10.92 9.55 8.65 8.02 12.06 9.78 8.45 7.59 6.99 11.39 9.15 7.85 7.01 6.42 10.97 8.75 7.46 6.63 6.06 10.67 8.47 7.19 6.37 5.80 10.46 8.26 6.99 6.18 5.61 10.29 8.10 6.84 6.03 5.47 10.16 7.98 6.72 5.91 5.35 10.05 7.87 6.62 5.81 5.26 9.89 7.72 6.47 5.67 5.11 9.72 7.56 6.31 5.52 4.96 9.55 7.40 6.16 5.36 4.81 9.47 7.31 6.07 5.28 4.73 9.38 7.23 5.99 5.20 4.65 9.29 7.14 5.91 5.12 4.57 9.20 7.06 5.82 5.03 4.48 9.11 6.97 5.74 4.95 4.40 9.02 6.88 5.65 4.86 4.31 10 11 12 13 14 10.04 9.65 9.33 9.07 8.86 7.56 7.21 6.93 6.70 6.51 6.55 6.22 5.95 5.74 5.56 5.99 5.67 5.41 5.21 5.04 5.64 5.32 5.06 4.86 4.69 5.39 5.07 4.82 4.62 4.46 5.20 4.89 4.64 4.44 4.28 5.06 4.74 4.50 4.30 4.14 4.94 4.63 4.39 4.19 4.03 4.85 4.54 . 4.30 4.10 3.94 4.71 4.40 4.16 3.96 3.80 4.56 4.25 4.01 3.82 3.66 4.41 4.10 3.86 3.66 3.51 4.33 4.02 3.78 3.59 3.43 4.25 3.94 3.70 3.51 3.35 4.17 3.86 3.62 3.43 3.27 4.08 3.78 3.54 3.34 3.18 4.00 3.69 3.45 3.25 3.09 3.91 3.60 3.36 3.17 3.00 15 16 17 18 19 8.68 8.53 8.40 8.29 8.18 6.36 6.23 6.11 6.01 5.93 5.42 . 5.29 5.18 5.09 5.01 4.89 4.77 4.67 4.58 4.50 4.56 4.44 4.34 4.25 4.17 4.32 4.20 4.10 4.01 3.94 4.14 4.03 3.93 3.84 3.77 4.00 3.89 3.79 3.71 3.63 3.89 3.78 3.68 3.60 3.52 3.80 3.69 3.59 3.51 3.43 3.67 3.55 3.46 3.37 3.30 3.52 3.41 3.31 3.23 3.15 3.37 3.26 3.16 3.08 3.00 3.29 3.18 3.08 3.00 2.92 3.21 3.10 3.00 2.92 2.84 3.13 3.02 2.92 2.84 2.76 3.05 2.93 2.83 2.75 2.67 2.96 2.84 2.75 2.66 2.58 2.87 2.75 2.65 2.57 2.49 20 21 22 23 24 8.10 8.02 7.95 7.88 7.82 5.85 5.78 5.72 5.66 5.61 4.94 4.87 4.82 4.76 4.72 4.43 4.37 4.31 4.26 4.22 4.10 4.04 3.99 3.94 3.90 3.87 3.81 3.76 3.71 3.67 3.70 3.64 3.59 3.54 3.50 3.56 3.51 3.45 3.41 3.36 3.46 3.40 3.35 3.30 3.26 3.37 3.31 3.26 3.21 3.17 3.23 3.17 3.12 3.07 3.03 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.94 2.88 2.83 2.78 2.74 2.86 2.80 2.75 2.70 2.66 2.78 2.72 2.67 2.62 2.58 2.69 2.64 2.58 2.54 2.49 2.61 2.55 2.50 2.45 2.40 2.52 2.46 2.40 2.35 2.31 2.42 2.36 2.31 2.26 2.21 25 26 27 28 29 7.77 7.72 7.68 7.64 7.60 5.57 5.53 5.49 5.45 5.42 4.68 4.64 4.60 4.57 4.54 4.18 4.14 4.11 4.07 4.04 3.85 3.82 3.78 3.75 3.73 3.63 3.59 3.56 3.53 3.50 3.46 3.42 3.39 3.36 3.33 3.32 3.29 3.26 3.23 3.20 3.22 3.18 3.15 3.12 3.09 3.13 3.09 3.06 3.03 3.00 2.99 2.96 2.93 2.90 2.87 2.85 2.81 2.78 2.75 2.73 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.62 2.58 2.55 2.52 2.49 2.54 2.50 2.47 2.44 2.41 2.45 2.42 2.38 2.34 2.33 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.17 2.13 2.10 2.06 2.03 30 40 60 120 7.56 7.31 7.08 6.85 6.63 5.39 5.18 4.98 4.79 4.61 4.51 4.31 4.13 3.95 3.78 4.02 3.83 3.65 3.48 3.32 3.70 3.51 3.34 3.17 3.02 3.47 3.29 3.12 2.96 2.80 3.30 3.12 2.95 2.79 2.64 3.17 2.99 2.82 2.66 2.51 3.07 2.89 2.72 2.56 2.41 2.98 2.80 2.63 2.47 2.32 2.84 2.66 2.50 2.34 2.18 2.70 2.52 2.35 2.19 2.04 2.55 2.37 2.20 2.03 1.88 2.47 2.29 2.12 1.95 1.79 2.39 2.20 2.03 1.86 1.70 2.30 2.11 1.94 1.76 1.59 2.21 2.02 1.84 1.66 1.47 2.11 1.92 1.73 1.53 1.32 2.01 1.80 1.60 1.38 1.00 00 ~------ J APÉNDICE V. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos fijosa 1.00 en .¡¡; Q) :Q a. :2 en .!!! .80 .70 .60 .50 .40 .30 .20 10 a Q) " 10 Q) 'O 'O 10 ;g :5 10 .c e "- .10 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 1.5 2 2.5 <1>(paraa=.01)~ 3.5 ~ <1> (para a = .05) 345 3 2 1.00 .80 .70 .60 .50 .40 en .¡¡; .el .30 '0 a. :2 en .!!! .20. ~ 10 a " Q) 10 Q) 'O 'O 10 ~ :5 10 .c e "- .10 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 1 2 l!> (para a= .01)_ 1 3 2 ~ <1> (para a= .05) 3 4 5 v, = grados de libertad del numerador, v2 = grados de libertad del denominador. aAdaptada con permiso de Biometl'ika Tables fol' Statisticial1s, vol. 2, E.S. Pearson y R.O. Hartley, Cambridge University Press, Cambridge 647 648 APÉNDICE V. 1.00 .80 Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos fijos (continuación) ,..---~::--___,r------.----_r----_r----.,_--.., I---'----+~ .70 .60 .50 '" '¡;; " '0 Q. :c U) ~ .40 .30 .201--- ro 15. "'-' ro " .10 1-----W\W~tBr­ "tJ "tJ .08 I----.\¡W\W~~ :,=o\"T-TT~rt-\--\-'1¡-\--Tt-----t---j ~ .06 1------t-\M1'"'""""'rWl++-\---\--\-'\-\---\-1\--\-'rl.---'...--t'\,--------j----j ..el .05 c.. .04 1-------H\-\\+\-\\\-\-I\.--------'l-\--\-1r\--\--\-'H.----Jr+--\-----j----j ro :cro e .07 I------M'ffi~¡\-\--\"\ 1------+\+\c\-\-M1~r\!--1H-+-'t-\-l-\--\-+_+-'+_-t-+-'------j----j .03 1-------t---\\\-\-\-\-\\-\-lI-\--+1r-\--\+Hnc-\--\--\---\----j-----j .02 1-------t----\-\:\T\+1rH-\-\----\--\-\-\---\--\--\-\-\+-\--\----j----j .01 .......'-'-'.......-'-.l--L.-'-.....,'--.L--'--.l-'_'_'--__>..._ L- -l-_---'-~ 1 (1)(paraa=.01)~ 1.00 2 3 ........- <1> (para a = .05) 1 2 3 4 _ _ _ > . _ '_ _____' 5 ,..------,..-------r------¡------,-----...,----, .80 .70 .60 .50 U) .¡;; " '0 Q. :c '" .40 .30 .201----\' ~ ro 15. 'ro "-' " "tJ "tJ ro ;g :cro ..el e c.. .10 1-------\M'ffiWr\Jo1r .08 I------~MWM..-'\ .06 1---------t-1I\T\-V~rT--\-l-\+'H-\-_\t_\_'~~._---k----+---j .07 1-----\-1ñ-\-+\-\-\-'r\--\-=--!-\-\--\-\-\~__I't__\__\_+_-'\+_----_¡_--__I .05 1------\-lli-\-\\\'\-\--\-f-1r\-\-1r-\--'l-+_\_'\--\--+'~----j----j .04 I------+lo\-\-+-\-\-\--\-\,---\-+-\--\--\--\-+\-_\_-\-'_\_-\--I--+------j----j .03 1-------t\-WI++\-\-\--H+-'-\-+-'HrlH-1r-\--\---\l--+-'-----j----j .02 1------HrH-\-\-+'<+'<+--\--Hrl---\-+--\---\---\---\----t-'r--1,------t------j .01 '-1 <p(para a= .01) _ __' '--..!...!-I....l.-'L.L..~l-\,--'--l-I-'--'---'----'----'---L.--'---''----'L-__'_ ~ 2 3 ........- <1> (para a = ,05) 1 2 3 4 5 APÉNDICE V. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos fijos (continuación) 1 . 0 0 , . . . - - - - - - , . . . - - - - - - , - - - - - r - - - -...- - - - - , - - - - - , .80 c---'-----R'\ .70 .60 .50 .40 .10 1-----+'\-\-lAAW\_\~-__\_I_H+_\:ot~"""~"""'t""7'~-_+----____t--__t .08 ~=~~~~~tt~~~~+~=1====1===1 .071.06 1----\+\-I\\-'Wt\-lHrl~+HI"'1,--\-_\__\_+--\t-----+---l .05 .04 .03 .02 .01 L- J..J...Jt.....L:!-L..L.1...L.1-J.....L..L-.l....,;L...L.L..-..L-..L...L..-.>..l..--1._----''---'-_ _- ' 1 2 <I> (para a= .01) _ _ 1 3 ~ 2 <I> (para a= .OS) 3 4 5 1.00 , . . . - - - - - , . . . - - - - - - , - - - - - , - - - - -...- - - - - , - - - - - , .80 .70 .60 .50 <J) '¡ji Ql ·15c. :c <J) .40 .30 I'~~~--I-~~\\\~~~--II .20 l---\-\-\-\1M~~.____--____cI__--+H__I\__\_'\_\-T-T_~_....____---t----_j .2 ~ ro 15. Ql "ro Ql "C "C ro ;g :cro ..c ~ .10 1---\c-\-\-\-\'H't\-lbll7-'''?'''iF .08 1---\,-\-\W\-\\-V'\,..+.rSoF .07 1----+Jl-+1r*-1r-\-\*-'lr"IO""'-7!'= .06 I-----++\-Wr\-\'"'~I¡C,..J= .05 1----+++++~~7"F"'i1:= .04 1----t\--\t\-fl>t\,I¡~'\t=..s!S'---___1~~r.:;\::;tft:t_:'t\;_;"_f\; .03 1----+\""""':"b'I"\-'~++-----_t\__\_+_r_+__\_I__\__lr__+_+_+;_ 2 3 <I>(paraa=.01) _ _ 1 ~ <I> (para a = .OS) 2 3 4 649 650 APÉNDICE V. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos fijos (continuación) 1.00 r - - - : : - - - , - - - - - - - - ; - - - - - , - - - - - - , . - - - - - - ¡ - - - - - - , en .~ ·15 o- 1: en .80 .70 .60 .50 .40 ~-'----I----~~IIIS!I .30 1-*"''''' .20 l---\-wt\-\~l_\_'\_----/----\--\4r+_\_Jr\__\_J~'t-I-~---+----l ":T'k-----+----4+'M--\l-'.....,,,~~'<_~I_----_I_--_1 ..!!! ~ Q) "ro .10 1---+'t-\--lr\-1l--\\:\-\----\:r':7"'l:= "tJ "tJ .08 t-:=~~m~\':4Z1~ .071.06 1_--+TH+-Ir\-\c\>'If-:7'b"''"f=.05 1_---H:+-1kt\-\-\-~;\"'-*"'-h- Q) ro ;g :cro oC e "- .04 r---;ittttl:1~~1= .03 1----~\-j.\.:~\'M~~~----\.f+J~=_+_+.J+_~~+__I_~61--l .02 1-----\-+Jbf'bt'T-\c\-\-t\-----+++-+-\--\t-++-+----\:-j---'\--l 2 3 <l>(paraa=.01) _ _ 1 ~ <l> (para a= .05) 2 3 4 2 3 ~<l>(paraa=.05) <l>(paraa=.01) _ _ 1 2 3 4 1.00 en .¡¡; Q) .80 .70 .60 .50 .40 ·15o- .30 en .20 1: ..!!! ~ ro 15. Q) "ro Q) "tJ "tJ ro ;g :cro oC e "- .10 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 APÉNDICE VI. en .¡¡; al '0 c. :c en ..!!! a 1.00 .80 .70 .60 .50 .40 .30 .20 ~ al c.> ro al '"C '"C ro :s! :aro .o ~ Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos aleatorios" 1 """V, •1l ~ 1l I ~-. .~ .10 .08 .07 .06 .05 .04 .03 v .02 1-- "- .01 6 10 20 11 10 A(para a= .01) Q. ~ t..~ !;lo ~ ~ 6 v2 8 10 ~~ -...- r~ ¡:;y ~ 1-::// 30 ~10 50 30 70 50 90 70 130 110 110 90 150 130 170 150 190~ 170 A (paraa=.05) 190 1.00 en .¡¡; al .80 .70 .60 .50 .40 .30 '0 C. :cen .20 ..!!! lo a al c.> ro al '"C '"C ro :s! :Bro .o ~ "- .10 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 l--_I-----l_-.l..._--L_-'-_.L.----l_ 1 3 5 A(paraa=.01)~1 7 3 9 11 13 15 57911 17 13 19 15 21 17 "Reproducida con permiso de Enginee/'ing Statistics, 2a. ed., A.H. Bowker y G.J. Lieberrnan, Prentiee-Hall, Ine., Englewood Cliffs, NJ. 651 652 APÉNDICE VI. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos aleatorios (continuación) 1.00 Ul .¡¡; Ql .SO .70 .60 .50 .40 '0 c. .30 Ul .20 6 = v2 7 :;: .!!! 8 9 10 12 15 20 30 60 ~ <O o. " Ql <O Ql "O "O <O ;g :c<O .o ~ "- .10 .OS .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 I----'I---l_--L_---L_-l.._-L_~....::..~:s:>.;~~..l:>o.~...l'o.....=.......l'o.......::..~.....;:,_.J 123 11. (para u= .01) __ 1 1.00 Ul .¡¡; Ql '0 C. :;: Ul .80 .70 .60 .50 .40 4 2 5 3 6 4 7 5 S 6 9 7 10 S 11 9 -+-1I.(parau=.05) 10 11 12 13 ~---'r-:---'-"""'. :-...,---.,---,--,----,r---,---,--r---;r--r---, 1-'I~1--1---+­ .30 .20 .!!! -5. Ql " <O Ql "O -g ;g :c<O .o ~ "- .101--1--' .0sl--1-- .07 1--+----1--' .06 1---1--+.05 I--+----f--'-~ .04 I--I---ll-'-.03 I--+---j---f-' .01 1-_1---l_--L_---L~~~~u.....:~_..L-~~'_"'...l...:l'_"'_""_~ 1 2 3 4 11. (para u= .01) __ 1 5 2 6 3 7 4 S ....... 1I.(parau=.05) 5 6 7 8 9 ........._::..__'__"'....J 10 11 12 APÉNDICE VI. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos aleatorios (continuación) 1.00 IE"""-r--r-::----r---,.. - - r - - r - - - y - - - y - - - - ¡ - - - - ¡ - - - y - - - y - - - , - - , .80 .70 .SO .50 .40 .30 .20 .101--1.081--t-.071--t-.OSI--+-.051--1-.041--+--+ .03 I--+--+.02 I--+--+--- 2 3 4 "-(parau=.Ol)~ 5 1 6 2 7 ~ "-(para u= .05) 3 4 5 S 7 8 9 10 1.00 ,.---,--..,--..,--_o:c--r----,-,---,----,--,..---,----r---,---,.-----, .80 f-l ";=t=~==t=+ .70 .SO .50 .40 .30 .20 .10 .08 .07 .061--+-.051--+.041--1.031--1-- .01 .......,.........,L_........._-'-_-'-_..... L--_L-----JL......ICU..Il'-L.I..UJlU-:L...L._..,¡.._...u...............J>...~........ 12345 "-(pafau=.05)~ 1 S 2 7'-"-(parau=.01) 3 4 5 6 7 8 9 653 654 APÉNDICE VI. Curvas de operación característica para el análisis de varianza del modelo con efectos aleatorios (continuación) 1.00 C--,--T""::"-,--....::--,--¡----,;---¡---,--,..--,---,-..,---, .80 "rlr---'-j--t--j-l .70 .60 .50 .40 .30 .20 .10 .08 .07 .06 .05 ¡---i-ftt' .04 ¡---t-o\\\.03 ¡---t--\t\-\\' .02 ¡---i------1n\+\-i 2 3 4 5 ,,(para u= .01) __ 1 6 _ _ ,,(para u= .05) 2 3 4 5 6 234 5 ,,(para u= .05) __ 1 6 __ ,,(para u= .01) 7 8 7 8 1.00 Cil .¡;; Ql .80 .70 .60 .50 .40 .30 '0 o. :c Cil .20 .!!! i¡; C. Ql "ro .10 "O "O .08 .07 .06 .05 .04 Ql ro ;g :aro ..c e a.. .03 .02 2 3 4 5 6 , i APÉNDICE Vil. Rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncana lO.OI (P, f) p f 2 3 4 5 6 7 8 9 90.0 14.0 8.8 7.1 6.26 90.0 14.0 8.9 7.1 6.33 90.0 14.0 8.9 7.2 6.40 90.0 14.0 9.0 7.2 6.44 10 20 50 100 90.0 14.0 9.0 7.3 6.5 90.0 14.0 9.3 7.5 6.8 90.0 14.0 9.3 7.5 6.8 90.0 14.0 9.3 7.5 6.8 2 3 4 5 90.0 14.0 8.26 6.51 5.70 90.0 14.0 8.5 6.8 5.96 90.0 14.0 8.6 6.9 6.11 90.0 14.0 8.7 7.0 6.18 6 7 8 9 10 5.24 4.95 4.74 4.60 4.48 5.51 5.22 5.00 4.86 4.73 5.65 5.37 5.14 4.99 4.88 5.73 5.45 5.23 5.08 4.96 5.81 5.53 5.32 5.17 5.06 5.88 5.61 5.40 5.25 5.13 5.95 5.69 5.47 5.32 5.20 6.00 5.73 5.51 5.36 5.24 6.0 5.8 5.5 5.4 5.28 6.3 6.0 5.8 5.7 5.55 6.3 6.0 5.8 5.7 5.55 6.3 6.0 5.8 5.7 5.55 11 12 13 14 15 4.39 4.32 4.26 4.21 4.17 4.63 4.55 4.48 4.42 4.37 4.77 4.68 4.62 4.55 4.50 4.86 4.76 4.69 4.63 4.58 4.94 4.84 4.74 4.70 4.64 5.01 4.92 4.84 4.78 4.72 5.06 4.96 4.88 4.83 4.77 5.12 5.02 4.94 4.87 4.81 5.15 5.07 4.98 4.91 4.84 5.39 5.26 5.15 5.07 5.00 5.39 5.26 5.15 5.07 5.00 5.39 5.26 5.15 5.07 5.00 16 17 18 19 20 4.13 4.10 4.07 4.05 4.02 4.34 4.30 4.27 4.24 4.22 4.45 4.41 4.38 4.35 4.33 4.54 4.50 4.46 4.43 4.40 4.60 4.56 4.53 4.50 4.47 4.67 4.63 4.59 4.56 4.53 4.72 4.68 4.64 4.61 4.58 4.76 4.73 4.68 4.64 4.61 4.79 4.75 4.71 4.67 4.65 4.94 4.89 4.85 4.82 4.79 4.94 4.89 4.85 4.82 4.79 4.94 4.89 4.85 4.82 4.79 30 40 60 100 3.89 3.82 3.76 3.71 3.64 4.06 3.99 3.92 3.86 3.80 4.16 4.10 4.03 3.98 3.90 4.22 4.17 4.12 4.06 3.98 4.32 4.24 4.17 4.11 4.04 4.36 4.30 4.23 4.17 '4.09 4.41 4.34 4.27 4.21 4.14 4.45 4.37 4.31 4.25 4.17 4.48 4.41 4.34 4.29 4.20 4.65 4.59 4.53 4.48 4.41 4.71 4.69 4.66 4.64 4.60 4.71 4.69 4.66 4.65 4.68 00 f = grados de libertad Reproducida con permiso de "Multiple Range and Multiple F Tests", D.B. Duncan, Biometrics, vol. 1, no. 1, pp. 1-42 r O•05 (p, f) p f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100 1 2 3 4 5 18.0 6.09 4.50 3.93 3.64 18.0 6.09 4.50 4.01 3.74 18.0 6.09 4.50 4.02 3.79 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 18.0 6.09 4.50 4.02 3.83 6 7 8 9 10 3.46 3.35 3.26 3.20 3.15 3.58 3.47 3.39 3.34 3.30 3.64 3.54 3.47 3.41 3.37 3.68 3.58 3.52 3.47 3.43 3.68 3.60 3.55 3.50 3.46 3.68 3.61 3.56 3.52 3.47 3.68 3.61 3.56 3.52 3.47 3.68 3.61 3.56 3.52 3.47 3.68 3.61 3.56 3.52 3.47 3.68 3.61 3.56 3.52 3.48 3.68 3.61 3.56 3.52 3.48 3.68 3.61 3.56 3.52 3.48 11 12 13 14 15 3.11 3.08 3.06 3.03 3.01 3.27 3.23 3.21 3.18 3.16 3.35 3.33 3.30 3.27 3.25 3.39 3.36 3.35 3.33 3.31 3.43 3.40 3.38 3.37 3.36 3.44 3.42 3.41 3.39 3.38 3.45 3.44 3.42 3.41 3.40 3.46 3.44 3.44 3.42 3.42 3.46 3.46 3.45 3.44 3.43 3.48 3.48 3.47 3.47 3.47 3.48 3.48 3.47 3.47 3.47 3.48 3.48 3.47 3.47 3.47 16 17 18 19 20 3.00 2.98 2.97 2.96 2.95 3.15 3.13 3.12 3.11 3.10 3.23 3.22 3.21 3.19 3.18 3.30 3.28 3.27 3.26 3.25 3.34 3.33 3.32 3.31 3.30 3.37 3.36 3.35 3.35 3.34 3.39 3.38 3.37 3.37 3.36 3.41 3.40 3.39 3.39 3.38 3.43 3.42 3.41 3.41 3.40 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 30 40 60 100 2.89 2.86 2.83 2.80 2.77 3.04 3.01 2.98 2.95 2.92 3.12 3.10 3.08 3.05 3.02 3.20 3.17 3.14 3.12 3.09 3.25 3.22 3.20 3.18 3.15 3.29 3.27 3.24 3.22 3.19 3.32 3.30 3.28 3.26 3.23 3.35 3.33 3.31 3.29 3.26 3.37 3.35 3.33 3.32 3.29 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.48 3.53 3.61 3.47 3.47 3.48 3.53 3.67 00 655 0\ iJl 0\ VIll. Puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado" qO.Ol (p, f) --p 2 f 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 260 282 298 202 1 90.0 135 246 253 266 272 272 286 290 294 164 186 216 227 237 36.0 37.9 2 14.0 22.3 24.7 26.6 32.6 33.4 31.4 34.8 35.4 36.5 37.0 37.5 19.0 28.2 29.5 30.7 31.7 12.2 14.2 17.5 18.2 18.8 19.5 19.8 19.1 3 8.26 10.6 13.3 15.0 15.6 16.7 17.1 17.9 18.5 19.3 16.2 12.8 13.7 13.9 14.2 4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.6 11.1 11.5 12.3 12.6 13.1 13.3 13.5 14.1 14.4 11.9 7.80 8.91 9.67 11.93 5 5.70 6.97 8.42 9.32 9.97 10.24 10.48 10.70 10.89 11.08 11.24 11.40 11.55 11.68 11.81 6 7 8 9 10 5.24 4.95 4.74 4.60 4.48 6.33 5.92 5.63 5.43 5.27 7.03 6.54 6.20 5.96 5.77 7.56 7.01 6.63 6.35 6.14 7.97 7.37 6.96 6.66 6.43 8.32 7.68 7.24 6.91 6.67 8.61 7.94 7.47 7.13 6.87 8.87 8.17 7.68 7.32 7.05 9.10 8.37 7.87 7.49 7.21 9.30 8.55 8.03 7.65 7.36 9.49 8.71 8.18 7.78 7.48 9.65 8.86 8.31 7.91 7.60 9.81 9.00 8.44 8.03 7.71 9.95 9.12 8.55 8.13 7.81 10.08 9.24 8.66 8.23 7.91 10.21 9.35 8.76 8.32 7.99 10.32 9.46 8.85 8.41 8.07 10.43 9.55 8.94 8.49 8.15 10.54 9.65 9.03 8.57 8.22 11 12 13 14 15 4.39 4.32 4.26 4.21 4.17 5.14 5.04 4.96 4.89 4.83 5.62 5.50 5.40 5.32 5.25 5.97 5.84 5.73 5.63 5.56 6.25 6.10 5.98 5.88 5.80 6.48 6.32 6.19 6.08 5.99 6.67 6.51 6.37 6.26 6.16 6.84 6.67 6.53 6.41 6.31 6.99 6.81 6.67 6.54 6.44 7.13 6.94 6.79 6.66 6.55 7.25 7.06 6.90 6.77 6.66 7.36 7.17 7.01 6.87 6.76 7.46 7.26 7.10 6.96 6.84 7.56 7.36 7.19 7.05 6.93 7.65 7.44 7.27 7.12 7.00 7.73 7.52 7.34 7.20 7.07 7.81 7.59 7.42 7.27 7.14 7.88 7.66 7.48 7.33 7.20 7.95 7.73 7.55 7.39 7.26 16 17 18 19 20 4.13 4.10 4.07 4.05 4.02 4.78 4.74 4.70 4.67 4.64 5.19 5.14 5.09 5.05 5.02 5.49 5.43 5.38 5.33 5.29 5.72 5.66 5.60 5.55 5.51 5.92 5.85 5.79 5.73 5.69 6.08 6.01 5.94 5.89 5.84 6.22 6.15 6.08 6.02 5.97 6.35 6.27 6.20 6.14 6.09 6.46 6.38 6.31 6.25 6.19 6.56 6.48 6.41 6.34 6.29 6.66 6.57 6.50 6.43 6.37 6.74 6.66 6.58 6.51 6.45 6.82 6.73 6.65 6.58 6.52 6.90 6.80 6.72 6.65 6.59 6.97 6.87 6.79 6.72 6.65 7.03 6.94 6.85 6.78 6.71 7.09 7.00 6.91 6.84 6.76 7.15 7.05 6.96 6.89 6.82 24 30 40 60 120 3.96 3.89 3.82 3.76 3.70 3.64 4.54 4.45 4.37 4.28 4.20 4.12 4.91 4.80 4.70 4.60 4.50 4.40 5.17 5.05 4.93 4.82 4.71 4.60 5.37 5.24 5.11 4.99 4.87 4.76 5.54 5.40 5.27 5.13 5.01 4.88 5.69 5.54 5.39 5.25 5.12 4.99 5.81 5.65 5.50 5.36 5.21 5.08 5.92 5.76 5.60 5.45 5.30 5.16 6.02 5.85 5.69 5.53 5.38 5.23 6.11 5.93 5.77 5.60 5.44 5.29 6.19 6.01 5.84 5.67 5.51 5.35 6.26 6.08 5.90 5.73 5.56 5.40 6.33 6.14 5.96 5.79 5.61 5.45 6.39 6.20 6.02 5.84 5.66 5.49 6.45 6.26 6.07 5.89 5.71 5.54 6.51 6.31 6.12 5.93 5.75 5.57 6.56 6.36 6.17 5.98 5.79 5.61 6.61 6.41 6.21 6.02 5.83 5.65 00 f = grados de libertad "De J.M. May, "Extended and Corrected Thb1es of tbe Upper Percentage Points of the Studentized Range", Biometrika, vol. 39, pp. 192-193. Reproducida con permiso de los fideicomisarios de Biometlika VIII. Puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado (continuación) QO.05(P, f) p 2 f 1 18.1 2 6.09 3 4.50 4 3.93 5 3.64 0'\ U1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26.7 8.28 5.88 5.00 4.60 32.8 9.80 6.83 5.76 5.22 37.2 10.89 7.51 6.31 5.67 40.5 11.73 8.04 6.73 6.03 43.1 12.43 8.47 7.06 6.33 45.4 13.03 8.85 7.35 6.58 47.3 13.54 9.18 7.60 6.80 49.1 13.99 9.46 7.83 6.99 50.6 14.39 9.72 8.03 7.17 51.9 14.75 9.95 8.21 7.32 53.2 15.08 10.16 8.37 7.47 54.3 15.38 10.35 8.52 7.60 55.4 15.65 10.52 8.67 7.72 56.3 15.91 10.69 8.80 7.83 57.2 16.14 10.84 8.92 7.93 58.0 16.36 10.98 9.03 8.03 58.8 16.57 11.12 9.14 8.12 59.6 16.77 11.24 9.24 8.21 6 7 8 9 10 3.46 3.34 3.26 3.20 3.15 4.34 4.16 4.04 3.95 3.88 4.90 4.68 4.53 4.42 4.33 5.31 5.06 4.89 4.76 4.66 5.63 5.35 5.17 5.02 4.91 5.89 5.59 5.40 5.24 5.12 6.12 5.80 5.60 5.43 5.30 6.32 5.99 5.77 5.60 5.46 6.49 6.15 5.92 5.74 5.60 6.65 6.29 6.05 5.87 5.72 6.79 6.42 6.18 5.98 5.83 6.92 6.54 6.29 6.09 5.93 7.04 6.65 6.39 6.19 6.03 7.14 6.75 6.48 6.28 6.12 7.24 6.84 6.57 6.36 6.20 7.34 6.93 6.65 6.44 6.27 7.43 7.01 6.73 6.51 6.34 7.51 7.08 6.80 6.58 6.41 7.59 7.16 6.87 6.65 6.47 11 12 13 14 15 3.11 3.08 3.06 3.03 3.01 3.82 3.77 3.73 3.70 3.67 4.26 4.20 4.15 4.11 4.08 4.58 4.51 4.46 4.41 4.37 4.82 4.75 4.69 4.64 4.59 5.03 4.95 4.88 4.83 4.78 5.20 5.12 5.05 4.99 4.94 5.35 5.27 5.19 5.13 5.08 5.49 5.40 5.32 5.25 5.20 5.61 5.51 5.43 5.36 5.31 5.71 5.61 5.53 5.46 5.40 5.81 5.71 5.63 5.56 5.49 5.90 5.80 5.71 5.64 5.57 5.98 5.88 5.79 5.72 5.65 6.06 5.95 5.86 5.79 5.72 6.14 6.02 5.93 5.86 5.79 6.20 6.09 6.00 5.92 5.85 6.27 6.15 6.06 5.98 5.91 6.33 6.21 6.11 6.03 5.96 16 17 18 19 20 3.00 2.98 2.97 2.96 2.95 3.65 3.62 3.61 3.59 3.58 4.05 4.02 4.00 3.98 3.96 4.34 4.31 4.28 4.26 4.24 4.56 4.52 4.49 4.47 4.45 4.74 4.70 4.67 4.64 4.62 4.90 4.86 4.83 4.79 4.77 5.03 4.99 4.96 4.92 4.90 5.15 5.11 5.07 5.04 5.01 5.26 5.21 5.17 5.14 5.11 5.35 5.31 5.27 5.23 5.20 5.44 5.39 5.35 5.32 5.28 5.52 5.47 5.43 5.39 5.36 5.59 5.55 5.50 5.46 5.43 5.66 5.61 5.57 5.53 5.50 5.73 5.68 5.63 5.59 5.56 5.79 5.74 5.69 5.65 5.61 5.84 5.79 5.74 5.70 5.66 5.90 5.84 5.79 5.75 5.71 24 30 40 60 120 2.92 2.89 2.86 2.83 2.80 2.77 3.53 3.48 3.44 3.40 3.36 3.32 3.90 3.84 3.79 3.74 3.69 3.63 4.17 4.11 4.04 3.98 3.92 3.86 4.37 4.30 4.23 4.16 4.10 4.03 4.54 4.46 4.39 4.31 4.24 4.17 4.68 4.60 4.52 4.44 4.36 4.29 4.81 4.72 4.63 4.55 4.47 4.39 4.92 4.83 4.74 4.65 4.56 4.47 5.01 4.92 4.82 4.73 4.64 4.55 5.10 5.00 4.90 4.81 4.71 4.62 5.18 5.08 4.98 4.88 4.78 4.68 5.25 5.15 5.05 4.94 4.84 4.74 5.32 5.21 5.11 5.00 4.90 4.80 5.38 5.27 5.17 5.06 4.95 4.84 5.44 5.33 5.22 5.11 5.00 4.98 5.50 5.38 5.27 5.15 5.04 4.93 5.55 5.43 5.32 5.20 5.09 4.97 5.59 5.48 5.36 5.24 5.13 5.01 00 -..] 3 ~L- ~:: 658 APÉNDICE IX. Valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un controla do.os(a -1, f) Comparaciones de dos colas a -1 = número demedias de tratamientos (sin incluir el control) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 3.03 2.86 2.75 2.67 2.61 3.29 3.10 2.97 2.88 2.81 3.48 3.26 3.12 3.02 2.95 3.62 3.39 3.24 3.13 3.05 3.73 3.49 3.33 3.22 3.14 3.82 3.57 3.41 3.29 3.20 3.90 3.64 3.47 3.35 3.26 3.97 3.71 3.53 3.41 3.32 10 11 12 13 14 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 2.57 2.53 2.50 2.48 2.46 2.76 2.72 2.68 2.65 2.63 2.89 2.84 2.81 2.78 2.75 2.99 2.94 2.90 2.87 2.84 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 3.14 3.08 3.04 3.00 2.97 3.19 3.14 3.09 3.06 3.02 3.24 3.19 3.14 3.10 3.07 15 16 17 18 19 2.13 2.12 2.11 2.10 2.09 2.44 2.42 2.41 2.40 2.39 2.61 2.59 2.58 2.56 2.55 2.73 2.71 2.69 2.68 2.66 2.82 2.80 2.78 2.76 2.75 2.89 2.87 2.85 2.83 2.81 2.95 2.92 2.90 2.89 2.87 3.00 2.97 2.95 2.94 2.92 3.04 3.02 3.00 2.98 2.96 20 24 30 40 60 2.09 2.06 2.04 2.02 2.00 2.38 2.35 2.32 2.29 2.27 2.54 2.51 2.47 2.44 2.41 2.65 2.61 2.58 2.54 2.51 2.73 2.70 2.66 2.62 2.58 2.80 2.76 2.72 2.68 2.64 2.86 2.81 2.77 2.73 2.69 2.90 2.86 2.82 2.77 2.73 2.95 2.90 2.86 2.81 2.77 120 1.98 1.96 2.24 2.21 2.38 2.35 2.47 2.44 2.55 2.51 2.60 2.57 2.65 2.61 2.69 2.65 2.73 2.69 f 00 f = grados de libertad aReproducida co~permiso de c.w. Dunnett, "New Thbles for Multip1e Comparison with a Control", Biometrics, vol. 20, no. 3, y de C.w. Dunnett, '1\ Multip1e Comparison Procedure for Comparing Severa! 1Teatments with a Control",Joumal oftheAmerican StatisticalAssociation, vol. SO ti APÉNDICE IX. Valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un controla do .01 (a -1, f) Comparaciones de dos colas (continuación) a - 1 = número de medias de tratamientos (sin incluir el control) f 2 3 4 5 6 7 8 9 5.80 5.20 4.82 4.56 5.89 5.28 4.89 4.62 4.43 5 6 7 8 9 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 4.63 4.21 3.95 3.77 3.63 4.98 4.51 4.21 4.00 3.85 5.22 4.71 4.39 4.17 4.01 5.41 4.87 4.53 4.29 4.12 5.56 5.00 4.64 4.40 4.22 5.69 5.10 4.74 4.48 4.30 10 11 12 13 14 3.17 3.11 3.05 3.01 2.98 3.53 3.45 3.39 3.33 3.29 3.74 3.65 3.58 3.52 3.47 3.88 3.59 3.99 3.89 3.81 3.74 3.69 4.08 3.98 3.89 3.82 3.76 4.16 4.05 3.96 3.89 3.83 3.94 3.88 4.28 4.16 4.07 3.99 3.93 15 16 17 18 19 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 3.25 3.22 3.19 3.17 3.15 3.43 3.39 3.36 3.33 3.31 3.55 3.51 3.47 3.44 3.42 3.64 3.60 3.56 3.53 3.50 3.71 3.67 3.63 3.60 3.57 3.78 3.73 3.69 3.66 3.63 3.83 3.78 3.74 3.71 3.68 3.88 3.83 3.79 3.75 3.72 20 24 30 40 60 2.85 2.80 2.75 2.70 2.66 3.13 3.07 3.01 2.95 2.90 3.29 3.22 3.15 3.09 3.03 3.40 3.32 3.25 3.19 3.12 3.48 3.40 3.33 3.26 3.19 3.55 3.47 3.39 3.32 3.25 3.60 3.52 3.44 3.37 3.29 3.65 3.57 3.49 3.41 3.33 3.69 3.61 3.52 3.44 3.37 120 2.62 2.58 2.85 2.79 2.97 2.92 3.06 . 3.00 3.12 3.06 3.18 3.11 3.22 3.15 3.26 3.19 3.29 3.22 00 3.79 3.71 3.65 4.37 4.22 4.11 4.02 do.os (a -1, f) Comparaciones de una cola a -1 f = número de medias de tratamientos (sin incluir el control) 2 3 4 5 6 7 8 9 2.02 1.94 1.89 1.86 1.83 2.44 2.34 2.27 2.22 2.18 2.68 2.56 2.48 2.42 2.37 2.85 2.71 2.62 2.55 2.50 2.98 2.83 2.73 2.66 2.60 3.08 2.92 2.82 2.74 2.68 3.16 3.00 2.89 2.81 2.75 3.24 3.07 2.95 2.87 2.81 3.30 3.12 3.01 2.92 2.86 10 11 12 13 14 1.81 1.80 1.78 2.15 2.13 2.11 2.34 2.31 2.29 2.56 2.53 2.50 2.09 2.08 2.27 2.25 2.37 2.64 2.60 2.58 2.55 2.53 2.70 2.67 2.64 2.61 2.59 2.76 1.77 1.76 2.47 2.44 2.41 2.39 2.72 2.69 2.66 2.64 2.81 2.77 2.74 2.71 2.69 15 16 17 18 19 1.75 1.75 1.74 1.73 1.73 2.07 2.06 2.05 2.04 2.03 2.24 2.23 2.22 2.21 2.20 2.36 2.34 2.33 2.32 2.31 2.51 2.50 2.49 2.48 2.47 2.57 2.56 2.54 2.53 2.52 2.62 2.61 2.59 2.58 2.57 20 1.72 1.71 1.70 1.68 1.67 2.03 2.01 1.99 1.97 1.95 2.19 2.17 2.15 2.13 2.10 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.33 2.31 2.28 2.46 2.43 2.40 2.37 2.35 2.51 2.48 2.45 2.42 2.39 2.56 2.53 2.50 2.47 2.44 2.60 2.57 2.54 2.51 2.48 1.66 1.64 1.93 1.92 2.08 2.06 2.18 2.16 2.26 2.23 2.32 2.29 2.37 2.34 2.41 2.38 2.45 2.42 5 6 7 8 9 24 30 40 60 120 00 2.48 2.46 2.44 2.43 2.42 2.41 2.40 2.39 2.36 2.67 2.65 2.64 2.62 2.61 659 660 APÉNDICE IX. Valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un control d o.ol (a -1, f) Comparaciones de una cola (continuación) a -1 f = número de medias de tratamientos (sin incluir el control) 2 3 4 5 6 7 8 9 4.21 3.88 3.66 3.51 3.40 4.43 4.07 3.83 3.67 3.55 4.60 4.21 3.96 3.79 3.66 4.73 4.33 4.07 3.88 3.75 4.85 4.43 4.15 3.96 3.82 4.94 4.51 4.23 4.03 3.89 5.03 4.59 4.30 4.09 3.94 5 6 7 8 9 2.90 2.82 3.90 3.61 3.42 3.29 3.19 10 11 12 13 14 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 3.11 3.06 3.01 2.97 2.94 3.31 3.25 3.19 3.15 3.11 3.45 3.38 3.32 3.27 3.23 3.56 3.48 3.42 3.37 3.32 3.64 3.56 3.50 3.44 3.40 3.71 3.63 3.56 3.51 3.46 3.78 3.69 3.62 3.56 3.51 3.83 3.74 3.67 3.61 3.56 15 16 17 18 19 2.60 2.58 2.57 2.55 2.54 2.91 2.88 2.86 2.84 2.83 3.08 3.05 3.03 3.01 2.99 3.20 3.17 3.14 3.12 3.10 3.29 3.26 3.23 3.21 3.18 3.36 3.33 3.30 3.27 3.25 3.42 3.39 3.36 3.33 3.31 3.47 3.44 3.41 3.38 3.36 3.52 3.48 3.45 3.42 3.40 20 24 30 40 . 60 2.53 2.49 2.46 2.42 2.39 2.81 2.77 2.72 2.68 2.64 2.97 2.92 2.87 2.82 2.78 3.08 3.03 2.97 2.92 2.87 3.17 3.11 3.05 2.99 2.94 3.23 3.17 3.11 3.05 3.00 3.29 3.22 3.16 3.10 3.04 3.34 3.27 3.21 3.14 3.08 3.38 3.31 3.24 3.18 3.12 120 2.36 2.33 2.60 2.56 2.73 2.68 2.82 2.77 2.89 2.84 2.94 2.89 2.99 2.93 3.03 2.97 3.06 3.00 00 3.37 3.14 ~.OO X. n=3 " 2: Coeficientes de polinomios ortogonales" n=4 n=6 n=5 Xj PI P2 PI P2 P3 PI P2 P3 P4 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 -2 1 -3 -1 1 3 1 -1 -1 1 -1 3 -3 1 -2 1 2 -1 -2 -1 2 -1 2 -5 1 -3 -4 -1 6 -4 . 1 1 3 5 O 1 {p¡(XjW O 1 2 O -2 1 PI n=7 P2 P3 P4 Ps PI P2 P3 P4 Ps 5 -1 -4 -4 -1 5 -5 7 4 -4 -7 5 1 -3 2 2 -3 1 -1 5 -3 -2 -1 5 -1 1 1 -1 4 -5 5 -1 -1 1 3 -7 1 6 1 -7 3 5 -4 1 1 -6 15 -20 15 '" -:;:6 1 28 84 6 154 84 924 1 1 (; 2 6 20 4 20 10 14 10 70 70 84 1 3 2 1 10 "3 1 1 S (; i2 35 2 2 -10 10 -3 -4 -3 O -5 1 28 180 O 252 1 2 3 O O O P6 j~1 A n= 8 3 2: Tü 12 7 1 7 20 T2 n = 10 n=9 Xj PI P2 P3 P4 Ps P6 PI P2 P3 P4 Ps P6 PI P2 P3 P'I Ps P6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 7 1 -3 -5 -5 -3 1 7 -7 5 7 3 -3 -7 -5 7 7 -13 -3 9 9 -3 -13 7 -7 23 -17 -15 15 17 -23 7 1 -5 9 -5 -5 9 -5 1 -4 -3 -2 -1 28 7 -8 -17 -20 -17 -8 7 28 -14 7 13 9 14 -21 -4 -4 -9 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 6 2 -1 -3 -4 -4 -3 -1 2 6 -42 14 35 31 12 -12 -31 -35 -14 42 18 -22 -17 3 18 18 3 -17 -22 18 -6 14 -1 -11 -11 4 -17 22 1 -20 1 22 -17 4 1980 330 132 8580 11 2 2 O 1 2 3 4 O -9 -13 -7 14 9 18 9 -11 -21 14 11 O 9 4 -11 4 10 " 21 7 S 3 {P¡(X)}2 168 168 264 2 1 3 616 2184 264 60 2772 990 11 1 3 (; 2002 468 -11 -6 6 3 10 6 -8 -8 11 6 1 -14 6 10 -11 2860 ·780 660 3 j~1 A 1 7 12 7 Tü 60 s 7 12 3 W 60 I S 3 "Adaptada con penniso de Biometrika Tables for Statisticians, vol. 1, 3a. ed., E.S. Pearson y H.O. Hartley, Cambridge University Press, Cambridge 0\ 0\ ~ S 12 I TO 11 í40 77 60 662 APÉNDICE XI. Números aleatoriosa 10480 22368 24130 42167 37570 15011 46573 48360 93093 39975 01536 25595 22527 06243 81837 02011 85393 97265 61680 16656 87647 30995 76393 07856 06121 91646 89198 64809 16376 91782 69179 27982 15179 39440 60468 14194 53402 24830 53537 81305 62590 93965 49340 71341 49684 77921 99562 96301 89579 85475 06907 72905 91977 14342 36857 11008 56420 05463 63661 53342 42751 69994 07972 10281 53988 27756 98872 18876 17453 53060 53498 31016 20922 18103 59533 18602 71194 94595 57740 38867 70659 18738 56869 84378 62300 90655 44013 69014 25331 08158 28918 63553 09429 10365 07119 69578 40961 93969 61129 97336 88231 48235 52636 87529 71048 33276 03427 92737 85689 08178 70997 49626 88974 48237 77233 79936 69445 33488 52267 13976 56865 18663 36320 67689 47564 05859 72695 17617 93394 81056 90106 52180 30015 01511 97735 51085 02368 01011 52162 07056 12765 21382 54092 53916 97628 51821 52404 33362 46369 33787 51259 60268 94904 58586 09998 77452 89368 31273 23216 42698 16308 19885 04146 14513 06691 60756 55322 18594 83149 76988 92144 44819 29852 98736 13602 49442 01188 71585 23495 51851 48663 54164 32639 29334 02488 91245 58492 32363 27001 33062 85828 22421 05597 87637 28834 14346 74103 24200 87308 07351 09172 47070 13363 58731 19731 30168 25306 38005 00256 92420 90229 76468 94342 45834 60952 04734 26384 28728 15398 61280 59193 58151 35806 46557 50001 81525 29676 00742 05366 91921 72295 20591 57392 04213 26418 04839 68086 39064 25669 64117 96423 26432 66432 26422 94305 24878 46901 84673 44407 26766 82651 20849 40027 44048 25940 66566 89768 32832 37937 39972 14778 81536 61362 63904 22209 76797 86645 98947 45766 71500 00582 00725 69011 25976 09763 04711 69884 65795 57948 83473 87917 62797 95876 29888 73577 77341 56170 55293 88604 12908 42206 86324 18988 67917 30883 35126 88072 27354 48708 18317 74087 76222 26575 18912 28290 99547 36086 08625 82271 35797 81817 84637 40801 65424 05998 91567 17955 46503 92157 14577 42595 56349 18584 89634 62765 27958 90999 18845 94824 35605 30134 49127 49618 78171 81263 04024 20044 02304 84610 39667 86385 59931 51038 82834 47358 29880 06115 20655 09922 56873 99730 20542 58727 25417 56307 55536 18059 28168 44137 67607 aReproducida con permiso de Probability and Statistics in Engineering and Management Science, 3a. ed., Hines y D.C. Montgomery, Wiley, Nueva York w.w. 1 APÉNDICE XlI. 663 Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k -p con k :5 15 Yn :5 64 Diseños con 3 factores a) 23- 1; fracción 1/2 de 3 factores en 4 corridas Resolución ID Generadores del diseño C=AB Relación de definición: Alias 1 = ABC A=BC B=AC C=AB Diseños con 4 factores b) 24-1; fracción 1/2 de 4 factores en 8 corridas Resolución IV Generadores del diseño D=ABC Relación de definición: 1 = ABCD Alias A = BCD B=ACD C=ABD D=ABC AB=CD AC=BD AD=BC Diseños con 5 factores e) 25- 2; fracción 1/4 de 5 factores en 8 corridas Resolución 111 Generadores del diseño D=AB E=AC Relación de definición: 1 = ABD Alias = ACE = BCDE A=BD=CE B=AD=CDE C=AE=BDE D=AB=BCE E=AC=BCD BC = DE = ACD = ABE CD = BE = ABC = ADE d) 25- 1; fracción 1/2 de 5 factores en 16 corridas Resolución V Generadores del diseño E=ABCD Relación de definición: 1 = ABCDE Alias Cada efecto principal es alias de una sola interacción de 4 factores AB=CDE AC=BDE AD=BCE AE=BCD BC=ADE BD=ACE BE=ACD CD=ABE CE=ABD DE=ABC 2 bloques de 8: 0\ 0\ ...¡::,.. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2'<-P con k :5 15 Yn :5 64 (continuación) Diseños con 6 factores e) 26-3; fracción 1/8 de 6 factores en 8 corridas Generadores del diseño D=AB E=AC F=BC Relación de definición: 1 = ABD = ACE = BCDE = BCF = ACDF = ABEF = DEF Alias A = BD = CE = CDF = BEF E = AC = DF = BCD = ABF B = AD = CF = CDE = AEF F = BC = DE = ACD = ABE C = AE = BF = BDE = ADF CD = BE = AF = ABC = ADE = BDF = CEF D = AB = EF = BCE = ACF Xll. f) 26-2; fracción 1/4 de 6 factores Resolución ID Resolución IV en 16 corridas Generadores del diseño E=ABC F=BCD Relación de definición: 1 = ABCE = BCDF = ADEF Alias A=BCE=DEF AB=CE B=ACE=CDF AC=BE C=ABE=BDF AD=EF AE=BC=DF D=BCF=AEF E=ABC=ADF AF=DE BD=CF F=BCD=ADE ABD = CDE = ACF = BEF BF=CD ACD = BDE = ABF = CEF 2 bloques de 8: ABD = CDE = ACF = BEF g) 26-1; fracción 1/2 de 6 factores en 32 corridas Resolución VI Generadores del diseño F=ABCDE Relación de definición: 1 = ABCDEF Alias Cada efecto principal es alias de una sola interacción de 5 factores. Cada interacción de 2 factores es alias de una sola interacción de 4 factores ABC = DEF ACE = BDF ABD = CEF ACF = BDE ABE = CDF ADE = BCF ABF = CDE ADF = BCE ACD = BEF AEF = BCD 2 bloques de 16:ABC = DEF 4 bloques de 8: AB = CDEF ACD=BEF AEF=BCD <l\ Diseños con 7 factores h) 27-4; fracción 1/16 de 7 factores en 16 corridas Relación de definición: Resolución ID Generadores del diseño D=AB E=AC F=BC G=ABC 1 = ABD = ACE = BCDE = BCF = ACDF = ABEF = DEF = ABCG = CDG = BEG = ADEG = AFG = BDFG = CEFG = ABCDEFG Alias A=BD=CE=FG E=AC=DF=BG B=AD=CF=EG F=BC=DE=AG C=AE=BF=DG G=CD=BE=AF D=AB=EF=CG 0\ 0\ \JI 0\ 0\ 0\ xn. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k-p con k :5 15 Yn :5 64 (continuación) i) 27- 3; fracción 1/8 de 7 factores Resolución IV en 16 corridas Generadores del diseño E.=ABC F=BCD G=ACD Relación de definición: 1 = ABCE = BCDF = ADEF = ACDG = BDEG = ABFG = CEFG Alias A = BCE = DEF = CDG = BFG AB = CE = FG E = ABC = ADF = BDG = CFG AF=DE=BG B = ACE = CDF = DEG = AFG AC = BE = DG F = BCD = ADE = ABG = CEG AG=CD=BF C=ABE=BDF=ADG=EFG AD=EF=CG G=ACD=BDE=ABF=CEF BD=CF=EG D = BCF = AEF = ACG = BEG AE = BC = DF ABD = CDE = ACF = BEF = BCG = AEG = DFG 2 bloques de 8: ABD = CDE = ACF = BEF = BCG = AEG = DFG . j) 27- 2; fracción 1/4 de 7 factores en 32 corridas Generadores del diseño F=ABCD G=ABDE Relación de definición: 1 = ABCDF = ABDEG = CEFG Alias A= AB=CDF=DEG BC=ADF CE=FG ACE=AFG B= AC=BDF BD=ACF=AEG CF=ABD=EG ACG=AEF C=EFG AD=BCF=BEG BE=ADG CG=EF BCE = BFG D= AE=BDG BF=ACD DE=ABG BCG=BEF E=CFG AF = BCD BG=ADE DF=ABC CDE=DFG F=CEG AG=BDE CD=ABF DG=ABE CDG=DEF G=CEF 2 bloques de 16:ACE =AFG 4 bloques de 8:ACE =AFG BCE=BFG AB = CDF=DEG Resolución IV k) 27- 1; fracción 1/2 de 7 factores Resolución VD en 64 corridas Generadores del diseño G=ABCDEF Relación de definición: 1 = ABCDEFG Alias Cada efecto principal es alias de una sola interacción de 6 factores Cada interacción de 2 factores es alias de una sola interacción de 5 factores Cada interacción de 3 factores es alias de una sola interacción de4 factores 4 bloques de 16: ABC 2 bloques de 32: ABC CEF CDG Diseños con 8 factores 1) 28-4; fracción 1/16 de 8 factores en 16 corridas Resolución IV Relación de definición: Generadores del diseño E=BCD F=ACD G=ABC H=ABD 1 = BCDE = ACDF = ABEF = ABCG = ADEG = BDFG = CEFG = ABDH = ACEH = BCFH = DEFH = CDGH = BEGH = AFGH = ABCDEFGH Alias A = CDF = BEF = BCG = DEG = BDH = CEH = FGH B = CDE = AEF = ACG = DFG = ADH = CFH = EGH C = BDE = ADF = ABG = EFG = AEH = BFH = DGH D = BCE = ACF = AEG = BFG = ABH = EFH = CGH E = BCD = ABF = ADG = CFG = ACH = DFH = BGH F = ACD = ABE = BDG = CEG = BCH = DEH = AGH G=ABC=ADE=~F=crF=rnH=~H=AFH H 0\ 0\ ---:t ~ = ABD = ACE = BCF = DEF = CDG = BEG = AFG 2 bloques de 8: AB = EF = CG = DH AB=EF=CG=DH AC=DF=BG=EH AD=CF=EG=BH AE=BF=DG=CH AF=CD=BE=GH AG=BC=DE=FH AH =BD=CE=FG 0\ 0\ 00 XII. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2"-P con k :5 15 Y n :5 64 (continuación) In) 28-3; fracción 1/8 de 8 factores en 32 corridas Generadores del diseño F=ABC G=ABD H=BCDE Relación de definición: 1 = ABCF = ABDG = CDFG = BCDEH = ADEFH = ACEGH = BEFGH Alias A=BCF=BDG AE=DFH=CGH DE=BCH=AFH B=ACF=ADG AF=BC=DEH DH=BCE=AEF C=ABF=DFG AG=BD=CEH EF=ADH=BGH D=ABG=CFG AH = DEF = CEG EG=ACH=BFH E= BE=CDH=FGH EH = BCD = ADF = ACG = BFG F=ABC=CDG BH =CDE=EFG FH=ADE=BEG G=ABD=CDF CD=FG=BEH GH=ACE=BEF H= CE=BDH=AGH ABE = CEF = DEG AB=CF=DG CG=DF=AEH ABH = CFH = DGH AC=BF=EGH CH=BDE=AEG ACD = BDF = BCG = AFG AD=BG=EFH 2 bloques de 16:ABE = CEF = DEG 4 bloques de 8: ABE = CEF = DEG ABH = CFH = DGH EH = BCD =ADF =ACG = BFG Resolución IV ~ n) 28-2; fracción 1/4 de 8 factores en 64 corridas Resolución V Generadores del diseño G=ABCD H=ABEF Relación de definición: 1 = ABCDG = ABEFH = CDEFGH Alias AB=CDG=EFH BG=ACD EF=ABH ADH= BFG= AC=BDG BH=AEF EG= AEG= BGH= AD = BCG CD = ABG EH = ABF AFG = CDE = FGH AE=BFH CE= FG= AGH= CDF=EGH AF=BEH CF= FH=ABE BCE= CDH=EFG AG=BCD CG=ABD GH= BCF= CEF=DGH AH=BEF CH= ACE= BCH= CEG=DFH BC=ADG DE= ACF= BDE= CEH=DFG BD=ACG DF= ACH= BDF= CFG=DEH BE = AFH DG = ABC ADE = BDH = CFH = DEG BF=AEH DH= ADF= BEG= CGH=DEF 2 bloques de 32: CDE 0\ 0\ \O = FGH 4 bloques de 16: CDE = FGH ACF BDH 'Il\ 0'1 -...l o xn. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k..¡, con k :5 15 Yn :5 64 (continuación) Diseños con 9 factores o) 29-5; fracción 1/32 de 9 factores Resolución ID en 16 corridas Generadores del diseño E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD Relación de definición: 1 = ABCE = BCDF = ADEF = ACDG = BDEG = ABFG = CEFG = ABDH = CDEH = ACFH = BEFH = BCGH = AEGH = DFGH = ABCDEFGH = ABCDJ = DEl = AFJ = BCEFJ = BGJ = ACEGJ = CDFGJ = ABDEFGJ = CHJ = ABEHJ = BDFHJ = ABCDEFHJ = ADGHJ = BCDEFGHJ = ABCFGHJ = EFGHJ Alias A=FJ B=GJ C=HJ D=El E=DJ F=AJ G=BJ H=CJ J=DE=AF=BG=CH AB=CE=FG=DH AC=BE=DG=FH AD=EF=CG=BH AE=BC=DF=GH AG=CD=BF=EH AH=BD=CF=EG 2 bloques de 8: AB = CE = FG = DH -J p) 29-4; fracción 1/16 de 9 factores en 32 corridas Resolución IV Generadores del diseño F=BCDE G=ACDE H=ABDE J=ABCE Relación de definición: 1 = BCDEF = ACDEG = ABFG = ABDEH = ACFH = BCGH = DEFGH = ADFJ = BDGJ = CEFGJ = CDHJ = BEFHJ = AEGHJ = ABCDFGHJ = ABCEl Alias A = BFG = CFH = DFJ B=AFG=CGH =DGJ C = AFH = BGH = DHJ D = AFJ = BGJ = CHJ E= F = ABG = ACH = ADJ G = ABF = BCH = BDJ H = ACF = BCG = CDJ J = ADF = BDG = CDH AB = FG = DEH = CEl AC = DEG = FH = BEl AD = CEG = BEH = FJ AE = CDG = BDH = BCJ = GHJ AF=BG =CH =DJ AG=CDE=BF=EHJ AH = BDE = CF = EGJ AJ=BCE=DF=EGH BC = DEF = GH = AEJ BD = CEF = AEH = GJ BE = CDF = ADH = ACJ = FHJ BH = ADE = CG = EFJ 2 bloques de 16:AEF = BEG 0'1 -J 1-' = CEH = DEJ BJ=ACE=DG=EFH CD = BEF = AEG = HJ CE = BDF = ADG = ABJ = FGJ CJ = ABE = EFG = DH DE = BCF = ACG = ABH = FGH EF = BCD = DGH = CGJ = BHJ EG = ACD = DFH = CFJ = AHJ EH = ABD = DFG = BFJ = AGJ El = ABC = CFG = BFH = AGH AEF = BEG = CEH = DEl 4 bloques de 8: AEF = BEG = CEH = DEl AB = FG = DEH = CEl CD =BEF=AEG =HJ 'ilt 0\ --..) N xn. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k-l' con k ~ 15 y n ~ 64 (continuación) q) 2 fracción 1/8 de 9 factores en 64 corridas 9- 3 ; Resolución IV Generadores del diseño G=ABCD H=ACEF J=CDEF Relación de definición: I = ABCDG = ACEFH = BDEFGH = CDEFJ = ABEFGJ = ADHJ = BCGHJ Alias A=DHJ AC=BDG=EFH BF= B= AD=BCG=HJ BG=ACD=CHJ AE=CFH C= BH=CGJ D=AHJ AF=CEH BJ=CGH AG=BCD E= CD=ABG=EFJ F= AH=CEF=DJ CE=AFH=DFJ AJ=DH G= CF=AEH=DEJ H=ADJ BC=ADG=GHJ CG= ABD = BHJ J=ADH BD=ACG CH=AEF=BGJ AB=CDG BE= CJ=DEF=BGH DE=CFJ GJ=BCH AFJ = BEG = DFH DF=CEJ ABE=FGJ AGH=DGJ DG=ABC ABF=EGJ AGJ = BEF = DGH EF=ACH=CDJ ABH=BDJ BCE= EG= ABJ = EFG = BDH BCF= EH=ACF ACJ = CDH BDE = FGH EJ=CDF ADE = EHJ BDF = EGH FG= ADF=FHJ BEH=DFG FH=ACE AEG=BFJ BFG=DEG FJ=CDE AEJ = BFG = DEH CEG= GH=BCJ AFG=BEJ CFG= 2 bloques de 32: CFG 4 bloques de 16: CFG AGJ = BEF = DGH ADE=EHJ j Diseños con 10 factores r) 2 0-6; fracción 1/64 de 10 factores 1 Resolución ID en 16 corridas Generadores del diseño E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB Relación de definición: 1 = ABCE = BCDF = ADEF = ACDG = BDEG = ABFG = CEFG = ABDH = CDEH = ACFH = BEFH = BCGH = AEGH = DFGH = ABCDEFGH = ABCDJ = DEl = AFJ = BCEFJ = BGJ = ACEGJ = CDFGI = ABDEFGJ = CHJ = ABEHJ = BDFHJ = ACDEFHJ = ADGHJ = BCDEGHJ = ABCFGHJ = EFGHJ = ABK = CEK = ACDFK = BDEFK = BCDGK = ADEGK = FGK = ABCEFGK = DHK = ABCDEHK = BCFHK = AEFHK = ACGKH = BEGHK = ABDFGHK = CDEFGHK = CDJK = ABDElK = BFJK = ACEFJK = AGJK = BCEGJK = ABCDFGJK = DEFGJK = ABCHJK = EHJK = ADFHJK = BCDEFHJK = BDGHJK = ACDEGHJK = CFGHJK = ABEFGHJK A=FJ=BK B=GJ=AK C=HJ=EK D=El=HK E=DJ=CK F=AJ=GK G=BJ=FK H=CJ=DK Alias J = DE = AF = BG = CH K = AB = CE = FG = DH AC=BE=DG=FH AD=EF=CG=BH AE=BC=DF=GH AG = CD = BF = EH = JK AH=BD=CF=EG 2 bloques de 8: AG 0'\ --.J (,,¡J = CD = BF = EH = JK . 0\ --.] ...¡::.. XII. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k-p con k s) fracción 1132 de 10 factores en 32 corridas Generadores del diseño :5 15 Yn :5 64 (continuación) 2 10-5; F=ABCD G=ABCE H=ABDE J=ACDE K=BCDE Relación de definición: 1 = ABCDF = ABCEG = DEFG = ABDEH = CEFH = CDGH = ABFGH = ACDE! = BEFJ = BDGJ = ACFGJ = BCHJ = ADFHJ = AEGHJ = BCDEFGHJ = BCDEK = AEFK = ADGK = BCFGK = ACHK = BDFHK = BEGHK = ACDEFGHK = ABJK = CDFJK = CEGJK = ABDEFGJK = DEHJK = ABCEFHJK = ABCDGHJK = FGHJK Alia's AH = BDE = BFG = DFJ = EGJ = CK A = EFK = DGK = CHK = BJK Al = CDE = CFG = DFH = EGH = BK B = EFJ = DGJ = CHJ = AlK C = EFH = DGH = BHJ = AHK AK = EF = DG = CH = BJ D = EFG = CGH = BGJ = AGK BC = ADF = AEG = HJ = DEK = FGK E=DFG=CFH =BFJ=AFK BD = ACF = AEH = GJ = CEK = FHK F = DEG = CEH = BE! = AEK BE = ACG = ADH = FJ = CDK = GHK G = DEF = CDH = BDJ = ADK BF = ACD = AGH = E! = CGK = DHK H = CEF = CDG = BCJ = ACK BG = ACE = AFH = DJ = CFK = EHK J = BEF = BDG = BCH = ABK BH = ADE = AFG = CJ = DFK = EGK K = AEF = ADG = ACH = ABJ CD = ABF = GH = AET = BEK = FJK CE = ABG = FH = ADJ = BDK = GJK AB = CDF = CEG = DEH = FGH = JK CF = ABD = EH = AGJ = BGK = DJK AC = BDF = BEG = DE! = FGJ = HK CG=ABE=DH =AFJ =BFK =ElK AD = BCF = BEH = CE! = FHJ = GK AE = BCG = BDH = CDJ = GHJ = FK DE = FG = ABH = ACJ = BCK = HlK AF = BCD = BGH = CGJ = DHJ = EK DF = ABC = EG = AHl = BHK = CJK AG = BCE = BFH = CFJ = EHJ = DK 2 bloques de 16: AK = EF = DG = CH = Bl 4 bloques de 8:AK = EF = DG = CH = Bl Al = CDE = CFG = DFH = EGH = BK AB = CDF = CEG = DEH = FGH = lK Resolución IV Resolución IV t) 210-4; fracción 1/16 de 10 factores en 64 corridas Generadores del diseño G=BCDF H=ACDF J=ABDE K=ABCE Relación de definición: 1 = BCDFG = ACDFH = ABGH = ABDEl = ACEFGJ = BCEFHJ = DEGHJ = ABCEK = ADEFGK = BDEFHK = CEGHK = CDJK = BFGJK = AFHJK = ABCDGHJK A=BGH B=AGH C=DJK D=CJK E= F= G=ABH H=ABG J=CDK K=CDJ AB=GH=DEJ=CEK AC=DFH=BEK EF= EG = DHJ = CHK EH = DGJ = CGK El = ABD = DGH EK = ABC = CGH FG = BCD = BJK FH = ACD = AJK FJ = BGK = AHK FK = BGJ = AHJ Alias AD=CFH=BEl AE=BDJ=BCK AF=CDH=HJK AG=BH AH=CDF=BG=FJK AJ=BDE=FHK AK=BCE=FHJ BC=DFG=AEK BD=CFG=AEJ BE=ADJ=ACK BF=CDG=GJK BJ=ADE=FGK GJ=DEH=BFK GK = CEH = BFJ HJ = DEG = AFK HK = CEG = AFJ ABF = FGH ACG = BCH = EFJ ACJ = EFG = ADK ADG = BDH = EFK AEF = CGJ = DGK 2 bloques de 32:AGJ = CEF 0\ --..) U1 = BHJ BK=ACE=FGJ CD=BFG=AFH=JK CE=ABK=GHK CF=BDG=ADH CG = BDF = EHK CH=ADF=EGK CJ=DK CK = ABE = EGH =DJ DE=ABJ=GHJ DF=BCG=ACH DG=BCF=EHJ DH=ACF=EGJ AEG=BEH=CFJ=DFK AEH = BEG AFG = BFH = CEl = DEK AGJ = CEF = BHJ AGK = DEF = BHK BCJ = EFH = BDK BEF = CHJ = DHK CDE = ElK CFK = DFJ 4 bloques de 16:AGJ = CEF = BHJ AGK = DEF = BHK CD =BFG =AFH=JK ... 0'1 -...J 0'1 XII. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2t(p con k :5 15 Yn :5 64 (continuación) Diseños con 11 factores u) 211- 7; fracción 1/128 de 11 factores en 16 corridas Resolución ID Generadores del diseño E=ABC F=BCD G=ACD H=ABD J=ABCD K=AB L=AC Relación de definición: 1= ABCE = BCDF = ADEF= ACDG = BDEG = ABFG = CEFG = ABDH = CDEH = ACFH = BEFH = BCGH = AEGH = DFGH = ABCDEFGH = ABCDJ = DEl = AFJ = BCEFJ = BGJ = ACEGJ = CDFGJ = ABDEFGJ = CHJ = ABEHJ = BDFHJ = ACDEFHJ = ADGHJ = BCDEGHJ = ABCFGHJ = EFGHJ = ABK = CEK = ACDFK = BDEFK = BCDGK = ADEGK = FGK = ABCEFGK = DHK = ABCDEHK = BCFHK = AEFHK = ACGHK = BEGHK = ABDFGHK = CDEFGHK = CDJK = ABDElK = BFJK = ACEFJK = AGJK = BCEGJK = ABCDFGJK = DEFGJK = ABCHJK = EHJK = ADFHJK = BCDEFHJK = BDGHJK = ACDEGHJK = CFGHJK = ABEFGHJK = ACL = BEL = ABDFL = CDEFL = DGL = ABCDEGL= BCFGL = AEFGL = BCDHL - = ADEHL = FHL = ABCEFHL = ABGHL = CEGHL = ACDFGHL = BDEFGHL = BDJL = ACDElL = CFJL = ABEFJL =ABCGJL = EGJL = ADFGJL = BCDEFGJL = AHJL = BCEHJL = ABCDFHJL = DEFHJL = CDGHJL = ABDEGHJL = BFGHJL = ACEFGHJL = BCKL = AEKL = DFKL = ABCDEFKL = ABDGKL = CDEGKL = ACFGKL = BEFGKL = ACDHKL = BDEHKL = ABFHKL = CEFHKL = GHKL = ABCEGHKL = BCDFGHKL = ADEFGHKL = ADJKL = BCDElKL = ABCFJKL = EFJKL = CGJKL = ABEGJKL = BDFGJKL = ACDEFGJKL = BHJKL = ACEHJKL = CDFHJKL = ABDEFHJKL = ABCDGHJKL = DEGHJKL = AFGHJKL = BCEFGHJKL A=FJ=BK =CL B=GJ=AK=EL C=HJ=EK=AL D=El=HK=GL E=DJ=CK=BL F=AJ=GK=HL G=BJ=FK=DL H=CJ=DK=FL 2 bloques de 8:AE Alias J=DE=AF=BG=CH K = AB = CE = FG = DH L=AC=BE=DG=FH AD=EF=CG=BH AE = BC = DF = GH = KL AG = CD = BF = EH = JK AH = BD = CF = EG = JL = BC = DF = GH = KL j v) 211--{j; fracción 1/64 de 11 factores en 32 corridas Resolución IV Generadores del diseño F=ABC G=BCD H=CDE J=ACD K=ADE L=BDE Relación de definición: 1 = ABCF = BCDG = ADFG = CDEH = ABDEFH = BEGH = ACEFGH = ACDJ = BDFJ == ABGJ = CFGJ =AEHJ=BCEFHJ=ABCDEGHJ=DEFGHJ=ADEK=BCDEFK=ABCiGK=EFGK=ACHK=BFHK = ABDGHK = CDFGHK = CElK = ABEFJK = BDEGJK = ACDEFG.JK = DHJK == ABCDFHJK = BCGHJK = AFGHJK = BDEL = ACDEFL = CEGL == ABEFGL = BCHL = AFHL = DGHL = ABCDFGHL = ABCEJL = EFJL = ADEGJL = BCDEFGJL = ABDHJL = CDFHJL = ACGHJL = BFGHJL = ABKL = CFKL = ACDGKL = BDFGKL = ABCDEHKL = DEFHKL = AEGHKL = BCEFGHKL = BCDJKL = ADFJKL = GJKL = ABCFGJKL = BEHJKL = ACEFHJKL = CDEGHJKL = ABDEFGHJKL Alias A = BCF = DFG = CDJ = BGJ = EHJ = DEK = CHK = FHL = BKL B = ACF = CDG = EGH = DFJ == AGJ = FHK = DEL = CHL = AKL C = ABF = BDG == DEH = ADJ = FGJ = AHK = ElK = EGL = BHL = FKL D =BCG = AFG = CEH = ACJ = BFJ = AEK = HJK = BEL = GHL E = CDH = BGH = AHJ = ADK = FGK = CJK = BDL = CGL = FJL F = ABC = ADG = BDJ == CGJ = EGK = BHK = AHL = ElL = CKL G = BCD = ADF = BEH = ABJ = CFJ = EFK = CEL = DHL = JKL H = CDE = BEG = AEJ = ACK = BFK = DJK = BCL = AFL = DGL J = ACD= BDF = ABG = CFG = AEH = CEK = DHK = EFL = GKL K = ADE = EFG = ACH = BFH = CEl = DHJ = ABL = CFL = GJL L = BDE = CEG = BCH = AFH = DGH = EPJ = ABK = CFK = GJK AB=cr=W=KL AE=m=~ AH=El=IT=R ~=m=H ~=m=a=H ~=M=lli=~ AF=OC=OO=& N=m=OO=ffl ~=oo=FJ=a cr=~=~==~ AD=FG=CJ=EK AG=DF=BJ AK =DE=CH =BL BE=GH =DL EF=GK =JL ABD = CDF = ACG = BFG == EFH = BCJ =AFJ = DGJ = BEK = G~ = AEL = HJL = DKL ABE = CEF = DFH = AGH = EGJ = BH! = BDK = CGK = F~ = ADL = FGL = CJL = EKL ABH = DEF = AEG = CFH = BEJ = GHJ = BCK = AFK = DGK = ACL = BFL = DJL = HKL ACE = BEF = ADH = FGH = DEl = CHJ = CDK = BGK = EHK = ~ = DFL = AGL = BJL AEF = BCE = DEG = BDH = CGn = FHJ = DFK = AGK = BJK = CDL = BGL = EHL = NL 2 bloques de16: AB = CF = GJ = KL 0'1 -..]. -..] 4 bloques de 8: AB = CF = GJ = KL AD = FG = CJ = EK BD = CG =FJ=EL ... 678 APÉNDICE XII. Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2"-P con k :s; 15 Yn :s; 64 (continuación) Diseños con 12 factores w) 2 -8; fracción 1/256 de 12 factores en 16 corridas 12 Resolución ID Generadores del diseño E=ABC F=ABD G=ACD H=BCD l=ABCD K=AB L=AC M=AD Alias A = Hl = BK = CL = DM B = Gl = AK = EL = FM C = Fl = EK = AL = GM D = El = FK = GL = AM E = Dl = CK = BL = HM F = CJ = DK = HL = BM G = Bl = HK = DL = CM H = Al = GK = FL = EM l=DE=CF=BG=AH K = AB = CE = DF = GH L=AC=BE=DG=FH M=AD=BF=CG=EH AE = BC = FG = DH = KL = 1M AF = BD = EG = CH = lL = KM AG= EF = CD = BH = lK = LM 2 bloques de 8:AE = BC = FG = DH = KL = 1M Diseños con 13 factores x) 2 13- 9 ; fracción 1/512 de 13 factores en 16 corridas Generadores del diseño E=ABC F=ABD G=ACD H=BCD l=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC Alias A = Hl = BK = CL = DM = EN B= Gl = AK = EL = FM = CN C = FJ = EK = AL = GM = BN D=El=FK =GL =AM =HN E = Dl = CK = BL = HM = AN F = CJ = DK = HL = BM = GN G = Bl = HK = DL = CM = FN H = Al = GK = FL = EM = DN 1 = DE = CF = BG = AH = MN K = AB = CE = DF = GH = LN L=AC=BE=DG=FH =KN M = AD = BF = CG = EH = JN N = BC = AE = FG = DH = KL = 1M AF = BD = EG = CH = lL = KM AG = EF = CD = BH = lK = LM 2 bloques de 8:AF = BD = EG = CH = lL = KM Resolución ID APÉNDICE Xli. 679 Relaciones de alias para diseños factoriales fraccionados 2k-p con k :5 15 Yn < 64 (continuación) Diseños con 14 factores y) 214 - 10 ; fracción 1/1024 de 14 Resolución ID factores en 16 corridas Generadores del diseño E=ABC F=ABD G=ACD H=BCD l=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC O=BD Alias A = Hl = BK = CL = DM = EN = FO B = Gl = AK = EL = FM = CN = DO C = Fl = EK = AL = GM = BN = HO D = El = FK = GL = AM = HN = BO E = Dl = CK = BL == HM = AN = GO F = CJ = DK = HL = BM = GN = AO G = Bl = HK = DL = CM = FN = EO H = Al = GK = FL = EM = DN = CO 1 = DE = CF = BG = AH = MN = LO K = AB = CE = DF = GH = LN = MO L = AC = BE = DG = FH = KN = JO M = AD = BF = CG = EH = lN = KO N = BC = AE = FG = DH = KL = 1M 0= BD = AF = EG = CH = lL = KM AG = EF = CD = BH = JK = LM = NO 2 bloques de8:AG =EF = CD =BH=lK=LM=NO Diseños con 15 factores Resolución ID fracción 1/2048 de 15 z) 2 factores en 16 corridas 15 - 11 ; Generadores del diseño E=ABC F=ABD G=ACD H=BCD l=ABCD K=AB L=AC M=AD N=BC O=BD P=CD Alias A = Hl = BK = CL = DM = EN = FO = GP B = Gl ,,; AK = EL = FM = CN = DO = HP C = Fl = EK = AL = GM = BN = HO = DP D = El = FK = GL = AM = HN =BO = CP E = Dl = CK = BL = HM = AN = GO = FP F = CJ = DK = HL = BM = GN = AO = EP G = Bl = HK = DL = CM = FN = EO = AP H = Al = GK = FL = EM = DN = CO = BP 1 = DE = CF = BG = AH = MN = LO = KP K = AB = CE = DF = GH = LN = MO = JP L = AC = BE = DG = FH = KN = JO = MP M =AD = BF = CG = EH = JN = KO = LP N = BC = AE = FG = DH = KL = 1M = OP 0= BD = AF = EG = CH = lL = KM = NP P = CD = EF = AG = BH = lK = LM = NO Glosario. para el uso d.e Design Expert Valor real Precisión adecuada Cuadrado medio ajustado E. cuadrada ajustada Suma de cuadrados ajustada (SS ajustada) Análisis de varianza Estimación del coeficiente Coeficiente de variación Intervalo de confianza Distancia de Cook Total corregido. Suma de los valores de respuesta, corregidos. por la media.. Se. llama com:únInente !¡uma de cuadI'ados totales DF (degrees, of freedom) Grados de libertad' DDF (denominator degrees of freedom) Grados de libertad de.! denominador Diagnostic case statistics Estadí!¡ticos de diagnóstico del caso Término del error E/Tor teml Media estimada Estimated mean Expected mean. square Cuadrado medio esperado Lack offit Falta de ajuste Least squares means, for strength Medias de mínimos cuadrados de la resistencia Acción de palanca. Potencial de lln punto del Leverage diseño para influir en los coeficientes del: ajuste del modelo., Deben evitarse valores cercanos a, uno Mean Media Mean difference Diferencia media Mean square Cuadrado medio Medias de las covariables Means for covl1liates Grados, de libertad, del' numerador NDF (numerator degrees of freedom) Operador fijo, Operatorfixed' Operator' random, Operador aleatorio Outlier t Punto atípico. t 13. cuadrada predicha· Pred 13.-squared Predicted value Valor predicho PRESS (Prediction enw sum of squares) Suma de cuadrados del error de predicción Pure en"Dr Brrorpuro R cuadrada 13.-squared 13.oot MSE (root mean square enw) Raíz cuadrada del cuadrado medio del: errar Seq, SS (sequential SlP11 , of squares) Suma de cuadrados secuencial' Std: Dev. (standard deviation) Desviación estándar Error estándar, Standard enw (SE) SE,of difference (standm:d e/ror of difference) Error estándard de la diferencia Error· estándar de la estimación Std. e/ror of estimation SE mean, (standarde/ror ofthe mean) Error estándar de la media Standard order Orden estándar Residual. de Student Student residual Suma de cuadrados Sum of squares Villiance component Componente de la varianza Tabla XTIl. ActuaI value Adi3q precision Adj MS (adjusted mean square) Adj 13."squared Adj SS (adjusted SUI1.1' of squares) Analysis of vanance Coefficient estimate c.y (coefficient of vqriation) Cl (confidence interval) Cook's distance COl' total (cOlTected fotal) , " Indice Aberración, 326 Aditividad del modelo, de bloques aleatorizados, 136. Ver también Prueba de interacciones (no aditividad) Aleatorización, 12; 13, 61, 126, 148 AlgoriJmo de análisis, para el diseño 2~, 242 Algoritmo de intercambio; 469 Alias; 304 Alias parciales, 344, 380, 383 Análisis canónico, del modelo de superficie de respuesta de sewndo orden, 440 AnáliSis de covarianza, 15, 126, 604 Análisis de residuales, 76, 79, 185, 224, 400; 416, 563 Análisis de varianza, 60, 63, 66 Análisis de varianza, de dos. factores, 177 Análisis: de varianza de un solo factor, 64 Análisis de varianza simple Q; de, una variable, 64 Análisis, interbloques, 161 Análisis intrabloq»es, 161 Arreglo exterior; 491 Arreglo interiOl:,. 49:1; Ascenso más. prOlmnciad(), 227, 430, 435 Aumento del diseño, 409, Ver también S.eparación de alias en las interacciones y Contl'acción de diseños facto" riales fraccionados. Bloque principal; 291, 297, 373. Bloq)les. completos, 127 Bloques incompletos, 154 Cálc)llos. en, d· análisis de; varianza, 70; 72' Cambio, en'. el: efecto· de la media en. una operación. evoluti~ va; (EVOP), 484', 488 Carácter iterativo de. la experimentación, 11, 20, Ven tmnbiéll\ Experimentación secuencial] Ciclo. en, la operación evolutiva, (EV0P), 484. Codificación. de los datos en· un. análisis: de· varian:;:a, 72 CoeficieJlte· de c.onfianza, 42: (i;oeficiente' de variación; 104 Coeficientes. de regresión, parcial. 393 Combinación de fra¡::cione<s para estimar efectos, 303,.306, 315, 339, 347; 348 Combinación de información interbloques e intrabloques, 162 Combinación de los cuadrados medios para estimar el error, 535 Comparación de medias por pares, 96-104 Comparación de todos los contrastes, 95 Comparación de tratamientos con un control, 103 Comparación gráfica de medias, 89 Comparaciones múltiples, 88, 133, 182 Componente 1 de una interacción, 366 Componente J de una interacción, 366 Componente W de una interacción, 372 Componente X de una interacción, 372 Componente Y de una interacción, 372 Componente Z de una interacción, 372 Componentes de la varianza, 65, 511, 512, 518, 565 Componentes de una interacción, 204, 366 Condiciones óptimas, 427, 429, 430, 436 Conexión entre análisis de varianza y regresión, 112 Confusión completa, 299 Confusión en el diseño 2k , 288 cuatro bloques, 296 dos bloques, 289 más. de cuatro bloques, 297 Confusión en el diseño 3k , 373 más de nueve bloques, 378 nueve bloques, 377 tres bloques,. 373 Confusión parcial, 299 Construcción de diseños factoriales fraccionados, 307, 318, 337!, 379c 381 Contracción completa:, 340 Contracción parciaI, 349 Contraste estandarizado, 92 Contraste ortogonal" 93, 221, 231 Contl'astes, 90; 93, 221, 231, 290 Cordillera creciente, 448' Cordillera estacionaria, 448 Corridas axiales"274, 365, 478 Covariable; 604 Covarianza:, 26· Crite<rio. de predicción adecuada, 104 Criterio para sele.ccionar un diseño, 455 681 682 ÍNDICE Criterios de diseño, 455 Cuadrado latino estándar, 148 Cuadrados latinos ortogonales, 151, 365 Cuadrados medios, 68, 179 Cubo con centros en las caras, 459 Curioseo o sondeo d~ datos, 94 Curva de operación característica, 40, 107, 139, 189, 529 Curva Oc. Ver Curva de operación característica Curvatura, 174,272,432 D de Cook, 420 Datos no balanceados en el análisis de varianza, 75, 600 Datos proporcionales en un diseño factoríal no balanceado, 600 Definición de contrastes, 290, 296, 373 Desviación estándar muestral, 27 Determinación analítica de una transformación, 590 Determinación del tamaño de la muestra, 40, 107-110,139, 189,529 Diagrama de caja, 23, 62 Diagrama. de dispersión, 662 Diagrama de puntos, 21, 22 Dirección del ascenso más pronunciado. Ver Ascenso más pronunciado Diseño anidado de dos etapas, 557 Diseño anidado de m etapas, 566 Diseño anidado de tres etapas, 566 Diseño balanceado, 154, 558, 600 Diseño básico, 307, 317, 381 Diseño central compuesto, 11, 274, 275, 365, 441, 456 Diseño de aberración mínima, 326 Diseño de arreglo combinado, 492, 494 Diseño de arreglo cruzado, 491 Diseño de bloques aleatorizados, 50, 126, 207 bloques completos, 127 bloques incompletos, 154 Diseño de Box-Behnken, 458 Diseño de comparaciones pareadas, 47, 50 Diseño del cuadrado latino, 144, 148, 209, 365 Diseño en parcelas subdivididas, 557, 573, 578 Diseño en parcelas subdivididas en franjas, 583 Diseño experimental completamente aleatorizado, 33, 64, 176,207 Diseño experimental y diseño de productos, 8, 11 Diseño factorial 22, 5, 219 Diseño factorial 23 , 6, 228 Diseño factorial 24, 7, 246 Diseño factorial 2k , 7, 218, 242 Diseño factorial anidado, 569 Diseño factorial no balanceado, 600 Diseño hexagonal, 461 Diseño jerárquico. Ver Diseños anidados Diseño no balanceado, 75, 144, 600 Diseño no replicado. Ver Réplica única Diseño optimal A, 468 Diseño optimal D, 468 Diseño optimal G, 468 Diseño optimal V, 468 Diseño pentagonal, 461 Diseño robusto, 488. Ver también Estudios de robustez de procesos Diseño rotable, 457 Diseño símplex para el modelo de primer orden, 456 Diseños 2k-1, 304-317 Diseños 2k - Z, 317 Diseños 2k- p , 326 Diseños 3k, 363, 372 Diseño 3k-1, 379 Diseños 3k-p, 382 Diseños alternados o entrecruzados, 150 Diseños anidados, 557-568 Diseños anidados por etapas. escalonados, 566 Diseños centrales compuestos pequeños, 461 Diseños cuboidales, 450 Diseños de bloques incompletos balanceados, 154 Diseños de cuadrados grecolatinos, 151, 383 Diseños de puntos frontera, 478 Diseños de resolución ID, 306, 337 Diseños de resolución Iv, 306, 347 Diseños de resolución V, 307, 347 Diseños de segundo orden, 456 Diseños de superficie de respuesta, 11, 364, 429 Diseños en parcelas con doble subdivisión, 580 Diseños equirradiales, 461 Diseños esféricos, 457 Diseños generados por computadora, 409, 466, 479 Diseños híbridos, 461 Diseños mínimos de resolución Iv, 347 Diseños no geométricos, 343 Diseños optimales, 468 Diseños optimales alfabéticos, 468-469 Diseños ortogonales, 231, 404, 455 Diseños para modelos de primer orden, 455 Diseños Plackett-Burman, 343-347 'Diseños saturados, 337 Diseños simétricos, 155 Diseños símplex de centroide para mezclas, 475 Diseños símplex de retícula para mezclas, 474 Distribución de muestreo, 29 Distribución de probabilidad, 23 Distribución de probabilidad continua, 24 Distribución de probabilidad discreta, 24 Distribución de referencia, 35 Distribución F, 32 Distribución ji-cuadrada, 30 Distribución normal, 29 Distribución normal estándar, 29 Distribución sesgada, 30 Distribución t, 31 Doblez de diseños factoriales fraccionados, 339, 340, 347, 348. Ver también Separación de alias en las interacciones ÍNDICE Ecuaciones normales de mínimos cuadrados, 112, 151, 159, 186-187, 395 Ecuaciones normales. ~r Ecuaciones normales de mínimos cuadrados Efecto del tratamíento, 64 Efecto principal, 5, 170, 220 Efecto total de un factor, 221 Efectos cuadráticos, 88, 204, 432 Efectos cúbicos, 88 Efectos de dispersión, 110, 241, 260, 264, 323 Efectos de localización, 111, 260, 323 Efectos de los factores, 5, 6, 220 Efectos de los tratamíentos ajustados, 157, 161 Efectos ortogonales, 221, 231 Efectos residuales de tratamíentos, 150 Eficiencia relativa de los diseños factoriales, 174 Eigenvalores (valores propios), 440 Eigenvectores (vectores propios), 446 Elemento identidad, 231 Enfoque de grupo en el diseño de experimentos, 14 Enfoque de la mejor conjetura para la experimentación, 3 Enfoque no paramétrico del análisis de varianza, 116 Error, 22 Error de la parcela completa, 575, 579, 584 Error de la subparcela, 575, 579, 584 Error estadístico, 22, 64, 412 Error estándar de los efectos en un diseño 2k , 241 Error estándar de un coeficiente de regresión, 239, 412 Error experimental, 11, 12, 34, 64 Error intrabloques, 163 Error puro, 239 Escala codificada, 172 Espacio inferencial de un experimento, 511 Estadístico del rango studentizado, 97, 102 Estadístico R2 ajustada, 104, 411. ~r también R2 Estimación, 27 Estimación· de los componentes de la varianza, 513 máxima verosimílitud, 547 método de máxima verosimilitud con restricciones, 549 método del análisis de varianza, 513, 518, 524 Estimación de los parámetros del modelo en el análisis de varianza, 74, 112, 185 Estimación de máxima verosimílitud, 547, 549, 595 Estimación de mínimos cuadrados de parámetros, 88, 112, 141, 159, 186, 394 Estimación de valores faltantes, 139, 148, 602 Estimaciones de efectos, 220 magnitud y dirección, 221 Estimador, 27 Estimador de la varianza mínima, 27 Estimador de momentos, 547 Estimador insesgado, 27 Estrategia de experimentación, 1, 3 Estudios de capacidad o aptitud de los instrumentos de medición, 519, 524 Estudios de robustez de procesos, 1, 127, 176, 488 683 Experimentación secuencial, 10, 17, 18,20, 303, 315, 365, 429,456 Experimentador, 2 Experimento aleatorizado. Ver Diseño experimental completamente aleatorizado Experimento comparativo, 21 Experimento con mediciones repetidas, 624 Experimento de caracterización, 8. ~r también Experimento de tamízado Experimento de tamízado, 9, 15, 218, 303 Experimento factorial, 4, 170, 218 en bloques, 207, 287 en parcelas subdivididas, 578 Experimento factorial fraccionado, 7, 303, 379 Experimentos con un factor a la vez, 4 Experimentos de mezclas, 472 Experimentos de seguimíento. ~r Pruebas de confirmación Experimentos industriales y experimentos agrícolas, 18 Experimentos no planeados, 392 Factor cruzado, 170. ~r también' Experimento factorial Factores, 1, 2, 3, 5, 14, 21, 60 Factores controlables, 2, 14, 15, 489, 493 Factores cualitativos, 86, 201, 275, 368 Factores cuantitativos, 86, 171, 201, 272, 363, 368, 511 Factores de ruido. liér Factores no controlables Factores no controlables, 2, 15, 489 Factores que se mantienen constantes, 14 Falta de ajuste, 239, 272, 431 Familia de potencias de transformaciones, 84, 591 Família exponencial de distribuciones, 594 Familia factorial fraccionada, 306 Fase en una operación evolutiva (EVOP), 484 Forma no restringida del modelo mixto, 526, 540, 573 Forma restringida del modelo mixto, 523, 531, 539, 559, 569 Formación de bloques, 12, 13, 15, 50, 126, 127, 130, 207, 209, 287, 289, 296, 298, 315, 331, 373, 462, 574, 576, 579, 580, 604 Formación de bloques de diseños de superficie de respuesta, 462-466 Fracción alterna, 305, 319 Fracción complementaria. ~r Fracción alterna Fracción irregular, 346 Fracción principal, 305 Fracción un medio, 7, 304 Fuerza de una transformación, 84 Función de enlace, 595 Funciones con condición de deseables, 451-454 Funciones estimables, 113, 114, 188, 189 Generador de diseños. liér Generador de diseños factoriales fraccionados Generador de diseños factoriales fraccionados, 304, 318 Grados de libertad, 29, 30, 31 Gráfica de contorno, 10, 204 684 ÍNDICE Gráfica de cubo, 242, 262 Gráfica de inferencia condicional para diseños factoriales no replicados, 253 Gráfica de probabilidad normal de los efectos, 246, 264 Graficación de residuales, 76-86 Gráficas de probabilidad normal, 38, 72 Herencia de la agricultura, 17, 18 Hipercuadrados, 154 Hipótesis alternativa, 34 Hipótesis alternativa de dos colas, 34 Hipótesis alternativa de una cola, 35 Hipótesis nula, 34 Histograma, 23 Importancia de los conocimientos no estadísticos, 19 Índice de error en el modo del experimento, 75 Influencia y acción de palanca, 419, 420 Información relativa para efectos confundidos, 300 Interacción, 4, 137, 171, 174 Interacción entre tratamientos y bloques, 137 Interacción generalizada, 296, 299, 377 Intervalo de confianza, 42 Intervalo de confianza para la media de un tratamiento, 74, 75,100 Intervalo de confianza para la respuesta promedio en el modelo de regresión, 416 Intervalo de confianza simultáneo, 75 Intervalo de predicción, 416 Intervalos de confianza aproximados para los componentes de la varianza, 543 Intervalos de confianza para los componentes de la varianza, 516, 491 intervalos aproximados tipo Satterthwaite, 543 intervalos exactos, 516, 543 método de grandes muestras modificado, 545 procedimientos de máxima verosimilitud, 552 Intervalos de confianza simultáneos, 75, 95 Intervalos de confianza uno a la vez, 75 Jerarquía del modelo, 203, 286 Límites de confianza, 42 Localización, como en la tendencia central, 22 Matriz de covarianza, 397 Matriz del diseño, 228 Matriz gorro, 417 Media, 12, 25 Media global, 64 Media muestral, 12, 26, 27 Medias ajustadas de los tratamientos en análisis de covarianza, 607 Mediciones duplicadas en la respuesta, 265 Método de Bonferroni de intervalos de confianza simultáneos, 75 Método de Box-Cox, 590 Método de grandes muestras modificado, 545 Método de la diferencia significativa mínima (LSD) para comparar medias, 99 Método de Lenth para diseños sin réplicas, 254 Método de los cuadrados de las medias ponderados, 603 Método de medias no ponderadas, 603 Método de mínimos cuadrados. ~r Estimación de mínimos cuadrados de parámetros Método de momentos, 547 Método de Satterthwaite. ~r Pruebas F aproximadas Método del ascenso más pronunciado. ~r Ascenso más pronunciado Metodología de superficies de respuesta (MSR), 11, 427 Métodos de medias no ponderadas en el análisis de varianza, 603 Mezclado lineal, 476 Mezclado sinérgico en mezclas, 476 Mezclas antagónicas en mezclas, 476 Mezclas binarias, 472 Mezclas de verificación, 478 Mezclas puras, 474 Mínimos cuadrados esperados, 68, 179 reglas para, 531 Mínimos cuadrados ponderados, 595 Mitad de gráfica normal de los efectos, 253 Modelo completo, 115, 116, 142, 413 Modelo con efectos aleatorios, 65, 511, 512, 557 Modelo con efectos fijos, 65, 511 Modelo de la respuesta o de reacción de un diseño robusto,492 Modelo de las medias, 64, 128, 177 Modelo de los efectos, 64, 128, 145, 177 Modelo de primer orden, 226, 427, 455 Modelo de regresión, 87, 172, 177, 201, 204, 223, 235, 364, 392,604 Modelo de regresión lineal múltiple, 393 Modelo de superficie de respuesta de segundo orden, 429 Modelo empírico, 17, 87, 392 Modelo estadístico, 34, 48, 64, 87, 128, 155, 177, 190, 191, 194, 207, 210, 393, 427, 429, 436, 476, 492, 493, 512, 517, 522, 526, 558, 567, 569, 575, 576, 578, 581, 584, 594, 605, 624 Modelo factorial sin interacciones, 190 Modelo jerárquico, 203, 286 Modelo lineal, 64. ~r también Modelo estadístico Modelo lineal generalizado, 594 Modelo mixto, 522, 559, 569 error estándar de la media con efectos fijos, 524 estimación de los componentes de la varianza, 524 formas alternativas, 526 modelo con restricciones, 523 modelo sin restricciones, 5126 Modelo reducido, 116, 143, 413, 520 Modelos aditivos, 135, 145, 432 Modelos con mezclas, 476 ÍNDICE Muestreo aleatorio, 26 Navaja de Ockham, 310 Nivel de significación, 34, 37 Niveles de los factores, 14, 21, 60, 245 Niveles de los factores naturales, 224, 226, 431 Niveles imprecisos de los factores del diseño, 405 Niveles mixtos de los factores en un diseño factorial,· 383 Notación geométrica para experimentos factoriales, 228 Observaciones faltantes en un diseño de bloques aleatorizados, 139 Observaciones faltantes en un diseño de cuadrado latino, 148 Observaciones faltantes en un diseño factorial 2k , 404 Operación evolutiva (EVOP), 484-488 Operador de la varianza, 25 Operador del valor esperado, 25 Optimización de un proceso, 9, 427 Orden de Yates. Ver Orden estándar Orden estándar, 223, 228, 242 Ortogonalidad, 93, 221, 231 Palabras en la relación de definición, 318 Parcelas completas, 574, 579, 583 Pautas generales para el diseño de experimentos, 13 Pendiente de la superficie de respuesta, 493 Planeación previa al experimento, 14, 16 Potencia, 34 Predictor lineal, 594 PRESS (Prediction Error Sum of Squares, Predicción de suma de cuadrados de error), 104 Principio de efectos esparcidos, 245, 303 Principio jerárquico en la constlllcción de modelos, 203, 286 Procesos robustos, 1. Ver también Estudios de robustez de procesos Programación no lineal, 451 Propagación del error, 495 .~ Propiedad de reducción de ruido con la formación dé bloques, 51, 132-133 Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados, 397 Proyección de diseños factoriales, 246, 303, 307, 331 Proyección del diseño, 247, 303, 310 Proyectividad, 345 Prueba de Bartlett para la igualdad de varianzas, 81 Prueba de Dunnett, 103 Prueba de hipótesis, 21, 33, 409 Prueba de interacciones (no aditividad), 192 Prueba de Kruskal-Wallis, 116 Prueba de Levene modificada. Ver Prueba de Levene Prueba de Levene para la igualdad de la varianza, 82 Prueba de Newman-Keuls, 102 Prueba de Scheffé, 95 Prueba de significación. Ver Prueba de hipótesis Prueba de significación de una regresión, 409 685 Prueba de Tukey, 96 Prueba del rango múltiple de Duncan, 100 Prueba F parcial, 413 Prueba general de la significación de la regresión, 114, 141, 626 Prueba t combinada. Ver Prueba t de dos muestras Prueba t de dos muestras, 35 varianzas diferentes, 44 Prueba t pareada, 49 Pruebas de aleatorización, 40, 73 Pruebas de confirmación, 17, 317 Pruebas F aproximadas, 535, 539, 540 Pseudocomponentes, 479 Pseudopruebas F. Ver Pruebas F aproximadas Punto de respuesta máxima, 436, 437 Punto de respuesta mínima, 436, 438 Punto estacionario, 436, 440 Punto silla, 436, 439 Puntos atípicos, 78, 417 Puntos centrales, 271, 365, 431, 458, 461 Puntos de acción de palanca, 420. Ver también Influencia y acción de palanca R2, 104, 411. Ver también Estadístico R2 ajustada R2 para predicción, 104, 419 Realización de réplicas, 5, 12, 16, 60, 247 Región crítica, 34 Región de rechazo. Ver Región crítica Reglas para expectativas, 26 Reglas para los cuadrados medios esperados, 531 Relación de definición para un diseño factorial fraccionado, 304, 318, 379 Relación generadora, 318 Relación señal a ruido, 491 Repetibilidad, 519 Réplica oculta, 247, 619 Réplica única, 191, 244. Ver también Una observación por celda Réplicas de cuadrados latinos, 148 Reproducibilidad, 519 Residuales escalados, 417 Residuales estandarizados, 78, 417 Residuales PRESS, 418 Residuales studentizados, 418 Resolución del diseño, 308 Resolución de un diseño factorial fraccionado. Ver Resolución del diseño Respuestas múltiples, 448 Restricción sobre la aleatorización, 130, 145, 207, 209 Restricción sobre la aleátorización. Ver Restricción sobre la aleatorización; ver también Formación de bloqiles R-Student, 419 Selección empírica de una transformación, 81, 84 J 9 'NOV. 2005 o ( 686 ÍNDICE HOJA DE DEVOLUCION :J 2 AGO 2e Separación de alias en las inteJ 407. Ver también Doblez cionados Significación práctica vs signifi( Sistemas de cordilleras, 447 Submuestreo, 578 Subparcelas,574, 579 Suma de cuadrados corregida, ; Suma de cuadrados de los resid Sumas de cuadrados extras, 412 Sumas de cuadrados tipo nI, 6; Superficie de respuesta, 10, 173 393, 427 Supuesto de desigualdad de la , Supuesto de independencia en 1 varianza, 38-40, 79 Supuesto de normalidad en las J varianza, 38, 77 Tendencia central, 22 Teorema de Cochran, 69 Teorema del límite central, 30 Totales de los tratamientos ajust; Transformación de datos, 40, 81, Transformación de rangos, 117, J Transformación para corregir la ' 40, 81, 84-86, 257, 590 Transformaciones para estabilizal 257 'fransmisión del error, 493, 495 Tratamiento de control, 103 'fratamientos, 21, 60 .." ... a 9 SEP 20l~ ales a los bloques, 139 ,o más pronunciado. f.i!r Ascenso más celda, 191 13,64,126 un tratamiento, 66 tratamientos, 66 inua,22 'eta, 22 , central, 107 604 392 l, 2, 14, 15, 392 192 392 13, 126 ependientes, 26 72, 223,431 D3 In como criterio de diseño, 455, ..L 7 -J.~~~~18, 44, 79, 80 VUELTO DENTRO DE UN TÉRMINO s, ESTE LIBRO DEBERÁFSEEC~~~ARCADA POR EL ÚLTIMO SELLO, , QUE EXPIRA EN LA ~AGAR $ DE NO SER ASI, EL LECTOR SE OBLIGA A r" . POR CADA OlA DE DEMORA. W .1·fI~ { ' s\y~lG EDICiÓN, COMPOSICiÓN, DI~EÑO E IMPRESiÓN DE ESTA OBRA FUERON RE"1LIZAOOS ~\"JI:iJ\S\m~0 •. lljl'."\> \¡¡¡!W;\l \.l\~. \;, 11Ml\..i\,\\\I"r.. ~;r ,1:. 'e ',," Fac\l\\(I,;e Il '{J) . .' o (lj}f. 'BU:"'\." .¡aleS oh e\\ ..,;, BAJO LA SUPERVISION DE GRUPO NORIEGA EDITORES. BALOERAS 95, COL. CENTRO. MEXICO, D.F. C.P. 06040 2218770000104658DP9200IE 38, 76-86, 135, 185, 224, 242,