Principes généraux des capteurs

Chapitre 2 Principes généraux des capteurs (François Lepoutre) Les capteurs sont les premiers éléments rencontrés dans une chaîne de mesure. Ils transforment les grandeurs physiques ou chimiques d’un processus ou d’une installation en signaux électriques au départ presque toujours analogiques. Cette transformation doit être le reflet aussi parfait que possible de ces grandeurs. Cet objectif n’est atteint que si l’on maîtrise en permanence la réponse des capteurs qui peut être affectée par des défauts produits par les parasites qui se superposent au signaux, par les conditions d’utilisation, par le processus lui-même et par le milieu qui l’entoure. Nous abordons dans ce chapitre quelques-uns des principes qui permettent de mettre correctement en œuvre les capteurs. Les bases de ces principes reposent sur l’étalonnage, l’évaluation des incertitudes, le calcul des temps de réponse et le conditionnement. Notre propos vise surtout à donner au lecteur un guide assez général, certains calculs et de nombreux problèmes d’instrumentation ou de traitement du signal ne sont que cités, le lecteur trouvera dans la suite de cet ouvrage les développements nécessaires. 2.1. Généralités 2.1.1 Définitions fondamentales La quantité que l'on cherche à mesurer sera appelée le mesurande, soit m. Le but assigné au capteur est de convertir m en une grandeur électrique que l’on appellera s. La mesure s peut être une impédance, une charge électrique, un courant ou une différence de potentiel. La relation qui lie s à m, soit s = F(m), dépend : -de la loi physique régissant le capteur -de la construction pratique du capteur -de l'environnement du capteur 2 L'expression F(m) est établie par une opération que l'on appelle l'étalonnage : on connaît (à l'aide par exemple d'un étalon) différentes valeurs de m, on relève pour ces valeurs de m (m1, m2…mi…) les signaux électriques délivrés par le capteur (s 1, s 2…s i…)et on trace la courbe s(m) qui est appelée courbe d'étalonnage du capteur (figure 2.1.1). L'utilisation du capteur consiste à lire la valeur du signal électrique s lorsque est appliqué un mesurande m inconnu. La courbe d'étalonnage permet alors d'en déduire m. mesure s mesure s O si O O O mesurande m mesurande m mi figure 2.1.1 : étalonnage puis lecture d’un capteur On appelle sensibilité S la dérivée dS/dm=F'(m). Pour que la sensibilité soit indépendante de la valeur m, il faut que le capteur soit linéaire : F'(m) = constante = S soit encore s = S m + s 0 (2.1) où s 0 est la valeur du signal s pour m = 0. Bien entendu, on peut toujours définir une plage de valeurs de m où S est constante, c’est à dire où le capteur est linéaire. 2.1.2. Définitions secondaires Il est important pour la suite de rappeler quelques définitions fréquemment utilisées quel que soit le type de capteur considéré : - Capteurs actifs et passifs. Conditionneurs les capteurs dont le signal électrique délivré est une variation d'impédance sont dits passifs car ils nécessitent une source d'énergie électrique pour que l'on puisse lire s. Le circuit dans lequel ils sont incorporés s'appelle le conditionneur. Titre du chapitre 3 Les autres capteurs sont dits actifs. - Chaîne de mesure : généralement, le signal s n'est pas directement utilisable. On appelle chaîne de mesure l'ensemble des circuits ou appareils qui amplifient, adaptent, convertissent, linéarisent, digitalisent le signal avant sa lecture sur le support de sortie. - Corps d’épreuve : en mécanique, notamment, la conversion de m en s n'est pas directe. Par exemple, la mesure d'une force nécessite de l'appliquer à un solide déformable auquel sera fixé un capteur de déformation. Ce solide déformable, et plus généralement tout corps intermédiaire entre le capteur et le mesurande, est appelé corps d'épreuve. - Etalonnage : on distingue l’étalonnage du capteur proprement dit et l’étalonnage global appliqué à l'ensemble corps d'épreuve - capteur - conditionneur - chaîne de mesure. - Grandeurs d’influence : la fonction F(m) dépend souvent d'autres grandeurs physiques propres à l'environnement (par exemple la température ou l'humidité). Ces grandeurs sont appelées grandeurs d'influence. - Durée de vie et temps de réponse : parmi ces grandeurs d’influence on peut, de façon un peu abusive, aborder le cas particulier du temps qui intervient dans les mesures de deux façons : par des dérives à long terme qui modifient F(m). On parle de durée de vie du capteur. par l’aptitude du capteur à répondre aux variations du mesurande avec le temps. On parle de temps de réponse. - bande passante : lorsque le capteur mesure un mesurande dont la dépendance temporelle est sinusoïdale, on montre que la sensibilité du capteur dépend de la fréquence du mesurande. La gamme de fréquence dans laquelle le capteur présente une sensibilité constante est appelée "bande passante". Le temps de réponse et la bande passante sont évidemment liés. 2.2.Caractéristiques métrologiques des capteurs Ce paragraphe n’est pas pour objectif d’exposer les méthodes de calcul des incertitudes mais seulement quelques idées générales qui serviront de guide pour la suite et permettront d’aborder l’évaluation des incertitudes avec facilité (chapitre 8). L'incertitude de mesure est l'écart entre la valeur vraie du mesurande et la mesure effectuée par le capteur. Les seuls mesurandes connus sont les étalons dont la valeur est fixée par convention. On distingue les erreurs systématiques des incertitudes aléatoires car elles ont des origines et des conséquences sur la mesure très différentes. 4 2.2.1. Erreurs systématiques L'erreur systématique est toujours due à une mauvaise connaissance ou à une mauvaise utilisation du capteur. L'erreur systématique se détecte en comparant les valeurs moyennes d'un même mesurande, données par deux capteurs différents. Les causes les plus fréquentes d'erreurs systématiques sont les suivantes : - étalonnage incorrect ou non effectué au delà de la durée de vie ou après une altération du capteur. - emploi incorrect. Par exemple, non attente du régime permanent, erreur sur l'un des éléments d'un conditionneur, modification du mesurande par le capteur luimême. - exploitation inadéquate des données. Par exemple, erreur de linéarisation dans le chaîne de mesure, saturation d'un amplificateur de la chaîne de mesure… Il est clair que la détection de l'erreur systématique conduit toujours à son élimination. 2.2.2. Incertitudes aléatoires Ce sont les erreurs dont on peut connaître la cause sans que cette connaissance permette de prévoir la valeur de la mesure. Leur évaluation ne peut être que statistique. La cause principale de ces incertitudes est la présence de signaux ou d’influences « parasites » dont l'amplitude est aléatoire et que l’on qualifie par le terme assez vague de « bruit », citons à titre d’exemples : - la fluctuation des sources d'alimentation de la chaîne de mesure ou du conditionneur (fluctuation de la force électromotrice dans un pont…). - les signaux électromagnétiques produits dans l'environnement et captés par un élément de l'ensemble capteur, conditionneur, chaîne de mesure. - la fluctuation thermique (agitation thermique des porteurs de courant…). - la fluctuation des grandeurs d'influence… Il existe bien d'autres causes d'incertitudes aléatoires comme les erreurs de lecture, les défauts de mobilité du capteur, les phénomènes d'hystérésis... Contrairement aux erreurs systématiques, les erreurs aléatoires ne peuvent pas être annulées, mais on doit cependant les réduire, soit en utilisant des dispositifs de protection (régulations des f é m, stabilisation de la température, isolation mécanique, blindage électromagnétique...), soit en mettant en œuvre des procédures adaptées (filtrage, détection synchrone, traitement du signal...). Il est, en tout cas, toujours indispensable de les évaluer. Titre du chapitre 5 2.2.3. Traitement des erreurs aléatoires ou incertitudes Puisque, par définition, l’incertitude de type aléatoire n’est pas prévisible, son évaluation est du ressort des statistiques ; on l’appelle incertitude. Face à ce flou, le sens exact de la notion de statistique est intéressant à préciser. Le célèbre ministre Disraéli de la reine Victoria a dit un jour "il y a trois sortes de mensonges : l’information fausse, l’omission et les statistiques". Cette boutade montre bien l’idée que l’on aime donner des statistiques : elles ne peuvent prévoir un événement particulier (un résultat de mesure par exemple) mais fournissent simplement la probabilité d'occurrence d’une valeur parmi un grand nombre. Elles sont représentatives d’une foule et non d’un individu, d’une forêt et non d’un arbre. C’est pourquoi, comme aurait pu ajouter Disraéli, les statistiques sont utilisées par les gouvernements pour gérer le plus grand nombre possible d’événements, sans avoir besoin de prendre nécessairement connaissance des problèmes individuels… Dans le cas de la mesure, deux problèmes statistiques doivent être traités : - l'évaluation de l’incertitude proprement dite - la façon de prendre une décision face à cette incertitude. 2.2.3.1. Evaluation de l'incertitude aléatoire. Ecart-type. Variance Supposons que l'on fasse n mesures s 1......s i ......s n d'un même mesurande m. On appelle valeur moyenne de s la quantité s telle que : n ∑s i s= i =1 (2.2) n La valeur moyenne de la différence s i − s est et pour traiter statistiquement la mesure aléatoire de m et il faut introduire la variance v et l’écart-type σ: n ∑( s i v= σ= i =1 Σ (s i − s ) 2 = n −1 − s) 2 (2.3) n −1 [ n (s 2 )− (s )2 n −1 ] (2.4) 6 Supposons que le résultat de 10 mesures de températures soit (en °C) : 60,1 - 60,6 - 59,8 - 58,7 - 60,5 - 59,9 - 60,0 - 61,1 - 60,2 - 60,2. On peut d'abord observer que l'on donne ce résultat avec un chiffre après la virgule ce qui signifie que l’incertitude de ces mesures est au mieux de 0,1°C. On trouve également que la température moyenne est 60,11°C et que l’écart-type σ vaut 0,63°C. On peut ensuite noter que la valeur moyenne de 60,11°C ne signifie pas qu'elle est proche de la valeur vraie du mesurande puisqu’une erreur systématique, due peut être à un défaut d'étalonnage, pourrait produire, par exemple, un écart de 1°C sur toutes les valeurs et donc sur la valeur moyenne. Mais, sauf si l'erreur systématique est grande par rapport à l'incertitude aléatoire et si le capteur est non linéaire, l'écarttype ne changera pas après la correction de l'erreur systématique. La liste des 10 valeurs ne se reproduira évidemment pas si on reprend une autre campagne de mesures mais cette seconde liste aura cependant quelque chose de commun avec la première. Pour s’en rendre compte, revenons à cette première liste : des écarts compris entre 0°C et 0,2°C se produisent 7 fois. En revanche, il y a une seule valeur qui s'écarte de la valeur moyenne de plus de 1°C. On peut ainsi classer les valeurs obtenues par leur probabilité d’occurrence. Lorsque l’on fait un grand nombre de mesures du même mesurande, si l'incertitude est vraiment aléatoire, on montre que cette probabilité d’occurrence obéit à une loi unique qu'on appelle la distribution de Gauss. Elle exprime, en fonction de la valeur moyenne et de l'écarttype, la densité de probabilité de trouver la valeur s d'une mesure. Avec cette loi, la probabilité élémentaire de trouver s à ds près est donnée par dp = p(s) ds (où p(s) est appelée densité de probabilité) telle que : dp = p (s) = 2 1 − (s − s ) e 2π σ 2σ 2 ds (2.5) La probabilité de trouver n’importe quelle valeur pour s est évidemment égale à 1: ∫ +∞ −∞ 1 (s − s ) 2 e− ds = 1 2π σ 2σ 2 (2.6) Titre du chapitre 7 σ.P(σ) 0,4 s-s -3 σ -σ σ 3σ figure 2.2.3.1.: Représentation du produit de l'écart-type par la densité de probabilité Gaussienne. s − s = ±3σ , l'intégrale de ∫s− 3σ P(s)ds ≥ 0,99 , ce qui signifie que plus de 99% des mesures conduisent à une valeur de s telle que (s-s ) ≤ 3σ. s+ 3σ Pour Revenons à notre série de 10 mesures de la température pour laquelle nous avions trouvé une température moyenne de 60°,11 et un écart-type de 0,63°C. Refaisons une seconde série de 10 mesures. On obtient par exemple : 59,5 - 60,2 60,6 - 60,1 - 59,6 - 58,9 - 60,9 - 59,2 - 60,1 - 60,3 dont la valeur moyenne est 59,94°C et l'écart-type est 0,62°C. Ces deux valeurs sont légèrement différentes de celles de la première série, mais si au lieu de faire 10 mesures, on en faisait une infinité, on obtiendrait la valeur théorique moyenne µ. Puisque notre nombre de mesures est nécessairement limité, s est différent de µ. On imagine clairement que, plus n devient grand plus s s’approche de µ, la signification du mot proche n’est encore pas très claire. Pour préciser cette notion, on introduit ∆µ l'intervalle de confiance. Par exemple, on montre que la probabilité de trouver µ dans l'intervalle [s − ∆µ,s + ∆µ] avec ∆µ = 1,65 σ ( s ayant été calculé pour les n n mesures considérées) est de 90%. Dans le cas de notre première série nous avions ∆µ = 0,33°C et, dans le cas de notre deuxième série, ∆µ = 0,32°C et nous obtenons pour la première série de mesures l’intervalle de confiance à 90% près : 59, 78 ≤ T ≤ 60, 44 8 et pour la 2ème série : 59, 63 ≤ T ≤ 60,26 On peut, bien entendu, définir d’autres intervalles de confiance en choisissant des valeurs de probabilité de trouver µ différentes de 90%. 2.2.3.2. Prise de décision face à l'incertitude aléatoire Parfois, au cours d'une série de mesures sur un même mesurande, peut se produire un résultat qui s'écarte notablement de la valeur moyenne obtenue à l'aide des mesures précédentes. Le problème posé par un tel événement est de savoir si cette mesure a été produite par une augmentation, très rare mais très importante, de l'incertitude aléatoire ou par un phénomène non prévu qui est venu modifier de façon causale le mesurande lui-même. Il faut alors prendre une décision : doit-on ou non considérer que le mesurande a été modifié? On utilise ici encore des résultats de statistiques pour cette prise de décision. Par exemple, le critère de Chauvenet spécifie qu'un phénomène non aléatoire est venu modifier le mesurande si sa probabilité d'obtention, calculée à l’aide de la distribution de Gauss, est inférieure à 1/2n, n étant le nombre de mesures faites jusqu'au moment où l'anomalie est apparue. On peut tabuler le résultat de ce critère en donnant l'écart limite dmax à la valeur moyenne au delà de laquelle le critère s'applique (tableau 2.2.3.2.1). On peut illustrer l’utilisation d’un tel critère par le cas classique de définition d’un seuil de déclenchement d'alarme. Supposons un détecteur de présence dont la sortie analogique soit 0V en absence d'intrusion dans un lieu. On effectue 500 mesures en absence d'intrusion et on trouve un écart-type de 265 mV. S’il apparaît une mesure dont la valeur est supérieure à 265 x 3,29 = 872 mV, on doit considérer que quelque chose est venu modifier le mesurande, c'est-à-dire qu'il y a eu intrusion. On doit donc seuiller le système par la valeur de 872 mV, ce qui se traduit par les ordres: V<872 mV=pas d'intrusion, V>872 mV=intrusion. Nombre de mesures dmax/ σ Titre du chapitre 10 25 50 100 500 1000 9 1,96 2,33 2,57 2,81 3,29 3,48 Tableau 2.2.3.2.1: Critère de Chauvenet pour une distribution gaussienne. Ecart à la valeur moyenne au delà duquel l'ingénieur doit considérer qu'une modification du mesurande est apparue 2.2.3.3 : Fidélité - Justesse – Précision Ces trois propriétés caractérisent le capteur et son étalonnage. On dit qu’un capteur est fidèle si l’écart-type qu’il fournit est faible, qu’il est juste s’il est dépourvu d’erreur systématique et qu’il est exact s’il est à la fois juste et fidèle. La figure 2.2.3.3.1 montre l’allure de la densité de probabilité dans les quatre cas possibles. a) c) b) - - m m d) m m - - m m m m 10 figure 2.2.3.3.1: (d’après G. Asch) : Fidélité, justesse, exactitude. Les pointillés indiquent la valeur vraie (µ). En a) le capteur ni juste ni fidèle, en b) le capteur est fidèle mais non juste, en c) le capteur est juste mais non fidèle, en d) le capteur est juste et fidèle. 2.3. Etalonnage des capteurs L'étalonnage est l'opération qui établit la relation entre le mesurande et la grandeur électrique de sortie. Cette relation peut dépendre non seulement du mesurande mais aussi des grandeurs d'influence. S’il n'y a pas de grandeurs d'influence, l'étalonnage est simple, dans le cas contraire il est multiple. 2.3.1. Etalonnage simple On distingue deux méthodes possibles : - l'étalonnage direct dans lequel les valeurs du mesurande sont issues d'étalons ou d'objets de référence pour lesquels le mesurande est connu avec une incertitude donnée. - l'étalonnage par comparaison dans lequel on compare les mesures du capteur à étalonner avec celles provenant d’un autre capteur lui-même préalablement étalonné et considéré comme étant la référence, ce qui signifie que son étalonnage est raccordé à des étalons et que l’incertitude correspondante est connue. 2.3.2. Etalonnage multiple L’existence de grandeurs d'influence susceptibles de varier au cours des mesures oblige à paramétrer l'étalonnage pour différentes valeurs de ces grandeurs : c’est l’étalonnage multiple. Quelques cas particuliers d'étalonnages multiples méritent d'être mentionnés : - pour les capteurs présentant une hystérésis, il est nécessaire de procéder à l'étalonnage par une succession ordonnée et spécifiée des valeurs du mesurande. - pour les capteurs de grandeurs dynamiques, il faut relever la réponse en fréquence pour un mesurande d'amplitude fixée et la réponse en amplitude pour une fréquence fixée. Titre du chapitre 11 - dans certains cas, notamment pour beaucoup de capteurs mécaniques et thermiques, lorsque le constructeur ne donne pas d’indication relative à l’usage du capteur, il est souvent souhaitable d’effectuer l'étalonnage après son installation sur le site. Ainsi, l’étalonnage d’un accéléromètre peut être effectué après sa fixation à la structure dont on veut mesurer l’accélération, en particulier si, dans le certificat d’étalonnage, le constructeur a spécifié une procédure différente. 2.3.3. Raccordement Les pays industriels sont dotés de chaînes d’étalonnage, c’est-à-dire d’une organisation hiérarchisée de laboratoires établissant par opérations successives le raccordement des mesures à des étalons primaires. La traçabilité, c’est à dire les étalonnages successifs lorsque l’on passe du laboratoire primaire à l’utilisateur industriel, est assurée par des étalons ou des instruments de transfert. En France, le Bureau National de Métrologie (BNM) a la charge d’organiser cette traçabilité aux étalons nationaux. Au cours du raccordement les opérations successives effectuées dans le cadre d’une chaîne d’étalonnage vise non seulement à établir la relation liant la mesure au mesurande mais aussi à déterminer l’incertitude avec laquelle tout capteur effectue une mesure. A côté de l’aspect légal de certaines de ces opérations, il faut rappeler que les processus certifiés par les normes ISO 9000 exigent également la traçabilité (connaissance et maintien des étalonnages) des capteurs qui sont utilisés pour leurs mises en œuvre. 2.4 Bande passante et temps de réponse 2.4.1. La réponse harmonique La réponse d’un capteur à un mesurande variant sinuoïdalement dans le temps revêt une importance particulière car elle permet d’en déduire la réponse à tout mesurande variable dans le temps, c’est à dire sa réponse transitoire. Si on appelle S(ω) la sensibilité du capteur soumis à un mesurande sinusoïdal de pulsation ω, la réponse à une impulsion temporelle est donnée par sa transformée de Fourier : 12 1 ∞ − jωt S(ω)e dω ∫ 2π 0 h(t) = (2.7) Rappelons que la méconnaissance de cette réponse est grave puisque, même si on n’effectue que des mesures stationnaires, elle conduit à des erreurs systématiques. Pour l’utilisation des capteurs, la notion de bande passante est intéressante à présenter par l’intermédiaire des phénomènes de distorsion observés sur la mesure. Supposons que le mesurande ait une évolution temporelle périodique décrite par la figure 2.4.1.1., que l’on peut représenter par m(t) = m0+ Σ mi cos(ωit+ θ i ) (2.8) i Le signal électrique délivré s(t) peut s'écrire, en introduisant les notions de sensibilités statique S0 et S(ωι) dynamique : s(t) = So m0+ Σ S(ωι) mi cos(ωιt+ ψ i ) (2.9) i Si les valeurs S(ωι) sont différentes, ou si ψ i est quelconque par rapport à θ i , on obtient un signal s(t) dont le contenu fréquentiel est modifié par rapport à celui du mesurande : on dit que le signal subit une distorsion ou que le système est dynamiquement non linéaire. s(t) m (t) t t figure 2.4.1.1 : Exemple de distorsion par un filtrage passe-bas du premier ordre. On appelle bande passante l'intervalle de fréquence dans lequel la valeur de S(ω) est constante et où ψ i diffère de θ i par une constante additive que l'on peut écrire ωiτ avec τ indépendant de ωι. Dans la bande passante le système est dynamiquement linéaire. Titre du chapitre 13 D’une façon très générale, on parle de l’ordre d’un capteur comme étant l’ordre de l’équation différentielle qui régit sa sensibilité dynamique. L’exemple le plus simple est celui pour lequel l'équation qui lie s à m en régime dynamique est une équation différentielle du premier ordre : A ds/dt + Bs = m(t) (2.10) dans laquelle A et B sont indépendants du temps. En appelant s1 et m1 les parties périodiques de s et de m et en écrivant la fréquence de coupure fc =B/2πA, la sensibilité à la fréquence f et la phase ψ de la mesure s 1 s'écrivent : s = m1 B 1 (2.11)   f 2  1 +  fc   f  ψ = - arctg  fc  (2.12) La réponse en amplitude est souvent donnée sous forme de l’atténuation en décibels (dB) par δ=20log10(s(ω)/s 0). La figure 2.4.1.2. rappelle l’allure générale de la réponse de tels capteurs du premier ordre dont la coupure aux fréquences supérieures à fc est de 20dB par décade. δ(dB) 0 -3 -20 0,1 1 10 f/fc figure 2.4.1.2. : Sensibilité dynamique d’un capteur du premier ordre 14 ψ(degré) 0° -5° -45° -85° -90° f/f c 0,1 1 10 figure 2.4.1.3.: Déphasage d’un capteur du premier ordre Un exemple classique de capteur du premier ordre, traité dans le chapitre 3, est la photodiode. La photodiode repose sur le génération de paires électron-trou libérés des forces de liaison cristalline par l'énergie des photons qui sont absorbés (voir section 3.1). Ce capteur est donc un générateur de courant souvent proportionnel au flux lumineux absorbé Φ. Quel que soit le circuit d’utilisation que l’on mette en œuvre, le signal électrique délivré par le capteur se ramène toujours à une lecture aux bornes d'une résistance de charge RL . L’équation différentielle du capteur se déduit du schéma équivalent de la figure 2.4..1.4. où CL est la capacité de la diode et RL une résistance prenant en compte la résistance de charge et la résistance interne de la photodiode. Φ CL I=k Φ IC RL VL IL figure 2.4.1.4.: schéma équivalent de la photodiode De ce schéma élémentaire, il est facile de déduire : Titre du chapitre I = IC + IL = CL dVL VL + = kφ dt RL 15 (2.13) soit encore : φ= CL dVL 1 + VL k dt kRL (2.14) qui est bien l’équation d’un capteur du premier ordre. La fréquence de coupure donnée par fC = 1 2πRL CL dépend donc directement de la résistance de charge, c’est à dire pas seulement du capteur. Cette situation est extrêmement générale, le temps de réponse des capteurs, quel que soit leur ordre est toujours influencé par la chaîne de mesure (figure 2.4.1.5.). On peut vérifier aussi que la sensibilité So est égale à kRL ce qui signifie que le produit (gain x bande passante) est constant. Là encore, il s’agit d’un résultat général, on observe systématiquement que l’on ne peut à la fois avoir une forte passante et un fort gain dans la plupart des chaînes de mesure des capteurs. Lorsque le mesurande est une grandeur mécanique, on rencontre très souvent des capteurs du deuxième ordre dont l’équation reliant la mesure s au mesurande m est du type: A d2 s ds +C= m 2 + B dt dt (2.15) où A, B et C sont des constantes indépendantes du temps. On introduit la fréquence de coupure f0 et le facteur d’amortissement ξ par : f0 = 1 C 2π A (2.16) et ξ= B 2 CA (2.17) 16 fc /Hz 10 7 10 5 10 3 R/Ω 103 105 10 7 figure 2.4.1.5. : exemple de la variation de la bande passante d’une photodiode en fonction de la résistance de charge La résolution de cette équation conduit à une réponse en amplitude et en phase respectivement égales à : s = m1 1 (2.18)   f   f C  1 −    + 4ξ 2    fo    fo   2 2 2 et     −2ξ Ψ = arctg 2     f o 1 −  f     f   fo    (2 .19) La sensibilité dynamique peut présenter une résonance pour les amortissements faibles et l’amortissement au delà de la fréquence fo vaut 40dB par décade. Les déphasages sont doublés par rapport à ceux des capteurs du premier ordre. Titre du chapitre ξ<√2 s/m1 amortissement critique ξ=√2 1 10-1 ξ>√2 10-2 pente -2 f/f0 1 10-1 résonance 10-2 10 102 103 figure 2.4.1.6 : réponse en amplitude d’un capteur du deuxième ordre phase ξ (d°) 0° ξ>√2 ξ<√2 -90° ξ=√2 -180° 10-2 10 -1 1 10 10 2 f/f0 figure 2.4.1.7 : phase d’un capteur du deuxième ordre 17 18 2.4.2. Temps de réponse Le temps de réponse des capteurs se déduit également des équations différentielles précédentes. Pour un capteur du premier ordre en supposant que m=0 pour t<0 et m=m0 pour t>0, on obtient la solution : s = so (1 − e −t / τ ) avec τ = A B (2.20) et s0 = où m0 B (2.21) 1 est parfois appelé sensibilité statique. B s s0 = m0 /B 0,9 s0 τ 2τ 3τ t figure 2.5.2.1 : réponse à un échelon d’un capteur du premier ordre Il faut attendre t = 3τ pour atteindre 90 % de la sensibilité so du régime permanent. Si le mesurande est un échelon du type m0= 0 à t<0 et m=m0 (constante) pour t>0, un capteur du deuxième ordre présente une réponse, fortement dépendante de l’amortissement (figure 2.5.2.2) et qui correspond aux solutions transitoires suivantes : si ξ>1/√2, avec si ξ<1/√2, s = k1e −r1 t + k2 e − r2 t r1,2 = −ξ ωo ± ωo 2 ( ξ2 − 1) (2.22) Titre du chapitre s = k1e −ξω o t e jω o si ξ=1/√2, 2 1− ξ t + k2 e − ξω o t e − jω o t 2 1 −ξ t s = k1 (1 +ωo t)e − ω o t Si on prend comme conditions initiales (2.23) (2.24) s = 0 et ds = 0 à t = 0 , les solutions dt complètes s'écrivent :  mo  exp( −ξωo t) 2 1 sin ( 1) t − ξ ω +ψ o  C  1 − ξ2  2 avec Ψ = arc sin 1 −ξ [ ξ < 1/ 2 ⇒ s(t) = ξ = 1/ 2 ⇒ s(t) = mo [1 − (1 + ωot)exp − ωot ] C ξ > 1/ 2 ⇒ s(t) = mo C ]  +ξ + ξ 2 − 1 2 − 2 ξ 2 − 1 exp −ξ + ξ − 1 ωo t  [ +ξ − ξ 2 − 1 2 ξ −1 2 ]  exp −ξ − ξ 2 − 1 ω ot   [ ] (2.25) s(t) 2m0/C ξ=0 m0/C ξ=0,2 ξ=1/√2 ξ=10 0 2π 19 ω0t figure 2.5.2.2 : réponse temporelle d’un capteur d u deuxième ordre. 20 Les capteurs du deuxième ordre sont généralement construits avec un amortissement ξ=0,6 (figure 2.5.2.2). On atteint alors le régime permanent m0/C à 10% près pour un temps égal à 2,4/ω0. Cette valeur est à prendre en compte pour s’assurer que l’on utilise le capteur conformément à l’étalonnage fourni par le constructeur. 2.6. Conditionneurs des capteurs passifs Les capteurs passifs transforment le mesurande en une variation d'impédance. Ils doivent toujours être associés à un circuit disposant d’une source de courant ou de tension et en général de plusieurs impédances additionnelles. Ce circuit est appelé le conditionneur. Il y a deux grands groupes de conditionneurs d'impédances. Dans le premier groupe, la variation de l'impédance du capteur est traduite par une variation de différence de potentiel. Dans le deuxième, la variation d'impédance est utilisée pour modifier la fréquence d'un oscillateur. La lecture du capteur consiste alors en une mesure de fréquence. Nous ne traiterons ici que le premier groupe. 2.6.1. L’effet des instabilités de polarisation Lorsque la variation d’impédance du capteur est transformée en une variation de tension, la tension mesurée dépend de l'impédance du capteur et des différents éléments du conditionneur qui peuvent être soumis aux grandeurs d'influence et aux parasites. Le choix du conditionneur peut être critique pour le rapport signal sur bruit final. Ainsi dans le montage le plus simple qu'on puisse imaginer et qui est appelé souvent montage potentiomètrique (figure 2.6.1.1.), le signal Vm : Vm = e Zc Zc + Z K (2.26) est proportionnel à l’impédance du capteur Zc ce qui le rend très sensible aux parasites qui pourraient y introduire des variations aléatoires. Supposons en effet une instabilité de la source égale à ∆e. Il en résulte une variation de la mesure donnée par : ∆Vm = ∆e ZCO + ∆ZC ZCO # ∆e ZK + ZCO + ∆ZC ZK + Z CO (2.27) Titre du chapitre 21 Ce résultat se retrouve évidemment dans le cas d’une simple polarisation par source de courant. Zk Zc I e Ζc vm vm figure 2.6.1.1.: montage potentiométrique ou alimentation par une source de courant En revanche, les montages en pont permettent d’éviter ces causes de bruit de façon très efficace (figure 2.6.1.2.) C Z1 Z3 Vm e B A Zc Z4 D figure 2.6.1.2. : Pont d'impédances où Zc =Zc0+∆Zc représente le capteur. Il est en effet facile de montrer que la tension Vm qui apparaît en présence du mesurande est augmentée de ∆ vm lorsque e passe à e+∆e suivant la relation:  ZCO + ∆ ZC Z CO  Z1∆ ZC e ∆ Vm = ∆ e − = ∆ ( Z1 + ZCO + ∆Z C )( ZCO + Z1 )  Z1 + Z CO + ∆ZC ZCO + Z 1  (2.27) soit : 22 ∆Vm # ∆e Z1 ∆ZC (ZK + Z1 ) 2 (2.28) Pour une même instabilité de la polarisation, les bruits générés sur la mesure dans les cas du pont et du potentiomètre sont dans le rapport: ∆Vm pont ∆ZC = ∆Vm potentiomètre ZCO + Z1 (2.29) c’est à dire de l'ordre de la variation relative de l’impédance : pour des mesures où l'impédance varie de l'ordre du % autour de ZCO le pont est 100 fois moins sensible aux variations aléatoires de e que le montage potentiomètrique ou la polarisation directe par source de courant. 2.6.2. L’effet des grandeurs d’influence En ce qui concerne l’effet des grandeurs d’influence, il est intéressant de rappeler qu’il existe une règle générale qui permet d’optimiser les conditionneurs. Supposons que la tension de mesure délivrée par un conditionneur contenant les impédances que nous supposerons toutes résistives, Rk, s’écrive : Vm = f ( RK Rc ) (2.30) Soit g la grandeur d'influence supposée affecter toutes les résistances du conditionneur. Une variation dg de la grandeur d'influence produit une variation dVm de la tension de mesure telle que :  dVm =   ∂Vm ∂Rk ∂Vm ∂RC  + dg ∂g ∂RC ∂g  k ∑ ∂R K (2.31) Si on veut obtenir dVm = 0, il faut réaliser : ∂Vm ∂RK ∑ ∂R . ∂g K g + ∂Vm ∂RC =0 ∂RC ∂g (2.32) Titre du chapitre 23 Par exemple, dans le cas d'un montage potentiométrique (ou lorsqu’une seule des résistances du montage est sensible à la grandeur d'influence g) et lorsque les sensibilités à g des deux résistances Rc et Rk sont les mêmes, la condition dVm =0 est équivalente à : ∂Vm ∂V =− m ∂Rk ∂RC (2.33) Dans le cas d’un montage potentiométrique on obtient : et ∂Vm Rk = 2 ∂Rc (Rc + Rk ) (2.34) ∂Vm − Rc = 2 ∂Rk (Rc + Rk ) (2.35) ce qui revient à égaler Rc et Rk (figure 2.6.2.1) : influence de g e influence de g Rk Rc Vm figure 2.6.2.1: élimination de l’influence d’une grandeur g dans un montage potentiométrique Dans le cas des ponts résistifs, on montre de la même façon que la sensibilité aux grandeurs d'influence est minimum lorsque : R1 = RCO = R3 = R4 (2.36) Ces résultats se généralisent aux ponts d’impédances complexes. 24 2.6.3 Conditionneurs des capteurs à impédances complexes Les conditionneurs des capteurs passifs à impédances complexes sont réalisés sous forme de différents ponts parmi lesquels on peut citer le pont de Nernst pour les capteurs capacitifs (figure 2.6.3.1.) et le pont de Maxwell (figure 2.6.3.2.) pour les capteurs inductifs. Le pont de Nernst est utilisé pour les capteurs dont l’impédance est représentable par une impédance Zc : Z c= Rc 1 + jRc Cω (2.37) Pour la valeur m0 du mesurande on ajuste les impédances du pont suivant : et Re = Rc = Rc0 (2.38) Ce = Cc = Cc 0 (2.39) de sorte que Vm 0=0. Si Zc passe de Z c0 à Zc0 + ∆ Zc , on a alors : e ∆Z Vm ≈ . c 4 Z c0 Rc (2.40) R Cc Vm e C c0 R R c0 figure 2.6.3.1 : conditionneur en pont pour un capteur de type capacitif Titre du chapitre Re R Ce Vm e Lc Rc R figure 2.6.3.2 : conditionneur en pont pour un capteur de type inductif Dans le cas d’un capteur de type inductif dont l’impédance Zc est donnée par : Zc = Rc + jLcω (2.41) le pont lorsque le mesurande vaut mo est ajusté suivant : Rc 0 = R2 Re (2.42) et Lc 0 = R2 .Ce (2.43) de sorte que l’on a : Vm ≈ e. R.∆Zc 2 (R + Zc0 ) 2.7. Les conditionneurs des capteurs actifs (2.44) 25 26 2.7.1 . Lecture directe La lecture directe des capteurs actifs, qu’ils soient équivalents à des sources de tension, de courant ou de charges est rarement satisfaisante car elle suppose une correction qu’il n’est pas toujours aisée d’évaluer. Lorsque l'information électrique délivrée par les capteurs actifs se présente sous forme d'une f.è.m (e c ) en série avec une impédance Zc., le signal électrique peut être lu aux bornes d'une impédance Zi et on a (figure 2.7.1.1): Zc Zi Vm ec figure 2.7.1.1: équivalence à une source de tension Vm = Zi ec Zi + Zc (2.45) Pour que la mesure soit la plus proche possible de la tension délivrée par le capteur, il faut donc que l’on ait v m ≈ e c , soit encore que Zi>>Zc , mais ceci conduit à une réduction de la bande passante (cf. §3.5.1). Le capteur peut aussi se présenter sous une forme équivalente à une source de courant (ic ) en parallèle avec une impédance Zc . Le signal électrique Vm est alors donné par (figure 2.7.1.2) : Titre du chapitre 27 im ic Zc Vm figure 2.7.1.2: équivalence à une source de courant v m = Zi i m avec i m = i c Zc Zi + Z c (2.46) Pour que im soit peu différent de ic , il faut réaliser : Zi << Zc (2.47) mais le signal est alors très faible. Enfin, dans le cas de capteurs équivalents à des générateurs de charge, il est clair que la simple mesure par différence de potentiel aux bornes d’une résistance affecte le signal puisqu’elle décharge le capteur. 2.7.2. Utilisation des amplificateurs opérationnels Sans entrer dans le détail des schémas très nombreux de traitement des signaux (voir chapitres suivants) des capteurs actifs qui remédient aux difficultés que nous venons d’aborder, on peut rappeler ici les trois montages fondamentaux, correspondant aux trois cas d’équivalence des capteurs actifs, qui sont à la base de l’utilisation des amplificateurs opérationnels. 28 Supposons tout d’abord que le capteur soit équivalent à une source de tension ec en série avec une impédance Zc . Dans le montage de la figure 2.7.2.1, R2 + R1 v e Zc RL vs ec figure 2.7.2.1: montage type pour un capteur équivalent à une source de tension il est facile de voir que, avec l’approximation de l’amplificateur opérationnel idéal, on a:  R Vs =  1+ 2  Ve = GVe  R1  (2.48) On peut remarquer : - que le capteur ne débite pas (i+ =i-=0 dans l’amplificateur idéal) ou encore qu'il débite sur une impédance infinie. La condition de non influence de l’impédance interne Zc du capteur sur la mesure est réalisée. -qu’en sortie, Vs est indépendant du courant débité dans la charge RL. La tension Vs débitée par l'amplificateur se comporte comme une source de tension d'impédance interne nulle. -que le choix de R1et R2 permet de régler le gain G désiré. Rappelons que choix du gain est lié à celui de la fréquence de coupure, le produit (G.ωc) est une constante qui dépend du type d'amplificateur opérationnel choisi : Gωc = µo τo (2.49) où µ 0 est le gain de circuit ouvert et τ0 le temps de réponse de l'amplificateur opérationnel. Titre du chapitre 29 Supposons maintenant que le capteur soit équivalent à une source de courant placée en parallèle sur une résistance Rc, on peut alors utiliser le montage de la figure 2.7.2.2. : R ic E S ε + ic Rc Rc Ve RL Vs M figure 2.7.2.2.: montage type pour un capteur équivalent à une source de courant Puisque l'entrée de l'amplificateur idéal ne débite aucun courant, et que la tension d’entrée différentielle est nulle ε ≈ o, la différence de potentiel entre E et M est nulle et il n'y a aucun courant qui circule dans la résistance Rc du capteur. Le courant ic se retrouve intégralement dans R et on peut écrire : VS = − Ric (2.50) Comme pour l’amplificateur de tension ce montage élémentaire appelle quelques remarques fondamentales : -la valeur choisie pour la résistance R de contre-réaction n'influence pas le capteur équivalent à une source de courant. -la résistance d'entrée est nulle puisque les bornes de la source sont maintenues au même potentiel à l'entrée de l'amplificateur idéal. -en sortie, on obtient une source de tension dont la résistance est nulle (Vs est indépendant de la résistance de charge placée en sortie). Enfin dans le cas du capteur équivalent à un générateur de charge, il est souvent souhaitable d’utiliser un convertisseur charge-tension qui réalise pratiquement la mise en court-circuit des électrodes (voir chapitre 3). Le montage le plus élémentaire est celui de la figure 2.7.2.3. : 30 RR CS dq ve RS CR + dt vs figure 2.7.2.3. : montage type pour un capteur équivalent à une source de charges Puisque aucun courant ne traverse les entrées de l’amplificateur, toute variation de charge aux bornes du capteur se retrouve aux bornes de CR. On a donc : VS = − Q CR (2.51) En réalité il faut souvent (en tout cas certainement aux basses fréquences) tenir compte de la résistance de fuite de la capacité CR, soit RR en parallèle sur CR. Il est alors facile de montrer que VS devient : VS = − Q jωRR C R . CR 1+ jωRR CR (2.52) qui est l’expression d’un filtre passe-haut signifiant en pratique qu’un tel convertisseur ne fonctionne pas correctement aux basses fréquences et ne passe pas le continu.