Ficha de repaso

NSL/WPV – IB – FR10 – 2015 MATEMÁTICAS NM Fecha: .................... 11° D – E Alumno: ........................................................................ FICHA DE REPASO 10 1. Considere la secuencia: 2, 9, 16, 23, 30, … (a) Muestre que la secuencia es aritmética. (b) Halle una expresión para el término n-ésimo. S 100 = 34850, (c) Halle u 100. 6. Cuatro términos consecutivos de una progresión aritmética son x + 8, 2x + 6, 4x – 8 y 3x + 14. (a) Calcule la suma de los cuatro términos en términos de x. (b) Halle x. (c) Siendo S k la suma de los primeros k términos de la progresión. Si S k > 1200, halle k mín. 1   x  . 2x   10 7. 2. Halle el termino constante en la expansión de El coeficiente de x 1 en la expansión de  x  1   2   ax  5 es 5 . Halle los posibles valores de a. 8 8. Un término de la expansión de  x  1     y 8 es 70x a y b. Halle a + b. 3. 4. 5. Clara acomoda latas, organizándolas en pilas triangulares, de modo que cada fila tiene una lata menos que la fila de abajo. Por ejemplo, la pila de 15 latas que se muestra en la figura tiene 5 latas en la fila inferior y 4 latas en la fila que está encima. (a) Una pila triangular que tiene 20 latas en la fila inferior. Compruebe que la pila triangular contiene 210 latas. (b) En una pila triangular hay 3240 latas. ¿Cuántas latas hay en la fila inferior? (c) i. Hay S latas acomodadas en la pila triangular, con n latas en la fila inferior. Muestre que n 2 + n - 2S = 0 ii. Clara tiene 2100 latas. Explique por qué no es posible acomodarlas en una pila triangular. 9. Considere la función f (x) = x 2 + m x + n. Determine los valores de m y n sabiendo que la gráfica de f pasa por los puntos (1; 0) y (-3; 4). 10. En la figura se representa la función f cuya regla de correspondencia es: f (x) = x 2 + p x + q. El número de bacterias de un cultivo aumenta en 20% cada 15 minutos. (a) Escriba una fórmula que represente el aumento del número de bacterias luego de n periodos de 15 minutos. Si al principio habían 10 000 bacterias, (b) calcule el número de bacterias que habrán al cabo de 2 horas. por u n  3  4  n  1 , n  (a) Halle los valores de p y q. (b) Escriba f (x) de la forma a (x – b) 2 + c. (c) Halle las coordenadas del vértice de la parábola. El n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado  11. . (a) Escriba los primeros tres términos de la sucesión. Siendo S n la suma de los primeros n términos de la sucesión   (b) Muestre que S n  16 4 n  1 (c) Si S n  16777200 . Calcule n. Considere dos funciones cuadráticas de la forma f ( x )  9 x 2  bx  4 , tal que las parábolas que representa a cada función tengan su vértice en el eje X. (a) Halle los valores de b. (b) Para el menor de b, resolver f (x) = 0. (c) Halle las coordenadas del punto de intersección de las parábolas que representan a dichas funciones. 1 de 3 12. El diagrama muestra partes de las gráficas de y = x 2 y de y = 5 – 3 (x – 4) 2 La gráfica de y = x 2 puede convertirse en la gráfica de y = 5 – 3 (x – 4) 2 mediante las siguientes transformaciones Una simetría respecto de la recta y = 0 seguida de un estiramiento vertical de factor k seguida de una traslación horizontal de p unidades seguida de una traslación vertical de q unidades. Escriba los valores de k, p y q. 13. La función f se define como f : x También f :x 3  x  h  k puede definirse 17. la forma 2 3  x  p   q . Halle los valores de p y q. gráficas de las funciones f (x)  x  2 y g (x)  1 . x2 Quince cajas de fósforos fueron compradas, y el número de palitos en cada caja fue registrada. Los resultados son los siguientes: 52, 48, 49, 51, 51, 47, 50, 55, 48, 52, 52, 46, 53, 47, 46 ¿Cuál es la mediana del número de palitos de las cajas de fósforo registrada? 18. 2 19. 14. (a) En un mismo sistema de coordenadas, trace las (b) Resuelva la ecuación f (x)  g (x) . 3 x  12x  11 de En la figura se muestra la gráfica de la función f. Sea g (x) = – f (x) + 1. (a) En la misma figura, trace la gráfica de y = g (x). (b) Describa la transformación realizada a la gráfica de f para obtener la gráfica de g. 2 (a) Halle los valores de h y k. (b) La gráfica de f se traslada 3 unidades en la dirección x-positiva y 5 unidades en la dirección y-positiva. La gráfica trasladada la describe la ecuación g:x 16. Una pequeña empresa industrial fabrica y vende x maquinas al mes. El costo mensual C, en dólares, de fabricar x máquinas viene dado por C (x)  2600  0, 4 x 2 . El ingreso mensual I, en dólares, obtenido por la venta de x máquinas viene dado por I (x)  150 x  0,6 x 2 . (a) Compruebe que el beneficio mensual de la empresa se puede calcular mediante la función cuadrática P(x)   x 2  150 x  2600 20. Dada la siguiente distribución de frecuencias Número (x) 1 2 3 4 5 Frecuencia (y) 5 9 16 18 20 Halle (a) la mediana; (b) la media. 6 7 La siguiente figura es un diagrama de caja y bigotes correspondiente a un conjunto de datos. (b) El beneficio máximo se produce en el vértice de la función P(x) . ¿Cuántas máquinas han de fabricarse y venderse cada mes para obtener un beneficio máximo? (c) Si la empresa maximiza el beneficio, ¿cuál es el precio de venta de cada máquina? (d) Sabiendo que P(x) = (x – 20)(130 – x), halle el número mínimo de máquinas que la empresa debe fabricar y vender cada mes para tener un beneficio positivo. El rango intercuartil es igual a 20 y el rango es igual a 40. (a) Escriba el valor de la mediana. (b) Halle el valor de i. a; ii. b. 21. 15. La ecuación 3 x 2  px  3  0 no tiene soluciones reales. Halle los posibles valores de p. Las alturas, en metros, de 10 niños de una determinada edad en una escuela fueron registrados, los datos se presentan a continuación: 1,0; 1,2; 1,3; 1,1; 1,2; 1,4; 1,1; 0,9; 1,3; 1,2 Calcule la media y la desviación estándar. 2 de 3 22. La curva de frecuencias acumuladas muestra las notas dadas como porcentajes, redondeadas al entero más próximo, que han obtenido 500 alumnos en un examen. que P(M )  3 x , P(N )  4 x y P(M  N )  1 x , halle el 24. Dado los eventos M y N mutuamente excluyentes tales valor de x. 25. Cuando se hace girar una ruleta, se puede obtener un puntaje del 0 al 36. Cada puntaje es igualmente posible. Halle la probabilidad de que el puntaje sea (a) un número par; (b) un múltiplo de tres; (c) un múltiplo de seis; (d) un número que no sea par o no sea múltiplo de tres. (e) cualquier número que no sea múltiplo de tres. 26. En el siguiente diagrama muestra las probabilidades de los sucesos A y B, siendo P (A') = p. La calificación final para los aprobados se determinó según la siguiente regla. Entre 85 % y 100 %, calificación final es A Entre 66 % y 84 %, calificación final es B Entre 57 % y 65 %, calificación final es C Entre 50 % y 56 %, calificación final es D Aquellos que han obtenido una nota inferior a 50 % no han aprobado el examen. (a) Halle cuántos alumnos no han aprobado el examen. (b) Halle cuántos alumnos han obtenido una C o una nota mejor. El 20 % de alumnos con las mejores notas pueden optar a una ampliación de estudios. (c) Halle cuál es la nota mínima necesaria para poder optar a dicha ampliación de estudios. 23. Las alturas y pesos de 10 estudiantes seleccionados al azar se muestran en la siguiente tabla Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Altura x cm 155 161 173 150 182 165 170 185 175 145 peso y kg 50 75 80 46 81 79 64 92 74 108 a) Represente información en un gráfico de dispersión. Utilice una escala de 1 cm para representar 20 cm en el eje x y 1 cm para representar 10 kg en el eje y. b) Calcular la altura media c) Calcular el peso medio. d) Escriba i. el coeficiente de correlación, r, para estos valores. ii. la ecuación de la recta de regresión. e) Dibuje con precisión la recta de regresión sobre el diagrama de dispersión. f) Utilizando el diagrama o de cualquier otra forma estime, si es posible, i) el peso de un estudiante de altura 180 cm ii) la altura de un estudiante de peso 72 kg (a) Escriba el valor de p. (b) Halle P(B). En una alacena hay tres cajas de metal, una roja y dos verdes. La caja roja contiene tres galletas de chocolate y siete galletas sin chocolate, mientras que las cajas verdes contienen, cada una, una galleta de chocolate y cuatro galletas sin chocolate. Andrew elige una de las tres cajas al azar (roja o verde) y, a continuación, elige una galleta al azar. (a) Copie y complete el siguiente diagrama de árbol. 27. (b) Halle la probabilidad de que haya elegido una galleta de chocolate, sabiendo que eligió la caja roja. (c) Halle la probabilidad de que haya elegido una galleta de chocolate. 28. Dado P  A   1 3 , P  B  . 10 5 (a) Si A y B son eventos independientes, halle P  A  B . (b) Si P  A  B     1 , halle P A  B . 3 3 de 3