VIBRATION

Gestion du temps pédagogique

Le contenu de ce programme est prévu pour être enseigné pendant un semestre de 15 semaines, à raison de deux cours hebdomadaires de 1h30mn et une séance de travaux dirigés de 1h30mn par semaine. Toutefois pour diverses raisons, la durée réelle de l'enseignement par semestre est de 12-13 semaines. Afin de couvrir la plus grande partie du programme officiel pendant cette durée une gestion rigoureuse du temps pédagogique ainsi qu'une coordinationsynchronisation entre les cours et les travaux dirigés sont indispensables. Nous recommandons la progression ci-dessus (Tableau 1) dans laquelle la durée réelle du semestre (12-13 semaines) est répartie équitablement entre les vibrations mécaniques et les ondes mécaniques.

Ce manuel est le fruit d'une longue pratique pédagogique dans cette matière et résulte de longues discussions avec les collègues qui ont eu à assurer cet enseignement. Les exercices proposés dans ce manuel ont été confectionnés à partir d'une compilation des séries d'exercices et des sujets d'examens proposés par les collègues qui enseignent le module Vibrations et Ondes Mécaniques à la Faculté de Physique de l'Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene.

iv En parallèle un enseignement de travaux pratiques est dispensé dans un autre module à raison d'une séance de 3 heures toutes les deux semaines. Les collègues en charge du module de travaux pratiques essaient de synchroniser le contenu de leur enseignement avec le contenu dispensé en cours et en travaux dirigés.

Equations de Lagrange

Considérons le cas particulier d'une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, sur une courbe plane contenue dans le plan xOy. La courbe sur laquelle est astreinte à se déplacer la particule de masse m, est le lieu des points dont les coordonnées vérifient les relations :

La première relation correspond au plan xOy . La seconde relation représente l'équation de la trajectoire dans ce plan. Ces deux relations définissent les équations des liaisons appelées souvent liaisons. Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de coordonnées qui représentent la position de m (trois dans le cas général) moins le nombre de liaisons (deux dans le cas particulier étudié ici). La particule possède donc un degré de liberté. Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée coordonnée généralisée. Il est possible d'exprimer le vecteur position r de la particule en fonction de la coordonnée généralisée q par la relation : r = r (q).

Soit F la résultante de toutes les forces agissant sur la particule. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

où v = d r dt est la vitesse de la particule.

Soit δW le travail fourni par la force F lors d'un déplacement infinitésimal δ r :

Le déplacement infinitésimal δ r peut s'écrire en fonction de la variation δq de la coordonnée généralisée q :

Dans ce cas le travail δW peut se mettre la forme :

Soit un système à deux degrés de liberté, soumis à des forces qui dérivent d'un potentiel, à des forces de frottement de viscosité et à des forces extérieures. Si les coordonnées généralisées sont q 1 et q 2 , les équations de Lagrange s'écrivent :

Dans cette expression F q 1 et F q 2 sont les forces généralisées conjuguées des coordonnées généralisées respectives q 1 et q 2 . Elles sont respectivement définies par

, dans cette expression δW 1 représente le travail des forces extérieures pour une variation δq 1 de la coordonnée q 1 , lorsque δq 2 = 0.

, dans cette expression δW 2 représente le travail des forces extérieures pour une variation δq 2 de la coordonnée q 2 , lorsque δq 1 = 0.

Introduction aux équations de Lagrange

On appelle force généralisée conjuguée de q, ou q-composante de la force, la quantité F q définie par :

Par conséquent δW s'écrit : δW = F q δq En tenant compte de la relation fondamentale de la dynamique, cette expression peut également s'écrire :

Le vecteur vitesse v, peut aussi s'écrire : v = d r dt = ∂ r ∂q ∂q ∂t = ∂ r ∂qq D'où la relation :

Sachant que ∂ ∂q

L'expression du travail δW peut alors s'écrire :

On introduit la fonction de Lagrange ( ou lagrangien du système ) qui est la différence de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

Fonction dissipation

Calculons le travail δW f fourni par la force de frottement pendant un intervalle de temps δt pour un déplacement δ r :

La quantité de chaleur δQ gagnée par le système en interaction avec la particule, est telle que :

Soit P d = δQ δt la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur :

Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction deq, par :

Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi-puissance dissipée :

La q-composante f q de la force de frottement peut alors s'écrire :

Cas d'une force extérieure dépendant du temps

Considérons le cas plus général d'une force extérieure dépendant du temps agissant sur un système qui est le siège de forces de frottement qui dérivent d'une fonction dissipation D. Soit F eq la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l'équation de Lagrange peut s'écrire sous l'une des deux formes équivalentes suivantes :

La q i −composante de la force généralisée extérieure est définie par :

Dans cette expression δW représente le travail des forces extérieures résultant d'une variation δq i de la coordonnée q i telle que les coordonnées q j =i soient constantes (δq j =i = 0). Un système oscillant à un degré de liberté est habituellement repéré à l'aide d'une coordonnée généralisée q qui est l'écart par rapport à la position d'équilibre stable. Le mouvement vibratoire est dit linéaire s'il est régi par une équation différentielle harmonique de la forme : q + ω 2 0 q = 0 Cette équation est appelée équation différentielle de l'oscillateur harmonique simple.

Energie cinétique

Dans le cas d'un système à un degré de liberté, constitué d'une masse m dont la position est repérée par la coordonnée généralisée q, l'énergie cinétique s'écrit :

L'énergie cinétique d'un système à un degré de liberté est fonction de q etq . Elle peut s'écrire sous la forme :

où a(q) est une fonction de la coordonnée généralisée q, définie dans le cas étudié par :

En faisant un développement limité de a(q) au second ordre en q, au voisinage de q = 0 , on obtient :

En limitant l'approximation au second ordre, on obtient :

où a 0 est une constante égale à a (0) .

H. Djelouah

O Amortissement critique : variation de q en fonction du temps Cas où le système est sous-amorti (δ < ω 0 ) La solution générale de l'équation différentielle est de la forme :

intégration déterminées à partir des conditions initiales. Dans le cas particulier où q(0) = q 0 etq(0) = 0, on obtient : On rappelle que la poussée d'Archimède qui s'exerce sur un objet immergé est : P A = −ρ E V g où V est le volume immergé et g l'accélération de la pesanteur.

1. Calculer, à l'équilibre, le volume immergé de l'iceberg en fonction de son volume total. La masse volumique de la glace est ρ G = 900 kg/m 3 ; celle de l'eau est ρ E = 1000 kg/m 3 .

2. L'iceberg est écarté d'une distance verticale h par rapport à sa position d'équilibre. Calculer la période de ses oscillations quand les frottements sont considérés comme négligeables. Faire l'application numérique pour L = 150 m, h = 2 m, g = 9.8 m/s 2 . Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté

-Les roues ne décollent pas de la chaussée.

-On s'intéresse uniquement au déplacement vertical y(t) du véhicule dans le plan de la figure. -On se place dans le cas simple où le véhicule se déplace horizontalement à une vitesse constante v sur une route à profil sinusoïdal y 1 (x) = Y 1 sin(2πx/Λ).

1. Etablir l'équation différentielle qui régit les variations au cours du temps de la coordonnée y du véhicule.

2. En déduire l'amplitude Y du mouvement du véhicule dans le sens vertical . 2. Montrer qu'un tel dispositif est équivalent au schéma simplifié de la figure 2 ci-dessus ; donner l'expression de F eq .

3. Dans l'hypothèse des faibles amortissements ( δ << ω 0 ), tracer et commenter le graphe de l'amplitude Y du déplacement vertical du lave-linge en fonction de la vitesse de rotation.

4. Calculer l'amplitude de la force transmise au sol à la résonance.

L'onde progressive s'écrit souvent :

λ est appelé le module du vecteur d'onde qui s'exprime en m −1 . On utilise très souvent la notation complexe d'une onde progressive sinusoïdale :

s (x, t) = S e iωt où S = S 0 e −ikx représente l'amplitude complexe de l'onde progressive sinusoïdale. Le module S 0 de S est l'amplitude de l'onde tandis que son argument −kx représente le déphasage dû à la propagation. ou encore en notation réelle :

Energie potentielle

Les oscillations se font autour de la position d'équilibre stable q = 0 caractérisée par :

Il est toujours possible , lorsque les écarts par rapport à la position d'équilibre sont faibles, de faire un développement en série de Taylor de U (q) au voisinage de la position d'équilibre q = 0. En négligeant les puissances de q d'ordre supérieur à deux, on obtient :

Si on choisit l'origine de l'énergie potentielle à cette position d'équilibre (U (0) = 0) , l'énergie potentielle U (q) peut s'écrire sous une forme quadratique :

Equation différentielle

L'équation de Lagrange s'écrit :

Ce qui permet d'obtenir l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique simple avec la valeur de la pulsation propre ω 0 :

a 0 Les oscillations d'un système vibratoire s'effectuent autour d'une position d'équilibre stable. Pour des oscillations de faible amplitude autour de la position d'équilibre, tous les mouvements vibratoires peuvent être assimilés à des vibrations linéaires et l'énergie potentielle peut alors être approximée par une forme quadratique de la coordonnée q, tandis que l'énergie cinétique peut être approximée par une forme quadratique enq.

Rappelons la forme générale de l'équation de Lagrange pour les systèmes à un degré de liberté :

où F qext est la force généralisée associée à F ext et où la fonction dissipation est D = 1 2 βq 2 . Pour les oscillations de faible amplitude, la fonction de Lagrange pouvait se mettre sous une forme quadratique de q etq

Cette équation peut se mettre sous la forme d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, avec second membrë

Résolution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique simple

L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique simple s'écrit :

q + ω 2 0 q = 0 La solution d'une telle équation est une fonction sinusoïdale du temps

où A représente l'amplitude des oscillations, ϕ est la phase initiale. Il est important de remarquer que la pulsation propre ω 0 ne dépend que des éléments qui constituent le système physique étudié (masse, ressort, etc...) tandis que l'amplitude A et la phase initiale ϕ sont calculées à partir des conditions initiales :

Enfin l'amplitude des oscillations d'un oscillateur harmonique libre ne dépend pas du temps. De telles oscillations sont dites non amorties.

Il faut néanmoins remarquer qu'au delà d'une certaine amplitude la vibration devient non linéaire. Il s'ensuit d'abord une modification de la période des oscillations et ensuite un changement de la nature du mouvement.

Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté

Dans le paragraphe précédent, nous n'avons pas tenu compte de certaines réalités physiques. En effet, nous n'avons pas pris en compte les forces de frottement qui sont à l'origine de la perte d'énergie mécanique du système sous forme de chaleur. Dans ce paragraphe, nous allons tenir compte de ces réalités en nous limitant toutefois au cas simple où les pertes sont dues à des frottements visqueux pour lesquels les forces de frottement, qui s'opposent au mouvement, sont proportionnelles à la vitesse.

Equation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs

Rappelons l'équation de Lagrange associée à un système à un degré de liberté dont l'évolution au cours du temps se ramène à l'étude de la coordonnée généralisée q d dt ∂L ∂q − ∂L ∂q = F q F q représente la composante suivant q de la résultante des forces généralisées qui ne dérivent pas d'un potentiel.

Nous nous intéressons au cas particulier des forces de frottement définies par la force généralisée F q = f q = −βq où β est une constante réelle positive. L'équation de Lagrange s'écrit alors dans ce cas :

Cas particulier des oscillations de faible amplitude

Nous avons montré dans le chapitre précédent que dans le cas des oscillations de faible amplitude, la fonction de Lagrange s'écrivait sous la forme :

L'équation différentielle du mouvement s'écrit alors :

aq + bq = −βq C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants qui peut se mettre sous la forme :q + 2 δq + ω 2 0 q = 0 où δ est un coefficient positif, appelé facteur (ou coefficient) d'amortissement et défini par :

Résolution de l'équation différentielle

La solution de l'équation différentielle dépend de la valeur de δ par rapport à ω 0 : -Si δ > ω 0 , on dit que le système est suramorti ou apériodique.

-Si δ = ω 0 , on dit que l'on a un amortissement critique.

-Si δ < ω 0 , on dit que le système est sous-amorti ou pseudopériodique.

Cas où le système est suramorti (δ > ω 0 )

La solution de l'équation différentielle s'écrit dans ce cas :

intégration définies par les conditions initiales. La figure cidessous représente q en fonction du temps dans le cas particulier où q(0) = q 0 etq(0) = 0. q(t) est une fonction qui tend exponentiellement (sans oscillation) vers zéro. O Régime fortement amorti : variation de q en fonction du temps Cas de l'amortissement critique (δ = ω 0 ) La solution générale de l'équation différentielle est de la forme :

Dans le cas particulier où q(0) = q 0 etq(0) = 0, q(t) = q 0 (1 + δ t) e −δ t q(t) est encore une fonction qui tend vers zéro sans oscillation lorsque le temps augmente.

Système masse-ressort-amortisseur

Considérons l'exemple mécanique de la figure ci-dessous soumis à une force extérieure F (t) appliquée à la masse m. Calculons la force généralisée F x conjuguée de la coordonnée x. Pour cela nous pouvons utiliser l'une des deux méthodes suivantes :

-Soit calculer le travail δW de la force F (t) pour une variation δ r de son point d'application

On en déduit la x-composante de la force extérieure

-Soit utiliser la définition de la force généralisée

L'équation différentielle du mouvement s'écrit alors

Solution de l'équation différentielle

La solution de cette équation différentielle du second ordre est égale à la somme de la solution de l'équation sans second membre (ou solution homogène) x H (t) et d'une solution particulière de l'équation avec second membre x P (t) :

Nous avons déjà étudié l'équation sans second membre x H (t) et nous savons que cette solution contient dans tous les cas le terme exponentiel e −δt . Après un intervalle de temps t supérieur à 3/δ ou 4/δ, le terme e −δt devient très petit et la solution homogène est alors pratiquement nulle. Il ne subsistera que la solution particulière de l'équation avec second membre. L'intervalle de temps pendant lequel la solution homogène est non négligeable est appelé le régime transitoire. A la fin de ce régime transitoire commence l'intervalle de temps pour lequel la solution homogène est quasi-nulle et pour lequel la solution x(t) x p (t) ; ce régime est appelé régime permanent ou stationnaire.

Solution de l'équation différentielle 19

Cas particulier où A(t) = A 0 cos(Ωt)

Calcul de la solution permanente à l'aide de la méthode des nombres complexes

Pour t suffisamment grand, nous pouvons considérer que la solution transitoire s'est annulée et que la solution x(t) s'identifie alors avec la solution particulière : x(t) x P (t). Par commodité de notation l'indice p est sous-entendu dans ce qui suit. La méthode des nombres complexes permet de calculer aisément la solution stationnaire.

Soit le déplacement complexe représenté par le nombre complexe X = X e iΩt , avec X = X 0 e iϕ . Nous pouvons considérer, en outre, que A(t) = A 0 cos(Ωt) constitue la partie réelle du nombre complexe A = A 0 e iΩt . L'équation différentielle se transforme en une simple équation algébrique en fonction de l'amplitude complexe X :

D'où l'on tire l'amplitude X 0 et la phase ϕ :

Etude des variations de l'amplitude et de la phase en fonction de la pulsation de l'excitation

Le maximum de l'amplitude est obtenu pour la valeur de Ω qui annule dX 0 dΩ .

Il existe un maximum à la pulsation Ω R = ω 2 0 − 2δ 2 seulement si l'amortissement est suffisamment faible pour que δ < ω 0 / √ 2. A cette pulsation, appelée pulsation de résonance, on dit que le système entre en résonance et l'amplitude X 0 est maximale ; elle vaut :

La figure représentant les variations de X 0 en fonction de la pulsation d'excitation Ω est appelée courbe de résonance en amplitude. On remarque qu'à la pulsation ω 0 , le déphasage ϕ

Amplitude X 0 en fonction de Ω. Déphasage ϕ en fonction de Ω.

Etude de la résonance pour les faibles amortissements

Dans le cas des faibles amortissements ( δ << ω 0 ), la fréquence de résonance est très peu différente de la pulsation propre, Ω R ω 0 . Dans ce cas, l'amplitude de vibration à la résonance X 0 max est égale à :

2δω 0 Pour les faibles amortissements, X 0 max est donc inversement proportionnel à δ.

Etude de la vitesse

En notation complexe, la vitesse s'écrit :

où l'amplitude complexe de la vitesse est définie paṙ

δ Ω L'étude des variations de l'amplitude de la vitesse en fonction de la pulsation d'excitation montre que, quelle que soit la valeur de δ, la résonance en vitesse est obtenue pour Ω = ω 0 (voir figure ci-dessous). La valeur maximale de l'amplitude de la vitesse vaut dans ce cas :

Courbe de résonance de la vitesse ??

Déphasage ψ de la vitesse en fonction de Ω.

Bilan énergétique

Soit P F (t) la puissance instantanée fournie par la force extérieure F (t) au système. En régime permanent, on obtient :

Soit < P F > la valeur moyenne sur une période de P F (t) :

En tenant compte de l'expression deẊ 0 en fonction de F 0 , on obtient :

Comparons cette valeur à la valeur moyenne < P D > de la puissance dissipée par les forces de frottement de viscosité. La valeur instantanée de cette puissance dissipée s'écrit :

D'où l'on tire la valeur moyenne sur une période :

L'étude des variations de la valeur moyenne de la puissance < P >=< P F >=< P D > en fonction de la pulsation d'excitation montre que la valeur maximale de la puissance moyenne est obtenue pour Ω = ω 0 quelle que soit la valeur de δ. La valeur maximale de la puissance moyenne dissipée ou fournie vaut dans ce cas

La figure ci-dessous représente les variations, en fonction de Ω, de la puissance moyenne dissipée par les forces de frottements (ou de manière équivalent la puissance moyenne fournie par la force extérieure ).

Courbe de résonance pour la puissance

Bande passante

On définit par bande passante, la bande des pulsations autour de Ω = ω 0 pour lesquelles < P >≥< P > max /2. Les deux pulsations Ω 1 et Ω 2 , situées de part et d'autre de la pulsation ω 0 et pour lesquelles < P >=< P > max /2, sont appelées pulsations de coupure. La bande passante B s'écrit :

Le calcul de B consiste à rechercher les deux pulsations pour lesquelles < P >=< P > max /2. On obtient l'expression de la bande passante B :

Coefficient de qualité d'un oscillateur

Le coefficient de qualité d'un oscillateur est défini par le rapport de la pulsation propre ω 0 à la largeur de bande B :

Cas d'une excitation périodique

Nous avons étudié dans le paragraphe précédent la réponse d'un système vibratoire à une excitation sinusoïdale dite excitation harmonique. En pratique, les excitations mécaniques ne sont pas toujours parfaitement sinusoïdales ; elles sont souvent périodiques. En considérant le cas d'excitations périodiques, nous procéderons à une généralisation du cas harmonique.

Soit une excitation périodique appliquée à un système amorti à un degré de liberté. L'équation différentielle qui régit ce système s'écrit :

La fonction A(t) étant périodique, de période T , son développement de Fourier s'écrit :

a n cos(nωt) + b n sin(nωt) L'équation différentielle s'écrit alors :

a n cos(nωt) + b n sin(nωt)

La réponse permanente (ou stationnaire ) qui s'identifie avec la solution particulière, pour t suffisamment élevé, peut alors être calculée pour chacune des composantes de l'excitation : a 0 /2, a n cos(nωt) et b n sin(nωt). On obtient alors par superposition :

a n cos(ω n t + ψ n ) + b n sin(ω n t + ψ n )

(ω 2 n − ω 2 0 ) 2 + 4δ 2 ω 2 n 3.4 Impédance mécanique 23

Impédance mécanique

Définition

Considérons un système mécanique soumis à une force sinusoïdale F (t) = F 0 cos (Ωt). En régime permanent, le point d'application de cette force se déplace avec une vitesse v (t) = V 0 cos (Ωt + φ) . On appelle impédance mécanique d'entrée du système mécanique, le rapport des amplitudes complexes de la force F et de la vitesse v

Dans le cas d'une onde progressive sinusoïdale, le déplacement de particules s'écrit en notation complexe :

λ est le module du vecteur d'onde, λ étant la longueur d'onde. La composante F x de la force exercée en x par la partie gauche sur la partie droite est

On appelle effet Doppler le changement apparent de la fréquence d'un signal électromagnétique (radio ou lumineux)ou acoustique reçu par un observateur mobile par rapport à une source émettrice fixe ou bien par un observateur fixe par rapport à une source émettrice mobile. La variation apparente de fréquence est proportionnelle à la vitesse relative entre l'observateur et la source le long du chemin qui les sépare. Si la source d'ondes oscillant avec la fréquence ν 0 se déplace par rapport au milieu avec la vitesse v 1 et l'observateur avec la vitesse v 2 , la fréquence ν, perçue par l'observateur sera alors :

où V est la vitesse des ondes dans le milieu immobile, θ 1 et θ 2 sont les angles formés par les vecteurs v 1 et v 2 avec le vecteur R reliant le récepteur à la source d'ondes. 2. Calculer l'amplitude de la pression acoustique, l'amplitude de la vitesse de particules et l'amplitude du déplacement de particules.

Impédances mécaniques

Amortisseur

Dans le cas d'un amortisseur, la force appliquée est reliée à la vitesse par

On en déduit l'impédance complexe d'un amortisseur

Masse

Dans le cas d'une masse, la relation fondamentale de la dynamique s'écrit

On en déduit l'impédance complexe d'une masse

Ressort

Dans le cas d'un ressort de raideur k, la force appliquée f appliquée au ressort s'exprime en fonction de l'allongement par

On en déduit l'impédance complexe d'un ressort

Puissance

La valeur moyenne, sur une période, de la puissance fournie est

Applications

Système mécanique résonant

Soit un système mécanique constitué d'un ressort de raideur k, d'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α et d'une masse m soumise à une force sinusoïdale F (t) = F 0 cos (Ωt). L'impédance d'entrée de ce système est

Module de l'impédance d'entrée.

Amplitude de la vitesse

Système antirésonant

Considérons un système mécanique constitué d'un ressort de raideur k dont une extrémité est reliée à une masse m et dont l'autre est soumise à une force sinusoïdale F (t). Soit x le déplacement de la masse m et soit y le déplacement du point d'application de la force F (t). Pour calculer l'impédance d'entrée de ce système, nous devons d'abord écrire les équations différentielles du mouvement :

En utilisant la notation complexe, on obtient l'impédance d'entrée :

Lorsque Ω = ω 0 , la vitesseẎ est nulle tandis que le module de l'impédance est ∞. Lorsque la pulsation Ω → ∞, l'impédance Z E → 0.

Module de l'impédance d'entrée.

Amplitude de la vitesse. 2. Trouver sa solution en régime permanent.

Exercices

3. Calculer le facteur de qualité Q du système.

4. Déterminer la valeur de F 0 pour qu'à la résonance l'amplitude maximale soit égale à π/30 rad.

Exercice 2 : (suite de l'exercice n˚14 du chapitre précédent) Le bâti B 1 est maintenant animé d'un mouvement vertical sinusoïdal donné par : s(t) = S 0 cos(Ωt) où S 0 = 1 cm.

1. Montrer que l'équation différentielle qui régit le mouvement du système peut s'écrire :

On précisera de manière explicite le terme A 0 . Calculer sa valeur numérique.

2. Quelle est l'expression de la solution θ(t) lorsque le régime permanent est établi ? Vérifier que le système est très faiblement amorti ; en déduire la fréquence de résonance et l'amplitude de θ(t) à la résonance.

3. Quelle est, à la résonance, l'amplitude de la force F T transmise au sol par chaque amortisseur ?

Exercice 3 : Le dispositif mécanique ci-dessous représente le schéma de principe d'un appareil de mesure de vibrations. La masse m est liée par deux ressorts et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α à un support rigidement lié au système mécanique dont on veut étudier les vibrations. Le mouvement du support est repéré par s(t) tandis que le mouvement de la masse est repéré par x(t). On étudie des vibrations sinusoïdales de la forme s(t) = S 0 cos(Ωt). L'origine est prise à la position d'équilibre.

1. Etablir l'équation du mouvement de la masse m en fonction de la coordonnée relative

Exercice 1 : Soit le système mécanique représenté par la figure ci-contre, composé de deux oscillateurs linéaires (m, k) couplés par un ressort de raideur k . m m k k k'

x 1 x 2

1. Ecrire le lagrangien du système.

2. (a) Mettre ce Lagrangien sous la forme : Exercice 2 : Soit le système mécanique représenté figure ci-dessous. Les variables x 1 (t) et x 2 (t) représentent les déplacements horizontaux (à partir de l'équilibre) des masses m 1 et m 2 dans le cas des petites oscillations. La tige de longueur L est de masse négligeable.

On se place dans le cas où :

On posera : On prend :

1. Ecrire le Lagrangien du système. 1. Déterminer les pulsations propres du système ainsi que le rapport des amplitudes dans chacun des modes.

Exercice 1 : Vérifier que les fonctions suivantes :

Pour cela, considérons la portion du barreau située initialement entre les points d'abscisses respectives x et x + ∆x. Lorsque la traction est exercée, ces points se déplacent et leurs abscisses respectives deviennent x + u x (x) et x + ∆x + u x (x + ∆x). L'épaisseur de l'élément situé entre les deux sections devient :

Si l'épaisseur ∆x est suffisamment petite, un développement en série de Taylor au premier ordre permet d'écrire :

L'allongement relatif de l'élément est :

∆x Par définition, la déformation ε au voisinage du point d'abscisse initiale x est la limite de ce rapport lorsque ∆x tend vers zéro, c'est-à-dire la dérivée de u x par rapport à x :

Il convient de noter que la déformation ε qui est le rapport de deux longueurs est sans dimension. Lorsque ε est négative on dit que le milieu subit une contraction locale et si ε est positive le milieu subit une extension locale.

Déterminer la solution stationnaire y(t).

3. Dans le cas de ressorts de faible raideur, la pulsation propre ω 0 est petite devant la pulsation Ω. Donner dans ce cas l'expression de y(t). Montrer que l'on peut ainsi déterminer facilement l'amplitude S 0 de la vibration (on a réalisé ainsi un vibromètre).

4. Lorsque la raideur des ressorts est élevée, la pulsation propre ω 0 est grande devant la pulsation Ω des vibrations. Montrer , que dans ce cas on peut déterminer facilement l'accélération du support (on a ainsi réalisé un accéléromètre).

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Introduction

Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté. Exemples - Figure 1 Si les masses m 1 et m 2 sont astreintes à se déplacer verticalement, 2 coordonnées x 1 et x 2 sont nécessaires pour spécifier la position de chaque masse à chaque instant. - Figure 2 Si la masse M est astreinte à se déplacer dans un plan vertical, deux coordonnées sont nécessaires pour spécifier la configuration du système. L'une de ces coordonnées peut être le déplacement x qui correspond à la translation verticale de la masse. L'autre coordonnée peut être le déplacement angulaire θ pour tenir compte de la rotation de la masse. Ces deux coordonnées sont indépendantes l'une de l'autre. - Figure 3 Dans le cas du double pendule, deux coordonnées sont nécessaires pour spécifier la position des masses m 1 et m 2 . Plusieurs choix sont pourtant possibles, en effet on peut choisir (x 1 , x 2 ) ou (y 1 , y 2 ) ou (θ 1 , θ 2 ). Il est possible de spécifier la configuration d'un système à l'aide de plusieurs ensembles de coordonnées indépendantes ; un ensemble quelconque de ces coordonnées est appelé coordonnées généralisées. Il y a autant d'équations de Lagrange que de degrés de liberté ou de coordonnées généralisées. Pour l'étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d'écrire deux équations différentielles du mouvement que l'on peut obtenir à partir des équations de Lagrange

Les ondes acoustiques sont des ondes élastiques qui se propagent dans les fluides (gaz ou liquides). Il est donc possible d'obtenir l'équation d'onde qui régit la propagation des ondes planes dans un fluide par la même démarche que celle que nous avons utilisée pour établir l'équation de propagation des ondes transversales dans une corde.

Dans la suite, nous utiliserons les symboles suivants pour étudier l'onde acoustique qui se propage suivant l'axe des x :

x : coordonnée à l'équilibre d'une particule du milieu. u x : composante suivant l'axe des x du déplacement de particule par rapport à la position d'équilibre. On entend par particule, un élément de volume contenant des millions de molécules de telle sorte qu'il puisse être considéré comme continu, mais toutefois suffisamment petit pour que les grandeurs acoustiques comme la pression, la masse volumique et la vitesse de particule puissent être considérées comme constantes dans cet élément de volume. Dans ce qui suit, nous négligerons les effets de la gravitation de telle sorte que P 0 et ρ 0 sont uniformes dans tout le milieu. On suppose d'autre part que le milieu est homogène, isotrope et parfaitement élastique, c'est-à-dire non dissipatif.

Systèmes à deux degrés de liberté

Système masses-ressorts en translation

Considérons le système ci-dessus, constitué de deux masses m 1 et m 2 reliées respectivement par deux ressorts de raideur k 1 et k 2 à deux bâtis fixes. Les deux masses sont reliées par un ressort de raideur K. Ce ressort est appelé ressort de couplage.

Equations différentielles du mouvement

Les équations du mouvement pour ce système à deux degrés de liberté peuvent être obtenues à partir des équations de Lagrange pour chaque coordonnée x 1 (t) et x 2 (t). Soit T et U respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle :

Les termes −Kx 2 et −Kx 1 qui apparaissent respectivement dans la première et la seconde équation sont appelés termes de couplage, et les deux équations différentielles sont dites couplées.

Résolution des équations différentielles

Recherchons une solution particulière de la forme :

Ce qui constitue un système d'équations linéaires homogènes dont les inconnues sont A 1 et A 2 . Ce système admet une solution non identiquement nulle seulement si le déterminant ∆(ω) des coefficients de A 1 et A 2 est égal à zéro.

Le déterminant ∆(ω) est appelé déterminant caractéristique. L'équation ∆(ω) = 0 est appelée l'équation caractéristique ou équation aux pulsations propres. Elle s'écrit

Cette équation est une équation quadratique en ω qui admet deux solutions réelles positives ω 1 et ω 2 appelées les pulsations propres du système.

Cet exemple montre qu'il y a en général deux pulsations propres dans un système à deux degrés de liberté. Chacune des coordonnées, x 1 et x 2 , possède deux composantes harmoniques de pulsations ω 1 et ω 2

Le terme de plus basse fréquence correspondant à la pulsation ω 1 est appelé le fondamental. L'autre terme, de pulsation ω 2 , est appelé harmonique.

Les doubles indices sont utilisés pour les amplitudes des différentes composantes harmoniques ; le premier indice se réfère à la coordonnée et le second à la pulsation. Par exemple A 12 est l'amplitude de x 1 (t) à la pulsation ω 2 .

Lorsque A 12 = A 22 = 0, x 1 et x 2 correspondant à la première solution particulière sont des fonctions sinusoïdales, en phase, de pulsation ω 1 ; on dit que le système oscille dans le premier mode. Dans ce cas

Lorsque A 11 = A 21 = 0, x 1 et x 2 correspondant à la seconde solution particulière et sont des fonctions sinusoïdales, en opposition de phase, de pulsation ω 2 ; on dit que le système oscille dans le second mode. Dans ce cas

Etudions les particularités de ces deux solutions particulières : -La première solution particulière s'écrit :

Ces deux équations permettent d'obtenir le rapport des amplitudes dans le premier mode ou fondamental

-La seconde solution particulière s'écrit :

Ces deux équations permettent d'obtenir le rapport des amplitudes dans le second mode ou harmonique

où A 11 , A 12 , φ 1 et φ 2 sont des constantes d'intégration dont les valeurs sont fixées par les conditions initiales.

Cas particulier de deux oscillateurs identiques

Calcul des constantes d'intégration

Considérons le cas particulier de deux oscillateurs identiques tels que m 1 = m 2 = m et k 1 = k 2 = k. Dans ce cas les pulsations propres sont respectivement égales à

Les rapports d'amplitudes correspondant à ces pulsations sont respectivement µ 1 = +1 et

Soit x 10 , x 20 ,ẋ 10 etẋ 20 les valeurs initiales respectives de x 1 , x 2 ,ẋ 1 etẋ 2 . Tenant compte de ces conditions initiales, on obtient le système d'équations suivant qui permet de déterminer les

Les solutions de ce système d'équations sont

ou encore

1. Considérons le cas particulier suivant x 10 = x 20 = x 0 etẋ 10 =ẋ 20 = 0 ; on obtient dans ce cas

Pour ces conditions initiales particulières, les deux masses oscillent en phase à la même pulsation ω 1 . On dit que le système oscille dans le mode fondamental.

On dit que le système oscille dans le second mode car les deux masses oscillent en opposition de phase avec la même pulsation ω 2 .

x 0

Oscillations dans le mode harmonique 3. Considérons enfin le cas particulier suivant

Les solutions s'écrivent alors sous la forme

Les solutions ne sont plus des fonctions purement sinusoïdales du temps mais des combinaisons linéaires de deux fonctions sinusoïdales de pulsations respectives ω 1 et ω 2 . x 1 et x 2 peuvent s'écrire sous la forme

La figure suivante représente le résultat obtenu dans le cas où ω 1 est très différent de ω 2 (c'est-à -dire si K >> k). Si ω 1 est peu différent de ω 2 (c'est-à -dire si K << k), on observe un phénomène de battement (voir figure ci-dessous). temps temps -x 0

x 0

x 1

Phénomène de battements

Coordonnées principales

Considérons les coordonnées p 1 et p 2 obtenues à partir des coordonnées x 1 et x 2 par les relations

Tenant compte des expressions de x 1 et x 2 et des valeurs particulières de µ 1 et µ 2 pour l'exemple étudié, on obtient

On remarque que, quelles que soient les conditions initiales, p 1 et p 2 sont des fonctions purement sinusoïdales du temps de pulsations respectives ω 1 et ω 2 . Ces coordonnées particulières sont appelées coordonnées principales. On peut vérifier que le système d'équations différentielles qui régit le mouvement du système considéré s'écrit sous la forme de deux équations découplées

Les relations inverses suivantes

Pendules couplés

Considérons le cas de deux pendules simples identiques couplés par un ressort de raideur K et qui effectuent des oscillations de faible amplitude repérées par les angles θ 1 et θ 2 .

Etablissons tout d'abord les équations différentielles du mouvement dans le cas des oscillations de faible amplitude. Il est aisé de montrer que l'énergie cinétique et l'énergie potentielle s'écrivent sous les formes quadratiques suivantes

On remarque la présence du terme de couplage −Kl 2 θ 1 θ 2 dans l'expression de l'énergie potentielle. Comme dans l'exemple précédent, on dit que le couplage est élastique. Si le terme de couplage n'existe que dans l'expression de l'énergie cinétique, on dit que le couplage est de type inertiel.

Les équations de Lagrange permettent d'obtenir les équations différentielles du mouvement

Ces deux expressions doivent satisfaire le système d'équations différentielles, d'où

Ce système d'équations admet des solutions non nulles seulement si ω est solution de l'équation aux fréquences

D'où l'on tire l'expression des pulsations propres ω 1 et ω 2

La solution du système d'équations différentielles est donc

Pour calculer les rapports des amplitudes dans les modes, on suppose que le système oscille soit dans le premier mode soit dans le second mode. Dans le premier mode, on obtient le système

Ecrire les solutions x(t) et θ(t).

3. Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté

Système masses-ressorts-amortisseurs

Système à deux degrés de liberté en oscillations forcées.

Pour étudier les particularités des oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté, étudions le système symétrique de la figure ci-dessus, soumis à une force horizontale F appliquée à la première masse.

Equations différentielles

Les équations différentielles du mouvement s'écrivent :

Oscillations non amorties

Etude du régime permanent sinusoïdal

Solution permanente

La solution générale de système d'équations différentielles est égale à somme de la solution du système homogène et d'une solution particulière. La solution de l'équation homogène, en raison de l'amortissement, tend vers zéro lorsque le temps augmente. Lorsque le régime permanent s'établit, la solution devient égale à la solution permanente et s'écrit alors :

Pour calculer les amplitudes X 1 et X 2 , ainsi que les phases φ 1 et φ 2 , utilisons la méthode des nombres complexes. On peut ainsi écrire :

Dans ces expressions les amplitudes complexes sont définies par

Dans ce cas les équations différentielles se transforment en équations algébriques :

Amortissement négligeable

Considérons d'abord le cas d'un amortissement suffisamment faible pour que l'on puisse considérer que α 0. Le système d'équations différentielles s'écrit alors

Les solutions de ce système sont :

Impédance

Les pulsations ω 1 = k m et ω 2 = k + 2K m sont les pulsations propres calculées au chapitre précédent. La valeur de la pulsation Ω A est :

Les amplitudes des déplacements X 1 et X 2 sont alors données par

Les variations des amplitudes X 1 et X 2 sont représentées sur les figures ci-dessous. Variation de X 2 en fonction de Ω On remarque que le phénomène de résonance se produit pour X 1 comme pour X 2 lorsque la pulsation d'excitation Ω est égale à l'une des pulsations propres ω 1 ou ω 2 du système. L'amortissement étant très faible, les amplitudes à la résonance sont très importantes. Lorsque la pulsation Ω devient très grande, ces amplitudes tendent vers zéro. Enfin lorsque Ω = Ω A , l'amplitude X 1 est égale à zéro ; pour cette raison, la pulsation Ω A est appelée pulsation d'antirésonance.

Considérons le système à deux degrés de liberté étudié dans le paragraphe précédent dans lequel nous supposons que l'amortissement est nul (α 0). En régime stationnaire, on obtient pour l'amplitude complexe de la vitesseẊ 1 :

On en déduit l'impédance d'entrée :

Les figures ci-dessous donnent les variation deẊ et Z E en fonction de Ω. On note le phénomène de résonance lorsque la pulsation d'excitation Ω est égale à l'une des deux pulsations propres ω 1 ou ω 2 . A ces pulsations, le module de l'impédance d'entrée est nul. Enfin, lorsque Ω est égale à la pulsation d'antirésonance Ω A , la vitesse de la première masse est nulle et le module de l'impédance d'entrée est infini. Lorsque Ω → ∞, Z E mΩ.

Variation de Ẋ 1 en fonction de Ω Variation de Z E = |Z E | en fonction de Ω

On appelle impédance en un point le rapport de l'amplitude complexe de la force à l'amplitude complexe de la vitesse de particule

Dans le cas d'une onde progressive, on obtient :

La quantité √ µT définit l'impédance caractéristique de la corde

On obtient une propriété de l'onde progressive plane

On appelle impédance en un point le rapport de l'amplitude complexe de la force F x à l'amplitude complexe de la vitesse de particuleu x :

Dans le cas d'une onde progressive harmonique, on a :

d'où l'expression de l'impédance en un point

On appelle impédance caractéristique du milieu constituant le barreau, la quantité Z c = ρE = ρV D'où l'expression de l'impédance mécanique du barreau :

Nous remarquons que l'impédance caractéristique ne dépend pas de la position ; cette propriété est caractéristique des ondes planes progressives. Dans les autres cas, en présence de réflexion par exemple, l'impédance en un point dépend de la coordonnée x. Notons que l'impédance caractéristique du milieu Z C s'exprime en N m −2 tandis que l'impédance Z du barreau s'exprime en kg s −1 .

Application

Le phénomène d'antirésonance peut être avantageusement utilisé pour supprimer une vibration résultant d'une résonance dans un système mécanique.

Etouffeur de vibrations . Variation de X 1 en fonction de Ω.

Considérons le système à deux degrés de liberté de la figure ci-dessus. Les équations différentielles du mouvement s'écrivent

En régime permanent sinusoïdal, on obtient

Lorsque la pulsation de la force excitatrice est égale à Ω A = K M , la masse m est immobile (X 1 = 0).

Si on choisit K et M telles que k m = K M (c'est-à-dire telles que ω 0 = Ω A ), la masse m est immobile lorsque la pulsation excitatrice Ω est égale à ω 0 = k m = K M . Dans ces conditions, l'ajout de M et K permet d'annuler la vibration de m à cette pulsation. Un tel dispositif constitue un "étouffeur" dynamique de vibrations. Généralités sur les phénomènes de propagation 6.1 Propagation à une dimension

Equation de propagation

Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à des phénomènes ou des grandeurs physiques qui dépendaient d'une seule variable, le temps. Nous allons maintenant examiner toute une série de phénomènes qui sont décrits par une fonction qui dépend à la fois du temps t et d'une variable d'espace, x par exemple.

Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation de d'Alembert ou équation d'onde ou encore équation de propagation à une dimension de la forme :

dans laquelle V est une grandeur physique qui a les dimensions d'une vitesse et sera appelée dans la suite vitesse de propagation.

Nous allons considérer ici uniquement le cas des ondes planes longitudinales se propageant dans un barreau. Considérons un élément du barreau de section S compris entre deux sections d'abscisses respectives x et x + ∆x. La section d'abscisse x est soumise à une traction F (x) de la part de la partie gauche du barreau, tandis que la section d'abscisse x + ∆x est soumise à une traction F (x + ∆x) de la part de la partie droite du barreau. Sous l'action de ces deux forces les deux sections se déplacent respectivement de u x (x) et u x (x + ∆x) le long de l'axe (Ox). Le déplacement de particules u x est une fonction à la fois de la coordonnée x et du temps t. Si ρ est la masse volumique du barreau, la masse de l'élément d'épaisseur ∆x s'écrit : ∆m = ρS ∆x Écrivons la relation fondamentale de la dynamique pour cet élément :

Dans le cas où ∆x est faible, la force F (x + ∆x) agissant en x + ∆x s'écrit :

Sachant que la force normale F est reliée à la déformation ε = ∂ux ∂x par la loi de Hooke :

On retrouve l'équation des ondes (équation de d'Alembert) qui décrit la propagation d'un ébranlement à la vitesse

Les ondes décrites par cette équations correspondent à une grandeur physique vectorielle, le déplacement de particules u , orientée le long de la direction de propagation. Ce type de mouvement ondulatoire est dit longitudinal.

Solution de l'équation de propagation

Méthode de d'Alembert

Pour résoudre l'équation des ondes à une dimension, opérons le changement de variable suivant :

Calculons les dérivées partielles par rapport à t et x, en fonction des dérivées partielles par rapport à η et ξ.

En remplaçant dans l'équation d'onde ∂ 2 s ∂t 2 et ∂ 2 s ∂x 2 par les expressions ci-dessus, on obtient l'équation d'onde exprimée en fonction des dérivées partielles par rapport aux variables η et ξ :

Cette dernière équation peut s'écrire ∂ ∂ξ ∂s ∂η = 0

Un intégration par rapport à ξ donne :

où f (η) est une fonction qui ne dépend que de η (et pas de ξ). Enfin une intégration par rapport à η donne :

où F (η) , qui ne dépend que de η, est une primitive de f (η). La fonction G (ξ) est une fonction qui ne dépend que de ξ. En revenant aux variables x et t, on obtient la solution générale de l'équation des ondes à une dimension :

des fonctions dont la nature est fixée par les conditions aux frontières imposées à la solution s (x, t).

Propriétés des solutions particulières

On étudie le cas de la solution particulière F t − x V . Pour cela on suppose que les conditions aux frontières sont telles que G t + x V est constamment nulle. On considère à l'instant t 1 un point d'abscisse x 1 . La valeur de la fonction s en ce point et à cet instant est s (x 1 , t 1 ). On recherche à un instant t 2 postérieur à t 1 (t 2 > t 1 ) la position x 2 d'un point pour lequel la valeur de s est la même que la valeur qu'elle avait en x 1 à l'instant t 1 . Ce problème est formulé par l'égalité suivante :

Ce qui se traduit par

Comme t 2 > t 1 , x 2 est supérieure à x 1 et ces deux points sont distants de

correspond à une onde se propageant dans le sens des x croissants (Voir la figure ci-dessous). F t − x V est appelée onde progressive et cette expression constituera dans la suite la définition d'une onde progressive. (x 1 , t 1 ). On recherche à un instant t 2 postérieur à t 1 (t 2 > t 1 ) la position x 2 d'un point pour lequel la valeur de s est la même que la valeur en x 1 à l'instant t 1 . Ce problème est formulé par l'égalité suivante :

Ce qui se traduit par

Cette équation est satisfaite si

Comme t 2 > t 1 , x 2 est inférieure à x 1 . Ces deux points sont distants de

G t + x V correspond à une onde se propageant dans le sens des x décroissants (Voir la figure ci-dessous). Cette expression constitue la définition d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) ; elle peut être écrite sous la forme :

où φ (x) = ω V x représente le déphasage lié au temps de propagation x V . On dit que φ (x) représente le déphasage dû à la propagation. L'onde progressive sinusoïdale s'écrit sous la forme suivante qui permet de mettre en évidence la double périodicité (dans le temps et dans l'espace) :

La quantité T = 2π ω est la période temporelle tandis que la quantité λ = V T est la longueur d'onde qui constitue la période spatiale. On peut vérifier aisément que :

où n est un nombre entier.

Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

La superposition de deux ondes harmoniques de même fréquence, et qui se propagent dans la même direction, donne une autre onde harmonique progressive de même fréquence, d'amplitude S et de phase φ.

Cas de deux ondes de même fréquence se propageant dans des sens opposés

Si par contre, on superpose deux ondes harmoniques de même fréquence mais se propageant dans des sens opposés, le résultat est tout autre. En effet, dans ce cas :

s (x, t) = S 1 e i(ωt−kx+φ 1 ) + S 2 e i(ωt+kx+φ 2 ) = S 1 e iφ 1 e −ikx + S 2 e iφ 2 e +ikx e iωt et on ne peut plus écrire l'onde résultante sous la forme d'une onde progressive simple. Un cas particulier important se produit quand les deux amplitudes sont identiques. Si on note :

s (x, t) = 2S 0 cos kx + φ 1 − φ 2 2 e i ωt+ φ 1 +φ 2 2 et donc en notation réelle :

s (x, t) = 2S 0 cos kx + φ 1 − φ 2 2 cos ωt + φ 1 + φ 2 2 Ce mode de vibration est très différent d'une onde progressive puisque tous les points x de la corde vibrent en phase avec des amplitudes différentes. En particulier, il existe une série de points :

λ 2 avec n = 0, ±1, ±2, · · · où l'amplitude de vibration est constamment nulle. On dit dans ce cas que l'onde est stationnaire et que les points x n sont les noeuds de l'onde. Entre chaque paire de noeuds existe un ventre où l'amplitude de vibration est maximum et égale à 2S 0 . On note aussi que l'intervalle entre deux noeuds est égal à une demi-longueur d'onde λ/2. Cette égalité est satisfaite si les phases instantanées sont égales :

Vitesse de phase

On définit la vitesse de phase V φ = ∆x ∆t qui s'exprime en fonction de ω et k par :

V φ = ω k Si la vitesse de phase ne dépend pas de ω, le milieu est dit non dispersif. Dans le cas contraire il est dit dispersif.

La figure ci-dessous permet d'illustrer la notion de vitesse de phase en considérant deux représentations à des instants différents d'une corde parcourue par une onde . La courbe continue représente l'ensemble des points de la corde à l'instant t. Le point de la corde d'abscisse x est représenté par le point blanc, tandis que le point d'abscisse x + ∆x est représenté par le point noir. On constate qu'entre les instants t et t + ∆t chacun de ces points suit une trajectoire rectiligne et le déplacement du point noir à l'instant t + ∆t est égal au déplacement du point blanc à l'instant t. En particulier la crête de la corde, correspondant à une valeur particulière de la phase instantanée, semble se déplacer dans le sens de propagation de l'onde avec la vitesse de V φ mais la trajectoire de chaque point matériel est une trajectoire rectiligne perpendiculaire à la direction de propagation.

Vitesse de groupe

La vitesse de phase V φ n'est pas nécessairement la vitesse que l'on observe lorsqu'on analyse un mouvement ondulatoire. En général une onde n'est pas parfaitement sinusoïdale mais a une durée limitée et se présente sous la forme d'un train d'onde appelé communément "pulse" ou "groupe" qui se propage avec une vitesse V G appelée vitesse de groupe. Cette onde sous la forme d'un pulse contient plusieurs fréquences. Si la vitesse de phase est indépendante de la fréquence (Milieu non dispersif) alors toutes les fréquences qui constituent le pulse se propagent à la même vitesse et le pulse se propage avec une vitesse de groupe égale à la vitesse de phase. Mais si le milieu est dispersif (i.e. la vitesse de phase dépend de la fréquence), alors le pulse se propage avec une vitesse de groupe différente de la vitesse de phase.

Pour illustrer ce phénomène, considérons une onde constituée de deux ondes de fréquences différentes et de même amplitude. En x = 0, cette onde s'écrit par exemple sous la forme :

Cette onde peut s'écrire encore :

Si ω 1 est voisine de ω 2 , la vibration résultante se présente sous la forme d'une sinusoïde de pulsation ω dont l'amplitude est modulée par un battement de pulsation ω B (Modulation d'amplitude).

En un point x > 0, l'onde obtenue résulte de la superposition de ces deux ondes qui se sont propagées à des vitesses différentes car le milieu de propagation est supposé dispersif :

s (x, t) peut s'écrire :

Dans cette expression :

L'amplitude du battement se propage à une vitesse qui est la vitesse de groupe définie par la relation :

Comme k 2 est peu différent de k 1 , la vitesse de groupe est définie par :

Tandis que la sinusoïde contenue à l'intérieur du battement se propage à la vitesse de phase :

Propagation d'un paquet d'ondes : Les flèches verticales noires correspondent au maximum des battements qui se propagent à la vitesse de groupe. Les flèches verticales blanches correspondent au maximum des vibrations qui se propagent à la vitesse de phase.

Onde vectorielle

Dans ce qui précède, la quantité s (x, t) représente une grandeur scalaire, mais certains phénomènes décrits par des vecteurs conduisent à des équations similaires :

Le vecteur A, défini dans un milieu à trois dimensions, possède trois composantes A x , A y , A z et l'expression ci-dessus signifie que chacune de ces composantes satisfait individuellement l'équation de propagation :

Propagation dans l'espace à trois dimensions 6.2.1 Equation de propagation

Dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation de propagation dans l'espace à trois dimensions s'écrit sous la forme :

On définit le laplacien scalaire de s par l'expression ci-dessous :

Onde plane progressive sinusoïdale

Définition L'onde progressive sinusoïdale (ou harmonique), se propageant dans une direction donnée par un vecteur unitaire u est définie par : s ( r, t) = S 0 cos ωt − k · r où le vecteur k = k u est appelé le vecteur d'onde. Si les composantes du vecteur k sont k x , k y et k z , alors l'onde plane est définie par s (x, y, z, t) = S 0 cos (ωt − k x x − k y y − k z z) On peut utiliser la notation complexe pour représenter l'onde plane progressive sinusoïdale qui s'écrit dans ce cas sous la forme :

Relation de dispersion

En remplaçant s( r, t) par son expression dans l'équation de propagation, on obtient la relation k = k (ω) qui est la condition pour que l'onde plane définie ci-dessus constitue une solution particulière de l'équation d'onde. Cette relation est appelée la relation de dispersion et elle s'écrit :

Surface d'onde

On appelle surface d'onde ou surface équiphase, l'ensemble des points de l'espace pour lesquels, au même instant, s ( r, t) a la même valeur. Recherchons la surface d'onde passant par un point M 0 à un instant t ; cette surface est l'ensemble des points M de l'espace pour lesquels l'égalité suivante est satisfaite : s ( r, t) = s ( r 0 , t)

Cette égalité se traduit par : Il existe d'autres types d'ondes définis par les surfaces d'onde respectives : par exemple les ondes sphériques pour lesquelles les surfaces d'onde sont des sphères ou les ondes cylindriques pour lesquelles les surfaces d'onde sont des cylindres.

Polarisation

Dans le cas d'une onde plane progressive sinusoïdale représentée par une quantité vectorielle A ( r, t), cette quantité peut avoir différentes orientations par rapport aux surfaces d'ondes :

1. A est constamment perpendiculaire à la surface d'onde, ou de manière équivalente parallèle à la direction de propagation : l'onde est dite longitudinale.

2.

A est contenu dans la surface d'onde, ou de manière équivalente perpendiculaire à la direction de propagation : l'onde est dite transversale. Dans ce cas, l'extrémité du champ vectoriel A peut décrire une trajectoire rectiligne : l'onde transversale est dite à polarisation rectiligne. Elle peut décrire une trajectoire circulaire (onde transversale à polarisation circulaire), ou une trajectoire elliptique (onde transversale à polarisation elliptique).

Chapitre 7

Cordes vibrantes

Equation des ondes

Considérons une corde tendue, rectiligne selon la coordonnée x, et de longueur infinie. Nous allons étudier la propagation d'un faible ébranlement le long de la corde. Supposons que cet ébranlement se produise suivant l'axe 0y.

Etudions l'équation du mouvement de cette corde. Nous dénoterons par T la tension à laquelle est soumise la corde. On considère en un point d'abscisse x un segment très court de cette corde, de longueur ∆x. La masse ∆m du segment est donnée par : ∆m = µ∆x où µ est la densité linéique de masse de la corde, c'est-à-dire la masse par unité de longueur qui s'exprime en kg/m. Dans une situation hors équilibre, le segment n'est plus droit, il présente une courbure. Nous considérons des mouvements d'oscillation de la corde de petite amplitude u (x, t) = u (x, t) e y si bien que nous pouvons faire l'approximation :

Cette approximation néglige aussi l'allongement du segment, et considère donc la tension T comme constante. La force appliquée sur le segment dans la direction y est la résultante de la force appliquée au point x, qui est une force appliquée vers le bas et égale en module à

et de la force appliquée au point x+∆x qui est vers le haut et égale à

La force totale dans la direction y est donc :

Nous pouvons appliquer maintenant la loi fondamentale de la dynamique au segment ∆x. La force dans la direction y doit être égale au produit de la masse ∆m du segment par l'accélération de celui-ci. Donc :

Si on définit V = T µ qui a la dimension d'une vitesse, on constate que :

∂ 2 u ∂t 2 = 0 qui est l'équation d'onde de la corde. V est la vitesse de propagation de cette onde.

Ondes progressives harmoniques 7.2.1 Définition

Une onde progressive harmonique se propageant selon Ox est définie par :

u (x, t) = U 0 cos (ωt − kx) ou encore en notation complexe

λ est le module du vecteur d'onde, λ étant la longueur d'onde.

Force en un point

On appelle force en un point, la projection selon Oy de la force exercée, en ce point, par la partie gauche de la corde sur la partie droite : F = −T ∂u ∂x Dans le cas d'une onde progressive sinusoïdale, cette relation devient :

Oscillations libres d'une corde de longueur finie

La vitesse de particules s'écrit :

On constate que pour une onde progressive la vitesse de particulesu est en phase avec la force F .

x T,µ

En remplaçant dans l'équation de propagation, on obtient :

Le membre de gauche de cette équation ne dépend que de x, tandis que le membre de droite ne dépend que de t. Ces deux expressions sont donc égales à une constante qui doit être un nombre réel négatif que nous posons égal à −k 2 car la solution ne doit pas tendre vers l'infini lorsque t tend vers l'infini. Posons ω = k V . On en déduit que :

L où n = 0, 1, 2, · · · La solution de l'équation d'onde qui satisfait ces conditions aux limites est donc la somme d'une infinité de termes :

[a n cos (ω n t) + b n sin (ω n t)] sin (k n x) avec k n = n π L et ω n = k n V = n πV L Les ω n sont les pulsations propres. Les coefficients a n et b n sont déterminés par les conditions initiales du mouvement. Supposons qu'à t = 0 nous imposions à la corde une certaine forme initiale u(x, 0) = u 0 (x) et une vitesse initialė

Dans ce cas nous aurons les conditions initiales suivantes :

les amplitudes des déplacements associés respectivement à l'onde incidente, l'onde réfléchie et l'onde transmise. On en déduit :

Réflexion sur une impédance quelconque

Corde semi-infinie terminée par une impédance Z T Soit une corde de longueur semi-infinie, de masse linéique µ, tendue horizontalement avec une tension T et terminée en x = 0 par une impédance mécanique Z T . Lorsqu'une onde harmonique se propage dans la corde de −∞ vers x = 0, elle subit une réflexion en ce point. Sachant que le déplacement de particules s'écrit :

on en déduit la vitesse de particules et la force en un point d'abscisse ẋ

En x = 0, les conditions aux limites s'écrivent :

On en déduit le coefficient de réflexion R u en fonction de l'impédance caractéristique Z c et de l'impédance Z T placée à l'extrémité de la corde : Déformation locale d'un barreau.

Contrainte moyenne

Le fil s'est allongé sous l'effet de la force extérieure F exercée normalement sur sa section droite de surface S. Dans le cas général, cette force n'est pas constante le long du fil, elle dépend de l'abscisse x. On définit la contrainte moyenne par le rapport :

Cette grandeur homogène à une force par unité de surface s'exprime en N m −2 (ou en Pa).

Loi de Hooke

Dans le domaine de l'élasticité linéaire, c'est-à-dire pour des tensions mécaniques et des déformations pas trop importantes, la déformation est proportionnelle à la contrainte. Cette propriété est exprimée par la loi de Hooke :

Dans cette expression la constante E, caractéristique du matériau constituant le fil, s'appelle le module d'Young ; elle a les dimensions d'une force par unité de surface (en N m −2 ou en Pa).

Coefficient de Poisson

En plus de l'allongement selon Ox, il se produit un rétrécissement dans les directions perpendiculaires à l'axe du fil. Si d est la dimension latérale du fil, on a :

Le coefficient ν est appelé coefficient de Poisson ; c'est un nombre positif toujours inférieur à 0.5. Pour les métaux usuels, sa valeur est ν = 0.3.

Loi de Hooke pour les forces tangentielles

Barreau soumis à une force de cisaillement.

Si nous appliquons à la surface S d'un barreau une force F , non plus normale mais tangentielle, la longueur du barreau ne change pas, seules les arêtes normales au plan d'application de F tournent d'un angle α.

Dans l'approximation de l'élasticité linéaire (cas des petites valeurs de α), l'angle α est proportionnel à la force appliquée. La loi de Hooke s'exprime dans ce cas par :

Le tableau ci-dessous donne les valeurs caractéristiques des modules de quelques matériaux courants.

Matière Caractéristiques mécaniques de quelques métaux usuels.

Onde plane longitudinale

Ondes progressives harmoniques

Réflexion et transmission

Réflexion et transmission entre deux barreaux semi-infinis

sont les amplitudes des déplacements associés respectivement à l'onde incidente, l'onde réfléchie et l'onde transmise. On en déduit :

Réflexion à l'extrémité d'un barreau terminé par une masse M.

Considérons un barreau (ρ, S, E) de longueur supposée semi-infinie (x ≤ 0) terminé en son extrémité x = L par une masse M . Le barreau est le siège de la propagation d'un onde incidente et d'une onde réfléchie ; l'onde résultante s'écrit :

Écrivons la relation fondamentale de la dynamique pour la masse M :

On en déduit l'expression du coefficient de réflexion au niveau de la masse M :

On constate que le module du coefficient de réflexion |R u | est égal à 1 ; il s'agit donc d'un phénomène de réflexion totale. On retrouve un résultat assez général qui est que le coefficient de réflexion est égal à la différence des impédances sur la somme des impédances et que dans le cas où l'impédance terminale est imaginaire, il se produit un phénomène de réflexion totale.

Oscillations libres d'un barreau

n étant un nombre entier. Les pulsations correspondantes permettant de satisfaire les conditions aux frontières sont

Ces pulsations "permises" sont appelées les pulsations propres. Il y a donc une infinité de pulsations propres et la solution générale s'écrit :

−2iA n sin (k n x) e iωnt En revenant à la notation réelle, c'est-à-dire en prenant la partie réelle de l'expression précédente, on obtient :

[a n cos (ω n ) + b n sin (ω n t)] sin (k n x) où les coefficients a n et b n sont reliés aux nombres complexes A n par : −2iA n = a n − ib n avec k n = (2n + 1) π 2L et ω n = k n V = (2n + 1) πV 2L

Les ω n sont les pulsations propres. Les coefficients a n et b n sont déterminés par les conditions initiales du mouvement. Supposons qu'à t = 0 nous imposions aux différents points du barreau un déplacement initial

Dans ce cas nous aurons les conditions initiales suivantes :

On doit inverser ces équations pour obtenir les coefficients a n et b n . La méthode de Fourier décrite dans le chapitre précédent, permet d'obtenir :

Oscillations forcées d'un barreau de longueur finie

Oscillations forcées d'un barreau de longueur finie.

Considérons un barreau dont l'extrémité en x = 0 est fixée rigidement tandis que l'extrémité située en x = L est soumise à une force sinusoïdale F (t) = F 0 cos (Ωt).

En notation complexe les conditions aux frontières s'écrivent :

Le milieu de propagation étant de longueur finie, le déplacement de particules u x (x, t) s'écrit en régime permanent : Ventres

La résonance apparaît pour des fréquences d'excitations Ω égales à l'une des pulsations propres du barreau Ω = ω n = (2n + 1) πV 2L . Pour ces fréquences, l'amplitude U max au niveau des ventres d'élongation devient infinie.

Ondes élastiques transversales

Ondes transversales dans un barreau Nous allons analyser le problème des ondes élastiques transversales dans un barreau solide. Lorsque l'extrémité du barreau est soumise à une force de cisaillement, parallèle à la section S, nous pouvons supposer que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en bas sans mouvement horizontal. Appelons u z le déplacement transversal d'une tranche d'épaisseur ∆x à un instant donné. Le déplacement u z est fonction de la position x sinon il correspondrait à un déplacement de l'ensemble du barreau parallèlement à lui même. Il en résulte une déformation de cisaillement. Chaque tranche d'épaisseur ∆x est soumise aux forces antagonistes F (x) et F (x + ∆x) qui sont tangentes aux sections et qui sont produites par les portions du barreau qui sont situées de chaque côté du barreau. Il existe entre la force tangentielle de cisaillement et la déformation de cisaillement, une relation analogue à la loi de Hooke :

où G est un coefficient caractéristique du matériau, que l'on nomme module de cisaillement. La force résultante sur la tranche ∆x est :

La relation fondamentale de la dynamique pour la tranche ∆x s'écrit :

La dérivation de la loi de Hooke, par rapport à x donne :

Par substitution, on obtient ∂ 2 u z ∂x 2 − ρ G ∂ 2 u z ∂t 2 = 0 A nouveau nous obtenons l'équation de propagation d'une onde, de cisaillement cette fois, qui se propage à la vitesse

La composante F z de la force exercée par la partie gauche du barreau sur l'élément d'épaisseur ∆x est définie par :

On peut montrer que l'impédance mécanique du barreau Z s'écrit :

ρE est l'impédance caractéristique du matériau constituant le barreau.

Modèle de la chaîne linéaire

Dans ce paragraphe on développera sommairement le modèle de la chaîne linéaire d'atomes qui permet de décrire le phénomène de propagation des ondes élastiques dans les solides. Considérons un barreau de section S et de longueur L "très grande", taillé dans un solide cristallin monoatomique. Si on applique sur la face située en x = 0 une force de compression F (t), une onde longitudinale va se propager le long de l'axe Ox. Étudions le phénomène qui se produit dans le barreau avant que le front d'onde n'ait atteint son extrémité. Nous supposons que le barreau est un solide monocristallin monoatomique et que les atomes le constituant sont disposés aux noeuds d'un réseau tridimensionnel régulier. En se propageant une onde plane longitudinale fait osciller simultanément tous les atomes se trouvant dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation Ox. Puisqu'ils se déplacent tous en bloc, ces atomes sont équivalents à une masse unique M concentrée sur l'axe Ox. Chacun des plans transversaux d'atomes est maintenu en place par les forces de liaison qui agissent comme des ressorts placés en parallèle ; ils sont donc équivalents à un ressort unique de raideur K. Il suffit donc de raisonner sur une seule chaîne d'atomes identiques et équidistants, séparés à l'équilibre par une distance a.

Le solide est constitué d'une chaîne comportant une infinité d'atomes, assimilés à des points matériels de même masse M , reliés par des ressorts identiques de longueur à vide a et de raideur K, et susceptibles de se déplacer sans frottement le long de l'axe Ox.

Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leurs position d'équilibre. C'est ce couplage entre les différents oscillateurs qui permet la propagation d'une onde élastique. On repère les positions à l'équilibre de l'atome d'ordre n par : x n |é qu = n a. Hors équilibre, les abscisses de ces atomes sont : x n = x|é qu + u n (t) = n a + u n (t) ; les déplacements particulaires u n (t) supposés faibles devant a, dépendent à la fois du temps et de la position à l'équilibre na.

L'énergie potentielle de ce système s'écrit :

tandis que l'énergie cinétique s'écrit :

H. Djelouah D'où la fonction de Lagrange :

L'écriture de l'équation de Lagrange permet d'obtenir l'équation différentielle du mouvement pour l'atome d'ordre n : Cette dernière relation est appelée relation de dispersion. Sa représentation graphique est appelée diagramme de dispersion du milieu de propagation (figure ci-dessous).

Modélisation microscopique du problème et mise en équations.

O M K

Solution en régime permanent sinusoïdal

Diagramme de dispersion

Comme sin ka 2 < 1, la fréquence des ondes élastiques pouvant se propager dans un cristal est limitée par la fréquence de coupure :

L'intervalle − π a < k < π a est appelé première zone de Brillouin. La longueur d'onde la plus courte que puisse transmettre le réseau est :

où k c = π a . Nous remarquons que u n peut s'écrire également :

k représente la vitesse de phase. Pour les faibles valeurs du nombre d'onde ( ka << 1 ), la relation de dispersion s'écrit :

C'est l'équation d'une droite dont la pente V 0 = a K M représente la vitesse de propagation des ondes élastiques de basses fréquences. La fréquence de coupure peut s'écrire en fonction de V 0 :

L'approximation d'un milieu continu.

Dans un réseau cristallin, la distance a entre deux atomes est typiquement de l'ordre de 10 −10 m, distance très inférieure aux dimensions caractéristiques des phénomènes de propagation à étudier (qui sont plutôt de l'ordre de grandeur du mm à quelques mètres). Ceci suggère de considérer la chaîne d'atomes comme un milieu continu, dont les déplacements sont décrits par une fonction continue u(x, t) prenant les valeurs u n (t) aux points d'abscisses x n = na.

L'équation du mouvement de la particule d'ordre n peut se réécrire sous la forme :

Si λ >> a, la différence u n+1 − u n est un infiniment petit qui, au premier ordre près, peut s'écrire :

Dans ces conditions, l'équation différentielle du mouvement devient :

Au premier ordre près, on peut considérer que :

et l'équation du mouvement s'écrit alors :

Cette équation est équivalente à l'équation de propagation : Exercice 5 : Soit une chaîne linéaire de particule identiques de masse m. A l'équilibre, la masse d'ordre n est située, sur l'axe Ox, au point d'abscisse x n = n · a, x n étant négatif ou nul ( Figure a). Les masses sont reliées entre elles par des ressorts identiques de raideur K, dont la longueur au repos est a. Soit u n l'écart de la particule d'ordre n par rapport à la position d'équilibre. Ondes acoustiques dans les fluides

Equation d'onde

Considérons le cas d'une onde plane émise dans un fluide par une membrane vibrante plane. Lorsque celle-ci est au repos, la pression dans le fluide est uniforme et égale à P 0 . En se déplaçant, par exemple dans le sens des x positifs, la membrane comprime la couche de fluide adjacente. Cette situation est instable : le fluide se détend en comprimant à son tour la tranche voisine. L'onde progresse ainsi de proche en proche par une succession de compressions et de détentes.

La résultante de ces deux forces est :

En faisant un développement en série de Taylor au premier ordre de P (x, t), on obtient :

Comme P = P 0 + p, la force résultante s'exprime par :

Sous l'action de cette force, la tranche de fluide subit une accélération et en écrivant la relation fondamentale de la dynamique, on obtient :

Le fluide étant compressible, le déplacement du plan d'abscisse x + ∆x est différent du déplacement du plan d'abscisse x et il vaut u x (x + ∆x, t). De nouveau un développement en série de Taylor au premier ordre permet d'écrire :

Pour prendre en compte la compressibilité du fluide, calculons la dilatation volumique subie par la tranche de fluide . Soit ∆v 0 = S ∆x, le volume à l'équilibre et soit ∆v, le volume en cours de mouvement, avec :

On en déduit la dilatation volumique

Rappelons que pour un fluide compressible, la surpression p est reliée à la dilatation volumique θ par la relation p = −κ θ où κ est le module de compressibilité. On obtient ainsi :

constituent les deux équations fondamentales de l'acoustique. En remplaçant dans la première équation p par son expression tirée de la seconde équation on obtient l'équation de propagation :

Vitesse du son

Le phénomène de propagation étant un processus adiabatique, la relation liant la pression et le volume est P v γ = constante

En calculant la différentielle, on obtient :

v γ dP + γP v γ−1 dv = 0

Si l'on considère que dP représente la variation de pression au voisinage de la pression à l'équilibre P 0 , on obtient :

En tenant compte de la définition du module de compressibilité, on obtient : 330 m · s −1 La valeur de la pression à l'équilibre dépend fortement de la température. Pour une mole de gaz parfait, on a :

Le produit ρ 0 v 0 représente la masse molaire M du gaz ; d'où :

Dans un gaz parfait, la vitesse de propagation du son est proportionnelle à la racine carrée de la température mesurée en kelvin (K).

Onde progressive sinusoïdale 9.4.1 Définition

Une onde acoustique sinusoïdale, s'écrit :

On définit le module du vecteur d'onde k par

En notation complexe, l'onde progressive sinusoïdale s'écrit

La relation liant la pression acoustique et la compressibilité, à savoir

La dérivation de cette dernière expression par rapport au temps permet d'obtenir la vitesse de particules :u

On constate que pour une onde progressive la vitesse de particules est en phase avec la pression acoustique.

Impédance acoustique

On appelle impédance acoustique en un point le rapport de l'amplitude complexe de la pression à l'ampliude complexe de la vitesse de particule Z (x) = ṗ u Dans le cas d'une onde progressive, on obtient :

On obtient une propriété de l'onde plane progressive :

Energie acoustique

Densité d'énergie cinétique

Soit un petit élément de volume v 0 dont le dépélacement est u (x, t) et dont la vitesse esṫ u (x, t) ; il possède une énergie cinétique

On définit l'énergie cinétique par unité de volume ou densité d'énergie cinétique

Densité d'énergie potentielle

Soit un petit élément de volume v 0 . Sous l'action de la surpression p, cet élément se comprime ou se dilate en raison de la compressibilité du fluide. L'énergie potentielle emmagasinée est égale au travail fourni par la pression pour comprimer ou dilater le volume v 0 :

on en déduit que :

On en déduit la densité d'énergie potentielle :

Densité d'énergie

La densité d'énergie est égale à la somme de la densité d'énergie cinétique et de la densité d'énergie potentielle

Dans le cas particulier d'une onde plane progressive sinusoïdale,

On définit la valeur moyenne temporelle de la densité d'énergie comme

On définit également la moyenne spatiale de la densité d'énergie :

Dans le cas d'une onde progressive, ces deux valeurs sont égales et valent :

Intensité

On appelle intensité de l'onde acoustique la puissance qui traverse, par unité de temps, une surface unité perpendiculaire à la direction de propagation.

Pour calculer l'intensité de l'onde calculons l'énergie qui traverse pendant un intervalle de temps une surface S perpendiculaire à la direction de propagation.

On en déduit l'expression de l'intensité de l'onde acoustique

On appelle intensité de l'onde acoustique la valeur moyenne Réflexion à un interface fluide-fluide Soit deux milieux fluides semi-infinis séparés par un surface plane. Choisissons un repère orthonormé de telle sorte que le plan yOz coïncide avec la surface de séparation. Lorsque une onde acoustique provenant de −∞, se propageant dans le premier dans la direction de l'axe des x arrive à la surface de séparation, elle donne naissance à deux ondes -une onde réfléchie qui se propage dans le premier milieu dans le sens des x décroissants.

-une onde transmise qui se propage dans le second milieu dans le sens des x croissants. L'onde résultante dans le premier milieu (x ≤ 0) est caractérisée par :

Dans le deuxième milieu, on a H. Djelouah

Les relations de continuité à l'interface s'écrivent

On en déduit

On définit -le coefficient de réflexion pour la pression

-le coefficient de transmission pour la pression

Les deux relations de continuité s'écrivent alors

On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission

En tenant compte des relations p i = Z 1ui , p R = −Z 1uR et p T = Z 2uT , on peut calculer les coefficients de réflexion et de transmission pour la vitesse de particules et pour le déplacement de particules :

En tenant compte des relations I i = P 2 i /2Z 1 , I R = P 2 R /2Z 1 et I T = P 2 T /2Z 2 , on peut calculer les coefficients de réflexion et de transmission pour l'intensité acoustique :

Effet Doppler

Cas particulier des faibles vitesses

3. Comparer aux résultats que l'on aurait obtenus si cette onde se propageait dans l'air.

Exercice 3 : Une onde acoustique plane se propageant dans l'eau arrive en incidence normale à la surface de séparation avec l'air. Calculer les valeurs numériques des rapports suivants : Un récepteur capte les ondes sonores émises par une source dans un milieu où le son se propage à la vitesse V . N ondes sont émises pendant le temps t.

1. Le récepteur étant au repos et la source se déplaçant à la vitesse v (figure 1), quelle est la distance qui sépare deux ondes successives ? En déduire la fréquence ν R ans le système de référence (R) lié au récepteur et la comparer à la fréquence ν S de l'onde dans le système de référence (S) lié à la source.

Annexe A

A.1 Introduction

Les oscillations linéaires des systèmes à un degré de liberté sont régies par des équations différentielles du second ordre à coefficients constants. Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une relation entre une variable dépendante y et ses dérivées première et seconde par rapport à une variable indépendante t, qui peut s'écrire sous la forme :

Les coefficients δ et ω 0 sont des constantes réelles positives. Dans les problèmes de vibration le paramètre t représente le temps et on note par convention :

D'où l'écriture de l'équation différentielle :

A.2 Equation homogène

L'équation différentielle est dite homogène si A(t) = 0 :

y + 2 δẏ + ω 2 0 y = 0 On recherche des solutions qui sont de la forme y(t) = e st . Dans ce cas l'équation différentielle s'écrit : s 2 + 2δ s + ω 2 0 e st = 0 Cette équation doit être vraie quel que soit t, ce qui implique : s 2 + 2δ s + ω 2 0 = 0 On obtient ainsi une équation du second degré en s dite équation caractéristique. Les racines de cette équation caractéristique sont :

La solution de l'équation différentielle s'écrit alors :

A.3 Equation avec second membre

A.3.1 Solution générale

Soit y(t) la solution générale de l'équation différentielle avec second membre :

Soit y H (t) la solution de l'équation homogène et soit y P (t) une solution particulière de l'équation avec second membre ; y H (t) et y P (t) sont les solutions respectives des deux équations différentielles suivantes :ÿ H + 2 δẏ H + ω 2 0 y H = 0 y P + 2 δẏ P + ω 2 0 y P = A(t)

Les opérations de dérivation qui interviennent étant des opérations linéaires, l'addition membre membre des deux équations différentielles précédentes donne :

(ÿ H +ÿ P ) + 2 δ (ẏ H +ẏ P ) + ω 2 0 (y H + y P ) = A(t)

Ainsi la solution générale peut être obtenue en faisant la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : y(t) = y H (t) + y P (t)

A.3.2 Cas particulier où A(t) est constante

A.3.3 Cas particulier où A(t) = A 0 cos(Ωt) :

Nous pouvons vérifier que y P (t) = Y 0 cos(Ωt + θ) constitue une solution particulière de l'équation différentielle avec second membre à condition que l'amplitude Y 0 et la phase θ vérifient la relation : ω 2 0 − Ω 2 Y 0 cos(Ωt + θ) − 2 δ Ω Y 0 sin(Ωt + θ) = A 0 cos(Ωt) Le développement des termes en cosinus et en sinus permet d'obtenir :

La solution complète s'écrit alors suivant le cas : -Régime fortement amorti (δ > ω 0 ) y(t) = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t + Y 0 cos(Ωt + θ)

-Régime critique (δ = ω 0 ) Solution de l'équation différentielle La fonction A(t) étant périodique, de période T , son développement de Fourier s'écrit :

A(t) = a 0 2 + ∞ n=1 a n cos(nΩt) + b n sin(nΩt) L'équation différentielle s'écrit alors :

y + 2 δẏ + ω 2 0 y = a 0 2 + ∞ n=1 a n cos(nΩt) + b n sin(nΩt)

La réponse permanente ( ou stationnaire ) qui s'identifie avec la solution particulière, pour t suffisamment élevé, peut alors être calculée pour chacune des composantes de l'excitation : a 0 /2, a n cos(nΩt), b n sin(nΩt). On obtient alors par superposition :

a n cos(Ω n t + θ n ) + b n sin(Ω n t + θ n )

(Ω 2 n − ω 2 0 ) 2 + 4δ 2 Ω 2 n Exercices Exercice 1 : Calculer et représenter graphiquement la solution de l'équation différentielle homogène :ẍ + 4 x = 0 , pour les conditions initiales suivantes :

1. x(0) = 1 etẋ (0) = 0.

2. x(0) = 0 etẋ (0) = 2. 3.ẍ + 4ẋ + 4x = f (t) où f (t) est une fonction de période T , définie par :

a étant un nombre réel positif.

Annexe B

Analogies électromécaniques B.1 Introduction

Des systèmes mécaniques peuvent être représentés par des circuits électriques analogues. Deux systèmes mécanique et électrique sont dits analogues si les équations différentielles qui régissent leur évolution sont identiques. Quand cette équivalence est obtenue, les termes correspondant dans les équations différentielles sont dits analogues.

Il y a deux types d'analogies pour les systèmes mécaniques et électriques -l'analogie force-tension ou analogie masse-inductance ; c'est la plus utilisée.

-l'analogie force-courant ou analogie masse-capacitance. Tandis que l'énergie E E (Q) emmagasinée par le champ électrique dans un condensateur s'écrit :

B.2 Analogie force-tension ou masse-inductance

Ces résultats montrent que l'énergie potentielle élastique U (x) est analogue à l'énergie électrique E E (Q) emmagasinée dans le condensateur.

Il suffit donc de considérer l'analogie : L m pour que la relation v = L di dt soit équivalente à la relation fondamentale de la dynamique F = m dẋ dt

Tenant compte de ces résultats, nous pouvons considérer que la quantité électrique analogue à l'énergie cinétique est représentée par l'énergie magnétique E M emmagasinée dans la bobine d'auto-inductance :

La puissance dissipée sous forme de chaleur dans une résistance électrique est donnée par la loi de Joule :

La fonction dissipation qui, par définition, est égale à la moitié de la puissance dissipée peut s'écrire dans ce cas :

On remarque qu'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α est analogue à une résistance électrique :α R. On peut donc établir le tableau des analogies électromécaniques suivant :

B.3 Systèmes à un degré de liberté

Le système masse-amortisseur-ressort ci-dessus, est régi par l'équation différentielle suivante

Cette équation différentielle peut s'écrire en fonction de la vitesseẋ sous la forme m dẋ dt + αẋ + k ẋ dt = F L'écriture de la seconde loi de Kirchhoff permet d'obtenir l'équation différentielle qui régit le circuit R.L.C série ci-dessus

Les équations différentielles qui régissent ces deux systèmes sont de même nature. Les deux systèmes physiques sont dits analogues.

B.4 Système à deux degrés de liberté

Exercice résolu Etablir, dans le cadre de l'analogie force-tension, le système électrique analogue au système mécanique à deux degrés de liberté ci-dessous.

Solution

Seule une démarche méthodique permet d'obtenir le circuit électrique analogue. Les différentes étapes sont 1. Etablir le système d'équations différentielles m 1ẍ1 + (α 1 + α 2 )ẋ 1 + (k 1 + k 2 ) x 1 − α 2ẋ2 − k 2 x 2 = F m 2ẍ2 + α 2ẋ2 + k 2 x 2 − α 2ẋ1 − k 2 x 1 = 0 2. Regrouper les différents termes en mettant en facteur chaque grandeur correspondant à un élément mécanique. m 1ẍ1 + α 1ẋ1 + k 1 x 1 + α 2 (ẋ 1 −ẋ 2 ) + k 2 (x 1 − x 2 ) = F m 2ẍ2 − α 2 (ẋ 1 −ẋ 2 ) − k 2 (x 1 − x 2 ) = 0 3. Ecrire le système d'équations différentielles sous la forme d'un système intégro-différentiel

Etablir la liste des éléments électriques analogues

Mécanique Electricité

Remplacer chaque terme du système d'équations mécanique par un terme électrique analogue. Ce qui permet d'établir le système d'équations intégro-différentiel électrique