Chap7

Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 7.1.1 Introduction Production d’un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant crée un champ magnétique. L’intensité de ce champ est donné par la loi d’Ampère : Z Hdl = I ↓ I ✲ ✛ Fig. 7.1 – Champ magnétique créé par un courant circulant dans un fil 1 (7.1) CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Dans le cas d’un conducteur droit, l’intensité du champ magnétique est : H(r) = I (A/m) 2πr (7.2) La nature du champ magnétique dépend de la nature du courant I. Si le courant I est un courant alternatif sinusoı̈dal, le champ magnétique sera sinusoı̈dal aussi. Si le courant est continu, le champ magnétique le sera aussi. Le champ magnétique créé par un fil long et droit n’est pas uniforme et son intensité varie selon 1/r2 . Afin de créer un champ uniforme, on utilise une bobine pour concentrer les lignes de champs en un même endroit. ✻✻✻✻✻✻✻ Fig. 7.2 – Champ magnétique dans une bobine À l’intérieur de la bobine, les champs magnétiques s’additionnent pour créer un champ plus intense et plus uniforme. 7.1.2 Flux magnétique On prend l’exemple d’une bobine dans laquelle circule un courant I. Le champ magnétique créé se répand dans l’espace libre autour de la bobine, ou de façon analogue aux courants électriques, que le champ ”coule” dans le milieu qui entoure la bobine. La bobine crée alors une force magnétomotrice qui fait circuler un flux magnétique dans le milieu. C’est semblable au même phénomène que les circuits électriques : une force électromotrice déplace des électrons qui circulent dans le milieu. Gabriel Cormier 2 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE La force produite est reliée au courant qui circule et au nombre de tours dans la bobine : F = NI (7.3) où F est la force, N est le nombre de tours, et I le courant. L’unité de cette force est A·t (Ampère-tour). La densité de flux magnétique B dans un milieu donné est : B = µH (7.4) où B est la densité de flux (en Wb/m2 ou Tesla), H est l’intensité du champ magnétique (en A/m) et µ est la perméabilité magnétique du milieu (en Wb/m ou H/m). La perméabilité du vide est µ0 = 4π × 10−7 H/m. La perméabilité de l’air est presque la même que celle du vide. Le flux magnétique circulant dans une surface S est défini comme : Z B · dS ϕ= (7.5) S 7.2 Matériaux magnétiques Un matériau magnétique est un matériau de haute perméabilité magnétique (µr >>). Le rôle est de canaliser efficacement les lignes de champ magnétique. Ceci permet de réduire les fuites. ✲ ✲ Émission Réception Sans matériau magnétique Avec un matériau magnétique : Gabriel Cormier 3 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE ✲ ✲ ✲ ✲ Émission 7.2.1 Réception Caractéristique B(H) d’un matériau magnétique On a vu que la relation entre la densité de flux et le champ magnétique est B = µH. Dans le vide (ou l’air), cette caractéristique prend la forme d’une relation linéaire. Le vide est un milieu linéaire, homogène (la qualité est uniforme) et isotropique (les propriétés sont les mêmes dnas toutes les directions). La relation B(H) du vide est donné dans la figure suivante. B ✻ ✯ µ0 ✲ H Fig. 7.3 – Relation B(H) du vide. Pour un matériau magnétique, la relation B(H) est : B = µr µ 0 H (7.6) où µr est la perméabilité relative du matériau. Pour la plupart des matériaux, la perméabilité n’est pas constante, et la relation B(H) est non-linéaire. On peut classifier les matériaux magnétiques en deux groupes importants : – matériaux non-magnétiques : µr est environ 1. Exemple : air, verre, cuivre, aluminium. – matériaux ferromagnétiques : µr est très élevé (100 à 100000). Exemple : fer, acier, cobalt, alliages, etc... La caractéristique de magnétisation AC d’un matériau magnétique donne une courbe du type hystérésis. – Bmax = 1.5T (fer) – Bmax = 0.3T (ferrite) Gabriel Cormier 4 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Fig. 7.4 – Courbe hystérésis typique. 7.2.2 Pertes magnétiques Il y a deux grandes sources de pertes dans les matériaux magnétiques : 1. Pertes par hystérésis 2. Pertes par courants de Foucoult Pertes par hystérésis Sous excitation cyclique (sinusoı̈dale, par exemple), le matériau magnétique fait un cycle de hystérésis et crée ainsi des pertes d’énergie dans le noyau sous forme de chaleur. Les pertes par hystérésis sont directement proportionnelles à la surface du cycle d’hystérésis et à la fréquence d’opération. Une formule empirique permet de calculer les pertes (par m3 ) : 2 Phys = KBmax f (7.7) où K est une constante qui dépend du matériau, Bmax est la valeur maximale de la densité de flux, et f est la fréquence de fonctionnement. On réduit les pertes par hystérésis en utilisant des tôles ayant un faible pourcentage de silicium (0.8 à 3.5%) ou en utilisant des tôles à courants orientés (tôles en silicium à faible teneur en carbone). Gabriel Cormier 5 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Pertes par courants de Foucoult Le champ magnétique alternatif induit dans le noyau par des forces électromagnétiques crée un courant induit dans le matériau. Ces courants induits créent des pertes RI 2 (puisque les matériaux magnétiques ont une résistivité non-nulle). Ces pertes sont dissipées sous forme de chaleur. Afin de minimiser les courants induits dans le noyau, on utilise des noyaux formés de laminations isolées électriquement les unes des autres (pour les bobines fonctionnant à basses fréquences) ou des noyaux en ferrite (pour les bobines fonctionnant à hautes fréquences). Fig. 7.5 – Noyau laminé. On peut estimer les pertes par courant de Foucoult avec la relation empirique suivante : Pf = 2 π 2 d2 Bmax f2 6 ρ (7.8) Habituellement, les pertes sont estimées à l’aide de données fournies par les manufacturiers. 7.3 Circuits magnétiques Un circuit magnétique est semblable à un circuit électrique. C’est un parcours fermé qui est réalisé avec un matériau magnétique de haute perméabilité (µr >>). Cependant, on va faire quelques hypothèses pour l’analyse de ces circuits : – On suppose que B(H) est linéaire. – Pas de saturation. – Pas de hystérésis. Une force magnétomotrice F = N I force un flux ϕ à circuler dans le circuit magnétique. L’intensité du champ magnétique dans le noyau est donné par la loi d’Ampère : Z N I = Hdl = Hl Gabriel Cormier 6 (7.9) GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE La densité de flux dans le noyau est égale à : B = µH (7.10) Le flux magnétique circulant dans le noyau est égal à : µ ¶ NI NI ϕ = BA = µHA = µ A= ³ ´ l l (7.11) µA Cette relation peut être exprimée sous la forme : ϕ= F R (7.12) On appelle R la réluctance du circuit magnétique. La réluctance est une quantité qui caractérise la ”résistance” du circuit magnétique au passage du flux. C’est un peu comme la loi d’Ohm pour des circuits magnétiques. La réluctance d’un circuit de surface A, de longueur moyenne l et perméabilité µ est : R= l µA (7.13) La réluctance est exprimée en At/Wb. Donc, comme équivalence aux circuits électriques : Circuit électrique Tension V Résistance R Courant I Circuit magnétique Force magnétomotrice F = N I Réluctance R Flux ϕ Réluctance en série La réluctance en série se comporte de la même façon que des résistances en série. C’està-dire : Req = R1 + R2 + . . . (7.14) Réluctance en parallèle La réluctance en parallèle se comporte de la même façon que des résistances en parallèle. C’est-à-dire : ¶−1 µ 1 1 + + ··· (7.15) Req = R1 R2 Gabriel Cormier 7 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Exemple 1 Soit le circuit magnétique suivant. Le courant I est 1.2A, la perméabilité relative du matériau est µr = 3000, le nombre de tours N est 100 et une profondeur de 4cm. ✻ ✻ I→ ✙ 15cm ✻ 3cm ❄ ✛ 12cm ❄ ❄ ✲ 12cm Parcours moyen ✛ 9cm ✲ ——————— La longueur moyenne du circuit est : l = 2 · (12 + 9) = 0.42m La section du circuit est : A = (3 × 4)cm2 = 0.0012m2 La réluctance du circuit est : R= 0.42 l = = 92840 At/Wb µA 3000(4π × 10−7 )0.0012 Le flux magnétique est : ϕ= NI 120 = = 1.29 × 10−3 Wb R 92840 La densité de flux est : B= 1.29 × 10−3 ϕ = = 1.075 T A 0.0012 Exemple 2 Soit le circuit magnétique suivant. Le courant I est 2A, la perméabilité relative du matériau est µr = 2500, le nombre de tours N est 250 et une profondeur de 4cm. L’entrefer a une épaisseur de 0.5cm (l’entrefer est la section où il manque une petite partie du circuit). Gabriel Cormier 8 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE ✻ I→ 20cm ✻ 4cm ❄ ✛ 15cm ❄ ✲ ——————— Le circuit équivalent est : RF e F = NI Re La longueur moyenne du circuit est : l = 2 · (11 + 16) = 0.54m La section du circuit est : A = (4 × 4)cm2 = 0.0016m2 La réluctance du fer est : RF e = 0.54 l = = 107430 At/Wb µA 2500(4π × 10−7 )0.0016 La réluctance de l’entrefer est : le 0.005 Re = = 248680 At/Wb = µ0 Ae (4π × 10−7 )0.0016 Le flux magnétique est : ϕ= NI NI 250 × 2 = = = 1.404 × 10−3 Wb Req RF e + Re 107430 + 248680 La densité de flux est : B= 1.404 × 10−3 ϕ = = 0.878 T A 0.0016 Remarque : On suppose que le champ magnétique est droit dans l’entrefer, ce qui n’est pas le cas en réalité. Ceci augmente la largeur effective de l’entrefer (Aenterf er > A). On nomme aussi ce phénomène l’effet de frange. Gabriel Cormier 9 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE ❄ ❄ ❄❄ ❄ ❄❄ ❄ ❄❄ Réalité Simplification Par contre, la longeur de l’entrefer est habituellement plus petite que 5% de la longueur du circuit magnétique, et on peut utiliser la simplification Aentref er = A. Pour augmenter la précision des calculs, la formule suivante empirique donne de bon résultats : Ae = (a + le )(b + le ) (7.16) où a et b sont les dimensions du noyau et le est la longueur de l’entrefer. 7.3.1 Analyse non-linéaire On a jusqu’à présent supposé que les circuits magnétiques avaient un comportement linéaire dans la relation B(H). Par contre, en réalité, les circuits magnétiques ont une relation B(H) non-linéaire, et on présente ici une technique pour en faire l’analyse. On va considérer le circuit magnétique de l’exemple 2. ✻ I→ 20cm ✻ 4cm ❄ ✛ 15cm ❄ ✲ Le matériau magnétique a une caractéristique B(H) donnée par la figure suivante : Gabriel Cormier 10 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE 1.4 1.2 1 B (T) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 H (A/m) 800 1000 1200 L’entrefer a une relation linéaire, par contre, puisque c’est de l’air. Pour le reste du circuit, on peut écrire que : FF e = HF e × lF e = 0.54HF e ϕ = BF e × A = 0.0016BF e Si on compare avec le circuit équivalent, on trouve que : FF e = N I − Re ϕ où N I = 500 At et Re = 248680 At/Wb. On peut convertir l’équation précédente en une relation B(H) : 0.54HF e = N I − Re (0.0016BF e ) ce qui donne : HF e = 925.93 − 736.83BF e On peut tracer cette équation sur le graphe de la courbe B(H). L’intersection entre les deux courbes donne le BF e et HF e correspondants. Gabriel Cormier 11 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE 1.4 1.2 1 B (T) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 H (A/m) 800 1000 1200 Donc B = 1.0T (selon le graphe) et H ≈ 200 A/m. 7.4 Inductance d’une bobine On considère une bobine de N tours dans laquelle circule un courant I. La bobine se trouve dans un milieu magnétiquement linéaire (comme l’air). Le flux magnétique produit par la bobine est ϕ. Le flux produit par la bobine traverse la bobine. Le flux magnétique total couplé à la bobine est Λ = N ϕ. L’inductance de la bobine est définie par : L= Nϕ N2 Λ = = I I R (7.17) Dans le cas d’une inductance à air (où le milieu magnétique est de l’air), la valeur de l’inductance est fonction du nombre de tours et de la perméabilité du milieu. Elle est aussi indépendante de la fréquence et du courant. Par contre, la réluctance est difficile à calculer parce que le flux suit un parcours pas bien définit. Dans le cas d’une bobine sur un matériau magnétique, le flux est très concentré dans le matériau magnétique. Le flux créé par la bobine circule donc en totalité dans le noyau. Le flux total couplé à la bobine est égal à : Λ Nϕ N2 L= = = I I R (7.18) comme dans le cas d’une bobine à air. Par contre, la réluctance n’est pas constante ; elle dépend du courant I parce que la perméabilité du matériau n’est pas linéaire. Gabriel Cormier 12 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Par contre, on peut approximer la valeur de l’inductance en supposant que la relation B(H) est linéaire. Exemple 3 Le circuit a une profondeur de 2cm. On suppose que le matériau magnétique est linéaire. ✻ µr = 2500 I→ 12cm N = 100 ✻ 2cm ❄ ✛ ❄ ✲ 9cm ——————— La réluctance du circuit est : 0.34 l = = 270563 At/Wb R= µA (2500)(4π × 10−7 )(0.0004) L’inductance est : L= N2 1002 = = 37 mH R 270563 On ajoute un entrefer de 1 mm. ✻ µr = 2500 I→ 12cm N = 100 ✻ 2cm ❄ ❄ ✛ 9cm ✲ La réluctance du noyau est la somme des réluctances (celle du noyau de fer et celle de l’entrefer). R = RF e + Re Gabriel Cormier 13 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE On a : Re = 0.001 le = = 1.989 × 106 At/Wb −7 µ0 A (4π × 10 )(0.0004) L’inductance est : N2 1002 L= = = 4.42 mH RF e + Re 270563 + 1.989 × 106 Remarque : On a supposé que tout le flux produit par la bobine demeure dans le noyau. En réalité, une petite partie du flux s’échappe du noyau, qu’on nomme le flux de fuite (ϕf ). Donc l’inductance est : L= ΛT N (ϕ + ϕf ) N ϕ N ϕf + = = I I I I } |{z} | {z Lm Lf où Lm est l’inductance magnétisante, et Lf est l’inductance de fuite. 7.4.1 Modèle électrique d’une bobine Afin d’obtenir un modèle électrique du bobinage, il faut premièrement considérer quels éléments contribuent au circuit. Le phénomène principal de la bobine est le flux, qui est représenté par une inductance. Les phénomènes parasites vont aussi influencer le circuit équivalent : – Résistance du fil utilisé pour créer le bobinage. – Hystérésis et courants induits créent des pertes (courant de Faucoult et hystérésis). – Les fuites du flux magnétique sont représentés par une inductance de fuite. On obtient donc le circuit suivant (figure 7.6). I✲0 r + I✲m ❄ I c V jXf Rc jXm − Fig. 7.6 – Modèle électrique d’une bobine. Dans le modèle présenté ci-haut, – Lm est l’inductance magnétisante, qui représente le flux magnétique dans le noyau. – Lf représente l’inductance de fuite. – r est la résistance du fil de cuivre. Gabriel Cormier 14 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE – Rc représente les pertes dans le noyau. L’inductance propre de la bobine est égale à L = L m + Lf Le courant Im n’est pas sinusoı̈dal à cause de la caractéristique d’hystérésis du matériau magnétique. Mais pour simplifier les calculs, on va supposer que le comportement est linéaire, et donc le courant est sinusoı̈dal. On peut donc écrire : V r + jX V Ic = Rc I0 = Im + Ic Im = où X = Xm + Xf Exemple 4 On connecte une bobine à noyau de fer à une source de 120V / 60Hz. On mesure un courant de 1.2A. La puissance active absorbée par la bobine est 20W. La résistance de la bobine est 1.25Ω. Que sont les valeurs des éléments du circuit équivalent ? ——————— Les pertes cuivre sont : PCu = RI 2 = 1.25 × 1.22 = 1.8 W Les pertes Fer sont : PF e = Pt − PCu = 20 − 1.8 = 18.2 W La résistance Rc est approximativement : Rc ≈ (V − Vr )2 (120 − 1.2 × 1.25)2 = = 771.5Ω PCu 18.2 Le courant magnétisant Im est : q Im = I02 − Ic2 = s La réactance X est : X= 1.22 − µ 120 − 1.2 × 1.25 771.5 ¶2 = 1.19 A 120 − 1.2 × 1.25 = 99.6Ω 1.19 L’inductance de la bobine est : L= Gabriel Cormier X 99.6 = = 0.264 H 120π 120π 15 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE 7.4.2 Inductance bobinée sur un circuit magnétique réel Soit une inductance bobinée sur un noyau magnétique ayant une courbe d’hystérésis. i(t) → N On sait que B = µH, où µ est une fonction du courant (µ = f (i)). L’inductance de ce circuit est : N2 N 2A N 2 Aµ L= = f (i) = kf (i) = R lm lm où A est la surface du noyau et lm est la longueur moyenne du parcours. Dans ce cas, l’inductance est non-linéaire, puisqu’elle dépend du courant. La tension dans la bobine serait : dLi dΛ = dt dt di dL =L +i dt dt v(t) = Pour enlever (ou réduire) cette non-linéarité, on ajoute un entrefer. i(t) → N = 100 Selon les équations précédentes, l’inductance sera constante si la réluctance est constante. Pour le circuit avec entrefer, la réluctance est : Req = Rm + Re = Gabriel Cormier 16 le lm + µm A µ0 Ae (7.19) GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE où le est la longueur de l’entrefer. La perméabilité µm est la composante non-linéaire. On considère que l’inductance est linéaire si ou 10Rm < Re (7.20) 10lm le < µm A µ0 Ae (7.21) On peux réduire cette expression si on suppose que Ae = A. le > 10lm µr,m (7.22) Habituellement, – le < 5%lm – lm ∼ =l Alors la réluctance est : Req ≈ Re = Donc l’inductance est : L= le = constante µ0 A N 2 µ0 A N2 = = constante Re le Et de même, v(t) = L 7.5 di dt (7.23) (7.24) (7.25) Dimensionnement d’une bobine monophasé Lors du design d’une bobine, on néglige habituellement les pertes Cuivre (r = 0) et la réactance de fuite (Lf = 0). Ainsi, le dimensionnement de la bobine implique plusieurs facteurs : – Un choix judicieux de la configuration du circuit magnétique, du matériau ferromagnétique et de la valeur de l’induction magnétique. – Calcul des dimensions du circuit magnétique incluant les entrefers. – Calcul de la grandeur du fil et de son calibre. – Calcul du nombre de spires (N ). Il faut également considérer certaines contraintes : – Les pertes et l’échauffement. – Le volume, le poids, les dimensions. – Le prix. Gabriel Cormier 17 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE La dimension du fil de cuivre dépend de la valeur maximale du courant qui va circuler dans le fil. Plus le courant maximal sera élevé, plus le fil de cuivre devra avoir une section élévée. Le courant maximal pour un type de cuivre est habituellement spécifié en densité de courant J, en A/mm2 . Exemple 5 Soit le circuit suivant, en acier au silicium. Calculer la force magnétomotrice (F) nécessaire pour produire un flux (ϕ) de 0.0014Wb dans la section droite du circuit. Toutes les mesures sont en mètres ; la section du circuit est 0.05m × 0.04m, sauf pour la partie centrale, qui est 0.02m × 0.04m. 0.04 ✙✯ ✻ ✻0.05 ❄ I→ 0.02 ✛ N ϕ ✲ 0.2m ❄ ✛ 0.14 ✲ ✛ 0.14 ✲ ❄ ——————— On commence par calculer les sections et longueurs correspondantes. a b c d e f Section b-a-d-e A1 = 0.05 × 0.04 = 0.002m2 l1 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) + 0.15 = 0.50m Section b-e A2 = 0.02 × 0.04 = 0.0008m2 l2 = 0.02 − 0.05 = 0.15m Gabriel Cormier 18 GEN1153 CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGNÉTIQUES ET INDUCTANCE Section b-c-f-e A3 = 0.05 × 0.04 = 0.002m2 l3 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) + 0.15 = 0.50m Puisqu’on connait le flux dans la section b-c-f-e, on peut calculer la densité de flux : B3 = ϕ3 0.0014 = 0.7 Wb/m2 = A3 0.002 Si on regarde dans le graphe p.89 du livre pour l’acier en silicium, on trouve que H3 ≈ 100 At/m. La chute de potentiel au point b-e doit être la même que dans la section b-c-f-e : ϕ2 R2 = ϕ3 R3 ou plutôt (puisque la réluctance n’est pas linéaire) : H2 l2 = H3 l3 On peut donc trouver le champ magnétique dans la section 2 : H2 = H3 l3 = 326.67 At/m l2 ce qui correspond à une densité de flux de B2 ≈ 1.18T. On peut maintenant trouver le flux dans la section 2, ϕ2 = B2 A2 = 0.00094 Wb Le flux dans la section 1 est la somme des flux des sections 2 et 3, ϕ1 = ϕ2 + ϕ3 = 0.00234 Wb La densité de flux dans la section 1 est : B1 = ϕ1 = 1.17 T A1 ce qui correspond à un champ magnétique de H ≈ 290 At/m. La force magnétomotrice est donc : F = H1 l1 + H2 l2 = 191.1 At Gabriel Cormier 19 GEN1153