CAPÍTULO II INTERÉS COMPUESTO

CAPÍTULO II INTERÉS COMPUESTO __________________________________________ 71 2.1.- INTERÉS COMPUESTO 2.1.1. Conceptos básicos y ejercicios: Recuerda que la metodología para el cálculo del interés compuesto es similar al interés simple. En todo momento se trabajará con la expresión (1+i), (1+i *n)………….Lo que hace diferente este tema, es desde luego la capitalización de las tasas y el incremento de P en n tiempo con i tasa. De ahí que la variable n , sale de (1+i*n) y va al exponente (1+i)n Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual (0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teoría, tomamos la fórmula del monto del interés simple, quedando de la siguiente manera: S  P(1  in) =$150,000.00(1+0.00833*1) =$150,000.00(1.00833)=$151,249.50 Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidad a otro mes y con la misma tasa. Desde luego sin retirar el interés, de lo contrario caemos en el interés simple y de lo que se trata en este tema es de estudiar el interés compuesto. Entonces tenemos que: S  P(1  in) =$151,249.50(1+0.0833*1) =$151,249.50*(1.00833)*1=$152,509.41 El inversionista, nuevamente desea invertir otro mes y con la misma tasa, el importe de su capital. (Se continúa con el mismo procedimiento anterior.) Se imagina que una persona requiera estar calculando 100, 200 o 300 meses……… Es por ello que el interés compuesto, viene a proporcionar una forma simple de poder capitalizar cada uno de los meses en que se desea estar invirtiendo. 72 De ahí que, tomando la formula de interés simple integramos las capitalizaciones (enviando n al exponente). Esto es, el interés ganado en una inversión se integra al capital, lo que se denomina como la capitalización y al período en que el interés puede convertirse en capital se le llama período de capitalización. Como se visualiza con un simulador en Excel el mismo ejercicio resuelto manualmente: La diferencia en el resultado, es por el redondeo de la tasa (.008 ó .008333) Otro ejemplo de un simulador que se puede descargar en: http://www.garciasantillan.com/ Sección DESCARGA DE SIMULADORES: http://sites.google.com/site/educacionvirtualucc 73 En la práctica financiera, los períodos de capitalización más comunes son los mensuales, trimestrales, semestrales y anuales, aunque no por ello, se excluya a los bimestrales y cuatrimestrales. El Sistema Financiero Mexicano (Al igual que el internacional), opera con instrumentos de deuda e inversión, cuyos plazos son de: 7, 14, 28, 91 o 182 días. En resumen: el interés compuesto, lo utilizaremos en operaciones a largo plazo y a diferencia del interés simple (el interés simple no se capitaliza), el interés generado en cada período se incluye al capital. Para comprender mejor, resolvamos un ejercicio simple con ambos métodos (interés simple e interés compuesto) Datos: P =$100,000.00 i =15% anual n= dos meses Puedes comprobar, calculando el interés de un mes, y posteriormente, calcular el segundo y coincide con el resultado obtenido en el interés compuesto ($101,250.00 y $102,515.625 respectivamente) Con interés simple S  P(1  in) S = $100,000.00(1+ 0.15 * 2) 12 S =$100,000.00(1.025) =$102,500.00 Con interés compuesto S  P(1  i)n S =$100,000.00(1+0.0125)2 S =$100,000.00(1.02515625)  $102,515.63 NOTE LA DIFERENCIA NOTA IMPORTANTE: EL CAPITAL NO PERMANECE FIJO A LO LARGO DEL TIEMPO, ESTE SE INCREMENTA AL IGUAL QUE EL INTERÉS QUE GENERA LA INVERSIÓN, DE IGUAL FORMA AUMENTA EN CADA CAPITALIZACIÓN. 74 Así, si denotamos por i a la tasa de interés por el período de capitalizaciones, el monto del capital invertido después de n períodos de capitalización es S  P(1  i)n En esta fórmula, la tasa de interés se especifica por el período de capitalización. En la práctica financiera, lo más común es expresar la tasa de interés de forma anual e indicando el período de capitalización. Ejemplo de ello, podemos decir que tenemos una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente. O la misma tasa del 18% capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente. CUANDO LA TASA DE INTERÉS SE EXPRESA DE MANERA ANUAL, SE REFIERE A LA TASA NOMINAL, de ahí la necesidad de dividir la tasa anual por el tipo de capitalización en el ejercicio. Ejemplo de ello tenemos: Si la tasa anual es del 12% y las capitalizaciones son: Diario Semanal Quincenal Mensual Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral 12%/360 ó 12%/365 (interés ordinario o interés exacto) 12%/52.1428571 semanas = 0.23013699 12%/24.33333 quincenas = 0.4931507 12/12= 1% ó .01 12/6 = 2% ó .02 12/4 = 3% ó .03 12/3= 4% ó .04 12/2= 6% ó .06 75 Cuando la tasa de interés se especifica nominalmente, se tiene S  P(1  i n ) m En donde i es la tasa nominal, m el tipo de capitalización por año y n el número de capitalizaciones que comprende el plazo de la inversión. Pero, ¿Qué fórmula debemos utilizar? S  P(1  i)n S  P(1  ó i n ) m EJERCICIOS Desarrolle los siguientes casos (con ambos procedimientos) P: $100,000.00 i: 14% anual P: $100,000.00 capitalizable i: 14% anual capitalizable mensualmente n: plazo de la inversión 3 años m: mensual trimestralmente n: plazo de la inversión 3 años m: trimestral .14/12= 0.01166667 .14/4= 0.035 De esta forma tenemos: Capitalizable mensualmente (se incluye directamente la tasa mensual) S  P(1  i)n S=$100,000.00(1+0.011666)36 S  $100,000(1.5182666) $151,826.66 76 Ahora con la fórmula del monto compuesto, se tiene S  P(1  i n ) m S = $100,000.00(1+ 0.14 36 S  $151,826.66 ) 12 Capitalizable trimestralmente (se incluye directamente la tasa trimestral): 12 S  P(1  i)n S=$100,000.00(1+0.035) S =$100,000.00(1.035)12 S=$100,000.00(1.511068) S =$151,106.80 Ahora con la fórmula del monto compuesto se tiene S  P(1  i n 0.14 12 ) S =$100,000.00(1+ ) S=$100,000.00(1.511068) m 4 S  $151,106.80 Como podrán ver, es lo mismo sólo que dependerá como lo deseas representar…………….Todos esto cálculos son demasiado simples Visualicemos un ejemplo más: La compañía XFGT , adeuda $ ,786.80 de un préstamo que recibió a meses, tasado a una i nominal del 21.35%, capitalizable mensualmente. ¿Qué monto debe liquidar al vencimiento? i = .2135/12= 0.01779166667 S  P(1  i)n S =$345,786.80(1.01779166667)6 S=$345,786.80(1.111612297) 77 S  $384,380.86 Ahora otro ejemplo, que muestre mayor complejidad: Una persona invierte $20,000.00 a una tasa del 15% nominal capitalizable bimestralmente. Como sabe que el dinero lo ocupará, hasta pasados 1,250 días (fecha en que se casará) lo invierte a 1,246 días. El planteamiento, es muy simple, además que la formula se puede representar de la siguiente forma. i n  ( 360*m) S P  ( 1  ) Con interés ordinario 360: m t i n( *m) S  P(1  ) 365 m t Con interés exacto 365: Si n es el plazo de la inversión, y m es la capitalización, es necesario adecuar la ecuación, a los datos requeridos: (tomaremos el interés ordinario) i n( *m) S  P(1  ) 360 m t Calcular la tasa bimestral 0.15 n( 124660 ) 0.15 n ( 1246 *6 ) 360 ) S  P(1  ) S  P(1  6 6 Ó Calcula el periodo de la inversión, en bimestres S  $20,000.00(1  0.025)n(20.76666667) S  $33,398.65 El exponente puede ser manejado en ambos formatos S  20,000.00(1.669932581) Pasados los 1,250 días que se diera de plazo para casarse, al galán del ejemplo anterior lo dejaron plantado en la Iglesia, por lo que ya no hubo boda. Con profundo dolor y totalmente consternado, decide invertir la cantidad de $33,398.65 en pagarés a 14 días capitalizable en el mismo tiempo. 78 Sus asesores financieros estiman que la tasa de interés nominal de los pagarés se mantendrá en el 15% anual. ¿En cuánto tiempo triplicara su inversión, para ver si corre con mejor suerte, en eso que denominamos matrimonio ? Donde: i= tasa nominal ip= tasa de los pagarés a 14 días P: inversión n: plazo Primeramente calculemos la tasa nominal de los pagarés (interés ordinario).  t  14  ip :  i*360  * 100 ip :  .15*  * 100  360   i  0.5833333 Cada 14 días Así: P(1+i)n P (1+0.0058333)n = P (1.0058333)n Entonces la inversión se triplica cuando el monto de la inversión, esté dado por 3P. Para ello, se debe despejar n P(1+i)n = 3P P (1+0.0058333)n = 3P (1.0058333)n = 3 Al pasar P al lado derecho, se cancela AHORA APLICAMOS LOGARITMOS Si log (xb) = blog(x) Log ((1.0058333)n) = Log (3) Entonces: nlog ((1.0058333) = log(3) n= log(3) log(1.0058333) n= Pasa dividiendo 0.4771212  188.8824159 0.0025260 79 El galán requiere de 188.8824159 períodos de 14 días para que su inversión se triplique. Algo así como 7.345427261 años, ó 2644.35 días, . horas, ’ , . minutos, ’ , . segundos……. Y le podemos seguir, lo que mejor debemos hacer es sugerirle, que cancele la idea de casarse y se vaya de monje. Sólo por curiosidad… ¿Cómo podremos comprobar lo dicho anteriormente? S=? i= tasa nominal ip: tasa de los pagarés a 14 días P: inversión n: plazo ip : 15 * 14 360 S =$33,398.65(1+0.0058333)188.8824159 S=$33,398.65(2.9999999)=$100,195.95 S= $100,195.95 (que es lo mismo si sumamos tres veces la cantidad de: $33,398.65+$33,398.65+$33,398.65= $100,195.95) COMO UNA NOTA: LOGARITMOS COMUNES Y NATURALES En teoría se sabe que los valores posibles para la base de un logaritmo son ilimitados: para nuestro caso utilizaremos los más usuales, los de base 10 y los de base e. El de base e es igual a 2.71828. En la calculadora financiera se evalúan con ambas bases. Para la base 10 con la tecla Log y los de base e con la tecla Ln los primeros son logaritmos comunes o decimales, mientras que los segundos, son conocidos como logaritmo natural o neperiano. Su expresión es la siguiente: Log 10(x) = Log (x) 80 y Loge(x) = Ln(x) 2.1.2. Valor presente y futuro El valor futuro es el valor que tendrá una inversión en un tiempo posterior (del presente al futuro) y cuyo monto aumenta a medida que aumenta la tasa de interés y el tiempo. El incremento está en función de las capitalizaciones, las cuales pueden ser mensuales, bimestrales, trimestrales, anuales, así como cada semana, quince días, 21 días entre otros. Ejemplificando con una línea de tiempo, se visualiza de la siguiente forma: Tiempo presente (valor presente de una inversión o valor de la operación de contado) Valor futuro de una inversión >$ El valor presente es el valor que tendrá una inversión en el presente, o sea hoy, (del futuro al presente). El valor presente de la inversión será mayor cuando menor sea la tasa de interés (i) y el tiempo o el periodo (n). Ejemplificando con una línea de tiempo, se visualiza de la siguiente forma: Valor futuro de una inversión Tiempo presente (valor presente de una inversión o valor de la operación de contado) <$ 81 EJERCICIO PARA COMPRENSIÓN 1 El Sr. James López Stewart desea invertir la cantidad de $200,000.00 a 4 años y el Banco La Ilusión Monetaria le ofrece la tasa Cetes del 7.8% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor futuro de la inversión? DATOS VFINV  VPINV (1  i)n FORMULA VPinv: $200,000.00 i= 7.8% n= 4 años m = 12 meses VFinv= ¿? VFinv  $200,000.00(1  .078 )48  $200,000.00 1.0065  12 VFinv  $200,000.00 1.3647760   CALCULO 48 VFinv  $272,955.22 El valor futuro de la inversión al finalizar los 4 años es de $272,955.22 Ahora el Sr. James López Stewart desea saber cuánto fue lo que invirtió para obtener la cantidad de $272,955.22 en el plazo de 4 años y utilizando la tasa de referencia Cetes del 7.8% DATOS FORMULA VFinv= $272,955.22 VFinv i= 7.8% VPinv  n= 4 años m= 12 meses 1 i m VPinv= ¿?  CALCULO VPinv  1  .07812 $272,955.22 48   n $272,955.22  199,999.98 1.3647761 VPinv  $200, 000.00 El valor presente de la inversión al inicio de los cuatro años es de $200,000.00 82 Ahora se desea conocer cuál es el número de períodos en los que se logra acumular la cantidad de $272,955.22 a partir de una inversión inicial de $200,000.00, con la misma tasa Cetes de 7.8% nominal capitalizable mensualmente. DATOS n= ¿? VPinv= $200,000.00 VFinv= $272,955.22 i= 7.8% m= mensual  n   LnVfinv  LnVPinv Ln 1  i m FORMULA  LnVfinv  LnVPinv Ln$272,955.22  Ln$200, 000.00   i  1 .078 Ln   Ln 1  m 12.51706303  12.20607265 0.31099038   n 0.075107472 0.075107472 n  4.1406 CALCULO n El periodo por el cual se realizo la inversión, fue de 4 años Ahora se desea conocer cuál fue la tasa de interés que en cuatro años permitió acumular la cantidad de $272,955.22 a partir de una inversión inicial de $200,000.00 DATOS n= 4 años VPinv= $200,000.00 VFinv= $272,955.22 i= ¿? m= ¿? CALCULOS La tasa de interés anual (mensual) FORMULA i  (VFinv / VPinv)1/ n 1 i  (VFinv / VPinv)1/ n  1 i  ($272,955.22 / $200, 000.00)1/48  1 i  (1.3647761)0.020833333  1 i  1.0065  1 i  0.0065 _ mensual *12  0.078 i  7.8% 83 EJERCICIO PARA COMPRENSIÓN 2 (Con ecuaciones Equivalentes) Interés Compuesto: Una firma comercial considera que no podrá cubrir ciertos pagos según las cifras de sus proyecciones financieras y de flujos de efectivo, por lo que fija una fecha focal para renegociar con su acreedor, de tal suerte que los pagares que adeuda se visualizan en una línea de tiempo y tendrán las siguientes fechas en días y vencimiento: un pagare vencido de $50,000.00 a 25 días, un segundo pagaré vencido de $45,000.00 de 40 días, un tercer pagare de $40,000.00 por vencer a 70 días y un último pagare de $20,000.00 a 100 días también por vencer. El acreedor y el deudor han llegado a un acuerdo para renegociar y pagar la deuda antes del tiempo convenido inicialmente, saldándola de la siguiente manera: el primer pago 30 días antes de la fecha focal, el segundo pago 45 días después de la fecha focal y el tercer y cuarto pago 70 días posteriores a la fecha focal. ¿Cuánto deberá pagar si los pagos deben ser iguales, y si la tasa es de 17% nominal exacto, capitalizable quincenalmente? Vencimientos: (Vencido) 1er pagare $50,000.00 - 25 días / 15 días = 1.666666667 (Vencido) 2do pagare $45,000.00 - 40 días / 15 días = 2.666666667 (Por vencer) 3er pagare $40,000.00 - 70 días / 15 días = 4.666666667 (Por vencer) 4to pagare $20,000.00 - 100 días /15 días = 6.666666667 1er pagare 2do pagare 3er pagare 4to pagare Fecha focal De la fórmula original, sabemos que tenemos para este caso, cuatro montos (pagares) 1er. Paso valuar la deuda VEo   S1  S2  S3  S4 VEo  $50,000.00(1  .17*15 1.6666667 .17*15 2.6666667 $40,000.00 $20,000.00 ) )  $45,000.00(1    .17*15 4.6666667 .17*15 6.6666667 365 365 (1  ) (1  ) 365 365 84 VEo  $50,000.00(1  2.55 1.6666667 2.55 2.6666667 $40,000.00 20,000  $45,000.00(1    ) ) 2.55 4.666666667 2.55 6.6666667 365 365 (1  ) (1  ) 365 365 $40,000.00 $20,000.00 VEo  $50,000.00(1  0.0069863)1.6666667  $45,000.00(1  0.0069863)2.6666667   4.6666667 (1  0.0069863) (1  0.0069863)6.6666667 VEo  $50,000.00(1.011671)  $45,000.00(1.018739)  $40,000.00 $20,000.00  (1.033023) (1.047507) VEo  $50,583.55  $45,843.25  $38,721.31 $19,092.95 VEo  $154, 241.06 Renegociación 1er. Pago – 30 dias AFF = / 15 dias = 2 2do. Pago – 45 dias PFF / 15 dias = 3 3er. y 4to. Pago – 70 dias PFF / 15 dias = 4.666666667 2do pago 45 días PFF 1er pago 30 días AFF 3er pago 70 días 4to pago 70 días Fecha focal El presente “x” VEn  1(1  .17 *15 2 1 1 1 )    .17 *15 .17 *15 .17 *15 365 (1  )3 (1  ) 4.666666667 (1  ) 4.666666667 365 365 365 2.55 2 1 1 1 VEn  1(1    )  2.55 2.55 2.55 365 (1  )3 (1  ) 4.666666667 (1  ) 4.666666667 365 365 365 1 1 1 VEn  1(1  0.0069863) 2    3 4.666666667 (1  0.0069863) (1  0.0069863) (1  0.0069863) 4.666666667 VEn  1(1.0069863) 2  VEn  1(1.014021)  1 1 1   3 4.666666667 (1.0069863) (1.0069863) (1.0069863) 4.666666667 1 1 1   1.021105 1.033023 1.033023 VEN  1.014021  0.9793312147  0.9680326575  0.9680326575 VEn  3.92941753 Y  VEo 154, 241.06  VEn 3.92941753 85 Y  39, 252.90 _ cada _ pago por _ 4 _ se _ paga _ en _ total  $157,011.60 2.1.2.1. Algunos ejercicios para despejar variables de la fórmula del interés compuesto Variable Monto Se invierte en el banco un capital de $250,000.00 con una tasa del 2.5% trimestral, capitalizable mensualmente ¿Cuál será el monto obtenido, pasado un año y medio? S  $250, 000.00(1  2.5% )18 3 S  $250, 000.00(1.0083333)18 P=$250,000.00 i=2.5% trimestral m=Cap mensual n=18 meses S  $250, 000.00(1.16111233) S  $290, 278.08 Se apertura una cuenta de ahorro con un capital de $51,000.00 con un interés del 0.3% mensual, capitalizable cada bimestre, después de tres años ¿Qué saldo tendrá la cuenta? S  $51,000.00(1  (0.003%*2)) P=$51,000.00 i=0.3% trimestral Cap=Bimestral n=36 meses 36 S  $51,000.00(1.006)18 2 S  $51,000.00(1.11368828) S  $56,798.10 Variable Tiempo a) ¿Cuánto tiempo se tendrá que esperar para que el monto se duplique? (51,000.00+51,000.00=102,000.00) n Log (2) Log (2) n Log (1  (0.003%* 2)) Log (1.006) 0.30102995 n  n  115.8707727 _ bimestres 0.00259798 n  231.741516 _ meses Comprobación S  $51, 000.00(1.006)115.8707727 S  $51, 000.00(2.00000017) S  $102, 000.00 86 ¿En qué tiempo se triplica un capital de $50,000.00 si consideramos en este momento una tasa de 15% anual capitalizable quincenalmente? n Log (3) Log (3)  *15) Log (1.00616438) Log (1  15% 365 0.47712125  178.768069 _ quincenas n 0.00266894 Comprobación S  $50, 000.00(1.00616438)178.768069 S  $50, 000.00(2.99999807) S  $149,999.90 _ igual _ a _ $150, 000.00 Que es lo mismo que: $50,000.00 x 3 = $150,000.00 ¿En qué tiempo un capital de $10,000.00 se quintuplicará, si se considera un interés exacto del 12% semestral con capitalización cada 28 días? n 1.60943791 1.60943791 Log (5)   .12* 2* 28 ) Log (1.01841095) 0.01824352 Log (1  ( 365 n  88.21965926 _ períodos _ de _ 28 _ días Comprobación S  $10, 000.00(1.018410959)88.21965926 S  $10, 000.00(5.00000008) S  $50, 000.00 Determine el plazo necesario para que una inversión de $5,000.00 alcance los $7,500.00, si la tasa de interés es del 2.5% mensual con capitalizaciones bimestrales 87 Log (7,500.00)  Log (5, 000.00) Log (1  (2.5%* 2)) Log (7,500.00)  Log (5, 000.00)  Log (1.05) 3.87506126  3.69897000  0.02118929 0.17609125  0.02118929  8.31038935 _ bimestres n n Log ($7,500.00 / 5, 000.00) Log (1  (0.025%* 2)) Log (1.5) 0.40546510 n  Log (1.05) 0.04879016 n  8.31038676 _ bimestres ó S  $5, 000.00(1.05)8.31038935 Comprobación S  $5, 000.00(1.50000002) S  $7, 500.00 Variable Valor Presente Se tiene una deuda por $25,000.00 que debe ser liquidada en un periodo determinado de tiempo, sin embargo, tres meses antes de su vencimiento se decide pagar, la tasa de descuento otorgada es de 17% anual, capitalizable bimestralmente ¿Cuál será el monto a pagar, si este se liquida por anticipado? S=$25,000.00 i=17% Cap= Bimestral n=3 meses VP: valor presente a descuento Comprobación VP  $25,000.00 $25,000.00  VP  3 (1.02833333)1.5 (1  (.17% )) 2 6 $25,000.00  $23,973.93 VP  1.04279963 VF  $23,973.93(1.04279963) VF  $25,000.00 88 Se compra a crédito mercancía por $2,500.00 el 25% se paga al contado y el resto se acuerda liquidarlo en una fecha determinada. Pero a los cuatro meses antes del vencimiento se paga la deuda ¿Cuál será el total a liquidar si la tasa de descuento es del .8% mensual con capitalizaciones mensuales? S=$2,500.00 i=0.8% mensual Cap= mensual n=4 meses Comprobación $2,500.00* 25%  $625.00 $2,500.00  $625.00  $1,875.00 VP  $1,875.00 $1,875.00 $1,875.00   (1  0.008) 4 (1.008) 4 1.03238605 VP  $1,816.181069 VF  $1,816.181069(1.032386052) VF  $1,875.00 Variable Reestructura de Deudas con Ecuaciones Equivalentes Se adquiere una deuda por la cual fueron signados unos pagarés. Al vencimiento de estos pagarés no se tuvo solvencia económica para liquidarlos, de ahí que antes que lleguen los abogados del Acreedor, se solicita reestructurar la deuda y liquidarlos en otras fechas y en cinco montos iguales en las siguientes fechas: el primero en la FF y los demás cada mes y medio. Se pacta una tasa para la reestructura del 24% anual capitalizable mensualmente Los documentos vencidos son los siguientes: $210.00 $430.00 $180.00 3.5 meses antes FF 2 meses antes FF 1.5 meses antes FF Primeramente se debe valuar la deuda original La línea de tiempo para el VEo es la siguiente 89 $430.00 2 meses AFF $210.00 3.5 meses AFF $180.00 1.5 meses AFF Fecha focal El presente “x” VEo  $210.00(1  (24% ))3.5  $430.00(1  ( 24% )) 2  $180.00(1  ( 24% ))1.5 12 12 12 VEo  $210.00(1.07176754)  $430.00(1.0404)  $180.00(1.03014950) VEo  $225.07  $447.37  $185.43 VEo  $857.87 Posteriormente se debe calcular el coeficiente del nuevo esquema de pagos. VEn  1  1 1 1 1    (1  (24% ))1.5 (1  (24% ))3 (1  (24% )) 4.5 (1  (24% )) 6 12 12 12 12 1 1 1 1    VEn  1  1.03014950 1.061208 1.09320289 1.12616241 VEn  1  0.97073288  0.94232233  0.91474327  0.88797138 VEn  4.71576987 Finalmente se calcula el importe de cada pago y $857.87 VEo   $181.92 VEn 4.71576987 ¿Qué hacer cuando las cuentas no sale bien? 90 Como reestructurar la deuda, cuando el acreedor no acepta pagos iguales, por el contrario, pide que sean cantidades específicas en cada nuevo pago Veamos algunos ejemplos El Sr. Arturo Hernández Stuart adeuda los siguientes pagarés: Pagarés $3,000.00 $20,000.00 $15,000.00 Fecha de Vencimiento 01 de Marzo 28 de Mayo 15 de Julio Debido a que el Sr. Hernández Stuart no cuenta con los suficientes recursos para saldar los pagarés en las fechas de su vencimiento, acuerda con su acreedor reestructurar la deuda de la manera siguiente: Número de Pago 1 2 3 Monto $3,000.00 ? $15,000.00 Fecha 28 mayo 13 de julio 25 de julio La fecha focal que se acordó, será el 30 de mayo del mismo año de vencimiento de los pagarés. Para la reestructura, se utilizará la tasa del 20% capitalizable cada 13 días. (Utilizar el interés ordinario) Como se visualiza la línea de tiempo de la deuda original 30 DE MAYO Fecha Focal 01 DE MARZO AFF $3,000.00 28 DE MAYO AFF $20,000.00 15 DE JULIO PFF $15,000.00 91 El teorema para valuar la deuda original, se establece como: VEo   S aff i / m)  S t 1 n  S 1(i / m)  t n ff pff 1 n n Los días antes del vencimiento y los días por vencer: 30 DE MAYO Fecha Focal 01 DE MARZO AFF $3,000.00 90 días a la FF 28 DE MAYO AFF $20,000.00 2 días a la fecha focal 15 DE JULIO PFF $15,000.00 46 días que no se han devengado Se resuelve de la siguiente forma:   .20   *13     360   VEo = $3,000.00 1+  90 13   .20   *13     360   +$20,000.00 1+  2 13 + $15,000.00 46 13   .20   *13    1+  360    6.9230769 0.1538461 $15,000.00 VEo = $3,000.00 1.0072222 +$20,000.00 1.0072222 + 3.5384153 (1.0072222) $15,000.00 VEo = $3,000.00 1.05108220 +$20,000.00 1.00110773 + 1.02579033 VEo = $3,153.25+$20,022.15+$14,622.87         VEo = $37,798.27 Ahora los pagos serán en las siguientes fechas y montos, desconociendo uno de los pagos, por lo que deberá calcularse a partir de lo siguiente: $3,000.00 el 28 de Mayo 30 DE MAYO Fecha Focal El 13 de Julio un siguiente pago, que se desconoce el importe ¿? 92 $15,000.00 el 25 de Julio El teorema para el nuevo esquema, se establece como: VEn = 1aff(1+(i/m)) +1ff +  t t n 1=n 1=n 1 1+(i/m) pff n Se desconoce el segundo pago, por lo que ahora la fórmula se presenta de la siguiente forma:   2 13 VEn  $3,000.00 1.0072222   VEn  $3,000.00 1.0072222         44 13 1.0072222 0.153846154 VEn  $3,000.00 1.001107731  VEn  $3,003.32  S2   $15,000.00 56 13 1.0072222    $15,000.00 S2  3.384615385 4.307692308 1.0072222 1.0072222 1.024655633 1.031484776  S2 $15,000.00 S 2  $14,542.15 1.0246555 ¿Cuál es el valor del pagaré del 13 de julio? S2 S2 = S = 2 VEo  ( S 1  S 3) 1.0246555 $37,798.27 -  $3, 003.32+ $14,542.15 1.024655633  $37,798.27 - $17,545.47  1.024655633 $20, 252.80 S2 = 1.024655633 S2 = $19,765.47 EL VALOR DEL SEGUNDO PAGARÉ ES DE: $19,765.47 93 Ahora otro ejercicio con 4 pagos de deuda original y cuatro pagos reestructurados, desconociendo el monto de uno de ellos. Se tienen los siguientes pagarés: PAGARÉS $18,000.00 $30,000.00 $15,000.00 $25,000.00 FECHA DE VENCIMIENTO 30 de abril 25 de julio 29 de septiembre 29 de diciembre Se reestructurarán los pagos de la siguiente manera: NÚMERO DE PAGO 1 2 3 4 MONTO $18,000.00 $30,000.00 Se desconoce el monto $15,000.00 FECHA 25 de julio 8 de agosto 30 de septiembre 24 de octubre Se estableció el 25 de julio como fecha focal Tasa bimestral del 1.2% con una capitalización mensual. La línea de tiempo para valuar la deuda se visualiza de la siguiente forma: $30,000.00 vence el 25 de Julio Se establece como Fecha Focal $18,000.00 vence el 30 de Abril $15,000.00 Vence el 29 de Septiembre El teorema es: VEo =  Saff(1+(i/m)) + Sff +  t n 1=n t 1=n 94 $25,000.00 el 29 de Diciembre S 1+(i/m) pff n   VEo = $18,000.00 1+ 86 30 .012  2    +$30,000.00+  $15,000.00 $25,000.00 + 66 157 30 .012  30  .012    1+   1+   2   2  86 $15,000.00 $25,000.00 30 VEo = $18,000.00 1.006 +$30,000.00+ + 66 157 30 1.006 1.006 30       86 $15,000.00 $25,000.00 VEo = $18,000.00 1.006 30 +$30,000.00+ + 66 157 30 1.006 1.006 30  VEo  $18,000.00(1.0171296487)  $30,000.00     $15,000.00 $25,000.00  (1.013247539) (1.031801367) VEo  $18,308.33  $30,000.00  $14,803.88  $24, 229.47 VEo  $87,341.68 El teorema para el nuevo esquema, así como la línea de tiempo se establece como: VEn = 1aff(1+(i/m)) +1ff +  t n 1=n $18,000.00 pagar el 25 de Julio (fecha focal) t 1=n 1 1+(i/m) pff n $30,000.00 pagar el 30 de agosto Monto desconocido ¿? Pagar el 30 de Septiembre 95 $15,000.00 pagar el 24 de Octubre   36 S VEn = $18,000.00+$30,000.00 1+(.012/2) 30 + 3   67/30 + (1+(0.012/ 2)) 1.2 S + 3 $15,000.00 91/30 (1+(0.012/ 2)) + $15,000.00 2.2333333 (1.006) (1.006)3.03333333 S VEn = $18,000.00+$30,000.00 1.0072043 + 3 + $15,000.00 (1.0134496) (1.01831124) S3 VEn = $18,000.00+$30,216.13+ +$14,730.27 (1.0134496) VEn = $18,000.00+$30,000.00 1.006 ¿Cuál es el valor del tercer pago? (VEo  ( S1  S2  S4 ) 1.0134496 ($87,341.68  ($62,946.40)  S3 1.0134496 ($24,395.28)  S 3 1.0134496 S 3  $24,071.53 S3 EL VALOR DEL TERCER PAGO ES: $24 071.53 96 2.1.3. EJERCICIOS PARA RESOLVER: INTERÉS COMPUESTO 1. Andrés y Silvana acaban de tener a su primer hijo. Es una niña llamada Luciana. Andrés ese mismo día abre una cuenta para Luciana con la cantidad de $3´000,000.00. ¿Qué cantidad habrá acumulado Luciana para la edad de 8 años, si el banco les ofrece un interés del 6%, capitalizable trimestralmente? 2. Manuelito de 8 años recibió un cheque de su abuelo por $3,000.00 el día que ganó un concurso de natación. Pasó el tiempo y Manuelito olvido que había depositado ese dinero. A sus 26 años decide retirar lo acumulado. ¿Cuánto habrá acumulado en su cuenta Manuelito, si inicialmente le dieron una tasa del 12% con capitalización mensual y así continuo hasta el final? 3. Los señores Borja se pelearon; y la Sra. de Borja para aplacar su furia decidió ir de compras y adquirió una bolsa Fendi , de lo más selecto de la temporada, y cuyo costo fue de $5,689.45. El Sr. Borja, decide no pagar la tarjeta durante 4 meses para darle una lección a su mujer (aunque el pagara más, por este capricho matrimonial). Si el banco cobra un interés mensual de 3.344%. ¿Cuál será su saldo al mes de agosto? 4. Susana decide regalarle un coche a su hija que cumple 17 años. Y acuerda pagar un enganche de $65,000.00 y saldar el resto en otro pago de $58,000 tres meses después. Si 56 días antes de la fecha de vencimiento del adeudo de los $58,000, Susana recibe una grande herencia y decide abrir un pagare a 28 días, ¿Qué cantidad debe depositar para que el monto final cubra exactamente los $58,000 que adeuda si la tasa de interés anual es del 11.571%? 5. a) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable trimestralmente? b) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable mensualmente? c) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable bimensualmente? 97 6. Considere que la empresa El Proveedor del Sur S.A. de C.V. adeuda los siguientes pagares: Importes S1 = $7,600.00 S2= $5,500.00 S3= $840.00 S4= $1,300.00 Vencimientos 15 de octubre 30 de noviembre 1 de diciembre 30 de diciembre Sin embargo, no podrán liquidar dichos pagarés ya que los flujos de efectivo de la empresa muestran déficit en los meses de vencimiento. Para ello toman la decisión de solicitar a su acreedor reestructurar la deuda en seis pagos iguales, el primero en la Fecha Focal acordada que será el 20 de noviembre y los demás pagos cada 20 días. Utilizar para esta operación la tasa de interés o descuento (según el caso) del 15% anual exacto con capitalizaciones quincenales. 7. Un último ejercicio con 5 pagos de deuda original y seis pagos reestructurados, desconocimiento el monto del primer pago en la fecha focal. Se tienen los siguientes pagarés: Fecha 3 DE MARZO 8 DE MAYO 20 DE JUNIO 15 DE AGOSTO Importe $14,000.00 $22,000.00 $72,000.00 $50,000.00 9 DE OCTUBRE 10 DE NOVIEMBRE $35,000.00 $10,000.00 Días de vencimiento 165 DÍAS AFF 99 DÍAS AFF 56 DÍAS AFF Coincide el vencimiento en la fecha focal acordada ( FF) 55 DÍAS PFF 87 DÍAS PFF Considerar los datos siguientes 15 de Agosto como fecha focal i= 14.5% nominal ordinario m= bimestral Se reestructurarán los pagos de la siguiente manera: Número de Pago 1 Desconocido 2 $60,525.00 3 $31,289.15 4 $37,000.00 5 $49,566.66 6 $17,000.00 Días FF 30 DÍAS PFF 50 DÍAS PFF 65 DÍAS PFF 80 DÍAS PFF 92 DÍAS PFF La solución de estos ejercicios, en la sección de anexos 98 2.1.4.- Ejercicios validados con simuladores financieros EJERCICIO DE INTERES COMPUESTO Se solicita capitalizar los intereses cada semestre durante un periodo de 3 años. El capital inicial es de $10,000.00. Calcular el monto al finalizar dicho periodo. Tasa de interés 10%. DATOS: P= $10,000.00 i= 10% n=3 años m=semestral FÓRMULA: S  P(1  i )n m S  P(1  i ) n m S  $10, 000.00(1  .10 )6 2 S  $10, 000.00(1.05)6 S  $10, 000.00(1.3400956) S  $13, 400.96 El monto al finalizar la inversión es de $13,400.96. Guía para cálculo en el Simulador Financiero SIRA v1.0 1. Utilizar la fórmula de cálculo de Interés Compuesto 2. Ingresar en el recuadro de Tasa , el porcentaje de interés dado. 3. Seleccionar si la tasa es anual o mensual. 4. Seleccionar el tipo de Interés, si es Ordinario o exacto (recordemos que para cálculo exacto son 365 días y para cálculo ordinario, 360 días) 99 5. Ingresar el periodo de capitalización, para este ejemplo es semestral, por lo tanto indicamos 6 en la opción No. De meses. 100 6. Seleccionar el tipo de cálculo que se desea realizar, Interés ganado Compuesto 7. Seleccionar el tipo de tasa utilizada de acuerdo a la capitalización, para este ejemplo es mensual . 101 8. Ingresar el monto de capital y el plazo, en este ejemplo como la capitalización es semestral y el periodo es a 3 años, se sabe que en 3 años, hay 6 semestres, por lo tanto el plazo a indicar en el simulador es 9. Al finalizar de ingresar los datos para el cálculo, obtenemos el resultado de esta operación. 102 VERSION DELPHI (Modelo b) Interés Compuesto Representa la utilidad de un capital inicial (PV) o principal a una tasa de interés (i), durante un periodo (n), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran sino que se reinvierten al capital inicial, es decir se capitalizan, se utiliza en operaciones a largo plazo. Lo podemos calcular mediante el empleo de la siguiente fórmula: S  P(1  i )n m Ejemplo a partir de los siguientes datos: Supongamos que ahorraste $100,000.00 a una tasa del 14% anual (1.16% mensual, o sea 0.0116) a un plazo de 36 meses. Aplicación de la fórmula para obtener el Interés Compuesto (S): S  P(1  i )n m S  $100,000.00(1  14 )36 12 S  $100,000.00(1  0.011666)36 S  $100,000.00(1.518265994) S  $151,826.59 Sección en la cual se capturarán los datos de las variables. Sección de variables a calcular: - i siempre se capturará en decimales. - n deberá considerar valores en meses. m deberá considerar valores periódicos dentro de un año. Realiza la operación matemática del Muestra el resultado del cálculo que se desea obtener. 103 Fórmulas empleadas para obtener los cálculos de interés compuesto. Cierra la sección de interés compuesto y regresa al menú principal. VERSION DELPHI (Modelo a) Interés Compuesto Menú Interés Compuesto En esta sección, podemos calcular el interés compuesto tomando como base la formula: S  P(1  i )n m Sección de variables a calcular. Para el valor de i deberá ingresarse de manera decimal. Para el valor de n deberá considerar valores en meses Para el valor de m deberá considerar valores periódicos dentro de un año. Ejemplo: mensual, bimestral, etc. Sección en la cual se ingresaran los datos de las variables. Sección que muestra el resultado del cálculo. Botón para realizar la operación matemática del cálculo deseado. Formula empleadas para realizar los cálculos. Cierra la sección de interés simple y regresa a la pantalla menú principal Ejemplo a partir de los siguientes datos: Supongamos que inviertes $125,545.12 a una tasa del 7.5% anual capitalizable mensualmente a un plazo de tres años. Aplicación de la fórmula para obtener el Interés Compuesto (S): S  P(1  i )n m S  $125,545.12(1  0.075 )36 12 S  $125,545.12(1  0.00625)36 S  $125,545.12(1.25144613) S  $157,112.95 104 La comprobación en el simulador 105 2.1.5. A manera de repaso general INTERES COMPUESTO Problema 1.- Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Sustituyendo los Datos en la fórmula: Conociendo estos Datos: P(Capital) = $150,000.00 i(Tasa de Interés) = 6.5% anual n(Plazo) = 3 meses 106 Problema 2.- Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Sustituyendo los Datos en la fórmula: Conociendo estos Datos: P(Capital) = $500,000.00 i(Tasa de Interés) = 15% anual n(Plazo) = 6 meses 107 Problema 3.- Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Sustituyendo los Datos en la fórmula: Conociendo estos Datos: P(Capital) = $12,000.00 i(Tasa de Interés) = 6% anual n(Plazo) = 4 meses 108 Problema 4.- Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Sustituyendo los Datos en la fórmula: Conociendo estos Datos: P(Capital) = $350,000.00 i(Tasa de Interés) = 16% anual n(Plazo) = 8 meses 109 Problema 5.Una tarde en el vecindario… La fórmula que necesitamos para calcular el monto capitalizable cuando es interés compuesto es la siguiente: Más tarde e la ofici a de el Profesor Do í guez… 110 La fórmula que necesitamos para calcular el monto capitalizable cuando es interés compuesto es la siguiente: En el problema se puede identificar algunos datos como: P (Capital)= $475,380.00 i (Tasa de Interés)= .25/12 meses= 0.020833333 n (Plazo)= 8 meses El siguiente paso es sustituir los datos que S (Monto)=? tenemos en la fórmula: 111 Problema 6.- La fórmula que se utiliza para calcular el monto acumulado a interés compuesto en un periodo, en este caso de 7 meses es: El siguiente paso es sustituir los datos en la fórmula: Primero se tienen que Identificar los datos, teniendo como: P (Capital)= $50,000.00 i (Tasa de interés)= .035/12 meses= 0.002916666 n (Plazo)= 7 meses S (Monto)=? Por lo tanto, un depósito de $50,000.00 rendirá $1,029.81 de interés y acumulará un monto de $51,029.81 al cabo de 7 meses. 112 0 Si la caja te diera una tasa de interés de 30% anual capitalizable mensualmente, durante 7 meses se utiliza la misma fórmula: Al sustituir los datos dentro de la fórmula queda de la siguiente manera: Como se hizo anteriormente primero se debe identificar los datos con los que contamos: P (Capital)= $50,000.00 i (Tasa de Interés)= .30/12 meses= 0.025 n (Plazo)= 7 meses S (Monto)=? La diferencia que existe entre el monto con una tasa de interés del 30% que es de $59,434.29 y el monto con la tasa de interés original de $51,029.81, la diferencia que existe entre estas dos cantidades es de $8,404.48, el cual constituye la utilidad de la caja de ahorro 113 Problema 7.En la ciudad de México. Pablo y Pedro se encontraron en la calle... Pedro invitó a pablo a su oficina para explicarle lo del crédito que tramitaría... 114 Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Datos: P (Capital) = $256,800.00 i (Tasa de Interés) = 28% n ( Plazo) = 18meses = 1.5 años S (Monto) =? 115 En la cual sustituimos: Problema 8.La mañana del Domingo Martha salió a pasear su perro, y se encontró a Paco su amigo de la infancia. Paco le invito un café a Martha para explicarle lo del crédito... 116 Utilizando la siguiente fórmula para calcular el Monto con Interés Compuesto Datos: P (Capital) = $178,572.00 En la cual sustituimos: i (Tasa de Interés) =0.24 n (Plazo) = 13 meses S (Monto) =? 117 ECUACIONES EQUIVALENTES Problema 1.- 118 Su condición actual es la siguiente: Tasa de Interés Semestral del 13% fe1 =$6,000.00 (Vencido hace 4 meses) fe2 =$3,500.00 (Vencido hace 1 mes) fe3 =$2,700.00 (Vence en 3 meses) fe4 =$500.00 (Vence en 6 meses) Considerando dos incógnitas: ¿Cuál es su deuda al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? ¿Cuál sería el pago mensual que ella realizara reestructurando su deuda? Para realizar ese cálculo ejemplificaremos lo que tenemos que hacer: *Necesitamos traer al día de hoy o fecha Focal los montos de las deudas vencidas: fe1 =$6,000.00 (Vencido hace 4 meses) fe2 =$3,500.00 (Vencido hace 1 mes) De los plazos que están por vencer necesitamos igual traerlos al día de hoy o Fecha Focal, ya que si ella pagara hoy esas cuentas existiría un ahorro por los intereses no devengados: fe3 =$2,700.00 (Vence en 3 meses) fe4 =$500.00 (Vence en 6 meses) Dibujamos el estado de nuestra deuda, aplicando el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización) Affocal 4m Affocal 1m ffocal 119 Pffocal 3m Pffocal 6m Para hacer esos cálculos utilizaremos la fórmula de: Valor Esquema Original = Veo Con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. Sustituyendo los valores de cada una de las cuentas, nos quedaría de la siguiente forma: Este resultado es el valor del total de la deuda en la Fecha Focal. Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que Hermelinda cubrirá sus deudas. 120 El banco accede a esa reestructura cambiándole una nueva tasa de interés semestral: Reestructura: Tasa de Interés Semestral del 15% 1° pago =1 mes 2° pago =2 meses 3° pago =4 meses 4° pago =6 meses 5° pago =8 meses 6° pago =10 meses 7° pago =11 meses 8° pago =12 meses ffocal 1m 2m 4m 6m 8m 10 m La fórmula que utilizaremos será de Valor Esquema Nuevo: Para conocer el monto de cada pago que se realizara en la nueva fecha acordada. 121 11 m 12 m Sustituyendo los valores nos quedaría de la siguiente forma: El Factor resultante es: Ahora que ya conocemos el factor, podemos conocer el monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos reestructurados. 122 Problema 2.- 123 Su condición actual es la siguiente: Tasa de Interés es del 8% fe1 =$2,500.00 (Vencido hace 3 meses) fe2 =$1,380.00 (Vence en 1 mes) fe3 =$1,198.00 (Vence en 4 meses) Considerando dos incógnitas: ¿Cuál es su deuda al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? ¿Cuál sería el pago mensual que él realizara reestructurando su deuda? Para realizar ese cálculo ejemplificaremos lo que tenemos que hacer: *Necesitamos traer al día de hoy o fecha Focal los montos de las deudas vencidas: fe1 =$2,500.00 (Vencido hace 3 meses) De los plazos que están por vencer necesitamos igual traerlos al día de hoy o Fecha Focal, ya que si él pagara hoy esas cuentas existiría un ahorro por los intereses no devengados: fe2=$1,380.00 (Vence en 3 meses) fe3 =$1,198.00 (Vence en 6 meses) Dibujamos el estado de nuestra deuda, aplicando el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización) Affocal 3m ffocal 124 Pffocal 1m Pffocal 4m Para hacer esos cálculos utilizaremos la fórmula de: Valor Esquema Original = Veo Con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. Sustituyendo los valores de cada una de las cuentas, nos quedaría de la siguiente forma: Este resultado es el valor del total de la deuda en la Fecha Focal. Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que Juan cubrirá sus deudas. 125 El banco accede a esa reestructura cambiándole una nueva tasa de interés: Reestructura: Tasa de Interés es del 12% 1° pago =2 meses 2° pago =4 meses 3° pago =6 meses 4° pago =8 meses 5° pago =10 meses ffocal 2m 4m 6m 8m 10 m La fórmula que utilizaremos será de Valor Esquema Nuevo: Para conocer el monto de cada pago que se realizará en la nueva fecha acordada. 126 Sustituyendo los valores nos quedaría de la siguiente forma: El Factor resultante es: Ahora que ya conocemos el factor, podemos conocer el monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos reestructurados. 127 Problema 3.- Su condición actual es la siguiente: Considerando dos incógnitas: Tasa de Interés Anual del 43.89% ¿Cuál es su deuda al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? fe1 =1,985.00 (Vencido hace 80 días) fe2 =5,858.00 (Vencido hace 45 días) fe3 =3,750.00 (Vencido hace 20 días) fe4 =2,908.00 (Vence en 3 meses) fe5 =4,152.00 (Vence en 7 meses) fe6=940.00 (Vence en 8 meses) fe7 =10,740.00 (Vence en 10 meses) ¿Cuál sería el pago mensual que ella realizara reestructurando su deuda? 128 Para realizar ese cálculo ejemplificaremos lo que tenemos que hacer: *Necesitamos traer al día de hoy o fecha Focal los montos de las deudas vencidas : fe1 =1,985.00 (Vencido hace 80 días) fe2 =5,858.00 (Vencido hace 45 días) fe3 =3,750.00 (Vencido hace 20 días) De los plazos que están por vencer necesitamos igual traerlos al día de hoy o Fecha Focal, ya que si Juan pagara hoy esas cuentas existiría un ahorro por los intereses no devengados: fe4 =2,908.00 (Vence en 3 meses) fe5 =4,152.00 (Vence en 7 meses) fe6=940.00 (Vence en 8 meses) fe7 =10,740.00 (Vence en 10 meses) Dibujamos el estado de nuestra deuda, aplicando el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización) 129 Para hacer esos cálculos utilizaremos la formula de: Valor Esquema Original = Veo Con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. Sustituyendo los valores de cada una de las cuentas, nos quedaría de la siguiente forma: Nuestro Valor Actual de la deuda es: Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que Juanito cubrirá sus deudas. 130 Sustituyendo los valores nos quedaría de la siguiente forma: El Factor resultante es : Ahora que ya conocemos el factor, podemos conocer el monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos reestructurados. 131 Problema 4.- La condición actual de Paulina es la siguiente: Tasa de Interés Semestral del 15% fe1 =2,000.00 (Vencido hace 6 meses) fe2 =1,500.00 (Vencido hace 2 meses) fe3 =3,400.00 (Vence en 2 meses) fe4 =700.00 (Vence en 4 meses) Fe5 =300.00 (Vence en 5 meses) Considerando dos incógnitas: ¿Cuál es su deuda al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? ¿Cuál sería el pago mensual que ella realizara reestructurando su deuda? 132 Para realizar ese cálculo ejemplificaremos lo que tenemos que hacer: *Necesitamos traer al día de hoy o fecha Focal los montos de las deudas vencidas : fe1 =2,000.00 (Vencido hace 6 meses) fe2 =1,500.00 (Vencido hace 2 meses) De los plazos que están por vencer necesitamos igual traerlos al día de hoy o Fecha Focal, ya que si ella pagara hoy esas cuentas existiría un ahorro por los intereses no devengados: fe3 =3,400.00 (Vence en 2 meses) fe4 =700.00 (Vence en 4 meses) Fe5 =300.00 (Vence en 5 meses) Dibujamos el estado de la deuda de Pau, aplicando el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización) Affocal 6m Affocal 2m ffocal Pffocal 2m Pffocal 4m Para hacer esos cálculos utilizaremos la formula de: Valor Esquema Original = Veo Con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. 133 Pffocal 5m Sustituyendo los valores de cada una de las cuentas, nos quedaría de la siguiente forma: Este resultado es el valor del total de la deuda en la Fecha Focal. Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que Paulina cubrirá sus deudas. El banco accede a esa reestructura cambiándole una nueva tasa de intereses semestral: Reestructura: Tasa de Interés Semestral del 17% 1° pago =3 meses 2° pago =4 meses 3° pago =6 meses 4° pago =8 meses ffocal 3m 134 4m 6m 8m La fórmula que utilizaremos será de Valor Esquema Nuevo: Para conocer el monto de cada pago que se realizara en la nueva fecha acordada. Sustituyendo los valores nos quedaría de la siguiente forma: El Factor resultante es: Ahora que ya conocemos el factor, podemos conocer el monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos reestructurados. 135 Problema 5.Una mañana en el parque se encuentran por casualidad Jorge y Armando… Algunas de las condiciones o deudas que tiene Ruth al día de hoy son las siguientes: fe1 = $2,226.10 (Vencido hace 6 meses) fe2 =1,600.40 (Vencido hace 3 meses) fe3 =2,500.00 (Vencido hace 25 días) fe4 =4,013.75 (Vencido hace 8 días) Fe5 =717.00 (Vence en 2 meses) Fe6 =9,857.00 (Vence en 180 días) Tasa de Interés: 8% mensual. Se debe tomar en cuenta la siguiente incógnita:  ¿Cuál es la deuda de Ruth al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? 136 Tabla de cálculos de días a meses El primer paso es trazar nuestra línea de tiempo o conocido también como el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización), el cual nos servirá para comprender mejor el problema Affocal 6m Affocal 3m Affocal 25 días Affocal 8 días Días 25 8 180 ffocal Pffocal 2m Meses 0.82 0.26 5.92 Pffocal 180 días Como vemos tiene plazos que vencen o vencieron en días, y otros en meses, para poder unificar y hacer equivalente estos cálculos, los días serán convertidos en meses, dividiendo el número de días entre 30.4 (que es el valor más aproximado a cubrir los 365 días por la variación en el número de días en los meses). Para hacer esos cálculos utilizaremos la formula de Valor Esquema Original (VEO), con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. 137 Sustituyendo los valores queda de la siguiente forma, considerando los cálculos previos realizados para unificar todos los plazos en meses. El Valor Actual de la deuda es: Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que Ruth cubrirá sus deudas. 138 Los pagos mensuales quedaran de la siguiente manera: 1° pago = 7días 2° pago =30 días 3° pago =3 meses 4° pago =150 días 5° pago= 8 meses 6° pago= 250 días 7° pago= 10 meses Con una tasa de interés del 12% mensual. Tabla de cálculos de días a meses Primero debemos trazar nuestra línea de tiempo. ffocal 7 días 30 días 3m Días 7 30 150 250 150 días 8m 250 días Para calcular VEO (Valor del Esquema Nuevo) se utiliza la siguiente fórmula: La cual no servirá para conocer el monto de cada pago que se realizara en la nueva fecha acordada. 139 Meses 0.23 .99 4.93 8.22 10 m Sustituyendo los valores de cada uno de los nuevos plazos con la nueva tasa de interés nos queda de la siguiente forma: El Factor resultante es: El monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos restructurados será de: 140 Problema 6.U día e el useo se e cue tra el señor Rodríguez y Julia… fe1 = $1,200.00 (Vencido hace 120 días) fe2 =$3,450.00 (Vencido hace 34 días) fe3 =2,750.00 (Vence en 2 meses) fe4 =900.00 (Vence en 3 meses) Tasa de Interés: 25% anual. Se debe tomar en cuenta la siguiente incógnita:  ¿Cuál es la deuda al día de hoy por sus plazos vencidos y sus cuentas pendientes? 141 Se debe trazar nuestra línea de tiempo o también conocido como el método de brinca la tablita (Capitalización) Affocal 120 días Tabla de cálculos de días a meses Días 120 34 Affocal 34 días ffocal Pffocal 2m Meses 3.95 1.12 Pffocal 3 m. Como vemos tiene plazos que vencen o vencieron en días, y otros en meses, para poder unificar y hacer equivalente estos cálculos, los días serán convertidos en meses, dividiendo el número de días entre 30.4 (que es el valor más aproximado a cubrir los 365 días por la variación en el número de días en los meses). Para conocer el valor actual de tu deuda, se debe sacar VEO (Valor del Esquema Original), ya que traeremos los pagos vencidos a valor presente y los que están por vencer los traeremos a la Fecha Focal para así conocer la deuda Actual. La fórmula para sacar Veo es: 142 Sustituyendo los valores queda de la siguiente forma, considerando los cálculos previos realizados para unificar todos los plazos en meses. El Valor Actual de la deuda es: Los pagos mensuales quedaran de la siguiente manera: 1° pago = 35días 2° pago = 60 días 3° pago =4 meses 4° pago =200 días 5° pago= 8 meses Con una tasa de interés del 50% mensual. Tabla de cálculos de días a meses Días 35 60 200 ffocal 35 días Se debe trazar nuestra línea de tiempo Meses 1.15 1.97 6.58 60 días 4m 200 días 143 8m El siguiente paso es conocer la mensualidad que tendrás que cubrir para los nuevos plazos. Para calcular VEO (Valor del Esquema Nuevo) se utiliza la siguiente fórmula: Sustituyendo los valores de cada uno de los nuevos plazos con la nueva tasa de interés nos queda de la siguiente forma: El Factor resultante es: El monto de la Mensualidad a cubrir: 144 Problema 7.El Dr. Maza se fue de viaje, y a su regreso se dio cuenta que tenía unos pagos vencidos y que sobre todo estaba muy gastado en su liquidez… El Dr. Maza fue al banco a ver a su ejecutivo Martin, para que le asesorara en la reestructura de sus cuentas por pagar. 145 Su condición actual es la siguiente: Tasa de Interés Anual del 45.6% fe1 =8,750.00 (Vencido hace 3 meses) fe2 =2,830.00 (Vencido hace 2 mes) fe3 =17,400.00 (Vence en 2 meses) fe4 =1,750.00 (Vence en 4 meses) *Necesitamos traer al día de hoy o fecha Focal los montos de las deudas vencidas :  fe1 =8,750.00 (Vencido hace 3 meses)  fe2 =2,830.00 (Vencido hace 2 mes) *De los plazos que están por vencer necesitamos igual traerlos al día de hoy o Fecha Focal, ya que si el pagara hoy esas cuentas existiría un ahorro por los intereses no devengados: fe3 =17,400.00 (Vence en 2 meses) y fe4 =1,750.00 (Vence en 4 meses) Dibujamos el estado de nuestra deuda, aplicando el método de "Brinca la Tablita" (Capitalización) Affocal Affocal 3m 2m 146 ffocal Pffocal Pffocal 2m 4m Para hacer esos cálculos utilizaremos la formula de: Valor Esquema Original = Veo Con la cual podemos traer las cantidades o cuentas vencidas al valor presente. Sustituyendo los valores de cada una de las cuentas, nos quedaría de la siguiente forma: Este resultado es el valor del total de la deuda en la Fecha Focal. Para conocer el monto de las nuevas mensualidades iguales necesitamos conocer el factor. Para conocer ese factor necesitamos el nuevo esquema en el que usted Dr. Pagara esta deuda. 147 Ahora dígame en cuantos pagos se reestructurara y en que tiempos. Solo que la tasa de interés será del 55% anual Ok. Los pagos quedarían de la siguiente forma : 1° pago = fecha focal 2° pago = 1 mes 3° pago = 2 meses 4° pago =4 meses 5° pago =6 meses 6° pago =8 meses Para calcular VEO (Valor del Esquema Nuevo) se utiliza la siguiente fórmula: ffocal 1m 2m 4m 6m 148 8m Sustituyendo los valores nos quedaría de la siguiente forma: El Factor resultante es: Ahora que ya conocemos el factor, podemos conocer el monto de las mensualidades nuevas, para los nuevos plazos reestructurados. 149 Fin del Capitulo: Sugerencias o comentarios Enviar correo a: [email protected], [email protected] 150