Renormalization in QFT and the Riemann-Hilbert problem (2012)

Рассказы о некоммутативном мире. Рассказ 4. Связь между ренормализацией в квантовой теории поля и проблемой Римана-Гильберта Ф.-И. Е. П. (François-Igor PRIS) [email protected] Абстракт Мы вкратце объясняем связь между размерной регуляризацией и её BPHZ-ренормализацией в квантовой теории поля и проблемой Римана-Гильберта. Изложение основано на работах Конна, Краймера, Марколли и других. We explain the relation between the dimensional regularization and its BPHZ-renormalization in quantum field theory, and the Riemann-Hilbert problem. The exposition is based on works by Connes, Kreimer, Marcolli, and others. Ключевые слова : пертурбативная ренормализация, эквисингулярные связности, соответствие Римана-Гильберта, мотивная группа Галуа Key words: perturbative renormalization, equisingular connections, Riemann-Hilbert correspondence, motivic Galois group В Рассказе 3 мы объяснили каким образом Конн и Краймер концептуально поняли размерную регуляризацию и её BPHZ-ренормализацию в терминах факторизации Биркхофа параметризованных параметром регуляризации петель на (комплексной связной про-унипотентной) группе Ли G Существует абстрактный алгебраический аналог факторизации Биркхофа для произвольного линейного отображения алгебры Хопфа в коммутативную унитальную алгебру (при условии, что единица отображается в единицу), снабжённую «ренормализационной схемой». (см., например, Manchon 2006). , ассоциированной с алгеброй Хопфа H (в варианте Конна-Краймера (2000)), ассоциированной с диаграммами Фейнмана квантовой теории поля. Позже было показано, что BPHZ-ренормализация любой регуляризационной схемы, которая может быть представлена в виде алгебры Рота-Бакстера, эквивалентна проблеме факторизации Биркхофа (Ebrahimi-Fard 2004). С этого открытия началась геометризация процесса регуляризации и ренормализации, то есть, представление его в виде пространства расслоения с эквисингулярной связностью. Алгебра Рота-Бакстера (Rota-Baxter) есть пара (A, P), где A – алгебра над полем k, Р – k-линейный оператор на А такой, что P(x)P(y)+θ P(xy)=P(xP(y))+P(P(y)x), где x, y ∈ A, θ ∈ℝ. Параметр θ называется весом оператора Р. Факторизация Биркхофа имеет следующий вид: γ(z) = γ (z) γ (z), где γ(z) зависит от ренормализационного параметра массы 𝝁, γ(z) даёт контр-члены и не зависит от 𝝁, а γ (z) даёт ренормализованные величины теории, z - комплексный параметр регуляризации. До начала процесса регуляризации лагранжиан теории инвариантен относительно изменения масштаба. Регуляризация приводит к нарушению этой инвариантности. Для её восстановления в лагранжиан вводится регуляризационная масса, которая зависит от параметра регуляризации. В (2001) Конн и Краймер доказали неопубликованный результат ‘т Хофта (‘t Hooft) о том, что контр-члены зависят только от бета-функции теории 𝜷, которая есть генератор группы ренормализации Ft Группа ренормализации описывает зависимость динамики лагранжиана от масштаба. Её можно определить как полугруппу отображений на множестве лагранжианов вида, : L (масштаб массы (энергии) λ) L (масштаб массы (энергии) μ), удовлетворяющих условиям = , = 1. (Параметр σ представляется в виде σ = tλ. Соответственно, R = .) : 𝜷 = Ft | t=0 , Ft = есть 1-параметрическая подгруппа группы G (см. Connes 2007, с. 92), где 𝜽 t Aut(Difg (T)) – однопараметрическая подгруппа группы автоморфизмов группы диффеографизмов теории T (о группе Difg (T) см. Рассказ 3), и представили их в виде следующей формулы рассеяния для γ (z) : γ (z) = Здесь обозначает дополнительный генератор алгебры Ли группы G* = G ×𝜽 ℝ, где символ « ×𝜽 » обозначает полупрямое произведение. При этом [Z0 , X ] = Y(X) 𝖌 ≡ Lie G, Y – градуировка группы Ли G, = Бета-функция является решением одного из дифференциальных уравнений ренормализационной группы и позволяет получить физические значения регуляризованной физической теории. Бета-функция описывает зависимость g от t следующим образом: 𝜷(g(t))= t dg(t)/dt, где g(t) - ненормализованная константа взаимодействия. Конн и Краймер представили полученную формулу для γ (z), а также γ (z) и γ(z), в виде следующих упорядоченных экспонент, которые имеют геометрическую интерпретацию (см. ниже): γ(z)v = Т) = (Т )( Т) , γ (z)v = Т , γ (z)v = Т , где интеграл берётся по прямой u = tv, t ∈ [0, 1], v(z) – регулярная функция на диске ∆, удовлетворяющая условию v(0) = 1, - действие мультипликативной группы Gm на G. (Группа Gm - аффинная групповая схема, полученная из алгебры Хопфа k[t, ] c ко-произведением ∆(t) = t ⊗ t.) Это действие индуцируется следующим действием на соответствующей группе G коммутативной градуированной связной алгебре Хопфа H : (Х) = X, где Y – генератор градуировки, то есть, линейный оператор на H, удовлетворяющий условию Y(X) = nX, а X - вектор из n-го подпространства алгебры H. Y = 𝜽 t | t=o ( = ), Y(X) = nX, 𝜽t (X) = X. Факторизация петли γ(z) зависит от ренормализационного параметра массы 𝝁 следующим образом (см. Connes 2004): γ (z) 𝝁 = (Т) (𝛾reg (z)), γ (z)𝝁 = Т, γ (z) 𝝁 = (Т) (𝛾reg (z)), где - элемент алгебры Ли группы G, петля 𝛾reg (z) регулярна в точке z=0. . Упорядоченная экспонента Т является решением некоторого дифференциального уравнения вида dg(t) = g(t)α(t)dt, g(0) =1, где g(t) G. Петли γ(z) = γ (z) γ (z) были идентифицированы с решениями дифференциальных уравнений γ (z)𝝁 = 0 , γ 𝝁 (z) = 𝜽 t z (γ 𝝁 (z)) , Конном и Марколли (Connes 2004, 2006) в 2004 году. Эти два условия допускают геометрическую интерпретацию в терминах связностей на расслоённых пространствах. В случае экспоненты γ (z) соответствующее дифференциальное уравнение приводит к так называемой эквисингулярной плоской связности на некотором векторном расслоении. Свойство эквисингулярности отражает тот факт, что γ (z), то есть, контр-члены не зависят от масштаба масс 𝝁. Эквисингулярная связность имеет то свойство, что её ограничения на различные сечения, проходящие через одну и ту же точку сингулярного слоя расслоения, имеют один и тот же тип сингулярности вблизи этого слоя (см. также ниже). Конном и Краймером было введено пространство расслоения, геометрически представляющее процесс регуляризации и ренормализации для квантовой теории скалярного поля. (Connes 2006) Рассмотрим тривиальное главное расслоение G , где - бесконечномалый диск с выколотым центром z=0. Связность на этом расслоении специфицируется своим ограничением на сечение 1, то есть 𝖌 – значной формой (𝖌) на Для того, чтобы принять во внимание параметр массы 𝝁, вводится главное Gm (C) = - расслоение Gm(C) (действие группы) B (проекция) , с параметром в слое, имеющим форму ћ , где ћ – постоянная Планка, - параметр массы. Это расслоение снабжается плоской связностью. Действие группы в слое имеет вид ћ. Условие эквисингулярности плоской связности на этом расслоении равносильно условию независимости контр-членов от параметра массы. Эквисингулярная связность на расслоении В есть такая Gm-инвариантная связность, что её ограничения на сечения расслоения В, которые совпадают в точке z=0, эквивалентны друг другу в том смысле, что они связаны калибровочным преобразованием посредством G-значного Gm-инвариантного регулярного на В отображения h. Расслоение В может быть идентифицировано с при помощи неканонического выбора сечения: σ, σ(0) = y0 . Расслоением, кодирующим процесс ренормализации, является тривиальное главное G - расслоение над базой B. Обозначим это расслоение символом P. P = G B = , где G Gm . Исходя из связности в В можно построить глобальную связность в P. (Agarwala 2009, 2011) Она связывает бета-функции для различных регуляризационных схем посредством калибровочных преобразований. Агарвала считает, что глобальная связность полезна для понимания ренормализации КТП над искривленным пространством-временем. Классам эквивалентностей эквисингулярных связностей соответствуют классы эквивалентностей дифференциальных уравнений. Соответствие Римана-Гильберта сопоставляет им категорию представлений некоторой группы. Вместо того, чтобы работать с конкретной ренормализуемой КТП удобнее рассмотреть соответствие Римана-Гильберта в более широком плане, беря вместо G-инвариантных эквисингулярных связностей категорию классов эквивалентносей всех плоских эквисингулярных расслоений. Для конкретной КТП соответствующая категория плоских эквисингулярных G-связностей может быть восстановлена из такого более общего построения, рассматривая подкатегорию тех плоских эквисингулярных расслоений, которые являются конечномерными линейными представлениями группы = (полупрямое) Сm .   Группа, конечномерные линейные представления которой классифицируют эквисингулярные плоские векторные расслоения есть «мотивная группа Галуа» U*, которая универсальна по отношению к множеству ренормализуемых физических теорий и является их группой симметрии. Группа U* есть полупрямое произведение мультипликативной группы Gm (см. выше) и группы (точнее, про-унипотентной групповой схемы) U, алгебра Ли которой, F (1, 2, 3, …), свободно генерируется генераторами (n=1, 2, 3, …) : U* = U (полупрямое) Gm . Группа (точнее, групповая схема) U* имеет свойства космической группы Галуа, гипотеза о существовании которой была выдвинута Пьером Картье (Cartier 2001). Подобно тому как группа Галуа кодирует неоднозначности в теории чисел, группа U* кодирует неоднозначности процедуры ренормализации в КТП. Можно показать, что она действует на константах взаимодействия. Группа ренормализации является однопараметрической подгруппой группы U*. Эквивалентность категории плоских эквисингулярных расслоений категории конечномерных линейных представлений группы U* может быть доказана благодаря представлению экспоненты (то есть, связности) γ(z)v = Т) U, где e = Lie U (алгебра Ли группы U), – генераторы Lie U, в виде . Связь с некоммутативной геометрией Конна здесь в том, что коэффициенты в последней формуле совпадают с коэффициентами в формуле Конна-Московичи (Connes-Moscovici) для формулы локального индекса в некоммутативной геометрии (Connes 1995). С группой U* ассоциируется коммутативная градуированная алгебра Хопфа Hu , дуальная универсальной обёртывающей U (F (1, 2, 3, …). Hu есть универсальная алгебра Хопфа квантовой теории поля. Связь между дифференциальными уравнениями и представлениями некоторой группы есть соответствие Римана-Гильберта. Таким образом, группа (точнее, групповая схема) U* кодирует расходимости в КТП посредством соответствия Римана-Гильберта. Гончаров (Goncharov 2001, 2002) показал, что U* изоморфна (абстрактно, а не каноническим образом) некоторой мотивной группе Галуа. Поэтому о группе U* и говорят как о «мотивной группе Галуа». Литература Agarwala, Susama. 2009. “The Geometry of Renormalization”. arXiv:0909.4117v1 [math-ph] 23 Sep 2009 Agarwala, Susama. 2011. “A perspective on regularization and curvature”. arXiv:0909.4117v2 [math-ph] 7 Dec 2011 Cartier, P. 2001. “A mad day’s work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry”. Bull. Amer. Math. Soc. 38, n 4, 389-408. Connes, A. 1994. Noncommutative Geometry. Academic Press. Connes, A. and Moscovici, H. 1995. “The local index formula in noncommutative geometry”. GAFA. Vol. 5, p. 174-243. Connes, A. and Kreimer, D. 2000. “Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. I. The Hopf algebra structure of graphs and the main theorem.” Comm. Math. Physics. 210, n 1, 249-273. Connes, A. and Kreimer, D. 2001. “Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. II. The β-function, diffeomorphisms and the renormalization group.” Comm. Math. Physics. 216, n 1, 215-241. Connes, A. and Marcolli, M. 2004. “Renormalization and motivic Galois theory”. arXiv:math.NT/0409306v1 17Sep 2004 International Math Research Notices, 2004, no 76, 4073-4092 Connes, A. and Marcolli, M. 2006. « Quantum Fields and Motives.” Journal of Geometry and Physics. 56, 55-85. Connes, A. and Marcolli, M. 2006a. “From physics to number theory via noncommutative geometry, Part I: Quantum statistical mechanics of ℚ - lattices”, in Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry, I, pp. 269-350, Springer Verlag. Connes, A. and Marcolli, M. 2006b. “From physics to number theory via noncommutative geometry, Part I: Renormalization, the Riemann-Hilbert correspondence, and motivic Galois theory”, in Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry, II, pp. 617-713, Springer Verlag. Connes, A. and Marcolli, M. 2008. Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives. AMS. Ebrahimi-Fard, K., Guo, L., and Kreimer, D. 2004. „Spitzer‘s identity and the algebraic Birkhoff decomposition in pQFT”. Journal of Physics. A 37, 11037-11052. arXiv:hep-th 0407082v1. Goncharov, A. 2001. “Multiple polylogarithms and mixed Tate motives.” Preprint, math.AG/0103059 Goncharov, A. 2002. “Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry.” Preprint, math.AG/0208144 Manchon, D. 2006. „Hopf algebras, from basics to applications to renormalization.” arXiv:math/0408405v2 [math.QA] 16 May 2006 Marcolli, M. «Renormalization for Dummies». Pris, François-Igor. 2011. « Рассказы о некоммутативном мире. Рассказ 3. » Academia.com (Internet) 6