Academia.eduAcademia.edu

Mecànica de medis continus per a enginyers

Mecànica de medis continus per a enginyers vol ser una eina per a la formació dels enginyers en la mecànica dels medis continus, que manté un equilibri adequat entre el rigor del seu plantejament i la claredat dels principis físics que aborda. El contingut es divideix en dues parts ben diferenciades, que es presenten seqüencialment. A la primera part -capítols de 1 al 5-, s’introdueixen els aspectes fonamentals i descriptius comuns de tots els medis continus (moviment, deformació, tensió i equacions de conservació-balanç). A la segona part -capítols del 6 a 11-, s’estudien famílies específiques de medis continus, com ara els sòlids i els fluids, en un plantejament que s’inicia amb l’equació constitutiva corresponent i conclou amb les formulacions clàssiques de la mecànica de sòlids (elàstics lineals i elastoplàstics) i de la mecànica de fluids (règim laminar). Finalment, es fa una incursió breu en els principis variacionals (principis dels treballs virtuals i de minimització de l’en...

POLITEXT Xavier Oliver Olivella Carlos Agelet de Saracíbar Bosch Mecànica de medis continus per a enginyers POLITEXT 152 Mecànica de medis continus per a enginyers POLITEXT Xavier Oliver Olivella Carlos Agelet de Saracíbar Bosch Mecànica de medis continus per a enginyers Compilació: Eduardo Vieira Chaves Eduardo Car EDICIONS UPC Primera edició: juny de 2003 Reimpressió: novembre de 2011 Aquest obra compta amb el suport de la Generalitat de Catalunya En col·laboració amb el Servei de Llengües i Terminologia de la UPC. Disseny de la coberta: Manuel Andreu Traducció realitzada per Incyta © Els autors, 2003 © Iniciativa Digital Politècnica, 2003 Oficina de Publicacions Acadèmiques Digitals de la UPC Jordi Girona Salgado 31, Edifici Torre Girona, D-203, 08034 Barcelona Tel.: 934 015 885 Fax: 934 054 101 www.upc.edu/idp E-mail: [email protected] Producció: SERVICE POINT Pau Casals, 161-163 08820 El Prat de Llobregat (Barcelona) Dipòsit legal: B-33833-2003 ISBN: 978-84-9880-436-2 Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només es pot fer amb l’autorització dels seus titulars, llevat de l’excepció prevista a la llei. Índex 1 Descripció del moviment 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 2 Definició de medi continu Equacions del movimient Descripcions del moviment Derivades temporals: local, material, convectiva Velocitat i acceleració Estacionarietat Trajectòria Línia de corrent Tub de corrent Línia de traça Superfície material Superfície de control Volum material Volum de control 1 1 5 7 9 12 13 15 17 18 20 22 23 24 Descripció de la deformació 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Introducció Tensor gradient de deformació Desplaçaments Tensors de deformació Variació de les distancies: Estirament, allargament unitari Variació d’angles Interpretació física dels tensors de deformació Descomposició polar Variació de volum Variació de l’àrea Deformació infinitesimal Deformació volumètrica Velocitat de deformació Derivades materials dels tensors de deformació i altres magnituds 25 25 28 30 33 36 38 42 44 46 47 56 58 62 2.15 Moviments i deformacions en coordenades cilíndriques i esfèriques 3 Equacions de compatibilitat 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 Introducció Exemple preliminar: Equacions de compatibilitat d’un camp vectorial potencial Condicions de compatibilitat per a les deformacions infinitesimals Integració del camp de deformacions infinitesimals Equacions de compatibilidad i integració del tensor velocitat de deformació 71 72 74 77 82 Tensió 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5 65 Forces màssiques i superficials Postulats de Cauchy Tensor de tensions Propietats del tensor de tensions Tensor de tensions en coordenades curvilínies ortogonals Cercle de Mohr en 3 dimensions Cercle de Mohr en 2 dimensions Cercle de Mohr per a casos particulars 83 86 88 96 103 105 110 122 Equacions de conservació-balanç 5.1 5.2 5.3 5.4 Postulats de conservació-balanç Flux per transport de massa o flux convectiu Derivada local i derivada material d’una integral de volum Conservació de la massa. Equació de continuitat 125 125 129 134 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 6 Equación de balanç. Teorema del transport de Reynolds Expressió general de les equacions de balanç Balanç de la quantitat de moviment Balanç del moment de la quantitat de moviment (moment angular) Potència Balanç de l’energia Processos reversibles i irreversibles Segon principi de la termodinàmica. Entropia Equacions de la mecànica de medis continus. Equacions constitutives 136 138 141 143 146 151 157 159 166 Elasticitat lineal 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 Hipòtesi de la teoría de l’elasticitat lineal Equació constitutiva elàstica lineal. Llei de Hooke generalitzada Isotropia- Constants de Lamé- Llei de Hooke per a elasticitat lineal isòtropa Llei de Hooke en components esfèrics i desviadors Limitacions en els valors de las propietats elàstiques Plantejament del problema elàstic lineal Resolució del problema elàstic lineal Unicitat de la solució del problema elàstic lineal Principi de Saint-Venant Termoelasticitat lineal. Tensions i deformacions tèrmiques Analogies térmiques Principi de superposició en termoelasticitat lineal Llei de Hooke en funció dels “vectors” de tensió i de deformació 169 171 174 176 178 180 185 188 193 195 198 208 212 7 Elasticitat lineal plana 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8 8.7 8.8 226 Introducció Nocions prèvies Espai de tensions principals Models reològics de fricció Comportament fenomenològic elastoplàstic Teoria incremental de la plasticitat en una dimensió Plasticitat en tres dimensions Superfícies de fluència. Criteris de falla 233 233 237 242 251 253 260 261 Equacions constitutives en fluids 9.1 9.2 9.3 9.4 10 215 215 219 222 223 Plasticitat 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9 Introducció Estat de tensió plana Deformació plana El problema elàstic lineal en elasticitat bidimensional Problemes assimilables a elasticitat bidimensional Corbes representatives dels estats plans de tensió Concepte de pressió Equacions constitutives en mecànica de fluids Equacions constitutives (mecàniques) en fluids viscosos Equacions constitutives (mecàniques) en fluids newtonians 273 276 277 277 Mecànica de fluids 10.1 Equacions del problema de mecànica de fluids 285 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11 Hidrostàtica. Fluids en repòs Dinàmica de fluids: fluids perfectes barotròpics Dinàmica de fluids: fluids viscosos (newtonians) Condicions de contorn en la mecànica de fluids Flux laminar i flux turbulent 287 293 303 309 313 Principis variacionals 11.1 Preliminars 11.2 Principi (teorema) dels treballs virtuals 11.3 Energia potencial. Principi de minimització de l’energia potencial 317 323 328 Bibliografia 331 Presentació Aquest text neix amb la vocació de ser una eina per a la formació dels enginyers en la mecànica de medis continus. De fet, és el fruit de l'experiència de molts anys en l'ensenyament d’aquesta disciplina a l'Escola d'Enginyers de Camins de la Universitat Politècnica de Catalunya, tant en cursos de grau (titulacions d'Enginyeria de Camins, Canals i Ports i Enginyeria Geològica) com de postgrau (cursos de màster i de doctorat). A diferència d'altres textos d'introducció a la mecànica de medis continus, el que es presenta aquí està orientat específicament a l'enginyeria, i intenta mantenir un equilibri adequat entre el rigor de la formulació matemàtica utilitzada i la claredat dels principis físics tractats, encara que posant en tot moment el primer al servei de la segona. En aquest sentit, en les imprescindibles operacions vectorials i tensorials s'utilitzen simultàniament tant la notació indicial (de més utilitat per a la demostració matemàtica rigorosa) com la notació compacta (en la que s'entreveu amb més claredat la física del problema), tot i que a mesura que s'avança en el text hi ha una clara tendència cap a la notació compacta en un intent de focalitzar l'atenció del lector en el component físic de la mecànica de medis continus. El contingut del text està clarament dividit en dues parts que es presenten seqüencialment. En la primera part (capítols d’1 a 5) s'introdueixen els aspectes fonamentals i descriptius comuns a tots els medis continus (moviment, deformació, tensió i equacions de conservació-balanç). En la segona (capítols de 6 a 11) s'estudien famílies específiques de medis continus, com són els sòlids i els fluids, en un plantejament que comença amb l’equació constitutiva corresponent i acaba amb les formulacions clàssiques de la mecànica de sòlids (elàstics-lineals i elastoplàstics) i de la mecànica de fluids (règim laminar). Finalment, es fa una incursió breu en els principis variacionals (principi dels treballs virtuals i de minimització de l'energia potencial) com a ingredients de partida en la resolució de problemes de mecànica de medis continus mitjançant mètodes numèrics. Aquesta estructura permet la utilització del text amb propòsits docents tant en un únic curs d’unes 100 hores lectives, com en dos cursos diferenciats: el primer basat en els cinc primers capítols i dedicat a la introducció dels fonaments de la mecànica de medis continus i el segon dedicat específicament a la mecànica de sòlids i la mecànica de fluids. Finalment, els autors volen expressar el seu agraïment al doctor Eduardo Vieira Chaves i al doctor Eduardo Car pel treball acurat de compilació d'una primera versió d'aquest text a partir de les notes de classe i personals dels autors. Així mateix, volen agrair al professor Ramón Codina els seus suggeriments i les correccions oportunes sobre les primeres versions del text. Barcelona, setembre de 2002 Xavier Oliver Olivella i Carlos Agelet de Saracíbar Bosch 1 Descripc i ó del moviment 1.1 Definició de medi continu S’entén per medi continu un conjunt infinit de partícules (que formen part, per exemple, d’un sòlid, d’un fluid o d’un gas) que serà estudiat macroscòpicament, és a dir, sense considerar les possibles discontinuïtats existents en el nivell microscòpic (nivell atòmic o molecular). En conseqüència, s’admet que no hi ha discontinuïtats entre les partícules i que la descripció matemàtica d’aquest medi i de les seves propietats es pot fer mitjançant funcions contínues. 1.2 Equacions del moviment La descripció més elemental del moviment del medi continu es pot dur a terme mitjançant funcions matemàtiques que descriguin la posició de cada partícula al llarg del temps. En general, es requereix que aquestes funcions i les seves derivades siguin contínues. Se suposa que el medi continu està format per infinites partícules (punts materials) que ocupen diferents posicions de l’espai físic durant el seu moviment al llarg del temps (vegeu la Figura 1-1). Es defineix com a configuració del medi continu en l’instant t, que es denota per � t , el lloc geomètric de les posicions que ocupen a l’espai els punts materials (partícules) del medi continu en l’instant esmentat. Definicions Punt espacial: Punt fix a l’espai. Punt material: Una partícula. Pot ocupar diferents punts espacials en el seu moviment al llarg del temps. Configuració: Lloc geomètric de les posicions que ocupen a l’espai les partícules del medi continu per a un cert instant t. N O T A En general es prendrà l’instant t0 � 0 com a instant de referència. A un cert instant t � t 0 de l’interval de temps d’interès se’l denomina instant de referència, i a la configuració en l’instant esmentat � 0 se la denomina configuració inicial, material o de referència. 2 1 Descripció del moviment N O T A C I Ó S’utilitzaran indistintament les notacions ( X , Y , Z ) i Considerem ara el sistema de coordenades cartesianes ( X , Y , Z ) de la Figura 1-1 i la base ortonormal corresponent (eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 ) . En la configuració de referència � 0 , el vector de posició X d’una partícula que ocupa un punt P a l’espai (en l’instant de referència) ve donat per: ( X 1 , X 2 , X 3 ) per X � X 1eˆ 1 � X 2 eˆ 2 � X 3 eˆ 3 � X i eˆ i designar el sistema de coordenades cartesianes. N O T A C I Ó A la resta d’aquest text s’utilitzarà la notació d’Einstein o d’índexs repetits. Qualsevol repetició d’un índex en un mateix monomi d’una expressió algebraica suposa el sumatori respecte a l’índex esmentat. Exemples: i �3 not � X ieˆ i � X i eˆ i i �1 k �3 � aik bkj k �1 i �3 j �3 P �0 ê 3 ê1 t t � t0 X �t x ê 2 �0 t0 �t t – Configuració de referència – Instant de referència – Configuració actual – Instant actual P’ X 2 ,Y not � a ik bkj �� aij bij i �1 j �1 X3,Z (1.1) not � a ij bij N O T A C I Ó Es distingeix aquí entre el vector (ens físic) X i el seu vector de components �X�. Freqüentment s’obviarà aquesta distinció. N O T A C I Ó Sempre que sigui possible, es denotaran amb lletres majúscules les variables que es refereixin a la configuració de referència � 0 i amb lletres minúscules les variables referides a la configuració actual � t . X1, X Figura 1-1 – Configuracions del medi continu on als components ( X 1 , X 2 , X 3 ) se’ls denomina coordenades materials (de la partícula). � X1 � �X� � �� X 2 �� �X � � 3� def � coordenades materials (1.2) En la configuració actual � t , la partícula situada originalment en el punt material P (vegeu la Figura 1-1) ocupa el punt espacial P' , i el seu vector de posició x ve donat per: x � x1eˆ 1 � x 2 eˆ 2 � x3 eˆ 3 � xi eˆ i (1.3) on a ( x1 , x 2 , x 3 ) se les denomina coordenades espacials de la partícula en l’instant de temps t . � x1 � �x� � �� x2 �� �x � � 3� def � coordenades espacials (1.4) 3 1 Descripció del moviment El moviment de les partícules del medi continu es pot descriure ara per l’evolució de les seves coordenades espacials (o del seu vector de posició) al llarg del temps. Matemàticament això requereix conèixer una funció que per a cada partícula (identificada per una etiqueta) proporcioni les seves coordenades espacials xi (o el seu vector de posició espacial x ) en els instants de temps successius. Com a etiqueta que caracteritza unívocament cada partícula se’n poden escollir les coordenades materials X i i obtenir les equacions del moviment: N O T A C I Ó Amb un cert abús de la notació es confondrà freqüentment la funció amb la seva imatge. Així, les equacions de moviment s’escriuran sovint com x � x ( X, t ) i les seves not � � x � � � partícula ,t � � � � X ,t � � x � X ,t � � �� x i � �i � X1 , X 2 , X3 ,t � i � �1, 2,3� que proporcionen les coordenades espacials en funció de les materials, i les equacions del moviment inverses: not � � X � ��1 �x ,t � � X( x ,t ) � �� Xi � �i �1 � x1 , x 2 , x 3 ,t � i � �1, 2,3� inverses com X � X ( x, t ) . (1.5) (1.6) que proporcionen les coordenades materials en funció de les espacials. Observació 1-1 Hi ha diferents alternatives per escollir l’etiqueta que caracteritza una partícula, encara que l’opció de prendre les seves coordenades materials és la més comuna. Quan les equacions del moviment vénen donades en funció de les coordenades materials com a etiqueta (com en l’equació (1.5)), es parlarà de les equacions de moviment en forma canònica. Existeixen certes restriccions matemàtiques per garantir l’existència de � i de � �1 , com també el seu significat físic correcte. Aquestes restriccions són: � � � � � �X,0� � X ja que, per definició, X és el vector de posició en l’instant de referència t � 0 (condició de consistència). � � C 1 ( la funció � és contínua i amb derivades contínues en cada punt i instant). � és biunívoca (per garantir que dues partícules no ocupen simultàniament el mateix punt de l’espai i que una partícula no ocupa simultàniament dos punts diferents de l’espai). � � ��X, t �� � � �X � El jacobià de la transformació J � det � not � ���X, t � �0. �X La interpretació física d’aquesta condició (que s’estudiarà més endavant) és que qualsevol volum diferencial ha de ser sempre positiu o, utilitzant el principi de conservació de la massa (que es veurà més endavant), la densitat de les partícules ha de ser sempre positiva. 4 1 Descripció del moviment R E C O R D A T O R I Es defineix l’operador de dos índexs Delta de Kronecker not � � ij �0 i � j �1 i � j El tensor unitat 1 de com: � ij � � Observació 1-2 En l’instant de referència t � 0 resulta x�X , t � t �0 � X . En conseqüència x � X , y � Y , z � Z són les equacions del moviment en l’instant de referència i el jacobià en l’instant esmentat és: J �X,0 � � segon ordre es defineix llavors com �1�ij � � ij � �x � � ( xyz ) � det � i � � det � ij � det 1 � 1 � ( XYZ ) � �X j � � � Observació 1-3 L’expressió x � ��X , t � , particularitzada per a un valor fix de les coordenades materials X , proporciona l’equació de la trajectòria de la partícula (vegeu la Figura 1-2). t1 X3,Z tn t0 �X 1 , X 2 , X 3 � ê3 ê1 ê 2 trajectòria X 2 ,Y X1, X Figura 1-2 – Trajectòria d’una partícula Exemple 1-1 – La descripció espacial del moviment d’un medi continu ve donada per: � x1 � X 1 e 2 t � x � X e 2t �� �� x(X, t ) � � x 2 � X 2 e �2 t � � y � Y e �2 t � � 2t 2t �� z � 5 X t � Z e �� x 3 � 5 X 1 t � X 3 e Obteniu les equacions del moviment inverses. El determinant del jacobià resulta: 5 1 Descripció del moviment �xi J� �X j �x1 �X 1 �x � 2 �X 1 �x 3 �X 1 �x1 �X 2 �x 2 �X 2 �x 3 �X 2 �x1 �X 3 e 2 t �x 2 � 0 �X 3 5t �x 3 �X 3 0 e �2t 0 0 0 � e 2t � 0 e 2t La condició suficient (però no necessària) perquè la funció x � �( X, t ) sigui biunívoca (que existeixi la inversa) és que el determinant del jacobià de la funció no sigui nul. A més, com que el jacobià és positiu, el moviment té sentit físic. Per tant, la inversa de la descripció espacial donada existeix i ve determinada per: � x1e �2 t �X1 � � � � � � 2t �1 X � � (x, t ) � � X 2 � � � x2 e � � X � � x e �2 t � 5tx e �4 t � 1 � 3� � 3 � 1.3 Descripcions del moviment La descripció matemàtica de les propietats de les partícules del medi continu es pot fer mitjançant dues formes alternatives: la descripció material (generalment utilitzada en mecànica de sòlids) i la descripció espacial (utilitzada generalment en mecànica de fluids). Totes dues descripcions es diferencien essencialment pel tipus d’argument (coordenades materials o coordenades espacials) que apareix en les funcions matemàtiques que descriuen les propietats del medi continu. 1.3.1 Descripció material N O T A La bibliografia sobre el tema sol referir-se també a la descripció material com a descripció lagrangeana. En la descripció material es descriu certa propietat (per exemple la densitat � ) mitjançant certa funció � ��, t �: R 3 � R � � R � , on l’argument (�) en � ��, t � són les coordenades materials. És a dir: � � � �X, t � � � �X 1 , X 2 , X 3 , t � (1.7) Observeu que si es fixen els tres arguments X � ( X 1 , X 3 , X 3 ) de l’equació (1.7) s’està seguint una partícula determinada (vegeu la Figura 1-3a), d’aquí prové la denominació de descripció material. 1.3.2 Descripció espacial N O T A Sol denominar-se també la descripció espacial com a descripció euleriana. En la descripció espacial l’atenció se centra en un punt de l’espai. Es descriu la propietat com una funció ���, t �: R 3 � R � � R � del punt de l’espai i del temps: � � ��x, t � � ��x1 , x 2 , x 3 , t � (1.8) de manera que en assignar un cert valor a l’argument x en � � ��x, t � s’obté l’evolució de la densitat per a les diferents partícules que van passant pel punt de l’espai esmentat al llarg del temps (vegeu la Figura 1-3b). D’altra banda, en fixar l’argument temps en l’equació (1.8) s’obté una distribució instantània (com una 6 1 Descripció del moviment fotografia) de la propietat en l’espai. És evident que les equacions del moviment directes i inverses permeten passar d’una descripció a l’altra de la forma: �� � �x ,t � � � � x( X ,t ),t � � � � X ,t � � � � � X ,t � � � � X( x ,t ),t � � � �x ,t � (1.9) b) a) �X X3,Z * ,Y * ,Z * � �x , y � t�0 * t�2 t�0 X 3, Z * , z* � � t �1 t�2 t �1 X 2 ,Y X1, X X1, X Figura 1-3 – Descripció material i espacial d’una propietat Exemple 1-2 – Siguin les següents equacions del moviment: � x � X � Yt � x � x �X, t � � � y � Xt � Y � z � � Xt � Z � Obteniu la descripció espacial de la propietat descrita materialment mitjançant � �X,Y,Z,t � � X �Y � Z 1� t2 Les equacions del moviment estan donades en forma canònica, ja que a la �x � X � configuració de referència � 0 s’obté: x � X�X,0� � � y � Y �z � Z � �x �x �x �X �Y �Z 1 �t 0 �xi �y �y �y � El jacobià resulta: J � 1 0 �1� t2 � 0 � t �X j �X �Y �Z �t 0 1 �z �z �z �X �Y �Z i les equacions del moviment inverses estan donades per: 7 1 Descripció del moviment Si ara es � x � yt �X � 1� t2 � y � xt � X(x, t ) � �Y � � t2 1 � � z � zt 2 � xt � yt 2 �Z � 1� t2 � considera la descripció material de la propietat X �Y � Z � �X,Y,Z,t � � és possible trobar la seva descripció espacial substituint1� t2 hi les equacions del moviment inverses. És a dir: � �X,Y,Z,t � � x � yt � y � z � zt 2 � yt 2 �1 � t � 2 2 � � �x,y,z,t � 1.4 Derivades temporals: local, material, convectiva La consideració de les diferents descripcions (material i espacial) de les propietats del medi continu porta a diverses definicions de les derivades temporals de les propietats esmentades. Considerem una certa propietat i les seves descripcions material i espacial: ��X, t � � � �x, t � (1.10) on el pas de la descripció espacial a la material i viceversa es fa a través de les equacions del moviment (1.5) i (1.6). Definicions N O T A C I Ó La notació � ��, t � Derivada local: Variació de la propietat respecte al temps en un punt fix de l’espai. Si es disposa de la descripció espacial de la propietat, � (x, t ) , la derivada local esmentada es pot escriure matemàticament com: �t s’entén en el sentit clàssic de derivada parcial respecte a la variable t . not derivada local � �� ( x, t ) �t Derivada material: Variació de la propietat respecte al temps seguint una partícula (punt material) específica del medi continu. Si es disposa de la descripció material de la propietat, �( X, t ) , aquesta derivada material es pot descriure matemàticament com: not derivada material � d ��( X, t ) �� dt �t 8 1 Descripció del moviment Tanmateix, si es parteix de la descripció espacial de la propietat � (x, t ) i s’hi consideren implícites les equacions del moviment: � ( x, t ) � � ( x( X, t ), t ) � �( X, t ) (1.11) es pot obtenir la derivada material (seguint una partícula) a partir de la descripció espacial, com: not derivada material � N O T A C I Ó En la literatura s’utilitza freqüentment la d� �x�X, t �, t � �� (x, t ) �� �x i �� (x, t ) �� �x � � � � � �x � �xi �t �t �t �t dt Dt dt (1.12) Desenvolupant l’equació (1.12) s’obté: notació D (�) com a alternativa a d (�) . d ���X, t � � �x�X, t �, t � � dt �t (1.13) v ( x,t ) on s’ha considerat la definició de la velocitat com la derivada respecte al temps de les equacions de moviment (1.5) �x( X, t ) � V ( X(x, t ), t ) � v (x, t ) �t (1.14) L’obtenció de la derivada material a partir de la descripció espacial es pot generalitzar per a qualsevol propietat � (x, t ) (de caràcter escalar, vectorial o tensorial): d� (x, t ) dt� � �� � N O T A C I Ó Es considera aquí la forma simbòlica de l’operador Nabla derivada material � �� (x, t ) �t� � �� � derivada local � v ( x, t ) � � � ( x, t ) ������� (1.15) derivada convectiva espacial: � � � eˆi �x i Observació 1-4 L’equació (1.15) defineix implícitament la derivada convectiva v � ��� � com la diferència entre les derivades material i local de la propietat. El terme convecció s’aplica, en mecànica de medis continus, a fenòmens relacionats amb el transport de massa (o de partícules). Observeu que si no hi ha convecció ( v � 0 ) la derivada convectiva desapareix i les derivades local i material coincideixen. Exemple 1-3 – Atesa la següent equació del moviment � x � X � Yt � Zt � � y � Y � 2 Zt � z � Z � 3 Xt � i la descripció espacial d’una propietat ��x, t � � 3 x � 2 y � 3t , calculeu-ne la derivada material. La descripció material de la propietat s’obté reemplaçant les equacions del moviment en l’expressió espacial: � �X,Y,Z,t � � 3�X � Yt � Zt � � 2�Y � 2Zt � � 3t � 3 X � 3Yt � 7 Zt � 2Y � 3t 1 Descripció del moviment 9 La derivada material es pot obtenir en primera instància com la derivada respecte al temps en la descripció material, és a dir: �� � 3Y � 7 Z � 3 �t Una altra alternativa per al càlcul de la derivada material és utilitzar el concepte de derivada material de la descripció espacial de la propietat: d� �� � v � �� � dt �t �x �� T T � �Y � Z, 2 Z, 3 X � �� � �3,2,0� �3 v� �t �t Reemplaçant en l’expressió de l’operador derivada material es té: d� � 3 � 3Y � 7 Z dt Observeu que les expressions de la derivada material de la propietat obtingudes a partir de la descripció material, coincideixen. �� d� , o de la descripció espacial, , �t dt 1.5 Velocitat i acceleració Definició Velocitat: Derivada temporal de les equacions del moviment. La descripció material de la velocitat ve donada, en conseqüència, per: � �x � X ,t � ��V � X ,t � � �t � x � �V X ,t � i � X ,t � � i� �t �� (1.16) i � { 1, 2 ,3 } i si es disposa de les equacions inverses del moviment X � � �1 �x, t � és possible obtenir la descripció espacial de la velocitat com: v �x, t � � V ( X ( x, t ), t ) (1.17) Definició Acceleració: Derivada material del camp de velocitats. Si es té la velocitat descrita en forma material, es pot trobar la descripció material de l’acceleració com: 10 1 Descripció del moviment �V �X, t � �t �Vi �X, t � A i �X, t � � �t A�X, t � � (1.18) i a través de les equacions inverses del moviment X � � �1 �x, t � , es pot passar a la descripció espacial a�x, t � � A�X�x, t �, t � . Com a alternativa, si es disposa de la descripció espacial de la velocitat, es pot obtenir directament la descripció espacial de l’acceleració aplicant l’equació (1.15) per obtenir la derivada material de v�x, t � : a�x, t � � dv�x, t � �v �x, t � � v�x, t � � �v �x, t � � dt �t (1.19) Exemple 1-4 – Considerem un sòlid (vegeu la Figura 1-4) que gira amb velocitat angular � constant i que té com a equació del moviment: � x � R sin��t � � � � � y � R cos��t � �� Trobeu la velocitat i l’acceleració del moviment descrites en forma material i espacial. t�0 Y P � t R P’ �t R Figura 1-4 X Les equacions del moviment es poden reescriure com: x � R sin ��t � � � � R sin ��t � cos � � R cos��t � sin� y � R cos��t � �� � R cos��t �cos � � R sin ��t � sin� � X � R sin� , les formes canòniques de l’equació del �Y � R cos� i, com que per a t � 0 � � moviment i de la seva inversa queden: � x � X cos��t � � Y sin��t � � � y � � X sin ��t � � Y cos��t � a.1) Velocitat en descripció material �x � Vx � � � X � sin��t � � Y � cos��t � �t �V � �y � � X � cos��t � � Y � sin��t � y �t �� �x�X, t � �� V �X, t � � �� �t � X � x cos��t � � y sin��t � � �Y � x sin��t � � y cos��t � 1 Descripció del moviment 11 a.2) Velocitat en descripció espacial Substituint els valors x i y donats en la forma canònica vista anteriorment, és possible obtenir la forma espacial de la velocitat com: � �x � ��v x � �t � � y �� � � y � v�x, t � � � � ��� �v � �y � �� x � �� � x � �� y �t �� b.1) Acceleració en descripció material A�X, t � � �V �X, t � �t � � �v x 2 2 �� �t � � X� cos��t � � Y� sin��t ��� � 2 � X cos��t � � Ysin��t � A�X , t � � � � ���� � �� Xsin��t � � Y cos��t �� � �v y � X� 2 sin��t � � Y� 2 cos��t � � �� �� �t b.2) Acceleració en descripció espacial Substituint les equacions del moviment inverses en l’equació anterior: ��a x � �� 2 x �� a�x, t � � A( X(x, t ), t ) � � 2 � ��a y � �� y �� Aquesta mateixa expressió es podria obtenir si es considera l’expressió de la velocitat v �x, t � i l’expressió de la derivada material en (1.15): dv �x, t � �v�x, t � � � v�x, t � � �v �x, t � � a ( x, t ) � dt �t ��� � �x � � � �y � � � � � ��y � �x � � � � ��y � �x� � �t �� �x � � � �� �y �� � �� � � �x ��y � �x �� �x �� ��� � 2 x �� �0� � � � � ��y � �x � � � �� � � � �0� � ��y � �� �x �� ��� � 2 y �� �y � �y � Observeu que el resultat obtingut pels dos procediments és idèntic. 12 1 Descripció del moviment 1.6 Estacionarietat Definició Una propietat és estacionària quan la seva descripció espacial no depèn del temps. D’acord amb la definició anterior i amb el concepte de derivada local, qualsevol propietat estacionària té la seva derivada local nul·la. Per exemple, si la velocitat per a un cert moviment és estacionària, es pot descriure espacialment com: v�x, t � � v�x � � �v�x, t � �0 �t (1.20) Observació 1-5 La independència del temps de la descripció espacial (estacionarietat) suposa que per a un mateix punt de l’espai la propietat en qüestió no varia al llarg del temps. Això no implica que, per a una mateixa partícula, la propietat no variï amb el temps (la descripció material pot dependre del temps). Per exemple, si la velocitat v �x, t � és estacionària � v�x, t � � v�x � � v�x( X, t ) � � V ( X, t ) així doncs, la descripció material de la velocitat depèn del temps. Per a un cas de densitat estacionària (vegeu la Figura 1-5), per a dues partícules d’etiquetes X1 i X 2 que varien la seva densitat al llarg del temps, en passar per un mateix punt espacial x (en dos instants diferents t1 i t 2 ) prendran el mateix valor de la densitat ( � �X1 , t1 � � � �X 2 , t 2 � � ��x � . És a dir, per a un observador situat a l’exterior del medi, la densitat en el punt fix de l’espai x serà sempre la mateixa. Y X 1 ��x � X x 2 Figura 1-5 – Moviment amb densitat estacionària X 1 Descripció del moviment 13 Exemple 1-5 – En l’Exemple 1-4 es té un camp de velocitat la descripció � y� � . És a dir, es tracta d’un cas en què la ���x� � espacial de la qual és: v �x � � � descripció espacial de la velocitat no depèn del temps i la velocitat és estacionària. És evident que això no implica que la velocitat de les partícules (que tenen un moviment de rotació uniforme respecte a l’origen, amb velocitat angular � ) no depengui del temps (vegeu la Figura 1-6). La direcció del vector velocitat per a una mateixa partícula és tangent a la seva trajectòria circular i va variant al llarg del temps. t0 P Y � v0 R �t P’ R Figura 1-6 t vt X L’acceleració (derivada material de la velocitat) apareix pel canvi de la direcció del vector velocitat de les partícules i és coneguda com a acceleració centrípeta: a�x � � dv �x � �v�x � � v �x � � �v�x � � v �x � � �v�x � � �t dt 1.7 Trajectòria Definició Trajectòria: Lloc geomètric de les posicions que ocupa una partícula a l’espai al llarg del temps. L’equació paramètrica en funció del temps d’una trajectòria s’obté particularitzant les equacions del moviment per a una determinada partícula (identificada per les seves coordenades materials X * , vegeu la Figura 1-7): x(t ) � ��X, t � X � X* (1.21) Ateses les equacions del moviment x � ��X, t �, per cada punt de l’espai passa una trajectòria caracteritzada pel valor de l’etiqueta (coordenades materials) X . Les equacions del moviment defineixen llavors una família de corbes els elements de les quals són les trajectòries de les diverses partícules. 14 1 Descripció del moviment Y t t0 X* x X Figura 1-7 – Trajectòria d’una partícula 1.7.1 Equació diferencial de les trajectòries Donat el camp de velocitats en descripció espacial v�x, t � , és possible obtenir la família de trajectòries plantejant el sistema d’equacions diferencials que imposa que, en cada punt de l’espai x , el vector velocitat sigui la derivada respecte al temps de l’equació paramètrica de les trajectòries donada per l’equació (1.21). � dx(t ) �� dt � v �x(t ), t � Trobar x(t ) :� � � dxi (t ) � v �x(t ), t � i � {1,2,3} i �� dt (1.22) La solució del sistema d’equacions diferencials de primer ordre (1.22) dependrà de tres constants d’integració (C1 , C 2 , C 3 ) : �x � �(C1, C 2, C 3, t ) � � xi � � i �C1 , C 2 , C 3 , t � i �{1,2,3} (1.23) Les expressions (1.23) constitueixen una família de corbes a l’espai parametritzada per les constants (C1 , C 2 , C 3 ) . Assignant un valor determinat a les constants esmentades s’obté un membre de la família que és la trajectòria d’una partícula caracteritzada per l’etiqueta (C1 , C 2 , C 3 ) . Per obtenir les equacions en forma canònica s’imposa la condició de consistència en la configuració de referència: x(t ) t �0 � X � X � �(C1, C 2, C 3 ,0) � C i � � i ( X) i � {1,2,3} (1.24) i substituint en l’equació (1.23) s’obté la forma canònica de l’equació de les trajectòries: x � ��C1 �X �, C 2 �X �, C 3 �X �, t � � ��X, t � Exemple 1-6 – Considereu el camp de velocitats de l’Exemple 1-5: � � y� � �� � x � v�x, t � � � Obteniu l’equació de les trajectòries. (1.25) 1 Descripció del moviment 15 Utilitzant l’expressió (1.22), es pot escriure: � dx�t � �� dt � v x �x, t � � �y dx�t � � v �x, t � � � dt � dy �t � � v �x, t � � ��x y �� dt El sistema anterior d’equacions diferencials és un sistema de variables creuades. Si es deriva la segona equació i se substitueix el resultat en la primera s’obté: d 2 y �t � dx �t � � �� � ��2 y �t � � y´´� �2 y � 0 dt 2 dt Equació característica: r 2 � �2 � 0 Solucions característiques: rj � � i � � Solució : y (t ) � Part Real C1e iwt j �{1,2} � � C 2 e � iwt � C1 cos��t � � C 2 sin ��t � 1 dy dy ,i La solució per a x (t ) s’obté a partir de � ��x que resulta en x � � dt � dt s’obté així: � x�C1 , C 2 , t � � C1 sin��t � � C 2 cos��t � � � y �C1 , C 2 , t � � C1 cos��t � � C 2 sin��t � Les equacions anteriors proporcionen les expressions de les trajectòries en forma no canònica. La forma canònica s’obté considerant la condició inicial: és a dir: x�C1 , C 2 ,0 � � X � x �C1 , C2 ,0� � �C2 � X � � y �C1 , C2 ,0� � C1 � Y Així, les equacions del moviment, o equació de les trajectòries, en forma canònica són: � x � Y sin��t � � X cos��t � � � y � Y cos��t � � X sin ��t � 1.8 Línia de corrent N O T A Donat un camp vectorial es defineixen les seves envolupants com la família de corbes el vector tangent de les quals, en cada punt, coincideix en direcció i sentit amb el vector corresponent del camp vectorial. Definició Línies de corrent: Família de corbes que, per a cada instant de temps, són les envolupants del camp de velocitats. D’acord amb la seva definició, la tangent en cada punt d’una línia de corrent té la mateixa direcció i sentit (encara que no necessàriament la mateixa magnitud) que el vector de velocitat en el punt. 16 1 Descripció del moviment Y temps - t 0 v temps - t1 Y X X Figura 1-8 – Línies de corrent Observació 1-6 En el cas més general el camp de velocitats (descripció espacial) serà diferent per a cada instant de temps ( v � v (x, t ) ). Caldrà parlar, en conseqüència, d’una família diferent de línies de corrent per a cada instant de temps (vegeu la Figura 1-8). 1.8.1 Equació diferencial de les línies de corrent Considereu un instant de temps donat t * i la descripció espacial del camp de velocitats en l’instant esmentat v(x, t * ) . Sigui x(�) l’equació d’una línia de corrent parametritzada en funció d’un cert paràmetre � . El vector tangent a la línia de corrent queda definit, per a cada valor de � per tangència del camp de velocitats es pot escriure com: N O T A Se suposa que el valor del paràmetre � es tria de forma que en cada punt x de l’espai, dx(� ) no només té la d� direcció del vector v �x, t � , sinó que hi coincideix. � dx(� ) * �� d� � v x(� ), t Trobar x(� ) :� � � dxi (� ) � v x(� ), t * i �� d� � dx(�) i la condició de d� � � � (1.26) i � {1,2,3} Les equacions (1.26) constitueixen un sistema d’equacions diferencials de primer ordre la solució del qual per a cada instant de temps t * , que dependrà de tres constants d’integració ( C1' , C 2' , C 3' ), proporciona l’expressió paramètrica de les línies de corrent: ��x � �(C1' , C 2' , C 3' , �, t * ) � �� xi � � i (C1' , C 2' , C 3' , �, t * ) i �{1,2,3} (1.27) Cada tripleta de constants d’integració ( C1' , C 2' , C 3' ) identifica una línia de corrent de la qual s’obtenen els punts, al seu torn, assignant valors al paràmetre � . Per a cada instant de temps t * s’obté una nova família de línies de corrent. 1 Descripció del moviment 17 Observació 1-7 Si es té un camp de velocitats estacionari ( � v( x, t ) � v( x) ), les trajectòries i línies de corrent coincideixen. La justificació d’aquest fet es pot fer des de dues òptiques diferents: � La no-aparició del temps al camp de velocitats en les equacions (1.22) i (1.26) motiva que les equacions diferencials que defineixen les trajectòries i les que defineixen les línies de corrent només difereixin en la denominació del paràmetre d’integració ( t o � respectivament). La solució de tots dos sistemes ha de ser, per tant, la mateixa, llevat pel nom del paràmetre utilitzat en els dos tipus de corbes. � Des d’un punt de vista més físic: a) Si el camp de velocitats és estacionari les seves envolupants (les línies de corrent) no varien amb el temps; b) una partícula determinada recorre l’espai mantenint la trajectòria en la direcció tangent al camp de velocitats que va trobant al llarg del temps; c) per tant, si una trajectòria comença en un punt de certa línia de corrent, es manté sobre aquesta al llarg del temps. 1.9 Tub de corrent Definició Tub de corrent: Superfície constituïda per un feix de línies de corrent que passen pels punts d’una línia tancada, fixa a l’espai i que no constitueix una línia de corrent. En casos no estacionaris, malgrat que la línia tancada no varia, el tub de corrent i les línies de corrent sí que ho fan. Al contrari, per al cas estacionari el tub de corrent roman fix a l’espai al llarg del temps. 1.9.1 Equació del tub de corrent Les línies de corrent constitueixen una família de corbes del tipus: x � f �C1 , C 2 , C 3 , �, t � (1.28) El problema consisteix a determinar per a cada instant de temps quines corbes de la família de corbes de les línies de corrent passen per una línia tancada i fixa a l’espai �, del qual l’expressió matemàtica parametritzada en funció d’un paràmetre s és: � :� x � g�s � (1.29) 18 1 Descripció del moviment Per a això s’imposa la condició de pertinença d’un mateix punt a les dues corbes, en termes dels paràmetres �* i s * : � � � g s * � f C1 , C 2 , C 3 , �* , t � (1.30) Amb això s’obté un sistema de tres equacions del qual es pot aïllar, per exemple, s * , �* , C 3 , és a dir: s * � s * �C1 , C 2 , t � �* � �* �C1 , C 2 , t � (1.31) C 3 � C 3 �C1 , C 2 , t � Substituint (1.31) en (1.30) s’obté: x � f �C1 , C 2 , C 3 �C1 , C 2 , t �, � �C1 , C 2 , t �, t � � h�C1 , C 2 , t � (1.32) que constitueix l’expressió parametritzada (en funció dels paràmetres C1 , C 2 ) del tub de corrent, per a cada instant t (vegeu la Figura 1-9). t s �1 s�0 Z � � 0,1,2... * * s ;� Y X Figura 1-9 – Tub de corrent 1.10 Línia de traça Definició Línia de traça, relativa a un punt fix a l’espai x * denominat punt d’abocament i a un interval de temps denominat temps d’abocament �t i , t f �, és el lloc geomètric de les posicions que ocupen en un instant t , totes les partícules que han passat per x * en un instant � � �t i , t � � �t i , t f �. La definició anterior correspon al concepte físic de la línia de color (traça) que s’observaria en el medi en l’instant t , si s’aboqués un colorant en el punt d’abocament x * durant l’interval de temps [t i , t f ] (vegeu la Figura 1-10). 19 1 Descripció del moviment �x , y * * � � ti , z * � punt d’abocament � � t1 z � � t2 � �tf t y x Figura 1-10 – Línia de traça 1.10.1 Equació de la línia de traça Per determinar l’equació de la línia de traça és necessari identificar les partícules que passen pel punt x * en els instants corresponents � . A partir de les equacions del moviment donades per (1.5) i (1.6) es tracta de determinar quina és l’etiqueta de la partícula que en l’instant de temps � passa pel punt d’abocament. Per a això es planteja: x * � x�X, �� xi* � xi �X, �� �� � � X � f ��� i �1,2,3�� (1.33) Substituint (1.33) en les equacions del moviment (1.5) s’obté: x � � �f �� �, t � � g( �, t ) � � � �ti , t �� ti , t f � (1.34) L’expressió (1.34) constitueix, per a cada instant t , l’expressió paramètrica (en termes del paràmetre � ) d’un segment curvilini a l’espai que és la línia de traça en l’instant esmentat. Exemple 1-7 – Sigui un moviment definit per les equacions del moviment següents: x � �X � Y � t 2 � X cos t y � �X � Y �cos t � X Obteniu l’equació de la línia de traça associada al punt d’abocament x * � �0,1� per al període d’abocament [t 0 ,��) . Les coordenades materials de la partícula que han passat pel punt d’abocament en l’instant � estan donades per: � ��2 � X � 2 2 0��X �Y� �2 � X cos � � � � �cos � ��� 1��X �Y�cos �� X � � �2 �cos� �Y � �2 �cos2� � Per tant, l’etiqueta de les partícules que han passat pel punt d’abocament des de l’instant d’inici d’abocament t 0 fins a l’instant actual t queda definida per: 20 1 Descripció del moviment � � �2 2 2 � � � cos � � � � � �t 0 , t � � �t 0 , � � � �t 0 , t � � 2 � cos � � Y� 2 � � cos 2 � �� X� D’aquí, substituint en les equacions del moviment, s’obtenen les equacions de la línia de traça: � �� x � 2 � x � g (�, t ) � � �y � �� �2 cos � � �2 2 t cos t � � 2 � cos 2 � � cos 2 � cos � � �2 t cos � � 2 � cos 2 � � cos 2 � � � �t 0 , t � Observació 1-8 En un problema estacionari les línies de traça són segments de les trajectòries (o de les línies de corrent). La justificació es basa en el fet que en el cas estacionari la trajectòria segueix l’envolupant del camp de velocitats que roman constant amb el temps. Si es considera un punt d’abocament, x * , totes les partícules que passen per aquest punt seguiran porcions (segments) de la mateixa trajectòria. 1.11 Superfície material Definició Superfície material: Superfície mòbil a l’espai constituïda sempre per les mateixes partícules (punts materials). En la configuració de referència � 0 la superfície � 0 es podrà definir en termes d’una funció de les coordenades materials F ( X , Y , Z ) com: � 0 :� { X , Y , Z | F �X,Y,Z � � 0} Observació 1-9 La funció F ( X , Y , Z ) no depèn del temps, cosa que garanteix que les partícules, identificades per la seva etiqueta, que compleixen l’equació F ( X , Y , Z ) � 0 són sempre les mateixes d’acord amb la definició de superfície material. (1.35) 21 1 Descripció del moviment Z � 0 :� � X F � X , Y , Z � � 0� t�0 � t :� � x ��X , t � f �x, y, z , t � � 0� �0 t �t Y X Figura 1-11 – Superfície material La descripció espacial de la superfície s’obtindrà a partir de la descripció espacial de F ( X(x, t ) � f ( x, y, z , t ) : � t :� {x, y, z | f �x, y, z,t � � 0} Observació 1-10 La funció f ( x, y, z , t ) depèn explícitament del temps, cosa que estableix que els punts de l’espai que estaran sobre la superfície varien amb el temps. Aquesta dependència del temps de la descripció espacial de la superfície li confereix el seu caràcter de superfície mòbil en l’espai (vegeu la Figura 1-11). Observació 1-11 Condició necessària i suficient perquè una superfície mòbil a l’espai, definida implícitament per una funció f ( x, y , z, t ) � 0 , sigui material (estigui constituïda sempre per les mateixes partícules) és que la derivada material de f ( x, y , z , t ) sigui nul·la: df (x, t ) �f � � v � �f � 0 �t dt �x � � t �t La condició és necessària ja que si la superfície és material, la seva descripció material no depèn del temps ( F � F (X ) ) i, per tant, la seva descripció espacial té derivada material nul·la. La condició de suficiència es fonamenta en què, si la derivada material de f ( x, t ) és nul·la, la descripció material corresponent no depèn del temps ( F � F (X) ) i, per tant, el conjunt de partícules (identificades per les seves coordenades materials) que compleixen la condició F ( X ) � 0 és sempre el mateix. (1.36) 22 1 Descripció del moviment Exemple 1-8 – En la teoria d’onatge s’imposa la condició que la superfície lliure del fluid que està en contacte amb l’atmosfera sigui una superfície material. És a dir, aquesta restricció suposa que la superfície lliure està formada sempre per les mateixes partícules (hipòtesi raonable, sobretot en aigües profundes). Si se suposa que z � ��x, y , t � defineix l’altura de la superfície del mar respecte a un nivell de referència, la superfície lliure de l’aigua vindrà definida per: f �x, y , z, t � � z � ��x, y , t � � 0 . z superfície lliure y x z � � �x, y, t � cota de la superfície lliure Figura 1-12 df La condició � 0 s’escriu com: dt �� �f �� �t �t � �f � � � � �x � �f �f �f � �f � � vx � vy � vz v � �f � v x v y v z � � � �x �y �z � y � � �f � � �z � � � df �f �� �� �� � vz � 0 � � vy � � vx � v � �f � � dt �t �y �x �t �� �� �� vz � � vx �vy �t �x �y � � És a dir, la condició de superfície material es tradueix en una condició sobre el component vertical del camp de velocitats. 1.12 Superfície de control Definició Superfície de control: Superfície fixa a l’espai. La seva descripció matemàtica ve donada per: � :� � x | f �x, y, z � � 0� (1.37) 1 Descripció del moviment 23 És evident que una superfície de control és travessada per les diferents partícules del medi continu al llarg del temps (vegeu la Figura 1-13) � Z Y X Figura 1-13 – Superfície de control 1.13 Volum material Definició Volum material: Volum limitat per una superfície material tancada. N O T A S’entén la funció F (X) definida de manera que F ( X) � 0 correspon a punts de l’interior de V0 La descripció matemàtica del volum material V (vegeu la Figura 1-14) ve donada per: V0 :� � X | F �X � � 0� (1.38) en la descripció material, i per: Vt :� � x | f �x, t � � 0� (1.39) en la descripció espacial, sent F ( X) � f �x( X, t ), t � la funció que descriu la superfície material que el tanca. Observació 1-12 Un volum material està constituït sempre per les mateixes partícules. La justificació es fa per reducció a l’absurd: si una certa partícula pogués entrar o sortir del volum material s’incorporaria en el seu moviment a la superfície material (almenys per un instant de temps). Això seria contrari al fet que la superfície, per ser material, està formada sempre per les mateixes partícules. 24 1 Descripció del moviment t t�0 V0 Vt f �x, t � � 0 Y X Figura 1-14 – Volum material 1.14 Volum de control Definició Volum de control: Conjunt de punts de l’espai situats a l’interior d’una superfície de control tancada. N O T A S’entén la funció f (x) Es tracta d’un volum fix a l’espai que és travessat per les partícules del medi durant el seu moviment. La seva descripció matemàtica és: V :� � x | definida de manera que f (x) � 0 correspon a f �x � � 0� (1.40) punts de l’interior de V z V f �x � � 0 y x Figura 1-15 – Volum de control 2 Descripc i ó de la deformació 2.1 Introducció Definició Deformació: en el context més general, el concepte deformació es refereix a l’estudi no ja del moviment absolut de les partícules tal com es va fer en el capítol 1, sinó del moviment relatiu, respecte a una partícula determinada, de les partícules situades en un entorn diferencial d’aquella. 2.2 Tensor gradient de deformació Considerem en el medi continu en moviment de la Figura 2-1 una partícula P en la configuració de referència � 0 , que ocupa el punt de l’espai P ' en la configuració actual � t , i una partícula Q situada en un entorn diferencial de P , amb posicions relatives en els instants de referència i actual donades per dX i dx , respectivament. t0 X 3 , x3 dX X X 1 , x1 Q ê 2 t P´ �0 �t x ê 3 ê1 ��X , t � P dx Q´ X 2 , x2 Figura 2-1 Siguin not � �x � ��X, t � � x�X, t � � not � x � � �X , X , X , t � � x � X , X , X , t � i i 1 2 3 1 2 3 � i i � �1,2,3� (2.1) 26 2 Descripció de la deformació les equacions del moviment. Diferenciant (2.1) respecte a les coordenades materials X resulta: �xi � �dxi � �X dX j i, j � {1,2,3} Equació fonamental j � � � � F de la deformació ij � �dx � F � dX � N O T A C I Ó Es considera aquí la forma simbòlica de l’operador nabla material: �� � ê i �X i aplicada a l’expressió del producte tensorial o obert: �a � b�ij � ai b j not � �a b �ij � (2.2) L’equació (2.2) defineix el tensor gradient material de la deformació F( X, t ) : � not F � x�� Tensor gradient material �� � � �xi de la deformació � Fij � �X j �� i, j � {1,2,3} (2.3) Els components explícits del tensor F vénen donats per: � �x1 � � �X 1 � x1 � � � � � � � �x 2 � � �F� � x � � � � x 2 � � �� �X 1 �X 2 �X 3 � � �X 1 � �� x3 �� ��������� � � � �x3 T �x � � �� �X 1 � �x1 �X 2 �x 2 �X 2 �x3 �X 2 � �x1 � � �X 3 � �x 2 � �X 3 � � �x3 � �X 3 �� (2.4) Observació 2-1 El tensor gradient de la deformació F( X, t ) conté la informació del moviment relatiu, al llarg del temps t , de totes les partícules materials en l’entorn diferencial d’una d’elles, identificada per les seves coordenades materials X . Efectivament, l’equació (2.2) proporciona l’evolució del vector de posició relatiu dx en funció de la posició relativa dX corresponent en l’instant de referència. En aquest sentit, si es coneix el valor de F( X, t ) es disposa de la informació associada al concepte general de deformació definida a la secció 2.1 2.2.1 Tensor gradient de la deformació invers Considerant ara les equacions de moviment inverses: not � �1 �X � � �x, t � � X�x, t � � not � X � � �1 �x , x , x , t � � X �x , x , x , t � 1 2 3 2 3 i i 1 � i i � �1,2,3� i diferenciant (2.5) respecte a les coordenades espacials xi , resulta: (2.5) 27 2 Descripció de la deformació �X i � �dX i � �x dx j i, j �{1,2,3} j ��� �� � F�1 � ij � �1 ��dX � F � dx (2.6) El tensor definit per l’equació (2.6) s’anomena tensor gradient espacial de la deformació o tensor gradient (material) de la deformació invers i ve caracteritzat per: N O T A C I Ó Es considera aquí la forma simbòlica de l’operador nabla espacial �� � ê i . �xi Cal observar la diferència de notació entre l’ esmentat operador espacial ( � )i l’operador nabla material ( � ). Tensor gradient espacial de la deformació � �1 not ��F � X � � � � �1 �X i i, j � {1,2,3} � Fij � �x j �� (2.7) Els components explícits del tensor F �1 vénen donats per: �F � �1 � �X 1 � � �x1 � X1 � � � � � � � �X 2 � � � �X � � � � � X 2 � � �� �x1 �x 2 �x3 � � �x1 � �� X 3 �� �������� � � � �� T � �X 3 � � � �X� �� �x1 �X 1 �x 2 �X 2 �x 2 �X 3 �x 2 �X 1 � � �x 3 � �X 2 � �x 3 � � �X 3 � �x 3 �� (2.8) Observació 2-2 R E C O R D A T O R I Es defineix l’operador de dos índexs delta de Kronecker � ij com: �1 si i � j � ij � � �0 si i � j El tensor unitat de 2n ordre 1 ve definit per: �1�ij � � ij . El tensor gradient espacial de la deformació, denotat a (2.6) i (2.7) mitjançant F �1 , és efectivament l’invers del tensor gradient (material) de la deformació F . La comprovació és immediata atès que: �xi � Xk � F ik �X k �xi not � � ij � �x j �x j � F� 1 kj �X i not �X i �x k � � ij � �x k �X j �X j � � F� 1 F ik � F � F �1 � 1 � F �1 � F � 1 kj Exemple 2-1 – Per a un determinat instant, el moviment d’un medi continu ve definit per: x1 � X 1 � AX 3 , x 2 � X 2 � AX 3 , x3 � � AX 1 � AX 2 � X 3 . Obteniu el tensor gradient material de la deformació F(X) en l’instant esmentat. A partir de les equacions de moviment inverses, obteniu el tensor gradient espacial de la deformació F �1 (x) . Amb els resultats obtinguts, comproveu que F � F �1 � 1 . a) Tensor gradient material de la deformació: 28 2 Descripció de la deformació �� F � x � � � �x � � � T X 1 � AX 3 � � ��� � , � �� X 2 � AX 3 � � �X ��� AX 1 � AX 2 � X 3 �� � 1 � 1 0 � A� � �� 0 1 � A�� ��� A A 1 �� � � � , �� �X 2 �X 3 � b) Equacions de moviment inverses: De la inversió algebraica de les equacions de moviment s’obté: � X 1 � (1 � A 2 ) x1 � A 2 x 2 � A x3 �� X(x, t ) � � X 2 � A 2 x1 � (1 � A 2 ) x 2 � A x3 �X � A x � A x � x 1 2 3 �� 3 c) Tensor gradient espacial de la deformació: F �1 � X � � � �X�� �� � T d) Comprovació: F�F �1 �(1 � A 2 ) x1 � A 2 x 2 � A x3 � � � � � � � A 2 x1 � (1 � A 2 ) x 2 � A x3 � � � , � � �x1 � � � A x A x x 1 2 3 � � �1 � A 2 � A 2 A� � � � � A2 1 � A 2 A� � A �A 1 �� � 2 � A2 � 1 0 � A� �1 � A � � � 0 1 � A� � � A 2 1 � A2 � � �A �� A A 1 � �� A � , �x 2 � � �� �x3 � A� �1 0 0� � A� � �0 1 0� � 1 � � 1 �� �0 0 1� 2.3 Desplaçaments Definició Desplaçament: diferència entre els vectors de posició d’una mateixa partícula en les configuracions actual i de referència. El desplaçament d’una partícula P en un instant determinat ve definit pel vector u que uneix els punts de l’espai P (posició inicial) i P � (posició en l’instant actual t ) de la partícula (vegeu la Figura 2-2). El desplaçament de totes les partícules del medi continu defineix el camp vectorial de desplaçaments que, com tota propietat del medi continu, es podrà descriure en forma material U( X, t ) o espacial, u(x, t ) : �U( X, t ) � x( X, t ) � X � �U i ( X, t ) � xi (X, t ) � X i i �{1,2,3} (2.9) 29 2 Descripció de la deformació �u(x, t ) � x � X( x, t ) � �u i ( x, t ) � xi � X i (x, t ) t0 �0 X 3 , x3 t u P (2.10) i �{1,2,3} P� �t x X ê 3 X 2 , x2 ê 2 ê1 X 1 , x1 Figura 2-2 – Desplaçaments 2.3.1 Tensors gradient material i espacial dels desplaçaments La derivació del vector desplaçament U i en l’equació (2.9) respecte a les coordenades materials porta a: def �xi �X i �U i � � � Fij � � ij � J ij �X j �X j �X j � � Fij �ij (2.11) que defineix el tensor gradient material dels desplaçaments com: def � Tensor gradient J X ( , ) t � U( X, t ) � � � F � 1 �� material dels �� �U i � Fij � � ij i, j � {1,2,3} J ij � � desplaçaments �X j �� �U i � �dU i � �X dX j � J ij dX j j � �dU � J � dX � i, j �{1,2,3} (2.12) (2.13) De la mateixa manera, diferenciant l’expressió de u i en l’equació (2.10), respecte a les coordenades espacials s’obté: def �u i �xi �X i �1 �x j � �x �j �ij � �x j � Fij�1 � � ij � Fij � j ij (2.14) que defineix el tensor gradient espacial dels desplaçaments com: def � Tensor gradient ( , ) t j x � u(x, t ) � � � 1 � F �1 �� espacial dels �� �u i � � ij � Fij�1 i, j � {1,2,3} � jij � desplaçaments �x j �� (2.15) 30 2 Descripció de la deformació �u i � �du i � �x dx j � jij dx j � j �du � j � dx � i, j �{1,2,3} (2.16) 2.4 Tensors de deformació Considerem ara una partícula del medi continu, que ocupa el punt de l’espai P en la configuració material, i una altra partícula Q del seu entorn diferencial separada de l’anterior pel segment dX (de longitud dS � dX � dX ), sent dx (de longitud ds � dx � dx ) el seu homòleg en la configuració actual (vegeu la Figura 2-3). Tots dos vectors diferencials estan relacionats pel tensor gradient de la deformació F ( X, t ) mitjançant les equacions (2.2) o (2.6): ��dx � F � dX � ��dx i � Fij dX j dX � F -1� dx dX i � Fij�1 dx F�X, t � t0 t Q� X 3 , x3 Q dX ê 3 ê1 O (2.17) j dS P X dx P� x X 2 , x2 ê 2 X 1 , x1 ds Figura 2-3 Llavors es pot escriure el següent: �ds �2 � dx � dx � �dx �T � �dx� � �F � dX �T � �F � dX �� dX � FT � F � dX �ds �2 � dxk dxk � Fki dX i Fkj dX j � dX i Fki Fkj dX j � dX i FikT Fkj dX j (2.18) i, alternativament, N O T A C I Ó S’utilitza la convenció: �(�) � �1 T not � (�) �T �dS �2 � dX � dX � �dX �T � �dX � � �F �1 � dx � � �F �1 � dx � � dx � F �T � F �1 � dx �dS �2 � dX k dX k � Fki�1 dxi Fkj�1 dx j � dxi Fki�1 Fkj�1dx j � dxi Fik�T Fkj�1dx j T not (2.19) 2.4.1 Tensor material de deformació (tensor de deformació de Green-Lagrange) Restant les expressions (2.18) i (2.19) s’obté: 2 Descripció de la deformació �ds �2 � �dS �2 � dX � F T � F � dX � dX � dX � dX � F T 31 � F � dX � dX � 1 � dX � T � dX � (F � F � 1) � dX � 2 dX � E � dX ����� def (2.20) � 2E L’equació (2.20) defineix implícitament el denominat tensor material de deformació o tensor de deformació de Green-Lagrange com: 1 T � ��E( X, t ) � 2 (F � F � 1) �� � E ( X, t ) � 1 ( F F � � ) i, j � {1,2,3} (Green - Lagrange) ki kj ij �� ij 2 Tensor material de deformació (2.21) Observació 2-3 El tensor material de deformació E és simètric. La demostració s’obté directament de l’equació (2.21) observant que: 1 T 1 T � T 1 T T T T T �E � (F � F � 1) � (F � (F ) � 1 ) � (F � F � 1) � E 2 2 2 � � E ij � E ji , � { 1 , 2 , 3 } i j � 2.4.2 Tensor espacial de deformació (tensor de deformació d’Almansi) Restant de forma alternativa les expressions (2.18) i (2.19) s’obté: �ds �2 � �dS �2 � dx � dx � dx � F �T � F �1 � dx � dx � 1 � dx � dx � F �T � F �1 � dx � dx � (1 � F �T � F �1 ) � dx � 2 dx � e � dx ������ � def (2.22) � 2e L’equació (2.22) defineix implícitament el denominat tensor espacial de deformació o tensor de deformació d’Almansi com: 1 � �T �1 ��e(x, t ) � 2 (1 � F � F ) de deformació � � �e (x, t ) � 1 (� � F �1 F �1 ) i, j � {1,2,3} (Almansi) ij ki kj �� ij 2 Tensor espacial (2.23) 32 2 Descripció de la deformació Observació 2-4 El tensor espacial de deformació e és simètric. La demostració s’obté directament de l’equació (2.23) observant que: 1 T � T 1 �T �1 T �1 T �T T �e � 2 (1 � F � F ) � 2 (1 � (F ) � (F ) ) � � 1 � �T �1 � � (1 � F � F ) � e 2 � �eij � e ji i, j �{1,2,3} � � Observació 2-5 Els tensors material E i espacial e de deformació són tensors diferents i no es tracta de la descripció material i espacial d’un mateix tensor de deformació. Les expressions (2.20) i (2.22): �ds �2 � �dS �2 � 2 dX � E � dX � 2 dx � e � dx ho posen de manifest, atès que els dos tensors són afectats per diferents vectors ( dX i dx respectivament). El tensor de deformació de Green-Lagrange ve descrit naturalment en la descripció material ( E( X, t ) ). En l’equació (2.20) actua sobre l’element dX (definit en la configuració material) i d’aquí ve la seva denominació de tensor material de deformació. Tanmateix, com tota propietat de medi continu es pot descriure, si cal, també en forma espacial ( E(x, t ) ) mitjançant la substitució adequada de les equacions de moviment. Amb el tensor de deformació d’Almansi passa el contrari: ve descrit naturalment en forma espacial i en l’equació (2.22) actua sobre el vector diferencial (definit en la configuració espacial) dx i d’aquí ve la seva denominació de tensor espacial de deformació. També es pot descriure, si és convenient, en forma material ( e( X, t ) ). Exemple 2-2 – Per al moviment de l’Exemple 2-1, obteniu els tensors material i espacial de deformació. 1 2 � A2 � A2 �� 1 0 � A� � 1 0 � A� �1 0 0� � 1� � 1� � ��� 0 1 A2 A �� � �� 0 1 � A�� � ��0 1 0�� � � �� A 2 2 2� � �� 2 A 0 ���� A � A 1 �� ��� A A 1 �� ��0 0 1�� � � a) Tensor material de deformació: E � (F T � F � 1) � � 2 A� � 0 � 2 A 2 �� 33 2 Descripció de la deformació 1 2 b) Tensor espacial de deformació: e � (1 � F � T � F �1 ) � ��1 0 0� �1 � A 2 A2 � 1 �� � ��0 1 0�� � � � A 2 1 � A 2 2� �0 0 1�� � A A � �� �� 3 A 2 � 2 A 4 1� � � A2 � 2 A4 2 � � 2 A � 2 A3 � A � �1 � A 2 � A 2 � � 1 � A2 � A� � � A 2 1 �� �� A �A A2 � 2 A4 A2 � 2 A4 2 A3 A� � �� A� � � 1 �� � � � 2 A � 2 A3 � � 2 A3 � � 2 A 2 �� (Observeu que E � e ). 2.4.3 Expressió dels tensors de deformació en termes dels (gradients dels) desplaçaments Substituint les expressions (2.12) ( F � 1 � J ) i (2.15) ( F �1 � 1 � j ) en les equacions (2.21) i (2.23) s’obtenen les expressions dels tensors de deformació en funció del gradient material, J ( X, t ) , i espacial, j(x, t ) , dels desplaçaments: � � � � 1 1 � T T T �E � 2 (1 � J ) � (1 � J ) � 1 � 2 J � J � J � J � E( X, t ) � � � �U j �U k �U k � �E ij � 1 � �U i � � � i, j �{1,2,3} � 2 � �X j �X i �X i �X j � � � � � (2.24) � 1 � 1 T T T �e � 2 1 � (1 � j ) � (1 � j) � 2 j � j � j � j � e(x, t ) � � � � �u �eij � 1 � �u i � j � �u k �u k � i, j �{1,2,3} � 2 � �x j �xi �xi �x j � � (2.25) 2.5 Variació de les distàncies: estirament, allargament unitari Considerem ara una partícula P en la configuració de referència i una altra partícula Q , situada en un entorn diferencial de P, vegeu la Figura 2-4. Les posicions corresponents en la configuració actual vénen donades pels punts de l’espai P ' i Q ' , de manera que la distància entre les dues partícules en la configuració de referència, dS , es transforma en ds en l’instant actual. Siguin T i t sengles vectors unitaris en les direccions PQ i P �Q � , respectivament. 34 2 Descripció de la deformació Definició Estirament: en el punt material P (o en el punt espacial P � ) en la direcció material T (o en la direcció espacial t ) és la longitud del segment diferencial deformat P �Q � per unitat de longitud del segment diferencial original PQ . t0 X3 P dX dS t Q P´ T X dx ds x Q´ t X2 Figura 2-4 – Estirament i allargament unitari X1 La traducció a llenguatge matemàtic de la definició anterior és: Estirament N O T A C I Ó Sovint es prescindeix dels subíndexs (�) T o (�) t en referir-se als estiraments o allargaments unitaris. Tingueu ben present, tanmateix, que sempre estan associats a una direcció determinada. def � �T � �t � P´Q´ ds � PQ dS (0 � � � � ) (2.26) Definició Allargament unitari: en el punt material P (o en el punt espacial P � ) en la direcció material T (o en la direcció espacial t ) és l’increment de longitud del segment diferencial deformat P`Q` per unitat de longitud del segment diferencial original PQ . i la definició matemàtica corresponent: Allargament unitari def � �T � �t � � PQ ds � dS � dS PQ (2.27) Les equacions (2.26) i (2.27) permeten relacionar immediatament els valors de l’allargament unitari i de l’estirament per a un mateix punt i direcció com: �� ds � dS ds � �1 � � �1 dS dS � � ( � �1 � � � � ) (2.28) 2 Descripció de la deformació 35 Observació 2-6 � Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : Les partícules P i Q es poden haver mogut relativament amb el temps, però sense augmentar ni disminuir la distància entre elles. � Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : La distància entre les partícules P i Q s’ha allargat amb la deformació del medi. � Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : La distància entre les partícules P i Q s’ha escurçat amb la deformació del medi. 2.5.1 Estiraments, allargaments unitaris i els tensors de deformació Considerant les equacions (2.20) i (2.22) i les expressions geomètriques dX � T dS i dx � t ds , vegeu la Figura 2-4, es pot escriure el següent: ��ds �2 � �dS �2 � 2 d� X � E � d� X � 2�dS �2 T � E � T �� dS T dS T � 2 2 2 ��ds � � �dS � � 2 d�x � e � d�x � 2�ds � t � e � t �� ds t ds t (2.29) i dividint les dues equacions per (dS ) 2 i (ds ) 2 , respectivament, s’obté el següent: 2 ds ( ) � 1 � �2 � 1 � 2 T � E � T � dS � � 1� ( 2 dS ) � 1 � (1 / �) 2 � 2 t � e � t � ds � 1/ � ��� � 1 � 2 T � E � T � ��� � � � 1 � 1 � 2 T � E � T � 1 (2.30) 1 � �� � 1� 2t �e�t � � 1 �� � � � 1 � �1 � 1 2 t �e�t � � (2.31) expressions que permeten calcular l’allargament unitari i l’estirament segons una direcció (material, T o espacial, t ) determinada. Observació 2-7 Els tensors material i espacial de deformació E( X, t ) i e(x, t ) contenen informació sobre els estiraments (i els allargaments unitaris) per a qualsevol direcció en un entorn diferencial d’una partícula donada, tal com posen de manifest les equacions (2.30) i (2.31). 36 2 Descripció de la deformació Exemple 2-3 – El tensor espacial de deformació per a un cert moviment és: � 0 � e�x, t � � � 0 �� te tz � Calculeu la longitud, en l’instant t � 0 , del uneix els punts a � (0,0,0) i b � (1,1,1) . 0 � te tz � � 0 0 � 0 t (2e tz � e t ) �� segment que en l’instant t � 2 és rectilini i Es coneix la forma i posició geomètrica del segment material en l’instant t � 2 . En l’instant t � 0 (instant de referència) el segment no és necessàriament rectilini i no es coneixen les posicions dels seus extrems A i B (vegeu la Figura 2-5). Per conèixer-ne la longitud s’ha d’aplicar l’equació (2.31): 1 �� z � 1� 2t �e �t ds dS � dS � z t�0 B 1 ds � t�2 ds dS t b(1,1,1) A a(0,0,0) y y x x Figura 2-5 per a un vector de direcció en la configuració espacial t de valor: t� 1 3 �1, 1, 1� i s’obté: T � 0 �1 1 1�� �� 0 t �e�t � 3 �� te tz � 1 1 � �� � � t �2 � � te tz 1 � 3 2 t 4 3 � 4e 2 1 � e2 te 3 3 B b1 1 b 1 1 � � dS � � ds � � ds � l ab � 3 � l AB � 3 � 4e 2 A a� a �� � � lab 1� � l AB � �1� � �� 1 1 � � te t 0 0 � � �1� 3 3 0 t (2e tz � e t )�� ��1�� 0 2.6 Variació d’angles Considerem ara una partícula P i unes altres dues partícules Q i R , situades en un entorn diferencial de P en la configuració material, vegeu la Figura 2-6, i 37 2 Descripció de la deformació les mateixes partícules ocupant les posicions espacials P ' , Q ' i R ' . Es planteja ara la relació entre els angles que formen els segments diferencials corresponents en la configuració de referència (angle � ), i en la configuració actual (angle � ). A partir de les equacions (2.2) i (2.6), aplicades als vectors diferencials que separen les partícules, es pot escriure: ��dx �1� � F � dX �1� � �2 � ��dx � F � dX �2 � ��dX �1� � F �1 � dx �1� � � �2 � ��dX � F �1 � dx �2 � (2.32) i per la pròpia definició dels vectors unitaris T �1� , T �2 � , t �1� i t �2 � que defineixen les direccions corresponents en la Figura 2-6: ��dX �1� � dS �1� T �1� � �2 � ��dX � dS �2 � T �2 � ��dx �1� � ds �1� t �1� � �2 � ��dx � ds �2 � t �2 � (2.33) t t0 T �2 � X3 t �2 � R �2 � dS P X � dS �1� Q R´ ds �2 � � P´ ds �1� Q´ T �1� x t �1� X2 Figura 2-6 X1 i, finalment, per la definició (2.26) dels estiraments corresponents: � �1� 1 �1� ��dS � ��1� ds ��ds �1� � ��1� dS �1� � �2 � �2 � �2 � � � ��ds � � dS �dS �2 � � 1 ds �2 � �� ��2 � (2.34) Plantejant ara el producte escalar dels vectors dx �1� � dx �2 � : � � � �dx � � �� ds �1� ds �2 � cos � � dx �1� � dx �2 � cos � � dx �1� � dx �2 � � dx �1� � � F � dX �1� T 2 � � �F � dX � � �� dX � � � ��F ���F�� dX � � � T 2 1 T 2 2E�1 1 1 � dS �1� T �1� � (2E � 1) � T �2 � dS �2 � � �1� ds �1� T �1� � (2E � 1) � T �2 � �2 � ds �2 � � � � 1 �1� �1� �2 � 1 �2 � T � (2E � 1) � T � ds ds ��1� ��2 � i comparant els termes inicial i final de l’equació (2.35), s’obté el següent: (2.35) 38 2 Descripció de la deformació cos � � T �1� � �1 � 2E � � T �2 � ��1� ��2 � (2.36) on els estiraments ��1� i ��2 � es poden obtenir aplicant l’expressió (2.30) a les direccions T �1� i T �2 � arribant-se a: cos � � T �1� � �1 � 2E � � T �2 � 1 � 2 T �1� � E � T �1� (2.37) 1 � 2 T �2 � � E � T �2 � D’una manera anàloga, operant en la configuració de referència, es pot obtenir l’angle � entre els segments diferencials dX (1) i dX ( 2) (en funció de t �1� , t �2 � i e ) com: cos � � t �1� � �1 � 2e � � t �2 � 1 � 2 t �1� � e � t �1� (2.38) 1 � 2 t �2 � � e � t �2 � Observació 2-8 De forma similar al que s’ha comentat en l’Observació 2-7, els tensors material i espacial de deformació, E( X, t ) i e(x, t ) també contenen informació sobre les variacions dels angles entre segments diferencials, a l’entorn d’una partícula, durant el procés de deformació. Aquests fets seran la base per proporcionar una interpretació física dels components dels tensors de deformació a l’apartat 2.7 . 2.7 Interpretació deformació física dels tensors de 2.7.1 Tensor material de deformació Considerem un segment PQ , orientat paral·lelament a l’eix X 1 en la configuració de referència (vegeu la Figura 2-7). Abans de la deformació PQ té una longitud coneguda dS � dX . X 3 ,Z t0 dS Q �1� � � T (1) � �0� �0� � � P dX T �1� � eˆ 1 X 2 ,Y X1, X Figura 2-7 �dS � � � dX � � 0 � �0� � � 2 Descripció de la deformació 39 Es pretén conèixer la longitud de P´Q´ després de la deformació. Per a això considerem el tensor material de deformació E donat pels seus components: � E XX E � �� E XY �� E XZ E XY EYY EYZ E XZ � � E11 EYZ �� � �� E12 E ZZ �� �� E13 E12 E 22 E 23 E13 � E 23 �� E 33 �� (2.39) En conseqüència: � E11 T � E � T � �T�T � �E�� T � �1 0 0�� �� E12 �� E13 E12 E 22 E 23 E13 � �1 � E 23 �� � ��0�� � E11 E 33 �� ��0 �� (2.40) L’estirament en la direcció material X 1 es pot obtenir ara substituint el valor T � E � T en l’expressió de l’estirament (2.30), obtenint-se: � 1 � 1 � 2 E11 . De manera anàloga, es poden considerar segments orientats a les direccions X 2 � Y i X 3 � Z i obtenir els valors � 2 i � 3 , resultant: �1 � 1 � 2 E11 � 1 � 2 E XX � � X � � X � 1 � 1 � 2 E XX � 1 � 2 � 1 � 2 E 22 � 1 � 2 EYY � � Y � � Y � 1 � 1 � 2 EYY � 1 � 3 � 1 � 2 E 33 � 1 � 2 E ZZ � � Z � � Z � 1 � 1 � 2 E ZZ � 1 (2.41) Observació 2-9 En els components E XX , EYY i E ZZ (o E11 , E 22 i E 33 ) de la diagonal principal del tensor E (denominats deformacions longitudinals) hi ha continguda la informació sobre l’estirament i els allargaments unitaris de segments diferencials inicialment (en la configuració de referència) orientats en direccions X , Y i Z . � Si E XX � 0 � � X � 0 � No hi ha allargament en la direcció X . � Si EYY � 0 � � Y � 0 � No hi ha allargament en la direcció Y . � Si E ZZ � 0 � � Z � 0 � No hi ha allargament en la direcció Z . Considerem ara l’angle entre els segments PQ (paral·lel a l’eix X 1 ) i PR , (paral·lel a l’eix X 2 ), sent Q i R dues partícules de l’entorn diferencial de P en la configuració de material i P �, Q � i R � les posicions respectives en la � ) entre els 2 segments en la configuració de referència és possible conèixer l’angle � en la configuració espacial (vegeu la Figura 2-8). Conegut l’angle ( � � configuració actual, utilitzant l’expressió (2.37) i tenint en compte la seva ortogonalitat ( T �1� � T �2 � � 0 ) i les igualtats T �1� � E � T �1� � E11 , T �2 � � E � T �2 � � E22 i T �1� � E � T �2 � � E12 , 40 2 Descripció de la deformació cos � � T �1� � �1 � 2E �� T �2 � �1� 1� 2 T � E �T o el que és el mateix: � � � xy � �1� 1� 2 T �2 � �E�T �2 � � 2 E12 1 � 2 E 11 (2.42) 1 � 2 E 22 2 E XY � � arcsin 2 1 � 2 E XX 1 � 2 E YY (2.43) i l’increment de l’angle final respecte al seu valor inicial resulta: 2 E XY �� XY � � xy � � XY � � arcsin � 1 � 2 E XX 1 � 2 E YY � 2 X3,Z t0 t P Q R T �2 � P´ � 2 T �1� T �2 � R´ � � � xy Q´ T (2.44) �1� �1 � � � � �0� �0� � � �0� � � � �1� �0� � � X 2 ,Y Figura 2-8 X1, X Resultats anàlegs s’obtenen a partir de parells de segments orientats segons els diferents eixos de coordenades i s’arriba a: �� XY � �arcsin 2 E XY 1 � 2 EXX 1 � 2 EYY �� XZ � �arcsin 2 E XZ 1 � 2 EXX 1 � 2 EZZ ��YZ � � arcsin 2 EYZ 1 � 2 EYY 1 � 2 EZZ Observació 2-10 En els components E XY , E XZ i EYZ (o E12 , E13 i E 23 ) del tensor E (denominats deformacions angulars) està continguda la informació sobre la variació dels angles entre segments diferencials inicialment (en la configuració material) orientats a les direccions X , Y i Z . � Si E XY � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de dos segments situats inicialment en les direccions X i Y . � Si E XZ � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de dos segments situats inicialment en les direccions X i Z . � Si EYZ � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de dos segments situats inicialment en les direccions Y i Z . (2.45) 41 2 Descripció de la deformació En la Figura 2-9 es presenta la interpretació física dels components del tensor material de deformació sobre un paral·lelepípede elemental en l’entorn d’una partícula P amb arestes orientades segons els eixos coordenats. t F t0 dx � 3 � X3,Z S dX dX �1� P´ �3 � P dX � 2 � Q Q´ �2 � � yz dx � xz � xy dx �1� ê 3 1 � 2 EZZ dZ X 2 ,Y R 1 � 2 E XX dX S´ R´ 1 � 2 EYY dY ê 2 ê1 �� �� X1, X XY XZ � � arcsin � � arcsin 2 E XY 1 � 2 E XX 1 � 2 EYY 2 E XZ 1 � 2 E XX 1 � 2 E ZZ 2 EYZ �� � � arcsin YZ 1 � 2 EYY 1 � 2 E ZZ Figura 2-9 – Interpretació física del tensor material de deformació 2.7.2 Tensor espacial de deformació Arguments semblants als de la secció 2.7.1 permeten interpretar al seu torn els components del tensor espacial deformació: �e xx � e � �e xy �e xz � e xz � �e11 � e yz � � ��e12 e zz �� ��e13 e xy e yy e yz e12 e 22 e 23 e13 � e 23 �� e33 �� (2.46) Els components de la diagonal principal (deformacions longitudinals) es poden interpretar en funció dels estiraments i allargaments unitaris de segments diferencials orientats segons els eixos coordenats en la configuració actual o deformada: �1 � �2 � �3 � 1 1 � 2e11 1 1 � 2e22 1 1 � 2e33 � � � 1 1 � 2e xx 1 1 � 2e yy 1 1 � 2e zz � �x � � �y � � �z � 1 1 � 2e xx 1 1 � 2e yy 1 1 � 2e zz �1 �1 (2.47) �1 mentre que els components fora de la diagonal principal (deformacions angulars) contenen informació sobre la variació d’angles entre segments 42 2 Descripció de la deformació diferencials orientats segons els eixos coordenats en la configuració actual o deformada: �� xy � 2e xy � � � XY � �arcsin 2 1 � 2 e xx 1 � 2 e yy �� xz � 2e xz � � � XZ � �arcsin 2 1 � 2 e xx 1 � 2 e zz �� yz � 2e yz � � � YZ � � arcsin 2 1 � 2 e yy 1 � 2 e zz (2.48) El resum de la interpretació física corresponent es presenta en la Figura 2-10: 1 � 2e xx dx t0 F �1 S dX �3 � P � XZ �2 � �YZ dX S� R 1 � 2e zz dz � XY dX �1� �� �� xy xz yz � � arcsin � � arcsin � � arcsin 2 e xy 1 � 2 exx dx ( 3) ê1 1 � 2e yy (1) dx ( 2 ) P� R� Q� ê 3 ê 2 x2, y x1 , x 2 e xz 1 � 2 exx x3,z dx 1 � 2e yy dy Q �� t 1 � 2ezz 2 e yz 1 � 2 eyy 1 � 2 ezz Figura 2-10 – Interpretació física del tensor espacial de deformació 2.8 Descomposició polar R E C O R D A T O R I Un tensor de segon ordre Q és ortogonal si es verifica: QT � Q � Q � QT � � El teorema de descomposició polar de l’anàlisi tensorial estableix que, donat un tensor de segon ordre F tal que F � 0 , existeixen un tensor ortogonal Q , i dos tensors simètrics U i V : � � not �� T V � F�F � � Q � F � U �1 � V �1 � F � �� not U � FT � F � F � Q� U � V �Q (2.49) La descomposició (2.49) és única per a cada tensor F i es denomina descomposició polar per l’esquerra ( F � Q � U ) o descomposició polar per la dreta ( F � V � Q ) i als tensors U i V , tensors dret i esquerre d’estirament, respectivament. 43 2 Descripció de la deformació N O T A Per obtenir l’arrel quadrada d’un tensor es procedeix a diagonalitzar el tensor, s’obté l’arrel quadrada dels elements de la diagonal de la matriu de components diagonalitzada i es desfà la diagonalització. Observació 2-11 Un tensor ortogonal Q rep el nom de tensor de rotació i a l’aplicació y � Q � x se la denomina rotació. Una rotació té les propietats següents: � Quan s’aplica a qualsevol vector x , el resultat és un vector y � Q � x del mateix mòdul: y 2 T � y � y � �y � � �y � � �Q � x� � �Q � x� � x � Q Q�x �x�x � x ���� T T 2 1 � El resultat de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos vectors x (1) i x ( 2 ) amb el mateix origen i que formen entre si un angle � , manté el mateix angle entre les imatges ( y (1) � Q � x (1) i y ( 2) � Q � x ( 2 ) ): y (1) � y ( 2 ) y (1) y ( 2 ) � x (1) � QT � Q � x ( 2 ) y (1) y ( 2 ) � x (1) � x ( 2 ) x (1) x ( 2 ) � cos � En conseqüència, l’aplicació (rotació) y � Q � x manté els angles i les distàncies. Considerant ara el tensor gradient de la deformació i la relació fonamental (2.2) ( dx � F � dX ) i la descomposició polar (2.49) s’obté el següent: N O T A C I Ó S’utilitza aquí la notació ( � ) per indicar la composició de dues aplicacions � i � : z � � � � (x) deformació � ���� rotació � �� dx � F � dX � �V � Q � � dX � V � (Q � dX) (2.50) not F(�) � deformació � rotació (�) rotació ��� ���� deformació ��� dx � F � dX � �Q � U � � dX � Q � ( U � dX ) F(�) � rotació � deformació (�) Observació 2-12 Les equacions (2.50) estableixen que el moviment relatiu en l’entorn d’una partícula durant el procés de deformació (caracteritzat pel tensor F ) es pot entendre com la composició d’una rotació (caracteritzada pel tensor de rotació Q , que manté angles i distàncies) i una deformació pròpiament dita (que modifica angles i distàncies) caracteritzada pel tensor V (vegeu la Figura 2-11). (2.51) 44 2 Descripció de la deformació Observació 2-13 � Alternativament les equacions (2.51) permeten caracteritzar el moviment relatiu en l’entorn d’una partícula durant el procés de deformació com la superposició d’una deformació pròpiament dita (caracteritzada pel tensor U ) i una rotació (caracteritzada pel tensor de rotació Q ). � Un moviment de sòlid rígid és un cas particular de deformació caracteritzat per U � V � � y Q � F . F X3 t0 Q � dX P' P dX Rotació dX t ê 3 ê1 Deformació dx � V � Q � dX Rotació dx � Q � v � dX ê 2 X2 v � dX P' X1 F Figura 2-11 – Descomposició polar Deformació dX 2.9 Variació de volum Considerem una partícula P del medi continu en la configuració de referència, ( t � 0 ) que té associat un volum diferencial dV0 (vegeu la Figura 2-12) que queda caracteritzat mitjançant les posicions d’unes altres tres partícules Q , R i S del seu entorn diferencial, alineades amb P segons tres direccions arbitràries. El diferencial de volum dVt , associat a la mateixa partícula en la configuració actual (a temps t ), quedarà també caracteritzat pels punts espacials P � , Q � , R � i S � corresponents de la figura (les posicions de la qual configuraran un paral·lelepípede que ja no està orientat segons els eixos coordenats). Siguin dX (1) , dX ( 2) i dX (3) els vectors de posició relatius entre partícules en la configuració material, i dx (1) � F � dX (1) , dx ( 2) � F � dX ( 2 ) i dx (3) � F � dX (3) els seus homòlegs en la configuració espacial. Evidentment es compleixen les relacions: 45 2 Descripció de la deformació ��dx (i ) � F � dX (i ) � (i ) (i ) ��dx j � F jk � dX k R E C O R D A T O R I El volum d’un paral·lelepípede es pot calcular com el producte mixt (a � b) � c dels vectors-aresta a , b i c que concorren en qualsevol dels seus vèrtexs. D’altra banda, el producte mixt de tres vectors és el determinant de la matriu constituïda pels components dels vectors esmentats ordenats en files. (2.52) i, j , k �{1,2,3} Els volums associats a la partícula en les dues configuracions es poden escriure com segueix: � dV0 � dX � �1� dVt � dx �1� � dX � dx �2 � �2 � �� dX �� dx ( 3) � dX 1�1� dX 2�1� dX 3�1� � � � � det �dX 1�2 � dX 2�2 � dX 3�2 � � � M � dX �3 � dX �3 � dX �3 � � � �1����2���3� � �� �M � �1� �3 � � dx1 dx 2 dx3�1� � � �2 � � �2 � � det �dx1 dx 2 dx3�2 � � � m � dx �3 � dx �3 � dx �3 � � 1 2 3 � � � �������� �� �m � M ij � dX (ji ) �1� mij � dx (ji ) t X 3 , x3 F t0 dV 0 S dX �1� P (2.53) S� P´ dx �3 � R´ dx �2 � dx �1� dX �3� ê 3 R dX � 2 � Q ê1 Q´ dVt ê 2 X 2 , x2 X 1 , x1 Figura 2-12 – Variació d’un element diferencial de volum D’altra banda, considerant les expressions (2.52) i (2.53) es pot escriure: mij � dx (ji ) � F jk dX k(i ) � F jk M ik � M ik FkjT � m � M � FT (2.54) i, en conseqüència: N O T A S’utilitzen aquí les expressions: A�B � A B i AT � A . � �� �� 0 � dVt � dV (x( X, t ), t ) � F ( X, t ) dV ( X,0) � F t dV0 �� dVt � m � M � F T � M F T � F M � F dV0 � dV dVt � F t dV0 (2.55) 46 2 Descripció de la deformació 2.10 Variació de l’àrea Considerem ara el diferencial d’àrea dA associat a una partícula P en la configuració de referència i la seva variació al llarg del temps. Per definir el diferencial d’àrea esmentat, considerarem dues partícules Q i R de l’entorn diferencial de P , les posicions relatives de les quals respecte a aquesta són dX �1� i dX �2 � (vegeu la Figura 2-13). Considerem també una partícula auxiliar qualsevol S i el seu vector de posició relatiu dX �3 � . Associat a l’escalar diferencial d’àrea, dA , definirem el vector diferencial d’àrea dA � dA N el mòdul del qual és dA i la direcció del qual és la de la normal N . En la configuració actual, en el temps t , la partícula ocuparà un punt espacial P � , i tindrà associat un diferencial d’àrea da que, al seu torn, defineix un vector diferencial d’àrea da � da n , on n és la corresponent normal. Considerem també les posicions de les altres partícules Q � i R � i S � i els seus vectors de posició relatius dx �1� , dx �2 � i dx �3 � . n t0 X 3 , x3 N . dA dX �1� dh P´ ê 3 dX �3� �2 � P dX R ê1 Q da � n da S´ dx ( 3 ) dx ( 2 ) F dA � N dA S dH . t dx (1) ê 2 R´ da Q´ X 2 , x2 X 1 , x1 Figura 2-13 – Variació de l’àrea Els volums dV0 i dVt dels paral·lelepípedes respectius es podran calcular com: �3 � �� dV0 � dH dA � d� X� N dA � dX �3 � � N dA � dA � dX �3 � � � � dH dA �3 � � n da � dx �3 � � n dVt � dh da � d� x� da � da � dx �3 � � � � � dh da N O T A Es té en compte aquí el teorema de l’àlgebra tensorial següent: donats dos vectors a i b , si es compleix que a � x � b � x per a tot vector x � a � b . (2.56) i tenint en compte que dx (3) � F � dX �3 � , com també l’equació de canvi de volum (2.55), es pot escriure: da � F � dX �3 � � da � dx �3 � � dVt � F dV0 � F dA � dX �3 � �dX �3 � (2.57) Comparant el primer i últim terme de (2.57) i tenint en compte que la posició relativa de la partícula S és qualsevol (i, per tant, també ho és el vector dX ( 3) ), s’arriba finalment a: da � F � F d A � d a � F d A � F �1 (2.58) 47 2 Descripció de la deformació Per obtenir una relació entre els escalars diferencial d’àrea dA i da se substitueixen les expressions dA � N dA i da � n da en l’equació (2.58) i es prenen mòduls: da n � F N � F �1 dA � da � F N � F �1 dA (2.59) 2.11 Deformació infinitesimal La teoria de la deformació infinitesimal (també denominada teoria de petites deformacions) es basa en dues hipòtesis simplificatives sobre la teoria general (o de deformació finita) contemplada en apartats anteriors (vegeu la Figura 2-14). Hipòtesi 1) Els desplaçaments són molt petits davant les dimensions típiques del medi continu ( u �� X ). 2) Els gradients dels desplaçaments són molt petits (infinitesimals). t t0 u P� P X3,Z X x ê 2 X 2 ,Y ê3 ê1 X1, X Figura 2-14 En virtut de la primera hipòtesi, les configuracions de referència, � 0 i actual, � t , estan molt pròximes entre si i es consideren indistingibles una de l’altra. En conseqüència, les coordenades materials i espacials coincideixen i ja no té sentit parlar de descripcions material i espacial: not � �x � X � u � X �U�X, t � � u�X, t � � u�x, t � � � � not � xi � X i � u i � X i ��U i �X, t � � u i �X, t � � u i �x, t � i �{1,2,3} (2.60) La segona hipòtesi es pot escriure matemàticament com: �u i �� 1, �x j �i, j �{1,2,3} (2.61) 48 2 Descripció de la deformació 2.11.1 Tensors de deformació. Tensor de deformació infinitesimal Els tensors gradient material i gradient espacial dels desplaçaments coincideixen. Efectivament, atesa l’equació (2.60): �x j � X j �U i �u � J ij � j � J � jij � i � � x X � u ( , t ) U ( , t ) �x j �X j i � i (2.62) i el tensor material de deformació resulta ser: � � � � 1 1 � T T T �E � 2 J � J � J J � 2 J � J � � � E � 1 �� �u i � �u j � �u k �u k �� � 1 �� �u i � �u j � ij 2 � �x j �x i �x i �x j � 2 �� �x j �xi � � ������ �� �� 1 � � � � (2.63) on s’ha tingut en compte el caràcter d’infinitèsim de segon ordre del terme �u k �u k . Operant similarment amb el tensor espacial de deformació: �xi �x j � � � � � � 1 1 � 1 T T T T �e � 2 j � j � j j � 2 j � j � 2 J � J � � � �u j �u k �u k � 1 � �u i �u j � 1 � �u � �� � �eij � � i � � � � �xi �x j �� 2 �� �x j �xi �� 2 � �x j �xi � ����� � �� 1 � N O T A C I Ó Es defineix l’operador gradient simètric � s mitjançant: � s (�) = 1 �(�) � � � � � (�)� . 2 (2.64) Les equacions (2.63) i (2.64) permeten definir el tensor de deformació infinitesimal (o tensor de petites deformacions) � : not 1 � T s Tensor de �� � 2 J � J � � u � deformació � � � �u � �� ij � 1 � �u i � j � infinitesimal � 2 � �x j �xi � � � � Observació 2-14 Sota la hipòtesi de deformació infinitesimal els tensors material i espacial de deformació coincideixen i col·lapsen en el tensor de deformació infinitesimal. E(x, t ) � e(x, t ) � �( x, t ) (2.65) 49 2 Descripció de la deformació Observació 2-15 El tensor de deformació infinitesimal és simètric, tal com s’observa de la seva definició en l’equació(2.65): �� � � 1 J � JT 2 � T � � � 1 J � JT � � 2 Observació 2-16 Els components del tensor infinitesimal de deformació � són infinitèsims ( � ij �� 1 ). La demostració és evident a partir de l’equació (2.65) i la condició d’infinitèsim dels components de J � j (vegeu l’equació (2.61)). Exemple 2-4 – Per al moviment de l’Exemple 2-1, determineu en quines condicions constitueix un cas de deformació infinitesimal. Per al cas esmentat, obteniu el tensor infinitesimal de deformació. Compareu-ho amb el resultat obtingut a partir dels tensors espacial i material de deformació de l’Exemple 2-2 considerant les hipòtesis de deformació infinitesimal. � x1 � X 1 � AX 3 � a) Les equacions de moviment vénen donades per � x 2 � X 2 � AX 3 � x � � AX � AX � X 1 2 3 � 3 de les quals s’obté el camp de desplaçaments: �U 1 � � AX 3 � . És evident que perquè els U ( X , t ) � x � X � � U 2 � � AX 3 � U � � AX � AX 1 2 � 3 desplaçaments siguin infinitesimals s’ha de complir que A sigui un infinitèsim ( A �� 1 ). b) Tensor de deformació: El tensor gradient dels desplaçaments J ( X, t ) � j(x, t ) vindrà donat per: � � AX 3 � �� � , J � U � � � � � AX 3 � �� �X 1 � �� AX 1 � AX 2 � � , �X 2 � 0 0 � A� � � � 0 0 � A� � � �X 3 �� � �� A A 0 � i el tensor infinitesimal de deformació, d’acord amb l’equació (2.65), serà: � 0 0 � A� ��� U�� 0 0 0 � � � �� A 0 0 � s c) Tensors material i espacial de deformació: A l’Exemple 2-2 els tensors material i espacial de deformació resulten ser, respectivament: 50 2 Descripció de la deformació � A2 � A2 1� A2 E � �� A 2 2 �� 2 A 0 � �� 3 A 2 � 2 A 4 1� 2 e � � A � 2 A4 2 � � 2 A � 2 A3 � � 2 A� � 0 � i 2 A 2 �� A2 � 2 A4 A2 � 2 A4 2 A3 � 2 A � 2 A3 � � 2 A3 � � 2 A 2 �� i negligint els infinitèsims de segon ordre o superior ( A 4 �� A 3 �� A 2 �� A ) resulta: � 0 0 � A� E � �� 0 0 0 �� ��� A 0 0 �� � 0 0 � A� e � �� 0 0 0 �� � E � e � � ��� A 0 0 �� 2.11.2 Estirament. Allargament unitari R E C O R D A T O R I El desenvolupament en sèrie de Taylor de 1 � x en un entorn de x � 0 és: 1� x � 1� � O �x 2 � 1 x� 2 Considerant la fórmula general (2.30) de l’estirament unitari en la direcció T � t ( � t � 1 � 2 t � E � t ) i aplicant a aquest un desenvolupament en sèrie de Taylor al voltant de 0 (tenint en compte que E � � és infinitèsim i, per tant, també ho és x � t � � � t ), s’obté: �t � 1 � 2 t � � � t � 1 � t � � � t � ��� � x �t � �t � 1 � t � � � t (2.66) 2.11.3 Interpretació física de les deformacions infinitesimals Considerem el tensor de deformacions infinitesimals � i els seus components en el sistema de coordenades x1 � x, x 2 � y , x3 � z de la Figura 2-15: �� xx � � � �� xy �� xz � � xy � yy � yz � xz � ��11 � � yz � � ���12 � zz �� ���13 �12 � 22 � 23 �13 � � 23 �� � 33 �� (2.67) Considerem el segment diferencial PQ orientat en la configuració de referència en la direcció de l’eix coordenat x1 � x . L’estirament � x i l’allargament unitari � x en la direcció esmentada vénen donats, d’acord amb l’equació (2.66) amb t � {1,0,0}T , per: � x � 1 � t � � � t � 1 � � xx � � x � � � 1 � � xx (2.68) Això permet donar a la component � xx � �11 el significat físic de l’allargament unitari � x en la direcció de l’eix coordenat x1 � x . Una interpretació similar es pot donar als altres components de la diagonal principal del tensor � ( � xx , � yy , � zz ). � xx � � x ; � yy � � y ; � zz � � z (2.69) 51 2 Descripció de la deformació Atesos ara els components de fora de la diagonal principal de � , considerem els segments diferencials PQ i PR orientats segons les direccions coordenades � en 2 x i y en la configuració de referència formant, per tant, un angle � xy � la configuració esmentada. Aplicant l’equació (2.43), l’increment de l’angle corresponent serà: t0 x3, z S dx P dz S� R � xy � Q dy �1 � � xx �dx � 2 �1 � � zz �dz ê 3 ê1 Q´ ê 2 x1 , x R E C O R D A T O R I El desenvolupament en sèrie de Taylor de arcsin x en un entorn de x � 0 és: � � arcsin x � x � O x 2 t F R´ P´ � xy � �2 � 2� xy �1 � � �dy yy x2, y Figura 2-15 �� xy � � xy � � xy � � �2 arcsin � xy � �2� xy � �2 arcsin ����� 2 1 � 2� xx 1 � 2� yy �� xy ���� � ���� � �1 �1 (2.70) on s’ha tingut en compte el caràcter infinitesimal de � xx , � yy i � xy . En conseqüència, de l’equació (2.70) � xy es pot interpretar com menys el semiincrement, produït per la deformació, de l’angle entre dos segments diferencials orientats inicialment segons les direccions coordenades x i y . Una interpretació anàloga es pot trobar per als altres components � xz i � yz : 1 � xy � � �� xy 2 1 ; � xz � � �� xz 2 1 ; � yz � � �� yz 2 (2.71) 2.11.4 Deformacions enginyerils. Vector de deformacions enginyerils Hi ha una tradició important en enginyeria a fer servir una denominació particular per als components del tensor de deformació infinitesimal, la qual cosa constitueix la denominada notació enginyeril, en contraposició amb la notació científica usada generalment en mecànica de medis continus. Ambdues notacions es poden sintetitzar de la forma següent: 52 2 Descripció de la deformació notació enginyeril ���� ������ � notació científica 1 1 � ��������������� � � � xy � xz � x 2 2 � �� 11 � 12 � 13 � �� xx � xy � xz � � 1 1 � � � � � ��� 12 � 22 � 23 �� � �� xy � yy � yz � � � � xy �y � yz � 2 2 � � ��� 13 � 23 � 33 �� ��� xz � yz � zz �� � 1 1 � � �z � �� �� 2 xz 2 yz (2.72) Observació 2-17 Els components del tensor de deformació situats en la diagonal principal (denominats deformacions longitudinals) es denoten per � (�) i coincideixen amb els allargaments unitaris en les direccions dels eixos coordenats. Valors positius de les deformacions longitudinals ( � (�) � 0 ) corresponen a un augment de longitud dels segments diferencials corresponents en la configuració de referència. Observació 2-18 Els components del tensor de deformació situats fora de la diagonal principal es caracteritzen pels valors � (�,� ) (denominats deformacions angulars) i es poden interpretar com els decrements dels corresponents angles orientats segons les direccions cartesianes en la configuració de referència. Valors positius de les deformacions angulars ( � (�,�) � 0 ) indiquen que els angles corresponents es tanquen amb el procés de deformació. És també molt freqüent en enginyeria aprofitar la simetria del tensor de deformació infinitesimal (vegeu l’Observació 2-15) per treballar únicament amb els sis components diferents de tensor esmentat reunint-les en el denominat vector de deformacions enginyerils definit com: � � R6 def �� ��x � �� � � y� ��z � � � �� xy � �� xz � � � �� yz � � � � deformacions longitudinals � � � � deformacions tangencials, � deformacions angulars � transversals o de cisallament � (2.73) 2.11.5 Variació de l’angle entre dos segments diferencials en deformació infinitesimal Considerem dos segments diferencials qualssevol, PQ i PR , en la configuració de referència i l’angle � que defineixen (vegeu la Figura 2-16). Sigui 53 2 Descripció de la deformació � � � � �� l’angle format pels segments corresponents deformats en la configuració actual. Aplicant l’equació (2.42) al cas esmentat s’obté el següent: T (1) � �� � 2� �� T ( 2) cos � � cos(� � ��) � (2.74) (1) (1) ( 2) (2) 1 � 2� T� T� � �� � T� � �� � T� �� � 1 � 2� �� � �� 1 �� 1 on T (1) i T ( 2 ) són els dos vectors unitaris en les direccions de PQ i PR i es compleix, per tant, que T (1) � T ( 2) � T (1) T ( 2 ) cos � � cos � . Considerant el caràcter d’infinitèsim dels components de � i del mateix �� es compleix: t t0 T Q X3 P X3 Es consideren els següents desenvolupaments en sèrie de Taylor en un entorn de x � 0 : � � � � sin x � x � O x 2 cos x � 1 � O x 2 t (1 ) Q' P' R T X2 ê 2 � � �� (2) R' t ( 2) Figura 2-16 X1 N O T A F � ê 3 ê1 (1) cos � � cos(� � �� ) � cos � � cos � � sin� � sin �� ���� ���� �1 � �� cos �� ��� �� � cos � � sin� � �� � T (1) � T ( 2) � 2T (1) � � � T ( 2) (1) (1) ( 2) ( 2) � �� � �� �T �T T� �1� T� �1� ���� ���� � �1 �1 � sin� � �� � �2T (1) � � � T ( 2) � �� � � � cos � � 2T (1) � � � T ( 2 2T (1) � � � T ( 2 ) 2t (1) � � � t ( 2 ) �� sin� sin� (2.75) (2.76) on s’ha considerat que, a causa del caràcter infinitesimal de la deformació, es compleix que T (1) � t (1) , T ( 2) � t ( 2 ) i � � � . 2.11.6 Descomposició polar Per al cas general de deformació finita la descomposició polar del tensor gradient de la deformació F ve donada per l’equació (2.49). Per al cas de deformació infinitesimal, recordant l’expressió (2.12) ( F � 1 � J ) i el caràcter d’infinitèsim dels components del tensor J (vegeu l’equació (2.61)), el tensor U de l’equació (2.49) es pot escriure com segueix: 54 2 Descripció de la deformació R E C O R D A T O R I El desenvolupament en sèrie de Taylor del tensor 1 � x en un entorn de x � 0 és: 1 � x �1� � � 1 U �1 � (1 � �� � �� � 1 � � � 1 � ( J � J T ) 2 ���� x � � � O x2 El desenvolupament en sèrie de Taylor del tensor (1 � x) �1 en un entorn de x � 0 és: (1 � x) �1 � � �1� x � � O x2 U �1� � (2.77) i, de forma similar, a causa del propi caràcter infinitesimal dels components de � (vegeu l’Observació 2-16) resulta: 1 x� 2 R E C O R D A T O R I �1 � J T �� �1 � J � � � �� 1 T T T T �� � 1 � J � J � J��� � J � 1 � J���J� � 1 � (J � J ) 2 ���� � � x ��J �� � U � FT F � (2.78) amb la qual cosa el tensor de rotació Q de l’equació (2.49) es pot escriure com segueix: � 1 � � Q � F � U �1 � �1 � J � � �1 � (J � J T �� � � 2 � � � � 1 1 1 T T T � � 1 � J � (J � J � � J � (J � J � � 1 � (J � J �� 2� 2 2 ���� � � ���� � � � ��J � Q �1 � � (2.79) L’equació (2.79) defineix el tensor infinitesimal de rotació � : N O T A C I Ó Es defineix l’operador gradient antisimètric � a mitjançant: � a (�) = 1 �(�) � � � � � (�)� 2 def � def 1 1 �� � (J � J T � � (u � � � � � u) � � a u 2 2 � infinitesimal � � �� � 1 � �u i � �u j � �� 1 i, j � {1,2,3} de rotació � ij 2 � �x j �xi � � � � Tensor (2.80) Observació 2-19 El tensor � és un tensor antisimètric. En efecte: 1 T � T 1 T T �� � (J � J ) � (J � J ) � �� 2 2 � �� ji � �� ij i, j �{1,2,3} � En conseqüència, � tindrà nuls els termes de la seva diagonal principal, i la seva matriu de components tindrà l’estructura: � 0 ��� � ��� �12 �� � 31 �12 0 � � 23 � � 31 � � 23 � � 0 �� En el context de petites rotacions, el tensor � és un tensor que caracteritza la rotació ( Q � 1 � � ) i per això el nom de tensor infinitesimal de rotació. En tractar-se d’un tensor antisimètric queda definit mitjançant només tres components diferents ( � 23 , � 31 , � 12 ), dels quals es pot extreure el denominat vector infinitesimal de rotació � : 2 Descripció de la deformació N O T A C I Ó Es denota l’operador rotacional de (�) mitjançant: � � (�) � � �u 3 �u 2 � � � � � x �x3 � � 2 � � � � � � � � � Vector 23 � � � 1 � �u �u � def 1 � � � infinitesimal�� �� � �� � � � �� � 31 � � � 1 � 3 � � � � u � �� � � � � � 2 � �x3 �x1 � 2 de rotació 12 � � �� � � �u 2 �u1 � � � �x � �x � � � 1 2 � � 55 (2.81) Les expressions (2.12), (2.65) i (2.79) permeten escriure: F �1 � J �1 � 1 1 (J � J T ) � (J � J T ) � 2� 2 ����� � ���� � � � F �1 � � � � Observació 2-20 Els resultats d’aplicar escalarment el tensor de rotació infinitesimal � i d’aplicar vectorialment el vector de rotació infinitesimal � a un vector qualsevol T r � �r1 , r2 , r3 � (vegeu la Figura 2-17) coincideixen. En efecte: � 0 � � r � ��� �12 �� � 31 �eˆ 1 � � r � ��1 � �� r1 not eˆ 2 �2 r2 � � 31 � � r1 � � �12 r2 � � 31 r3 � � � � � � 23 �� �r2 � � �� �12 r1 � � 23 r3 � 0 �� ��r3 �� �� � 31 r1 � � 23 r2 �� �12 0 � � 23 eˆ 3 � � eˆ 1 �3 � � �� � 23 � � r3 �� �� r1 eˆ 2 � � 31 r2 eˆ 3 � � �12 r2 � � 31 r3 � � � � �12 � � �� �12 r1 � � 23 r3 � � r3 �� �� � 31 r1 � � 23 r2 �� En conseqüència, el vector � � r � � � r té les característiques següents: � És ortogonal al vector r (ja que és el resultat d’un producte vectorial en el qual intervé r ). � El seu mòdul és infinitesimal (ja que � ho és). � El vector r � � � r � r � � � r es pot considerar, llevat en el cas d’infinitèsims d’ordre superior, el resultat d’aplicar una rotació � al vector r . � ��r � � �r r ê 3 ê1 ê 2 Figura 2-17 (2.82) 56 2 Descripció de la deformació Considerem ara un segment diferencial dX en l’entorn diferencial d’una partícula P en la configuració de referència (vegeu la Figura 2-18). D’acord amb l’equació (2.82) la deformació transforma el vector esmentat en el vector dx : dx � F � dX � (1 � � � �� � dX � deformació ��� � � dX rotació ��� �� � (1 � �� � dX (2.83) F(�) � deformació (�) � rotació (�) Observació 2-21 En règim de deformació infinitesimal l’equació (2.83) caracteritza el moviment relatiu a una partícula, en un entorn diferencial d’aquesta, com la suma del següent: a) Una deformació pròpiament dita, caracteritzada pel tensor infinitesimal de deformació � . b) Una rotació caracteritzada pel tensor infinitesimal de rotació � que (en el context de petites rotacions) manté angles i distàncies. La superposició ( deformació � rotació ) del cas general de deformació finita (vegeu l’Observació 2-12) degenera, per al cas de deformació infinitesimal, en una simple addició ( deformació � rotació ). x3 P ê 2 x1 Q' dx dX Q ê 3 ê1 t F t0 �1 � � �dX P' dX x2 � � dX � deformació � � dX � � � rotació � � dX � Figura 2-18 2.12 Deformació volumètrica Definició Deformació volumètrica: Increment, produït per la deformació, del volum associat a una partícula, per unitat de volum en la configuració de referència. La definició anterior es pot expressar matemàticament com (vegeu la Figura 219): 57 2 Descripció de la deformació def. volumètrica � e( X, t ) def � dV ( X, t ) � dV ( X,0) not dVt � dV0 � dV ( X,0) dV0 t F t0 x3, z (2.84) dVt dV0 P P� ê3 ê 2 ê1 x1 , x x2, y Figura 2-19 L’equació (2.55) ( dVt � F t dV0 ) permet expressar, al seu torn, la deformació volumètrica en els termes següents: � Deformació finita e� � dVt � dV0 F t dV0 � dV0 � � dV0 dV0 (2.85) e � F �1 Deformació infinitesimal Considerant l’equació (2.49) ( F � Q � U ) i recordant que Q és un tensor ortogonal ( Q � 1 ) es pot escriure: 1 � � xx F � Q � U � Q U � U � 1 � � � det � xy � xz � xy � xz 1 � � yy � yz � yz 1 � � zz (2.86) on s’ha tingut en compte l’equació (2.77) ( U � 1 � � ). Considerant ara que els components de � són infinitèsims, i menyspreant en l’expressió del seu determinant els infinitèsims d’ordre superior a u, es pot escriure: 1 � � xx � xy � xz F � det � xy 1 � � yy � yz � 1 � � xx � � yy � � zz � O(� 2 ) � 1 � Tr (�� ������ � 1 � � zz � xz � yz Tr (�) (2.87) i substituint l’equació (2.87) en la (2.85) s’obté, per al cas de deformació infinitesimal: 58 2 Descripció de la deformació dVt � �1 � Tr (�� �dV0 � � dV � dV0 �� � F � 1� e� t dV0 � e � Tr (�� (2.88) 2.13 Velocitat de deformació A les seccions anteriors d’aquest capítol s’ha estudiat el concepte deformació entès com la variació de la posició relativa (angles i distàncies) de les partícules a l’entorn d’una de determinada. Als apartats següents, considerarem la velocitat a què es modifica aquesta posició relativa introduint el concepte de velocitat de deformació com una mesura de la variació de la posició relativa entre partícules per unitat de temps. 2.13.1 Tensor gradient de la velocitat Considerant la configuració corresponent en l’instant t , siguin dues partícules del medi continu P i Q que ocupen els punts espacials P � i Q � en l’instant esmentat (vegeu la Figura 2-20), les seves velocitats, v P � v �x, t � i v Q � v �x � dx, t � i la seva velocitat relativa: t v�x � dx, t � � v � dv dx x3, z x Q’ P’ v�x, t � ê3 x2, y ê 2 ê1 x1 , x Figura 2-20 dv (x, t ) � v Q � v P � v�x � dx, t � � v�x, t � (2.89) amb la qual es pot escriure: dv � �v � dx � l � dx �x � l dv i � �v i dx j � lij dx j �x j � lij i, j �{1,2,3} (2.90) En l’equació (2.90) s’ha introduït el denominat tensor gradient espacial de la velocitat l�x, t � definit com: 2 Descripció de la deformació 59 def � �v�x, t � �l�x, t � � Tensor gradient �x �� espacial de la � �l � v � � � velocitat �v �lij � i i, j � {1,2,3} �x j �� (2.91) 2.13.2 Tensor velocitat de deformació i tensor espín R E C O R D A T O R I Tot tensor de segon ordre, a , es pot descompondre en la suma de la seva part simètrica ( sym(a) ) i antisimètrica skew(a) ) de la forma: a � sym(a) � skew(a) T a�a 2 a � aT skew(a) = 2 sym(a) = Descomponent el tensor gradient de la velocitat en les seves parts simètrica i antisimètrica: (2.92) l�d�w on d és un tensor simètric denominat tensor velocitat de deformació: � � not � def 1 1 d � sym( l ) � l � lT � � v � � � � � v� � � s v � 2 2 Tensor � velocitat de 1 � �v �v j � � � �dij � � i � � i, j �{1,2,3} deformació 2 � � �x j �x i � � � d11 d12 d31 � � ��d� � � d12 d 22 d 23 � � � � �� d31 d 23 d33 �� � � � (2.93) i w és un tensor asimètric denominat tensor velocitat de rotació o tensor espín, l’expressió del qual és: � � not � def 1 1 T a �w � skew (l) � 2 l � l � 2 �v � � � � � v � � � v � Tensor �� 1 � �v �v j � velocitat de � �w ij � � i � � i, j � {1,2,3} 2 � �x j �xi � � rotació (espín) � w 12 � w 31 � � 0 � ��w � � �� w 12 0 w 23 �� � � �� w 31 � w 23 0 �� �� � � (2.94) 2.13.3 Interpretació física del tensor velocitat de deformació Considerem el segment diferencial definit per les partícules P i Q de la Figura 2-21 i la variació del quadrat de la seva longitud al llarg del temps: 60 2 Descripció de la deformació d d d 2 d ds � �dx � dx � � �dx � � dx � dx � �dx � � dt dt dt dt � dx � � dx � � d � � � dx � dx � d � � � d v � d x � d x � d v dt�� dt�� ��� ��� v v (2.95) 1 2 i utilitzant les relacions (2.90) ( dv � l � dx ) i (2.93) ( d � (l � l T ) ) s’obté de l’equació (2.95): � � d 2 T ds � dx � l T � dx � dx � �l � dx � � dx �l� ��l� � dx � 2dx � d � dx � dt �� 2d �� � � (2.96) Considerant ara l’equació (2.20) ( ds 2 � dS 2 � 2 dX � E � dX ) derivant-la respecte al temps i tenint en compte l’equació (2.96): � � d d 2 ds 2 (t ) � dS 2 � ds (t ) � dt dt d �2dX � E(X, t ) � dX� � 2dX � dE � dX � 2dX � E� � dX dt dt � � E 2dx � d � dx � (2.97) Substituint ara l’equació (2.2) ( dx � F � dX ) en la (2.97) s’obté el següent: N O T A S’utilitza aquí el teorema de l’àlgebra tensorial següent: donat un tensor de segon ordre A , si es verifica que x � A � x � 0 per a tot vector x � 0 , llavors A � 0 . � � � � � dX � dx � d � dx � �dx �T �d � � �dx� � dX � F T � d � F � dX dX � E � � dX � 0 �dX � F T � d � F � E � �0� � dX � F T � d � F � E � � � (2.98) � � FT � d � F E t � dt x3, z t t0 dS Q P� P ê3 ê1 ds �t � ê 2 x2, y x1 , x Figura 2-21 ds �t � dt � Q� P �� Q �� 61 2 Descripció de la deformació Observació 2-22 L’equació (2.98) posa de manifest la relació existent entre el tensor velocitat de deformació d(x, t ) i la derivada material del tensor material de deformació E� ( X, t ) , proporcionant una interpretació física (i justificant-ne la denominació) per al tensor d(x, t ) . Tanmateix, de l’equació esmentada es desprèn que els tensors d(x, t ) � ( X, t ) no són exactament el mateix. Tots dos tensors coincidiran i E exactament en els casos següents: � En la configuració de referència ( t � t 0 � F |t �t � 1 ). � En la teoria de deformació infinitesimal ( x � X � F � 0 �x � 1 ). �X 2.13.4 Interpretació física del tensor velocitat de rotació w Partint de l’equació (2.94) i en ser w un tensor antisimètric (definit, per tant, mitjançant només tres components diferents), es pot extreure d’aquest el vector: N O T A Observeu la similitud en l’estructura dels tensors � i � de la secció 2.11.6 i els tensors w i � . � � �v 2 �v 3 �� ��� � �� �� � � �x3 �x 2 �� �� w � 23 �v � � 1 1 � � �v 1 � � rot ( v ) � � � v � � � �� 3 � 1 �� � � �� � w 31 �� 2 2 � � �x1 �x3 � � 2 � � w 12 �� � � �v �v �� � � � �� 2 � 3 ��� � � �x3 �x 2 �� (2.99) � �� r � w �r r ê 3 ê1 ê 2 Figura 2-22 El vector 2� � � � v s’anomena vector vorticitat. És possible demostrar (la demostració és totalment anàloga a la de la Observació 2-20) que es compleix la igualtat següent: �� r � w �r �r (2.100) i que, per tant, és possible caracteritzar � com la velocitat angular d’un moviment de rotació, i � � r � w � r com la velocitat de rotació d’aquell punt 62 2 Descripció de la deformació que té r com a vector de posició respecte al centre de rotació (vegeu la Figura 2-22). A partir d’aquí, i considerant les equacions (2.90) ( dv � l � dx ) i (2.92) ( l � d � w ), es pot escriure: dv � l � dx � (d � w ) � dx � d �� dx �� velocitat d'estirament w �� dx �� � velocitat de rotació (2.101) Això permet descriure la velocitat relativa dv de les partícules en l’entorn d’una determinada P (vegeu la Figura 2-23) com la suma d’una velocitat relativa d’estirament (caracteritzada pel tensor velocitat de deformació d ) i una velocitat relativa de rotació (caracteritzada pel tensor espín w o el vector vorticitat �� ). � velocitat d � dx � � ��d' estirament t x3 ê 3 P' dv dx Q' ê1 x1 ê 2 x2 �velocitat � � � � de � � dx � � � rotació w � dx � Figura 2-23 2.14 Derivades materials dels tensors de deformació i altres magnituds 2.14.1 Tensor gradient de la deformació F i gradient de la deformació invers F-1 Derivant respecte al temps l’expressió de F en l’equació (2.3) N O T A S’utilitza aquí el teorema d’igualtat de derivades creuades per a funcions regulars: � 2 (�) � 2 (�) � �� i � j �� j � i Fij � �xi �X, t � dFij � �x i ( X, t ) � �xi ( X, t ) �v i �X, t � � � � � � �X j �X j � �t � �t �X j �X j dt �� � v i �v i (x( X, t )) �x k � lik Fkj � � �x �X ���k�� � ���j l F ik kj � dFij � F�ij � lik Fkj � dt � � � dF not � � F � l�F � � dt i, j �{1,2,3} (2.102) 63 2 Descripció de la deformació on s’ha tingut en compte l’expressió (2.91) per al tensor gradient de la velocitat l . Per obtenir la derivada material del tensor F �1 es deriva la identitat següent: No s’ha de confondre la derivada material del � � � �1 dF tensor invers dt � � . d F �1 �1 �1 �1 � �F �1 � F � F � �F �1 � l � � � F � �F � l � F � dt l�F 1 � � � d F �1 � �F �1 � l �� dt � �1 � dFij � � F �1l i, j �{1,2,3} ik kj �� dt amb l’invers de la derivada material del �� � tensor: F �1 � � d dF �1 d F �1 �F � F� �0 (F � F �1 ) � dt dt dt F � F �1 � 1 � N O T A . Tots dos tensors són diferents. (2.103) 2.14.2 Tensors de deformació E i e De les equacions (2.21), (2.102) i (2.93): . � 1 T dE . 1 � .T � E � �� F � F � F T � F �� � F �F �1 � 2 2� dt � 1 T T 1 F � l � F � F T � l � F � F T � l � lT � F � F T � d � F ��� 2 2 2d E� N O T A Observeu que el resultat és el mateix que l’obtingut en l’equació (2.98) per un procediment alternatiu. � � � � � � (2.104) . � E � FT �d � F Per al tensor espacial de deformació e , de les equacions (2.23) i (2.103) s’obté el següent: e� � 1 1 � F �T � F �1 2 � � � � � � � 1 � d �T de d �1 � F � F �1 � F �T F � � e� � � � 2 � dt dt dt � � 1 T �T �1 l � F � F � F �T � F �1 � l 2 1 � e� � l T � F �T � F �1 � F �T � F �1 � l 2 � � (2.105) � 2.14.3 Derivades materials de diferencials de volum i d’àrea El diferencial de volum dV �X, t � associat a una determinada partícula, P , varia al llarg del temps (vegeu la Figura 2-24) i, en conseqüència, té sentit calcular la seva derivada material. Derivant l’expressió (2.55) per al diferencial de volum: dV �X, t � � F�X, t � dV0 �X � � dF d dV0 dV �t � � dt dt (2.106) amb la qual cosa la derivada material del determinant del tensor gradient de la deformació F resulta: 64 2 Descripció de la deformació N O T A La derivada del determinant d’un tensor A , respecte al tensor mateix, es pot escriure com: dA dA dA dAij d F d F dFij �1 dFij �1 �1 � � F F ji � F F ji l ik Fkj � F Fkj F ji l ik � F � ki l ik � � � � � dt dFij dt dt ��� � � 1 � �� F�F �� �� lik Fkj ki � � ki �v i � F ��v � � F l ii � F �x i (2.107) � A � A �T dF � A � A �ji1 dt � F ��v on s’han tingut en compte les expressions (2.102) i (2.91). Substituint ara l’equació (2.107) en la (2.106) s’obté finalment, després de considerar l’equació (2.55): d �dV � � (� � v) � F dV0 � �� � v � dV �� dt dV (2.108) t � dt t X3,Z t0 dV0 dV �t � P X1, X P�� P� ê3 ê1 dV �t � dt � X 2 ,Y ê 2 Figura 2-24 – Variació del diferencial de volum Es pot operar de forma similar per obtenir la derivada material del diferencial d’àrea associat a una partícula determinada P i a una direcció n (vegeu la Figura 2-25). El vector diferencial d’àrea associat a la partícula en la configuració de referència, dA( X) � dA N , i en la configuració actual, da(x, t ) � da n , estan relacionats per da � F � dA � F �1 (vegeu l’equació (2.59)) i derivant l’expressió esmentada: dF d d d dA � F �1 � F � dA F �1 � F � dA � F �1 � (da) � dt dt dt dt ��� � ��� � �F �1�l F ��v � � � �� � v � F dA � F �1 � F dA � F �1 � l � ����� ����� da da d (da) � �� � v �da � da � l � da � �(� � v ) 1 � l � dt on s’han considerat les equacions (2.103) i (2.107). � � (2.109) 65 2 Descripció de la deformació t t0 x3 , X 3 dA � dA N N ê3 ê1 x1 , X 1 dA ê 2 da � da n n P� P da x2 , X 2 Figura 2-25 – Variació del diferencial d’àrea 2.15 Moviments i deformacions en coordenades cilíndriques i esfèriques Les expressions i equacions obtingudes en notació intrínseca o compacta són independents del sistema de coordenades considerat. Tanmateix, les expressions en components depenen del sistema de coordenades en què es treballi. A més del sistema de coordenades cartesià, en el qual s’ha treballat en els apartats anteriors, considerarem ara dos sistemes de coordenades curvilínies ortogonals: coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques. Observació 2-23 Un sistema de coordenades curvilínies ortogonals (denominades genèricament {a, b, c} , ve caracteritzat per la seva base física {eˆ a , eˆ b , eˆ c } unitària ( eˆ a � eˆ b � eˆ c � 1 ) els components del qual són ortogonals entre si ( eˆ a � eˆ b � eˆ a � eˆ c � eˆ b � eˆ c � 0 ), tal com passa amb un sistema cartesià. La diferència fonamental és que l’orientació de la base curvilínia va canviant en cada punt de l’espai ( eˆ m � eˆ m (x) m � {a, b, c} ). Així doncs, als efectes que ens interessen aquí, podem considerar un sistema de coordenades curvilínies ortogonals com un sistema de coordenades cartesià mòbil {x �, y �, z �} associat a la base curvilínia {eˆ a , eˆ b , eˆ c } (vegeu la Figura 2-26). Observació 2-24 Els components, d’una certa magnitud de caràcter vectorial ( v ) o tensorial ( T ) en el sistema de coordenades curvilínies ortogonals {a, b, c} , es podran obtenir com els seus components respectius en el sistema cartesià local {x �, y �, z �} : �v a � �v x� � � � � � v � � v b � � � v y� � �v � �v � � c � � z� � � Taa T � ��Tba �� Tca Tab Tbb Tcb Tac � �Tx�x � � Tbc �� � �Ty�x � Tcc �� ��Tz�x � Tx �y� Ty�y� Tz�y� Tx �z� � � Ty�z� � Tz�z� �� 66 2 Descripció de la deformació Observació 2-25 Els components curvilinis dels operadors diferencials (l’operador � i els seus derivats) no són iguals als seus components en el sistema coordenat local {x �, y �, z �} i s’han d’obtenir específicament per a cada cas. El seu valor per a coordenades cilíndriques i esfèriques es proporciona a l’apartat corresponent. 2.15.1 Coordenades cilíndriques La posició d’un cert punt a l’espai es pot definir mitjançant les seves coordenades cilíndriques �r , �, z� (vegeu la Figura 2-26). En la figura esmentada es presenta també la base física ortonormal eˆ r , eˆ � , eˆ z . Aquesta base canvia en cada punt de l’espai d’acord amb: �eˆ r � eˆ � �� �eˆ � � �eˆ r �� (2.110) � x � r cos� � x(r ,� , z ) � � y � r sen � �z � z � y´ z´ z ê z r ê � ê r x´ z � x r y Figura 2-26 – Coordenades cilíndriques En la Figura 2-27 es presenta l’element diferencial corresponent. dS � r d� � zz dz r � r d� � zr � �r � �� dr � �z dV � r d� dr dz � z� � rz � r� � rr dV Figura 2-27 – Element diferencial en coordenades cilíndriques Les expressions en coordenades cilíndriques d’alguns dels elements tractats en aquest capítol són: 67 2 Descripció de la deformació � Operador nabla �� � � � � 1 � eˆ r � eˆ � � eˆ z �z �r r �� �� � � �r � � � 1 �� � ��� � r �� � � � �� � �� �z �� (2.111) Vector de desplaçaments u i vector velocitat v �u r � u � u r eˆ r � u � eˆ � � u z eˆ z � u � ��u � �� ��u z �� (2.112) �v r � v � v r eˆ r � v � eˆ � � v z eˆ z � u � �� v � �� �� v z �� (2.113) Tensor infinitesimal de deformació � �� x�x� � x�y� � x�z� � � � rr 1 �u � � � � �u � � �T � ��� x�y� � y�y� � y�z� �� � ��� r� 2 ��� x�z� � y�z� � z�z� �� � � rz �u 1 �u� u r �u � rr � r ��� � � zz � z � �z r �� r �r � �� � 1 � 1 �u r �u� u� � � � � �r 2 �� r �� r � 1 � �u� 1 �u z � � ��z � � � 2 � �z r �� � � r� ��� ��z � rz � ��z � � � zz � (2.114) �u � 1 � �u � rz � � r � z � �r � 2� �z � r� � En la Figura 2-27 es presenten els components de � sobre l’element diferencial corresponent. � Tensor velocitat de deformació d � d x�x� 1 � T d � �v � � � � �v � � � � �d x�y� 2 �� d x�z � 1 �v� v r �v d rr � r d�� � � r �� r �r � � 1 � 1 �v r �v� v� � � � � �r 2 �� r �� r � 1 �v z � 1 �v d�z � �� � � � 2 � �z r �� � d r� � d x�y� d y�y� d y �z � d x�z� � � d rr � d y�z � � � � d r� � d z�z� �� � d rz d zz � �v z �z �v � 1 � �v d rz � � r � z � �r � 2� �z d r� d�� d�z d rz � d�z � � d zz � (2.115) 68 2 Descripció de la deformació 2.15.2 Coordenades esfèriques Un punt de l’espai està definit per les seves coordenades esfèriques �r , �, ��. Línia coordenades � � x � r sen � cos � � x � x�r , � , � � � � y � r sen � sen � � z � r cos � � z x´ ê r � r ê � z´ ê � � y´ x y Línia coordenada � Figura 2-28 – Coordenades esfèriques En la Figura 2-28 es presenta la base física ortonormal eˆ r , eˆ � , eˆ � . Aquesta base canvia en cada punt de l’espai d’acord amb el següent: �eˆ r � eˆ � �� � �eˆ � � �eˆ r �� �eˆ � �� �0 Operador nabla � � � � � �r � � �eˆ r 1 �eˆ � � 1 1 �eˆ � � � � �� � � �� � r �� � �r r �� r sen � �� � 1 � � � r sen � �� � � � � (2.116) (2.117) Vector de desplaçaments u i vector velocitat v �u r � � � u � u r eˆ r � u � eˆ � � u � eˆ � � u � � u � � �u � � � � �v r � � � ˆ ˆ ˆ v � v r e r � v � e � � v � e � � u � �v � � �v � � � � (2.118) (2.119) 69 2 Descripció de la deformació � Tensor infinitesimal de deformació � �� x�x� � x�y� 1 � T � � �u � � � � �u � � � � �� x�y� � y�y� 2 ��� x�z � � y �z � �u 1 �u � u r � rr � r � �� � � �r r �� r � u u u 1 � � �� � � � cot � � r r sen � �� r r � � � x�z� � �� rr � � � y�z � � � �� �r � z �z� �� ��� r� � r� � �� � �� � r� � � � �� � � �� �� (2.120) 1 � 1 �u r �u� u� � 1 � 1 �u r �u � u � � � � � � r� � � � � �r 2 � r sen � �� �r 2 �� r �� r �� r � � 1 � 1 �u � 1 �u � u � � � � � cot � � 2 � r sen � �� r �� r � � r� � � �� En la Figura 2-29 es presenten els components de � sobre l’element diferencial corresponent. � Tensor velocitat de deformació d �d x�x� d x�y� 1 � T d � �v � � � � �v � � � � �d x�y� d y �y � 2 �� d x�z � d y�z� �v 1 �v� v r d rr � r d�� � � r �� r �r v 1 �v � v � cot � � r d �� � � r sen � �� r r � � d x�z� � � d rr � � d y�z� � � �d r� d z�z � �� �� d r� d r� d �� d�� d r� � � d �� � d �� �� (2.121) 1 � 1 �v r �v � v � � 1 � 1 �v r �v� v� � � � d r� � � � � � � � 2 � r sen � �� 2 � r �� �r r � r � �r � 1 � 1 �v� 1 �v � v � � � cot � � � � 2 � r sen � �� r �� r � d r� � d �� d� � rr z � r� � r� ��� � �r d� � � � �� � r� r y � r� ��� dV � r 2 sen � dr d� d� x Figura 2-29 – Element diferencial en coordenades esfèriques 3 Equacio n s de compatibilitat 3.1 Introducció N O T A C I Ó Aquí es fa servir la notació simplificada: �U i not � U i, j �X j Donat un camp de desplaçaments U( X, t ) suficientment regular, sempre és possible trobar el camp de deformacions corresponent (per exemple, el de Green-Lagrange) mitjançant derivació d’aquest respecte a les coordenades (en aquest cas materials): E ij � 1 �� �U i �U j �U k �U k �� not 1 � �U i , j � U j ,i � U k ,iU k , j � i, j � {1,2,3} � � 2 �� �X j �X i �X i �X j �� 2 (3.1) En cas de deformacions infinitesimals, donat el camp de desplaçaments u(x, t ) , el camp de deformacions s'obté de la manera següent: � ij � 1 �� �u i �u j � 2 �� �x j �x i � not 1 � � u i , j � u j ,i � 2 � � � (3.2) i, j � {1,2,3} Es pot plantejar la pregunta en forma inversa, és a dir: donat un camp de deformacions � �x, t � , és possible trobar un camp de desplaçaments u�x, t � de manera que � �x, t � sigui el seu tensor infinitesimal de deformació? Això no sempre és possible i la resposta la proporcionen les equacions de compatibilitat. L'expressió (3.2) constitueix un sistema de 6 (per la simetria) equacions diferencials en derivades parcials (EDP) amb 3 incògnites u1( x , t ), u2 ( x , t ), u3 ( x , t ) . Aquest sistema està sobredeterminat, ja que existeixen més condicions que incògnites i pot no tenir solució. Per tant, per tal que un tensor simètric de segon ordre � �x, t � correspongui a un tensor de deformacions (i que, per tant, sigui integrable i existeixi un camp de desplaçaments del qual provingui) cal que verifiqui unes determinades condicions. Aquestes condicions s’anomenen condicions o equacions de compatibilitat i garanteixen la continuïtat del medi continu durant el procés de deformació (vegeu la Figura 3-1). 1 8 7 2 9 6 3 4 5 E �X , t � 8 1 9 2 3 7 6 4 Figura 3-1 – Camp de deformacions no compatible 5 3 Equacions de compatibilitat 72 Definició Condicions de compatibilitat: Són les condicions que ha de verificar un tensor simètric de segon ordre perquè pugui ser un tensor de deformació i que, per tant, existeixi un camp de desplaçaments del qual provingui. Observació 3-1 Observeu que per definir un tensor de deformació no es poden escriure de forma arbitrària els 6 components d'un tensor simètric. Cal que aquests verifiquin les condicions de compatibilitat. Observació 3-2 Donat un camp de desplaçaments, sempre podem obtenir, per derivació, un tensor de deformació associat a aquest que verificarà automàticament les condicions de compatibilitat. Així doncs, en aquest cas no té sentit la verificació d'aquestes condicions. 3.2 Exemple preliminar: equacions de compatibilitat d'un camp vectorial potencial Donat un camp vectorial v�x, t � , es diu que és un camp potencial si existeix una funció escalar ��x, t � (anomenada funció potencial) de manera que el seu gradient sigui v�x, t � , és a dir: � v�x, t � � ���x, t � � � � � ���x, t � �v i x, t � �x i � i � {1,2,3} (3.3) Per tant, donada una funció escalar ��x, t � (contínua), sempre és possible definir un camp vectorial potencial v�x, t � del qual aquella sigui el potencial d'acord amb l'equació (3.3). La qüestió que es planteja ara és la inversa: donat un camp vectorial v�x, t � , existeix una funció escalar ��x, t � tal que �� �x, t � � v �x, t � ? En components, això s'escriu de la manera següent: 3 Equacions de compatibilitat �� �� �0 � vx � �x �x �� �� � vy � �0 vy � �y �y �� �� � vz � vz � �0 �z �z 73 vx � (3.4) L’equació (3.4) és un sistema d’EDP amb 3 equacions i amb 1 incògnita ( �(x, t ) ), per la qual cosa està sobredeterminat i pot no tenir solució. Derivant una vegada les expressions (3.4) respecte a ( x, y, z ) s’obté el següent: �v x � 2 � � 2 �x �x �v y � 2� � �x �y�x �v z � 2� � �x �z�x R E C O R D A T O R I El teorema de Schwartz (igualtat de derivades creuades) garanteix que per a una funció � 2� � 2� � �xi �x j �x j �xi �i, j �v x � 2� � �z �x�z �v y � 2� � �z �y�z �v z � 2 � � 2 �z �z (3.5) L'equació (3.5) representa un sistema de 9 equacions. Considerant el teorema de Schwartz, es pot veure que en aquestes 9 equacions intervenen 6 funcions (derivades segones) diferents de la incògnita � , és a dir: � 2� � 2� � 2� � 2� � 2� � 2� , , , , , �x 2 �y 2 �z 2 �x�y �x�z �y�z � ( x1 , x 2 .....x n ) contínua i amb derivades contínues es compleix: �v x � 2� � �y �x�y �v y � 2 � � 2 �y �y �v z � 2� � �y �z�y (3.6) Per aquest motiu les podem eliminar del sistema original (3.5) i establir 3 relacions, denominades condicions de compatibilitat, entre les derivades parcials primeres dels components de v�x, t � . Per tant, perquè existeixi una funció escalar ��x, t � tal que ���x, t � � v�x, t � , el camp vectorial v�x, t � ha de verificar les equacions de compatibilitat següents: �v y �x �v x �z �v z �y def � �v x � 0 � Sz � �y � �S x � def �� �v z � � � 0 � S y � on S � �S y � � � �x �S � � � z� def �v y � � 0 � Sx � � �z �� � eˆ 1 � �x vx eˆ 2 � �y vy eˆ 3 not � � rot v � � � v �z vz (3.7) En conseqüència, de l'equació (3.7), les equacions de compatibilitat es poden escriure com: �� � v � 0 Equacions de compatibilitat � d' un camp � � �v i �v j � �x � �x � 0 vectorial potencial i � j i, j � {1,2,3} (3.8) 3 Equacions de compatibilitat 74 R E C O R D A T O R I Un teorema de la geometria diferencial estableix que la divergència del rotacional de qualsevol camp és nul·la: Observació 3-3 Les 3 equacions de compatibilitat (3.7) o (3.8) no són independents entre si i es pot establir una relació funcional entre elles. En efecte, aplicant la condició que la divergència del rotacional d'un camp vectorial és nul·la, s'obté el següent: � � �� � v � � 0 � � �� � (�) � � 0 3.3 Condicions de compatibilitat per a les deformacions infinitesimals Sigui el camp de deformacions infinitesimals �(x, t ) de components: � ij � 1 �� �u i �u j � 2 �� �x j �x i � 1 � � u i , j � u j ,i � 2 � � � i, j � {1,2,3} (3.9) que es pot descriure matricialment mitjançant: �� xx ��� � ��� xy �� xz � � xy � yy � yz 1 � �u x �u y � � � � �x �� 2 �� �y �u y � �u x � �x � xz � � � � � � yz � � � � zz �� � � �( simètric) � �y � 1 � �u x �u z � � � � �� �x � � 2 � �z 1 � �u y �u z �� � �� � 2 �� �z �y ��� �u z � � �z � (3.10) A causa de la simetria de l'equació (3.10) només s'obtenen 6 equacions diferents: � xx � � yy � � zz � �u x �0 �x �u y �y �0 �u z �0 �z 1 � �u x �u y � � ��0 � �x �� 2 �� �y �u � 1 � �u � � x � z ��0 �x � 2 � �z � xy � � xz � yz � (3.11) 1 � �u y �u z � � ��0 � �y �� 2 �� �z L'equació (3.11) és un sistema de 6 EDP amb 3 incògnites, que són els components del vector de desplaçaments u(x, t ) . En general, aquest problema no tindrà solució llevat que es verifiquin determinades condicions de compatibilitat. Per obtenir aquestes condicions es deriven dues vegades les equacions (3.11) respecte a les coordenades espacials i s'obté el següent: 3 Equacions de compatibilitat 75 �u � � � 2 � � xx � x � �x � � � 6 equacions � x 2 , �y 2 , �z 2 , �xy, �xz, �yz � � � � (3.12) � 1 � �u y �u z � �� � � 2 � � yz � �� � � 2 � �z �y �� �� � � 6 equacions � x 2 , �y 2 , �z 2 , �xy, �xz, �yz que proporcionen un total de 36 equacions. � 2� xx � 3u x � �x 2 �x 3 � 2� yz � 2� xx � 3u x � �y 2 �x�y 2 � 2� yz �x 2 �y 2 � 2� xx � 3u x � �z 2 �x�z 2 � � 2� yz �z 2 � 2� xx � 3u � 2x �x�y �x �y � 2� yz � 2� xx � 3u � 2x �x�z �x �z � 2� yz �x�y �x�z 3 � 3u z �� 1 �� � u y � 2 �� �z�x 2 �y�x 2 �� � � � � � 3 1 �� � u y � 3u z �� � 2 �� �z�y 2 �y 3 �� 3 � 3u z �� 1 �� � u y � 2 �� �z 3 �y�z 2 �� 3 � 3u � 1 �� � u y � 2z � 2 �� �z�x�y �y �x �� 3 � 3u z �� 1 �� � u y � 2 �� �z 2 �x �y�x�z �� � � xx � ux � �y�z �x�y�z ������� 3 � 3u � 1 �� � u y � 2z � 2 �y�z 2 �� �z �y �y �z �� ����� ������� � (per a � xx , � yy , � zz � 18 equacions) (per a � xy , � xz , � yz � 18 equacions) 2 � 2� yz 3 (3.13) � En aquestes 36 equacions intervenen totes les terceres derivades possibles de cada component dels desplaçaments u x , u y y u z . Es tracta, per tant, de 30 derivades diferents: � 3u x � 10 derivades �x 3 , �x 2 y, �x 2 z, �y 3 , �y 2 x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz � 3u y �x 3 , �x 2 y, �x 2 z, �y 3 , �y 2 x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz � 10 derivades (3.14) 3 � uz � 10 derivades �x , �x y, �x z, �y , �y x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz 3 2 2 3 2 que constitueixen les 30 incògnites del sistema de 36 equacions � � 3ui � 2 � ij , fn � � �x j �x k �xl �x k �xl ������ 30 definit a (3.13). � � n � 1....36 � � (3.15) 3 Equacions de compatibilitat 76 Per tant, d'aquest sistema es poden eliminar les 30 incògnites derivades dels desplaçaments � 3u i i s’obtenen 6 equacions, en les quals no apareixeran �x j �x k �xl aquestes terceres derivades, on intervindran les 21 segones derivades del tensor de deformacions � 2 � ij �x k �xl . Després de les operacions algebraiques corresponents, aquestes equacions queden de la següent manera: � def � 2� yy � 2� zz � 2� yz S �0 � � � 2 � xx �y�z �y 2 �z 2 � � def � 2� � 2� xz � 2� xx zz �S yy � �0 � � 2 �x�z �z 2 �x 2 � � def � 2� � 2� xy � 2� yy xx � S � �0 � � 2 zz Equacions �x�y �x 2 �y 2 �� � � def de � 2� zz � � �� yz �� xz �� xy � ��0 � � � � compatibilitat �S xy � � � �x�y �z �� �x �y �z �� � 2 � def � � yy � � �� yz �� xz �� xy � ��0 S � � � � � � xz � �x�z �y �� �x �z �� �y � � def � 2� � � �� yz �� xz �� xy � xx ��0 � � �� � � �S yz � � �y�z �x � �x �z �� �y �� (3.16) que constitueixen les equacions de compatibilitat per al tensor infinitesimal de deformació � . L'expressió compacta corresponent a les 6 equacions (3.16) és: Equacions de compatibilitat per al tensor infinitesimal de deformació � S � � � �� � � � � 0 (3.17) Observació 3-4 Les 6 equacions (3.16) no són funcionalment independents i, aprofitant de nou el fet que la divergència del rotacional d'un camp és intrínsecament nul·la, es poden establir entre elles les relacions funcionals següents: � �S xx �S xy �S xz � � �0 � �y �z � �x �� �S xy �S yy �S yz � � S � � � (� � �� � � �) � 0 � � �0 � � �z �y � �x � �S �S �S � xz � yz � zz � 0 �z �y �� �x Una altra forma d'expressar les condicions de compatibilitat (3.16) és fent servir l'operador de tres índexs denominat operador de permutació ( eijk ): 77 3 Equacions de compatibilitat Observació 3-5 L'operador de tres índexs denominat operador permutació ve donat per: � 0 � si algun índex es repeteix : ( i � j o i � k o j � k) � ijk � {123, 231,312} eijk � � 1 � sentit positiu (horari) d' índexs : �- 1 � sentit negatiu (antihorari) d' índexs : ijk � {132, 321, 213} � 1 + 3 _ 2 Figura 3-2 En aquest cas les equacions de compatibilitat es poden escriure així: S mn � emjq enir � ij , qr � 0 (3.18) Finalment, una altra expressió possible de les condicions de compatibilitat és: � ij ,kl � � kl ,ij � � ik , jl � � jl ,ik � 0 i, j, k , l � {1,2,3} (3.19) Observació 3-6 Atès que les equacions de compatibilitat (3.16) involucren només derivades espacials segones dels components del tensor de deformació �(x, t ) , tot tensor de deformació lineal (polinòmic d'ordre 1) respecte a les variables de l’espai serà compatible i, per tant, integrable. Com a cas particular, tot tensor de deformació uniforme �(t ) serà integrable. 3.4 Integració del camp de deformacions infinitesimals 3.4.1 Fórmules preliminars Sigui el tensor de rotació � (x, t ) per al cas de deformacions infinitesimals (vegeu el capítol 2, apartat 2.11.6): 3 Equacions de compatibilitat 78 1 � �� � 2 �u � � � � � u � � � � �u � �� ij � 1 � �ui � j � i, j,� {1,2,3} �� 2 �� �x j �x i �� (3.20) i el vector rotació �(x, t ) , associat a aquest, definit com: � �1 � �� � 23 � �� � yz � 1 1 � � � � rot u � � � u � ��� 2 �� � �� � � 31 �� � � � � zx � 2 2 �� � 3 �� �� � �12 �� ��� � xy �� R E C O R D A T O R I El tensor � és antisimètric �� � 0 �� � 12 � �� � 31 � 12 0 � � 23 � � 31 � � 23 �� 0 �� (3.21) Derivant el tensor de rotació (3.20) respecte a la coordenada x k s'obté el següent: � ij � 1 �� �u i �u j � 2 �� �x j �x i � �� ij 1 � � �u i �u j � � � � � � � � �x k 2 �x k � �x j �x i � � Sumant i restant en l'equació (3.22) el terme següent: �� ij �x k � � 1 � � �u i �u j � � 2 �x k � �x j �x i (3.22) 2 1 � uk i reordenant s'obté el 2 �xi �x j � 1 � 2uk 1 � 2uk � � �� � 2 �x i �x j 2 �x i �x j � 1 � �u i �u k � � 1 �� �u j �u k �� �� ik �� jk � �� � � � � �x j 2 �� �x k �x i �� �x i 2 �� �x k �x j �� �x j �x i ������� ������� �ik � jk (3.23) L'equació (3.23) es pot fer servir ara per calcular les derivades cartesianes dels components del vector velocitat de rotació, �(x, t ) , de l'equació (3.21), i s’obté el següent: �� yz �� xz �� xy � ��1 � �� � � �y � �z �x x � �� �� �� yz �� yz �� yy � �1 � � 1 � � � � � �y �y �z y � � �� �� yz �� zz �� zy � 1 �� � � �y �z �z �� �z (3.24) �� zx �� xx �� xz � �� 2 � �x � � �x � �z � �x � �� zx �� xy �� yz � �� � � �� 2 � � 2 � � �x �z �y � �y � �� 2 �� zx �� xz �� zz �� � � � �z �z �x � �z (3.25) 3 Equacions de compatibilitat �� xy �� xy �� xx � �� 3 � � �� � �x �x �y � �x �� �� � � xy � � � � xy yy �� 3 � � 3 � � � � �y �x �y � �y � �� � � � � � � xy yz � 3 �� � xz � �y �x �z �� �z 79 (3.26) Suposem ara que coneixem el vector de rotació �(x, t ) i, a través seu mitjançant les equacions (3.21), el tensor de rotació �(x, t ) . Considerant el tensor gradient dels desplaçaments J (x, t ) (vegeu el capítol 2, apartat 2.11.6) es pot escriure el següent: �u(x, t ) � �J � �x � � � � � � � � � � � J � �u i � 1 � �u i � �u j � � 1 � �u i � �u j � � � � � i, j �{1,2,3} ij ij � ij �x j 2 � �x j �xi � 2 � �x j �x i � ��������� ��������� � �ij �� �ij (3.27) Finalment, escrivint de forma explícita els diversos components de l'equació (3.27) i tenint en compte l'equació (3.21) s'obté el següent: N O T A D'acord amb l'equació (3.21), el tensor � es pot escriure com: �� � 0 �� � 12 � �� � 31 � 0 �� � 3 �� � � 2 � 12 0 � � 23 � �3 0 �1 � � 31 � � 23 �� � 0 �� �2 � � �1 �� 0 �� j �1 �u x i � 1: � � xx �x �u y i � 2: � � xy � � 3 �x �u z i � 3: � � xz � � 2 �x j�2 �u x � � xy � � 3 �y �u y � � yy �y �u z � � yz � �1 �y j �3 �u x � � xz � � 2 �z �u y � � yz � �1 �z �u z � � zz �z (3.28) 3.4.2 Integració del camp de deformacions Sigui �( x, t ) el camp de deformacions infinitesimals que es vol integrar. Aquesta operació es farà en dos passos: 1) Utilitzant les expressions (3.24) a (3.26), s'integra el vector de rotació �(x, t ) . La integració, respecte a l'espai, del vector de rotació en les equacions (3.24) a (3.26) portarà a solucions del tipus: ~ �i � �i �x, y , z, t � � ci (t ) i � {1,2,3} (3.29) on les constants d'integració, ci (t ) , que en general poden ser funció del temps, es poden determinar coneixent el valor (o l'evolució al llarg del temps) del vector de rotació en algun punt del medi. 3 Equacions de compatibilitat 80 2) En un segon pas, coneguts ara el tensor de deformació infinitesimal �(x, t ) i el vector de rotació �(x, t ) , s'integra el camp de desplaçaments u(x, t ) fent servir el sistema d’EDP de primer ordre (3.28) i s’obté el següent: u i � u~i �x, y, z , t � � c i' �t � i � {1,2,3} (3.30) Novament, les constants d'integració ci� (t ) que apareixen en l'equació (3.30), que en general seran funció del temps, es determinaran coneixent el valor (o l'evolució al llarg del temps) dels desplaçaments en algun punt de l'espai. Observació 3-7 Els processos d'integració dels passos 1) i 2) impliquen integrar sistemes d’EDP de primer ordre. Si es compleixen les equacions de compatibilitat (3.16), aquests sistemes seran integrables (sense portar a contradiccions en la seva integració) i permetran, finalment, obtenir el camp de desplaçaments. Observació 3-8 L'aparició de les constants d'integració en les equacions (3.29) i (3.30) posa de manifest que un tensor de deformació integrable, �(x, t ) , determina el moviment en cada instant de temps llevat d’una rotació not not c(t ) � �ˆ (t ) i una translació c �(t ) � uˆ (t ) : N O T A El tensor de rotació de ˆ (t ) sòlid rígid � ���( x, t ) � ~ � (x, t ) � �ˆ (t ) �(x, t ) � � ~ (x, t ) � uˆ (t ) ��u (x, t ) � u (antisimètric) es construeix a partir del vector de rotació �ˆ (t ) com: A partir d’aquesta rotació �ˆ (t ) i translació uˆ (t ) uniformes, es pot construir el camp de desplaçaments següent: ˆ � � ˆ (t ) x � uˆ (t ) ( � u � � � � � ˆ ) u � ( x, t ) � � ˆ ˆ � � 0 � �� 12 31 � � ˆ ˆ 0 � � � 12 23 �� � ˆ ˆ � �� 0 � � 23 � � 31 ˆ ˆ � 0 � �3 �2 � � � ˆ 0 � �ˆ 1 � � �3 �� �ˆ 0 � �ˆ 1 � � 2 que es denomina moviment de sòlid rígid. En efecte, la deformació associada al desplaçament esmentat és nul·la: 1 1 ˆ ˆT �� � � (x, t ) � � S u * � ( u � � � � � � u � � � (� �) � 0 2 2 ˆ �� tal com correspon al concepte de sòlid rígid (sense deformació). Per tant, es pot concloure que tot camp de deformació compatible determina els desplaçaments del medi continu llevat un desplaçament de sòlid rígid, el qual s’ha de determinar amb les condicions de contorn apropiades. 81 3 Equacions de compatibilitat Exemple 3-1 Per a un cert moviment, el tensor de deformació infinitesimal té el valor següent: y 3 2 � � � x z� � 8x 2 2 � y � x 0 � � ( x, t ) � � � � 2 � �3 2 3 � x � �� 2 x z 0 � Obteniu el vector de desplaçaments u(x, t ) i el tensor de rotació �(x, t ) sabent que u(x, t ) | x � (0, 0,0) � {3t ,0,0}T y � (x, t ) | x � (0, 0,0) � 0 . T T 1) Vector de rotació Plantejant els sistemes d'equacions(3.24) a (3.26), s'obté el següent: ��1 �0 �x �� 2 � �3 xz �x �� 3 �0 �x ��1 ��1 �0 ; �0 � �1 � C1 (t ) �y �z �� 2 �� 2 3 3 ; � � x 2 � � 2 � � x 2 z � C 2 �t � �0 ; �z �y 2 2 �� 3 �� 3 3 3 ; ; �0 � � 3 � y � C 3 (t ) � �z �y 2 2 Les constants d'integració C i (t ) es determinen imposant que � (x, t ) | x � (0, 0,0) � 0 (i, per tant, el vector de rotació �(x, t ) | x � (0 ,0,0 ) � 0 ) i s’obté ; T T el següent: C1 (t ) � C 2 (t ) � C 3 (t ) � 0 i el tensor de rotació és: � 0 �(x) � �� � 3 ��� � 2 � �3 0 �1 2) Vector de desplaçaments � � � �� �( x ) � � � � � �� � � 3 2 �� x z� 2 � 3 y � �� 2 0 3 3 � � 0 � y � x 2 z� � 2 2 �2 � � � 3 � �1 �� � � y 0 0 � � 2 � 0 �� � 3 2 � 0 0 x z �� 2 �� Plantejant, i integrant, els sistemes d'equacions (3.28) s’obté: �u1 �u1 �u1 ; �0 � u1 � 4 x 2 � y 2 � C1' (t ) � �2 y ; � 8x �z �y �x �u 2 �u 2 �u 2 ; ; �0 � u 2 � xy � C 2' (t ) �x �y �z �y �x �u 3 �u 3 �u 3 ; � 3x 2 z ; �0 � x 3 � u 3 � x 3 z � C 3' (t ) �x �y �z 3 Equacions de compatibilitat 82 i imposant que u(x, t ) | x � (0, 0,0) � {3t ,0,0}T : T C1 (t ) � 3 t ; C 2 (t ) � C 3 (t ) � 0 � �4 x 2 � y 2 � 3t � � � xy u(x, t ) � � � 3 � � x z � � 3.5 Equacions de compatibilitat i integració del tensor velocitat de deformació Tenint en compte les definicions dels tensors de deformació infinitesimal � del tensor de rotació � i del vector de rotació � , hi ha una clara correspondència entre aquestes magnituds i a) el tensor velocitat de deformació d , b) el tensor velocitat de rotació w (o tensor spin) i c) el vector velocitat de rotació � donats al capítol 2. Les correspondències esmentades es poden establir de la següent manera: u � (u) 1 �� �u i �u j � 2 �� �x j �x i � � � � � u � 1 �u j � � � ij � � i � 2 �� �x j �x i �� 1 � � ��u 2 � ij � v � d( v ) 1 �� �v i �v j � 2 �� �x j �x i � � � � � v � 1 �v j � � w ij � � i � 2 �� �x j �x i �� 1 �� ��v 2 d ij � (3.31) És evident, llavors, que el concepte de compatibilitat d'un camp de deformacions � introduït a l'apartat 3.1 es pot estendre, en virtut de la correspondència (3.31), a la compatibilitat d'un camp de velocitat de deformació d(x, t ) . Per integrar aquest camp es podrà fer servir el mateix procediment vist a l'apartat 3.4.2, substituint � per d , u per v , � per w i � per � . Certament, aquesta integració només es podrà dur a terme si es compleixen les equacions de compatibilitat (3.16) en els components de d(x, t ) . Observació 3-9 Les equacions de compatibilitat resultants i el procés d'integració del tensor velocitat de deformació d(x, t ) no estan, en aquest cas, restringits al cas de deformació infinitesimal. 4 Tensió 4.1 Forces màssiques i superficials Considerarem que les forces que poden actuar sobre un medi continu poden ser de dos tipus: forces màssiques i forces de superfície (o superficials). 4.1.1 Forces màssiques Definició Forces màssiques: són les forces que s’exerceixen a distància sobre les partícules de l’interior del medi continu. Exemples d’aquest tipus de forces són les forces gravitatòries, les inercials o les d’atracció magnètica. fV x3 P d fV � � b dV dV ê 3 x1 ê1 ê 2 x2 b Figura 4-1 – Forces màssiques en el medi continu Sigui b�x, t � la descripció espacial del camp vectorial forces màssiques per unitat de massa. Multiplicant el vector de forces màssiques b�x, t � per la densitat � , s’obté el vector de forces màssiques per unitat de volum �b�x, t � (densitat de forces màssiques). La resultant total, f V , de les forces màssiques sobre el volum material V de la Figura 4-1 serà la següent: fV � � � b�x, t � dV V (4.1) 84 4 Tensió Observació 4-1 En la definició de les forces de volum donada a (4.1), s’accepta implícitament l’existència del vector �b�x, t � de densitat de forces màssiques. Això suposa que, donada una seqüència arbitrària de volums �Vi que contenen la partícula P i la seqüència corresponent de forces màssiques f �V , existeix el límit �b�x, t � � lim �Vi �0 i f�Vi �Vi i, a més, és independent de la seqüència de volums considerada. Exemple 4-1 Per a un medi continu, de volum V, situat a la superfície terrestre, obteniu el valor de la resultant de les forces màssiques en funció de la constant gravitatòria g . x3 g ê 3 ê1 ê 2 x2 x1 Figura 4-2 – Camp gravitacional Suposant un sistema d’eixos cartesians (vegeu la Figura 4-2) tal que l’eix x 3 tingui la direcció de la vertical des del centre de la terra, el camp vectorial b�x, t � de les forces gravitatòries per unitat de massa és: � 0 � b�x, t � � �� 0 �� ��� g �� i el valor de les forces màssiques es pot calcular com: � � 0 � � � 0 f V � � � b�x, t � dV � � � � V ��� �V � g dV �� 85 4 Tensió 4.1.2 Forces superficials Definició Forces superficials: forces que actuen sobre el contorn del volum material considerat. Es poden considerar produïdes per les accions de contacte de les partícules situades en el contorn del medi amb l’exterior d’aquest. Sigui t �x, t � la descripció espacial del camp vectorial de forces superficials per unitat de superfície en el medi continu de la Figura 4-3. La força resultant sobre un element diferencial de superfície dS serà t � dS i la resultant total de les forces de superfície actuant en el contorn �V del volum V es podrà escriure com segueix: f S � � t �x, t � dS (4.2) �V t �x, t � V x3 df S � t dS dS ê 3 ê1 x1 T E R M I N O L O G I A En la bibliografia, se sol denominar vector de tracció el vector de forces superficials per unitat de superfície t , encara que aquest concepte es pot estendre a punts de l’interior del medi continu. ê 2 �V x2 Figura 4-3 – Forces superficials Observació 4-2 En la definició de les forces de superfície donada a (4.2) es considera implícitament l’existència del vector de forces superficials per unitat de superfície t �x, t � (vector de tracció). En altres paraules, si es considera una seqüència de superfícies �S i , totes contenint el punt P, i les forces superficials f �S corresponents (vegeu la Figura 4-4), se i suposa que existeix el límit t�x, t � � lim �S i � 0 f �Si �S i i que aquest és independent de la seqüència de superfícies escollida. 86 4 Tensió t �x P , t � x3 �S1 , f �S P ê 3 ê1 x1 1 �S 2 , f �S �S 3 , f �S n ê 2 2 3 x2 Figura 4-4 – Vector de tracció 4.2 Postulats de Cauchy Considerem un medi continu sobre el qual actuen les forces màssiques i superficials corresponents (vegeu la Figura 4-5). Considerem també una partícula P de l’interior del medi continu i una superfície arbitrària, que passa pel punt P i de normal unitària n en aquest punt, que divideix el medi continu en dues parts (volums materials). A la superfície de tall considerada ara com a part del contorn de cada un d’aquests volums materials actuaran les forces superficials produïdes pel contacte entre els dos. Sigui t el vector de tracció que actua en el punt P considerat com a part del contorn del primer d’aquests volums materials. En principi aquest vector de tracció (definit ara en un punt material de l’interior del medi continu original) dependrà: 1) de quina sigui la partícula considerada, 2) de l’orientació de la superfície (definida a través de la normal n) i 3) de quina sigui la mateixa superfície de tall. El postulat següent el fa independent d’aquesta última condició: f1 x3 f3 f3 P ê 3 ê1 x1 f2 ê 2 f1 t x2 Figura 4-5 – Postulats de Cauchy n �n t � � �t P f2 87 4 Tensió R E C O R D A T O R I Un postulat és un ingredient fonamental d’una teoria que es formula com a principi d’aquesta i que, com a tal, no admet demostració. Observació 4-3 1r postulat de Cauchy: El vector de tracció que actua en un punt material P d’un medi continu segons un pla de normal unitària n depèn únicament del punt P i de la normal n t � t �P, n � . n P t �P, n � Observació 4-4 Sigui una partícula P d’un medi continu i considerem diferents superfícies que passen pel punt P de manera que totes tenen el mateix vector normal n en el punt esmentat. D’acord amb el postulat de Cauchy, els vectors de tracció en el punt P, segons cada una d’aquestes superfícies, coincideixen. Al contrari, si la normal a les superfícies a P és diferent, els vectors de tracció corresponents ja no coincideixen (Figura 4-6). � t P , n1 n1 � n 2 � n 3 P � � � n1 t P , n1 � t P , n 2 � � t �P , n � 3 � n2 P � t P, n 2 �1 �3 �2 �2 �1 Figura 4-6 – Vector de tracció en un punt segons diferents superfícies Observació 4-5 2n postulat de Cauchy - Principi d’acció i reacció: El vector de traccions en un punt P d’un medi continu, segons un pla de normal unitària n , és igual i de sentit contrari al vector de traccions en el mateix punt P segons un pla de normal unitària � n en el mateix punt (vegeu la Figura 4-5): t �P, n � � �t �P,�n � � 88 4 Tensió 4.3 Tensor de tensions 4.3.1 Preliminars: aplicació de la 2a llei de Newton a un medi continu Considerem un sistema discret de partícules en moviment, tal que una partícula genèrica i d’aquest té una massa mi , una velocitat v i i una acceleració ai � dv i . Sobre cada partícula i actua, a més, una força fi que es relaciona dt amb la seva acceleració a través de la segona llei de Newton (4.3) fi � mi a i i la resultant R de les forces que actuen sobre totes les partícules del sistema resulta ser: R � � fi � � mi a i i (4.4) i Els conceptes anteriors es poden generalitzar per al cas de medis continus entesos com a sistemes discrets constituïts per un nombre infinit de partícules. En aquest cas l’aplicació de la segona llei de Newton a un medi continu de massa total M , sobre el qual actuen unes forces exteriors caracteritzades pel vector de densitat de forces màssiques �b(x, t ) i el vector de tracció t (x, t ) , les partícules del qual tenen una acceleració a(x, t ) i que ocupa en l’instant t el volum d’espai Vt s’escriu: R � � � b dV � Vt � ��� � Resultant de les forces màssiques � � � � a dV � t dS � � a dm �Vt ��� M �dV Vt Resultant de les forces superficia ls (4.5) 4.3.2 Tensor de tensions Considerem ara el cas particular de volum material constituït per un tetràedre elemental situat al voltant d’una partícula arbitrària P de l’interior del medi continu, orientat segons es mostra a la Figura 4-7. Sense pèrdua de generalitat es pot situar l’origen de coordenades a P. El tetràedre té un vèrtex en P i les seves cares queden definides mitjançant un pla de normal n � �n1 , n2 , n3 �T que intersecta amb els plans coordenats definint una superfície genèrica d’àrea S (la base del tetràedre) a una distància h (l’altura del tetràedre) del punt P . Al seu torn, els plans coordenats defineixen les altres cares del tetràedre d’àrees S1 , S 2 i S 3 amb normals (cap a fora) � ê1 , � ê 2 i � ê3 , respectivament. Per consideracions geomètriques es poden establir les relacions següents: S1 � n1 S S 2 � n2 S S 3 � n3 S (4.6) En la Figura 4-8, s’introdueix la notació per als vectors de tracció a cada una de les cares del tetràedre considerat i associats a les normals corresponents. 89 4 Tensió x3 S2 � ê1 � ê 2 ABC � S S1 C S n P´ A x2 n � �n1 , n 2 , n3 � T S3 � ê 3 x1 APC � S 2 � n 2 S APB � S 3 � n3 S B P BPC � S1 � n1 S Figura 4-7 – Tetràedre elemental al voltant d’un punt material P x3 � t �2 � � ê 2 * � t �1� C P ABC � S � àrea de la base del tetràedre � ê1 P´ PP´ � h � altura del tetràedre t* n 1 V � S h � volum del tetràedre 3 B x2 A x1 PP´ // n * � ê 3 � t �3 � * Figura 4-8 – Vectors de tracció en el tetràedre elemental Pel segon postulat de Cauchy (vegeu l’Observació 4-5) el vector de tracció sobre un punt genèric x d’una de les superfícies S i (de normal cap a fora � ê i ) es pot escriure not (4.7) t (x,�eˆ i ) � �t (x, eˆ i ) � � t (i ) (x) i �{1,2,3} Observació 4-6 Teorema del valor mitjà: Donada una funció (escalar, vectorial o tensorial) contínua a l’interior d’un domini (compacte), la funció assoleix el seu valor mitjà a l’interior del domini esmentat. En termes matemàtics: Donada Donada f �x � contínua contínua en en �, � x* � � � f �x � d� � � � � f �x* � ��� Valor mitjà de f en � En la Figura 4-9 es pot veure la interpretació gràfica del teorema del valor mitjà en una dimensió. 90 4 Tensió f (x) f ( x * )� � � f x* x 1 f ( x ) d� � �� x * � Figura 4-9 – Teorema del valor mitjà En virtut del teorema del valor mitjà el camp vectorial t (i ) (x) , que se suposa continu en el domini S i , assoleix el seu valor mitjà a l’interior d’aquest. Sigui * x *s � S i el punt on s’arriba del valor mitjà i t (i ) � t (i ) (x *s ) el valor mitjà I I * t (x *S esmentat. De forma anàloga, siguin t � ) , � b � �(x V* ) b(x V* ) i �* a * � �(x V* ) a(x V* ) els valors mitjans corresponents dels camps: vector de tracció t (x) en S , densitat de forces màssiques � b(x) i d’acceleració � a(x) , els quals, de nou, en virtut del teorema del valor mitjà, s’assoleixen en els punts, x *s � S i x V* �V de l’interior dels dominis corresponents. En conseqüència es pot escriure: �t (i ) * (x) dS � t (i ) � S i * * i �{1,2,3} Si � t(x) dS � t * �S (4.8) S � �(x) b(x) dV � � b * * �V * * �V V � �(x) a(x) dV � � a V Aplicant ara l’equació (4.5) al tetràedre considerat, es tindrà el següent: � � b dV � � t dS � � t dS � � t dS � � t dS � V S S1 S2 S3 � � � b dV � � t dS � � (�t )dS � � (�t ( 2 ) ) dS � � (�t (3) ) dS � � � a dV (1) V S S1 S2 S3 (4.9) V on s’ha tingut en compte l’equació (4.7). Substituint l’equació (4.8) en l’expressió (4.9), aquesta es pot escriure en termes dels valors mitjans com a: * * * �* b * V � t * S � t �1� S1 � t �2 � S 2 � t �3 � S 3 � � * a * V (4.10) Substituint ara l’equació (4.6) i expressant el volum total de la piràmide com a 1 V � S h l’equació (4.10), es pot escriure com segueix: 3 91 4 Tensió * * * 1 1 * * � b h S � t * S � t �1� n 1 S � t �2 � n 2 S � t �3 � n 3 S � � * a * hS � 3 3 * * * 1 1 * * � b h � t * � t �1� n 1 � t �2 � n 2 � t �3 � n 3 � � * a * h 3 3 (4.11) L’expressió (4.11) és vàlida per a qualsevol tetràedre definit per un pla de normal n situat a una distància h del punt P . Si es considera ara un tetràedre infinitesimal, al voltant del punt P, fent que tendeixi a zero el valor de PP´ � h , però mantenint constant l’orientació del pla ( n = constant), en l’equació (4.11) es té que els dominis S i , S i V col·lapsen en el punt P (vegeu la Figura 4-7), amb la qual cosa els punts dels dominis respectius en els quals s’obtenen els valors mitjans tendeixen també al punt P: � ��� � t �P � � � ��� t�P, n� x *S � x P � �im �t (i ) x *S h �0 � * x S � x P � �im t * x *S , n * i h�0 (i ) i i �{1,2,3} (4.12) i, a més, �1 �im� � * b * h �0 � 3 � �1 h � � �im� � * a * 0 h � � �3 � h� � 0 � (4.13) Prenent ara el límit de l’equació (4.11) i substituint les (4.12) i (4.13) l’expressió (4.11), condueix a: t�P, n � � t �1�n1 � t �2 �n 2 � t �3 �n 3 � 0 � t �P, n � � t �i �n i � 0 (4.14) El vector de traccions t �1� es pot escriure en funció dels seus components cartesians, vegeu la Figura 4-10, com segueix: t �1� � �11eˆ 1 � �12 eˆ 2 � �13 eˆ 3 � �1i eˆ i x3 x3 P x1 ê1 �13 t �1� ê 3 n (4.15) ê 2 ê 3 P x2 � 11 ê1 �12 ê 2 x2 x1 Figura 4-10 – Descomposició en components del vector de tracció t �1� Operació que es pot fer en forma anàloga pels vectors de tracció t ( 2 ) i t (3) (vegeu la Figura 4-11): 92 4 Tensió x3 x3 n ê 3 ê 3 P ê1 t �3 � n ê 2 P x2 ê1 t �2 � x1 ê 2 x2 x1 Figura 4-11 – Vectors de tracció t �2 � i t �3� t �2 � � � 21eˆ 1 � � 22 eˆ 2 � � 23 eˆ 3 � � 2i eˆ i (4.16) t �3 � � � 31eˆ 1 � � 32 eˆ 2 � � 33 eˆ 3 � � 3i eˆ i (4.17) I per al cas general resulta: t �i � ( P ) � � ij eˆ j i, j �{1,2,3} (4.18) � ij ( P) � t (ji ) ( P ) i, j �{1,2,3} (4.19) Observació 4-7 Observeu que en l’expressió (4.19) les funcions � ij són funcions dels (components dels) vectors de tracció t (ji ) ( P) sobre superfícies orientades específicament al punt P. S’emfasitza, doncs, que les funcions esmentades depenen del punt P , però no de la normal n : � ij � � ij (P ) Substituint l’equació (4.19) en la (4.14): t ( P, n) � ni t (i ) � t j ( P, n) � ni t (ji ) ( P) � ni � ij ( P ) i, j �{1,2,3} � t ( P, n ) � n � � ( P ) (4.20) on s’ha definit el tensor de tensions de Cauchy � : � � � ij eˆ i � eˆ j (4.21) 93 4 Tensió Observació 4-8 Observeu que l’expressió (4.20) t ( P, n) � n � �( P) és consistent amb el primer postulat de Cauchy (vegeu l’Observació 4-3) i que el segon postulat (Observació 4-5) es compleix a partir de: t �P, n � � n � � � � � t � P , n � � �t � P , �n � t �P,�n � � �n � � � Observació 4-9 D’acord amb les expressions (4.18) i (4.21) la construcció del tensor de tensions de Cauchy es realitza a partir dels vectors de tracció segons tres plans coordenats que passen pel punt P (vegeu la Figura 4-12). Tanmateix, mitjançant l’equació (4.20), s’observa que en el tensor de tensions esmentat �(P) es troba la informació sobre els vectors de tracció corresponents a qualsevol pla (identificat pel seu normal n ) que passi pel punt esmentat. t �1� ê 2 P ê1 x1 x3 x3 x3 ê 3 x2 P P x2 x1 t �2 � Figura 4-12 t �3 � x2 x1 4.3.3 Representació gràfica de l’estat tensional en un punt És freqüent acudir a representacions gràfiques del tensor de tensions basades en paral·lelepípedes elementals al voltant de la partícula considerada, amb cares orientades segons els tres plans coordenats, i en el qual els vectors de tracció corresponents es descomponen vectorialment en els seus components normal i tangencial al pla d’acord amb les expressions (4.15) a (4.20) (vegeu la Figura 4-13) 4.3.3.1 Notació científica La representació de la Figura 4-13 correspon al que es coneix com a notació científica. En la notació esmentada la matriu de components del tensor de tensions s’escriu: � �11 � � �� 21 � ��� 31 �12 � 22 � 32 �13 � � 23 � � � 33 �� (4.22) 94 4 Tensió i cada component � ij es pot caracteritzar en funció dels seus subíndexs com: � indica el pla d' actuació �índex i � (pla perpendicular a l' eix x ) � i � � � ij � � indica la direcció de la tensió � índex � j � (direcció de l' eix x ) j � � � t �3 � (4.23) x3 x3 � 33 ê 3 � 31 � 13 ê 2 t �1� x2 ê 1 �11 t �2 � x1 � 32 � 23 � 22 x2 �12 � 21 x1 Figura 4-13 Representació gràfica del tensor de tensions (notació científica) 4.3.3.2 Notació en enginyeria En notació en enginyeria, els components del tensor de tensions de Cauchy s’escriuen (vegeu la Figura 4-14): ��x � � � �� yx � � zx � � xz � � � yz � � z �� � xy �y � yz (4.24) �� a � Tensió normal actuant sobre el pla perpendicu lar a a � � � Tensió tangencial actuant sobre el pla perpendicu lar a l' eix a � �� ab � en la direcció de l' eix b � �� (4.25) z �z � zy � zx � xz �x � yz � xy � yx �y y x Figura 4-14 – Representació gràfica del tensor de tensions (notació en enginyeria) 95 4 Tensió 4.3.3.3 Criteri de signes Considerem un partícula P del medi continu i un pla de normal n que passi per (vegeu la Figura 4-15). El vector de tracció t corresponent es pot descompondre en els seus components normal � n i tangencial � n . El signe de la projecció de t sobre n ( � � t � n ) defineix el caràcter de tracció ( � n tendeix a traccionar al pla) o compressió ( � n tendeix a comprimir al pla) del component normal. �n �n � �n t n �� 0 tracció � � t �n � �� 0 compressió �n Figura 4-15 – Descomposició del vector de tracció Aquest concepte es pot utilitzar per definir el signe dels components del tensor de tensions. A aquests efectes en el paral·lelepípede elemental de la Figura 4-13 es distingeix entre cares vistes o positives (la normal cap a fora de la qual va en la direcció positiva del vector de la base i que es veuen a la figura) i les restants cares o cares ocultes o negatives. El criteri de signes per a les cares vistes és el següent: � positives (�) � tracció Tensions normals � ij o � a � �negatives (�) � compressió � positives (� ) � sentit de l' eix b Tensions tangencials � ab � �negatives (�) � sentit contrari a l' eix b N O T A És evident que valors negatius dels components del tensor de tensions redundaran en representacions gràfiques de signe oposat al dels valors positius indicats a les figures. D’acord amb aquests criteris els sentits de les tensions representats en la Figura 4-14 (sobre les cares vistes del paral·lelepípede) corresponen a valors positius dels components del tensor de tensions respectius. En virtut del principi d’acció i reacció ( t �P, n � � �t �P,�n � ) i per a les cares ocultes del paral·lelepípede, els valors positius esmentats dels components del tensor de tensions suposen sentits contraris per a la seva representació gràfica (vegeu la Figura 4-16). z �x � yx � xy �y � yz � zy x � xz � zx y �z Figura 4-16 – Tensions positives en els plans ocults 96 4 Tensió 4.4 Propietats del tensor de tensions Considerem un volum material arbitrari V d’un medi continu i sigui �V el contorn d’aquest volum material. Siguin b�x, t � les forces màssiques que actuen en V i sigui t * �x, t � el vector de tracció prescrit que actua sobre el contorn �V . Siguin, finalment, a� x, t ) el camp vectorial d’acceleracions de les partícules i �� x, t ) el camp tensorial de tensions de Cauchy (vegeu la Figura 4-17). t* z n V ê 3 ê1 b�x, t � x �V �V t * �x, t � x � �V dS dV �b x y ê 2 Figura 4-17 x 4.4.1 Equació de Cauchy. Equació d’equilibri intern El tensor de tensions, les forces màssiques i les acceleracions estan relacionades per la denominada equació de Cauchy: �� � � � � b � � a Equació de � � � ��ij Cauchy � �x � �b j � �a j � i �x � V j ��1, 2,3� (4.26) l’expressió explícita de la qual resulta, en la notació utilitzada en enginyeria: � �� x �� yx �� zx � �x � �y � �z � �bx � �a x � � �� xy �� y �� zy � �by � �a y � � � �z �y � �x � �� �� yz �� z � �bz � �a z � � xz � �z �y � �x (4.27) Si el sistema està en equilibri l’acceleració és nul·la ( a � 0 ), l’expressió (4.26) queda: �� � � � � b � 0 Equació � � � ��ij d'equilibri intern � �x � �b j � 0 � i �x � V j ��1,2 ,3� (4.28) que es coneix com l’equació d’equilibri intern del medi continu. La deducció de les equacions de Cauchy es fa a partir del postulat de balanç de la quantitat de moviment que és objecte d’estudi en el capítol 5. 97 4 Tensió 4.4.2 Equació d’equilibri en el contorn L’equació (4.20) es pot aplicar ara als punts del contorn considerant que el vector de tracció és ara conegut en els punts esmentats ( t � t * ). El resultat és la denominada equació d’equilibri en el contorn: Equació d'equilibri en el contorn ��n � x , t � � � � x , t � � t* � x , t � �� * j �{ 1, 2 ,3 } � ni � ij = t j �x ��V (4.29) 4.4.3 Simetria del tensor de tensions de Cauchy Mitjançant l’aplicació del principi de balanç del moment angular (vegeu el capítol 5) es pot demostrar que el tensor de tensions de Cauchy és simètric: � � �T � ij � � ji (4.30) i, j � {1,2,3} Observació 4-10 La simetria del tensor de tensions permet que les equacions de Cauchy (4.28) i d’equilibri en el contorn (4.29) es puguin escriure, respectivament, com: �� � � � � b � � � � � � b � � a � �� ji � �� ij � �x � �b j � �x � �b j � �a j � i i ��n � � � � � n � t * (x, t ) � * ��ni � ij � � ji ni � t j �x, t � �x � V i, j � �1,2,3� �x � �V �x � �V i, j �{1,2,3} Exemple 4-2 Un medi continu es mou amb un camp de velocitats la descripció espacial del qual és v(x, t ) � �z, x, y�T . El tensor de tensions de Cauchy és de la forma: � y g(x, z, t) 0� � � ��h(y) z(1 + t) 0�� �� 0 0 0�� Determineu les funcions g, h i la forma espacial de les forces de volum b(x, t ) que generen el moviment. Resolució Sabem que el tensor de tensions és simètric; per tant: � � �T on C és una constant. � h( y ) � C � h( y ) � g ( x, z, t ) � � � g ( x, z, t ) � C A més, la divergència del tensor resulta ser nul·la: 98 4 Tensió �� ��� � � � �x � �y �y �� � C � �z �� � �� 0 per tant, l’equació de Cauchy quedarà: C 0� z (1 � t ) 0�� � �0 0 0� 0 0�� � � � � �b � �a � �� b �a � �� � 0 � i aplicant la fórmula de la derivada material de la velocitat: �v dv �v �0 � v � �v � �t dt �t ��� � �x � �0 1 0� ��� � � � � v v � � � z x y � ��0 0 1�� � � � �y � ��1 0 0�� ��� � � � �z � �0 1 0 � a � v � �v � �z x y � � ��0 0 1�� � �y z x � ��1 0 0�� a� � b ( x , t ) � a ( x, t ) � � y z x� T 4.4.4 Diagonalització. Tensions i direccions principals R E C O R D A T O R I Un teorema de l’àlgebra tensorial garanteix que tot tensor de segon ordre simètric diagonalitza en una base ortonormal i els seus valors propis són reals. Considerem el tensor de tensions � . En tractar-se d’un tensor de segon ordre simètric diagonalitza en una base ortonormal i els seus autovalors són reals. Considerem, doncs, la seva matriu de components a la base cartesiana ( x, y, z ) de treball (vegeu la Figura 4-18): �� x � � � �� xy �� xz � � xy �y � yz � xz � � � yz � � z �� (4.31) ( x, y , z ) En el sistema cartesià ( x�, y�, z�) en què � diagonalitza, la seva matriu de components serà: ��1 � � �� 0 �� 0 0 �2 0 0� 0 �� � 3 �� ( x�, y�, z�) Definicions Direccions principals (de tensió): Les direccions, associades als eixos ( x�, y�, z�) , en les quals el tensor de tensions diagonalitza. Tensions principals: Els valors propis del tensor de tensions (�1 , � 2 , � 3 ) . En general, se suposaran ordenades de la forma {�1 � � 2 � � 3 } . (4.32) 99 4 Tensió z´ �3 �2 y´ �1 z z x´ y´ z´ y � x´ x � � y x Figura 4-18 – Diagonalització del tensor de tensions Per obtenir les direccions i tensions principals, s’ha de plantejar el problema d’autovalors associat al tensor � . És a dir, si � i v són un autovalor i el seu corresponent autovector, respectivament, es planteja: � � v � �v � �� � � 1� � v � 0 (4.33) perquè la solució d’aquest sistema sigui no trivial (diferent de v � 0 ), el determinant de (4.33) ha de ser igual a zero, és a dir: det �� � � 1� not � ��� 1 �0 (4.34) L’equació (4.34) és una equació polinòmica de tercer grau en � . Sent el tensor � simètric, les seves tres solucions ( � 1 � �1 , � 2 � � 2 , � 3 � � 3 ) són reals. Una vegada trobats els autovalors i ordenats segons el criteri �1 � � 2 � � 3 , es pot obtenir el vector propi v (i ) per a cada tensió � i , resolent el sistema (4.33): �� � � i 1�� v (i ) � 0 i �{1,2,3} (4.35) que proporciona una solució no trivial per als autovectors v (i ) , ortogonals entre si, la qual, una vegada normalitzada, defineix els tres elements de la base corresponents a les tres direccions principals. Observació 4-11 D’acord amb la interpretació gràfica dels components del tensor de tensions de l’apartat 4.3.3, sobre les cares del paral·lelepípede elemental associat a les direccions principals de tensió no actuen més que unes tensions normals que són, precisament, les tensions principals (vegeu la Figura 4-18). 100 4 Tensió 4.4.5 Tensió mitjana i pressió mitjana Definició Tensió mitjana: És el valor mitjà de les tensions principals. �m � 1 ��1 � � 2 � � 3 � 3 Observant la matriu de components del tensor de tensions en les direccions principals (4.32), resulta: �m � 1 ��1 � � 2 � � 3 � � 1 Tr �� � 3 3 Definició Pressió mitjana: És la tensió mitjana canviada de signe not 1 pressió mitjana � p � �� m � � �� 1 � � 2 � � 3 � 3 Definició Estat de tensió hidrostàtic: És aquell en el qual les tres tensions principals són iguals: �1 � � 2 � � 3 �� 0 0 � � � � �� 0 � 0 �� � � 1 �� 0 0 ��� N O T A Es defineix com a tensor isòtrop aquell que és invariant davant qualsevol canvi de base ortogonal. L’expressió més general d’un tensor isòtrop de segon ordre és T � � 1 , sent � un escalar qualsevol. Observació 4-12 Un estat de tensió hidrostàtic implica que el tensor de tensions és isòtrop i, per tant, que la seva matriu de components és la mateixa en qualsevol sistema de coordenades cartesianes. En conseqüència, qualsevol direcció és la direcció principal i l’estat tensional (vector de tracció) és el mateix per a qualsevol pla. (4.36) 101 4 Tensió 4.4.6 Descomposició del tensor de tensions en les seves parts esfèrica i desviadora El tensor de tensions � es pot descompondre en una part (o component) esfèrica � esf i una part desviadora �´ : N O T A Aquest tipus de descomposició es pot fer amb qualsevol tensor de segon ordre. � � � esf � �´ � � Part esfèrica (4.37) Part desviadora on la part esfèrica es defineix com: � esf �� m 1 : � Tr �� �1 � � m 1 � �� 0 3 �� 0 def 0 �m 0 � 0 �� � m �� 0 (4.38) on � m és la tensió mitjana definida en (4.36). Per la definició (4.37) la part (o component) desviadora del tensor de tensions serà: �´� � � � esf �� x � � �� xy � � xz � � xy �y � yz � xz � �� m � � yz � � �� 0 � z �� �� 0 0 �m 0 0 � 0 �� � m �� (4.39) resultant: �� x � � m � �´� � � xy � � xz � � xy � y � �m � yz � � ��x � � � � ���xy � z � � m �� �� ��xz � xz � yz ��xy ��y ��yz ��xz � � ��yz � � �z �� Observació 4-13 La part esfèrica del tensor de tensions � esf és un tensor isòtrop (i defineix un estat tensional hidrostàtic) i, per tant, és invariant davant un canvi de base ortogonal. Observació 4-14 El component desviador del tensor és un indicador de quant s’aparta l’estat tensional d’un hidrostàtic (vegeu l’equació (4.39) i l’Observació 4-13). Observació 4-15 Les direccions principals del tensor de tensions i del seu component desviador coincideixen. La demostració és trivial tenint en compte que, de l’Observació 4-13, la part esfèrica � esf és diagonal en qualsevol sistema de coordenades. En conseqüència, en l’equació (4.39), si � diagonalitza en una certa base, també ho fa � � . (4.40) 102 4 Tensió Observació 4-16 La traça del tensor (component) desviador és nul·la. Tenint en compte les equacions (4.36) i (4.39): Tr (�´) � Tr (� � � esf ) � Tr (�) � Tr (� esf ) � 3� m � 3� m � 0 4.4.7 Invariants tensorials R E C O R D A T O R I Els tres invariants fonamentals del tensor de tensions (o invariants I) són: Els invariants tensorials són combinacions algebraiques escalars dels components d’un tensor, que no canvien en canviar la base. I2 � I 1 � Tr (�) � � ii � � x � � y � � z (4.41) � � (4.42) I 3 � det �� � (4.43) 1 � : � � I 12 � ���1 � 2 � �1 � 3 � � 2 � 3 � 2 Qualsevol combinació dels invariants I és, al seu torn, un altre invariant. Així es defineixen els següents invariants J : (4.44) J 1 � I 1 � � ii J2 � J3 � � � � (4.45) � (4.46) 1 1 1 2 I 1 � 2 I 2 � � ij � ji � �� : � � 2 2 2 1 3 1 1 I 1 � 3I 1 I 2 � 3I 3 � Tr �� � � � � � � � ij � jk � ki 3 3 3 Observació 4-17 Per a un tensor purament desviador � � els invariants J corresponents resulten ser (vegeu l’Observació 4-16 i les equacions (4.41) a (4.46)): � � J 1´� I 1� � 0 J 1 � I 1 � 0� � 1 1 � � J 2 � I 2 � � �´ � � J 2 ´� I 2� � �� � : � �� � � �ij ��ji 2 2 � � J 3 �I 3 � 1 � �� J 3 ´� I � 3� 3 ��ij ��jk ��ki � � 103 4 Tensió 4.5 Tensor de tensions en coordenades curvilínies ortogonals N O T A Són aplicables aquí els mateixos conceptes i nocions respecte a sistemes de coordenades curvilínies ortogonals, explicats a l’apartat 2.15 del capítol 2. 4.5.1 Coordenades cilíndriques Considerem un punt a l’espai definit per les coordenades cilíndriques �r , � , z� (vegeu la Figura 4-19): � x � r cos � � x(r , �, z ) � � y � r sin� �z � z � y´ z´ z r ê z ê � ê r x´ z r � x y Figura 4-19 – Coordenades cilíndriques En el punt esmentat considerarem la base física (ortonormal) �eˆ r , eˆ � , eˆ z � i un sistema cartesià d’eixos locals { x´ , y´ , z´ } definit dextrogir. En aquesta base els components del tensor de tensions són els següents: � � x´ � � � � � x´ y � � � x´ z ´ � � x ´ y´ � y´ � y ´ z´ � x ´ z´ � � � r � � y´ z´ � � � � r� � � z´ �� �� � rz � r� �� � �z � rz � � �z � � � z �� dS � r d� �z dz r z � r d� �� dr dV � r d� dr dz � z� � zr � �r � �z (4.47) � rz � r� �r dV Figura 4-20 – Element diferencial en coordenades cilíndriques La seva representació gràfica sobre un paral·lelepípede elemental es pot veure a la Figura 4-20, on s’han dibuixat els components del tensor de tensions en les cares vistes. Observeu que, ara, les cares vistes a la figura no coincideixen amb les cares positives, definides (en el mateix sentit que a l’apartat 4.3.3.3) com aquelles en què la seva normal coincideix (en direcció i sentit) amb un vector de la base física. 104 4 Tensió 4.5.2 Coordenades esfèriques Un punt en l’espai està definit per les coordenades esfèriques �r , �, �� (vegeu la Figura 4-21). Línia coordenada � � x � r sin� cos � � x � x�r , �, �� � � y � r sin� sen � � z � r cos � � z x´ ê r � r ê � z´ ê � � y y´ x Línia coordenada � Figura 4-21 – Coordenades esfèriques Per a cada punt considerarem la base física (ortonormal) �eˆ r , eˆ � , eˆ � � i un sistema d’eixos locals cartesià { x´ , y´ , z´ } definit dextrogir. En aquesta base els components del tensor de tensions són els següents: � � x´ � � � � � x´ y � � � x´ z ´ � � x´ y´ � y´ � y´ z´ � x ´ z´ � � � r � � � y´ z ´ � � � � r � � z´ �� ��� r� � r� �� � �� � r� � � � �� � � � �� (4.48) La representació gràfica dels components del tensor de tensions en coordenades esfèriques es pot veure a la Figura 4-22, on s’han dibuixat els components del tensor de tensions en les cares vistes. d� �r z � �� � r� � �� �� d� � � �� r r y � r� � r� �� dV � r 2 sin� dr d� d� x Figura 4-22 – Element diferencial en coordenades esfèriques 105 4 Tensió 4.6 Cercle de Mohr en 3 dimensions 4.6.1 Interpretació gràfica d’estats tensionals El tensor de tensions juga un paper tan crucial en l’enginyeria que, tradicionalment, s’han desenvolupat diversos procediments, essencialment gràfics, per a la seva visualització i interpretació. Els més comuns són els anomenats cercles de Mohr. Sigui P un punt arbitrari d’un medi continu i sigui ��P � el tensor de tensions en el punt esmentat. Considerem un pla arbitrari, amb normal unitària n , que passa per P (vegeu la Figura 4-23). El vector de tracció en el punt P corresponent al pla esmentat és t � � � n . Podem descompondre ara el vector esmentat en els seus components � n , normal al pla considerat, i el component � n tangent al pla esmentat. Considerem ara el component normal � n � � n , on � és el component normal de la tensió sobre el pla, definit d’acord amb el criteri de signes de l’apartat 4.3.3.3: �n � � � n �� � 0 tracció � �� � 0 compressió (4.49) Considerem ara el component tangencial � n , del qual només ens interessarà el seu mòdul: �n � t � �n �n � � � 0 (4.50) �n t n �n Figura 4-23 – Descomposició del vector de tracció Podem caracteritzar ara l’estat tensional en el punt considerat sobre el pla de normal n mitjançant la parella: � ��R (�� �) � � �� � R � (4.51) que, al seu torn, determina un punt del semiplà (x � �, y � �) � R � R � de la Figura 4-24. Si considerem ara tots els plans que passen pel punt P (caracteritzats per totes les possibles normals n (i ) ) i obtenim els valors corresponents de la tensió normal � i i tangencial � i i, finalment, els representem en el semiespai esmentat, obtindrem un núvol de punts del qual ens podem preguntar si ocupa tot el semiespai o està limitat a un lloc geomètric determinat. La resposta a la pregunta esmentada la proporciona l’anàlisi que segueix. 106 4 Tensió � ��1 , �1 � n1 � ��1 , �1 � n 2 � �� 2 , � 2 � �� 2 , � 2 � . . . ni � �� i , � i � �� i , � i � � Figura 4-24 – Lloc geomètric dels punts ��, � � 4.6.2 Determinació dels cercles de Mohr Considerem el sistema d’eixos cartesians associat a les direccions principals del tensor de tensions. En aquesta base, els components del tensor seran: ��1 � � �� 0 �� 0 0 �2 0 0� 0 �� amb �1 � � 2 � � 3 � 3 �� (4.52) i el vector de tracció tindrà per components � �1 t � � � n � �� 0 �� 0 0 �2 0 0 � � n1 � � �1 n1 � 0 �� ��n 2 �� � ��� 2 n 2 �� � 3 �� �� n3 �� �� � 3 n3 �� (4.53) on n1 , n 2 , n3 són els components de la normal n a la base associada a les direccions principals. En vista de l’equació (4.53) el component normal de la tensió ( � ), definit en l’equació (4.49), i el mòdul del vector de tracció seran, respectivament: � n1 � t � n � ��1 n1 , � 2 n 2 , � 3 n3 ���n 2 �� � �1 n12 � � 2 n 22 � � 3 n32 � � �� n3 �� 2 t � t � t � �12 n12 � � 22 n 22 � � 32 n32 (4.54) (4.55) També podem relacionar els mòduls del vector de tracció i dels seus components normal i tangencial mitjançant: 2 t � �12 n12 � � 22 n 22 � � 32 n32 � � 2 � � 2 (4.56) on s’ha tingut en compte l’expressió (4.55). Finalment, la condició de normal unitària de n es pot expressar en funció dels seus components com: n � 1 � n12 � n 22 � n32 � 1 (4.57) Les equacions (4.56), (4.54) i (4.57) es poden sintetitzar en l’equació matricial següent: 107 4 Tensió ��12 � 22 � 23 � �n12 � �� 2 � � 2 � � � � � 2� � � �1 � 2 � 3 � �n 2 � � � � � � A � x � b �1 1 1 � �n32 � �� 1 �� � ��� � ���� ��� � ��� � x A (4.58) b El sistema (4.58) es pot interpretar com un sistema lineal amb: a) Una matriu de coeficients, A(�� , definida pel tensor de tensions en el punt P (a través de les tensions principals). b) Un terme independent, b , definit per les coordenades d’un cert punt en el semiespai � � � (representatives, al seu torn, de l’estat tensional sobre un cert pla). c) Un vector d’incògnites x que determina (mitjançant els components de la normal n ) a quin pla corresponen els valors de � i � elegits. Observació 4-18 En principi només seran factibles les solucions del sistema (4.58) els � components del qual x � n12 , n 22 , n32 �0 � � (vegeu l’equació (4.57)). � �0 � �0 � � n12 n 22 n32 � T siguin positius i inferiors a 1 �1 �1 �1 Tota parella (�, �) que condueixi a una solució x que compleixi aquest requisit serà considerat un punt factible del semiespai � � � , el qual és representatiu de l’estat tensional sobre un pla que passa per P. El lloc geomètric dels punts (�, �) factibles és la denominada regió factible del semiespai � � � . Considerem ara l’objectiu de trobar la regió factible. Mitjançant algunes operacions algebraiques, el sistema (4.58) es pot rescriure com: � A 2 2 n12 � 0 �( I ) � � � � � � 1 � � 3 � � � 1� 3 � � � � � 1 3 �� A 2 2 n 22 � 0 �( II ) � � � � � � 2 � � 3 � � � 2� 3 � �2 ��3 � � A �( III ) � � 2 � � 2 � � 1 � � 2 � � � 1� 2 � n32 � 0 �� �1 � � 2 � �� � � � � � � �� A � �1 � � 2 � 2 � � 3 �1 � � 3 � � � � � � � (4.59) Considerem ara, per exemple, l’equació (III) del sistema (4.59). És fàcil comprovar que es pot escriure com: �� � a �2 � � 2 � R 2 � � 1 � ��a � 2 � 1 � � 2 � �R � 1 � � � 1 2 4 �� � (4.60) � � �� 2 2 �� � � � 3 � 1 � � 3 n32 108 4 Tensió que correspon a l’equació d’una semicircumferència en el semiespai � � � de centre C3 i radi R3 : �1 � C3 � � �1 � � 2 ,0� �2 � � R3 � � 1 �1 � � 2 4 � � � 2 � � 2 � �3 �� �1 � �3 � (4.61) n32 Els diferents valors de n32 � �0,1� determinaran un conjunt de semicircumferències concèntriques de centre C 3 i radis R3 (n3 ) en el semiespai � � � , i els punts corresponents ocuparan una certa regió d’aquest. Aquesta regió vindrà delimitada pels valors màxim i mínim de R3 (n3 ) . Observant que el radical de l’expressió de R3 en (4.61) és positiu, aquests valors s’obtindran per a n32 � 0 (el radi mínim) i n32 � 1 (el radi màxim). n32 � 0 � R3mín � � � n32 � 1 � R3max � � 1 �1 � � 2 2 1 � �1 � � 2 � � 3 2 (4.62) El domini delimitat per les dues semicircumferències definirà una primera limitació del domini factible a l’indicat en la Figura 4-25. � R3max R3mín �3 �2 C3 �1 � Figura 4-25 – Primera limitació del domini factible El procés es pot repetir ara per a les altres dues equacions (I) i (II) de (4.59) i s’obtenen els resultats següents: � � � 1 mín � � 1 �R1 � �� 2 � � 3 � 2 C1 � � �� 2 � � 3 �,0 � � � �� 2 ���� � � max � � �R1 � �1 � a1 a1 � � � � max 1 � � �1 � R2 � ��1 � � 3 � 2 C 2 � � ��1 � � 3 �,0 � � � 2 ���� � � mín �� � � R2 � � 2 � a 2 � a2 � � - Equació (I ) : - Equació (II ) : - � � � 1 mín � � 1 � R3 � ��1 � � 2 � 2 Equació (III ) : C 3 � � ��1 � � 2 �,0 � � � �� 2 ���� � � max � � � R3 � � 3 � a 3 a3 � � 109 4 Tensió Per a cada cas es té, com a regió factible, una semicorona definida pels radis mínim i màxim. Evidentment la regió factible final ha d’estar a la intersecció de les semicorones esmentades tal com s’indica en la Figura 4-26). � zona factible màx . 2 R R1màx. R3màx. R1mín. �3 R3mín. R2mín. C1 �2 C2 C3 �1 a1 � a2 a3 Figura 4-26 – Zona factible En la Figura 4-27 es mostra la construcció final resultant dels tres semicercles de Mohr passant pels punts �1 , � 2 i � 3 . � �3 �2 �1 � Figura 4-27 – Cercles de Mohr en tres dimensions Es pot demostrar, a més, que tot punt de l’interior del domini enclòs pels cercles de Mohr és factible (en el sentit que els corresponents valors de � i � corresponen a estats tensionals sobre un cert pla que passa pel punt P). La construcció del cercle de Mohr és trivial (una vegada conegudes les tres tensions principals) i resulta d’utilitat per discriminar possibles estats tensionals sobre plans, determinar valors màxims de les tensions tangencials, etc. Exemple 4-3 Les tensions principals en un punt determinat d’un medi continu són: �1=10 ; �2 = 5 ; �3 = 2 En un pla que passa pel punt esmentat, les tensions normal i tangencial són � i � respectivament. Raoneu si són possibles els valors de � i � següents: a) � = 10 ; � = 1 110 4 Tensió b) � = 5 ; �=4 c) � = 3 ; �=1 Resolució Dibuixant els Cercles de Mohr per a l’estat tensional que ens defineixen i els punts demanats en el semiespai � � � : � Pt. b) Pt. a) Pt. c) ��2 ��5 � � 10 � Només a la zona ombrejada és possible trobar punts que representin estats tensionals (punts factibles). Es comprova que cap dels considerats ho pot ser. 4.7 Cercle de Mohr en 2 dimensions N O T A Aquest tipus de problemes s’analitza amb profunditat al capítol 7, dedicat a l’elasticitat bidimensional. Molts problemes reals en enginyeria s’assimilen a un estat tensional ideal bidimensional en el qual es coneix (o se suposa) a priori quina és una de les direccions principals de tensió. En aquests casos, fent coincidir l’eix cartesià x 3 (o l’eix z ) amb la direcció principal esmentada (vegeu la Figura 4-28), els components del tensor de tensions es poden escriure com: ��11 � � ���12 �� 0 �12 � 22 0 0 � �� x 0 �� � ��� xy � 33 �� �� 0 � xy �y 0 0� 0 �� � z �� (4.63) Considerem ara només la família de plans paral·lels a l’eix x 3 (per tant, el component n3 de la seva normal és nul). El vector de tracció corresponent té l’expressió: � t1 � � �11 t �P, n � � � � n � ��t 2 �� � ���12 �� 0 �� �� 0 �12 � 22 0 0 � � n1 � 0 �� ��n 2 �� � z �� �� 0 �� (4.64) i el seu component t 3 s’anul·la. En les equacions (4.63) i (4.64) els components del tensor de tensions � , de la normal al pla n i del vector tracció t , associats a la direcció x 3 o bé són coneguts (aquest és el cas de �13, � 23 , n3 o t 3 ), o bé no intervenen en el problema (com és el cas de � 33 ). Aquesta circumstància suggereix prescindir de la tercera dimensió i reduir l’anàlisi a les dues dimensions associades als eixos x 1 , x 2 (o x, y ) com s’indica en la Figura 4-28. 111 4 Tensió y y, x 2 y´ �y x´ � xy �x x �z z x, x 1 z, x 3 �y � xy y, x 2 �x �x � xy x, x 1 �y Figura 4-28 – Reducció del problema de tres a dues dimensions Llavors podem definir el problema al pla a partir de: �12 � � � x �� � 22 �� �� xy �� � � � 11 ��12 � t � �� t �P, n � � � � n � � 1 � � � 11 �t 2 � ��12 � xy � � y �� (4.65) �12 � � n1 � � 22 �� ��n 2 �� (4.66) 4.7.1 Estat tensional sobre un pla donat Sigui un pla (sempre paral·lel a l’eix z ) la normal unitària n de la qual forma un angle � amb l’eix x . Es defineix un vector unitari m en la direcció tangencial a la traça del pla i en el sentit indicat a la Figura 4-29. n �� y � � �� � �cos �� �n � � � � sin� � � � �m � � sin�� �� cos �� � � � � t m P x Figura 4-29 – Estat tensional sobre un pla donat 112 4 Tensió Observació 4-19 Tant la normal n com el vector tangent m i l’angle � en la Figura 4-29 tenen associats els sentits següents: � Vector normal n : cap a l’exterior del pla (respecte a la posició del punt P) � Vector tangent m : tendeix a girar en sentit horari respecte al punt P. � Angle � : positiu en el sentit antihorari. Sigui � el tensor de tensions en el punt amb components a la base cartesiana: ��x ��� �� xy � xy � � y �� (4.67) Utilitzant l’expressió (4.66), el vector de tracció en el punt sobre el pla considerat és: ��x t � ��n � � �� xy � xy � �cos �� � � x cos � � � xy sin�� � � y �� �� sin� �� ��� xy cos � � � y sin��� (4.68) Es defineixen la tensió normal � � i la tensió tangencial � � , sobre el pla d’inclinació � (vegeu la Figura 4-29) com: � cos� � �� � t � n � �� � x cos� � �xy sin� , � xy cos� � � y sin ��� � � � sin � � 2 (4.69) 2 � � � � x cos � � � xy 2 sin� cos � � � y sin � � sin � � �� � t � m � �� � x cos� � � xy sin � , � xy cos� � � y sin � �� � � � �cos� � � � � � � x sin� cos � � � y sin� cos � � � xy sin 2 � � cos 2 � que es poden rescriure com: N O T A S’utilitzen aquí les següents relacions trigonomètriques: � sin�2�� � 2 sin� cos �� � 1 � cos�2�� � cos 2 � � � 2 � 1 � cos�2�� � sin 2 � � �� 2 �x � �y �x � �y � � cos�2�� � � xy sin�2�� �� � � � 2 2 � �� � � x � � y sin�2�� � � cos�2�� xy �� � 2 � (4.70) (4.71) 4.7.2 Problema directe: diagonalització del tensor de tensions El problema directe consisteix a obtenir, coneguts els components del tensor de tensions (4.67), en un cert sistema d’eixos x � y , les direccions i tensions principals (vegeu la Figura 4-30). 113 4 Tensió �y �2 � xy y �1 Diagonalització de � �x x´ y´ � x Figura 4-30 – Problema directe i problema invers Les direccions principals associades als eixos x´ i y´ definides pels angles � i � 2 � � (vegeu la Figura 4-30), determinen les inclinacions dels dos plans sobre els quals les tensions només tenen component normal � � , mentre que la component tangencial � � s’anul·la. Imposant la condició esmentada en l’equació (4.71) s’obté: �� � �x � �y 2 sin�2� � � � xy cos�2� � � 0 � tan�2� � � � xy �x � � y 2 1 sin�2� � � � 1� 1 tg �2� � � xy � �x � �y � � 2 � 2 2 � � � � xy 2 � � (4.72) �x � �y 1 cos�2� � � � �� 1 � tg �2� � 2 �� 2 � �x � �y � � 2 � 2 � � � � xy 2 � � L’equació (4.72) proporciona dues solucions (associades als signes + i -) �1 i N O T A La tercera direcció principal és la perpendicular al pla d’anàlisi (eix z o x 3 ), vegeu l’equació (4.63) i la Figura 4-28. � 2 � �1 � � , que defineixen les dues direccions principals (ortogonals) al pla 2 d’anàlisi. Les tensions principals corresponents s’obtenen substituint l’angle � � � de l’equació (4.72) en l’equació (4.71), que dóna com a resultat: �� � �x � �y 2 � �x � �y 2 cos�2� � � � xy sin�2� � (4.73) 114 4 Tensió 2 � �� � � x � � y � �� � x � � y �� � � 2 xy � � � 1 2 2 � � � �� � � 2 � �x � �y � �x � �y � � � � xy 2 �� 2 � � �� � 2 2 �� � � (4.74) 4.7.3 Problema invers El problema consisteix a obtenir, donades les direccions i tensions principals �1 i � 2 al pla d’anàlisi, les tensions sobre qualsevol pla, caracteritzat per l’angle � que forma la seva normal amb la direcció principal corresponent a �1 . Com a cas particular es poden obtenir els components del tensor de tensions sobre el rectangle elemental associat al sistema d’eixos x � y (vegeu la Figura 4-30). y' x' �2 �� � �1 �1 �� Figura 4-31 – Problema invers Considerant ara el sistema cartesià x � � y � , associat a les direccions principals (vegeu la Figura 4-31), i aplicant l’equació (4.71) amb � x� � �1 , � y �� � � 2 , � x�y� � 0 i � � � , s’obté: �1 � � 2 �1 � � 2 � cos�2�� 2 2 � � �2 �� � 1 sin�2�� 2 �� � (4.75) 4.7.4 Cercle de Mohr per a estats plans (en dues dimensions) Considerem ara tots els plans possible que passin pel punt P i els valors de les tensions normal i tangencial, � � i � � , definits en l’equació (4.71) per a tots els valors possibles de � � �0,2�� . Podem caracteritzar ara l’estat tensional en el punt sobre un pla d’inclinació � mitjançant la parella: �� � R (� � � � � � � � � ) � � ��� R (4.76) que, al seu torn, determina un punt (x � �, y � �) � R � R del pla � � � de la Figura 4-32. Per determinar el lloc geomètric dels punts del pla esmentat que 115 4 Tensió caracteritzen tots els estats tensionals possibles, sobre plans que passin pel punt d’anàlisi, es procedeix com segueix: Considerant un sistema de referència que coincideixi amb les direccions principals (com en la Figura 4-31) i caracteritzant la inclinació dels plans per l’angle � amb la tensió principal �1 , de l’equació (4.75) s’obté el següent: �� �1 � � 2 �1 � � 2 � � � 2 �1 � � 2 � cos�2� � � � � 1 cos�2��� � � � 2 2 2 2 � � � �2 � sin�2�� �� 1 2 �� (4.77) i elevant al quadrat les dues equacions i sumant-les queda: 2 � � �2 � � � � � �2 � �� � 1 � � �2 � � 1 � 2 2 � � � � 2 (4.78) S’observa que l’equació (4.78), que serà vàlida per a qualsevol valor de l’angle � , o, el que és el mateix, per a qualsevol pla d’orientació arbitrària que passi pel punt, correspon a una circumferència amb centre C i radi R al pla � � � donats per (vegeu la Figura 4-32): � � � �2 � C �� 1 ,0 � 2 � � R� �1 � � 2 2 (4.79) � �1 � � 2 2 � �1 � � 2 � ,0 � C�� � 2 � R� R �2 C �1 � Figura 4-32 – Cercle de Mohr per a estats plans de tensió En conseqüència, el lloc geomètric dels punts representatius de l’estat tensional sobre plans que passen per P és un cercle (denominat cercle de Mohr), la construcció del qual queda definida en la Figura 4-32. La proposició inversa també és certa: donat un punt del cercle de Mohr, amb coordenades (�, �) , existeix un pla que passa per P les tensions normal i tangencial del qual són � i � , respectivament. En efecte, de l’equació (4.77) es pot obtenir: � � �2 � � �� � 1 � 2 � ��a ; cos�2� � � � � R � �1 � � 2 � � � � 2 � sin�2� � � � � � � �1 � � 2 � R � � � 2 � (4.80) 116 4 Tensió equacions que defineixen de forma única l’angle � de la normal a un pla (amb la tensió principal �1 ) al qual corresponen les tensions esmentades. La Figura 4-33 proporciona, a més, una interpretació de l’angle 2� sobre mateix el cercle de Mohr. ��, �� � R �2 � a � �1 � �2 � � 2� �1 C � 2 � Figura 4-33 – Interpretació de l’angle � 4.7.5 Propietats del cercle de Mohr a) Per obtenir el punt representatiu en el cercle de Mohr de l’estat tensional sobre un pla en què la normal forma un angle � amb la direcció principal �1 : Es parteix del punt representatiu del pla on actua la direcció principal �1 (punt ( �1 ,0)) i es gira un angle 2� en el sentit que va des de �1 a � � (vegeu la Figura �� 4-33 i Figura 4-34). � � �� 2� �2 � , �� � �� �1 2� � �� �´ , � �´ �1 � � �´ � �1 �´ � �´ Figura 4-34 b) Els punts representatius en el cercle de Mohr de dos plans ortogonals estan alineats amb el centre del cercle (conseqüència de la propietat a) per a � 2 � � 1 � � Figura 4-35. �B �� A , � A � �A �B 2� � � � �1 B A �2 �A Figura 4-35 � , vegeu la 2 2� �1 �� B , � B � � 117 4 Tensió c) Si es coneix l’estat tensional en dos plans ortogonals es pot dibuixar el cercle de Mohr. En efecte, per la propietat b) els punts representatius dels dos plans al pla � � � estan alineats amb el centre de cercle de Mohr. En conseqüència, unint tots dos punts, la intersecció amb l’eix � proporciona el centre de cercle. Ja que, a més, es coneixen dos punts de cercle, es pot traçar aquest. d) Donats els components del tensor de tensions, en una determinada base ortonormal, es pot dibuixar el cercle de Mohr. Aquest és un cas particular de la propietat c), en la qual es coneixen els punts representatius de l’estat tensional sobre els plans cartesians (vegeu la Figura 4-36). Observeu, en la figura esmentada, com es poden calcular el radi i els punts diametrals del cercle. Observeu també que l’aplicació de la propietat a), per al punt representatiu del pla perpendicular a l’eix x , suposa moure’s en sentit contrari a l’angle � (angle de � x amb �1 = angle de �1 amb � x =- � ). �� � �y y , � xy � �� x ��� �� xy 2 � xy �2 a � �� x � � y � C y �1 2� 2 1 �x �� x ,� � xy � 2 R � � xy � � y �� � �x � �y � �� � � xy 2 �� 2 � � �1 � a � R � �2 � a � R � �x � �y 2 �x � �y 2 �y 2 �x � xy 1 � xy x �y �1 2 � � �x � �y � �� � � xy 2 �� 2 � � � � �x � �y � �� � � xy 2 �� 2 � � 2 � �x Figura 4-36 4.7.6 El pol del cercle de Mohr Teorema En el cercle de Mohr hi ha un punt denominat pol que té les propietats següents: � � Si s’uneix el pol P amb un altre punt A del cercle de Mohr, s’obté una recta que és paral·lela al pla de l’estat tensional que representa el punt A (vegeu la Figura 4-37). La inversa també es verifica, és a dir, donat un pla qualsevol, si es traça pel pol P una recta paral·lela al pla esmentat, aquesta tallarà al cercle de Mohr en punt B que representa l’estat tensional del pla (vegeu la Figura 4-38). �x 118 4 Tensió � P A(�A , �A ) �A �A �A � �A Figura 4-37 � P �B B ( �B , �B ) �B � Figura 4-38 Demostració Sigui el tensor de tensions en el punt i la seva representació gràfica sobre els plans cartesians de la (Figura 4-39, esquerra) denominats pla A (pla vertical) i pla B (pla horitzontal). Siguin A i B els punts corresponents en el cercle de Mohr (Figura 4-39, dreta). 1) Suposant que es verifica la propietat a), el pol del cercle de Mohr es podria obtenir traçant des del punt A una vertical (paral·lela al pla A) i on talli al cercle de Mohr es troba el pol P. També traçant des del punt B una recta horitzontal (paral·lela al pla B) on talli al cercle de Mohr, hi hauria el pol. Es pot veure a la figura que en tots dos casos s’obté el mateix punt P. 2) Considerem ara un pla arbitrari la normal del qual forma un angle � amb l’horitzontal (vegeu la Figura 4-40; esquerra) i siguin � � i � � les tensions normal i tangencial, respectivament, segons aquest pla. Suposem, a més, que la tensió principal major �1 forma un angle � amb la tensió � x . Llavors, la tensió � � formarà un angle � - � amb la tensió principal major �1 . �y N O T A Observeu que, d’acord amb el criteri de signes del cercle de Mohr, la tensió tangencial sobre el pla A és � � �� xy . � xy B y A �x B �� y , � xy � P �x �2 � xy x � � xy �y �y �x �1 A �� x ,� � xy � Figura 4-39 � 119 4 Tensió N O T A S’utilitzen aquí les propietats geomètriques següents: a) Un angle central de circumferència té un valor igual que l’arc que inclou. b) Un angle semiinscrit en una circumferència té un valor la meitat de l’arc que inclou. 3) Considerem el cercle de Mohr i el pol P obtingut al pas 1) (vegeu la Figura 4-40, dreta). Utilitzant la propietat a) de l’apartat 4.7.5, podem obtenir el punt C, representatiu del cercle de Mohr que correspon al pla considerat, girant des del punt M i en el mateix sentit, un angle doble igual a 2( � - � ) de manera que l’angle MOC és 2(� � �) . Per construcció, l’angle AOM és 2� i l’angle AOC , suma dels dos, és 2(� � � ) � 2� � 2� i l’arc inclòs per aquest és AMC � 2� . L’angle semiinscrit APC , que inclou el mateix arc AMC , valdrà, per tant, � , amb la qual cosa queda demostrat que la recta PC és paral·lela a la traça del pla considerat. Atès que el pla esmentat és qualsevol, la propietat queda demostrada. � �� � � B �1 � P � �x O �2 2� �� C �� � , � � � M �1 � 2(� � �) A �� x ,�� xy � Figura 4-40 Exemple 4-4 Calcular les tensions que actuen en l’estat III = I + II: 5 1 1 1 2 3 + 45º 45º � � = Estat II Estat I Estat III Resolució Per poder sumar els dos estats, les tensions han d’actuar sobre els mateixos plans. Com que els dos estats presenten plans amb orientacions diferents, haurem de buscar les tensions de l’estat II existents sobre els plans donats a l’estat I. Per a això, representarem el cercle de Mohr de l’estat II: �� � 3 1 Pla b: � 3 �� � 0 �� � 1 Pla a: � �� � 0 45º 45º � � �� � 0 �� � 0 Pla c: � 120 4 Tensió � Pla horitzontal (2,1) Pol Pla a(1,0) Pla b(3,0) 1 1 � 2 3 Pla vertical (2,-1) Per dibuixar el cercle, es representen els plans a i b, ja que se’n coneixen els estats tensionals. A més, com que els punts corresponents en el cercle de Mohr pertanyen a l’eix d’abscisses, defineixen el diàmetre del cercle que queda, per tant, determinat. Es troba el pol com la intersecció de línies paral·leles als dos plans inclinats 45º pels punts que els representen. Una vegada obtingut, s’hi fa passar una línia horitzontal la intersecció de la qual amb el cercle (que en ser-hi tangent és el mateix pol) determina el punt representatiu d’un pla horitzontal (2,1). Es repeteix el procediment per a un pla vertical obtenint el punt (2,-1). Amb aquesta informació es pot reconstruir l’estat II, ara sobre plans horitzontals i verticals, i sumar-lo a l’estat I per obtenir l’estat III. 5 2 1 2 2 1 1 2 Estat I 7 1 + 2 Estat II = Estat III 4.7.7 Cercle de Mohr amb el criteri de signes de la mecànica de sòls En la mecànica de sòls se sol utilitzar un criteri de signes, respecte a les tensions normals i tangencials, que és contrari al que s’utilitza en la mecànica de medis continus, vegeu la Figura 4-41. Les diferències són: � En la mecànica de sòls les tensions positives són de signe contrari (les tensions normals són positives quan són de compressió, i el sentit de les tensions tangencials positives ve definit per un gir antihorari respecte al pla). � El criteri de signes per als angles és el mateix (angles positius antihoraris). 121 4 Tensió �� � � *� � �*� �1 �� �* � � � �1* Mecànica de medis continus � 2 Mecànica de sòls Figura 4-41 En conseqüència, si es respecta en tots dos casos l’ordenació de les tensions principals ( �1 � � 2 ), per a un mateix estat tensional l’ordre de les tensions principals s’invertirà en la mecànica de sòls respecte a la mecànica de medis continus (vegeu la Figura 4-42). �2 �1* �1 � *2 Mecànica de medis continus Mecànica de sòls Figura 4-42 Si considerem les fórmules fonamentals (4.75), punt de partida per a la construcció i propietats del cercle de Mohr, per a un mateix estat tensional, utilitzant els criteris de signes en els dos casos, es té: Mecànica de medis continus: � � , � � , �1 , � 2 , � ���* � ��� � * �� � � � � � �� Mecànica de sòls: ��1* � �� 2 � * �� 2 � ��1 ��* � � � � 2 �� (4.81) i substituint les fórmules (4.81) en les (4.75) s’obté: � * � �*2 � �1* � �*2 � �1* � cos 2�* � � �� �� � ����� 2 2 � cos �2�* � �� � � * * �� �* � � � 2 � �1 sin 2�* � � ����� � � 2 � sin �2�* � �� � � � � (4.82) 122 4 Tensió � � �1* � �*2 �1* � �*2 cos 2�* � 2 2 �* � �*2 ��* � 1 sin 2�* 2 ��* � (4.83) � � i s’observa que les fórmules fonamentals (4.83), obtingudes sobre la base dels criteris de signes de la mecànica de sòls, són les mateixes que les (4.75), obtingudes sobre la base dels criteris de signes de la mecànica de medis continus. Per tant, la construcció del cercle de Mohr i les seves propietats són les mateixes en tots dos casos. 4.8 Cercles de Mohr per a casos particulars 4.8.1 Estat tensional hidrostàtic Per a estats tensionals hidrostàtics, caracteritzats per �1 � � 2 � � 3 � � , els cercles de Mohr en tres dimensions col·lapsen en un punt (vegeu la Figura 4-43). � � �1 � � 2 � � 3 �2 �3 �1 � �1 � � 2 � � 3 � Figura 4-43 4.8.2 Cercles de Mohr d’un tensor i del seu desviador Els cercles de Mohr en tres dimensions associats a un estat tensional i al seu desviador difereixen en una translació igual a la tensió mitjana (vegeu la Figura 4-44). �´ � � �esf � � � Part esfèrica ; � esf Part desviadora ��m � �� 0 �� 0 0 �m 0 0 � ��1 � � m � �1 ´ �� 0 �� � �� 2 � � m � � 2´ � m �� �� 3 � � m � � 3´ � Translació � � màx. � 3´ �2´ �1 ´ �m �3 Figura 4-44 �2 �1 � 123 4 Tensió 4.8.3 Cercle de Mohr per a un estat pla de tall pur Definició Estat pla de tall pur: Quan hi ha en el punt dos plans ortogonals sobre els que només hi ha tensió tangencial (vegeu la Figura 4-45, dreta). El cercle de Mohr corresponent a un estat de tall pur caracteritzat per una tensió tangencial � * té per centre l’origen i radi R � � * . La demostració és immediata a partir dels criteris de construcció del cercle de Mohr (vegeu Figura 4-45, esquerra). � �0,� � � * � 2 � � �* �1 � � * �* � �* �0,� � � * Figura 4-45 Cercle de Mohr per a un estat pla de tall pur �* �* 5 Equacio n s de conservació-balanç 5.1 Postulats de conservació-balanç La mecànica de medis continus s’estableix en una sèrie de postulats o principis generals que se suposen vàlids sempre, independentment del tipus de material i del rang de desplaçaments o de deformacions, entre els quals hi ha els denominats postulats de conservació-balanç, que són els següents: � � � � Conservació de la massa. Balanç del moment cinètic (o quantitat de moviment). Balanç del moment angular (o moment de la quantitat de moviment). Balanç de l’energia (o primer principi de la termodinàmica). A aquestes lleis de conservació-balanç cal afegir una restricció (que no es pot entendre rigorosament com un postulat de conservació-balanç) introduïda pel: � Segon principi de la termodinàmica. 5.2 Flux per transport de massa o flux convectiu En mecànica de medis continus, s’associa el terme convecció al moviment de la massa del medi que es deriva del moviment de les seves partícules. Atès que el medi continu està format per partícules, algunes de les propietats de les quals estan associades a la quantitat de massa (pes específic, moment cinètic, energia cinètica, etc.), en moure’s les partícules i transportar-se les seves masses es produeix un transport de les propietats esmentades denominat transport convectiu (vegeu la Figura 5-1). Sigui A una propietat arbitrària del medi continu (de caràcter escalar, vectorial o tensorial) i � (x, t ) la quantitat de la propietat esmentada per unitat de massa del medi continu. Considerem una superfície de control (fixa en l’espai) S (vegeu la Figura 5-2). A causa del moviment de les partícules del medi, aquestes travessen al llarg del temps la superfície esmentada i, com a conseqüència, hi ha una certa quantitat de la propietat A que, associada al transport de massa, travessa la superfície de control S per unitat de temps. 126 5 Equacions de conservació-balanç F t � t0 X 3 , x3 t dm dm P ê 3 P� X 2 , x2 ê 2 ê1 Figura 5-1 X 1 , x1 Definició Flux convectiu: Es defineix com a flux convectiu (o flux per transport de massa) d’una propietat genèrica A a través d’una superfície de control S la quantitat de A que, a causa del transport de massa, travessa la superfície S per unitat de temps. Flux convectiu de A � not quantitat de A que travessa S � � �S � a través de S unitat de temps � ê 3 ê1 v n x3 S ê 2 x2 x1 Figura 5-2 – Flux convectiu a través d’una superfície de control Per obtenir l’expressió matemàtica del flux convectiu de A a través de la superfície S , considerarem un element diferencial de superfície dS i el vector de velocitats v de les partícules que en l’instant t estan sobre dS (vegeu la Figura 5-3). En un diferencial de temps dt , aquestes partícules hauran recorregut un trajecte dx � vdt , de manera que en l’instant de temps t � dt ocuparan una nova posició en l’espai. Si es consideren totes les partícules que han travessat dS en l’interval �t , t � dt � , aquestes ocuparan el cilindre generat en traslladar la base dS sobre la generatriu dx � vdt , el volum de la qual ve donat per: 5 Equacions de conservació-balanç 127 dx � v � dt v dh � dx � n � v � n dt n dS Figura 5-3 (5.1) dV � dS � dh � v � n dt dS Coneixent el volum ( dV ) de partícules que travessen dS en l’interval de temps �t , t � dt �, podem obtenir la massa que travessa dS en l’interval, multiplicant (5.1) per la densitat: dm � � dV � � v � n dt dS (5.2) i, finalment, es pot obtenir la quantitat de A que travessa dS en l’interval de temps �t , t � dt � , multiplicant (5.2) per la funció � (quantitat de A per unitat de massa): � dm � � � v � n dt dS (5.3) Dividint per dt l’expressió (5.3), obtindrem la quantitat de la propietat que travessa la diferencial de superfície de control dS per unitat de temps: d �S � � dm � � � v � n dS dt (5.4) Integrant l’equació (5.4) sobre la superfície de control S , tindrem la quantitat de la propietat A que travessa la totalitat de la superfície S per unitat de temps, és a dir, el flux convectiu de la propietat A a través de S : Flux convectiu de � � � � S � � �� v � n dS A a través de S � S (5.5) Exemple 5-1 Calculeu la magnitud � i el flux convectiu � S corresponent a les propietats següents: a) el volum, b) la massa, c) la quantitat de moviment, d) l’energia cinètica. 1) Sigui la propietat A el volum de les partícules. Llavors � serà volum per unitat de massa (l’invers de la densitat) i: A �V, �� 1 , � � S � � v � n dS � Cabal S ��� ��������������������������������� ��� ������������������� � ������������������� � ���������������������������������� ���������������������� � � �� � � � � ��� � �� �� � � �� � ��� ������ ��� ���������� � � ��� ���������� ��� ��������� � � ����� � ��������� �� �������� � ��������������������������������������������������������������� � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � ���������� ���� ��� ������� ���� � � �� ��� ����� ���������� � � � ������ �������� ����������� ���������������������� � �������������������� �� � � � � ����������������������� ������������������������ ��������������� ���������������������� �������������������� � ���������������������� ����������� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � �� �������������� ���������������������������������������� � � �� �� ������������ ���� ���� ���� ���������� ��� ������ ����� ���������� ���������� ��� ����� ���� �������� ����������������������������������������������������������������������� ����������������������� � � �� � �� � �� �� � � � �� � � �� �� �� �� ������������ � �� � � ������������ � �� � �� � � �� � �� � �� �� � � �� �� �� �� ���������������������������������������������������������������������������� 129 5 Equacions de conservació-balanç Observació 5-2 El flux convectiu de qualsevol propietat a través d’una superfície material és nul. En efecte, el flux convectiu està associat, per definició, al transport de massa (de partícules) i, d’altra banda, una superfície material està formada sempre per les mateixes partícules i no pot ser travessada per aquestes. En conseqüència, no hi ha transport de massa a través d’una superfície material i, per tant, no existeix flux convectiu a través seu. Observació 5-3 Flux no convectiu Algunes propietats es poden transportar al si d’un medi continu de forma no necessàriament associada al moviment de la massa. La forma de transport esmentada no convectiu rep diversos noms (conducció, difusió, etc.) depenent del problema físic de què es tracti. Un exemple típic és el flux de calor per conducció. El transport no convectiu d’una propietat queda caracteritzat pel denominat vector o tensor de flux no convectiu q(x, t ) que permet definir el flux (no convectiu) a través d’una superfície S de normal n com: Flux no convectiu � � q � n dS S 5.3 Derivada local i derivada material d’una integral de volum N O T A � està relacionat amb quantitat de A �� unitat de massa mitjançant � � � � i té el mateix ordre tensorial que la propietat A . Sigui A una certa propietat (de caràcter escalar, vectorial o tensorial) d’un medi continu, i sigui � la quantitat d’aquesta propietat genèrica A per unitat de volum: quantitat de A � �x, t � � (5.6) unitat de volum Considerem un volum arbitrari V de l’espai. En l’instant de temps t , la quantitat total Q �t � de la propietat continguda en aquest volum serà: Q�t � � � ��x, t � dV V (5.7) Si ara volguéssim calcular el contingut de la propietat A en un altre instant t � �t , podríem considerar les dues situacions següents: 130 5 Equacions de conservació-balanç 1) Es tracta amb un volum de control V , que, per tant, està fix en l’espai i és travessat per les partícules al llarg del temps, o bé, 2) Es tracta amb un volum material que en l’instant d’interès t ocupa el volum de l’espai Vt � V , encara que ocupa posicions diferents a l’espai al llarg del temps. Per a cada cas obtindrem valors diferents de la quantitat Q(t � �t ) , i calculant la diferència entre les quantitats de Q(t � �t ) i Q �t � quan �t � 0 : Q �(t ) � lim �t � 0 Q�t � �t � � Q�t � �t (5.8) obtindrem dues definicions diferents de derivades temporals que donen lloc als conceptes de derivada local i derivada material d’una integral de volum. 5.3.1 Derivada local Definició Derivada local d’una integral de volum. La derivada local de la integral de volum Q(t ) � � ��x, t � dV és la derivada temporal de Q(t ) quan el V volum V és un volum fix en l’espai (volum de control), vegeu la Figura 5-5. S’utilitzarà la notació: Derivada not � � ��x, t � dV local �t V� t � (t � �t ) x3 Q�t � Q�t � �t � ê 3 ê1 Volum de control V ê 2 x2 x1 Figura 5-5 – Derivada local d’una integral de volum La quantitat de la propietat genèrica A en el volum de control V en els instants t i t � �t és: 5 Equacions de conservació-balanç 131 Q�t � � � ��x, t � dV V Q�t � �t � � � ��x, t � �t � dV (5.9) V i utilitzant el concepte de derivada temporal de Q�t � i les equacions (5.9) Q�(t ) � N O T A Observeu que el domini d’integració no varia en considerar que el volum V és un volum de control i, per tant, fix en l’espai. 1 � ��x, t � dV � lím �Q�t � �t � � Q�t �� � 0 t � � �t V �t � lím �t � 0 � 1 � � ��x, t � �t � dV � � ��x, t � dV � � �t �V� V � ���x, t � ��x, t � �t � � ��x, t � dV dV � � � � lím �t � 0 �t� ��� �t ��� � �� � V ���� V � �� �x,t � Derivada local de � �t (5.10) d’on s’obté l’expressió matemàtica de la derivada local d’una integral de volum: � �� �x, t � dV � � � � �x, t � dV � � �t V �t � V Derivada local d' una � integral de volum 5.3.2 (5.11) Derivada material Definició Derivada material d’una integral de volum. La derivada material de la integral de volum Q(t ) � � ��x, t � dV és la derivada temporal de Vt Q(t ) quan el volum Vt és un volum material (mòbil en l’espai), vegeu la Figura 5-5. S’utilitzarà la notació: Derivada material not � d ��x, t � dV dt V� t El contingut Q d’una propietat A en el volum material en els instants de temps t i t + �t serà: Q�t � � � ��x, t � dV Vt Q�t � �t � � � ��x, t � �t � dV Vt � �t (5.12) 132 5 Equacions de conservació-balanç t t0 t � �t dVt � �t dV t dV0 X 3 , x3 Q �t � ê 3 V0 ê 2 ê1 X 1 , x1 N O T A Q �t � �t � V t � �t Vt � V X 2 , x2 Figura 5-6 – Derivada material d’una integral de volum La derivada material s’expressa matemàticament com: Observeu que ara els dominis d’integració són diferents en els instants t i t � �t . Q �(t ) � d ��x, t � dV dt V � t 1 � � lím � �t � 0 �t � � � lím �t � 0 Vt �V Q�t � �t � � Q�t � � �t ��x, t � �t � dV � ��x, t � dV �� � V (5.13) � Vt � �t t El pas següent consisteix a fer uns canvis de variable, adequats per a cada una de les dues integrals de l’equació (5.13), que condueixin al mateix domini d’integració. Aquest canvi de variable ve donat per les equacions de moviment x � ��X, t � , particularitzades per als instants t i t � �t : �x t � ��X, t � � (dx1 dx 2 dx 3 ) t � F�X, t � (dX 1 dX 2 dX 3 ) ������ � ������� � dVt dV0 � � � �x � � dx1 dx 2 dx 3 ) t � �t � F �X, t � �t � (dX 1 dX 2 dX 3 ) � t � �t � � X, t � �t � (� ������ ������� � dVt � �t dV0 � (5.14) on s’ha tingut en compte la identitat dVt � F�X, t � dV0 . Els canvis de variable de l’equació (5.14) introduïts en l’equació (5.13) porten a: d ��x, t � dV � dt V � t � � 1 � ��x�X, t � �t �, t � �t � F �X, t � �t � dV 0 � ��x�X, t �, t � F �X, t � dV 0 � � � ����� � �t � 0 �t � �������� V0 � �X,t � �t � � �X,t � �V0 � � � lím � � � �X, t � �t � F�X, t � �t � � � �X, t � F �X, t � d lím dV 0 � � F dV0 �t � 0 � t dt V0 ������������������� V0 � � �X, t � F�X, t � � d ���� �x,t � F �x,t � ��� dt �t � � � � � � (5.15) 133 5 Equacions de conservació-balanç Finalment, desenvolupant l’últim integrant en l’equació (5.14) i tenint en compte la igualtat denota la derivada temporal de la integral sobre el volum material Vt (derivada material de la integral de volum) particularitzada en l’instant t en el qual el volum material ocupa el volum de l’espai V . (5.16) 0 és a dir: d ��x, t � dV dt V not � � t � F ��v: � d� � � d� � F dV0 � � � � �� � v �dV � �� dt � �� � v �� � � � dt � V Vt � dVt N O T A C I Ó d ��x, t � dV dt V �V dt dF d d� d F� ��x, t � dV � � �� F � dV0 � � ( �) dV0 � � dt dt V dt dt � V V t 0 0 F ��v N O T A Es desfà aquí el canvi de variable x t � ��X, t � . dF t Recordant ( � Vt �V l’expressió d � d� � ��x, t � dV � � � �� � v � dV dt V �V dt � � V t � de � la d� �� � v � �� ) es té finalment: � dt �t derivada material d’una (5.17) propietat � � d �� � ��x, t � dV � � v � �� � �� � � v � dV � � � �t ������ dt V �V V � t ��(�v) �� � �� � dV � � � ��v � dV � �dV � � � ��v � dV � t tV � V V V � � � � � (5.18) � on s’ha tingut en compte l’expressió de la derivada local (5.11). De l’equació (5.18) s’obté l’expressió per a la derivada material d’una integral de volum: Derivada material � d � � d ' una int egral µ �x ,t � dV � � µ dV � � � � � µv � dV � � � dt Vt �V �t V � �� � V�� ���� � �� de volum ������� � Derivada Derivada Derivada local convectiva material Observació 5-4 El format de derivada material, com a suma d’una derivada local i una derivada convectiva, que apareix en derivar propietats del medi continu (vegeu el capítol 1, apartat 1.4) apareix també aquí en derivar integrals en el medi continu. De nou, la derivada convectiva està associada a l’existència de velocitat (o de moviment) en el medi i, per tant, a la possibilitat del transport de massa. (5.19) 134 5 Equacions de conservació-balanç 5.4 Conservació de la massa. Equació de continuïtat Definició Principi de conservació de la massa. La massa del medi continu (i, per tant, la de qualsevol volum material d’aquest que es consideri) és sempre la mateixa. Sigui un volum material Vt que en els instants de temps t i t � �t ocupa els volums en l’espai Vt i Vt � �t (vegeu la Figura 5-7). Sigui ��x, t � la descripció espacial de la densitat. La massa tancada pel volum material V en els instants de temps t i t � �t és la següent: M�t � � � ��x, t � dV Vt M�t � �t � � (5.20) � ��x, t � �t � dV Vt � �t Pel principi de conservació de la massa es verificarà que M(t ) � M(t � �t ) . t t � �t dVt � �t dV t x3 V t � �t M�t � ê 3 ê1 ê 2 M�t � �t � Vt x2 x1 Figura 5-7 5.4.1 Forma espacial del principi de la conservació de la massa. Equació de continuïtat L’expressió matemàtica del principi de conservació de la massa del volum material M�t � és que la derivada material de la integral (5.20) és nul·la: M ��t � � d � dV � 0 dt V� t �t (5.21) ��� ��������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� ������������� � ���������������� �� � � �� � � �� � � � � �� � � ���� � � ���� � �� �� �� � ������������ � �� �� �� � � �� � ��� � � ��� � � ����������� � � � � � ������������������� ����������������� ���������������������� �������������������� ����������������������� ���������������������� ����������������� �������������������� ����������������� ����������������������� ������ ������������ � ������� ����� ��� �������� ��� ��������� ���� �� �� �� ����� ������ ���� � ���������������������������������� ��� � �� �������������������������������������� ��� �������� ���� �� ����� ��� ����� ������� ���������� ����������� ���������� �� ��� ��������� ����������� ���� ����� ���� ������� ������� ������������� ��� �� �������� ������������������������������������������ ��� � �� ��� � � ������� � � �� � �� � � �� � � ���� � � � �� � � � � �� � ���� ��� � � � � �� � �� �� � �� �� � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � �� � �� �� �� ��������������������� ������������������ � � � �� ������������������������ � �� ������������� �� � �� � � � �� �� ��� �� �� ������ ������ ���� ������������ ��� ����������� �������� ��� ������������� ����������� ������������ ��� �� ������������������������������������������������������������� �������������������������������� �� �� � � � � �� ��� �� �� �� �� � � � �� � �� � � � � � � � � ��� � � � ���� � �� �� �� ����� � ������ ���������������������������������������������������������������������� � � � �� � � ������� � � � �� � ��� � � � ��� � � � ��� � � � � � ��� �� �� �� �� �� �� � � � ��� � � � �� �� ���� � � �� � �� � �� �� ��� �� ������ ������ ������ ��������� ���� ��������� ��� ��� ������������ ��� �� ����� �������������������� 136 5 Equacions de conservació-balanç R E C O R D A T O R I Es considera aquí l’expressió, deduïda al capítol 2, dF dt dF� � d� 1 dF � 1 � d� � � �� � v � dV � � �� �� �� dV � � � F �� dV � F F dt dt dt dt �� � � � Vt � Vt ��� ����� � d �� F � dt F dV0 � 1 d � � � F � dV � � �� F �( X, t ) dV0 � 0 ��V0 � V0 �t F dt � t V � d� � �� dt Vt � F �� � v � � Vt (5.27) 0 on ara el recinte d’integració és el volum de la configuració de referència V0 . Atès que l’equació (5.27) s’ha de complir per a totes i cada una de les parts �V0 de V0 , es pot dur a terme un procés de localització que condueix a: R E C O R D A T O R I S’utilitza aquí la igualtat F ( X,0) � 1 � F 0 �1 � �� F �(X, t ) � 0 �t � �X � V0 �t � � F ( X, t ) � � F ( X) �t � � �� � ��X,0 � F �X,0� � ��X, t � F �X, t � � � 0 F 0 � � t F t ������ � ������ � � � not not �1 � � �0 F 0 � �t F t � (5.28) Forma local material del principi de la conservació de la massa (5.29) � � � � � 0 ( X) � � t ( X ) F t ( X ) � � �X �V0 �t 5.5 Equació de balanç. Teorema del transport de Reynolds Sigui A una certa propietat genèrica (escalar, vectorial o tensorial) d’un medi continu, i sigui ��x, t � la quantitat d’aquesta propietat A per unitat de massa. Per tant, ���x, t � és la quantitat de la propietat per unitat de volum. 5.5.1 Lema de Reynolds Considerem un volum material arbitrari de medi continu que en l’instant t ocupa en l’espai un volum Vt � V . La quantitat de la propietat genèrica A en el volum material Vt en l’instant t serà: Q (t ) � � � � dV Vt �V (5.30) La variació al llarg del temps del contingut de la propietat A en el volum material Vt vindrà donada per la derivada temporal de Q(t ) , que utilitzant l’expressió (5.17) de la derivada material d’una integral de volum (amb � � �� ) serà: Q �(t ) � d � � d ��� � �� dV � � � � ��� � v � dV dt V ��V ��� dt � V � � t (5.31) 5 Equacions de conservació-balanç 137 Utilitzant l’expressió per a la derivada material d’un producte de funcions, agrupant termes i utilitzant l’equació de continuïtat (5.24): d ��dV � dt Vt��V d� d� � d� � � d� � �� � � �� � v � � dV � �� � ��� � v � dV � � � � � � dt dt dt dt � � V V �� ���� �� � �� � (5.32) �0 ( Eq. de continuïtat) Lema de Reynolds :� d� d �� dV � � � dV dt dt V ��V V (5.33) t 5.5.2 Teorema de Reynolds Considerem el volum arbitrari V , fix en l’espai, de la Figura 5-8. La quantitat de la propietat A en aquest volum de control serà: Q(t ) � � �� dV (5.34) V La variació de la quantitat de la propietat A en el volum material Vt , que de forma instantània coincideix en l’instant t amb el volum de control V ( Vt � V ) , vindrà donada per la derivada material de l’expressió (5.19) (amb � � �� ) i l’equació (5.11): d ��� � � dV � � � � (� � v ) dV �� dV � � dt V ��V �t V V (5.35) t Fent servir el lema de Reynolds (5.33) i el teorema de la divergència en l’expressió (5.35) s’obté el següent: d �� dV dt Vt��V Lema de Reynolds � �� V � � �� � d� dV � � dV � � � � ( � � v) dV � �t dt V V Teorema de la divergència � � V (5.36) � � �� � dV � � � � v � n dS �t �V expressió (5.36) que es pot reescriure com: Teorema del transport de Reynolds � � � � dV �t V ��������� Variació per unitat de temps del contingut de la propietat A en el volum de control V � �� d� dV dt V ������ ���� � Variació a causa del canvi del contingut de la propietat A en les partícules de l'int erior de V � � � � v � n dS �V ��� ����� � Variació a causa del flux convectiu net de A , sortint pel contorn �V (5.37) ��� ��������������������������������� � �� � � � � ���������� ������ �������� � �� ����������� � �������������� � �� ������������������� � � �� �� � �� � �� �� � � � � ������ � �� �� ���������� ������������������������������������������������������������������������������� �������������������� �� � � �� ��� � � � � � � ��� � ��� � � � ���������� �� � � �� ���� � � � � ������� � �� �� ��� � � � ������ �� �� � ����������� � ���� � �� � �� � � � � ��� ��� �������������� �� �� �� ����������������������� �� � � ������ �������������� �������� ��� ���� ���������� �� ������ ������������������������������� � ��������������������������� ���� � � ������������� �������������������������������������������������������������������������������� ��������� ���� ����� �������� ��� ���������� ��� ��� ���������� � � �� ���� ��� ��������� ���������� ��� ���� ������������ ����� ���� ��������� ��� ��� ������ ���������� ������������������������������������������������������������������ �� �������������� � � ��� � � ���������������������������������������������� � ����� �������������������������������������������������� � � � ��� � � �������������� ���������������������� ������������������������������� ������ �� ���������� �� ��� � � ��������������������������������������������������������� ���������� ��������� ��� ��� ��� ���������� � �� ���� ������������� ��� ����� ��� �� ����������������������������������������������������������������������� ������ � ��� ������ ��� �������� ���������� ������� ��� ������� ������ ��� ��������� ��� ������������������������������������������������ ������������� ������������ ���� ��� ����������������������������� ������������������������������������������ ��� ����������������������������������� ������������� � ��� �������������������������������������� ������������� � � � � � ������ � �� � � � � �� ���������� �� ���������� ���� ��������� ��� ������� ��� ��� ���������� ��� ��� ���������� ��������� ���������� � � � ��� ��� ������ �� � ������ ������������������������������������������������������������������������������������ ������������� 140 5 Equacions de conservació-balanç � � � dV � � � k A dV � � � � �� � v � dV � � � � j A dV � �t V� V V V �� � � �� �t �� � � � � � �� � v ���dV � � ��k A � � � j A � dV V V (5.43) ��V � V i localitzant en l’equació (5.43), s’obté la forma local espacial de l’equació general de balanç: Forma local espacial de l' equació general de balanç � � � � jA �k A ��� � � � � ���v � � � d� � � ����� �t ������� dt � � �� � Variació a causa Variació a causa � d� dt Variació de la quantitat de la propietat (per unitat de volum i de temps) de la generació del transport interna de les no convectiu fonts (5.44) on s’ha considerat l’equació (5.39). Observació 5-5 L’expressió (5.42) i, especialment, la (5.44): � d� � �k A � � � j A dt posa de manifest la contribució negativa ( � � � jA ) del flux no convectiu, a la variació del contingut de la propietat per unitat de volum i de temps � d� . Només quan tot el flux és convectiu (per dt transport de massa) la variació esmentada procedeix únicament de la generació interna de la propietat: � d� � �k A dt Exemple 5-2 Si associem la propietat A amb la massa , A � M , tindrem: � El contingut de A per unitat de massa (massa/unitat de massa) és � � 1 . � El terme font de generació de massa és k M � 0 , atès que no és possible generar massa (pel principi de conservació de la massa). � El vector de flux no convectiu de massa és jM � 0 , atès que no es pot transportar massa de forma no convectiva. Llavors, l’equació (5.44) (balanç de la generació de massa) queda: � d� �� � � � (�v) � 0 � dt �t que és una de les formes de l’equació de continuïtat (vegeu l’equació (5.26)). 5 Equacions de conservació-balanç 141 5.7 Balanç de la quantitat de moviment Suposeu un sistema discret format per n partícules de manera que la partícula i té una massa mi , una acceleració a i i està fk sotmesa a una força fi (vegeu la Figura 5-9). La segona llei de Newton estableix que la força que mi actua sobre una partícula és igual a la massa d’aquesta per la seva acceleració. Fent servir la definició d’acceleració com a derivada material de la velocitat i ai tenint en compte el principi de conservació de la Figura 5-9 massa (la variació de la massa de la partícula és igual a zero) es té: f i � m i a i � mi T E R M I N O L O G I A En mecànica, se solen utilitzar també els noms moment cinètic o momentum per designar la quantitat de moviment. dv i d � �mi v i � dt dt (5.45) Definint la quantitat de moviment de la partícula com el producte de la seva massa per la seva velocitat ( mi v i ), l’equació (5.45) expressa que la força que actua sobre la partícula és igual a la variació de la quantitat de moviment d’aquesta. Aplicant ara la segona llei de Newton al sistema discret format per n partícules tindrem el següent: R (t ) � � f i � � mi a i � � mi i i i dv i d � dt dt �m v i i i � � �� � � dP (t ) dt P� quantitat de moviment (5.46) Observeu que, de nou, per obtenir l’última expressió de (5.46), s’ha fet servir el principi de conservació de la massa ( dmi � 0 ). L’equació (5.46) expressa que el dt resultant R de totes les forces que actuen sobre el sistema discret de partícules és igual a la variació per unitat de temps de la quantitat de moviment P d’aquest. Aquest postulat rep el nom de principi del balanç de la quantitat de moviment. Observació 5-6 Si el sistema es troba en equilibri R � 0 i: R (t ) � 0 �t � dP (t) � 0 � � mi v i � P � ctte dt i es parla llavors de la conservació de la quantitat de moviment. 5.7.1 Forma global del principi de balanç de la quantitat de moviment Aquests conceptes, corresponents a la mecànica clàssica, es poden estendre ara a la mecànica de medis continus, definint la quantitat de moviment d’un volum material Vt de medi continu de massa M com: 142 5 Equacions de conservació-balanç P (t ) � � M v d� M � � � v dV � dV V (5.47) t Definició Principi de balanç de la quantitat de moviment: La resultant R (t ) de totes les forces que actuen sobre un volum material del medi continu és igual a la variació per unitat de temps de la seva quantitat de moviment: R (t ) � dP (t ) d � � v dV dt dt V � t t dV dV x3 b (x, t ) �bdV ê 3 ê1 Vt � V ê 2 dS x2 t ( x, t ) tdS Figura 5-10 x1 on el resultant de totes les forces que actuen en el medi continu és (vegeu la Figura 5-10): R (t ) � � � b dV V � ��� � Forces màssiques � � t dS (5.48) �V ��� Forces de superfície Aplicant l’equació del balanç de la quantitat de moviment amb la resultant (5.48) s’obté la forma integral del balanç de la quantitat de moviment: Forma global del principi� � de balanç de la quantitat � � � de moviment � d � � b dV � � t dS � dt � � v dV V �V (5.49) Vt �V 5.7.2 Forma local del principi de balanç de la quantitat de moviment Aplicant el lema de Reynolds (5.33) a l’equació (5.49) (i fent servir el teorema de la divergència), es té que: 5 Equacions de conservació-balanç d dv � � v dV � � � b dV � � n� dV � � � dS � � � dt Vt ��V dt V �V t Vt �V � � Teorema �� de la � divergència � � � � n dS dV � � � � � �� �V V � dv � �� � � � � b � dV � � � dt dV V N O T A S’identifica així l’equació de Cauchy (enunciada, però no deduïda, al capítol 4) com la forma local espacial del principi de balanç de la quantitat de moviment. ��V � V V 143 (5.50) (5.51) i localitzant en l’equació (5.51), s’obté la forma local espacial del balanç de la quantitat de moviment, també denominada equació de Cauchy: Form a local espacial del balanç de la quantitat de m ovim ent ( equació de Cauchy ) � dv � � � a �x �V �t � � � � � � �b � � dt � � (5.52) 5.8 Balanç del moment de la quantitat de moviment (moment angular) T E R M I N O L O G I A En mecànica, se sol utilitzar també el nom de moment angular per designar el moment de la quantitat de moviment. Considerem un sistema discret format per n partícules tal que per a una partícula arbitrària i , el seu vector posició és fk ri , la seva massa és mi , hi actua una força f i i té una velocitat v i i una acceleració a i mi (vegeu la Figura 5-10). El moment respecte a l’origen de la força que actua sobre aquesta partícula serà M i � ri � f i , i el moment mi v i respecte a l’origen de la quantitat de moviment ri O de la partícula serà Li � ri � mi v i . Tenint en Figura 5-10 compte la segona llei de Newton, el moment M i serà: M i � ri � f i � ri � mi a i � ri � mi d vi dt (5.53) Si estenem el resultat anterior al sistema discret format per les n partícules, tindrem que el moment resultant respecte a l’origen M 0 de les forces que actuen sobre el sistema de partícules és: N O T A El producte vectorial d’un vector per si mateix és nul ( v i � v i � 0 ). dv i � dt � � dri dv i � � d � ri � mi v i � �i dt � mi v i � �i ri � mi dt �� dt i � vi � � ���� �� �0 dL(t ) d M O (t ) � � ri � mi v i � dt dt � i ���� M O (t ) � � ri � f i � � ri � mi a i � � ri � mi i i i Moment angular L (5.54) ��� ��������������������������������� ���������������������������������������� ���������� � � � ��� ������ ���� ������� ���� ������ ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ���������� ��� ��������� ��� ������� ��������� � � � �� � �� � � � ���������� ������ � ��������������������������������������������������������������������������������� �������������� ������������������������������������ � � �� � � � �� � � �� � � � �� � ���� � � � �� � �� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � ���� �� � � ������������������������������������������������������ ������ ������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������ � �� �� �� � � �� �� �� � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � �� �� ���� � � � �� � �� � � �� � � � �� �� � � ����������� �� �� ���������������������������������� � � � � � �� �� � � � � � ������ � ���� � ������������������������������������������������������������������� ��������� ������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������ � ������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������� � � ��� � � ���� � � � � ��� � �� �� �� � ��� � ������ 5 Equacions de conservació-balanç 145 Atès que el moment resultant de les forces que actuen sobre el medi continu (moment de les forces màssiques i moment de les forces de superfície) té l’expressió (vegeu la Figura 5-11): � M O (t ) � r � � b dV � V � r � t dS (5.56) �V el principi de balanç del moment de la quantitat de moviment queda: Forma global espacial del principi de balanç del moment angular �� d �� � dt � r � � v dV � � r � �b dV � � r � t dS Vt �V V (5.57) �V 5.8.2 Forma local espacial del principi de balanç del moment angular Per obtenir la forma local espacial de l’equació de balanç es procedeix com segueix; tenint en compte el lema de Reynolds en l’equació (5.57): d d �(r � v ) dV � r � �v dV � � dt V ��V dt V �V t t dv dv dr d � � � (r � v ) dV � � � ( � v ) dV � � � (r � ) dV � � r � � dV dt dt dt dt V V � V V v �� � � � �0 i desenvolupant l’últim terme de l’equació (5.57): �� n� � T T � � r � t dS � � r � n � � dS � � r � �n � � � dS � � (r � � ) � n dS � ���V �V �V �V �Teorema � diverg. T � � � (r � � ) � � dV �� V (5.58) (5.59) � � kr �� simb � � � T � ( ) ( e x (eijk x j � rk ) � � � � � � � r ijk j rk ) i � �x r �x r � � �x j �� rk � eijk � jk � �r � � � � � i �{1,2,3} � rk � eijk x j �eijk ��� �x r �x r � � ����� mi � � jr �r����� i � (5.60) � r � t dS � m dV � �r � � � � � dV � � ��V V V �mi � eijk � jk i, j , k � {1,2,3} � (5.61) � � Substituint ara l’equació (5.60) en la (5.59): � � � i substituint finalment les equacions (5.58) i (5.61) en l’equació (5.57): dv � r � � dt dV � � r � �b dV � � m dV � � �r � � � � �dV V V V Reordenant termes en l’equació (5.62), s’obté: V (5.62) 146 5 Equacions de conservació-balanç � dv � � r � ��� � � � �b � � dt �� dV � � m dV � 0 � V� m dV � 0 V �������� � �0 ��V � V V (5.63) on s’ha tingut en compte que el primer integrant és nul a causa de l’equació de Cauchy (5.52) (forma local espacial de l’equació de balanç de la quantitat de moviment). Localitzant en l’equació (5.63) i considerant el valor de m en l’equació (5.61), resulta: m�0 �x � V mi � eijk � jk � 0 � � � e ijk � jk � 0 i � {1,2,3}� i, j, k � {1,2,3} (5.64) i particularitzant l’equació (5.64) per als tres possibles valors de l’índex i : N O T A S’identifica així la simetria del tensor de tensions de Cauchy (enunciada, però no deduïda, al capítol 4) com la forma local espacial del principi de balanç del moment angular. � i � 1 : e1 jk � jk � e123 �23 � e132 �32 � �23 � �32 � 0 � �23 � �32 � � � � �1 ��1 �� i � 2 : e2 jk � jk � e231 �31 � e213 �13 � �31 � �13 � 0 � �31 � �13 � � � � �T � � � �1 ��1 � i � 3 : e3 jk � jk � e312 �12 � e321 �21 � �12 � �21 � 0 � �12 � �21 � � � �� �1 ��1 Forma local espacial del principi de balanç del moment angular �� T ��� �� � (5.65) (5.66) i la forma local del balanç del moment de la quantitat de moviment es tradueix en la simetria del tensor de tensions de Cauchy. 5.9 Potència Definició Potència: En mecànica clàssica, i també en mecànica de medis continus, es defineix la potència com un concepte, previ al d’energia, que es pot quantificar com la capacitat de realitzar treball per unitat de temps. Així, per a un sistema (o medi continu) es defineix la potència W (t ) entrant en aquest com: W (t ) � Treball realitzat en el sistema unitat de temps En alguns casos, no en tots, la potència W (t ) és una diferencial exacta d’una funció E (t ) , la qual, en els casos esmentats, rep el nom d’energia. W (t ) � dE (t ) dt (5.67) En el nostre cas suposarem que existeixen dos procediments pels quals el medi continu absorbeix potència del seu exterior i realitza amb aquesta potència un treball per unitat de temps: 147 5 Equacions de conservació-balanç Potència mecànica: mitjançant el treball realitzat per les accions mecàniques (força màssiques i superficials) que actuen sobre el medi. Potència calorífica: mitjançant l’entrada de calor en el medi. 5.9.1 Potència mecànica. Teorema de les forces vives Definició Potència mecànica entrant en el medi continu: treball per unitat de temps realitzat per totes les forces (màssiques i de superfície) que actuen sobre aquest. Considerem el medi continu de la Figura 5-12 sotmès a l’acció d’unes forces màssiques, caracteritzades pel vector de forces màssiques b(x, t ) , i unes forces superficials, caracteritzades pel vector de tracció t (x, t ) . x3 t ( x, t ) t ê 3 ê 2 ê1 Vt � V x2 t � dt b ( x, t ) dr x1 t �V � �b � dV dr dV � � b � v dV dt � v � b dV t t dS dS dr � t� dr dS � t � v dS dt � v t � dt Figura 5-12 L’expressió de la potència mecànica entrant en el sistema Pe és: Pe � � � b � v dV � V � �V t � v dS � � � b � v dV � � n � �� � v � dS � V �V n�� (5.68) Aplicant el teorema de la divergència a l’últim terme de l’equació (5.68) es té: � � n � �� � v � dS � � � � �� � v � dV ��V V �� �� � �� � v � � � (� v ) � �� ij v � � �v j � �� � � � � v � � : l ij j j ij � � �xi �xi �x � � ji �i � (l) ji (��� ) j �� (5.69) 148 5 Equacions de conservació-balanç i tenint en compte la identitat l � v � � � d � w (vegeu el capítol 2): R E C O R D A T O R I El tensor � és simètric i el tensor w és antisimètric. En conseqüència, el seu producte és nul ( � : w � 0 ). N O T A S’utilitza aquí l’expressió: d 1 ( v � v) � dt 2 1 dv 1 dv � �v� v� dt 2 dt 2 dv � �v dt N O T A C I Ó 2 v � v � v � v2 �: � l � � :d � � :w � �:d � �0 l�d� w (5.70) Substituint l’equació (5.70) en la (5.69), s’obté: � � n � �� � v � dS � � �� � � � � vdV � � � : d dV �V V (5.71) V Substituint l’equació (5.71) en l’equació (5.68), la potència mecànica entrant en el medi continu resulta ser: Pe � � � b � v dV � � t � v dS � � � b � vdV � � �� � � � � vdV � � � : d dV � V �V V V V dv � v dV � � � : d dV � dt�� � V � � �� � � � � b � � v dV � � � : d dV � � � ����� V V V � dv d 1 dt ( v�v ) dt 2 d �1 d �1 2� � � � dt �� 2 v � v �� � � � : d dV � � � dt �� 2 v ��dV � � � : d dV � V V V V (5.72) i aplicant el lema de Reynolds (5.33) a l’equació (5.72): Pe � � � b � v dV � V d � t � v dS � dt � �V Vt �V 1 2 �v dV � � � : d dV 2 V Teorema de deles forces forces vives Teorema vives Potència � 1 d � mecànica� � Pe � � �b � v dV � � t � v dS � � v 2 dV � � � : d dV � 2 dt �V V Vt �V � entrant �� �� ���� � V���� K�Energia cinètica (5.73) (5.74) Potència tensional L’equació (5.74) constitueix la generalització a la mecànica de medis continus del teorema de les forces vives de la mecànica clàssica: Definició Teorema de les forces vives: la potència mecànica entrant en el medi continu: Pe � � �b � v dV � � t � v dS s’inverteix en: V �V a) modificar l’energia cinètica de les partícules del medi continu: not dK d 1 1 Energía cinética � � � v 2 dV Energia cinètica � K � � � v 2 dV � dt dt V 2 2 V b) crear potència tensional: def Potència tensional tensional � � � : d dV V 149 5 Equacions de conservació-balanç Observació 5-8 En vista de l’equació (5.74), la potència tensional es pot definir com aquella part de la potència mecànica entrant en el sistema que no s’empra a fer variar l’energia cinètica. Es pot interpretar com el treball per unitat de temps (potència) realitzat per les tensions en el procés de deformació del medi. En un sòlid rígid no hi ha deformació ni velocitat de deformació ( d � 0 ). En conseqüència, les tensions no realitzen treball mecànic i la potència tensional és nul·la. En aquest cas, tota la potència mecànica entrant en el sistema s’inverteix en fer variar l’energia cinètica d’aquest i es recobra el teorema de les forces vives de la mecànica del sòlid rígid. 5.9.2 Potència calorífica Definició Potència calorífica entrant Qe : És la quantitat de calor que entra, per unitat de temps, en el medi continu. L’entrada de calor esmentada pot ser produïda per dues causes fonamentals: a) l’entrada de calor a causa del flux (no convectiu) de calor a través del contorn del volum material corresponent. Noteu que, en tractar-se d’un volum material, el flux de calor per transport de massa (convectiu) és nul i, per tant, tot el flux de calor entrant serà no convectiu, b) l’existència de fonts de calor a l’interior del medi continu. � Flux de calor no convectiva Sigui q�x ,t � la descripció espacial del vector de flux no convectiu de calor per unitat de superfície. Llavors, el flux net no convectiu de calor a través del contorn del volum material serà (vegeu la Figura 5-13): � q � n dS � �V Quantitat de calor sortint unitat de temps � � q � n dS � �V Quantitat de calor entrant unitat de temps (5.75) 150 5 Equacions de conservació-balanç t Vt � V x3 q ( x, t ) n ê 3 ê1 �V ê 2 x1 x2 Figura 5-13 Observació 5-9 Un exemple típic de flux no convectiu és la transmissió de calor per fenòmens de conducció. La conducció de calor està governada per la llei de Fourier, que proporciona el vector de flux de calor per conducció (no convectiva) q(x, t ) en funció de la temperatura ��x, t � : Llei de Fourier � � de conducció � � � de calor � q � x, t � � � K �� � x, t � on K és la conductivitat tèrmica (una propietat del material). � Fonts internes de calor A l’interior del medi continu es pot generar (o absorbir) calor a causa de certs fenòmens (reaccions químiques, etc.). Sigui r �x, t � una funció escalar que descriu en forma espacial la calor generada per les fonts internes per unitat de massa i unitat de temps (vegeu la Figura 5-14). La calor entrant en el sistema, per unitat de temps, a causa de l’existència de fonts internes de calor serà: t r ( x, t ) x3 dV �V ê 3 ê1 x1 ê 2 x2 Figura 5-14 Vt � V 5 Equacions de conservació-balanç � � r dV � Calor generada per la font interna unitat de temps V 151 (5.76) En conseqüència, la calor total entrant per unitat de temps en el medi continu (o potència calorífica Qe ) vindrà donada com la suma de les contribucions del flux per conducció (5.75) i de les fonts internes (5.76): Potència calorífica � entrant en el medi � � Qe � � � r dV � � q � n dS V (5.77) �V i, ateses les equacions (5.74) i (5.77), la potència total entrant en el medi continu es pot escriure com: Potència total entrant en el sistema Pe � Qe � 1 2 d �v dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS dt Vt��V 2 V V �V (5.78) 5.10 Balanç de l’energia 5.10.1 Conceptes de termodinàmica � Sistema termodinàmic: és una determinada quantitat de matèria contínua formada sempre per les mateixes partícules (en el nostre cas un volum material). � Variables termodinàmiques: conjunt de variables macroscòpiques que caracteritzen el sistema i intervenen en tots els processos físics que cal estudiar. Es designaran per � i �x, t � i � �1,2, � , n�. � Variables d’estat, independents o lliures: és un subconjunt del grup de variables termodinàmiques en funció de les quals es poden expressar totes les altres. � Estats termodinàmics: un estat termodinàmic queda definit en assignar un cert valor a les variables d’estat i, per tant, a totes les variables termodinàmiques. En un hiperespai (espai termodinàmic) definit per les variables termodinàmiques � i i � �1,2, � , n� (vegeu la Figura 5-15), un estat termodinàmic vindria representat per un punt. �2 �1 Figura 5-15 – Espai termodinàmic 152 5 Equacions de conservació-balanç � Processos termodinàmics: la successió contínua d’estats termodinàmics pels quals passa el sistema entre dos instants de temps t A i t B (és un camí o segment continu en l’espai termodinàmic, vegeu la Figura 5-16). �2 � 2B � 2A B A �1 �1B �1A Figura 5-16 – Procés termodinàmic � Cicle tancat: procés termodinàmic en el qual l’estat termodinàmic final coincideix amb l’estat termodinàmic inicial (totes les variables termodinàmiques recuperen el seu valor inicial), vegeu la Figura 5-17. �2 A� B � 2A �1 �1A Figura 5-17 – Cicle tancat � N O T A La descripció matemàtica d’una funció �(� 1 ,.., � n ) de les variables termodinàmiques mitjançant una forma diferencial �� és un fet molt comú en termodinàmica de medis continus. Funció d’estat: tota funció escalar, vectorial o tensorial ��� 1 � � n � de les variables termodinàmiques que es pot escriure unívocament en funció d’aquestes. Considerem un espai termodinàmic amb variables termodinàmiques � i �x, t � i � �1,2, � , n� i una funció �(� 1 ,...., � n ) de les variables termodinàmiques esmentades definida implícitament mitjançant una forma diferencial: �� � f 1 ��1 , � , � n �d�1 � � � f n ��1 , � , � n � d� n (5.79) Considerem també un determinat procés termodinàmic A � B en l’espai de les variable termodinàmiques. L’equació (5.79) proporciona el valor de la not not funció �(�1B ,...., � nB ) � � B conegut el seu valor �(�1A ,...., � nA ) � � A i el camí corresponent (procés termodinàmic) A � B mitjançant: B � B � � A � � �� A (5.80) 153 5 Equacions de conservació-balanç B� � B � B � � A � � �� A A �1 A B �1 �� �� � �� �� 1 2 �2 B �2 Figura 5-18 – Funció no unívoca de les variables termodinàmiques �1 ,� 2 Tanmateix, l’equació (5.80) no garanteix que el resultat � B sigui independent del camí (procés termodinàmic) seguit. En termes matemàtics, no garanteix que la funció � : R n � R definida mitjançant (5.80) sigui unívoca (vegeu la Figura 5-18) i que, per tant, existeixi una sola imatge �(�1 ,...., � n ) per a cada punt de l’espai termodinàmic (vegeu la Figura 5-18). Observació 5-10 Per tal que una funció �(� 1 ,.....� n ) , descrita implícitament mitjançant una forma diferencial �� , sigui una funció d’estat (és a dir, unívoca), la forma diferencial esmentada ha de ser una diferencial exacta �� � d� . En altres paraules, la forma diferencial �� ha de ser integrable. La condició necessària i suficient perquè una forma diferencial com la (5.79) sigui una diferencial exacta és la igualtat de derivades creuades: �� � f 1 ��1 , � , � n �d�1 � � � f n ��1 , � , � n � d� n � � �f i ��1 , � , � n � �f j ��1 , � , � n � � � �� � d� � �i, j �{1,...n}� �� j �� i � Si la forma diferencial (5.79) és una diferencial exacta, l’equació (5.80) queda: � B � � A � � d� �� A � ����A B A B (5.81) i el valor � B és independent del camí d’integració. Direm llavors que la funció � és una funció d’estat que depèn únicament dels valors de les variables d’estat i no del procés termodinàmic. ��� ��������������������������������� ��������������� ��� � � ��� ���� ������� ��������� �������� �� � ��� ���� ������������ ������� �� �� �������������������������������������������������������� �� ������������� ��� � � � �� �� � � �� � �� �� � � � ������������������������������������ ��� � � � � � ������������������������������������������ �� � �� � ��� � �� �� � ���������������������������� ��������� ����������������������������� �� � � � �� � � � �� � � �� � �� �� � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � �� � ��� �� ��� ������������� �� ������������������������������������������������������������� � ������ ������������������� ������� ����������������������������������� �������������� ��������� ���� ��� ��������� ��������� ������� ��� ��� ���� ����������� ��������������������������� �������� �������� ������������� ���� �������� ��� �������� ������������������������������������������������������������������������������ ��� � �� ��� � � �� ��� � � �� � �� � � �� ��� � � �� ��� � ��� ������ ����������� ��������� ���������� ������������� ���� ��� ����� ��� ��� �������� ��������� ���� ��� ��������� ������������ ��� �� ����� ��� ��������� ������ �������� ��� �� �������������������������������������������������������������������������������� ����� ���� ������ ��� ���� �������� �� ������� ���������� ���� ������� �������� � � ��� ����������������������������������� �� ������ ��� � � � � ���� �  �� ��� �� �� ���� ��������� ������ 155 5 Equacions de conservació-balanç x3 t Vt � V ê 3 ê 2 ê1 Pe � Qe x2 x1 Figura 5-19 El primer principi de la termodinàmica estableix els postulats següents: 1) Existeix una funció d’estat E , denominada energia total del sistema, tal que la seva variació per unitat de temps és igual a la suma de la potència mecànica més la potència calorífica entrants en el sistema: dE � Pe � Qe dt d� E � Pe dt � Qe dt � � Variació de l'energia total Treball mecànic (5.84) Treball calorífic 2) Existeix una altra funció d’estat U denominada energia interna tal que: N O T A Es diu que una certa propietat és extensiva si el contingut de la propietat en el tot és la suma del contingut de la propietat a cada una de les parts. El caràcter extensiu d’una propietat permet definir el contingut de la propietat per unitat de massa (valor específic de la propietat) o per unitat de volum (densitat de la propietat). a) és una propietat de caràcter extensiu. En aquest cas espot definir una energia interna específica u (x, t ) (o energia interna per unitat de massa) tal que: U � � � u dV V (5.85) b) la variació de l’energia total del sistema E és igual a la variació de l’energia interna U més la variació de l’energia cinètica K : d� E � dK � d� U Diferencial Diferencial exacta exacta (5.86) Observació 5-12 Observeu que, atès que s’ha postulat que l’energia total del sistema E i l’energia interna U són funcions d’estat, dE i dU en l’equació (5.86) són diferencials exactes. En conseqüència, dK � dE � dU , en l’equació esmentada, també és diferencial exacta (ja que la diferència entre dues diferencials exactes també ho és) i, per tant, és una funció d’estat. Es pot afirmar, doncs, que l’equació (5.86) postula indirectament el caràcter de funció d’estat (i, per tant) d’energia de K . 156 5 Equacions de conservació-balanç A partir de l’equació (5.84) i considerant l’equació (5.78), es té: dE d 1 �v 2 dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS �� � Pe � Qe � dt dt V ��V 2 V V �V � t �� 1 2 � K � � �v dV � 2 � V 1 dE dK dU d � � � �v 2 dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS dt dt dt dt V ��V 2 V V����� �V��� � ��t ����� ������ dU dK dt dt � Forma global � Forma global � dU d del balanç � u dV � � : d dV � � r dV � q � n dS del balanç � �� dt dt d’energia d' energiainterna�� interna Vt �V V V �V � � � (5.87) � (5.88) Observació 5-13 De l’equació (5.88) es desprèn que tota variació, per unitat de temps, de l’energia interna dU ve produïda per: dt � una generació de potència tensional : � � : d dV V � una variació, per unitat de temps, del contingut de calor del medi: � � r dV � � q � n dS V �V Aplicant el lema de Reynolds (5.33) i el teorema de la divergència en l’equació (5.88) es té: d du � u dV � � � dV � � � : d dV � � � r dV � � � � q dV dt V ��V dt V V V V ��V � V (5.89) t Finalment, localitzant en l’equació (5.89), s’obté la forma local espacial del balanç de l’energia: Forma localespacial � Forma local espacial del balanç � del balanç d' energia � d’energia(equació � � (equació de l' energia) de l’energia) � � du � � : d � � � r � � � q � �x � V �t dt (5.90) 157 5 Equacions de conservació-balanç 5.11 Processos reversibles i irreversibles N O T A Sistema termodinàmic aïllat: és un sistema que no pot intercanviar energia amb l’exterior. En un sentit estricte l’únic sistema perfectament aïllat és l’univers, encara que podem pensar en sistemes més petits quasiaïllats o aïllats de forma imperfecta. El primer principi de la termodinàmica condueix a una equació de balanç de l’energia que s’ha de complir per a tots els processos físics que es produeixen en la realitat: Pe  Qe dE dt dU dK  dt dt (5.91) En un sistema sistema aïllat aïllat (un (un sistema sistema que que no no pot pot intercanviar intercanviar En particular, particular, si si considerem considerem un energiaamb ambl’exterior), l’exterior), lala variació variació temporal temporal de energia de l’energia l’energia total total del delsistema sistemaserà serà dE l’energia total total es es conserva) conserva) i,i, per nul·la((dE 00Ÿ Ÿ l’energia per tant, tant, l’equació l’equació de de balanç balanç de de nul·la dtdt l’energia (5.91), (5.91), establerta establerta pel pel primer primer principi principi de l’energia de la la termodinàmica, termodinàmica, imposa imposa que que dU s’ha de de compensar tota variació variació d’energia d’energia interna interna dU s’ha compensar amb amb una una variació variació igual igual ii tota dt dt dK dK signe contrari d’energia cinètica i viceversa (vegeu la Figura 5-20). de de signe contrari d’energia cinètica i viceversa (vegeu la Figura 5-20. dt dt Figura 5-20). dE dt 0 dU dK  dt dt Figura 5-20 – Sistema termodinàmic aïllat El que no diu el primer principi de la termodinàmica és si aquest intercanvi d’energies (cinètica i interna) en un sistema aïllat es pot produir indistintament en qualsevol sentit ( dU dt  dK dU ! 0 , o bé, dt dt  dK  0 ). És a dir, no estableix dt cap restricció que indiqui si un procés arbitrari i imaginari que impliqui un intercanvi d’energia en un determinat sentit és físicament possible o no. L’únic que estableix és la satisfacció del balanç d’energia (5.91) en el cas que el procés es produeixi. Tanmateix, l’experiència demostra que, certs processos que podrien ser imaginats teòricament, no es produeixen mai en la realitat. Suposem, per exemple, el sistema aïllat de la Figura 5-21 constituït per:  una roda rígida (no deformable) que gira amb velocitat angular Z ,  un fre que es pot aplicar sobre la roda en un determinat instant. Z Figura 5-21 158 5 Equacions de conservació-balanç Considerem ara els dos processos següents: N O T A En tractar-se d’un medi no deformable, la potència tensional és nul·la (vegeu l’Observació 5-8) i tota variació de l’energia interna del sistema derivarà d’una variació del seu contingut de calor (vegeu l’Observació 5-13). 1) En un cert instant el fre actua, la velocitat de gir de la roda, � , disminueix i, per tant, en disminueix l’energia cinètica ( dK � 0 ). D’altra banda, a causa de la fricció entre el fre i la roda, es generarà calor i es produeix un augment de l’energia interna ( dU � 0 ). L’experiència demostra que aquest procés, en el qual augmenta l’energia interna a costa de disminuir l’energia cinètica, es pot donar en la realitat i que, per tant, és un procés físicament factible. 2) Mantenint el fre sense aplicar, en un cert instant la roda augmenta espontàniament la seva velocitat de gir � i, per tant, augmenta la seva energia cinètica ( dK � 0 ). D’acord amb el primer principi disminuirà l’energia interna del sistema ( dU � 0 ). Tanmateix, l’experiència demostra que aquest augment (espontani) de la velocitat de la roda no es produeix mai ni tampoc la disminució consegüent de la quantitat de calor del sistema (que es reflectiria en una disminució de la seva temperatura). La conclusió davant d’aquesta observació és que el segon procés considerat en l’exemple no és un procés físic factible. Més generalment, per al sistema considerat només són factibles processos termodinàmics que tendeixin a augmentar l’energia interna i a disminuir l’energia cinètica i no el contrari. Concloem, doncs, que només quan un determinat procés físic és factible el primer principi és aplicable, i s’adverteix la necessitat de determinar quan un determinat procés físic és factible o si un procés físic és factible en una direcció, en totes dues o en cap. La resposta a aquesta qüestió la proporciona el segon principi de la termodinàmica. Les consideracions anteriors porten a classificar, des d’un punt de vista termodinàmic, els possibles processos físics en processos factibles o no factibles i, a més, suggereixen classificar els processos factibles en processos reversibles i processos irreversibles. Definicions Procés reversible: un procés termodinàmic A � B és reversible si és possible tornar des de l’estat termodinàmic final B a l’estat termodinàmic inicial A pel mateix camí (vegeu la Figura 5-22). Procés irreversible: un procés termodinàmic A � B és irreversible si no és possible tornar des de l’estat termodinàmic final B a l’estat termodinàmic inicial A pel mateix camí (encara que s’hi pugui tornar per un camí diferent, vegeu la Figura 5-22). 159 5 Equacions de conservació-balanç Procés irreversible Procés reversible �2 �2 B B A A �1 �1 Figura 5-22 – Processos reversibles i irreversibles En general, dins d’un mateix procés termodinàmic hi haurà trams reversibles i trams irreversibles. 5.12 Segon principi de la termodinàmica. Entropia 5.12.1 Segon principi de la termodinàmica. Forma global El segon principi de la termodinàmica estableix els dos postulats següents: N O T A Es diu que una certa propietat és intensiva si el contingut de la propietat en el tot no és la suma del contingut de la propietat a cada una de les parts. Al contrari del que passa amb les propietats extensives, en aquest cas no es pot definir el contingut de la propietat per unitat de massa (valor específic de la propietat) o per unitat de volum (densitat de la propietat). La temperatura és un exemple paradigmàtic de propietat intensiva. 1) Existeix una funció d’estat denominada temperatura absoluta �(x, t ) , que és intensiva i estrictament positiva ( � � 0 ). 2) Existeix una funció d’estat denominada entropia S amb les característiques següents: a) És una variable extensiva (el contingut de l’entropia en el tot és la suma del contingut en les parts). Això implica que existeix una entropia específica (entropia per unitat de massa) s tal que: s� entropia unitat de massa � S � � � s dV V (5.92) b) Es compleix la desigualtat següent: Forma integral � � del segon r dS d q � � � s dV � � � dV � � � n dS �� � principi de la � dt dt Vt �V � � �V V � termodinàmica � on : � el signe � correspon a processos reversibles. � el signe � correspon a processos irreversibles. (5.93) 160 5 Equacions de conservació-balanç � el signe � no es pot donar i indica que el procés corresponent és no factible. 5.12.2 Interpretació termodinàmica física del segon principi de la A l’apartat 5.9.2 s’ha vist que la magnitud calor en el sistema ve caracteritzada per: a) un terme de font (o de generació de calor per unitat de massa i de temps) r (x, t ) , definit a l’interior del volum material i b) el flux no convectiu (flux de calor per conducció) a través del contorn de la superfície material, definit mitjançant un vector de flux no convectiu per unitat de superfície q(x, t ) . Amb aquests termes es pot calcular la quantitat de calor que entra per unitat de temps en un volum material Vt , que ocupa instantàniament el volum de l’espai Vt � V de normal exterior n , com: Qe � � � r dV � � q � n dS V (5.94) �V Considerem ara una nova magnitud definida com calor per unitat de temperatura absoluta en el sistema. Si �(x, t ) és la temperatura absoluta, la quantitat de la magnitud esmentada vindrà caracteritzada per: a) un terme de font r corresponent a la generació de calor per unitat de � temperatura absoluta, per unitat de massa i unitat de temps, i b) un vector absoluta. q de flux no convectiu de calor per unitat de temperatura � Magnitud Calor unitat de temps Terme de font Vector de flux no convectiu r q r � q � Calor / u. de temperatura absoluta unitat de temps De forma paral·lela a l’equació (5.94), els nous termes font, no convectiu, r , i vector de flux � q , permeten calcular la quantitat de calor per unitat de temperatura � absoluta que entra al volum material per unitat de temps com: (Calor/u. de temperatura) que entra en V � unitat de temps q r � � � dV � � � � n dS V �V (5.95) Observant ara l’equació (5.95), veiem que el segon terme d’aquesta correspon precisament a la magnitud definida en l’equació (5.93). Aquesta circumstància permet interpretar el segon principi establint que la generació d’entropia, per unitat 161 5 Equacions de conservació-balanç de temps, en un medi continu sempre és més gran o igual que la quantitat de calor per unitat temperatura que entra en el sistema per unitat de temps. Forma global � � dS del segon principi � � � dt de la termodinàmica �� q r � � � dV � � � � n dS �V ������ ������� Quantitat de la propietat "Calor /u. de temperatura absoluta" que entra en el domini V per unitat de temps V (5.96) Considerem ara la descomposició de l’entropia total del sistema S en dos components diferenciats: � S (i ) : entropia generada (produïda) interiorment pel medi continu. La seva taxa de generació temporal és � dS �i � , dt S (e ) : entropia generada per interacció del medi continu amb el seu exterior. La seva dS �e � taxa de variació temporal és , dt i es compleix naturalment: dS dS �e � dS �i � � � dt dt dt (5.97) Si s’estableix ara que la variació temporal de l’entropia generada per interacció amb l’exterior coincideix amb la de la magnitud calor per unitat de temperatura absoluta, de l’equació (5.94) es pot escriure: dS �e � r q � � � dV � � � n dS � � dt V �V (5.98) i, tenint en compte les equacions (5.96) a (5.98), la variació per unitat de temps de l’entropia generada internament serà: � q dS �i � dS dS �e � dS � r � � � � � � dV � � � n dS � � 0 � dt dt dt dt �V� � �V � (5.99) Observació 5-14 Segons l’equació (5.99), l’entropia de generació interna S (i ) del sistema (medi continu) sempre augmenta ( dS �i � � 0 ). En un sistema dt perfectament aïllat (estrictament parlant, només la totalitat de l’univers ho és) no hi ha interacció amb l’exterior i la variació d’entropia per interacció amb l’exterior és nul·la ( principi estableix que dS �e � � 0 ). En aquest cas, el segon dt dS �i � dS � � 0 , és a dir, que l’entropia total d’un dt dt sistema perfectament aïllat sempre augmenta. Aquest és el punt de partida d’algunes formulacions alternatives del segon principi de la termodinàmica. 162 5 Equacions de conservació-balanç 5.12.3 Reformulació del segon principi de la termodinàmica Ateses les consideracions de l’apartat 5.12.2 podem reformular el segon principi en els termes següents: 1) Existeix una funció d’estat denominada temperatura absoluta tal que sempre és estrictament positiva: �( x, t ) � 0 (5.100) 2) Existeix una funció d’estat denominada entropia que és una variable extensiva i que, per tant, es pot definir en funció d’una entropia específica (o entropia per unitat de massa) s (x, t ) com: S (t ) � � � s dV V (5.101) 3) L’entropia pot ser de generació interna, S (i ) , o produïda per interacció amb l’exterior, S (e ) . Tots dos components de l’entropia són variables extensives i el seu contingut en un volum material V es pot definir en funció dels seus valors específics respectius s (i ) i s (e ) : S (i ) � � � s (i ) dV V (e) S � � � s ( e ) dV (5.102) V S � S (i ) � S ( e) � dS dS �i � dS �e � � � dt dt dt (5.103) i fent servir el Lema de Reynolds (5.33) en l’equació (5.103): dS (i ) d ds (i ) dV � � s (i ) dV � � � � dt dt V �V dt V t (e) dS d ds ( e ) � � s ( e ) dV � � � dV � dt dt V �V dt V (5.104) t 4) La variació d’entropia externa (generada per interacció amb l’exterior) està associada a la variació de la magnitud calor per unitat de temperatura absoluta, i es defineix com: q dS �e � r � � � dV � � � n dS dt � � �V V (5.105) 5) L’entropia de generació interna no disminueix mai. En funció de la variació del seu contingut durant un procés termodinàmic es defineixen les situacions següents: i �� � 0 dS � � � 0 � �� 0 dt �� 0 procés reversible procés irreversible procés no factible (5.106) 163 5 Equacions de conservació-balanç 5.12.4 Forma local del segon principi de la termodinàmica. Equació de Clausius-Plank Fent servir les equacions (5.102) a (5.105), l’equació (5.106) es reescriu com: dS �i � dS dS �e � � � �0 dt dt dt � � r q d d � s (i ) dV � � s dV � � � � dV � � � n d� � � 0 � � dt V �V dt V �V � � �V � �V t t (5.107) Aplicant el lema de Reynolds (per a la primera i segona integral del terme de l’esquerra de l’equació (5.107)) i el teorema de la divergència (en l’última integral), s’obté: �� V � r ds �i � ds �q� � dV � � � dV � � � � dV � � � � � �dV � � 0 ��V � V dt dt ��� � V V �V � (5.108) i localitzant en l’equació (5.108), s’arriba a la forma local del segon principi de la termodinàmica o equació de Clausius-Duhem: Forma local del � Forma local del � segon segonprincipi principi de � ds �i � ds � r � � q �� � � � �� � � � � � � �� � 0 delalatermodinàmica termodinàmica� � � � dt dt � � �� � (desigualtat de � (desigualt at de Clausius-Duhem) � �x � V �t (5.109) Clausius- Duhem) �� On, de nou, en l’equació (5.109) el signe: � correspon a processos reversibles, � correspon a processos irreversibles, � indica que el procés corresponent és no factible. L’equació (5.109) és susceptible de ser reelaborada com segueix: � � �� �� ds �i � ds 1 r 1 � � � � � � � � q � 2 q � �� � 0 � dt� � � � dt � �� � not not ( i ) � s� � s� �� 1 �q� 1 � � � � � � � q � 2 q � �� � � � � � r 1 1 s� �i � � s� � � � � q � 2 q � �� � 0 � �� �� ������� ��� � �� � �i � �i � s�local s�cond (5.110) (5.111) Una formulació més forta (més restrictiva) del segon principi de la termodinàmica postula que l’entropia generada internament, s� �i � , es pot �i � �i � generar localment, s�local , o per conducció tèrmica, s�cond , i que totes dues contribucions a la generació d’entropia han de ser no negatives: 164 5 Equacions de conservació-balanç Generació interna � r 1 � �i� ��q � 0 local d'entropia: � � s�local � s� � � � �� � (desigualtat de Clausius-Plank) � (5.112) Generació interna � 1 � �i � d'entropia per q � �� � 0 � � s�cond � � 2 �� � conducció de calor � (5.113) Observació 5-15 L’equació (5.113) es pot interpretar de la manera següent: com que la densitat, � , i la temperatura absoluta, � , són magnituds positives, l’equació esmentada es pot escriure: q � �� � 0 que estableix que el flux no convectiu de calor, q , i el gradient de temperatura, �� , són vectors que tenen sentits oposats (el seu producte escalar és negatiu). En altres paraules, l’equació (5.113) és l’expressió matemàtica del fet experimentalment contrastat que la calor flueix per conducció de les parts més calentes del medi a les més fredes (vegeu la Figura 5-23), caracteritzant com a no factibles aquells processos en els quals passi el contrari. �� q � �� � 0 Calent � �1 Fred � 2 � �1 � �3 � � 2 q Figura 5-23 – Flux de calor oposada al gradient tèrmic Observació 5-16 En el context de la llei de Fourier de conducció de la calor: q � � K �� (vegeu l’Observació 5-9) l’equació (5.113) es pot escriure: q � �� � 0 � 2 � � � K �� � 0 � K � 0 q � � K � �� posant de manifest la manca de sentit físic de valors negatius de la conductivitat tèrmica K . 5 Equacions de conservació-balanç 165 5.12.5 Formes alternatives del segon principi de la termodinàmica En mecànica de medis continus se solen utilitzar expressions alternatives de l’equació de Clausius-Plank (5.112) combinant-la amb la forma local de l’equació de balanç de l’energia (5.90). x Equació de Clausius-Plank en funció de l’energia interna específica Una forma usual d’expressar l’equació de Clausius-Plank és fer-ho en funció de l’energia interna específica u (x, t ) de l’equació (5.85). Aquesta expressió s’obté fent servir la forma local espacial de l’equació de balanç d’energia (5.90): U du dt not U u U r ’ ˜q V : d  U r  ’ ˜q Ÿ U u  V : d (5.114) i substituint-la en l’equació de Clausius-Plank (5.112): UTs  > U r  ’ ˜ q@ UT s  U u  V : d t 0 i U T slocal (5.115) Equació de Clausius-Plank Þ Ñ ß   U ( u  T s )  V : d • 0 Ñ à en funció de l'energia interna x (5.116) Equació de Clausius-Plank en funció de l’energia lliure d’Helmholtz Una altra possibilitat és expressar l’equació de Clausius-Plank en funció de l’energia lliure (específica) de Helmholtz \(x, t ) , que es defineix en funció de l’energia interna, de l’entropia i de la temperatura com: \ def (5.117) u  sT Derivant respecte al temps l’equació (5.117), s’obté \ u  sT  sT Ÿ u  Ts >\  sT @ (5.118) i substituint l’equació (5.118) en la (5.116), s’obté l’equació de Clausius-Plank en funció de l’energia lliure de Helmholtz: i U T slocal U(u  T s)  V : d U(\  sT )  V : d t 0 (5.119) Equació de Clausius-Plank Þ en funció de l'energia lliure Ñ ß   U ( \  sT )  V : d • 0 Ñ à (5.120) Per al cas de deformació infinitesimal es té que d H (vegeu el capítol 2, observació 2-22) i substituint en l’equació (5.120) s’obté: ½ de Equació Equació de   U ( \ °s oT)U(\V : sHT)• 0V : H t 0 Clausius-Plank   Clausius - Plank ¾ (deformació infinitisemal) ° (deformació infinitesim ¿ (5.121) 166 5 Equacions de conservació-balanç 5.13 Equacions de la mecànica de medis continus. Equacions constitutives Arribats en aquest punt, resulta convenient resumir el conjunt d’equacions diferencials (locals) que proporcionen les equacions de conservació-balanç: 1) Conservació de la massa. Equació de continuïtat: d� � � �� � v � 0� dt � � � 1 equació d� � vi � 0� �� �� � xi dt (5.122) 2) Balanç de la quantitat de moviment. Equació de Cauchy: dv � � dt � � � 3 equacions �� ji dv i � � bi � � i � {1,2,3}� � xj dt �� � � � � �b � � 3) Balanç del moment angular. Simetria del tensor de tensions: � � � �T � � 3 equacions � 12 � � 21 ; � 13 � � 31 ; � 23 � � 32 � (5.123) (5.124) 4) Balanç de l’energia. Primer principi de la termodinàmica: du � � � : d � ��r � � � q � � dt � � � 1 equació � � q i �� du �� � � ij d ij � �� �r � � � xi ��� dt � � (5.125) 5) Segon principi de la termodinàmica. Desigualtat de Clausius-Plank i del flux de calor: � � �u� � � s� � � � : d � 0 � � � 1 restricció � � �u� � � s� � � � ij d ij � 0� 1 q � �� � 0 �� 2 1 �� qi � �0 �� 2 � xi � � � � � � 1 restricció � �� (5.126) que sumen un total de 8 equacions diferencials en derivades parcials (EDP) i dues restriccions. 5 Equacions de conservació-balanç N O T A No es comptabilitzen com a incògnites els sis components diferents del tensor velocitat de deformació d , a les equacions (5.125) i (5.126), ja que se suposen implícitament calculables en funció de la velocitat v mitjançant la relació: d( v ) � � s v (vegeu el capítol 2, apartat 2.13.2). 167 Fent un recompte del nombre d’incògnites que intervenen en les equacions esmentades es té. � � 1 incògnita � v � 3 incògnites �� � � 9 incògnites � � u � 1 incògnita � 19 incògnites q � 3 incògnites � � � � 1 incògnita � s � 1 incògnita �� És evident, per tant, que caldran equacions addicionals per resoldre el problema. Aquestes equacions, que reben el nom genèric d’equacions constitutives i que són pròpies del material que constitueix el medi continu, són: 6) Llei de Fourier de conducció de la calor: q � � K �� � � �� � � 3 equacions qi � � K i � {1,2,3}� � xi � N O T A És freqüent que en les equacions constitutives termomecàniques intervinguin les deformacions, � , que tanmateix no es comptabilitzen com a incògnites addicionals, atès que se suposen calculables en funció de les equacions del moviment que, al seu torn, es poden calcular per integració del camp de velocitats � � � �(v ) (vegeu els capítols 1 i 2). (5.127) 7) Equacions constitutives (pròpiament dites): Eq. constitutives � f i ��, �( v ),� , � � � 0 i � {1,..,6} � 6 equacions termomecàniques : (5.128) Eq. constitutiva � s � s ��( v )�� , � � de l' entropia : � 1 equació on � � ��1 ,...., � p } són un conjunt de noves variables termodinàmiques ( p noves incògnites) introduïdes per les equacions constitutives termomecàniques. 8) Equacions termodinàmiques d’estat: Equació calòrica � � d' estat �� � � (1 � p ) equacions � Equacions � Fi �� ,� , � � � 0 i � {1,2... p}� �� cinètiques d' estat � u � g ( � , �( v ),� , �) (5.129) Ens trobem ara amb un conjunt de (19+ p ) equacions i (19+ p ) incògnites que, amb les condicions de contorn adequades, defineixen un problema matemàticament ben posat. 168 5 Equacions de conservació-balanç Observació 5-17 Les equacions de continuïtat, de Cauchy, de simetria del tensor de tensions, de balanç d’energia, i les desigualtats del segon principi de la termodinàmica (equacions (5.122) a (5.126)) són vàlides i generals per a qualsevol medi continu, sigui quin sigui el material que el constitueixi i per a qualsevol rang de desplaçaments o de deformacions. Al contrari, les equacions constitutives (5.127) a (5.129) són específiques del material o del tipus del medi continu amb què es tracti (sòlid, fluid, gas) i els diferencien entre si. 5.13.1 Problema termomecànic desacoblat Per a la resolució del problema general en mecànica de medis continus s’ha de resoldre un sistema d’equacions diferencials en derivades parcials que involucra les (19+ p ) equacions i les (19+ p ) incògnites discutides a l’apartat anterior. Tanmateix, en determinades circumstàncies o sota certes hipòtesis, és possible descompondre el problema general en dos problemes menors (involucrant cada un d’ells un nombre menor d’equacions i incògnites), denominats problema mecànic i problema tèrmic, que es poden resoldre de forma independent (desacoblada) entre si. Com a exemple, considereu que la distribució de temperatures �(x, t ) és coneguda a priori, o no intervé de forma rellevant en les equacions constitutives termomecàniques (5.128) i que, a més, les equacions constitutives esmentades no involucren noves variables termodinàmiques ( � � {�} ). En aquest cas, considerem el conjunt d’equacions següent: Eq. de continuïtat : N O T A Per simplicitat, s’ha suposat aquí la simetria del tensor de tensions (5.124) ja imposada, eliminant aquesta condició del conjunt d’equacions i reduint el nombre d’incògnites de � de 9 a 6 components. Eq. de Cauchy : Eq. constitutives mecàniques : � (1 ec.) � � � (3 ec.) � � 10 equacions � f i ��, � ( v) � � 0 i � {1,...6} (6 ec.)� �� d� � �� � v � 0 dt dv ��� � � b � � dt (5.130) que involucren les incògnites següents: � (x, t ) � 1 incògnita � � v(x, t ) � 3 incògnites � 10 incògnites �(x, t ) � 6 incògnites�� (5.131) El problema definit per les equacions (5.130) i (5.131) constitueix el denominat problema mecànic que involucra les variables (5.131) (denominades variables mecàniques) que, d’altra banda, són les de vertader interès en molts problemes d’enginyeria. El problema mecànic constitueix, en aquest cas, un sistema d’equacions diferencials reduït respecte al problema general i es pot resoldre independentment de la resta de les equacions d’aquest. 6 Elasticit at lineal 6.1 Hipòtesi de la teoria de l’elasticitat lineal La teoria de l’elasticitat lineal es pot considerar una simplificació de teories més generals (teoria general de l’elasticitat), però prou aproximada per a la majoria de les aplicacions en enginyeria. Les hipòtesis simplificatives de la teoria de l’elasticitat lineal són essencialment les següents: a) Deformacions infinitesimals (els desplaçaments i els seus gradients són petits, vegeu el capítol 2) � Desplaçaments petits: No es diferencien la configuració material (corresponent a l’instant de referència t 0 ) de l’espacial (corresponent a l’instant actual t ) i, en conseqüència, tampoc es diferencien les coordenades espacials de les materials (vegeu la Figura 6.1). x�X�� u � x�X �0 Observació 6-1 Com a conseqüència de l’equació (6.1), no hi ha diferència entre les descripcions espacial i material d’una propietat: x � X � � (x, t ) � � ( X, t ) � �( X, t ) � �(x, t ) i qualsevol referència a descripcions espacials i materials (com també als conceptes associats, com derivada local, derivada material, etc.) perd el seu sentit en elasticitat infinitesimal. Tampoc es distingeix entre els operadors diferencials nabla espacial ( � ) i nabla material ( � ): � (�) �(�) � � � (�) � � (�) �X �x A partir de l’equació (6.1), es pot escriure: (6.1) 170 6 Elasticitat lineal F� �x � 1 � F �1 �X (6.2) Observació 6-2 Com a conseqüència de l’equació (6.2) i de l’equació de conservació de la massa, la densitat en la configuració actual � t � �( X, t ) coincideix amb la de la configuració de referència � 0 � �( X,0) (que se suposa coneguda): �0 � �t F � �t i, en conseqüència, la densitat no és incògnita en problemes d’elasticitat lineal. � Gradients dels desplaçaments petits Com a conseqüència no hi ha distinció entre els tensors material E( X, t ) i espacial e(x, t ) de deformació que col·lapsen en el tensor de deformació infinitesimal �(x, t ) : E( X, t ) � e(x, t ) � �(x, t ) 1 � S � � � � u � 2 �u � � � � � u � � � � �u � � � ij � 1 � �u i � j � i, j �{1,2,3} � 2 � �x j �xi � � (6.3) t x3 t0 ê 3 ê1 x1 b) ê 2 x2 Figura 6.1 Existència d’un estat neutre S’admet l’existència d’un estat neutre en el qual les deformacions i les tensions són nul·les. Normalment, s’entén que l’estat neutre es produeix en la configuració de referència: �� �x, t 0 � � 0 � �� �x, t 0 � � 0 (6.4) 171 6 Elasticitat lineal N O T A La restricció a processos isotèrmics desapareix en la teoria de la termoelasticitat lineal tractada a l’apartat 6. c) Es considera (en principi) que el procés de deformació és isotèrmic i adiabàtic Definicions Processos isotèrmics: aquells que tenen lloc a temperatura T(x, t ) constant al llarg del temps: Ÿ T(x, t ) { T(x) Processos adiabàtics: aquells que es produeixen sense generació de calor en tot punt i instant de temps: Calor Calorgenerada generadaen enun undomini domini Calor generada domin V : ³ U r dV  ³ q ˜ n dS Ÿ U r  ’ ˜q 0 0 V wV V x t Els processos de deformació lents solen considerar-se adiabàtics. 6.2 Equació constitutiva elàstica lineal. Llei de Hooke generalitzada La llei de Hooke per a problemes unidimensionals suposa la proporcionalitat entre la tensió, V , i la deformació, H , a través de la constant de proporcionalitat denominada mòdul d’elasticitat E : V EH (6.5) En la teoria de l’elasticitat aquesta proporcionalitat es generalitza al cas multidimensional suposant la linealitat de la relació entre els components del tensor de tensions V i de deformacions H en el que s’anomena llei de Hooke generalitzada: Llei de Hooke generalitzada ÎÑ V ( x, t ) � : H ( x, t ) Ï i , j ° ^1, 2, 3` ÑÐ V ij � ijkl H kl (6.6) que constitueix l’equació constitutiva per a un material elàstic lineal. El tensor de quart ordre � (denominat tensor de constants elàstiques) té en principi 34 = 81 components. Tanmateix, a causa de la simetria de V i H , ha de presentar certes simetries davant l’intercanvi d’índexs. Aquestes són: �ijkl �ijkl �ijkl � jikl ÞÑ ß  Simetries majors �ijlk Ñà �klij  Simetries menors (6.7) i, com a conseqüència, el nombre de constants diferents en el tensor de constants elàstiques � es redueix llavors a 21. ��� �������������������� �������������� ���� ��������������� ���������� ���� ������������� �������� ����� �� ��������������������������������������������������������������������� �������������������� �(�, � ) �������������������������������������������� ���������� �(�, � ) ����������������������������������������������������� ������ ����������������� � � � � �������������������� ������������������������� ������������� ��������������� � � � ���������������������������������������� � (�, � ) ��������������������������������������� ��������� ���������� �������� �� (�, � ) ��������� ��������������� ��� ������� ������������ ���� �� (�, � ) � � 0 � (�, � ) ��� �� �� �� � (� 0 � ) ��� � � �0 � � �� �� �� �� ����� ����������������������������� � 0 � � ����������������������������������������� ������������������������������������� �0 �� � �� � ���� � � �0 � � � � � � � � � ����� �� �� � �0 ��� � � ��� �� ����� ��� ����� ����������� ��� ����������� ����������� ���� ������� ��� ���������� � � � � � ��� � 0 �� ��������������������������������������������������������������������������������� ������������������ � � ��� � ���� � �� � � � � � � � ��� � � ����� ������� � �� � � �� �� �� �� � ��� � � ����� ���������� � �� � �� ������� ��� � ����������� ������� ��� � � � �� � ��� ��� � � � � ��� � (� ) ���������������������������������������������������� �������������� �������������������������������������������������������������������������� ������� ������������������� � � � � � ��� � � �� �� ������ 6 Elasticitat lineal 173 Substituint ara l’equació (6.6) en la (6.9): 1 duˆ not � � uˆ � � : � � ��ij� ij � ��ij Cijkl � kl � ���ij Cijkl � kl � ��ij Cijkl � kl � � dt 2 1 1 � � ��ij Cijkl � kl � ��kl C klij � ij � � � ��ij Cijkl � kl � � ij Cijkl ��kl � � 2 2 1 1d � � ��ij Cijkl � kl � � ij Cijkl ��kl � � �� ij Cijkl � kl � � 12 dtd � � : C : � � 2 2 dt (6.11) on s’han considerat les simetries de l’equació (6.7). Integrant l’equació (6.11) i imposant la condició que la densitat d’energia interna uˆ (x, t 0 ) a l’estat neutre (per a t � t 0 � � (x, t 0 ) � 0) ) sigui nul·la: N O T A La condició uˆ (x, t 0 ) � 0 es pot introduir sense pèrdua de generalitat. 1 ��� x, t ) : C : �� x, t ) � � a( x)�� 2 �� �� ˆu (x, t 0 ) � 0 �x 1 � �� x, t 0 ) : C : �� x, t 0 ) � a (x) � a (x) � 0 �x 2 ��� �0 uˆ (x, t ) � Densitat interna Densidadd’energia de energía interna � uˆ (�) � 1 1 � � : C : � � � � ij Cijkl � kl 2 2 (6.12) (6.13) Derivant l’equació (6.13) respecte a � i tenint de nou en compte les simetries: 1 1 1 � �uˆ (�) 1 :C �� � � 2 C:� � 2 C:� � C :� � � � �� � 2 C : � � 2 �� � C: � � � �uˆ (�) � 1 C � � 1 � C � 1 C � � 1 C � � C � � � ijkl kl kl klij ijkl kl ijkl kl ijkl kl ij � �� 2 2 2 2 � ij � �uˆ (�) �� �� � � �� �uˆ (�) � � � ij �� �� ij i, j �{1,2,3} (6.14) (6.15) L’equació (6.15) qualifica la densitat d’energia interna uˆ (� ) com un potencial per a les tensions (que s’obtenen per derivació d’aquest) denominat potencial elàstic: PPotencial o te n c ia lelàstic e là s tic � uˆ ( � ) � 1 1 �:C :� � � :� � 2 2 � � uˆ ( � ) � � �� (6.16) 174 6 Elasticitat lineal 6.3 Isotropia. Constants de Lamé. Llei de Hooke per a elasticitat lineal isòtropa Definició Material isòtrop: Aquell que té les mateixes propietats en totes les direccions. N O T A Un tensor és isòtrop si manté els seus components en qualsevol sistema de coordenades cartesià. L’expressió més general d’un tensor isòtrop de quart ordre és: C � �1 � 1 � 2�I �� i � R E C O R D A T O R I El tensor simètric unitari de quart ordre I (isòtrop) es defineix mitjançant els seus components: �I �ijkl � 1 ��ik � jl � �il � jk � 2 Per al cas d’un material elàstic lineal, les propietats elàstiques estan contingudes al tensor C de propietats elàstiques de les equacions (6.6) o (6.7). En conseqüència, els components del tensor esmentat han de ser independents de l’orientació del sistema cartesià en el qual es treballi. Si considerem, per exemple, els sistemes {x1, x2 , x3} i {x1´, x2 ´, x3´} de la Figura 6.2, l’equació constitutiva per als dos sistemes s’escriu: {x1 , x 2 , x 3 } � ��� � �C� : �� � (6.17) {x1 ´, x 2 ´, x3 ´} � ��� � �C � : �� � ´ ´ ´ i, per al cas de material isòtop, els components de C en tots dos sistemes han de ser els mateixos ( � �C� � �C�´ ). En conseqüència, l’anterior definició, de caràcter físic, d’isotropia es tradueix en el caràcter isòtrop, en el sentit matemàtic, del tensor de constants elàstiques C : Tensor de �C � �1 � 1 � 2�I �� constants � � elàstiques �Cijkl � ��ij � kl � � ��ik � jl � �il � jk � i, j , k .l � {1, 2,3} � � � (6.18) On �, � són conegudes com les constants de Lamé, que caracteritzen el comportament elàstic del material i que s’han d’obtenir experimentalment. x3 x2 ´ x3 ´ x1 ´ x2 x1 Figura 6.2 Observació 6-5 La condició d’isotropia redueix el nombre de constants elàstiques del material de 21 a 2. Substituint l’equació (6.18) en la (6.6) s’obté l’equació constitutiva elàstica lineal isòtropa: 175 6 Elasticitat lineal 1 1 � ij � C ijkl � kl � �� ij � kl � kl � 2� ( � ik � jl � kl � � il � jk � kl ) ��� ��� � 2� ��� � 2� �ll �ij � ji ��ij ����������� (6.19) �ij Equació constitutiva per a material elàstic lineal isòtrop. Llei de Hooke. � � � � Tr(�) 1� 2� � � �� � � � �� � � 2� � i, j � 1,2,3 � � ij ll ij � ij (6.20) 6.3.1 Inversió de la llei de Hooke. Mòdul de Young. Coeficient de Poisson L’equació constitutiva (6.20) proporciona les tensions en funció de les deformacions. Per obtenir la seva inversa es procedeix de la manera següent: a) S’obté la traça de l’equació (6.20): �1� � 2 � Tr �� � � �3� � 2� �Tr �� �� Tr �� � � � Tr �� � Tr � �� 3 �� (i � j ) � � ii � �� ll � ii � 2�� ii � �3� � 2� � � ll � � �� 3 1 � Tr �� � � Tr �� � �3� � 2� � (6.21) b) aïllant � de l’equació (6.20) i substituint la (6.21): ��� 1 1 1 � Tr �� � 1 � ��� � � Tr �� � 1 � 2� 2� 2 � �3� � 2� � 2� (6.22) Definint ara unes noves propietats elàstiques E (mòdul de Young) i � (coeficient de Poisson): � � 3� � 2� � � � � �E� � (Mòdul de deformació longitudinal) � ��� � �� � � Coeficient de Poisson : �� � 2 � � � � � �� Mòdul de Young : �E � �� � �1 � � ��1 � 2� � � �� E �� � � G � (Mòdul de deformació transversal) �� 2 �1 � � � (6.23) L’equació (6.22) es pot reescriure en funció de E i de � donant lloc a la llei de Hooke inversa: 1� � � � Equació constitutiva �� � � � E Tr ( � ) 1 � E � inversa per a material � � �� � � � � � � 1 � � � elàstic lineal isòtrop ll ij ij � ij E E i , j � {1, 2, 3} (6.24) 176 6 Elasticitat lineal Finalment, les equacions (6.24) es poden reescriure utilitzant la notació enginyeril per als components dels tensors de tensió de deformació com: � �� 1 �x � � �y � �z E 1 � y � � y � ��� x � � z � E 1 �z � �z � � �x � � y E �x � � � � � � �� 1 � xy G 1 � xz � � xz G 1 � yz � � yz G � xy � (6.25) Exemple 6.1 Per a la peça de la figura, constituïda per un material elàstic lineal isòtrop, amb mòdul de Young E i mòdul de deformació transversal G , s’admet l’estat tensional uniforme següent: �x � 0 ; � y � � z � � xy � � xz � � yz � 0 Obteniu les deformacions enginyerils. y �x �x x z Figura 6.3 Resolució De les equacions de (6.25) es pot obtenir: 1 � �� x � E � x � � � � y � � z � 0 � �� y � �� x E � �x � �� z � �� E � � xy � � xz � � yz 1 � �� xy � G � xy � 0 � 1 � � 0 � �� xz � � xz � 0 G � 1 � �� yz � G � yz � 0 � Com a conseqüència de les deformacions esmentades la peça s’estira en la direcció x i es contreu en les direccions y , z (vegeu la Figura 6.3). 6.4 Llei de Hooke en components esfèrics i desviadors Considerem la descomposició dels tensors de tensions � i de deformacions � en la seva part esfèrica i desviadora: 1 � � Tr �� � 1 � �´� � m 1 � �´ 3��� � � �m (6.26) 177 6 Elasticitat lineal 1 1 � � Tr (�� 1 � �´� e 1 � �´ 3 3 ��� e (6.27) La deformació volumètrica e � Tr �� � s’obté a partir de la traça de l’equació (6.24): 3 (1 � 2�) 1� � 1 � 2� � �� Tr �� � Tr (1) � Tr �� � � Tr �m �� � � � � � � E E E E 3�m 3 (6.28) E � ��� m � 3(1 � 2� ) e � K e � � def E 2 �K � � � � � � Mòdul de deformació volumètrica �� 3 3(1 � 2� ) (6.29) e � Tr �� � � � Substituint les equacions (6.26), (6.27) i (6.29) en la (6.24): 1 �� � � �� m 1 � �´� � 3� m 1 � � E E � 1 � 2� 1�� 1 1 � � �� � �´� e 1 � �´ � m 1� � ��� � 3 E E E E e � �� 3�1�2� � ��� 1 1 1 �� � � e 1 � �´� e 1 � �´ 3 3 E � �´� (6.30) 1�� 1 1 �´ � �´� �´ 2 2 � E G � 1 2� Les equacions (6.29) i (6.30) relacionen la part esfèrica (caracteritzada per la tensió mitjana � m i la deformació volumètrica e ) i la part desviadora ( �´ i �´ ) dels tensors de tensió i de deformació: � m � Ke � Part esfèrica � ´� 2 G �´ � ij� � 2 G � ij� � � i , j � {1, 2 , 3} � (6.31) � Part desviadora Observació 6-6 Noteu la proporcionalitat tant entre � m i e com entre els components (un a un) ��ij i ��ij (vegeu la Figura 6.4). ��ij �m K 2G � 2� e ��ij Figura 6.4 – Llei de Hooke en components esfèrics i desviadors 178 6 Elasticitat lineal 6.5 Limitacions en els valors de les propietats elàstiques Per consideracions termodinàmiques es pot demostrar que el tensor de propietats elàstiques C és definit positiu i, per tant, � : C : � � 0; �� � 0 R E C O R D A T O R I Es diu que un tensor simètric de quart ordre A és definit positiu si per a tot tensor de segon ordre x � 0 es compleix x : A : x � x ij Aijkl x kl � 0 i, a més, x:A:x �0 � x �0 (6.32) Observació 6-7 Com a conseqüència de l’equació (6.32), el potencial elàstic és sempre nul o positiu uˆ �� � � 1 � :C :� � 0 2 Observació 6-8 El potencial elàstic presenta un mínim a l’estat neutre (per a � � 0 ) (vegeu la Figura 6.5). En efecte, de l’equació (6.15): �uˆ � � � � 2 uˆ � � � 1 � C:� �C �� û � � � � � : C : � 2 �� �� � �� � � �uˆ � � � uˆ � � � té un extrem �0 � � (màxim- mínim) a � � 0 � �� � � 0 � �� � 2 L'extrem és � � û � � � � C � � � �� � �� un mínim � � 0 definit � positiu � û �� � � ��0 Figura 6.5 – Potencial elàstic Considerem l’expressió del potencial elàstic (6.16) i l’equació constitutiva (6.20): 6 Elasticitat lineal 1 1 1 � : C : � � � : � � ��Tr �� � 1 � 2�� �: � � 2 2 2 1 1 � �Tr �� � 1: � � � �� : � � �Tr 2 �� � � � � : � � � � 2 2 Tr �� � 179 uˆ �� � � (6.33) L’expressió (6.33) es pot posar també en funció dels components esfèrics i desviadors de la deformació: uˆ �� � � N O T A La traça d’un tensor desviador és sempre nul·la � Tr (� �) � 0 1 1 �( Tr �� � ) 2 � � � : � � � e 2 � �� : � � � � 2 2 e 2 �1 � �1 � 1 : 1 � e 1: � ´ � �´: �´� � : � � � e 1 � �´� : � e 1 � �´� � e 2 1� 3 ��� �3 � �3 � 9 3 Tr �� ���0 1 2 � e � �´: �´ 3 (6.34) (6.35) i substituint l’equació (6.35) en la (6.34): � uˆ �� � � 1� 2 � 1 1 � e 2 � � e 2 � µ �´: �´� � � � � �e 2 � µ �´: �´ 2 ����3� 2 3 �� (6.36) K uˆ �� � � 1 K e 2 � � �´: �´� 0 2 (6.37) Considereu ara un cert material elàstic lineal isòtrop, caracteritzat per un cert valor de les seves propietats elàstiques. L’equació (6.37) s’ha de complir per a qualsevol procés de deformació. Considerem dos tipus particulars: 1) Un procés de deformació purament esfèric 1 � 1 � �1� � e 1� (1) 2 3 � � uˆ � K e � 0 � K � 0 2 �1� � � � 0 �� (6.38) 2) Un procés de deformació purament desviador N O T A El producte doblement contret d’un tensor per ell mateix és sempre superior o igual a zero � � � : � � � � ij � ij � 0 � �0 � � 2� � �� � ( 2) � � uˆ � � �´: �´� 0 � � � 0 e ��� � 0 � (6.39) Les equacions (6.38) i (6.39) condueixen a les següents limitacions en els valors de les constants elàstiques: K� E �0 3�1 � 2� � ; ��G� E �0 2�1 � � � (6.40) L’experiència demostra que el coeficient de Poisson � és sempre no negatiu i en conseqüència: 180 6 Elasticitat lineal E � � 0� 2�1 � � � � � E � 0 � � 0 �� E � 1 � 0� 3�1 � 2� � � � 0 � � � 2 E � 0 �� (6.41) 6.6 Plantejament del problema elàstic lineal N O T A Es denomina aquí sòlid elàstic lineal un medi continu constituït per un material que obeeix a l’equació constitutiva elàstica lineal. Considerem el sòlid elàstic lineal de la Figura 6.6 sotmès a unes accions caracteritzades pel vector de forces màssiques b(x, t ) a l’interior del volum V i el vector de tracció t (x, t ) en el contorn �V . Denominem problema elàstic lineal el conjunt d’equacions que permeten obtenir l’evolució al llarg del temps dels desplaçaments u(x, t ) , deformacions �(x, t ) i tensions �(x, t ) corresponents. t ( x, t ) t x3 t0 � 0 V ê 3 ê1 b�x, t � x2 ê 2 x1 �V Accions inicials: �b�x,0� t �0�� �t �x,0 � Accions en el temps t : �b�x, t � � �t �x, t � Figura 6.6 – Problema elàstic lineal 6.6.1 Equacions de govern El problema elàstic lineal ve governat per les equacions següents: 1) Equació de Cauchy (balanç de la quantitat de moviment) N O T A La simetria dels tensors de tensió i de deformació comporta que de les nou equacions només sis siguin diferents entre si. Així mateix, en comptabilitzar incògnites només es consideren els components diferents dels tensors esmentats. � � � �x, t � � � 0 b�x, t � � � 0 �� ij �xi � �0b j � �0 � 2u j �t2 � 2 u�x, t � �t2 (3 equacions) (6.42) j �{1,2,3} 2) Equació constitutiva (elàstica lineal isòtropa) ��x, t � � �Tr �� �1 � 2� � (6 equacions) � ij � �� ij � ll � 2� � ij i, j � �1,2,3� (6.43) 181 6 Elasticitat lineal 3) Equació geomètrica (relació de compatibilitat entre deformacions infinitesimals i desplaçaments) ��x, t � � � S u�x, t � � � ij � 1 �u i �u j ( � ) 2 �x j �xi 1 �u � � � � � u � 2 i, j �{1,2,3} (6 equacions) (6.44) Les equacions esmentades involucren a les incògnites següents: � � � u�x, t � (3 incògnites) � �x, t � (6 incògnites) (6.45) ��x, t � (6 incògnites) Les equacions (6.42) a (6.44) constitueixen un sistema d’equacions diferencials en derivades parcials (EDP). El sistema està constituït per 15 equacions diferencials amb les 15 incògnites (6.45) (del tipus (�)�x, y, z , t � ) que, per tant, s’ha de resoldre a l’espai R 3 � R � . El problema queda ben determinat quan se’l proveeix de les condicions de contorn adequades. 6.6.2 Condicions de contorn 6.6.2.1 Condicions de contorn a l’espai Considerarem el contorn � � �V del sòlid dividit en tres parts �u , �� i �u� amb les característiques següents (vegeu la Figura 6.7) � u � �� � � u� � � � �V (6.46) � u � �� � � u � � u� � � u� � �� � �0� � i en funció d’això definirem les condicions de contorn a l’espai, és a dir, aquelles que afecten els arguments espacials ( x, y, z ) de les incògnites (6.45) del problema: � Contorn �u : condicions de contorn en desplaçaments u(x, t ) � u * (x, t ) u i (x, t ) � u i* ( x, t ) � � �x � �u �t (6.47) Contorn �� : condicions de contorn en tensions � � ( x, t ) � n � t * ( x, t ) � * � ij (x, t ) � n j � t j (x, t ) i, j �{1,2,3}� N O T A A �u� certs components (components i) tenen prescrit el desplaçament i els restants (components j) tenen prescrit el vector tracció. � � i �{1,2,3}� �x � �� �t (6.48) Contorn �u� : condicions de contorn mixtes (desplaçament-tensió) u i (x, t ) � u i* (x, t ) � jk (x, t ) � n k � t *j (x, t ) (i, j , k �{1,2,3} i � j ) �x � �u� �t (6.49) 182 6 Elasticitat lineal t* �u : u � u* x3 V �� : � � n � t * ê 3 ê1 x1 x2 ê 2 �u� Figura 6.7 – Condicions de contorn a l’espai Exemple 6.2 A la biga de la Figura 6-8 s’exemplifiquen els diversos tipus de condicions de contorn a l’espai. P t x* � 0 �� ��� t *y � 0�� y 6.6.2.2 ��t x � 0 �� � * ��t y � � P * t x* � 0 �� ��� t *y � 0�� ��t *x � 0 �u� � * ��u y � 0 x ��u x � 0 �u � * ��u y � 0 * Figura 6-8 Condicions de contorn en el temps: condicions inicials En general, en l’instant inicial o de referència, t � 0 , seran coneguts els desplaçaments i la velocitat: u�x,0� � 0 �u�x, t � �t t �0 � � � �x �V � u� �x,0 � � v 0 (x)� � not (6.50) 6.6.3 Problema quasiestàtic El sistema d’equacions (6.42) a (6.50) es pot visualitzar, des d’un punt de vista mecànic, com un sistema d’accions o dades (les forces màssiques b(x, t ) , el vector de tracció t * (x, t ) , els desplaçaments imposats u * (x, t ) i les velocitats inicials v 0 (x) ) que, inserides en un model matemàtic constituït per les equacions diferencials de la secció 6.6.1 i les condicions de contorn de l’apartat 6.6.2, proporciona la resposta o solució en forma dels camps de desplaçaments u(x, t ) , de deformacions �(x, t ) i de tensions �(x, t ) . 183 6 Elasticitat lineal b ( x, t ) � t * ( x, t ) �� � u * ( x, t ) � v 0 ( x) �� � ��� � not Accions � A (x,t ): En aquest cas (problema general), el problema s’anomena problema dinàmic. (6.51) Respostes � R (x, t ) not N O T A � u ( x, t ) � � � ( x, t ) �� ( x, t ) �� ��� � MODEL � MATEMÀTIC : � EDP � c.c. En el cas més general, tant les accions com les respostes dependran del temps (vegeu la Figura 6.9) i el sistema d’EDP s’haurà d’integrar tant a les variables espacials com al temps ( R 3 � R � ). Tanmateix, en certs casos, l’espai d’integració es pot reduir en la dimensió corresponent al temps. Aquest és el cas dels denominats problemes quasiestàtics. Definició Problema elàstic lineal quasiestàtic: Problema elàstic lineal en el qual l’acceleració es considera negligible ( a � � 2 u ( x, t ) � 0 ). Aquesta �t2 hipòtesi és acceptable sempre que les accions s’apliquin molt lentament. En aquest cas, es pot suposar que la variació de les accions A amb el temps és lenta ( � 2 A/ �t 2 � 0 ) i, a causa de la dependència contínua dels resultats respecte a les dades, la variació amb el temps de la resposta també és petita ( � 2 R/ �t 2 � 0 ). En conseqüència, la segona derivada temporal de la resposta es considera negligible i, en particular, R (x) � 2 u ( x, t ) �0. �t2 u�x � � �x � ��x � Figura 6.9 – Evolució de la resposta amb el temps t Per al problema quasiestàtic les equacions diferencials de govern queden com segueix: � Equació de Cauchy � � 2 u(x, t ) � ��0 � � � (x, t ) � � 0 b(x, t ) � �� � 0 � 2 t �� � (6.52) �(x, t ) � �Tr �� (x, t ) �1 � 2 � � ( x, t ) (6.53) equació que es coneix també com a equació d’equilibri. � Equació constitutiva 184 6 Elasticitat lineal � Equació geomètrica �(x, t ) � � S u( x, t ) � 1 �u � � � � � u � 2 (6.54) que ja no involucren cap derivada temporal. El sistema d’equacions diferencials només necessita ser integrat a l’espai (resolt en R 3 ) amb les condicions de contorn a l’espai de l’apartat 6.6.2.1. D’altra banda, el temps només juga un paper de paràmetre descriptiu de l’evolució de les accions que se solen descriure en funció del denominat factor de càrrega o pseudotemps �(t ) : MODEL b(x, �) � � t* (x, �) � u* (x, �) �� � ��� � �u(x, �) � � �(x, �) ��(x, �) �� ��� � � MATEMÀTIC : � EDP � c.c. not (6.55) not Accions � A(x,�),: Resposta � R( x,�) En altres paraules, per a cada valor de les accions (caracteritzat per un valor fix de �* ) A (x, �* ) s’obté una resposta R (x, �* ) . Variant el valor de �* s’obté una família d’accions i la família de respostes corresponent. Exemple 6.3 Aplicació a un problema típic de resistència de materials. Considerem la mènsula de la Figura 6.10 amb una força F (t ) aplicada a l’extrem. Sota la hipòtesi de problema quasiestàtic, i davant d’una acció parametritzada del tipus �F * , es pot conèixer la resposta (fletxa a l’extrem) � (� ) � � F *l 3 (solució de la resistència de materials). 3EI Si �(t ) té una evolució qualsevol amb el temps, el valor de �(t ) � �(�(t )) per a cada instant de temps només depèn del valor de � corresponent. F � �F * E, I � (� ) � � l �(t ) Acció F *l 3 3EI Resposta �(t ) � �1 �* � t1 t Figura 6.10 t1 F *l 3 3EI t 185 6 Elasticitat lineal 6.7 Resolució del problema elàstic lineal La resolució del problema elàstic lineal es pot fer típicament amb dos plantejaments diferents: a) plantejament en desplaçaments b) plantejament en tensions. Els seus noms respectius provenen de quina és la incògnita primal que es considera per al problema (desplaçaments o tensions, respectivament). Observació 6-9 Actualment el plantejament en desplaçaments té més aplicació ja que s’hi basen la majoria dels mètodes de resolució numèrica del problema elàstic lineal. 6.7.1 Plantejament en desplaçaments: equacions de Navier Considerem les equacions del problema elàstic lineal: � � 2u � (Equació de Cauchy) �t2 � � � � �Tr (�) 1 � 2�� � (Equació constitutiva) � 1 � � � S u � �u � � � � � u �� (Equació geomètrica) 2 �� � � � � �0b � �0 �u : u � u * * �� : t � � � n �� � Condicions de contorn a l’espai �� u�x,0 � � 0 � � Condicions inicials u� �x,0 � � v 0 � (6.56) (6.57) (6.58) L’objectiu és plantejar un sistema reduït, on intervinguin com a incògnita només el camp de desplaçaments u�x, t � . El primer pas consisteix a substituir en (6.56) l’equació constitutiva en l’equació de Cauchy: � � � � � 0 b � � � ��Tr (�) 1 � 2 �� � � � 0 b � � 0 � 2u � �t2 � 2u � � � �Tr (�) 1� � 2�� � � � � 0 b � � 0 2 �t (6.59) L’equació (6.59) es pot reelaborar tenint en compte les identitats següents: 186 6 Elasticitat lineal N O T A Es defineix l’operador laplacià d’un vector v com: �� v� � i def � � 2 vi �x j �x j � � �� ij � � � 1 �� �u i �u j �� �� � �� � � �i � � � � � � � �x j �x j � 2 � �x j �xi �� � � 2 � u � � � u 1 � 1 � 1 1 � i � j � � (� 2 u) i � � � � � ) u ( � �� 2 �xi 2 �x j �x j 2 �xi �� �x j �� 2 � � � � � � � ��� � ��� � � )) u � � ( ( � u � 2 (� u) i � i � 1 1 � � �� � 2 u � �(� � u)�� i �{1,2,3} �� 2 �i �2 � �� � �Tr (�) 1��i � � � �� � 1 1 � (� � u) � � 2 u 2 2 � � (� ll � ij ) � �x j �x j � �xi � � �u l � �x � ij � � � � l � � � � �� i � {1,2,3}� � � � � �u l � � �� �� (� � u) � �� (� � u)�i xl �� �x i ���� � ����� (� (��u)) ��u i � (6.60) (6.61) � � �Tr (� ) 1� � � (� � u) i substituint les equacions (6.60) i (6.61) en la (6.59): �� �� � u � � �� �� � u � � �� 2 u � � 0 b � � 0 Equacions de Navier � 2u �t 2 � 2 � � � � � � �� � u � � ��2u � �0b � �0 �� ut 2 � �� � � � � � � � � u j,ji � � (6.62) u i,jj � �0bi � �0�� ui i ��1,2,3� (6.63) que constitueix un sistema d’EDP de segon ordre als desplaçaments u(x, t ) (que s’ha d’integrar, per tant, a R 3 � R � ), rebent el nom d’equacions de Navier. Les condicions de contorn es poden escriure també en funció dels desplaçaments com segueix. Substituint l’equació constitutiva (6.56) en la condició de contorn en �� de (6.57): t * � � � n � ��Tr (�) 1 � 2� � � � n � ��Tr (�) � n � 2� � � �n � ��� ��u � S �u 1 � �(� � u) n � 2� (u � � � � � u) � n � 2 � �(� � u) n � �(u � � � � � u) � n (6.64) i les condicions de contorn a l’espai (6.57), escrites ara en funció dels desplaçaments, queden: 6 Elasticitat lineal 187 u � u* �� � en �u ui � i �{1,2,3}�� �� �(� � u) n � �(u � � � � � u) � n � t * � en �� * � u l .l ni � � (u i , j n j � u j ,i n j ) � t i i, j �{1,2,3}�� u i* (6.65) Les condicions inicials (6.58) romanen inalterades. Una vegada integrat el sistema (6.63) es disposa del camp de desplaçaments u(x, t ) . Per derivació d’aquest i substitució en les equacions geomètriques en (6.56), s’obté el camp de deformacions �� x, t ) , i substituint finalment en l’equació constitutiva, s’obté el camp de tensions �� x, t ) . 6.7.2 Plantejament en tensions: equacions de Beltrami-Michell El mètode és només plantejable per al cas quasiestàtic de l’apartat 6.6.3. Considerem llavors les equacions del problema elàstic lineal quasiestàtic: � � (Equació d’equilibri) � 1� � � � � � � Tr (�) 1 � � � (Equació constitutiva inversa) E E � 1 � S � � � u � �u � � � � � u � � (Equació geomètrica) � 2 � � � � �0b � 0 �u : u � u * * �� : t � � � n N O T A La deducció de les equacions de compatibilitat s’ha estudiat al capítol 3, apartat 3.3. �� � Condicions de contorn a l’espai �� (6.66) (6.67) on en (6.66) s’ha considerat l’equació constitutiva inversa (6.24) (deformacions en funció de les tensions). El punt de partida del plantejament en tensions són les equacions geomètriques en (6.66) de les quals, per derivacions successives, s’eliminen els desplaçaments i s’obtenen les equacions de compatibilitat: � ij , kl � � kl ,ij � � ik , jl � � jl ,ik � 0 i, j , k , l � �1,2,3� (6.68) La deducció de les equacions del problema es fa en els passos següents: a) Se substitueix l’equació constitutiva de (6.66) en les equacions de compatibilitat (6.68). b) Se substitueix en l’equació resultant l’equació d’equilibri de (6.66). El resultat és el conjunt d’equacions següent: 188 6 Elasticitat lineal Equacions de Beltrami - Michell � 1 � ll ,ij � � � ij �� 0 bl �,l � �� 0 bi �, j � �� 0 b j �, i i , j � �1, 2 ,3� � 2� ij � 1�� 1�� (6.69) Les equacions (6.69) reben el nom d’equacions de Beltrami-Michell i constitueixen un sistema d’EDP de segon ordre en les incògnites �(x) que s’han de resoldre en R 3 . Com a condicions de contorn del sistema esmentat es tenen les pròpies equacions d’equilibri en (6.66) que, en tractar-se d’un sistema d’EDP de primer ordre, actuen com a condicions de contorn del sistema de segon ordre (6.69), i les condicions de contorn a �� : � � � � �0b � 0 (Equació d’equilibri) (6.70) � � n � t * en �� (Condicions de contorn en �� ) (6.71) Una vegada integrat el sistema (6.69) es disposa del camp de tensions �� x) . A partir d’aquest, mitjançant substitució en l’equació constitutiva inversa en (6.66), s’obtenen les deformacions �(x) . Tanmateix, per obtenir el camp de desplaçaments u(x) és necessari integrar les equacions geomètriques amb les condicions de contorn a �u : N O T A Al capítol 3, apartat 3.4.2, es va proporcionar un procediment analític per integrar les equacions geomètriques esmentades. 1 � ��(x) � �u(x) � � � � � u(x) � x �V 2 � �u( x) � u * (x) �x � �u � (6.72) Es tracta, per tant, d’un segon sistema d’EDP de primer ordre que s’ha d’integrar a R 3 . Observació 6-10 La necessitat d’integrar el segon sistema (6.72) (quan es planteja el problema en tensions) constitueix un desavantatge (davant el plantejament en desplaçaments de l’apartat 6.7.1) quan s’utilitzen mètodes numèrics per resoldre el problema elàstic lineal. 6.8 Unicitat de la solució del problema elàstic lineal Teorema �u(x, t ) � � � La solució R(x,t) � ��(x, t ) � del problema elàstic lineal (6.42) a (6.44) és única. ��(x, t )� � � 189 6 Elasticitat lineal Demostració: Considerem el problema elàstic lineal esquematitzat a la Figura 6.11 subjecte a T les accions definides per A(x,t) � �b(x, t ), u* (x, t ), t * (x, t ), v 0 (x)� , en els dominis V , �u , �� �� � �u � � ). � i V , respectivament (complint-se que �� � �u � �V i � �� : t * �x, t � z V b�x, t � y x Figura 6.11 – Problema elàstic lineal Les possibles solucions R(x,t) � �u(x, t ), �(x, t ), �(x, t )�T del problema elàstic lineal han de verificar les equacions: Equació constitutiva: � 2u �t2 � � �Tr (�) 1 � 2�� Equació geomètrica: � � �Su � Condicions de contorn a l’espai: ���u : u � u * � ���� : t * � � � n (6.74) Condicions inicials: �u�x,0 � � 0 � �u� �x,0 � � v 0 (6.75) Equació de Cauchy: � � � � � 0b � �0 (6.73) 1 �u � � � � � u � 2 La demostració de la unicitat de la solució es fa tal com segueix. Suposarem que la solució no és única, és a dir, que existeixen dues solucions diferents al problema: �u (1) (x, t ) � �u ( 2 ) (x, t ) � � � � � �� �� R (1) (x,t) � �� (1) (x, t ) � ; R ( 2 )(x,t) � �� ( 2 ) (x, t ) � � (2) � � (1) � ��� (x, t )�� ��� (x, t )�� (6.76) R (1) � R ( 2) que, per tant, compleixen les equacions (6.73) a (6.75) i són respostes elàstiques T a l’acció A(x,t) � �b(x, t ), u* (x, t ), t * (x, t ), v 0 (x)� . Considerem ara la possible � � resposta constituïda per la diferència R ( 2) � R (1) : 190 6 Elasticitat lineal ~ ( x, t ) � �u ( 2 ) (x, t ) � u (1) (x, t ) � �u def � � ~ � � � � R � R ( 2 ) (x,t) � R (1) (x,t) � �� ( 2 ) (x, t ) � � (1) ( x, t ) � � �~� (x, t ) � � ( 2) � �~ � (1) ��� (x, t ) � � (x, t )�� ��(x, t )� ~ Observem que la resposta R compleix les equacions següents: def N O T A S’aprofita aquí la circumstància que l’operador nabla ( � � � �) ) és un operador lineal, és a dir: � � � a � b) � � � �a � � �b on * simbolitza qualsevol tipus d’operació diferencial. Així mateix, l’operador � Equació de Cauchy amb b � 0 � � � � �� ( x ,t ) � � � ��2� ( x ,t ) � ��1� ( x ,t ) � � � � 2u( 2 ) � 2u( 1 ) � 2u� �� � 2� �1� ��� ��� � � � �0 � �0 � �0 �� �� ���� � �� ���� � �t �t �t 2 � (2) (1) 2 2 � ��0b ��0 � u � �0b ��0 � u �� � t2 � t2 � Equació constitutiva � � ~ (x, t ) � � �2 � (x, t ) � � �1� (x, t ) � C : � �2 � � C : � �1� � C : � �2 � � � �1� � C : ~� � � N O T A S’aplica aquí la propietat que l’operador C : és un operador lineal, és a dir: C : � a � b) � . � C :a � C :b (6.78) 2~ ~ ( x, t ) � � � u ���� 0 �t2 � 2 (�, t ) és també un �t2 operador lineal. (6.77) � Equació geomètrica � � ~� ( x, t ) � � �2 � � � �1� � � S u �2 � � � S u �1� � � S u � 2 � � u �1� � � S u ~ � (6.81) Condicions de contorn a �� amb t�* � 0 � � ~ � n � � � 2 � � � �1� � n � � �2 � � n � � ��� � n � t * � t * � 0 �� � � � (6.80) Condicions de contorn a �u amb u� * � 0 ~ � u � 2 � � u �1� � u * � u * � 0 �t � �u �� �u � � ~ . ~�0 �� u � u �� � t � (6.79) (6.82) Condicions inicials amb v 0 � 0 ~ (x,0) � u ( 2 ) (x,0) � u (1) (x,0) � 0 �u � ��� � � ��� � � �0 �0 � �~. � ( 2 ) (x,0) � u� (1) (x,0) � 0 �u (x,0) � u � ��� � � ��� � � �v �v � 0 0 (6.83) 191 6 Elasticitat lineal Considerem ara el càlcul de la integral següent: � 0 en �� ��� ~�u ~ � dS � n ( � � � � �n � �~ � � . �V � 0 en �u � . ~ dS u Teorema de la divergència � � . � � � (�~ � u~) dV � 0 (6.84) V �u � �� on s’han tingut en compte les condicions (6.81) i (6.82). Operant sobre l’últim integrant de l’equació (6.84), s’obté: 2~ � �0 � u2 �� t � 2~ . �� . . . . �� � (� ~�u ~ ) � (� � � ~) � u ~� � ~ : (� u ~) � � � u � u ~� � ~ : (� u ~) T 0 � 2 �t � . . � ~ � 2 u~ j ~. � u~ j � u~ j � � � ~ ~. � �� ij ~. ~ ~ u j � � ji � �x � � ij u j � � �x u j � � ij �x � � 0 �xi � �t2 � i� i i ~ �� on s’ha aplicat la condició (6.78) ( � � � 0 (6.85) i, j �{1,2,3} ~ � 2u ). D’altra banda: �t2 N O T A Es té en compte aquí ~ és un tensor que � � � � 1 � ~� ~ � ~ ~� ~� 1 �~ � u � � � � � u � � � u � � � � � u � � �� � � � 2 ��������� 2 ��������� . . ~� ~�� �� S u ~ ~ � �� a u � . ~)T � u ~� � � (� u ~� simètric i � un tensor antisimètric, amb la qual cosa . � � . ~� ~ ~ T ~ ~ ~ � (� u ~) T � � ~ � ~� � � ~�� � � � � � (� u ) � � � � �0 ~� ~ ~. ~�� � � �ij �ij � 0 . Així mateix, es pot escriure: N O T A Es defineix aquí: ~ v def � ~v . (6.86) ~ �v ~v 2 � ~ v2 � 2~ . ~ ~ ~ ~ ~ d( v � v ) d � 1 ~2 � � (u � u ) 1 � u ~. 1 � u ~ �0 2 � u � �0 � �0 � u � �0 � �0 � v � dt dt�2 � 2 2 �t �t �t . . �0 . (6.87) ~ . � 2u ~ � � d � 1 ~v 2 � �u � � 0 2 dt�2 � �t Substituint les equacions (6.87) i (6.86) en la (6.85) i aquesta en la (6.84) i tenint en compte, a més, la definició de l’energia interna (6.10): ~ . dU ~ : ~� dV de l’equació � �� dt V . � ~ ~ ~ �u ~ ) dV � � d �� 1 ~v 2 ���dV � � 0 � � � � (� � 0 dt �2 � � � � �dV � V V V � � d 1 ~2 ~ � ~� �dV �0 � � 0 v dV � � � � dtV 2 �� ����� V����� ~ ~ dU dK dt dt (6.88) 192 6 Elasticitat lineal ~ ~ ~ ~ dK � dU � d (K � U ) � 0 �t � 0 dt dt dt (6.89) Tanmateix, observeu que en l’instant inicial t � 0 es compleix (vegeu les equacions (6.10), (6.13) i (6.83)): ~ K t �0 ~ U t �0 . � ~ �0 � u 0 � � 1 1 � � � 0 ~v 2 dV � � � 0 ~v 0 � ~v 0 dV � 0 � ~ ~ t �0 � 2 2 V V � � (K � U ) t � 0 � 0 � 1 � � uˆ (x, t ) t �0 dV � � ~� t �0 � C : ~� t �0 dV � 0� ���� � 2� � V V 1~ �0 �� � �C:~� 2 (6.90) i la integració de l’equació (6.89) amb la condició inicial (6.90) porta a: on: ~ ~ K � U � 0 �t � 0 (6.91) ~ 1 v 2 dV � 0 �t � 0 K � � �0 ~ ��� 2 V �0 (6.92) La comparació de les equacions (6.92) i (6.91) porta necessàriament a la conclusió: ~ ~ K � U � 0�� ~ 1~ ~ � �t � 0 � U (t ) � � � � C : � dV � 0 ~ 2 � K�0 V � �t � 0 (6.93) D’altra banda, en ser el tensor constitutiu elàstic C definit positiu (vegeu l’equació (6.32)): ~� (x, t ) � C : ~� (x, t ) � 0���������� �x � V �t � 0 � ~ 1 U (t ) � � ~� � C : ~� dV � 0 2 V (6.94) �t � 0 i la comparació de les equacions (6.94) i (6.93) necessàriament condueix a: ~ ~ 1~ U (t ) � 0� ~ � � U (t ) � � � � C : � dV � 0 ~ 2 U (t ) � 0� V N O T A S’aplica aquí el següent teorema del càlcul integral: Si �(x) � 0 i � �(x) d� � 0 � � �(x) � 0 �x � � �t � 0 (6.95) Recorrent de nou a la condició de definit positiu del tensor C : ~ 1 U (t ) � � ~� � C : ~� dV � 0 ��� � 2� V �0 �t � 0 � ~� � C : ~� � 0 �x �t � 0 (6.96) i, necessàriament, de la condició de definit positiu de C es dedueix que ~� � C : ~� � 0 � ~� ( x, t ) � � � �x �t � 0 (6.97) �2� �1� 2 1 � �x ,t � � �� � � �� � � 0 � � � � (6.98) D’altra banda, substituint l’equació (6.98) en la (6.80), es té: � � � ������ � ����������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������� � �� � ��� � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � � ������� � � � � � �� � � � � � � � �� � ���� �� � � � �� �� �� � �� � �� � �� � � ��� ������������������������������������������������������������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ����������� ��� �������� ������� ��� �������� �������� ���� ���� �������������� �������������������������� � � ������������������������������������� ������ ������� ���� ���������� ������������� ��� � �� � ��� ����������� ��������� ��� �� ���� ��� ����� ������ ��� �� ����������� ��� �������� ������� � ��������������������������������������������������������������������� �������� ��� ���������������� ������� � ����������������������������������������� ����������������������� ������� � �������������������������������������������������������������������� ������� �������������������������������������� ���������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������� �������� �� ������ ��� ������� ������ ���� �������� ����������� �������� ����� �� ��� �������� �� ��������� ��� ��������������� ������������� �� �������� �� ����������� ���� ���� ����� �������� �� ��� �� ���� ����� ���������� ��� ��������� ������� ���� ����� ��� �� � ����������� ��� �������� ���������� ��� ������� ��������� �� ���� ��� ������ ������� ��� ���������������������������� ��������������������������������������������� � ���������� ���� ��������� ��� ��� �������� ���� ��� �������� ���������������������������� ��������������������� ���������������������� � � � � � � � � � � �������������������������������������� ��� ��������� ��� ������������� ���������� ����� ���� �� ������ ���� ������� � ���� ���������� ���� �������� �� ��� �������� ��� ����� ���� ������ ��� ������������� �� ��������������������������������� ������������������ ������������� � � � � � � � � � � � � ������� ������������������������������������ ��������������������������������������������� ��� ����� ������ ���������� ���� �������� ��� ����� ����� ���������� ���� ��� �������� ��������������������������������������������������������������������������� ������ �������� ����������������������������������������������������� ��� ������������ �� �������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� �������������� �������������� �������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������� �������������������������������������� ������������������������������������������������������������ �������� ��������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� ������ ��� �������� ������ ��������� ������ �������������� ���� ��� ������������ ��� ���������� ������������� �� ������������������������������������� ������������������������������ �������������������������������������������������������������������������������� ����� �������� ��� ��������� ����� �������� ��� ��� ����� �� ������������� ���� ������� ����������������������������������������������������� � � ����������� ���������������� �������������� �������� ����������������� ������������ ����������������� ������������ � � ��������������� ������������������ ��������������� ����������� ���������������������������������������� ���������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� ��������� ����� ����� ��� ���� ������ ��� ����������� ���� ��� ������� ��� ����������� �� ����������������������������������������������������������������������������������� ������������������� � � ����������������������������������� � � � � � � � � ������� ����������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ������������������������������������������������ ������������������������������������������������������ � � � � ������� ��� �������������������������������������������������������� �������������� �������������� � ��� ��� ������������ ��� ������������� �� �������� ������ ������������������������������� ������������������������������������������������� ������� ��� �������������������� � � � � ����������������������� ���������������������������� ���������� � � � � �� � ���� ��� ���� ��� ��������� ��������� ��� ������� � � ��� ��� ���� ��� ������� ��� ������ ����� ���������� � ������������������������������������� �� � �� � � � ��� � �� ���� � �� �� � �� � � � �� � �� � � �� � �� � � �, � , � , � ���,�,�� ������� �� � � � � �� �� � � � �� �, � ���,�,�� ������������������������������������������ � ����������������������������������� � �� � �� ������������ ���������� �������� ��� ���������� ������������� �������� �� �������� ��� �� � � 0 � � �� ��������� � ������� � ������������ � � � � �� ( �� � � ��� � � ��� � ��� �� ��������� � ����� � � �� � ������� ������� �������� � � �� � �� �� � �� � ��� �� � ��� ��� � , � � ��,�,�� ������� � ����������������������������������� ���������������������������������������������� �� � � � � � �� � � � � ��� � � � �� ��� � � � ��� � � � �� � ���� � � � � � ��� �� ��� � � � � � ������ �� ����������� �� ��������� ������� � ������� ��� � � ��� ��� ������� ��� ������ ������ ����������� ���� ���������� ���� ���������� ���������� ������������ ������������ ��� ���������� ��������� ���� ��� ���� ��������� ������� ���� ���� ���������� �������� �� �������� ��� ���� ���������� �������� ������ ����� ����������������������� Ï �+ � � � + ��� � Ô� = - �� (�) � + ������� ������������ � � Ô ������� ��� � �������� Ô �+ � � Æ Ì��� = - ��� ��� + � + ������ ������������� ������ � � �� Ô Ô �� � Œ������� ������� ������� Ô Ó ����� � ��� �������� ���������� ����������� ��� ���������� �������� ����������� ���� �� ������������������ � ��������������������������������� ���������� �� � � �� � � � � � ��������� ������� ������� ���������������������������������������� ��� ����������� ��� ���� ���������� �������������� ��������� ������� ������� � ���������������������������������������������������������������� 197 6 Elasticitat lineal � � � Tr �� �1 � 2 � � � ��� 1 � � nt � �t ������ � ��� � nt �t def � nt � Tensió no tèrmica � � � � Tr �� �1 � 2 � � � def � Tensió tèrmica � �t � ��� 1 � (6.114) on � nt representa la tensió produïda en el cas de no-existència de fenòmens tèrmics i � t és la denominada tensió tèrmica o tensió correctora per l’increment de temperatura. Una operació similar es pot realitzar amb les equacions constitutives inverses per al cas elàstic lineal i termoelàstic lineal de les equacions (6.24) i (6.112), i s’obté: � 1 �� � � � Tr �� �1 � � � ��� 1 � � nt � � t ��� E E ��������� �t � nt def 1�� � � nt Deformació no tèrmica � � � � � Tr �� �1 � � E E � def � � � t � ��� 1 � Deformació tèrmica (6.115) En definitiva, en termoelasticitat lineal es poden realitzar les següents descomposicions dels tensors de tensió i de deformació: Total nt � �� �� Component no tèrmic Component tèrmic � nt � C : � � t � �� � Material isòtrop: Material isòtrop: t nt � � �Tr (�) 1 � 2 � � � � � nt � � t � nt (6.116) � t � � �� 1 � nt � C �1 : � � t � �� � Material isòtrop: Material isòtrop: � 1� � � � Tr (�) 1 � � E E (6.117) � t � � �� 1 on els components tèrmics apareixen a causa de la consideració de processos tèrmics. A partir de les equacions (6.116) i (6.117), es poden obtenir les expressions següents: � nt � C �1 : � � � nt � C : � � � � � C : � nt � C : � � � t � � � � C �1 : � nt � C �1 : � � � t (6.118) � (6.119) 198 6 Elasticitat lineal Observació 6-11 Al contrari del que passa en elasticitat, en el cas termoelàstic un estat de deformació nul.la en un punt del medi no implica un estat de tensió nul.la. En efecte, per a � � 0 de l’equació (6.116), s’obté: � � 0 � � nt � 0 � � � �� t � ���� 1 � 0 �� � 0 ��0 � � �� t � � ��� 1 Observació 6-12 Anàlogament, en termoelasticitat un estat de tensió nul·la en un punt no implica una deformació nul·la en el punt esmentat ja que de l’equació (6.117) amb � � 0 : � � 0 � � nt � 0 � � � � t � ��� 1 � 0 �� � 0 ��0 � � � t � ��� 1 6.11 Analogies tèrmiques Les analogies tèrmiques sorgeixen de la recerca de procediments de resolució del problema termoelàstic lineal fent servir les estratègies i metodologies de resolució desenvolupades a l’apartat 6.7 per al problema elàstic lineal (sense consideració d’efectes tèrmics). En aquest apartat es presenten dues analogies que, per raons de simplicitat, es restringeixen al problema quasiestàtic i isòtrop, encara que poden ser directament extrapolables al problema general dinàmic i anisòtrop. 6.11.1 Primera analogia tèrmica (analogia de Duhamel-Newman) Suposem el medi continu de la Figura 6-14 sobre el qual actuen unes forces màssiques b(x, t ) , un increment de la temperatura ��(x, t ) i en els contorns del qual �u i �� hi ha uns desplaçaments imposats u * (x, t ) i un vector tracció t * , respectivament. �������������������� � �� � � � � � � � ��� �� �� ��� � �� � 0 � �� � � � �� �� ����������� �� ���� ���������� ���� ��������� ������������� ������� �������������� �� ��������� ���� ��� ��������� �� � � � �0� � � � ��� ����������� � ��������� �� ������� � ��� � � � � � ���� � ��� ������������ �  � ��� ���������� �� � � � ��� � � � �� ������������ ��������� �������� �� � � ���������� ���� � � � � � � � � � � � ������������������� ������� � �(�, � ) ��� ����������������������� ������������������������ ����������������������� ��������������������� ���������������������� ���������� ������������������������ �������� ���� ����������� ���� �������� �������� � (�, � ) � �� ���������� ������������� � (�, � ) � ��� ��������� � �(�, �) � �� (�, �) � � � � � (�, �) � �(�, �) ������� ����������( � ) (�,�) � ��(�, �) � � �(�, �) ��(�, �) �� ��� � ������� �����������( � ) (�,�) ���� ������ �������� �������� ��� ���������� ������� ���� ��������� �������� �������� �� ���������� ���� ���� ��������� ��������� ������������� ��� ������ ������� ��� ��� ���������� ���� ��������� ������������� ��������� ���� �� ����� ��� �������� �� �� �������������� ��� ���� ��������� � � � �� � � � � �� ��� ������������ ��� ���� ��������� ���������������������������� �� ������������������� � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � �� ��� � �� � ������� � � � � �0� � � � � � � � � ��� ���� � �� � � � � �� � � 0 �� � � �0 ���� ����� �� � ��� � � � �� � � � �� � � 0 �� � � ������� ���� ������������ ���������� ������������ ���� ����� ����� ����� ������������� ��������� �� (�, � ) �������������� ��� �������������������� ��� (�, � ) � �(�, � ) � � � (� ��) � �0 � � ��� (�, � ) � � (�, � ) � � �(� ��) � �� � � 0 ��� � � ��,�,�� ������� �� �������������������� � �� � � � � � ��� (�) � � �� � ������� �� ������������������������������������� ������� � � ��� �� ����������������������� �� ������� �� � � � � � �� ����������������������� �� � � � � �� � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � �� � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � (���) � � ��� ����� � ��� ��� �� � � ��� � (�, � ) ������������������������������������������� ������� ������� � � � � � � (���) � ���� ���������� �������� �� �������� ��������� ��� ����������� ��� ��������� �������� ������������ ��������� �� � �� � �� �� � � � � � �� ��� � �� � � � �0� �0 � ������� � ��� �� � � � � � � �� (�) � � �� � � � �� � � � � � �������� ���� � � � �� ���������� �� ������� �� � ���� � � �� � � � ��� � ��� � � � � ��� � ����������������������������������������������������������������� �������� ������ ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ������������ ��������� ���� �� ������� ������ �� ���������� �� ���������� ���� �� ���� ��� ������������� ���� ���� ����������������� ��������� � � � ��� �� � � �� � � ��� ���� � ���� ����� � �������� �(��) (��� ) � � �� � ��� � � �� � ��� ���� � ���� �� ��� � ��������� ��(��) (��� ) ������� 201 6 Elasticitat lineal Observant les accions i respostes del problema original (6.121) i del problema anàleg (6.131), s’observa que la seva diferència és: � �1 � b � � bˆ � � b � bˆ � � � (���)� � � � u� � � � � � 0 � def ( III) � � �u � � 0 � � 0 � A ( I ) (x, t ) � A ( II) (x, t ) � � * � � � * � � � * ��A � � * � t � � tˆ � �t � tˆ � � � (���) n � ��� ��� �� 0 �� �� � � �� � � �� � � (6.132) � � �u � � u � � 0 � � 0 � def � � � � � � � � R ( I) (x, t ) � R ( II) (x, t ) � � � � � � � � � � 0 � � � 0 � � R ( III) �� � �� nt � �� � � nt � �� ��� 1� � � � � ���� � � � � ��t � on s’han tingut en compte les equacions (6.129) ( tˆ * � t * � (���) n ) i (6.116) ( � � � nt � � t � � nt � ��� 1). Observació 6-13 És immediat comprovar que, en les equacions (6.132), R ( III) és la resposta corresponent al sistema d’accions A ( III) en el problema termoelàstic (6.120). L’equació (6.132) suggereix que el problema original (I) es pot visualitzar com la suma (superposició) de dos problemes o estats: ESTAT (II) (a resoldre): Estat anàleg elàstic en el qual no intervé la temperatura i que es pot resoldre mitjançant procediments elàstics. + ESTAT (III) (trivial): Estat termoelàstic trivial en el qual es coneixen sense necessitat de càlculs les respostes R ( III) (x) donades a (6.132). Un cop calculat l’ESTAT (II), la solució del problema original termoelàstic de l’ESTAT (I) s’obté com: �u ( I ) � u ( II) Solució del � � �� ( I ) � � ( II ) problema termoelàstic original ��� ( I ) � � ( II) � ��� 1 (6.133) La síntesi del procediment de resolució del problema termoelàstic basat en la primera analogia tèrmica es presenta com una superposició d’estats a la Figura 6-15. ��� �������������������� ����� �� � �� � 0 � �� � � � �� �� �� � �(�, � ) � � � � (�, � ) � � � � � � � ( � , � ) � � ��� �(�, � )�� � � ( �, � ) � � � � �(�, � ) � ��(�, � )� � � ��������������������������� � � � � � � � (���) � � �� � � � � � �� � � �� � �� � �� � 0 �� � ������� ���� �0 � �� � � � � � �� � �� �� �� � (�, � ) � ��� � � � � � (���) � � ��� � � 0 � � � � �� � � ( �, � ) � � � � � ( �, � ) � �� �� (�, � )� � � ��������������������� � � (���) � �� � �� � �� � � � � � � � � �� � 0 � �� � � � � � �� �� �������� � �� � � � � � � � ��� �� ����� �� � � � ������ � �� � �� ��� � 0 � �� � � ��� � � �(���) � � � � �� ��� �(�, � ) �� � � � � � � � � � � �� � �(���) �� � � ���������������������������� �������������������������������������� ������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������� � � ����������������������������������������������� ���� ��������� ������������� ��������� ���������� ���������� ������������� ��� ����� �������� 203 6 Elasticitat lineal � eq. d' equilibri �� � � � � 0b � 0 � Equacions � �� � C -1 : � � (� �� ) 1 � eq. constitutiva inversa de govern � S � eq. geomètrica �� � � u ���u : u � u (6.134) * Condicions de contorn : � � ���� : � � n � t * que configuren les accions (dades) A (x, t ) i respostes (incògnites) R (x, t ) del problema: � b ( x, t ) � u � ( x, t ) � � * � t (x, t ) ��� � (x, t ) ���� � Accions� A ( I) (x, t ) � �u(x, t ) � � �(x, t ) ��(x, t ) �� ��� � (6.135) Respostes � R ( I) (x, t ) Hipòtesi Suposem que el coeficient de dilatació tèrmica �(x) i l’increment tèrmic ��(x, t ) són tals que el camp de deformacions tèrmiques � t (x, t) � � (x) � �(x, t) 1 és integrable (compleix les equacions de compatibilitat). Per tant, existeix un camp de desplaçaments tèrmics u t ( x, t ) que compleix: 1 t � t S t t �� (x, t ) � (���) 1 � � u � 2 �u � � � � � u � � u t ( x, t ) � � � t � u tj � �� tij � (���) � ij � 1 � � u i � � i, j �{1,2,3} �� 2 �� � x j � xi �� Observació 6-14 La solució u t ( x, t ) del sistema d’equacions diferencials (6.136) existeix si, i només si, el camp de deformacions � t (x, t ) compleix les equacions de compatibilitat (vegeu el capítol 3). A més, la solució esmentada està determinada llevat d’un moviment de sòlid rígid caracteritzat per un tensor de rotació � � i un vector de desplaçament c * (tots dos constants). És a dir, hi ha una família de solucions admissibles de la forma: ~ ( x, t ) � � � � x � u t ( x, t ) � u c* � � ��� � rotació � �� ��translació ��� � moviment de sòlid rígid El moviment de sòlid rígid esmentat pot ser escollit arbitràriament (de la forma més convenient per al procés de resolució). (6.136) 204 6 Elasticitat lineal Una vegada definits els desplaçaments tèrmics es pot realitzar una descomposició dels desplaçaments totals en les seves parts tèrmica i no-tèrmica com segueix: def u nt ( x, t ) � u(x, t ) � u t (x, t ) � u � u nt � u t (6.137) Per eliminar el terme tèrmic de les equacions del problema termoelàstic (6.134) es recorre a la descomposició dels desplaçaments i de les deformacions en les nt � � t ) i se seves parts tèrmica i no-tèrmica ( u � u nt � u t i � � � substitueix en les equacions (6.134) que es transformen de la forma següent: a) Equació d’equilibri (resta inalterada) � � � � �0b � 0 (6.138) b) Equació constitutiva � nt � C -1 : � � � � 1� � Tr (�) 1 � � E E (6.139) c) Equació geomètrica S t � � � S u � � S (u nt � u t ) � � S u nt � � u � � S u nt � � t � ��� � nt S nt �� � �� u �t � � � � nt � � t � (6.140) d) Condició de contorn a �u u � u* u�u nt � * nt t � � �u : u � u � u �u � t (6.141) e) Condició de contorn a �� (roman inalterada) � � � � �n � t * (6.142) Les equacions (6.138) a (6.142) permeten reescriure el problema original (6.134) com: �� � � � � 0b � 0 � Equacions � �� nt � C -1 : � de govern � nt S nt �� � � u � eq. d' equilibri � eq. constituti va inversa � eq. geomètrica (6.143) ���u : u � u * � u t ���� : � � n � t * Condicions de contorn :� � que constitueix el problema anàleg elàstic lineal caracteritzat per les accionsrespostes següents: 205 6 Elasticitat lineal �b ( x , t ) � � t �u ( x , t ) � u ( x , t ) �t * ( x , t ) ��������� � Accions � A ( II ) ( x, t ) � �u nt ( x , t ) � nt �� ( x , t ) �� ( x , t ) ����� � Respostes � R ( II ) (6.144) ( x, t ) Observant les accions i respostes del problema original (6.135) i del problema anàleg (6.144), s’observa que la seva diferència és: � b � � b � �0 � � u � � �u � � u t � �u t � def � � � � � � A ( I ) (x, t ) � A ( II) (x, t ) � � * � � � * � � � � � A ( III) t t � � � � �0 � ��� ��� �� 0 �� ��� ��� (6.145) nt t t �u � �u � �u � � u � def � � � � � � � � R ( I ) (x, t ) � R ( II) (x, t ) � � � � � � � nt � � � � t � � ���� 1� � R ( III) �� � � � � � 0 � � 0 � � � � � � � � � on s’han tingut en compte les equacions (6.117) ( � � � nt � � t ) i (6.137) ( u � u nt � u t ). Observació 6-15 És immediat comprovar que, en les equacions (6.145), R ( III) és la resposta corresponent al sistema d’accions A ( III) en el problema termoelàstic (6.134). Per tant, el problema original (I) es pot contemplar com la suma (superposició) de dos problemes o estats: ESTAT (II) (a resoldre): Estat anàleg elàstic en el qual no intervé la temperatura i que es pot resoldre mitjançant procediments elàstics. + ESTAT (III) (trivial): Estat termoelàstic trivial en el qual es coneixen, sense necessitat de càlculs, les respostes R ( III) (x) donades a (6.145). Un cop calculat l’ESTAT (II) la solució del problema original termoelàstic de l’ESTAT (I) s’obté com: �u ( I ) � u ( II) � u t � problema � �� ( I ) � � ( II) � ��� 1 �� ( I ) � � ( II) termoelàst ic original � Solució del (6.146) on u t es coneix del procés d’integració del camp de deformacions tèrmiques en l’equació (6.136). La síntesi del procediment de resolució del problema termoelàstic basat en la segona analogia tèrmica es presenta com una superposició d’estats en la Figura 6-16. 206 6 Elasticitat lineal ESTAT t* z Resposta � b ( x, t ) � � u � ( x, t ) � � � � * � t x t ( , ) � � ��� �(x, t )�� �u ( x, t ) � � � � � ( x, t ) � ��(x, t )� � � �b � �u� � u t � � � �* � �t � ��� � � 0�� �u nt ( x, t )� � � nt �� (x, t ) � ��(x, t ) � � � �b � 0 � t � �u ~� � �u � �~ * � �t � 0 � ��� �(x, t )�� �u � u t (x, t ) � � � �� � (���)1 � � �� � 0 � � �� : � � n � t * b �u : u � u* �� � 0 y x Acció (I) Termoelàstic (original) �� : � � n � t * t* z b �� � 0 �u : u � u * � u t y (II) Elàstic (anàleg) x ~* t �0 z ~ �� : � � n � t * b � 0 �� � 0 �u : u � u t y x (III) Termoelàstic (trivial) Figura 6-16 – Segona analogia tèrmica Exemple 6-5 Resoleu mitjançant la segona analogia tèrmica el problema uniaxial d’una biga encastada en ambdós extrems sobre la qual actua un increment de temperatura constant �� (Figura 6-17). Resolució El procediment clàssic de resolució en resistència de materials consisteix en la superposició (suma) de les situacions següents: 1) es considera l’estructura inicialment hiperestàtica, 2) s’allibera l’extrem dret per permetre l’expansió 207 6 Elasticitat lineal tèrmica, que es produeix (pel fet que l’estructura és isostàtica) amb tensions nul·les i 3) es recupera el desplaçament de l’extrem dret de la biga fins a portar-lo novament a zero. Aquest procediment coincideix exactament amb l’aplicació de la segona analogia tèrmica en què el camp de desplaçaments tèrmics u t ve definit per l’expansió tèrmica de la peça amb el seu extrem dret alliberat (estat III). Aquesta expansió produeix un desplaçament en l’extrem de valor esmentat u | x �� � ���� i en recuperar el desplaçament en aquest extrem s’està aplicant implícitament la condició de contorn * t t �u : u � u � � u � �u 0 que correspon exactament amb l’estat II de la Figura 6-16. Estat (III) Estat (I) �� � Estat (II) ���� � �� �� � 0 ut � Figura 6-17 u � �u t Observació 6-16 L’aplicació de la segona analogia tèrmica resideix fonamentalment en la integració del camp de deformacions tèrmiques � t ( x, t ) per obtenir el camp de desplaçaments tèrmics u t (x, t ) (vegeu l’Observació 6-14). Si les deformacions tèrmiques no són integrables, l’analogia no és aplicable. Comparant els seus avantatges i inconvenients davant la 1a analogia, és també recomanable que la integració de les deformacions tèrmiques sigui, a més de possible, simple de realitzar. Observació 6-17 El cas particular de: � material homogeni ( � (x) � ctte � � ) � increment tèrmic lineal ( �� � ax � by � cz � d ) té un interès particular. En aquest cas el producte �� � és un polinomi lineal i les deformacions tèrmiques � t � �� � compleixen automàticament les equacions de compatibilitat (6.68) (que són equacions que només contenen derivades de segon ordre), per la qual cosa es pot garantir que el camp de deformacions tèrmiques és integrable. ��� �������������������� ��������������� ��������������� �� ������������������� �� � � � �������� � � � �� ���������������������������� �� � �������� � ��� ����������� ���� ����� ��� ����������� �������� � � � ���� � �������� �������������������������� � � � (�, � ) � ��� � � � �� �� ���� �� �������� �� ����� ����� ��� ��� ��������� ��� ������ ������ ��� ���� ��������� ��������������� ������ ������������� ������� ����� ���� ������� ���������� ��� �������� ���� �� �������������������������������� � � (�, � ) � ��� � � � � � � � � � ��� � � (� � ���)� � � � � ����������� ������������������������� ������������������������ ��������������� �������������������� �������������������� �������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������ �������� ���� ���� ����������� ��������� �� ��������� ��� ������������� ��� ��� (� � ���) ���������������������������������������������������������� ������������������������������ �� (���)� � �� �� ����������� ����������������������������������������������������������������������� ��� ��� �������� �� ��� ���� ����������� ��� ������� ���� ��� ������ ������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������� ����������������������� ������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������� ��� �������������������� � �� ��� � � ��� (�) � � ��� � � �� � ������ � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � � ������������������ � � � � � 0� � �0 ��������������������� ������������������� �� � � � � � ������������������������ �������� ������� �� � � � � � � � ���,0 � � � �� ��,0 � � � 0 �������������������� ������� ������� ������������������������������������������������� ��( �, � ) � � � � ��(�, � ) � ��� (�, � )�� � � � � (��� ) � �� (�, � ) � � � (��� ) � ��(�, � ) � ���( , ) � ��(�, � )� � � � �� � �� � 0 (�) �� ��� �� �� ������� � �� � � � � � � � � �� � 0 � �� � � � �� �� �� ����������� ��������������� ���� ���������� ���������� ����������� ������������ ����������� �� ������������� ���� ����������� ��� ���� ���������� ��� ������� ���� ��������� �������� � ��������������������������������������������������� � �� � ���������� � � ��� � �������� � � � ��� � �� � � �� � � � �� � � � � ��� � �������� � � � ��� � �� � � � � � � � � � � � � � ��� � �������� � � � ��� � �� � � �� � � � �� � � � � ��� � �� � ��� ��� �� � � � � � � � � � �������� ��� ��� ��� ��� ������������������������������������������������ � (�) ��� � (�) � 210 6 Elasticitat lineal �b (1) (x, t ) � � � �u *(1) (x, t ) � � � � (1) � A (1) (x,t ) � �t * (x, t ) � ; � � ��� (1) (x, t )� � (1) � �� v 0 (x) �� �b (2) (x, t ) � � � �u *(2) (x, t ) � � � � (2) � A (2) (x,t ) � �t * (x, t ) � � � ��� (2) (x, t ) � � � ( 2) �� v 0 (x) �� (6.151) i les respostes respectives: �u (1) (x, t ) � �u ( 2 ) (x, t ) � � � �� �� � � R (1) (x,t ) � �� (1) (x, t ) � ; R ( 2) (x,t ) � �� ( 2) (x, t ) � � (1) � � ( 2) � ��� (x, t ) �� ��� (x, t )�� (6.152) Teorema (Principi de superposició): La solució (resposta) al sistema d’accions A (3) � �(1) A (1) � �( 2) A (2) (sent �(1) i �( 2) dos escalars qualsevol) és R (3) � �(1) R (1) � �( 2) R (2) . En altres paraules: la solució del problema termoelàstic lineal davant d’una combinació lineal de diferents sistemes d’accions és la mateixa combinació lineal de les solucions davant de cada un d’ells. Demostració Substituint les A (3) � �(1) A (1) � �( 2) A (2) dades i la solució R � � R � � R en les equacions del problema, i tenint en compte la linealitat dels diferents operadors (vegeu l’Observació 6-19) es té: (3) (1) (1) ( 2) (2) a) Equació de Cauchy � � � �3 � � � 0 b �3� � �(1) (� � � �1� � �b �1� ) � �( 2) (� � � � 2 � � �b � 2 � ) � � ������� ������� � 2u (1) 2 ( 2) � � �0 �0 � u � 2 2 �t �t �� � � 2 (�(1) u (1) � �( 2) u ( 2 ) ) � 2 u ( 3) � � �0 � � 0 �� �t2 �t2 � � � �3� � � 0 b �3� � � 0 � 2 u ( 3) �t2 (6.153) 211 6 Elasticitat lineal b) Equació constitutiva � �3 � � (C : � �3 � � � �� ( 3) � ������ �0����� � � �1� 1) � � � � (C : � �1� � � �� (1) 1)� � � � �� �� � � � � �� � � � �( 2 ) �� �2 � � (C : � �2 � � � �� ( 2 ) 1)� � 0� � ����������� � � �0 � � � (1) (6.154) � �3 � � C : � �3 � � � �� (3) 1 c) Equació geomètrica S �1� ( 2 ) �2 � S �2 � � �� u� �� u� �� � �3� � � S u �3� � �(1) �� � �1� �� � �� � �� � � �� �� � 0 �0 �0 (6.155) � �3 � � � S u �3 � d) Condició de contorn a �u u ( 3) � u * ( 3) (1) (2) � �(1) �� u (1) � u * �� � �( 2 ) �� u ( 2 ) � u * �� � 0 � � ��� ���� � �� ���� �� �0 �0 �u : u (3) � u * (6.156) ( 3) e) Condició de contorn a �� � ( 3) � n � t * ( 3) (1) ( 2) � �(1) �� � (1) � n � t * �� � �( 2 ) �� � ( 2) � n � t * �� � 0 ��������� ��������� �0 �0 �� : � (3) � n � t * f) (6.157) ( 3) Condicions inicials � � � � u� (3) �x,0 � � v 0(3) � �(1) u� (1) �x,0� � v 0(1) � �( 2) u� ( 2 ) �x,0 � � v 0( 2) � 0 ������� ������� �0 �0 (6.158) u� (3) �x,0� � v 0(3) Per tant, R (3) � �(1) R (1) � �( 2 ) R (2) � {u (3) , � (3) , � (3) }T és la solució del problema elàstic en les accions: A (3) � �(1) A (1) � �( 2 ) A (2) cqd. 212 6 Elasticitat lineal 6.13 Llei de Hooke en funció dels “vectors” de tensió i de deformació La simetria dels tensors de tensió, � , i de deformació, � , fa que, dels seus nou components en un determinat sistema cartesià, només sis siguin diferents. En conseqüència, i per raons d’“economia” en l’escriptura, és tradicional en enginyeria treballar només amb els sis components diferents introduint els denominats “vectors” de tensió i de deformació. Aquests es construeixen en R 6 ordenant de forma sistemàtica els elements del triangle superior de la matriu de components del tensor corresponent: N O T A C I Ó Es farà servir la notació �x� per denotar el �� x � � � �� xy ��� xz vector en R 6 construït a partir del tensor simètric x . � xy �y � yz �� x � �� � � y� � xz � def � � � � z� � � yz � � ��� � � � � R 6 �� xy � � z �� �� xz � � � ��� yz �� (6.159) El mateix passa amb les deformacions amb la particularitat que, per construir el vector de deformació ���, s’utilitzen les deformacions angulars � xy � 2� xy , � xz � 2� xz , � yz � 2� yz (vegeu el capítol 2, apartat 2.11.4): ��x � � � �� xy ��� xz � xy �y � yz � � x � xz � � not . � 1 � � yz � � � � xy �2 � z �� � 1 � �� 2 xz 1 � xy 2 �y 1 � yz 2 ��x � 1 � �� � � xz � � y� 2 def � � � � 1 � z� � yz � � ��� � � � 2 � �� xy � � � � xz � �z �� � � ��� yz �� (6.160) Observació 6-20 Una propietat interessant de la construcció esmentada és que el producte doblement contret dels tensors de tensió i de deformació ( � � � ) es transforma en el producte escalar (en R 6 ) dels vectors de tensió i de deformació: ( ���� � ��): � � � � � � � � � � ij � ij � � i � i ��� ��� Tensors de segon ordre Vectors com es pot comprovar realitzant les operacions esmentades a partir de les definicions a (6.159) i (6.160). L’equació constitutiva inversa (6.112): ��� 1� � � Tr �� �1 � � � ��� 1 E E (6.161) 213 6 Elasticitat lineal es pot reescriure ara en funció dels vectors de tensió i de deformació com: ^H` �ˆ 1 : ^V`  ^H`t (6.162) on �ˆ 1 és una matriu inversa de constants elàstiques: ˆ 1 � ª 1 « E « Q « « E « Q « E « « « 0 « « 0 « « «¬ 0 Q E 1 E Q E Q E Q E 1 E 0 0 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 º 0» » 0» » 0» » » » 0» » 0» » 1» » G¼ (6.163) i ^H`t un vector de deformacions tèrmiques que s’escriu mitjançant la traducció adequada del tensor de deformacions tèrmiques D 'T 1: ªD'Tº «D'T» » « «D'T» » « « 0 » « 0 » » « ¬« 0 ¼» 0 0 º ª D 'T t « H {« 0 D'T 0 »» o ^H` «¬ 0 D'T»¼ 0 t (6.164) Finalment, la inversió de l’equació (6.162) proporciona la llei de Hooke en funció dels vectors de tensió i de deformació: Llei de Hooke en funció š ˆ H  Ht oV � � dels vectors de (6.165) tensió i deformació essent �ˆ la matriu de constants elàstiques: ˆ � ª « 1 « Q « «1  Q « Q «1  Q E 1 Q « 1  Q 1  2Q « 0 « « « 0 « « 0 «¬ Q 1 Q Q 1 Q Q 1 Q 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  2Q 2 1 Q 0 0 0 0 1  2Q 2 1 Q 0 0 0 0 1 Q 1 Q º » » 0 » » » 0 » » 0 » » » 0 » » 1  2Q » 2 1  Q »¼ 0 (6.166) 7 Elasticit at lineal plana 7.1 Introducció Com s’ha vist en el capítol 6, des del punt de vista matemàtic, el problema elàstic consisteix en un sistema d’EDP que s’ha de resoldre en les tres dimensions de l’espai i en la dimensió associada al temps ( R 3 � R � ). Tanmateix, hi ha certes situacions en què el problema esmentat es pot simplificar, i el problema es redueix a dues dimensions espacials R 2 , a més de reduir-se, eventualment, a la dimensió temporal ( R 2 � R � ). La possibilitat d’aquesta simplificació rau en què, en determinats casos, la mateixa geometria i condicions de contorn del problema permeten identificar una direcció irrellevant (associada a una dimensió del problema) de forma que es poden plantejar a priori solucions del problema elàstic independents de la dimensió esmentada. Si es considera un sistema local de coordenades �x, y , z� en el qual la direcció irrellevant (suposada constant) coincideix amb la direcció z , l’anàlisi queda reduït al pla �x, y� i d’aquí el nom d’elasticitat plana amb el qual se solen denominar aquests problemes. Al seu torn, aquests se solen dividir en dos grans grups associats a dues famílies d’hipòtesi simplificatives: � � Problemes de tensió plana. Problemes de deformació plana. Per simplicitat, considerarem aquí el cas isotèrmic, encara que no hi ha cap limitació intrínseca per a la generalització, al cas termoelàstic, dels resultats que s’obtinguin. 7.2 Estat de tensió plana L’estat de tensió plana es caracteritza per les hipòtesis simplificatives següents: 1) L’estat tensional és de la forma: ���xyz �� x � �� xy � �0 � xy �y 0 0� 0� � 0� (7.1) 216 7 Elasticitat lineal plana 2) Les tensions no nul·les (és a dir, les associades al pla x � y ) no depenen de la variable z: � x � � x ( x, y , t ) � y � � y ( x, y , t ) ; ; � xy � � xy ( x, y , t ) (7.2) Per analitzar en quines condicions les hipòtesis anteriors resulten raonables, considerem un medi elàstic pla les dimensions i forma associades al pla x � y (que denominarem pla d’anàlisi) del qual són arbitràries i tal que la tercera dimensió (que denominarem el gruix de la peça) queda associada a l’eix z (vegeu la Figura 7-1). Suposarem que es donen les circumstàncies següents sobre el medi elàstic en qüestió: y ��e : t * t* e y ��� : t * � 0 b L b x z z � �� : t * � 0 e Figura 7-1 – Exemple d’estat de tensió plana a) El gruix e és molt inferior a la dimensió típica associada al pla d’anàlisi x � y : e �� L (7.3) b) Les accions (forces màssiques b(x, t ) , desplaçaments imposats u * (x, t ) i vector tracció t * (x, t ) ) estan contingudes al pla d’anàlisi x � y (el seu component z és nul) i, a més, no depenen de la tercera dimensió: �b x �x, y, t �� � � b � �b y �x, y, t �� � � 0 � � �u *x �x, y, t �� � � �u : u * � �u *y �x, y, t �� � � � � � �t x* �x, y, t �� � � �� � ��� � ��� � ��e : t * � �t *y �x, y, t �� � � 0 � � (7.4) c) El vector tracció t * (x, t ) només és diferent de zero sobre el contorn del gruix de la peça (contorn ��e ), mentre que sobre les superfícies laterals ��� y ��� és nul (vegeu la Figura 7-1). ��� � ��� �0� � � : t � �0� �0� � � * (7.5) 217 7 Elasticitat lineal plana Observació 7-1 La peça amb geometria i accions definides per les equacions (7.3) i (7.4) i l’estat de tensió plana, indicat per les equacions (7.1) i (7.2) i esquematitzat a la Figura 7-2, resulten compatibles. En efecte, aplicant les condicions de contorn �� sobre la peça s’obté el següent: � Superfícies laterals: ��� y ��� : �� x �0� � � n � � 0 � � � n � ��� xy �� 1� �� 0 � � � � xy �y 0 0 � � 0 � �0 � 0�� �� 0 �� � ��0�� 0�� ��� 1�� ��0�� Cantell ��e : �� x �n x � � � n � �n y � �( x, y , t ) � n � ��� xy �0� �� 0 � � � xy �y 0 0� 0�� 0�� � n x � �t x ( x, y, t )� �n � � �t ( x, y, t )� � � y� � x � �� 0 �� �� 0 � compatibles amb les suposicions (7.4) i (7.5). y �y N O T A � xy El fet que totes les tensions no nul·les estiguin contingudes al pla x � y dóna lloc al �� x � � ��� xy �� 0 �x x nom de tensió plana. z � xy �y 0 0� 0�� 0�� Figura 7-2 – Estat de tensió plana 7.2.1 Camp de deformacions. Equació constitutiva Considerem ara l’equació constitutiva elàstica lineal: ��� R E C O R D A T O R I Les deformacions angulars es defineixen com: � 1� � � 1 Tr �� �1 � � � � Tr �� �1 � � E E E 2G (7.6) que, aplicada a l’estat tensional (7.1) i en notació enginyeril, proporciona les deformacions següents: �x � � xy � 2� xy �y � � xz � 2� xz � yz � 2� yz �z � � � � � �� � �� � � � � � 1 1 � x � � � y � � z � � x � �� y E E 1 1 � y � ��� x � � z � � � y � �� x E E � 1 �z � � �x � � y � � �x � � y E E � � � xy � � xz � � yz � 1 � xy G 1 � xz � 0 G 1 � yz � 0 G (7.7) on s’han tingut en compte les condicions � z � � xz � � yz � 0 . Donades les equacions (7.2) i (7.7) es pot concloure que les deformacions tampoc no depenen de la 218 7 Elasticitat lineal plana coordenada z ( � � � �( x, y, t ) ). Així mateix, en l’equació (7.7) es pot resoldre la deformació � z com: �z � � � (� x � � y ) 1� � (7.8) En definitiva, el tensor de deformacions per al cas de tensió plana resulta: � � �x �1 ��x, y, t � � � � xy �2 � 0 �� 1 � xy 2 � 0� � � 0 � �z � � (� x � � y ) 1� � � � z �� � �y 0 (7.9) i la substitució de l’equació (7.8) en l’equació (7.7) condueix, després d’algunes operacions algebraiques, a: �x � �y � � xy � E �� x � �� y � (1 � � 2 ) E �� y � �� x � (1 � � 2 ) E � xy 2 (1 � �) (7.10) que es pot rescriure com: � � �� x � 1 � 0 � � E � � �� 1 0 � �� y � � 1 � �2 � 1� �� �� � xy � � �0 0 ��� � ��������� 2 �� ��� CT . P . �� x � � � �� y � � �� � xy � ��� � ��� ���� C T .P. � ��� (7.11) 7.2.2 Camp de desplaçaments Les equacions geomètriques del problema: � ( x, t ) � � S u ( x, t ) � 1 �u � � � � � u � � 2 (7.12) es poden descompondre en dos grups: 1) Les que no afecten el desplaçament u z (i que serien hipotèticament integrables en R 2 , en el domini x � y ): � x �x, y, t � � � y �x, y, t � � � xy �x, y, t � � 2� xy � � � � integració en R 2 �u x � u x ( x, y, t ) � � � � �y �u y � u x ( x, y, t ) � �u x �u y � � �y �x �� �u x �x �u y (7.13) 219 7 Elasticitat lineal plana 2) Aquelles en les quals intervé el desplaçament u z : � z �x, y, t � � � xz �x, y, t � � 2� xz � � yz �x, y, t � � 2� yz � �u z � �� (� x � � y ) �z 1� � �u x �u z �0 � �x �z �u y �u z �0 � �y �z (7.14) L’observació de les equacions (7.1) a (7.14) suggereix la consideració d’un problema elàstic ideal de tensió plana reduït a les dues dimensions del pla d’anàlisi i caracteritzat per les incògnites següents: �u x � u ( x, y , t ) � � � �u y � �� x � ���( x, y, t ) � ��� y �� �� � � xy � �� x � ���( x, y, t ) � ��� y �� �� � � xy � (7.15) on les incògnites addicionals respecte al problema general, o bé són nul·les, o bé són calculables en funció de les (7.15), o bé no intervenen en el problema reduït: � z � � xz � � xz � � xz � � yz � 0 � (� x � � y ) 1 �� u z ( x, y, z , t ) � No intervé en el problema �z � � (7.16) Observació 7-2 El problema de tensió plana és un problema elàstic ideal atès que no es pot reproduir exactament com un cas particular del problema elàstic en tres dimensions. Efectivament, no hi ha garantia que la solució del problema reduït de tensió plana u x ( x, y, t ) , u y ( x, y, t ) permeti obtenir una solució u z ( x, y , z , t ) per a les equacions geomètriques addicionals (7.14). 7.3 Deformació plana L’estat de deformació es caracteritza per les hipòtesis simplificatives següents: �u x � �u x ( x, y , t ) � � � � � u � �u y � � �u y ( x, y , t )� � �u � � 0 � � z� � (7.17) En aquest cas, també resulta il·lustratiu analitzar en quines situacions les hipòtesis esmentades són plausibles. Considerem, per exemple, un medi elàstic la geometria i les accions del qual es poden generar a partir d’una secció bidimensional (associada al pla x � y i amb les accions b(x, t ) , u * (x, t ) i t * (x, t ) contingudes en el pla esmentat) que es trasllada sobre una generatriu recta perpendicular a aquesta, associada a l’eix z (vegeu la Figura 7-3). 220 7 Elasticitat lineal plana t * (x, t ) i t * ( x, t ) y x z b ( x, t ) b ( x, t ) t * �x, t � x Figura 7-3 – Exemple d’estat de deformació plana Les accions del problema es poden caracteritzar llavors com: �b x �x, y , t �� � � b � �b y �x, y, t �� � � 0 � � �u *x �x, y, t �� � � �u : u * � �u *y �x, y, t �� � � 0 � � �t x* �x, y, t �� � � �� : t * � �t *y �x, y , t �� � � 0 � � (7.18) i a la secció central (que presenta la simetria respecte a l’eix z ) es compleix que: uz � 0 ; �u x �0 �z ; �u y �z �0 (7.19) i, per tant, el camp de desplaçaments en aquesta secció central és del tipus: �u x ( x, y , t ) � � � u( x, y , t ) � �u y ( x, y, t )� � � 0 � � (7.20) 7.3.1 Camps de deformacions i de tensions Al camp de desplaçaments propi de l’estat de deformació plana (7.20) li correspon el camp de deformacions següent: � x � x, y , t � � � y �x , y , t � � �u x �x �u y �y �u x �u y � � xy �x, y, t � � �y �x N O T A Per analogia amb el cas de tensió plana, el fet que totes les deformacions no nul·les estiguin contingudes al pla x � y dóna lloc al nom de deformació plana. �u z �0 �z �u �u � xz ( x, y , t ) � x � z � 0 �x �z �u y �u z �0 � yz ( x, y, t ) � � �y �z � z ( x, y , t ) � (7.21) amb la qual cosa el tensor de deformacions té l’estructura següent: � � �x �1 ��x, y, t � � � � xy �2 � 0 �� 1 � xy 2 �y 0 � 0� � 0� � 0�� � (7.22) 221 7 Elasticitat lineal plana Considerem ara l’equació constitutiva elàstica lineal: � � �Tr �� �1 � ��� � �Tr �� �1 � �G� (7.23) que, aplicada al camp de deformacions (7.21), proporciona les tensions de la forma següent: � x � ��� x � � y � � 2�� x � �� � 2G �� x � �� y � y � � �� x � � y � � 2�� y � �� � 2G �� y � �� x � z � ��� x � � y � � xy � G � xy � xz � G � xz � 0 � yz � G � yz � 0 (7.24) Ateses les equacions (7.21) i (7.24), es pot concloure que les tensions tampoc depenen de la coordenada z ( � � � �( x, y, t ) ). D’altra banda, en l’equació (7.24) es pot resoldre la tensió � z com: �z � � �� x � � y �� ��� x � � y � 2(� � �) (7.25) i el tensor de tensions per al cas de deformació plana resulta: �� x �� x, y, t � � �� xy � �0 � xy �y 0 0� 0 � �z � � �x � �y � �z� � � (7.26) on els components no nuls del tensor de tensions (7.26) s’escriuen així: � x � �� � 2G �� x � �� y � � y � �� � 2G �� y � �� x � � xy � G� xy � E (1 � � ) � � �y� �x � � (1 � � )(1 � 2� ) � 1 � � �� E (1 � � ) � � �y � �x� � (1 � � )(1 � 2� ) � 1 � � �� E � xy 2(1 � � ) (7.27) L’equació (7.27) es pot rescriure en forma matricial com: � � � 0 � � 1 1� � �� x � � E (1 � � ) �� � � � 1 0 � �� y � � � �� � (1 � �)(1 � 2�) �1 � � 1 � 2� � � xy � ��� � 0 � 0 2(1 � �) � � ��� ������������������ C D.P . �� x � � � �� y � � �� � xy � ��� � ��� (7.28) ���� C D.P. � ��� De forma similar com passa amb el problema de tensió plana, les equacions (7.20), (7.21) i (7.26) suggereixen la consideració d’un problema elàstic de deformació plana reduït a les dues dimensions del pla d’anàlisi x � y caracteritzat per les incògnites següents: �u x � u( x, y, t ) � � � �u y � �� x � ���( x, y, t ) � ��� y �� �� � � xy � �� x � ���( x, y, t ) � ��� y �� �� � � xy � (7.29) en el qual les incògnites addicionals respecte al problema general, o bé són nul·les, o bé són calculables en funció de les (7.29): 222 7 Elasticitat lineal plana uz � 0 � z � � xz � � yz � � xz � � yz � 0 � �z � � �x � �y (7.30) � 7.4 El problema elàstic lineal en elasticitat bidimensional Ateses les equacions dels apartats 7.2 i 7.3 el problema elàstic lineal per als problemes de tensió i deformació plana es caracteritza de la manera següent (vegeu la Figura 7-4): ��t x* � x, y, t ��� �� : t * � � * � ��t y �x, y , t ��� y e �b ( x, y, t ) �: b � � x �b x ( x, y, t ) �n x n�� �n y ��u *x � x, y, t ��� �u : u * � � * � ��u y �x, y, t ��� � z Figura 7-4 x a) Equacions Equació de Cauchy: � �� x �� xy � 2u � � �b x � � 2 x � �y �t � �x � � 2u y � �� xy �� y � � � � � b y � �x �y �t 2 � N O T A La tercera equació corresponent al component z , o bé no hi intervé (tensió plana), o és idènticament nul·la (deformació plana). (7.31) Equació constitutiva: �� x � ��� � ��� y �� �� � � xy � � �x � ��� � �� � y �� �� � � xy � ��� � C � ��� (7.32) on la matriu constitutiva C es pot escriure de forma genèrica a partir de les equacions (7.11) i (7.28) com: Tensió �1 E � �� C� 1� �2 � �� 0 0 � 0 � 1� �� 0 2 �� � 1 �E � E �� �� � � E � E� � Deformació 1 �� 2 � Deformació �� plana plana �� � � �� �1 � � � Tensió plana � plana (7.33) 223 7 Elasticitat lineal plana Equacions geomètriques: �x � �u x �x �y � �u y � xy � �y �u x �u y � �x �y (7.34) Condicions de contorn a l’espai: ��u *x � u *x �x, y, t ��� �u : u * � � * � * ��u y � u y �x, y, t ��� t* � � � n �� : �� x ��� �� xy ��t *x � t *x �x, y, t ��� t* � � * � * ��t y � t y �x, y, t ��� (7.35) �n x � n�� � �n y � � xy � � y �� Condicions inicials: u ( x, y , t ) t � 0 � 0 u� ( x, y, t ) t � 0 � v 0 ( x, y ) (7.36) b) Incògnites �u x � u ( x, y , t ) � � � �u y � � � �x ��x, y, t � � � 1 � � xy �2 1 � � xy � 2 � �y � � �� x ��x, y, t � � � �� xy � xy � � y �� (7.37) Les equacions (7.31) a (7.37) defineixen un sistema d’EDP de 8 equacions amb 8 incògnites que s’ha de resoldre en el domini espai-temps reduït R 2 � R � . Un cop resolt el problema, es poden calcular explícitament: Tensió plana � � z � � �x � �y 1� � � � Deformació plana � � z � ��� x � � y � (7.38) 7.5 Problemes assimilables a elasticitat bidimensional 7.5.1 Tensió plana Seran típicament assimilables a estats de tensió plana aquells estats tensodeformacionals produïts en sòlids amb una dimensió sensiblement inferior a les altres dues (que configuren el pla d’anàlisi x � y ) i amb accions contingudes en el pla esmentat. La placa carregada en el seu pla mitjà i la biga de gran cantell de la Figura 7-5 són exemples típics d’estructures analitzables en estat de tensió plana. Com a cas particular, els problemes de flexió simple i composta de bigues de pla mitjà, considerats en la resistència de materials, poden ser també assimilats a problemes de tensió plana. 224 7 Elasticitat lineal plana x y e superfície mitjana z Figura 7-5 – Placa carregada en el seu pla mitjà i biga de gran cantell 7.5.2 Deformació plana Seran típicament assimilables a estats de deformació plana aquells sòlids la geometria dels quals es pot obtenir com a resultat del desplaçament d’una secció generatriu plana amb accions contingudes en el seu pla (pla d’anàlisi x � y ) sobre una línia perpendicular a aquesta. A més, la hipòtesi de deformació plana � z � � xz � � yz � 0 ha de ser justificable. Típicament, la situació esmentada es produeix en dues circumstàncies: 1) La dimensió de la peça en la direcció z és molt gran (als efectes de l’anàlisi es pot considerar infinita). En aquest cas, tota secció transversal central (no propera als extrems) es pot considerar de simetria i, per tant, satisfà les condicions: uz � 0 ; �u x �0 �z ; �u y �z �0 d’on es conclouen les condicions de partida de l’estat de deformació plana (7.17): �u x � �u x ( x, y , t ) � � � � � u � �u y � � �u y ( x, y , t )� �u � � � 0 � z� � � Exemples d’aquest cas els trobem a les canonades de pressió interna (i/o externa) de la Figura 7-6, el túnel de la Figura 7-7 o la sabata contínua de la Figura 7-8. �� y x z p0 �� Secció transversal Figura 7-6 – Tub de pressió 225 7 Elasticitat lineal plana Figura 7-7 – Túnel Secció transversal Figura 7-8 – Sabata contínua 2) La longitud de la peça en la direcció longitudinal és reduïda, però el desplaçament en la direcció z s’impedeix en les seccions extremes (vegeu la Figura 7-9). En aquest cas la hipòtesi de deformació plana (7.17) es pot fer per a totes les seccions transversals de la peça. y x p0 z Secció transversal Figura 7-9 226 7 Elasticitat lineal plana 7.6 Corbes representatives dels estats plans de tensió Hi ha una important tradició en enginyeria de representar gràficament la distribució dels estats tensionals plans. Per a això es recorre a certes famílies de corbes el traçat sobre el pla d’anàlisi de les quals proporciona informació útil sobre l’estat tensional. 7.6.1 Línies isostàtiques Definició Línies isostàtiques: són les envolupants del camp vectorial determinat per les tensions principals. Per definició d’envolupant d’un camp vectorial, les línies isostàtiques seran, en cada punt, tangents a les dues direccions principals i, per tant, hi haurà dues famílies de línies isostàtiques: � Isostàtiques �1 , tangents a la tensió principal més gran. � Isostàtiques � 2 , tangents a la tensió principal més petita. A més, atès que les tensions principals són ortogonals entre si, les dues famílies de corbes seran també ortogonals. Les línies isostàtiques informen sobre la manera com transcorre sobre el pla d’anàlisi el flux de tensions principals. Com a exemple, en la Figura 7-10 es presenta la distribució de línies isostàtiques sobre una biga recolzada amb càrrega distribuïda uniformement. Línies isostàtiques Figura 7-10 Definicions Punt singular: Punt caracteritzat per un estat tensional: �x � � y � xy � 0 . El seu cercle de Mohr és un punt de l’eix � (vegeu la Figura 7-11). Punt neutre: Punt singular caracteritzat per un estat tensional: � x � � y � � xy � 0 El seu cercle de Mohr és l’origen de l’espai � � � (vegeu la Figura 711). 227 7 Elasticitat lineal plana � Cercle de Mohr d'un punt neutre Cercle de Mohr d'un punt singular � Figura 7-11 Observació 7-3 En un punt singular totes les direccions són principals (el pol és el mateix cercle de Mohr (vegeu la Figura 7-11). Per tant, en els punts singulars les línies isostàtiques solen perdre la seva regularitat i poden canviar bruscament de direcció. 7.6.1.1 Equació diferencial de les línies isostàtiques Tenint en compte l’equació genèrica d’una isostàtica y � f (x) i el valor d’angle format per la direcció principal �1 amb l’horitzontal (vegeu la Figura 7-12): �y Isostàtica �1 : y � y (x) �2 � xy y �1 � dy � � � arctg � � � dx � �x x 2� xy Figura 7-12 2 tg � � � 2� xy � x � � y 1 � tg 2 � � 2 y� � � � not � � � 1 � � y ��2 dy x y � � y� tg � � �� dx � � �y � y � �2 � x y� � 1 � 0 � xy tg�2� � � � � (7.39) i resolent l’equació de segon grau de (7.39) en y � , s’obté l’equació diferencial de les isostàtiques: Equació � �� x � � y � �� � x � � y �� 2 � diferencial de � � y ' � � � �1 � 2� � 2� xy xy � � � les isostàtiques� ������������� � ( x, y ) (7.40) 228 7 Elasticitat lineal plana Coneguda la funció �( x, y ) en l’equació (7.40), es pot integrar l’equació esmentada a fi d’obtenir l’equació algebraica la família d’isostàtiques: y � f ( x) � C (7.41) El doble signe en l’equació (7.40) donarà lloc a dues equacions diferencials corresponents a les dues famílies ortogonals d’isostàtiques. Exemple 7-1 Una placa està sotmesa al següent estat tensional (vegeu Figura 7-13): � x � � x 3 ; � y � 2 x 3 � 3 xy 2 ; � xy � 3x 2 y ; � xz � � yz � � z � 0 Obteniu i dibuixeu-ne els punts singulars i la xarxa d’isostàtiques. Resolució �� x � � y a) Punts singulars: es defineixen segons: � �� xy � 0 � �� x � � x 3 � 0 �y �x � 0 � � � y � 2 x 3 � 3xy 2 � 0 � 2 � � xy � 3x y � 0 � � 3 � � y � 0 � ��� x � � x � x�0 � 3 2 3� � x xy x 2 3 2 � � � � �� y � � Així, el lloc geomètric dels punts singulars és la recta: x � 0 . Els punts singulars esmentats són, a més, punts neutres ( � x � � y � 0 ). b) Línies isostàtiques: De l’equació (7.40): y� � �x � �y �x � �y 2 dy �� � ( ) �1 2� xy 2� xy dx que, per a les dades del problema, resulta: � dy x �� dx � y � x 2 � y 2 � C1 � integrant: � � � xy � C 2 � dy � � y x �� dx per tant, les isostàtiques són dues famílies d’hipèrboles equilàteres ortogonals entre si. Sobre la recta singular de punts singulars x � 0 (que divideix la placa en dues regions) les línies isostàtiques canviaran bruscament de pendent. Per identificar la família d’isostàtiques �1 agafem un punt a cada regió: � Punt (1,0) : � x � � 2 � �1 ; � y � �1 � �2 ; � xy � 0 (isostàtica �1 a la direcció y ) � Punt (�1,0) : � x � �1 � �1 ; � y � � 2 � �2 ; � xy � 0 (isostàtica �1 a la direcció x ) Per tant, la xarxa de les isostàtiques és la que s’indica a la Figura 7-13. 229 7 Elasticitat lineal plana y (1,0) (-1,0) �1 �2 x x<0 x>0 �1 �2 Figura 7-13 7.6.2 Línies isoclines Definició Línies isoclines: lloc geomètric dels punts del pla d’anàlisi en els quals les tensions principals formen un determinat angle amb l’eix x . Per la seva pròpia definició, en tots els punts d’una mateixa isoclina les tensions principals són paral·leles entre si, formant un angle constant � (que caracteritza la isoclina) amb l’eix x (vegeu la Figura 7-14). �1 �1 y � �1 � x � x Línia isoclina � : y � ��x � x Figura 7-14 – Línia isoclina 230 7 Elasticitat lineal plana 7.6.2.1 Equació de les isoclines Per obtenir l’equació y � f (x) de la isoclina d’angle � , s’estableix que la tensió principal �1 forma un angle � � � amb l’horitzontal, és a dir: Equació � � algebraica de � � les isoclines �� tg �2� � � 2� xy (7.42) � x �� y � ��� � � ( x, y ) equació algebraica que per a cada valor de � permet aïllar: y � f ( x, �) (7.43) que constitueix l’equació de la família de corbes isoclines parametritzada en funció de l’angle � . Observació 7-4 La determinació de la família de les isoclines permet conèixer, en cada punt del medi, la direcció de les tensions principals i, per tant, plantejar l’obtenció de les línies isostàtiques. Atès que les isoclines es poden determinar mitjançant mètodes experimentals (mètodes basats en la fotoelasticitat), proporcionen, indirectament, un mètode per a la determinació experimental de les línies isostàtiques. 7.6.3 Línies isòbares Definició Línies isòbares: lloc geomètric dels punts del pla d’anàlisi amb el mateix valor de la tensió principal �1 ( o � 2 ) . Per cada punt del pla d’anàlisi passaran dues famílies de corbes isòbares: una corresponent a �1 i una altra a � 2 . Les línies isòbares depenen del valor de �1 , però no de la seva direcció (vegeu la Figura 7-15). �1 �1 y �1 x Línia isòbara �1 : y � f �x � Figura 7-15 – Línia isòbara 7.6.3.1 Equació de les isòbares L’equació que proporciona el valor de les tensions principals (vegeu el capítol 4) defineix en forma implícita l’equació algebraica de les dues famílies d’isòbares y � f 1 ( x, c1 ) i y � f 2 ( x, c 2 ) : ��� �������������������������� � � � �� � �� � �� � � � �� � � � � � �� � � �� � �������� � �� � � � � � � � � ��� � � � � �� � �������� � � � �� � �� � ������������� � � � � �� �� � �� � �� � � ������������ � � � �� � � �� � � �� � �������� � � � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � ����� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � �� � � � ������ ������������������������������� ��������� ������� ��� ������� ������� �������� ��� ������������� ���� ���� ������������ ��� ��� ����������� ����� ��� ����� ������ ������������ �� ��� ������� ���� ������ ������������������ �������������� ��� ����� ����� ���� ���� ���������� ��� ��� ���� ������ ������ ���� ������ ��� �������������������������������������������������������������������� ��������� � ��� �� � ��� �� �������� ������ ��� ������ ����������� ���� ����� ���� ������� ��� ����� �� ������� ��� ������ ��� ���� ���� ���� ����������� ���������� ������� ��� ������� ������� ���� ������ ���� ������ ������������ ����� ������� �� �������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������� �� � � ���� � �� � �� � �� � �� � ��� � � �� � � ���� �������������������������������������������� �� ������ ��� �������������������������� �������� �������� ������������ ��� ���� ������� ��� ������� ������ ���������� � � � � ����������������� ����������� ��������������� � ���� �� � � � � � � � ��� � � � ���� � ������ � ����������������������������������� � ���� �������������������������������������� ����������������������������������������� ���� � � � � � ���� ��� � � ���� ��� � � � � � ���� �� ������ ��� � ����������������������� ��� ������� ���������� �� � ���� ��������������� ���� ����� ������������ ���������� ��������� ������ ������ ��� ������� ������� ����������� � � � ��� � ������������������������������ ���� �� � �� �� �� � �� � � � �� � � ���� � � � �� � � � � �� � ���� � �� � �� �� � � ���� � � � � �� � � � � � �� �� � � � � �� �� ��� � � �� ��� � � � �� ������ �� � � �� �� � � � � � � � �� � � � � �� � ��� � � � � � ������������������������������������������������ � � ��������������������������������� ������������������������������������ �������������������� � � ��������������������� ��������������������� � ����������������������� � � ������ �������� �������������� � ��� �� � �� �� � �� �� � � �� � � �� � �� �� � � � �� � � � � � ����� ������� � � � �� � � ����������� ���� �� � � � ��� � �� �� � � �� ������ � � ��� �� � � � �� � � � � ����� �� ��� �� ����������� ��������� ��� ������� �� �� � � � ��� ���������� �������� ��� ���� ��������� ��������� ������������ ���������� �� �������� ���������� ����������� ��� ���� ����� ��������� �� ��������������������������������������������������������������������� 8 Plasticit at 8.1 Introducció Els models (equacions constitutives) elastoplàstics es fan servir en mecànica de medis continus per representar el comportament mecànic de materials quan se sobrepassen certs límits en els valors de les tensions (o de les deformacions) i el comportament deixa de ser representable mitjançant models més simples com són els elàstics. En aquest capítol s’estudiaran els models esmentats considerant, en tots els casos, que les deformacions són infinitesimals. A grans trets, la plasticitat introdueix dues grans modificacions sobre l’elasticitat lineal estudiada en els capítols 6 i 7: 1) La pèrdua de linealitat (les tensions ja no són proporcionals a les deformacions). 2) L’aparició del concepte de deformació plàstica o permanent. Una part de la deformació que es genera durant el procés de càrrega no es recupera durant el procés de descàrrega. N O T A Els conceptes d’aquest apartat són un recordatori dels que s’han estudiat al capítol 4, apartats 4.4.4 a 4.4.7. 8.2 Nocions prèvies 8.2.1 Invariants tensionals Sigui � el tensor de tensions de Cauchy i la seva matriu de components en una base associada als eixos cartesians {x, y , z} (vegeu la Figura 8-1): ���xyz �� x � � �� xy �� xz � � xy �y � yz � xz � � � yz � � z �� (8.1) En tractar-se d’un tensor simètric de segon ordre, diagonalitzarà en una base ortonormal i tots els seus autovalors seran nombres reals. Sigui llavors {x �, y �, z �} un sistema d’eixos cartesians associat a la base en què � diagonalitza (autovectors de � ). La seva matriu de components en la base esmentada serà: 234 8 Plasticitat ���x´y´z´ �� 1 � �� 0 �� 0 0 �2 0 0� 0 �� � 3 �� (8.2) on �1 � � 2 � � 3 , denominades tensions principals, són els autovalors de � i les direccions associades als eixos {x �, y �, z �} s’anomenen direccions principals (vegeu la Figura 8-1). z z´ �z �2 � zy � zx � xz �x �3 y´ � yz � xy �y y � yx �1 x x´ Figura 8-1 – Diagonalització del tensor de tensions Per obtenir les tensions i les direccions principals de � , s’ha de resoldre el corresponent problema d’autovalors i autovectors: Trobar � i v de forma que : � � v � �v � �� � �1� � v � 0 (8.3) on � correspon als autovalors i v als autovectors. Condició necessària i suficient per tal que el sistema (8.3) tingui solució és que: det�� � �1� � � � �1 � 0 (8.4) que en components resulta: �x � � � xy � yx �y � � � xz � yz � xz � yz �0 (8.5) �z � � El desenvolupament algebraic de l’equació (8.5), denominada equació característica, correspon a una equació polinòmica de tercer grau en � , que es pot escriure com: �3 � I 1�2 � I 2 � � I 3 � 0 (8.6) on els coeficients I 1 ( �ij ), I 2 ( � ij ) e I 3 ( � ij ) són unes certes funcions dels components � ij del tensor � en el sistema de coordenades {x, y , z} . Tanmateix, les solucions de l’equació (8.6), que seran funció dels coeficients d’aquesta ( I 1 , I 2 , I 3 ), són les tensions principals que, d’altra banda, són independents de quin sigui el sistema d’eixos en el qual s’hagi expressat � . En conseqüència, els coeficients esmentats han de ser invariants davant qualsevol canvi de base. Per aquest motiu, els coeficients I 1 , I 2 i I 3 es denominen invariants I o invariants fonamentals i la seva expressió (després del desenvolupament corresponent de l’equació (8.5)) resulta ser: 235 8 Plasticitat � I1 � Tr �� � � � ii � � 1 � � 2 � � 3 � 1 � Invariants I � � I 2 � � : � � I12 � ��� 1� 2 � � 1� 3 � � 2� 3 � 2 � �� I 3 � det �� � � � 1 � 2 � 3 � � (8.7) Evidentment, qualsevol funció escalar dels invariants serà també un invariant i, per tant, a partir dels invariants I , definits en (8.7), es poden definir nous invariants. En particular, definirem els denominats invariants J : � �J1 � I1 � � ii � Tr(�) � 1 1 1 1 � Invariants J � �J 2 � I12 � 2I 2 � � ij� ji � �� : �� � Tr(� � �) 2 2 2 2 � 1 3 1 1 � ��J 3 � 3 I1 � 3I1 I 2 � 3I 3 � 3 � ij� jk � ki � 3 Tr�� � � � �� � � � (8.8) � Observació 8-1 a) Observeu que si: I 1 � 0 � Ji � Ii i � �1,2,3� . b) Els invariants J i , i � �1,2,3�, es poden expressar de forma unificada i compacta mitjançant l’expressió: 1 J i � Tr (� i ) i i � �1,2,3� 8.2.2 Components esfèric i desviador del tensor de tensions Donat el tensor de tensions � , es defineix la tensió mitjana � m com: �m � I1 1 1 1 � Tr �� � � �� ii � � ��1 � � 2 � � 3 � 3 3 3 3 (8.9) i la pressió mitjana p com: p � �� m (8.10) El tensor de tensions de Cauchy es pot descompondre en una part (o component) esfèrica � esf i una part (o component) desviadora �´ : � � � esf � �´ on la part esfèrica del tensor de tensions es defineix com: (8.11) 236 8 Plasticitat 1 Tr �� �1 � � m 1 3 0 � �� m 0 � �� 0 � m 0 �� �� 0 0 � m �� def � esf : � � esf (8.12) i, de les equacions (8.11) i (8.12), la part desviadora resulta ser: �´� � � � esf �� x � � m � � � � xy � � xz � � xy � y � �m � yz � xz � � � yz � � z � � m �� (8.13) Els invariants I i J del tensor desviador �´ , que es denominaran invariants I ´ i J ´ , resulten, després de considerar les equacions (8.7), (8.8), (8.9) i (8.13): � � J 1´� I 1� � 0 � 1 1 � Invariants J � � � J 2 ´� I 2� � ��´: �´� � � ij ´� ji ´ 2 2 � 1 � �� J 3 ´� I � 3� 3 �� ij ´� jk ´� ki ´� (8.14) Observació 8-2 Es pot demostrar fàcilment que les direccions principals de � coincideixen amb les de �´ , és a dir, que tots dos tensors diagonalitzen en la mateixa base. En efecte, si es treballa en la base associada a les direccions principals de � , és a dir, la base en la qual diagonaliza � , i atès que � esf és un tensor hidrostàtic i, per tant, és diagonal en qualsevol base, llavors �´ també diagonalitza en la mateixa base (vegeu la Figura 8-2). �z � zy �x � zx � xz � yz �z´ � zy �y � xy � yx = � zx � yz � xz � x´ � xy � yx � y´ + �m �2 � �m �2 = �m �m �3 � � m �3 �1 �m �1 � � m + �m �m Figura 8-2. – Diagonalització dels components esfèric i desviador 237 8 Plasticitat Observació 8-3 Es defineix com a tensió efectiva o tensió uniaxial equivalent � l’escalar: � � 3 J 2' � 3 3 � �ij ��ij � �´: �´ 2 2 La denominació tensió uniaxial equivalent es justifica perquè el seu valor per a un estat de tensió uniaxial coincideix amb la tensió uniaxial esmentada (vegeu l’Exemple 8-1). Exemple 8-1 Calculeu el valor de la tensió uniaxial equivalent (o tensió efectiva) � per a un estat de tensió uniaxial definit per: Resolució a) Tensió mitjana: b) Component esfèric: �� u � � �� 0 �� 0 � 1 � m � Tr (�� � u 3 3 � esf �� m � �� 0 �� 0 0 �m 0 c) Component desviador: �� u � � m � � � � � � esf � �� 0 �� 0 Tensió efectiva: � � 0 0� 0 0�� 0 0�� 0 � �m 0 � �u � 0 � � 3 0 �� � � 0 � � m �� � � 0 � � 0 � � 0 � � �u � 3 �� 0 �u 3 �2 �u 0 � �� 3 0 �� � � 0 � � � m �� � �� 0 0 0 1 � �u 3 0 � � � 0 � � 1 � � �u � 3 � 0 3 3 2 4 1 1 32 � �ij ��ij � �u ( � � ) � �u � �u � 2 2 9 9 9 23 � � �u N O T A L’espai de tensions principals també és conegut amb el nom d’espai de tensions de Haigh-Westergaard. 8.3 Espai de tensions principals Considerem un sistema d’eixos cartesians en R 3 {x � �1 , y � � 2 , z � � 3 } de manera que a cada estat tensional, caracteritzat pels valors de les tres tensions 238 8 Plasticitat principals �1 � � 2 � � 3 , li correspon un punt en l’espai esmentat al qual denominarem espai de tensions principals (vegeu la Figura 8-3). �3 �1 / 3 � �� �� n � �1 / 3 � � � ��1 / 3 �� P ��1 , � 2 , � 3 � Eix de tensió hidrostàtica ( �1 � � 2 � � 3 ) = Bisectriu del 1er octante �2 �1 Figura 8-3 – Espai de tensions principals Definició Eix de tensió hidrostàtica: És el lloc geomètric dels punts de l’espai de tensions principals que verifiquen la condició �1 � � 2 � � 3 (vegeu la Figura 8-3). Els punts situats sobre l’eix de tensió hidrostàtica representen estats tensionals hidrostàtics (vegeu el capítol 4, apartat 4.4.5). P ��1 , � 2 , � 3 � �3 Eix de tensió hidrostàtica �1 � � 2 � � 3 A O �1 � �2 Figura 8-4 Definició Pla octaèdric � : Qualsevol dels plans normals a l’eix de tensió hidrostàtica (vegeu la Figura 8-4). L’equació d’un pla octaèdric és: �1 + �2 + �3 = constant i la normal (unitària) a aquest és: n� 1 �1, 1, ,1�T 3 239 8 Plasticitat 8.3.1 Tensions sigma i tau octaèdrica Sigui P un punt de l’espai de tensions principals, de coordenades ( �1 , � 2 , � 3 ) i ____ vector posició OP � ��1 , � 2 , � 3 �T (vegeu la Figura 8-5). Considerem el pla octaèdric � que passa pel punt P , i sigui A la intersecció de l’eix de tensió hidrostàtica amb aquest pla. �3 P 3 �oct n A � O �2 3 � oct �1 Figura 8-5 Definicions � Tensió sigma octaèdrica: | OA |� 3 � oct � Tensió tau octaèdrica: | AP |� 3 � oct Observació 8-4 � � oct informa de la distància entre l’origen O i el pla octaèdric que passa pel punt P . El lloc geomètric dels punts de l’espai de tensions principals amb igual � oct és el pla octaèdric que està a una distància 3 � oct de l’origen. � � oct informa de la distància entre el punt P i l’eix de tensió hidrostàtica. És, doncs, una mesura de la distància que separa l’estat caracteritzat pel punt P d’un estat de tensió hidrostàtica. El lloc geomètric dels punts de l’espai de tensions principals amb igual � oct és un cilindre l’eix del qual és l’eix de tensió hidrostàtica i el radi del qual és 3 � oct . La distància | OA | es pot calcular com la projecció del vector OP sobre n (la normal unitària al pla octaèdric): 240 8 Plasticitat � �1 / 3 � � �� 3 �� | OA |� OP � n � {�1 , � 2 , � 3 }�1 / 3 � � ��1 � � 2 � � 3 � � 3 � m �� �� � 3 � ��1 / 3 �� � � | OA |� 3 � oct �� � oct � � m � I1 3 (8.15) (8.16) on s’ha tingut en compte la definició (8.9) de la tensió mitjana � m . La distància AP es pot calcular resolent el triangle rectangle OAP de la Figura 8-5: 2 2 2 1 2 AP � OP � OA � � 12 � � 22 � � 32 � �� 1 � � 2 � � 3 � 3 (8.17) Mitjançant algunes operacions algebraiques, aquesta distància es pot expressar en funció del segon invariant, J 2� , del tensor de tensions desviador de l’equació (8.14) com: 2 AP � 2 J 2 ' � AP � 2 ( J 2� )1 2 �� � 12 � � � oct � 3 �J 2 � �� | AP |� 3 � oct 2 (8.18) Les expressions alternatives de � oct en funció del valor de J 2� en l’equació (8.14) són: 1/ 2 1 � 2 1 2� �1 � � 22 � � 32 � ��1 � � 2 � � 3 � � � 3 3� � 1/ 2 2 2 2 1 � � �1 � � 2 � � 2 � � 3 � �1 � � 3 � � 3 3� � oct � � oct � � � � � (8.19) � Observació 8-5 � Si l’estat tensional � és purament esfèric: � � � esf � � m 1 � � � � � � � esf � 0 � J 2� � 0 � � oct � 0 (un estat esfèric queda caracteritzat per � oct � 0 i, per tant, pertany a l’eix de tensió hidrostàtica, vegeu la Figura 8-5). � Si l’estat tensional � és purament desviador: � � � � � � m � Tr (�) � Tr (� �) � 0 � � oct � 0 (un estat desviador queda caracteritzat per � oct � 0 i pertany al pla octaèdric que passa per l’origen). 241 8 Plasticitat Observació 8-6 Un punt P de l’espai de tensions principals queda caracteritzat unívocament pels tres invariants I 1 � J 1 , J 2� , J 3� (vegeu la Figura 8-6): � 1 I 1 ) caracteritza la distància a l’origen 3 ( � 3 � oct ) del pla octaèdric � sobre el qual està el punt (situa el punt P sobre un cert pla octaèdric). I 1 (a través de � oct � � J 2� caracteritza la distància del punt a l’eix de tensió hidrostàtica (situa el punt P sobre un cercle del pla octaèdric amb centre a l’eix de tensió hidrostàtica i radi 3 � oct � 2 �J 2� �1 / 2 ). � J 3� caracteritza la posició del punt dins del cercle definint l’angle �( J 3� ) . �( J 3� ) �3 3� oct � 2 ( J 2� )1/ 2 P Eix de tensió hidrostàtica O 3�oct = I1 / 3 �1 � �2 Figura 8-6 Observació 8-7 La Figura 8-7 mostra la projecció de l’espai de tensions principals sobre el pla octaèdric � . En aquesta projecció es pot observar la divisió de l’espai de tensions principals en sis sectors, caracteritzats per les sis possibles ordenacions diferents de les tensions esmentades i separats per les projeccions dels plans bisectors � 2 � � 3 , �1 � � 3 i �1 � � 2 . L’elecció del criteri �1 � � 2 � � 3 redueix automàticament el domini de treball factible al sector ombrejat a la figura i la intersecció de qualsevol superfície, del tipus f ( �1 , � 2 , � 3 ) � 0 , amb el pla � es redueix a una corba en el sector esmentat. Tanmateix, resulta automàtic estendre la corba als altres sectors (és a dir, dibuixar la corba que s’obtindria amb la mateixa funció f ( �1 , � 2 , � 3 ) � 0 , però considerant les diferents ordenacions de les tensions principals) sense res més que aprofitar les condicions de simetria respecte als plans bisectors. La corba resultant, per tant, presentarà tres eixos de simetria respecte a cada un dels eixos de la Figura 8-7. 242 8 Plasticitat � �3 �1 � � 3 � 3 � �1 � � 2 �1 � � 3 � � 2 �3 � 3 � � 2 � �1 � � 2 � � 3 � �1 �2 �1 �2 � 2 � �1 � � 3 �1 � � 2 � � 3 �1 �2 � �3 �1 � � 2 Figura 8-7 – Projecció sobre el pla octaèdric 8.4 Models reològics de fricció Els models reològics són idealitzacions de models mecànics, construïts com a combinació d’elements simples, el comportament dels quals és fàcilment intuïble, i que permeten percebre comportaments mecànics més complexos. S’utilitzaran aquí models reològics de fricció per introduir el concepte de deformació irrecuperable o permanent i les seves conseqüències com a pas previ a l’anàlisi dels models elastoplàstics. 8.4.1 Element elàstic (element molla) El model reològic elàstic ve definit per una molla de constant E (vegeu la Figura 8-8). El model estableix que existeix proporcionalitat entre la tensió i la deformació, tant en càrrega com en descàrrega, sent la constant E , el factor de proporcionalitat (vegeu la Figura 8-8). K F � E F �� ��� � � F �K� ��E� � F 1 K 1 � E Figura 8-8 – Relació tensió-deformació per a un model elàstic � 8.4.2 Element de fricció N O T A El model de fricció de Coulomb també rep el nom de model de fricció seca. Considerem un bloc situat sobre una superfície rugosa (vegeu la Figura 8-9) i sotmès a una força de compressió N i a una força horitzontal F (positiva, cap a la dreta, i negativa cap a l’esquerra). Sigui � el desplaçament horitzontal del bloc. El model de fricció de Coulomb estableix que el mòdul de la reacció R exercida per la superfície de contacte sobre el bloc no pot excedir d’un cert 243 8 Plasticitat valor límit Fu � � N , on � � 0 és el coeficient de fricció entre el bloc i la superfície. En conseqüència, mentre el mòdul de la força F sigui menor que el valor límit esmentat, el bloc no es mou. Una vegada assolit el valor límit Fu � � N , el bloc es comença a desplaçar en un estat de quasiequilibri (sense produir acceleracions) i, si es vol romandre en règim quasiestàtic, no es pot excedir aquest valor límit. Aquests conceptes es poden expressar matemàticament com: F � �N � � � 0 ( No hi ha moviment) F � �N � � � 0 ( Hi ha moviment) F � �N (8.20) ( Impossible) F N � Fe � µN F � � Fe R � Figura 8-9 – Llei de fricció de Coulomb El comportament del model de fricció de Coulomb, en termes de la relació força-desplaçament F � � , està representat gràficament a la Figura 8-9, tant per a valors positius de la força F (moviment cap a la dreta) com per a valors negatius (moviment cap a l’esquerra). Per analogia amb el model mecànic de fricció, podem definir el model reològic de fricció de la Figura 8-10 on � és la tensió (anàloga a la força F en el model de Coulomb) que actua sobre el dispositiu i � la deformació que experimenta (anàloga al desplaçament � ). El model reològic esmentat disposa d’un dispositiu friccional caracteritzat per un valor límit � e (que juga el paper de �N al model de Coulomb) el valor del qual no es pot superar. �e �� � � � e � �� � 0 � � � � e � �� � 0 � � � e � impossible Figura 8-10 – Model reològic de fricció A la Figura 8-11 es presenta la corba tensió-deformació corresponent al model reològic esmentat per a un cicle càrrega-descàrrega-recàrrega en aquest, que es pot descompondre en els trams següents: � Tram 0 � 1 : La tensió � augmenta (a tracció) fins assolir el valor llindar � � � e . No es produeix deformació. 244 8 Plasticitat � Tram 1 � 2 : Una vegada assolit el llindar � � � e , la tensió no pot augmentar, encara que sí mantenir-se constant, amb la qual cosa l’element de fricció flueix produint-se una deformació � que creix indefinidament mentre es mantingui la tensió (procés de càrrega). � Tram 2 � 3 : En el punt 2 s’inverteix la tendència de la tensió que comença a disminuir ( �� � 0 ) i s’inicia la descàrrega ( � � � e ). Automàticament deixa de produir-se deformació �� � 0 . Aquesta situació es pot prolongar fins que la tensió s’anul·la ( � � 0 ) en el punt 3 . Observeu que si el procés es deté aquí, ens trobarem amb què s’ha recuperat l’estat de tensió inicial, però no l’estat de deformació, apareixent una deformació residual o permanent ( � � 0 ) que posa en evidència que, per a aquest model, la trajectòria a la corba tensió-deformació no és la mateixa en règim de càrrega que en règim de descàrrega i (des del punt de vista termodinàmic) el caràcter irreversible del procés de deformació. � Tram 3 � 4 : Més enllà del punt 3 el signe de la tensió s’inverteix i passa a ser de compressió. Tanmateix, com que � � � e , no es produeixen canvis a la deformació ( �� � 0 ). � Tram 4 � 5 : En el punt 4 es compleix el criteri � � � e i el model comença novament a entrar en càrrega i a fluir a tensió constant � � �� e , produint deformació negativa �� � 0 , la qual redueix progressivament la deformació acumulada. Finalment, en el � punt 5 s’ha recuperat l’estat de deformació inicial, però no el de 2 1 �e tensió. Més enllà del punt esmentat es podria procedir a una descàrrega, amb la 3 0 disminució consegüent de la tensió fins tancar el cicle en el � punt 0 , o prosseguir en règim de càrrega generant, ara, � �e 5 4 deformació permanent negativa. Figura 8-11 – Corba tensiódeformació en un cicle de càrrega-descàrrega-recàrrega 8.4.3 Model elàstic-friccional Els elements reològics bàsics, elàstic i friccional es poden combinar per produir un model més complex, que denominarem model elàstic-friccional, mitjançant la disposició en sèrie d’un element elàstic, de paràmetre E , i d’un element de fricció, de paràmetre � e que denominarem límit elàstic, tal com es mostra en la Figura 8-12. Sigui � la tensió que actua al model i � la deformació total d’aquest. En estar col·locats els dos elements bàsics en sèrie, es verificarà que la tensió que actua sobre cada un és la mateixa. D’altra banda, podem descompondre la deformació total com la suma de la deformació 245 8 Plasticitat experimentada per l’element elàstic ( � e ) més la deformació experimentada pel dispositiu friccional ( � f ), i el mateix es podrà fer a nivell incremental: � ��e �� f � � � � ��e � � f � � � f � Descomposició E � � E � � additiva de � la deformació � e f �� � �� � �� � Element de fricció E �e (8.21) Element elàstic � �f �e � Figura 8-12 – Element elàstic-friccional Tenint en compte el comportament tensió-deformació de cada un dels elements bàsics que componen el model reològic, per al model combinat es tindrà: � � �� � �� e � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � � ��� � E�� L’element de fricció no es deforma per a tensions � � � e , per la qual cosa tota la deformació serà absorbida per l’element elàstic. � � � � e � �� f � 0 � � � � � � �e � ��f �� f e E ��� � �� � �� � 0 � �� � 0 Tot increment de la deformació és absorbit per l’element de fricció amb un increment de tensió nul. � � � �e És incompatible amb les característiques de l’element de fricció. A la Figura 8-13 es presenta la corba tensió-deformació per a un cicle càrregadescàrrega-recàrrega amb el model elàstic-friccional, que es pot descompondre en els trams següents: � Tram 0 � 1 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de càrrega elàstica. Al final d’aquest, en el punt 1 , es té � � � e � �e . El valor final � e al final E d’aquest tram elàstic justifica la seva denominació com a límit elàstic. 246 8 Plasticitat � �e ��f �� � � És un tram de càrrega E ���� � �� f � 0 � Tram 1 � 2 : � � � e � �� f � 0 � � friccional en el qual no es genera deformació en l’element elàstic (no es genera deformació elàstica) i tot l’increment de deformació és absorbit per l’element friccional. � Tram 2 � 3 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de descàrrega elàstica. Al final d’aquest, en el punt 3 es recobra l’estat inicial de tensió nul·la ( � � 0 ). En conseqüència, en el punt esmentat la deformació elàstica � � 0 i, per tant, la deformació residual o irrecuperable és E � � � f � 0 ; és a dir, la deformació generada en l’element de fricció durant el tram de càrrega friccional 1 � 2 no es recupera davant d’una relaxació és � e � eventual a zero de la tensió. Aquest fet permet qualificar al component friccional de la deformació � f com una deformació irrecuperable o irreversible. � Tram 3 � 4 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de recàrrega elàstica similar en 0 � 1 , però amb tensió de compressió ( � � 0 ). Durant aquest no es modifica el component friccional de la deformació i el valor final, en el punt 4 , de la deformació elàstica és � e � � �e . E � � ��� e ��f � És un tram de recàrrega E ���� � �� f � 0 � � Tram 4 � 5 : � � � e � �� f � 0 � � friccional durant el qual es genera deformació friccional negativa ( �� f � 0 ), per la qual cosa el valor total de la deformació de fricció va disminuint fins anul·lar-se en el punt 5 � (caracteritzat per � � � � � e i E � f � 0 ). Una descàrrega elàstica � 0 e eventual en el punt esmentat determina la tornada a l’estat inicial 0 . 1 �e 2 E 3 � �e / E 5 � �e 4 Figura 8-13 – Corba tensió-deformació d’un model elàstic-friccional 8.4.4 Model de fricció amb enduriment Considerem el model reològic de la Figura 8-14 compost per un element elàstic (caracteritzat per un paràmetre H � , que denominarem mòdul d’enduriment) i un element de fricció (caracteritzat pel límit elàstic � e ) disposats en paral·lel. La disposició en paral·lel motiva que tots dos elements reològics comparteixin la 247 8 Plasticitat deformació, mentre que la tensió total al model serà igual a la suma de la tensió sobre l’element de fricció ( �(1) ) més la tensió que passa per l’element elàstic ( �(2) ): ��� � � (1) � � ( 2 ) � ���� � �� (1) � �� ( 2 ) (8.22) � � �e � � f �e � (1) � � H´ � ( 2) � Figura 8-14 – Model de fricció amb enduriment Analitzant per separat el comportament de cada element es té: a) Element de fricció: � (1) � � e �� f � �� � 0 � (1) � � e �� f � �� � 0 � (1) � � e impossible (8.23) b) Element elàstic: ��� ( 2) � H ´� e � H ´� � ( 2) ���� � H ´�� e � H ´�� (8.24) c) Combinant les equacions (8.23) i (8.24) s’arriba a: ( 2) � (1) �| � � � �| � � � H ´� H ´� (8.25) D’acord amb les equacions (8.23) i (8.24) es poden establir les següents situacions per al model reològic: � ��� � �� (1) ��� f � �� � 0 �� � (1) � � e � � � H ´� � � e � � ( 2 ) e ��� � 0 ��� � H ´�� � H ´�� � 0 Tota la tensió passa pel dispositiu friccional i la deformació és nul·la. � �� � (1) � � e � �� ( 2 ) � �� � H ��� � (1) � � e � � � H ´� � � e � � ( 2 ) (1) �� � � | � � � | Tot increment de tensió és absorbit en la seva totalitat per l’element elàstic. 248 8 Plasticitat A la figura 8-15 es presenta la corba tensió-deformació per a un cicle càrrega-descàrrega-recàrrega amb el model proposat i descomposta en els trams següents: � Tram 0 � 1: ��� ( 2 ) � E�� � 0 � � (1) � � e � �� � 0 � � (1) ��� � �� És un tram caracteritzat perquè tota la tensió és absorbida per l’element de fricció. Al final d’aquest, en el punt 1 , es té � � 0 i � � � e . El tram es pot caracteritzar per la condició � � H ´� � � e . �� � � e � � ( 2 ) � És un tram de càrrega en ( 2) ��� � �� � H ��� � Tram 1 � 2 : � (1) � � e � � el qual tot l’increment de tensió és absorbit per l’element elàstic. Globalment el model augmenta la seva capacitat de resistir la tensió (i es diu que el model s’endureix) proporcionalment a l’augment de deformació, sent el factor de proporcionalitat el mòdul d’enduriment H � . El tram es pot caracteritzar per la condició � � H ´� � � e . ��� (1) � �� � És un tram en el qual la ( 2) ��� � 0 � Tram 2 � 3 : � (1) � � e � �� � 0 � � tensió en l’element friccional disminueix, amb un increment de deformació nul i mantenint-se constant la tensió en l’element elàstic. Aquest estat es pot prosseguir fins a invertir-se totalment la tensió en l’element friccional. Així, en el punt 3 es té � (1) � �� e . El tram es pot caracteritzar per la condició � � H ´� � � e . �� � ��e � �( 2 ) � La situació és simètrica (2) ��� � �� � H ��� (1) � Tram 3 � 4 : � � � �e � � �� e respecte al tram 1 � 2 amb l’element elàstic disminuint la tensió que suporta, fins anul·lar-se en el punt 3 , on � (1) � �� e i � ( 2) � 0 . El tram es pot caracteritzar per la condició � � H ´� � � e . Més enllà d’aquest punt es pot relaxar la tensió en l’element de fricció fins a arribar a l’estat original 0 . 2 � �e � � H ´� � � e 1 H� �e �e 0 3 � �e � � H ´� � � e � 4 Figura 8-15 – Corba tensió-deformació d’un model de fricció amb enduriment 249 8 Plasticitat 8.4.5 Model elàstic – friccional amb enduriment Combinant ara un element elàstic, de mòdul elàstic E , en sèrie amb el model friccional, amb enduriment H � i límit elàstic � e , de l’apartat 8.4.4, s’arriba al model elàstic-fricció amb enduriment de la Figura 8-16. �e �1 E H´ � �2 �f �e � Figura 8-16 – Model elàstic-friccional amb enduriment. De les equacions d’equilibri de tensions i de compatibilitat de deformacions al model (vegeu la Figura 8-16), tindrem: Descomposi ció �� � � e � � f � additiva de la � e f ��� � �� � �� deformació �� � � e � � f � e ��� � �� � �� (8.26) f on � e i � f representen, respectivament, les tensions suportades per l’element elàstic i el model de fricció amb enduriment. Combinant ara el comportament d’un element elàstic (vegeu la Figura 8-8) amb el del model de fricció amb enduriment de la Figura 8-14, es té per al model reològic proposat: � ��� f � 0 � � H ´� f � � e � � � �� � E �� e ��� � �� L’element de fricció amb enduriment no es deforma i l’increment de deformació �� és absorbit en la seva totalitat per l’element elàstic. És el cas que denominarem procés elàstic. � � � H ´� f � � e a) �� � 0 ; �� � 0 � � � �� � 0 � � ó �� � 0 ; �� � 0 � � �� � �� e � �� f � ��� � �� f � H ��� f � �� e e ��� � �� � E �� E � H� 1 1 �� � �� � �� � E H� EH � ���� � E ef �� � E ef � E H � �� E � H� L’increment de deformació és absorbit pels dos elements del model (el friccional-endurible i l’elàstic). La relació entre l’increment de tensió 250 8 Plasticitat �� i l’increment de deformació �� ve donada pel mòdul de deformació elàstic-friccional E ef . Es tracta d’un cas que denominarem procés de càrrega inelàstica. b) �� � 0 ; �� � 0 � � � �� � 0 � � ó �� � 0 ; �� � 0 � � �� f � 0 � �� � �� e � �� � E �� Tot l’increment de deformació �� és absorbit per l’element elàstic. Es tracta d’un cas que denominarem procés de descàrrega elàstica. A la figura 8-17 es presenta la corba tensió deformació en la qual es poden distingir els trams següents: � Trams 0 � 1 i 2 � 3 : � � H ´� f � � e � �� � E �� . Corresponen a processos elàstics. � Trams 1 � 2 i 3 � 4 : �� � � H ´� f � � e � �� � E � ��� �� � 0 ef �� . Corresponen a processos de càrrega inelàstica. � � � H ´� f � � e � � Punt 2 : � elàstica. ��� �� � 0 � �� � E �� . Correspon a un procés de descàrrega Noteu que si H ´� 0 , llavors E ef � 0 i es recupera el model elàstic-friccional de la Figura 8-13. � �e Càrrega inelàstica 2 1 0 E �e E � �e Elàstic 4 ef 3 Figura 8-17 – Corba tensió-deformació d’un model elàstic-friccional amb enduriment 251 8 Plasticitat 8.5 Comportament fenomenològic elastoplàstic Considerem una barra d’acer de longitud � i secció A sotmesa a una força de tracció F als seus extrems. La tensió a la barra serà � � F / A (vegeu la Figura 8-18) i la deformació d’aquesta es pot estimar com � � � , on � és � l’allargament de la barra. Sotmetent la peça esmentada a diversos cicles de càrrega i descàrrega s’obté, típicament, una resposta, en termes de la corba tensió-deformació � � � , com la indicada a la Figura 8-19. � �/2� �/2 � 1 �� 2 ��F/A Figura 8-18 – Assaig de tracció uniaxial Analitzant el primer cicle s’observa que, mentre la tensió no supera el valor � e (denominat límit elàstic) en el punt 1 , el comportament és elàstic lineal caracteritzat pel mòdul elàstic E ( � � E� ) i no existeixen deformacions irrecuperables (durant una descàrrega eventual es recupera la deformació produïda durant la càrrega). 4 2 1 �e E E E 0 2a descàrrega 1a descàrrega � 3 5 � p �e � � Figura 8-19 – Cicles càrrega-descàrrega-recàrrega Per a tensions superiors a � e , el comportament deixa de ser elàstic i part de la deformació no es recupera davant d’una reducció eventual a zero de la tensió (punt 3 ), i apareix una deformació romanent denominada deformació plàstica � p . Tanmateix, durant la branca de descàrrega 2 � 3 el comportament torna a ser, almenys de forma aproximada, incrementalment elàstic ( �� � E �� ). El mateix passa en la recàrrega 3 � 2 posterior i es produeix un comportament incrementalment elàstic, fins que la tensió assoleix, en el punt 2 , el màxim valor que havia assolit durant el procés de càrrega. A partir d’aquest punt el comportament deixa de ser de nou incrementalment elàstic (com si el material recordés la màxima tensió a què havia estat sotmès prèviament). Un següent cicle càrrega-descàrrega-recàrrega 2 � 4 � 5 � 4 posa novament de manifest que durant el tram 2 � 4 s’ha generat més deformació plàstica, que apareix en 252 8 Plasticitat forma de deformació permanent en el punt 5 , i també més deformació elàstica � e , entesa com aquella part de la deformació que sí que es recupera durant el tram de descàrrega 4 � 5 . 8.5.1 Efecte Bauschinger Considerem una proveta d’un material verge (que no ha sofert prèviament estats de deformació inelàstics) sotmesa a un assaig de tracció uniaxial i una altra proveta del mateix material verge sotmesa a un assaig de compressió uniaxial. Per a certs materials (denominats isoresistents) les respostes que s’obtenen en tots dos assajos, en termes de la corba tensió-deformació � � � de la Figura 8-20, són simètriques respecte a l’origen. És a dir, que en l’assaig a tracció la resposta és elàstica fins a un valor de � � � e (límit elàstic a tracció) i en l’assaig a compressió la resposta és també elàstica fins a un valor de � � � � e (límit elàstic a compressió), sent la resta de les dues corbes (per a un suposat règim de càrrega monòton) també simètriques. Direm en aquest cas que la corba tensiódeformació del material verge és simètrica a tracció i compressió. N O T A Aquest procediment es coneix com estirament en fred i té com a finalitat obtenir un límit elàstic aparent del material superior al del material verge � f � � e . Suposem ara que realitzem un assaig de compressió sobre una proveta que ha estat sotmesa prèviament a una història de deformacions plàstiques, per exemple a un cicle de càrrega-descàrrega a tracció com el 0 � 1 � 2 � 3 en la Figura 8-19 (estirament en fred), i sigui � f � � e la màxima tensió a què ha estat sotmès el material durant el procés de càrrega. Un hipotètic comportament simètric portaria a fer que el material tingués ara un comportament elàstic en el rang de tensions �� � f , � f �. Tanmateix, en certs casos, el comportament elàstic a compressió acaba molt abans (vegeu la Figura 8-20). Aquest és l’efecte conegut com efecte Bauschinger o enduriment cinemàtic. Observeu que la corba tensiódeformació del model elàstic-friccional de la Figura 8-17 presenta aquest tipus d’enduriment. Corba del material verge � �f �e 1 E E Corba del material estirat � � �e Corba sense efecte Bauschinger ��f Figura 8-20 – Efecte Bauschinger ��� ������������� �������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ��������� ��� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������� ��� ��������������������������������������������������������������� ������������������������� ����������� ������������ ��� ��� ������������ �� ������������ � � � � ��������������������� ������������������� ��������������������� �������������� ���������������������� ������������������� ���������������������� �������������������������� ����� ��� ������������� �������������� ���������� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� ���� ��������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������� ���� ������ ��������� ��� �������� �� ��������������������� ���������� ���������� ��� ������������ ������������������ ���� ��� ��� ��� ������ �� ��������������������������������������� � � �� ���� ������ ��� ��������� ����������� � � �� ������������� ���� ���� ��� ��� ������� ����� ��� ��������������� �� ��������� ���������� �� ���������� ��� ������������ ��� ��������� �� ��������������� ��������������� �� ������� ����� �� ������ ��������� ������� ��������������������������������������� ������ �������������� ��������� ��� ��� ������������ �������� ������������ ��������������������������������� � �������������������������������������� � � ��� ����������� �������������� ���� ��� ������� ���� ��� ����� ��� ������� �� ��� �������������������� � � ����������������������������� 254 8 Plasticitat Descomposi ció additiva de la deformació � �� � � e � � p � d� � d� e � d � p � � � � e d� � e � � � � � d� � E E � � (8.27) on E és el mòdul elàstic. Es defineix, a més, la variable d’enduriment �(�, � p ) mitjançant l’equació d’evolució: N O T A S’utilitza aquí la funció signe definida mitjançant: Variable d' enduriment � � x � 0 � sign( x) � �1 x � 0 � sign( x) � �1 � d� � sign (� ) d� p � �d� � 0 �� p � 0 � � �0 (8.28) Observació 8-9 Observeu que la variable d’enduriment � és sempre positiva, d’acord amb la seva definició en l’equació (8.28) i que, prenent mòduls en l’expressió d� � sign(�) d� p , s’arriba a: d� � d� � sign(�) d� p � d� � d� p � ��� � �1 Així doncs, per a un procés monòton creixent de la deformació plàstica les dues variables coincideixen: d� p � 0 � � � � �p 0 �p d� p � � d� p � � p 0 Tanmateix, si el procés no és monòton creixent, la deformació plàstica pot disminuir i el seu valor ja no coincideix amb el de la variable d’enduriment � . 8.6.2 Domini elàstic. Funció de fluència. Superfície de fluència Es defineix com a domini elàstic en l’espai de tensions l’interior del domini tancat per la superfície F ��, � � � 0 : � Domini elàstic � E� :� � � R � F ��, � � � 0 (8.29) on la funció F ��, � � : R � R � � R es denomina funció de fluència plàstica. Es defineix com a domini elàstic inicial E 0� el domini elàstic corresponent a una deformació plàstica nul·la ( � p � � � 0 ): Domini elàstic inicial � E�0 :� �� � R F �� ,0� � 0� (8.30) Un requeriment addicional al domini elàstic inicial és que contingui a l’estat de tensió nul·la: ��� ������������� � � � �� � � ���� � � � ������ ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������� � � ����� � � � � � ��� ������ ��� � � �� � � � �������������������������������������������������������������� � � � ���� ��� ������� ��� ��������� ��� ��� ������ �������� � � � ������� ��� ������� ������� ��� ������ � � �� � � � � � � � ������������������������������� �� � �� � �� �� � �� � � � ��� � � ��� � � �� ��������� �� � ������������ ��� �� �� � � � ����������������� ����������� � � � � � � ��� ��������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ � � ���������������������� � ��� �� � �� �� � ���� � � � � � � �� � � � ������ ��� ������� �������� � � � ���������� ���� ��� ���� �������� �� � � ����������� ������� ��������������������������������� � � � �������� � � ��������� � � �� � �� � ��� � � �� � ����� � � � � ��� � � ������������� � � ������ ������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������ � � ��������������������������������������������������� �������� ��� ��� ����������� ��� ��������� ������� �� ��� �������� ��� ��������� ����������� ����������������������������������� �� ���������������������� � ����� � � � � � � � ��� � �� ��� � �� � �� ��������������������������� � ����� � � � � � � � ��� � �� ��� ���� � � ����� � � � � � � � ��� � ����������������������������� ������ 256 8 Plasticitat Observació 8-10 Observeu en l’equació (8.34) la dependència de l’espai de tensions admissibles amb la variable d’enduriment � . El domini admissible evoluciona amb la tensió de fluència � f (�) de la forma: � � E � � � � f (�), � f (� ) (vegeu la Figura 8-22). 8.6.3 Equació constitutiva Per caracteritzar la resposta del material es defineixen les situacions següents: � Règim elàstic: � � E � � d� � E d� � Règim elastoplàstic en descàrrega: � � �E � � � � d� � E d� dF (�, �) � 0� � (8.36) (8.37) Règim elastoplàstic en càrrega plàstica: � � �E � � ep � � d� � E d� dF (�, �) � 0� (8.38) on E ep és el denominat mòdul de deformació elastoplàstic. Observació 8-11 La situació � � �E � i dF (�, �) � 0 no es pot donar, ja que si � � �E � � (de l’equació (8.33)) F ��, � � � � � � f �� � � 0 . Si, a més, dF (�, �) � 0 � F �� � d�, � � d� � � � F��� �� ,� � � � dF (�, �) � 0 � ��� � �0 �0 i, d’acord amb l’equació (8.35) l’estat tensional � � d� seria no admissible. 8.6.4 Llei d’enduriment. Paràmetre d’enduriment La llei d’enduriment proporciona l’evolució de la tensió de fluència plàstica � f (�) amb el paràmetre d’enduriment � (vegeu la Figura 8-22). Encara que la llei d’enduriment esmentada pot ser més general, és freqüent (i moltes vegades suficient) considerar una llei d’enduriment lineal del tipus: � f � � e � H � � � d � f (� ) � H � d � on H � rep el nom de paràmetre d’enduriment. (8.39) 257 8 Plasticitat 8.6.5 Mòdul de deformació elastoplàstic El valor del mòdul de deformació elastoplàstic E ep de l’equació (8.38) es pot calcular com segueix. Considerant el règim elastoplàstic en càrrega plàstica, de l’equació (8.38): N O T A S’utilitza aquí la propietat: dx dx � sign(x) � � �E � � F ��, � � � � � � f �� � � 0� �� dF (�, �) � 0 � (8.40) d � � d� f �� � � 0 � sign(�) d� � H � d � � 0 on s’ha tingut en compte l’equació (8.39). Considerant ara l’equació (8.28) ( d� � sign(�) d� p ) i substituint en l’equació (8.40): sign(�) d� � H � sign(�) d� p � 0 � d� p � 1 d� H� (8.41) Considerant ara la descomposició additiva de la deformació (8.27) i l’equació (8.41): � d� � d� e � d� p � � 1 1 1 1 � � �1 d � e � d � � � d� � d � � d� � � � d� � � � �� E E H E H � � 1 � d� � d� p � H� � (8.42) �d� � E ep d� � d� � d� � � ep H� 1 1 �E � E � � E � H� E H� 1 8.6.6 Corba tensió-deformació uniaxial Amb l’equació constitutiva definida per les equacions (8.36) a (8.38), podem obtenir la corba tensió-deformació corresponent per a un procés uniaxial de càrrega-descàrrega-recàrrega (vegeu la Figura 8.22) en el qual podem observar els trams següents: � Tram 0 � 1 : � � � e � � � E � � Règim elàstic. D’acord amb l’equació (8.36), d� � E d� i el comportament és elàstic-lineal definint una branca elàstica del diagrama tensió-deformació. F (�, �) � � � � f (�) � 0 � � � �E � �� � � Règim elastoplàstic en �� dF (�, �) � 0 càrrega plàstica. D’acord amb l’equació (8.38), d� � E ep d� definint una � Tram 1 � 2 � 4 : branca elastoplàstica. � Tram 2 � 3 � 2 : F (�, � ) � � � � f (�) � 0 � � � E � � Règim elàstic. ��� ������������� ������������������������������ �� � � �� ������������������������������������ ����������������������������� �� �� �� � �� � � ��� � ��� � � � � �� � ��� �� � � �� � �� ��� � �� � �� �� �� � �� �� �� �� � � �� �� � �� ��� �� � � �� � �� � � � ��� �������������������������������������������������������������������������� ����������������������������� ��������������� ��� ��� ����� � � ��� ��� ������� ����� � ��� ������ ������������ ���� ��� ������������������� �� � ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� � � ����������� ��������� ���� �� � ���� ��� �� � � � ������� � � � � �� � ��� �� � � � � � ��� � � � � � �� � � �������� ��������� ���� �� � ���� ��� �� � � ������� � � � � ��������������� ����������������������������������������������������������������� ��� �������� ��������� ������ ��� ������� ��������������� ������� ��� ������� �� ���� 259 8 Plasticitat Branca elastoplàstica � �f d� � E d� e E ep �e d� e d� p E d� Branca elàstica 1 �p � �e Figura 8-24 – Generació de deformació plàstica a la branca elastoplàstica Observació 8-14 Observeu la similitud del diagrama tensió deformació de la Figura 8-23 amb l’obtingut amb el model reològic elàstic-friccional amb enduriment a l’apartat 8.4.5 (Figura 8-17). La deformació de fricció � f en el model esmentat és equivalent a la deformació plàstica � p en la teoria incremental de la plasticitat. Observació 8-15 N O T A El paràmetre d’enduriment H � juga un paper fonamental en la definició del pendent E ep de la branca elastoplàstica. D’acord amb l’equació (8.42): El cas de plasticitat amb ablaniment per deformació presenta una problemàtica específica, respecte a la unicitat de la solució del problema elastoplàstic, que queda fora de l’abast d’aquest text. E ep � E H� E � H� i, en funció del valor de H � , es poden definir les situacions següents (vegeu la Figura 8-25): H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat amb enduriment per deformació. El cas límit H � � � � E ep � E recobra el comportament elàstic lineal. H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat perfecta. H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat amb ablaniment per deformació. El cas límit es troba a H � � � E � E ep � �� . H ´� � � E �e ep � �0 H ´� 0 �e H ´� 0 E E ep � 0 E 1 1 � H ´� � E � Figura 8-25 ��� ������������� ���������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������� ���������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������� ��� ��������������������������������������� ����������������������� � ���������������� � � � � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � �� � �� �� � � � � �� � � � � � � ������ ��� � �� ������������������������������������������������������������������� ��� ���������������������� � ��������������������������������������� � � �� � �� � � �� � � ������������� � �� �� �� � � � � ������ � ������ ��� � ��������������������������������������� � ��� �� ����������������������������������� ��� ����������������������������������������������������������� ������������������ �������������������� �������� ���������� ����� � �� � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � ����� �� ���������� � �� � �� � � �������������� ����������������� � �� �� � � ���������������������� � ��� �� � � ���������������������� � ��� �� � ���������������������� ����������������� ������������������� � ����������� ����������� � � � �� �� � � � � � �� ��� � � ������ � � ���� � � � � � �� � �� � ��� � � � � � �� �� � � � ��� ���� � � ������������������������������������������� � � ����������������������������� �������������������������������������������������������������� � � ��� ������������� ��������������������������������������� � � ����������������������������������� ���������������������������������������������������������������� � � �������������� ����������������������������� � ����������� � � � � � � �������������� ������ � �������������������������� � � � � � � ���������������� ������ � �������������������������� � � � �������������������� � � � � � � ��������������������������� � �� ������ 261 8 Plasticitat 4. Condicions de càrrega-descàrrega (condicions de Kuhn-Tucker) i de consistència Condicions de � � � � � 0 ; F (�,� ) � 0 ; � F (�,� ) � 0 càrrega - descàrrega � (8.47) Condició de � � � F (�,� ) � 0 � � � dF (�,� ) � 0 consistència � Les condicions de càrrega-descàrrega i de consistència són un ingredient addicional, respecte al cas unidimensional, que permeten obtenir, després d’alguna manipulació algebraica, el multiplicador plàstic � en l’equació (8.44). 8.7.1 Equació constitutiva De forma similar al cas uniaxial, l’equació constitutiva distingeix entre les situacions següents: � Règim elàstic: � � E � � d� � C : d� � (8.48) Règim elastoplàstic en descàrrega: � � �E � � � � d� � C : d� dF (�, �) � 0� � (8.49) Règim elastoplàstic en càrrega plàstica: � � �E � � ep � � d� � C : d� dF (�, �) � 0� (8.50) on C ep és el denominat tensor constitutiu elastoplàstic que, després d’algunes operacions algebraiques tenint en compte les equacions (8.43) a (8.47), s’escriu de la manera següent: �G �F � C: :C � � ep �� �� �C (�� � � � � �F �G � :C: H�� �� �� � � � �G �F � Cijpq Crskl � �� pq �� rs ep �C � C � ijkl �F �G � ijkl C pqrs H�� � �� pq ��rs � (8.51) i, j , k , l , �{1, 2,3} 8.8 Superfícies de fluència. Criteris de falla Un ingredient fonamental de la teoria de la plasticitat és l’existència d’un domini elàstic inicial E 0� (vegeu la Figura 8-26) que es pot escriure de la forma: 262 8 Plasticitat E �0 :� �� F (�) � �(�� � � e � 0� (8.52) i que determina un domini a l’espai de tensions delimitat per la superfície de fluència inicial �E 0� : �E 0� :� �� F (� ) � �(�� � � e � 0� �3 �E 0� :� �� E �0 :� �� o (8.53) �(�� � � e � �(�� � � e � �2 �1 Figura 8-26 Atès que el domini elàstic inicial conté l’origen de l’espai de tensions (� � 0) , tot procés de càrrega en qualsevol punt del medi inclourà un règim elàstic (mentre la trajectòria de tensions romangui a l’interior de E 0� , vegeu la Figura 8-26) que acabarà en l’instant en què la trajectòria esmentada assoleixi la superfície de fluència �E 0� . La superfície de fluència inicial exerceix llavors un paper indicador de l’instant de falla (entès com a fi del comportament elàstic) independentment del possible comportament post-falla (comportament plàstic) que s’iniciï més enllà de l’instant esmentat. D’aquí la importància de la superfície de fluència inicial i l’interès de formular les equacions matemàtiques que la determinen de forma adequada per als diferents materials d’interès en l’enginyeria. N O T A El fet que la superfície de fluència, entesa com un ingredient addicional de l’equació constitutiva, sigui independent del sistema de referència caracteritza un comportament elastoplàstic isòtrop. Per tal de fer la superfície de fluència independent del sistema de referència (material isòtrop), encara que es formuli en l’espai de tensions principals, la seva equació matemàtica se sol plantejar en funció dels invariants tensionals: F (�) � F ( I 1 , J 2� , J 3� ) (8.54) i, ja que s’adopta el criteri �1 � � 2 � � 3 , la seva definició només afectarà el primer sector de l’espai de tensions principals, estenent-se automàticament, per les condicions de simetria (vegeu l’Observació 8-7), als sectors restants de la Figura 8-7. 8.8.1 Criteri de von Mises En el criteri de von Mises es defineix la superfície de fluència mitjançant: Criteri de von Mises � F (�) � � �� � � � e � 3 J' 2 � � e � 0 (8.55) ��� ������������� ��� ��� � � �� �� � ��� ��� ������� ��������� � ������� ������������� �������� ���� ��������� ������������ ������� ������������ ���� ���������� ������� �� ������� �� ���������������� �� ��������������������������� � �� � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � �� � � ������ ��������������������������������������������������������������������������������� ���������������� �� � � �� � � �� �� � � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � � �� ���������������������������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� ��������� ��� ���� ������ ���������� ���� ������ ���������� ���� ������� �� ��������� � �� ���������������������������������������������������������� ��������������� ���� ��� ������� ������ ��� � �� �� ��� ����� ����� ��������� �� �������������������������������������������������������� ��������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ��� �������� ���� ��� ������������ ������ ��� ������������� �������� �� �� �������������������������������������������������������������������� ������������� 264 8 Plasticitat Exemple 8-2 Obteniu l’expressió del criteri de von Mises per a un cas de tensió uniaxial. Resolució Per a un cas de tensió uniaxial, caracteritzat per l’estat tensional: �u �u �� u ��� 0 � �� 0 0 0� 0 0� � 0 0�� resulta ser (vegeu l’Exemple 8-1) � � � u i substituint a l’equació (8.55): F (�) � ��� � � � e � � u � � e i el domini elàstic inicial queda caracteritzat, de la mateixa forma que per al cas de plasticitat unidimensional de l’apartat 8.6.2 , per la condició: F (�) � 0 � � u � � e Exemple 8-3 Obteniu l’expressió del criteri de von Mises per a un estat tensional típic de flexió composta en bigues. Q Resolució M N � xy y �x x L’estat tensional per a un cas de flexió composta resulta ser: �� x � � �� xy � �� 0 � xy 0 0 �2� �3 x 0� � 1 1 0� � � m � � x � ��� � � � � � x 1 � � � xy � 3 3 � 0�� � 0 �� 1�4 1 1 1 � 1 J 2� � �� � : � � � � � 2x � � 2x � � 2x � � 2xy � � 2xy � � � 2x � � 2xy 2�9 9 9 2 � 3 � � 3 J 2� � � 2x � 3� 2xy � F (�) � 0 � � � � e � � xy 1 � �x 3 0 � � � 0 � � 1 � �x� 3 �� 0 ��� ������������� � �� � � �� � �� ��� � � � ����������������������� � �� � � �� � �� ��� ������������������������������������ ���������������������������������������������� � � ��������������������������������� �������������������������������������� ������ �������������������������������������������������� ��� �������� ��� ������� ��� ������� ������ ���� �� �������� ��� ��� ������� ������� �������� � ���������� ���� ��� ������� �������� ����������� ���� �� ��� ����� ����� ���� ������ ����� �� ����������������������������������������������������������������������������� � ���� ������������������������������������������������ � � � � ���� � �� � � � � � � � � ������ ��� ��� ������� ����� ��������������� ��� ��������� �������� ��� ������� ��� ������� �� ����� ��� ����� ������������ ��� ��� ������� ��� �������� ��� ��� ����� ��� ������� �� ��������� ���� ��� ���������� ��� ������������� �������� ������ ����� ��� ������� ��� ���� � ���� �������������������������� � � � ���� � � � � � �� ��������������������� � ���� � � �� � �� � �� �� � � � � � � � � �� ����������� ���������������������������������������������������������������������������������� ���� ����������������� � � ��� � �� � � � � � � � � � � ��������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������ � �� ��� � �� ������������������������������������� � � � ����������������� � � ��� � ��� � �� � � �� � � � � �� �� �� � ������ 266 8 Plasticitat A la Figura 8-29 es presenta la corresponent superfície de fluència a l’espai de tensions principals, que resulta ser un prisma hexaèdric amb l’eix de tensió hidrostàtica. Eix de tensió hidrostàtica �3 von Mises �3 Tresca �2 �1 � �1 �2 � �1 � � 2 � � 3 Figura 8-29 – Criteri de Tresca Observació 8-19 En no dependre del primer invariant de tensions (i, per tant, de la tensió � oct , vegeu l’equació (8.16)), la superfície de fluència del criteri de Tresca no depèn de la distància de l’origen al pla octaèdric que passa pel punt (vegeu l’Observació 8-4), per la qual cosa si un punt de l’espai de tensions, caracteritzat pels seus invariants ( I 1 , J 2� , J 3� ) , està sobre la superfície de fluència, també ho estaran tots els punts de l’espai de tensions amb els mateixos valors de ( J 2� , J 3� ) . Aquesta circumstància qualifica la superfície de fluència com una superfície prismàtica l’eix de la qual és l’eix de tensió hidrostàtica. D’altra banda, la dependència dels dos invariants ( J 2� , J 3� ) impedeix que, com passa amb el cas de la superfície de von Mises, es tracti d’una superfície cilíndrica. En definitiva, les condicions de simetria estableixen que la superfície del criteri de Tresca sigui un prisma hexagonal inscrit en el cilindre de von Mises (vegeu la Figura 8-29). Exemple 8-4 Obteniu l’expressió del criteri de Tresca per a un cas de tensió uniaxial. Resolució Per a un cas de tensió uniaxial, caracteritzat per l’estat tensional: �u �u �� u ��� 0 � �� 0 0 0� 0 0� � 0 0�� 267 8 Plasticitat a) � u � 0 b) � u � 0 �1 � � u � � � F ��1 , � 2 , � 3 � � (�1 � � 3 ) � � e � � u � � e � � u � � e �3 � 0 � �1 � 0 � � � F ��1 , � 2 , � 3 � � (�1 � � 3 ) � � e � �� u � � e � � u � � e �3 � �u � i el domini elàstic inicial queda caracteritzat, de la mateixa forma que per al cas de plasticitat unidimensional de l’apartat 8.6.2, per la condició: F (�) � 0 � � u � � e Observació 8-20 El criteri de Tresca s’utilitza per modelar el comportament dels metalls de forma similar al cas del criteri de von Mises (vegeu l’Observació 8-17). 8.8.3 Criteri de Mohr-Coulomb El criteri de Mohr-Coulomb es pot considerar una generalització del criteri de Tresca, en el qual la màxima tensió tangencial resistida depèn del mateix estat tensional en el punt (vegeu la Figura 8-30). La línia de falla, a l’espai del cercle de Mohr, és una recta caracteritzada per la cohesió c i l’angle de fricció interna � , considerats propietats del material: � � c � � tg � (8.59) La finalitat del comportament elàstic (falla) en un procés de càrrega creixent, es produeix quan un primer punt del cercle de Mohr (corresponent a un cert pla) assoleix la línia de falla esmentada. � c - cohesió c � - angle de fricció interna Zona de plastificació � � c � � tg � � �3 �2 �1 Figura 8-30 – Criteri de Mohr-Coulomb � La tensió tangencial en el pla esmentat, � , serà més petita com més gran sigui la tensió normal � i, en aquest cas, és evident que el comportament d’aquest model a tracció serà molt diferent del comportament a compressió. Tal com es veu en la Figura 8-30, la línia de falla talla a l’eix de les tensions normals al costat positiu d’aquestes, i limita així la capacitat del material de resistir traccions. 268 8 Plasticitat Per obtenir l’expressió matemàtica de la superfície de fluència, considerem un estat tensional per al qual es produeix l’inici de la plastificació. En aquest cas, el cercle de Mohr definit per les tensions principals major i menor serà tangent a la línia de falla (vegeu la Figura 8-31) en el punt A , verificant-se: �1 � � 3 � cos � �� A � R cos � � �1 � � 3 2 � � R� � ��3 � � � 3 �1 �� 3 (8.60) 2 �� A � 1 � R sin � � 1 � sin � � 2 2 2 i substituint l’equació (8.60) a la (8.59), es té: � A � c � � A tg � � � A � � A tg � � c � 0 � �1 � � 3 �� � � 3 � 1 � � 3 � cos � � � 1 sin � � tg � � c � 0 � � 2 2 2 � � � �� 1 � � 3 � � �� 1 � � 3 � sin � � 2c cos � � 0 � Criteri de Mohr- Coulomb �F (�) � �� 1 � � 3 � � ��1 � � 3 �sin � � 2 ccos � �0 � R� A �A � �3 � A �1 �1 � �3 2 � � c � � tg � � � Figura 8-31 Observació 8-21 L’equació F (� ) � �� 1 � � 3 � � �� 1 � � 3 �sin � � 2c cos � � 0 (lineal en � 1 , � 3 ) defineix un pla l’espai de tensions principals restringit al sector � 1 � � 2 � � 3 . L’extensió, per simetrització als altres sis sectors (vegeu l’Observació 8-7), defineix sis plans que constitueixen una piràmide, de longitud indefinida, l’eix de la qual és l’eix de pressió hidrostàtica (vegeu la Figura 8-32). La distància del vèrtex de la piràmide a l’origen de l’espai de tensions és d � 3 c cot � . Observació 8-22 La particularització � � 0 i c � � e / 2 en el criteri de Mohr-Coulomb recobra el criteri de Tresca (vegeu les equacions (8.58) i (8.62)). (8.61) (8.62) ��� ������������� � �� � �� � � � � ��� � � �� � �� � �� � �� ������������������������������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� � � �� ���������� ������������ � �� � �� � ��� � � � � ��� �������������������������������� ��������������������������������������������������������������� �� �� � � �� � � � � � � �� � � � � � ��� � � �� ��� � ����������������������������������������������������������������������� ������������������� �� � � ���������� � � ����������� ��������������������� �� ����������������������� � � � � � � �� � �� � �� �� � � � � �� ����������� � �� � �� � �� � �� � �� � �� ��������������������������������������������������������� ��� ������������� ��������������� �������� ���������� ����������� �������������� ��� �������� ��� ����� ������������������������������������������������������������������ � ��������� � � � � � � � � �� �� �� �� �� � � ����� ����� � ��������������� ��� �������� ��� ������������� �������� ������������� �������� ���� � ����������������������������������������������������������������������� �������� ������������ ������������� ������ ���� ������� ��������� ���������� � ����������������������� ������ ������������������������� ��� ����������� ��� ��������� ���� ��������� ��� �������� ��� ��������������� ��� ������ ���������������� � ���������� � �� � � � ���� � � �� �������������� � � �� � �� � � ������ ��� �� � ���� � �� � ����� � �� ������ � � �� � ����� � �� � �� � � � � � � � � � � � ������ ����� � � �� � � ��� �������� �� ������ ��� �������� ��������� ���������������� ���� ��� ������������ ����������� ���� ���������� ������� ��� ������� ���� ������������ � ������ � �� � �� � � ��� �� �� ������� � � ��� � � ��������������� � � �� � � � � �� � � �� �� � � �� �� �� � ��� ��� �������� ��� ���� ��������� ��� �� � � � � ������ � � � � � � � ��� �� �� � � � � � ��� � �� � �� � ����� ������� ������ �������� ������ � �� � �� � � � ��� � � �� ��������������������������������������� � �� ��� ������������� ��������������� ��� �������������� ���� ������� ����������� � �� �� ���������� ���� ��� �� ����������� ����� ��� �������� ��� ��������� ��� ������ ��� ����������� �� �������������������������������������������������������������������� � � � � �� ������ ��� ������� ���������������� ���� ������ ���� ������� ���������� � �� � ����� ���� ������� ���������� ����� ����������� ���������� ������������ � ������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��� ��������� ����� ���� ����������� ��� ���������� ��� �������� ��� ����� ���������� �� ����� ���� ���� ��� �������� ������ � ��� � �� � ��� ��� ��������� ������� ��� �������� ��� ��������� ������ ����������� ������� ������ ��� ��� ����� �� ������ ��� ������� ������������� ������� ��� ������� ���� �� ������� �������� �� �������������������������������������������������������������������������� � � � � ��� � �� ��� ���� ���������� ������ ���� ��� ����������� �� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������� � ������������������������������ � � ��������������� ��������������������������������������������������������������������� ������ ��� ������� ������������� ���������� ���� ���������� ���� ����� �� ������������� �������� ���� �� ������� ��� ������� ������������� ��� ������� �������� ���� ��� ��� ��� ���������� ��� ��� ������ �������� ���� ��� ���� �� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������� ��������������� ��� ��������� ���� ������ ��� ��� �������� ��� ������� ���� �� ���� �������� �������� ������������� ��� ����������� ��� ��������� ��� �������������� ����������������������������������� � �� � �� ����� ������� � �� � �� � �� ����������� �������� ������ � �� 272 8 Plasticitat Observació 8-29 La particularització � � 0 i c � � e / 2 en el criteri de Drucker-Prager recobra el criteri de von Mises (vegeu les equacions (8.55), (8.63) i (8.64)). 9 Equacio n s constitutives en fluids 9.1 Concepte de pressió En mecànica de medis continus es fan servir diversos conceptes de pressió (pressió hidrostàtica, pressió mitjana i pressió termodinàmica) que, en general, no són coincidents. 9.1.1 Pressió hidrostàtica Principi de Pascal En un fluid en repòs l’estat tensional sobre qualsevol pla que passi per un punt és el mateix i està caracteritzat per una tensió normal de compressió. D’acord amb el principi de Pascal, l’estat tensional d’un fluid en repòs està caracteritzat per un tensor de tensions de la forma: �� � � p 0 1 � �� ij � � p 0 � ij (9.1) i, j �{1,2,3} on p0 és la denominada pressió hidrostàtica (vegeu la Figura 9-1). p0 x3 p 0 � pressió hidrostàtica p0 ê 3 x2 x1 ê1 ê 2 p0 Figura 9-1 – Estat tensional en un fluid en repòs Definició Pressió hidrostàtica: Tensió normal de compressió, constant sobre qualsevol pla, que actua sobre un fluid en repòs. 274 9 Equacions constitutives en fluids � � �1 � � 2 � � 3 �2 �3 �1 � Figura 9-2 �1 � � 2 � � 3 � Observació 9-1 El tensor de tensions per a un fluid en repòs és un tensor esfèric i la seva representació al pla de Mohr correspon a un punt (vegeu la Figura 9-2). Per tant, qualsevol direcció és principal i l’estat tensional constitueix el que en el capítol 4 (vegeu l’apartat 4.8) s’ha denominat estat tensional hidrostàtic. 9.1.2 Pressió mitjana Definicions Tensió mitjana: Es defineix la tensió mitjana � m com: � m � 1 1 Tr �� � � � 3 3 ii Pressió mitjana: Es defineix la pressió mitjana p com la tensió mitjana canviada de signe: def 1 1 p �� pressió mitjana � �� m � � Tr ��� � � � ii 3 3 Observació 9-2 Per a un fluid en repòs, la pressió mitjana p coincideix amb la pressió hidrostàtica p 0 : � � � p0 1 � � m � 1 �� 3 p0 � � � p0 � p � p 0 3 En general, per a un fluid en moviment la pressió mitjana i la pressió hidrostàtica no coincideixen. Observació 9-3 La traça del tensor de tensions de Cauchy és una invariant del tensor de tensions. En conseqüència, la tensió mitjana i la pressió mitjana seran també invariants del tensor de tensions i, per tant, el seu valor no dependrà del sistema de coordenades cartesià adoptat. 9 Equacions constitutives en fluids 275 9.1.3 Pressió termodinàmica. Equació cinètica d’estat En les equacions constitutives de fluids o gasos intervé una nova variable termodinàmica de pressió que s’anomena pressió termodinàmica i es denota com p. Definició Pressió termodinàmica: Variable de pressió que intervé en les equacions constitutives dels fluids i gasos i que està relacionada amb la densitat � i la temperatura absoluta � mitjançant la denominada equació cinètica d’estat, F � p, �, �� � 0 . Exemple 9-1 Un exemple típic d’equació cinètica d’estat és la llei dels gasos: F � p, �,� � � p � �R� � 0 � p � �R� on p és la pressió termodinàmica i R és la constant universal dels gasos. Observació 9-4 Per a un fluid en repòs, la pressió hidrostàtica, la pressió mitjana i la pressió termodinàmica, coincideixen: fluid en repòs � p0 � p � p . En general, per a un fluid en moviment, la pressió termodinàmica p serà diferent de la pressió mitjana p i de la pressió hidrostàtica p 0 . Observació 9-5 Fluid barotròpic: Es diu que un fluid és barotròpic quan en l’equació cinètica d’estat no intervé la temperatura: Fluid barotròpic � F � p, � � � 0 � p � f ( � ) � � � g � p � Observació 9-6 Fluid incompressible. Un cas particular de fluid barotròpic és el fluid incompressible, caracteritzat per tenir densitat constant ( �( x , t ) � k � constant ). En aquest cas l’equació cinètica d’estat es pot escriure així: F � p, �, �� � � � k � 0 i no depèn ni de la pressió ni de la temperatura. 276 9 Equacions constitutives en fluids 9.2 Equacions constitutives en mecànica de fluids A continuació considerarem el conjunt d’equacions, denominades genèricament equacions constitutives, que cal afegir a les equacions de conservació/balanç per a la formulació d’un problema de mecànica de fluids (vegeu el capítol 6, apartat 5.13). Aquestes equacions es poden agrupar de la manera següent: a) Equacions constitutives termomecàniques Expressen el tensor de tensions de Cauchy en funció d’altres variables termodinàmiques, típicament la pressió termodinàmica p , el tensor velocitat de deformació d (que es pot considerar implícitament una funció de la velocitat d( v) � � S v ), la densitat � i la temperatura absoluta � : Equacions constitutives � termomecàniques � � � � � p 1 � f �d, � ,� � (6 equacions) � (9.2) b) Equació constitutiva de l’entropia Una equació algebraica que proporciona l’entropia específica s en funció de la velocitat de deformació, la densitat i la temperatura: Equació constituti va � de l' entropia � � s � s �d, � ,� � � (1 equació) (9.3) c) Equacions constitutives de tipus “termodinàmic” o equacions d’estat Són típicament l’equació calòrica d’estat, que defineix l’energia interna específica u , i l’equació cinètica d’estat, que proporciona una equació per a la pressió termodinàmica: Equació calòrica d' estat � u � g �� ,� � Equació cinètica d' estat � F �� , p,� � � 0 (2 equacions) (9.4) d) Equacions constitutives de tipus “tèrmic” La més comuna és la denominada llei de Fourier, que estableix el flux de calor per conducció q com: �q � �k � �� � Llei de Fourier � �q � k �� i � {1,2,3} ij �� i �x j (3 equacions) (9.5) on k és el tensor (de segon ordre i simètric) de conductivitat tèrmica, que és una propietat del fluid. Per al cas isòtrop, el tensor de conductivitat 9 Equacions constitutives en fluids 277 tèrmica és un tensor esfèric k � k 1 i depèn del paràmetre escalar k que és la conductivitat tèrmica del fluid. 9.3 Equacions constitutives (mecàniques) en fluids viscosos Les equacions constitutives termomecàniques per a un fluid viscós es poden escriure en general (vegeu l’equació (9.2)) com: �� � � p1 � f �d, �, �� � �� ij � � p� ij � f ij �d, �, �� i, j � {1,2,3} (9.6) on f és una funció tensorial simètrica. Segons el caràcter de la funció f s’obtenen els models de fluids següents: a) Fluids de Stokes o stokesians: la funció f és una funció no lineal dels seus arguments. b) Fluids newtonians: la funció f és una funció lineal dels seus arguments. c) Fluids perfectes: la funció f és idènticament nul·la. En aquest cas l’equació constitutiva mecànica és: � � � p1 . A continuació es consideraran únicament els casos de fluids newtonians i de fluids perfectes. Observació 9-7 La hipòtesi de fluid perfecte és molt freqüent en enginyeria hidràulica, on el fluid amb què es tracta és l’aigua. 9.4 Equacions constitutives (mecàniques) en fluids newtonians N O T A No es consideren aquí les possibles dependències de la temperatura en l’equació constitutiva. L’equació constitutiva mecànica per als fluids newtonians es pot escriure com: �� � � p1 � C : d � �� ij � � p� ij � C ijkl d kl i, j �{1,2,3} (9.7) on C és un tensor constitutiu (de viscositat) constant de quart ordre. Com a resultat de l’equació (9.7) s’obté una dependència lineal del tensor de tensions � amb la velocitat de deformació d . Per a un fluid newtonià isòtrop, el tensor constitutiu C és un tensor isòtrop de quart ordre. �C � �1 � 1 � 2�I � �C ijkl � �� ij � kl � ��� ik � jl � � il � jk � i, j , k , l �{1,2,3} (9.8) 278 9 Equacions constitutives en fluids Observació 9-8 Observeu el paral·lelisme que es pot establir entre les equacions constitutives mecàniques d’un fluid newtonià i les d’un sòlid elàstic lineal (vegeu el capítol 6): Fluid newtonià Sòlid elàstic lineal ��� � � p1 � C : d �� � � p� � C d �� ij ij ijkl kl ��� � C : � �� � C � �� ij ijkl kl Substituint l’equació (9.8) en l’equació constitutiva mecànica (9.7), s’obté el següent: � � � p1 � ��1 � 1 � 2�I � : d � � p1 � �Tr (d)1 � 2� d Equació constituti va per a un fluid newtonià isòtrop �� � � p1 � �Tr(d) 1 � 2� d �� �� ij � � p� ij � �d ll � ij � 2�d ij (9.9) i, j � {1,2,3} (9.10) Observació 9-9 Els dos paràmetres � i � corresponen físicament a viscositats enteses com a propietats del material. En el cas més general, poden no ser constants i dependre d’altres variables termodinàmiques: � � � ��,� � µ � µ ��,� � Un exemple típic el constitueix una dependència de la viscositat amb la temperatura del tipus �(�) � � 0 e � � ����0 � , que estableix que la viscositat del fluid disminueix a mesura que augmenta la temperatura (vegeu la Figura 9-3). � �0 Figura 9-3 � 9.4.1 Relació entre la pressió termodinàmica i la pressió mitjana En general la pressió termodinàmica, p , i la pressió mitjana, p , en un fluid newtonià en moviment, seran diferents encara que estiguin relacionades entre si. A partir de l’equació constitutiva (mecànica) d’un fluid newtonià (9.10) es pot obtenir: ��� ����������������������������������� � � � � � ��� ���  � �� � � �� � � � ��� �� � ��� �� ��� �� � ���� �� � � �� � � ��� � �� ��� �� � � �� ��� �� � ������ � � � � � �� � �� �� �� � � � � ��� �� � � ����� � � � � ��� � � � � � ��������������������������������������������������� � ���������������������� � � � � � � � ������ ��������������������������������������������������������������������� � �� �� � �� � � � � � � � � � � �� � �� ������ ������������������������������� ��� �� � � � �� � �� � ���� �� � ������ ���������������������������������������������� � � � � ��� � � � � � � �� � �� ������ ������������������������������������������������������������ ��������������� �������� ���� ���������� �������� ��� �������� �������������� �� ��� ������� ����������������������������������������������������������������� �� ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������� ������������������������ ������������������������ ������������������� ���������������� ������������� �� ��������������������� � �� ��� � � � �� �� ��������������������������������� � ���������������������������� � �� �� � � � � � � � � � 280 9 Equacions constitutives en fluids 9.4.2 Equació constitutiva en components esfèrics i desviadors a) Part esfèrica De l’equació (9.15) es té: p � p � K � � v � p � K Tr �d � (9.16) b) Part desviadora Utilitzant la descomposició del tensor de tensions � i del tensor velocitat de deformació d en els seus components esfèric i desviador, i substituint en l’equació constitutiva (9.10): 1 � � Tr (���1 � �´� � p 1 � �´� � p 1 � �Tr (d) 1 � 2� d 3 ��� �3 p � � � � p � p � 1 � �Tr �d �1 � 2�d � � K Tr �d �1 � �Tr �d �1 � 2�d �� ��� ��� � �K Tr �d � �� 2 � � 3 � �� 1 2 � � � � � �Tr �d �1 � 2�d � 2� �d � Tr (d ) 1� � 2� d � 3����� 3 � � �� � �� d� (9.17) �´� 2�d´ 2 3 on s’han tingut en compte les equacions (9.16) i (9.12) ( K � � � � ). 9.4.3 Potència tensional, potència recuperable i potència dissipativa Utilitzant de nou la descomposició del tensor de tensions i del tensor velocitat de deformació, en els seus components esfèric i desviador, es té: � � � p1 � � � , 1 d � Tr (d)1 � d � 3 (9.18) i substituint en l’expressió de la densitat de potència tensional (per unitat de volum) � : d , s’obté: N O T A Es fa servir aquí la propietat que la traça de tot tensor desviador és nul·la. 1 � : d � (� p1 � � �) : ( Tr (d)1 � d �) � 3 1 1 � :1 � � � p Tr �d � 1 : d � � Tr �d � � : 1 � �� : d� � p 1 � � � 3 3 Tr (d �)�0 3 Tr (� �)�0 (9.19) � � p Tr (d) � � � : d � i substituint les equacions (9.16) i (9.17) en l’equació (9.19): p � p � K � � v � p � K Tr �d �� �� �´� 2�d � � � : d � �� p � K Tr (d)� Tr �d � � �� d � : d � � (9.20) ��� ����������������������������������� � �� � � ��� ��� � ��� � � � � � �� � � � �� � �� � ��� ����� �������������������� �� ����������� �������������������� ��� �������������������������������� � �� � � ��� ��� �������������������������������� � ��� � ��� � ��� � ��� � � �� ������ ������ �������������������������������������������������������������������������������� ���� ��� ���� ������ ������������� � � �� �� ������������� � � �� ���� ������� ��� �������� �������������� � � �� � � � ��� ���� � �� � � �� � � � � � � � ������� �� �� ������ ����� ������� ��� �������� ����������� ��� ������ ����������� ���� ������������ ��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������� ���������� �� � � � ��� �� � � � ��� � � � � � � � � ��� � � ���� �� � � ��� � � � � � � � � � ������ � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� ��������������� ���� �� ��� ������ ���������������� ��� ��������� ������������ ��� �������� �� �������� ���� ���� ��� ������ ��������������� ������������ � � � � � �� � � � �� ���� ���������� �� �� � �� � � � �� ��� ��� � � � � � ��� �� � � � � � �� ��������������� ����� ������� ��� �������������� ��� ��� ��������� ���������� �������� �� ������������������������������������������������ �� � �� �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� �� � �� � � � � �� � � �� � � � �� � �� � �� �� � � � � �������������������������������������������������������� �� �������������� ����������������������������� � ������������������������������������������ ������������ 282 9 Equacions constitutives en fluids 9.4.4 Consideracions termodinàmiques 1) Es pot demostrar que, sota condicions molt generals, la potència recuperable específica (per unitat de massa) és una diferencial exacta: 1 1 dG WR � � R : d � dt � � (9.25) En aquest cas, el treball recuperable, per unitat de massa, realitzat en un cicle tancat serà nul (vegeu la Figura 9-4): B�A � A 1 W R dt � � B�A � A 1 � R : d dt � � B�A � dG � G B � A � G A � 0 (9.26) A Això justifica la denominació de potència recuperable per a W R . �1 A� B �2 Figura 9-4 2) D’altra banda, el segon principi de la termodinàmica permet demostrar que la potència dissipativa 2W D de l’equació (9.24) és sempre no negativa: 2W D � 0 � d � 0 2W D � 0 (9.27) i que, per tant, en un cicle tancat el treball per unitat de massa realitzat per les tensions dissipatives no serà, en general, nul: B 1 : d dt � 0 � � ��D�� A 2WD �0 (9.28) Això justifica la denominació de potència dissipativa (no recuperable) per a 2W D . La potència dissipativa és responsable del fenomen de dissipació (o de pèrdua d’energia) en els fluids. Exemple 9-2 Justifiqueu per què un fluid newtonià incompressible en moviment, al qual no es proporciona potència (treball per unitat de temps) des de l’exterior, tendeix a reduir la seva velocitat fins a aturar-se. Resolució En ser el fluid incompressible, la potència recuperable és nul·la (vegeu l’Observació 9-11). A més, se sap que la potència dissipativa 2W D és sempre positiva (vegeu l’equació (9.27)). Finalment, aplicant el teorema de les forces vives (vegeu l’Observació 9-12) es té: 0 � Pe � dK d 1 2 dK � W R dV � � 2 W D dV � � �v dV � � � 2W D dV � 0 � dt dt V� 2 dt V� � V V �0 �0 i, per tant, el fluid perd (dissipa) energia cinètica i la velocitat de les seves partícules disminueix. 283 9 Equacions constitutives en fluids 9.4.5 Limitacions en els valors de les viscositats S’ha vist que, per consideracions termodinàmiques, la potència dissipativa 2W D de l’equació (9.24) és sempre no negativa: 2W D � K Tr 2 �d � � 2�d � : d � � 0 (9.29) Aquesta restricció termodinàmica introdueix unes limitacions sobre els valors admissibles dels paràmetres de viscositat K , � i � del fluid. En efecte, donat un cert fluid, la restricció esmentada s’ha de verificar per a tots els moviments possibles (és a dir, camps de velocitats v ) d’aquest i, per tant, per a qualsevol valor arbitrari del tensor velocitat de deformació d � � S (v) . Considerem, en particular, els dos casos següents: a) El tensor velocitat de deformació d és un tensor purament esfèric. En aquest cas es tindrà: Tr �d � � 0; d � � 0 � 2W D � KTr 2 �d � � 0 � K� � � 2 ��0 3 (9.30) de manera que seran únicament factibles valors no negatius de la viscositat volumètrica K . b) El tensor velocitat de deformació d és un tensor purament desviador. En la Figura 9-5 es presenta esquemàticament un d’aquests fluxos. En aquest cas, de l’equació (9.29) es tindrà: Tr �d � � 0 , d � � 0 � 2W D � 2�d � : d � � 2� d ij� d ij� � 0 � ��� �0 ��0 y v x ( y) x �v x ( y ) � � � v ( x, y ) � � 0 � � 0 � � � � � � 1 d�� �2 � � � 0 � vx �y 0 Figura 9-5 1 � vx 2 �y 0 0 � 0� � 0� � d � � 0� � � (9.31) 10 Mecànic a de fluids 10.1 Equacions del problema de mecànica de fluids Un fluid és un cas particular de medi continu que es caracteritza per les equacions constitutives que li són pròpies. En conseqüència, el problema de mecànica de fluids vindrà governat per les equacions següents: a) Equacions de conservació/balanç 1) Equació de continuïtat d� � �� � v � 0 dt (1 equació) (10.1) 2) Equació de balanç de la quantitat de moviment � � � � �b � � dv dt (3 equacions) (10.2) (1 equació) (10.3) 3) Equació de balanç d’energia � du � � � d � �r � � � q dt 4) Restriccions imposades pel segon principi de la termodinàmica Desigualta t de ds � � du � ��� �� � � � � d � 0 Clausius - Plank dt � � dt Desigualtat de la 1 �� q � �� � 0 conducció de calor �� 2 (10.4) b) Equacions constitutives 5) Equació constitutiva termomecànica � � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d (6 equacions) (10.5) (1 equació) (10.6) 6) Equació constitutiva de l’entropia s � s(d, �, �) 286 10 Mecànica de fluids 7) Equació de conducció de la calor q � �k�� c) (3 equacions) (10.7) (1 equació) (10.8) (1 equació) (10.9) Equacions termodinàmiques d’estat 8) Equació calòrica d’estat u � u ��, �� 9) Equació cinètica d’estat F ��, p, �� � 0 Les incògnites del problema que apareixen en les equacions de govern són: N O T A Observeu que el tensor velocitat de deformació d no s’ha considerat com a incògnita, en considerar-lo implícitament com una funció de la velocitat v. � � 1 incògnita � � v � 3 incògnites � � � 6 incògnites � � u � 1 incògnita � � � 17 incògnites q � 3 incògnites � � � 1 incògnita � � s � 1 incògnita � p � 1 incògnita � � (10.10) Hi ha en total un sistema de 17 EDP amb 17 incògnites que, en general, s’haurà de resoldre conjuntament, és a dir, de forma acoblada. Tanmateix, com ja es va comentar en el capítol 5 (apartat 5.13.1), sota certes hipòtesis o situacions, és possible plantejar un sistema d’equacions més reduït, denominat problema mecànic, i resoldre de forma desacoblada per a un nombre més reduït d’incògnites (variables mecàniques). Considerem el cas d’un fluid barotròpic que es caracteritza perquè la temperatura no intervé en l’equació cinètica d’estat, resultant: Equació cinètica d' estat � F �� , p � � 0 � � � � � p � que estableix que la densitat es pot descriure mitjançant, únicament, la pressió termodinàmica (vegeu la Figura 10-1). Suposant, a més, que la temperatura no intervé en l’equació constitutiva termomecànica (10.5), podem definir les equacions de govern del problema mecànic (desacoblat) d’un fluid newtonià com: � �0 p Figura 10-1 1) Equació de continuïtat d� � �� � v � 0 dt (10.11) (1 equació) (10.12) 287 10 Mecànica de fluids 2) Equació de Cauchy � � � � �b � � dv dt (3 equacions) (10.13) (6 equacions) (10.14) (1 equació) (10.15) 3) Equació constitutiva mecànica � � � p1 � �Tr (d) � 2� d 4) Equació cinètica d’estat � � �� p � Les incògnites del problema que apareixen en les equacions anteriors són: � �1 v�3 � �6 p �1 incògnita � incògnites �� � � 11 incògnites incògnites � incògnita �� (10.16) Es té llavors un sistema reduït d’11 equacions amb 11 incògnites (problema mecànic), que es pot resoldre de forma desacoblada de la resta del problema (problema tèrmic). 10.2 Hidrostàtica. Fluids en repòs Considerem a continuació els següents casos particulars en funció de la velocitat del fluid: a) Velocitat uniforme: v(x, t ) � v(t ) En aquest cas, la descripció espacial de la velocitat no depèn del punt i és funció únicament del temps. Llavors: d � �S v � 1 �v � � � � � v� � 0 2 (10.17) Considerant, a més, l’equació constitutiva (10.14): � � � p1 � � � p1 � �Tr (� d) � 2� d � � �0 �0 (10.18) que indica que l’estat tensional és hidrostàtic (vegeu la Figura 10-2). A més, la pressió mitjana p i la pressió termodinàmica p coincideixen: Tr (�) � �3 p � �3 p � p� p (10.19) � � p Figura 10-2 ��� ��������������������� �� ����������������������������������� �� � � � � � �������� � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� � � ������������ � � � �� � �� � � � � �� �� ������� ����������������������������������������������������������������������������� ������������ ������� ����������� ��� ����� ���������� ���������� ������� ���� �� ��������������� �������� �� ���� ����� ���������� ��������������� � �� �������� � � � ������������� � � �������������� �� ���������������� �� � � � � � �������� � � ���������������������������������������������������������������������������� ������ ����������������������������������� ��������������������������������������������������������������� �������������������������� �� � � � � � � �� �� � � � � � �� �� � �������� ������� ��� � � ��������������������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������������� ��������������� ������� ���������� �������� ��� ��� ��������� ��� �������� ������ ��������� ��� ������������� ��������� ���� ������� ��� ��������� ��� ���������� �������� ��� ������������������������������������������������������������������������� � �� ����������� � �� ���������������������������� �� � � �� � � � � � �� � � � �� � �� � � �� � � � � �������� �� �� �� � � � �������� � � � � � �� ������� 289 10 Mecànica de fluids i la densitat d’una mateixa partícula no varia amb el temps. 3. Equació de Cauchy ��� �� b � � dv dt (10.23) Substituint l’equació (10.21) ( � � � p 0 1 ) i (10.22) ( � � � 0 ) en l’equació (10.23): �� � � � � � (� p 0 1) � ��p 0 � �� ij �p 0 � � ��� � �� j � �x � �x �� p 0 � ij � � � �x � ���p 0 � j i i j � Equació fonamental de la hidrostàtica �� � p 0 � � 0 b � 0 � � � �p0 � � � 0 bi � 0 �� �xi j � �1,2,3� � i � �1,2,3� (10.24) (10.25) 10.2.2 Força gravitatòria. Distribució triangular de pressió Considerem com a cas particular, d’altra banda molt freqüent, aquell en què les forces màssiques b(x, t ) són les forces gravitatòries (suposades constants en l’espai i en el temps, i orientades en la direcció contrària l’eix x 3 , tal com es mostra en la Figura 10-4). x3 , z � 0 � � � b(x, t ) � � 0 � �� g � � � ê 3 ê1 x1 , x ê 2 x2 , y Figura 10-4 Atès que l’acceleració és nul·la (vegeu l’equació (10.20)) el problema és quasiestàtic i, sent les accions b( x , t ) � constant independents del temps, també ho són les respostes i, en particular, la pressió hidrostàtica. Per tant: p 0 ( x, t ) � p 0 ( x ) � p 0 ( x, y , z ) (10.26) i l’equació (10.25) es pot integrar de la manera següent: � �p 0 ( x, y , z ) � 0 � p 0 ( x, y , z ) � p 0 � y , z � �� �x � � �p 0 � y , z � � 0 � p 0 � y , z � � p 0 �z � �� �y � � dp 0 �z � � � 0 g � 0 � p 0 � �� 0 gz � C �� � dz (10.27) 290 10 Mecànica de fluids Per a un cas com el que indica la Figura 10-5, on la pressió en la superfície (cota z � h) es considera nul·la, la solució (10.26) queda: p0 z �h p 0 � � 0 g �h � z � � 0 � �� 0 g h � C � 0 � C � � 0 g h � (10.28) que correspon a una distribució triangular de pressió, tal com es mostra en la Figura 10-5. p � p atm � 0 z h z y x W � 0 gh Figura 10-5 – Distribució de la pressió sobre una presa de gravetat 10.2.3 Principi d’Arquimedes Principi d’Arquimedes 1) Tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta cap a dalt igual al pes del volum del fluid desallotjat. El clàssic principi es pot complementar amb: 2) El resultant de l’empenta esmentada passa pel centre de gravetat del volum del fluid desallotjat. Per a la demostració del principi d’Arquimedes, considerem les situacions de la Figura 10-6. D’una banda, a la Figura 10-6 a es presenta un sòlid de volum V i densitat � a l’interior d’un fluid de densitat � 0 . El sòlid no està necessàriament en equilibri, encara que la seva velocitat i acceleració se suposen prou petites per assegurar un estat hidrostàtic en el fluid. D’altra banda, a la Figura 10-6 b, es presenta el mateix fluid sense la presència del sòlid, amb la qual cosa el volum ocupat per aquest a la Figura 10-6 a és ocupat per idèntic volum de fluid. 1) Distribució de pressió i tensió en el fluid Utilitzant l’equació fonamental de la hidrostàtica (10.25), amb les forces gravitatòries actuant en la direcció contrària a l’eix z , es té la situació corresponent a les equacions (10.26) i (10.27), amb la qual cosa serà vàlid el resultat (10.28) per a tots dos casos a i b de la Figura 10-6: p 0 ( z ) � � 0 g �h � z � � � � p0 1 (10.29) 291 10 Mecànica de fluids Cal observar que la pressió hidrostàtica i l’estat tensional en el fluid, per a punts homòlegs del fluid en els casos a i b de la Figura 10-6, seran els mateixos. h �0 z x p(z ) V y � p(z ) �0 E a) Figura 10-6 V �0 Volum de fluid desallotjat W b) 2) Empenta sobre el sòlid submergit El vector tracció sobre els punts del contorn del sòlid submergit en la Figura 10-6 a) serà: t � � � n � � p0 1 � n � � p0 n (10.30) i el resultant R de les forces que el fluid exerceix sobre el sòlid: R � � t dS � � � p 0 n dS �V (10.31) �V Cal observar ara que, en tractar-se de la mateixa distribució de pressió hidrostàtica, la resultant esmentada serà la mateixa que s’obtindria en el cas b) per a les forces que la resta del fluid exerceix sobre el volum de fluid desallotjat, amb la particularitat que, en tractar-se en el cas esmentat d’una distribució espacialment contínua de la pressió p 0 es pot aplicar el teorema de la divergència (teorema de Stokes) en l’equació (10.30) amb el resultat següent: R � � � p 0 n dS � � � �p 0 dV �V (10.32) V i substituint l’equació (10.25) en la (10.32): R � � � �p 0 dV � � � � 0 b dV � � � � 0 b dV � W eˆ z � E eˆ z V V �V���� W eˆ z (10.33) on E és l’empenta cap a dalt sobre el sòlid submergit i W és el pes del volum del fluid desallotjat (vegeu la Figura 10-6 b) ). És a dir: Empenta cap a dalt ��������� E � pes del volum del fluid desallotjat �������������� � W (10.34) amb la qual cosa queda demostrada la primera part del teorema d’Arquimedes. 292 10 Mecànica de fluids 3) Recta d’aplicació de l’empenta Considerem ara el moment M GE de l’empenta E respecte al centre de gravetat, G , del volum de fluid desallotjat (vegeu la Figura 10-7): N O T A � p0 n Sense pèrdua de generalitat, es pot suposarq ue l’origen del sistema d’eixos cartesians està situat a G. Vz V x G x W � �E n �0b y Volum de fluid desallotjat E Figura 10-7 Teorema � de la divergènci a � G � � x � (� p0 n)dS � � x � (� p0 � )dV � � � x � �p0 dV �M E �V V V � � � M GE i � � eijk x j p0 nk dS � � � �eijk x j p0 �dV � � � �xk � �V V � (10.35) �x j �p0 � � � � � � � e p dV e x dV e p dV � � � ijk �xk 0 V� ijk j �xk � �ijk��jk 0 V V � eijj �0 � � �p �p � � eijk x j 0 dV � � � eijk x j 0 dV i � {1,2,3} � � �xk x k V V � � � i substituint l’equació fonamental de la hidrostàtica (10.25) ( � p 0 � � 0 b ), en l’equació (10.35), resulta finalment: M GE � � � �x � � p 0 � dV � � � �x � � 0 b � dV � �M WG � 0 V V ������ � MWG (10.36) on M WG és el moment del pes del fluid desallotjat respecte al seu centre de gravetat G , el qual, per definició de centre de gravetat, és nul. En conseqüència el moment de l’empenta E respecte al centre de gravetat del volum de fluid desallotjat és també nul i es pot concloure que la recta d’aplicació de l’empenta passa pel centre de gravetat esmentat, tal com estableix la segona part del principi d’Arquimedes. Exemple 10-1 Aplicació a l’estudi d’equilibri de sòlids en flotació. Equilibri estable i inestable. Considerem un medi en flotació, en equilibri, i les dues situacions següents: a) El centre de gravetat del sòlid (centre de carena) està per sota del centre de gravetat del fluid desallotjat (centre d’empenta), vegeu la Figura 10-8: 293 10 Mecànica de fluids En aquest cas, qualsevol pertorbació (inclinació) tendeix a crear un moment M � Wd de sentit recuperador cap a l’estat d’equilibri inicial. Es tracta d’equilibri en flotació estable. Centre de gravetat del fluid desallotjat + E pertorbació Wd � recuperado r d E Centre de gravetat del sòlid W W Figura 10-8 – Equilibri en flotació estable b) El centre de gravetat del sòlid (centre de carena) està per sobre del centre de gravetat del fluid desallotjat (centre d’empenta) (vegeu la Figura 10-9): En aquest cas, qualsevol pertorbació (inclinació) tendeix a crear un moment de sentit bolcador M � Wd que allunya el sòlid flotant de l’estat d’equilibri inicial. Es tracta d’equilibri en flotació inestable. Centre de gravetat del sòlid W + pertorbació E Wd � bolcador d W E Centre de gravetat del fluid desallotjat Figura 10-9 – Equilibri en flotació inestable La col·locació de masses pesants (llasts) a la quilla dels vaixells respon a la recerca d’una millora en l’estabilitat en flotació d’aquests. 10.3 Dinàmica de fluids: fluids perfectes barotròpics En el cas més comú, la velocitat no és ni uniforme ni estacionària ( v � v (x, t ) ), per la qual cosa, en general, l’acceleració no serà nul·la ( a(x, t ) � 0 ). Tampoc seran nuls, per tant, ni la divergència de la velocitat ( � � v � 0 ) ni el tensor not gradient de la velocitat ( � � v � � v � 0 ). 294 10 Mecànica de fluids Definició Fluid perfecte Fluid newtonià caracteritzat perquè les viscositats � i � (vegeu l’equació (10.14)) són nul·les. � � � p1 � �Tr (d) � 2� d � � � � � p1 �� ����0 � �� � � � ��p �� �� : d � � p1 : d � � pTr (d) N O T A No s’ha de confondre un estat tensional del tipus hidrostàtic (tensor de tensions esfèric) amb un règim de moviment hidrostàtic (velocitat nul·la o uniforme). (10.37) i l’estat tensional per a un fluid perfecte és del tipus hidrostàtic. Definició Fluid barotròpic La temperatura no intervé en l’equació cinètica d’estat (10.9). F ��, p, �� � F ��, p � � 0 � � � �� p � 10.3.1 Equacions del problema Tenint en compte les hipòtesis de fluid perfecte i barotròpic, les equacions de la dinàmica de fluids esdevenen: a) Problema mecànic 1) Equació de continuïtat d� � �� � v � 0 dt (1 equació) (10.38) 2) Balanç de la quantitat de moviment (equació d’Euler) � �p � �b � � dv dt (3 equacions) (10.39) (1 equació) (10.40) 3) Equació cinètica d’estat � � �� p � Es tracta d’un problema amb cinc equacions i cinc incògnites (�, v, p ) que es pot resoldre de forma desacoblada del problema tèrmic. b) Problema tèrmic 1) Llei de Fourier 295 10 Mecànica de fluids q � �k�� � � � q � �k� � ���� � �k � 2 � (3 equacions) (10.41) 2) Equació de l’energia � du 2 � ��p� � v � � r � k�� � �� �� � dt � ���q �:d (1 equació) (10.42) (1 equació) (10.43) 3) Equació calòrica d’estat u � u ��, �� Es tracta d’un problema de cinc equacions amb cinc incògnites (q( x, t ), �( x, t ), u (x, t )) que es pot calcular una vegada resolt el problema mecànic i conegut el camp de velocitats v (x, t ) , de densitat �( x, t ) i de pressió p( x, t ) . Observació 10-2 Un format general del problema de mecànica de fluids inclou la conductivitat tèrmica k entre les viscositats (en un sentit generalitzat) del problema. La definició d’un fluid perfecte com un fluid sense viscositat suposa, en aquest context, l’anul·lació de la conductivitat tèrmica ( k � 0 ), amb la qual cosa l’equació (10.41) condueix a q � �k�� � 0 i el problema tèrmic es redueix a les equacions (10.42) i (10.43). 10.3.2 Resolució del problema mecànic sota forces màssiques potencials. Trinomi de Bernoulli Considerem ara el problema mecànic per al cas particular de forces màssiques potencials (les forces màssiques deriven d’un potencial � ): Forces màssiques potencials � b(x, t ) � ��� (x,t ) (10.44) Per al cas particular d’un potencial gravitatori amb l’eix d’actuació de la gravetat actuant en el sentit oposat a l’eix z es té: � 0 � �( x, y , z, t ) � gz � b � ��� � � 0 � � � ��� g �� (10.45) Observació 10-3 Lema 1 Per a un fluid barotròpic ( � � � ( p ) ) existeix una funció P�x, t � � Pˆ � p (x, t ) � , que compleix: �p � ��P 296 10 Mecànica de fluids Demostració Definint la funció P �x, t � mitjançant: p 1 P�x, t � � Pˆ � p (x, t ) � � � dp � ( p) 0 (10.46) es complirà: �P(x, t ) �Pˆ �p � �p �xi �xi �Pˆ 1 �� P�i � ��p�i � ��p�i � � ( p p) � 1 �( p ) � � � � 1 i �{1,2,3}� � �P � � �p � � � � (10.47) Observació 10-4 Lema 2 �1 � v � �v � 2� � v � �� v 2 � �2 � on 2� � � � v és el vector vorticitat. Demostració R E C O R D A T O R I Es fan servir aquí els següents resultats obtinguts anteriorment (vegeu el capítol 2) a) w ji � � w ij � � � �av � ji � 1 � �v j �v i � � � � 2 � �xi �x j � b) w ij � �eijk � k � 2 c) v 2 � v � v � v �v � � v � j � v i �v j �xi � �v j �v i � �v i � � vi � � � � vi � � � x x xj i j � ���� � �� � 2w ji �v �v �v � 2 v i w ji � v i i � �2 v i w ij � v i i � 2eijk v i � k � v i i � � � � � � � �x j �x j �x j � w ij e jki vi�k � 1 � � 1 �� ( v i v i ) � �2� � v � j � ��� v 2 �� � 2e jki v i � k � ���� � �x j 2 � � � 2 �� j �2��v �j v�v � v2 �1 � v � �v � 2� � v � �� v 2 � �2 � (10.48) j �{1,2,3} � Considerant ara l’equació d’Euler (10.39): � �p � �b � � 1 dv dv � � �p � b � dt dt � (10.49) i substituint les equacions (10.45) i (10.47) en l’equació (10.49): � � P � �� � �v dv �v �1 � 2� � v � �� v 2 �� � v � �v � � �t �t dt �2 � (10.50) 297 10 Mecànica de fluids on s’ha tingut en compte el resultat (10.48). L’equació (10.50) es pot reescriure ara com: 1 � �v � � 2� � v � � ��P � �� � ��� v 2 ��� � � 2 �� �t � (10.51) Equació de moviment per a � �v 1 2� � � � 2� � v � � � � �P � � � v � � t � 2 � � � ��� � � � sota forces màssiques potencials �� Trinomi de un fluid perfecte barotròpic (10.52) Bernouilli L’equació (10.52) és la forma particular que adopta el balanç de la quantitat de moviment (equació d’Euler (10.39)) per a fluids perfectes, barotròpics sota forces màssiques potencials. 10.3.3 Solució en règim estacionari La resolució del problema mecànic (10.38) a (10.40) tindrà en general un règim transitori en el qual la descripció espacial de les variables mecàniques evoluciona amb el temps, i un règim estacionari, en el qual la descripció espacial esmentada és, aproximadament, constant al llarg del temps (vegeu la Figura 10-10). v�x, t � Règim transitori Règim estacionari t Figura 10-10 – Règim transitori i estacionari Considerem ara l’equació del moviment (10.52) en règim estacionari: �v �0 �t R E C O R D A T O R I En règim estacionari les trajectòries i les línies de corrent coincideixen. 1 � �� ��P � � � v 2 �� � 2� � v 2 � � (10.53) i una línia de corrent � : x � x( s) parametritzada en funció de la seva longitud d’arc s (vegeu la Figura 10-11). Projectant (multiplicant) l’equació (10.51) en la direcció de la tangent t a la línia de corrent, tindrem: s z x t� dx ds dx dx ds � � dt ds dt �t� v v� � y x Figura 10-11 – Línia de corrent ��� ��������������������� � � � � � �� � � � � � � � �� � � ����� � ���� � � �� � ��� � � � � � � � � ����� �� ������ �� �� �� �� � � �� �� �� ������� �� �� � �� �� �� �� ��� � �� ��� �� � �� �� �� �� � ������� �� ��� � �� � � �� � �� � � � ���� �� � � � �������� � �� �� � � ������������������������������������ � �� � � � � � � � � � ��� � �������� � � �� � � ������� ���� ���������� ���� ��� �������� ��� ���������� ������ ��������� ������ ���� �������� ������ �� �������� � � ��������������� ������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������� ���������������������������������������������������������������� �������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� �� �������������������������� � � � � �� � �� � �������� ������� ������������������������ �� � � ������������������������������������������������� � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ������� ��������������������������������������������������������������� ������������������������������ � � �� � � � � � ��� � �� � �� ��� � �� ������� ������������ ���� ���������� �������� �� �������� ��� ������������ ���� �������� �� ������������������������� � � � �� � � � � �������� �� � ��� � � � � ��� � � � � �������� �� � � �� � � � ������� 299 10 Mecànica de fluids Els termes de l’equació (10.59) tenen dimensions de longitud (alçària) i es poden interpretar com: Teorema de Bernouilli z � � Alçària geomètrica R E C O R D A T O R I La paraula piezomètrica prové del prefix piezo = “pressió”. p � 0g � Alçària piezomètrica � 1 v2 2 g � Alçària energètica def � H � constant � x �� � (10.61) Alçària total Observació 10-6 Teorema de Bernoulli L’equació (10.61) constitueix l’anomenat teorema de Bernoulli (per a un fluid perfecte, incompressible, sota càrregues gravitatòries i en règim estacionari) que estableix que l’alçària geomètrica més l’alçària piezomètrica més l’alçària energètica és constant en tots els punts d’una mateixa línia de corrent (vegeu la Figura 10-2). h v2 � alçària energètica 2g H p � alçària piezomètrica �0 g z � alçària geomètrica Línia de corrent � s Figura 10-12 Observació 10-7 L’aigua és considerada generalment en enginyeria un fluid perfecte i incompressible, i la ciència que l’estudia es denomina hidràulica. Atès que, en general les forces màssiques són de tipus gravitatori, el teorema de Bernoulli és aplicable en general en la resolució de problemes estacionaris en hidràulica. Exemple 10-2 Per al dipòsit d’aigua de la figura, calculeu la velocitat d’abocament, en règim estacionari, per un petit orifici lateral situat a una distància h del nivell superior d’aigua. Resolució Es tracta d’un fluid perfecte i incompressible en règim estacionari sota càrrega gravitatòria i és, per tant, aplicable el teorema de Bernoulli. Considerem una línia de corrent que va des d’un cert punt A, de la superfície, al punt B de l’orifici de sortida (vegeu la (Figura 10-13)). 300 10 Mecànica de fluids A � p A � Patm � 0 � �v A � 0 �z � h � A z h B � p B � Patm � 0 � �v B � v �z � 0 � B s Figura 10-13 v Aplicant el teorema de Bernoulli entre els punts A i B (tenint en compte que la velocitat en la superfície lliure del dipòsit és pràcticament nul·la, si el seu diàmetre és molt més gran que el de l’orifici de sortida, i menyspreant la pressió atmosfèrica Patm � 0 ): p p 1 v 2A 1 v 2B � zB � B � z�A � A � �0 g 2 g � �0 g 2 g � � ��� �0 �0 � h �0 �0 1 v2 v � 2 gh � h�0�0�0�0� 2 g 10.3.4 Solució en règim transitori En règim transitori les variables mecàniques (la seva descripció espacial) depenen del temps (vegeu la Figura 10-10). El punt de partida per a la resolució del problema serà l’equació de balanç de la quantitat de moviment (10.52): �v 1 � � ��P � � � v 2 �� � � 2� � v 2 � �t � (10.62) En alguns casos la solució de l’equació esmentada en règim transitori és particularment senzilla. A continuació es veuran alguns dels casos esmentats. 10.3.4.1 Flux potencial (irrotacional) Es considera el cas de: � fluid perfecte � forces màssiques potencials � flux irrotacional. Definició Flux irrotacional Es diu que el moviment (flux) d’un cert fluid és irrotacional (o potencial) si el rotacional del camp de velocitats és nul en qualsevol punt d’aquest. 301 10 Mecànica de fluids En altres paraules, per a un flux irrotacional el vector vorticitat és nul: � � v(x, t ) � 0 � � 1 �x �t �(x, t ) � � � v(x, t ) � 0�� 2 � Flux irrotacion al � N O T A Es pot demostrar que, donat un camp vectorial v (x, t ) irrotacional, és a dir, que complieixi ��v �0, existeix una funció escalar ��x, t � (funció potencial) tal que v � ���x, t � . Evidentment, com que � � �(�) � 0 , es (10.63) Si el flux és irrotacional, de l’equació (10.63) s’infereix que existeix una funció escalar (denominada potencial de velocitats ��x, t � ) que compleix: v (x, t ) � ���x, t � (10.64) Cal observar que, en aquest cas, el camp vectorial v(x, t ) queda determinat en funció del potencial escalar de velocitats ��x, t � (que passa a ser la incògnita primal del problema). Substituint les condicions (10.63) i (10.64) en l’equació (10.62) s’obté: �� 1 �v � �v � ����x� t �� � � ( ) � � � ��P � � � v 2 �� � �2� � �v� t t 2 � �t �t � � � �0 1 2 �� � � � �� ��P � � � 2 v � �t �� � �M (x, t ) � 0 � ��������� M (x,t ) � �� � � �M (x, t ) � 0 i �{1,2,3} � �x � i compleix que � � v � � � � ���x, t � � 0 �x �t (10.65) (10.66) equació que es pot integrar trivialment i arribar a: M ( x, t ) � P � � � 1 2 �� v � � �(t ) 2 �t (10.67) Definint un potencial de velocitats modificat � �x, t � de la forma: def t � (x, t ) � �(x, t ) � � �(�)d� � 0 ��� � � �� � v�x, t � � �� � �� � �(t ) �� �t �t (10.68) i substituint les equacions (10.68) en la (10.67): P��� 1 2 �� � �(t ) � 0 � v � t �� �� 2 � � �� �t P��� �� 1 � 0 �x �t (� � ) 2 � �t 2 (10.69) que és l’equació diferencial dels transitoris hidràulics. El problema mecànic queda llavors definit per: 1) Equació de continuïtat d� d� � �� � v � � �� � (� � ) � 0 � � ��� � dt dt �2� d� � �� 2 � � 0 dt (10.70) 302 10 Mecànica de fluids 2) Balanç de la quantitat de moviment (equació dels transitoris hidràulics) P(�, p ) � � � �� 1 � 0 �x �t (� � ) 2 � �t 2 (10.71) 3) Equació cinètica d’estat � � �� p � (10.72) que constitueixen un sistema de tres equacions escalars amb tres incògnites ( p (x, t ) , �(x, t ) y � �x, t � ) que es pot integrar en un domini de R 3 � R � . Una vegada conegut el potencial � �x, t � es pot calcular el camp de velocitats mitjançant: v (x, t ) � � � �x, t � (10.73) 10.3.4.2 Flux potencial i incompressible Es considera ara el cas de: � fluid perfecte � forces màssiques potencials � flux irrotacional (potencial) � flux incompressible En tractar-se d’un flux incompressible de les equacions (10.46) i (10.70): N O T A Es defineix aquí l’operador diferencial laplacià de ��� com: not �(�) � � � � (�) � � � � (�) � � � (�) �x i �xi p � p 1 � � p dp � P � � � d� � � � p � � 0 � 0 � � � �0 � � 0 dt � 2 not ��� � � �� � 0 (10.74) i les equacions del problema mecànic (10.70) a (10.72) resulten ser: 1) Equació de continuïtat �� � �2� �0 �xi �xi (10.75) 2) Balanç de la quantitat de moviment (equació dels transitoris hidràulics) �� 1 p � � � (� � ) 2 � � 0 � x �t �0 �t 2 (10.76) que constitueixen un sistema de dues equacions escalars amb dues incògnites ( p (x, t ) i � �x, t � ) que es pot integrar en un domini de R 3 � R � . En règim 303 10 Mecànica de fluids �� � 0 i desapareix qualsevol derivada temporal en el �t sistema, per la qual cosa aquest es pot integrar en R 3 . estacionari el terme 10.4 Dinàmica de fluids: fluids viscosos (newtonians) Considerem ara el problema general descrit per les equacions (10.1) a (10.9): d� � �� � v � 0 dt dv � � � � �b � � dt du � � � � d � �r � � � q dt (1 eq.) (10.77) (3 eq.) (10.78) (1 eq.) (10.79) � � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d (6 eq.) (10.80) s � s(d, �, �) (1 eq.) (10.81) q � �k�� (3 eq.) (10.82) Equació calòrica d’estat u � u ��, �� (1 eq.) (10.83) Equació cinètica d’estat F ��, p, �� � 0 (1 eq.) (10.84) Continuïtat Balanç de la quantitat de moviment Balanç d’energia Equació constitutiva mecànica Equació constitutiva de l’entropia Equació de conducció de la calor Taula 10-1 Equacions del problema de mecànica de fluids que constitueixen un sistema amb 17 equacions i 17 incògnites. El sistema esmentat és massa gran per ser tractat eficaçment i es planteja trobar un sistema d’equacions reduït que permeti una resolució més simple. 10.4.1 Equació de Navier-Stokes Essencialment és l’equació del moviment (10.78) expressada únicament en funció del camp de velocitats v (x, t ) i de pressió p (x, t ) . Observació 10-8 Lema 1 ��d � 1 1 �v � � (� � v ) 2 2 on d(x, t ) és el tensor velocitat de deformació. 304 10 Mecànica de fluids Demostració � �2v j � �� 1 � 2 v i 1 �� � � �� � d� j �� 2 �x �x � 2 �x �x �� i j i i � � 2 � 1 1 � 1 � �v i 1 � v j (� � v ) � �v j � � � � �� 2� 2 �x j �x i 2 �x i �xi 2 �x j � � ��� ����� ��v �j � ��v �v j ��(��v)�j � � 1 �1 � � � �v � ��� � v �� j �{1,2,3} � 2 �2 �j � � 1 � �v i �v j � � �� � 2 � �x j �xi � � � d ij � �xi �xi ��d � 1 1 �v � � (� � v ) 2 2 (10.85) (10.86) Observació 10-9 Lema 2 Donada una funció escalar �(x, t ) , es compleix: � � ( � 1) � � � Demostració �� � (� 1)�i � � (�� ij ) �x j � � ij �� �� � � ��� �i �x j �x i i �{1,2,3} � � � ( � 1) � � � (10.87) (10.88) Substituint l’equació constitutiva (10.80) en l’equació (10.78) i tenint en compte les equacions (10.86) i (10.88): � � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d � � dv �� � � � � �b � � �� dt �Tr �d��� � ��v � ���� � v � �� � � � ��p � �� � ��� �� � ���v � �� �� � � � �b � ��p � (� � �)��� � v � � ��v � �b � � dv �� dt (10.89) Equacions de Navier - Stokes dv � �� � � p � �� � � �� �� � v �� � � v � � b � � dt � �p � 2v j � 2vi dv i �� � �� � � � �� � � bi � � i � {1, 2 ,3} �x i �x j �x j �x j dt �� � x i (10.90) 305 10 Mecànica de fluids 10.4.2 Equació de l’energia Es tracta d’eliminar � i q de l’equació (10.79) substituint en aquesta les equacions (10.80) i (10.82). Per a això cal recordar l’expressió de la potència tensional per a un fluid newtonià (vegeu el capítol 9): (10.91) � � d � WR � 2WD � � p� � v � K Tr 2 (d) � �� d� : d � on d � és la part desviadora del tensor velocitat de deformació, i la llei de Fourier: q � �k�� � � � q � �� � �k�� � (10.92) Substituint ara en l’equació (10.79), s’obté: � du � ��d � �r � � �q � dt (10.93) Equació de l'energia 2W � �����D��� � � du 2 � v k • d d d� � � � � � � � � � � ( ) : p r Tr � � � � � � � � � dt � 2 � �vi � �vi � � �� � � du �� dt � � p �x � �r � �x �� k �x �� � • �� �x �� � �� d ij� dij� � i� i i � i � � (10.94) 10.4.3 Equacions de govern del problema de mecànica de fluids Considerant les versions simplificades del balanç de la quantitat de moviment (equacions de Navier-Stokes (10.90) i de l’energia (10.94)) el problema de la Taula 10-1 es pot reduir al de la Taula 10-2, que constitueixen un sistema de set EDP amb set incògnites ( �(x, t ) , v (x, t ) , p (x, t ) , u (x, t ) , �(x, t ) ) que s’ha de resoldre en un domini de R 3 � R � . d� � �� � v � 0 dt Continuïtat Balanç de la quantitat de moviment (Navier-Stokes) Balanç d’energia � �p � �� � � ���� � v � � ��v � �b � � � du � � p� � v � �r � � � �k��� � dt � K Tr 2 (d) � �� d � : d � dv dt (1 eq.) (10.95) (3 eq.) (10.96) (1 eq.) (10.97) Equació calòrica (1 eq.) (10.98) u � u ��, � � d’estat Equació cinètica (1 eq.) (10.99) F ��, p, �� � 0 d’estat Taula 10-2 Equacions de govern del problema de mecànica de fluids Per al cas particular de règim barotròpic ( � � �( p ) ) es pot desacoblar la part mecànica de la part tèrmica en les equacions (10.77) a (10.84), resultant el 306 10 Mecànica de fluids problema mecànic de la Taula 10-3 amb cinc equacions i cinc incògnites ( �(x, t ) , v (x, t ) , p (x, t ) ). d� � �� � v � 0 dt Continuïtat (1 eq.) (10.100) Balanç de la dv quantitat de � �p � �� � � ��(� � v ) � ��v � �b � � (3 eq.) (10.101) moviment dt (Navier-Stokes) Equació cinètica � � �( p ) (1 eq.) (10.102) d’estat Taula 10-3 Equacions del problema mecànic per a règim barotròpic 10.4.4 Interpretació física de les equacions de Navier-Stokes i de l’energia Considerem les equacions de Navier-Stokes (10.90): dv � �� �p � �� � � ��(� � v ) � ��v � �b � � dt � 0 � � a � � �p �� �x � ��� � � �� (� � v) � ��v �i � � bi � � a i � 0 i �{1,2,3} � i (10.103) Cada un dels termes de l’equació (10.103) es pot entendre com un component d’un sistema de forces (per unitat de volum) que actua sobre un diferencial de volum del fluid en moviment: � �p � � ��� � � �� (� � v ) � ��v � � � ��� � ����������� Forces degudes al gradient de pressions Forces viscoses exercides per contacte entre partícules (�0 quan � �� �0) �b � Forces màssiques � ��a �0 ��� Forces d'inèrcia (10.104) A la Figura 10-4 es pot apreciar la projecció en la direcció xi de cada un dels components esmentats. dx i �p � ��p �i �x i p �bi � dv � �a i � �� i � � dt � xi � ��� � � �� (� � v ) � ��v � i Figura 10-14 p� �p dx i �xi 307 10 Mecànica de fluids L’equació de l’energia (10.94) també es pot interpretar com s’indica a la Taula 10-4. 2W �����D���� du 2 � � � p� � v � �r � � � �k��� � K Tr (d) � �� d � : d � dt � R E C O R D A T O R I d (dV ) � (� � v ) dV dt (vegeu el capítol 2, apartat 2.14.3). du dt = d (dV ) � � v � dt dV p d ( dV ) dt � p� � v � � dV �r � � � �k��� 2W D � � D : d Variació d' energia interna = = = u. de volum - u. de temps Variació de volum u. de volum - u. de temps Treball mecànic de la pressió termodinà mica u. de volum - u. de temps (vegeu la Figura 10-15) Calor generada per les fonts internes i la conducció u. de volum - u. de temps = Pot. dissipativa � Treball mecànic de les forces viscoses u. de volum - u. de temps Taula 10-4 Interpretació física de l’equació de l’energia p d (dV ) dV Figura 10-15 10.4.5 Reducció del problema general a casos particulars Les equacions de govern de la mecànica de fluids de la Taula 10-2 es poden simplificar per a certs casos que són de particular interès en l’enginyeria. 10.4.5.1 Fluids incompressibles En aquest cas passa: d� � �0 �� �� � �0 � constant dt ��� dp � � v � Tr( d ) � 0 � �� � v � 0� � � dt (10.105) i substituint les equacions (10.105) a la Taula 10-2 s’obtenen les equacions de govern de la Taula 10-5. 308 10 Mecànica de fluids Problema mecànic Problema tèrmic Continuïtat ��v�0 Equacions de Navier-Stokes � �p � � �v � � 0 b � � 0 Balanç d’energia �0 dv dt du � � 0 r � � ���k��� � �� d � : d � dt u � u �� 0 , �� Equació calòrica d’estat � � � p1 � 2� d Equació constitutiva Taula 10-5 Fluids newtonians incompressibles. Equacions de govern 10.4.5.2 Fluids amb viscositat volumètrica nul·la (fluids de Stokes) En aquest cas: 2 1 2 K� � � � � 0 � � � � � � � � � � � 3 3 3 (10.106) 2 2W D � K � Tr (d) � �� d � : d � � �� d � : d � �0 (10.107) i substituint les equacions (10.106) i (10.107) a la Taula 10-2 s’obtenen les equacions de govern de la Taula 10-6. d� � �� � v � 0 dt Continuïtat Equacions de Navier-Stokes Balanç d’energia � �p � � 1 dv ���� � v � � ��v � �b � � 3 dt du � � p� � v � �r � � � �k��� � �� d � : d � dt Equació calòrica d’estat u � u ��, � � Equació cinètica d’estat F ��, p, �� � 0 Equació constitutiva � � � p1 � 2 � Tr (d )1 � 2� d 3 Taula 10-6 Fluids de Stokes. Equacions de govern 10.4.5.3 Fluids perfectes Per a fluids perfectes (sense viscositat) � � � � K � 0 . Substituint la condició esmentada a la Taula 10-2, s’obté el problema de la Taula 10-7. 309 10 Mecànica de fluids d� � �� � v � 0 dt dv � �p � � b � � dt du � � � p� � v � �r dt Continuïtat Balanç de la quantitat de moviment (equació d’Euler) Balanç d’energia Equació calòrica d’estat u � u ��, � � Equació cinètica d’estat F ��, p, �� � 0 � � � p1 Equació constitutiva Taula 10-7 Fluids perfectes. Equacions de govern 10.4.5.4 Hidrostàtica En aquest cas es té (vegeu les equacions (10.20)): a� dv �0 ; ��v�0 dt ; � � �0 ; p � p0 ; � � � p0 1 (10.108) per la qual cosa les equacions de la Taula 10-2 es redueixen a les de la Taula 10-8. Problema Balanç de la quantitat de moviment mecànic (equació fonamental de la hidrostàtica) Problema tèrmic Balanç d’energia Equació calòrica d’estat Equació constitutiva � �p0 � � 0 b � 0 �0 du � � 0 r � � ���k��� dt u � u �� 0 , �� � � � p0 1 Taula 10-8 Hidrostàtica. Equacions de govern 10.5 Condicions de contorn en la mecànica de fluids Les equacions de govern del problema de mecànica de fluids, presentades en apartats anteriors, necessiten les condicions de contorn adequades per poder ser resoltes correctament. En general, en els problemes de mecànica de fluids es fa servir la descripció espacial (o euleriana) i s’analitza un determinat volum de control (fix en l’espai), en el contorn del qual s’apliquen les condicions de contorn espacials. Encara que aquestes condicions de contorn són molt variades, i freqüentment dependents del tipus de problema, en els apartats següents es presenta un resum de les més comunes. 310 10 Mecànica de fluids 10.5.1 Condicions de contorn en velocitats a) Velocitat prescrita En certes parts �v del contorn del volum de control V que s’analitza, les velocitats són conegudes (vegeu la Figura 10-16). v ( x, t ) � v ( x, t ) (10.109) �x � �v V �v v Figura 10-16 – Condicions de contorn en velocitats b) Condició d’impenetrabilitat Normalment, part del contorn del volum de control V està constituïda per parets impermeables, �v n , que se suposen impenetrables pel fluid del seu interior. L’expressió matemàtica d’aquesta situació és la denominada condició d’impenetrabilitat, que estableix que la velocitat relativa del fluid, v r , respecte a la paret impermeable (suposada mòbil amb velocitat v * ) en la direcció normal al contorn ha de ser nul·la (vegeu la Figura 10-17): * �n �x � �v n � v n (x, t ) � � v�n � � v� � (10.110) paret fluid v r � n � �v � v * �� n � 0 �x � �v n (10.111) Per al cas particular de contorn fix la condició (10.111) es redueix a �v * � 0�� v � n � 0 �x � �vn . vt t v v n �v n n * vn Figura 10-17 v v 311 10 Mecànica de fluids Observació 10-10 La condició d’impenetrabilitat se sol aplicar per a fluids perfectes (sense viscositat) en els quals se suposa que el component tangencial de la velocitat relativa fluid-paret v t (vegeu la Figura 10-17) és no nul·la. c) Condició d’adherència Si el fluid és viscós se sol imposar que, a les parets impermeables, no només s’anul·la el component normal de la velocitat relativa fluid-paret, sinó que, per efecte de la viscositat, el fluid s’adhereix a la paret (vegeu la Figura 10-8), per la qual cosa la velocitat relativa fluid-paret v r és nul·la: v r (x, t ) � v � v * � 0 �x � �v � v � v * �x � �v (10.112) �v vr Figura 10-18 10.5.2 Condicions de contorn en traccions (o en pressions) En certes parts �� del contorn es pot prescriure el vector de traccions � � n � t (vegeu la Figura 10-19). t (x, t ) � � � n � t * (x, t ) �x � �� n (10.113) t* � � � n �� Figura 10-19 En algunes circumstàncies es prescriu només una part del vector de traccions com és la pressió termodinàmica. En efecte, per a un fluid newtonià tenim: � � � p1 � �Tr (d)1 � 2�d � t � � � n � � p n � �Tr (d)n � 2�d � n (10.114) 312 10 Mecànica de fluids i l’equació (10.114) posa de manifest que la pressió termodinàmica p és una part del component normal del vector de traccions t . La prescripció de la pressió termodinàmica sobre una part del contorn �p s’escriu de la manera següent: * (10.115) p(x, t ) � p (x, t ) �x � �p 10.5.3 Condicions de contorn mixtes En certs casos (com a les seccions d’entrada o de sortida de canonades) es prescriu la pressió (una part del component normal de la tracció) i els components tangencials de la velocitat (que se suposen nuls, vegeu la Figura 10-20). v � vn n � p � p* �pv : � �vt � 0 Figura 10-20 10.5.4 Condicions de contorn sobre superfícies lliures Definició Superfície lliure És la superfície de contacte entre l’aire (ambient) i un fluid (generalment l’aigua). N O T A En general, en els problemes de mecànica de fluids en els quals apareixen superfícies lliures, la posició d’aquestes no es coneix i les característiques geomètriques de la superfície passen a ser una incògnita del problema. Exemples de superfície lliure són la superfície del mar (vegeu la Figura 10-21) o la superfície que separa la part saturada de la no saturada en un talús o en una presa de materials solts (vegeu la Figura 10-22). z x Superfície lliure : �sl : z � ��x, y, z , t � y z � � �x, y, t � =cota de la superfície lliure Figura 10-21 – Superfície lliure del mar Una hipòtesi amb clar sentit físic realitzada freqüentment sobre la superfície lliure és que es tracta d’una superfície material (constituïda sempre per les mateixes partícules). Aquesta hipòtesi estableix implícitament certes condicions de contorn sobre el camp de velocitats a la superfície material �sl . En efecte, considerant la superfície lliure de la Figura 10-21: 313 10 Mecànica de fluids �sl :� {x | ��x, y, z, t � � z � ��x, y, t � � 0 } (10.116) i imposant el caràcter material d’aquesta (derivada material nul·la, vegeu el capítol 1, apartat 1.11): d� �� �� �� �� �� � vz �0� � vy � vx � v � �� � � � dt �t �z �y �x �t � �1 v z ( x, t ) � �� �� �� � vx � vy �t �x �y (10.117) �x � �sl (10.118) condició que estableix una dependència del component vertical de la velocitat v z respecte als altres components v x i v y . p atm Superfície lliure sec p atm saturat Figura 10-22 – Presa de materials solts N O T A En general, es negigleix el valor de la pressió atmosfèrica ( Patm � 0 ) Una altra condició de contorn freqüentment establerta sobre les superfícies lliures és que en aquestes la pressió termodinàmica és coneguda i igual a la pressió atmosfèrica: p(x, t ) � Patm �x � �sl (10.119) L’equació (10.119) permet, en certs casos, identificar la posició de la superfície lliure (una vegada conegut el camp de pressions) com el lloc geomètric dels punts del fluid on la pressió és igual a la pressió atmosfèrica: Equació de la superfície lliure � �sl :� {x | p (x, t ) � Patm � 0 } (10.120) 10.6 Flux laminar i flux turbulent 10.6.1 Flux laminar Les equacions de la mecànica de fluids descrites als apartats anteriors són vàlides per a un cert rang del moviment dels fluids que s’anomena flux (o règim) laminar. En essència, el flux laminar es caracteritza físicament pel fet 314 10 Mecànica de fluids que el fluid es mou en capes paral·leles que no es barregen entre si (vegeu la Figura 10-23). Vòrtexs Figura 10-23 – Flux laminar al voltant d’un obstacle El caràcter laminar del flux s’identifica generalment pel denominat nombre de Reynolds Re : def V �L � � Nombre de Reynolds � Re � � � �V � velocitat caracterís tica del fluid �L � longitud caracterís tica del domini analitzat � � � �� � viscosita t cinemàtica (� � ). � � (10.121) de manera que valors petits del nombre de Reynolds caracteritzen els fluxos laminars. 10.6.2 Flux turbulent Quan la velocitat augmenta i la viscositat disminueix, el nombre de Reynolds (10.121) augmenta. Per a valors creixents d’aquest nombre s’observa que el flux laminar inicial es desordena i es torna altament inestable. El flux es pot entendre llavors com una situació en la qual tant la tensió com la velocitat v (x, t ) , en un punt donat de l’espai, fluctuen ràpidament i de forma aleatòria al llarg del temps i al voltant d’un valor mitjà v(x, t ) (vegeu la Figura 10-24). Aquesta situació es defineix com de flux (o règim) turbulent. Flux laminar v �x, t � t Flux turbulent v �x, t � v t Figura 10-24 Encara que les equacions del problema de mecànica de fluids en general, i les equacions de Navier-Stokes en particular, continuen sent vàlides en règim 10 Mecànica de fluids 315 fluctuacions de les variables d’aquest) imposen un tractament singular per al flux turbulent. La caracterització matemàtica del règim turbulent es fa llavors a través dels denominats models de turbulència. En essència, els models esmentats es basen en aïllar els valors mitjans dels camps de velocitats i pressions de les seves fluctuacions i en obtenir equacions de govern del problema en termes d’aquells. 11 Principis variacionals 11.1 Preliminars El càlcul variacional és una eina matemàtica que permet treballar amb el que es denomina forma integral o forma feble de les equacions diferencials de govern d’un problema. Donat un sistema d’equacions diferencials, que s’han de verificar en forma local (punt a punt) en un cert domini, els principis variacionals permeten obtenir una formulació integral (global, en el domini) o formulació feble, la imposició de la qual, tanmateix, garanteix el compliment d’aquelles equacions diferencials. El seu interès rau en el fet que les formulacions integrals són especialment apropiades per al tractament i la resolució del problema per mètodes numèrics. 11.1.1 Funcionals. Derivades funcionals Definició Funcional F�u � : aplicació d’un espai de funcions X sobre el cos dels reals: F�u � : X � R sent X :� {u(x) | u(x) : R 3 � � � R m } . En altres paraules, el funcional F�u � és una aplicació que, a cada element u(x) (una funció escalar, vectorial o tensorial definida en un domini � de R 3 o, en general, de R n ) d’un espai de funcions X fa correspondre un nombre real. Amb un cert abús del llenguatge, es podria dir que un funcional F�u � és una funció escalar els arguments de la qual són funcions u(x) . Exemple 11-1 Considerem un interval � � �a, b�� R i l’espai X constituït per totes les funcions reals de variable real en l’interval �a, b� ( u �x � : �a, b � � R ) amb derivades primeres u ��x � integrables a l’interval esmentat. Exemples de possibles funcionals: b b F�u � � u ( x)dx G�u � � u �( x)dx a a � � b H�u � � F �x, u ( x), u �( x)�dx � a 318 11 Principis variacionals Definició Sigui X :� {u(x) | u(x) : R 3 � � � R n } un espai de funcions (escalars, vectorials o tensorials) sobre un domini � i un funcional F��� : X � R . Siguin dues funcions u, � � X i sigui � � R un paràmetre (pertorbació). Considerem la funció u � � � � X , que es pot interpretar com una funció pertorbada de la funció u a la direcció � . Es defineix la variació de Gateaux (o derivada de Gateaux) del funcional F(u) a la direcció de � com: def �F�u; �� � d F�u � � �� ��0 d� Observació 11-1 Sovint es denota la direcció respecte a la qual es pren la variació com not � � �u i així es farà amb freqüència d’ara en endavant. No s’ha de confondre �u(x) amb la diferencial du(x) (en el sentit del càlcul infinitesimal) de la funció u(x) . Tanmateix, l’obtenció de la variació de Gateaux d’un funcional té en certs casos el mateix formalisme que la diferenciació ordinària de funcions i d’aquí el consegüent perill de confusió (vegeu Exemple 11-2). def Exemple 11-2 Sigui el funcional F�u � � � ��u �d� � � ��u �d� . Obtenir la seva � derivada de Gateaux. �� Resolució �F�u; �u � � d F�u � ��u � d� ��0 � d ��u � ��u � d� d� � � � ��0 d ��u � ��u � d� d� �� � � ��0 � � � � � ���u � ��u � d �u � ��u � � � ���u � ��u � d �u � ��u � � � �� � d� � � d� � � � �u �u d��� � d��� � ��� ��� �� ��� � � ��0 � � ��0 �u �u � � � � ��(u) ��(u) � �u d� �� ��u �d� � ��u �d� � � � �u d� � �u ��� �� � �u �� �� � � � � Es pot apreciar la semblança formal, en aquest cas, de l’obtenció de la derivada de Gateaux del funcional amb la diferenciació de funcions. 319 11 Principis variacionals Considerem ara un domini � � R 3 , el seu contorn �� � �u � �� amb �u � �� � � (vegeu la Figura 11-1) i l’espai V de les funcions u(x) definides sobre � , que prenen un determinat valor u * (x) en el contorn �u : V :� {u(x) | u(x) : � � R m ; u(x) x�� � u * ( x)} u (11.1) �� x3 �u � �� � � �u : u � u * �x � � x2 x1 Figura 11-1 Observació 11-2 Respecte a l’obtenció de la derivada de Gateaux, una condició que s’estableix en la mateixa definició sobre la pertorbació � � �u és que la funció pertorbada u � � �u pertanyi al mateix espai de funcions V ( u � � �u � V ). En aquest cas, si u � � �u � V : � �u � � �u � x�� � u * � u x�� � � �u x�� � u * � � �u x�� � 0 u u u ���u u* i la pertorbació �u ha de satisfer: �u x��u � 0 Sobre la base de la família de funcions (11.1) considerem ara la família de funcionals següent: F�u � � �(x, u(x), � u) d� � �(x, u(x), � u) d � � � � �u � V �� (11.2) sent � i � funcions prou regulars per ser integrables en els dominis � i �� , respectivament. Suposarem, a més, que mitjançant les operacions algebraiques adequades, la derivada de Gateaux de F�u � es pot escriure de la següent manera: �F�u; �u � � E (x, u(x), �u) � �u d� � T (x, u(x), �u) � �u d� � � � �� ���u ��u �0 � x��u (11.3) 320 11 Principis variacionals Exemple 11-3 Sigui el funcional: b F�u � � ��x, u ( x), u �( x)�dx con u ( x) x � a � u (a) � p � a Obteniu la seva derivada de Gateaux en el format de l’equació (11.3). Resolució Es tracta d’un cas particular del funcional (11.2) reduït a una dimensió amb � � 0, � � ( a, b), �u � a �� � b . Pertorbant la funció u (x) i reemplaçant en el funcional: �u ( x) � u ( x) � � �( x) � �u �( x) � u �( x) � � ��( x) � b �� � � � F u � � � � � � ��x, u ( x) � � �, u �( x) � � ���dx not a � ��( x) � �u ( x) | �(a) � � a � 0�� La consegüent derivada de Gateaux serà: b �� � � �� �� dx �F�u; �� � d F�u � � �� � �0 � � � � d� u u � �� � � � a � D’altra banda, l’anterior expressió pot estar integrada per parts com segueix: b � a x �b b �� � d � �� � � � �� � � � � ��dx � � �� �� dx � � u � �u � � x � a a � dx � �u � � �� � � �� �u � x �b �b � �� �u � � b �� � d � �� � � � ��� dx � � a � � � � �u � � dx � �u � � x �a �0 a � b � d � �� � � �b � � � �� dx � dx � �u � � �� x �b a � � b �� � �� d � �� �� �F(u; ��u ) � � � � �� �u dx � � �u � �u dx � �u �� � a � � x �b �u b expressió que és un cas particular de l’equació (11.3) amb: �� d � �� � � � � �u dx � �u � � �� T ( x, u , u �) � �u � x �b E ( x, u, , u �) � �x � (a, b) 11.1.2 Extrems de funcionals. Principis variacionals. Equacions d’Euler-Lagrange Sigui f �x � : R � R una funció real d’una variable real. Diem que la funció presenta un mínim en x � x0 si: f ( x 0 ) � f ( x) �x � R (11.4) És ben sabut que una condició necessària perquè f presenti un extrem (mínim, màxim o punt de sella) a x � x0 és que: 321 11 Principis variacionals df ( x) dx not x � x0 � f ��x 0 � � 0 (11.5) Aquest concepte es pot generalitzar als funcionals en un espai de funcions. Donat un funcional F(u) : V � R , diem que aquest funcional presenta un mínim a u(x) si: F(u) � F( v ) �v � V (11.6) i una condició necessària perquè aquest funcional presenti un extrem (mínim, màxim o punt de sella) a u(x) és que la derivada �F�u; �u � sigui nul·la per a totes les direccions �u : �F�u; �u � � 0 ��u | �u x�� � 0 (11.7) u Expressant l’equació (11.7) en el format de l’equació (11.3) es tindrà: Principi variacional ����u �F�u;�u � � E � �u d� � T � �u d� � 0 � ���u x��u � 0 � �� � � (11.8) Observació 11-3 Lema fonamental del càlcul variacional: Donades E (x) : � � R m i T (x) : �� � R m que compleixen � E (x) � �u d� � �T (x) � �u d� � 0 � ��u ; �u x�� � 0 u �� � E ( x) � 0 �x � � �� �T (x) � 0 �x � �� N O T A Aquesta demostració no és rigorosa i es proporciona només com a indicació intuïtiva de la línia de raonament que segueix la demostració del lema. N O T A En un llenguatge estricte, l’equació (11.8) és una equació variacional o la forma feble d’un problema diferencial. Demostració (indicativa): Considerem l’elecció següent per a �u(x) : �E (x) �x � � � �x � �u �u(x) � �0 �T (x) �x � � � � Substituint: x ) � E ( x ) d� � � T ( x ) � T ( x ) d� � 0 � E�(�� �� ����� � �0 �� � E ( x) � T ( x) � 0 c.q.d . �0 A l’equació (11.8) se la denomina principi variacional i, atès que �u és arbitrari, d’acord amb l’Observació 11-3 és totalment equivalent a: Equacions d' Euler - Lagrange � E (x, u(x), �u(x)) � 0 �x � � (11.9) 322 11 Principis variacionals Condicions de contorn naturals (11.10) � T (x, u(x), �u(x)) � 0 �x � �� Observació 11-4 Les equacions (11.9): E (x, u(x), �u(x)) � 0 �x � � són, en general, un conjunt d’equacions diferencials en derivades parcials (EDP) que reben el nom d’equacions d’Euler-Lagrange del principi variacional (11.8). Les equacions (11.10): T (x, u (x), �u( x)) � 0 �x � �� constitueixen un conjunt de condicions de contorn sobre aquestes equacions diferencials denominades condicions de contorn naturals. Junt amb les condicions (11.1): u(x) � u * (x) �x � �u denominades condicions de contorn forçades (essencials) o de Dirichlet, defineixen un sistema la solució del qual u(x) és un extrem del funcional F . Exemple 11-4 Sigui el funcional de l’Exemple 11-3: b F�u � � ��x, u ( x), u �( x)�dx con u ( x) x � a � u (a) � p � a Obteniu les seves equacions d’Euler-Lagrange i les condicions de contorn naturals i forçades corresponents. Resolució Del resultat de l’Exemple 11-3: b �� � �� d � �� �� �F(u; ��u ) � � � � �� �u dx � � � u dx u u� � � �� � � a � � x �b �u b s’obté directament: Equació d' Euler - Lagrange � E (x,u,u' ) � �� d � �� � � � � � 0 �x � (a,b) �u dx � �u ' � Condicions de contorn naturals � T ( x , u , u ') � Condicions de contorn forçades � u(x) x �a �� �u ' �0 x �b � u(a) � p ������������������������� ��� ���������������������������������������������� ��������������������������������������������� �� ���������� ��� ���������� � � �� ������ ��� �������� � �� ������� �� ���� ������� ���������� ���� � � �� �� ���� ������ ������������� � � ��� � � � ������ ��� �������� �� � ������� ��� ������� ������� ���������� ������������������������ � ��������������������������������������������������������� ��������������������� � ���� � � � �� �������� � � �������������� � � �� �� � ��� � � � � � � � � ��� ��� � ��� ���� � ������������ �� �� � � � � � �� � � � � � � �� �� � �� � � � � � �� �� �� �� ������� ����������� ������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������ �� � � � ���� � � �� � ���� � � � �� � � � ����������������� ����������������� ������� ��� � � � � � � � � ��� � �� � ��������������������������������� ���������� ����������������������� ������� ��� ����� ����������� ��� ������������ ���������� ��� ���� ��������� ���� ��� �������������� ��� ������� ��� ���� ������������� �� ��� ���������� ������������ ���� � ��� ��� � �� �� ��� ��� ���� �������������� ���� ���� �������������� ��� ������� �� ���������� ���� � � � � � � � �� � � �� ��� ����������������������������������������������� � � ���� � � �� � ��� ��� �� �� � �� ����� � � �� �������� � � � � ��� � � � �� �� �� � � � ��� �� �� � �� � ������ � �� ��� � � ������� � ��� �� ���� �������������� ����� �������������� �� � ��� ���� ��������� ������������� ��������� ���������������������� ��� �� � � � � � � �� ��� � � � ������� ��� ������ ��� ���� ���������� ������� �� �������� ���� ���������� ����������������� ��� ���������������������������������������������������������������������������� 324 11 Principis variacionals Equacions d' Euler - Lagrange E � � � � � � �b � a � � 0 �x � � (11.16) Condicions de �T � t * � � � n � 0 �x � �� contorn naturals És a dir, l’equació de Cauchy (11.12) i l’equació d’equilibri en el contorn (11.13). El principi variacional (11.14) es pot reescriure de forma totalment equivalent com s’indica a continuació. Considerant el terme: ��� � � � � �u � � � �� � �u � � � � �� � �u � � � � �� � �u � � � � ��u � � � � � �� ij �u j � � ��u j � � �� ij �u j � ���u j � � �� ij i, j �{1,2,3} � � ij � � � ji � �x �u j � �xi �xi �xi �xi � i (11.17) i descomponent �u � � a la seva part simètrica, � s �u , i la seva part antisimètrica � a �u : � ��u � � � � s �u � � a �u � � s def 1 �� �u � ��u � � � � � �u � 2 � � a def 1 ��� �u � 2 ��u � � � � � �u � (11.18) Substituint l’equació (11.18) en l’equació (11.17): R E C O R D A T O R I El tensor � és simètric i el tensor � a �u és antisimètric. En conseqüència, el producte resultant és nul ( � : � a �u � 0 ). a �� u �� � � � � �u � � � �� � �u � � � � ��u � � � � � � �� � �u � � � � � s �u � ��� �� �� (11.19) � �� � � � � �u � � � �� � �u � � � � � s �u (11.20) �0 Integrant ara l’equació (11.20) sobre el domini V i aplicant el teorema de la divergència, s’obté: � �� � �� � �u � dV � � � � �� � �u �dV � � �� � � �u�dV � n � �� � �u �dV � � �� � � �u �dV � �� s V V V s �V � �u � �� � V (11.21) � �n � � � � ���u0 dV � � �n � � � � �u dV � � �� � � �u�dV � s �u �� V � �� � � � � �u � dV � � �n � � � � �u dV � � �� � � �u�dV s V �� V (11.22) on s’han tingut en compte la condició �u x��u � 0 (vegeu l’equació (11.15)). Finalment, substituint l’equació (11.20) en la forma original del principi variacional (11.14) s’obté: 325 11 Principis variacionals �W�u; �u � � � �� � � � ��b � a �� � �u dV � � (t * � �� � n �) � �u d� � V �� � � �� � �� � �u dV � � ��b � a � � �u dV � � t * � �u d� � V � V � �� � �� � n�� �u d� � �� (11.23) � � � � � � s �u dV � � ��b � a � � �u dV � � t * � �u d� � 0 � V V �� Principi dels treballs virtuals �W�u; �u � � � �b � a � � �u dV � � V �t * � � u d� � �� � �� � � �u�dV � 0 s V (11.24) ��u(x) | �u x�� � 0 u L’expressió (11.24), que és totalment equivalent al principi variacional original i continua tenint les mateixes equacions d’Euler-Lagrange i condicions de contorn (11.16), rep el nom de principi (o teorema) dels treballs virtuals (PTV). Observació 11-5 El PTV és un principi variacional molt aplicat en la mecànica de sòlids que es pot interpretar com la recerca d’un extrem d’un funcional del camp de desplaçaments W �u � , no necessàriament conegut en forma explícita, la variació (derivada de Gateaux) del qual �W �u; �u � és coneguda i ve donada per l’equació (11.14). Atès que les equacions d’Euler-Lagrange del PTV són l’equació de Cauchy (11.12) i d’equilibri en el contorn (11.13), la seva imposició és totalment equivalent (encara que més convenient per a la resolució del problema per mètodes numèrics) a la imposició en forma local d’aquelles equacions i rep el nom de forma feble d’aquestes. Observació 11-6 En la formulació PTV no intervé l’equació constitutiva ni es distingeix el tipus de cinemàtica (deformació finita o infinitesimal), per la qual cosa la seva aplicació no es veu restringida ni pel tipus d’equació constitutiva escollida (elàstica, elastoplàstica, de fluid, etc.) ni per la cinemàtica (deformació finita o infinitesimal) considerada. 11.2.1 Interpretació del principi dels treballs virtuals Considerem el medi continu en la configuració actual Vt a temps t sotmès a unes forces màssiques fictícies b * (x, t ) � b(x, t ) � a(x, t ) i a les forces superficials reals t * �x, t � (vegeu la Figura 11-3) i suportant les tensions reals �(x, t ) . Considerem, a més, una configuració virtual (fictícia) Vt � �t corresponent a l’instant virtual t � �t separada de la configuració real pel camp de desplaçaments virtuals (11.15): 326 11 Principis variacionals Desplaçame nts virtuals : � �u (x) ; �u x�� � 0 u (11.25) �� : � � n � t * �x, t � t �x, t � Vt � V x3 t - configuració actual t � �t - configuració virtual * t � �t t ê 3 ê1 �u b* � b � a Vt � �t x2 ê 2 x1 �u : �u � 0 Figura 11-3 Admetent una cinemàtica de deformació infinitesimal, les deformacions virtuals associades als desplaçaments virtuals (11.25) serien: Deformacions virtuals : � �� � � s �u (11.26) i suposant que les tensions �(x, t ) romanen constants en l’interval de temps �t , t � �t �, el treball de deformació virtual (treball virtual intern) realitzat pel medi durant aquest interval serà: Treball� � virtual � � �W int � �� � �� �dV � � � � s�u dV V V intern �� � �� � (11.27) Així mateix, suposant que tant les pseudoforces màssiques b * (x, t ) com les forces superficials t * �x, t � romanen constants durant el procés de deformació virtual en l’interval �t , t � �t �, el treball que realitzen (treball virtual extern) resulta ser: Treball� � virtual � � �W ext � � (b � a) � �u dV � t * � �u d� ��� V �� extern �� b* � � (11.28) i de la comparació del PTV en l’equació (11.24) amb les equacions (11.27) i (11.28), el PTV es pot interpretar com: ������������������������� ��� ������������������������������� � � � �� � �� � �� � � � � �� � �� � �� �� � � �� � �� � �� � � � �� � �� ������� ��� ���� � ������ �������� � ������� ����������������� ���������������� ����� ��� ��� ���������� � ���������� � ������� �� � ����� � �� ��� � � ���������������������������������������������� ��������������������������� �� ��� � � � � ���������������� ����� ��������� ��������� ��� ������� ����� �������� �� ���������������������� ����� �������� ���������� ��� �������� � �� �� ��� ����������� ��������� �� � � � �� �� �� ���������� ��������� ��� ������ ��������� ���� �������� ��� ������� ��� � �� ��� ���������� �������� ���� � �� � � �� � � �� �� � ���� � � � ��� � �� � �� �� �� � �� � � �� � ��� �� �� ��� � � ��� � � ��� � ��� � � � � � � � ��� � ��� ��� � ����� � � � ���� � �� � �� � �� � �� ��� �� � ���� �� � ��� � ���� � �� � �� � � � ���� �� �� ����� �� �� ������� ������������������������� �� � �� � ��� � ���� � ���� � ��� � ��� � � ������� � �� �� �� �� � � � �� � � �� � � � � � � �������� � � ������� ��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������� ������������������������������ �� � � � ���� � ��� �� � �� � � �� � �� � �� �� � � �� � �� � � �� � � � � �� ������� �������� ������� � ��������� ������� ����������������� ���������������� ����� ������������� � ������������� �� �� � �� ��� � �� ��� � � ��������������������������������������������� ��������������������������� �� � �� � � � � �������������������������������������������������������������� ������� ��� ������������������������� ������������� ����������� ��������� �� ����������������������������������� ��� ���������� � ������������ ���� ����� ������������ ��� ��������� ������������ ��� ��������� �������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ��� ����������������������� � � � � ���������������� ����������������������� ���������������� ������������������������ ���������������� ������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������������������������� �� �� � ���������������������� ����������������� � � �� � � � � �� � ��� � �� � � � � �� �� � � � �� � � �� ������� ��� �������������������� � � � ��� � � ����������������� ���������������������������������������������������������������� ���� ������� ���������������������� ��� �� � ���� � �� �� � � � �� ������� ��������������� ��� ���� ������ ��� ������� ��� ������ �������������� ������� ���� ��� ��� �������������� � � � ������������������������������������������������ �� � �� � � �� � � � ��� � �������� � � �� � �� � � �������� �������������������������������������������������������������� � ��� � � �� � � � � � ����� � �� � �� ��� ������������������������� � � ��� � � ����������������� ��������������������������������� � ��� ��������� �� � � ���� � �� ������� 329 11 Principis variacionals Observació 11-8 Un cas típic de forces superficials conservatives ocorre quan el vector tracció t * (x, t ) és independent dels desplaçaments ( � t* � 0 ). En aquest cas �u el potencial de forces superficials té l’expressió: G�u � � �t * � u � �G (u) � �t * �u En les circumstàncies anteriors es pot definir el següent funcional denominat energia potencial total: Energia potencial �u � � û ��(u)� dV � G �u �d� U � �u �dV � � V V � Energia � �� ���� � ���� � � ��� � potencial Energia Energia potencial Energia potencial total de les forces elàstica de les forces màssiques superficials � � � (11.36) la variació de Gateaux del qual serà: �uˆ ���u � �G �u � : � S ( �u ) dV � � � �u dV � � � �u d� � ��� u � � � �u � � V � V � � ��� �� � ��( b�a) �t* �U�u; �u � � � � � � � : �� dV � � �( b � a) � �u dV � � t * � �u d� V V �� (11.37) ��u | �u x�� � 0 u on s’han considerat les equacions (11.33) a (11.35). Comparant l’equació (11.37) amb el PTV (11.29), s’arriba a: �W � �U �u; �u � � � � : �� dV � � �( b � a) � �u dV � � t * � �u d� � 0 V V �� (11.38) ��u | �u x�� � 0 u N O T A La condició de mínim de l’extrem es demostra a partir del requeriment termodinàmic que C sigui definit positiu (vegeu el capítol 6). Observació 11-9 Principi de minimització de l’energia potencial El principi variacional (11.38), que continua sent la forma feble de les equacions de Cauchy (11.12) i d’equilibri en el contorn (11.13), és ara la variació de Gateaux del funcional energia potencial U�u � de l’equació (11.36). En conseqüència, el funcional esmentat, que per al cas de forces màssiques i superficials constants té la forma: 1 U(u) � � � � C � � dV � � ��b � a � � u dV � � t * � u d� 2��� � V� V � uˆ ��� � presenta un extrem (que es pot demostrar que és un mínim) per a la solució del problema elàstic lineal. Bibliografia BONET, J.; WOOD, R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 1997. CHADWICK, P. Continuum Mechanics. Wiley, 1976. CHUNG, T.J. Continuum Mechanics. Prentice-Hall, 1988. COIRIER, J. Mécanique des milieux continus. París: Dunod, 1997. ERINGEN, A.C. Mechanics of Continua. Wiley, 1967. FUNG, Y.C. Foundations of Solid Mechanics. Prentice Hall, 1965. GREEN, A.E.; ZERNA, W. Theoretical Elasticity. Clarendon Press, 1960. MALVERN, L.E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, 1969. MASSAGUER, J.M.; FALQUÉS, A. Mecánica del continuo. Geometría y dinámica. Edicions UPC, 1994. PRAGER, W. Introduction to Mechanics of Continua. Ginn and Co., 1961. SPENCER, A.J.M. Continuum Mechanics. Longman, 1980. TRUESDELL, C.S. The Elements of Continuum Mechanics. Springer, 1966.