POLITEXT
Xavier Oliver Olivella
Carlos Agelet de Saracíbar Bosch
Mecànica de medis
continus per a enginyers
POLITEXT 152
Mecànica de medis
continus per a enginyers
POLITEXT
Xavier Oliver Olivella
Carlos Agelet de Saracíbar Bosch
Mecànica de medis
continus per a enginyers
Compilació:
Eduardo Vieira Chaves
Eduardo Car
EDICIONS UPC
Primera edició: juny de 2003
Reimpressió: novembre de 2011
Aquest obra compta amb el suport
de la Generalitat de Catalunya
En col·laboració amb el Servei de Llengües i Terminologia de la UPC.
Disseny de la coberta: Manuel Andreu
Traducció realitzada per Incyta
©
Els autors, 2003
©
Iniciativa Digital Politècnica, 2003
Oficina de Publicacions Acadèmiques Digitals de la UPC
Jordi Girona Salgado 31,
Edifici Torre Girona, D-203, 08034 Barcelona
Tel.: 934 015 885 Fax: 934 054 101
www.upc.edu/idp
E-mail:
[email protected]
Producció:
SERVICE POINT
Pau Casals, 161-163
08820 El Prat de Llobregat (Barcelona)
Dipòsit legal: B-33833-2003
ISBN: 978-84-9880-436-2
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només
es pot fer amb l’autorització dels seus titulars, llevat de l’excepció prevista a la llei.
Índex
1
Descripció del moviment
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
2
Definició de medi continu
Equacions del movimient
Descripcions del moviment
Derivades temporals: local, material, convectiva
Velocitat i acceleració
Estacionarietat
Trajectòria
Línia de corrent
Tub de corrent
Línia de traça
Superfície material
Superfície de control
Volum material
Volum de control
1
1
5
7
9
12
13
15
17
18
20
22
23
24
Descripció de la deformació
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
Introducció
Tensor gradient de deformació
Desplaçaments
Tensors de deformació
Variació de les distancies:
Estirament, allargament unitari
Variació d’angles
Interpretació física dels tensors de deformació
Descomposició polar
Variació de volum
Variació de l’àrea
Deformació infinitesimal
Deformació volumètrica
Velocitat de deformació
Derivades materials dels tensors de deformació
i altres magnituds
25
25
28
30
33
36
38
42
44
46
47
56
58
62
2.15 Moviments i deformacions en coordenades
cilíndriques i esfèriques
3
Equacions de compatibilitat
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
Introducció
Exemple preliminar: Equacions de compatibilitat
d’un camp vectorial potencial
Condicions de compatibilitat per a les
deformacions infinitesimals
Integració del camp de deformacions
infinitesimals
Equacions de compatibilidad i integració
del tensor velocitat de deformació
71
72
74
77
82
Tensió
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
5
65
Forces màssiques i superficials
Postulats de Cauchy
Tensor de tensions
Propietats del tensor de tensions
Tensor de tensions en coordenades
curvilínies ortogonals
Cercle de Mohr en 3 dimensions
Cercle de Mohr en 2 dimensions
Cercle de Mohr per a casos particulars
83
86
88
96
103
105
110
122
Equacions de conservació-balanç
5.1
5.2
5.3
5.4
Postulats de conservació-balanç
Flux per transport de massa o flux convectiu
Derivada local i derivada material
d’una integral de volum
Conservació de la massa. Equació de continuitat
125
125
129
134
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
6
Equación de balanç. Teorema del transport
de Reynolds
Expressió general de les equacions de balanç
Balanç de la quantitat de moviment
Balanç del moment de la quantitat
de moviment (moment angular)
Potència
Balanç de l’energia
Processos reversibles i irreversibles
Segon principi de la termodinàmica. Entropia
Equacions de la mecànica
de medis continus. Equacions constitutives
136
138
141
143
146
151
157
159
166
Elasticitat lineal
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
Hipòtesi de la teoría de l’elasticitat lineal
Equació constitutiva elàstica lineal.
Llei de Hooke generalitzada
Isotropia- Constants de Lamé- Llei de Hooke
per a elasticitat lineal isòtropa
Llei de Hooke en components esfèrics
i desviadors
Limitacions en els valors de las
propietats elàstiques
Plantejament del problema elàstic lineal
Resolució del problema elàstic lineal
Unicitat de la solució del problema elàstic lineal
Principi de Saint-Venant
Termoelasticitat lineal. Tensions
i deformacions tèrmiques
Analogies térmiques
Principi de superposició en
termoelasticitat lineal
Llei de Hooke en funció dels “vectors”
de tensió i de deformació
169
171
174
176
178
180
185
188
193
195
198
208
212
7
Elasticitat lineal plana
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
8
8.7
8.8
226
Introducció
Nocions prèvies
Espai de tensions principals
Models reològics de fricció
Comportament fenomenològic elastoplàstic
Teoria incremental de la plasticitat
en una dimensió
Plasticitat en tres dimensions
Superfícies de fluència. Criteris de falla
233
233
237
242
251
253
260
261
Equacions constitutives en fluids
9.1
9.2
9.3
9.4
10
215
215
219
222
223
Plasticitat
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
9
Introducció
Estat de tensió plana
Deformació plana
El problema elàstic lineal en elasticitat bidimensional
Problemes assimilables a elasticitat bidimensional
Corbes representatives dels estats
plans de tensió
Concepte de pressió
Equacions constitutives en mecànica de fluids
Equacions constitutives (mecàniques)
en fluids viscosos
Equacions constitutives (mecàniques)
en fluids newtonians
273
276
277
277
Mecànica de fluids
10.1 Equacions del problema de mecànica de fluids
285
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
11
Hidrostàtica. Fluids en repòs
Dinàmica de fluids: fluids perfectes barotròpics
Dinàmica de fluids: fluids viscosos (newtonians)
Condicions de contorn en la mecànica de fluids
Flux laminar i flux turbulent
287
293
303
309
313
Principis variacionals
11.1 Preliminars
11.2 Principi (teorema) dels treballs virtuals
11.3 Energia potencial. Principi de minimització
de l’energia potencial
317
323
328
Bibliografia
331
Presentació
Aquest text neix amb la vocació de ser una eina per a la formació dels
enginyers en la mecànica de medis continus. De fet, és el fruit de l'experiència
de molts anys en l'ensenyament d’aquesta disciplina a l'Escola d'Enginyers de
Camins de la Universitat Politècnica de Catalunya, tant en cursos de grau
(titulacions d'Enginyeria de Camins, Canals i Ports i Enginyeria Geològica)
com de postgrau (cursos de màster i de doctorat).
A diferència d'altres textos d'introducció a la mecànica de medis continus, el
que es presenta aquí està orientat específicament a l'enginyeria, i intenta
mantenir un equilibri adequat entre el rigor de la formulació matemàtica
utilitzada i la claredat dels principis físics tractats, encara que posant en tot
moment el primer al servei de la segona. En aquest sentit, en les
imprescindibles operacions vectorials i tensorials s'utilitzen simultàniament tant
la notació indicial (de més utilitat per a la demostració matemàtica rigorosa)
com la notació compacta (en la que s'entreveu amb més claredat la física del
problema), tot i que a mesura que s'avança en el text hi ha una clara tendència
cap a la notació compacta en un intent de focalitzar l'atenció del lector en el
component físic de la mecànica de medis continus.
El contingut del text està clarament dividit en dues parts que es presenten
seqüencialment. En la primera part (capítols d’1 a 5) s'introdueixen els aspectes
fonamentals i descriptius comuns a tots els medis continus (moviment,
deformació, tensió i equacions de conservació-balanç). En la segona (capítols
de 6 a 11) s'estudien famílies específiques de medis continus, com són els sòlids
i els fluids, en un plantejament que comença amb l’equació constitutiva
corresponent i acaba amb les formulacions clàssiques de la mecànica de sòlids
(elàstics-lineals i elastoplàstics) i de la mecànica de fluids (règim laminar).
Finalment, es fa una incursió breu en els principis variacionals (principi dels
treballs virtuals i de minimització de l'energia potencial) com a ingredients de
partida en la resolució de problemes de mecànica de medis continus mitjançant
mètodes numèrics. Aquesta estructura permet la utilització del text amb
propòsits docents tant en un únic curs d’unes 100 hores lectives, com en dos
cursos diferenciats: el primer basat en els cinc primers capítols i dedicat a la
introducció dels fonaments de la mecànica de medis continus i el segon dedicat
específicament a la mecànica de sòlids i la mecànica de fluids.
Finalment, els autors volen expressar el seu agraïment al doctor Eduardo Vieira
Chaves i al doctor Eduardo Car pel treball acurat de compilació d'una primera
versió d'aquest text a partir de les notes de classe i personals dels autors. Així
mateix, volen agrair al professor Ramón Codina els seus suggeriments i les
correccions oportunes sobre les primeres versions del text.
Barcelona, setembre de 2002
Xavier Oliver Olivella
i
Carlos Agelet de Saracíbar Bosch
1 Descripc i ó del
moviment
1.1 Definició de medi continu
S’entén per medi continu un conjunt infinit de partícules (que formen part, per
exemple, d’un sòlid, d’un fluid o d’un gas) que serà estudiat macroscòpicament,
és a dir, sense considerar les possibles discontinuïtats existents en el nivell
microscòpic (nivell atòmic o molecular). En conseqüència, s’admet que no hi
ha discontinuïtats entre les partícules i que la descripció matemàtica d’aquest
medi i de les seves propietats es pot fer mitjançant funcions contínues.
1.2 Equacions del moviment
La descripció més elemental del moviment del medi continu es pot dur a terme
mitjançant funcions matemàtiques que descriguin la posició de cada partícula al
llarg del temps. En general, es requereix que aquestes funcions i les seves
derivades siguin contínues.
Se suposa que el medi continu està format per infinites partícules (punts
materials) que ocupen diferents posicions de l’espai físic durant el seu moviment
al llarg del temps (vegeu la Figura 1-1). Es defineix com a configuració del medi
continu en l’instant t, que es denota per � t , el lloc geomètric de les posicions
que ocupen a l’espai els punts materials (partícules) del medi continu en
l’instant esmentat.
Definicions
Punt espacial: Punt fix a l’espai.
Punt material: Una partícula. Pot ocupar diferents punts espacials en el
seu moviment al llarg del temps.
Configuració: Lloc geomètric de les posicions que ocupen a l’espai les
partícules del medi continu per a un cert instant t.
N O T A
En general es prendrà
l’instant t0 � 0 com a
instant de referència.
A un cert instant t � t 0 de l’interval de temps d’interès se’l denomina instant de
referència, i a la configuració en l’instant esmentat � 0 se la denomina
configuració inicial, material o de referència.
2
1 Descripció del moviment
N O T A C I Ó
S’utilitzaran
indistintament les
notacions ( X , Y , Z ) i
Considerem ara el sistema de coordenades cartesianes ( X , Y , Z ) de la Figura
1-1 i la base ortonormal corresponent (eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 ) . En la configuració de
referència � 0 , el vector de posició X d’una partícula que ocupa un punt P a
l’espai (en l’instant de referència) ve donat per:
( X 1 , X 2 , X 3 ) per
X � X 1eˆ 1 � X 2 eˆ 2 � X 3 eˆ 3 � X i eˆ i
designar el sistema de
coordenades
cartesianes.
N O T A C I Ó
A la resta d’aquest text
s’utilitzarà la notació
d’Einstein o d’índexs
repetits. Qualsevol repetició
d’un índex en un mateix
monomi d’una expressió
algebraica suposa el
sumatori respecte a l’índex
esmentat. Exemples:
i �3
not
� X ieˆ i � X i eˆ i
i �1
k �3
� aik bkj
k �1
i �3 j �3
P
�0
ê 3
ê1
t
t � t0
X
�t
x
ê 2
�0
t0
�t
t
– Configuració de referència
– Instant de referència
– Configuració actual
– Instant actual
P’
X 2 ,Y
not
� a ik bkj
�� aij bij
i �1 j �1
X3,Z
(1.1)
not
� a ij bij
N O T A C I Ó
Es distingeix aquí entre
el vector (ens físic) X i
el seu vector de
components �X�.
Freqüentment s’obviarà
aquesta distinció.
N O T A C I Ó
Sempre que sigui
possible, es denotaran
amb lletres majúscules
les variables que es
refereixin a la
configuració de
referència � 0 i amb
lletres minúscules les
variables referides a la
configuració actual � t .
X1, X
Figura 1-1 – Configuracions del medi continu
on als components ( X 1 , X 2 , X 3 ) se’ls denomina coordenades materials (de la
partícula).
� X1 �
�X� � �� X 2 ��
�X �
� 3�
def
� coordenades materials
(1.2)
En la configuració actual � t , la partícula situada originalment en el punt
material P (vegeu la Figura 1-1) ocupa el punt espacial P' , i el seu vector de
posició x ve donat per:
x � x1eˆ 1 � x 2 eˆ 2 � x3 eˆ 3 � xi eˆ i
(1.3)
on a ( x1 , x 2 , x 3 ) se les denomina coordenades espacials de la partícula en l’instant
de temps t .
� x1 �
�x� � �� x2 ��
�x �
� 3�
def
� coordenades espacials
(1.4)
3
1 Descripció del moviment
El moviment de les partícules del medi continu es pot descriure ara per
l’evolució de les seves coordenades espacials (o del seu vector de posició) al
llarg del temps. Matemàticament això requereix conèixer una funció que per a
cada partícula (identificada per una etiqueta) proporcioni les seves coordenades
espacials xi (o el seu vector de posició espacial x ) en els instants de temps
successius. Com a etiqueta que caracteritza unívocament cada partícula se’n
poden escollir les coordenades materials X i i obtenir les equacions del moviment:
N O T A C I Ó
Amb un cert abús de la
notació es confondrà
freqüentment la funció
amb la seva imatge.
Així, les equacions de
moviment s’escriuran
sovint com
x � x ( X, t ) i les seves
not
�
� x � � � partícula ,t � � � � X ,t � � x � X ,t �
�
�� x i � �i � X1 , X 2 , X3 ,t � i � �1, 2,3�
que proporcionen les coordenades espacials en funció de les materials, i les
equacions del moviment inverses:
not
�
� X � ��1 �x ,t � � X( x ,t )
�
�� Xi � �i �1 � x1 , x 2 , x 3 ,t � i � �1, 2,3�
inverses com
X � X ( x, t ) .
(1.5)
(1.6)
que proporcionen les coordenades materials en funció de les espacials.
Observació 1-1
Hi ha diferents alternatives per escollir l’etiqueta que caracteritza una
partícula, encara que l’opció de prendre les seves coordenades
materials és la més comuna. Quan les equacions del moviment vénen
donades en funció de les coordenades materials com a etiqueta (com
en l’equació (1.5)), es parlarà de les equacions de moviment en forma
canònica.
Existeixen certes restriccions matemàtiques per garantir l’existència de � i de
� �1 , com també el seu significat físic correcte. Aquestes restriccions són:
�
�
�
�
� �X,0� � X ja que, per definició, X és el vector de posició en l’instant de
referència t � 0 (condició de consistència).
� � C 1 ( la funció � és contínua i amb derivades contínues en cada punt i
instant).
� és biunívoca (per garantir que dues partícules no ocupen simultàniament
el mateix punt de l’espai i que una partícula no ocupa simultàniament dos
punts diferents de l’espai).
� � ��X, t ��
�
� �X �
El jacobià de la transformació J � det �
not
�
���X, t �
�0.
�X
La interpretació física d’aquesta condició (que s’estudiarà més endavant) és que
qualsevol volum diferencial ha de ser sempre positiu o, utilitzant el principi de
conservació de la massa (que es veurà més endavant), la densitat de les partícules
ha de ser sempre positiva.
4
1 Descripció del moviment
R E C O R D A T O R I
Es defineix l’operador
de dos índexs Delta de
Kronecker
not
� � ij
�0 i � j
�1 i � j
El tensor unitat 1 de
com: � ij � �
Observació 1-2
En l’instant de referència t � 0
resulta x�X , t � t �0 � X . En
conseqüència x � X , y � Y , z � Z són les equacions del moviment
en l’instant de referència i el jacobià en l’instant esmentat és:
J �X,0 � �
segon ordre es defineix
llavors com �1�ij � � ij
� �x �
� ( xyz )
� det � i � � det � ij � det 1 � 1
� ( XYZ )
� �X j �
� �
Observació 1-3
L’expressió x � ��X , t � , particularitzada per a un valor fix de les
coordenades materials X , proporciona l’equació de la trajectòria de la
partícula (vegeu la Figura 1-2).
t1
X3,Z
tn
t0
�X 1 , X 2 , X 3 �
ê3
ê1
ê 2
trajectòria
X 2 ,Y
X1, X
Figura 1-2 – Trajectòria d’una partícula
Exemple 1-1 – La descripció espacial del moviment d’un medi continu ve donada per:
� x1 � X 1 e 2 t
� x � X e 2t
��
��
x(X, t ) � � x 2 � X 2 e �2 t
� � y � Y e �2 t
�
�
2t
2t
�� z � 5 X t � Z e
�� x 3 � 5 X 1 t � X 3 e
Obteniu les equacions del moviment inverses.
El determinant del jacobià resulta:
5
1 Descripció del moviment
�xi
J�
�X j
�x1
�X 1
�x
� 2
�X 1
�x 3
�X 1
�x1
�X 2
�x 2
�X 2
�x 3
�X 2
�x1
�X 3 e 2 t
�x 2
� 0
�X 3
5t
�x 3
�X 3
0
e
�2t
0
0
0 � e 2t � 0
e 2t
La condició suficient (però no necessària) perquè la funció x � �( X, t ) sigui
biunívoca (que existeixi la inversa) és que el determinant del jacobià de la
funció no sigui nul. A més, com que el jacobià és positiu, el moviment té sentit
físic. Per tant, la inversa de la descripció espacial donada existeix i ve
determinada per:
�
x1e �2 t
�X1 � �
�
�
�
�
2t
�1
X � � (x, t ) � � X 2 � � �
x2 e
�
� X � � x e �2 t � 5tx e �4 t �
1
� 3� � 3
�
1.3 Descripcions del moviment
La descripció matemàtica de les propietats de les partícules del medi continu es
pot fer mitjançant dues formes alternatives: la descripció material (generalment
utilitzada en mecànica de sòlids) i la descripció espacial (utilitzada generalment
en mecànica de fluids). Totes dues descripcions es diferencien essencialment
pel tipus d’argument (coordenades materials o coordenades espacials) que
apareix en les funcions matemàtiques que descriuen les propietats del medi
continu.
1.3.1 Descripció material
N O T A
La bibliografia sobre el
tema sol referir-se
també a la descripció
material com a descripció
lagrangeana.
En la descripció material es descriu certa propietat (per exemple la densitat � )
mitjançant certa funció � ��, t �: R 3 � R � � R � , on l’argument (�) en � ��, t � són
les coordenades materials. És a dir:
� � � �X, t � � � �X 1 , X 2 , X 3 , t �
(1.7)
Observeu que si es fixen els tres arguments X � ( X 1 , X 3 , X 3 ) de l’equació (1.7)
s’està seguint una partícula determinada (vegeu la Figura 1-3a), d’aquí prové la
denominació de descripció material.
1.3.2 Descripció espacial
N O T A
Sol denominar-se
també la descripció
espacial com a descripció
euleriana.
En la descripció espacial l’atenció se centra en un punt de l’espai. Es descriu la
propietat com una funció ���, t �: R 3 � R � � R � del punt de l’espai i del temps:
� � ��x, t � � ��x1 , x 2 , x 3 , t �
(1.8)
de manera que en assignar un cert valor a l’argument x en � � ��x, t � s’obté
l’evolució de la densitat per a les diferents partícules que van passant pel punt de
l’espai esmentat al llarg del temps (vegeu la Figura 1-3b). D’altra banda, en fixar
l’argument temps en l’equació (1.8) s’obté una distribució instantània (com una
6
1 Descripció del moviment
fotografia) de la propietat en l’espai. És evident que les equacions del moviment
directes i inverses permeten passar d’una descripció a l’altra de la forma:
�� � �x ,t � � � � x( X ,t ),t � � � � X ,t �
�
� � � X ,t � � � � X( x ,t ),t � � � �x ,t �
(1.9)
b)
a)
�X
X3,Z
*
,Y * ,Z * �
�x , y
�
t�0
*
t�2
t�0
X 3, Z
*
, z* �
�
t �1
t�2
t �1
X 2 ,Y
X1, X
X1, X
Figura 1-3 – Descripció material i espacial d’una propietat
Exemple 1-2 – Siguin les següents equacions del moviment:
� x � X � Yt
�
x � x �X, t � � � y � Xt � Y
� z � � Xt � Z
�
Obteniu la descripció espacial de la propietat descrita materialment mitjançant
� �X,Y,Z,t � �
X �Y � Z
1� t2
Les equacions del moviment estan donades en forma canònica, ja que a la
�x � X
�
configuració de referència � 0 s’obté: x � X�X,0� � � y � Y
�z � Z
�
�x �x �x
�X �Y �Z
1 �t 0
�xi
�y �y �y
�
El jacobià resulta: J �
1 0 �1� t2 � 0
� t
�X j
�X �Y �Z
�t 0 1
�z �z �z
�X �Y �Z
i les equacions del moviment inverses estan donades per:
7
1 Descripció del moviment
Si
ara
es
�
x � yt
�X �
1� t2
�
y � xt
�
X(x, t ) � �Y �
� t2
1
�
�
z � zt 2 � xt � yt 2
�Z �
1� t2
�
considera
la
descripció
material
de
la
propietat
X �Y � Z
� �X,Y,Z,t � �
és possible trobar la seva descripció espacial substituint1� t2
hi les equacions del moviment inverses. És a dir:
� �X,Y,Z,t � �
x � yt � y � z � zt 2 � yt 2
�1 � t �
2 2
� � �x,y,z,t �
1.4 Derivades temporals: local, material,
convectiva
La consideració de les diferents descripcions (material i espacial) de les
propietats del medi continu porta a diverses definicions de les derivades
temporals de les propietats esmentades. Considerem una certa propietat i les
seves descripcions material i espacial:
��X, t � � � �x, t �
(1.10)
on el pas de la descripció espacial a la material i viceversa es fa a través de les
equacions del moviment (1.5) i (1.6).
Definicions
N O T A C I Ó
La notació � ��, t �
Derivada local: Variació de la propietat respecte al temps en un punt fix
de l’espai. Si es disposa de la descripció espacial de la propietat, � (x, t ) , la
derivada local esmentada es pot escriure matemàticament com:
�t
s’entén en el sentit
clàssic de derivada
parcial respecte a la
variable t .
not
derivada local �
�� ( x, t )
�t
Derivada material: Variació de la propietat respecte al temps seguint una
partícula (punt material) específica del medi continu. Si es disposa de
la descripció material de la propietat, �( X, t ) , aquesta derivada material
es pot descriure matemàticament com:
not
derivada material �
d
��( X, t )
��
dt
�t
8
1 Descripció del moviment
Tanmateix, si es parteix de la descripció espacial de la propietat � (x, t ) i s’hi
consideren implícites les equacions del moviment:
� ( x, t ) � � ( x( X, t ), t ) � �( X, t )
(1.11)
es pot obtenir la derivada material (seguint una partícula) a partir de la descripció
espacial, com:
not
derivada material �
N O T A C I Ó
En la literatura s’utilitza
freqüentment la
d� �x�X, t �, t � �� (x, t ) �� �x i �� (x, t ) �� �x
�
�
�
�
�
�x �
�xi �t
�t
�t
�t
dt
Dt
dt
(1.12)
Desenvolupant l’equació (1.12) s’obté:
notació D (�) com a
alternativa a d (�) .
d
���X, t �
� �x�X, t �, t � �
dt
�t
(1.13)
v ( x,t )
on s’ha considerat la definició de la velocitat com la derivada respecte al temps
de les equacions de moviment (1.5)
�x( X, t )
� V ( X(x, t ), t ) � v (x, t )
�t
(1.14)
L’obtenció de la derivada material a partir de la descripció espacial es pot
generalitzar per a qualsevol propietat � (x, t ) (de caràcter escalar, vectorial o
tensorial):
d� (x, t )
dt�
�
��
�
N O T A C I Ó
Es considera aquí la
forma simbòlica de
l’operador Nabla
derivada material
�
�� (x, t )
�t�
�
��
�
derivada local
�
v ( x, t ) � � � ( x, t )
�������
(1.15)
derivada convectiva
espacial: � � � eˆi
�x i
Observació 1-4
L’equació (1.15) defineix implícitament la derivada convectiva v � ��� �
com la diferència entre les derivades material i local de la propietat. El
terme convecció s’aplica, en mecànica de medis continus, a fenòmens
relacionats amb el transport de massa (o de partícules). Observeu que
si no hi ha convecció ( v � 0 ) la derivada convectiva desapareix i les
derivades local i material coincideixen.
Exemple 1-3 – Atesa la següent equació del moviment
� x � X � Yt � Zt
�
� y � Y � 2 Zt
� z � Z � 3 Xt
�
i la descripció espacial d’una propietat ��x, t � � 3 x � 2 y � 3t , calculeu-ne la derivada
material.
La descripció material de la propietat s’obté reemplaçant les equacions del
moviment en l’expressió espacial:
� �X,Y,Z,t � � 3�X � Yt � Zt � � 2�Y � 2Zt � � 3t � 3 X � 3Yt � 7 Zt � 2Y � 3t
1 Descripció del moviment
9
La derivada material es pot obtenir en primera instància com la derivada
respecte al temps en la descripció material, és a dir:
��
� 3Y � 7 Z � 3
�t
Una altra alternativa per al càlcul de la derivada material és utilitzar el concepte
de derivada material de la descripció espacial de la propietat:
d� ��
� v � ��
�
dt �t
�x
��
T
T
� �Y � Z, 2 Z, 3 X � �� � �3,2,0�
�3 v�
�t
�t
Reemplaçant en l’expressió de l’operador derivada material es té:
d�
� 3 � 3Y � 7 Z
dt
Observeu que les expressions de la derivada material de la propietat obtingudes
a partir de la descripció material,
coincideixen.
��
d�
, o de la descripció espacial,
,
�t
dt
1.5 Velocitat i acceleració
Definició
Velocitat: Derivada temporal de les equacions del moviment.
La descripció material de la velocitat ve donada, en conseqüència, per:
�
�x � X ,t �
��V � X ,t � �
�t
�
x
�
�V X ,t � i � X ,t �
�
i�
�t
��
(1.16)
i � { 1, 2 ,3 }
i si es disposa de les equacions inverses del moviment X � � �1 �x, t � és possible
obtenir la descripció espacial de la velocitat com:
v �x, t � � V ( X ( x, t ), t )
(1.17)
Definició
Acceleració: Derivada material del camp de velocitats.
Si es té la velocitat descrita en forma material, es pot trobar la descripció
material de l’acceleració com:
10
1 Descripció del moviment
�V �X, t �
�t
�Vi �X, t �
A i �X, t � �
�t
A�X, t � �
(1.18)
i a través de les equacions inverses del moviment X � � �1 �x, t � , es pot passar a
la descripció espacial a�x, t � � A�X�x, t �, t � . Com a alternativa, si es disposa de la
descripció espacial de la velocitat, es pot obtenir directament la descripció
espacial de l’acceleració aplicant l’equació (1.15) per obtenir la derivada material
de v�x, t � :
a�x, t � �
dv�x, t � �v �x, t �
� v�x, t � � �v �x, t �
�
dt
�t
(1.19)
Exemple 1-4 – Considerem un sòlid (vegeu la Figura 1-4) que gira amb velocitat angular
� constant i que té com a equació del moviment:
� x � R sin��t � � �
�
� y � R cos��t � ��
Trobeu la velocitat i l’acceleració del moviment descrites en forma material i espacial.
t�0
Y
P
�
t
R
P’
�t
R
Figura 1-4
X
Les equacions del moviment es poden reescriure com:
x � R sin ��t � � � � R sin ��t � cos � � R cos��t � sin�
y � R cos��t � �� � R cos��t �cos � � R sin ��t � sin�
� X � R sin�
, les formes canòniques de l’equació del
�Y � R cos�
i, com que per a t � 0 � �
moviment i de la seva inversa queden:
� x � X cos��t � � Y sin��t �
�
� y � � X sin ��t � � Y cos��t �
a.1) Velocitat en descripció material
�x
�
Vx �
� � X � sin��t � � Y � cos��t �
�t
�V � �y � � X � cos��t � � Y � sin��t �
y
�t
��
�x�X, t � ��
V �X, t � �
��
�t
� X � x cos��t � � y sin��t �
�
�Y � x sin��t � � y cos��t �
1 Descripció del moviment
11
a.2) Velocitat en descripció espacial
Substituint els valors x i y donats en la forma canònica vista anteriorment, és
possible obtenir la forma espacial de la velocitat com:
�
�x
�
��v x � �t � � y �� � � y �
v�x, t � � �
�
���
�v � �y � �� x � �� � x �
�� y �t
��
b.1) Acceleració en descripció material
A�X, t � �
�V �X, t �
�t
�
� �v x
2
2
�� �t � � X� cos��t � � Y� sin��t ���
�
2 � X cos��t � � Ysin��t �
A�X , t � � �
�
���� �
�� Xsin��t � � Y cos��t ��
� �v y � X� 2 sin��t � � Y� 2 cos��t � �
��
�� �t
b.2) Acceleració en descripció espacial
Substituint les equacions del moviment inverses en l’equació anterior:
��a x � �� 2 x ��
a�x, t � � A( X(x, t ), t ) � �
2 �
��a y � �� y ��
Aquesta mateixa expressió es podria obtenir si es considera l’expressió de la
velocitat v �x, t � i l’expressió de la derivada material en (1.15):
dv �x, t � �v�x, t �
�
� v�x, t � � �v �x, t � �
a ( x, t ) �
dt
�t
���
� �x �
� � �y �
� �
� � ��y � �x � � � � ��y � �x� �
�t �� �x �
� �
�� �y ��
�
��
�
� �x ��y � �x �� �x �� ��� � 2 x ��
�0�
� � � � ��y � �x � � �
�� �
�
�
�0�
� ��y �
�� �x �� ��� � 2 y ��
�y
� �y
�
Observeu que el resultat obtingut pels dos procediments és idèntic.
12
1 Descripció del moviment
1.6 Estacionarietat
Definició
Una propietat és estacionària quan la seva descripció espacial no depèn
del temps.
D’acord amb la definició anterior i amb el concepte de derivada local,
qualsevol propietat estacionària té la seva derivada local nul·la. Per exemple, si
la velocitat per a un cert moviment és estacionària, es pot descriure
espacialment com:
v�x, t � � v�x � �
�v�x, t �
�0
�t
(1.20)
Observació 1-5
La independència del temps de la descripció espacial (estacionarietat)
suposa que per a un mateix punt de l’espai la propietat en qüestió no
varia al llarg del temps. Això no implica que, per a una mateixa partícula,
la propietat no variï amb el temps (la descripció material pot dependre
del temps). Per exemple, si la velocitat v �x, t � és estacionària
� v�x, t � � v�x � � v�x( X, t ) � � V ( X, t )
així doncs, la descripció material de la velocitat depèn del temps. Per a
un cas de densitat estacionària (vegeu la Figura 1-5), per a dues
partícules d’etiquetes X1 i X 2 que varien la seva densitat al llarg del
temps, en passar per un mateix punt espacial x (en dos instants
diferents t1 i t 2 ) prendran el mateix valor de la densitat
( � �X1 , t1 � � � �X 2 , t 2 � � ��x � . És a dir, per a un observador situat a
l’exterior del medi, la densitat en el punt fix de l’espai x serà sempre
la mateixa.
Y
X
1
��x �
X
x
2
Figura 1-5 – Moviment amb densitat estacionària
X
1 Descripció del moviment
13
Exemple 1-5 – En l’Exemple 1-4 es té un camp de velocitat la descripció
� y�
� . És a dir, es tracta d’un cas en què la
���x�
�
espacial de la qual és: v �x � � �
descripció espacial de la velocitat no depèn del temps i la velocitat és
estacionària. És evident que això no implica que la velocitat de les partícules
(que tenen un moviment de rotació uniforme respecte a l’origen, amb velocitat
angular � ) no depengui del temps (vegeu la Figura 1-6). La direcció del vector
velocitat per a una mateixa partícula és tangent a la seva trajectòria circular i va
variant al llarg del temps.
t0
P
Y
�
v0
R
�t
P’
R
Figura 1-6
t
vt
X
L’acceleració (derivada material de la velocitat) apareix pel canvi de la direcció
del vector velocitat de les partícules i és coneguda com a acceleració centrípeta:
a�x � �
dv �x � �v�x �
� v �x � � �v�x � � v �x � � �v�x �
�
�t
dt
1.7 Trajectòria
Definició
Trajectòria: Lloc geomètric de les posicions que ocupa una partícula a
l’espai al llarg del temps.
L’equació paramètrica en funció del temps d’una trajectòria s’obté
particularitzant les equacions del moviment per a una determinada partícula
(identificada per les seves coordenades materials X * , vegeu la Figura 1-7):
x(t ) � ��X, t �
X � X*
(1.21)
Ateses les equacions del moviment x � ��X, t �, per cada punt de l’espai passa
una trajectòria caracteritzada pel valor de l’etiqueta (coordenades materials) X .
Les equacions del moviment defineixen llavors una família de corbes els
elements de les quals són les trajectòries de les diverses partícules.
14
1 Descripció del moviment
Y
t
t0
X*
x
X
Figura 1-7 – Trajectòria d’una partícula
1.7.1 Equació diferencial de les trajectòries
Donat el camp de velocitats en descripció espacial v�x, t � , és possible obtenir
la família de trajectòries plantejant el sistema d’equacions diferencials que
imposa que, en cada punt de l’espai x , el vector velocitat sigui la derivada
respecte al temps de l’equació paramètrica de les trajectòries donada per
l’equació (1.21).
� dx(t )
�� dt � v �x(t ), t �
Trobar x(t ) :� �
� dxi (t ) � v �x(t ), t � i � {1,2,3}
i
�� dt
(1.22)
La solució del sistema d’equacions diferencials de primer ordre (1.22) dependrà
de tres constants d’integració (C1 , C 2 , C 3 ) :
�x � �(C1, C 2, C 3, t )
�
� xi � � i �C1 , C 2 , C 3 , t �
i �{1,2,3}
(1.23)
Les expressions (1.23) constitueixen una família de corbes a l’espai
parametritzada per les constants (C1 , C 2 , C 3 ) . Assignant un valor determinat a
les constants esmentades s’obté un membre de la família que és la trajectòria
d’una partícula caracteritzada per l’etiqueta (C1 , C 2 , C 3 ) .
Per obtenir les equacions en forma canònica s’imposa la condició de
consistència en la configuració de referència:
x(t ) t �0 � X �
X � �(C1, C 2, C 3 ,0) � C i � � i ( X) i � {1,2,3}
(1.24)
i substituint en l’equació (1.23) s’obté la forma canònica de l’equació de les
trajectòries:
x � ��C1 �X �, C 2 �X �, C 3 �X �, t � � ��X, t �
Exemple 1-6 – Considereu el camp de velocitats de l’Exemple 1-5:
� � y�
�
�� � x �
v�x, t � � �
Obteniu l’equació de les trajectòries.
(1.25)
1 Descripció del moviment
15
Utilitzant l’expressió (1.22), es pot escriure:
� dx�t �
�� dt � v x �x, t � � �y
dx�t �
� v �x, t � � �
dt
� dy �t � � v �x, t � � ��x
y
�� dt
El sistema anterior d’equacions diferencials és un sistema de variables creuades.
Si es deriva la segona equació i se substitueix el resultat en la primera s’obté:
d 2 y �t �
dx �t �
� ��
� ��2 y �t � � y´´� �2 y � 0
dt 2
dt
Equació característica: r 2 � �2 � 0
Solucions característiques: rj � � i �
�
Solució : y (t ) � Part Real C1e
iwt
j �{1,2}
�
� C 2 e � iwt � C1 cos��t � � C 2 sin ��t �
1 dy
dy
,i
La solució per a x (t ) s’obté a partir de
� ��x que resulta en x � �
dt
� dt
s’obté així:
� x�C1 , C 2 , t � � C1 sin��t � � C 2 cos��t �
�
� y �C1 , C 2 , t � � C1 cos��t � � C 2 sin��t �
Les equacions anteriors proporcionen les expressions de les trajectòries en
forma no canònica. La forma canònica s’obté considerant la condició inicial:
és a dir:
x�C1 , C 2 ,0 � � X
� x �C1 , C2 ,0� � �C2 � X
�
� y �C1 , C2 ,0� � C1 � Y
Així, les equacions del moviment, o equació de les trajectòries, en forma
canònica són:
� x � Y sin��t � � X cos��t �
�
� y � Y cos��t � � X sin ��t �
1.8 Línia de corrent
N O T A
Donat un camp
vectorial es defineixen
les seves envolupants
com la família de
corbes el vector tangent
de les quals, en cada
punt, coincideix
en direcció i sentit amb
el vector corresponent
del camp vectorial.
Definició
Línies de corrent: Família de corbes que, per a cada instant de temps,
són les envolupants del camp de velocitats.
D’acord amb la seva definició, la tangent en cada punt d’una línia de corrent té
la mateixa direcció i sentit (encara que no necessàriament la mateixa magnitud)
que el vector de velocitat en el punt.
16
1 Descripció del moviment
Y
temps - t 0
v
temps - t1
Y
X
X
Figura 1-8 – Línies de corrent
Observació 1-6
En el cas més general el camp de velocitats (descripció espacial) serà
diferent per a cada instant de temps ( v � v (x, t ) ). Caldrà parlar, en
conseqüència, d’una família diferent de línies de corrent per a cada
instant de temps (vegeu la Figura 1-8).
1.8.1 Equació diferencial de les línies de corrent
Considereu un instant de temps donat t * i la descripció espacial del camp de
velocitats en l’instant esmentat v(x, t * ) . Sigui x(�) l’equació d’una línia de
corrent parametritzada en funció d’un cert paràmetre � . El vector tangent a la
línia de corrent queda definit, per a cada valor de � per
tangència del camp de velocitats es pot escriure com:
N O T A
Se suposa que el valor
del paràmetre � es tria
de forma que en cada
punt x de l’espai,
dx(� ) no només té la
d�
direcció del vector
v �x, t � , sinó que hi
coincideix.
� dx(� )
*
�� d� � v x(� ), t
Trobar x(� ) :� �
� dxi (� ) � v x(� ), t *
i
�� d�
�
dx(�)
i la condició de
d�
�
�
�
(1.26)
i � {1,2,3}
Les equacions (1.26) constitueixen un sistema d’equacions diferencials de
primer ordre la solució del qual per a cada instant de temps t * , que dependrà
de tres constants d’integració ( C1' , C 2' , C 3' ), proporciona l’expressió paramètrica
de les línies de corrent:
��x � �(C1' , C 2' , C 3' , �, t * )
�
�� xi � � i (C1' , C 2' , C 3' , �, t * )
i �{1,2,3}
(1.27)
Cada tripleta de constants d’integració ( C1' , C 2' , C 3' ) identifica una línia de
corrent de la qual s’obtenen els punts, al seu torn, assignant valors al paràmetre
� . Per a cada instant de temps t * s’obté una nova família de línies de corrent.
1 Descripció del moviment
17
Observació 1-7
Si es té un camp de velocitats estacionari ( � v( x, t ) � v( x) ), les
trajectòries i línies de corrent coincideixen. La justificació d’aquest fet es pot
fer des de dues òptiques diferents:
�
La no-aparició del temps al camp de velocitats en les equacions
(1.22) i (1.26) motiva que les equacions diferencials que defineixen
les trajectòries i les que defineixen les línies de corrent només
difereixin en la denominació del paràmetre d’integració ( t o �
respectivament). La solució de tots dos sistemes ha de ser, per
tant, la mateixa, llevat pel nom del paràmetre utilitzat en els dos
tipus de corbes.
�
Des d’un punt de vista més físic: a) Si el camp de velocitats és
estacionari les seves envolupants (les línies de corrent) no varien
amb el temps; b) una partícula determinada recorre l’espai
mantenint la trajectòria en la direcció tangent al camp de
velocitats que va trobant al llarg del temps; c) per tant, si una
trajectòria comença en un punt de certa línia de corrent, es manté
sobre aquesta al llarg del temps.
1.9 Tub de corrent
Definició
Tub de corrent: Superfície constituïda per un feix de línies de corrent
que passen pels punts d’una línia tancada, fixa a l’espai i que no
constitueix una línia de corrent.
En casos no estacionaris, malgrat que la línia tancada no varia, el tub de corrent
i les línies de corrent sí que ho fan. Al contrari, per al cas estacionari el tub de
corrent roman fix a l’espai al llarg del temps.
1.9.1 Equació del tub de corrent
Les línies de corrent constitueixen una família de corbes del tipus:
x � f �C1 , C 2 , C 3 , �, t �
(1.28)
El problema consisteix a determinar per a cada instant de temps quines corbes
de la família de corbes de les línies de corrent passen per una línia tancada i fixa
a l’espai �, del qual l’expressió matemàtica parametritzada en funció d’un
paràmetre s és:
� :�
x � g�s �
(1.29)
18
1 Descripció del moviment
Per a això s’imposa la condició de pertinença d’un mateix punt a les dues
corbes, en termes dels paràmetres �* i s * :
� � �
g s * � f C1 , C 2 , C 3 , �* , t
�
(1.30)
Amb això s’obté un sistema de tres equacions del qual es pot aïllar, per
exemple, s * , �* , C 3 , és a dir:
s * � s * �C1 , C 2 , t �
�* � �* �C1 , C 2 , t �
(1.31)
C 3 � C 3 �C1 , C 2 , t �
Substituint (1.31) en (1.30) s’obté:
x � f �C1 , C 2 , C 3 �C1 , C 2 , t �, � �C1 , C 2 , t �, t � � h�C1 , C 2 , t �
(1.32)
que constitueix l’expressió parametritzada (en funció dels paràmetres C1 , C 2 )
del tub de corrent, per a cada instant t (vegeu la Figura 1-9).
t
s �1
s�0
Z
� � 0,1,2...
*
*
s ;�
Y
X
Figura 1-9 – Tub de corrent
1.10 Línia de traça
Definició
Línia de traça, relativa a un punt fix a l’espai x * denominat punt
d’abocament i a un interval de temps denominat temps d’abocament
�t i , t f �, és el lloc geomètric de les posicions que ocupen en un instant
t , totes les partícules que han passat per x * en un instant
� � �t i , t � � �t i , t f �.
La definició anterior correspon al concepte físic de la línia de color (traça) que
s’observaria en el medi en l’instant t , si s’aboqués un colorant en el punt
d’abocament x * durant l’interval de temps [t i , t f ] (vegeu la Figura 1-10).
19
1 Descripció del moviment
�x , y
*
*
� � ti
, z * � punt d’abocament
� � t1
z
� � t2
� �tf
t
y
x
Figura 1-10 – Línia de traça
1.10.1 Equació de la línia de traça
Per determinar l’equació de la línia de traça és necessari identificar les partícules
que passen pel punt x * en els instants corresponents � . A partir de les
equacions del moviment donades per (1.5) i (1.6) es tracta de determinar quina
és l’etiqueta de la partícula que en l’instant de temps � passa pel punt
d’abocament. Per a això es planteja:
x * � x�X, ��
xi*
� xi �X, ��
��
� � X � f ���
i �1,2,3��
(1.33)
Substituint (1.33) en les equacions del moviment (1.5) s’obté:
x � � �f �� �, t � � g( �, t )
�
� � �ti , t �� ti , t f
�
(1.34)
L’expressió (1.34) constitueix, per a cada instant t , l’expressió paramètrica (en
termes del paràmetre � ) d’un segment curvilini a l’espai que és la línia de traça
en l’instant esmentat.
Exemple 1-7 – Sigui un moviment definit per les equacions del moviment següents:
x � �X � Y � t 2 � X cos t
y � �X � Y �cos t � X
Obteniu l’equació de la línia de traça associada al punt d’abocament x * � �0,1� per al
període d’abocament [t 0 ,��) .
Les coordenades materials de la partícula que han passat pel punt d’abocament
en l’instant � estan donades per:
�
��2
�
X
�
2
2
0��X �Y� �2 � X cos � � � � �cos �
���
1��X �Y�cos �� X � � �2 �cos�
�Y � �2 �cos2�
�
Per tant, l’etiqueta de les partícules que han passat pel punt d’abocament des de
l’instant d’inici d’abocament t 0 fins a l’instant actual t queda definida per:
20
1 Descripció del moviment
�
� �2
2
2 �
� � cos � �
� � � �t 0 , t � � �t 0 , � � � �t 0 , t �
� 2 � cos � �
Y� 2
� � cos 2 � ��
X�
D’aquí, substituint en les equacions del moviment, s’obtenen les equacions de
la línia de traça:
�
�� x � 2
�
x � g (�, t ) � �
�y �
��
�2
cos �
� �2
2
t
cos t
�
� 2 � cos 2 �
� cos 2 �
cos �
� �2
t
cos
�
� 2 � cos 2 �
� cos 2 �
� � �t 0 , t �
Observació 1-8
En un problema estacionari les línies de traça són segments de les
trajectòries (o de les línies de corrent). La justificació es basa en el fet
que en el cas estacionari la trajectòria segueix l’envolupant del camp
de velocitats que roman constant amb el temps. Si es considera un
punt d’abocament, x * , totes les partícules que passen per aquest punt
seguiran porcions (segments) de la mateixa trajectòria.
1.11 Superfície material
Definició
Superfície material: Superfície mòbil a l’espai constituïda sempre per les
mateixes partícules (punts materials).
En la configuració de referència � 0 la superfície � 0 es podrà definir en
termes d’una funció de les coordenades materials F ( X , Y , Z ) com:
� 0 :� { X , Y , Z
| F �X,Y,Z � � 0}
Observació 1-9
La funció F ( X , Y , Z ) no depèn del temps, cosa que garanteix que les
partícules, identificades per la seva etiqueta, que compleixen l’equació
F ( X , Y , Z ) � 0 són sempre les mateixes d’acord amb la definició de
superfície material.
(1.35)
21
1 Descripció del moviment
Z
� 0 :� � X F � X , Y , Z � � 0�
t�0
� t :� � x
��X , t �
f �x, y, z , t � � 0�
�0
t
�t
Y
X
Figura 1-11 – Superfície material
La descripció espacial de la superfície s’obtindrà a partir de la descripció
espacial de F ( X(x, t ) � f ( x, y, z , t ) :
� t :� {x, y, z |
f �x, y, z,t � � 0}
Observació 1-10
La funció f ( x, y, z , t ) depèn explícitament del temps, cosa que
estableix que els punts de l’espai que estaran sobre la superfície varien
amb el temps. Aquesta dependència del temps de la descripció
espacial de la superfície li confereix el seu caràcter de superfície mòbil
en l’espai (vegeu la Figura 1-11).
Observació 1-11
Condició necessària i suficient perquè una superfície mòbil a l’espai,
definida implícitament per una funció f ( x, y , z, t ) � 0 , sigui material
(estigui constituïda sempre per les mateixes partícules) és que la derivada
material de f ( x, y , z , t ) sigui nul·la:
df (x, t ) �f
�
� v � �f � 0
�t
dt
�x � � t �t
La condició és necessària ja que si la superfície és material, la seva
descripció material no depèn del temps ( F � F (X ) ) i, per tant, la seva
descripció espacial té derivada material nul·la. La condició de suficiència
es fonamenta en què, si la derivada material de f ( x, t ) és nul·la, la
descripció material corresponent no depèn del temps ( F � F (X) ) i,
per tant, el conjunt de partícules (identificades per les seves
coordenades materials) que compleixen la condició F ( X ) � 0 és
sempre el mateix.
(1.36)
22
1 Descripció del moviment
Exemple 1-8 – En la teoria d’onatge s’imposa la condició que la superfície
lliure del fluid que està en contacte amb l’atmosfera sigui una superfície
material. És a dir, aquesta restricció suposa que la superfície lliure està formada
sempre per les mateixes partícules (hipòtesi raonable, sobretot en aigües
profundes).
Si se suposa que z � ��x, y , t � defineix l’altura de la superfície del mar respecte
a un nivell de referència, la superfície lliure de l’aigua vindrà definida per:
f �x, y , z, t � � z � ��x, y , t � � 0 .
z
superfície lliure
y
x
z � � �x, y, t � cota de
la superfície lliure
Figura 1-12
df
La condició
� 0 s’escriu com:
dt
��
�f
��
�t
�t
� �f �
�
�
� �x �
�f
�f
�f
� �f �
� vx
� vy
� vz
v � �f � v x v y v z �
�
�
�x
�y
�z
� y �
� �f �
� �z �
�
�
df �f
��
��
��
� vz � 0 �
� vy
�
� vx
� v � �f � �
dt �t
�y
�x
�t
��
��
��
vz �
� vx
�vy
�t
�x
�y
�
�
És a dir, la condició de superfície material es tradueix en una condició sobre el
component vertical del camp de velocitats.
1.12 Superfície de control
Definició
Superfície de control: Superfície fixa a l’espai.
La seva descripció matemàtica ve donada per:
� :� � x |
f �x, y, z � � 0�
(1.37)
1 Descripció del moviment
23
És evident que una superfície de control és travessada per les diferents
partícules del medi continu al llarg del temps (vegeu la Figura 1-13)
�
Z
Y
X
Figura 1-13 – Superfície de control
1.13 Volum material
Definició
Volum material: Volum limitat per una superfície material tancada.
N O T A
S’entén la funció
F (X) definida de
manera que F ( X) � 0
correspon a punts de
l’interior de V0
La descripció matemàtica del volum material V (vegeu la Figura 1-14) ve
donada per:
V0 :� � X | F �X � � 0�
(1.38)
en la descripció material, i per:
Vt :� � x |
f �x, t � � 0�
(1.39)
en la descripció espacial, sent F ( X) � f �x( X, t ), t � la funció que descriu la
superfície material que el tanca.
Observació 1-12
Un volum material està constituït sempre per les mateixes partícules.
La justificació es fa per reducció a l’absurd: si una certa partícula
pogués entrar o sortir del volum material s’incorporaria en el seu
moviment a la superfície material (almenys per un instant de temps).
Això seria contrari al fet que la superfície, per ser material, està
formada sempre per les mateixes partícules.
24
1 Descripció del moviment
t
t�0
V0
Vt
f �x, t � � 0
Y
X
Figura 1-14 – Volum material
1.14 Volum de control
Definició
Volum de control: Conjunt de punts de l’espai situats a l’interior d’una
superfície de control tancada.
N O T A
S’entén la funció f (x)
Es tracta d’un volum fix a l’espai que és travessat per les partícules del medi
durant el seu moviment. La seva descripció matemàtica és:
V :� � x |
definida de manera que
f (x) � 0 correspon a
f �x � � 0�
(1.40)
punts de l’interior de
V
z
V
f �x � � 0
y
x
Figura 1-15 – Volum de control
2 Descripc i ó de la
deformació
2.1 Introducció
Definició
Deformació: en el context més general, el concepte deformació es refereix
a l’estudi no ja del moviment absolut de les partícules tal com es va fer
en el capítol 1, sinó del moviment relatiu, respecte a una partícula
determinada, de les partícules situades en un entorn diferencial d’aquella.
2.2 Tensor gradient de deformació
Considerem en el medi continu en moviment de la Figura 2-1 una partícula P
en la configuració de referència � 0 , que ocupa el punt de l’espai P ' en la
configuració actual � t , i una partícula Q situada en un entorn diferencial de
P , amb posicions relatives en els instants de referència i actual donades per
dX i dx , respectivament.
t0
X 3 , x3
dX
X
X 1 , x1
Q
ê 2
t
P´
�0
�t
x
ê 3
ê1
��X , t �
P
dx
Q´
X 2 , x2
Figura 2-1
Siguin
not
�
�x � ��X, t � � x�X, t �
�
not
� x � � �X , X , X , t � � x � X , X , X , t �
i
i
1
2
3
1
2
3
� i
i � �1,2,3�
(2.1)
26
2 Descripció de la deformació
les equacions del moviment. Diferenciant (2.1) respecte a les coordenades
materials X resulta:
�xi
�
�dxi � �X dX j i, j � {1,2,3}
Equació fonamental
j
�
�
� �
F
de la deformació
ij
�
�dx � F � dX
�
N O T A C I Ó
Es considera aquí la
forma simbòlica de
l’operador nabla material:
��
�
ê i
�X i
aplicada a l’expressió
del producte tensorial o
obert:
�a � b�ij
� ai b j
not
� �a b �ij �
(2.2)
L’equació (2.2) defineix el tensor gradient material de la deformació F( X, t ) :
� not
F � x��
Tensor gradient material
��
� �
�xi
de la deformació
� Fij �
�X j
��
i, j � {1,2,3}
(2.3)
Els components explícits del tensor F vénen donats per:
� �x1
�
� �X 1
� x1 �
� �
�
� � � �x 2
�
�
�F� � x � � � � x 2 � �
��
�X 1 �X 2 �X 3 � � �X 1
�
�� x3 �� ��������� �
�
� �x3
T
�x �
�
�� �X 1
�
�x1
�X 2
�x 2
�X 2
�x3
�X 2
�
�x1 �
�
�X 3 �
�x 2 �
�X 3 �
�
�x3 �
�X 3 ��
(2.4)
Observació 2-1
El tensor gradient de la deformació F( X, t ) conté la informació del
moviment relatiu, al llarg del temps t , de totes les partícules materials
en l’entorn diferencial d’una d’elles, identificada per les seves
coordenades materials X . Efectivament, l’equació (2.2) proporciona
l’evolució del vector de posició relatiu dx en funció de la posició
relativa dX corresponent en l’instant de referència. En aquest sentit,
si es coneix el valor de F( X, t ) es disposa de la informació associada
al concepte general de deformació definida a la secció 2.1
2.2.1 Tensor gradient de la deformació invers
Considerant ara les equacions de moviment inverses:
not
�
�1
�X � � �x, t � � X�x, t �
�
not
� X � � �1 �x , x , x , t � � X �x , x , x , t �
1
2
3
2
3
i
i 1
� i
i � �1,2,3�
i diferenciant (2.5) respecte a les coordenades espacials xi , resulta:
(2.5)
27
2 Descripció de la deformació
�X i
�
�dX i � �x dx j i, j �{1,2,3}
j
���
��
�
F�1
�
ij
�
�1
��dX � F � dx
(2.6)
El tensor definit per l’equació (2.6) s’anomena tensor gradient espacial de la
deformació o tensor gradient (material) de la deformació invers i ve caracteritzat per:
N O T A C I Ó
Es considera aquí la
forma simbòlica de
l’operador nabla espacial
��
�
ê i .
�xi
Cal observar la
diferència de notació
entre l’ esmentat
operador espacial ( � )i
l’operador nabla material
( � ).
Tensor gradient espacial
de la deformació
� �1 not
��F � X � �
� � �1 �X
i
i, j � {1,2,3}
� Fij �
�x j
��
(2.7)
Els components explícits del tensor F �1 vénen donats per:
�F �
�1
� �X 1
�
� �x1
� X1 �
� �
�
� � � �X 2
�
�
� �X � � � � � X 2 � �
��
�x1 �x 2 �x3 � � �x1
�
�� X 3 �� ��������
� �
�
��
T
� �X 3
�
�
�
�X�
�� �x1
�X 1
�x 2
�X 2
�x 2
�X 3
�x 2
�X 1 �
�
�x 3 �
�X 2 �
�x 3 �
�
�X 3 �
�x 3 ��
(2.8)
Observació 2-2
R E C O R D A T O R I
Es defineix l’operador
de dos índexs delta de
Kronecker � ij com:
�1 si i � j
� ij � �
�0 si i � j
El tensor unitat de 2n
ordre 1 ve definit per:
�1�ij � � ij .
El tensor gradient espacial de la deformació, denotat a (2.6) i (2.7)
mitjançant F �1 , és efectivament l’invers del tensor gradient (material)
de la deformació F . La comprovació és immediata atès que:
�xi
�
Xk
�
F
ik
�X k �xi not
� � ij
�
�x j �x j
�
F� 1
kj
�X i not
�X i �x k
� � ij
�
�x k �X j �X j
�
�
F� 1 F
ik
� F � F �1 � 1
� F �1 � F � 1
kj
Exemple 2-1 – Per a un determinat instant, el moviment d’un medi continu ve definit per:
x1 � X 1 � AX 3 , x 2 � X 2 � AX 3 , x3 � � AX 1 � AX 2 � X 3 .
Obteniu el tensor gradient material de la deformació F(X) en l’instant esmentat. A partir de
les equacions de moviment inverses, obteniu el tensor gradient espacial de la deformació
F �1 (x) . Amb els resultats obtinguts, comproveu que F � F �1 � 1 .
a) Tensor gradient material de la deformació:
28
2 Descripció de la deformació
��
F � x � � � �x � � �
T
X 1 � AX 3
�
�
��� � ,
� ��
X 2 � AX 3
� � �X
��� AX 1 � AX 2 � X 3 �� � 1
� 1 0 � A�
� �� 0 1 � A��
��� A A 1 ��
�
� �
,
��
�X 2
�X 3 �
b) Equacions de moviment inverses: De la inversió algebraica de les equacions de
moviment s’obté:
� X 1 � (1 � A 2 ) x1 � A 2 x 2 � A x3
��
X(x, t ) � � X 2 � A 2 x1 � (1 � A 2 ) x 2 � A x3
�X � A x � A x � x
1
2
3
�� 3
c) Tensor gradient espacial de la deformació:
F �1 � X � � � �X�� �� �
T
d) Comprovació:
F�F
�1
�(1 � A 2 ) x1 � A 2 x 2 � A x3 �
� � �
�
� � A 2 x1 � (1 � A 2 ) x 2 � A x3 � � �
,
� � �x1
�
�
�
A
x
A
x
x
1
2
3
�
�
�1 � A 2 � A 2 A�
�
�
� � A2
1 � A 2 A�
� A
�A
1 ��
�
2
� A2
� 1 0 � A� �1 � A
�
� � 0 1 � A� � � A 2
1 � A2
�
�
�A
�� A A 1 � �� A
�
,
�x 2
� �
��
�x3 �
A� �1 0 0�
�
A� � �0 1 0� � 1
�
�
1 �� �0 0 1�
2.3 Desplaçaments
Definició
Desplaçament: diferència entre els vectors de posició d’una mateixa
partícula en les configuracions actual i de referència.
El desplaçament d’una partícula P en un instant determinat ve definit pel
vector u que uneix els punts de l’espai P (posició inicial) i P � (posició en
l’instant actual t ) de la partícula (vegeu la Figura 2-2). El desplaçament de totes
les partícules del medi continu defineix el camp vectorial de desplaçaments que, com
tota propietat del medi continu, es podrà descriure en forma material U( X, t ) o
espacial, u(x, t ) :
�U( X, t ) � x( X, t ) � X
�
�U i ( X, t ) � xi (X, t ) � X i
i �{1,2,3}
(2.9)
29
2 Descripció de la deformació
�u(x, t ) � x � X( x, t )
�
�u i ( x, t ) � xi � X i (x, t )
t0
�0
X 3 , x3
t
u
P
(2.10)
i �{1,2,3}
P�
�t
x
X
ê 3
X 2 , x2
ê 2
ê1
X 1 , x1
Figura 2-2 – Desplaçaments
2.3.1 Tensors gradient material i espacial dels desplaçaments
La derivació del vector desplaçament U i en l’equació (2.9) respecte a les
coordenades materials porta a:
def
�xi �X i
�U i
�
�
� Fij � � ij � J ij
�X j �X j �X j
� �
Fij
�ij
(2.11)
que defineix el tensor gradient material dels desplaçaments com:
def
�
Tensor gradient
J
X
(
,
)
t
� U( X, t ) � � � F � 1
��
material dels
��
�U i
� Fij � � ij i, j � {1,2,3}
J ij �
�
desplaçaments
�X j
��
�U i
�
�dU i � �X dX j � J ij dX j
j
�
�dU � J � dX
�
i, j �{1,2,3}
(2.12)
(2.13)
De la mateixa manera, diferenciant l’expressió de u i en l’equació (2.10),
respecte a les coordenades espacials s’obté:
def
�u i �xi �X i
�1
�x j
�
�x
�j
�ij
�
�x j
�
Fij�1
� � ij � Fij � j ij
(2.14)
que defineix el tensor gradient espacial dels desplaçaments com:
def
�
Tensor gradient
(
,
)
t
j
x
� u(x, t ) � � � 1 � F �1
��
espacial dels
��
�u i
� � ij � Fij�1 i, j � {1,2,3}
� jij �
desplaçaments
�x j
��
(2.15)
30
2 Descripció de la deformació
�u i
�
�du i � �x dx j � jij dx j
�
j
�du � j � dx
�
i, j �{1,2,3}
(2.16)
2.4 Tensors de deformació
Considerem ara una partícula del medi continu, que ocupa el punt de l’espai P
en la configuració material, i una altra partícula Q del seu entorn diferencial
separada de l’anterior pel segment dX (de longitud dS � dX � dX ), sent dx
(de longitud ds � dx � dx ) el seu homòleg en la configuració actual (vegeu la
Figura 2-3). Tots dos vectors diferencials estan relacionats pel tensor gradient
de la deformació F ( X, t ) mitjançant les equacions (2.2) o (2.6):
��dx � F � dX
�
��dx i � Fij dX j
dX � F -1� dx
dX i � Fij�1 dx
F�X, t �
t0
t
Q�
X 3 , x3
Q
dX
ê 3
ê1
O
(2.17)
j
dS
P
X
dx
P�
x
X 2 , x2
ê 2
X 1 , x1
ds
Figura 2-3
Llavors es pot escriure el següent:
�ds �2 � dx � dx � �dx �T � �dx� � �F � dX �T � �F � dX �� dX � FT � F � dX
�ds �2 � dxk dxk � Fki dX i Fkj dX j � dX i Fki Fkj dX j � dX i FikT Fkj dX j
(2.18)
i, alternativament,
N O T A C I Ó
S’utilitza la convenció:
�(�) �
�1 T
not
� (�)
�T
�dS �2 � dX � dX � �dX �T � �dX � � �F �1 � dx � � �F �1 � dx � � dx � F �T � F �1 � dx
�dS �2 � dX k dX k � Fki�1 dxi Fkj�1 dx j � dxi Fki�1 Fkj�1dx j � dxi Fik�T Fkj�1dx j
T
not
(2.19)
2.4.1 Tensor material de deformació (tensor de deformació de
Green-Lagrange)
Restant les expressions (2.18) i (2.19) s’obté:
2 Descripció de la deformació
�ds �2 � �dS �2 � dX � F T � F � dX � dX � dX � dX � F T
31
� F � dX � dX � 1 � dX �
T
� dX � (F � F � 1) � dX � 2 dX � E � dX
�����
def
(2.20)
� 2E
L’equació (2.20) defineix implícitament el denominat tensor material de deformació
o tensor de deformació de Green-Lagrange com:
1 T
�
��E( X, t ) � 2 (F � F � 1)
��
� E ( X, t ) � 1 ( F F � � ) i, j � {1,2,3}
(Green - Lagrange)
ki kj
ij
�� ij
2
Tensor material
de deformació
(2.21)
Observació 2-3
El tensor material de deformació E és simètric. La demostració
s’obté directament de l’equació (2.21) observant que:
1 T
1 T
� T 1 T
T
T T
T
�E � (F � F � 1) � (F � (F ) � 1 ) � (F � F � 1) � E
2
2
2
�
� E ij � E ji
,
�
{
1
,
2
,
3
}
i
j
�
2.4.2 Tensor espacial de deformació (tensor de deformació
d’Almansi)
Restant de forma alternativa les expressions (2.18) i (2.19) s’obté:
�ds �2 � �dS �2 � dx � dx � dx � F �T
� F �1 � dx � dx � 1 � dx � dx � F �T � F �1 � dx
� dx � (1 � F �T � F �1 ) � dx � 2 dx � e � dx
������
�
def
(2.22)
� 2e
L’equació (2.22) defineix implícitament el denominat tensor espacial de deformació
o tensor de deformació d’Almansi com:
1
�
�T
�1
��e(x, t ) � 2 (1 � F � F )
de deformació � �
�e (x, t ) � 1 (� � F �1 F �1 ) i, j � {1,2,3}
(Almansi)
ij
ki
kj
�� ij
2
Tensor espacial
(2.23)
32
2 Descripció de la deformació
Observació 2-4
El tensor espacial de deformació e és simètric. La demostració s’obté
directament de l’equació (2.23) observant que:
1 T
� T 1
�T
�1 T
�1 T
�T T
�e � 2 (1 � F � F ) � 2 (1 � (F ) � (F ) ) �
�
1
�
�T
�1
� � (1 � F � F ) � e
2
�
�eij � e ji i, j �{1,2,3}
�
�
Observació 2-5
Els tensors material E i espacial e de deformació són tensors diferents i
no es tracta de la descripció material i espacial d’un mateix tensor de deformació.
Les expressions (2.20) i (2.22):
�ds �2 � �dS �2 � 2 dX � E � dX � 2 dx � e � dx
ho posen de manifest, atès que els dos tensors són afectats per
diferents vectors ( dX i dx respectivament).
El tensor de deformació de Green-Lagrange ve descrit naturalment en la
descripció material ( E( X, t ) ). En l’equació (2.20) actua sobre
l’element dX (definit en la configuració material) i d’aquí ve la seva
denominació de tensor material de deformació. Tanmateix, com tota
propietat de medi continu es pot descriure, si cal, també en forma
espacial ( E(x, t ) ) mitjançant la substitució adequada de les equacions
de moviment.
Amb el tensor de deformació d’Almansi passa el contrari: ve descrit
naturalment en forma espacial i en l’equació (2.22) actua sobre el vector
diferencial (definit en la configuració espacial) dx i d’aquí ve la seva
denominació de tensor espacial de deformació. També es pot descriure, si
és convenient, en forma material ( e( X, t ) ).
Exemple 2-2 – Per al moviment de l’Exemple 2-1, obteniu els tensors material i espacial
de deformació.
1
2
� A2 � A2
�� 1
0 � A� � 1
0 � A� �1 0 0� �
1�
� 1�
� ��� 0
1
A2
A �� � �� 0 1 � A�� � ��0 1 0�� � � �� A 2
2
2�
�
�� 2 A
0
���� A � A 1 �� ��� A A 1 �� ��0 0 1�� �
�
a) Tensor material de deformació: E � (F T � F � 1) �
� 2 A�
�
0 �
2 A 2 ��
33
2 Descripció de la deformació
1
2
b) Tensor espacial de deformació: e � (1 � F � T � F �1 ) �
��1 0 0� �1 � A 2
A2
�
1 ��
� ��0 1 0�� � � � A 2 1 � A 2
2�
�0 0 1�� � A
A
�
��
�� 3 A 2 � 2 A 4
1�
� � A2 � 2 A4
2
� � 2 A � 2 A3
�
A � �1 � A 2 � A 2
� �
1 � A2
� A� � � A 2
1 �� �� A
�A
A2 � 2 A4
A2 � 2 A4
2 A3
A� �
��
A� � �
1 �� �
�
� 2 A � 2 A3 �
�
2 A3
�
� 2 A 2 ��
(Observeu que E � e ).
2.4.3 Expressió dels tensors de deformació en termes dels
(gradients dels) desplaçaments
Substituint les expressions (2.12) ( F � 1 � J ) i (2.15) ( F �1 � 1 � j ) en les
equacions (2.21) i (2.23) s’obtenen les expressions dels tensors de deformació
en funció del gradient material, J ( X, t ) , i espacial, j(x, t ) , dels desplaçaments:
�
� �
�
1
1
�
T
T
T
�E � 2 (1 � J ) � (1 � J ) � 1 � 2 J � J � J � J
�
E( X, t ) � �
�
�U j �U k �U k �
�E ij � 1 � �U i �
�
� i, j �{1,2,3}
�
2 � �X j �X i
�X i �X j �
�
�
� �
(2.24)
�
1
� 1
T
T
T
�e � 2 1 � (1 � j ) � (1 � j) � 2 j � j � j � j
�
e(x, t ) � �
�
�
�u
�eij � 1 � �u i � j � �u k �u k � i, j �{1,2,3}
�
2 � �x j �xi
�xi �x j �
�
(2.25)
2.5 Variació de les distàncies: estirament,
allargament unitari
Considerem ara una partícula P en la configuració de referència i una altra
partícula Q , situada en un entorn diferencial de P, vegeu la Figura 2-4. Les
posicions corresponents en la configuració actual vénen donades pels punts de
l’espai P ' i Q ' , de manera que la distància entre les dues partícules en la
configuració de referència, dS , es transforma en ds en l’instant actual. Siguin
T i t sengles vectors unitaris en les direccions PQ i P �Q � , respectivament.
34
2 Descripció de la deformació
Definició
Estirament: en el punt material P (o en el punt espacial P � ) en la
direcció material T (o en la direcció espacial t ) és la longitud del
segment diferencial deformat P �Q � per unitat de longitud del segment
diferencial original PQ .
t0
X3
P
dX
dS
t
Q
P´
T
X
dx
ds
x
Q´
t
X2
Figura 2-4 – Estirament i allargament unitari
X1
La traducció a llenguatge matemàtic de la definició anterior és:
Estirament
N O T A C I Ó
Sovint es prescindeix
dels subíndexs (�) T o
(�) t en referir-se als
estiraments o
allargaments unitaris.
Tingueu ben present,
tanmateix, que sempre
estan associats a una
direcció determinada.
def
�
�T � �t �
P´Q´ ds
�
PQ dS
(0 � � � � )
(2.26)
Definició
Allargament unitari: en el punt material P (o en el punt espacial P � )
en la direcció material T (o en la direcció espacial t ) és l’increment
de longitud del segment diferencial deformat P`Q` per unitat de
longitud del segment diferencial original PQ .
i la definició matemàtica corresponent:
Allargament unitari
def
�
�T � �t �
� PQ ds � dS
�
dS
PQ
(2.27)
Les equacions (2.26) i (2.27) permeten relacionar immediatament els valors de
l’allargament unitari i de l’estirament per a un mateix punt i direcció com:
��
ds � dS ds
�
�1 � � �1
dS
dS
�
�
( � �1 � � � � )
(2.28)
2 Descripció de la deformació
35
Observació 2-6
�
Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : Les partícules P i Q es poden
haver mogut relativament amb el temps, però sense augmentar ni
disminuir la distància entre elles.
�
Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : La distància entre les partícules P i
Q s’ha allargat amb la deformació del medi.
�
Si � � 1 (� � 0) � ds � dS : La distància entre les partícules P i
Q s’ha escurçat amb la deformació del medi.
2.5.1 Estiraments, allargaments unitaris i els tensors de
deformació
Considerant les equacions (2.20) i (2.22) i les expressions geomètriques
dX � T dS i dx � t ds , vegeu la Figura 2-4, es pot escriure el següent:
��ds �2 � �dS �2 � 2 d�
X � E � d�
X � 2�dS �2 T � E � T
��
dS T
dS T
�
2
2
2
��ds � � �dS � � 2 d�x � e � d�x � 2�ds � t � e � t
��
ds t
ds t
(2.29)
i dividint les dues equacions per (dS ) 2 i (ds ) 2 , respectivament, s’obté el
següent:
2
ds
( ) � 1 � �2 � 1 � 2 T � E � T �
dS
�
�
1� (
2
dS
) � 1 � (1 / �) 2 � 2 t � e � t �
ds
�
1/ �
��� � 1 � 2 T � E � T
�
��� � � � 1 � 1 � 2 T � E � T � 1
(2.30)
1
�
�� �
1� 2t �e�t
�
�
1
�� � � � 1 �
�1
�
1
2
t �e�t
�
�
(2.31)
expressions que permeten calcular l’allargament unitari i l’estirament segons
una direcció (material, T o espacial, t ) determinada.
Observació 2-7
Els tensors material i espacial de deformació E( X, t ) i e(x, t )
contenen informació sobre els estiraments (i els allargaments unitaris)
per a qualsevol direcció en un entorn diferencial d’una partícula
donada, tal com posen de manifest les equacions (2.30) i (2.31).
36
2 Descripció de la deformació
Exemple 2-3 – El tensor espacial de deformació per a un cert moviment és:
� 0
�
e�x, t � � � 0
�� te tz
�
Calculeu la longitud, en l’instant t � 0 , del
uneix els punts a � (0,0,0) i b � (1,1,1) .
0
� te tz �
�
0
0
�
0 t (2e tz � e t ) ��
segment que en l’instant t � 2 és rectilini i
Es coneix la forma i posició geomètrica del segment material en l’instant t � 2 .
En l’instant t � 0 (instant de referència) el segment no és necessàriament
rectilini i no es coneixen les posicions dels seus extrems A i B (vegeu la
Figura 2-5). Per conèixer-ne la longitud s’ha d’aplicar l’equació (2.31):
1
��
z
�
1� 2t �e �t
ds
dS
� dS �
z
t�0
B
1
ds
�
t�2
ds
dS
t
b(1,1,1)
A
a(0,0,0)
y
y
x
x
Figura 2-5
per a un vector de direcció en la configuració espacial t de valor:
t�
1
3
�1,
1, 1� i s’obté:
T
� 0
�1 1 1�� �� 0
t �e�t �
3
�� te tz
�
1
1
� ��
� � t �2 �
� te tz
1
�
3
2 t
4
3 � 4e 2
1 � e2
te
3
3
B
b1
1 b
1
1
� � dS � � ds � � ds � l ab �
3 � l AB � 3 � 4e 2
A
a�
a
��
�
�
lab
1�
� l AB
� �1�
� �� 1
1
� � te t
0
0
� � �1�
3
3
0 t (2e tz � e t )�� ��1��
0
2.6 Variació d’angles
Considerem ara una partícula P i unes altres dues partícules Q i R , situades
en un entorn diferencial de P en la configuració material, vegeu la Figura 2-6, i
37
2 Descripció de la deformació
les mateixes partícules ocupant les posicions espacials P ' , Q ' i R ' . Es planteja
ara la relació entre els angles que formen els segments diferencials
corresponents en la configuració de referència (angle � ), i en la configuració
actual (angle � ).
A partir de les equacions (2.2) i (2.6), aplicades als vectors diferencials que
separen les partícules, es pot escriure:
��dx �1� � F � dX �1�
� �2 �
��dx � F � dX �2 �
��dX �1� � F �1 � dx �1�
� � �2 �
��dX � F �1 � dx �2 �
(2.32)
i per la pròpia definició dels vectors unitaris T �1� , T �2 � , t �1� i t �2 � que defineixen
les direccions corresponents en la Figura 2-6:
��dX �1� � dS �1� T �1�
� �2 �
��dX � dS �2 � T �2 �
��dx �1� � ds �1� t �1�
� �2 �
��dx � ds �2 � t �2 �
(2.33)
t
t0
T �2 �
X3
t �2 �
R
�2 �
dS
P
X
�
dS �1� Q
R´
ds �2 �
�
P´ ds �1�
Q´
T �1�
x
t �1�
X2
Figura 2-6
X1
i, finalment, per la definició (2.26) dels estiraments corresponents:
� �1� 1
�1�
��dS � ��1� ds
��ds �1� � ��1� dS �1�
� �2 � �2 � �2 � � �
��ds � � dS
�dS �2 � � 1 ds �2 �
��
��2 �
(2.34)
Plantejant ara el producte escalar dels vectors dx �1� � dx �2 � :
� � � �dx � � ��
ds �1� ds �2 � cos � � dx �1� � dx �2 � cos � � dx �1� � dx �2 � � dx �1�
�
� F � dX �1�
T
2
� � �F � dX � � �� dX � � � ��F ���F�� dX � � �
T
2
1
T
2
2E�1
1
1
� dS �1� T �1� � (2E � 1) � T �2 � dS �2 � � �1� ds �1� T �1� � (2E � 1) � T �2 � �2 � ds �2 � �
�
�
1 �1�
�1� �2 � 1
�2 �
T � (2E � 1) � T
� ds ds
��1� ��2 �
i comparant els termes inicial i final de l’equació (2.35), s’obté el següent:
(2.35)
38
2 Descripció de la deformació
cos � �
T �1� � �1 � 2E � � T �2 �
��1� ��2 �
(2.36)
on els estiraments ��1� i ��2 � es poden obtenir aplicant l’expressió (2.30) a les
direccions T �1� i T �2 � arribant-se a:
cos � �
T �1� � �1 � 2E � � T �2 �
1 � 2 T �1� � E � T �1�
(2.37)
1 � 2 T �2 � � E � T �2 �
D’una manera anàloga, operant en la configuració de referència, es pot obtenir
l’angle � entre els segments diferencials dX (1) i dX ( 2) (en funció de t �1� , t �2 � i
e ) com:
cos � �
t �1� � �1 � 2e � � t �2 �
1 � 2 t �1� � e � t �1�
(2.38)
1 � 2 t �2 � � e � t �2 �
Observació 2-8
De forma similar al que s’ha comentat en l’Observació 2-7, els tensors
material i espacial de deformació, E( X, t ) i e(x, t ) també contenen
informació sobre les variacions dels angles entre segments
diferencials, a l’entorn d’una partícula, durant el procés de deformació.
Aquests fets seran la base per proporcionar una interpretació física
dels components dels tensors de deformació a l’apartat 2.7 .
2.7 Interpretació
deformació
física
dels
tensors
de
2.7.1 Tensor material de deformació
Considerem un segment PQ , orientat paral·lelament a l’eix X 1 en la
configuració de referència (vegeu la Figura 2-7). Abans de la deformació PQ té
una longitud coneguda dS � dX .
X 3 ,Z
t0
dS
Q
�1�
� �
T (1) � �0�
�0�
� �
P
dX
T �1� � eˆ 1
X 2 ,Y
X1, X
Figura 2-7
�dS �
� �
dX � � 0 �
�0�
� �
2 Descripció de la deformació
39
Es pretén conèixer la longitud de P´Q´ després de la deformació. Per a això
considerem el tensor material de deformació E donat pels seus components:
� E XX
E � �� E XY
�� E XZ
E XY
EYY
EYZ
E XZ � � E11
EYZ �� � �� E12
E ZZ �� �� E13
E12
E 22
E 23
E13 �
E 23 ��
E 33 ��
(2.39)
En conseqüència:
� E11
T � E � T � �T�T � �E�� T � �1 0 0�� �� E12
�� E13
E12
E 22
E 23
E13 � �1 �
E 23 �� � ��0�� � E11
E 33 �� ��0 ��
(2.40)
L’estirament en la direcció material X 1 es pot obtenir ara substituint el valor
T � E � T en l’expressió de l’estirament (2.30), obtenint-se: � 1 � 1 � 2 E11 . De
manera anàloga, es poden considerar segments orientats a les direccions
X 2 � Y i X 3 � Z i obtenir els valors � 2 i � 3 , resultant:
�1 � 1 � 2 E11 � 1 � 2 E XX
� � X � � X � 1 � 1 � 2 E XX � 1
� 2 � 1 � 2 E 22 � 1 � 2 EYY
� � Y � � Y � 1 � 1 � 2 EYY � 1
� 3 � 1 � 2 E 33 � 1 � 2 E ZZ
� � Z � � Z � 1 � 1 � 2 E ZZ � 1
(2.41)
Observació 2-9
En els components E XX , EYY i E ZZ (o E11 , E 22 i E 33 ) de la diagonal
principal del tensor E (denominats deformacions longitudinals) hi ha
continguda la informació sobre l’estirament i els allargaments unitaris
de segments diferencials inicialment (en la configuració de referència)
orientats en direccions X , Y i Z .
�
Si E XX � 0 � � X � 0 � No hi ha allargament en la direcció X .
�
Si EYY � 0 � � Y � 0 � No hi ha allargament en la direcció Y .
�
Si E ZZ � 0 � � Z � 0 � No hi ha allargament en la direcció Z .
Considerem ara l’angle entre els segments PQ (paral·lel a l’eix X 1 ) i PR ,
(paral·lel a l’eix X 2 ), sent Q i R dues partícules de l’entorn diferencial de P
en la configuració de material i P �, Q � i R � les posicions respectives en la
�
) entre els
2
segments en la configuració de referència és possible conèixer l’angle � en la
configuració espacial (vegeu la Figura 2-8). Conegut l’angle ( � �
configuració actual, utilitzant l’expressió (2.37) i tenint en compte la seva
ortogonalitat ( T �1� � T �2 � � 0 ) i les igualtats T �1� � E � T �1� � E11 , T �2 � � E � T �2 � � E22
i T �1� � E � T �2 � � E12 ,
40
2 Descripció de la deformació
cos � �
T �1� � �1 � 2E �� T �2 �
�1�
1� 2 T � E �T
o el que és el mateix:
� � � xy �
�1�
1� 2 T
�2 �
�E�T
�2 �
�
2 E12
1 � 2 E 11
(2.42)
1 � 2 E 22
2 E XY
�
� arcsin
2
1 � 2 E XX 1 � 2 E YY
(2.43)
i l’increment de l’angle final respecte al seu valor inicial resulta:
2 E XY
�� XY � � xy � �
XY � � arcsin
�
1 � 2 E XX 1 � 2 E YY
�
2
X3,Z
t0
t
P
Q
R
T �2 �
P´
� 2
T
�1�
T
�2 �
R´
� � � xy
Q´
T
(2.44)
�1�
�1 �
� �
� �0�
�0�
� �
�0�
� �
� �1�
�0�
� �
X 2 ,Y
Figura 2-8
X1, X
Resultats anàlegs s’obtenen a partir de parells de segments orientats segons els
diferents eixos de coordenades i s’arriba a:
�� XY � �arcsin
2 E XY
1 � 2 EXX 1 � 2 EYY
�� XZ � �arcsin
2 E XZ
1 � 2 EXX 1 � 2 EZZ
��YZ � � arcsin
2 EYZ
1 � 2 EYY 1 � 2 EZZ
Observació 2-10
En els components E XY , E XZ i EYZ (o E12 , E13 i E 23 ) del tensor
E (denominats deformacions angulars) està continguda la informació
sobre la variació dels angles entre segments diferencials inicialment
(en la configuració material) orientats a les direccions X , Y i Z .
�
Si E XY � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de
dos segments situats inicialment en les direccions X i Y .
�
Si E XZ � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de
dos segments situats inicialment en les direccions X i Z .
�
Si EYZ � 0 � La deformació no produeix variació de l’angle de
dos segments situats inicialment en les direccions Y i Z .
(2.45)
41
2 Descripció de la deformació
En la Figura 2-9 es presenta la interpretació física dels components del tensor
material de deformació sobre un paral·lelepípede elemental en l’entorn d’una
partícula P amb arestes orientades segons els eixos coordenats.
t
F
t0
dx � 3 �
X3,Z
S
dX
dX �1�
P´
�3 �
P
dX � 2 �
Q
Q´
�2 �
� yz dx
� xz
� xy
dx �1�
ê 3
1 � 2 EZZ dZ
X 2 ,Y
R
1 � 2 E XX dX
S´
R´
1 � 2 EYY dY
ê 2
ê1
��
��
X1, X
XY
XZ
� � arcsin
� � arcsin
2 E XY
1 � 2 E XX
1 � 2 EYY
2 E XZ
1 � 2 E XX
1 � 2 E ZZ
2 EYZ
��
� � arcsin
YZ
1 � 2 EYY 1 � 2 E ZZ
Figura 2-9 – Interpretació física del tensor material de deformació
2.7.2 Tensor espacial de deformació
Arguments semblants als de la secció 2.7.1 permeten interpretar al seu torn els
components del tensor espacial deformació:
�e xx
�
e � �e xy
�e xz
�
e xz � �e11
�
e yz � � ��e12
e zz �� ��e13
e xy
e yy
e yz
e12
e 22
e 23
e13 �
e 23 ��
e33 ��
(2.46)
Els components de la diagonal principal (deformacions longitudinals) es poden
interpretar en funció dels estiraments i allargaments unitaris de segments
diferencials orientats segons els eixos coordenats en la configuració actual o
deformada:
�1 �
�2 �
�3 �
1
1 � 2e11
1
1 � 2e22
1
1 � 2e33
�
�
�
1
1 � 2e xx
1
1 � 2e yy
1
1 � 2e zz
� �x �
� �y �
� �z �
1
1 � 2e xx
1
1 � 2e yy
1
1 � 2e zz
�1
�1
(2.47)
�1
mentre que els components fora de la diagonal principal (deformacions
angulars) contenen informació sobre la variació d’angles entre segments
42
2 Descripció de la deformació
diferencials orientats segons els eixos coordenats en la configuració actual o
deformada:
�� xy �
2e xy
�
� � XY � �arcsin
2
1 � 2 e xx 1 � 2 e yy
�� xz �
2e xz
�
� � XZ � �arcsin
2
1 � 2 e xx 1 � 2 e zz
�� yz �
2e yz
�
� � YZ � � arcsin
2
1 � 2 e yy 1 � 2 e zz
(2.48)
El resum de la interpretació física corresponent es presenta en la Figura 2-10:
1 � 2e xx dx
t0
F �1
S
dX
�3 �
P � XZ
�2 �
�YZ dX
S�
R
1 � 2e zz dz
� XY
dX �1�
��
��
xy
xz
yz
� � arcsin
� � arcsin
� � arcsin
2 e xy
1 � 2 exx
dx ( 3)
ê1
1 � 2e yy
(1)
dx ( 2 )
P�
R�
Q�
ê 3
ê 2
x2, y
x1 , x
2 e xz
1 � 2 exx
x3,z
dx
1 � 2e yy dy
Q
��
t
1 � 2ezz
2 e yz
1 � 2 eyy
1 � 2 ezz
Figura 2-10 – Interpretació física del tensor espacial de deformació
2.8 Descomposició polar
R E C O R D A T O R I
Un tensor de segon
ordre Q és ortogonal
si es verifica:
QT � Q � Q � QT � �
El teorema de descomposició polar de l’anàlisi tensorial estableix que, donat un
tensor de segon ordre F tal que F � 0 , existeixen un tensor ortogonal Q , i dos
tensors simètrics U i V :
�
�
not
��
T
V � F�F
�
�
Q � F � U �1 � V �1 � F �
��
not
U � FT � F
�
F � Q� U � V �Q
(2.49)
La descomposició (2.49) és única per a cada tensor F i es denomina
descomposició polar per l’esquerra ( F � Q � U ) o descomposició polar per la dreta
( F � V � Q ) i als tensors U i V , tensors dret i esquerre d’estirament,
respectivament.
43
2 Descripció de la deformació
N O T A
Per obtenir l’arrel
quadrada d’un tensor es
procedeix a
diagonalitzar el tensor,
s’obté l’arrel quadrada
dels elements de la
diagonal de la matriu de
components
diagonalitzada i es desfà
la diagonalització.
Observació 2-11
Un tensor ortogonal Q rep el nom de tensor de rotació i a l’aplicació
y � Q � x se la denomina rotació. Una rotació té les propietats següents:
�
Quan s’aplica a qualsevol vector x , el resultat és un vector
y � Q � x del mateix mòdul:
y
2
T
� y � y � �y � � �y � � �Q � x� � �Q � x� � x � Q
Q�x �x�x � x
����
T
T
2
1
�
El resultat de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos
vectors x (1) i x ( 2 ) amb el mateix origen i que formen entre si un
angle � , manté el mateix angle entre les imatges ( y (1) � Q � x (1) i
y ( 2) � Q � x ( 2 ) ):
y (1) � y ( 2 )
y (1) y ( 2 )
�
x (1) � QT � Q � x ( 2 )
y (1) y ( 2 )
�
x (1) � x ( 2 )
x (1) x ( 2 )
� cos �
En conseqüència, l’aplicació (rotació) y � Q � x manté els angles i les
distàncies.
Considerant ara el tensor gradient de la deformació i la relació fonamental (2.2)
( dx � F � dX ) i la descomposició polar (2.49) s’obté el següent:
N O T A C I Ó
S’utilitza aquí la notació
( � ) per indicar la
composició de dues
aplicacions � i � :
z � � � � (x)
deformació
�
����
rotació
�
��
dx � F � dX � �V � Q � � dX � V � (Q � dX)
(2.50)
not
F(�) � deformació � rotació (�)
rotació
���
����
deformació
���
dx � F � dX � �Q � U � � dX � Q � ( U � dX )
F(�) � rotació � deformació (�)
Observació 2-12
Les equacions (2.50) estableixen que el moviment relatiu en l’entorn
d’una partícula durant el procés de deformació (caracteritzat pel
tensor F ) es pot entendre com la composició d’una rotació
(caracteritzada pel tensor de rotació Q , que manté angles i distàncies)
i una deformació pròpiament dita (que modifica angles i distàncies)
caracteritzada pel tensor V (vegeu la Figura 2-11).
(2.51)
44
2 Descripció de la deformació
Observació 2-13
�
Alternativament les equacions (2.51) permeten caracteritzar el
moviment relatiu en l’entorn d’una partícula durant el procés de
deformació com la superposició d’una deformació pròpiament dita
(caracteritzada pel tensor U ) i una rotació (caracteritzada pel
tensor de rotació Q ).
�
Un moviment de sòlid rígid és un cas particular de deformació
caracteritzat per U � V � � y Q � F .
F
X3
t0
Q � dX
P'
P
dX
Rotació
dX
t
ê 3
ê1
Deformació
dx � V � Q � dX
Rotació
dx � Q � v � dX
ê 2
X2
v � dX
P'
X1
F
Figura 2-11 – Descomposició polar
Deformació
dX
2.9 Variació de volum
Considerem una partícula P del medi continu en la configuració de referència,
( t � 0 ) que té associat un volum diferencial dV0 (vegeu la Figura 2-12) que
queda caracteritzat mitjançant les posicions d’unes altres tres partícules Q , R i
S del seu entorn diferencial, alineades amb P segons tres direccions
arbitràries. El diferencial de volum dVt , associat a la mateixa partícula en la
configuració actual (a temps t ), quedarà també caracteritzat pels punts
espacials P � , Q � , R � i S � corresponents de la figura (les posicions de la qual
configuraran un paral·lelepípede que ja no està orientat segons els eixos
coordenats).
Siguin dX (1) , dX ( 2) i dX (3) els vectors de posició relatius entre partícules en la
configuració material, i dx (1) � F � dX (1) , dx ( 2) � F � dX ( 2 ) i dx (3) � F � dX (3) els
seus homòlegs en la configuració espacial. Evidentment es compleixen les
relacions:
45
2 Descripció de la deformació
��dx (i ) � F � dX (i )
� (i )
(i )
��dx j � F jk � dX k
R E C O R D A T O R I
El volum d’un
paral·lelepípede es pot
calcular com el
producte mixt
(a � b) � c dels
vectors-aresta a , b i c
que concorren en
qualsevol dels seus
vèrtexs.
D’altra banda, el
producte mixt de tres
vectors és el
determinant de la
matriu constituïda pels
components dels
vectors esmentats
ordenats en files.
(2.52)
i, j , k �{1,2,3}
Els volums associats a la partícula en les dues configuracions es poden escriure
com segueix:
�
dV0 � dX
�
�1�
dVt � dx
�1�
� dX
� dx
�2 �
�2 �
�� dX
�� dx
( 3)
� dX 1�1� dX 2�1� dX 3�1� �
�
�
� det �dX 1�2 � dX 2�2 � dX 3�2 � � � M
� dX �3 � dX �3 � dX �3 � �
� �1����2���3�
�
��
�M �
�1�
�3 �
� dx1
dx 2
dx3�1� �
� �2 �
�
�2 �
� det �dx1
dx 2
dx3�2 � � � m
� dx �3 � dx �3 � dx �3 � �
1
2
3
� �
�
��������
��
�m �
M ij � dX (ji )
�1�
mij � dx (ji )
t
X 3 , x3
F
t0
dV 0
S
dX �1�
P
(2.53)
S�
P´
dx �3 �
R´
dx �2 �
dx �1�
dX �3�
ê 3
R
dX � 2 �
Q
ê1
Q´
dVt
ê 2
X 2 , x2
X 1 , x1
Figura 2-12 – Variació d’un element diferencial de volum
D’altra banda, considerant les expressions (2.52) i (2.53) es pot escriure:
mij � dx (ji ) � F jk dX k(i ) � F jk M ik � M ik FkjT
� m � M � FT
(2.54)
i, en conseqüència:
N O T A
S’utilitzen aquí les
expressions:
A�B � A B i
AT � A .
�
��
��
0
�
dVt � dV (x( X, t ), t ) � F ( X, t ) dV ( X,0) � F t dV0 ��
dVt � m � M � F T � M F T � F M � F dV0
�
dV
dVt � F t dV0
(2.55)
46
2 Descripció de la deformació
2.10 Variació de l’àrea
Considerem ara el diferencial d’àrea dA associat a una partícula P en la
configuració de referència i la seva variació al llarg del temps. Per definir el
diferencial d’àrea esmentat, considerarem dues partícules Q i R de l’entorn
diferencial de P , les posicions relatives de les quals respecte a aquesta són
dX �1� i dX �2 � (vegeu la Figura 2-13). Considerem també una partícula auxiliar
qualsevol S i el seu vector de posició relatiu dX �3 � . Associat a l’escalar diferencial
d’àrea, dA , definirem el vector diferencial d’àrea dA � dA N el mòdul del qual és
dA i la direcció del qual és la de la normal N .
En la configuració actual, en el temps t , la partícula ocuparà un punt espacial
P � , i tindrà associat un diferencial d’àrea da que, al seu torn, defineix un
vector diferencial d’àrea da � da n , on n és la corresponent normal.
Considerem també les posicions de les altres partícules Q � i R � i S � i els seus
vectors de posició relatius dx �1� , dx �2 � i dx �3 � .
n
t0
X 3 , x3
N
.
dA
dX �1�
dh
P´
ê 3
dX �3� �2 �
P dX R
ê1
Q
da � n da
S´
dx ( 3 )
dx ( 2 )
F
dA � N dA
S
dH
.
t
dx (1)
ê 2
R´
da
Q´
X 2 , x2
X 1 , x1
Figura 2-13 – Variació de l’àrea
Els volums dV0 i dVt dels paral·lelepípedes respectius es podran calcular com:
�3 �
��
dV0 � dH dA � d�
X�
N dA � dX �3 � � N
dA � dA � dX �3 �
�
�
�
dH
dA
�3 �
� n da � dx �3 � � n
dVt � dh da � d�
x�
da � da � dx �3 �
�
�
�
�
dh
da
N O T A
Es té en compte aquí el
teorema de l’àlgebra
tensorial següent:
donats dos vectors a i
b , si es compleix que
a � x � b � x per a tot
vector x � a � b .
(2.56)
i tenint en compte que dx (3) � F � dX �3 � , com també l’equació de canvi de
volum (2.55), es pot escriure:
da � F � dX �3 � � da � dx �3 � � dVt � F dV0 � F dA � dX �3 �
�dX �3 �
(2.57)
Comparant el primer i últim terme de (2.57) i tenint en compte que la posició
relativa de la partícula S és qualsevol (i, per tant, també ho és el vector dX ( 3) ),
s’arriba finalment a:
da � F � F d A �
d a � F d A � F �1
(2.58)
47
2 Descripció de la deformació
Per obtenir una relació entre els escalars diferencial d’àrea dA i da se
substitueixen les expressions dA � N dA i da � n da en l’equació (2.58) i es
prenen mòduls:
da n � F N � F �1 dA � da � F N � F �1 dA
(2.59)
2.11 Deformació infinitesimal
La teoria de la deformació infinitesimal (també denominada teoria de petites
deformacions) es basa en dues hipòtesis simplificatives sobre la teoria general (o
de deformació finita) contemplada en apartats anteriors (vegeu la Figura 2-14).
Hipòtesi
1) Els desplaçaments són molt petits davant les dimensions típiques del
medi continu ( u �� X ).
2) Els gradients dels desplaçaments són molt petits (infinitesimals).
t
t0
u
P�
P
X3,Z
X
x
ê 2
X 2 ,Y
ê3
ê1
X1, X
Figura 2-14
En virtut de la primera hipòtesi, les configuracions de referència, � 0 i actual,
� t , estan molt pròximes entre si i es consideren indistingibles una de l’altra.
En conseqüència, les coordenades materials i espacials coincideixen i ja no té
sentit parlar de descripcions material i espacial:
not
�
�x � X � u � X
�U�X, t � � u�X, t � � u�x, t �
�
�
�
not
� xi � X i � u i � X i
��U i �X, t � � u i �X, t � � u i �x, t � i �{1,2,3}
(2.60)
La segona hipòtesi es pot escriure matemàticament com:
�u i
�� 1,
�x j
�i, j �{1,2,3}
(2.61)
48
2 Descripció de la deformació
2.11.1 Tensors de deformació. Tensor de deformació
infinitesimal
Els tensors gradient material i gradient espacial dels desplaçaments
coincideixen. Efectivament, atesa l’equació (2.60):
�x j � X j
�U i
�u
� J ij � j � J
� jij � i �
�
x
X
�
u
(
,
t
)
U
(
,
t
)
�x j �X j
i
� i
(2.62)
i el tensor material de deformació resulta ser:
�
� �
�
1
1
�
T
T
T
�E � 2 J � J � J J � 2 J � J
�
�
� E � 1 �� �u i � �u j � �u k �u k �� � 1 �� �u i � �u j
� ij 2 � �x j �x i
�x i �x j � 2 �� �x j �xi
�
�
������
��
�� 1
�
�
�
�
(2.63)
on s’ha tingut en compte el caràcter d’infinitèsim de segon ordre del terme
�u k �u k
. Operant similarment amb el tensor espacial de deformació:
�xi �x j
�
� �
� �
�
1
1
� 1
T
T
T
T
�e � 2 j � j � j j � 2 j � j � 2 J � J
�
�
�
�u j �u k �u k � 1 � �u i �u j �
1 � �u
�
�� �
�eij � � i �
�
�
�
�xi �x j �� 2 �� �x j �xi ��
2 � �x j �xi
�
�����
�
�� 1
�
N O T A C I Ó
Es defineix l’operador
gradient simètric � s
mitjançant: � s (�) =
1
�(�) � � � � � (�)� .
2
(2.64)
Les equacions (2.63) i (2.64) permeten definir el tensor de deformació infinitesimal (o
tensor de petites deformacions) � :
not
1
�
T
s
Tensor de
�� � 2 J � J � � u
�
deformació � �
�
�u �
�� ij � 1 � �u i � j �
infinitesimal
�
2 � �x j �xi �
�
�
�
Observació 2-14
Sota la hipòtesi de deformació infinitesimal els tensors material i espacial
de deformació coincideixen i col·lapsen en el tensor de deformació infinitesimal.
E(x, t ) � e(x, t ) � �( x, t )
(2.65)
49
2 Descripció de la deformació
Observació 2-15
El tensor de deformació infinitesimal és simètric, tal com s’observa de la seva
definició en l’equació(2.65):
�� �
�
1
J � JT
2
�
T
�
�
�
1
J � JT � �
2
Observació 2-16
Els components del tensor infinitesimal de deformació � són infinitèsims
( � ij �� 1 ). La demostració és evident a partir de l’equació (2.65) i la
condició d’infinitèsim dels components de J � j (vegeu l’equació
(2.61)).
Exemple 2-4 – Per al moviment de l’Exemple 2-1, determineu en quines condicions
constitueix un cas de deformació infinitesimal. Per al cas esmentat, obteniu el tensor
infinitesimal de deformació. Compareu-ho amb el resultat obtingut a partir dels tensors
espacial i material de deformació de l’Exemple 2-2 considerant les hipòtesis de deformació
infinitesimal.
� x1 � X 1 � AX 3
�
a) Les equacions de moviment vénen donades per � x 2 � X 2 � AX 3
� x � � AX � AX � X
1
2
3
� 3
de les
quals s’obté el camp de desplaçaments:
�U 1 � � AX 3
�
. És evident que perquè els
U ( X , t ) � x � X � � U 2 � � AX 3
� U � � AX � AX
1
2
� 3
desplaçaments siguin infinitesimals s’ha de complir que A sigui un infinitèsim
( A �� 1 ).
b) Tensor de deformació: El tensor gradient dels desplaçaments J ( X, t ) � j(x, t )
vindrà donat per:
� � AX 3
�
�� � ,
J � U � � � � � AX 3
� �� �X 1
�
�� AX 1 � AX 2 �
�
,
�X 2
� 0 0 � A�
� � �
0 0 � A�
�
�
�X 3 �� �
�� A A 0 �
i el tensor infinitesimal de deformació, d’acord amb l’equació (2.65), serà:
� 0 0 � A�
��� U�� 0 0 0 �
�
�
�� A 0 0 �
s
c) Tensors material i espacial de deformació: A l’Exemple 2-2 els tensors material i
espacial de deformació resulten ser, respectivament:
50
2 Descripció de la deformació
� A2 � A2
1�
A2
E � �� A 2
2
�� 2 A
0
�
�� 3 A 2 � 2 A 4
1� 2
e � � A � 2 A4
2
� � 2 A � 2 A3
�
� 2 A�
�
0 � i
2 A 2 ��
A2 � 2 A4
A2 � 2 A4
2 A3
� 2 A � 2 A3 �
�
2 A3
�
� 2 A 2 ��
i negligint els infinitèsims de segon ordre o superior ( A 4 �� A 3 �� A 2 �� A )
resulta:
� 0 0 � A�
E � �� 0 0 0 ��
��� A 0 0 ��
� 0 0 � A�
e � �� 0 0 0 �� � E � e � �
��� A 0 0 ��
2.11.2 Estirament. Allargament unitari
R E C O R D A T O R I
El desenvolupament en
sèrie de Taylor de
1 � x en un entorn
de x � 0 és:
1� x � 1�
� O �x 2 �
1
x�
2
Considerant la fórmula general (2.30) de l’estirament unitari en la direcció
T � t ( � t � 1 � 2 t � E � t ) i aplicant a aquest un desenvolupament en sèrie de
Taylor al voltant de 0 (tenint en compte que E � � és infinitèsim i, per tant,
també ho és x � t � � � t ), s’obté:
�t � 1 � 2 t � � � t � 1 � t � � � t
�
���
�
x
�t � �t � 1 � t � � � t
(2.66)
2.11.3 Interpretació física de les deformacions infinitesimals
Considerem el tensor de deformacions infinitesimals � i els seus components
en el sistema de coordenades x1 � x, x 2 � y , x3 � z de la Figura 2-15:
�� xx
�
� � �� xy
�� xz
�
� xy
� yy
� yz
� xz � ��11
�
� yz � � ���12
� zz �� ���13
�12
� 22
� 23
�13 �
� 23 ��
� 33 ��
(2.67)
Considerem el segment diferencial PQ orientat en la configuració de
referència en la direcció de l’eix coordenat x1 � x . L’estirament � x i
l’allargament unitari � x en la direcció esmentada vénen donats, d’acord amb
l’equació (2.66) amb t � {1,0,0}T , per:
� x � 1 � t � � � t � 1 � � xx � � x � � � 1 � � xx
(2.68)
Això permet donar a la component � xx � �11 el significat físic de l’allargament unitari
� x en la direcció de l’eix coordenat x1 � x . Una interpretació similar es pot donar als
altres components de la diagonal principal del tensor � ( � xx , � yy , � zz ).
� xx � � x
; � yy � � y
; � zz � � z
(2.69)
51
2 Descripció de la deformació
Atesos ara els components de fora de la diagonal principal de � , considerem
els segments diferencials PQ i PR orientats segons les direccions coordenades
�
en
2
x i y en la configuració de referència formant, per tant, un angle � xy �
la configuració esmentada. Aplicant l’equació (2.43), l’increment de l’angle
corresponent serà:
t0
x3, z
S
dx
P
dz
S�
R
� xy �
Q dy
�1 � � xx �dx
�
2
�1 � � zz �dz
ê 3
ê1
Q´
ê 2
x1 , x
R E C O R D A T O R I
El desenvolupament en
sèrie de Taylor de
arcsin x en un entorn
de x � 0 és:
� �
arcsin x � x � O x 2
t
F
R´
P´
� xy � �2 � 2� xy
�1 � � �dy
yy
x2, y
Figura 2-15
�� xy � � xy �
� xy
�
� �2 arcsin � xy � �2� xy
� �2 arcsin
�����
2
1 � 2� xx 1 � 2� yy
�� xy
����
� ����
�
�1
�1
(2.70)
on s’ha tingut en compte el caràcter infinitesimal de � xx , � yy i � xy . En
conseqüència, de l’equació (2.70) � xy es pot interpretar com menys el semiincrement,
produït per la deformació, de l’angle entre dos segments diferencials orientats inicialment
segons les direccions coordenades x i y . Una interpretació anàloga es pot trobar per
als altres components � xz i � yz :
1
� xy � � �� xy
2
1
; � xz � � �� xz
2
1
; � yz � � �� yz
2
(2.71)
2.11.4 Deformacions enginyerils. Vector de deformacions
enginyerils
Hi ha una tradició important en enginyeria a fer servir una denominació
particular per als components del tensor de deformació infinitesimal, la qual
cosa constitueix la denominada notació enginyeril, en contraposició amb la notació
científica usada generalment en mecànica de medis continus. Ambdues notacions
es poden sintetitzar de la forma següent:
52
2 Descripció de la deformació
notació enginyeril
����
������
�
notació
científica
1
1
�
��������������� � �
� xy
� xz
� x
2
2 �
�� 11 � 12 � 13 � �� xx � xy � xz � �
1
1 �
�
�
� � ��� 12 � 22 � 23 �� � �� xy � yy � yz � � � � xy
�y
� yz �
2
2 �
�
��� 13 � 23 � 33 �� ��� xz � yz � zz �� � 1
1
�
�
�z �
��
�� 2 xz 2 yz
(2.72)
Observació 2-17
Els components del tensor de deformació situats en la diagonal
principal (denominats deformacions longitudinals) es denoten per � (�) i
coincideixen amb els allargaments unitaris en les direccions dels eixos
coordenats. Valors positius de les deformacions longitudinals ( � (�) � 0 )
corresponen a un augment de longitud dels segments diferencials
corresponents en la configuració de referència.
Observació 2-18
Els components del tensor de deformació situats fora de la diagonal
principal es caracteritzen pels valors � (�,� ) (denominats deformacions
angulars) i es poden interpretar com els decrements dels corresponents angles
orientats segons les direccions cartesianes en la configuració de referència. Valors
positius de les deformacions angulars ( � (�,�) � 0 ) indiquen que els
angles corresponents es tanquen amb el procés de deformació.
És també molt freqüent en enginyeria aprofitar la simetria del tensor de
deformació infinitesimal (vegeu l’Observació 2-15) per treballar únicament
amb els sis components diferents de tensor esmentat reunint-les en el
denominat vector de deformacions enginyerils definit com:
� � R6
def
��
��x �
�� �
� y�
��z �
� �
�� xy �
�� xz �
� �
�� yz �
�
�
� deformacions longitudinals
�
�
�
� deformacions tangencials,
� deformacions angulars
� transversals o de cisallament
�
(2.73)
2.11.5 Variació de l’angle entre dos segments diferencials en
deformació infinitesimal
Considerem dos segments diferencials qualssevol, PQ i PR , en la configuració
de referència i l’angle � que defineixen (vegeu la Figura 2-16). Sigui
53
2 Descripció de la deformació
� � � � �� l’angle format pels segments corresponents deformats en la
configuració actual. Aplicant l’equació (2.42) al cas esmentat s’obté el següent:
T (1) � �� � 2� �� T ( 2)
cos � � cos(� � ��) �
(2.74)
(1)
(1)
( 2)
(2)
1 � 2�
T�
T�
� ��
� T�
� ��
� T�
��
� 1 � 2�
��
�
�� 1
�� 1
on T (1) i T ( 2 ) són els dos vectors unitaris en les direccions de PQ i PR i es
compleix, per tant, que T (1) � T ( 2) � T (1) T ( 2 ) cos � � cos � . Considerant el
caràcter d’infinitèsim dels components de � i del mateix �� es compleix:
t
t0
T
Q
X3
P
X3
Es consideren els
següents
desenvolupaments en
sèrie de Taylor en un
entorn de x � 0 :
� �
� �
sin x � x � O x 2
cos x � 1 � O x 2
t (1 )
Q'
P'
R
T
X2
ê 2
� � ��
(2)
R'
t ( 2)
Figura 2-16
X1
N O T A
F
�
ê 3
ê1
(1)
cos � � cos(� � �� ) � cos � � cos
� � sin� � sin
��
����
����
�1
� ��
cos
��
���
��
� cos � � sin� � �� �
T (1) � T ( 2) � 2T (1) � � � T ( 2)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
� ��
� ��
�T
�T
T� �1�
T�
�1�
����
����
�
�1
�1
� sin� � �� � �2T (1) � � � T ( 2) �
�� � �
� cos � � 2T (1) � � � T ( 2
2T (1) � � � T ( 2 )
2t (1) � � � t ( 2 )
��
sin�
sin�
(2.75)
(2.76)
on s’ha considerat que, a causa del caràcter infinitesimal de la deformació, es
compleix que T (1) � t (1) , T ( 2) � t ( 2 ) i � � � .
2.11.6 Descomposició polar
Per al cas general de deformació finita la descomposició polar del tensor
gradient de la deformació F ve donada per l’equació (2.49). Per al cas de
deformació infinitesimal, recordant l’expressió (2.12) ( F � 1 � J ) i el caràcter
d’infinitèsim dels components del tensor J (vegeu l’equació (2.61)), el tensor
U de l’equació (2.49) es pot escriure com segueix:
54
2 Descripció de la deformació
R E C O R D A T O R I
El desenvolupament en
sèrie de Taylor del
tensor 1 � x en un
entorn de x � 0 és:
1 � x �1�
� �
1
U �1 � (1 � �� � �� � 1 � � � 1 � ( J � J T )
2 ����
x
�
�
� O x2
El desenvolupament en
sèrie de Taylor del
tensor (1 � x) �1 en un
entorn de x � 0 és:
(1 � x)
�1
� �
�1� x �
� O x2
U �1� �
(2.77)
i, de forma similar, a causa del propi caràcter infinitesimal dels components de
� (vegeu l’Observació 2-16) resulta:
1
x�
2
R E C O R D A T O R I
�1 � J T �� �1 � J � �
�
��
1
T
T
T
T ��
� 1 � J � J � J���
� J � 1 � J���J� � 1 � (J � J )
2 ���� �
�
x
��J
��
�
U � FT F �
(2.78)
amb la qual cosa el tensor de rotació Q de l’equació (2.49) es pot escriure com
segueix:
�
1
�
�
Q � F � U �1 � �1 � J � � �1 � (J � J T �� �
�
2
�
�
�
�
1
1
1
T
T
T �
� 1 � J � (J � J � � J � (J � J � � 1 � (J � J ��
2�
2
2 ���� �
�
����
�
�
�
��J
�
Q �1 � �
(2.79)
L’equació (2.79) defineix el tensor infinitesimal de rotació � :
N O T A C I Ó
Es defineix l’operador
gradient antisimètric � a
mitjançant: � a (�) =
1
�(�) � � � � � (�)�
2
def
� def 1
1
�� � (J � J T � � (u � � � � � u) � � a u
2
2
�
infinitesimal � �
�� � 1 � �u i � �u j � �� 1 i, j � {1,2,3}
de rotació
� ij 2 � �x j �xi �
�
�
�
Tensor
(2.80)
Observació 2-19
El tensor � és un tensor antisimètric. En efecte:
1 T
� T 1
T T
�� � (J � J ) � (J � J ) � ��
2
2
�
�� ji � �� ij i, j �{1,2,3}
�
En conseqüència, � tindrà nuls els termes de la seva diagonal
principal, i la seva matriu de components tindrà l’estructura:
� 0
��� � ��� �12
�� � 31
�12
0
� � 23
� � 31 �
� 23 �
�
0 ��
En el context de petites rotacions, el tensor � és un tensor que caracteritza la rotació
( Q � 1 � � ) i per això el nom de tensor infinitesimal de rotació. En tractar-se
d’un tensor antisimètric queda definit mitjançant només tres components
diferents ( � 23 , � 31 , � 12 ), dels quals es pot extreure el denominat vector
infinitesimal de rotació � :
2 Descripció de la deformació
N O T A C I Ó
Es denota l’operador
rotacional de (�)
mitjançant: � � (�)
�
� �u 3 �u 2 �
�
�
�
�
x
�x3 �
�
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Vector
23
�
�
� 1 � �u �u � def 1
� � �
infinitesimal�� �� � �� � � � �� � 31 � � � 1 � 3 � � � � u
�
�� � � � � � 2 � �x3 �x1 � 2
de rotació
12 �
� �� �
� �u 2 �u1 �
�
� �x � �x �
�
� 1
2 �
�
55
(2.81)
Les expressions (2.12), (2.65) i (2.79) permeten escriure:
F �1 � J �1 �
1
1
(J � J T ) � (J � J T ) �
2�
2
����� �
����
�
�
�
F �1 � � � �
Observació 2-20
Els resultats d’aplicar escalarment el tensor de rotació infinitesimal � i d’aplicar
vectorialment el vector de rotació infinitesimal � a un vector qualsevol
T
r � �r1 , r2 , r3 � (vegeu la Figura 2-17) coincideixen. En efecte:
� 0
� � r � ��� �12
�� � 31
�eˆ 1
� � r � ��1
�
�� r1
not
eˆ 2
�2
r2
� � 31 � � r1 � � �12 r2 � � 31 r3 �
� � �
�
� 23 �� �r2 � � �� �12 r1 � � 23 r3 �
0 �� ��r3 �� �� � 31 r1 � � 23 r2 ��
�12
0
� � 23
eˆ 3 � � eˆ 1
�3 � � �� � 23
� �
r3 �� �� r1
eˆ 2
� � 31
r2
eˆ 3 � � �12 r2 � � 31 r3 �
�
�
� �12 � � �� �12 r1 � � 23 r3 �
�
r3 �� �� � 31 r1 � � 23 r2 ��
En conseqüència, el vector � � r � � � r té les característiques
següents:
�
És ortogonal al vector r (ja que és el resultat d’un producte
vectorial en el qual intervé r ).
�
El seu mòdul és infinitesimal (ja que � ho és).
�
El vector r � � � r � r � � � r es pot considerar, llevat en el cas
d’infinitèsims d’ordre superior, el resultat d’aplicar una rotació �
al vector r .
�
��r � � �r
r
ê 3
ê1
ê 2
Figura 2-17
(2.82)
56
2 Descripció de la deformació
Considerem ara un segment diferencial dX en l’entorn diferencial d’una
partícula P en la configuració de referència (vegeu la Figura 2-18). D’acord
amb l’equació (2.82) la deformació transforma el vector esmentat en el vector
dx :
dx � F � dX � (1 � � � �� � dX �
deformació
���
� � dX
rotació
���
��
� (1 � �� � dX
(2.83)
F(�) � deformació (�) � rotació (�)
Observació 2-21
En règim de deformació infinitesimal l’equació (2.83) caracteritza el
moviment relatiu a una partícula, en un entorn diferencial d’aquesta,
com la suma del següent:
a) Una deformació pròpiament dita, caracteritzada pel tensor infinitesimal
de deformació � .
b) Una rotació caracteritzada pel tensor infinitesimal de rotació �
que (en el context de petites rotacions) manté angles i distàncies.
La superposició ( deformació � rotació ) del cas general de deformació finita
(vegeu l’Observació 2-12) degenera, per al cas de deformació
infinitesimal, en una simple addició ( deformació � rotació ).
x3
P
ê 2
x1
Q'
dx
dX
Q
ê 3
ê1
t
F
t0
�1 � � �dX
P'
dX
x2
� � dX � deformació
� � dX �
� � rotació
� � dX �
Figura 2-18
2.12 Deformació volumètrica
Definició
Deformació volumètrica: Increment, produït per la deformació, del volum
associat a una partícula, per unitat de volum en la configuració de
referència.
La definició anterior es pot expressar matemàticament com (vegeu la Figura 219):
57
2 Descripció de la deformació
def. volumètrica � e( X, t )
def
�
dV ( X, t ) � dV ( X,0) not dVt � dV0
�
dV ( X,0)
dV0
t
F
t0
x3, z
(2.84)
dVt
dV0
P
P�
ê3
ê 2
ê1
x1 , x
x2, y
Figura 2-19
L’equació (2.55) ( dVt � F t dV0 ) permet expressar, al seu torn, la deformació
volumètrica en els termes següents:
�
Deformació finita
e�
�
dVt � dV0 F t dV0 � dV0
�
�
dV0
dV0
(2.85)
e � F �1
Deformació infinitesimal
Considerant l’equació (2.49) ( F � Q � U ) i recordant que Q és un tensor
ortogonal ( Q � 1 ) es pot escriure:
1 � � xx
F � Q � U � Q U � U � 1 � � � det � xy
� xz
� xy
� xz
1 � � yy
� yz
� yz
1 � � zz
(2.86)
on s’ha tingut en compte l’equació (2.77) ( U � 1 � � ). Considerant ara que els
components de � són infinitèsims, i menyspreant en l’expressió del seu
determinant els infinitèsims d’ordre superior a u, es pot escriure:
1 � � xx
� xy
� xz
F � det � xy
1 � � yy
� yz � 1 � � xx � � yy � � zz � O(� 2 ) � 1 � Tr (��
������
�
1 � � zz
� xz
� yz
Tr (�)
(2.87)
i substituint l’equació (2.87) en la (2.85) s’obté, per al cas de deformació
infinitesimal:
58
2 Descripció de la deformació
dVt � �1 � Tr (�� �dV0 �
�
dV � dV0
��
� F � 1�
e� t
dV0
�
e � Tr (��
(2.88)
2.13 Velocitat de deformació
A les seccions anteriors d’aquest capítol s’ha estudiat el concepte deformació
entès com la variació de la posició relativa (angles i distàncies) de les partícules
a l’entorn d’una de determinada. Als apartats següents, considerarem la
velocitat a què es modifica aquesta posició relativa introduint el concepte de
velocitat de deformació com una mesura de la variació de la posició relativa entre
partícules per unitat de temps.
2.13.1 Tensor gradient de la velocitat
Considerant la configuració corresponent en l’instant t , siguin dues partícules
del medi continu P i Q que ocupen els punts espacials P � i Q � en l’instant
esmentat (vegeu la Figura 2-20), les seves velocitats, v P � v �x, t � i
v Q � v �x � dx, t � i la seva velocitat relativa:
t
v�x � dx, t � � v � dv
dx
x3, z
x
Q’
P’
v�x, t �
ê3
x2, y
ê 2
ê1
x1 , x
Figura 2-20
dv (x, t ) � v Q � v P � v�x � dx, t � � v�x, t �
(2.89)
amb la qual es pot escriure:
dv �
�v
� dx � l � dx
�x
�
l
dv i �
�v i
dx j � lij dx j
�x j
�
lij
i, j �{1,2,3}
(2.90)
En l’equació (2.90) s’ha introduït el denominat tensor gradient espacial de la
velocitat l�x, t � definit com:
2 Descripció de la deformació
59
def
�
�v�x, t �
�l�x, t � �
Tensor gradient
�x
��
espacial de la � �l � v � �
�
velocitat
�v
�lij � i i, j � {1,2,3}
�x j
��
(2.91)
2.13.2 Tensor velocitat de deformació i tensor espín
R E C O R D A T O R I
Tot tensor de segon
ordre, a , es pot
descompondre en la
suma de la seva part
simètrica ( sym(a) ) i
antisimètrica skew(a) )
de la forma:
a � sym(a) � skew(a)
T
a�a
2
a � aT
skew(a) =
2
sym(a) =
Descomponent el tensor gradient de la velocitat en les seves parts simètrica i
antisimètrica:
(2.92)
l�d�w
on d és un tensor simètric denominat tensor velocitat de deformació:
�
�
not
� def
1
1
d � sym( l ) � l � lT � � v � � � � � v� � � s v
�
2
2
Tensor
�
velocitat de
1 � �v �v j �
�
� �dij � � i �
� i, j �{1,2,3}
deformació
2
�
� �x j �x i �
�
� d11 d12 d31 �
�
��d� � � d12 d 22 d 23 �
�
�
�
�� d31 d 23 d33 ��
�
�
�
(2.93)
i w és un tensor asimètric denominat tensor velocitat de rotació o tensor espín,
l’expressió del qual és:
�
�
not
� def
1
1
T
a
�w � skew (l) � 2 l � l � 2 �v � � � � � v � � � v
�
Tensor
��
1 � �v �v j �
velocitat de � �w ij � � i �
� i, j � {1,2,3}
2 � �x j �xi �
�
rotació (espín)
�
w 12 � w 31 �
� 0
�
��w � � �� w 12
0
w 23 ��
�
�
�� w 31 � w 23
0 ��
��
�
�
(2.94)
2.13.3 Interpretació física del tensor velocitat de deformació
Considerem el segment diferencial definit per les partícules P i Q de la Figura
2-21 i la variació del quadrat de la seva longitud al llarg del temps:
60
2 Descripció de la deformació
d
d
d 2 d
ds � �dx � dx � � �dx � � dx � dx � �dx � �
dt
dt
dt
dt
� dx �
� dx �
� d � � � dx � dx � d � � � d v � d x � d x � d v
dt��
dt��
���
���
v
v
(2.95)
1
2
i utilitzant les relacions (2.90) ( dv � l � dx ) i (2.93) ( d � (l � l T ) ) s’obté de
l’equació (2.95):
�
�
d 2
T
ds � dx � l T � dx � dx � �l � dx � � dx �l�
��l� � dx � 2dx � d � dx
�
dt
�� 2d ��
�
�
(2.96)
Considerant ara l’equació (2.20) ( ds 2 � dS 2 � 2 dX � E � dX ) derivant-la respecte
al temps i tenint en compte l’equació (2.96):
�
�
d
d 2
ds 2 (t ) � dS 2 �
ds (t ) �
dt
dt
d
�2dX � E(X, t ) � dX� � 2dX � dE � dX � 2dX � E� � dX
dt
dt
�
�
E
2dx � d � dx �
(2.97)
Substituint ara l’equació (2.2) ( dx � F � dX ) en la (2.97) s’obté el següent:
N O T A
S’utilitza aquí el
teorema de l’àlgebra
tensorial següent: donat
un tensor de segon
ordre A , si es verifica
que x � A � x � 0
per a tot vector x � 0 ,
llavors A � 0 .
�
�
�
� � dX � dx � d � dx � �dx �T �d � � �dx� � dX � F T � d � F � dX
dX � E
� � dX � 0 �dX � F T � d � F � E
� �0�
� dX � F T � d � F � E
�
�
�
(2.98)
� � FT � d � F
E
t � dt
x3, z
t
t0
dS
Q
P�
P
ê3
ê1
ds �t �
ê 2
x2, y
x1 , x
Figura 2-21
ds �t � dt �
Q�
P ��
Q ��
61
2 Descripció de la deformació
Observació 2-22
L’equació (2.98) posa de manifest la relació existent entre el tensor
velocitat de deformació d(x, t ) i la derivada material del tensor
material de deformació E� ( X, t ) , proporcionant una interpretació
física (i justificant-ne la denominació) per al tensor d(x, t ) .
Tanmateix, de l’equació esmentada es desprèn que els tensors d(x, t )
� ( X, t ) no són exactament el mateix. Tots dos tensors coincidiran
i E
exactament en els casos següents:
�
En la configuració de referència ( t � t 0 � F |t �t � 1 ).
�
En la teoria de deformació infinitesimal ( x � X � F �
0
�x
� 1 ).
�X
2.13.4 Interpretació física del tensor velocitat de rotació w
Partint de l’equació (2.94) i en ser w un tensor antisimètric (definit, per tant,
mitjançant només tres components diferents), es pot extreure d’aquest el
vector:
N O T A
Observeu la similitud
en l’estructura dels
tensors � i � de la
secció 2.11.6 i els
tensors w i � .
� � �v 2 �v 3 ��
���
�
�� ��
� � �x3 �x 2 �� �� w �
23
�v � �
1
1 � � �v
1
� � rot ( v ) � � � v � � � �� 3 � 1 �� � � �� � w 31 ��
2
2 � � �x1 �x3 � �
2
� � w 12 ��
� � �v
�v �� �
� � �� 2 � 3 ���
� � �x3 �x 2 ��
(2.99)
�
�� r � w �r
r
ê 3
ê1
ê 2
Figura 2-22
El vector 2� � � � v s’anomena vector vorticitat. És possible demostrar (la
demostració és totalment anàloga a la de la Observació 2-20) que es compleix
la igualtat següent:
�� r � w �r
�r
(2.100)
i que, per tant, és possible caracteritzar � com la velocitat angular d’un
moviment de rotació, i � � r � w � r com la velocitat de rotació d’aquell punt
62
2 Descripció de la deformació
que té r com a vector de posició respecte al centre de rotació (vegeu la Figura
2-22). A partir d’aquí, i considerant les equacions (2.90) ( dv � l � dx ) i (2.92)
( l � d � w ), es pot escriure:
dv � l � dx � (d � w ) � dx �
d
��
dx
��
velocitat
d'estirament
w
��
dx
��
�
velocitat de
rotació
(2.101)
Això permet descriure la velocitat relativa dv de les partícules en l’entorn
d’una determinada P (vegeu la Figura 2-23) com la suma d’una velocitat relativa
d’estirament (caracteritzada pel tensor velocitat de deformació d ) i una velocitat
relativa de rotació (caracteritzada pel tensor espín w o el vector vorticitat �� ).
� velocitat
d � dx � �
��d' estirament
t
x3
ê 3
P'
dv
dx
Q'
ê1
x1
ê 2
x2
�velocitat
�
� � � de
� � dx � �
� rotació
w � dx �
Figura 2-23
2.14 Derivades materials dels tensors de
deformació i altres magnituds
2.14.1 Tensor gradient de la deformació F i gradient de la
deformació invers F-1
Derivant respecte al temps l’expressió de F en l’equació (2.3)
N O T A
S’utilitza aquí el
teorema d’igualtat de
derivades creuades per
a funcions regulars:
� 2 (�)
� 2 (�)
�
�� i � j �� j � i
Fij �
�xi �X, t � dFij � �x i ( X, t )
� �xi ( X, t ) �v i �X, t �
�
�
�
�
�
�X j
�X j �
�t �
�t �X j
�X j
dt
��
�
v
i
�v i (x( X, t )) �x k
� lik Fkj �
�
�x
�X
���k��
� ���j
l
F
ik
kj
� dFij
� F�ij � lik Fkj
�
dt
�
�
� dF not �
� F � l�F
�
� dt
i, j �{1,2,3}
(2.102)
63
2 Descripció de la deformació
on s’ha tingut en compte l’expressió (2.91) per al tensor gradient de la velocitat
l . Per obtenir la derivada material del tensor F �1 es deriva la identitat següent:
No s’ha de confondre
la derivada material del
� �
�
�1
dF
tensor invers
dt
� �
.
d F �1
�1
�1
�1
� �F �1 � F
� F � �F �1 � l �
� � F � �F � l � F
�
dt
l�F
1
� �
� d F �1
� �F �1 � l
��
dt
� �1
� dFij � � F �1l
i, j �{1,2,3}
ik kj
�� dt
amb l’invers de la
derivada material del
��
�
tensor: F
�1
� �
d
dF �1
d F �1
�F � F�
�0
(F � F �1 ) �
dt
dt
dt
F � F �1 � 1 �
N O T A
. Tots dos
tensors són diferents.
(2.103)
2.14.2 Tensors de deformació E i e
De les equacions (2.21), (2.102) i (2.93):
. �
1 T
dE . 1 � .T
� E � �� F � F � F T � F �� �
F �F �1 �
2
2�
dt
�
1 T T
1
F � l � F � F T � l � F � F T � l � lT � F � F T � d � F
���
2
2
2d
E�
N O T A
Observeu que el
resultat és el mateix que
l’obtingut en l’equació
(2.98) per un
procediment alternatiu.
�
�
�
�
�
�
(2.104)
.
� E � FT �d � F
Per al tensor espacial de deformació e , de les equacions (2.23) i (2.103) s’obté
el següent:
e�
�
1
1 � F �T � F �1
2
�
�
�
� �
� �
1 � d �T
de
d �1 �
F � F �1 � F �T
F �
� e� � � �
2 � dt
dt
dt
�
�
1 T �T �1
l � F � F � F �T � F �1 � l
2
1
� e� � l T � F �T � F �1 � F �T � F �1 � l
2
�
�
(2.105)
�
2.14.3 Derivades materials de diferencials de volum i d’àrea
El diferencial de volum dV �X, t � associat a una determinada partícula, P , varia
al llarg del temps (vegeu la Figura 2-24) i, en conseqüència, té sentit calcular la
seva derivada material. Derivant l’expressió (2.55) per al diferencial de volum:
dV �X, t � � F�X, t � dV0 �X � �
dF
d
dV0
dV �t � �
dt
dt
(2.106)
amb la qual cosa la derivada material del determinant del tensor gradient de la
deformació F resulta:
64
2 Descripció de la deformació
N O T A
La derivada del
determinant d’un
tensor A , respecte al
tensor mateix, es pot
escriure com:
dA
dA
dA
dAij
d F d F dFij
�1 dFij
�1
�1
�
� F F ji
� F F ji l ik Fkj � F Fkj F ji
l ik � F � ki l ik
�
�
�
�
�
dt
dFij dt
dt
���
�
�
1
�
�� F�F
�� ��
lik Fkj
ki
�
�
ki
�v i
� F ��v �
� F l ii � F
�x i
(2.107)
� A � A �T
dF
� A � A �ji1
dt
� F ��v
on s’han tingut en compte les expressions (2.102) i (2.91). Substituint ara
l’equació (2.107) en la (2.106) s’obté finalment, després de considerar l’equació
(2.55):
d
�dV � � (� � v) �
F dV0 � �� � v � dV
��
dt
dV
(2.108)
t � dt
t
X3,Z
t0
dV0
dV �t �
P
X1, X
P��
P�
ê3
ê1
dV �t � dt �
X 2 ,Y
ê 2
Figura 2-24 – Variació del diferencial de volum
Es pot operar de forma similar per obtenir la derivada material del diferencial
d’àrea associat a una partícula determinada P i a una direcció n (vegeu la
Figura 2-25). El vector diferencial d’àrea associat a la partícula en la
configuració de referència, dA( X) � dA N , i en la configuració actual,
da(x, t ) � da n , estan relacionats per da � F � dA � F �1 (vegeu l’equació (2.59)) i
derivant l’expressió esmentada:
dF
d
d
d
dA � F �1 � F � dA F �1 �
F � dA � F �1 �
(da) �
dt
dt
dt
dt
���
�
���
�
�F �1�l
F ��v
�
�
� �� � v � F dA � F �1 � F dA � F �1 � l �
����� �����
da
da
d
(da) � �� � v �da � da � l � da � �(� � v ) 1 � l �
dt
on s’han considerat les equacions (2.103) i (2.107).
� �
(2.109)
65
2 Descripció de la deformació
t
t0
x3 , X 3
dA � dA N
N
ê3
ê1
x1 , X 1
dA
ê 2
da � da n
n
P�
P
da
x2 , X 2
Figura 2-25 – Variació del diferencial d’àrea
2.15 Moviments i deformacions en
coordenades cilíndriques i esfèriques
Les expressions i equacions obtingudes en notació intrínseca o compacta són
independents del sistema de coordenades considerat. Tanmateix, les
expressions en components depenen del sistema de coordenades en què es
treballi. A més del sistema de coordenades cartesià, en el qual s’ha treballat en els
apartats anteriors, considerarem ara dos sistemes de coordenades curvilínies
ortogonals: coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques.
Observació 2-23
Un sistema de coordenades curvilínies ortogonals (denominades
genèricament {a, b, c} , ve caracteritzat per la seva base física
{eˆ a , eˆ b , eˆ c } unitària ( eˆ a � eˆ b � eˆ c � 1 ) els components del qual
són ortogonals entre si ( eˆ a � eˆ b � eˆ a � eˆ c � eˆ b � eˆ c � 0 ), tal com passa
amb un sistema cartesià. La diferència fonamental és que l’orientació
de la base curvilínia va canviant en cada punt de l’espai
( eˆ m � eˆ m (x) m � {a, b, c} ). Així doncs, als efectes que ens interessen
aquí, podem considerar un sistema de coordenades curvilínies
ortogonals com un sistema de coordenades cartesià mòbil {x �, y �, z �} associat
a la base curvilínia {eˆ a , eˆ b , eˆ c } (vegeu la Figura 2-26).
Observació 2-24
Els components, d’una certa magnitud de caràcter vectorial ( v ) o
tensorial ( T ) en el sistema de coordenades curvilínies ortogonals
{a, b, c} , es podran obtenir com els seus components respectius en el sistema
cartesià local {x �, y �, z �} :
�v a � �v x� �
� � � �
v � � v b � � � v y� �
�v � �v �
� c � � z� �
� Taa
T � ��Tba
�� Tca
Tab
Tbb
Tcb
Tac � �Tx�x �
�
Tbc �� � �Ty�x �
Tcc �� ��Tz�x �
Tx �y�
Ty�y�
Tz�y�
Tx �z� �
�
Ty�z� �
Tz�z� ��
66
2 Descripció de la deformació
Observació 2-25
Els components curvilinis dels operadors diferencials (l’operador � i
els seus derivats) no són iguals als seus components en el sistema
coordenat local {x �, y �, z �} i s’han d’obtenir específicament per a cada cas. El
seu valor per a coordenades cilíndriques i esfèriques es proporciona a
l’apartat corresponent.
2.15.1 Coordenades cilíndriques
La posició d’un cert punt a l’espai es pot definir mitjançant les seves
coordenades cilíndriques �r , �, z� (vegeu la Figura 2-26). En la figura
esmentada es presenta també la base física ortonormal eˆ r , eˆ � , eˆ z . Aquesta base
canvia en cada punt de l’espai d’acord amb:
�eˆ r
� eˆ �
��
�eˆ �
� �eˆ r
��
(2.110)
� x � r cos�
�
x(r ,� , z ) � � y � r sen �
�z � z
�
y´
z´
z
ê z
r
ê �
ê r
x´
z
�
x
r
y
Figura 2-26 – Coordenades cilíndriques
En la Figura 2-27 es presenta l’element diferencial corresponent.
dS � r d�
� zz
dz
r
�
r
d�
� zr
� �r
� ��
dr
� �z
dV � r d� dr dz
� z�
� rz
� r�
� rr
dV
Figura 2-27 – Element diferencial en coordenades cilíndriques
Les expressions en coordenades cilíndriques d’alguns dels elements tractats en
aquest capítol són:
67
2 Descripció de la deformació
�
Operador nabla
��
�
�
�
�
1 �
eˆ r �
eˆ � � eˆ z
�z
�r
r ��
�� �
� �r �
�
�
1 ��
� ���
� r �� �
�
�
�� �
�� �z ��
(2.111)
Vector de desplaçaments u i vector velocitat v
�u r �
u � u r eˆ r � u � eˆ � � u z eˆ z � u � ��u � ��
��u z ��
(2.112)
�v r �
v � v r eˆ r � v � eˆ � � v z eˆ z � u � �� v � ��
�� v z ��
(2.113)
Tensor infinitesimal de deformació �
�� x�x� � x�y� � x�z� � � � rr
1
�u � � � � �u � � �T � ��� x�y� � y�y� � y�z� �� � ��� r�
2
��� x�z� � y�z� � z�z� �� � � rz
�u
1 �u� u r
�u
� rr � r
��� �
� zz � z
�
�z
r ��
r
�r
�
��
�
1 � 1 �u r �u� u� �
�
� �
�r
2 �� r ��
r �
1 � �u� 1 �u z �
�
��z � �
�
2 � �z r �� �
� r�
���
��z
� rz �
��z �
�
� zz �
(2.114)
�u �
1 � �u
� rz � � r � z �
�r �
2� �z
� r� �
En la Figura 2-27 es presenten els components de � sobre l’element diferencial
corresponent.
�
Tensor velocitat de deformació d
� d x�x�
1
�
T
d � �v � � � � �v � � � � �d x�y�
2
�� d x�z �
1 �v� v r
�v
d rr � r
d�� �
�
r ��
r
�r
�
�
1 � 1 �v r �v� v� �
�
� �
�r
2 �� r ��
r �
1 �v z �
1 �v
d�z � �� � �
�
2 � �z r �� �
d r� �
d x�y�
d y�y�
d y �z �
d x�z� � � d rr
�
d y�z � � � � d r�
�
d z�z� �� � d rz
d zz �
�v z
�z
�v �
1 � �v
d rz � � r � z �
�r �
2� �z
d r�
d��
d�z
d rz �
d�z �
�
d zz �
(2.115)
68
2 Descripció de la deformació
2.15.2 Coordenades esfèriques
Un punt de l’espai està definit per les seves coordenades esfèriques �r , �, ��.
Línia coordenades �
� x � r sen � cos �
�
x � x�r , � , � � � � y � r sen � sen �
� z � r cos �
�
z
x´
ê r
�
r
ê �
z´
ê �
�
y´
x
y
Línia coordenada �
Figura 2-28 – Coordenades esfèriques
En la Figura 2-28 es presenta la base física ortonormal eˆ r , eˆ � , eˆ � . Aquesta base
canvia en cada punt de l’espai d’acord amb el següent:
�eˆ r
� eˆ �
��
�
�eˆ �
� �eˆ r
��
�eˆ �
��
�0
Operador nabla
�
�
�
�
�
�r
�
�
�eˆ r 1 �eˆ �
�
1
1 �eˆ �
�
�
�
�� � �
��
� r �� �
�r
r ��
r sen � ��
� 1
� �
� r sen � �� �
�
�
�
(2.116)
(2.117)
Vector de desplaçaments u i vector velocitat v
�u r �
� �
u � u r eˆ r � u � eˆ � � u � eˆ � � u � � u � �
�u � �
� �
�v r �
� �
ˆ
ˆ
ˆ
v � v r e r � v � e � � v � e � � u � �v � �
�v � �
� �
(2.118)
(2.119)
69
2 Descripció de la deformació
�
Tensor infinitesimal de deformació �
�� x�x� � x�y�
1
�
T
� � �u � � � � �u � � � � �� x�y� � y�y�
2
��� x�z � � y �z �
�u
1 �u � u r
� rr � r
� �� �
�
�r
r ��
r
�
u
u
u
1
�
� �� �
� � cot � � r
r sen � ��
r
r
�
�
� x�z� � �� rr
� �
� y�z � � � �� �r
� z �z� �� ��� r�
� r�
� ��
� ��
� r� �
�
� �� �
� �� ��
(2.120)
1 � 1 �u r �u� u� �
1 � 1 �u r �u � u � �
�
� �
� r� � �
�
�
�r
2 � r sen � ��
�r
2 �� r ��
r ��
r �
�
1 � 1 �u � 1 �u � u �
�
� �
�
cot � �
2 � r sen � ��
r ��
r
�
� r� �
� ��
En la Figura 2-29 es presenten els components de � sobre l’element diferencial
corresponent.
� Tensor velocitat de deformació d
�d x�x� d x�y�
1
�
T
d � �v � � � � �v � � � � �d x�y� d y �y �
2
�� d x�z � d y�z�
�v
1 �v� v r
d rr � r
d�� �
�
r ��
r
�r
v
1 �v � v �
cot � � r
d �� �
�
r sen � ��
r
r
�
�
d x�z� � � d rr
� �
d y�z� � � �d r�
d z�z � �� �� d r�
d r�
d ��
d��
d r� �
�
d �� �
d �� ��
(2.121)
1 � 1 �v r �v � v � �
1 � 1 �v r �v� v� �
�
�
d r� � �
�
�
�
�
�
2 � r sen � ��
2 � r ��
�r
r �
r �
�r
�
1 � 1 �v� 1 �v � v �
�
�
cot � �
� �
2 � r sen � ��
r ��
r
�
d r� �
d ��
d�
� rr
z
� r�
� r�
��� �
�r
d�
�
�
� ��
� r�
r
y
� r�
���
dV � r 2 sen � dr d� d�
x
Figura 2-29 – Element diferencial en coordenades esfèriques
3 Equacio n s de
compatibilitat
3.1 Introducció
N O T A C I Ó
Aquí es fa servir la
notació simplificada:
�U i not
� U i, j
�X j
Donat un camp de desplaçaments U( X, t ) suficientment regular, sempre és
possible trobar el camp de deformacions corresponent (per exemple, el de
Green-Lagrange) mitjançant derivació d’aquest respecte a les coordenades (en
aquest cas materials):
E ij �
1 �� �U i �U j �U k �U k �� not 1
� �U i , j � U j ,i � U k ,iU k , j � i, j � {1,2,3}
�
�
2 �� �X j �X i �X i �X j �� 2
(3.1)
En cas de deformacions infinitesimals, donat el camp de desplaçaments u(x, t ) ,
el camp de deformacions s'obté de la manera següent:
� ij �
1 �� �u i �u j
�
2 �� �x j �x i
� not 1
� � u i , j � u j ,i
� 2
�
�
�
(3.2)
i, j � {1,2,3}
Es pot plantejar la pregunta en forma inversa, és a dir: donat un camp de
deformacions � �x, t � , és possible trobar un camp de desplaçaments u�x, t � de
manera que � �x, t � sigui el seu tensor infinitesimal de deformació? Això no
sempre és possible i la resposta la proporcionen les equacions de compatibilitat.
L'expressió (3.2) constitueix un sistema de 6 (per la simetria) equacions
diferencials en derivades parcials (EDP) amb 3 incògnites
u1( x , t ), u2 ( x , t ), u3 ( x , t ) . Aquest sistema està sobredeterminat, ja que existeixen
més condicions que incògnites i pot no tenir solució.
Per tant, per tal que un tensor simètric de segon ordre � �x, t � correspongui a
un tensor de deformacions (i que, per tant, sigui integrable i existeixi un camp
de desplaçaments del qual provingui) cal que verifiqui unes determinades
condicions. Aquestes condicions s’anomenen condicions o equacions de
compatibilitat i garanteixen la continuïtat del medi continu durant el procés de
deformació (vegeu la Figura 3-1).
1
8
7
2
9
6
3
4
5
E �X , t �
8
1
9
2
3
7
6
4
Figura 3-1 – Camp de deformacions no compatible
5
3 Equacions de compatibilitat
72
Definició
Condicions de compatibilitat: Són les condicions que ha de verificar un
tensor simètric de segon ordre perquè pugui ser un tensor de
deformació i que, per tant, existeixi un camp de desplaçaments del
qual provingui.
Observació 3-1
Observeu que per definir un tensor de deformació no es poden
escriure de forma arbitrària els 6 components d'un tensor simètric. Cal
que aquests verifiquin les condicions de compatibilitat.
Observació 3-2
Donat un camp de desplaçaments, sempre podem obtenir, per
derivació, un tensor de deformació associat a aquest que verificarà
automàticament les condicions de compatibilitat. Així doncs, en
aquest cas no té sentit la verificació d'aquestes condicions.
3.2 Exemple preliminar: equacions de
compatibilitat d'un camp vectorial
potencial
Donat un camp vectorial v�x, t � , es diu que és un camp potencial si existeix una
funció escalar ��x, t � (anomenada funció potencial) de manera que el seu
gradient sigui v�x, t � , és a dir:
� v�x, t � � ���x, t �
�
� � � ���x, t �
�v i x, t � �x
i
�
i � {1,2,3}
(3.3)
Per tant, donada una funció escalar ��x, t � (contínua), sempre és possible
definir un camp vectorial potencial v�x, t � del qual aquella sigui el potencial
d'acord amb l'equació (3.3).
La qüestió que es planteja ara és la inversa: donat un camp vectorial v�x, t � ,
existeix una funció escalar ��x, t � tal que �� �x, t � � v �x, t � ? En components,
això s'escriu de la manera següent:
3 Equacions de compatibilitat
��
��
�0
� vx �
�x
�x
��
��
� vy �
�0
vy �
�y
�y
��
��
� vz �
vz �
�0
�z
�z
73
vx �
(3.4)
L’equació (3.4) és un sistema d’EDP amb 3 equacions i amb 1 incògnita
( �(x, t ) ), per la qual cosa està sobredeterminat i pot no tenir solució.
Derivant una vegada les expressions (3.4) respecte a ( x, y, z ) s’obté el següent:
�v x � 2 �
� 2
�x
�x
�v y
� 2�
�
�x
�y�x
�v z
� 2�
�
�x �z�x
R E C O R D A T O R I
El teorema de Schwartz
(igualtat de derivades
creuades) garanteix que
per a una funció
� 2�
� 2�
�
�xi �x j �x j �xi
�i, j
�v x
� 2�
�
�z
�x�z
�v y
� 2�
�
�z
�y�z
�v z � 2 �
� 2
�z
�z
(3.5)
L'equació (3.5) representa un sistema de 9 equacions. Considerant el teorema de
Schwartz, es pot veure que en aquestes 9 equacions intervenen 6 funcions
(derivades segones) diferents de la incògnita � , és a dir:
� 2�
� 2� � 2� � 2� � 2� � 2�
,
,
,
,
,
�x 2 �y 2 �z 2 �x�y �x�z �y�z
� ( x1 , x 2 .....x n )
contínua i amb
derivades contínues es
compleix:
�v x
� 2�
�
�y
�x�y
�v y � 2 �
� 2
�y
�y
�v z
� 2�
�
�y �z�y
(3.6)
Per aquest motiu les podem eliminar del sistema original (3.5) i establir 3
relacions, denominades condicions de compatibilitat, entre les derivades
parcials primeres dels components de v�x, t � .
Per tant, perquè existeixi una funció escalar ��x, t � tal que ���x, t � � v�x, t � , el
camp vectorial v�x, t � ha de verificar les equacions de compatibilitat següents:
�v y
�x
�v x
�z
�v z
�y
def
�
�v x
� 0 � Sz �
�y
�
�S x �
def
��
�v z
� �
� 0 � S y � on S � �S y � �
�
�x
�S �
�
� z�
def
�v y
�
� 0 � Sx �
�
�z
��
�
eˆ 1
�
�x
vx
eˆ 2
�
�y
vy
eˆ 3
not
�
� rot v � � � v
�z
vz
(3.7)
En conseqüència, de l'equació (3.7), les equacions de compatibilitat es poden
escriure com:
�� � v � 0
Equacions de compatibilitat
�
d' un camp
� � �v i �v j
� �x � �x � 0
vectorial potencial
i
� j
i, j � {1,2,3}
(3.8)
3 Equacions de compatibilitat
74
R E C O R D A T O R I
Un teorema de la
geometria diferencial
estableix que la
divergència del
rotacional de qualsevol
camp és nul·la:
Observació 3-3
Les 3 equacions de compatibilitat (3.7) o (3.8) no són independents
entre si i es pot establir una relació funcional entre elles. En efecte,
aplicant la condició que la divergència del rotacional d'un camp
vectorial és nul·la, s'obté el següent:
� � �� � v � � 0
� � �� � (�) � � 0
3.3 Condicions de compatibilitat per a les
deformacions infinitesimals
Sigui el camp de deformacions infinitesimals �(x, t ) de components:
� ij �
1 �� �u i �u j
�
2 �� �x j �x i
� 1
� � u i , j � u j ,i
� 2
�
�
�
i, j � {1,2,3}
(3.9)
que es pot descriure matricialment mitjançant:
�� xx
��� � ��� xy
�� xz
�
� xy
� yy
� yz
1 � �u x �u y �
�
�
�
�x ��
2 �� �y
�u y
� �u x
�
�x
� xz � �
� �
�
� yz � � �
� zz �� �
�
�( simètric)
�
�y
�
1 � �u x �u z � �
�
�
��
�x � �
2 � �z
1 � �u y �u z ��
�
��
�
2 �� �z
�y ���
�u z
�
�
�z
�
(3.10)
A causa de la simetria de l'equació (3.10) només s'obtenen 6 equacions
diferents:
� xx �
� yy �
� zz �
�u x
�0
�x
�u y
�y
�0
�u z
�0
�z
1 � �u x �u y �
�
��0
�
�x ��
2 �� �y
�u �
1 � �u
� � x � z ��0
�x �
2 � �z
� xy �
� xz
� yz �
(3.11)
1 � �u y �u z �
�
��0
�
�y ��
2 �� �z
L'equació (3.11) és un sistema de 6 EDP amb 3 incògnites, que són els
components del vector de desplaçaments u(x, t ) . En general, aquest problema
no tindrà solució llevat que es verifiquin determinades condicions de
compatibilitat. Per obtenir aquestes condicions es deriven dues vegades les
equacions (3.11) respecte a les coordenades espacials i s'obté el següent:
3 Equacions de compatibilitat
75
�u �
�
� 2 � � xx � x �
�x �
�
� 6 equacions
� x 2 , �y 2 , �z 2 , �xy, �xz, �yz
�
�
�
�
(3.12)
�
1 � �u y �u z � ��
�
� 2 � � yz � ��
�
�
2 � �z
�y �� ��
�
� 6 equacions
� x 2 , �y 2 , �z 2 , �xy, �xz, �yz
que proporcionen un total de 36 equacions.
� 2� xx � 3u x
�
�x 2
�x 3
� 2� yz
� 2� xx
� 3u x
�
�y 2
�x�y 2
� 2� yz
�x 2
�y 2
� 2� xx
� 3u x
�
�z 2
�x�z 2
�
� 2� yz
�z 2
� 2� xx
� 3u
� 2x
�x�y �x �y
� 2� yz
� 2� xx
� 3u
� 2x
�x�z �x �z
� 2� yz
�x�y
�x�z
3
� 3u z ��
1 �� � u y
�
2 �� �z�x 2 �y�x 2 ��
�
�
�
�
�
3
1 �� � u y � 3u z ��
�
2 �� �z�y 2 �y 3 ��
3
� 3u z ��
1 �� � u y
�
2 �� �z 3 �y�z 2 ��
3
� 3u �
1 �� � u y
� 2z �
2 �� �z�x�y �y �x ��
3
� 3u z ��
1 �� � u y
�
2 �� �z 2 �x �y�x�z ��
� � xx
� ux
�
�y�z �x�y�z
�������
3
� 3u �
1 �� � u y
� 2z �
2
�y�z 2 �� �z �y �y �z ��
�����
�������
�
(per a � xx , � yy , � zz � 18 equacions)
(per a � xy , � xz , � yz � 18 equacions)
2
� 2� yz
3
(3.13)
�
En aquestes 36 equacions intervenen totes les terceres derivades possibles de cada
component dels desplaçaments u x , u y y u z . Es tracta, per tant, de 30
derivades diferents:
� 3u x
� 10 derivades
�x 3 , �x 2 y, �x 2 z, �y 3 , �y 2 x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz
� 3u y
�x 3 , �x 2 y, �x 2 z, �y 3 , �y 2 x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz
� 10 derivades
(3.14)
3
� uz
� 10 derivades
�x , �x y, �x z, �y , �y x, �y 2 z , �z 3 , �z 2 x, �z 2 y, �xyz
3
2
2
3
2
que constitueixen les 30 incògnites del sistema de 36 equacions
� � 3ui
� 2 � ij
,
fn �
� �x j �x k �xl �x k �xl
������
30
definit a (3.13).
�
� n � 1....36
�
�
(3.15)
3 Equacions de compatibilitat
76
Per tant, d'aquest sistema es poden eliminar les 30 incògnites derivades dels
desplaçaments
� 3u i
i s’obtenen 6 equacions, en les quals no apareixeran
�x j �x k �xl
aquestes terceres derivades, on intervindran les 21 segones derivades del tensor de
deformacions
� 2 � ij
�x k �xl
. Després de les operacions algebraiques corresponents,
aquestes equacions queden de la següent manera:
� def � 2� yy � 2� zz
� 2� yz
S
�0
�
�
�
2
� xx
�y�z
�y 2
�z 2
�
� def � 2�
� 2� xz
� 2� xx
zz
�S yy �
�0
�
�
2
�x�z
�z 2
�x 2
�
� def � 2�
� 2� xy
� 2� yy
xx
�
S
�
�0
�
�
2
zz
Equacions
�x�y
�x 2
�y 2
��
� � def
de
� 2� zz � � �� yz �� xz �� xy �
��0
�
� �
�
compatibilitat �S xy � �
�
�x�y �z �� �x
�y
�z ��
�
2
� def � � yy � � �� yz �� xz �� xy �
��0
S
� �
�
�
�
�
xz
�
�x�z �y �� �x
�z ��
�y
�
� def � 2�
� � �� yz �� xz �� xy �
xx
��0
�
� �� �
�
�S yz � �
�y�z �x � �x
�z ��
�y
��
(3.16)
que constitueixen les equacions de compatibilitat per al tensor infinitesimal de deformació
� . L'expressió compacta corresponent a les 6 equacions (3.16) és:
Equacions de compatibilitat
per al tensor infinitesimal
de deformació
� S � � � �� � � � � 0
(3.17)
Observació 3-4
Les 6 equacions (3.16) no són funcionalment independents i,
aprofitant de nou el fet que la divergència del rotacional d'un camp és
intrínsecament nul·la, es poden establir entre elles les relacions
funcionals següents:
� �S xx �S xy �S xz
�
�
�0
�
�y
�z
� �x
�� �S xy �S yy �S yz
� � S � � � (� � �� � � �) � 0 � �
�0
�
�
�z
�y
� �x
� �S
�S
�S
� xz � yz � zz � 0
�z
�y
�� �x
Una altra forma d'expressar les condicions de compatibilitat (3.16) és fent
servir l'operador de tres índexs denominat operador de permutació ( eijk ):
77
3 Equacions de compatibilitat
Observació 3-5
L'operador de tres índexs denominat operador permutació ve donat per:
� 0 � si algun índex es repeteix : ( i � j o i � k o j � k)
�
ijk � {123, 231,312}
eijk � � 1 � sentit positiu (horari) d' índexs :
�- 1 � sentit negatiu (antihorari) d' índexs : ijk � {132, 321, 213}
�
1
+
3
_
2
Figura 3-2
En aquest cas les equacions de compatibilitat es poden escriure així:
S mn � emjq enir � ij , qr � 0
(3.18)
Finalment, una altra expressió possible de les condicions de compatibilitat és:
� ij ,kl � � kl ,ij � � ik , jl � � jl ,ik � 0 i, j, k , l � {1,2,3}
(3.19)
Observació 3-6
Atès que les equacions de compatibilitat (3.16) involucren només
derivades espacials segones dels components del tensor de
deformació �(x, t ) , tot tensor de deformació lineal (polinòmic d'ordre 1)
respecte a les variables de l’espai serà compatible i, per tant, integrable.
Com a cas particular, tot tensor de deformació uniforme �(t ) serà integrable.
3.4 Integració del camp de deformacions
infinitesimals
3.4.1 Fórmules preliminars
Sigui el tensor de rotació � (x, t ) per al cas de deformacions infinitesimals
(vegeu el capítol 2, apartat 2.11.6):
3 Equacions de compatibilitat
78
1
�
�� � 2 �u � � � � � u �
�
�
�
�u �
�� ij � 1 � �ui � j � i, j,� {1,2,3}
��
2 �� �x j �x i ��
(3.20)
i el vector rotació �(x, t ) , associat a aquest, definit com:
� �1 � �� � 23 � �� � yz �
1
1
�
�
� � rot u � � � u � ��� 2 �� � �� � � 31 �� � � � � zx �
2
2
�� � 3 �� �� � �12 �� ��� � xy ��
R E C O R D A T O R I
El tensor � és
antisimètric
��
� 0
�� �
12
�
�� � 31
� 12
0
� � 23
� � 31 �
� 23 ��
0 ��
(3.21)
Derivant el tensor de rotació (3.20) respecte a la coordenada x k s'obté el
següent:
� ij �
1 �� �u i �u j
�
2 �� �x j �x i
�
�� ij 1 � � �u i �u j �
� �
�
�
�
�
�
�x k
2 �x k � �x j �x i �
�
Sumant i restant en l'equació (3.22) el terme
següent:
�� ij
�x k
�
�
1 � � �u i �u j
�
�
2 �x k � �x j �x i
(3.22)
2
1 � uk
i reordenant s'obté el
2 �xi �x j
� 1 � 2uk
1 � 2uk
�
�
��
� 2 �x i �x j 2 �x i �x j
� 1 � �u i �u k � � 1 �� �u j �u k �� �� ik �� jk
�
��
�
�
�
�
�x j 2 �� �x k
�x i �� �x i 2 �� �x k �x j �� �x j
�x i
�������
�������
�ik
� jk
(3.23)
L'equació (3.23) es pot fer servir ara per calcular les derivades cartesianes dels
components del vector velocitat de rotació, �(x, t ) , de l'equació (3.21), i s’obté
el següent:
�� yz �� xz �� xy
� ��1
�
��
�
�
�y
�
�z
�x
x
�
�� ��
�� yz �� yz �� yy
� �1 � � 1 � �
�
�
�
�y
�y
�z
y
�
� ��
�� yz �� zz �� zy
� 1 ��
�
�
�y
�z
�z
�� �z
(3.24)
�� zx �� xx �� xz
� �� 2
� �x � � �x � �z � �x
�
�� zx �� xy �� yz
� ��
�
�
�� 2 � � 2 � �
�x
�z
�y
� �y
� �� 2
�� zx �� xz �� zz
��
�
�
�
�z
�z
�x
� �z
(3.25)
3 Equacions de compatibilitat
�� xy �� xy �� xx
� �� 3
�
�
��
�
�x
�x
�y
� �x
�� ��
�
� xy
�
�
�
�
xy
yy
�� 3 � � 3 � �
�
�
�y
�x
�y
� �y
� ��
�
�
�
�
�
�
xy
yz
� 3 ��
� xz
�
�y
�x
�z
�� �z
79
(3.26)
Suposem ara que coneixem el vector de rotació �(x, t ) i, a través seu
mitjançant les equacions (3.21), el tensor de rotació �(x, t ) . Considerant el
tensor gradient dels desplaçaments J (x, t ) (vegeu el capítol 2, apartat 2.11.6) es
pot escriure el següent:
�u(x, t )
�
�J � �x � � � �
�
�
�
�
�
�
� J � �u i � 1 � �u i � �u j � � 1 � �u i � �u j � � � � � i, j �{1,2,3}
ij
ij
� ij �x j 2 � �x j �xi � 2 � �x j �x i �
��������� ���������
�
�ij
��
�ij
(3.27)
Finalment, escrivint de forma explícita els diversos components de l'equació
(3.27) i tenint en compte l'equació (3.21) s'obté el següent:
N O T A
D'acord amb l'equació
(3.21), el tensor � es pot
escriure com:
��
� 0
�� �
12
�
�� � 31
� 0
��
� 3
�� � � 2
� 12
0
� � 23
� �3
0
�1
� � 31 �
� 23 �� �
0 ��
�2 �
� �1 ��
0 ��
j �1
�u x
i � 1:
� � xx
�x
�u y
i � 2:
� � xy � � 3
�x
�u z
i � 3:
� � xz � � 2
�x
j�2
�u x
� � xy � � 3
�y
�u y
� � yy
�y
�u z
� � yz � �1
�y
j �3
�u x
� � xz � � 2
�z
�u y
� � yz � �1
�z
�u z
� � zz
�z
(3.28)
3.4.2 Integració del camp de deformacions
Sigui �( x, t ) el camp de deformacions infinitesimals que es vol integrar. Aquesta
operació es farà en dos passos:
1) Utilitzant les expressions (3.24) a (3.26), s'integra el vector de rotació �(x, t ) .
La integració, respecte a l'espai, del vector de rotació en les equacions
(3.24) a (3.26) portarà a solucions del tipus:
~
�i � �i �x, y , z, t � � ci (t ) i � {1,2,3}
(3.29)
on les constants d'integració, ci (t ) , que en general poden ser funció del
temps, es poden determinar coneixent el valor (o l'evolució al llarg del
temps) del vector de rotació en algun punt del medi.
3 Equacions de compatibilitat
80
2) En un segon pas, coneguts ara el tensor de deformació infinitesimal �(x, t ) i el
vector de rotació �(x, t ) , s'integra el camp de desplaçaments u(x, t ) fent servir el
sistema d’EDP de primer ordre (3.28) i s’obté el següent:
u i � u~i �x, y, z , t � � c i' �t �
i � {1,2,3}
(3.30)
Novament, les constants d'integració ci� (t ) que apareixen en l'equació
(3.30), que en general seran funció del temps, es determinaran coneixent el
valor (o l'evolució al llarg del temps) dels desplaçaments en algun punt de
l'espai.
Observació 3-7
Els processos d'integració dels passos 1) i 2) impliquen integrar
sistemes d’EDP de primer ordre. Si es compleixen les equacions de
compatibilitat (3.16), aquests sistemes seran integrables (sense portar a
contradiccions en la seva integració) i permetran, finalment, obtenir el
camp de desplaçaments.
Observació 3-8
L'aparició de les constants d'integració en les equacions (3.29) i (3.30)
posa de manifest que un tensor de deformació integrable, �(x, t ) ,
determina el moviment en cada instant de temps llevat d’una rotació
not
not
c(t ) � �ˆ (t ) i una translació c �(t ) � uˆ (t ) :
N O T A
El tensor de rotació de
ˆ (t )
sòlid rígid �
���( x, t ) � ~
� (x, t ) � �ˆ (t )
�(x, t ) � �
~ (x, t ) � uˆ (t )
��u (x, t ) � u
(antisimètric) es construeix
a partir del vector de
rotació �ˆ (t ) com:
A partir d’aquesta rotació �ˆ (t ) i translació uˆ (t ) uniformes, es pot
construir el camp de desplaçaments següent:
ˆ �
�
ˆ (t ) x � uˆ (t ) ( � u � � � � �
ˆ )
u � ( x, t ) � �
ˆ
ˆ �
� 0
�
��
12
31
�
� ˆ
ˆ
0
�
�
�
12
23
��
�
ˆ
ˆ
�
��
0
�
�
23
�
� 31
ˆ
ˆ
� 0 � �3 �2 �
�
� ˆ
0 � �ˆ 1 �
� �3
�� �ˆ
0 �
�ˆ 1
�
� 2
que es denomina moviment de sòlid rígid. En efecte, la deformació
associada al desplaçament esmentat és nul·la:
1
1 ˆ ˆT
��
� � (x, t ) � � S u * � ( u � � � � � � u � � � (�
�) � 0
2
2
ˆ
��
tal com correspon al concepte de sòlid rígid (sense deformació). Per
tant, es pot concloure que tot camp de deformació compatible determina els
desplaçaments del medi continu llevat un desplaçament de sòlid rígid, el qual s’ha
de determinar amb les condicions de contorn apropiades.
81
3 Equacions de compatibilitat
Exemple 3-1
Per a un cert moviment, el tensor de deformació infinitesimal té el valor següent:
y 3 2 �
�
�
x z�
� 8x
2 2
� y
�
x
0 �
� ( x, t ) � � �
� 2
�
�3 2
3 �
x �
�� 2 x z 0
�
Obteniu el vector de desplaçaments u(x, t ) i el tensor de rotació �(x, t ) sabent que
u(x, t ) | x � (0, 0,0) � {3t ,0,0}T y � (x, t ) | x � (0, 0,0) � 0 .
T
T
1) Vector de rotació
Plantejant els sistemes d'equacions(3.24) a (3.26), s'obté el següent:
��1
�0
�x
�� 2
� �3 xz
�x
�� 3
�0
�x
��1
��1
�0 ;
�0
� �1 � C1 (t )
�y
�z
�� 2
�� 2
3
3
;
� � x 2 � � 2 � � x 2 z � C 2 �t �
�0 ;
�z
�y
2
2
�� 3
�� 3 3
3
;
;
�0
� � 3 � y � C 3 (t )
�
�z
�y 2
2
Les constants d'integració C i (t ) es determinen imposant que
� (x, t ) | x � (0, 0,0) � 0 (i, per tant, el vector de rotació �(x, t ) | x � (0 ,0,0 ) � 0 ) i s’obté
;
T
T
el següent:
C1 (t ) � C 2 (t ) � C 3 (t ) � 0
i el tensor de rotació és:
� 0
�(x) � �� � 3
��� � 2
� �3
0
�1
2) Vector de desplaçaments
�
�
�
��
�( x ) � � �
�
�
��
�
�
3 2 ��
x z�
2
�
3
y �
��
2
0
3
3
�
�
0
� y � x 2 z�
�
2
2
�2 � �
�
3
� �1 �� � � y
0
0 �
� 2
�
0 �� � 3 2
�
0
0
x
z
�� 2
��
Plantejant, i integrant, els sistemes d'equacions (3.28) s’obté:
�u1
�u1
�u1
;
�0
� u1 � 4 x 2 � y 2 � C1' (t )
� �2 y ;
� 8x
�z
�y
�x
�u 2
�u 2
�u 2
;
;
�0
� u 2 � xy � C 2' (t )
�x
�y
�z
�y
�x
�u 3
�u 3
�u 3
;
� 3x 2 z ;
�0
� x 3 � u 3 � x 3 z � C 3' (t )
�x
�y
�z
3 Equacions de compatibilitat
82
i imposant que u(x, t ) | x � (0, 0,0) � {3t ,0,0}T :
T
C1 (t ) � 3 t ;
C 2 (t ) � C 3 (t ) � 0
�
�4 x 2 � y 2 � 3t �
�
�
xy
u(x, t ) � �
�
3
�
�
x
z
�
�
3.5 Equacions de compatibilitat i integració
del tensor velocitat de deformació
Tenint en compte les definicions dels tensors de deformació infinitesimal � del
tensor de rotació � i del vector de rotació � , hi ha una clara correspondència
entre aquestes magnituds i a) el tensor velocitat de deformació d , b) el tensor
velocitat de rotació w (o tensor spin) i c) el vector velocitat de rotació �
donats al capítol 2. Les correspondències esmentades es poden establir de la
següent manera:
u
� (u)
1 �� �u i �u j
�
2 �� �x j �x i
�
�
�
�
�
u
�
1 �u
j �
�
� ij � � i �
2 �� �x j �x i ��
1
� � ��u
2
� ij �
v
�
d( v )
1 �� �v i �v j
�
2 �� �x j
�x i
�
�
�
�
�
v
�
1 �v
j �
�
w ij � � i �
2 �� �x j �x i ��
1
�� ��v
2
d ij �
(3.31)
És evident, llavors, que el concepte de compatibilitat d'un camp de
deformacions � introduït a l'apartat 3.1 es pot estendre, en virtut de la
correspondència (3.31), a la compatibilitat d'un camp de velocitat de
deformació d(x, t ) .
Per integrar aquest camp es podrà fer servir el mateix procediment vist a
l'apartat 3.4.2, substituint � per d , u per v , � per w i � per � . Certament,
aquesta integració només es podrà dur a terme si es compleixen les equacions
de compatibilitat (3.16) en els components de d(x, t ) .
Observació 3-9
Les equacions de compatibilitat resultants i el procés d'integració del
tensor velocitat de deformació d(x, t ) no estan, en aquest cas,
restringits al cas de deformació infinitesimal.
4 Tensió
4.1 Forces màssiques i superficials
Considerarem que les forces que poden actuar sobre un medi continu poden
ser de dos tipus: forces màssiques i forces de superfície (o superficials).
4.1.1 Forces màssiques
Definició
Forces màssiques: són les forces que s’exerceixen a distància sobre
les partícules de l’interior del medi continu. Exemples d’aquest
tipus de forces són les forces gravitatòries, les inercials o les
d’atracció magnètica.
fV
x3
P
d fV � � b dV
dV
ê 3
x1
ê1
ê 2
x2
b
Figura 4-1 – Forces màssiques en el medi continu
Sigui b�x, t � la descripció espacial del camp vectorial forces màssiques per unitat de
massa. Multiplicant el vector de forces màssiques b�x, t � per la densitat � , s’obté el
vector de forces màssiques per unitat de volum �b�x, t � (densitat de forces
màssiques). La resultant total, f V , de les forces màssiques sobre el volum
material V de la Figura 4-1 serà la següent:
fV � � � b�x, t � dV
V
(4.1)
84
4 Tensió
Observació 4-1
En la definició de les forces de volum donada a (4.1), s’accepta
implícitament l’existència del vector �b�x, t � de densitat de forces
màssiques. Això suposa que, donada una seqüència arbitrària de
volums �Vi que contenen la partícula P i la seqüència corresponent
de forces màssiques f �V , existeix el límit �b�x, t � � lim
�Vi �0
i
f�Vi
�Vi
i, a més,
és independent de la seqüència de volums considerada.
Exemple 4-1 Per a un medi continu, de volum V, situat a la superfície terrestre, obteniu
el valor de la resultant de les forces màssiques en funció de la constant gravitatòria g .
x3
g
ê 3
ê1
ê 2
x2
x1
Figura 4-2 – Camp gravitacional
Suposant un sistema d’eixos cartesians (vegeu la Figura 4-2) tal que l’eix x 3
tingui la direcció de la vertical des del centre de la terra, el camp vectorial
b�x, t � de les forces gravitatòries per unitat de massa és:
� 0 �
b�x, t � � �� 0 ��
��� g ��
i el valor de les forces màssiques es pot calcular com:
�
�
0
�
�
�
0
f V � � � b�x, t � dV � �
�
�
V
��� �V � g dV ��
85
4 Tensió
4.1.2 Forces superficials
Definició
Forces superficials: forces que actuen sobre el contorn del volum material
considerat. Es poden considerar produïdes per les accions de contacte
de les partícules situades en el contorn del medi amb l’exterior
d’aquest.
Sigui t �x, t � la descripció espacial del camp vectorial de forces superficials per
unitat de superfície en el medi continu de la Figura 4-3. La força resultant sobre
un element diferencial de superfície dS serà t � dS i la resultant total de les
forces de superfície actuant en el contorn �V del volum V es podrà escriure
com segueix:
f S � � t �x, t � dS
(4.2)
�V
t �x, t �
V
x3
df S � t dS
dS
ê 3
ê1
x1
T E R M I N O L O G I A
En la bibliografia, se sol
denominar vector de
tracció el vector de
forces superficials per
unitat de superfície t ,
encara que aquest
concepte es pot
estendre a punts de
l’interior del medi
continu.
ê 2
�V
x2
Figura 4-3 – Forces superficials
Observació 4-2
En la definició de les forces de superfície donada a (4.2) es considera
implícitament l’existència del vector de forces superficials per unitat
de superfície t �x, t � (vector de tracció). En altres paraules, si es
considera una seqüència de superfícies �S i , totes contenint el punt P,
i les forces superficials f �S corresponents (vegeu la Figura 4-4), se
i
suposa que existeix el límit t�x, t � � lim
�S i � 0
f �Si
�S i
i que aquest és
independent de la seqüència de superfícies escollida.
86
4 Tensió
t �x P , t �
x3
�S1 , f �S
P
ê 3
ê1
x1
1
�S 2 , f �S
�S 3 , f �S
n
ê 2
2
3
x2
Figura 4-4 – Vector de tracció
4.2 Postulats de Cauchy
Considerem un medi continu sobre el qual actuen les forces màssiques i
superficials corresponents (vegeu la Figura 4-5). Considerem també una
partícula P de l’interior del medi continu i una superfície arbitrària, que passa
pel punt P i de normal unitària n en aquest punt, que divideix el medi continu
en dues parts (volums materials). A la superfície de tall considerada ara com a
part del contorn de cada un d’aquests volums materials actuaran les forces
superficials produïdes pel contacte entre els dos.
Sigui t el vector de tracció que actua en el punt P considerat com a part del
contorn del primer d’aquests volums materials. En principi aquest vector de
tracció (definit ara en un punt material de l’interior del medi continu original)
dependrà:
1) de quina sigui la partícula considerada,
2) de l’orientació de la superfície (definida a través de la normal n) i
3) de quina sigui la mateixa superfície de tall.
El postulat següent el fa independent d’aquesta última condició:
f1
x3
f3
f3
P
ê 3
ê1
x1
f2
ê 2
f1
t
x2
Figura 4-5 – Postulats de Cauchy
n
�n
t � � �t
P
f2
87
4 Tensió
R E C O R D A T O R I
Un postulat és un
ingredient fonamental
d’una teoria que es
formula com a principi
d’aquesta i que, com a
tal, no admet
demostració.
Observació 4-3
1r postulat de Cauchy: El vector de tracció que actua en un punt material
P d’un medi continu segons un pla de normal unitària n depèn
únicament del punt P i de la normal n t � t �P, n � .
n
P
t �P, n �
Observació 4-4
Sigui una partícula P d’un medi continu i considerem diferents
superfícies que passen pel punt P de manera que totes tenen el mateix
vector normal n en el punt esmentat. D’acord amb el postulat de
Cauchy, els vectors de tracció en el punt P, segons cada una
d’aquestes superfícies, coincideixen. Al contrari, si la normal a les
superfícies a P és diferent, els vectors de tracció corresponents ja no
coincideixen (Figura 4-6).
�
t P , n1
n1 � n 2 � n 3
P
�
� �
n1
t P , n1 � t P , n 2
� � t �P , n �
3
�
n2
P
�
t P, n 2
�1
�3
�2
�2
�1
Figura 4-6 – Vector de tracció en un punt segons diferents superfícies
Observació 4-5
2n postulat de Cauchy - Principi d’acció i reacció: El vector de traccions en
un punt P d’un medi continu, segons un pla de normal unitària n , és
igual i de sentit contrari al vector de traccions en el mateix punt P
segons un pla de normal unitària � n en el mateix punt (vegeu la
Figura 4-5):
t �P, n � � �t �P,�n �
�
88
4 Tensió
4.3 Tensor de tensions
4.3.1 Preliminars: aplicació de la 2a llei de Newton a un medi
continu
Considerem un sistema discret de partícules en moviment, tal que una partícula
genèrica i d’aquest té una massa mi , una velocitat v i i una acceleració
ai �
dv i
. Sobre cada partícula i actua, a més, una força fi que es relaciona
dt
amb la seva acceleració a través de la segona llei de Newton
(4.3)
fi � mi a i
i la resultant R de les forces que actuen sobre totes les partícules del sistema
resulta ser:
R � � fi � � mi a i
i
(4.4)
i
Els conceptes anteriors es poden generalitzar per al cas de medis continus
entesos com a sistemes discrets constituïts per un nombre infinit de partícules.
En aquest cas l’aplicació de la segona llei de Newton a un medi continu de
massa total M , sobre el qual actuen unes forces exteriors caracteritzades pel
vector de densitat de forces màssiques �b(x, t ) i el vector de tracció t (x, t ) , les
partícules del qual tenen una acceleració a(x, t ) i que ocupa en l’instant t el
volum d’espai Vt s’escriu:
R � � � b dV �
Vt
�
���
�
Resultant de
les forces
màssiques
� � � � a dV
� t dS � � a dm
�Vt
���
M
�dV
Vt
Resultant de
les forces
superficia ls
(4.5)
4.3.2 Tensor de tensions
Considerem ara el cas particular de volum material constituït per un tetràedre
elemental situat al voltant d’una partícula arbitrària P de l’interior del medi
continu, orientat segons es mostra a la Figura 4-7. Sense pèrdua de generalitat
es pot situar l’origen de coordenades a P.
El tetràedre té un vèrtex en P i les seves cares queden definides mitjançant un
pla de normal n � �n1 , n2 , n3 �T que intersecta amb els plans coordenats definint
una superfície genèrica d’àrea S (la base del tetràedre) a una distància h
(l’altura del tetràedre) del punt P . Al seu torn, els plans coordenats defineixen
les altres cares del tetràedre d’àrees S1 , S 2 i S 3 amb normals (cap a fora) � ê1 ,
� ê 2 i � ê3 , respectivament. Per consideracions geomètriques es poden establir
les relacions següents:
S1 � n1 S
S 2 � n2 S
S 3 � n3 S
(4.6)
En la Figura 4-8, s’introdueix la notació per als vectors de tracció a cada una de
les cares del tetràedre considerat i associats a les normals corresponents.
89
4 Tensió
x3
S2
� ê1
� ê 2
ABC � S
S1
C
S
n
P´
A
x2
n � �n1 , n 2 , n3 �
T
S3
� ê 3
x1
APC � S 2 � n 2 S
APB � S 3 � n3 S
B
P
BPC � S1 � n1 S
Figura 4-7 – Tetràedre elemental al voltant d’un punt material P
x3
� t �2 �
� ê 2
*
� t �1�
C
P
ABC � S � àrea de la base del tetràedre
� ê1
P´
PP´ � h � altura del tetràedre
t*
n
1
V � S h � volum del tetràedre
3
B
x2
A
x1
PP´ // n
*
� ê 3
� t �3 �
*
Figura 4-8 – Vectors de tracció en el tetràedre elemental
Pel segon postulat de Cauchy (vegeu l’Observació 4-5) el vector de tracció
sobre un punt genèric x d’una de les superfícies S i (de normal cap a fora � ê i )
es pot escriure
not
(4.7)
t (x,�eˆ i ) � �t (x, eˆ i ) � � t (i ) (x) i �{1,2,3}
Observació 4-6
Teorema del valor mitjà: Donada una funció (escalar, vectorial o
tensorial) contínua a l’interior d’un domini (compacte), la funció
assoleix el seu valor mitjà a l’interior del domini esmentat.
En termes matemàtics:
Donada
Donada f �x � contínua
contínua en
en �, � x* � �
� f �x � d� � � �
�
f �x* �
���
Valor
mitjà
de f en �
En la Figura 4-9 es pot veure la interpretació gràfica del teorema del
valor mitjà en una dimensió.
90
4 Tensió
f (x)
f ( x * )�
� �
f x*
x
1
f ( x ) d�
� ��
x
*
�
Figura 4-9 – Teorema del valor mitjà
En virtut del teorema del valor mitjà el camp vectorial t (i ) (x) , que se suposa
continu en el domini S i , assoleix el seu valor mitjà a l’interior d’aquest. Sigui
*
x *s � S i el punt on s’arriba del valor mitjà i t (i ) � t (i ) (x *s ) el valor mitjà
I
I
*
t (x *S
esmentat. De forma anàloga, siguin t �
) , � b � �(x V* ) b(x V* ) i
�* a * � �(x V* ) a(x V* ) els valors mitjans corresponents dels camps: vector de
tracció t (x) en S , densitat de forces màssiques � b(x) i d’acceleració � a(x) ,
els quals, de nou, en virtut del teorema del valor mitjà, s’assoleixen en els
punts, x *s � S i x V* �V de l’interior dels dominis corresponents. En
conseqüència es pot escriure:
�t
(i )
*
(x) dS � t (i ) � S i
*
*
i �{1,2,3}
Si
� t(x) dS � t
*
�S
(4.8)
S
� �(x) b(x) dV � � b
*
*
�V
* *
�V
V
� �(x) a(x) dV � � a
V
Aplicant ara l’equació (4.5) al tetràedre considerat, es tindrà el següent:
� � b dV � � t dS � � t dS � � t dS � � t dS �
V
S
S1
S2
S3
� � � b dV � � t dS � � (�t )dS � � (�t ( 2 ) ) dS � � (�t (3) ) dS � � � a dV
(1)
V
S
S1
S2
S3
(4.9)
V
on s’ha tingut en compte l’equació (4.7). Substituint l’equació (4.8) en
l’expressió (4.9), aquesta es pot escriure en termes dels valors mitjans com a:
*
*
*
�* b * V � t * S � t �1� S1 � t �2 � S 2 � t �3 � S 3 � � * a * V
(4.10)
Substituint ara l’equació (4.6) i expressant el volum total de la piràmide com a
1
V � S h l’equació (4.10), es pot escriure com segueix:
3
91
4 Tensió
*
*
*
1
1 * *
� b h S � t * S � t �1� n 1 S � t �2 � n 2 S � t �3 � n 3 S � � * a * hS �
3
3
*
*
*
1
1 * *
� b h � t * � t �1� n 1 � t �2 � n 2 � t �3 � n 3 � � * a * h
3
3
(4.11)
L’expressió (4.11) és vàlida per a qualsevol tetràedre definit per un pla de normal
n situat a una distància h del punt P . Si es considera ara un tetràedre
infinitesimal, al voltant del punt P, fent que tendeixi a zero el valor de PP´ � h ,
però mantenint constant l’orientació del pla ( n = constant), en l’equació (4.11)
es té que els dominis S i , S i V col·lapsen en el punt P (vegeu la Figura 4-7),
amb la qual cosa els punts dels dominis respectius en els quals s’obtenen els
valors mitjans tendeixen també al punt P:
� ��� � t �P �
� � ��� t�P, n�
x *S � x P � �im �t (i ) x *S
h �0 �
*
x S � x P � �im t * x *S , n
*
i
h�0
(i )
i
i �{1,2,3}
(4.12)
i, a més,
�1
�im� � * b *
h �0 � 3
�
�1
h � � �im� � * a *
0
h
�
�
�3
�
h� � 0
�
(4.13)
Prenent ara el límit de l’equació (4.11) i substituint les (4.12) i (4.13) l’expressió
(4.11), condueix a:
t�P, n � � t �1�n1 � t �2 �n 2 � t �3 �n 3 � 0
�
t �P, n � � t �i �n i � 0
(4.14)
El vector de traccions t �1� es pot escriure en funció dels seus components
cartesians, vegeu la Figura 4-10, com segueix:
t �1� � �11eˆ 1 � �12 eˆ 2 � �13 eˆ 3 � �1i eˆ i
x3
x3
P
x1
ê1
�13
t �1�
ê 3
n
(4.15)
ê 2
ê 3
P
x2
� 11
ê1
�12
ê 2
x2
x1
Figura 4-10 – Descomposició en components del vector de tracció t �1�
Operació que es pot fer en forma anàloga pels vectors de tracció t ( 2 ) i t (3)
(vegeu la Figura 4-11):
92
4 Tensió
x3
x3
n ê
3
ê 3
P
ê1
t �3 �
n
ê 2
P
x2
ê1
t �2 �
x1
ê 2
x2
x1
Figura 4-11 – Vectors de tracció t �2 � i t �3�
t �2 � � � 21eˆ 1 � � 22 eˆ 2 � � 23 eˆ 3 � � 2i eˆ i
(4.16)
t �3 � � � 31eˆ 1 � � 32 eˆ 2 � � 33 eˆ 3 � � 3i eˆ i
(4.17)
I per al cas general resulta:
t �i � ( P ) � � ij eˆ j
i, j �{1,2,3}
(4.18)
� ij ( P) � t (ji ) ( P )
i, j �{1,2,3}
(4.19)
Observació 4-7
Observeu que en l’expressió (4.19) les funcions � ij són funcions dels
(components dels) vectors de tracció t (ji ) ( P) sobre superfícies orientades
específicament al punt P. S’emfasitza, doncs, que les funcions esmentades depenen del punt P , però no de la normal n :
� ij � � ij (P )
Substituint l’equació (4.19) en la (4.14):
t ( P, n) � ni t (i ) � t j ( P, n) � ni t (ji ) ( P) � ni � ij ( P ) i, j �{1,2,3} �
t ( P, n ) � n � � ( P )
(4.20)
on s’ha definit el tensor de tensions de Cauchy � :
� � � ij eˆ i � eˆ j
(4.21)
93
4 Tensió
Observació 4-8
Observeu que l’expressió (4.20) t ( P, n) � n � �( P) és consistent amb
el primer postulat de Cauchy (vegeu l’Observació 4-3) i que el segon
postulat (Observació 4-5) es compleix a partir de:
t �P, n � � n � � �
� � t � P , n � � �t � P , �n �
t �P,�n � � �n � � �
Observació 4-9
D’acord amb les expressions (4.18) i (4.21) la construcció del tensor
de tensions de Cauchy es realitza a partir dels vectors de tracció
segons tres plans coordenats que passen pel punt P (vegeu la
Figura 4-12). Tanmateix, mitjançant l’equació (4.20), s’observa que en
el tensor de tensions esmentat �(P) es troba la informació sobre els
vectors de tracció corresponents a qualsevol pla (identificat pel seu
normal n ) que passi pel punt esmentat.
t �1�
ê 2
P
ê1
x1
x3
x3
x3
ê 3
x2
P
P
x2
x1
t
�2 �
Figura 4-12
t �3 �
x2
x1
4.3.3 Representació gràfica de l’estat tensional en un punt
És freqüent acudir a representacions gràfiques del tensor de tensions basades
en paral·lelepípedes elementals al voltant de la partícula considerada, amb cares
orientades segons els tres plans coordenats, i en el qual els vectors de tracció
corresponents es descomponen vectorialment en els seus components normal i
tangencial al pla d’acord amb les expressions (4.15) a (4.20) (vegeu la Figura
4-13)
4.3.3.1 Notació científica
La representació de la Figura 4-13 correspon al que es coneix com a notació
científica. En la notació esmentada la matriu de components del tensor de
tensions s’escriu:
� �11
� � �� 21
�
��� 31
�12
� 22
� 32
�13 �
� 23 �
�
� 33 ��
(4.22)
94
4 Tensió
i cada component � ij es pot caracteritzar en funció dels seus subíndexs com:
�
indica el pla d' actuació
�índex i �
(pla perpendicular a l' eix x )
�
i
�
�
� ij � �
indica la direcció de la tensió
�
índex
�
j
�
(direcció de l' eix x )
j
�
�
�
t �3 �
(4.23)
x3
x3
� 33
ê 3
� 31
� 13
ê 2
t �1�
x2
ê 1
�11
t �2 �
x1
� 32
� 23
� 22
x2
�12 � 21
x1
Figura 4-13 Representació gràfica del tensor de tensions (notació científica)
4.3.3.2 Notació en enginyeria
En notació en enginyeria, els components del tensor de tensions de Cauchy
s’escriuen (vegeu la Figura 4-14):
��x
�
� � �� yx
� � zx
�
� xz �
�
� yz �
� z ��
� xy
�y
� yz
(4.24)
�� a � Tensió normal actuant sobre el pla perpendicu lar a a
�
�
�
Tensió tangencial actuant sobre el pla perpendicu lar a l' eix a
�
�� ab � en la direcció de l' eix b
�
��
(4.25)
z
�z
� zy
� zx
� xz
�x
� yz
� xy
� yx
�y
y
x
Figura 4-14 – Representació gràfica del tensor de tensions (notació en enginyeria)
95
4 Tensió
4.3.3.3 Criteri de signes
Considerem un partícula P del medi continu i un pla de normal n que passi
per (vegeu la Figura 4-15). El vector de tracció t corresponent es pot
descompondre en els seus components normal � n i tangencial � n . El signe de
la projecció de t sobre n ( � � t � n ) defineix el caràcter de tracció ( � n tendeix a
traccionar al pla) o compressió ( � n tendeix a comprimir al pla) del component
normal.
�n
�n � �n
t
n
�� 0 tracció
� � t �n �
�� 0 compressió
�n
Figura 4-15 – Descomposició del vector de tracció
Aquest concepte es pot utilitzar per definir el signe dels components del tensor
de tensions. A aquests efectes en el paral·lelepípede elemental de la Figura 4-13
es distingeix entre cares vistes o positives (la normal cap a fora de la qual va en la
direcció positiva del vector de la base i que es veuen a la figura) i les restants
cares o cares ocultes o negatives.
El criteri de signes per a les cares vistes és el següent:
� positives (�) � tracció
Tensions normals � ij o � a �
�negatives (�) � compressió
� positives (� ) � sentit de l' eix b
Tensions tangencials � ab �
�negatives (�) � sentit contrari a l' eix b
N O T A
És evident que valors
negatius dels
components del tensor
de tensions redundaran
en representacions
gràfiques de signe
oposat al dels valors
positius indicats a les
figures.
D’acord amb aquests criteris els sentits de les tensions representats en la Figura
4-14 (sobre les cares vistes del paral·lelepípede) corresponen a valors positius
dels components del tensor de tensions respectius.
En virtut del principi d’acció i reacció ( t �P, n � � �t �P,�n � ) i per a les cares
ocultes del paral·lelepípede, els valors positius esmentats dels components del
tensor de tensions suposen sentits contraris per a la seva representació gràfica
(vegeu la Figura 4-16).
z
�x
� yx � xy
�y
� yz
� zy
x
� xz
� zx
y
�z
Figura 4-16 – Tensions positives en els plans ocults
96
4 Tensió
4.4 Propietats del tensor de tensions
Considerem un volum material arbitrari V d’un medi continu i sigui �V el
contorn d’aquest volum material. Siguin b�x, t � les forces màssiques que actuen
en V i sigui t * �x, t � el vector de tracció prescrit que actua sobre el contorn �V .
Siguin, finalment, a� x, t ) el camp vectorial d’acceleracions de les partícules i
�� x, t ) el camp tensorial de tensions de Cauchy (vegeu la Figura 4-17).
t*
z
n
V
ê 3
ê1
b�x, t � x �V
�V
t * �x, t � x � �V
dS
dV
�b
x
y
ê 2
Figura 4-17
x
4.4.1 Equació de Cauchy. Equació d’equilibri intern
El tensor de tensions, les forces màssiques i les acceleracions estan relacionades
per la denominada equació de Cauchy:
�� � � � � b � � a
Equació de �
� � ��ij
Cauchy
� �x � �b j � �a j
� i
�x � V
j ��1, 2,3�
(4.26)
l’expressió explícita de la qual resulta, en la notació utilitzada en enginyeria:
� �� x �� yx �� zx
� �x � �y � �z � �bx � �a x
�
� �� xy �� y �� zy
� �by � �a y
�
�
�
�z
�y
� �x
� ��
�� yz �� z
� �bz � �a z
�
� xz �
�z
�y
� �x
(4.27)
Si el sistema està en equilibri l’acceleració és nul·la ( a � 0 ), l’expressió (4.26)
queda:
�� � � � � b � 0
Equació
�
� � ��ij
d'equilibri intern
� �x � �b j � 0
� i
�x � V
j ��1,2 ,3�
(4.28)
que es coneix com l’equació d’equilibri intern del medi continu.
La deducció de les equacions de Cauchy es fa a partir del postulat de balanç de la
quantitat de moviment que és objecte d’estudi en el capítol 5.
97
4 Tensió
4.4.2 Equació d’equilibri en el contorn
L’equació (4.20) es pot aplicar ara als punts del contorn considerant que el
vector de tracció és ara conegut en els punts esmentats ( t � t * ). El resultat és la
denominada equació d’equilibri en el contorn:
Equació d'equilibri
en el contorn
��n � x , t � � � � x , t � � t* � x , t �
��
*
j �{ 1, 2 ,3 }
� ni � ij = t j
�x ��V
(4.29)
4.4.3 Simetria del tensor de tensions de Cauchy
Mitjançant l’aplicació del principi de balanç del moment angular (vegeu el
capítol 5) es pot demostrar que el tensor de tensions de Cauchy és simètric:
� � �T
� ij � � ji
(4.30)
i, j � {1,2,3}
Observació 4-10
La simetria del tensor de tensions permet que les equacions de
Cauchy (4.28) i d’equilibri en el contorn (4.29) es puguin escriure,
respectivament, com:
�� � � � � b � � � � � � b � � a
�
�� ji
� �� ij
� �x � �b j � �x � �b j � �a j
� i
i
��n � � � � � n � t * (x, t )
�
*
��ni � ij � � ji ni � t j �x, t �
�x � V
i, j � �1,2,3�
�x � �V
�x � �V
i, j �{1,2,3}
Exemple 4-2 Un medi continu es mou amb un camp de velocitats la descripció espacial del
qual és v(x, t ) � �z, x, y�T . El tensor de tensions de Cauchy és de la forma:
� y g(x, z, t) 0�
� � ��h(y) z(1 + t) 0��
�� 0
0
0��
Determineu les funcions g, h i la forma espacial de les forces de volum b(x, t ) que generen el
moviment.
Resolució
Sabem que el tensor de tensions és simètric; per tant:
� � �T
on C és una constant.
� h( y ) � C
� h( y ) � g ( x, z, t ) � �
� g ( x, z, t ) � C
A més, la divergència del tensor resulta ser nul·la:
98
4 Tensió
��
��� � �
� �x
�
�y
�y
�� �
C
�
�z �� �
�� 0
per tant, l’equació de Cauchy quedarà:
C
0�
z (1 � t ) 0�� � �0 0 0�
0
0��
� � � � �b � �a �
�� b �a
� �� � 0
�
i aplicant la fórmula de la derivada material de la velocitat:
�v
dv �v
�0
� v � �v
�
�t
dt �t
���
� �x �
�0 1 0�
���
�
�
�
�
v
v
�
�
�
z
x
y
� ��0 0 1��
� �
� �y �
��1 0 0��
���
� �
� �z �
�0 1 0 �
a � v � �v � �z x y � � ��0 0 1�� � �y z x �
��1 0 0��
a�
� b ( x , t ) � a ( x, t ) � � y
z
x�
T
4.4.4 Diagonalització. Tensions i direccions principals
R E C O R D A T O R I
Un teorema de l’àlgebra
tensorial garanteix que
tot tensor de segon
ordre simètric
diagonalitza en una
base ortonormal i els
seus valors propis són
reals.
Considerem el tensor de tensions � . En tractar-se d’un tensor de segon ordre
simètric diagonalitza en una base ortonormal i els seus autovalors són reals.
Considerem, doncs, la seva matriu de components a la base cartesiana ( x, y, z )
de treball (vegeu la Figura 4-18):
�� x
�
� � �� xy
�� xz
�
� xy
�y
� yz
� xz �
�
� yz �
� z ��
(4.31)
( x, y , z )
En el sistema cartesià ( x�, y�, z�) en què � diagonalitza, la seva matriu de
components serà:
��1
� � �� 0
�� 0
0
�2
0
0�
0 ��
� 3 �� ( x�, y�, z�)
Definicions
Direccions principals (de tensió): Les direccions, associades als eixos
( x�, y�, z�) , en les quals el tensor de tensions diagonalitza.
Tensions principals: Els valors propis del tensor de tensions
(�1 , � 2 , � 3 ) . En general, se suposaran ordenades de la forma
{�1 � � 2 � � 3 } .
(4.32)
99
4 Tensió
z´
�3
�2
y´
�1
z
z
x´
y´
z´
y
�
x´
x
�
�
y
x
Figura 4-18 – Diagonalització del tensor de tensions
Per obtenir les direccions i tensions principals, s’ha de plantejar el problema
d’autovalors associat al tensor � . És a dir, si � i v són un autovalor i el seu
corresponent autovector, respectivament, es planteja:
� � v � �v � �� � � 1� � v � 0
(4.33)
perquè la solució d’aquest sistema sigui no trivial (diferent de v � 0 ), el
determinant de (4.33) ha de ser igual a zero, és a dir:
det �� � � 1�
not
�
��� 1 �0
(4.34)
L’equació (4.34) és una equació polinòmica de tercer grau en � . Sent el tensor
� simètric, les seves tres solucions ( � 1 � �1 , � 2 � � 2 , � 3 � � 3 ) són reals. Una
vegada trobats els autovalors i ordenats segons el criteri �1 � � 2 � � 3 , es pot
obtenir el vector propi v (i ) per a cada tensió � i , resolent el sistema (4.33):
�� � � i 1�� v (i ) � 0
i �{1,2,3}
(4.35)
que proporciona una solució no trivial per als autovectors v (i ) , ortogonals
entre si, la qual, una vegada normalitzada, defineix els tres elements de la base
corresponents a les tres direccions principals.
Observació 4-11
D’acord amb la interpretació gràfica dels components del tensor de
tensions de l’apartat 4.3.3, sobre les cares del paral·lelepípede
elemental associat a les direccions principals de tensió no actuen més
que unes tensions normals que són, precisament, les tensions
principals (vegeu la Figura 4-18).
100
4 Tensió
4.4.5 Tensió mitjana i pressió mitjana
Definició
Tensió mitjana: És el valor mitjà de les tensions principals.
�m �
1
��1 � � 2 � � 3 �
3
Observant la matriu de components del tensor de tensions en les direccions
principals (4.32), resulta:
�m �
1
��1 � � 2 � � 3 � � 1 Tr �� �
3
3
Definició
Pressió mitjana: És la tensió mitjana canviada de signe
not
1
pressió mitjana � p � �� m � � �� 1 � � 2 � � 3 �
3
Definició
Estat de tensió hidrostàtic: És aquell en el qual les tres tensions principals
són iguals:
�1 � � 2 � � 3
�� 0 0 �
� � � �� 0 � 0 �� � � 1
�� 0 0 ���
N O T A
Es defineix com a tensor
isòtrop aquell que és
invariant davant
qualsevol canvi de base
ortogonal. L’expressió
més general d’un tensor
isòtrop de segon ordre
és T � � 1 , sent � un
escalar qualsevol.
Observació 4-12
Un estat de tensió hidrostàtic implica que el tensor de tensions és
isòtrop i, per tant, que la seva matriu de components és la mateixa en
qualsevol sistema de coordenades cartesianes.
En conseqüència, qualsevol direcció és la direcció principal i l’estat
tensional (vector de tracció) és el mateix per a qualsevol pla.
(4.36)
101
4 Tensió
4.4.6 Descomposició del tensor de tensions en les seves parts
esfèrica i desviadora
El tensor de tensions � es pot descompondre en una part (o component)
esfèrica � esf i una part desviadora �´ :
N O T A
Aquest tipus de
descomposició es pot
fer amb qualsevol
tensor de segon ordre.
� � � esf � �´
�
�
Part
esfèrica
(4.37)
Part
desviadora
on la part esfèrica es defineix com:
� esf
�� m
1
: � Tr �� �1 � � m 1 � �� 0
3
�� 0
def
0
�m
0 �
0 ��
� m ��
0
(4.38)
on � m és la tensió mitjana definida en (4.36). Per la definició (4.37) la part (o
component) desviadora del tensor de tensions serà:
�´� � � � esf
�� x
�
� �� xy
� � xz
�
� xy
�y
� yz
� xz � �� m
�
� yz � � �� 0
� z �� �� 0
0
�m
0
0 �
0 ��
� m ��
(4.39)
resultant:
�� x � � m
�
�´� � � xy
� � xz
�
� xy
� y � �m
� yz
� � ��x
� �
� � ���xy
� z � � m �� �� ��xz
� xz
� yz
��xy
��y
��yz
��xz �
�
��yz �
� �z ��
Observació 4-13
La part esfèrica del tensor de tensions � esf és un tensor isòtrop (i
defineix un estat tensional hidrostàtic) i, per tant, és invariant davant
un canvi de base ortogonal.
Observació 4-14
El component desviador del tensor és un indicador de quant s’aparta
l’estat tensional d’un hidrostàtic (vegeu l’equació (4.39) i l’Observació
4-13).
Observació 4-15
Les direccions principals del tensor de tensions i del seu component
desviador coincideixen. La demostració és trivial tenint en compte
que, de l’Observació 4-13, la part esfèrica � esf és diagonal en
qualsevol sistema de coordenades. En conseqüència, en l’equació
(4.39), si � diagonalitza en una certa base, també ho fa � � .
(4.40)
102
4 Tensió
Observació 4-16
La traça del tensor (component) desviador és nul·la. Tenint en
compte les equacions (4.36) i (4.39):
Tr (�´) � Tr (� � � esf ) � Tr (�) � Tr (� esf ) � 3� m � 3� m � 0
4.4.7 Invariants tensorials
R E C O R D A T O R I
Els tres invariants fonamentals del tensor de tensions (o invariants I) són:
Els invariants tensorials
són combinacions
algebraiques escalars
dels components d’un
tensor, que no canvien
en canviar la base.
I2 �
I 1 � Tr (�) � � ii � � x � � y � � z
(4.41)
�
�
(4.42)
I 3 � det �� �
(4.43)
1
� : � � I 12 � ���1 � 2 � �1 � 3 � � 2 � 3 �
2
Qualsevol combinació dels invariants I és, al seu torn, un altre invariant. Així es
defineixen els següents invariants J :
(4.44)
J 1 � I 1 � � ii
J2 �
J3 �
�
�
�
(4.45)
�
(4.46)
1
1
1 2
I 1 � 2 I 2 � � ij � ji � �� : � �
2
2
2
1 3
1
1
I 1 � 3I 1 I 2 � 3I 3 � Tr �� � � � � � � � ij � jk � ki
3
3
3
Observació 4-17
Per a un tensor purament desviador � � els invariants J corresponents
resulten ser (vegeu l’Observació 4-16 i les equacions (4.41) a (4.46)):
�
� J 1´� I 1� � 0
J 1 � I 1 � 0�
�
1
1
�
�
J 2 � I 2 � � �´ � � J 2 ´� I 2� � �� � : � �� � � �ij ��ji
2
2
�
�
J 3 �I 3
�
1
�
�� J 3 ´� I � 3� 3 ��ij ��jk ��ki
�
�
103
4 Tensió
4.5 Tensor de tensions en coordenades
curvilínies ortogonals
N O T A
Són aplicables aquí els
mateixos conceptes i
nocions respecte a
sistemes de
coordenades curvilínies
ortogonals, explicats a
l’apartat 2.15 del capítol
2.
4.5.1 Coordenades cilíndriques
Considerem un punt a l’espai definit per les coordenades cilíndriques �r , � , z�
(vegeu la Figura 4-19):
� x � r cos �
�
x(r , �, z ) � � y � r sin�
�z � z
�
y´
z´
z
r
ê z
ê �
ê r
x´
z
r
�
x
y
Figura 4-19 – Coordenades cilíndriques
En el punt esmentat considerarem la base física (ortonormal) �eˆ r , eˆ � , eˆ z � i un
sistema cartesià d’eixos locals { x´ , y´ , z´ } definit dextrogir. En aquesta base els
components del tensor de tensions són els següents:
� � x´
�
� � � � x´ y �
� � x´ z ´
�
� x ´ y´
� y´
� y ´ z´
� x ´ z´ � � � r
�
� y´ z´ � � � � r�
�
� z´ �� �� � rz
� r�
��
� �z
� rz �
� �z �
�
� z ��
dS � r d�
�z
dz
r
z
�
r
d�
��
dr
dV � r d� dr dz
� z�
� zr
� �r
� �z
(4.47)
� rz
� r�
�r
dV
Figura 4-20 – Element diferencial en coordenades cilíndriques
La seva representació gràfica sobre un paral·lelepípede elemental es pot veure a
la Figura 4-20, on s’han dibuixat els components del tensor de tensions en les
cares vistes. Observeu que, ara, les cares vistes a la figura no coincideixen amb
les cares positives, definides (en el mateix sentit que a l’apartat 4.3.3.3) com
aquelles en què la seva normal coincideix (en direcció i sentit) amb un vector
de la base física.
104
4 Tensió
4.5.2 Coordenades esfèriques
Un punt en l’espai està definit per les coordenades esfèriques �r , �, �� (vegeu la
Figura 4-21).
Línia coordenada �
� x � r sin� cos �
�
x � x�r , �, �� � � y � r sin� sen �
� z � r cos �
�
z
x´
ê r
�
r
ê �
z´
ê �
�
y
y´
x
Línia coordenada �
Figura 4-21 – Coordenades esfèriques
Per a cada punt considerarem la base física (ortonormal) �eˆ r , eˆ � , eˆ � � i un
sistema d’eixos locals cartesià { x´ , y´ , z´ } definit dextrogir. En aquesta base els
components del tensor de tensions són els següents:
� � x´
�
� � � � x´ y �
� � x´ z ´
�
� x´ y´
� y´
� y´ z´
� x ´ z´ � � � r
� �
� y´ z ´ � � � � r �
� z´ �� ��� r�
� r�
��
� ��
� r� �
�
� �� �
� � ��
(4.48)
La representació gràfica dels components del tensor de tensions en
coordenades esfèriques es pot veure a la Figura 4-22, on s’han dibuixat els
components del tensor de tensions en les cares vistes.
d�
�r
z
� ��
� r�
� ��
��
d�
�
�
�� r
r
y
� r�
� r�
��
dV � r 2 sin� dr d� d�
x
Figura 4-22 – Element diferencial en coordenades esfèriques
105
4 Tensió
4.6 Cercle de Mohr en 3 dimensions
4.6.1 Interpretació gràfica d’estats tensionals
El tensor de tensions juga un paper tan crucial en l’enginyeria que,
tradicionalment, s’han desenvolupat diversos procediments, essencialment
gràfics, per a la seva visualització i interpretació. Els més comuns són els
anomenats cercles de Mohr.
Sigui P un punt arbitrari d’un medi continu i sigui ��P � el tensor de tensions
en el punt esmentat. Considerem un pla arbitrari, amb normal unitària n , que
passa per P (vegeu la Figura 4-23). El vector de tracció en el punt P
corresponent al pla esmentat és t � � � n . Podem descompondre ara el vector
esmentat en els seus components � n , normal al pla considerat, i el component
� n tangent al pla esmentat.
Considerem ara el component normal � n � � n , on � és el component normal
de la tensió sobre el pla, definit d’acord amb el criteri de signes de l’apartat
4.3.3.3:
�n � � � n
�� � 0 tracció
�
�� � 0 compressió
(4.49)
Considerem ara el component tangencial � n , del qual només ens interessarà el
seu mòdul:
�n � t � �n
�n � � � 0
(4.50)
�n
t
n
�n
Figura 4-23 – Descomposició del vector de tracció
Podem caracteritzar ara l’estat tensional en el punt considerat sobre el pla de
normal n mitjançant la parella:
� ��R
(�� �) � �
�� � R �
(4.51)
que, al seu torn, determina un punt del semiplà (x � �, y � �) � R � R � de la
Figura 4-24. Si considerem ara tots els plans que passen pel punt P
(caracteritzats per totes les possibles normals n (i ) ) i obtenim els valors
corresponents de la tensió normal � i i tangencial � i i, finalment, els
representem en el semiespai esmentat, obtindrem un núvol de punts del qual
ens podem preguntar si ocupa tot el semiespai o està limitat a un lloc geomètric
determinat. La resposta a la pregunta esmentada la proporciona l’anàlisi que
segueix.
106
4 Tensió
�
��1 , �1 �
n1 � ��1 , �1 �
n 2 � �� 2 , � 2 �
�� 2 , � 2 �
. . .
ni � �� i , � i �
�� i , � i �
�
Figura 4-24 – Lloc geomètric dels punts ��, � �
4.6.2 Determinació dels cercles de Mohr
Considerem el sistema d’eixos cartesians associat a les direccions principals del
tensor de tensions. En aquesta base, els components del tensor seran:
��1
� � �� 0
�� 0
0
�2
0
0�
0 �� amb �1 � � 2 � � 3
� 3 ��
(4.52)
i el vector de tracció tindrà per components
� �1
t � � � n � �� 0
�� 0
0
�2
0
0 � � n1 � � �1 n1 �
0 �� ��n 2 �� � ��� 2 n 2 ��
� 3 �� �� n3 �� �� � 3 n3 ��
(4.53)
on n1 , n 2 , n3 són els components de la normal n a la base associada a les
direccions principals. En vista de l’equació (4.53) el component normal de la
tensió ( � ), definit en l’equació (4.49), i el mòdul del vector de tracció seran,
respectivament:
� n1 �
t � n � ��1 n1 , � 2 n 2 , � 3 n3 ���n 2 �� � �1 n12 � � 2 n 22 � � 3 n32 � �
�� n3 ��
2
t � t � t � �12 n12 � � 22 n 22 � � 32 n32
(4.54)
(4.55)
També podem relacionar els mòduls del vector de tracció i dels seus
components normal i tangencial mitjançant:
2
t � �12 n12 � � 22 n 22 � � 32 n32 � � 2 � � 2
(4.56)
on s’ha tingut en compte l’expressió (4.55). Finalment, la condició de normal
unitària de n es pot expressar en funció dels seus components com:
n � 1 � n12 � n 22 � n32 � 1
(4.57)
Les equacions (4.56), (4.54) i (4.57) es poden sintetitzar en l’equació matricial
següent:
107
4 Tensió
��12 � 22 � 23 � �n12 � �� 2 � � 2 �
�
�
� � 2� �
� �1 � 2 � 3 � �n 2 � � � � � � A � x � b
�1
1
1 � �n32 � �� 1 ��
� ���
�
���� ��� �
���
�
x
A
(4.58)
b
El sistema (4.58) es pot interpretar com un sistema lineal amb:
a) Una matriu de coeficients, A(�� , definida pel tensor de tensions en el
punt P (a través de les tensions principals).
b) Un terme independent, b , definit per les coordenades d’un cert punt
en el semiespai � � � (representatives, al seu torn, de l’estat tensional
sobre un cert pla).
c) Un vector d’incògnites x que determina (mitjançant els components de
la normal n ) a quin pla corresponen els valors de � i � elegits.
Observació 4-18
En principi només seran factibles les solucions del sistema (4.58) els
�
components del qual x � n12 , n 22 , n32
�0 �
�
(vegeu l’equació (4.57)). � �0 �
�0 �
�
n12
n 22
n32
�
T
siguin positius i inferiors a 1
�1
�1
�1
Tota parella (�, �) que condueixi a una solució x que compleixi
aquest requisit serà considerat un punt factible del semiespai � � � , el
qual és representatiu de l’estat tensional sobre un pla que passa per P. El lloc
geomètric dels punts (�, �) factibles és la denominada regió factible del
semiespai � � � .
Considerem ara l’objectiu de trobar la regió factible. Mitjançant algunes
operacions algebraiques, el sistema (4.58) es pot rescriure com:
�
A
2
2
n12 � 0
�( I ) � � � � � � 1 � � 3 � � � 1� 3 �
�
�
�
�
1
3
��
A
2
2
n 22 � 0
�( II ) � � � � � � 2 � � 3 � � � 2� 3 �
�2 ��3
�
�
A
�( III ) � � 2 � � 2 � � 1 � � 2 � � � 1� 2 �
n32 � 0
��
�1 � � 2
�
��
�
�
�
�
�
�
��
A � �1 � � 2 � 2 � � 3 �1 � � 3
�
�
�
�
�
�
�
(4.59)
Considerem ara, per exemple, l’equació (III) del sistema (4.59). És fàcil
comprovar que es pot escriure com:
�� � a �2 � � 2 � R 2
�
�
1
�
��a � 2 � 1 � � 2
�
�R � 1 � � �
1
2
4
��
�
(4.60)
� � ��
2
2
��
�
� � 3 � 1 � � 3 n32
108
4 Tensió
que correspon a l’equació d’una semicircumferència en el semiespai � � � de
centre C3 i radi R3 :
�1
�
C3 � � �1 � � 2 ,0�
�2
�
�
R3 �
�
1
�1 � � 2
4
�
� �
2
� � 2 � �3
��
�1 � �3
�
(4.61)
n32
Els diferents valors de n32 � �0,1� determinaran un conjunt de
semicircumferències concèntriques de centre C 3 i radis R3 (n3 ) en el semiespai
� � � , i els punts corresponents ocuparan una certa regió d’aquest. Aquesta
regió vindrà delimitada pels valors màxim i mínim de R3 (n3 ) . Observant que el
radical de l’expressió de R3 en (4.61) és positiu, aquests valors s’obtindran per
a n32 � 0 (el radi mínim) i n32 � 1 (el radi màxim).
n32 � 0 � R3mín �
�
�
n32 � 1 � R3max
�
�
1
�1 � � 2
2
1
� �1 � � 2 � � 3
2
(4.62)
El domini delimitat per les dues semicircumferències definirà una primera
limitació del domini factible a l’indicat en la Figura 4-25.
�
R3max
R3mín
�3
�2
C3
�1
�
Figura 4-25 – Primera limitació del domini factible
El procés es pot repetir ara per a les altres dues equacions (I) i (II) de (4.59) i
s’obtenen els resultats següents:
� �
�
1
mín
�
�
1
�R1 � �� 2 � � 3 �
2
C1 � � �� 2 � � 3 �,0 � � �
��
2 ���� � � max
�
� �R1 � �1 � a1
a1
�
�
� � max 1
�
�
�1
� R2 � ��1 � � 3 �
2
C 2 � � ��1 � � 3 �,0 � � �
2 ���� � � mín
��
� � R2 � � 2 � a 2
�
a2
�
�
-
Equació (I ) :
-
Equació (II ) :
-
�
� �
1
mín
�
�
1
� R3 � ��1 � � 2 �
2
Equació (III ) : C 3 � � ��1 � � 2 �,0 � � �
��
2 ���� � � max
�
� � R3 � � 3 � a 3
a3
�
�
109
4 Tensió
Per a cada cas es té, com a regió factible, una semicorona definida pels radis
mínim i màxim. Evidentment la regió factible final ha d’estar a la intersecció de
les semicorones esmentades tal com s’indica en la Figura 4-26).
�
zona factible
màx .
2
R
R1màx.
R3màx.
R1mín.
�3
R3mín.
R2mín.
C1
�2
C2
C3
�1
a1
�
a2
a3
Figura 4-26 – Zona factible
En la Figura 4-27 es mostra la construcció final resultant dels tres semicercles
de Mohr passant pels punts �1 , � 2 i � 3 .
�
�3
�2
�1
�
Figura 4-27 – Cercles de Mohr en tres dimensions
Es pot demostrar, a més, que tot punt de l’interior del domini enclòs pels
cercles de Mohr és factible (en el sentit que els corresponents valors de � i �
corresponen a estats tensionals sobre un cert pla que passa pel punt P).
La construcció del cercle de Mohr és trivial (una vegada conegudes les tres
tensions principals) i resulta d’utilitat per discriminar possibles estats tensionals
sobre plans, determinar valors màxims de les tensions tangencials, etc.
Exemple 4-3 Les tensions principals en un punt determinat d’un medi continu són:
�1=10 ; �2 = 5 ; �3 = 2
En un pla que passa pel punt esmentat, les tensions normal i tangencial són � i �
respectivament. Raoneu si són possibles els valors de � i � següents:
a) � = 10 ; � = 1
110
4 Tensió
b) � = 5
; �=4
c) � = 3
; �=1
Resolució
Dibuixant els Cercles de Mohr per a l’estat tensional que ens defineixen i els
punts demanats
en el semiespai � � � :
�
Pt. b)
Pt. a)
Pt. c)
��2
��5
� � 10
�
Només a la zona ombrejada és possible trobar punts que representin estats
tensionals (punts factibles). Es comprova que cap dels considerats ho pot ser.
4.7 Cercle de Mohr en 2 dimensions
N O T A
Aquest tipus de
problemes s’analitza
amb profunditat al
capítol 7, dedicat a
l’elasticitat
bidimensional.
Molts problemes reals en enginyeria s’assimilen a un estat tensional ideal
bidimensional en el qual es coneix (o se suposa) a priori quina és una de les
direccions principals de tensió. En aquests casos, fent coincidir l’eix cartesià x 3
(o l’eix z ) amb la direcció principal esmentada (vegeu la Figura 4-28), els
components del tensor de tensions es poden escriure com:
��11
� � ���12
�� 0
�12
� 22
0
0 � �� x
0 �� � ��� xy
� 33 �� �� 0
� xy
�y
0
0�
0 ��
� z ��
(4.63)
Considerem ara només la família de plans paral·lels a l’eix x 3 (per tant, el
component n3 de la seva normal és nul). El vector de tracció corresponent té
l’expressió:
� t1 � � �11
t �P, n � � � � n � ��t 2 �� � ���12
�� 0 �� �� 0
�12
� 22
0
0 � � n1 �
0 �� ��n 2 ��
� z �� �� 0 ��
(4.64)
i el seu component t 3 s’anul·la. En les equacions (4.63) i (4.64) els components
del tensor de tensions � , de la normal al pla n i del vector tracció t , associats a
la direcció x 3 o bé són coneguts (aquest és el cas de �13, � 23 , n3 o t 3 ), o bé no
intervenen en el problema (com és el cas de � 33 ). Aquesta circumstància
suggereix prescindir de la tercera dimensió i reduir l’anàlisi a les dues
dimensions associades als eixos x 1 , x 2 (o x, y ) com s’indica en la Figura 4-28.
111
4 Tensió
y
y, x 2
y´
�y
x´
� xy
�x
x
�z
z
x, x 1
z, x 3
�y
� xy
y, x 2
�x
�x
� xy
x, x 1
�y
Figura 4-28 – Reducció del problema de tres a dues dimensions
Llavors podem definir el problema al pla a partir de:
�12 � � � x
��
� 22 �� �� xy
��
� � � 11
��12
� t � ��
t �P, n � � � � n � � 1 � � � 11
�t 2 � ��12
� xy �
� y ��
(4.65)
�12 � � n1 �
� 22 �� ��n 2 ��
(4.66)
4.7.1 Estat tensional sobre un pla donat
Sigui un pla (sempre paral·lel a l’eix z ) la normal unitària n de la qual forma
un angle � amb l’eix x . Es defineix un vector unitari m en la direcció tangencial
a la traça del pla i en el sentit indicat a la Figura 4-29.
n
��
y
�
�
��
�
�cos ��
�n � �
�
� sin� �
�
�
�m � � sin��
�� cos ��
�
�
�
�
t
m
P
x
Figura 4-29 – Estat tensional sobre un pla donat
112
4 Tensió
Observació 4-19
Tant la normal n com el vector tangent m i l’angle � en la Figura
4-29 tenen associats els sentits següents:
�
Vector normal n : cap a l’exterior del pla (respecte a la posició del
punt P)
�
Vector tangent m : tendeix a girar en sentit horari respecte al punt P.
�
Angle � : positiu en el sentit antihorari.
Sigui � el tensor de tensions en el punt amb components a la base cartesiana:
��x
���
�� xy
� xy �
� y ��
(4.67)
Utilitzant l’expressió (4.66), el vector de tracció en el punt sobre el pla
considerat és:
��x
t � ��n � �
�� xy
� xy � �cos �� � � x cos � � � xy sin��
�
� y �� �� sin� �� ��� xy cos � � � y sin���
(4.68)
Es defineixen la tensió normal � � i la tensió tangencial � � , sobre el pla d’inclinació �
(vegeu la Figura 4-29) com:
� cos� �
�� � t � n � �� � x cos� � �xy sin� , � xy cos� � � y sin ��� �
�
� sin � �
2
(4.69)
2
� � � � x cos � � � xy 2 sin� cos � � � y sin �
� sin � �
�� � t � m � �� � x cos� � � xy sin � , � xy cos� � � y sin � �� �
�
� �cos� �
�
� � � � x sin� cos � � � y sin� cos � � � xy sin 2 � � cos 2 �
que es poden rescriure com:
N O T A
S’utilitzen aquí les
següents relacions
trigonomètriques:
�
sin�2�� � 2 sin� cos ��
�
1 � cos�2�� �
cos 2 � �
�
2
�
1 � cos�2�� �
sin 2 � �
��
2
�x � �y �x � �y
�
�
cos�2�� � � xy sin�2��
�� � �
�
2
2
�
�� � � x � � y sin�2�� � � cos�2��
xy
�� �
2
�
(4.70)
(4.71)
4.7.2 Problema directe: diagonalització del tensor de tensions
El problema directe consisteix a obtenir, coneguts els components del tensor
de tensions (4.67), en un cert sistema d’eixos x � y , les direccions i tensions
principals (vegeu la Figura 4-30).
113
4 Tensió
�y
�2
� xy
y
�1
Diagonalització
de �
�x
x´
y´
�
x
Figura 4-30 – Problema directe i problema invers
Les direccions principals associades als eixos x´ i y´ definides pels angles � i
� 2 � � (vegeu la Figura 4-30), determinen les inclinacions dels dos plans sobre
els quals les tensions només tenen component normal � � , mentre que la
component tangencial � � s’anul·la. Imposant la condició esmentada en l’equació
(4.71) s’obté:
�� �
�x � �y
2
sin�2� � � � xy cos�2� � � 0 �
tan�2� � �
� xy
�x � � y
2
1
sin�2� � � �
1�
1
tg �2� �
� xy
� �x � �y
�
�
2
�
2
2
�
� � � xy 2
�
�
(4.72)
�x � �y
1
cos�2� � � �
��
1 � tg �2� �
2
��
2
� �x � �y
�
�
2
�
2
�
� � � xy 2
�
�
L’equació (4.72) proporciona dues solucions (associades als signes + i -) �1 i
N O T A
La tercera direcció
principal és la
perpendicular al pla
d’anàlisi (eix z o x 3 ),
vegeu l’equació (4.63) i
la Figura 4-28.
� 2 � �1 �
�
, que defineixen les dues direccions principals (ortogonals) al pla
2
d’anàlisi. Les tensions principals corresponents s’obtenen substituint l’angle
� � � de l’equació (4.72) en l’equació (4.71), que dóna com a resultat:
�� �
�x � �y
2
�
�x � �y
2
cos�2� � � � xy sin�2� �
(4.73)
114
4 Tensió
2
�
�� � � x � � y � �� � x � � y �� � � 2
xy
�
�
� 1
2
2
�
�
�
�� � �
2
�
�x � �y
� �x � �y �
� � � xy 2
�� 2 �
� ��
�
2
2
��
�
�
(4.74)
4.7.3 Problema invers
El problema consisteix a obtenir, donades les direccions i tensions principals
�1 i � 2 al pla d’anàlisi, les tensions sobre qualsevol pla, caracteritzat per l’angle
� que forma la seva normal amb la direcció principal corresponent a �1 . Com a cas
particular es poden obtenir els components del tensor de tensions sobre el
rectangle elemental associat al sistema d’eixos x � y (vegeu la Figura 4-30).
y'
x'
�2
��
�
�1
�1
��
Figura 4-31 – Problema invers
Considerant ara el sistema cartesià x � � y � , associat a les direccions principals (vegeu
la Figura 4-31), i aplicant l’equació (4.71) amb � x� � �1 , � y �� � � 2 , � x�y� � 0 i � � � ,
s’obté:
�1 � � 2 �1 � � 2
�
cos�2��
2
2
� � �2
�� � 1
sin�2��
2
�� �
(4.75)
4.7.4 Cercle de Mohr per a estats plans (en dues dimensions)
Considerem ara tots els plans possible que passin pel punt P i els valors de les
tensions normal i tangencial, � � i � � , definits en l’equació (4.71) per a tots els
valors possibles de � � �0,2�� . Podem caracteritzar ara l’estat tensional en el
punt sobre un pla d’inclinació � mitjançant la parella:
�� � R
(� � � � � � � � � ) � �
��� R
(4.76)
que, al seu torn, determina un punt (x � �, y � �) � R � R del pla � � � de la
Figura 4-32. Per determinar el lloc geomètric dels punts del pla esmentat que
115
4 Tensió
caracteritzen tots els estats tensionals possibles, sobre plans que passin pel punt
d’anàlisi, es procedeix com segueix:
Considerant un sistema de referència que coincideixi amb les direccions
principals (com en la Figura 4-31) i caracteritzant la inclinació dels plans per
l’angle � amb la tensió principal �1 , de l’equació (4.75) s’obté el següent:
��
�1 � � 2 �1 � � 2
� � � 2 �1 � � 2
�
cos�2� � � � � 1
cos�2���
�
�
�
2
2
2
2
�
� � �2
�
sin�2��
�� 1
2
��
(4.77)
i elevant al quadrat les dues equacions i sumant-les queda:
2
� � �2 �
�
� � � �2 �
�� � 1
� � �2 � � 1
�
2
2 �
�
�
�
2
(4.78)
S’observa que l’equació (4.78), que serà vàlida per a qualsevol valor de l’angle
� , o, el que és el mateix, per a qualsevol pla d’orientació arbitrària que passi pel
punt, correspon a una circumferència amb centre C i radi R al pla � � � donats
per (vegeu la Figura 4-32):
� � � �2 �
C �� 1
,0 �
2
�
�
R�
�1 � � 2
2
(4.79)
�
�1 � � 2
2
� �1 � � 2 �
,0 �
C��
� 2
�
R�
R
�2
C
�1
�
Figura 4-32 – Cercle de Mohr per a estats plans de tensió
En conseqüència, el lloc geomètric dels punts representatius de l’estat tensional
sobre plans que passen per P és un cercle (denominat cercle de Mohr), la
construcció del qual queda definida en la Figura 4-32.
La proposició inversa també és certa: donat un punt del cercle de Mohr, amb
coordenades (�, �) , existeix un pla que passa per P les tensions normal i
tangencial del qual són � i � , respectivament. En efecte, de l’equació (4.77) es
pot obtenir:
� � �2 �
�
�� � 1
�
2 � ��a
;
cos�2� � � �
�
R
� �1 � � 2 �
�
�
� 2 �
sin�2� � �
�
�
�
� �1 � � 2 � R
�
�
� 2 �
(4.80)
116
4 Tensió
equacions que defineixen de forma única l’angle � de la normal a un pla (amb
la tensió principal �1 ) al qual corresponen les tensions esmentades. La Figura
4-33 proporciona, a més, una interpretació de l’angle 2� sobre mateix el cercle
de Mohr.
��, ��
�
R
�2
�
a � �1
� �2 �
�
2�
�1
C
�
2
�
Figura 4-33 – Interpretació de l’angle �
4.7.5 Propietats del cercle de Mohr
a) Per obtenir el punt representatiu en el cercle de Mohr de l’estat tensional sobre un pla en
què la normal forma un angle � amb la direcció principal �1 :
Es parteix del punt representatiu del pla on actua la direcció principal �1 (punt
( �1 ,0)) i es gira un angle 2� en el sentit que va des de �1 a � � (vegeu la Figura
��
4-33 i Figura 4-34).
�
�
��
2�
�2
� , ��
�
��
�1
2� �
��
�´ , � �´
�1
�
� �´
�
�1
�´
� �´
Figura 4-34
b) Els punts representatius en el cercle de Mohr de dos plans ortogonals estan alineats amb
el centre del cercle (conseqüència de la propietat a) per a � 2 � � 1 �
�
Figura 4-35.
�B
�� A , � A �
�A
�B
2� � �
�
�1
B
A
�2
�A
Figura 4-35
�
, vegeu la
2
2�
�1
�� B , � B �
�
117
4 Tensió
c) Si es coneix l’estat tensional en dos plans ortogonals es pot dibuixar el cercle de Mohr.
En efecte, per la propietat b) els punts representatius dels dos plans al pla
� � � estan alineats amb el centre de cercle de Mohr. En conseqüència,
unint tots dos punts, la intersecció amb l’eix � proporciona el centre de
cercle. Ja que, a més, es coneixen dos punts de cercle, es pot traçar aquest.
d) Donats els components del tensor de tensions, en una determinada base ortonormal, es
pot dibuixar el cercle de Mohr.
Aquest és un cas particular de la propietat c), en la qual es coneixen els
punts representatius de l’estat tensional sobre els plans cartesians (vegeu la
Figura 4-36). Observeu, en la figura esmentada, com es poden calcular el
radi i els punts diametrals del cercle. Observeu també que l’aplicació de la
propietat a), per al punt representatiu del pla perpendicular a l’eix x ,
suposa moure’s en sentit contrari a l’angle � (angle de � x amb �1 = angle de �1 amb � x =- � ).
��
�
�y
y , � xy
�
�� x
���
�� xy
2
� xy
�2
a � �� x � � y �
C
y
�1
2�
2
1
�x
��
x ,� � xy
�
2
R �
� xy �
� y ��
� �x � �y �
�� � � xy 2
��
2
�
�
�1 � a � R �
�2 � a � R �
�x � �y
2
�x � �y
2
�y
2
�x
� xy
1
� xy
x
�y
�1
2
�
� �x � �y �
�� � � xy 2
��
2
�
�
�
� �x � �y �
�� � � xy 2
��
2
�
�
2
�
�x
Figura 4-36
4.7.6 El pol del cercle de Mohr
Teorema
En el cercle de Mohr hi ha un punt denominat pol que té les
propietats següents:
�
�
Si s’uneix el pol P amb un altre punt A del cercle de Mohr, s’obté una recta
que és paral·lela al pla de l’estat tensional que representa el punt A (vegeu
la Figura 4-37).
La inversa també es verifica, és a dir, donat un pla qualsevol, si es traça
pel pol P una recta paral·lela al pla esmentat, aquesta tallarà al cercle de
Mohr en punt B que representa l’estat tensional del pla (vegeu la Figura
4-38).
�x
118
4 Tensió
�
P
A(�A , �A )
�A
�A
�A
�
�A
Figura 4-37
�
P
�B
B ( �B , �B )
�B
�
Figura 4-38
Demostració
Sigui el tensor de tensions en el punt i la seva representació gràfica sobre els
plans cartesians de la (Figura 4-39, esquerra) denominats pla A (pla vertical) i
pla B (pla horitzontal). Siguin A i B els punts corresponents en el cercle de
Mohr (Figura 4-39, dreta).
1) Suposant que es verifica la propietat a), el pol del cercle de Mohr es podria
obtenir traçant des del punt A una vertical (paral·lela al pla A) i on talli al
cercle de Mohr es troba el pol P. També traçant des del punt B una recta
horitzontal (paral·lela al pla B) on talli al cercle de Mohr, hi hauria el pol. Es
pot veure a la figura que en tots dos casos s’obté el mateix punt P.
2) Considerem ara un pla arbitrari la normal del qual forma un angle � amb
l’horitzontal (vegeu la Figura 4-40; esquerra) i siguin � � i � � les tensions
normal i tangencial, respectivament, segons aquest pla. Suposem, a més,
que la tensió principal major �1 forma un angle � amb la tensió � x .
Llavors, la tensió � � formarà un angle � - � amb la tensió principal major
�1 .
�y
N O T A
Observeu que, d’acord
amb el criteri de signes
del cercle de Mohr, la
tensió tangencial sobre
el pla A és � � �� xy .
� xy
B
y
A
�x
B �� y , � xy �
P
�x
�2
� xy
x
�
� xy
�y
�y
�x
�1
A �� x ,� � xy �
Figura 4-39
�
119
4 Tensió
N O T A
S’utilitzen aquí les
propietats geomètriques
següents:
a) Un angle central de
circumferència té un
valor igual que l’arc que
inclou.
b) Un angle semiinscrit
en una circumferència
té un valor la meitat de
l’arc que inclou.
3) Considerem el cercle de Mohr i el pol P obtingut al pas 1) (vegeu la Figura
4-40, dreta). Utilitzant la propietat a) de l’apartat 4.7.5, podem obtenir el
punt C, representatiu del cercle de Mohr que correspon al pla considerat,
girant des del punt M i en el mateix sentit, un angle doble igual a 2( � - � )
de manera que l’angle MOC és 2(� � �) . Per construcció, l’angle AOM és
2� i l’angle AOC , suma dels dos, és 2(� � � ) � 2� � 2� i l’arc inclòs per
aquest és AMC � 2� . L’angle semiinscrit APC , que inclou el mateix arc
AMC , valdrà, per tant, � , amb la qual cosa queda demostrat que la recta
PC és paral·lela a la traça del pla considerat. Atès que el pla esmentat és
qualsevol, la propietat queda demostrada.
�
��
�
�
B
�1
�
P
�
�x
O
�2
2�
��
C �� � , � � �
M
�1
�
2(� � �)
A �� x ,�� xy �
Figura 4-40
Exemple 4-4 Calcular les tensions que actuen en l’estat III = I + II:
5
1
1
1
2
3
+
45º
45º
�
�
=
Estat II
Estat I
Estat III
Resolució
Per poder sumar els dos estats, les tensions han d’actuar sobre els mateixos
plans. Com que els dos estats presenten plans amb orientacions diferents,
haurem de buscar les tensions de l’estat II existents sobre els plans donats a
l’estat I. Per a això, representarem el cercle de Mohr de l’estat II:
�� � 3
1
Pla b: �
3
�� � 0
�� � 1
Pla a: �
�� � 0
45º
45º
�
�
�� � 0
�� � 0
Pla c: �
120
4 Tensió
�
Pla horitzontal (2,1)
Pol
Pla a(1,0)
Pla b(3,0)
1
1
�
2
3
Pla vertical (2,-1)
Per dibuixar el cercle, es representen els plans a i b, ja que se’n coneixen els
estats tensionals. A més, com que els punts corresponents en el cercle de Mohr
pertanyen a l’eix d’abscisses, defineixen el diàmetre del cercle que queda, per
tant, determinat.
Es troba el pol com la intersecció de línies paral·leles als dos plans inclinats 45º
pels punts que els representen. Una vegada obtingut, s’hi fa passar una línia
horitzontal la intersecció de la qual amb el cercle (que en ser-hi tangent és el
mateix pol) determina el punt representatiu d’un pla horitzontal (2,1). Es
repeteix el procediment per a un pla vertical obtenint el punt (2,-1). Amb
aquesta informació es pot reconstruir l’estat II, ara sobre plans horitzontals i
verticals, i sumar-lo a l’estat I per obtenir l’estat III.
5
2
1
2
2
1
1
2
Estat I
7
1
+
2
Estat II
=
Estat III
4.7.7 Cercle de Mohr amb el criteri de signes de la mecànica de
sòls
En la mecànica de sòls se sol utilitzar un criteri de signes, respecte a les
tensions normals i tangencials, que és contrari al que s’utilitza en la mecànica
de medis continus, vegeu la Figura 4-41. Les diferències són:
� En la mecànica de sòls les tensions positives són de signe contrari (les
tensions normals són positives quan són de compressió, i el sentit de les
tensions tangencials positives ve definit per un gir antihorari respecte al
pla).
� El criteri de signes per als angles és el mateix (angles positius
antihoraris).
121
4 Tensió
��
�
� *�
�
�*�
�1
��
�* � � �
�1*
Mecànica de medis continus
�
2
Mecànica de sòls
Figura 4-41
En conseqüència, si es respecta en tots dos casos l’ordenació de les tensions
principals ( �1 � � 2 ), per a un mateix estat tensional l’ordre de les tensions
principals s’invertirà en la mecànica de sòls respecte a la mecànica de medis
continus (vegeu la Figura 4-42).
�2
�1*
�1
� *2
Mecànica de medis continus
Mecànica de sòls
Figura 4-42
Si considerem les fórmules fonamentals (4.75), punt de partida per a la
construcció i propietats del cercle de Mohr, per a un mateix estat tensional,
utilitzant els criteris de signes en els dos casos, es té:
Mecànica de medis continus: � � , � � , �1 , � 2 , �
���* � ���
� *
�� � � � � �
��
Mecànica de sòls: ��1* � �� 2
� *
�� 2 � ��1
��* � � � � 2
��
(4.81)
i substituint les fórmules (4.81) en les (4.75) s’obté:
� * � �*2 � �1* � �*2 � �1*
�
cos 2�* � �
�� �� �
�����
2
2
� cos �2�* �
��
�
�
*
*
�� �* � � � 2 � �1 sin 2�* � �
�����
� �
2
� sin �2�* �
��
�
�
�
�
(4.82)
122
4 Tensió
� �
�1* � �*2 �1* � �*2
cos 2�*
�
2
2
�* � �*2
��* � 1
sin 2�*
2
��* �
(4.83)
� �
i s’observa que les fórmules fonamentals (4.83), obtingudes sobre la base dels
criteris de signes de la mecànica de sòls, són les mateixes que les (4.75),
obtingudes sobre la base dels criteris de signes de la mecànica de medis
continus. Per tant, la construcció del cercle de Mohr i les seves propietats són les mateixes
en tots dos casos.
4.8 Cercles de Mohr per a casos particulars
4.8.1 Estat tensional hidrostàtic
Per a estats tensionals hidrostàtics, caracteritzats per �1 � � 2 � � 3 � � , els
cercles de Mohr en tres dimensions col·lapsen en un punt (vegeu la Figura
4-43).
�
�
�1 � � 2 � � 3
�2
�3
�1
�
�1 � � 2 � � 3
�
Figura 4-43
4.8.2 Cercles de Mohr d’un tensor i del seu desviador
Els cercles de Mohr en tres dimensions associats a un estat tensional i al seu
desviador difereixen en una translació igual a la tensió mitjana (vegeu la Figura
4-44).
�´
� � �esf � �
�
Part
esfèrica
;
� esf
Part
desviadora
��m
� �� 0
�� 0
0
�m
0
0 � ��1 � � m � �1 ´
��
0 �� � �� 2 � � m � � 2´
� m �� �� 3 � � m � � 3´
�
Translació
�
� màx.
� 3´
�2´
�1 ´
�m
�3
Figura 4-44
�2
�1
�
123
4 Tensió
4.8.3 Cercle de Mohr per a un estat pla de tall pur
Definició
Estat pla de tall pur: Quan hi ha en el punt dos plans ortogonals sobre
els que només hi ha tensió tangencial (vegeu la Figura 4-45, dreta).
El cercle de Mohr corresponent a un estat de tall pur caracteritzat per una tensió
tangencial � * té per centre l’origen i radi R � � * . La demostració és immediata a
partir dels criteris de construcció del cercle de Mohr (vegeu Figura 4-45,
esquerra).
�
�0,� � �
*
� 2 � � �*
�1 � � *
�*
�
�*
�0,� � �
*
Figura 4-45 Cercle de Mohr per a un estat pla de tall pur
�*
�*
5 Equacio n s de
conservació-balanç
5.1 Postulats de conservació-balanç
La mecànica de medis continus s’estableix en una sèrie de postulats o principis
generals que se suposen vàlids sempre, independentment del tipus de material i
del rang de desplaçaments o de deformacions, entre els quals hi ha els
denominats postulats de conservació-balanç, que són els següents:
�
�
�
�
Conservació de la massa.
Balanç del moment cinètic (o quantitat de moviment).
Balanç del moment angular (o moment de la quantitat de moviment).
Balanç de l’energia (o primer principi de la termodinàmica).
A aquestes lleis de conservació-balanç cal afegir una restricció (que no es pot
entendre rigorosament com un postulat de conservació-balanç) introduïda pel:
� Segon principi de la termodinàmica.
5.2 Flux per transport de massa o flux
convectiu
En mecànica de medis continus, s’associa el terme convecció al moviment de la
massa del medi que es deriva del moviment de les seves partícules. Atès que el
medi continu està format per partícules, algunes de les propietats de les quals
estan associades a la quantitat de massa (pes específic, moment cinètic, energia
cinètica, etc.), en moure’s les partícules i transportar-se les seves masses es
produeix un transport de les propietats esmentades denominat transport convectiu
(vegeu la Figura 5-1).
Sigui A una propietat arbitrària del medi continu (de caràcter escalar, vectorial
o tensorial) i � (x, t ) la quantitat de la propietat esmentada per unitat de massa del
medi continu. Considerem una superfície de control (fixa en l’espai) S (vegeu
la Figura 5-2). A causa del moviment de les partícules del medi, aquestes
travessen al llarg del temps la superfície esmentada i, com a conseqüència, hi ha
una certa quantitat de la propietat A que, associada al transport de massa,
travessa la superfície de control S per unitat de temps.
126
5 Equacions de conservació-balanç
F
t � t0
X 3 , x3
t
dm
dm
P
ê 3
P�
X 2 , x2
ê 2
ê1
Figura 5-1
X 1 , x1
Definició
Flux convectiu: Es defineix com a flux convectiu (o flux per transport
de massa) d’una propietat genèrica A a través d’una superfície de
control S la quantitat de A que, a causa del transport de massa,
travessa la superfície S per unitat de temps.
Flux convectiu de A � not
quantitat de A que travessa S
� � �S �
a través de S
unitat de temps
�
ê 3
ê1
v
n
x3
S
ê 2
x2
x1
Figura 5-2 – Flux convectiu a través d’una superfície de control
Per obtenir l’expressió matemàtica del flux convectiu de A a través de la
superfície S , considerarem un element diferencial de superfície dS i el vector
de velocitats v de les partícules que en l’instant t estan sobre dS (vegeu la
Figura 5-3). En un diferencial de temps dt , aquestes partícules hauran
recorregut un trajecte dx � vdt , de manera que en l’instant de temps t � dt
ocuparan una nova posició en l’espai. Si es consideren totes les partícules que
han travessat dS en l’interval �t , t � dt � , aquestes ocuparan el cilindre generat
en traslladar la base dS sobre la generatriu dx � vdt , el volum de la qual ve
donat per:
5 Equacions de conservació-balanç
127
dx � v � dt
v
dh � dx � n � v � n dt
n
dS
Figura 5-3
(5.1)
dV � dS � dh � v � n dt dS
Coneixent el volum ( dV ) de partícules que travessen dS en l’interval de temps
�t , t � dt �, podem obtenir la massa que travessa dS en l’interval, multiplicant
(5.1) per la densitat:
dm � � dV � � v � n dt dS
(5.2)
i, finalment, es pot obtenir la quantitat de A que travessa dS en l’interval de
temps �t , t � dt � , multiplicant (5.2) per la funció � (quantitat de A per unitat
de massa):
� dm � � � v � n dt dS
(5.3)
Dividint per dt l’expressió (5.3), obtindrem la quantitat de la propietat que
travessa la diferencial de superfície de control dS per unitat de temps:
d �S �
� dm
� � � v � n dS
dt
(5.4)
Integrant l’equació (5.4) sobre la superfície de control S , tindrem la quantitat
de la propietat A que travessa la totalitat de la superfície S per unitat de
temps, és a dir, el flux convectiu de la propietat A a través de S :
Flux convectiu de �
� � � S � � �� v � n dS
A a través de S �
S
(5.5)
Exemple 5-1 Calculeu la magnitud � i el flux convectiu � S corresponent a les
propietats següents: a) el volum, b) la massa, c) la quantitat de moviment, d) l’energia
cinètica.
1) Sigui la propietat A el volum de les partícules. Llavors � serà volum per
unitat de massa (l’invers de la densitat) i:
A �V,
��
1
,
�
� S � � v � n dS � Cabal
S
���
���������������������������������
��� ������������������� � ������������������� � ����������������������������������
����������������������
� � ��
� � � � ��� � �� ��
� � ��
�
��� ������ ��� ���������� � � ��� ���������� ��� ��������� � � ����� � ��������� ��
�������� � ���������������������������������������������������������������
� � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � ��
�
���������� ���� ��� ������� ���� � � �� ��� ����� ���������� � � � ������ ��������
�����������
���������������������� � ��������������������
��
� � � �
�����������������������
������������������������
���������������
����������������������
�������������������� �
����������������������
�����������
�
�
�
� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� ��
�
�
��
��������������
���������������������������������������� � � �� �� ������������ ���� ����
���� ���������� ��� ������ ����� ���������� ���������� ��� ����� ���� ��������
�����������������������������������������������������������������������
����������������������� � � �� �
��
� ��
�� � �
� �� � � �� ��
��
��
������������
� �� � �
������������
� ��
� �� � �
��
� ��
� ��
�� � �
��
��
�� ��
����������������������������������������������������������������������������
129
5 Equacions de conservació-balanç
Observació 5-2
El flux convectiu de qualsevol propietat a través d’una superfície material és nul.
En efecte, el flux convectiu està associat, per definició, al transport de
massa (de partícules) i, d’altra banda, una superfície material està
formada sempre per les mateixes partícules i no pot ser travessada per
aquestes. En conseqüència, no hi ha transport de massa a través d’una
superfície material i, per tant, no existeix flux convectiu a través seu.
Observació 5-3
Flux no convectiu
Algunes propietats es poden transportar al si d’un medi continu de
forma no necessàriament associada al moviment de la massa. La
forma de transport esmentada no convectiu rep diversos noms
(conducció, difusió, etc.) depenent del problema físic de què es tracti.
Un exemple típic és el flux de calor per conducció.
El transport no convectiu d’una propietat queda caracteritzat pel
denominat vector o tensor de flux no convectiu q(x, t ) que permet definir el
flux (no convectiu) a través d’una superfície S de normal n com:
Flux no convectiu � � q � n dS
S
5.3 Derivada local i derivada material d’una
integral de volum
N O T A
� està relacionat amb
quantitat de A
��
unitat de massa
mitjançant � � � � i
té el mateix ordre
tensorial que la
propietat A .
Sigui A una certa propietat (de caràcter escalar, vectorial o tensorial) d’un
medi continu, i sigui � la quantitat d’aquesta propietat genèrica A per unitat
de volum:
quantitat de A
� �x, t � �
(5.6)
unitat de volum
Considerem un volum arbitrari V de l’espai. En l’instant de temps t , la
quantitat total Q �t � de la propietat continguda en aquest volum serà:
Q�t � � � ��x, t � dV
V
(5.7)
Si ara volguéssim calcular el contingut de la propietat A en un altre instant
t � �t , podríem considerar les dues situacions següents:
130
5 Equacions de conservació-balanç
1) Es tracta amb un volum de control V , que, per tant, està fix en l’espai i
és travessat per les partícules al llarg del temps, o bé,
2) Es tracta amb un volum material que en l’instant d’interès t ocupa el
volum de l’espai Vt � V , encara que ocupa posicions diferents a
l’espai al llarg del temps.
Per a cada cas obtindrem valors diferents de la quantitat Q(t � �t ) , i calculant
la diferència entre les quantitats de Q(t � �t ) i Q �t � quan �t � 0 :
Q �(t ) � lim
�t � 0
Q�t � �t � � Q�t �
�t
(5.8)
obtindrem dues definicions diferents de derivades temporals que donen lloc als
conceptes de derivada local i derivada material d’una integral de volum.
5.3.1
Derivada local
Definició
Derivada local d’una integral de volum. La derivada local de la integral de
volum Q(t ) � � ��x, t � dV és la derivada temporal de Q(t ) quan el
V
volum V és un volum fix en l’espai (volum de control), vegeu la
Figura 5-5. S’utilitzarà la notació:
Derivada not �
�
��x, t � dV
local
�t V�
t � (t � �t )
x3
Q�t �
Q�t � �t �
ê 3
ê1
Volum de control V
ê 2
x2
x1
Figura 5-5 – Derivada local d’una integral de volum
La quantitat de la propietat genèrica A en el volum de control V en els instants t
i t � �t és:
5 Equacions de conservació-balanç
131
Q�t � � � ��x, t � dV
V
Q�t � �t � � � ��x, t � �t � dV
(5.9)
V
i utilitzant el concepte de derivada temporal de Q�t � i les equacions (5.9)
Q�(t ) �
N O T A
Observeu que el
domini d’integració no
varia en considerar que
el volum V és un
volum de control i, per
tant, fix en l’espai.
1
�
��x, t � dV � lím �Q�t � �t � � Q�t ��
�
0
t
�
�
�t V
�t
� lím
�t � 0
�
1 �
� ��x, t � �t � dV � � ��x, t � dV � �
�t �V�
V
�
���x, t �
��x, t � �t � � ��x, t �
dV
dV � �
� � lím
�t � 0
�t�
���
�t ���
�
��
�
V ����
V �
�� �x,t �
Derivada
local de �
�t
(5.10)
d’on s’obté l’expressió matemàtica de la derivada local d’una integral de volum:
�
�� �x, t �
dV
� � � � �x, t � dV � �
�t V
�t
�
V
Derivada local d' una �
integral de volum
5.3.2
(5.11)
Derivada material
Definició
Derivada material d’una integral de volum. La derivada material de la
integral de volum Q(t ) � � ��x, t � dV és la derivada temporal de
Vt
Q(t ) quan el volum Vt és un volum material (mòbil en l’espai), vegeu
la Figura 5-5. S’utilitzarà la notació:
Derivada
material
not
�
d
��x, t � dV
dt V�
t
El contingut Q d’una propietat A en el volum material en els instants de
temps t i t + �t serà:
Q�t � �
� ��x, t � dV
Vt
Q�t � �t � �
� ��x, t � �t � dV
Vt � �t
(5.12)
132
5 Equacions de conservació-balanç
t
t0
t � �t
dVt � �t
dV t
dV0
X 3 , x3
Q �t �
ê 3
V0
ê 2
ê1
X 1 , x1
N O T A
Q �t � �t �
V t � �t
Vt � V
X 2 , x2
Figura 5-6 – Derivada material d’una integral de volum
La derivada material s’expressa matemàticament com:
Observeu que ara els
dominis d’integració
són diferents en els
instants t i t � �t .
Q �(t ) �
d
��x, t � dV
dt V
�
t
1 �
� lím
�
�t � 0 �t �
�
� lím
�t � 0
Vt �V
Q�t � �t � � Q�t �
�
�t
��x, t � �t � dV � ��x, t � dV ��
�
V
(5.13)
�
Vt � �t
t
El pas següent consisteix a fer uns canvis de variable, adequats per a cada una
de les dues integrals de l’equació (5.13), que condueixin al mateix domini
d’integració. Aquest canvi de variable ve donat per les equacions de moviment
x � ��X, t � , particularitzades per als instants t i t � �t :
�x t � ��X, t �
� (dx1 dx 2 dx 3 ) t � F�X, t � (dX 1 dX 2 dX 3 )
������
�
�������
�
dVt
dV0
�
�
�
�x
�
�
dx1 dx 2 dx 3 ) t � �t � F �X, t � �t � (dX 1 dX 2 dX 3 )
� t � �t � � X, t � �t � (�
������
�������
�
dVt � �t
dV0
�
(5.14)
on s’ha tingut en compte la identitat dVt � F�X, t � dV0 . Els canvis de variable
de l’equació (5.14) introduïts en l’equació (5.13) porten a:
d
��x, t � dV �
dt V
�
t
�
�
1 �
��x�X, t � �t �, t � �t � F �X, t � �t � dV 0 � ��x�X, t �, t � F �X, t � dV 0 � �
�
�����
�
�t � 0 �t � ��������
V0
� �X,t � �t �
� �X,t �
�V0
�
�
� lím
�
�
� �X, t � �t � F�X, t � �t � � � �X, t � F �X, t �
d
lím
dV 0 �
� F dV0
�t � 0
�
t
dt
V0 �������������������
V0
�
� �X, t � F�X, t � � d ���� �x,t � F �x,t � ���
dt
�t
� � �
�
�
�
(5.15)
133
5 Equacions de conservació-balanç
Finalment, desenvolupant l’últim integrant en l’equació (5.14) i tenint en
compte la igualtat
denota la derivada
temporal de la integral
sobre el volum material
Vt (derivada material
de la integral de volum)
particularitzada en l’instant
t en el qual el volum
material ocupa el volum de
l’espai V .
(5.16)
0
és a dir:
d
��x, t � dV
dt V
not
�
�
t
� F ��v:
� d�
�
� d�
�
F dV0 � � �
� �� � v �dV
� �� dt � �� � v �� �
�
�
dt
�
V
Vt �
dVt
N O T A C I Ó
d
��x, t � dV
dt V �V
dt
dF
d
d�
d
F�
��x, t � dV � � �� F � dV0 � � (
�) dV0 �
�
dt
dt V
dt
dt
�
V
V
t
0
0
F ��v
N O T A
Es desfà aquí el canvi
de variable
x t � ��X, t � .
dF
t
Recordant
(
�
Vt �V
l’expressió
d
� d�
�
��x, t � dV � �
� �� � v � dV
dt V �V
dt
�
�
V
t
�
de
�
la
d� ��
� v � �� ) es té finalment:
�
dt
�t
derivada
material
d’una
(5.17)
propietat
�
�
d
��
�
��x, t � dV �
� v � �� � �� �
� v � dV �
�
� �t ������
dt V �V
V �
t
��(�v) ��
�
��
�
dV � � � ��v � dV �
�dV � � � ��v � dV
�
t
tV
�
V
V
V
�
�
�
�
�
(5.18)
�
on s’ha tingut en compte l’expressió de la derivada local (5.11). De l’equació
(5.18) s’obté l’expressió per a la derivada material d’una integral de volum:
Derivada material �
d
�
�
d ' una int egral
µ �x ,t � dV � � µ dV � � � � � µv � dV
� �
�
dt Vt �V
�t V
�
��
� V��
����
�
��
de volum
�������
�
Derivada
Derivada
Derivada
local
convectiva
material
Observació 5-4
El format de derivada material, com a suma d’una derivada local i una
derivada convectiva, que apareix en derivar propietats del medi continu
(vegeu el capítol 1, apartat 1.4) apareix també aquí en derivar integrals en
el medi continu. De nou, la derivada convectiva està associada a
l’existència de velocitat (o de moviment) en el medi i, per tant, a la
possibilitat del transport de massa.
(5.19)
134
5 Equacions de conservació-balanç
5.4 Conservació de la massa. Equació de
continuïtat
Definició
Principi de conservació de la massa. La massa del medi continu (i, per tant,
la de qualsevol volum material d’aquest que es consideri) és sempre la
mateixa.
Sigui un volum material Vt que en els instants de temps t i t � �t ocupa els
volums en l’espai Vt i Vt � �t (vegeu la Figura 5-7). Sigui ��x, t � la descripció
espacial de la densitat. La massa tancada pel volum material V en els instants
de temps t i t � �t és la següent:
M�t � � � ��x, t � dV
Vt
M�t � �t � �
(5.20)
� ��x, t � �t � dV
Vt � �t
Pel principi de conservació de la massa es verificarà que M(t ) � M(t � �t ) .
t
t � �t
dVt � �t
dV t
x3
V t � �t
M�t �
ê 3
ê1
ê 2
M�t � �t �
Vt
x2
x1
Figura 5-7
5.4.1 Forma espacial del principi de la conservació de la
massa. Equació de continuïtat
L’expressió matemàtica del principi de conservació de la massa del volum
material M�t � és que la derivada material de la integral (5.20) és nul·la:
M ��t � �
d
� dV � 0
dt V�
t
�t
(5.21)
���
���������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������
������������� �
���������������� ��
�
� ��
�
� �� � � � � �� � � ���� � � ���� � �� ��
��
�
������������ �
�� ��
��
�
�
��
� ��� �
� ��� �
�
����������� �
� � � �
�������������������
�����������������
����������������������
��������������������
�����������������������
����������������������
�����������������
��������������������
�����������������
�����������������������
������
������������ � ������� ����� ��� �������� ��� ��������� ���� �� �� �� ����� ������ ���� �
���������������������������������� ��� � �� ��������������������������������������
��� �������� ���� �� ����� ��� ����� ������� ���������� ����������� ���������� �� ���
��������� ����������� ���� ����� ���� ������� ������� ������������� ��� �� ��������
������������������������������������������ ��� � �� ��� � � �������
�
� ��
� ��
�
� �� � � ���� � � � �� � � � � �� � ���� ��� � � � � �� � �� ��
�
��
��
�
�
�
�� � � � � � �
�
�
��
� �� � � � � �� � �� ��
��
���������������������
������������������
�
�
�
��
������������������������ �
��
�������������
��
� �� � � � �� �� ���
��
��
������
������
���� ������������ ��� ����������� �������� ��� ������������� ����������� ������������ ��� ��
�������������������������������������������������������������
��������������������������������
�� ��
�
� � � �� ���
�� ��
��
��
� � � �� � �� � � � � �
� � � ��� � � �
����
�
�� ��
��
����� �
������
����������������������������������������������������������������������
�
�
�
��
� � �������
�
�
�
�� � ��� � � � ��� � � � ��� � �
�
�
�
���
��
��
��
��
��
��
� � � ��� � � �
��
�� ���� � �
��
�
�� �
��
�� ���
��
������
������ ������ ��������� ���� ��������� ��� ��� ������������ ��� ��
�����
��������������������
136
5 Equacions de conservació-balanç
R E C O R D A T O R I
Es considera aquí
l’expressió, deduïda al
capítol 2,
dF
dt
dF�
� d�
1 dF �
1 � d�
�
� �� � v � dV � � ��
��
�� dV � � � F
��
dV �
F
F
dt
dt
dt
dt ��
�
�
�
Vt �
Vt
���
�����
�
d �� F �
dt
F dV0
�
1 d
�
� � F � dV � � �� F �( X, t ) dV0 � 0 ��V0 � V0 �t
F dt
�
t
V
� d�
� �� dt
Vt
� F �� � v
�
�
Vt
(5.27)
0
on ara el recinte d’integració és el volum de la configuració de referència V0 .
Atès que l’equació (5.27) s’ha de complir per a totes i cada una de les parts �V0
de V0 , es pot dur a terme un procés de localització que condueix a:
R E C O R D A T O R I
S’utilitza aquí la igualtat
F ( X,0) � 1 �
F 0 �1
�
�� F �(X, t ) � 0
�t
�
�X � V0 �t � � F ( X, t ) � � F ( X) �t �
�
��
� ��X,0 � F �X,0� � ��X, t � F �X, t � � � 0 F 0 � � t F t
������
� ������
�
�
�
not
not
�1
�
� �0 F 0
� �t F t
�
(5.28)
Forma local material
del principi de la
conservació de la massa
(5.29)
�
�
� � � 0 ( X) � � t ( X ) F t ( X )
�
�
�X �V0 �t
5.5 Equació de balanç. Teorema del
transport de Reynolds
Sigui A una certa propietat genèrica (escalar, vectorial o tensorial) d’un medi
continu, i sigui ��x, t � la quantitat d’aquesta propietat A per unitat de massa.
Per tant, ���x, t � és la quantitat de la propietat per unitat de volum.
5.5.1
Lema de Reynolds
Considerem un volum material arbitrari de medi continu que en l’instant t
ocupa en l’espai un volum Vt � V . La quantitat de la propietat genèrica A en
el volum material Vt en l’instant t serà:
Q (t ) �
� � � dV
Vt �V
(5.30)
La variació al llarg del temps del contingut de la propietat A en el volum
material Vt vindrà donada per la derivada temporal de Q(t ) , que utilitzant
l’expressió (5.17) de la derivada material d’una integral de volum (amb
� � �� ) serà:
Q �(t ) �
d
�
� d ��� �
�� dV � � �
� ��� � v � dV
dt V ��V ���
dt
�
V �
�
t
(5.31)
5 Equacions de conservació-balanç
137
Utilitzant l’expressió per a la derivada material d’un producte de funcions,
agrupant termes i utilitzant l’equació de continuïtat (5.24):
d
��dV �
dt Vt��V
d�
d�
� d�
�
� d�
�
�� �
� �� � v � � dV �
��
� ��� � v � dV � � � �
�
�
dt
dt
dt
dt
�
�
V
V
��
����
��
� �� �
(5.32)
�0 ( Eq. de
continuïtat)
Lema de Reynolds :�
d�
d
�� dV � � �
dV
dt
dt V ��V
V
(5.33)
t
5.5.2
Teorema de Reynolds
Considerem el volum arbitrari V , fix en l’espai, de la Figura 5-8. La quantitat
de la propietat A en aquest volum de control serà:
Q(t ) � � �� dV
(5.34)
V
La variació de la quantitat de la propietat A en el volum material Vt , que de
forma instantània coincideix en l’instant t amb el volum de control V ( Vt � V ) ,
vindrà donada per la derivada material de l’expressió (5.19) (amb � � �� ) i
l’equació (5.11):
d
��� � �
dV � � � � (� � v ) dV
�� dV � �
dt V ��V
�t
V
V
(5.35)
t
Fent servir el lema de Reynolds (5.33) i el teorema de la divergència en
l’expressió (5.35) s’obté el següent:
d
�� dV
dt Vt��V
Lema
de
Reynolds
�
��
V
� � �� �
d�
dV � �
dV � � � � ( � � v) dV �
�t
dt
V
V
Teorema
de la
divergència
�
�
V
(5.36)
� � �� �
dV � � � � v � n dS
�t
�V
expressió (5.36) que es pot reescriure com:
Teorema del transport de Reynolds
�
� � � dV
�t V
���������
Variació per unitat
de temps del contingut
de la propietat A en el
volum de control V
�
��
d�
dV
dt
V ������
����
�
Variació a causa del
canvi del contingut
de la propietat A en
les partícules de
l'int erior de V
�
� � � v � n dS
�V
���
�����
�
Variació a causa del
flux convectiu net
de A , sortint pel
contorn �V
(5.37)
���
���������������������������������
�
�� � �
� � ���������� ������ ��������
�
�� ����������� � ��������������
� ��
�������������������
�
� ��
��
� ��
� ��
�� � �
� � ������
�
�� ��
����������
�������������������������������������������������������������������������������
��������������������
��
� � �� ��� � �
�
�
�
� ��� �
��� � � � ����������
��
�
�
�� ���� �
� � � �������
�
��
��
��� � � �
������
�� �� �
�����������
�
���� �
��
�
��
� � � � ��� ���
��������������
��
��
��
�����������������������
�� � �
������
�������������� �������� ��� ���� ���������� ��
������
������������������������������� � ��������������������������� ���� � � �������������
��������������������������������������������������������������������������������
��������� ���� ����� �������� ��� ���������� ��� ��� ���������� � � �� ���� ��� ���������
���������� ��� ���� ������������ ����� ���� ��������� ��� ��� ������ ����������
������������������������������������������������������������������
�� �������������� � � ��� � � ���������������������������������������������� � �����
��������������������������������������������������
� � � ��� � �
�������������� ����������������������
�������������������������������
������
�� ���������� �� ��� � � ���������������������������������������������������������
���������� ��������� ��� ��� ��� ���������� � �� ���� ������������� ��� ����� ��� ��
�����������������������������������������������������������������������
������ � ��� ������ ��� �������� ���������� ������� ��� ������� ������ ��� ��������� ���
������������������������������������������������ ������������� ������������
����
��� ����������������������������� ������������������������������������������
��� ����������������������������������� ������������� �
��� �������������������������������������� ������������� �
�
� �
�
������
�
��
�
�
�
�
��
����������
�� ���������� ���� ��������� ��� ������� ��� ��� ���������� ��� ��� ����������
��������� ����������
�
�
�
��� ��� ������ ��
�
������
������������������������������������������������������������������������������������
�������������
140
5 Equacions de conservació-balanç
�
� � dV � � � k A dV � � � � �� � v � dV � � � � j A dV �
�t V�
V
V
V
��
�
� �� �t �� � � � � � �� � v ���dV � � ��k A � � � j A � dV
V
V
(5.43)
��V � V
i localitzant en l’equació (5.43), s’obté la forma local espacial de l’equació
general de balanç:
Forma local espacial de l' equació general de balanç
�
� � � jA
�k A
��� � � � � ���v � � � d� �
�
�����
�t �������
dt
�
�
��
�
Variació a causa Variació a causa
� d�
dt
Variació de la
quantitat de la
propietat
(per unitat de
volum i de
temps)
de la generació del transport
interna de les
no convectiu
fonts
(5.44)
on s’ha considerat l’equació (5.39).
Observació 5-5
L’expressió (5.42) i, especialment, la (5.44):
�
d�
� �k A � � � j A
dt
posa de manifest la contribució negativa ( � � � jA ) del flux no
convectiu, a la variació del contingut de la propietat per unitat de
volum i de temps �
d�
. Només quan tot el flux és convectiu (per
dt
transport de massa) la variació esmentada procedeix únicament de la
generació interna de la propietat:
�
d�
� �k A
dt
Exemple 5-2 Si associem la propietat A amb la massa , A � M , tindrem:
� El contingut de A per unitat de massa (massa/unitat de massa) és � � 1 .
� El terme font de generació de massa és k M � 0 , atès que no és possible
generar massa (pel principi de conservació de la massa).
� El vector de flux no convectiu de massa és jM � 0 , atès que no es pot
transportar massa de forma no convectiva.
Llavors, l’equació (5.44) (balanç de la generació de massa) queda:
�
d� ��
� � � (�v) � 0
�
dt �t
que és una de les formes de l’equació de continuïtat (vegeu l’equació (5.26)).
5 Equacions de conservació-balanç
141
5.7 Balanç de la quantitat de moviment
Suposeu un sistema discret format per n partícules de manera que la partícula
i té una massa mi , una acceleració a i i està
fk
sotmesa a una força fi (vegeu la Figura 5-9).
La segona llei de Newton estableix que la força que
mi
actua sobre una partícula és igual a la massa d’aquesta
per la seva acceleració. Fent servir la definició
d’acceleració com a derivada material de la velocitat i
ai
tenint en compte el principi de conservació de la
Figura 5-9
massa (la variació de la massa de la partícula és igual a
zero) es té:
f i � m i a i � mi
T E R M I N O L O G I A
En mecànica, se solen
utilitzar també els noms
moment cinètic o
momentum per designar
la quantitat de
moviment.
dv i d
� �mi v i �
dt
dt
(5.45)
Definint la quantitat de moviment de la partícula com el producte de la seva massa
per la seva velocitat ( mi v i ), l’equació (5.45) expressa que la força que actua
sobre la partícula és igual a la variació de la quantitat de moviment d’aquesta.
Aplicant ara la segona llei de Newton al sistema discret format per n partícules
tindrem el següent:
R (t ) � � f i � � mi a i � � mi
i
i
i
dv i d
�
dt
dt
�m v
i
i
i
�
�
��
�
�
dP (t )
dt
P�
quantitat de
moviment
(5.46)
Observeu que, de nou, per obtenir l’última expressió de (5.46), s’ha fet servir el
principi de conservació de la massa (
dmi
� 0 ). L’equació (5.46) expressa que el
dt
resultant R de totes les forces que actuen sobre el sistema discret de partícules és igual a la
variació per unitat de temps de la quantitat de moviment P d’aquest. Aquest postulat
rep el nom de principi del balanç de la quantitat de moviment.
Observació 5-6
Si el sistema es troba en equilibri R � 0 i:
R (t ) � 0
�t �
dP (t)
� 0 � � mi v i � P � ctte
dt
i
es parla llavors de la conservació de la quantitat de moviment.
5.7.1 Forma global del principi de balanç de la quantitat de
moviment
Aquests conceptes, corresponents a la mecànica clàssica, es poden estendre ara
a la mecànica de medis continus, definint la quantitat de moviment d’un volum
material Vt de medi continu de massa M com:
142
5 Equacions de conservació-balanç
P (t ) �
�
M
v d�
M � � � v dV
� dV V
(5.47)
t
Definició
Principi de balanç de la quantitat de moviment: La resultant R (t ) de totes les
forces que actuen sobre un volum material del medi continu és igual a
la variació per unitat de temps de la seva quantitat de moviment:
R (t ) �
dP (t ) d
�
� v dV
dt
dt V
�
t
t
dV
dV
x3
b (x, t )
�bdV
ê 3
ê1
Vt � V
ê 2
dS
x2
t ( x, t )
tdS
Figura 5-10
x1
on el resultant de totes les forces que actuen en el medi continu és (vegeu la
Figura 5-10):
R (t ) �
� � b dV
V
�
���
�
Forces
màssiques
�
� t dS
(5.48)
�V
���
Forces de
superfície
Aplicant l’equació del balanç de la quantitat de moviment amb la resultant
(5.48) s’obté la forma integral del balanç de la quantitat de moviment:
Forma global del principi�
�
de balanç de la quantitat � �
�
de moviment
�
d
� � b dV � � t dS � dt � � v dV
V
�V
(5.49)
Vt �V
5.7.2 Forma local del principi de balanç de la quantitat de
moviment
Aplicant el lema de Reynolds (5.33) a l’equació (5.49) (i fent servir el teorema
de la divergència), es té que:
5 Equacions de conservació-balanç
d
dv
�
� v dV � � � b dV � � n�
dV �
� � dS � � �
dt Vt ��V
dt
V
�V t
Vt �V
�
�
Teorema
��
de la
�
divergència
�
�
�
�
n
dS
dV
�
�
�
�
�
��
�V
V
�
dv
� �� � � � � b � dV � � � dt dV
V
N O T A
S’identifica així
l’equació de Cauchy
(enunciada, però no
deduïda, al capítol 4)
com la forma local espacial
del principi de balanç de la
quantitat de moviment.
��V � V
V
143
(5.50)
(5.51)
i localitzant en l’equació (5.51), s’obté la forma local espacial del balanç de la quantitat
de moviment, també denominada equació de Cauchy:
Form a local espacial
del balanç de la
quantitat de m ovim ent
( equació de Cauchy )
�
dv
�
� � a �x �V �t
� � � � � � �b � �
dt
�
�
(5.52)
5.8 Balanç del moment de la quantitat de
moviment (moment angular)
T E R M I N O L O G I A
En mecànica, se sol
utilitzar també el nom
de moment angular per
designar el moment de
la quantitat de
moviment.
Considerem un sistema discret format per n partícules tal que per a una
partícula arbitrària i , el seu vector posició és
fk
ri , la seva massa és mi , hi actua una força
f i i té una velocitat v i i una acceleració a i
mi
(vegeu la Figura 5-10). El moment respecte a
l’origen de la força que actua sobre aquesta
partícula serà M i � ri � f i , i el moment
mi v i
respecte a l’origen de la quantitat de moviment
ri
O
de la partícula serà Li � ri � mi v i . Tenint en
Figura 5-10
compte la segona llei de Newton, el
moment M i serà:
M i � ri � f i � ri � mi a i � ri � mi
d vi
dt
(5.53)
Si estenem el resultat anterior al sistema discret format per les n partícules,
tindrem que el moment resultant respecte a l’origen M 0 de les forces que
actuen sobre el sistema de partícules és:
N O T A
El producte vectorial
d’un vector per si
mateix és nul
( v i � v i � 0 ).
dv i �
dt �
�
dri
dv i � �
d
� ri � mi v i � �i dt � mi v i � �i ri � mi dt ��
dt i
�
vi
�
�
����
��
�0
dL(t )
d
M O (t ) � � ri � mi v i �
dt
dt �
i
����
M O (t ) � � ri � f i � � ri � mi a i � � ri � mi
i
i
i
Moment
angular L
(5.54)
���
���������������������������������
���������������������������������������� ���������� � � � ��� ������ ���� ������� ���� ������
�����������������������������������������������������������������������������������������������
��� ���������� ��� ��������� ��� ������� ��������� � � � �� � �� � � � ���������� ������
�
���������������������������������������������������������������������������������
��������������
������������������������������������ � � �� � � � ��
� � �� � � � �� �
���� �
�
� �� � �� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � ����
�� �
�
������������������������������������������������������
������
������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������
� ��
��
�� � �
�� �� ��
� � � �� � �
�� � �
� �� � �
� ��
� ��
�� ���� � �
� ��
� ��
� � �� � �
� ��
�� � �
�����������
�� ��
����������������������������������
� � � � � �� ��
� � � � � ������
�
���� �
�������������������������������������������������������������������
���������
������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������ � �������������������������
������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������
� � ��� �
� ���� �
�
� � ��� � ��
��
�� � ���
�
������
5 Equacions de conservació-balanç
145
Atès que el moment resultant de les forces que actuen sobre el medi continu
(moment de les forces màssiques i moment de les forces de superfície) té
l’expressió (vegeu la Figura 5-11):
�
M O (t ) � r � � b dV �
V
� r � t dS
(5.56)
�V
el principi de balanç del moment de la quantitat de moviment queda:
Forma global espacial
del principi de balanç
del moment angular
�� d
��
� dt
� r � � v dV � � r � �b dV � � r � t dS
Vt �V
V
(5.57)
�V
5.8.2 Forma local espacial del principi de balanç del moment
angular
Per obtenir la forma local espacial de l’equació de balanç es procedeix com
segueix; tenint en compte el lema de Reynolds en l’equació (5.57):
d
d
�(r � v ) dV �
r � �v dV �
�
dt V ��V
dt V �V
t
t
dv
dv
dr
d
� � � (r � v ) dV � � � ( � v ) dV � � � (r � ) dV � � r � �
dV
dt
dt
dt
dt
V
V �
V
V
v ��
�
�
�
�0
i desenvolupant l’últim terme de l’equació (5.57):
��
n�
�
T
T
� � r � t dS � � r � n � � dS � � r � �n � � � dS � � (r � � ) � n dS �
���V
�V
�V
�V
�Teorema
� diverg.
T
� � � (r � � ) � � dV
��
V
(5.58)
(5.59)
�
�
kr
��
simb
�
�
�
T
�
(
)
(
e
x
(eijk x j � rk ) �
�
�
�
�
�
�
r
ijk j
rk )
i
�
�x r �x r
�
� �x j
�� rk
� eijk � jk � �r � � � � � i �{1,2,3}
� rk � eijk x j
�eijk
���
�x r
�x r
� �
�����
mi
�
� jr
�r����� i
�
(5.60)
� r � t dS � m dV � �r � � � � � dV
�
� ��V
V
V
�mi � eijk � jk
i, j , k � {1,2,3}
�
(5.61)
�
�
Substituint ara l’equació (5.60) en la (5.59):
�
�
�
i substituint finalment les equacions (5.58) i (5.61) en l’equació (5.57):
dv
� r � � dt dV � � r � �b dV � � m dV � � �r � � � � �dV
V
V
V
Reordenant termes en l’equació (5.62), s’obté:
V
(5.62)
146
5 Equacions de conservació-balanç
�
dv �
� r � ��� � � � �b � � dt �� dV � � m dV � 0 � V� m dV � 0
V
��������
�
�0
��V � V
V
(5.63)
on s’ha tingut en compte que el primer integrant és nul a causa de l’equació de
Cauchy (5.52) (forma local espacial de l’equació de balanç de la quantitat de
moviment). Localitzant en l’equació (5.63) i considerant el valor de m en
l’equació (5.61), resulta:
m�0
�x � V
mi � eijk � jk � 0
�
� � e ijk � jk � 0
i � {1,2,3}�
i, j, k � {1,2,3}
(5.64)
i particularitzant l’equació (5.64) per als tres possibles valors de l’índex i :
N O T A
S’identifica així la
simetria del tensor de
tensions de Cauchy
(enunciada, però no
deduïda, al capítol 4)
com la forma local espacial
del principi de balanç del
moment angular.
�
i � 1 : e1 jk � jk � e123 �23 � e132 �32 � �23 � �32 � 0 � �23 � �32 �
�
�
�
�1
��1
��
i � 2 : e2 jk � jk � e231 �31 � e213 �13 � �31 � �13 � 0 � �31 � �13 � � � � �T
�
�
�
�1
��1
�
i � 3 : e3 jk � jk � e312 �12 � e321 �21 � �12 � �21 � 0 � �12 � �21 �
�
�
��
�1
��1
Forma local espacial
del principi de balanç
del moment angular
��
T
��� ��
�
(5.65)
(5.66)
i la forma local del balanç del moment de la quantitat de moviment es tradueix
en la simetria del tensor de tensions de Cauchy.
5.9 Potència
Definició
Potència: En mecànica clàssica, i també en mecànica de medis continus,
es defineix la potència com un concepte, previ al d’energia, que es pot
quantificar com la capacitat de realitzar treball per unitat de temps. Així,
per a un sistema (o medi continu) es defineix la potència W (t )
entrant en aquest com:
W (t ) �
Treball realitzat en el sistema
unitat de temps
En alguns casos, no en tots, la potència W (t ) és una diferencial exacta d’una
funció E (t ) , la qual, en els casos esmentats, rep el nom d’energia.
W (t ) �
dE (t )
dt
(5.67)
En el nostre cas suposarem que existeixen dos procediments pels quals el medi
continu absorbeix potència del seu exterior i realitza amb aquesta potència un
treball per unitat de temps:
147
5 Equacions de conservació-balanç
Potència mecànica: mitjançant el treball realitzat per les accions mecàniques
(força màssiques i superficials) que actuen sobre el medi.
Potència calorífica: mitjançant l’entrada de calor en el medi.
5.9.1
Potència mecànica. Teorema de les forces vives
Definició
Potència mecànica entrant en el medi continu: treball per unitat de temps
realitzat per totes les forces (màssiques i de superfície) que actuen
sobre aquest.
Considerem el medi continu de la Figura 5-12 sotmès a l’acció d’unes forces
màssiques, caracteritzades pel vector de forces màssiques b(x, t ) , i unes forces
superficials, caracteritzades pel vector de tracció t (x, t ) .
x3
t ( x, t )
t
ê 3
ê 2
ê1
Vt � V
x2
t � dt
b ( x, t )
dr
x1
t
�V
� �b �
dV
dr
dV � � b � v dV
dt
�
v
� b dV
t
t dS
dS
dr
�
t�
dr
dS � t � v dS
dt
�
v
t � dt
Figura 5-12
L’expressió de la potència mecànica entrant en el sistema Pe és:
Pe � � � b � v dV �
V
�
�V
t � v dS � � � b � v dV � � n � �� � v � dS
�
V
�V
n��
(5.68)
Aplicant el teorema de la divergència a l’últim terme de l’equació (5.68) es té:
� � n � �� � v � dS � � � � �� � v � dV
��V
V
��
�� � �� � v � � � (� v ) � �� ij v � � �v j � �� � � � � v � � : l
ij
j
j
ij
�
�
�xi
�xi
�x
�
� ji �i
�
(l) ji
(��� ) j
��
(5.69)
148
5 Equacions de conservació-balanç
i tenint en compte la identitat l � v � � � d � w (vegeu el capítol 2):
R E C O R D A T O R I
El tensor � és simètric
i el tensor w és
antisimètric. En
conseqüència, el seu
producte és nul
( � : w � 0 ).
N O T A
S’utilitza aquí
l’expressió:
d 1
( v � v) �
dt 2
1 dv
1 dv
�
�v� v�
dt
2 dt
2
dv
�
�v
dt
N O T A C I Ó
2
v � v � v � v2
�: �
l
� � :d � �
:w � �:d
�
�0
l�d� w
(5.70)
Substituint l’equació (5.70) en la (5.69), s’obté:
� � n � �� � v � dS � � �� � � � � vdV � � � : d dV
�V
V
(5.71)
V
Substituint l’equació (5.71) en l’equació (5.68), la potència mecànica
entrant en el medi continu resulta ser:
Pe � � � b � v dV � � t � v dS � � � b � vdV � � �� � � � � vdV � � � : d dV �
V
�V
V
V
V
dv
� v dV � � � : d dV �
dt��
�
V
� � �� � � � � b � � v dV � � � : d dV � � �
�����
V
V
V
� dv
d 1
dt
( v�v )
dt 2
d �1
d �1 2�
�
� � dt �� 2 v � v �� � � � : d dV � � � dt �� 2 v ��dV � � � : d dV �
V
V
V
V
(5.72)
i aplicant el lema de Reynolds (5.33) a l’equació (5.72):
Pe � � � b � v dV �
V
d
� t � v dS � dt �
�V
Vt �V
1 2
�v dV � � � : d dV
2
V
Teorema de
deles forces
forces vives
Teorema
vives
Potència �
1
d
�
mecànica� � Pe � � �b � v dV � � t � v dS �
� v 2 dV � � � : d dV
�
2
dt
�V
V
Vt �V
�
entrant ��
��
����
� V����
K�Energia
cinètica
(5.73)
(5.74)
Potència
tensional
L’equació (5.74) constitueix la generalització a la mecànica de medis continus
del teorema de les forces vives de la mecànica clàssica:
Definició
Teorema de les forces vives: la potència mecànica entrant en el medi
continu:
Pe � � �b � v dV � � t � v dS
s’inverteix en:
V
�V
a) modificar l’energia cinètica de les partícules del medi continu:
not
dK d 1
1
Energía cinética
� � � v 2 dV
Energia
cinètica � K � � � v 2 dV �
dt
dt V 2
2
V
b) crear potència tensional:
def
Potència tensional
tensional � � � : d dV
V
149
5 Equacions de conservació-balanç
Observació 5-8
En vista de l’equació (5.74), la potència tensional es pot definir com
aquella part de la potència mecànica entrant en el sistema que no
s’empra a fer variar l’energia cinètica. Es pot interpretar com el treball
per unitat de temps (potència) realitzat per les tensions en el procés de
deformació del medi.
En un sòlid rígid no hi ha deformació ni velocitat de deformació
( d � 0 ). En conseqüència, les tensions no realitzen treball mecànic i la
potència tensional és nul·la. En aquest cas, tota la potència mecànica
entrant en el sistema s’inverteix en fer variar l’energia cinètica d’aquest
i es recobra el teorema de les forces vives de la mecànica del sòlid
rígid.
5.9.2
Potència calorífica
Definició
Potència calorífica entrant Qe : És la quantitat de calor que entra, per
unitat de temps, en el medi continu.
L’entrada de calor esmentada pot ser produïda per dues causes fonamentals:
a) l’entrada de calor a causa del flux (no convectiu) de calor a través del contorn
del volum material corresponent. Noteu que, en tractar-se d’un volum
material, el flux de calor per transport de massa (convectiu) és nul i, per
tant, tot el flux de calor entrant serà no convectiu,
b) l’existència de fonts de calor a l’interior del medi continu.
�
Flux de calor no convectiva
Sigui q�x ,t � la descripció espacial del vector de flux no convectiu de calor
per unitat de superfície. Llavors, el flux net no convectiu de calor a través
del contorn del volum material serà (vegeu la Figura 5-13):
� q � n dS �
�V
Quantitat de calor sortint
unitat de temps
� � q � n dS �
�V
Quantitat de calor entrant
unitat de temps
(5.75)
150
5 Equacions de conservació-balanç
t
Vt � V
x3
q ( x, t )
n
ê 3
ê1
�V
ê 2
x1
x2
Figura 5-13
Observació 5-9
Un exemple típic de flux no convectiu és la transmissió de calor per
fenòmens de conducció. La conducció de calor està governada per la llei
de Fourier, que proporciona el vector de flux de calor per conducció
(no convectiva) q(x, t ) en funció de la temperatura ��x, t � :
Llei de Fourier �
�
de conducció � �
�
de calor
�
q � x, t � � � K �� � x, t �
on K és la conductivitat tèrmica (una propietat del material).
�
Fonts internes de calor
A l’interior del medi continu es pot generar (o absorbir) calor a causa de
certs fenòmens (reaccions químiques, etc.). Sigui r �x, t � una funció
escalar que descriu en forma espacial la calor generada per les fonts
internes per unitat de massa i unitat de temps (vegeu la Figura 5-14). La
calor entrant en el sistema, per unitat de temps, a causa de l’existència de
fonts internes de calor serà:
t
r ( x, t )
x3
dV
�V
ê 3
ê1
x1
ê 2
x2
Figura 5-14
Vt � V
5 Equacions de conservació-balanç
� � r dV �
Calor generada per la font interna
unitat de temps
V
151
(5.76)
En conseqüència, la calor total entrant per unitat de temps en el medi continu
(o potència calorífica Qe ) vindrà donada com la suma de les contribucions del
flux per conducció (5.75) i de les fonts internes (5.76):
Potència calorífica �
entrant en el medi
�
�
Qe � � � r dV � � q � n dS
V
(5.77)
�V
i, ateses les equacions (5.74) i (5.77), la potència total entrant en el medi
continu es pot escriure com:
Potència total entrant en el sistema
Pe � Qe �
1 2
d
�v dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS
dt Vt��V 2
V
V
�V
(5.78)
5.10 Balanç de l’energia
5.10.1 Conceptes de termodinàmica
�
Sistema termodinàmic: és una determinada quantitat de matèria contínua
formada sempre per les mateixes partícules (en el nostre cas un volum
material).
�
Variables termodinàmiques: conjunt de variables macroscòpiques que
caracteritzen el sistema i intervenen en tots els processos físics que cal
estudiar. Es designaran per � i �x, t � i � �1,2, � , n�.
�
Variables d’estat, independents o lliures: és un subconjunt del grup de variables
termodinàmiques en funció de les quals es poden expressar totes les altres.
�
Estats termodinàmics: un estat termodinàmic queda definit en assignar un cert
valor a les variables d’estat i, per tant, a totes les variables
termodinàmiques. En un hiperespai (espai termodinàmic) definit per les
variables termodinàmiques � i i � �1,2, � , n� (vegeu la Figura 5-15), un
estat termodinàmic vindria representat per un punt.
�2
�1
Figura 5-15 – Espai termodinàmic
152
5 Equacions de conservació-balanç
�
Processos termodinàmics: la successió contínua d’estats termodinàmics pels
quals passa el sistema entre dos instants de temps t A i t B (és un camí o
segment continu en l’espai termodinàmic, vegeu la Figura 5-16).
�2
� 2B
� 2A
B
A
�1
�1B
�1A
Figura 5-16 – Procés termodinàmic
�
Cicle tancat: procés termodinàmic en el qual l’estat termodinàmic final
coincideix amb l’estat termodinàmic inicial (totes les variables
termodinàmiques recuperen el seu valor inicial), vegeu la Figura 5-17.
�2
A� B
� 2A
�1
�1A
Figura 5-17 – Cicle tancat
�
N O T A
La descripció
matemàtica d’una
funció �(� 1 ,.., � n )
de les variables
termodinàmiques
mitjançant una forma
diferencial �� és un
fet molt comú en
termodinàmica de
medis continus.
Funció d’estat: tota funció escalar, vectorial o tensorial ��� 1 � � n � de les
variables termodinàmiques que es pot escriure unívocament en funció
d’aquestes.
Considerem un espai termodinàmic amb variables termodinàmiques
� i �x, t � i � �1,2, � , n� i una funció �(� 1 ,...., � n ) de les variables
termodinàmiques esmentades definida implícitament mitjançant una forma
diferencial:
�� � f 1 ��1 , � , � n �d�1 � � � f n ��1 , � , � n � d� n
(5.79)
Considerem també un determinat procés termodinàmic A � B en l’espai de
les variable termodinàmiques. L’equació (5.79) proporciona el valor de la
not
not
funció �(�1B ,...., � nB ) � � B conegut el seu valor �(�1A ,...., � nA ) � � A i el camí
corresponent (procés termodinàmic) A � B mitjançant:
B
� B � � A � � ��
A
(5.80)
153
5 Equacions de conservació-balanç
B�
�
B
� B � � A � � ��
A
A
�1
A
B
�1
�� �� � �� ��
1
2
�2
B
�2
Figura 5-18 – Funció no unívoca de les variables termodinàmiques �1 ,� 2
Tanmateix, l’equació (5.80) no garanteix que el resultat � B sigui independent
del camí (procés termodinàmic) seguit. En termes matemàtics, no garanteix que
la funció � : R n � R definida mitjançant (5.80) sigui unívoca (vegeu la Figura
5-18) i que, per tant, existeixi una sola imatge �(�1 ,...., � n ) per a cada punt de
l’espai termodinàmic (vegeu la Figura 5-18).
Observació 5-10
Per tal que una funció �(� 1 ,.....� n ) , descrita implícitament mitjançant
una forma diferencial �� , sigui una funció d’estat (és a dir, unívoca), la
forma diferencial esmentada ha de ser una diferencial exacta �� � d� .
En altres paraules, la forma diferencial �� ha de ser integrable.
La condició necessària i suficient perquè una forma diferencial com la
(5.79) sigui una diferencial exacta és la igualtat de derivades creuades:
�� � f 1 ��1 , � , � n �d�1 � � � f n ��1 , � , � n � d� n �
�
�f i ��1 , � , � n � �f j ��1 , � , � n �
� � �� � d�
�
�i, j �{1,...n}�
�� j
�� i
�
Si la forma diferencial (5.79) és una diferencial exacta, l’equació (5.80) queda:
� B � � A � � d� �� A � ����A
B
A
B
(5.81)
i el valor � B és independent del camí d’integració. Direm llavors que la funció
� és una funció d’estat que depèn únicament dels valors de les variables d’estat i no del
procés termodinàmic.
���
���������������������������������
���������������
��� � � ��� ���� ������� ��������� �������� �� � ��� ���� ������������ ������� �� ��
�������������������������������������������������������� �� �������������
��� � � �
�� �� � � �� � ��
��
�
�
�
������������������������������������ ��� � � � � � ������������������������������������������
�� � �� � ��� � �� �� � ����������������������������
���������
�����������������������������
�� �
�
� ��
� � � �� � � �� �
��
�� �
�
� �
��
� � ��
� � � �� �
�
� � � �� � ���
��
���
������������� �� ������������������������������������������������������������� � ������
�������������������
������� �����������������������������������
�������������� ��������� ���� ��� ��������� ��������� ������� ��� ��� ���� �����������
��������������������������� �������� �������� ������������� ���� �������� ��� ��������
������������������������������������������������������������������������������
��� � �� ��� � � �� ��� � � ��
�
�� � � �� ��� � � �� ��� � ���
������
����������� ��������� ���������� ������������� ���� ��� ����� ��� ��� ��������
��������� ���� ��� ��������� ������������ ��� �� ����� ��� ��������� ������ �������� ��� ��
��������������������������������������������������������������������������������
����� ���� ������ ��� ���� �������� �� ������� ���������� ���� ������� �������� � � ���
�����������������������������������
�� ������ ��� � � � � ���� �
�� ��� �� �� ���� ���������
������
155
5 Equacions de conservació-balanç
x3
t
Vt � V
ê 3
ê 2
ê1
Pe � Qe
x2
x1
Figura 5-19
El primer principi de la termodinàmica estableix els postulats següents:
1) Existeix una funció d’estat E , denominada energia total del sistema, tal que la
seva variació per unitat de temps és igual a la suma de la potència mecànica
més la potència calorífica entrants en el sistema:
dE
� Pe � Qe
dt
d�
E
� Pe dt � Qe dt
�
�
Variació de
l'energia total
Treball
mecànic
(5.84)
Treball
calorífic
2) Existeix una altra funció d’estat U denominada energia interna tal que:
N O T A
Es diu que una certa
propietat és extensiva si
el contingut de la propietat
en el tot és la suma del
contingut de la propietat a
cada una de les parts. El
caràcter extensiu d’una
propietat permet definir
el contingut de la
propietat per unitat de
massa (valor específic de la
propietat) o per unitat de
volum (densitat de la
propietat).
a) és una propietat de caràcter extensiu. En aquest cas espot definir una
energia interna específica u (x, t ) (o energia interna per unitat de massa)
tal que:
U � � � u dV
V
(5.85)
b) la variació de l’energia total del sistema E és igual a la variació de
l’energia interna U més la variació de l’energia cinètica K :
d�
E
� dK �
d�
U
Diferencial
Diferencial
exacta
exacta
(5.86)
Observació 5-12
Observeu que, atès que s’ha postulat que l’energia total del sistema E
i l’energia interna U són funcions d’estat, dE i dU en l’equació
(5.86) són diferencials exactes. En conseqüència, dK � dE � dU , en
l’equació esmentada, també és diferencial exacta (ja que la diferència
entre dues diferencials exactes també ho és) i, per tant, és una funció
d’estat. Es pot afirmar, doncs, que l’equació (5.86) postula
indirectament el caràcter de funció d’estat (i, per tant) d’energia de K .
156
5 Equacions de conservació-balanç
A partir de l’equació (5.84) i considerant l’equació (5.78), es té:
dE
d
1
�v 2 dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS ��
� Pe � Qe �
dt
dt V ��V 2
V
V
�V
�
t
��
1
2
�
K � � �v dV
�
2
�
V
1
dE dK dU d
�
�
�
�v 2 dV � � � : d dV � � � r dV � � q � n dS
dt
dt
dt
dt V ��V 2
V
V�����
�V���
�
��t ����� ������
dU
dK
dt
dt
�
Forma
global �
Forma global
� dU d
del
balanç
� u dV � � : d dV � � r dV � q � n dS
del balanç
�
��
dt dt
d’energia
d' energiainterna��
interna
Vt �V
V
V
�V
�
�
�
(5.87)
�
(5.88)
Observació 5-13
De l’equació (5.88) es desprèn que tota variació, per unitat de temps,
de l’energia interna
dU
ve produïda per:
dt
� una generació de potència tensional :
� � : d dV
V
� una variació, per unitat de temps, del contingut de calor del medi:
� � r dV � � q � n dS
V
�V
Aplicant el lema de Reynolds (5.33) i el teorema de la divergència en l’equació
(5.88) es té:
d
du
� u dV � � �
dV � � � : d dV � � � r dV � � � � q dV
dt V ��V
dt
V
V
V
V
��V � V
(5.89)
t
Finalment, localitzant en l’equació (5.89), s’obté la forma local espacial del balanç de
l’energia:
Forma
localespacial �
Forma local
espacial del balanç �
del balanç d' energia
�
d’energia(equació �
�
(equació
de
l'
energia)
de l’energia)
�
�
du
� � : d � � � r � � � q � �x � V �t
dt
(5.90)
157
5 Equacions de conservació-balanç
5.11 Processos reversibles i irreversibles
N O T A
Sistema termodinàmic
aïllat: és un sistema que
no pot intercanviar
energia amb l’exterior.
En un sentit estricte
l’únic sistema
perfectament aïllat és
l’univers, encara que
podem pensar en
sistemes més petits
quasiaïllats o aïllats de
forma imperfecta.
El primer principi de la termodinàmica condueix a una equació de balanç de
l’energia que s’ha de complir per a tots els processos físics que es produeixen
en la realitat:
Pe Qe
dE
dt
dU dK
dt
dt
(5.91)
En
un sistema
sistema aïllat
aïllat (un
(un sistema
sistema que
que no
no pot
pot intercanviar
intercanviar
En particular,
particular, si
si considerem
considerem un
energiaamb
ambl’exterior),
l’exterior), lala variació
variació temporal
temporal de
energia
de l’energia
l’energia total
total del
delsistema
sistemaserà
serà
dE
l’energia total
total es
es conserva)
conserva) i,i, per
nul·la((dE 00
l’energia
per tant,
tant, l’equació
l’equació de
de balanç
balanç de
de
nul·la
dtdt
l’energia (5.91),
(5.91), establerta
establerta pel
pel primer
primer principi
principi de
l’energia
de la
la termodinàmica,
termodinàmica, imposa
imposa que
que
dU
s’ha de
de compensar
tota variació
variació d’energia
d’energia interna
interna dU s’ha
compensar amb
amb una
una variació
variació igual
igual ii
tota
dt
dt
dK
dK
signe
contrari
d’energia
cinètica
i viceversa
(vegeu
la Figura
5-20).
de de
signe
contrari
d’energia
cinètica
i viceversa
(vegeu
la Figura
5-20.
dt
dt
Figura 5-20).
dE
dt
0
dU dK
dt
dt
Figura 5-20 – Sistema termodinàmic aïllat
El que no diu el primer principi de la termodinàmica és si aquest intercanvi
d’energies (cinètica i interna) en un sistema aïllat es pot produir indistintament
en qualsevol sentit (
dU
dt
dK
dU
! 0 , o bé,
dt
dt
dK
0 ). És a dir, no estableix
dt
cap restricció que indiqui si un procés arbitrari i imaginari que impliqui un
intercanvi d’energia en un determinat sentit és físicament possible o no. L’únic
que estableix és la satisfacció del balanç d’energia (5.91) en el cas que el procés
es produeixi.
Tanmateix, l’experiència demostra que, certs processos que podrien ser
imaginats teòricament, no es produeixen mai en la realitat. Suposem, per
exemple, el sistema aïllat de la Figura 5-21 constituït per:
una roda rígida (no deformable) que
gira amb velocitat angular Z ,
un fre que es pot aplicar sobre la roda en
un determinat instant.
Z
Figura 5-21
158
5 Equacions de conservació-balanç
Considerem ara els dos processos següents:
N O T A
En tractar-se d’un medi
no deformable, la
potència tensional és
nul·la (vegeu
l’Observació 5-8) i tota
variació de l’energia
interna del sistema
derivarà d’una variació
del seu contingut de
calor (vegeu
l’Observació 5-13).
1) En un cert instant el fre actua, la velocitat de gir de la roda, � , disminueix
i, per tant, en disminueix l’energia cinètica ( dK � 0 ). D’altra banda, a causa
de la fricció entre el fre i la roda, es generarà calor i es produeix un
augment de l’energia interna ( dU � 0 ). L’experiència demostra que aquest
procés, en el qual augmenta l’energia interna a costa de disminuir l’energia
cinètica, es pot donar en la realitat i que, per tant, és un procés físicament
factible.
2) Mantenint el fre sense aplicar, en un cert instant la roda augmenta
espontàniament la seva velocitat de gir � i, per tant, augmenta la seva
energia cinètica ( dK � 0 ). D’acord amb el primer principi disminuirà
l’energia interna del sistema ( dU � 0 ). Tanmateix, l’experiència demostra
que aquest augment (espontani) de la velocitat de la roda no es produeix
mai ni tampoc la disminució consegüent de la quantitat de calor del sistema
(que es reflectiria en una disminució de la seva temperatura).
La conclusió davant d’aquesta observació és que el segon procés considerat en
l’exemple no és un procés físic factible. Més generalment, per al sistema considerat
només són factibles processos termodinàmics que tendeixin a augmentar
l’energia interna i a disminuir l’energia cinètica i no el contrari.
Concloem, doncs, que només quan un determinat procés físic és factible el primer principi
és aplicable, i s’adverteix la necessitat de determinar quan un determinat procés
físic és factible o si un procés físic és factible en una direcció, en totes dues o
en cap. La resposta a aquesta qüestió la proporciona el segon principi de la
termodinàmica.
Les consideracions anteriors porten a classificar, des d’un punt de vista
termodinàmic, els possibles processos físics en processos factibles o no factibles i, a
més, suggereixen classificar els processos factibles en processos reversibles i processos
irreversibles.
Definicions
Procés reversible: un procés termodinàmic A � B és reversible si és
possible tornar des de l’estat termodinàmic final B a l’estat
termodinàmic inicial A pel mateix camí (vegeu la Figura 5-22).
Procés irreversible: un procés termodinàmic A � B és irreversible si no
és possible tornar des de l’estat termodinàmic final B a l’estat
termodinàmic inicial A pel mateix camí (encara que s’hi pugui tornar
per un camí diferent, vegeu la Figura 5-22).
159
5 Equacions de conservació-balanç
Procés irreversible
Procés reversible
�2
�2
B
B
A
A
�1
�1
Figura 5-22 – Processos reversibles i irreversibles
En general, dins d’un mateix procés termodinàmic hi haurà trams reversibles i
trams irreversibles.
5.12 Segon principi de la termodinàmica.
Entropia
5.12.1 Segon principi de la termodinàmica. Forma global
El segon principi de la termodinàmica estableix els dos postulats següents:
N O T A
Es diu que una certa
propietat és intensiva si
el contingut de la propietat
en el tot no és la suma del
contingut de la propietat a
cada una de les parts. Al
contrari del que passa
amb les propietats
extensives, en aquest
cas no es pot definir el
contingut de la
propietat per unitat de
massa (valor específic de la
propietat) o per unitat de
volum (densitat de la
propietat). La
temperatura és un
exemple paradigmàtic
de propietat intensiva.
1) Existeix una funció d’estat denominada temperatura absoluta �(x, t ) , que és
intensiva i estrictament positiva ( � � 0 ).
2) Existeix una funció d’estat denominada entropia S amb les característiques
següents:
a) És una variable extensiva (el contingut de l’entropia en el tot és la suma
del contingut en les parts). Això implica que existeix una entropia
específica (entropia per unitat de massa) s tal que:
s�
entropia
unitat de massa
� S � � � s dV
V
(5.92)
b) Es compleix la desigualtat següent:
Forma integral �
�
del segon
r
dS d
q
�
�
� s dV � � � dV � � � n dS
��
�
principi de la �
dt dt Vt �V
�
�
�V
V
�
termodinàmica �
on :
� el signe � correspon a processos reversibles.
� el signe � correspon a processos irreversibles.
(5.93)
160
5 Equacions de conservació-balanç
� el signe � no es pot donar i indica que el procés corresponent és
no factible.
5.12.2 Interpretació
termodinàmica
física
del
segon
principi
de
la
A l’apartat 5.9.2 s’ha vist que la magnitud calor en el sistema ve caracteritzada per:
a) un terme de font (o de generació de calor per unitat de massa i de
temps) r (x, t ) , definit a l’interior del volum material i
b) el flux no convectiu (flux de calor per conducció) a través del contorn
de la superfície material, definit mitjançant un vector de flux no
convectiu per unitat de superfície q(x, t ) .
Amb aquests termes es pot calcular la quantitat de calor que entra per unitat de
temps en un volum material Vt , que ocupa instantàniament el volum de l’espai
Vt � V de normal exterior n , com:
Qe � � � r dV � � q � n dS
V
(5.94)
�V
Considerem ara una nova magnitud definida com calor per unitat de temperatura
absoluta en el sistema. Si �(x, t ) és la temperatura absoluta, la quantitat de la
magnitud esmentada vindrà caracteritzada per:
a) un terme de font
r
corresponent a la generació de calor per unitat de
�
temperatura absoluta, per unitat de massa i unitat de temps, i
b) un vector
absoluta.
q
de flux no convectiu de calor per unitat de temperatura
�
Magnitud
Calor
unitat de temps
Terme de
font
Vector de flux
no convectiu
r
q
r
�
q
�
Calor / u. de temperatura absoluta
unitat de temps
De forma paral·lela a l’equació (5.94), els nous termes font,
no convectiu,
r
, i vector de flux
�
q
, permeten calcular la quantitat de calor per unitat de temperatura
�
absoluta que entra al volum material per unitat de temps com:
(Calor/u. de temperatura) que entra en V
�
unitat de temps
q
r
� � � dV � � � � n dS
V
�V
(5.95)
Observant ara l’equació (5.95), veiem que el segon terme d’aquesta correspon
precisament a la magnitud definida en l’equació (5.93). Aquesta circumstància
permet interpretar el segon principi establint que la generació d’entropia, per unitat
161
5 Equacions de conservació-balanç
de temps, en un medi continu sempre és més gran o igual que la quantitat de calor per unitat
temperatura que entra en el sistema per unitat de temps.
Forma global
�
� dS
del segon principi � �
�
dt
de la termodinàmica ��
q
r
� � � dV � � � � n
dS
�V
������
�������
Quantitat de la propietat
"Calor /u. de temperatura absoluta"
que entra en el domini V per
unitat de temps
V
(5.96)
Considerem ara la descomposició de l’entropia total del sistema S en dos
components diferenciats:
� S (i ) : entropia generada (produïda) interiorment pel medi continu. La seva taxa de
generació temporal és
�
dS �i �
,
dt
S (e ) : entropia generada per interacció del medi continu amb el seu exterior. La seva
dS �e �
taxa de variació temporal és
,
dt
i es compleix naturalment:
dS dS �e � dS �i �
�
�
dt
dt
dt
(5.97)
Si s’estableix ara que la variació temporal de l’entropia generada per interacció
amb l’exterior coincideix amb la de la magnitud calor per unitat de temperatura
absoluta, de l’equació (5.94) es pot escriure:
dS �e �
r
q
� � � dV � � � n dS
�
�
dt
V
�V
(5.98)
i, tenint en compte les equacions (5.96) a (5.98), la variació per unitat de temps
de l’entropia generada internament serà:
�
q
dS �i �
dS dS �e �
dS � r
�
�
�
� � � dV � � � n dS � � 0
�
dt
dt
dt
dt �V� �
�V
�
(5.99)
Observació 5-14
Segons l’equació (5.99), l’entropia de generació interna S (i ) del
sistema (medi continu) sempre augmenta (
dS �i �
� 0 ). En un sistema
dt
perfectament aïllat (estrictament parlant, només la totalitat de l’univers
ho és) no hi ha interacció amb l’exterior i la variació d’entropia per
interacció amb l’exterior és nul·la (
principi estableix que
dS �e �
� 0 ). En aquest cas, el segon
dt
dS �i � dS
�
� 0 , és a dir, que l’entropia total d’un
dt
dt
sistema perfectament aïllat sempre augmenta. Aquest és el punt de partida
d’algunes formulacions alternatives del segon principi de la
termodinàmica.
162
5 Equacions de conservació-balanç
5.12.3 Reformulació del segon principi de la termodinàmica
Ateses les consideracions de l’apartat 5.12.2 podem reformular el segon
principi en els termes següents:
1) Existeix una funció d’estat denominada temperatura absoluta tal que
sempre és estrictament positiva:
�( x, t ) � 0
(5.100)
2) Existeix una funció d’estat denominada entropia que és una variable
extensiva i que, per tant, es pot definir en funció d’una entropia específica
(o entropia per unitat de massa) s (x, t ) com:
S (t ) � � � s dV
V
(5.101)
3) L’entropia pot ser de generació interna, S (i ) , o produïda per interacció amb
l’exterior, S (e ) . Tots dos components de l’entropia són variables extensives
i el seu contingut en un volum material V es pot definir en funció dels seus
valors específics respectius s (i ) i s (e ) :
S (i ) � � � s (i ) dV
V
(e)
S
� � � s ( e ) dV
(5.102)
V
S � S (i ) � S ( e) �
dS dS �i � dS �e �
�
�
dt
dt
dt
(5.103)
i fent servir el Lema de Reynolds (5.33) en l’equació (5.103):
dS (i ) d
ds (i )
dV
�
� s (i ) dV � � �
�
dt
dt V �V
dt
V
t
(e)
dS
d
ds ( e )
�
� s ( e ) dV � � �
dV
�
dt
dt V �V
dt
V
(5.104)
t
4) La variació d’entropia externa (generada per interacció amb l’exterior) està
associada a la variació de la magnitud calor per unitat de temperatura absoluta, i
es defineix com:
q
dS �e �
r
� � � dV � � � n dS
dt
�
�
�V
V
(5.105)
5) L’entropia de generació interna no disminueix mai. En funció de la variació del
seu contingut durant un procés termodinàmic es defineixen les situacions
següents:
i
�� � 0
dS � �
� 0 � �� 0
dt
�� 0
procés reversible
procés irreversible
procés no factible
(5.106)
163
5 Equacions de conservació-balanç
5.12.4 Forma local del segon principi de la termodinàmica.
Equació de Clausius-Plank
Fent servir les equacions (5.102) a (5.105), l’equació (5.106) es reescriu com:
dS �i � dS dS �e �
�
�
�0
dt
dt
dt
�
� r
q
d
d
� s (i ) dV �
� s dV � � � � dV � � � n d� � � 0
�
�
dt V �V
dt V �V
�
�
�V �
�V
t
t
(5.107)
Aplicant el lema de Reynolds (per a la primera i segona integral del terme de
l’esquerra de l’equació (5.107)) i el teorema de la divergència (en l’última
integral), s’obté:
��
V
� r
ds �i �
ds
�q� �
dV � � � dV � � � � dV � � � � � �dV � � 0 ��V � V
dt
dt
��� �
V
V
�V �
(5.108)
i localitzant en l’equació (5.108), s’arriba a la forma local del segon principi de
la termodinàmica o equació de Clausius-Duhem:
Forma local del
�
Forma local del
�
segon
segonprincipi
principi de �
ds �i �
ds � r
�
� q ��
� � � �� � � � � � � �� � 0
delalatermodinàmica
termodinàmica� � �
�
dt
dt
� � ��
�
(desigualtat de
�
(desigualt
at de
Clausius-Duhem) �
�x � V
�t
(5.109)
Clausius- Duhem) ��
On, de nou, en l’equació (5.109) el signe:
� correspon a processos reversibles,
� correspon a processos irreversibles,
� indica que el procés corresponent és no factible.
L’equació (5.109) és susceptible de ser reelaborada com segueix:
�
�
��
��
ds �i �
ds
1
r 1
�
� � � � � � � q � 2 q � �� � 0 �
dt� �
� �
dt
�
��
�
not
not ( i )
� s�
� s�
��
1
�q� 1
� � � � � � � q � 2 q � ��
�
�
�
� �
r
1
1
s� �i � � s� � �
� � q � 2 q � �� � 0
� ��
��
������� ���
� ��
�
�i �
�i �
s�local
s�cond
(5.110)
(5.111)
Una formulació més forta (més restrictiva) del segon principi de la
termodinàmica postula que l’entropia generada internament, s� �i � , es pot
�i �
�i �
generar localment, s�local
, o per conducció tèrmica, s�cond
, i que totes dues
contribucions a la generació d’entropia han de ser no negatives:
164
5 Equacions de conservació-balanç
Generació interna
�
r 1
�
�i�
��q � 0
local d'entropia:
� � s�local � s� � �
�
��
�
(desigualtat de Clausius-Plank) �
(5.112)
Generació interna �
1
�
�i �
d'entropia per
q � �� � 0
� � s�cond � �
2
��
�
conducció de calor �
(5.113)
Observació 5-15
L’equació (5.113) es pot interpretar de la manera següent: com que la
densitat, � , i la temperatura absoluta, � , són magnituds positives,
l’equació esmentada es pot escriure:
q � �� � 0
que estableix que el flux no convectiu de calor, q , i el gradient de
temperatura, �� , són vectors que tenen sentits oposats (el seu
producte escalar és negatiu). En altres paraules, l’equació (5.113) és
l’expressió matemàtica del fet experimentalment contrastat que la calor
flueix per conducció de les parts més calentes del medi a les més fredes (vegeu la
Figura 5-23), caracteritzant com a no factibles aquells processos en els
quals passi el contrari.
��
q � �� � 0
Calent
�
�1
Fred
� 2 � �1
�
�3 � � 2
q
Figura 5-23 – Flux de calor oposada al gradient tèrmic
Observació 5-16
En el context de la llei de Fourier de conducció de la calor:
q � � K �� (vegeu l’Observació 5-9) l’equació (5.113) es pot escriure:
q � �� � 0 �
2
� � � K �� � 0 � K � 0
q � � K � ��
posant de manifest la manca de sentit físic de valors negatius de la
conductivitat tèrmica K .
5 Equacions de conservació-balanç
165
5.12.5 Formes alternatives del segon principi de la termodinàmica
En mecànica de medis continus se solen utilitzar expressions alternatives de
l’equació de Clausius-Plank (5.112) combinant-la amb la forma local de
l’equació de balanç de l’energia (5.90).
x
Equació de Clausius-Plank en funció de l’energia interna específica
Una forma usual d’expressar l’equació de Clausius-Plank és fer-ho en funció de
l’energia interna específica u (x, t ) de l’equació (5.85). Aquesta expressió s’obté
fent servir la forma local espacial de l’equació de balanç d’energia (5.90):
U
du
dt
not
U u
U r q
V : d U r q
U u V : d
(5.114)
i substituint-la en l’equació de Clausius-Plank (5.112):
UTs > U r q@ UT s U u V : d t 0
i
U T slocal
(5.115)
Equació de Clausius-Plank Þ
Ñ
ß U ( u T s ) V : d 0
Ñ
à
en funció de
l'energia interna
x
(5.116)
Equació de Clausius-Plank en funció de l’energia lliure d’Helmholtz
Una altra possibilitat és expressar l’equació de Clausius-Plank en funció de
l’energia lliure (específica) de Helmholtz \(x, t ) , que es defineix en funció de
l’energia interna, de l’entropia i de la temperatura com:
\
def
(5.117)
u sT
Derivant respecte al temps l’equació (5.117), s’obté
\
u sT sT u Ts
>\ sT @
(5.118)
i substituint l’equació (5.118) en la (5.116), s’obté l’equació de Clausius-Plank
en funció de l’energia lliure de Helmholtz:
i
U T slocal
U(u T s) V : d
U(\ sT ) V : d t 0
(5.119)
Equació de Clausius-Plank Þ
en funció de
l'energia lliure
Ñ
ß U ( \ sT ) V : d 0
Ñ
à
(5.120)
Per al cas de deformació infinitesimal es té que d H (vegeu el capítol 2,
observació 2-22) i substituint en l’equació (5.120) s’obté:
½
de
Equació
Equació de
U ( \ °s oT)U(\V : sHT) 0V : H t 0
Clausius-Plank
Clausius - Plank
¾
(deformació infinitisemal)
°
(deformació infinitesim ¿
(5.121)
166
5 Equacions de conservació-balanç
5.13 Equacions de la mecànica de medis
continus. Equacions constitutives
Arribats en aquest punt, resulta convenient resumir el conjunt d’equacions
diferencials (locals) que proporcionen les equacions de conservació-balanç:
1) Conservació de la massa. Equació de continuïtat:
d�
�
� �� � v � 0�
dt
�
� � 1 equació
d�
� vi
� 0�
��
��
� xi
dt
(5.122)
2) Balanç de la quantitat de moviment. Equació de Cauchy:
dv
�
�
dt
�
� � 3 equacions
�� ji
dv i
� � bi � �
i � {1,2,3}�
� xj
dt
��
� � � � �b � �
3) Balanç del moment angular. Simetria del tensor de tensions:
�
� � �T
� � 3 equacions
� 12 � � 21 ; � 13 � � 31 ; � 23 � � 32 �
(5.123)
(5.124)
4) Balanç de l’energia. Primer principi de la termodinàmica:
du
�
� � : d � ��r � � � q � �
dt
�
� � 1 equació
�
� q i ��
du
��
� � ij d ij � �� �r �
�
� xi ���
dt
�
�
(5.125)
5) Segon principi de la termodinàmica. Desigualtat de Clausius-Plank i del flux de
calor:
� � �u� � � s� � � � : d � 0 �
� � 1 restricció
� � �u� � � s� � � � ij d ij � 0�
1
q � �� � 0
�� 2
1
��
qi
�
�0
�� 2 � xi
�
�
�
�
� � 1 restricció
�
��
(5.126)
que sumen un total de 8 equacions diferencials en derivades parcials (EDP) i dues
restriccions.
5 Equacions de conservació-balanç
N O T A
No es comptabilitzen
com a incògnites els sis
components diferents
del tensor velocitat de
deformació d , a les
equacions (5.125) i
(5.126), ja que se
suposen implícitament
calculables en funció de
la velocitat v
mitjançant la relació:
d( v ) � � s v
(vegeu el capítol 2,
apartat 2.13.2).
167
Fent un recompte del nombre d’incògnites que intervenen en les equacions
esmentades es té.
� � 1 incògnita �
v � 3 incògnites ��
� � 9 incògnites �
�
u � 1 incògnita � 19 incògnites
q � 3 incògnites �
�
� � 1 incògnita �
s � 1 incògnita ��
És evident, per tant, que caldran equacions addicionals per resoldre el
problema. Aquestes equacions, que reben el nom genèric d’equacions constitutives i
que són pròpies del material que constitueix el medi continu, són:
6) Llei de Fourier de conducció de la calor:
q � � K ��
�
�
��
� � 3 equacions
qi � � K
i � {1,2,3}�
� xi
�
N O T A
És freqüent que en les
equacions constitutives
termomecàniques
intervinguin les
deformacions, � , que
tanmateix no es
comptabilitzen com a
incògnites addicionals,
atès que se suposen
calculables en funció de
les equacions del
moviment que, al seu
torn, es poden calcular
per integració del camp
de velocitats
� � � �(v )
(vegeu els capítols 1 i
2).
(5.127)
7) Equacions constitutives (pròpiament dites):
Eq. constitutives
� f i ��, �( v ),� , � � � 0 i � {1,..,6} � 6 equacions
termomecàniques :
(5.128)
Eq. constitutiva
� s � s ��( v )�� , � �
de l' entropia :
� 1 equació
on � � ��1 ,...., � p } són un conjunt de noves variables termodinàmiques
( p noves incògnites) introduïdes per les equacions constitutives
termomecàniques.
8) Equacions termodinàmiques d’estat:
Equació calòrica
�
�
d' estat
��
� � (1 � p ) equacions
�
Equacions
� Fi �� ,� , � � � 0 i � {1,2... p}�
��
cinètiques d' estat
� u � g ( � , �( v ),� , �)
(5.129)
Ens trobem ara amb un conjunt de (19+ p ) equacions i (19+ p ) incògnites
que, amb les condicions de contorn adequades, defineixen un problema
matemàticament ben posat.
168
5 Equacions de conservació-balanç
Observació 5-17
Les equacions de continuïtat, de Cauchy, de simetria del tensor de
tensions, de balanç d’energia, i les desigualtats del segon principi de la
termodinàmica (equacions (5.122) a (5.126)) són vàlides i generals per
a qualsevol medi continu, sigui quin sigui el material que el
constitueixi i per a qualsevol rang de desplaçaments o de
deformacions. Al contrari, les equacions constitutives (5.127) a (5.129)
són específiques del material o del tipus del medi continu amb què es
tracti (sòlid, fluid, gas) i els diferencien entre si.
5.13.1 Problema termomecànic desacoblat
Per a la resolució del problema general en mecànica de medis continus s’ha de
resoldre un sistema d’equacions diferencials en derivades parcials que involucra
les (19+ p ) equacions i les (19+ p ) incògnites discutides a l’apartat anterior.
Tanmateix, en determinades circumstàncies o sota certes hipòtesis, és possible
descompondre el problema general en dos problemes menors (involucrant
cada un d’ells un nombre menor d’equacions i incògnites), denominats problema
mecànic i problema tèrmic, que es poden resoldre de forma independent
(desacoblada) entre si.
Com a exemple, considereu que la distribució de temperatures �(x, t ) és
coneguda a priori, o no intervé de forma rellevant en les equacions constitutives
termomecàniques (5.128) i que, a més, les equacions constitutives esmentades
no involucren noves variables termodinàmiques ( � � {�} ). En aquest cas,
considerem el conjunt d’equacions següent:
Eq. de continuïtat :
N O T A
Per simplicitat, s’ha
suposat aquí la simetria
del tensor de tensions
(5.124) ja imposada,
eliminant aquesta
condició del conjunt
d’equacions i reduint el
nombre d’incògnites de
� de 9 a 6
components.
Eq. de Cauchy :
Eq. constitutives
mecàniques :
�
(1 ec.) �
�
�
(3 ec.) � � 10 equacions
�
f i ��, � ( v) � � 0 i � {1,...6} (6 ec.)�
��
d�
� �� � v � 0
dt
dv
��� � � b � �
dt
(5.130)
que involucren les incògnites següents:
� (x, t ) � 1 incògnita �
�
v(x, t ) � 3 incògnites � 10 incògnites
�(x, t ) � 6 incògnites��
(5.131)
El problema definit per les equacions (5.130) i (5.131) constitueix el denominat
problema mecànic que involucra les variables (5.131) (denominades variables
mecàniques) que, d’altra banda, són les de vertader interès en molts problemes
d’enginyeria.
El problema mecànic constitueix, en aquest cas, un sistema d’equacions
diferencials reduït respecte al problema general i es pot resoldre independentment
de la resta de les equacions d’aquest.
6 Elasticit at lineal
6.1 Hipòtesi de la teoria de l’elasticitat
lineal
La teoria de l’elasticitat lineal es pot considerar una simplificació de teories més
generals (teoria general de l’elasticitat), però prou aproximada per a la majoria de les
aplicacions en enginyeria.
Les hipòtesis simplificatives de la teoria de l’elasticitat lineal són essencialment les
següents:
a)
Deformacions infinitesimals (els desplaçaments i els seus gradients són petits,
vegeu el capítol 2)
�
Desplaçaments petits: No es diferencien la configuració material (corresponent
a l’instant de referència t 0 ) de l’espacial (corresponent a l’instant actual t ) i,
en conseqüència, tampoc es diferencien les coordenades espacials de les
materials (vegeu la Figura 6.1).
x�X��
u � x�X
�0
Observació 6-1
Com a conseqüència de l’equació (6.1), no hi ha diferència entre les
descripcions espacial i material d’una propietat:
x � X � � (x, t ) � � ( X, t ) � �( X, t ) � �(x, t )
i qualsevol referència a descripcions espacials i materials (com també
als conceptes associats, com derivada local, derivada material, etc.)
perd el seu sentit en elasticitat infinitesimal.
Tampoc es distingeix entre els operadors diferencials nabla espacial ( � )
i nabla material ( � ):
� (�) �(�)
�
� � (�) � � (�)
�X
�x
A partir de l’equació (6.1), es pot escriure:
(6.1)
170
6 Elasticitat lineal
F�
�x
� 1 � F �1
�X
(6.2)
Observació 6-2
Com a conseqüència de l’equació (6.2) i de l’equació de conservació
de la massa, la densitat en la configuració actual � t � �( X, t )
coincideix amb la de la configuració de referència � 0 � �( X,0) (que
se suposa coneguda):
�0 � �t F � �t
i, en conseqüència, la densitat no és incògnita en problemes d’elasticitat lineal.
�
Gradients dels desplaçaments petits
Com a conseqüència no hi ha distinció entre els tensors material E( X, t )
i espacial e(x, t ) de deformació que col·lapsen en el tensor de deformació
infinitesimal �(x, t ) :
E( X, t ) � e(x, t ) � �(x, t )
1
�
S
� � � � u � 2 �u � � � � � u �
�
�
�
�u �
� � ij � 1 � �u i � j � i, j �{1,2,3}
�
2 � �x j �xi �
�
(6.3)
t
x3
t0
ê 3
ê1
x1
b)
ê 2
x2
Figura 6.1
Existència d’un estat neutre
S’admet l’existència d’un estat neutre en el qual les deformacions i les tensions
són nul·les. Normalment, s’entén que l’estat neutre es produeix en la
configuració de referència:
�� �x, t 0 � � 0
�
�� �x, t 0 � � 0
(6.4)
171
6 Elasticitat lineal
N O T A
La restricció a
processos isotèrmics
desapareix en la teoria
de la termoelasticitat lineal
tractada a l’apartat 6.
c)
Es considera (en principi) que el procés de deformació és isotèrmic i adiabàtic
Definicions
Processos isotèrmics: aquells que tenen lloc a temperatura T(x, t ) constant
al llarg del temps:
T(x, t ) { T(x)
Processos adiabàtics: aquells que es produeixen sense generació de calor
en tot punt i instant de temps:
Calor
Calorgenerada
generadaen
enun
undomini
domini
Calor
generada
domin V : ³ U r dV ³ q n dS
U r q 0
0 V
wV
V
x t
Els processos de deformació lents solen considerar-se adiabàtics.
6.2 Equació constitutiva elàstica lineal. Llei
de Hooke generalitzada
La llei de Hooke per a problemes unidimensionals suposa la proporcionalitat
entre la tensió, V , i la deformació, H , a través de la constant de
proporcionalitat denominada mòdul d’elasticitat E :
V
EH
(6.5)
En la teoria de l’elasticitat aquesta proporcionalitat es generalitza al cas
multidimensional suposant la linealitat de la relació entre els components del
tensor de tensions V i de deformacions H en el que s’anomena llei de Hooke
generalitzada:
Llei de Hooke
generalitzada
ÎÑ V ( x, t ) � : H ( x, t )
Ï
i , j ° ^1, 2, 3`
ÑÐ V ij � ijkl H kl
(6.6)
que constitueix l’equació constitutiva per a un material elàstic lineal.
El tensor de quart ordre � (denominat tensor de constants elàstiques) té en principi
34 = 81 components. Tanmateix, a causa de la simetria de V i H , ha de
presentar certes simetries davant l’intercanvi d’índexs. Aquestes són:
�ijkl
�ijkl
�ijkl
� jikl ÞÑ
ß Simetries majors
�ijlk Ñà
�klij Simetries menors
(6.7)
i, com a conseqüència, el nombre de constants diferents en el tensor de
constants elàstiques � es redueix llavors a 21.
���
��������������������
��������������
���� ��������������� ���������� ���� ������������� �������� ����� ��
���������������������������������������������������������������������
�������������������� �(�, � ) ��������������������������������������������
���������� �(�, � ) �����������������������������������������������������
������ �����������������
� � � �
��������������������
�������������������������
�������������
��������������� � � �
���������������������������������������� � (�, � ) ���������������������������������������
��������� ���������� �������� �� (�, � ) ��������� ��������������� ��� ������� ������������
����
�� (�, � ) � � 0 � (�, � )
���
��
��
�� � (� 0 � ) ���
�
� �0
�
�
��
��
��
��
�����
����������������������������� � 0 � � �����������������������������������������
�������������������������������������
�0
�� � ��
�
����
� � �0 � � � � � � � � �
�����
�� ��
�
�0
���
�
� ���
��
�����
��� ����� ����������� ��� ����������� ����������� ���� ������� ��� ����������
� � � � � ��� � 0 ��
���������������������������������������������������������������������������������
������������������ � �
��� �
����
� �� � � � � � � � ���
�
�
����� �������
�
�� �
� �� �� �� ��
�
���
� �
����� ���������� �
��
�
�� ������� ���
�
����������� ������� ��� � � � �� � ��� ���
�
�
�
�
��� � (� ) ����������������������������������������������������
��������������
��������������������������������������������������������������������������
�������
������������������� � � � � � ��� �
�
��
��
������
6 Elasticitat lineal
173
Substituint ara l’equació (6.6) en la (6.9):
1
duˆ not �
� uˆ � � : � � ��ij� ij � ��ij Cijkl � kl � ���ij Cijkl � kl � ��ij Cijkl � kl � �
dt
2
1
1
� � ��ij Cijkl � kl � ��kl C klij � ij � � � ��ij Cijkl � kl � � ij Cijkl ��kl � �
2
2
1
1d
� � ��ij Cijkl � kl � � ij Cijkl ��kl � �
�� ij Cijkl � kl � � 12 dtd � � : C : � �
2
2 dt
(6.11)
on s’han considerat les simetries de l’equació (6.7). Integrant l’equació (6.11) i
imposant la condició que la densitat d’energia interna uˆ (x, t 0 ) a l’estat neutre
(per a t � t 0 � � (x, t 0 ) � 0) ) sigui nul·la:
N O T A
La condició
uˆ (x, t 0 ) � 0 es pot
introduir sense pèrdua
de generalitat.
1
��� x, t ) : C : �� x, t ) � � a( x)��
2
��
��
ˆu (x, t 0 ) � 0
�x
1
� �� x, t 0 ) : C : �� x, t 0 ) � a (x) � a (x) � 0 �x
2 ���
�0
uˆ (x, t ) �
Densitat
interna
Densidadd’energia
de energía
interna �
uˆ (�) �
1
1
� � : C : � � � � ij Cijkl � kl
2
2
(6.12)
(6.13)
Derivant l’equació (6.13) respecte a � i tenint de nou en compte les simetries:
1
1
1
� �uˆ (�) 1
:C
��
� � 2 C:� � 2 C:� � C :� � �
� �� � 2 C : � � 2 ��
�
C: �
�
� �uˆ (�) � 1 C � � 1 � C � 1 C � � 1 C � � C � � �
ijkl kl
kl klij
ijkl kl
ijkl kl
ijkl kl
ij
� ��
2
2
2
2
� ij
� �uˆ (�)
�� �� � �
��
�uˆ (�)
�
� � ij
�� �� ij
i, j �{1,2,3}
(6.14)
(6.15)
L’equació (6.15) qualifica la densitat d’energia interna uˆ (� ) com un potencial
per a les tensions (que s’obtenen per derivació d’aquest) denominat potencial
elàstic:
PPotencial
o te n c ia lelàstic
e là s tic �
uˆ ( � ) �
1
1
�:C
:� � � :�
�
2
2
�
� uˆ ( � )
� �
��
(6.16)
174
6 Elasticitat lineal
6.3 Isotropia. Constants de Lamé. Llei de
Hooke per a elasticitat lineal isòtropa
Definició
Material isòtrop: Aquell que té les mateixes propietats en totes les
direccions.
N O T A
Un tensor és isòtrop si
manté els seus
components en
qualsevol sistema de
coordenades cartesià.
L’expressió més general
d’un tensor isòtrop de
quart ordre és:
C � �1 � 1 � 2�I
�� i �
R E C O R D A T O R I
El tensor simètric
unitari de quart ordre I
(isòtrop) es defineix
mitjançant els seus
components:
�I �ijkl � 1 ��ik � jl � �il � jk �
2
Per al cas d’un material elàstic lineal, les propietats elàstiques estan contingudes al
tensor C de propietats elàstiques de les equacions (6.6) o (6.7). En
conseqüència, els components del tensor esmentat han de ser independents de
l’orientació del sistema cartesià en el qual es treballi. Si considerem, per
exemple, els sistemes {x1, x2 , x3} i {x1´, x2 ´, x3´} de la Figura 6.2, l’equació
constitutiva per als dos sistemes s’escriu:
{x1 , x 2 , x 3 } � ��� � �C� : �� �
(6.17)
{x1 ´, x 2 ´, x3 ´} � ��� � �C � : �� �
´
´
´
i, per al cas de material isòtop, els components de C en tots dos sistemes han
de ser els mateixos ( � �C� � �C�´ ). En conseqüència, l’anterior definició, de
caràcter físic, d’isotropia es tradueix en el caràcter isòtrop, en el sentit matemàtic,
del tensor de constants elàstiques C :
Tensor de �C � �1 � 1 � 2�I
��
constants � �
elàstiques �Cijkl � ��ij � kl � � ��ik � jl � �il � jk � i, j , k .l � {1, 2,3}
�
�
�
(6.18)
On �, � són conegudes com les constants de Lamé, que caracteritzen el
comportament elàstic del material i que s’han d’obtenir experimentalment.
x3
x2 ´
x3 ´
x1 ´
x2
x1
Figura 6.2
Observació 6-5
La condició d’isotropia redueix el nombre de constants elàstiques del
material de 21 a 2.
Substituint l’equació (6.18) en la (6.6) s’obté l’equació constitutiva elàstica lineal
isòtropa:
175
6 Elasticitat lineal
1
1
� ij � C ijkl � kl � �� ij � kl � kl � 2� ( � ik � jl � kl � � il � jk � kl )
���
���
� 2�
���
�
2�
�ll
�ij
� ji ��ij
�����������
(6.19)
�ij
Equació constitutiva per a
material elàstic lineal
isòtrop. Llei de Hooke.
� � � � Tr(�) 1� 2� �
�
��
� � � �� � � 2� � i, j � 1,2,3
� �
ij ll
ij
� ij
(6.20)
6.3.1 Inversió de la llei de Hooke. Mòdul de Young. Coeficient
de Poisson
L’equació constitutiva (6.20) proporciona les tensions en funció de les
deformacions. Per obtenir la seva inversa es procedeix de la manera següent:
a) S’obté la traça de l’equació (6.20):
�1� � 2 � Tr �� � � �3� � 2� �Tr �� ��
Tr �� � � � Tr �� � Tr
�
��
3
��
(i � j ) � � ii � �� ll � ii � 2�� ii � �3� � 2� � � ll
�
�
��
3
1
� Tr �� � �
Tr �� �
�3� � 2� �
(6.21)
b) aïllant � de l’equació (6.20) i substituint la (6.21):
���
1
1
1
�
Tr �� � 1 �
���
�
� Tr �� � 1 �
2�
2�
2 � �3� � 2� �
2�
(6.22)
Definint ara unes noves propietats elàstiques E (mòdul de Young) i � (coeficient de
Poisson):
� � 3� � 2� � �
�
� �E�
�
(Mòdul de deformació longitudinal) �
��� �
��
�
�
Coeficient de Poisson :
�� �
2 � � � � � ��
Mòdul de Young :
�E
�
�� � �1 � � ��1 � 2� �
�
��
E
�� �
� G � (Mòdul de deformació transversal)
��
2 �1 � � �
(6.23)
L’equació (6.22) es pot reescriure en funció de E i de � donant lloc a la llei de
Hooke inversa:
1� �
�
�
Equació constitutiva
�� � � � E Tr ( � ) 1 � E �
inversa per a material � �
�� � � � � � � 1 � � �
elàstic lineal isòtrop
ll
ij
ij
� ij
E
E
i , j � {1, 2, 3}
(6.24)
176
6 Elasticitat lineal
Finalment, les equacions (6.24) es poden reescriure utilitzant la notació
enginyeril per als components dels tensors de tensió de deformació com:
�
��
1
�x � � �y � �z
E
1
� y � � y � ��� x � � z �
E
1
�z � �z � � �x � � y
E
�x �
�
�
�
�
�
��
1
� xy
G
1
� xz � � xz
G
1
� yz � � yz
G
� xy �
(6.25)
Exemple 6.1 Per a la peça de la figura, constituïda per un material elàstic lineal isòtrop,
amb mòdul de Young E i mòdul de deformació transversal G , s’admet l’estat tensional
uniforme següent:
�x � 0
;
� y � � z � � xy � � xz � � yz � 0
Obteniu les deformacions enginyerils.
y
�x
�x
x
z
Figura 6.3
Resolució
De les equacions de (6.25) es pot obtenir:
1
�
�� x � E � x
�
�
�
� y � � z � 0 � �� y � �� x
E
�
�x
�
�� z � �� E
�
� xy � � xz � � yz
1
�
�� xy � G � xy � 0
�
1
�
� 0 � �� xz � � xz � 0
G
�
1
�
�� yz � G � yz � 0
�
Com a conseqüència de les deformacions esmentades la peça s’estira en la
direcció x i es contreu en les direccions y , z (vegeu la Figura 6.3).
6.4 Llei de Hooke en components esfèrics i
desviadors
Considerem la descomposició dels tensors de tensions � i de deformacions �
en la seva part esfèrica i desviadora:
1
� � Tr �� � 1 � �´� � m 1 � �´
3���
�
�
�m
(6.26)
177
6 Elasticitat lineal
1
1
� � Tr (�� 1 � �´� e 1 � �´
3
3 ���
e
(6.27)
La deformació volumètrica e � Tr �� � s’obté a partir de la traça de l’equació
(6.24):
3 (1 � 2�)
1� �
1 � 2�
�
��
Tr �� � Tr (1) �
Tr �� � �
Tr
�m
�� �
�
�
�
�
�
E
E
E
E
3�m
3
(6.28)
E
�
��� m � 3(1 � 2� ) e � K e
� � def
E
2
�K � � � � �
� Mòdul de deformació volumètrica
��
3
3(1 � 2� )
(6.29)
e � Tr �� � � �
Substituint les equacions (6.26), (6.27) i (6.29) en la (6.24):
1 ��
�
�
�� m 1 � �´� �
3� m 1 �
�
E
E
�
1 � 2�
1��
1
1 � � �� �
�´� e 1 �
�´
� m 1�
�
���
�
3
E
E
E
E e
�
��
3�1�2� �
���
1
1
1 ��
� � e 1 � �´� e 1 �
�´
3
3
E
� �´�
(6.30)
1��
1
1
�´ �
�´�
�´
2
2
�
E
G
�
1
2�
Les equacions (6.29) i (6.30) relacionen la part esfèrica (caracteritzada per la
tensió mitjana � m i la deformació volumètrica e ) i la part desviadora ( �´ i �´ )
dels tensors de tensió i de deformació:
�
m
� Ke
� Part esfèrica
� ´� 2 G �´
� ij� � 2 G � ij�
�
�
i , j � {1, 2 , 3} �
(6.31)
� Part desviadora
Observació 6-6
Noteu la proporcionalitat tant entre � m i e com entre els
components (un a un) ��ij i ��ij (vegeu la Figura 6.4).
��ij
�m
K
2G � 2�
e
��ij
Figura 6.4 – Llei de Hooke en components esfèrics i desviadors
178
6 Elasticitat lineal
6.5 Limitacions en els valors de les
propietats elàstiques
Per consideracions termodinàmiques es pot demostrar que el tensor de
propietats elàstiques C és definit positiu i, per tant,
� : C : � � 0; �� � 0
R E C O R D A T O R I
Es diu que un tensor
simètric de quart ordre
A és definit positiu si
per a tot tensor de
segon ordre x � 0 es
compleix
x : A : x � x ij Aijkl x kl � 0
i, a més,
x:A:x �0 � x �0
(6.32)
Observació 6-7
Com a conseqüència de l’equació (6.32), el potencial elàstic és sempre
nul o positiu
uˆ �� � �
1
� :C :� � 0
2
Observació 6-8
El potencial elàstic presenta un mínim a l’estat neutre (per a � � 0 ) (vegeu
la Figura 6.5). En efecte, de l’equació (6.15):
�uˆ � � �
� 2 uˆ � � �
1
� C:�
�C
��
û � � � � � : C : �
2
��
�� � ��
�
� �uˆ � � �
uˆ � � � té un extrem
�0
�
�
(màxim- mínim) a � � 0
� �� � � 0
�
��
� 2
L'extrem és
� � û � � �
� C
�
�
� �� � ��
un mínim
� � 0 definit
�
positiu
�
û �� �
�
��0
Figura 6.5 – Potencial elàstic
Considerem l’expressió del potencial elàstic (6.16) i l’equació constitutiva
(6.20):
6 Elasticitat lineal
1
1
1
� : C : � � � : � � ��Tr �� � 1 � 2�� �: � �
2
2
2
1
1
� �Tr �� � 1: � � � �� : � � �Tr 2 �� � � � � : �
�
�
�
2
2
Tr �� �
179
uˆ �� � �
(6.33)
L’expressió (6.33) es pot posar també en funció dels components esfèrics i
desviadors de la deformació:
uˆ �� � �
N O T A
La traça d’un tensor
desviador és sempre
nul·la � Tr (� �) � 0
1
1
�( Tr �� � ) 2 � � � : � � � e 2 � �� : �
�
�
�
2
2
e
2
�1
� �1
� 1
: 1 � e 1: � ´ � �´: �´�
� : � � � e 1 � �´� : � e 1 � �´� � e 2 1�
3 ���
�3
� �3
� 9
3
Tr �� ���0
1 2
� e � �´: �´
3
(6.34)
(6.35)
i substituint l’equació (6.35) en la (6.34):
� uˆ �� � �
1�
2 �
1
1
� e 2 � � e 2 � µ �´: �´� � � � � �e 2 � µ �´: �´
2 ����3�
2
3
��
(6.36)
K
uˆ �� � �
1
K e 2 � � �´: �´� 0
2
(6.37)
Considereu ara un cert material elàstic lineal isòtrop, caracteritzat per un cert
valor de les seves propietats elàstiques. L’equació (6.37) s’ha de complir per a
qualsevol procés de deformació. Considerem dos tipus particulars:
1) Un procés de deformació purament esfèric
1 �
1
� �1� � e 1�
(1)
2
3 � � uˆ � K e � 0 � K � 0
2
�1�
� � � 0 ��
(6.38)
2) Un procés de deformació purament desviador
N O T A
El producte doblement
contret d’un tensor per
ell mateix és sempre
superior o igual a
zero
� � � : � � � � ij � ij � 0
�
�0
� � 2� � �� �
( 2)
� � uˆ � � �´: �´� 0 � � � 0
e ��� � 0 �
(6.39)
Les equacions (6.38) i (6.39) condueixen a les següents limitacions en els valors
de les constants elàstiques:
K�
E
�0
3�1 � 2� �
;
��G�
E
�0
2�1 � � �
(6.40)
L’experiència demostra que el coeficient de Poisson � és sempre no negatiu i en
conseqüència:
180
6 Elasticitat lineal
E
�
� 0�
2�1 � � � � � E � 0
� � 0 ��
E
�
1
� 0�
3�1 � 2� � � � 0 � � �
2
E � 0 ��
(6.41)
6.6 Plantejament del problema elàstic lineal
N O T A
Es denomina aquí sòlid
elàstic lineal un medi
continu constituït per
un material que obeeix
a l’equació constitutiva
elàstica lineal.
Considerem el sòlid elàstic lineal de la Figura 6.6 sotmès a unes accions
caracteritzades pel vector de forces màssiques b(x, t ) a l’interior del volum V i
el vector de tracció t (x, t ) en el contorn �V . Denominem problema elàstic lineal
el conjunt d’equacions que permeten obtenir l’evolució al llarg del temps dels
desplaçaments u(x, t ) , deformacions �(x, t ) i tensions �(x, t ) corresponents.
t ( x, t )
t
x3
t0 � 0
V
ê 3
ê1
b�x, t �
x2
ê 2
x1
�V
Accions inicials:
�b�x,0�
t �0��
�t �x,0 �
Accions en el temps t :
�b�x, t �
�
�t �x, t �
Figura 6.6 – Problema elàstic lineal
6.6.1 Equacions de govern
El problema elàstic lineal ve governat per les equacions següents:
1) Equació de Cauchy (balanç de la quantitat de moviment)
N O T A
La simetria dels tensors
de tensió i de
deformació comporta
que de les nou
equacions només sis
siguin diferents entre si.
Així mateix, en
comptabilitzar
incògnites només es
consideren els
components diferents
dels tensors esmentats.
� � � �x, t � � � 0 b�x, t � � � 0
�� ij
�xi
� �0b j � �0
� 2u j
�t2
� 2 u�x, t �
�t2
(3 equacions)
(6.42)
j �{1,2,3}
2) Equació constitutiva (elàstica lineal isòtropa)
��x, t � � �Tr �� �1 � 2� �
(6 equacions)
� ij � �� ij � ll � 2� � ij
i, j � �1,2,3�
(6.43)
181
6 Elasticitat lineal
3) Equació geomètrica (relació de compatibilitat entre deformacions
infinitesimals i desplaçaments)
��x, t � � � S u�x, t � �
� ij �
1 �u i �u j
(
�
)
2 �x j �xi
1
�u � � � � � u �
2
i, j �{1,2,3}
(6 equacions)
(6.44)
Les equacions esmentades involucren a les incògnites següents:
�
�
�
u�x, t � (3 incògnites)
� �x, t � (6 incògnites)
(6.45)
��x, t � (6 incògnites)
Les equacions (6.42) a (6.44) constitueixen un sistema d’equacions diferencials
en derivades parcials (EDP). El sistema està constituït per 15 equacions
diferencials amb les 15 incògnites (6.45) (del tipus (�)�x, y, z , t � ) que, per tant,
s’ha de resoldre a l’espai R 3 � R � . El problema queda ben determinat quan se’l
proveeix de les condicions de contorn adequades.
6.6.2 Condicions de contorn
6.6.2.1 Condicions de contorn a l’espai
Considerarem el contorn � � �V del sòlid dividit en tres parts �u , �� i �u�
amb les característiques següents (vegeu la Figura 6.7)
� u � �� � � u� � � � �V
(6.46)
� u � �� � � u � � u� � � u� � �� � �0� �
i en funció d’això definirem les condicions de contorn a l’espai, és a dir, aquelles que
afecten els arguments espacials ( x, y, z ) de les incògnites (6.45) del problema:
�
Contorn �u : condicions de contorn en desplaçaments
u(x, t ) � u * (x, t )
u i (x, t ) � u i* ( x, t )
�
�
�x � �u
�t
(6.47)
Contorn �� : condicions de contorn en tensions
�
� ( x, t ) � n � t * ( x, t )
�
*
� ij (x, t ) � n j � t j (x, t ) i, j �{1,2,3}�
N O T A
A �u� certs
components
(components i) tenen
prescrit el desplaçament
i els restants
(components j) tenen
prescrit el vector
tracció.
�
�
i �{1,2,3}�
�x � �� �t
(6.48)
Contorn �u� : condicions de contorn mixtes (desplaçament-tensió)
u i (x, t ) � u i* (x, t )
� jk (x, t ) � n k � t *j (x, t )
(i, j , k �{1,2,3} i � j )
�x � �u� �t
(6.49)
182
6 Elasticitat lineal
t*
�u : u � u*
x3
V
�� : � � n � t *
ê 3
ê1
x1
x2
ê 2
�u�
Figura 6.7 – Condicions de contorn a l’espai
Exemple 6.2 A la biga de la Figura 6-8 s’exemplifiquen els diversos tipus de
condicions de contorn a l’espai.
P
t x* � 0 ��
���
t *y � 0��
y
6.6.2.2
��t x � 0
�� � *
��t y � � P
*
t x* � 0 ��
���
t *y � 0��
��t *x � 0
�u� � *
��u y � 0
x
��u x � 0
�u � *
��u y � 0
*
Figura 6-8
Condicions de contorn en el temps: condicions
inicials
En general, en l’instant inicial o de referència, t � 0 , seran coneguts els
desplaçaments i la velocitat:
u�x,0� � 0
�u�x, t �
�t t �0
�
�
� �x �V
� u� �x,0 � � v 0 (x)�
�
not
(6.50)
6.6.3 Problema quasiestàtic
El sistema d’equacions (6.42) a (6.50) es pot visualitzar, des d’un punt de vista
mecànic, com un sistema d’accions o dades (les forces màssiques b(x, t ) , el
vector de tracció t * (x, t ) , els desplaçaments imposats u * (x, t ) i les velocitats
inicials v 0 (x) ) que, inserides en un model matemàtic constituït per les equacions
diferencials de la secció 6.6.1 i les condicions de contorn de l’apartat 6.6.2,
proporciona la resposta o solució en forma dels camps de desplaçaments u(x, t ) ,
de deformacions �(x, t ) i de tensions �(x, t ) .
183
6 Elasticitat lineal
b ( x, t ) �
t * ( x, t ) ��
�
u * ( x, t ) �
v 0 ( x) ��
�
���
�
not
Accions � A (x,t ):
En aquest cas
(problema general), el
problema s’anomena
problema dinàmic.
(6.51)
Respostes � R (x, t )
not
N O T A
� u ( x, t )
�
� � ( x, t )
�� ( x, t )
��
���
�
MODEL
� MATEMÀTIC : �
EDP � c.c.
En el cas més general, tant les accions com les respostes dependran del temps (vegeu
la Figura 6.9) i el sistema d’EDP s’haurà d’integrar tant a les variables espacials com
al temps ( R 3 � R � ). Tanmateix, en certs casos, l’espai d’integració es pot reduir en
la dimensió corresponent al temps. Aquest és el cas dels denominats problemes
quasiestàtics.
Definició
Problema elàstic lineal quasiestàtic: Problema elàstic lineal en el qual
l’acceleració es considera negligible ( a �
� 2 u ( x, t )
� 0 ). Aquesta
�t2
hipòtesi és acceptable sempre que les accions s’apliquin molt lentament. En
aquest cas, es pot suposar que la variació de les accions A amb el
temps és lenta ( � 2 A/ �t 2 � 0 ) i, a causa de la dependència contínua
dels resultats respecte a les dades, la variació amb el temps de la
resposta també és petita ( � 2 R/ �t 2 � 0 ). En conseqüència, la segona
derivada temporal de la resposta es considera negligible i, en
particular,
R (x)
� 2 u ( x, t )
�0.
�t2
u�x �
� �x �
��x �
Figura 6.9 – Evolució de la resposta amb el temps
t
Per al problema quasiestàtic les equacions diferencials de govern queden com
segueix:
� Equació de Cauchy
� � 2 u(x, t ) �
��0
� � � (x, t ) � � 0 b(x, t ) � �� � 0
� 2 t ��
�
(6.52)
�(x, t ) � �Tr �� (x, t ) �1 � 2 � � ( x, t )
(6.53)
equació que es coneix també com a equació d’equilibri.
� Equació constitutiva
184
6 Elasticitat lineal
�
Equació geomètrica
�(x, t ) � � S u( x, t ) �
1
�u � � � � � u �
2
(6.54)
que ja no involucren cap derivada temporal. El sistema d’equacions diferencials
només necessita ser integrat a l’espai (resolt en R 3 ) amb les condicions de
contorn a l’espai de l’apartat 6.6.2.1. D’altra banda, el temps només juga un paper de
paràmetre descriptiu de l’evolució de les accions que se solen descriure en funció del
denominat factor de càrrega o pseudotemps �(t ) :
MODEL
b(x, �) �
�
t* (x, �) �
u* (x, �) ��
�
���
�
�u(x, �)
�
� �(x, �)
��(x, �)
��
���
�
� MATEMÀTIC : �
EDP � c.c.
not
(6.55)
not
Accions � A(x,�),:
Resposta � R( x,�)
En altres paraules, per a cada valor de les accions (caracteritzat per un valor fix
de �* ) A (x, �* ) s’obté una resposta R (x, �* ) . Variant el valor de �* s’obté una
família d’accions i la família de respostes corresponent.
Exemple 6.3 Aplicació a un problema típic de resistència de materials.
Considerem la mènsula de la Figura 6.10 amb una força F (t ) aplicada a
l’extrem. Sota la hipòtesi de problema quasiestàtic, i davant d’una acció
parametritzada del tipus �F * , es pot conèixer la resposta (fletxa a l’extrem)
� (� ) � �
F *l 3
(solució de la resistència de materials).
3EI
Si �(t ) té una evolució qualsevol amb el temps, el valor de �(t ) � �(�(t )) per a
cada instant de temps només depèn del valor de � corresponent.
F � �F *
E, I
� (� ) � �
l
�(t )
Acció
F *l 3
3EI
Resposta
�(t )
� �1
�* �
t1
t
Figura 6.10
t1
F *l 3
3EI
t
185
6 Elasticitat lineal
6.7 Resolució del problema elàstic lineal
La resolució del problema elàstic lineal es pot fer típicament amb dos plantejaments
diferents:
a) plantejament en desplaçaments
b) plantejament en tensions.
Els seus noms respectius provenen de quina és la incògnita primal que es considera
per al problema (desplaçaments o tensions, respectivament).
Observació 6-9
Actualment el plantejament en desplaçaments té més aplicació ja que
s’hi basen la majoria dels mètodes de resolució numèrica del problema
elàstic lineal.
6.7.1 Plantejament en desplaçaments: equacions de Navier
Considerem les equacions del problema elàstic lineal:
�
� 2u
� (Equació de Cauchy)
�t2
�
�
� � �Tr (�) 1 � 2��
� (Equació constitutiva)
�
1
� � � S u � �u � � � � � u �� (Equació geomètrica)
2
��
� � � � �0b � �0
�u : u � u *
*
�� : t � � � n
��
� Condicions de contorn a l’espai
��
u�x,0 � � 0 �
� Condicions inicials
u� �x,0 � � v 0 �
(6.56)
(6.57)
(6.58)
L’objectiu és plantejar un sistema reduït, on intervinguin com a incògnita
només el camp de desplaçaments u�x, t � . El primer pas consisteix a substituir
en (6.56) l’equació constitutiva en l’equació de Cauchy:
� � � � � 0 b � � � ��Tr (�) 1 � 2 �� � � � 0 b � � 0
� 2u
�
�t2
� 2u
� � � �Tr (�) 1� � 2�� � � � � 0 b � � 0 2
�t
(6.59)
L’equació (6.59) es pot reelaborar tenint en compte les identitats següents:
186
6 Elasticitat lineal
N O T A
Es defineix l’operador
laplacià d’un vector
v com:
�� v�
�
i
def
�
� 2 vi
�x j �x j
�
�
�� ij
�
� � 1 �� �u i �u j ��
�� �
�� � � �i �
�
�
� �
�
�
�x j �x j � 2 � �x j �xi ��
�
�
2
�
u
�
�
�
u
1 �
1 �
1
1
�
i
� j � � (� 2 u) i �
�
�
�
�
)
u
(
�
��
2 �xi
2 �x j �x j 2 �xi �� �x j �� 2
�
�
�
�
�
�
�
���
�
���
�
�
))
u
�
�
(
(
�
u
�
2
(� u)
i
�
i
�
1
1
�
� �� � 2 u � �(� � u)��
i �{1,2,3}
��
2
�i
�2
�
�� � �Tr (�) 1��i �
�
� �� �
1
1
� (� � u) � � 2 u
2
2
�
�
(� ll � ij ) �
�x j
�x j
�
�xi
�
� �u l
� �x � ij � �
�
� l
�
�
�
�
��
i � {1,2,3}�
�
�
�
� �u l � �
��
��
(� � u) � �� (� � u)�i
xl �� �x i
����
� �����
(� (��u))
��u
i
�
(6.60)
(6.61)
� � �Tr (� ) 1� � � (� � u)
i substituint les equacions (6.60) i (6.61) en la (6.59):
�� �� � u � � �� �� � u � � �� 2 u � � 0 b � � 0
Equacions
de Navier
� 2u
�t 2
�
2
� � � � � � �� � u � � ��2u � �0b � �0 �� ut 2
�
��
�
�
�
� � � � � u j,ji � �
(6.62)
u i,jj � �0bi � �0��
ui
i ��1,2,3�
(6.63)
que constitueix un sistema d’EDP de segon ordre als desplaçaments u(x, t )
(que s’ha d’integrar, per tant, a R 3 � R � ), rebent el nom d’equacions de Navier.
Les condicions de contorn es poden escriure també en funció dels
desplaçaments com segueix. Substituint l’equació constitutiva (6.56) en la
condició de contorn en �� de (6.57):
t * � � � n � ��Tr (�) 1 � 2� � � � n � ��Tr (�) � n � 2� �
� �n �
���
��u
� S �u
1
� �(� � u) n � 2� (u � � � � � u) � n �
2
� �(� � u) n � �(u � � � � � u) � n
(6.64)
i les condicions de contorn a l’espai (6.57), escrites ara en funció dels
desplaçaments, queden:
6 Elasticitat lineal
187
u � u*
��
� en �u
ui �
i �{1,2,3}��
��
�(� � u) n � �(u � � � � � u) � n � t *
� en ��
*
� u l .l ni � � (u i , j n j � u j ,i n j ) � t i i, j �{1,2,3}��
u i*
(6.65)
Les condicions inicials (6.58) romanen inalterades. Una vegada integrat el
sistema (6.63) es disposa del camp de desplaçaments u(x, t ) . Per derivació
d’aquest i substitució en les equacions geomètriques en (6.56), s’obté el camp
de deformacions �� x, t ) , i substituint finalment en l’equació constitutiva, s’obté
el camp de tensions �� x, t ) .
6.7.2 Plantejament en tensions: equacions de Beltrami-Michell
El mètode és només plantejable per al cas quasiestàtic de l’apartat 6.6.3.
Considerem llavors les equacions del problema elàstic lineal quasiestàtic:
�
� (Equació d’equilibri)
�
1� �
�
�
� � � Tr (�) 1 �
�
� (Equació constitutiva inversa)
E
E
�
1
�
S
� � � u � �u � � � � � u � � (Equació geomètrica)
�
2
� � � � �0b � 0
�u : u � u *
*
�� : t � � � n
N O T A
La deducció de les
equacions de
compatibilitat s’ha
estudiat al capítol 3,
apartat 3.3.
��
� Condicions de contorn a l’espai
��
(6.66)
(6.67)
on en (6.66) s’ha considerat l’equació constitutiva inversa (6.24) (deformacions
en funció de les tensions).
El punt de partida del plantejament en tensions són les equacions geomètriques
en (6.66) de les quals, per derivacions successives, s’eliminen els desplaçaments
i s’obtenen les equacions de compatibilitat:
� ij , kl � � kl ,ij � � ik , jl � � jl ,ik � 0
i, j , k , l � �1,2,3�
(6.68)
La deducció de les equacions del problema es fa en els passos següents:
a) Se substitueix l’equació constitutiva de (6.66) en les equacions de
compatibilitat (6.68).
b) Se substitueix en l’equació resultant l’equació d’equilibri de (6.66).
El resultat és el conjunt d’equacions següent:
188
6 Elasticitat lineal
Equacions de Beltrami - Michell
�
1
� ll ,ij � �
� ij �� 0 bl �,l � �� 0 bi �, j � �� 0 b j �, i i , j � �1, 2 ,3�
� 2� ij �
1��
1��
(6.69)
Les equacions (6.69) reben el nom d’equacions de Beltrami-Michell i constitueixen
un sistema d’EDP de segon ordre en les incògnites �(x) que s’han de resoldre
en R 3 .
Com a condicions de contorn del sistema esmentat es tenen les pròpies equacions
d’equilibri en (6.66) que, en tractar-se d’un sistema d’EDP de primer ordre,
actuen com a condicions de contorn del sistema de segon ordre (6.69), i les
condicions de contorn a �� :
� � � � �0b � 0
(Equació d’equilibri)
(6.70)
� � n � t * en ��
(Condicions de contorn en �� )
(6.71)
Una vegada integrat el sistema (6.69) es disposa del camp de tensions �� x) . A
partir d’aquest, mitjançant substitució en l’equació constitutiva inversa en
(6.66), s’obtenen les deformacions �(x) . Tanmateix, per obtenir el camp de
desplaçaments u(x) és necessari integrar les equacions geomètriques amb les
condicions de contorn a �u :
N O T A
Al capítol 3, apartat
3.4.2, es va
proporcionar un
procediment analític
per integrar les
equacions geomètriques
esmentades.
1
�
��(x) � �u(x) � � � � � u(x) � x �V
2
�
�u( x) � u * (x)
�x � �u
�
(6.72)
Es tracta, per tant, d’un segon sistema d’EDP de primer ordre que s’ha
d’integrar a R 3 .
Observació 6-10
La necessitat d’integrar el segon sistema (6.72) (quan es planteja el
problema en tensions) constitueix un desavantatge (davant el
plantejament en desplaçaments de l’apartat 6.7.1) quan s’utilitzen
mètodes numèrics per resoldre el problema elàstic lineal.
6.8 Unicitat de la solució del problema
elàstic lineal
Teorema
�u(x, t ) �
�
�
La solució R(x,t) � ��(x, t ) � del problema elàstic lineal (6.42) a (6.44)
és única.
��(x, t )�
�
�
189
6 Elasticitat lineal
Demostració:
Considerem el problema elàstic lineal esquematitzat a la Figura 6.11 subjecte a
T
les accions definides per A(x,t) � �b(x, t ), u* (x, t ), t * (x, t ), v 0 (x)� , en els
dominis V , �u , ��
�� � �u � � ).
�
i V , respectivament (complint-se que �� � �u � �V i
�
�� : t * �x, t �
z
V
b�x, t �
y
x
Figura 6.11 – Problema elàstic lineal
Les possibles solucions R(x,t) � �u(x, t ), �(x, t ), �(x, t )�T del problema elàstic
lineal han de verificar les equacions:
Equació constitutiva:
� 2u
�t2
� � �Tr (�) 1 � 2��
Equació geomètrica:
� � �Su �
Condicions de contorn a l’espai:
���u : u � u *
�
���� : t * � � � n
(6.74)
Condicions inicials:
�u�x,0 � � 0
�
�u� �x,0 � � v 0
(6.75)
Equació de Cauchy:
� � � � � 0b � �0
(6.73)
1
�u � � � � � u �
2
La demostració de la unicitat de la solució es fa tal com segueix. Suposarem
que la solució no és única, és a dir, que existeixen dues solucions diferents al
problema:
�u (1) (x, t ) �
�u ( 2 ) (x, t ) �
�
�
�
�
��
��
R (1) (x,t) � �� (1) (x, t ) � ; R ( 2 )(x,t) � �� ( 2 ) (x, t ) �
� (2)
�
� (1)
�
��� (x, t )��
��� (x, t )��
(6.76)
R (1) � R ( 2)
que, per tant, compleixen les equacions (6.73) a (6.75) i són respostes elàstiques
T
a l’acció A(x,t) � �b(x, t ), u* (x, t ), t * (x, t ), v 0 (x)� . Considerem ara la possible
�
�
resposta constituïda per la diferència R ( 2) � R (1) :
190
6 Elasticitat lineal
~ ( x, t ) �
�u ( 2 ) (x, t ) � u (1) (x, t ) � �u
def
�
�
~
�
�
�
�
R � R ( 2 ) (x,t) � R (1) (x,t) � �� ( 2 ) (x, t ) � � (1) ( x, t ) � � �~� (x, t ) �
� ( 2)
� �~
�
(1)
��� (x, t ) � � (x, t )�� ��(x, t )�
~
Observem que la resposta R compleix les equacions següents:
def
N O T A
S’aprofita aquí la
circumstància que
l’operador nabla
( � � � �) ) és un
operador lineal, és a dir:
� � � a � b) �
� � �a � � �b
on * simbolitza
qualsevol tipus
d’operació diferencial.
Així mateix, l’operador
�
Equació de Cauchy amb b � 0
�
�
� � �� ( x ,t ) � � � ��2� ( x ,t ) � ��1� ( x ,t ) �
�
�
� 2u( 2 )
� 2u( 1 )
� 2u� ��
� 2�
�1�
���
���
�
�
� �0
� �0
� �0
��
��
����
�
��
����
�
�t
�t
�t 2 �
(2)
(1)
2
2
�
��0b ��0 � u
� �0b ��0 � u
��
� t2
� t2
�
Equació constitutiva
�
�
~ (x, t ) � � �2 � (x, t ) � � �1� (x, t ) � C : � �2 � � C : � �1� � C : � �2 � � � �1� � C : ~� �
�
N O T A
S’aplica aquí la
propietat que
l’operador C : és un
operador lineal, és a dir:
C : � a � b) � .
� C :a � C :b
(6.78)
2~
~ ( x, t ) � � � u
����
0
�t2
� 2 (�, t ) és també un
�t2
operador lineal.
(6.77)
�
Equació geomètrica
�
�
~� ( x, t ) � � �2 � � � �1� � � S u �2 � � � S u �1� � � S u � 2 � � u �1� � � S u
~
�
(6.81)
Condicions de contorn a �� amb t�* � 0
�
�
~ � n � � � 2 � � � �1� � n � � �2 � � n � � ��� � n � t * � t * � 0
�� � �
�
(6.80)
Condicions de contorn a �u amb u� * � 0
~ � u � 2 � � u �1� � u * � u * � 0 �t �
�u
��
�u � � ~ .
~�0
�� u � u
�� � t
�
(6.79)
(6.82)
Condicions inicials amb v 0 � 0
~ (x,0) � u ( 2 ) (x,0) � u (1) (x,0) � 0
�u
�
���
� �
���
�
�
�0
�0
�
�~.
� ( 2 ) (x,0) � u� (1) (x,0) � 0
�u (x,0) � u
�
���
� �
���
�
�
�v
�v
�
0
0
(6.83)
191
6 Elasticitat lineal
Considerem ara el càlcul de la integral següent:
� 0 en ��
���
~�u
~ � dS �
n
(
�
�
�
� �n � �~ � �
.
�V
� 0 en �u
�
.
~ dS
u
Teorema
de la
divergència
�
�
.
� � � (�~ � u~) dV � 0
(6.84)
V
�u � ��
on s’han tingut en compte les condicions (6.81) i (6.82). Operant sobre l’últim
integrant de l’equació (6.84), s’obté:
2~
�
�0 � u2
��
t
�
2~ .
��
.
.
.
.
�� � (�
~�u
~ ) � (� � �
~) � u
~� �
~ : (� u
~) � � � u � u
~� �
~ : (� u
~) T
0
�
2
�t
�
.
.
�
~
� 2 u~ j ~.
� u~ j
� u~ j
� � � ~ ~. � �� ij ~.
~
~
u j � � ji
� �x � � ij u j � � �x u j � � ij �x � � 0
�xi
�
�t2
� i�
i
i
~ ��
on s’ha aplicat la condició (6.78) ( � � �
0
(6.85)
i, j �{1,2,3}
~
� 2u
). D’altra banda:
�t2
N O T A
Es té en compte aquí
~ és un tensor
que �
�
�
�
1 � ~�
~ � ~ ~�
~� 1 �~
� u � � � � � u � � � u � � � � � u � � �� � � �
2 ��������� 2 ���������
.
.
~�
~�� �� S u
~
~
� �� a u
�
.
~)T � u
~� � �
(� u
~�
simètric i �
un tensor antisimètric,
amb la qual cosa
.
�
�
.
~�
~
~ T ~ ~
~ � (� u
~) T � �
~ � ~� � �
~��
�
� � � � (� u ) � � � �
�0
~� ~ ~.
~��
�
� �ij �ij � 0 .
Així mateix, es pot escriure:
N O T A
Es defineix
aquí: ~
v
def
�
~v .
(6.86)
~
�v
~v 2 � ~
v2
�
2~ .
~
~
~
~
~
d( v � v )
d � 1 ~2 �
� (u � u ) 1
� u ~. 1
� u ~
�0 2 � u
� �0
� �0
� u � �0
� �0
� v �
dt
dt�2 �
2
2
�t
�t
�t
.
.
�0
.
(6.87)
~ .
� 2u
~ � � d � 1 ~v 2 �
�u
�
�
0
2
dt�2 �
�t
Substituint les equacions (6.87) i (6.86) en la (6.85) i aquesta en la (6.84) i tenint
en compte, a més, la definició de l’energia interna
(6.10):
~
.
dU
~ : ~� dV de l’equació
� ��
dt V
.
�
~ ~
~ �u
~ ) dV � � d �� 1 ~v 2 ���dV � �
0 � � � � (�
� 0 dt �2 �
� � � �dV �
V
V
V
�
�
d 1 ~2
~ � ~� �dV �0 �
� 0 v dV � � �
�
dtV 2
��
����� V�����
~
~
dU
dK
dt
dt
(6.88)
192
6 Elasticitat lineal
~
~
~ ~
dK � dU � d (K
� U ) � 0 �t � 0
dt
dt dt
(6.89)
Tanmateix, observeu que en l’instant inicial t � 0 es compleix (vegeu les
equacions (6.10), (6.13) i (6.83)):
~
K
t �0
~
U
t �0
.
�
~ �0
�
u
0
�
�
1
1
� � � 0 ~v 2 dV � � � 0 ~v 0 � ~v 0 dV � 0 �
~ ~
t �0
�
2
2
V
V
� � (K � U ) t � 0 � 0
�
1
� � uˆ (x, t ) t �0 dV � � ~� t �0 � C : ~� t �0 dV � 0�
����
�
2�
�
V
V
1~
�0
��
� �C:~�
2
(6.90)
i la integració de l’equació (6.89) amb la condició inicial (6.90) porta a:
on:
~ ~
K � U � 0 �t � 0
(6.91)
~
1
v 2 dV � 0 �t � 0
K � � �0 ~
���
2
V
�0
(6.92)
La comparació de les equacions (6.92) i (6.91) porta necessàriament a la
conclusió:
~ ~
K � U � 0��
~
1~
~
� �t � 0 � U (t ) � � � � C : � dV � 0
~
2
�
K�0
V
�
�t � 0
(6.93)
D’altra banda, en ser el tensor constitutiu elàstic C definit positiu (vegeu
l’equació (6.32)):
~� (x, t ) � C : ~� (x, t ) � 0���������� �x � V �t � 0 �
~
1
U (t ) � � ~� � C : ~� dV � 0
2
V
(6.94)
�t � 0
i la comparació de les equacions (6.94) i (6.93) necessàriament condueix a:
~
~
1~
U (t ) � 0�
~
� � U (t ) � � � � C : � dV � 0
~
2
U (t ) � 0�
V
N O T A
S’aplica aquí el següent
teorema del càlcul
integral: Si �(x) � 0 i
� �(x) d� � 0 �
�
�(x) � 0 �x � �
�t � 0
(6.95)
Recorrent de nou a la condició de definit positiu del tensor C :
~
1
U (t ) � � ~� � C : ~� dV � 0
���
�
2�
V
�0
�t � 0 � ~� � C : ~� � 0 �x �t � 0
(6.96)
i, necessàriament, de la condició de definit positiu de C es dedueix que
~� � C : ~� � 0 � ~� ( x, t ) � � � �x �t � 0
(6.97)
�2�
�1�
2
1
� �x ,t � � �� � � �� � � 0 � � � �
(6.98)
D’altra banda, substituint l’equació (6.98) en la (6.80), es té:
� �
�
������
�
�����������������������������������������������������������������������������
���������������������������������
�
��
� ��� � � � �
��
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
� �
� �� �
�
�������
�
�
�
�
�
�� � �
� � � � � �� � ���� ��
�
�
�
�� �� ��
� ��
�
�� � ��
�
�
���
�������������������������������������������������������������������������
���� ���������������������������������������������������������������
�����������
��� �������� ������� ��� �������� �������� ���� ���� ��������������
�������������������������� � � �������������������������������������
������ ������� ���� ���������� ������������� ��� � �� � ��� ����������� ��������� ���
�� ���� ��� ����� ������ ��� ��
����������� ��� �������� ������� �
��������������������������������������������������������������������� ��������
���
����������������
�������
�
�����������������������������������������
�����������������������
�������
�
��������������������������������������������������������������������
�������
��������������������������������������
����������������������������
���������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������
�������� �� ������ ��� ������� ������ ���� �������� ����������� �������� ����� �� ���
�������� �� ��������� ��� ��������������� ������������� �� ��������
�� ����������� ���� ���� �����
��������
��
���
�� ���� ����� ���������� ��� ��������� ������� ���� ����� ��� �� �
����������� ��� �������� ���������� ��� ������� ���������
�� ���� ��� ������ �������
���
���������������������������� ��������������������������������������������� �
���������� ���� ��������� ��� ��� �������� ���� ��� ��������
����������������������������
���������������������
����������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������������������������������������
��� ��������� ��� ������������� ���������� ����� ���� �� ������ ���� ������� � ����
���������� ���� �������� �� ��� �������� ��� ����� ���� ������ ��� ������������� ��
��������������������������������� ������������������ �������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������
������������������������������������ ���������������������������������������������
��� ����� ������ ���������� ���� �������� ��� ����� ����� ���������� ���� ��� ��������
���������������������������������������������������������������������������
������
�������� ����������������������������������������������������� ��� ������������ ��
��������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������� ��������������
�������������� ��������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������� ��������������������������������������
������������������������������������������������������������
��������
���������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������
������ ��� �������� ������
��������� ������ �������������� ���� ��� ������������ ��� ���������� ������������� ��
�������������������������������������
������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������
����� �������� ��� ��������� ����� �������� ��� ��� ����� �� ������������� ���� �������
�����������������������������������������������������
�
�
�����������
����������������
��������������
��������
�����������������
������������
�����������������
������������
�
�
���������������
������������������
���������������
�����������
����������������������������������������
����������������������
�������������������������������������������������������������������������������������
��������� ����� ����� ��� ���� ������ ��� ����������� ���� ��� ������� ��� ����������� ��
�����������������������������������������������������������������������������������
������������������� � � �����������������������������������
� �
� �
� �
� �
�������
�����������������������������������������������������������������������������
������������������������
�������
������������������������������������������������
������������������������������������������������������
�
�
�
�
�������
��� ��������������������������������������������������������
��������������
��������������
� ��� ��� ������������ ��� ������������� �� �������� ������
������������������������������� �������������������������������������������������
�������
���
��������������������
� � � �
�����������������������
����������������������������
���������� � � � � �� �
���� ��� ���� ��� ��������� ��������� ��� ������� � � ��� ��� ���� ��� ������� ��� ������ �����
���������� � �������������������������������������
�� � �� � � � ���
�
�� ���� � �� �� � �� � � � �� � �� � � �� � ��
�
�
�, � , � , � ���,�,��
�������
�� � � �
�
�� �� � � � �� �, � ���,�,��
������������������������������������������ � ����������������������������������� �
�� � �� ������������ ���������� �������� ��� ���������� ������������� �������� �� ��������
���
�� � � 0 � � �� ���������
�
������� � ������������
� � � � �� ( �� � � ��� � � ��� �
��� �� ��������� � ����� � � ��
�
������� ������� ��������
� � �� � �� �� � �� � ��� �� � ��� ��� � , � � ��,�,��
�������
�
�����������������������������������
����������������������������������������������
�� � � � � � �� � � � � ��� � � � �� ��� � � � ��� � � � ��
�
����
�
�
�
�
� ��� ��
��� � � � � � ������ �� ����������� �� ��������� �������
�
�������
��� � � ��� ��� ������� ��� ������ ������ ����������� ���� ���������� ���� ����������
���������� ������������ ������������ ��� ���������� ��������� ���� ��� ���� ��������� �������
���� ���� ���������� �������� �� �������� ��� ���� ���������� �������� ������ �����
�����������������������
Ï
�+ �
�
� + ��� �
� = - �� (�) � +
������� ������������
�
�
Ô
������� ��� � �������� Ô
�+ �
�
Æ Ì��� = - ��� ��� +
� + ������
������������� ������
�
� ��
Ô
Ô
�� � Œ�������
�������
�������
Ô
Ó
����� � ��� �������� ���������� ����������� ��� ���������� �������� ����������� ���� ��
������������������ � ���������������������������������
���������� ��
� � ��
� � �
�
�
��������� �������
�������
����������������������������������������
��� ����������� ��� ���� ���������� �������������� ��������� ������� ������� �
����������������������������������������������������������������
197
6 Elasticitat lineal
� � � Tr �� �1 � 2 � � � ��� 1 � � nt � �t
������
� ���
� nt
�t
def
�
nt
� Tensió no tèrmica � � � � Tr �� �1 � 2 � �
�
def
� Tensió tèrmica � �t � ��� 1
�
(6.114)
on � nt representa la tensió produïda en el cas de no-existència de fenòmens
tèrmics i � t és la denominada tensió tèrmica o tensió correctora per l’increment
de temperatura.
Una operació similar es pot realitzar amb les equacions constitutives inverses
per al cas elàstic lineal i termoelàstic lineal de les equacions (6.24) i (6.112), i
s’obté:
�
1 ��
� � � Tr �� �1 �
� � ��� 1 � � nt � � t
���
E
E
���������
�t
� nt
def
1��
�
�
nt
Deformació
no
tèrmica
�
�
�
� � Tr �� �1 �
�
E
E
�
def
�
� � t � ��� 1
� Deformació tèrmica
(6.115)
En definitiva, en termoelasticitat lineal es poden realitzar les següents
descomposicions dels tensors de tensió i de deformació:
Total
nt
� �� ��
Component no tèrmic
Component tèrmic
� nt � C : �
� t � �� �
Material isòtrop:
Material isòtrop:
t
nt
� � �Tr (�) 1 � 2 � �
� � � nt � � t
� nt
(6.116)
� t � � �� 1
� nt � C �1 : �
� t � �� �
Material isòtrop:
Material isòtrop:
�
1� �
� � Tr (�) 1 �
�
E
E
(6.117)
� t � � �� 1
on els components tèrmics apareixen a causa de la consideració de processos
tèrmics. A partir de les equacions (6.116) i (6.117), es poden obtenir les
expressions següents:
� nt � C �1 : � �
� nt � C : � �
�
� � C : � nt � C : � � � t
�
�
� � C �1 : � nt � C �1 : � � � t
(6.118)
�
(6.119)
198
6 Elasticitat lineal
Observació 6-11
Al contrari del que passa en elasticitat, en el cas termoelàstic un estat de
deformació nul.la en un punt del medi no implica un estat de tensió nul.la. En
efecte, per a � � 0 de l’equació (6.116), s’obté:
� � 0 � � nt � 0 � � � �� t � ���� 1 � 0
�� � 0
��0
� � �� t � � ��� 1
Observació 6-12
Anàlogament, en termoelasticitat un estat de tensió nul·la en un punt no
implica una deformació nul·la en el punt esmentat ja que de l’equació
(6.117) amb � � 0 :
� � 0 � � nt � 0 � � � � t � ��� 1 � 0
�� � 0
��0
� � � t � ��� 1
6.11 Analogies tèrmiques
Les analogies tèrmiques sorgeixen de la recerca de procediments de resolució
del problema termoelàstic lineal fent servir les estratègies i metodologies de
resolució desenvolupades a l’apartat 6.7 per al problema elàstic lineal (sense
consideració d’efectes tèrmics).
En aquest apartat es presenten dues analogies que, per raons de simplicitat, es
restringeixen al problema quasiestàtic i isòtrop, encara que poden ser
directament extrapolables al problema general dinàmic i anisòtrop.
6.11.1 Primera analogia tèrmica (analogia de Duhamel-Newman)
Suposem el medi continu de la Figura 6-14 sobre el qual actuen unes forces
màssiques b(x, t ) , un increment de la temperatura ��(x, t ) i en els contorns del
qual �u i �� hi ha uns desplaçaments imposats u * (x, t ) i un vector tracció t * ,
respectivament.
��������������������
� �� � � � � � � �
���
��
��
���
� �� � 0
� �� � � � ��
��
�����������
��
���� ���������� ���� ��������� ������������� ������� �������������� �� ��������� ���� ���
���������
�� � � � �0� � �
� ��� �����������
�
��������� �� ������� � ��� � � � � � ���� � ��� ������������
�
� ��� ����������
�� � � �
��� � � � ��
������������
���������
�������� �� � �
����������
���� � � � � � � �
� � � �
�������������������
������� � �(�, � ) ���
�����������������������
������������������������
�����������������������
���������������������
����������������������
����������
������������������������
��������
���� ����������� ���� �������� �������� � (�, � ) � �� ���������� ������������� � (�, � ) � ���
���������
� �(�, �)
� �� (�, �)
�
� �
� � (�, �)
� �(�, �)
�������
����������( � ) (�,�)
�
��(�, �)
�
� �(�, �)
��(�, �)
��
���
�
�������
�����������( � ) (�,�)
���� ������ �������� �������� ��� ���������� ������� ���� ��������� �������� �������� ��
���������� ���� ���� ��������� ��������� ������������� ��� ������ ������� ��� ���
���������� ���� ��������� ������������� ��������� ���� �� ����� ��� �������� �� ��
�������������� ��� ���� ��������� � � � �� � � � � �� ��� ������������ ��� ���� ���������
����������������������������
�� �������������������
� � � �� � � � �
� � � � � � � �� � � � �
� � � � � � � �� � � �� ���
� �� �
�������
� � � � �0� � � �
�
�
�
�
�
��� ���� � �� �
� � � �� � � 0 �� �
�
�0
����
�����
��
�
���
�
�
� ��
� � � �� � � 0 �� � �
�������
���� ������������ ���������� ������������ ���� ����� ����� ����� ������������� ���������
�� (�, � ) ��������������
���
��������������������
��� (�, � ) � �(�, � ) � � � (� ��)
�
�0
�
�
��� (�, � ) � � (�, � ) � � �(� ��)
�
�� �
� 0 ���
� � ��,�,��
�������
�� ��������������������
� �� � � � � � ��� (�) � � �� �
�������
�� �������������������������������������
�������
� � ���
�� ����������������������� ��
�������
�� � � � � �
�� ����������������������� ��
�
� � � �� � � � ��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
� � � � ��
�
��
� � �� � � � � � �
��
�
�
�
� � �� � � � �
� � � � � (���) � �
���
����� �
��� ���
��
�
�
��� � (�, � ) �������������������������������������������
�������
�������
� � � � � � (���) �
���� ���������� �������� �� �������� ��������� ��� ����������� ��� ��������� ��������
������������
��������� ��
�
��
� �� ��
� � � � � �� ��� �
�� � � � �0�
�0
�
������� � ��� �� � � � � � � �� (�) � � �� �
�
�
�� � � �
�
�
��������
���� � � � ��
���������� �� ������� �� �
���� � � �� � � � ��� � ��� � � � � ��� �
����������������������������������������������������������������� �������� ������
���� ��� ���� ��������� ���� ��� ������������ ��������� ���� �� ������� ������ ��
���������� �� ���������� ���� �� ���� ��� ������������� ���� ���� �����������������
���������
� � � ���
��
� �
�� � � ���
���� � ����
�����
�
�������� �(��) (��� )
�
� �� � ���
�
� �� � ���
���� � ����
��
���
�
��������� ��(��) (��� )
�������
201
6 Elasticitat lineal
Observant les accions i respostes del problema original (6.121) i del problema
anàleg (6.131), s’observa que la seva diferència és:
�
�1
� b � � bˆ � � b � bˆ � � � (���)�
�
�
� u� � � � � �
0
� def ( III)
� � �u � � 0 � �
0
�
A ( I ) (x, t ) � A ( II) (x, t ) � � * � � � * � � � *
��A
�
�
*
� t � � tˆ � �t � tˆ � � � (���) n �
��� ��� �� 0 �� �� � � �� �
�
��
�
�
(6.132)
�
�
�u � � u � � 0 � � 0 � def
� � � � �
� �
�
R ( I) (x, t ) � R ( II) (x, t ) � � � � � � � � � � 0 � � � 0 � � R ( III)
�� � �� nt � �� � � nt � �� ��� 1�
� � � � ���� � �
�
� ��t �
on s’han tingut en compte les equacions (6.129) ( tˆ * � t * � (���) n ) i (6.116)
( � � � nt � � t � � nt � ��� 1).
Observació 6-13
És immediat comprovar que, en les equacions (6.132), R ( III) és la
resposta corresponent al sistema d’accions A ( III) en el problema
termoelàstic (6.120).
L’equació (6.132) suggereix que el problema original (I) es pot visualitzar com
la suma (superposició) de dos problemes o estats:
ESTAT (II) (a resoldre): Estat anàleg elàstic en el qual no intervé la temperatura i
que es pot resoldre mitjançant procediments elàstics.
+
ESTAT (III) (trivial): Estat termoelàstic trivial en el qual es coneixen sense
necessitat de càlculs les respostes R ( III) (x) donades a (6.132).
Un cop calculat l’ESTAT (II), la solució del problema original termoelàstic de
l’ESTAT (I) s’obté com:
�u ( I ) � u ( II)
Solució del
�
� �� ( I ) � � ( II )
problema
termoelàstic original ��� ( I ) � � ( II) � ��� 1
(6.133)
La síntesi del procediment de resolució del problema termoelàstic basat en la
primera analogia tèrmica es presenta com una superposició d’estats a la Figura
6-15.
���
��������������������
�����
��
� �� � 0
� �� � � � ��
��
��
� �(�, � ) �
� � � (�, � ) �
�
�
� �
�
�
(
�
,
�
)
�
�
��� �(�, � )��
� � ( �, � ) �
�
�
� �(�, � ) �
��(�, � )�
�
�
���������������������������
� � � � � � � (���) �
� �� � � � � � �� �
�
��
� �� � �� � 0
��
�
�������
����
�0
� �� � � � � � ��
�
��
��
�� � (�, � )
�
��� � � � � � (���) �
�
��� � � 0
�
�
�
�
��
� � ( �, � ) �
�
�
� � ( �, � ) �
�� �� (�, � )�
�
�
���������������������
� � (���) �
��
�
��
�
�� � � � � � � �
� �� � 0
� �� � � � � �
��
��
��������
� �� � � � � � � �
���
��
�����
�� � � � ������
�
�� �
��
��� � 0
�
�� � �
��� � � �(���) � �
�
�
��
��� �(�, � )
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �(���) ��
�
�
����������������������������
��������������������������������������
������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
��������������������������� � � �����������������������������������������������
���� ��������� ������������� ��������� ���������� ���������� ������������� ��� �����
��������
203
6 Elasticitat lineal
� eq. d' equilibri
�� � � � � 0b � 0
�
Equacions
� �� � C -1 : � � (� �� ) 1 � eq. constitutiva inversa
de govern
�
S
� eq. geomètrica
�� � � u
���u : u � u
(6.134)
*
Condicions de contorn : � �
���� : � � n � t *
que configuren les accions (dades) A (x, t ) i respostes (incògnites) R (x, t ) del
problema:
� b ( x, t )
� u � ( x, t )
�
� *
� t (x, t )
��� � (x, t )
����
�
Accions� A ( I) (x, t )
�
�u(x, t )
�
� �(x, t )
��(x, t )
��
���
�
(6.135)
Respostes � R ( I) (x, t )
Hipòtesi
Suposem que el coeficient de dilatació tèrmica �(x) i l’increment
tèrmic ��(x, t ) són tals que el camp de deformacions tèrmiques
� t (x, t) � � (x) � �(x, t) 1
és integrable (compleix les equacions de compatibilitat).
Per tant, existeix un camp de desplaçaments tèrmics u t ( x, t ) que compleix:
1 t
� t
S t
t
�� (x, t ) � (���) 1 � � u � 2 �u � � � � � u �
�
u t ( x, t ) � �
� t � u tj �
�� tij � (���) � ij � 1 � � u i �
� i, j �{1,2,3}
��
2 �� � x j � xi ��
Observació 6-14
La solució u t ( x, t ) del sistema d’equacions diferencials (6.136) existeix
si, i només si, el camp de deformacions � t (x, t ) compleix les
equacions de compatibilitat (vegeu el capítol 3). A més, la solució
esmentada està determinada llevat d’un moviment de sòlid rígid
caracteritzat per un tensor de rotació � � i un vector de desplaçament
c * (tots dos constants). És a dir, hi ha una família de solucions
admissibles de la forma:
~ ( x, t ) � � � � x �
u t ( x, t ) � u
c*
�
�
���
�
rotació
�
��
��translació
���
�
moviment
de sòlid rígid
El moviment de sòlid rígid esmentat pot ser escollit arbitràriament (de
la forma més convenient per al procés de resolució).
(6.136)
204
6 Elasticitat lineal
Una vegada definits els desplaçaments tèrmics es pot realitzar una
descomposició dels desplaçaments totals en les seves parts tèrmica i no-tèrmica
com segueix:
def
u nt ( x, t ) � u(x, t ) � u t (x, t ) � u � u nt � u t
(6.137)
Per eliminar el terme tèrmic de les equacions del problema termoelàstic (6.134)
es recorre a la descomposició dels desplaçaments i de les deformacions en les
nt
� � t ) i se
seves parts tèrmica i no-tèrmica ( u � u nt � u t i � � �
substitueix en les equacions (6.134) que es transformen de la forma següent:
a) Equació d’equilibri (resta inalterada)
� � � � �0b � 0
(6.138)
b) Equació constitutiva
� nt � C -1 : � � �
�
1� �
Tr (�) 1 �
�
E
E
(6.139)
c) Equació geomètrica
S t
� � � S u � � S (u nt � u t ) � � S u nt � �
u � � S u nt � � t �
���
�
nt
S nt
�� � �� u
�t
�
� � � nt � � t
�
(6.140)
d) Condició de contorn a �u
u � u*
u�u
nt
�
*
nt
t
� � �u : u � u � u
�u �
t
(6.141)
e) Condició de contorn a �� (roman inalterada)
�
�
�
� �n � t
*
(6.142)
Les equacions (6.138) a (6.142) permeten reescriure el problema original
(6.134) com:
�� � � � � 0b � 0
�
Equacions
� �� nt � C -1 : �
de govern
� nt
S nt
�� � � u
� eq. d' equilibri
� eq. constituti va inversa
� eq. geomètrica
(6.143)
���u : u � u * � u t
���� : � � n � t *
Condicions de contorn :� �
que constitueix el problema anàleg elàstic lineal caracteritzat per les accionsrespostes següents:
205
6 Elasticitat lineal
�b ( x , t )
� �
t
�u ( x , t ) � u ( x , t )
�t * ( x , t )
���������
�
Accions � A ( II ) ( x, t )
�
�u nt ( x , t )
� nt
�� ( x , t )
�� ( x , t )
�����
�
Respostes � R
( II )
(6.144)
( x, t )
Observant les accions i respostes del problema original (6.135) i del problema
anàleg (6.144), s’observa que la seva diferència és:
� b � � b � �0 �
� u � � �u � � u t � �u t � def
� � �
� � �
A ( I ) (x, t ) � A ( II) (x, t ) � � * � � � * � � � � � A ( III)
t
t
� � �
� �0 �
��� ��� �� 0 �� ��� ���
(6.145)
nt
t
t
�u � �u � �u � � u � def
�
� � � � � � �
R ( I ) (x, t ) � R ( II) (x, t ) � � � � � � � nt � � � � t � � ���� 1� � R ( III)
�� � � � � � 0 � � 0 �
� � � � � � �
�
on s’han tingut en compte les equacions (6.117) ( � � � nt � � t ) i (6.137)
( u � u nt � u t ).
Observació 6-15
És immediat comprovar que, en les equacions (6.145), R ( III) és la
resposta corresponent al sistema d’accions A ( III) en el problema
termoelàstic (6.134).
Per tant, el problema original (I) es pot contemplar com la suma (superposició)
de dos problemes o estats:
ESTAT (II) (a resoldre): Estat anàleg elàstic en el qual no intervé la temperatura i
que es pot resoldre mitjançant procediments elàstics.
+
ESTAT (III) (trivial): Estat termoelàstic trivial en el qual es coneixen, sense
necessitat de càlculs, les respostes R ( III) (x) donades a (6.145).
Un cop calculat l’ESTAT (II) la solució del problema original termoelàstic de
l’ESTAT (I) s’obté com:
�u ( I ) � u ( II) � u t
�
problema
� �� ( I ) � � ( II) � ��� 1
�� ( I ) � � ( II)
termoelàst ic original
�
Solució del
(6.146)
on u t es coneix del procés d’integració del camp de deformacions tèrmiques en
l’equació (6.136). La síntesi del procediment de resolució del problema termoelàstic
basat en la segona analogia tèrmica es presenta com una superposició d’estats en la
Figura 6-16.
206
6 Elasticitat lineal
ESTAT
t*
z
Resposta
� b ( x, t ) �
� u � ( x, t ) �
�
�
� *
�
t
x
t
(
,
)
�
�
��� �(x, t )��
�u ( x, t ) �
�
�
� � ( x, t ) �
��(x, t )�
�
�
�b
�
�u� � u t �
�
�
�*
�
�t
�
��� � � 0��
�u nt ( x, t )�
�
� nt
�� (x, t ) �
��(x, t ) �
�
�
�b � 0 �
t �
�u
~�
� �u �
�~ *
�
�t � 0 �
��� �(x, t )��
�u � u t (x, t ) �
�
�
�� � (���)1 �
�
�� � 0
�
�
�� : � � n � t *
b
�u : u � u*
�� � 0
y
x
Acció
(I) Termoelàstic (original)
�� : � � n � t *
t*
z
b
�� � 0
�u : u � u * � u t
y
(II) Elàstic (anàleg)
x
~*
t �0
z
~
�� : � � n � t *
b � 0 �� � 0
�u : u � u t
y
x
(III) Termoelàstic (trivial)
Figura 6-16 – Segona analogia tèrmica
Exemple 6-5 Resoleu mitjançant la segona analogia tèrmica el problema uniaxial d’una
biga encastada en ambdós extrems sobre la qual actua un increment de temperatura constant
�� (Figura 6-17).
Resolució
El procediment clàssic de resolució en resistència de materials consisteix en
la superposició (suma) de les situacions següents: 1) es considera l’estructura
inicialment hiperestàtica, 2) s’allibera l’extrem dret per permetre l’expansió
207
6 Elasticitat lineal
tèrmica, que es produeix (pel fet que l’estructura és isostàtica) amb tensions
nul·les i 3) es recupera el desplaçament de l’extrem dret de la biga fins a portar-lo
novament a zero.
Aquest procediment coincideix exactament amb l’aplicació de la segona
analogia tèrmica en què el camp de desplaçaments tèrmics u t ve definit per
l’expansió tèrmica de la peça amb el seu extrem dret alliberat (estat III).
Aquesta expansió produeix un desplaçament en l’extrem de valor esmentat
u | x �� � ���� i en recuperar el desplaçament en aquest extrem s’està aplicant
implícitament la condició de contorn
*
t
t
�u : u � u
� � u � �u
0
que correspon exactament amb l’estat II de la Figura 6-16.
Estat (III)
Estat (I)
��
�
Estat (II)
����
�
��
�� � 0
ut
�
Figura 6-17
u � �u t
Observació 6-16
L’aplicació de la segona analogia tèrmica resideix fonamentalment en
la integració del camp de deformacions tèrmiques � t ( x, t ) per obtenir
el camp de desplaçaments tèrmics u t (x, t ) (vegeu l’Observació 6-14).
Si les deformacions tèrmiques no són integrables, l’analogia no és
aplicable. Comparant els seus avantatges i inconvenients davant la 1a
analogia, és també recomanable que la integració de les deformacions
tèrmiques sigui, a més de possible, simple de realitzar.
Observació 6-17
El cas particular de:
�
material homogeni ( � (x) � ctte � � )
�
increment tèrmic lineal ( �� � ax � by � cz � d )
té un interès particular. En aquest cas el producte �� � és un
polinomi lineal i les deformacions tèrmiques � t � �� � compleixen
automàticament les equacions de compatibilitat (6.68) (que són
equacions que només contenen derivades de segon ordre), per la qual
cosa es pot garantir que el camp de deformacions tèrmiques és integrable.
���
��������������������
���������������
���������������
�� ������������������� �� � � � �������� � � �
�� ���������������������������� �� � �������� �
��� ����������� ���� ����� ��� ����������� �������� � � � ���� � ��������
��������������������������
�
� � (�, � ) � ��� � � �
��
��
����
��
��������
�� ����� �����
��� ��� ��������� ��� ������ ������ ��� ���� ��������� ��������������� ������
������������� ������� ����� ���� ������� ���������� ��� �������� ���� ��
��������������������������������
� � (�, � ) � ��� � � � � � � � � � ��� � � (� � ���)�
� � � �
�����������
�������������������������
������������������������
���������������
��������������������
��������������������
��������������������������
�������������������������������������������������������������������
������ �������� ���� ���� ����������� ��������� �� ��������� ��� ������������� ��� ���
(� � ���) ����������������������������������������������������������
������������������������������
��
(���)�
�
��
��
�����������
�����������������������������������������������������������������������
��� ��� �������� �� ��� ���� ����������� ��� ������� ���� ��� ������ �������
������������������������������������������������������������������
��������������������������������
�����������������������
�������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������
���
��������������������
� ��
���
� � ��� (�) � � ��� � � �� �
������
�
���
�
� � � � � � �� � � � � � � �
�
������������������
� � � � � 0� � �0
���������������������
�������������������
�� � � � � �
������������������������
��������
�������
�� � � � � � � �
���,0 � � �
�� ��,0 � � � 0
��������������������
�������
�������
�������������������������������������������������
��( �, � ) �
� �
�
��(�, � ) �
��� (�, � )��
�
�
�
� (��� ) � �� (�, � ) � � � (��� ) � ��(�, � ) �
���( , ) �
��(�, � )�
�
�
� �� �
�� � 0 (�) ��
���
��
��
�������
� �� � � � � � � �
� �� � 0
� �� � � � ��
��
��
�����������
���������������
���� ���������� ���������� ����������� ������������ ����������� �� �������������
���� ����������� ��� ���� ���������� ��� ������� ���� ��������� �������� �
��������������������������������������������������� � �� � ����������
� � ��� � �������� � � � ��� � �� � � �� � � � �� � �
� � ��� � �������� � � � ��� � �� � � � � � � � � � � �
� � ��� � �������� � � � ��� � �� � � �� � � � �� � �
� � ��� � �� �
���
���
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������
���
���
���
���
������������������������������������������������ � (�) ��� � (�) �
210
6 Elasticitat lineal
�b (1) (x, t ) �
�
�
�u *(1) (x, t ) �
�
�
� (1)
�
A (1) (x,t ) � �t * (x, t ) � ;
�
�
��� (1) (x, t )�
� (1)
�
�� v 0 (x) ��
�b (2) (x, t ) �
�
�
�u *(2) (x, t ) �
�
�
� (2)
�
A (2) (x,t ) � �t * (x, t ) �
�
�
��� (2) (x, t ) �
�
� ( 2)
�� v 0 (x) ��
(6.151)
i les respostes respectives:
�u (1) (x, t ) �
�u ( 2 ) (x, t ) �
�
�
��
��
�
�
R (1) (x,t ) � �� (1) (x, t ) � ; R ( 2) (x,t ) � �� ( 2) (x, t ) �
� (1)
�
� ( 2)
�
��� (x, t ) ��
��� (x, t )��
(6.152)
Teorema (Principi de superposició):
La solució (resposta) al sistema d’accions A (3) � �(1) A (1) � �( 2) A (2)
(sent �(1) i �( 2) dos escalars qualsevol) és R (3) � �(1) R (1) � �( 2) R (2) .
En altres paraules: la solució del problema termoelàstic lineal davant d’una
combinació lineal de diferents sistemes d’accions és la mateixa combinació lineal de
les solucions davant de cada un d’ells.
Demostració
Substituint
les
A (3) � �(1) A (1) � �( 2) A (2)
dades
i
la
solució
R � � R � � R en les equacions del problema, i tenint en compte la
linealitat dels diferents operadors (vegeu l’Observació 6-19) es té:
(3)
(1)
(1)
( 2)
(2)
a) Equació de Cauchy
� � � �3 � � � 0 b �3� � �(1) (� � � �1� � �b �1� ) � �( 2) (� � � � 2 � � �b � 2 � ) � �
�������
������� �
2u (1)
2 ( 2)
�
�
�0
�0 � u
�
2
2
�t
�t
��
�
� 2 (�(1) u (1) � �( 2) u ( 2 ) )
� 2 u ( 3)
�
� �0
�
�
0
��
�t2
�t2
� � � �3� � � 0 b �3� � � 0
� 2 u ( 3)
�t2
(6.153)
211
6 Elasticitat lineal
b) Equació constitutiva
�
�3 �
� (C : �
�3 �
� � ��
( 3)
� ������
�0����� �
�
�1�
1) � � � � (C : � �1� � � �� (1) 1)� �
�
�
��
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�( 2 ) �� �2 � � (C : � �2 � � � �� ( 2 ) 1)� � 0�
� ����������� �
�
�0
�
�
�
(1)
(6.154)
� �3 � � C : � �3 � � � �� (3) 1
c) Equació geomètrica
S �1�
( 2 ) �2 �
S �2 �
�
��
u�
��
u�
��
� �3� � � S u �3� � �(1) ��
� �1�
��
� ��
�
�� � � ��
�� � 0
�0
�0
(6.155)
� �3 � � � S u �3 �
d) Condició de contorn a �u
u ( 3) � u *
( 3)
(1)
(2)
� �(1) �� u (1) � u * �� � �( 2 ) �� u ( 2 ) � u * �� � 0
�
�
���
����
�
��
����
��
�0
�0
�u : u (3) � u *
(6.156)
( 3)
e) Condició de contorn a ��
� ( 3) � n � t *
( 3)
(1)
( 2)
� �(1) �� � (1) � n � t * �� � �( 2 ) �� � ( 2) � n � t * �� � 0
���������
���������
�0
�0
�� : � (3) � n � t *
f)
(6.157)
( 3)
Condicions inicials
�
�
�
�
u� (3) �x,0 � � v 0(3) � �(1) u� (1) �x,0� � v 0(1) � �( 2) u� ( 2 ) �x,0 � � v 0( 2) � 0
�������
�������
�0
�0
(6.158)
u� (3) �x,0� � v 0(3)
Per tant, R (3) � �(1) R (1) � �( 2 ) R (2) � {u (3) , � (3) , � (3) }T és la solució del problema
elàstic en les accions: A (3) � �(1) A (1) � �( 2 ) A (2) cqd.
212
6 Elasticitat lineal
6.13 Llei de Hooke en funció dels “vectors”
de tensió i de deformació
La simetria dels tensors de tensió, � , i de deformació, � , fa que, dels seus nou
components en un determinat sistema cartesià, només sis siguin diferents. En
conseqüència, i per raons d’“economia” en l’escriptura, és tradicional en
enginyeria treballar només amb els sis components diferents introduint els
denominats “vectors” de tensió i de deformació. Aquests es construeixen en
R 6 ordenant de forma sistemàtica els elements del triangle superior de la matriu
de components del tensor corresponent:
N O T A C I Ó
Es farà servir la notació
�x� per denotar el
�� x
�
� � �� xy
��� xz
vector en R 6 construït
a partir del tensor
simètric x .
� xy
�y
� yz
�� x �
�� �
� y�
� xz �
def � � �
� z�
�
� yz � � ��� � � � � R 6
�� xy �
� z ��
�� xz �
� �
��� yz ��
(6.159)
El mateix passa amb les deformacions amb la particularitat que, per construir el
vector de deformació ���, s’utilitzen les deformacions angulars
� xy � 2� xy , � xz � 2� xz , � yz � 2� yz (vegeu el capítol 2, apartat 2.11.4):
��x
�
� � �� xy
��� xz
� xy
�y
� yz
� �
x
� xz � �
not . � 1
�
� yz � � � � xy
�2
� z �� � 1
�
�� 2 xz
1
� xy
2
�y
1
� yz
2
��x �
1
�
�� �
� xz �
� y�
2
def � � �
�
1
� z�
� yz � � ��� � � �
2
�
�� xy �
�
� � xz �
�z
��
� �
��� yz ��
(6.160)
Observació 6-20
Una propietat interessant de la construcció esmentada és que el
producte doblement contret dels tensors de tensió i de deformació
( � � � ) es transforma en el producte escalar (en R 6 ) dels vectors de
tensió i de deformació: ( ����
� ��):
� � � � � � � � � � ij � ij � � i � i
��� ���
Tensors
de
segon
ordre
Vectors
com es pot comprovar realitzant les operacions esmentades a partir
de les definicions a (6.159) i (6.160).
L’equació constitutiva inversa (6.112):
���
1� �
�
Tr �� �1 �
� � ��� 1
E
E
(6.161)
213
6 Elasticitat lineal
es pot reescriure ara en funció dels vectors de tensió i de deformació com:
^H` �ˆ 1 : ^V` ^H`t
(6.162)
on �ˆ 1 és una matriu inversa de constants elàstiques:
ˆ 1
�
ª 1
« E
« Q
«
« E
« Q
« E
«
«
« 0
«
« 0
«
«
«¬ 0
Q
E
1
E
Q
E
Q
E
Q
E
1
E
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
º
0»
»
0»
»
0»
»
»
»
0»
»
0»
»
1»
»
G¼
(6.163)
i ^H`t un vector de deformacions tèrmiques que s’escriu mitjançant la traducció
adequada del tensor de deformacions tèrmiques D 'T 1:
ªD'Tº
«D'T»
»
«
«D'T»
»
«
« 0 »
« 0 »
»
«
¬« 0 ¼»
0
0 º
ª D 'T
t
«
H {« 0
D'T
0 »» o ^H`
«¬ 0
D'T»¼
0
t
(6.164)
Finalment, la inversió de l’equació (6.162) proporciona la llei de Hooke en funció
dels vectors de tensió i de deformació:
Llei de Hooke en funció
ˆ H Ht
oV �
�
dels vectors de
(6.165)
tensió i deformació
essent �ˆ la matriu de constants elàstiques:
ˆ
�
ª
« 1
« Q
«
«1 Q
« Q
«1 Q
E 1 Q
«
1 Q 1 2Q « 0
«
«
« 0
«
« 0
«¬
Q
1 Q
Q
1 Q
Q
1 Q
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 2Q
2 1 Q
0
0
0
0
1 2Q
2 1 Q
0
0
0
0
1
Q
1 Q
º
»
»
0 »
»
»
0 »
»
0 »
»
»
0 »
»
1 2Q »
2 1 Q »¼
0
(6.166)
7 Elasticit at lineal
plana
7.1 Introducció
Com s’ha vist en el capítol 6, des del punt de vista matemàtic, el problema
elàstic consisteix en un sistema d’EDP que s’ha de resoldre en les tres
dimensions de l’espai i en la dimensió associada al temps ( R 3 � R � ).
Tanmateix, hi ha certes situacions en què el problema esmentat es pot
simplificar, i el problema es redueix a dues dimensions espacials R 2 , a més de
reduir-se, eventualment, a la dimensió temporal ( R 2 � R � ). La possibilitat
d’aquesta simplificació rau en què, en determinats casos, la mateixa geometria i
condicions de contorn del problema permeten identificar una direcció irrellevant
(associada a una dimensió del problema) de forma que es poden plantejar a
priori solucions del problema elàstic independents de la dimensió esmentada.
Si es considera un sistema local de coordenades �x, y , z� en el qual la direcció
irrellevant (suposada constant) coincideix amb la direcció z , l’anàlisi queda
reduït al pla �x, y� i d’aquí el nom d’elasticitat plana amb el qual se solen
denominar aquests problemes. Al seu torn, aquests se solen dividir en dos
grans grups associats a dues famílies d’hipòtesi simplificatives:
�
�
Problemes de tensió plana.
Problemes de deformació plana.
Per simplicitat, considerarem aquí el cas isotèrmic, encara que no hi ha cap
limitació intrínseca per a la generalització, al cas termoelàstic, dels resultats que
s’obtinguin.
7.2 Estat de tensió plana
L’estat de tensió plana es caracteritza per les hipòtesis simplificatives següents:
1) L’estat tensional és de la forma:
���xyz
�� x
� �� xy
�
�0
� xy
�y
0
0�
0�
�
0�
(7.1)
216
7 Elasticitat lineal plana
2) Les tensions no nul·les (és a dir, les associades al pla x � y ) no depenen de la variable
z:
� x � � x ( x, y , t )
� y � � y ( x, y , t )
;
;
� xy � � xy ( x, y , t )
(7.2)
Per analitzar en quines condicions les hipòtesis anteriors resulten raonables,
considerem un medi elàstic pla les dimensions i forma associades al pla x � y
(que denominarem pla d’anàlisi) del qual són arbitràries i tal que la tercera
dimensió (que denominarem el gruix de la peça) queda associada a l’eix z (vegeu
la Figura 7-1). Suposarem que es donen les circumstàncies següents sobre el
medi elàstic en qüestió:
y
��e : t *
t*
e
y
��� : t * � 0
b
L
b
x
z
z
� �� : t * � 0
e
Figura 7-1 – Exemple d’estat de tensió plana
a) El gruix e és molt inferior a la dimensió típica associada al pla
d’anàlisi x � y :
e �� L
(7.3)
b) Les accions (forces màssiques b(x, t ) , desplaçaments imposats
u * (x, t ) i vector tracció t * (x, t ) ) estan contingudes al pla d’anàlisi
x � y (el seu component z és nul) i, a més, no depenen de la
tercera dimensió:
�b x �x, y, t ��
�
�
b � �b y �x, y, t ��
�
�
0
�
�
�u *x �x, y, t ��
�
�
�u : u * � �u *y �x, y, t ��
�
�
�
�
�
�t x* �x, y, t ��
�
�
�� � ��� � ��� � ��e : t * � �t *y �x, y, t ��
�
�
0
�
�
(7.4)
c) El vector tracció t * (x, t ) només és diferent de zero sobre el contorn del
gruix de la peça (contorn ��e ), mentre que sobre les superfícies
laterals ��� y ��� és nul (vegeu la Figura 7-1).
���
�
���
�0�
� �
: t � �0�
�0�
� �
*
(7.5)
217
7 Elasticitat lineal plana
Observació 7-1
La peça amb geometria i accions definides per les equacions (7.3) i
(7.4) i l’estat de tensió plana, indicat per les equacions (7.1) i (7.2) i
esquematitzat a la Figura 7-2, resulten compatibles. En efecte, aplicant
les condicions de contorn �� sobre la peça s’obté el següent:
�
Superfícies laterals: ��� y ��� :
�� x
�0�
� �
n � � 0 � � � n � ��� xy
�� 1�
�� 0
� �
�
� xy
�y
0
0 � � 0 � �0 �
0�� �� 0 �� � ��0��
0�� ��� 1�� ��0��
Cantell ��e :
�� x
�n x �
� �
n � �n y � �( x, y , t ) � n � ��� xy
�0�
�� 0
� �
� xy
�y
0
0�
0��
0��
� n x � �t x ( x, y, t )�
�n � � �t ( x, y, t )�
�
� y� � x
�
�� 0 �� ��
0
�
compatibles amb les suposicions (7.4) i (7.5).
y
�y
N O T A
� xy
El fet que totes les
tensions no nul·les
estiguin contingudes al
pla x � y dóna lloc al
�� x
� � ��� xy
�� 0
�x
x
nom de tensió plana.
z
� xy
�y
0
0�
0��
0��
Figura 7-2 – Estat de tensió plana
7.2.1 Camp de deformacions. Equació constitutiva
Considerem ara l’equació constitutiva elàstica lineal:
���
R E C O R D A T O R I
Les deformacions
angulars es defineixen
com:
�
1� �
�
1
Tr �� �1 �
� � � Tr �� �1 �
�
E
E
E
2G
(7.6)
que, aplicada a l’estat tensional (7.1) i en notació enginyeril, proporciona les
deformacions següents:
�x
�
� xy � 2� xy
�y
�
� xz � 2� xz
� yz � 2� yz
�z
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
1
1
� x � � � y � � z � � x � �� y
E
E
1
1
� y � ��� x � � z � � � y � �� x
E
E
�
1
�z � � �x � � y � � �x � � y
E
E
�
�
� xy
�
� xz
�
� yz
�
1
� xy
G
1
� xz � 0
G
1
� yz � 0
G
(7.7)
on s’han tingut en compte les condicions � z � � xz � � yz � 0 . Donades les equacions
(7.2) i (7.7) es pot concloure que les deformacions tampoc no depenen de la
218
7 Elasticitat lineal plana
coordenada z ( � � � �( x, y, t ) ). Així mateix, en l’equació (7.7) es pot resoldre la
deformació � z com:
�z � �
�
(� x � � y )
1� �
(7.8)
En definitiva, el tensor de deformacions per al cas de tensió plana resulta:
�
� �x
�1
��x, y, t � � � � xy
�2
� 0
��
1
� xy
2
�
0�
�
�
0 � �z � �
(� x � � y )
1� �
�
� z ��
�
�y
0
(7.9)
i la substitució de l’equació (7.8) en l’equació (7.7) condueix, després d’algunes
operacions algebraiques, a:
�x
�
�y
�
� xy
�
E
�� x � �� y �
(1 � � 2 )
E
�� y � �� x �
(1 � � 2 )
E
� xy
2 (1 � �)
(7.10)
que es pot rescriure com:
�
�
�� x �
1 �
0 �
�
E
� �
�� 1
0 �
�� y � �
1
�
�2 �
1� ��
�� �
xy �
�
�0 0
���
� ���������
2 ��
���
CT . P .
�� x �
� �
�� y � �
�� �
xy �
���
�
���
���� C T .P. � ���
(7.11)
7.2.2 Camp de desplaçaments
Les equacions geomètriques del problema:
� ( x, t ) � � S u ( x, t ) �
1
�u � � � � � u � �
2
(7.12)
es poden descompondre en dos grups:
1) Les que no afecten el desplaçament u z (i que serien hipotèticament
integrables en R 2 , en el domini x � y ):
� x �x, y, t �
�
� y �x, y, t �
�
� xy �x, y, t � � 2� xy
�
�
�
� integració en R 2
�u x � u x ( x, y, t )
�
�
�
�
�y
�u y � u x ( x, y, t )
�
�u x �u y �
�
�y
�x ��
�u x
�x
�u y
(7.13)
219
7 Elasticitat lineal plana
2) Aquelles en les quals intervé el desplaçament u z :
� z �x, y, t �
�
� xz �x, y, t � � 2� xz
�
� yz �x, y, t � � 2� yz
�
�u z
�
��
(� x � � y )
�z
1� �
�u x �u z
�0
�
�x
�z
�u y �u z
�0
�
�y
�z
(7.14)
L’observació de les equacions (7.1) a (7.14) suggereix la consideració d’un
problema elàstic ideal de tensió plana reduït a les dues dimensions del pla d’anàlisi i
caracteritzat per les incògnites següents:
�u x �
u ( x, y , t ) � � �
�u y �
�� x �
���( x, y, t ) � ��� y ��
�� �
� xy �
�� x �
���( x, y, t ) � ��� y ��
�� �
� xy �
(7.15)
on les incògnites addicionals respecte al problema general, o bé són nul·les, o
bé són calculables en funció de les (7.15), o bé no intervenen en el problema
reduït:
� z � � xz � � xz � � xz � � yz � 0
�
(� x � � y )
1 ��
u z ( x, y, z , t ) � No intervé en el problema
�z � �
(7.16)
Observació 7-2
El problema de tensió plana és un problema elàstic ideal atès que no es
pot reproduir exactament com un cas particular del problema elàstic
en tres dimensions. Efectivament, no hi ha garantia que la solució del
problema reduït de tensió plana u x ( x, y, t ) , u y ( x, y, t ) permeti
obtenir una solució u z ( x, y , z , t ) per a les equacions geomètriques
addicionals (7.14).
7.3 Deformació plana
L’estat de deformació es caracteritza per les hipòtesis simplificatives següents:
�u x � �u x ( x, y , t ) �
�
� � �
u � �u y � � �u y ( x, y , t )�
�
�u � �
0
�
� z� �
(7.17)
En aquest cas, també resulta il·lustratiu analitzar en quines situacions les
hipòtesis esmentades són plausibles. Considerem, per exemple, un medi elàstic
la geometria i les accions del qual es poden generar a partir d’una secció
bidimensional (associada al pla x � y i amb les accions b(x, t ) , u * (x, t ) i
t * (x, t ) contingudes en el pla esmentat) que es trasllada sobre una generatriu
recta perpendicular a aquesta, associada a l’eix z (vegeu la Figura 7-3).
220
7 Elasticitat lineal plana
t * (x, t )
i
t * ( x, t )
y
x
z
b ( x, t )
b ( x, t )
t * �x, t �
x
Figura 7-3 – Exemple d’estat de deformació plana
Les accions del problema es poden caracteritzar llavors com:
�b x �x, y , t ��
�
�
b � �b y �x, y, t ��
�
�
0
�
�
�u *x �x, y, t ��
�
�
�u : u * � �u *y �x, y, t ��
�
�
0
�
�
�t x* �x, y, t ��
�
�
�� : t * � �t *y �x, y , t ��
�
�
0
�
�
(7.18)
i a la secció central (que presenta la simetria respecte a l’eix z ) es compleix que:
uz � 0
;
�u x
�0
�z
;
�u y
�z
�0
(7.19)
i, per tant, el camp de desplaçaments en aquesta secció central és del tipus:
�u x ( x, y , t ) �
�
�
u( x, y , t ) � �u y ( x, y, t )�
�
�
0
�
�
(7.20)
7.3.1 Camps de deformacions i de tensions
Al camp de desplaçaments propi de l’estat de deformació plana (7.20) li
correspon el camp de deformacions següent:
� x � x, y , t � �
� y �x , y , t � �
�u x
�x
�u y
�y
�u x �u y
�
� xy �x, y, t � �
�y
�x
N O T A
Per analogia amb el cas
de tensió plana, el fet
que totes les deformacions
no nul·les estiguin
contingudes al pla
x � y dóna lloc al
nom de deformació plana.
�u z
�0
�z
�u
�u
� xz ( x, y , t ) � x � z � 0
�x
�z
�u y �u z
�0
� yz ( x, y, t ) �
�
�y
�z
� z ( x, y , t ) �
(7.21)
amb la qual cosa el tensor de deformacions té l’estructura següent:
�
� �x
�1
��x, y, t � � � � xy
�2
� 0
��
1
� xy
2
�y
0
�
0�
�
0�
�
0��
�
(7.22)
221
7 Elasticitat lineal plana
Considerem ara l’equació constitutiva elàstica lineal:
� � �Tr �� �1 � ��� � �Tr �� �1 � �G�
(7.23)
que, aplicada al camp de deformacions (7.21), proporciona les tensions de la forma següent:
� x � ��� x � � y � � 2�� x � �� � 2G �� x � �� y
� y � � �� x � � y � � 2�� y � �� � 2G �� y � �� x
� z � ��� x � � y �
� xy � G � xy
� xz � G � xz � 0
� yz � G � yz � 0
(7.24)
Ateses les equacions (7.21) i (7.24), es pot concloure que les tensions tampoc depenen de la
coordenada z ( � � � �( x, y, t ) ). D’altra banda, en l’equació (7.24) es pot resoldre la
tensió � z com:
�z �
�
�� x � � y �� ��� x � � y �
2(� � �)
(7.25)
i el tensor de tensions per al cas de deformació plana resulta:
�� x
�� x, y, t � � �� xy
�
�0
� xy
�y
0
0�
0 � �z � � �x � �y
�
�z�
�
�
(7.26)
on els components no nuls del tensor de tensions (7.26) s’escriuen així:
� x � �� � 2G �� x � �� y �
� y � �� � 2G �� y � �� x �
� xy � G� xy �
E (1 � � ) �
�
�y�
�x �
�
(1 � � )(1 � 2� ) �
1 � � ��
E (1 � � ) �
�
�y �
�x�
�
(1 � � )(1 � 2� ) �
1 � � ��
E
� xy
2(1 � � )
(7.27)
L’equació (7.27) es pot rescriure en forma matricial com:
�
�
�
0 �
� 1
1� �
�� x �
�
E (1 � � ) �� �
� �
1
0 �
�� y � �
�
�� � (1 � �)(1 � 2�) �1 � �
1 � 2� �
�
xy �
���
�
0
� 0
2(1 � �) �
�
���
������������������
C D.P .
�� x �
� �
�� y � �
�� �
xy �
���
�
���
(7.28)
���� C D.P. � ���
De forma similar com passa amb el problema de tensió plana, les equacions
(7.20), (7.21) i (7.26) suggereixen la consideració d’un problema elàstic de deformació
plana reduït a les dues dimensions del pla d’anàlisi x � y caracteritzat per les
incògnites següents:
�u x �
u( x, y, t ) � � �
�u y �
�� x �
���( x, y, t ) � ��� y ��
�� �
� xy �
�� x �
���( x, y, t ) � ��� y ��
�� �
� xy �
(7.29)
en el qual les incògnites addicionals respecte al problema general, o bé són
nul·les, o bé són calculables en funció de les (7.29):
222
7 Elasticitat lineal plana
uz � 0
� z � � xz � � yz � � xz � � yz � 0
�
�z � � �x � �y
(7.30)
�
7.4 El problema elàstic lineal en elasticitat
bidimensional
Ateses les equacions dels apartats 7.2 i 7.3 el problema elàstic lineal per als
problemes de tensió i deformació plana es caracteritza de la manera següent
(vegeu la Figura 7-4):
��t x* � x, y, t ���
�� : t * � � *
�
��t y �x, y , t ���
y
e
�b ( x, y, t )
�: b � � x
�b x ( x, y, t )
�n x
n��
�n y
��u *x � x, y, t ���
�u : u * � � *
�
��u y �x, y, t ���
�
z
Figura 7-4
x
a) Equacions
Equació de Cauchy:
� �� x �� xy
� 2u
�
� �b x � � 2 x
�
�y
�t
� �x
�
� 2u y
� �� xy �� y
�
�
�
�
�
b
y
� �x
�y
�t 2
�
N O T A
La tercera equació
corresponent al
component z , o bé no
hi intervé (tensió
plana), o és
idènticament nul·la
(deformació plana).
(7.31)
Equació constitutiva:
�� x �
��� � ��� y ��
�� �
� xy �
� �x �
��� � �� � y ��
�� �
� xy �
��� � C � ���
(7.32)
on la matriu constitutiva C es pot escriure de forma genèrica a partir de les
equacions (7.11) i (7.28) com:
Tensió
�1
E �
��
C�
1� �2 �
�� 0
0 �
0 �
1� ��
0
2 ��
�
1
�E � E
��
�� � �
E
�
E�
�
Deformació
1 �� 2
�
Deformació
��
plana
plana
�� � �
��
�1 � � �
Tensió
plana
� plana
(7.33)
223
7 Elasticitat lineal plana
Equacions geomètriques:
�x �
�u x
�x
�y �
�u y
� xy �
�y
�u x �u y
�
�x
�y
(7.34)
Condicions de contorn a l’espai:
��u *x � u *x �x, y, t ���
�u : u * � � *
�
*
��u y � u y �x, y, t ���
t* � � � n
�� :
�� x
���
�� xy
��t *x � t *x �x, y, t ���
t* � � *
�
*
��t y � t y �x, y, t ���
(7.35)
�n x �
n�� �
�n y �
� xy �
� y ��
Condicions inicials:
u ( x, y , t ) t � 0 � 0
u� ( x, y, t ) t � 0 � v 0 ( x, y )
(7.36)
b) Incògnites
�u x �
u ( x, y , t ) � � �
�u y �
�
� �x
��x, y, t � � �
1
� � xy
�2
1
�
� xy �
2
�
�y �
�
�� x
��x, y, t � � �
�� xy
� xy �
� y ��
(7.37)
Les equacions (7.31) a (7.37) defineixen un sistema d’EDP de 8 equacions amb 8
incògnites que s’ha de resoldre en el domini espai-temps reduït R 2 � R � . Un cop
resolt el problema, es poden calcular explícitament:
Tensió plana � � z �
�
�x � �y
1� �
�
�
Deformació plana � � z � ��� x � � y �
(7.38)
7.5 Problemes assimilables a elasticitat
bidimensional
7.5.1 Tensió plana
Seran típicament assimilables a estats de tensió plana aquells estats
tensodeformacionals produïts en sòlids amb una dimensió sensiblement inferior a les
altres dues (que configuren el pla d’anàlisi x � y ) i amb accions contingudes en el pla
esmentat. La placa carregada en el seu pla mitjà i la biga de gran cantell de la
Figura 7-5 són exemples típics d’estructures analitzables en estat de tensió
plana. Com a cas particular, els problemes de flexió simple i composta de bigues de
pla mitjà, considerats en la resistència de materials, poden ser també assimilats a
problemes de tensió plana.
224
7 Elasticitat lineal plana
x
y
e
superfície mitjana
z
Figura 7-5 – Placa carregada en el seu pla mitjà i biga de gran cantell
7.5.2 Deformació plana
Seran típicament assimilables a estats de deformació plana aquells sòlids la
geometria dels quals es pot obtenir com a resultat del desplaçament d’una secció
generatriu plana amb accions contingudes en el seu pla (pla d’anàlisi x � y ) sobre una
línia perpendicular a aquesta. A més, la hipòtesi de deformació plana
� z � � xz � � yz � 0 ha de ser justificable. Típicament, la situació esmentada es
produeix en dues circumstàncies:
1) La dimensió de la peça en la direcció z és molt gran (als efectes de l’anàlisi es pot
considerar infinita). En aquest cas, tota secció transversal central (no
propera als extrems) es pot considerar de simetria i, per tant, satisfà les
condicions:
uz � 0
;
�u x
�0
�z
;
�u y
�z
�0
d’on es conclouen les condicions de partida de l’estat de deformació plana
(7.17):
�u x � �u x ( x, y , t ) �
� � �
�
u � �u y � � �u y ( x, y , t )�
�u � �
�
0
� z� �
�
Exemples d’aquest cas els trobem a les canonades de pressió interna (i/o
externa) de la Figura 7-6, el túnel de la Figura 7-7 o la sabata contínua de la
Figura 7-8.
��
y
x
z
p0
��
Secció transversal
Figura 7-6 – Tub de pressió
225
7 Elasticitat lineal plana
Figura 7-7 – Túnel
Secció transversal
Figura 7-8 – Sabata contínua
2) La longitud de la peça en la direcció longitudinal és reduïda, però el desplaçament en la
direcció z s’impedeix en les seccions extremes (vegeu la Figura 7-9).
En aquest cas la hipòtesi de deformació plana (7.17) es pot fer per a totes
les seccions transversals de la peça.
y
x
p0
z
Secció transversal
Figura 7-9
226
7 Elasticitat lineal plana
7.6 Corbes representatives dels estats
plans de tensió
Hi ha una important tradició en enginyeria de representar gràficament la distribució
dels estats tensionals plans. Per a això es recorre a certes famílies de corbes el traçat
sobre el pla d’anàlisi de les quals proporciona informació útil sobre l’estat tensional.
7.6.1 Línies isostàtiques
Definició
Línies isostàtiques: són les envolupants del camp vectorial determinat per
les tensions principals.
Per definició d’envolupant d’un camp vectorial, les línies isostàtiques seran, en
cada punt, tangents a les dues direccions principals i, per tant, hi haurà dues
famílies de línies isostàtiques:
� Isostàtiques �1 , tangents a la tensió principal més gran.
� Isostàtiques � 2 , tangents a la tensió principal més petita.
A més, atès que les tensions principals són ortogonals entre si, les dues famílies de
corbes seran també ortogonals. Les línies isostàtiques informen sobre la manera com
transcorre sobre el pla d’anàlisi el flux de tensions principals.
Com a exemple, en la Figura 7-10 es presenta la distribució de línies
isostàtiques sobre una biga recolzada amb càrrega distribuïda uniformement.
Línies isostàtiques
Figura 7-10
Definicions
Punt singular: Punt caracteritzat per un estat tensional:
�x � � y
� xy � 0
.
El seu cercle de Mohr és un punt de l’eix � (vegeu la Figura 7-11).
Punt neutre: Punt singular caracteritzat per un estat tensional:
� x � � y � � xy � 0
El seu cercle de Mohr és l’origen de l’espai � � � (vegeu la Figura 711).
227
7 Elasticitat lineal plana
�
Cercle de Mohr d'un
punt neutre
Cercle de Mohr d'un
punt singular
�
Figura 7-11
Observació 7-3
En un punt singular totes les direccions són principals (el pol és el
mateix cercle de Mohr (vegeu la Figura 7-11). Per tant, en els punts
singulars les línies isostàtiques solen perdre la seva regularitat i poden
canviar bruscament de direcció.
7.6.1.1 Equació diferencial de les línies isostàtiques
Tenint en compte l’equació genèrica d’una isostàtica y � f (x) i el valor d’angle
format per la direcció principal �1 amb l’horitzontal (vegeu la Figura 7-12):
�y
Isostàtica �1 : y � y (x)
�2
� xy
y
�1
� dy �
� � arctg � �
� dx �
�x
x
2� xy
Figura 7-12
2 tg � �
�
2� xy
� x � � y 1 � tg 2 � �
2 y�
�
�
�
not
�
�
�
1 � � y ��2
dy
x
y
�
� y�
tg � �
��
dx
� � �y
� y � �2 � x
y� � 1 � 0
� xy
tg�2� � �
�
�
(7.39)
i resolent l’equació de segon grau de (7.39) en y � , s’obté l’equació diferencial de
les isostàtiques:
Equació
�
�� x � � y � �� � x � � y �� 2
�
diferencial de � � y ' � �
�
�1
� 2�
�
2� xy
xy
�
�
�
les isostàtiques�
�������������
� ( x, y )
(7.40)
228
7 Elasticitat lineal plana
Coneguda la funció �( x, y ) en l’equació (7.40), es pot integrar l’equació
esmentada a fi d’obtenir l’equació algebraica la família d’isostàtiques:
y � f ( x) � C
(7.41)
El doble signe en l’equació (7.40) donarà lloc a dues equacions diferencials
corresponents a les dues famílies ortogonals d’isostàtiques.
Exemple 7-1 Una placa està sotmesa al següent estat tensional (vegeu Figura 7-13):
� x � � x 3 ; � y � 2 x 3 � 3 xy 2
; � xy � 3x 2 y ; � xz � � yz � � z � 0
Obteniu i dibuixeu-ne els punts singulars i la xarxa d’isostàtiques.
Resolució
�� x � � y
a) Punts singulars: es defineixen segons: �
�� xy � 0
�
�� x � � x 3 � 0
�y
�x � 0 � �
� y � 2 x 3 � 3xy 2 � 0
�
2
�
� xy � 3x y � 0 � �
3
�
� y � 0 � ��� x � � x
� x�0
�
3
2
3�
�
x
xy
x
2
3
2
�
�
�
�
�� y
�
�
Així, el lloc geomètric dels punts singulars és la recta: x � 0 . Els punts singulars
esmentats són, a més, punts neutres ( � x � � y � 0 ).
b) Línies isostàtiques: De l’equació (7.40):
y� �
�x � �y
�x � �y 2
dy
��
� (
) �1
2� xy
2� xy
dx
que, per a les dades del problema, resulta:
� dy x
�� dx � y
� x 2 � y 2 � C1
� integrant: �
�
� xy � C 2
� dy � � y
x
�� dx
per tant, les isostàtiques són dues famílies d’hipèrboles equilàteres ortogonals entre si.
Sobre la recta singular de punts singulars x � 0 (que divideix la placa en dues
regions) les línies isostàtiques canviaran bruscament de pendent. Per identificar la
família d’isostàtiques �1 agafem un punt a cada regió:
� Punt (1,0) : � x � � 2 � �1 ;
� y � �1 � �2 ; � xy � 0
(isostàtica �1 a la direcció y )
� Punt (�1,0) : � x � �1 � �1 ;
� y � � 2 � �2 ; � xy � 0
(isostàtica �1 a la direcció x )
Per tant, la xarxa de les isostàtiques és la que s’indica a la Figura 7-13.
229
7 Elasticitat lineal plana
y
(1,0)
(-1,0)
�1
�2
x
x<0
x>0
�1
�2
Figura 7-13
7.6.2 Línies isoclines
Definició
Línies isoclines: lloc geomètric dels punts del pla d’anàlisi en els quals les
tensions principals formen un determinat angle amb l’eix x .
Per la seva pròpia definició, en tots els punts d’una mateixa isoclina les tensions
principals són paral·leles entre si, formant un angle constant � (que caracteritza
la isoclina) amb l’eix x (vegeu la Figura 7-14).
�1
�1
y
�
�1
�
x
�
x
Línia isoclina � : y � ��x �
x
Figura 7-14 – Línia isoclina
230
7 Elasticitat lineal plana
7.6.2.1 Equació de les isoclines
Per obtenir l’equació y � f (x) de la isoclina d’angle � , s’estableix que la tensió
principal �1 forma un angle � � � amb l’horitzontal, és a dir:
Equació
�
�
algebraica de � �
les isoclines ��
tg �2� � �
2� xy
(7.42)
� x �� y
�
���
�
� ( x, y )
equació algebraica que per a cada valor de � permet aïllar:
y � f ( x, �)
(7.43)
que constitueix l’equació de la família de corbes isoclines parametritzada en
funció de l’angle � .
Observació 7-4
La determinació de la família de les isoclines permet conèixer, en cada
punt del medi, la direcció de les tensions principals i, per tant,
plantejar l’obtenció de les línies isostàtiques. Atès que les isoclines es
poden determinar mitjançant mètodes experimentals (mètodes basats
en la fotoelasticitat), proporcionen, indirectament, un mètode per a la
determinació experimental de les línies isostàtiques.
7.6.3 Línies isòbares
Definició
Línies isòbares: lloc geomètric dels punts del pla d’anàlisi amb el mateix
valor de la tensió principal �1 ( o � 2 ) .
Per cada punt del pla d’anàlisi passaran dues famílies de corbes isòbares: una
corresponent a �1 i una altra a � 2 . Les línies isòbares depenen del valor de
�1 , però no de la seva direcció (vegeu la Figura 7-15).
�1
�1
y
�1
x
Línia isòbara �1 : y � f �x �
Figura 7-15 – Línia isòbara
7.6.3.1 Equació de les isòbares
L’equació que proporciona el valor de les tensions principals (vegeu el capítol
4) defineix en forma implícita l’equació algebraica de les dues famílies
d’isòbares y � f 1 ( x, c1 ) i y � f 2 ( x, c 2 ) :
���
��������������������������
�
�
� �� �
�� � �� � �
�
�� � �
� �
�
�� � � �� � �������� � ��
�
�
�
�
� � � � ��� � � � � ��
�
��������
� � � �� �
��
�
������������� � �
�
�
�� �� �
�� � �� � �
������������
�
� �
�� � �
�� � � �� � �������� � � �
�
�
�
�
� � � � ��� � � � � ��
�
� �����
�
�
� � � � � � �� �� �
� � �
� � � � � � � �� � � �
������ �������������������������������
���������
������� ��� ������� ������� �������� ��� ������������� ���� ���� ������������ ��� ���
����������� ����� ��� ����� ������ ������������ �� ��� ������� ���� ������
������������������
��������������
��� ����� ����� ���� ���� ���������� ��� ��� ���� ������ ������ ���� ������ ���
��������������������������������������������������������������������
��������� � ��� �� � ��� �� �������� ������ ��� ������ ����������� ���� �����
���� ������� ��� ����� �� ������� ��� ������ ��� ���� ���� ���� ����������� ����������
������� ��� ������� ������� ���� ������ ���� ������ ������������ ����� ������� ��
��������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������
��
� � ����
� ��
� ��
� ��
� ��
� ���
�
� ��
� � ����
��������������������������������������������
��
������
���
��������������������������
�������� �������� ������������ ��� ���� ������� ��� ������� ������
����������
� � � �
�����������������
�����������
���������������
�
���� �� � � �
�
�
� � ��� � � �
���� �
������ � ����������������������������������� � ���� ��������������������������������������
�����������������������������������������
����
�
�
�
�
� ���� ��� � � ���� ��� � � � �
�
���� ��
������
��� � ����������������������� ��� ������� ���������� �� � ���� ��������������� ���� �����
������������ ���������� ��������� ������ ������ ��� ������� ������� ����������� � � � ��� �
������������������������������ ���� �� �
�� ��
�� � ��
�
� � �� �
� ���� � �
�
��
�
�
� � �� �
���� � �� �
�� ��
� � ���� � � �
� ��
� �
�
�
�
�� ��
� � � � ��
�� ���
�
� ��
��� � � �
��
������
��
�
�
��
�� � � � �
� � � �� � �
� � �� �
��� � � � � �
������������������������������������������������ � � ���������������������������������
������������������������������������
�������������������� �
�
���������������������
��������������������� �
����������������������� �
�
������
��������
��������������
�
���
��
�
�� ��
� �� �� �
� ��
� �
�� �
�� �� �
� � �� �
�
� �
�
�����
�������
�
� � �� � �
����������� ���� �� � � � ���
� ��
��
� � ��
������
� � ���
�� �
�
� �� �
� � � ����� ��
���
��
�����������
��������� ��� ������� �� �� � � � ��� ���������� �������� ��� ���� ��������� ���������
������������ ���������� �� �������� ���������� ����������� ��� ���� ����� ��������� ��
���������������������������������������������������������������������
8 Plasticit at
8.1 Introducció
Els models (equacions constitutives) elastoplàstics es fan servir en mecànica de
medis continus per representar el comportament mecànic de materials quan se
sobrepassen certs límits en els valors de les tensions (o de les deformacions) i el
comportament deixa de ser representable mitjançant models més simples com
són els elàstics. En aquest capítol s’estudiaran els models esmentats
considerant, en tots els casos, que les deformacions són infinitesimals.
A grans trets, la plasticitat introdueix dues grans modificacions sobre
l’elasticitat lineal estudiada en els capítols 6 i 7:
1) La pèrdua de linealitat (les tensions ja no són proporcionals a les
deformacions).
2) L’aparició del concepte de deformació plàstica o permanent. Una part de la
deformació que es genera durant el procés de càrrega no es recupera durant
el procés de descàrrega.
N O T A
Els conceptes d’aquest
apartat són un
recordatori dels que
s’han estudiat al capítol
4, apartats 4.4.4 a 4.4.7.
8.2 Nocions prèvies
8.2.1 Invariants tensionals
Sigui � el tensor de tensions de Cauchy i la seva matriu de components en una
base associada als eixos cartesians {x, y , z} (vegeu la Figura 8-1):
���xyz
�� x
�
� �� xy
�� xz
�
� xy
�y
� yz
� xz �
�
� yz �
� z ��
(8.1)
En tractar-se d’un tensor simètric de segon ordre, diagonalitzarà en una base
ortonormal i tots els seus autovalors seran nombres reals. Sigui llavors
{x �, y �, z �} un sistema d’eixos cartesians associat a la base en què � diagonalitza
(autovectors de � ). La seva matriu de components en la base esmentada serà:
234
8 Plasticitat
���x´y´z´
�� 1
� �� 0
�� 0
0
�2
0
0�
0 ��
� 3 ��
(8.2)
on �1 � � 2 � � 3 , denominades tensions principals, són els autovalors de � i les
direccions associades als eixos {x �, y �, z �} s’anomenen direccions principals (vegeu
la Figura 8-1).
z
z´
�z
�2
� zy
� zx
� xz
�x
�3
y´
� yz
� xy
�y
y
� yx
�1
x
x´
Figura 8-1 – Diagonalització del tensor de tensions
Per obtenir les tensions i les direccions principals de � , s’ha de resoldre el
corresponent problema d’autovalors i autovectors:
Trobar � i v de forma que : � � v � �v � �� � �1� � v � 0
(8.3)
on � correspon als autovalors i v als autovectors. Condició necessària i
suficient per tal que el sistema (8.3) tingui solució és que:
det�� � �1� � � � �1 � 0
(8.4)
que en components resulta:
�x � �
� xy
� yx
�y � �
� xz
� yz
� xz
� yz
�0
(8.5)
�z � �
El desenvolupament algebraic de l’equació (8.5), denominada equació
característica, correspon a una equació polinòmica de tercer grau en � , que es
pot escriure com:
�3 � I 1�2 � I 2 � � I 3 � 0
(8.6)
on els coeficients I 1 ( �ij ), I 2 ( � ij ) e I 3 ( � ij ) són unes certes funcions dels
components � ij del tensor � en el sistema de coordenades {x, y , z} .
Tanmateix, les solucions de l’equació (8.6), que seran funció dels coeficients
d’aquesta ( I 1 , I 2 , I 3 ), són les tensions principals que, d’altra banda, són
independents de quin sigui el sistema d’eixos en el qual s’hagi expressat � . En
conseqüència, els coeficients esmentats han de ser invariants davant qualsevol
canvi de base. Per aquest motiu, els coeficients I 1 , I 2 i I 3 es denominen
invariants I o invariants fonamentals i la seva expressió (després del
desenvolupament corresponent de l’equació (8.5)) resulta ser:
235
8 Plasticitat
� I1 � Tr �� � � � ii � � 1 � � 2 � � 3
�
1
�
Invariants I � � I 2 � � : � � I12 � ��� 1� 2 � � 1� 3 � � 2� 3 �
2
�
�� I 3 � det �� � � � 1 � 2 � 3
�
�
(8.7)
Evidentment, qualsevol funció escalar dels invariants serà també un invariant i,
per tant, a partir dels invariants I , definits en (8.7), es poden definir nous
invariants. En particular, definirem els denominats invariants J :
�
�J1 � I1 � � ii � Tr(�)
�
1
1
1
1
�
Invariants J � �J 2 � I12 � 2I 2 � � ij� ji � �� : �� � Tr(� � �)
2
2
2
2
�
1 3
1
1
�
��J 3 � 3 I1 � 3I1 I 2 � 3I 3 � 3 � ij� jk � ki � 3 Tr�� � � � ��
�
�
�
(8.8)
�
Observació 8-1
a) Observeu que si: I 1 � 0 �
Ji � Ii
i � �1,2,3� .
b) Els invariants J i , i � �1,2,3�, es poden expressar de forma
unificada i compacta mitjançant l’expressió:
1
J i � Tr (� i )
i
i � �1,2,3�
8.2.2 Components esfèric i desviador del tensor de tensions
Donat el tensor de tensions � , es defineix la tensió mitjana � m com:
�m �
I1 1
1
1
� Tr �� � � �� ii � � ��1 � � 2 � � 3 �
3 3
3
3
(8.9)
i la pressió mitjana p com:
p � �� m
(8.10)
El tensor de tensions de Cauchy es pot descompondre en una part (o
component) esfèrica � esf i una part (o component) desviadora �´ :
� � � esf � �´
on la part esfèrica del tensor de tensions es defineix com:
(8.11)
236
8 Plasticitat
1
Tr �� �1 � � m 1
3
0 �
�� m 0
� �� 0 � m 0 ��
�� 0
0 � m ��
def
� esf : �
� esf
(8.12)
i, de les equacions (8.11) i (8.12), la part desviadora resulta ser:
�´� � � � esf
�� x � � m
�
� � � xy
� � xz
�
� xy
� y � �m
� yz
� xz �
�
� yz �
� z � � m ��
(8.13)
Els invariants I i J del tensor desviador �´ , que es denominaran invariants I ´
i J ´ , resulten, després de considerar les equacions (8.7), (8.8), (8.9) i (8.13):
�
� J 1´� I 1� � 0
�
1
1
�
Invariants J � � � J 2 ´� I 2� � ��´: �´� � � ij ´� ji ´
2
2
�
1
�
�� J 3 ´� I � 3� 3 �� ij ´� jk ´� ki ´�
(8.14)
Observació 8-2
Es pot demostrar fàcilment que les direccions principals de � coincideixen
amb les de �´ , és a dir, que tots dos tensors diagonalitzen en la mateixa
base. En efecte, si es treballa en la base associada a les direccions
principals de � , és a dir, la base en la qual diagonaliza � , i atès que
� esf és un tensor hidrostàtic i, per tant, és diagonal en qualsevol base,
llavors �´ també diagonalitza en la mateixa base (vegeu la Figura 8-2).
�z
� zy
�x
� zx
� xz
� yz
�z´
� zy
�y
� xy � yx
=
� zx
� yz
� xz
� x´
� xy � yx
� y´
+
�m
�2 � �m
�2
=
�m
�m
�3 � � m
�3
�1
�m
�1 � � m
+
�m
�m
Figura 8-2. – Diagonalització dels components esfèric i desviador
237
8 Plasticitat
Observació 8-3
Es defineix com a tensió efectiva o tensió uniaxial equivalent � l’escalar:
� � 3 J 2' �
3
3
� �ij ��ij �
�´: �´
2
2
La denominació tensió uniaxial equivalent es justifica perquè el seu
valor per a un estat de tensió uniaxial coincideix amb la tensió uniaxial
esmentada (vegeu l’Exemple 8-1).
Exemple 8-1 Calculeu el valor de la tensió uniaxial equivalent (o tensió efectiva) � per a
un estat de tensió uniaxial definit per:
Resolució
a) Tensió mitjana:
b) Component esfèric:
�� u
� � �� 0
�� 0
�
1
� m � Tr (�� � u
3
3
� esf
�� m
� �� 0
�� 0
0
�m
0
c) Component desviador:
�� u � � m
� � � � � � esf � �� 0
�� 0
Tensió efectiva: � �
0 0�
0 0��
0 0��
0
� �m
0
� �u
�
0 � � 3
0 �� � � 0
�
� m �� �
� 0
�
�
0 �
�
0 �
�
�u �
3 ��
0
�u
3
�2
�u
0 � �� 3
0 �� � � 0
�
� � m �� �
�� 0
0
0
1
� �u
3
0
�
�
�
0 �
�
1 �
� �u �
3 �
0
3
3 2 4 1 1
32
� �ij ��ij �
�u ( � � ) �
�u � �u �
2
2
9 9 9
23
� � �u
N O T A
L’espai de tensions
principals també és
conegut amb el nom
d’espai de tensions de
Haigh-Westergaard.
8.3 Espai de tensions principals
Considerem un sistema d’eixos cartesians en R 3 {x � �1 , y � � 2 , z � � 3 } de
manera que a cada estat tensional, caracteritzat pels valors de les tres tensions
238
8 Plasticitat
principals �1 � � 2 � � 3 , li correspon un punt en l’espai esmentat al qual
denominarem espai de tensions principals (vegeu la Figura 8-3).
�3
�1 / 3 �
��
��
n � �1 / 3 �
�
�
��1 / 3 ��
P ��1 , � 2 , � 3 �
Eix de tensió hidrostàtica
( �1 � � 2 � � 3 )
= Bisectriu del 1er octante
�2
�1
Figura 8-3 – Espai de tensions principals
Definició
Eix de tensió hidrostàtica: És el lloc geomètric dels punts de l’espai de
tensions principals que verifiquen la condició �1 � � 2 � � 3 (vegeu la
Figura 8-3). Els punts situats sobre l’eix de tensió hidrostàtica
representen estats tensionals hidrostàtics (vegeu el capítol 4, apartat
4.4.5).
P ��1 , � 2 , � 3 �
�3
Eix de tensió hidrostàtica
�1 � � 2 � � 3
A
O
�1
�
�2
Figura 8-4
Definició
Pla octaèdric � : Qualsevol dels plans normals a l’eix de tensió
hidrostàtica (vegeu la Figura 8-4). L’equació d’un pla octaèdric és:
�1 + �2 + �3 = constant
i la normal (unitària) a aquest és:
n�
1
�1, 1, ,1�T
3
239
8 Plasticitat
8.3.1 Tensions sigma i tau octaèdrica
Sigui P un punt de l’espai de tensions principals, de coordenades ( �1 , � 2 , � 3 ) i
____
vector posició OP � ��1 , � 2 , � 3 �T (vegeu la Figura 8-5). Considerem el pla
octaèdric � que passa pel punt P , i sigui A la intersecció de l’eix de tensió
hidrostàtica amb aquest pla.
�3
P
3 �oct
n
A
�
O
�2
3 � oct
�1
Figura 8-5
Definicions
� Tensió sigma octaèdrica: | OA |� 3 � oct
� Tensió tau octaèdrica:
| AP |� 3 � oct
Observació 8-4
�
� oct informa de la distància entre l’origen O i el pla octaèdric que
passa pel punt P . El lloc geomètric dels punts de l’espai de
tensions principals amb igual � oct és el pla octaèdric que està a
una distància 3 � oct de l’origen.
�
� oct informa de la distància entre el punt P i l’eix de tensió
hidrostàtica. És, doncs, una mesura de la distància que separa
l’estat caracteritzat pel punt P d’un estat de tensió hidrostàtica. El
lloc geomètric dels punts de l’espai de tensions principals amb
igual � oct és un cilindre l’eix del qual és l’eix de tensió hidrostàtica
i el radi del qual és 3 � oct .
La distància | OA | es pot calcular com la projecció del vector OP sobre n (la
normal unitària al pla octaèdric):
240
8 Plasticitat
�
�1 / 3 �
�
��
3
��
| OA |� OP � n � {�1 , � 2 , � 3 }�1 / 3 � �
��1 � � 2 � � 3 � � 3 � m ��
��
� 3
�
��1 / 3 ��
�
�
| OA |� 3 � oct
��
� oct � � m �
I1
3
(8.15)
(8.16)
on s’ha tingut en compte la definició (8.9) de la tensió mitjana � m .
La distància AP es pot calcular resolent el triangle rectangle OAP de la Figura
8-5:
2
2
2
1
2
AP � OP � OA � � 12 � � 22 � � 32 � �� 1 � � 2 � � 3 �
3
(8.17)
Mitjançant algunes operacions algebraiques, aquesta distància es pot expressar
en funció del segon invariant, J 2� , del tensor de tensions desviador de l’equació
(8.14) com:
2
AP � 2 J 2 ' � AP � 2 ( J 2� )1 2 ��
� 12
� � � oct � 3 �J 2 �
��
| AP |� 3 � oct
2
(8.18)
Les expressions alternatives de � oct en funció del valor de J 2� en l’equació
(8.14) són:
1/ 2
1 � 2
1
2�
�1 � � 22 � � 32 � ��1 � � 2 � � 3 � �
�
3
3�
�
1/ 2
2
2
2
1 �
�
�1 � � 2 � � 2 � � 3 � �1 � � 3 �
�
3 3�
� oct �
� oct
�
� �
� �
(8.19)
�
Observació 8-5
�
Si l’estat tensional � és purament esfèric:
� � � esf � � m 1 � � � � � � � esf � 0 � J 2� � 0 �
� oct � 0
(un estat esfèric queda caracteritzat per � oct � 0 i, per tant, pertany a
l’eix de tensió hidrostàtica, vegeu la Figura 8-5).
�
Si l’estat tensional � és purament desviador:
� � � � � � m � Tr (�) � Tr (� �) � 0 � � oct � 0
(un estat desviador queda caracteritzat per � oct � 0 i pertany al pla
octaèdric que passa per l’origen).
241
8 Plasticitat
Observació 8-6
Un punt P de l’espai de tensions principals queda caracteritzat
unívocament pels tres invariants I 1 � J 1 , J 2� , J 3� (vegeu la Figura 8-6):
�
1
I 1 ) caracteritza la distància a l’origen
3
( � 3 � oct ) del pla octaèdric � sobre el qual està el punt (situa el
punt P sobre un cert pla octaèdric).
I 1 (a través de � oct �
�
J 2� caracteritza la distància del punt a l’eix de tensió hidrostàtica
(situa el punt P sobre un cercle del pla octaèdric amb centre a
l’eix de tensió hidrostàtica i radi 3 � oct � 2 �J 2� �1 / 2 ).
�
J 3� caracteritza la posició del punt dins del cercle definint l’angle
�( J 3� ) .
�( J 3� )
�3
3� oct � 2 ( J 2� )1/ 2
P
Eix de tensió hidrostàtica
O
3�oct = I1 / 3
�1
�
�2
Figura 8-6
Observació 8-7
La Figura 8-7 mostra la projecció de l’espai de tensions principals
sobre el pla octaèdric � . En aquesta projecció es pot observar la
divisió de l’espai de tensions principals en sis sectors, caracteritzats per
les sis possibles ordenacions diferents de les tensions esmentades i
separats per les projeccions dels plans bisectors � 2 � � 3 , �1 � � 3
i �1 � � 2 . L’elecció del criteri �1 � � 2 � � 3 redueix automàticament
el domini de treball factible al sector ombrejat a la figura i la
intersecció de qualsevol superfície, del tipus f ( �1 , � 2 , � 3 ) � 0 , amb el
pla � es redueix a una corba en el sector esmentat. Tanmateix,
resulta automàtic estendre la corba als altres sectors (és a dir, dibuixar
la corba que s’obtindria amb la mateixa funció f ( �1 , � 2 , � 3 ) � 0 ,
però considerant les diferents ordenacions de les tensions principals)
sense res més que aprofitar les condicions de simetria respecte als
plans bisectors. La corba resultant, per tant, presentarà tres eixos de
simetria respecte a cada un dels eixos de la Figura 8-7.
242
8 Plasticitat
�
�3
�1 � � 3
� 3 � �1 � � 2
�1 � � 3 � � 2
�3
� 3 � � 2 � �1
�
� 2 � � 3 � �1
�2
�1
�2
� 2 � �1 � � 3
�1 � � 2 � � 3
�1
�2 � �3
�1 � � 2
Figura 8-7 – Projecció sobre el pla octaèdric
8.4 Models reològics de fricció
Els models reològics són idealitzacions de models mecànics, construïts com a
combinació d’elements simples, el comportament dels quals és fàcilment intuïble,
i que permeten percebre comportaments mecànics més complexos.
S’utilitzaran aquí models reològics de fricció per introduir el concepte de
deformació irrecuperable o permanent i les seves conseqüències com a pas
previ a l’anàlisi dels models elastoplàstics.
8.4.1 Element elàstic (element molla)
El model reològic elàstic ve definit per una molla de constant E (vegeu la
Figura 8-8). El model estableix que existeix proporcionalitat entre la tensió i la
deformació, tant en càrrega com en descàrrega, sent la constant E , el factor de
proporcionalitat (vegeu la Figura 8-8).
K
F
�
E
F ��
���
�
�
F �K�
��E�
�
F
1
K
1
�
E
Figura 8-8 – Relació tensió-deformació per a un model elàstic
�
8.4.2 Element de fricció
N O T A
El model de fricció de
Coulomb també rep el
nom de model de fricció
seca.
Considerem un bloc situat sobre una superfície rugosa (vegeu la Figura 8-9) i
sotmès a una força de compressió N i a una força horitzontal F (positiva, cap
a la dreta, i negativa cap a l’esquerra). Sigui � el desplaçament horitzontal del
bloc. El model de fricció de Coulomb estableix que el mòdul de la reacció R
exercida per la superfície de contacte sobre el bloc no pot excedir d’un cert
243
8 Plasticitat
valor límit Fu � � N , on � � 0 és el coeficient de fricció entre el bloc i la superfície.
En conseqüència, mentre el mòdul de la força F sigui menor que el valor límit
esmentat, el bloc no es mou. Una vegada assolit el valor límit Fu � � N , el bloc
es comença a desplaçar en un estat de quasiequilibri (sense produir
acceleracions) i, si es vol romandre en règim quasiestàtic, no es pot excedir
aquest valor límit. Aquests conceptes es poden expressar matemàticament
com:
F � �N
�
� � 0 ( No hi ha moviment)
F � �N
�
� � 0 ( Hi ha moviment)
F � �N
(8.20)
( Impossible)
F
N
�
Fe � µN
F
�
� Fe
R
�
Figura 8-9 – Llei de fricció de Coulomb
El comportament del model de fricció de Coulomb, en termes de la relació
força-desplaçament F � � , està representat gràficament a la Figura 8-9, tant per
a valors positius de la força F (moviment cap a la dreta) com per a valors
negatius (moviment cap a l’esquerra).
Per analogia amb el model mecànic de fricció, podem definir el model reològic
de fricció de la Figura 8-10 on � és la tensió (anàloga a la força F en el model
de Coulomb) que actua sobre el dispositiu i � la deformació que experimenta
(anàloga al desplaçament � ). El model reològic esmentat disposa d’un
dispositiu friccional caracteritzat per un valor límit � e (que juga el paper de
�N al model de Coulomb) el valor del qual no es pot superar.
�e
��
� � � e � �� � 0
�
� � � e � �� � 0
� � � e � impossible
Figura 8-10 – Model reològic de fricció
A la Figura 8-11 es presenta la corba tensió-deformació corresponent al model
reològic esmentat per a un cicle càrrega-descàrrega-recàrrega en aquest, que es
pot descompondre en els trams següents:
� Tram 0 � 1 : La tensió � augmenta (a tracció) fins assolir el valor llindar
� � � e . No es produeix deformació.
244
8 Plasticitat
� Tram 1 � 2 : Una vegada assolit el llindar � � � e , la tensió no pot
augmentar, encara que sí mantenir-se constant, amb la qual cosa l’element
de fricció flueix produint-se una deformació � que creix indefinidament
mentre es mantingui la tensió (procés de càrrega).
� Tram 2 � 3 : En el punt 2 s’inverteix la tendència de la tensió que comença
a disminuir ( �� � 0 ) i s’inicia la descàrrega ( � � � e ). Automàticament deixa
de produir-se deformació �� � 0 . Aquesta situació es pot prolongar fins
que la tensió s’anul·la ( � � 0 ) en el punt 3 . Observeu que si el procés es
deté aquí, ens trobarem amb què s’ha recuperat l’estat de tensió inicial,
però no l’estat de deformació, apareixent una deformació residual o permanent
( � � 0 ) que posa en evidència que, per a aquest model, la trajectòria a la
corba tensió-deformació no és la mateixa en règim de càrrega que en règim
de descàrrega i (des del punt de vista termodinàmic) el caràcter irreversible
del procés de deformació.
� Tram 3 � 4 : Més enllà del punt 3 el signe de la tensió s’inverteix i passa a
ser de compressió. Tanmateix, com que � � � e , no es produeixen canvis a
la deformació ( �� � 0 ).
� Tram 4 � 5 : En el punt 4 es compleix el criteri � � � e i el model comença
novament a entrar en càrrega i a fluir a tensió constant � � �� e , produint
deformació negativa �� � 0 , la qual redueix progressivament la deformació
acumulada. Finalment, en el
�
punt 5 s’ha recuperat l’estat de
deformació inicial, però no el de
2
1
�e
tensió. Més enllà del punt
esmentat es podria procedir a
una
descàrrega, amb
la
3
0
disminució consegüent de la
tensió fins tancar el cicle en el
�
punt 0 , o prosseguir en règim
de càrrega generant, ara,
� �e 5
4
deformació permanent negativa.
Figura 8-11 – Corba tensiódeformació en un cicle de
càrrega-descàrrega-recàrrega
8.4.3 Model elàstic-friccional
Els elements reològics bàsics, elàstic i friccional es poden combinar per produir
un model més complex, que denominarem model elàstic-friccional, mitjançant la
disposició en sèrie d’un element elàstic, de paràmetre E , i d’un element de
fricció, de paràmetre � e que denominarem límit elàstic, tal com es mostra en la
Figura 8-12. Sigui � la tensió que actua al model i � la deformació total
d’aquest. En estar col·locats els dos elements bàsics en sèrie, es verificarà que la
tensió que actua sobre cada un és la mateixa. D’altra banda, podem
descompondre la deformació total com la suma de la deformació
245
8 Plasticitat
experimentada per l’element elàstic ( � e ) més la deformació experimentada pel
dispositiu friccional ( � f ), i el mateix es podrà fer a nivell incremental:
� ��e ��
f
�
�
� � ��e � � f � � � f � Descomposició
E
�
�
E
� � additiva de
� la deformació
�
e
f
�� � �� � ��
�
Element de fricció
E
�e
(8.21)
Element elàstic
�
�f
�e
�
Figura 8-12 – Element elàstic-friccional
Tenint en compte el comportament tensió-deformació de cada un dels
elements bàsics que componen el model reològic, per al model combinat es
tindrà:
�
� �� � �� e
� � � e � �� f � 0 � �� � �� e � �
��� � E��
L’element de fricció no es deforma per a tensions � � � e , per la qual cosa
tota la deformació serà absorbida per l’element elàstic.
�
� � � e � �� f � 0 � � �
� � � �e
�
��f ��
f
e
E
��� � �� � �� � 0 � �� � 0
Tot increment de la deformació és absorbit per l’element de fricció amb un
increment de tensió nul.
�
� � �e
És incompatible amb les característiques de l’element de fricció.
A la Figura 8-13 es presenta la corba tensió-deformació per a un cicle càrregadescàrrega-recàrrega amb el model elàstic-friccional, que es pot descompondre
en els trams següents:
� Tram 0 � 1 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de càrrega elàstica.
Al final d’aquest, en el punt 1 , es té � � � e �
�e
. El valor final � e al final
E
d’aquest tram elàstic justifica la seva denominació com a límit elàstic.
246
8 Plasticitat
� �e
��f
�� �
� És un tram de càrrega
E
���� � �� f � 0
� Tram 1 � 2 : � � � e � �� f � 0 � �
friccional en el qual no es genera deformació en l’element elàstic (no es genera
deformació elàstica) i tot l’increment de deformació és absorbit per l’element
friccional.
� Tram 2 � 3 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de descàrrega
elàstica. Al final d’aquest, en el punt 3 es recobra l’estat inicial de tensió
nul·la ( � � 0 ). En conseqüència, en el punt esmentat la deformació elàstica
�
� 0 i, per tant, la deformació residual o irrecuperable és
E
� � � f � 0 ; és a dir, la deformació generada en l’element de fricció durant
el tram de càrrega friccional 1 � 2 no es recupera davant d’una relaxació
és � e �
eventual a zero de la tensió. Aquest fet permet qualificar al component
friccional de la deformació � f com una deformació irrecuperable o irreversible.
� Tram 3 � 4 : � � � e � �� f � 0 � �� � �� e � És un tram de recàrrega elàstica
similar en 0 � 1 , però amb tensió de compressió ( � � 0 ). Durant aquest no
es modifica el component friccional de la deformació i el valor final, en el
punt 4 , de la deformació elàstica és � e � �
�e
.
E
�
�
��� e ��f
� És un tram de recàrrega
E
���� � �� f � 0
�
� Tram 4 � 5 : � � � e � �� f � 0 � �
friccional durant el qual es genera
deformació friccional negativa
( �� f � 0 ), per la qual cosa el
valor total de la deformació de
fricció va disminuint fins
anul·lar-se en el punt 5
�
(caracteritzat per � � � � � e i
E
� f � 0 ). Una descàrrega elàstica
�
0
e
eventual en el punt esmentat
determina la tornada a l’estat
inicial 0 .
1
�e
2
E
3
�
�e / E
5
� �e
4
Figura 8-13 – Corba tensió-deformació
d’un model elàstic-friccional
8.4.4 Model de fricció amb enduriment
Considerem el model reològic de la Figura 8-14 compost per un element elàstic
(caracteritzat per un paràmetre H � , que denominarem mòdul d’enduriment) i un
element de fricció (caracteritzat pel límit elàstic � e ) disposats en paral·lel. La
disposició en paral·lel motiva que tots dos elements reològics comparteixin la
247
8 Plasticitat
deformació, mentre que la tensió total al model serà igual a la suma de la tensió
sobre l’element de fricció ( �(1) ) més la tensió que passa per l’element elàstic
( �(2) ):
��� � � (1) � � ( 2 )
�
���� � �� (1) � �� ( 2 )
(8.22)
� � �e � � f
�e
� (1)
�
�
H´
� ( 2)
�
Figura 8-14 – Model de fricció amb enduriment
Analitzant per separat el comportament de cada element es té:
a) Element de fricció:
� (1) � � e
�� f � �� � 0
� (1) � � e
�� f � �� � 0
� (1) � � e
impossible
(8.23)
b) Element elàstic:
��� ( 2) � H ´� e � H ´�
� ( 2)
���� � H ´�� e � H ´��
(8.24)
c) Combinant les equacions (8.23) i (8.24) s’arriba a:
( 2)
� (1) �| � � �
�| � � � H ´�
H ´�
(8.25)
D’acord amb les equacions (8.23) i (8.24) es poden establir les següents
situacions per al model reològic:
�
��� � �� (1)
��� f � �� � 0
��
� (1) � � e � � � H ´� � � e � � ( 2 )
e
��� � 0
��� � H ´�� � H ´�� � 0
Tota la tensió passa pel dispositiu friccional i la deformació és nul·la.
�
�� � (1) � � e
� �� ( 2 ) � �� � H ���
� (1) � � e � � � H ´� � � e � � ( 2 )
(1)
�� � � | � � � |
Tot increment de tensió és absorbit en la seva totalitat per l’element elàstic.
248
8 Plasticitat
A la figura 8-15 es presenta la corba tensió-deformació per a un cicle càrrega-descàrrega-recàrrega amb el model proposat i descomposta en els
trams següents:
� Tram
0 � 1:
��� ( 2 ) � E�� � 0
�
� (1) � � e � �� � 0 � � (1)
��� � ��
És
un
tram
caracteritzat perquè tota la tensió és absorbida per l’element de fricció. Al
final d’aquest, en el punt 1 , es té � � 0 i � � � e . El tram es pot
caracteritzar per la condició � � H ´� � � e .
�� � � e � � ( 2 )
� És un tram de càrrega en
( 2)
��� � �� � H ���
� Tram 1 � 2 : � (1) � � e � �
el qual tot l’increment de tensió és absorbit per l’element elàstic.
Globalment el model augmenta la seva capacitat de resistir la tensió (i es
diu que el model s’endureix) proporcionalment a l’augment de deformació,
sent el factor de proporcionalitat el mòdul d’enduriment H � . El tram es pot
caracteritzar per la condició � � H ´� � � e .
��� (1) � ��
� És un tram en el qual la
( 2)
��� � 0
� Tram 2 � 3 : � (1) � � e � �� � 0 � �
tensió en l’element friccional disminueix, amb un increment de deformació
nul i mantenint-se constant la tensió en l’element elàstic. Aquest estat es
pot prosseguir fins a invertir-se totalment la tensió en l’element friccional.
Així, en el punt 3 es té � (1) � �� e . El tram es pot caracteritzar per la
condició � � H ´� � � e .
�� � ��e � �( 2 )
� La situació és simètrica
(2)
��� � �� � H ���
(1)
� Tram 3 � 4 : �
� � �e � �
�� e
respecte al tram 1 � 2 amb l’element elàstic disminuint la tensió que
suporta, fins anul·lar-se en el punt 3 , on � (1) � �� e i � ( 2) � 0 . El tram es
pot caracteritzar per la condició � � H ´� � � e . Més enllà d’aquest punt es
pot relaxar la tensió en l’element de fricció fins a arribar a l’estat original 0 .
2
�
�e
� � H ´� � � e
1
H�
�e
�e
0
3
� �e
� � H ´� � � e
�
4
Figura 8-15 – Corba tensió-deformació d’un model de fricció amb
enduriment
249
8 Plasticitat
8.4.5 Model elàstic – friccional amb enduriment
Combinant ara un element elàstic, de mòdul elàstic E , en sèrie amb el model
friccional, amb enduriment H � i límit elàstic � e , de l’apartat 8.4.4, s’arriba al
model elàstic-fricció amb enduriment de la Figura 8-16.
�e
�1
E
H´
�
�2
�f
�e
�
Figura 8-16 – Model elàstic-friccional amb enduriment.
De les equacions d’equilibri de tensions i de compatibilitat de deformacions al
model (vegeu la Figura 8-16), tindrem:
Descomposi ció
�� � � e � � f
� additiva de la
�
e
f
��� � �� � ��
deformació
�� � � e � � f
�
e
��� � �� � ��
(8.26)
f
on � e i � f representen, respectivament, les tensions suportades per l’element
elàstic i el model de fricció amb enduriment. Combinant ara el comportament
d’un element elàstic (vegeu la Figura 8-8) amb el del model de fricció amb
enduriment de la Figura 8-14, es té per al model reològic proposat:
�
��� f � 0
� � H ´� f � � e � �
� �� � E ��
e
��� � ��
L’element de fricció amb enduriment no es deforma i l’increment de
deformació �� és absorbit en la seva totalitat per l’element elàstic. És el cas
que denominarem procés elàstic.
�
� � H ´� f � � e
a)
�� � 0 ; �� � 0
�
� � �� � 0 � �
ó
�� � 0 ; �� � 0
�
� �� � �� e � �� f �
��� � �� f � H ��� f
�
��
e
e
��� � �� � E ��
E � H�
1
1
�� �
�� �
�� �
E
H�
EH �
���� � E ef ��
� E ef � E H �
��
E � H�
L’increment de deformació és absorbit pels dos elements del model (el
friccional-endurible i l’elàstic). La relació entre l’increment de tensió
250
8 Plasticitat
�� i l’increment de deformació �� ve donada pel mòdul de deformació
elàstic-friccional E ef . Es tracta d’un cas que denominarem procés de càrrega
inelàstica.
b)
�� � 0 ; �� � 0
�
� � �� � 0 � �
ó
�� � 0 ; �� � 0
�
� �� f � 0 � �� � �� e � �� � E ��
Tot l’increment de deformació �� és absorbit per l’element elàstic. Es
tracta d’un cas que denominarem procés de descàrrega elàstica.
A la figura 8-17 es presenta la corba tensió deformació en la qual es poden distingir els trams següents:
� Trams 0 � 1 i 2 � 3 :
� � H ´� f � � e � �� � E �� . Corresponen a processos
elàstics.
� Trams 1 � 2 i 3 � 4 :
�� � � H ´� f � � e
� �� � E
�
��� �� � 0
ef
�� . Corresponen a
processos de càrrega inelàstica.
� � � H ´� f � � e
�
� Punt 2 : �
elàstica.
��� �� � 0
� �� � E �� . Correspon a un procés de descàrrega
Noteu que si H ´� 0 , llavors E ef � 0 i es recupera el model elàstic-friccional de
la Figura 8-13.
�
�e
Càrrega inelàstica
2
1
0
E
�e
E
�
�e
Elàstic
4
ef
3
Figura 8-17 – Corba tensió-deformació d’un model elàstic-friccional amb
enduriment
251
8 Plasticitat
8.5 Comportament fenomenològic
elastoplàstic
Considerem una barra d’acer de longitud � i secció A sotmesa a una força de
tracció F als seus extrems. La tensió a la barra serà � � F / A (vegeu la Figura
8-18) i la deformació d’aquesta es pot estimar com � �
�
, on � és
�
l’allargament de la barra. Sotmetent la peça esmentada a diversos cicles de
càrrega i descàrrega s’obté, típicament, una resposta, en termes de la corba
tensió-deformació � � � , com la indicada a la Figura 8-19.
�
�/2�
�/2
�
1
��
2
��F/A
Figura 8-18 – Assaig de tracció uniaxial
Analitzant el primer cicle s’observa que, mentre la tensió no supera el valor � e
(denominat límit elàstic) en el punt 1 , el comportament és elàstic lineal
caracteritzat pel mòdul elàstic E ( � � E� ) i no existeixen deformacions
irrecuperables (durant una descàrrega eventual es recupera la deformació
produïda durant la càrrega).
4
2
1
�e
E
E
E
0
2a descàrrega
1a descàrrega
�
3
5
�
p
�e
�
�
Figura 8-19 – Cicles càrrega-descàrrega-recàrrega
Per a tensions superiors a � e , el comportament deixa de ser elàstic i part de la
deformació no es recupera davant d’una reducció eventual a zero de la tensió
(punt 3 ), i apareix una deformació romanent denominada deformació plàstica � p .
Tanmateix, durant la branca de descàrrega 2 � 3 el comportament torna a ser,
almenys de forma aproximada, incrementalment elàstic ( �� � E �� ). El mateix
passa en la recàrrega 3 � 2 posterior i es produeix un comportament
incrementalment elàstic, fins que la tensió assoleix, en el punt 2 , el màxim
valor que havia assolit durant el procés de càrrega. A partir d’aquest punt el
comportament deixa de ser de nou incrementalment elàstic (com si el material
recordés la màxima tensió a què havia estat sotmès prèviament). Un següent cicle
càrrega-descàrrega-recàrrega 2 � 4 � 5 � 4 posa novament de manifest que
durant el tram 2 � 4 s’ha generat més deformació plàstica, que apareix en
252
8 Plasticitat
forma de deformació permanent en el punt 5 , i també més deformació elàstica � e ,
entesa com aquella part de la deformació que sí que es recupera durant el tram
de descàrrega 4 � 5 .
8.5.1 Efecte Bauschinger
Considerem una proveta d’un material verge (que no ha sofert prèviament
estats de deformació inelàstics) sotmesa a un assaig de tracció uniaxial i una altra
proveta del mateix material verge sotmesa a un assaig de compressió uniaxial. Per
a certs materials (denominats isoresistents) les respostes que s’obtenen en tots
dos assajos, en termes de la corba tensió-deformació � � � de la Figura 8-20,
són simètriques respecte a l’origen. És a dir, que en l’assaig a tracció la resposta
és elàstica fins a un valor de � � � e (límit elàstic a tracció) i en l’assaig a
compressió la resposta és també elàstica fins a un valor de � � � � e (límit elàstic a
compressió), sent la resta de les dues corbes (per a un suposat règim de càrrega
monòton) també simètriques. Direm en aquest cas que la corba tensiódeformació del material verge és simètrica a tracció i compressió.
N O T A
Aquest procediment es
coneix com estirament en
fred i té com a finalitat
obtenir un límit elàstic
aparent del material
superior al del material
verge � f � � e .
Suposem ara que realitzem un assaig de compressió sobre una proveta que ha
estat sotmesa prèviament a una història de deformacions plàstiques, per exemple a un
cicle de càrrega-descàrrega a tracció com el 0 � 1 � 2 � 3 en la Figura 8-19
(estirament en fred), i sigui � f � � e la màxima tensió a què ha estat sotmès el
material durant el procés de càrrega. Un hipotètic comportament simètric
portaria a fer que el material tingués ara un comportament elàstic en el rang de
tensions �� � f , � f �. Tanmateix, en certs casos, el comportament elàstic a
compressió acaba molt abans (vegeu la Figura 8-20). Aquest és l’efecte conegut
com efecte Bauschinger o enduriment cinemàtic. Observeu que la corba tensiódeformació del model elàstic-friccional de la Figura 8-17 presenta aquest tipus
d’enduriment.
Corba del material verge
�
�f
�e
1
E
E
Corba del material estirat
�
� �e
Corba sense efecte Bauschinger
��f
Figura 8-20 – Efecte Bauschinger
���
�������������
��������������
������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
���������
��� ���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��� ��������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
��������������
��� ���������������������������������������������������������������
�������������������������
����������� ������������ ��� ��� ������������ ��
������������
� � � �
���������������������
�������������������
���������������������
��������������
����������������������
�������������������
����������������������
��������������������������
�����
��� ������������� �������������� ���������� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� ����
���������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������
���� ������ ��������� ��� �������� ��
���������������������
���������� ���������� ��� ������������
������������������ ���� ��� ��� ��� ������
��
���������������������������������������
� � ��
���� ������ ��� ��������� ����������� �
� ��
������������� ���� ���� ��� ��� ������� �����
��� ��������������� �� ��������� ����������
��
���������� ��� ������������ ��� ���������
��
���������������
���������������
��
������� ����� �� ������ ��������� �������
���������������������������������������
������ �������������� ��������� ��� ��� ������������ ��������
������������
��������������������������������� � �������������������������������������� � �
��� ����������� �������������� ���� ��� ������� ���� ��� ����� ��� ������� �� ���
�������������������� � � �����������������������������
254
8 Plasticitat
Descomposi ció additiva
de la deformació
�
�� � � e � � p
� d� � d� e � d � p
�
�
� � e d�
� e �
�
�
�
� d� �
E
E
�
�
(8.27)
on E és el mòdul elàstic. Es defineix, a més, la variable d’enduriment �(�, � p )
mitjançant l’equació d’evolució:
N O T A
S’utilitza aquí la funció
signe definida
mitjançant:
Variable d' enduriment � �
x � 0 � sign( x) � �1
x � 0 � sign( x) � �1
� d� � sign (� ) d� p
�
�d� � 0
�� p � 0
� � �0
(8.28)
Observació 8-9
Observeu que la variable d’enduriment � és sempre positiva, d’acord
amb la seva definició en l’equació (8.28) i que, prenent mòduls en
l’expressió d� � sign(�) d� p , s’arriba a:
d� � d� � sign(�) d� p � d� � d� p
�
���
�
�1
Així doncs, per a un procés monòton creixent de la deformació
plàstica les dues variables coincideixen:
d� p � 0 � � � �
�p
0
�p
d� p � � d� p � � p
0
Tanmateix, si el procés no és monòton creixent, la deformació
plàstica pot disminuir i el seu valor ja no coincideix amb el de la
variable d’enduriment � .
8.6.2 Domini elàstic. Funció de fluència. Superfície de fluència
Es defineix com a domini elàstic en l’espai de tensions l’interior del domini tancat
per la superfície F ��, � � � 0 :
�
Domini elàstic � E� :� � � R
�
F ��, � � � 0
(8.29)
on la funció F ��, � � : R � R � � R es denomina funció de fluència plàstica.
Es defineix com a domini elàstic inicial E 0� el domini elàstic corresponent a una
deformació plàstica nul·la ( � p � � � 0 ):
Domini elàstic inicial � E�0 :� �� � R
F �� ,0� � 0�
(8.30)
Un requeriment addicional al domini elàstic inicial és que contingui a l’estat de
tensió nul·la:
���
�������������
� � � �� � � ���� � � �
������
������������������������������������������������������������������������
��������������������������� � � ����� � � � � � ���
������
��� � � �� � � � �������������������������������������������������������������� � � � ����
��� ������� ��� ��������� ��� ��� ������ �������� � � � ������� ��� ������� ������� ��� ������
� � �� � � � � � � � �������������������������������
�� �
��
� ��
�� �
�� � � � ���
� � ���
� � �� ���������
�� �
������������
���
��
�� �
�
�
�����������������
����������� � �
�
� � � ���
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
�
�
���������������������� � ��� �� � �� �� � ���� � � � � � � �� � � �
������
��� ������� �������� � � � ���������� ���� ��� ���� �������� �� � � ����������� �������
��������������������������������� � � �
�������� �
�
��������� � � �� � �� � ��� � � �� � ����� � � � � ��� � �
�������������
�
�
������
������������������������������������������������������������������������������������
������������������������ � � ���������������������������������������������������
�������� ��� ��� ����������� ��� ��������� ������� �� ��� �������� ��� ��������� �����������
�����������������������������������
�� ����������������������
� ����� � � � � � � � ��� � ��
��� � �� �
�� ���������������������������
� ����� � � � � � � � ��� � ��
��� ���� �
� ����� � � � � � � � ��� � �����������������������������
������
256
8 Plasticitat
Observació 8-10
Observeu en l’equació (8.34) la dependència de l’espai de tensions
admissibles amb la variable d’enduriment � . El domini admissible
evoluciona amb la tensió de fluència � f (�) de la forma:
�
�
E � � � � f (�), � f (� ) (vegeu la Figura 8-22).
8.6.3 Equació constitutiva
Per caracteritzar la resposta del material es defineixen les situacions següents:
�
Règim elàstic:
� � E � � d� � E d�
�
Règim elastoplàstic en descàrrega:
� � �E �
�
� � d� � E d�
dF (�, �) � 0�
�
(8.36)
(8.37)
Règim elastoplàstic en càrrega plàstica:
� � �E �
�
ep
� � d� � E d�
dF (�, �) � 0�
(8.38)
on E ep és el denominat mòdul de deformació elastoplàstic.
Observació 8-11
La situació � � �E � i dF (�, �) � 0 no es pot donar, ja que si
� � �E � � (de l’equació (8.33)) F ��, � � � � � � f �� � � 0 .
Si, a més, dF (�, �) � 0 �
F �� � d�, � � d� � � �
F���
��
,�
� � � dF (�, �) � 0
�
���
�
�0
�0
i, d’acord amb l’equació (8.35) l’estat tensional � � d� seria no
admissible.
8.6.4 Llei d’enduriment. Paràmetre d’enduriment
La llei d’enduriment proporciona l’evolució de la tensió de fluència plàstica
� f (�) amb el paràmetre d’enduriment � (vegeu la Figura 8-22). Encara que la
llei d’enduriment esmentada pot ser més general, és freqüent (i moltes vegades
suficient) considerar una llei d’enduriment lineal del tipus:
� f � � e � H � � � d � f (� ) � H � d �
on H � rep el nom de paràmetre d’enduriment.
(8.39)
257
8 Plasticitat
8.6.5 Mòdul de deformació elastoplàstic
El valor del mòdul de deformació elastoplàstic E ep de l’equació (8.38) es pot
calcular com segueix. Considerant el règim elastoplàstic en càrrega plàstica, de
l’equació (8.38):
N O T A
S’utilitza aquí la
propietat:
dx
dx
� sign(x)
� � �E � � F ��, � � � � � � f �� � � 0�
��
dF (�, �) � 0
�
(8.40)
d � � d� f �� � � 0 � sign(�) d� � H � d � � 0
on s’ha tingut en compte l’equació (8.39). Considerant ara l’equació (8.28)
( d� � sign(�) d� p ) i substituint en l’equació (8.40):
sign(�) d� � H � sign(�) d� p � 0 �
d� p �
1
d�
H�
(8.41)
Considerant ara la descomposició additiva de la deformació (8.27) i l’equació
(8.41):
�
d� � d� e � d� p �
�
1
1
1
1 �
�
�1
d � e � d � � � d� � d � �
d� � � �
d� �
�
� ��
E
E
H
E
H
�
�
1
�
d� �
d� p �
H�
�
(8.42)
�d� � E ep d�
�
d� �
d� � � ep
H�
1
1
�E � E
�
�
E � H�
E H�
1
8.6.6 Corba tensió-deformació uniaxial
Amb l’equació constitutiva definida per les equacions (8.36) a (8.38), podem
obtenir la corba tensió-deformació corresponent per a un procés uniaxial de
càrrega-descàrrega-recàrrega (vegeu la Figura 8.22) en el qual podem observar
els trams següents:
� Tram 0 � 1 : � � � e � � � E � � Règim elàstic. D’acord amb l’equació (8.36),
d� � E d� i el comportament és elàstic-lineal definint una branca elàstica
del diagrama tensió-deformació.
F (�, �) � � � � f (�) � 0 � � � �E � ��
� � Règim elastoplàstic en
��
dF (�, �) � 0
càrrega plàstica. D’acord amb l’equació (8.38), d� � E ep d� definint una
� Tram 1 � 2 � 4 :
branca elastoplàstica.
� Tram 2 � 3 � 2 : F (�, � ) � � � � f (�) � 0 � � � E � � Règim elàstic.
���
�������������
������������������������������ �� � � �� ������������������������������������
�����������������������������
��
��
��
� ��
� � ���
� ��� � � � �
��
� ��� �� � �
��
�
��
���
�
��
� ��
��
�� �
��
��
��
��
� � ��
��
�
��
���
��
� � ��
� ��
� � � ���
��������������������������������������������������������������������������
�����������������������������
���������������
��� ��� ����� � � ��� ��� ������� ����� � ��� ������ ������������ ���� ���
�������������������
�� � ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� �
� ����������� ��������� ���� ��
�
���� ��� �� � � �
������� � � � �
�� � ��� �� � � � � � ��� � � � � � �� �
� �������� ��������� ���� ��
�
���� ��� �� � �
������� � � � �
���������������
�����������������������������������������������������������������
��� �������� ��������� ������ ��� ������� ��������������� ������� ��� ������� ��
����
259
8 Plasticitat
Branca elastoplàstica
�
�f
d� � E d� e
E ep
�e
d� e
d� p
E
d�
Branca elàstica
1
�p
�
�e
Figura 8-24 – Generació de deformació plàstica a la branca elastoplàstica
Observació 8-14
Observeu la similitud del diagrama tensió deformació de la Figura
8-23 amb l’obtingut amb el model reològic elàstic-friccional amb
enduriment a l’apartat 8.4.5 (Figura 8-17). La deformació de fricció
� f en el model esmentat és equivalent a la deformació plàstica � p en
la teoria incremental de la plasticitat.
Observació 8-15
N O T A
El paràmetre d’enduriment H � juga un paper fonamental en la
definició del pendent E ep de la branca elastoplàstica. D’acord amb
l’equació (8.42):
El cas de plasticitat
amb ablaniment per
deformació presenta
una problemàtica
específica, respecte a la
unicitat de la solució
del problema
elastoplàstic, que queda
fora de l’abast d’aquest
text.
E ep � E
H�
E � H�
i, en funció del valor de H � , es poden definir les situacions següents
(vegeu la Figura 8-25):
H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat amb enduriment per deformació. El cas límit
H � � � � E ep � E recobra el comportament elàstic lineal.
H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat perfecta.
H � � 0 � E ep � 0 � Plasticitat amb ablaniment per deformació. El cas límit
es troba a H � � � E � E ep � �� .
H ´� �
�
E
�e
ep
�
�0
H ´� 0
�e
H ´� 0
E
E ep � 0
E
1
1
�
H ´� � E
�
Figura 8-25
���
�������������
����������������������������������
���������������������������������������������������������������������� ���������
����������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������
��� ���������������������������������������
�����������������������
�
����������������
�
�
�
�
��� � � � �
��� � � � � � � �
�
� �
�
��
�
��
�� � � � �
�� � � � � � �
������
��� � �� �������������������������������������������������������������������
��� ���������������������� � ���������������������������������������
�
� �� � �� �
� �� � �
������������� � ��
��
�� � � �
� ������
�
������
��� � ��������������������������������������� � ��� �� �����������������������������������
��� �����������������������������������������������������������
������������������
��������������������
��������
����������
����� � �� � � � �� � � �
�
� � � � � � �� � � � � ����� �� ���������� �
��
� ��
�
�
��������������
����������������� � �� �� �
�
���������������������� � ��� �� �
�
���������������������� � ��� �� �
����������������������
�����������������
�������������������
�
�����������
�����������
�
�
� �� �� � � �
�
� �� ��� � �
������
�
� ���� � � �
�
� �� � �� � ��� � �
�
� � �� �� � � �
��� ���� � � ������������������������������������������� � � �����������������������������
�������������������������������������������������������������� � � ��� �������������
��������������������������������������� � � �����������������������������������
���������������������������������������������������������������� � � ��������������
����������������������������� � �����������
� � � � � � �������������� ������ � ��������������������������
� � � � � � ���������������� ������ � ��������������������������
� � � ��������������������
� � � � � � ��������������������������� � ��
������
261
8 Plasticitat
4. Condicions de càrrega-descàrrega (condicions de Kuhn-Tucker) i de consistència
Condicions de
�
� � � � 0 ; F (�,� ) � 0 ; � F (�,� ) � 0
càrrega - descàrrega �
(8.47)
Condició de �
� � F (�,� ) � 0 � � � dF (�,� ) � 0
consistència �
Les condicions de càrrega-descàrrega i de consistència són un ingredient
addicional, respecte al cas unidimensional, que permeten obtenir, després
d’alguna manipulació algebraica, el multiplicador plàstic � en l’equació (8.44).
8.7.1 Equació constitutiva
De forma similar al cas uniaxial, l’equació constitutiva distingeix entre les
situacions següents:
�
Règim elàstic:
� � E � � d� � C : d�
�
(8.48)
Règim elastoplàstic en descàrrega:
� � �E �
�
� � d� � C : d�
dF (�, �) � 0�
�
(8.49)
Règim elastoplàstic en càrrega plàstica:
� � �E �
�
ep
� � d� � C : d�
dF (�, �) � 0�
(8.50)
on C ep és el denominat tensor constitutiu elastoplàstic que, després d’algunes
operacions algebraiques tenint en compte les equacions (8.43) a (8.47), s’escriu
de la manera següent:
�G �F
�
C:
:C
�
� ep
�� ��
�C (�� � � � �
�F
�G
�
:C:
H��
��
��
�
�
�
�G
�F
�
Cijpq
Crskl
�
�� pq �� rs
ep
�C � C �
ijkl
�F
�G
� ijkl
C pqrs
H��
�
�� pq
��rs
�
(8.51)
i, j , k , l , �{1, 2,3}
8.8 Superfícies de fluència. Criteris de falla
Un ingredient fonamental de la teoria de la plasticitat és l’existència d’un
domini elàstic inicial E 0� (vegeu la Figura 8-26) que es pot escriure de la forma:
262
8 Plasticitat
E �0 :� ��
F (�) � �(�� � � e � 0�
(8.52)
i que determina un domini a l’espai de tensions delimitat per la superfície de
fluència inicial �E 0� :
�E 0� :� ��
F (� ) � �(�� � � e � 0�
�3
�E 0� :� ��
E �0 :� ��
o
(8.53)
�(�� � � e �
�(�� � � e �
�2
�1
Figura 8-26
Atès que el domini elàstic inicial conté l’origen de l’espai de tensions (� � 0) ,
tot procés de càrrega en qualsevol punt del medi inclourà un règim elàstic
(mentre la trajectòria de tensions romangui a l’interior de E 0� , vegeu la Figura
8-26) que acabarà en l’instant en què la trajectòria esmentada assoleixi la
superfície de fluència �E 0� . La superfície de fluència inicial exerceix llavors un
paper indicador de l’instant de falla (entès com a fi del comportament elàstic)
independentment del possible comportament post-falla (comportament plàstic)
que s’iniciï més enllà de l’instant esmentat. D’aquí la importància de la
superfície de fluència inicial i l’interès de formular les equacions matemàtiques
que la determinen de forma adequada per als diferents materials d’interès en
l’enginyeria.
N O T A
El fet que la superfície
de fluència, entesa com
un ingredient
addicional de l’equació
constitutiva, sigui
independent del
sistema de referència
caracteritza un
comportament
elastoplàstic isòtrop.
Per tal de fer la superfície de fluència independent del sistema de referència
(material isòtrop), encara que es formuli en l’espai de tensions principals, la
seva equació matemàtica se sol plantejar en funció dels invariants tensionals:
F (�) � F ( I 1 , J 2� , J 3� )
(8.54)
i, ja que s’adopta el criteri �1 � � 2 � � 3 , la seva definició només afectarà el
primer sector de l’espai de tensions principals, estenent-se automàticament, per
les condicions de simetria (vegeu l’Observació 8-7), als sectors restants de la
Figura 8-7.
8.8.1
Criteri de von Mises
En el criteri de von Mises es defineix la superfície de fluència mitjançant:
Criteri de von Mises � F (�) � � �� � � � e � 3 J' 2 � � e � 0
(8.55)
���
�������������
��� ��� � � �� �� � ��� ��� ������� ��������� � ������� ������������� �������� ���� ���������
������������ ������� ������������ ���� ���������� ������� �� ������� �� ���������������� ��
���������������������������
� �� � �
�
�
���
�
� � � � � �� � � � � � � ��� � � � �
�
�
�
� �� �
� �� � �
������
���������������������������������������������������������������������������������
����������������
�� �
�
��
�
� ��
�� �
� ��
� ��
� ��
� ��
��
��
�
��
�
� ��
����������������������������������
���������������
��������������������������������������������������������������������
��������� ��� ���� ������ ���������� ���� ������ ���������� ���� ������� ��
��������� � �� ����������������������������������������������������������
��������������� ���� ��� ������� ������ ��� � �� �� ��� ����� ����� ��������� ��
��������������������������������������������������������
���������������
���������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
��� �������� ���� ��� ������������ ������ ��� ������������� �������� �� ��
��������������������������������������������������������������������
�������������
264
8 Plasticitat
Exemple 8-2 Obteniu l’expressió del criteri de von Mises per a un cas de tensió uniaxial.
Resolució
Per a un cas de tensió uniaxial, caracteritzat per l’estat tensional:
�u
�u
�� u
��� 0
�
�� 0
0 0�
0 0�
�
0 0��
resulta ser (vegeu l’Exemple 8-1) � � � u i substituint a l’equació (8.55):
F (�) � ��� � � � e � � u � � e
i el domini elàstic inicial queda caracteritzat, de la mateixa forma que per al cas
de plasticitat unidimensional de l’apartat 8.6.2 , per la condició:
F (�) � 0 � � u � � e
Exemple 8-3 Obteniu l’expressió del criteri de von Mises per a un estat tensional típic de
flexió composta en bigues.
Q
Resolució
M
N
� xy
y
�x
x
L’estat tensional per a un cas de flexió composta resulta ser:
�� x
� � �� xy
�
�� 0
� xy
0
0
�2�
�3 x
0�
�
1
1
0� � � m � � x � ��� � � � � � x 1 � � � xy
�
3
3
�
0��
� 0
��
1�4
1
1
1
� 1
J 2� � �� � : � � � � � 2x � � 2x � � 2x � � 2xy � � 2xy � � � 2x � � 2xy
2�9
9
9
2
� 3
� � 3 J 2� � � 2x � 3� 2xy �
F (�) � 0 � � � � e �
� xy
1
� �x
3
0
�
�
�
0 �
�
1
� �x�
3 ��
0
���
�������������
� �� � � �� � �� ��� � � �
����������������������� � �� � � �� � �� ��� ������������������������������������
���������������������������������������������� � � ���������������������������������
��������������������������������������
������ ��������������������������������������������������
��� �������� ��� ������� ��� ������� ������ ���� �� �������� ��� ��� ������� ������� �������� �
���������� ���� ��� ������� �������� ����������� ���� �� ��� ����� ����� ���� ������ ����� ��
�����������������������������������������������������������������������������
� ���� ������������������������������������������������ � � �
� ���� �
�� � � � � �
�
�
�
������
��� ��� ������� ����� ��������������� ��� ��������� �������� ��� ������� ��� ������� ��
����� ��� ����� ������������ ��� ��� ������� ��� �������� ��� ��� ����� ��� ������� ��
��������� ���� ��� ���������� ��� ������������� �������� ������ ����� ��� ������� ��� ����
� ���� �������������������������� � � � ���� � � � � �
��
���������������������
� ���� �
� ��
� ��
� ��
�� � � � � �
�
�
�
��
�����������
����������������������������������������������������������������������������������
����
����������������� � � ��� � �� � � � � � � � � � �
���������������
�������������������������������������������������������������������
������������������ � �� ��� � �� ������������������������������������� � � �
����������������� � � ��� � ��� � �� � � �� � � � � �� �� �� �
������
266
8 Plasticitat
A la Figura 8-29 es presenta la corresponent superfície de fluència a l’espai de
tensions principals, que resulta ser un prisma hexaèdric amb l’eix de tensió
hidrostàtica.
Eix de tensió hidrostàtica
�3
von Mises
�3
Tresca
�2
�1
�
�1
�2
�
�1 � � 2 � � 3
Figura 8-29 – Criteri de Tresca
Observació 8-19
En no dependre del primer invariant de tensions (i, per tant, de la
tensió � oct , vegeu l’equació (8.16)), la superfície de fluència del criteri
de Tresca no depèn de la distància de l’origen al pla octaèdric que
passa pel punt (vegeu l’Observació 8-4), per la qual cosa si un punt de
l’espai de tensions, caracteritzat pels seus invariants ( I 1 , J 2� , J 3� ) , està
sobre la superfície de fluència, també ho estaran tots els punts de
l’espai de tensions amb els mateixos valors de ( J 2� , J 3� ) . Aquesta
circumstància qualifica la superfície de fluència com una superfície
prismàtica l’eix de la qual és l’eix de tensió hidrostàtica. D’altra banda,
la dependència dels dos invariants ( J 2� , J 3� ) impedeix que, com passa
amb el cas de la superfície de von Mises, es tracti d’una superfície
cilíndrica. En definitiva, les condicions de simetria estableixen que la
superfície del criteri de Tresca sigui un prisma hexagonal inscrit en el
cilindre de von Mises (vegeu la Figura 8-29).
Exemple 8-4 Obteniu l’expressió del criteri de Tresca per a un cas de tensió uniaxial.
Resolució
Per a un cas de tensió uniaxial, caracteritzat per l’estat tensional:
�u
�u
�� u
��� 0
�
�� 0
0 0�
0 0�
�
0 0��
267
8 Plasticitat
a) � u � 0
b) � u � 0
�1 � � u �
� � F ��1 , � 2 , � 3 � � (�1 � � 3 ) � � e � � u � � e � � u � � e
�3 � 0 �
�1 � 0 �
� � F ��1 , � 2 , � 3 � � (�1 � � 3 ) � � e � �� u � � e � � u � � e
�3 � �u �
i el domini elàstic inicial queda caracteritzat, de la mateixa forma que per al cas
de plasticitat unidimensional de l’apartat 8.6.2, per la condició:
F (�) � 0 � � u � � e
Observació 8-20
El criteri de Tresca s’utilitza per modelar el comportament dels
metalls de forma similar al cas del criteri de von Mises (vegeu
l’Observació 8-17).
8.8.3 Criteri de Mohr-Coulomb
El criteri de Mohr-Coulomb es pot considerar una generalització del criteri de
Tresca, en el qual la màxima tensió tangencial resistida depèn del mateix estat
tensional en el punt (vegeu la Figura 8-30). La línia de falla, a l’espai del cercle
de Mohr, és una recta caracteritzada per la cohesió c i l’angle de fricció interna
� , considerats propietats del material:
� � c � � tg �
(8.59)
La finalitat del comportament elàstic (falla) en un procés de càrrega creixent, es
produeix quan un primer punt del cercle de Mohr (corresponent a un cert pla)
assoleix la línia de falla esmentada.
�
c - cohesió
c
� - angle de
fricció
interna
Zona de plastificació
� � c � � tg �
�
�3
�2
�1
Figura 8-30 – Criteri de Mohr-Coulomb
�
La tensió tangencial en el pla esmentat, � , serà més petita com més gran sigui
la tensió normal � i, en aquest cas, és evident que el comportament d’aquest
model a tracció serà molt diferent del comportament a compressió. Tal com es
veu en la Figura 8-30, la línia de falla talla a l’eix de les tensions normals al
costat positiu d’aquestes, i limita així la capacitat del material de resistir
traccions.
268
8 Plasticitat
Per obtenir l’expressió matemàtica de la superfície de fluència, considerem un
estat tensional per al qual es produeix l’inici de la plastificació. En aquest cas, el
cercle de Mohr definit per les tensions principals major i menor serà tangent a
la línia de falla (vegeu la Figura 8-31) en el punt A , verificant-se:
�1 � � 3
�
cos �
�� A � R cos � �
�1 � � 3
2
� �
R�
� ��3
� � � 3 �1 �� 3
(8.60)
2
�� A � 1
� R sin � � 1
�
sin �
�
2
2
2
i substituint l’equació (8.60) a la (8.59), es té:
� A � c � � A tg �
� � A � � A tg � � c � 0 �
�1 � � 3
�� � � 3 � 1 � � 3
�
cos � � � 1
sin � � tg � � c � 0 �
�
2
2
2
�
�
� �� 1 � � 3 � � �� 1 � � 3 � sin � � 2c cos � � 0
�
Criteri de
Mohr- Coulomb
�F (�) � �� 1 � � 3 � � ��1 � � 3 �sin � � 2 ccos � �0
�
R�
A
�A
�
�3
� A �1
�1 � �3
2
� � c � � tg �
�
�
Figura 8-31
Observació 8-21
L’equació F (� ) � �� 1 � � 3 � � �� 1 � � 3 �sin � � 2c cos � � 0 (lineal en
� 1 , � 3 ) defineix un pla l’espai de tensions principals restringit al sector
� 1 � � 2 � � 3 . L’extensió, per simetrització als altres sis sectors (vegeu
l’Observació 8-7), defineix sis plans que constitueixen una piràmide,
de longitud indefinida, l’eix de la qual és l’eix de pressió hidrostàtica
(vegeu la Figura 8-32). La distància del vèrtex de la piràmide a l’origen
de l’espai de tensions és d � 3 c cot � .
Observació 8-22
La particularització � � 0 i c � � e / 2 en el criteri de Mohr-Coulomb
recobra el criteri de Tresca (vegeu les equacions (8.58) i (8.62)).
(8.61)
(8.62)
���
�������������
� ��
� ��
�
� � � ��� �
� ��
� ��
� ��
� ��
�������������������������������������
���������������
��������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������� � � �� ����������
������������ � �� � �� � ��� � � � � ��� ��������������������������������
���������������������������������������������������������������
�� �� � � �� � � � � � � �� � � � � � ��� � � �� ��� �
�����������������������������������������������������������������������
�������������������
��
� � ����������
� � �����������
���������������������
��
�����������������������
� � � � � � �� �
��
� ��
��
� � � � ��
�����������
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
���������������������������������������������������������
���
�������������
���������������
�������� ���������� ����������� �������������� ��� �������� ��� �����
������������������������������������������������������������������
� ���������
� � � � � � � � �� �� �� �� �� �
� ����� ����� �
���������������
��� �������� ��� ������������� �������� ������������� �������� ���� �
�����������������������������������������������������������������������
�������� ������������ ������������� ������ ���� ������� ��������� ���������� �
�����������������������
������ �������������������������
��� ����������� ��� ��������� ���� ��������� ��� �������� ��� ��������������� ��� ������
����������������
�
����������
� �� � � � ���� � � ��
��������������
� �
�� �
�� � �
������
���
��
� ����
� �� � �����
�
��
������ �
� �� � �����
�
�� �
�� � � � � � � � �
�
�
�
������
����� � � �� � � ��� �������� �� ������ ��� �������� ��������� ���������������� ���� ���
������������ ����������� ���� ���������� ������� ��� ������� ���� ������������ � ������
� �� �
��
� � ��� �� �� ������� � � ��� �
�
���������������
� �
�� � � � � �� � � ��
�� �
�
�� �� �� � ��� ��� �������� ��� ���� ��������� ��� ��
�
� � � ������ �
�
� � � � � ��� �� �� � � � �
� ���
� ��
� ��
�
�����
�������
������
��������
������
� ��
� ��
� � � ��� �
� ��
���������������������������������������
� ��
���
�������������
���������������
��� �������������� ���� ������� ����������� � �� �� ���������� ���� ��� ��
����������� ����� ��� �������� ��� ��������� ��� ������ ��� ����������� ��
�������������������������������������������������������������������� � � � � ��
������ ��� ������� ���������������� ���� ������ ���� ������� ���������� � �� �
����� ���� ������� ���������� ����� ����������� ���������� ������������ �
�������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
��� ��������� ����� ���� ����������� ��� ���������� ��� �������� ��� �����
���������� �� ����� ���� ���� ��� �������� ������ � ��� � �� � ��� ��� ���������
������� ��� �������� ��� ��������� ������ ����������� ������� ������ ��� ��� ����� ��
������ ��� ������� ������������� ������� ��� ������� ���� �� ������� �������� ��
��������������������������������������������������������������������������
� � � � ��� � �� ��� ���� ���������� ������ ���� ��� ����������� ��
�����������������������������������������������������������������
�������������������������������� � ������������������������������ � �
���������������
���������������������������������������������������������������������
������ ��� ������� ������������� ���������� ���� ���������� ���� ����� ��
������������� �������� ���� �� ������� ��� ������� ������������� ��� �������
�������� ���� ��� ��� ��� ���������� ��� ��� ������ �������� ���� ��� ���� ��
��������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
���������������������������
���������������
��� ��������� ���� ������ ��� ��� �������� ��� ������� ���� �� ���� ��������
�������� ������������� ��� ����������� ��� ��������� ��� ��������������
�����������������������������������
� ��
� ��
�����
�������
� ��
� ��
� ��
�����������
��������
������
� ��
272
8 Plasticitat
Observació 8-29
La particularització � � 0 i c � � e / 2 en el criteri de Drucker-Prager
recobra el criteri de von Mises (vegeu les equacions (8.55), (8.63) i
(8.64)).
9 Equacio n s
constitutives en fluids
9.1 Concepte de pressió
En mecànica de medis continus es fan servir diversos conceptes de pressió (pressió
hidrostàtica, pressió mitjana i pressió termodinàmica) que, en general, no són
coincidents.
9.1.1 Pressió hidrostàtica
Principi de Pascal
En un fluid en repòs l’estat tensional sobre qualsevol pla que passi per
un punt és el mateix i està caracteritzat per una tensió normal de
compressió.
D’acord amb el principi de Pascal, l’estat tensional d’un fluid en repòs està
caracteritzat per un tensor de tensions de la forma:
�� � � p 0 1
�
�� ij � � p 0 � ij
(9.1)
i, j �{1,2,3}
on p0 és la denominada pressió hidrostàtica (vegeu la Figura 9-1).
p0
x3
p 0 � pressió hidrostàtica
p0
ê 3
x2
x1
ê1
ê 2
p0
Figura 9-1 – Estat tensional en un fluid en repòs
Definició
Pressió hidrostàtica:
Tensió normal de compressió, constant sobre qualsevol pla, que actua
sobre un fluid en repòs.
274
9 Equacions constitutives en fluids
�
�
�1 � � 2 � � 3
�2
�3
�1
�
Figura 9-2
�1 � � 2 � � 3
�
Observació 9-1
El tensor de tensions per a un fluid en repòs és un tensor esfèric i la
seva representació al pla de Mohr correspon a un punt (vegeu la
Figura 9-2). Per tant, qualsevol direcció és principal i l’estat tensional
constitueix el que en el capítol 4 (vegeu l’apartat 4.8) s’ha denominat
estat tensional hidrostàtic.
9.1.2 Pressió mitjana
Definicions
Tensió mitjana:
Es defineix la tensió mitjana � m com:
�
m
�
1
1
Tr �� � �
�
3
3
ii
Pressió mitjana:
Es defineix la pressió mitjana p com la tensió mitjana canviada de
signe:
def
1
1
p �� pressió mitjana � �� m � � Tr ��� � � � ii
3
3
Observació 9-2
Per a un fluid en repòs, la pressió mitjana p coincideix amb la pressió
hidrostàtica p 0 :
� � � p0 1 � � m �
1
�� 3 p0 � � � p0 � p � p 0
3
En general, per a un fluid en moviment la pressió mitjana i la pressió
hidrostàtica no coincideixen.
Observació 9-3
La traça del tensor de tensions de Cauchy és una invariant del tensor
de tensions. En conseqüència, la tensió mitjana i la pressió mitjana
seran també invariants del tensor de tensions i, per tant, el seu valor
no dependrà del sistema de coordenades cartesià adoptat.
9 Equacions constitutives en fluids
275
9.1.3 Pressió termodinàmica. Equació cinètica d’estat
En les equacions constitutives de fluids o gasos intervé una nova variable
termodinàmica de pressió que s’anomena pressió termodinàmica i es denota com
p.
Definició
Pressió termodinàmica:
Variable de pressió que intervé en les equacions constitutives dels
fluids i gasos i que està relacionada amb la densitat � i la temperatura
absoluta � mitjançant la denominada equació cinètica d’estat,
F � p, �, �� � 0 .
Exemple 9-1
Un exemple típic d’equació cinètica d’estat és la llei dels gasos:
F � p, �,� � � p � �R� � 0 � p � �R�
on p és la pressió termodinàmica i R és la constant universal dels gasos.
Observació 9-4
Per a un fluid en repòs, la pressió hidrostàtica, la pressió mitjana i la
pressió termodinàmica, coincideixen:
fluid en repòs � p0 � p � p .
En general, per a un fluid en moviment, la pressió termodinàmica
p serà diferent de la pressió mitjana p i de la pressió hidrostàtica p 0 .
Observació 9-5
Fluid barotròpic: Es diu que un fluid és barotròpic quan en l’equació
cinètica d’estat no intervé la temperatura:
Fluid barotròpic � F � p, � � � 0 � p � f ( � ) � � � g � p �
Observació 9-6
Fluid incompressible. Un cas particular de fluid barotròpic és el fluid
incompressible, caracteritzat per tenir densitat constant
( �( x , t ) � k � constant ). En aquest cas l’equació cinètica d’estat es
pot escriure així:
F � p, �, �� � � � k � 0
i no depèn ni de la pressió ni de la temperatura.
276
9 Equacions constitutives en fluids
9.2 Equacions constitutives en mecànica de
fluids
A continuació considerarem el conjunt d’equacions, denominades
genèricament equacions constitutives, que cal afegir a les equacions de
conservació/balanç per a la formulació d’un problema de mecànica de fluids
(vegeu el capítol 6, apartat 5.13). Aquestes equacions es poden agrupar de la
manera següent:
a) Equacions constitutives termomecàniques
Expressen el tensor de tensions de Cauchy en funció d’altres variables
termodinàmiques, típicament la pressió termodinàmica p , el tensor
velocitat de deformació d (que es pot considerar implícitament una funció
de la velocitat d( v) � � S v ), la densitat � i la temperatura absoluta � :
Equacions constitutives �
termomecàniques
� � � � � p 1 � f �d, � ,� � (6 equacions)
�
(9.2)
b) Equació constitutiva de l’entropia
Una equació algebraica que proporciona l’entropia específica s en funció
de la velocitat de deformació, la densitat i la temperatura:
Equació constituti va �
de l' entropia
� � s � s �d, � ,� �
�
(1 equació)
(9.3)
c) Equacions constitutives de tipus “termodinàmic” o equacions d’estat
Són típicament l’equació calòrica d’estat, que defineix l’energia interna
específica u , i l’equació cinètica d’estat, que proporciona una equació per a la
pressió termodinàmica:
Equació calòrica d' estat � u � g �� ,� �
Equació cinètica d' estat � F �� , p,� � � 0
(2 equacions)
(9.4)
d) Equacions constitutives de tipus “tèrmic”
La més comuna és la denominada llei de Fourier, que estableix el flux de
calor per conducció q com:
�q � �k � ��
�
Llei de Fourier � �q � k �� i � {1,2,3}
ij
�� i
�x j
(3 equacions)
(9.5)
on k és el tensor (de segon ordre i simètric) de conductivitat tèrmica, que
és una propietat del fluid. Per al cas isòtrop, el tensor de conductivitat
9 Equacions constitutives en fluids
277
tèrmica és un tensor esfèric k � k 1 i depèn del paràmetre escalar k que és
la conductivitat tèrmica del fluid.
9.3 Equacions constitutives (mecàniques)
en fluids viscosos
Les equacions constitutives termomecàniques per a un fluid viscós es poden
escriure en general (vegeu l’equació (9.2)) com:
�� � � p1 � f �d, �, ��
�
�� ij � � p� ij � f ij �d, �, �� i, j � {1,2,3}
(9.6)
on f és una funció tensorial simètrica. Segons el caràcter de la funció f
s’obtenen els models de fluids següents:
a) Fluids de Stokes o stokesians: la funció f és una funció no lineal dels seus
arguments.
b) Fluids newtonians: la funció f és una funció lineal dels seus arguments.
c) Fluids perfectes: la funció f és idènticament nul·la. En aquest cas
l’equació constitutiva mecànica és: � � � p1 .
A continuació es consideraran únicament els casos de fluids newtonians i de fluids
perfectes.
Observació 9-7
La hipòtesi de fluid perfecte és molt freqüent en enginyeria hidràulica,
on el fluid amb què es tracta és l’aigua.
9.4 Equacions constitutives (mecàniques)
en fluids newtonians
N O T A
No es consideren aquí
les possibles
dependències de la
temperatura en
l’equació constitutiva.
L’equació constitutiva mecànica per als fluids newtonians es pot escriure com:
�� � � p1 � C : d
�
�� ij � � p� ij � C ijkl d kl
i, j �{1,2,3}
(9.7)
on C és un tensor constitutiu (de viscositat) constant de quart ordre. Com a
resultat de l’equació (9.7) s’obté una dependència lineal del tensor de tensions
� amb la velocitat de deformació d . Per a un fluid newtonià isòtrop, el tensor
constitutiu C és un tensor isòtrop de quart ordre.
�C � �1 � 1 � 2�I
�
�C ijkl � �� ij � kl � ��� ik � jl � � il � jk �
i, j , k , l �{1,2,3}
(9.8)
278
9 Equacions constitutives en fluids
Observació 9-8
Observeu el paral·lelisme que es pot establir entre les equacions
constitutives mecàniques d’un fluid newtonià i les d’un sòlid elàstic
lineal (vegeu el capítol 6):
Fluid newtonià
Sòlid elàstic lineal
��� � � p1 � C : d
�� � � p� � C
d
�� ij
ij
ijkl kl
��� � C : �
�� � C �
�� ij
ijkl kl
Substituint l’equació (9.8) en l’equació constitutiva mecànica (9.7), s’obté el
següent:
� � � p1 � ��1 � 1 � 2�I � : d � � p1 � �Tr (d)1 � 2� d
Equació constituti va
per a un fluid
newtonià isòtrop
�� � � p1 � �Tr(d) 1 � 2� d
��
�� ij � � p� ij � �d ll � ij � 2�d ij
(9.9)
i, j � {1,2,3}
(9.10)
Observació 9-9
Els dos paràmetres � i � corresponen físicament a viscositats
enteses com a propietats del material. En el cas més general, poden
no ser constants i dependre d’altres variables termodinàmiques:
� � � ��,� �
µ � µ ��,� �
Un exemple típic el constitueix una dependència de la viscositat amb
la temperatura del tipus �(�) � � 0 e � � ����0 � , que estableix que la
viscositat del fluid disminueix a mesura que augmenta la temperatura
(vegeu la Figura 9-3).
�
�0
Figura 9-3
�
9.4.1 Relació entre la pressió termodinàmica i la pressió
mitjana
En general la pressió termodinàmica, p , i la pressió mitjana, p , en un fluid
newtonià en moviment, seran diferents encara que estiguin relacionades entre
si. A partir de l’equació constitutiva (mecànica) d’un fluid newtonià (9.10) es
pot obtenir:
���
�����������������������������������
� � � � � ��� ��� � �� � �
�� � � � ��� �� � ��� �� ��� �� � ���� �� � � �� � � ��� � �� ��� �� � �
��
���
�� �
������
�
� � � � �� � �� �� �� � � � � ��� �� � �
�����
�
�
�
�
��� � � � � � ���������������������������������������������������
�
���������������������� � � � � � �
�
������
���������������������������������������������������������������������
� ��
��
� �� � � � � � � � � � �
��
� ��
������
�������������������������������
��� �� � � � �� �
�� �
����
�� �
������
����������������������������������������������
� � � � ��� � � � � �
� ��
� ��
������
������������������������������������������������������������
���������������
�������� ���� ���������� �������� ��� �������� �������������� �� ��� �������
�����������������������������������������������������������������
�� ��������������� � � � � � � � � � � �
� � � �
���������������������
������������������������
������������������������
�������������������
����������������
�������������
�� ��������������������� �
��
��� � � �
��
�� ��������������������������������� � ����������������������������
�
�� �� � � � � � � � �
�
280
9 Equacions constitutives en fluids
9.4.2 Equació constitutiva en components esfèrics i desviadors
a) Part esfèrica
De l’equació (9.15) es té:
p � p � K � � v � p � K Tr �d �
(9.16)
b) Part desviadora
Utilitzant la descomposició del tensor de tensions � i del tensor velocitat
de deformació d en els seus components esfèric i desviador, i substituint
en l’equació constitutiva (9.10):
1
� � Tr (���1 � �´� � p 1 � �´� � p 1 � �Tr (d) 1 � 2� d
3 ���
�3 p
� � � � p � p � 1 � �Tr �d �1 � 2�d � � K Tr �d �1 � �Tr �d �1 � 2�d ��
���
���
�
�K Tr �d �
�� 2 �
�
3
�
��
1
2
�
�
�
� � �Tr �d �1 � 2�d � 2� �d � Tr (d ) 1� � 2� d �
3�����
3
�
� ��
�
��
d�
(9.17)
�´� 2�d´
2
3
on s’han tingut en compte les equacions (9.16) i (9.12) ( K � � � � ).
9.4.3 Potència tensional, potència recuperable i potència
dissipativa
Utilitzant de nou la descomposició del tensor de tensions i del tensor velocitat
de deformació, en els seus components esfèric i desviador, es té:
� � � p1 � � �
,
1
d � Tr (d)1 � d �
3
(9.18)
i substituint en l’expressió de la densitat de potència tensional (per unitat de
volum) � : d , s’obté:
N O T A
Es fa servir aquí la
propietat que la traça
de tot tensor desviador
és nul·la.
1
� : d � (� p1 � � �) : ( Tr (d)1 � d �) �
3
1
1
� :1 �
� � p Tr �d � 1
: d � � Tr �d � �
: 1 � �� : d� � p 1
�
�
�
3
3
Tr (d �)�0 3
Tr (� �)�0
(9.19)
� � p Tr (d) � � � : d �
i substituint les equacions (9.16) i (9.17) en l’equació (9.19):
p � p � K � � v � p � K Tr �d ��
��
�´� 2�d �
�
� : d � �� p � K Tr (d)� Tr �d � � �� d � : d � �
(9.20)
���
�����������������������������������
� �� �
� ��� ���
� ��� � � � � � �� � � � �� � �� � ���
�����
��������������������
��
�����������
��������������������
���
�������������������������������� � �� � � ��� ���
��������������������������������
�
��� � ��� � ��� � ��� � � ��
������
������
��������������������������������������������������������������������������������
���� ��� ���� ������ ������������� � � �� �� ������������� � � �� ���� ������� ��� ��������
��������������
� � ��
� � � ��� ���� � �� � � �� � � � � � � �
�������
��
��
������
����� ������� ��� �������� ����������� ��� ������ ����������� ���� ������������ ��� ���
���������������������������������������������������������������������������������
����������
�� � � � ��� �� � � � ��� � � � � � �
�
�
��� � � ���� �� � � ��� � � � � � � � � �
������
� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ��
���������������
���� �� ��� ������ ���������������� ��� ��������� ������������ ��� �������� ��
�������� ���� ���� ��� ������ ���������������
������������ � � � � �
��
� � � �� ���� ���������� ��
��
� ��
� � � �� ��� ��� � � � � � ��� �� � � � �
� ��
���������������
����� ������� ��� �������������� ��� ��� ��������� ���������� �������� ��
������������������������������������������������
�� �
��
��
� � � � �� �
� � � � � �� � � � � � ��
�� �
�� �
�
�
�
�� �
�
��
� � � �� � �� � ��
�� �
�
�
�
�������������������������������������������������������� �� ��������������
����������������������������� � ������������������������������������������
������������
282
9 Equacions constitutives en fluids
9.4.4 Consideracions termodinàmiques
1) Es pot demostrar que, sota condicions molt generals, la potència
recuperable específica (per unitat de massa) és una diferencial exacta:
1
1
dG
WR � � R : d �
dt
�
�
(9.25)
En aquest cas, el treball recuperable, per unitat de massa, realitzat en un cicle
tancat serà nul (vegeu la Figura 9-4):
B�A
�
A
1
W R dt �
�
B�A
�
A
1
� R : d dt �
�
B�A
�
dG � G B � A � G A � 0
(9.26)
A
Això justifica la denominació de potència recuperable per a W R .
�1
A� B
�2
Figura 9-4
2) D’altra banda, el segon principi de la termodinàmica permet demostrar que
la potència dissipativa 2W D de l’equació (9.24) és sempre no negativa:
2W D � 0 � d � 0
2W D � 0
(9.27)
i que, per tant, en un cicle tancat el treball per unitat de massa realitzat per les
tensions dissipatives no serà, en general, nul:
B
1
: d dt � 0
� � ��D��
A
2WD �0
(9.28)
Això justifica la denominació de potència dissipativa (no recuperable) per a 2W D .
La potència dissipativa és responsable del fenomen de dissipació (o de pèrdua
d’energia) en els fluids.
Exemple 9-2 Justifiqueu per què un fluid newtonià incompressible en moviment, al qual
no es proporciona potència (treball per unitat de temps) des de l’exterior, tendeix a reduir la
seva velocitat fins a aturar-se.
Resolució
En ser el fluid incompressible, la potència recuperable és nul·la (vegeu
l’Observació 9-11). A més, se sap que la potència dissipativa 2W D és sempre
positiva (vegeu l’equació (9.27)). Finalment, aplicant el teorema de les forces
vives (vegeu l’Observació 9-12) es té:
0 � Pe �
dK d 1 2
dK
� W R dV � � 2 W D dV �
�
�v dV � � � 2W
D dV � 0
�
dt dt V� 2
dt V� �
V
V
�0
�0
i, per tant, el fluid perd (dissipa) energia cinètica i la velocitat de les seves
partícules disminueix.
283
9 Equacions constitutives en fluids
9.4.5 Limitacions en els valors de les viscositats
S’ha vist que, per consideracions termodinàmiques, la potència dissipativa 2W D
de l’equació (9.24) és sempre no negativa:
2W D � K Tr 2 �d � � 2�d � : d � � 0
(9.29)
Aquesta restricció termodinàmica introdueix unes limitacions sobre els valors
admissibles dels paràmetres de viscositat K , � i � del fluid. En efecte, donat
un cert fluid, la restricció esmentada s’ha de verificar per a tots els moviments
possibles (és a dir, camps de velocitats v ) d’aquest i, per tant, per a qualsevol
valor arbitrari del tensor velocitat de deformació d � � S (v) . Considerem, en
particular, els dos casos següents:
a) El tensor velocitat de deformació d és un tensor purament esfèric.
En aquest cas es tindrà:
Tr �d � � 0; d � � 0 � 2W D � KTr 2 �d � � 0 �
K� � �
2
��0
3
(9.30)
de manera que seran únicament factibles valors no negatius de la viscositat
volumètrica K .
b) El tensor velocitat de deformació d és un tensor purament desviador.
En la Figura 9-5 es presenta esquemàticament un d’aquests fluxos. En
aquest cas, de l’equació (9.29) es tindrà:
Tr �d � � 0 ,
d � � 0 � 2W D � 2�d � : d � � 2� d ij� d ij� � 0 �
���
�0
��0
y
v x ( y)
x
�v x ( y ) �
�
�
v ( x, y ) � � 0 �
� 0 �
�
�
�
�
�
1
d��
�2
�
�
�
0
� vx
�y
0
Figura 9-5
1 � vx
2 �y
0
0
�
0�
�
0� � d �
�
0�
�
�
(9.31)
10 Mecànic a de
fluids
10.1 Equacions del problema de mecànica
de fluids
Un fluid és un cas particular de medi continu que es caracteritza per les
equacions constitutives que li són pròpies. En conseqüència, el problema de
mecànica de fluids vindrà governat per les equacions següents:
a) Equacions de conservació/balanç
1) Equació de continuïtat
d�
� �� � v � 0
dt
(1 equació)
(10.1)
2) Equació de balanç de la quantitat de moviment
� � � � �b � �
dv
dt
(3 equacions)
(10.2)
(1 equació)
(10.3)
3) Equació de balanç d’energia
�
du
� � � d � �r � � � q
dt
4) Restriccions imposades pel segon principi de la termodinàmica
Desigualta t de
ds �
� du
� ���
�� � � � � d � 0
Clausius - Plank
dt �
� dt
Desigualtat de la
1
��
q � �� � 0
conducció de calor
�� 2
(10.4)
b) Equacions constitutives
5) Equació constitutiva termomecànica
� � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d
(6 equacions)
(10.5)
(1 equació)
(10.6)
6) Equació constitutiva de l’entropia
s � s(d, �, �)
286
10 Mecànica de fluids
7) Equació de conducció de la calor
q � �k��
c)
(3 equacions)
(10.7)
(1 equació)
(10.8)
(1 equació)
(10.9)
Equacions termodinàmiques d’estat
8) Equació calòrica d’estat
u � u ��, ��
9) Equació cinètica d’estat
F ��, p, �� � 0
Les incògnites del problema que apareixen en les equacions de govern són:
N O T A
Observeu que el tensor
velocitat de deformació
d no s’ha considerat
com a incògnita, en
considerar-lo
implícitament com una
funció de la velocitat
v.
� � 1 incògnita
�
�
v � 3 incògnites
�
� � 6 incògnites �
�
u � 1 incògnita
�
� � 17 incògnites
q � 3 incògnites �
� � 1 incògnita �
�
s � 1 incògnita
�
p � 1 incògnita �
�
(10.10)
Hi ha en total un sistema de 17 EDP amb 17 incògnites que, en general,
s’haurà de resoldre conjuntament, és a dir, de forma acoblada. Tanmateix, com
ja es va comentar en el capítol 5 (apartat 5.13.1), sota certes hipòtesis o
situacions, és possible plantejar un sistema d’equacions més reduït, denominat
problema mecànic, i resoldre de forma desacoblada per a un nombre més
reduït d’incògnites (variables mecàniques).
Considerem el cas d’un fluid barotròpic que es caracteritza perquè la temperatura
no intervé en l’equació cinètica d’estat, resultant:
Equació cinètica
d' estat
� F �� , p � � 0 � � � � � p �
que estableix que la densitat es pot
descriure mitjançant, únicament, la pressió
termodinàmica (vegeu la Figura 10-1).
Suposant, a més, que la temperatura no
intervé
en
l’equació
constitutiva
termomecànica (10.5), podem definir les
equacions de govern del problema mecànic
(desacoblat) d’un fluid newtonià com:
�
�0
p
Figura 10-1
1) Equació de continuïtat
d�
� �� � v � 0
dt
(10.11)
(1 equació)
(10.12)
287
10 Mecànica de fluids
2) Equació de Cauchy
� � � � �b � �
dv
dt
(3 equacions)
(10.13)
(6 equacions)
(10.14)
(1 equació)
(10.15)
3) Equació constitutiva mecànica
� � � p1 � �Tr (d) � 2� d
4) Equació cinètica d’estat
� � �� p �
Les incògnites del problema que apareixen en les equacions anteriors són:
� �1
v�3
� �6
p �1
incògnita �
incògnites ��
� � 11 incògnites
incògnites �
incògnita ��
(10.16)
Es té llavors un sistema reduït d’11 equacions amb 11 incògnites (problema
mecànic), que es pot resoldre de forma desacoblada de la resta del problema
(problema tèrmic).
10.2 Hidrostàtica. Fluids en repòs
Considerem a continuació els següents casos particulars en funció de la
velocitat del fluid:
a) Velocitat uniforme: v(x, t ) � v(t )
En aquest cas, la descripció espacial de la velocitat no depèn del punt i és
funció únicament del temps. Llavors:
d � �S v �
1
�v � � � � � v� � 0
2
(10.17)
Considerant, a més, l’equació constitutiva (10.14):
� � � p1
� � � p1 � �Tr (�
d) � 2� d
� �
�0
�0
(10.18)
que indica que l’estat tensional és hidrostàtic (vegeu la Figura 10-2). A més,
la pressió mitjana p i la pressió termodinàmica p coincideixen:
Tr (�) � �3 p � �3 p �
p� p
(10.19)
�
�
p
Figura 10-2
���
���������������������
�� ����������������������������������� �� � � � � � ��������
�
� � � � � � � � � � � � � � ��
��
��
� � ������������
� � � �� � �� � � � � �� ��
�������
�����������������������������������������������������������������������������
������������ ������� ����������� ��� ����� ���������� ���������� ������� ���� ��
��������������� �������� �� ���� ����� ���������� ��������������� � �� �������� � � �
������������� � � ��������������
�� ���������������� �� � � � � � �������� � �
����������������������������������������������������������������������������
������
�����������������������������������
���������������������������������������������������������������
��������������������������
�� � � � � �
�
�� �� � � � � � �� �� � ��������
�������
��� � � ���������������������������
���������������
��������������������������������������������������������������������������
���������������
������� ���������� �������� ��� ��� ��������� ��� �������� ������ ��������� ���
������������� ��������� ���� ������� ��� ��������� ��� ���������� �������� ���
�������������������������������������������������������������������������
� ��
�����������
� ��
����������������������������
��
�
� �� � � � �
� ��
� � � �� � �� � � �� � � � � ��������
��
��
��
�
� � �������� � � � � � ��
�������
289
10 Mecànica de fluids
i la densitat d’una mateixa partícula no varia amb el temps.
3.
Equació de Cauchy
��� �� b � �
dv
dt
(10.23)
Substituint l’equació (10.21) ( � � � p 0 1 ) i (10.22) ( � � � 0 ) en l’equació (10.23):
�� � � � � � (� p 0 1) � ��p 0
�
�� ij
�p 0
�
�
��� � �� j � �x � �x �� p 0 � ij � � � �x � ���p 0 � j
i
i
j
�
Equació fonamental
de la hidrostàtica
�� � p 0 � � 0 b � 0
�
� � �p0
�
� � 0 bi � 0
�� �xi
j � �1,2,3�
�
i � �1,2,3�
(10.24)
(10.25)
10.2.2 Força gravitatòria. Distribució triangular de pressió
Considerem com a cas particular, d’altra banda molt freqüent, aquell en què les
forces màssiques b(x, t ) són les forces gravitatòries (suposades constants en
l’espai i en el temps, i orientades en la direcció contrària l’eix x 3 , tal com es
mostra en la Figura 10-4).
x3 , z
� 0 �
� �
b(x, t ) � � 0 �
�� g �
� �
ê 3
ê1
x1 , x
ê 2
x2 , y
Figura 10-4
Atès que l’acceleració és nul·la (vegeu l’equació (10.20)) el problema és
quasiestàtic i, sent les accions b( x , t ) � constant independents del temps, també
ho són les respostes i, en particular, la pressió hidrostàtica. Per tant:
p 0 ( x, t ) � p 0 ( x ) � p 0 ( x, y , z )
(10.26)
i l’equació (10.25) es pot integrar de la manera següent:
� �p 0 ( x, y , z )
� 0 � p 0 ( x, y , z ) � p 0 � y , z �
��
�x
�
� �p 0 � y , z �
� 0 � p 0 � y , z � � p 0 �z �
��
�y
�
� dp 0 �z �
� � 0 g � 0 � p 0 � �� 0 gz � C
��
�
dz
(10.27)
290
10 Mecànica de fluids
Per a un cas com el que indica la Figura 10-5, on la pressió en la superfície
(cota z � h) es considera nul·la, la solució (10.26) queda:
p0
z �h
p 0 � � 0 g �h � z �
� 0 � �� 0 g h � C � 0 � C � � 0 g h �
(10.28)
que correspon a una distribució triangular de pressió, tal com es mostra en la
Figura 10-5.
p � p atm � 0
z
h
z
y
x
W
� 0 gh
Figura 10-5 – Distribució de la pressió sobre una presa de gravetat
10.2.3 Principi d’Arquimedes
Principi d’Arquimedes
1) Tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta cap a dalt igual al pes
del volum del fluid desallotjat.
El clàssic principi es pot complementar amb:
2) El resultant de l’empenta esmentada passa pel centre de gravetat del volum del
fluid desallotjat.
Per a la demostració del principi d’Arquimedes, considerem les situacions de la
Figura 10-6. D’una banda, a la Figura 10-6 a es presenta un sòlid de volum V i
densitat � a l’interior d’un fluid de densitat � 0 . El sòlid no està necessàriament en
equilibri, encara que la seva velocitat i acceleració se suposen prou petites per
assegurar un estat hidrostàtic en el fluid. D’altra banda, a la Figura 10-6 b, es
presenta el mateix fluid sense la presència del sòlid, amb la qual cosa el volum
ocupat per aquest a la Figura 10-6 a és ocupat per idèntic volum de fluid.
1) Distribució de pressió i tensió en el fluid
Utilitzant l’equació fonamental de la hidrostàtica (10.25), amb les forces
gravitatòries actuant en la direcció contrària a l’eix z , es té la situació
corresponent a les equacions (10.26) i (10.27), amb la qual cosa serà vàlid el
resultat (10.28) per a tots dos casos a i b de la Figura 10-6:
p 0 ( z ) � � 0 g �h � z �
� � � p0 1
(10.29)
291
10 Mecànica de fluids
Cal observar que la pressió hidrostàtica i l’estat tensional en el fluid, per a punts
homòlegs del fluid en els casos a i b de la Figura 10-6, seran els mateixos.
h
�0
z
x
p(z )
V
y
�
p(z )
�0
E
a)
Figura 10-6
V �0
Volum
de fluid
desallotjat
W
b)
2) Empenta sobre el sòlid submergit
El vector tracció sobre els punts del contorn del sòlid submergit en la Figura
10-6 a) serà:
t � � � n � � p0 1 � n � � p0 n
(10.30)
i el resultant R de les forces que el fluid exerceix sobre el sòlid:
R � � t dS � � � p 0 n dS
�V
(10.31)
�V
Cal observar ara que, en tractar-se de la mateixa distribució de pressió
hidrostàtica, la resultant esmentada serà la mateixa que s’obtindria en el cas b)
per a les forces que la resta del fluid exerceix sobre el volum de fluid desallotjat, amb
la particularitat que, en tractar-se en el cas esmentat d’una distribució
espacialment contínua de la pressió p 0 es pot aplicar el teorema de la
divergència (teorema de Stokes) en l’equació (10.30) amb el resultat següent:
R � � � p 0 n dS � � � �p 0 dV
�V
(10.32)
V
i substituint l’equació (10.25) en la (10.32):
R � � � �p 0 dV � � � � 0 b dV � � � � 0 b dV � W eˆ z � E eˆ z
V
V
�V����
W eˆ z
(10.33)
on E és l’empenta cap a dalt sobre el sòlid submergit i W és el pes del volum
del fluid desallotjat (vegeu la Figura 10-6 b) ).
És a dir:
Empenta cap a dalt
���������
E
�
pes del volum del fluid desallotjat
��������������
�
W
(10.34)
amb la qual cosa queda demostrada la primera part del teorema d’Arquimedes.
292
10 Mecànica de fluids
3) Recta d’aplicació de l’empenta
Considerem ara el moment M GE de l’empenta E respecte al centre de gravetat,
G , del volum de fluid desallotjat (vegeu la Figura 10-7):
N O T A
� p0 n
Sense pèrdua de
generalitat, es pot
suposarq ue l’origen del
sistema d’eixos
cartesians està situat
a G.
Vz
V
x
G
x
W � �E
n
�0b
y
Volum
de fluid
desallotjat
E
Figura 10-7
Teorema
�
de la
divergènci
a
� G
� � x � (� p0 n)dS � � x � (� p0 � )dV � � � x � �p0 dV
�M E
�V
V
V
�
�
� M GE i � � eijk x j p0 nk dS � � � �eijk x j p0 �dV �
�
� �xk
�
�V
V
�
(10.35)
�x j
�p0
�
�
�
�
�
�
�
e
p
dV
e
x
dV
e
p
dV
�
�
� ijk �xk 0 V� ijk j �xk
� �ijk��jk 0
V
V
�
eijj �0
�
�
�p
�p
� � eijk x j 0 dV � � � eijk x j 0 dV
i � {1,2,3}
�
�
�xk
x
k
V
V
�
� �
i substituint l’equació fonamental de la hidrostàtica (10.25) ( � p 0 � � 0 b ), en
l’equació (10.35), resulta finalment:
M GE � � � �x � � p 0 � dV � � � �x � � 0 b � dV � �M WG � 0
V
V
������
�
MWG
(10.36)
on M WG és el moment del pes del fluid desallotjat respecte al seu centre de
gravetat G , el qual, per definició de centre de gravetat, és nul. En conseqüència
el moment de l’empenta E respecte al centre de gravetat del volum de fluid desallotjat és
també nul i es pot concloure que la recta d’aplicació de l’empenta passa pel
centre de gravetat esmentat, tal com estableix la segona part del principi
d’Arquimedes.
Exemple 10-1 Aplicació a l’estudi d’equilibri de sòlids en flotació. Equilibri estable i
inestable.
Considerem un medi en flotació, en equilibri, i les dues situacions següents:
a) El centre de gravetat del sòlid (centre de carena) està per sota del centre de gravetat del
fluid desallotjat (centre d’empenta), vegeu la Figura 10-8:
293
10 Mecànica de fluids
En aquest cas, qualsevol pertorbació (inclinació) tendeix a crear un moment
M � Wd de sentit recuperador cap a l’estat d’equilibri inicial. Es tracta d’equilibri
en flotació estable.
Centre de gravetat del
fluid desallotjat
+
E
pertorbació
Wd � recuperado r
d
E
Centre de gravetat
del sòlid
W
W
Figura 10-8 – Equilibri en flotació estable
b) El centre de gravetat del sòlid (centre de carena) està per sobre del centre de gravetat del
fluid desallotjat (centre d’empenta) (vegeu la Figura 10-9):
En aquest cas, qualsevol pertorbació (inclinació) tendeix a crear un moment de
sentit bolcador M � Wd que allunya el sòlid flotant de l’estat d’equilibri inicial.
Es tracta d’equilibri en flotació inestable.
Centre de gravetat
del sòlid
W
+
pertorbació
E
Wd � bolcador
d
W
E
Centre de gravetat
del fluid desallotjat
Figura 10-9 – Equilibri en flotació inestable
La col·locació de masses pesants (llasts) a la quilla dels vaixells respon a la recerca
d’una millora en l’estabilitat en flotació d’aquests.
10.3 Dinàmica de fluids: fluids perfectes
barotròpics
En el cas més comú, la velocitat no és ni uniforme ni estacionària ( v � v (x, t ) ),
per la qual cosa, en general, l’acceleració no serà nul·la ( a(x, t ) � 0 ). Tampoc
seran nuls, per tant, ni la divergència de la velocitat ( � � v � 0 ) ni el tensor
not
gradient de la velocitat ( � � v � � v � 0 ).
294
10 Mecànica de fluids
Definició
Fluid perfecte
Fluid newtonià caracteritzat perquè les viscositats � i � (vegeu
l’equació (10.14)) són nul·les.
� � � p1 � �Tr (d) � 2� d �
� � � � p1
��
����0
�
�� � � � ��p
��
�� : d � � p1 : d � � pTr (d)
N O T A
No s’ha de confondre
un estat tensional del
tipus hidrostàtic (tensor
de tensions esfèric)
amb un règim de
moviment hidrostàtic
(velocitat nul·la o
uniforme).
(10.37)
i l’estat tensional per a un fluid perfecte és del tipus hidrostàtic.
Definició
Fluid barotròpic
La temperatura no intervé en l’equació cinètica d’estat (10.9).
F ��, p, �� � F ��, p � � 0 � � � �� p �
10.3.1 Equacions del problema
Tenint en compte les hipòtesis de fluid perfecte i barotròpic, les equacions de
la dinàmica de fluids esdevenen:
a) Problema mecànic
1) Equació de continuïtat
d�
� �� � v � 0
dt
(1 equació)
(10.38)
2) Balanç de la quantitat de moviment (equació d’Euler)
� �p � �b � �
dv
dt
(3 equacions)
(10.39)
(1 equació)
(10.40)
3) Equació cinètica d’estat
� � �� p �
Es tracta d’un problema amb cinc equacions i cinc incògnites (�, v, p ) que es
pot resoldre de forma desacoblada del problema tèrmic.
b) Problema tèrmic
1) Llei de Fourier
295
10 Mecànica de fluids
q � �k�� � � � q � �k� � ���� � �k � 2 �
(3 equacions)
(10.41)
2) Equació de l’energia
�
du
2
� ��p�
� v � � r � k��
�
��
��
�
dt �
���q
�:d
(1 equació)
(10.42)
(1 equació)
(10.43)
3) Equació calòrica d’estat
u � u ��, ��
Es tracta d’un problema de cinc equacions amb cinc incògnites
(q( x, t ), �( x, t ), u (x, t )) que es pot calcular una vegada resolt el problema mecànic i
conegut el camp de velocitats v (x, t ) , de densitat �( x, t ) i de pressió p( x, t ) .
Observació 10-2
Un format general del problema de mecànica de fluids inclou la
conductivitat tèrmica k entre les viscositats (en un sentit generalitzat)
del problema. La definició d’un fluid perfecte com un fluid sense viscositat
suposa, en aquest context, l’anul·lació de la conductivitat tèrmica
( k � 0 ), amb la qual cosa l’equació (10.41) condueix a q � �k�� � 0 i
el problema tèrmic es redueix a les equacions (10.42) i (10.43).
10.3.2 Resolució del problema mecànic sota forces màssiques
potencials. Trinomi de Bernoulli
Considerem ara el problema mecànic per al cas particular de forces màssiques
potencials (les forces màssiques deriven d’un potencial � ):
Forces màssiques potencials
� b(x, t ) � ��� (x,t )
(10.44)
Per al cas particular d’un potencial gravitatori amb l’eix d’actuació de la gravetat
actuant en el sentit oposat a l’eix z es té:
� 0 �
�( x, y , z, t ) � gz � b � ��� � � 0 �
� �
��� g ��
(10.45)
Observació 10-3
Lema 1
Per a un fluid barotròpic ( � � � ( p ) ) existeix una funció
P�x, t � � Pˆ � p (x, t ) � , que compleix:
�p � ��P
296
10 Mecànica de fluids
Demostració
Definint la funció P �x, t � mitjançant:
p
1
P�x, t � � Pˆ � p (x, t ) � � �
dp
�
(
p)
0
(10.46)
es complirà:
�P(x, t ) �Pˆ �p
�
�p �xi
�xi
�Pˆ
1
�� P�i �
��p�i �
��p�i
�
�
(
p
p)
�
1
�( p )
�
�
�
�
1
i �{1,2,3}� � �P � � �p
�
�
�
�
(10.47)
Observació 10-4
Lema 2
�1 �
v � �v � 2� � v � �� v 2 �
�2 �
on 2� � � � v és el vector vorticitat.
Demostració
R E C O R D A T O R I
Es fan servir aquí els
següents resultats
obtinguts anteriorment
(vegeu el capítol 2)
a) w ji � � w ij �
�
� �av
�
ji
�
1 � �v j �v i �
�
�
�
2 � �xi �x j �
b) w ij � �eijk � k
�
2
c) v 2 � v � v � v
�v � � v � j � v i
�v j
�xi
� �v j �v i �
�v i
�
� vi �
�
� � vi
�
�
�
x
x
xj
i
j �
����
� ��
�
2w ji
�v
�v
�v
� 2 v i w ji � v i i � �2 v i w ij � v i i � 2eijk v i � k � v i i �
�
�
�
�
�
�
�x j
�x j
�x j
� w ij
e jki vi�k
� 1
� � 1 ��
( v i v i ) � �2� � v � j � ��� v 2 ��
� 2e jki v i � k �
����
� �x j 2 �
� � 2 �� j
�2��v �j
v�v � v2
�1 �
v � �v � 2� � v � �� v 2 �
�2 �
(10.48)
j �{1,2,3} �
Considerant ara l’equació d’Euler (10.39):
� �p � �b � �
1
dv
dv
� � �p � b �
dt
dt
�
(10.49)
i substituint les equacions (10.45) i (10.47) en l’equació (10.49):
� � P � �� �
�v
dv �v
�1
� 2� � v � �� v 2 ��
� v � �v �
�
�t
�t
dt
�2 �
(10.50)
297
10 Mecànica de fluids
on s’ha tingut en compte el resultat (10.48). L’equació (10.50) es pot reescriure
ara com:
1
� �v
�
� 2� � v �
� ��P � �� � ��� v 2 ��� �
� 2 �� �t
�
(10.51)
Equació de moviment per a
�
�v
1 2�
�
�
� 2� � v
� � � � �P � � � v � �
t
�
2
�
�
� ��� � �
�
sota forces màssiques potencials ��
Trinomi de
un fluid perfecte barotròpic
(10.52)
Bernouilli
L’equació (10.52) és la forma particular que adopta el balanç de la quantitat de
moviment (equació d’Euler (10.39)) per a fluids perfectes, barotròpics sota
forces màssiques potencials.
10.3.3 Solució en règim estacionari
La resolució del problema mecànic (10.38) a (10.40) tindrà en general un règim
transitori en el qual la descripció espacial de les variables mecàniques evoluciona
amb el temps, i un règim estacionari, en el qual la descripció espacial esmentada
és, aproximadament, constant al llarg del temps (vegeu la Figura 10-10).
v�x, t �
Règim
transitori
Règim
estacionari
t
Figura 10-10 – Règim transitori i estacionari
Considerem ara l’equació del moviment (10.52) en règim estacionari:
�v
�0
�t
R E C O R D A T O R I
En règim estacionari les
trajectòries i les línies
de corrent coincideixen.
1
� �� ��P � � � v 2 �� � 2� � v
2 �
�
(10.53)
i una línia de corrent � : x � x( s) parametritzada en funció de la seva longitud
d’arc s (vegeu la Figura 10-11). Projectant (multiplicant) l’equació (10.51) en la
direcció de la tangent t a la línia de corrent, tindrem:
s
z
x
t�
dx
ds
dx dx ds
�
�
dt ds dt
�t� v
v�
�
y
x
Figura 10-11 – Línia de corrent
���
���������������������
� �
�
� � �� � � � � � � � �� � � ����� � ���� � � �� � ��� � � � � � � � �
�����
��
������
�� ��
��
��
� � ��
�� ��
�������
�� ��
�
��
��
��
�� ��� � �� ��� ��
�
��
��
��
�� �
�������
�� ��� � �� �
�
��
� �� � � � ���� �� � � � ��������
�
��
�� � �
������������������������������������
� ��
�
� � � � � � � � ��� � ��������
�
�
�� � �
�������
���� ���������� ���� ��� �������� ��� ���������� ������ ��������� ������ ���� �������� ������ ��
�������� � �
���������������
������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������
���������������������
����������������������������������������������������������������
��������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
�� ��������������������������
� � � � �� � �� � ��������
�������
������������������������ �� � � �������������������������������������������������
�
�
�
�
�
�� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� � �� � � � � �
�������
���������������������������������������������������������������
������������������������������
� � ��
� � �
� � ��� � �� � ��
��� � ��
�������
������������ ���� ���������� �������� �� �������� ��� ������������ ���� �������� ��
�������������������������
�
�
� �� � � � � ��������
��
�
���
�
� � � ���
�
� � � �������� �� � �
�� � � �
�������
299
10 Mecànica de fluids
Els termes de l’equació (10.59) tenen dimensions de longitud (alçària) i es
poden interpretar com:
Teorema de Bernouilli
z
�
�
Alçària
geomètrica
R E C O R D A T O R I
La paraula piezomètrica
prové del prefix piezo =
“pressió”.
p
�
0g
�
Alçària
piezomètrica
�
1 v2
2 g
�
Alçària
energètica
def
�
H � constant � x ��
�
(10.61)
Alçària
total
Observació 10-6
Teorema de Bernoulli
L’equació (10.61) constitueix l’anomenat teorema de Bernoulli (per a
un fluid perfecte, incompressible, sota càrregues gravitatòries i en
règim estacionari) que estableix que l’alçària geomètrica més l’alçària
piezomètrica més l’alçària energètica és constant en tots els punts d’una mateixa
línia de corrent (vegeu la Figura 10-2).
h
v2
� alçària energètica
2g
H
p
� alçària piezomètrica
�0 g
z � alçària geomètrica
Línia de corrent �
s
Figura 10-12
Observació 10-7
L’aigua és considerada generalment en enginyeria un fluid perfecte i
incompressible, i la ciència que l’estudia es denomina hidràulica. Atès
que, en general les forces màssiques són de tipus gravitatori, el
teorema de Bernoulli és aplicable en general en la resolució de problemes
estacionaris en hidràulica.
Exemple 10-2 Per al dipòsit d’aigua de la figura, calculeu la velocitat d’abocament, en
règim estacionari, per un petit orifici lateral situat a una distància h del nivell superior
d’aigua.
Resolució
Es tracta d’un fluid perfecte i incompressible en règim estacionari sota càrrega
gravitatòria i és, per tant, aplicable el teorema de Bernoulli. Considerem una
línia de corrent que va des d’un cert punt A, de la superfície, al punt B de
l’orifici de sortida (vegeu la (Figura 10-13)).
300
10 Mecànica de fluids
A
� p A � Patm � 0
�
�v A � 0
�z � h
� A
z
h
B
� p B � Patm � 0
�
�v B � v
�z � 0
� B
s
Figura 10-13
v
Aplicant el teorema de Bernoulli entre els punts A i B (tenint en compte que la
velocitat en la superfície lliure del dipòsit és pràcticament nul·la, si el seu
diàmetre és molt més gran que el de l’orifici de sortida, i menyspreant la pressió
atmosfèrica Patm � 0 ):
p
p
1 v 2A
1 v 2B
� zB � B �
z�A � A �
�0 g 2 g � �0 g 2 g
�
�
���
�0 �0
� h �0
�0
1 v2
v � 2 gh
�
h�0�0�0�0�
2 g
10.3.4 Solució en règim transitori
En règim transitori les variables mecàniques (la seva descripció espacial)
depenen del temps (vegeu la Figura 10-10). El punt de partida per a la resolució
del problema serà l’equació de balanç de la quantitat de moviment (10.52):
�v
1
� � ��P � � � v 2 �� �
� 2� � v
2 � �t
�
(10.62)
En alguns casos la solució de l’equació esmentada en règim transitori és
particularment senzilla. A continuació es veuran alguns dels casos esmentats.
10.3.4.1 Flux potencial (irrotacional)
Es considera el cas de:
� fluid perfecte
� forces màssiques potencials
� flux irrotacional.
Definició
Flux irrotacional
Es diu que el moviment (flux) d’un cert fluid és irrotacional (o
potencial) si el rotacional del camp de velocitats és nul en qualsevol
punt d’aquest.
301
10 Mecànica de fluids
En altres paraules, per a un flux irrotacional el vector vorticitat és nul:
� � v(x, t ) � 0
�
�
1
�x �t
�(x, t ) � � � v(x, t ) � 0��
2
�
Flux irrotacion al �
N O T A
Es pot demostrar que,
donat un camp
vectorial v (x, t )
irrotacional, és a dir,
que complieixi
��v �0,
existeix una funció
escalar ��x, t � (funció
potencial) tal que
v � ���x, t � .
Evidentment, com que
� � �(�) � 0 , es
(10.63)
Si el flux és irrotacional, de l’equació (10.63) s’infereix que existeix una funció
escalar (denominada potencial de velocitats ��x, t � ) que compleix:
v (x, t ) � ���x, t �
(10.64)
Cal observar que, en aquest cas, el camp vectorial v(x, t ) queda determinat en
funció del potencial escalar de velocitats ��x, t � (que passa a ser la incògnita
primal del problema). Substituint les condicions (10.63) i (10.64) en l’equació
(10.62) s’obté:
��
1
�v �
�v
� ����x� t �� � � ( ) �
� � ��P � � � v 2 �� �
�2�
� �v�
t
t
2 � �t
�t
�
�
�
�0
1 2 �� �
� �
�� ��P � � � 2 v � �t �� � �M (x, t ) � 0
� ���������
M (x,t )
�
��
�
� �M (x, t )
� 0 i �{1,2,3}
� �x
�
i
compleix que � � v �
� � � ���x, t � � 0
�x �t
(10.65)
(10.66)
equació que es pot integrar trivialment i arribar a:
M ( x, t ) � P � � �
1 2 ��
v �
� �(t )
2
�t
(10.67)
Definint un potencial de velocitats modificat � �x, t � de la forma:
def
t
� (x, t ) � �(x, t ) � � �(�)d�
�
0
��� � � �� � v�x, t �
� �� � �� � �(t )
�� �t �t
(10.68)
i substituint les equacions (10.68) en la (10.67):
P���
1 2 ��
� �(t ) � 0 �
v �
t ��
��
2
�
�
��
�t
P���
��
1
� 0 �x �t
(� � ) 2 �
�t
2
(10.69)
que és l’equació diferencial dels transitoris hidràulics.
El problema mecànic queda llavors definit per:
1) Equació de continuïtat
d�
d�
� �� � v �
� �� � (� � ) � 0 �
�
���
�
dt
dt
�2�
d�
� �� 2 � � 0
dt
(10.70)
302
10 Mecànica de fluids
2) Balanç de la quantitat de moviment (equació dels transitoris hidràulics)
P(�, p ) � � �
��
1
� 0 �x �t
(� � ) 2 �
�t
2
(10.71)
3) Equació cinètica d’estat
� � �� p �
(10.72)
que constitueixen un sistema de tres equacions escalars amb tres incògnites
( p (x, t ) , �(x, t ) y � �x, t � ) que es pot integrar en un domini de R 3 � R � . Una
vegada conegut el potencial � �x, t � es pot calcular el camp de velocitats
mitjançant:
v (x, t ) � � � �x, t �
(10.73)
10.3.4.2 Flux potencial i incompressible
Es considera ara el cas de:
� fluid perfecte
� forces màssiques potencials
� flux irrotacional (potencial)
� flux incompressible
En tractar-se d’un flux incompressible de les equacions (10.46) i (10.70):
N O T A
Es defineix aquí
l’operador diferencial
laplacià de ��� com:
not
�(�) � � � � (�) �
� � � (�) �
� � (�)
�x i �xi
p
�
p
1
�
�
p
dp �
P
�
�
�
d�
�
�
�
p
�
�
0
� 0 � � � �0 � �
0
dt
� 2 not
��� � � �� � 0
(10.74)
i les equacions del problema mecànic (10.70) a (10.72) resulten ser:
1) Equació de continuïtat
�� �
�2�
�0
�xi �xi
(10.75)
2) Balanç de la quantitat de moviment (equació dels transitoris hidràulics)
��
1
p
� � � (� � ) 2 �
� 0 � x �t
�0
�t
2
(10.76)
que constitueixen un sistema de dues equacions escalars amb dues incògnites
( p (x, t ) i � �x, t � ) que es pot integrar en un domini de R 3 � R � . En règim
303
10 Mecànica de fluids
��
� 0 i desapareix qualsevol derivada temporal en el
�t
sistema, per la qual cosa aquest es pot integrar en R 3 .
estacionari el terme
10.4 Dinàmica de fluids: fluids viscosos
(newtonians)
Considerem ara el problema general descrit per les equacions (10.1) a (10.9):
d�
� �� � v � 0
dt
dv
� � � � �b � �
dt
du
�
� � � d � �r � � � q
dt
(1 eq.)
(10.77)
(3 eq.)
(10.78)
(1 eq.)
(10.79)
� � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d
(6 eq.)
(10.80)
s � s(d, �, �)
(1 eq.)
(10.81)
q � �k��
(3 eq.)
(10.82)
Equació calòrica d’estat
u � u ��, ��
(1 eq.)
(10.83)
Equació cinètica d’estat
F ��, p, �� � 0
(1 eq.)
(10.84)
Continuïtat
Balanç de la quantitat de
moviment
Balanç d’energia
Equació constitutiva
mecànica
Equació constitutiva de
l’entropia
Equació de conducció de la
calor
Taula 10-1 Equacions del problema de mecànica de fluids
que constitueixen un sistema amb 17 equacions i 17 incògnites. El sistema
esmentat és massa gran per ser tractat eficaçment i es planteja trobar un
sistema d’equacions reduït que permeti una resolució més simple.
10.4.1 Equació de Navier-Stokes
Essencialment és l’equació del moviment (10.78) expressada únicament en
funció del camp de velocitats v (x, t ) i de pressió p (x, t ) .
Observació 10-8
Lema 1
��d �
1
1
�v � � (� � v )
2
2
on d(x, t ) és el tensor velocitat de deformació.
304
10 Mecànica de fluids
Demostració
�
�2v j �
�� 1 � 2 v i
1
�� �
�
�� � d� j
�� 2 �x �x � 2 �x �x ��
i
j
i
i
�
�
2
�
1
1 �
1 � �v i 1 � v j
(� � v ) � �v j �
�
�
�
��
2�
2 �x j �x i 2 �x i �xi 2 �x j
�
�
���
�����
��v �j
�
��v
�v j
��(��v)�j
�
�
1
�1
�
� � �v � ��� � v ��
j �{1,2,3}
�
2
�2
�j
�
� 1 � �v i �v j
�
� ��
� 2 � �x j �xi
�
�
�
d ij �
�xi
�xi
��d �
1
1
�v � � (� � v )
2
2
(10.85)
(10.86)
Observació 10-9
Lema 2
Donada una funció escalar �(x, t ) , es compleix:
� � ( � 1) � � �
Demostració
�� � (� 1)�i �
� (�� ij )
�x j
� � ij
�� ��
�
� ��� �i
�x j �x i
i �{1,2,3} �
� � ( � 1) � � �
(10.87)
(10.88)
Substituint l’equació constitutiva (10.80) en l’equació (10.78) i tenint en compte
les equacions (10.86) i (10.88):
� � � p1 � �Tr �d �1 � 2� d �
�
dv
��
� � � � �b � �
��
dt
�Tr �d��� � ��v � ���� � v �
�� � � � ��p � ��
�
���
��
� ���v �
��
�� � � � �b � ��p � (� � �)��� � v � � ��v � �b � � dv
��
dt
(10.89)
Equacions de Navier - Stokes
dv
�
�� � � p � �� � � �� �� � v �� � � v � � b � � dt
� �p
� 2v j
� 2vi
dv i
��
� �� � � �
��
� � bi � �
i � {1, 2 ,3}
�x i �x j
�x j �x j
dt
�� � x i
(10.90)
305
10 Mecànica de fluids
10.4.2 Equació de l’energia
Es tracta d’eliminar � i q de l’equació (10.79) substituint en aquesta les
equacions (10.80) i (10.82). Per a això cal recordar l’expressió de la potència
tensional per a un fluid newtonià (vegeu el capítol 9):
(10.91)
� � d � WR � 2WD � � p� � v � K Tr 2 (d) � �� d� : d �
on d � és la part desviadora del tensor velocitat de deformació, i la llei de
Fourier:
q � �k�� � � � q � �� � �k�� �
(10.92)
Substituint ara en l’equació (10.79), s’obté:
�
du
� ��d � �r � � �q �
dt
(10.93)
Equació de l'energia
2W
�
�����D���
�
� du
2
�
v
k
•
d
d
d�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(
)
:
p
r
Tr
�
�
�
�
�
�
�
�
� dt
�
2
� �vi �
�vi
� � �� �
� du
�� dt � � p �x � �r � �x �� k �x �� � • �� �x �� � �� d ij� dij�
� i�
i
i �
i �
�
(10.94)
10.4.3 Equacions de govern del problema de mecànica de fluids
Considerant les versions simplificades del balanç de la quantitat de moviment
(equacions de Navier-Stokes (10.90) i de l’energia (10.94)) el problema de la
Taula 10-1 es pot reduir al de la Taula 10-2, que constitueixen un sistema de set
EDP amb set incògnites ( �(x, t ) , v (x, t ) , p (x, t ) , u (x, t ) , �(x, t ) ) que s’ha de
resoldre en un domini de R 3 � R � .
d�
� �� � v � 0
dt
Continuïtat
Balanç de la
quantitat de
moviment
(Navier-Stokes)
Balanç d’energia
� �p � �� � � ���� � v � � ��v � �b � �
�
du
� � p� � v � �r � � � �k��� �
dt
� K Tr 2 (d) � �� d � : d �
dv
dt
(1 eq.)
(10.95)
(3 eq.)
(10.96)
(1 eq.)
(10.97)
Equació calòrica
(1 eq.) (10.98)
u � u ��, � �
d’estat
Equació cinètica
(1 eq.) (10.99)
F ��, p, �� � 0
d’estat
Taula 10-2 Equacions de govern del problema de mecànica de fluids
Per al cas particular de règim barotròpic ( � � �( p ) ) es pot desacoblar la part
mecànica de la part tèrmica en les equacions (10.77) a (10.84), resultant el
306
10 Mecànica de fluids
problema mecànic de la Taula 10-3 amb cinc equacions i cinc incògnites
( �(x, t ) , v (x, t ) , p (x, t ) ).
d�
� �� � v � 0
dt
Continuïtat
(1 eq.) (10.100)
Balanç de la
dv
quantitat de
� �p � �� � � ��(� � v ) � ��v � �b � �
(3 eq.) (10.101)
moviment
dt
(Navier-Stokes)
Equació cinètica
� � �( p )
(1 eq.) (10.102)
d’estat
Taula 10-3 Equacions del problema mecànic per a règim barotròpic
10.4.4 Interpretació física de les equacions de Navier-Stokes i de
l’energia
Considerem les equacions de Navier-Stokes (10.90):
dv
�
�� �p � �� � � ��(� � v ) � ��v � �b � � dt � 0
�
�
a
�
� �p
�� �x � ��� � � �� (� � v) � ��v �i � � bi � � a i � 0 i �{1,2,3}
�
i
(10.103)
Cada un dels termes de l’equació (10.103) es pot entendre com un component
d’un sistema de forces (per unitat de volum) que actua sobre un diferencial de
volum del fluid en moviment:
� �p
� � ��� � � �� (� � v ) � ��v � �
�
���
�
�����������
Forces
degudes al
gradient de
pressions
Forces viscoses
exercides per
contacte entre
partícules (�0 quan
� �� �0)
�b
�
Forces
màssiques
� ��a �0
���
Forces
d'inèrcia
(10.104)
A la Figura 10-4 es pot apreciar la projecció en la direcció xi de cada un dels
components esmentats.
dx i
�p
� ��p �i
�x i
p
�bi
� dv �
�a i � �� i �
� dt �
xi
� ��� � � �� (� � v ) � ��v � i
Figura 10-14
p�
�p
dx i
�xi
307
10 Mecànica de fluids
L’equació de l’energia (10.94) també es pot interpretar com s’indica a la Taula
10-4.
2W
�����D����
du
2
�
� � p� � v � �r � � � �k��� � K Tr (d) � �� d � : d �
dt
�
R E C O R D A T O R I
d (dV )
� (� � v ) dV
dt
(vegeu el capítol 2,
apartat 2.14.3).
du
dt
=
d (dV )
� � v � dt
dV
p d ( dV )
dt
� p� � v � �
dV
�r � � � �k���
2W D � � D : d
Variació d' energia interna
=
=
=
u. de volum - u. de temps
Variació de volum
u. de volum - u. de temps
Treball mecànic de la pressió termodinà mica
u. de volum - u. de temps
(vegeu la Figura 10-15)
Calor generada per les fonts internes i la conducció
u. de volum - u. de temps
= Pot. dissipativa �
Treball mecànic de les forces viscoses
u. de volum - u. de temps
Taula 10-4 Interpretació física de l’equació de l’energia
p
d (dV )
dV
Figura 10-15
10.4.5 Reducció del problema general a casos particulars
Les equacions de govern de la mecànica de fluids de la Taula 10-2 es poden
simplificar per a certs casos que són de particular interès en l’enginyeria.
10.4.5.1 Fluids incompressibles
En aquest cas passa:
d�
�
�0
�� �� � �0 � constant
dt
���
dp
� � v � Tr( d ) � 0
� �� � v � 0� �
�
dt
(10.105)
i substituint les equacions (10.105) a la Taula 10-2 s’obtenen les equacions de
govern de la Taula 10-5.
308
10 Mecànica de fluids
Problema
mecànic
Problema
tèrmic
Continuïtat
��v�0
Equacions de Navier-Stokes
� �p � � �v � � 0 b � � 0
Balanç d’energia
�0
dv
dt
du
� � 0 r � � ���k��� � �� d � : d �
dt
u � u �� 0 , ��
Equació calòrica d’estat
� � � p1 � 2� d
Equació constitutiva
Taula 10-5 Fluids newtonians incompressibles. Equacions de govern
10.4.5.2 Fluids amb viscositat volumètrica nul·la (fluids de
Stokes)
En aquest cas:
2
1
2
K� � � � � 0 � � � � � � � � � � �
3
3
3
(10.106)
2
2W D � K
� Tr (d) � �� d � : d � � �� d � : d �
�0
(10.107)
i substituint les equacions (10.106) i (10.107) a la Taula 10-2 s’obtenen les
equacions de govern de la Taula 10-6.
d�
� �� � v � 0
dt
Continuïtat
Equacions de Navier-Stokes
Balanç d’energia
� �p �
�
1
dv
���� � v � � ��v � �b � �
3
dt
du
� � p� � v � �r � � � �k��� � �� d � : d �
dt
Equació calòrica d’estat
u � u ��, � �
Equació cinètica d’estat
F ��, p, �� � 0
Equació constitutiva
� � � p1 �
2
� Tr (d )1 � 2� d
3
Taula 10-6 Fluids de Stokes. Equacions de govern
10.4.5.3 Fluids perfectes
Per a fluids perfectes (sense viscositat) � � � � K � 0 . Substituint la condició
esmentada a la Taula 10-2, s’obté el problema de la Taula 10-7.
309
10 Mecànica de fluids
d�
� �� � v � 0
dt
dv
� �p � � b � �
dt
du
�
� � p� � v � �r
dt
Continuïtat
Balanç de la quantitat de moviment
(equació d’Euler)
Balanç d’energia
Equació calòrica d’estat
u � u ��, � �
Equació cinètica d’estat
F ��, p, �� � 0
� � � p1
Equació constitutiva
Taula 10-7 Fluids perfectes. Equacions de govern
10.4.5.4 Hidrostàtica
En aquest cas es té (vegeu les equacions (10.20)):
a�
dv
�0 ; ��v�0
dt
; � � �0 ;
p � p0 ; � � � p0 1
(10.108)
per la qual cosa les equacions de la Taula 10-2 es redueixen a les de la Taula
10-8.
Problema Balanç de la quantitat de moviment
mecànic (equació fonamental de la hidrostàtica)
Problema
tèrmic
Balanç d’energia
Equació calòrica d’estat
Equació constitutiva
� �p0 � � 0 b � 0
�0
du
� � 0 r � � ���k���
dt
u � u �� 0 , ��
� � � p0 1
Taula 10-8 Hidrostàtica. Equacions de govern
10.5 Condicions de contorn en la mecànica
de fluids
Les equacions de govern del problema de mecànica de fluids, presentades en
apartats anteriors, necessiten les condicions de contorn adequades per poder
ser resoltes correctament. En general, en els problemes de mecànica de fluids
es fa servir la descripció espacial (o euleriana) i s’analitza un determinat volum de
control (fix en l’espai), en el contorn del qual s’apliquen les condicions de
contorn espacials. Encara que aquestes condicions de contorn són molt
variades, i freqüentment dependents del tipus de problema, en els apartats
següents es presenta un resum de les més comunes.
310
10 Mecànica de fluids
10.5.1 Condicions de contorn en velocitats
a)
Velocitat prescrita
En certes parts �v del contorn del volum de control V que s’analitza, les
velocitats són conegudes (vegeu la Figura 10-16).
v ( x, t ) � v ( x, t )
(10.109)
�x � �v
V
�v
v
Figura 10-16 – Condicions de contorn en velocitats
b) Condició d’impenetrabilitat
Normalment, part del contorn del volum de control V està constituïda per
parets impermeables, �v n , que se suposen impenetrables pel fluid del seu
interior. L’expressió matemàtica d’aquesta situació és la denominada condició
d’impenetrabilitat, que estableix que la velocitat relativa del fluid, v r , respecte a la
paret impermeable (suposada mòbil amb velocitat v * ) en la direcció normal al
contorn ha de ser nul·la (vegeu la Figura 10-17):
*
�n
�x � �v n �
v n (x, t ) � �
v�n � �
v�
�
(10.110)
paret
fluid
v r � n � �v � v * �� n � 0
�x � �v n
(10.111)
Per al cas particular de contorn fix la condició (10.111) es redueix a
�v * � 0�� v � n � 0 �x � �vn .
vt
t
v
v
n
�v n
n
*
vn
Figura 10-17
v
v
311
10 Mecànica de fluids
Observació 10-10
La condició d’impenetrabilitat se sol aplicar per a fluids perfectes (sense
viscositat) en els quals se suposa que el component tangencial de la
velocitat relativa fluid-paret v t (vegeu la Figura 10-17) és no nul·la.
c) Condició d’adherència
Si el fluid és viscós se sol imposar que, a les parets impermeables, no només
s’anul·la el component normal de la velocitat relativa fluid-paret, sinó que, per
efecte de la viscositat, el fluid s’adhereix a la paret (vegeu la Figura 10-8), per la
qual cosa la velocitat relativa fluid-paret v r és nul·la:
v r (x, t ) � v � v * � 0 �x � �v � v � v *
�x � �v
(10.112)
�v
vr
Figura 10-18
10.5.2 Condicions de contorn en traccions (o en pressions)
En certes parts �� del contorn es pot prescriure el vector de traccions � � n � t
(vegeu la Figura 10-19).
t (x, t ) � � � n � t * (x, t ) �x � ��
n
(10.113)
t* � � � n
��
Figura 10-19
En algunes circumstàncies es prescriu només una part del vector de traccions
com és la pressió termodinàmica. En efecte, per a un fluid newtonià tenim:
� � � p1 � �Tr (d)1 � 2�d �
t � � � n � � p n � �Tr (d)n � 2�d � n
(10.114)
312
10 Mecànica de fluids
i l’equació (10.114) posa de manifest que la pressió termodinàmica p és una part
del component normal del vector de traccions t . La prescripció de la pressió
termodinàmica sobre una part del contorn
�p
s’escriu de la manera següent:
*
(10.115)
p(x, t ) � p (x, t ) �x � �p
10.5.3 Condicions de contorn mixtes
En certs casos (com a les seccions d’entrada o de sortida de canonades) es
prescriu la pressió (una part del component normal de la tracció) i els
components tangencials de la velocitat (que se suposen nuls, vegeu la Figura
10-20).
v � vn
n
� p � p*
�pv : �
�vt � 0
Figura 10-20
10.5.4 Condicions de contorn sobre superfícies lliures
Definició
Superfície lliure
És la superfície de contacte entre l’aire (ambient) i un fluid
(generalment l’aigua).
N O T A
En general, en els
problemes de mecànica
de fluids en els quals
apareixen superfícies
lliures, la posició
d’aquestes no es coneix
i les característiques
geomètriques de la
superfície passen a ser
una incògnita del
problema.
Exemples de superfície lliure són la superfície del mar (vegeu la Figura 10-21) o
la superfície que separa la part saturada de la no saturada en un talús o en una
presa de materials solts (vegeu la Figura 10-22).
z
x
Superfície lliure : �sl : z � ��x, y, z , t �
y
z � � �x, y, t � =cota
de la superfície lliure
Figura 10-21 – Superfície lliure del mar
Una hipòtesi amb clar sentit físic realitzada freqüentment sobre la superfície
lliure és que es tracta d’una superfície material (constituïda sempre per les mateixes
partícules). Aquesta hipòtesi estableix implícitament certes condicions de
contorn sobre el camp de velocitats a la superfície material �sl . En efecte,
considerant la superfície lliure de la Figura 10-21:
313
10 Mecànica de fluids
�sl :� {x | ��x, y, z, t � � z � ��x, y, t � � 0 }
(10.116)
i imposant el caràcter material d’aquesta (derivada material nul·la, vegeu el
capítol 1, apartat 1.11):
d� ��
��
��
��
��
� vz
�0�
� vy
� vx
� v � �� � �
�
dt �t
�z
�y
�x
�t
�
�1
v z ( x, t ) �
��
��
��
� vx
� vy
�t
�x
�y
(10.117)
�x � �sl
(10.118)
condició que estableix una dependència del component vertical de la velocitat
v z respecte als altres components v x i v y .
p atm
Superfície lliure
sec
p atm
saturat
Figura 10-22 – Presa de materials solts
N O T A
En general, es negigleix
el valor de la pressió
atmosfèrica ( Patm � 0 )
Una altra condició de contorn freqüentment establerta sobre les superfícies
lliures és que en aquestes la pressió termodinàmica és coneguda i igual a la
pressió atmosfèrica:
p(x, t ) � Patm
�x � �sl
(10.119)
L’equació (10.119) permet, en certs casos, identificar la posició de la superfície
lliure (una vegada conegut el camp de pressions) com el lloc geomètric dels
punts del fluid on la pressió és igual a la pressió atmosfèrica:
Equació de la
superfície lliure
�
�sl :� {x | p (x, t ) � Patm � 0 }
(10.120)
10.6 Flux laminar i flux turbulent
10.6.1 Flux laminar
Les equacions de la mecànica de fluids descrites als apartats anteriors són
vàlides per a un cert rang del moviment dels fluids que s’anomena flux (o
règim) laminar. En essència, el flux laminar es caracteritza físicament pel fet
314
10 Mecànica de fluids
que el fluid es mou en capes paral·leles que no es barregen entre si (vegeu la
Figura 10-23).
Vòrtexs
Figura 10-23 – Flux laminar al voltant d’un obstacle
El caràcter laminar del flux s’identifica generalment pel denominat nombre de
Reynolds Re :
def
V �L
�
� Nombre de Reynolds � Re � �
�
�V � velocitat caracterís tica del fluid
�L � longitud caracterís tica del domini analitzat
�
�
�
�� � viscosita t cinemàtica (� � ).
�
�
(10.121)
de manera que valors petits del nombre de Reynolds caracteritzen els fluxos
laminars.
10.6.2 Flux turbulent
Quan la velocitat augmenta i la viscositat disminueix, el nombre de Reynolds
(10.121) augmenta. Per a valors creixents d’aquest nombre s’observa que el flux
laminar inicial es desordena i es torna altament inestable. El flux es pot
entendre llavors com una situació en la qual tant la tensió com la velocitat
v (x, t ) , en un punt donat de l’espai, fluctuen ràpidament i de forma aleatòria al
llarg del temps i al voltant d’un valor mitjà v(x, t ) (vegeu la Figura 10-24).
Aquesta situació es defineix com de flux (o règim) turbulent.
Flux laminar
v �x, t �
t
Flux turbulent
v �x, t �
v
t
Figura 10-24
Encara que les equacions del problema de mecànica de fluids en general, i les
equacions de Navier-Stokes en particular, continuen sent vàlides en règim
10 Mecànica de fluids
315
fluctuacions de les variables d’aquest) imposen un tractament singular per al
flux turbulent. La caracterització matemàtica del règim turbulent es fa llavors a
través dels denominats models de turbulència. En essència, els models esmentats
es basen en aïllar els valors mitjans dels camps de velocitats i pressions de les
seves fluctuacions i en obtenir equacions de govern del problema en termes
d’aquells.
11 Principis
variacionals
11.1 Preliminars
El càlcul variacional és una eina matemàtica que permet treballar amb el que es
denomina forma integral o forma feble de les equacions diferencials de govern d’un
problema. Donat un sistema d’equacions diferencials, que s’han de verificar en
forma local (punt a punt) en un cert domini, els principis variacionals permeten
obtenir una formulació integral (global, en el domini) o formulació feble, la
imposició de la qual, tanmateix, garanteix el compliment d’aquelles equacions
diferencials. El seu interès rau en el fet que les formulacions integrals són
especialment apropiades per al tractament i la resolució del problema per
mètodes numèrics.
11.1.1 Funcionals. Derivades funcionals
Definició
Funcional F�u � : aplicació d’un espai de funcions X sobre el cos dels
reals:
F�u � : X � R
sent X :� {u(x) | u(x) : R 3 � � � R m } .
En altres paraules, el funcional F�u � és una aplicació que, a cada
element u(x) (una funció escalar, vectorial o tensorial definida en un
domini � de R 3 o, en general, de R n ) d’un espai de funcions X fa
correspondre un nombre real.
Amb un cert abús del llenguatge, es podria dir que un funcional F�u � és una
funció escalar els arguments de la qual són funcions u(x) .
Exemple 11-1 Considerem un interval � � �a, b�� R i l’espai X constituït per
totes les funcions reals de variable real en l’interval �a, b� ( u �x � : �a, b � � R ) amb
derivades primeres u ��x � integrables a l’interval esmentat. Exemples de
possibles funcionals:
b
b
F�u � � u ( x)dx
G�u � � u �( x)dx
a
a
�
�
b
H�u � � F �x, u ( x), u �( x)�dx
�
a
318
11 Principis variacionals
Definició
Sigui X :� {u(x) | u(x) : R 3 � � � R n } un espai de funcions
(escalars, vectorials o tensorials) sobre un domini � i un funcional
F��� : X � R .
Siguin dues funcions u, � � X i sigui � � R un paràmetre
(pertorbació). Considerem la funció u � � � � X , que es pot
interpretar com una funció pertorbada de la funció u a la direcció � . Es
defineix la variació de Gateaux (o derivada de Gateaux) del funcional F(u) a
la direcció de � com:
def
�F�u; �� �
d
F�u � � �� ��0
d�
Observació 11-1
Sovint es denota la direcció respecte a la qual es pren la variació com
not
� � �u i així es farà amb freqüència d’ara en endavant. No s’ha de
confondre �u(x) amb la diferencial du(x) (en el sentit del càlcul
infinitesimal) de la funció u(x) . Tanmateix, l’obtenció de la variació
de Gateaux d’un funcional té en certs casos el mateix formalisme que la
diferenciació ordinària de funcions i d’aquí el consegüent perill de
confusió (vegeu Exemple 11-2).
def
Exemple 11-2 Sigui el funcional F�u � � � ��u �d� � � ��u �d� . Obtenir la seva
�
derivada de Gateaux.
��
Resolució
�F�u; �u � �
d
F�u � ��u �
d�
��0
�
d
��u � ��u � d�
d� �
�
�
��0
d
��u � ��u � d�
d� ��
�
�
��0
�
�
�
�
� ���u � ��u � d �u � ��u � �
� ���u � ��u � d �u � ��u � �
�
��
�
d� � �
d� � � �
�u
�u
d��� �
d��� �
���
���
��
���
�
� ��0 �
� ��0
�u
�u
�
�
�
�
��(u)
��(u)
� �u d�
�� ��u �d� � ��u �d� � �
� �u d� �
�u
���
�� � �u
��
��
�
�
�
�
Es pot apreciar la semblança formal, en aquest cas, de l’obtenció de la derivada
de Gateaux del funcional amb la diferenciació de funcions.
319
11 Principis variacionals
Considerem ara un domini � � R 3 , el seu contorn �� � �u � �� amb
�u � �� � � (vegeu la Figura 11-1) i l’espai V de les funcions u(x) definides
sobre � , que prenen un determinat valor u * (x) en el contorn �u :
V :� {u(x) | u(x) : � � R m
; u(x) x�� � u * ( x)}
u
(11.1)
��
x3
�u � �� � �
�u : u � u * �x �
�
x2
x1
Figura 11-1
Observació 11-2
Respecte a l’obtenció de la derivada de Gateaux, una condició que
s’estableix en la mateixa definició sobre la pertorbació � � �u és que
la funció pertorbada u � � �u pertanyi al mateix espai de funcions
V ( u � � �u � V ). En aquest cas, si u � � �u � V :
� �u � � �u � x�� � u * � u x�� � � �u x�� � u * � � �u x�� � 0
u
u
u
���u
u*
i la pertorbació �u ha de satisfer: �u x��u � 0
Sobre la base de la família de funcions (11.1) considerem ara la família de
funcionals següent:
F�u � � �(x, u(x), � u) d� � �(x, u(x), � u) d �
�
�
�
�u � V
��
(11.2)
sent � i � funcions prou regulars per ser integrables en els dominis � i �� ,
respectivament. Suposarem, a més, que mitjançant les operacions algebraiques
adequades, la derivada de Gateaux de F�u � es pot escriure de la següent
manera:
�F�u; �u � � E (x, u(x), �u) � �u d� � T (x, u(x), �u) � �u d�
�
�
�
��
���u
��u
�0
� x��u
(11.3)
320
11 Principis variacionals
Exemple 11-3 Sigui el funcional:
b
F�u � � ��x, u ( x), u �( x)�dx con u ( x) x � a � u (a) � p
�
a
Obteniu la seva derivada de Gateaux en el format de l’equació (11.3).
Resolució
Es tracta d’un cas particular del funcional (11.2) reduït a una dimensió amb
� � 0, � � ( a, b), �u � a �� � b .
Pertorbant la funció u (x) i reemplaçant en el funcional:
�u ( x) � u ( x) � � �( x)
�
�u �( x) � u �( x) � � ��( x)
�
b
��
�
�
�
F
u
�
�
�
�
�
� ��x, u ( x) � � �, u �( x) � � ���dx
not
a
�
��( x) � �u ( x) | �(a) � � a � 0��
La consegüent derivada de Gateaux serà:
b
�� �
� ��
�� dx
�F�u; �� � d F�u � � �� � �0 � � � �
d�
u
u � ��
�
�
�
a
�
D’altra banda, l’anterior expressió pot estar integrada per parts com segueix:
b
�
a
x �b
b
��
� d � �� � �
� �� �
� � �
��dx � �
��
�� dx �
�
u
�
�u �
� x � a a � dx � �u � � ��
�
�
��
�u �
x �b
�b �
��
�u �
�
b
��
� d � �� � �
�
��� dx �
�
a � �
�
�
�u �
� dx � �u � �
x �a
�0 a
�
b
� d � �� � �
�b � � �
�� dx �
dx � �u � � ��
x �b
a �
�
b
��
� �� d � �� ��
�F(u; ��u ) � � � �
�� �u dx �
�
�u �
�u dx � �u ��
�
a �
�
x �b
�u b
expressió que és un cas particular de l’equació (11.3) amb:
�� d � �� �
� �
�
�u dx � �u � �
��
T ( x, u , u �) �
�u � x �b
E ( x, u, , u �) �
�x � (a, b)
11.1.2 Extrems de funcionals. Principis variacionals. Equacions
d’Euler-Lagrange
Sigui f �x � : R � R una funció real d’una variable real. Diem que la funció
presenta un mínim en x � x0 si:
f ( x 0 ) � f ( x)
�x � R
(11.4)
És ben sabut que una condició necessària perquè f presenti un extrem
(mínim, màxim o punt de sella) a x � x0 és que:
321
11 Principis variacionals
df ( x)
dx
not
x � x0
� f ��x 0 � � 0
(11.5)
Aquest concepte es pot generalitzar als funcionals en un espai de funcions.
Donat un funcional F(u) : V � R , diem que aquest funcional presenta un
mínim a u(x) si:
F(u) � F( v ) �v � V
(11.6)
i una condició necessària perquè aquest funcional presenti un extrem (mínim,
màxim o punt de sella) a u(x) és que la derivada �F�u; �u � sigui nul·la per a
totes les direccions �u :
�F�u; �u � � 0
��u | �u x�� � 0
(11.7)
u
Expressant l’equació (11.7) en el format de l’equació (11.3) es tindrà:
Principi variacional
����u
�F�u;�u � � E � �u d� � T � �u d� � 0 �
���u x��u � 0
�
��
�
�
(11.8)
Observació 11-3
Lema fonamental del càlcul variacional:
Donades E (x) : � � R m i T (x) : �� � R m que compleixen
� E (x) � �u d� � �T (x) � �u d� � 0
�
��u ; �u x�� � 0
u
��
� E ( x) � 0 �x � �
��
�T (x) � 0 �x � ��
N O T A
Aquesta demostració
no és rigorosa i es
proporciona només
com a indicació
intuïtiva de la línia de
raonament que segueix
la demostració del
lema.
N O T A
En un llenguatge
estricte, l’equació (11.8)
és una equació variacional
o la forma feble d’un
problema diferencial.
Demostració (indicativa): Considerem l’elecció següent per a �u(x) :
�E (x) �x � �
�
�x � �u
�u(x) � �0
�T (x) �x � �
�
�
Substituint:
x ) � E ( x ) d� � � T ( x ) � T ( x ) d� � 0
� E�(��
��
�����
�
�0
��
� E ( x) � T ( x) � 0 c.q.d .
�0
A l’equació (11.8) se la denomina principi variacional i, atès que �u és arbitrari,
d’acord amb l’Observació 11-3 és totalment equivalent a:
Equacions
d' Euler - Lagrange
� E (x, u(x), �u(x)) � 0 �x � �
(11.9)
322
11 Principis variacionals
Condicions de
contorn naturals
(11.10)
� T (x, u(x), �u(x)) � 0 �x � ��
Observació 11-4
Les equacions (11.9):
E (x, u(x), �u(x)) � 0
�x � �
són, en general, un conjunt d’equacions diferencials en derivades
parcials (EDP) que reben el nom d’equacions d’Euler-Lagrange del
principi variacional (11.8).
Les equacions (11.10):
T (x, u (x), �u( x)) � 0
�x � ��
constitueixen un conjunt de condicions de contorn sobre aquestes
equacions diferencials denominades condicions de contorn naturals. Junt
amb les condicions (11.1):
u(x) � u * (x) �x � �u
denominades condicions de contorn forçades (essencials) o de Dirichlet,
defineixen un sistema la solució del qual u(x) és un extrem del
funcional F .
Exemple 11-4 Sigui el funcional de l’Exemple 11-3:
b
F�u � � ��x, u ( x), u �( x)�dx con u ( x) x � a � u (a) � p
�
a
Obteniu les seves equacions d’Euler-Lagrange i les condicions de contorn naturals i forçades
corresponents.
Resolució
Del resultat de l’Exemple 11-3:
b
��
� �� d � �� ��
�F(u; ��u ) � � � �
�� �u dx �
�
�
u
dx
u
u�
�
�
��
�
�
a �
�
x �b
�u b
s’obté directament:
Equació d' Euler - Lagrange � E (x,u,u' ) �
��
d � �� �
�
�
� � 0 �x � (a,b)
�u dx � �u ' �
Condicions de contorn naturals � T ( x , u , u ') �
Condicions de contorn forçades � u(x)
x �a
��
�u '
�0
x �b
� u(a) � p
�������������������������
���
����������������������������������������������
��������������������������������������������� �� ���������� ��� ���������� � � ��
������ ��� �������� � �� ������� �� ���� ������� ���������� ���� � � �� �� ���� ������
������������� � � ��� � � � ������ ��� �������� �� � ������� ��� ������� ������� ����������
������������������������ � ���������������������������������������������������������
��������������������� � ���� � � � ��
��������
�
�
�������������� � � �� �� � ��� � � � � � � � � ��� ��� � ��� ����
�
������������ ��
��
�
�
� � � �� � � � � � �
��
��
� �� � � � � �
��
��
��
��
�������
�����������
�������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������ �� �
� � ���� � � �� � ���� � � � �� � � � �����������������
�����������������
�������
��� � � � � � � � � ��� � �� � ���������������������������������
���������� �����������������������
�������
��� ����� ����������� ��� ������������ ���������� ��� ���� ��������� ���� ���
�������������� ��� ������� ��� ���� ������������� �� ��� ���������� ������������
���� � ��� ��� � �� �� ��� ��� ���� �������������� ���� ���� �������������� ��� ������� ��
���������� ���� � � �
� � � � �� � �
��
���
�����������������������������������������������
� � ���� � � �� � ��� ��� �� �� �
�� ����� � � ��
��������
�
�
�
� ��� � � � �� �� �� � �
� ��� ��
��
�
��
�
������ � �� ��� � �
�������
�
��� �� ���� �������������� ����� �������������� �� � ��� ���� ��������� �������������
���������
���������������������� ��� �� � � � � � � �� ��� � �
�
�������
��� ������ ��� ���� ���������� ������� �� �������� ���� ���������� ����������������� ���
����������������������������������������������������������������������������
324
11 Principis variacionals
Equacions
d' Euler - Lagrange
E � � � � � � �b � a � � 0 �x � �
(11.16)
Condicions de
�T � t * � � � n � 0 �x � ��
contorn naturals
És a dir, l’equació de Cauchy (11.12) i l’equació d’equilibri en el contorn
(11.13).
El principi variacional (11.14) es pot reescriure de forma totalment equivalent
com s’indica a continuació. Considerant el terme:
��� � � � � �u � � � �� � �u � � � � �� � �u � � � � �� � �u � � � � ��u � � �
�
� �� ij �u j �
� ��u j � � �� ij �u j �
���u j �
� �� ij
i, j �{1,2,3}
� � ij
�
� � ji
� �x �u j �
�xi
�xi
�xi
�xi
� i
(11.17)
i descomponent �u � � a la seva part simètrica, � s �u , i la seva part
antisimètrica � a �u :
�
��u � � � � s �u � � a �u
�
� s def 1
�� �u � ��u � � � � � �u �
2
�
� a def 1
��� �u � 2 ��u � � � � � �u �
(11.18)
Substituint l’equació (11.18) en l’equació (11.17):
R E C O R D A T O R I
El tensor � és simètric
i el tensor � a �u és
antisimètric. En
conseqüència, el
producte resultant és
nul ( � : � a �u � 0 ).
a
��
u
�� � � � � �u � � � �� � �u � � � � ��u � � � � � � �� � �u � � � � � s �u � ���
��
��
(11.19)
� �� � � � � �u � � � �� � �u � � � � � s �u
(11.20)
�0
Integrant ara l’equació (11.20) sobre el domini V i aplicant el teorema de la
divergència, s’obté:
� �� � �� � �u � dV � � � � �� � �u �dV � � �� � � �u�dV �
n � �� � �u �dV � � �� � � �u �dV �
��
s
V
V
V
s
�V � �u � ��
�
V
(11.21)
� �n � � � � ���u0 dV � � �n � � � � �u dV � � �� � � �u�dV �
s
�u
��
V
� �� � � � � �u � dV � � �n � � � � �u dV � � �� � � �u�dV
s
V
��
V
(11.22)
on s’han tingut en compte la condició �u x��u � 0 (vegeu l’equació (11.15)).
Finalment, substituint l’equació (11.20) en la forma original del principi
variacional (11.14) s’obté:
325
11 Principis variacionals
�W�u; �u � � � �� � � � ��b � a �� � �u dV � � (t * � �� � n �) � �u d� �
V
��
� � �� � �� � �u dV � � ��b � a � � �u dV � � t * � �u d� �
V
�
V
�
��
� �� � n�� �u d� �
��
(11.23)
� � � � � � s �u dV � � ��b � a � � �u dV � � t * � �u d� � 0 �
V
V
��
Principi dels treballs virtuals
�W�u; �u � � � �b � a � � �u dV �
�
V
�t
*
� � u d� �
��
� �� � � �u�dV � 0
s
V
(11.24)
��u(x) | �u x�� � 0
u
L’expressió (11.24), que és totalment equivalent al principi variacional original i
continua tenint les mateixes equacions d’Euler-Lagrange i condicions de
contorn (11.16), rep el nom de principi (o teorema) dels treballs virtuals (PTV).
Observació 11-5
El PTV és un principi variacional molt aplicat en la mecànica de sòlids
que es pot interpretar com la recerca d’un extrem d’un funcional del
camp de desplaçaments W �u � , no necessàriament conegut en forma
explícita, la variació (derivada de Gateaux) del qual �W �u; �u � és
coneguda i ve donada per l’equació (11.14). Atès que les equacions
d’Euler-Lagrange del PTV són l’equació de Cauchy (11.12) i
d’equilibri en el contorn (11.13), la seva imposició és totalment
equivalent (encara que més convenient per a la resolució del problema
per mètodes numèrics) a la imposició en forma local d’aquelles
equacions i rep el nom de forma feble d’aquestes.
Observació 11-6
En la formulació PTV no intervé l’equació constitutiva ni es distingeix
el tipus de cinemàtica (deformació finita o infinitesimal), per la qual
cosa la seva aplicació no es veu restringida ni pel tipus d’equació
constitutiva escollida (elàstica, elastoplàstica, de fluid, etc.) ni per la
cinemàtica (deformació finita o infinitesimal) considerada.
11.2.1 Interpretació del principi dels treballs virtuals
Considerem el medi continu en la configuració actual Vt a temps t sotmès a
unes forces màssiques fictícies b * (x, t ) � b(x, t ) � a(x, t ) i a les forces superficials
reals t * �x, t � (vegeu la Figura 11-3) i suportant les tensions reals �(x, t ) .
Considerem, a més, una configuració virtual (fictícia) Vt � �t corresponent a
l’instant virtual t � �t separada de la configuració real pel camp de
desplaçaments virtuals (11.15):
326
11 Principis variacionals
Desplaçame nts virtuals : � �u (x) ; �u x�� � 0
u
(11.25)
�� : � � n � t * �x, t �
t �x, t �
Vt � V
x3
t
- configuració actual
t � �t - configuració virtual
*
t � �t
t
ê 3
ê1
�u
b* � b � a
Vt � �t
x2
ê 2
x1
�u : �u � 0
Figura 11-3
Admetent una cinemàtica de deformació infinitesimal, les deformacions virtuals
associades als desplaçaments virtuals (11.25) serien:
Deformacions virtuals : � �� � � s �u
(11.26)
i suposant que les tensions �(x, t ) romanen constants en l’interval de temps
�t , t � �t �, el treball de deformació virtual (treball virtual intern) realitzat pel medi
durant aquest interval serà:
Treball�
�
virtual � � �W int � �� � �� �dV � � � � s�u dV
V
V
intern ��
�
��
�
(11.27)
Així mateix, suposant que tant les pseudoforces màssiques b * (x, t ) com les
forces superficials t * �x, t � romanen constants durant el procés de deformació
virtual en l’interval �t , t � �t �, el treball que realitzen (treball virtual extern) resulta
ser:
Treball�
�
virtual � � �W ext � � (b � a) � �u dV � t * � �u d�
���
V
��
extern ��
b*
�
�
(11.28)
i de la comparació del PTV en l’equació (11.24) amb les equacions (11.27) i
(11.28), el PTV es pot interpretar com:
�������������������������
���
�������������������������������
� � � �� � �� � �� � � � � �� � �� � �� �� � � �� � �� � �� � � �
��
�
��
������� ���
����
� ������
��������
�
������� �����������������
����������������
�����
���
���
���������� �
���������� �
�������
�� � ����� � �� ��� � �
����������������������������������������������
��������������������������� �� ��� � � �
�
���������������� ����� ��������� ��������� ��� ������� ����� �������� ��
����������������������
����� �������� ���������� ��� �������� � �� �� ��� ����������� ��������� �� � � � �� �� ��
���������� ��������� ��� ������ ��������� ���� �������� ��� ������� ��� � �� ��� ����������
�������� ���� �
�� � �
�� �
� ��
�� �
���� � � � ��� � �� � ��
�� �� �
�� �
� �� �
��� �� ��
��� � � ��� � �
��� � ��� �
� � � � � �
��� �
��� ��� �
����� � � � ���� � �� � �� � �� � ��
��� �� � ���� �� �
��� � ���� �
��
� �� � �
�
���� �� �� ����� �� ��
�������
�������������������������
�� � �� � ��� � ���� � ���� � ���
�
��� � � �������
�
�� �� �� �� � � � �� � � �� � � � � � � ��������
�
�
�������
���������������������������������������������������������������������
�����������������������������������
������������������������������
��
� � � ���� � ��� �� � �� � � �� � �� � �� �� � � �� � �� � � �� � � �
�
��
������� �������� �������
�
���������
������� �����������������
����������������
�����
������������� �
������������� ��
�� � �� ��� � �� ��� � �
���������������������������������������������
��������������������������� �� � �� � � �
�
��������������������������������������������������������������
�������
���
�������������������������
�������������
�����������
���������
��
�����������������������������������
��� ���������� � ������������ ���� ����� ������������ ��� ��������� ������������ ��� ���������
��������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������
��� �����������������������
� � � �
����������������
�����������������������
����������������
������������������������
����������������
�������������������������
������������������
�����������������������������������������������������������������������������������
�� �� � ����������������������
����������������� � � �� � �
�
�
�� � ���
� ��
�
�
�
�
�� �� �
� � �� � �
��
�������
��� �������������������� � � � ��� � � �����������������
���������������������������������������������������������������� ���� �������
����������������������
��� ��
� ���� � �� �� � � �
��
�������
���������������
��� ���� ������ ��� ������� ��� ������ �������������� ������� ���� ��� ���
�������������� � � � ������������������������������������������������
�� � �� � � �� � � � ��� � ��������
�
�
�� � �� � � ��������
��������������������������������������������������������������
� ��� � � �� � � � � �
�����
� �� �
��
��� ������������������������� � � ��� � � �����������������
��������������������������������� � ��� ���������
�� � �
���� �
��
�������
329
11 Principis variacionals
Observació 11-8
Un cas típic de forces superficials conservatives ocorre quan el vector
tracció t * (x, t ) és independent dels desplaçaments (
� t*
� 0 ). En aquest cas
�u
el potencial de forces superficials té l’expressió:
G�u � � �t * � u
�
�G (u)
� �t *
�u
En les circumstàncies anteriors es pot definir el següent funcional denominat
energia potencial total:
Energia potencial
�u � � û ��(u)� dV �
G �u �d�
U
� �u �dV
�
�
V
V
�
Energia
�
��
����
�
����
�
�
���
�
potencial
Energia
Energia potencial
Energia potencial
total
de les forces
elàstica
de les forces
màssiques
superficials
�
�
�
(11.36)
la variació de Gateaux del qual serà:
�uˆ
���u �
�G �u �
: � S ( �u ) dV � �
� �u dV � �
� �u d� �
���
u
�
�
�
�u
�
�
V �
V �
� ���
��
�
��( b�a)
�t*
�U�u; �u � � �
�
� � � : �� dV � � �( b � a) � �u dV � � t * � �u d�
V
V
��
(11.37)
��u | �u x�� � 0
u
on s’han considerat les equacions (11.33) a (11.35). Comparant l’equació
(11.37) amb el PTV (11.29), s’arriba a:
�W � �U �u; �u � � � � : �� dV � � �( b � a) � �u dV � � t * � �u d� � 0
V
V
��
(11.38)
��u | �u x�� � 0
u
N O T A
La condició de mínim
de l’extrem es demostra
a partir del requeriment
termodinàmic que
C sigui definit positiu
(vegeu el capítol 6).
Observació 11-9
Principi de minimització de l’energia potencial
El principi variacional (11.38), que continua sent la forma feble de les
equacions de Cauchy (11.12) i d’equilibri en el contorn (11.13), és ara
la variació de Gateaux del funcional energia potencial U�u � de l’equació
(11.36). En conseqüència, el funcional esmentat, que per al cas de
forces màssiques i superficials constants té la forma:
1
U(u) � � � � C � � dV � � ��b � a � � u dV � � t * � u d�
2���
�
V�
V
�
uˆ ���
�
presenta un extrem (que es pot demostrar que és un mínim) per a la solució del
problema elàstic lineal.
Bibliografia
BONET, J.; WOOD, R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis.
Cambridge University Press, 1997.
CHADWICK, P. Continuum Mechanics. Wiley, 1976.
CHUNG, T.J. Continuum Mechanics. Prentice-Hall, 1988.
COIRIER, J. Mécanique des milieux continus. París: Dunod, 1997.
ERINGEN, A.C. Mechanics of Continua. Wiley, 1967.
FUNG, Y.C. Foundations of Solid Mechanics. Prentice Hall, 1965.
GREEN, A.E.; ZERNA, W. Theoretical Elasticity. Clarendon Press, 1960.
MALVERN, L.E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, 1969.
MASSAGUER, J.M.; FALQUÉS, A. Mecánica del continuo. Geometría y dinámica. Edicions
UPC, 1994.
PRAGER, W. Introduction to Mechanics of Continua. Ginn and Co., 1961.
SPENCER, A.J.M. Continuum Mechanics. Longman, 1980.
TRUESDELL, C.S. The Elements of Continuum Mechanics. Springer, 1966.