Défauts d'orientation et de battement

UNIVERSITE DE LIEGE FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES LABORATOIRE DE METHODES DE FABRICATION DEFAUTS D’ORIENTATION ET DE BATTEMENT J.F. DEBONGNIE Rapport LMF/D50, Octobre 2009 1 Défauts d’orientation et battement 1. Formulation du problème Les défauts d’orientation se caractérisent, comme les défauts de forme, par une fonction d’encadrement f (x; λ ) , mais à paramètres donnés. Pour un compact K à mesurer, la donnée des paramètres constitue la référence, et le défaut d’orientation, par rapport à cette référence est tout simplement la valeur d’encadrement enc( K ; λ ) = sup f (x; λ ) − inf f (x; λ ) x∈ K x∈ K Bien entendu, la signification des paramètres dépend de ce que l’on veut tester : parallélisme, perpendicularité, etc . 2. Relation avec le défaut de forme La même fonction d’encadrement définit donc aussi un défaut de forme qui, rappelons-le, est donné par def ( K ) = inf enc( K ; λ ) λ Par exemple, c’est la même fonction d’encadrement qui définit le défaut de planéité et le défaut de parallélisme. En fait, le défaut de planéité est la plus petite valeur des défauts de parallélisme à toutes les orientations de plans possibles. Il en découle que pour λ donné, on a la relation def ( K ) = inf enc( K ; μ ) ≤ enc( K ; λ ) μ ce qui signifie que le défaut d’orientation est toujours au moins égal au défaut de forme associé. Ceci justifie la règle de bonne pratique selon laquelle le défaut de forme doit être plus petit que le défaut d’orientation si l’on veut que ce dernier conserve sa valeur intuitive. Ce résultat signifie aussi que si l’on recherche par exemple le défaut de planéité d’une surface en testant en fait le parallélisme au marbre après dégauchissage approximatif de la surface (c’est la pratique traditionnelle), on obtiendra toujours une approximation par excès du défaut de planéité. 3. Cas de la référence imparfaite Dans le cas où la référence choisie est une surface physique elle-même entachée d’un défaut de forme, il est de pratique courante d’utiliser une référence simulée, surface de même type, mais parfaite, qui s’ajuste « au mieux » à la surface réelle. Les règles spécifiées dans les 2 normes [NFE04-554] sont d’ailleurs assez discutables. À notre sens, la surface devant être prise pour référence est la surface que l’on ajuste en minimisant l’écart maximum selon la procédure de recherche du défaut de forme et non pas, comme le préconisent certains (pour des raisons de simplicité) en minimisant l’écart quadratique moyen (ou la norme d’ordre 2 du jeu d’écarts, ce qui est équivalent). Mais, dira-t-on, cela change-t-il beaucoup le résultat ? C’est ce que nous nous proposons d’étudier dans quelques cas pratiques. 4. Cas de l’orientation d’une droite dans le plan Dans ce cas, la fonction d’encadrement est, rappelons-le, f ( x, y; ϕ ) = x cos ϕ + y sin ϕ où (cos ϕ , sin ϕ ) est le vecteur normal à la droite de référence. Pour une petite variation de φ on peut naturellement se limiter au premier ordre de la variation de f, δf ( x, y;ϕ , δϕ ) = (− x sin ϕ + y cos ϕ )δϕ Notant que sup( f + δf ) ≤ sup f + sup δf K K K inf ( f + δf ) ≥ inf f + inf δf K K K on obtient immédiatement, en notant enc* la valeur d’encadrement obtenue avec f+δf, enc * ( K ; ϕ , δϕ ) ≤ enc( K ; ϕ ) + sup δf − inf δf K K A l’inverse, on a sup f ≤ sup( f + δf ) − inf δf K K K inf f ≥ inf ( f + δf ) − sup δf K K K d’où enc( K ; ϕ ) ≤ enc * ( K ; ϕ , δϕ ) + sup δf − inf δf K Rassemblant ces deux résultats, on obtient 3 K enc * ( K ; ϕ , δϕ ) − enc( K , ϕ ) ≤ sup δf − inf δf K K Soient alors deux points (x1 , y1 ) et ( x 2 , y 2 ) de K. On a δf ( x1 , y1 ; ϕ , δϕ ) − δf ( x2 , y 2 ; ϕ , δϕ ) = (− ( x1 − x2 )sin ϕ + ( y1 − y 2 ) cos ϕ )δϕ et par l’inégalité du produit scalaire, δf ( x1 , y1 ; ϕ , δϕ ) − δf (x 2 , y 2 ; ϕ , δϕ ) ≤ (x1 − x2 )2 + ( y1 − y 2 )2 δϕ ≤ diam( K ) δϕ où diam(K) est la diamètre de l’ensemble K. Ceci étant vrai quels que soient les points 1 et 2, on a encore sup ( x1 , y1 )∈ K δf ( x1 , y1 ; ϕ , δϕ − δf (x 2 , y 2 ; ϕ , δϕ ) ≤ diam( K ) δϕ quel que soit le point 2, et donc aussi sup ( x1 , y1 )∈ K δf ( x1 , y1 ; ϕ , δϕ ) − inf ( x 2 , y 2 )∈K δf ( x 2 , y 2 ; ϕ , δϕ ≤ diam( K ) δϕ Il en résulte que enc * ( K ; ϕ , δϕ − enc( K ; ϕ ) ≤ diam( K ) δϕ En pratique, diam(K) représente approximativement la longueur de la pseudo droite mesurée. Il est alors aisé de se rendre compte que la présente estimation est à peu près optimale. 5. Cas de l’orientation d’un plan Le principe d’évaluation est le même. La fonction d’encadrement est ici f ( x, y, z;θ , ϕ ) = x cos θ + y sin θ cos ϕ + z sin θ sin φ On a immédiatement δf ( x, y, z;θ , ϕ , δθ , δϕ ) = (− x sin θ + y cos θ cos ϕ + z cos θ sin ϕ )δθ + (− y sin θ sin ϕ + z sin θ cos ϕ )δϕ Cette expression est linéaire en x,y,z. On notera que 4 − x sin θ + y cos θ cos ϕ + z cos θ sin ϕ = − x sin θ + cos θ ( y cos ϕ + z sin ϕ ≤ x 2 + ( y cos ϕ + z sin ϕ ) 2 et que − y sin θ sin ϕ + z sin θ ≤ sin θ − y sin ϕ + z cos ϕ ≤ − y sin ϕ + z cos ϕ ce qui entraîne δf ( x, y, z;θ , ϕ , δθ , δϕ ) ≤ x 2 + ( y cos ϕ + z sin ϕ ) 2 δθ + − y sin ϕ + z cos ϕ δφ ≤ x 2 + ( y cos ϕ + z sin ϕ ) 2 + (− y sin ϕ + z cos ϕ ) 2 ≤ x2 + y2 + z2 (δθ )2 + (δϕ )2 (δθ )2 + (δϕ )2 Posant dans cette relation x = x1 − x 2 , y = y1 − y 2 et z = z1 − z 2 , on obtient de la même façon que pour une droite enc * ( K ;θ , ϕ , δθ , δϕ ) − enc( K ;θ , ϕ ) ≤ diam( K ) (δθ )2 + (δϕ )2 Ici encore, diam(K) représente approximativement la plus grande longueur entre deux points du pseudo plan mesuré. 6. Battement d’un cercle imparfait Le battement consiste en ceci : un centre C étant donné d’avance, on calcule pour chaque point P du cercle imparfait K la distance P − C . Le battement est la valeur d’encadrement enc( K ; C) = sup P − C − inf P − C K K Comment varie le battement lorsqu’on modifie le centre ? Soit C* un nouveau centre. On a d’abord, quel que soit P ∈ K , P − C * ≤ P − C + C − C * ≤ sup Q − C + C − C * K Le dernier membre étant une borne uniforme, on a encore sup P − C * ≤ sup P − C + C − C * K K On a également, pour tout P de K, 5 (*) P − C ≤ P − C* + C − C* d’où P − C * ≥ P − C − C − C * ≥ inf Q − C − C − C * K ce qui permet de conclure que inf P − C * ≥ inf P − C − C − C * K (**) K Soustrayant (**) de (*), on obtient enc( K , C*) ≤ enc( K , C) + 2 C − C * En permutant les rôles de C et C*, on obtient de même enc( K , C) ≤ enc( K , C*) + 2 C − C * de sorte que, finalement, enc( K , C*) − enc( K , C) ≤ 2 C − C * C’est-à-dire que la variation du battement est au plus égale à deux fois la distance des deux centres. Cette évaluation est optimale, car elle est atteinte si les deux rayons extrêmes sont opposés et située sur la ligne joignant les deux centres. 6