Systèmes de points, diviseurs et structure fractale

B ULLETIN DE LA S. M. F. M ICHEL M ENDÈS F RANCE G ÉRALD T ENENBAUM Systèmes de points, diviseurs et structure fractale Bulletin de la S. M. F., tome 121, no 2 (1993), p. 197-225 <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1993__121_2_197_0> © Bulletin de la S. M. F., 1993, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Bull. Soc. math. France, 121, 1993, p. 197-225. SYSTÈMES DE POINTS, DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE PAR MICHEL MENDÈS FRANCE ET GÉRALD TENENBAUM (*) RÉSUMÉ. — Nous donnons deux définitions naturelles de la dimension d'un « système de points )) (i.e. une suite de suites finies croissant strictement de 0 à 1), l'une dans l'esprit de la mesure de Hausdorff, l'autre dans la ligne des idées de Mandelbrot sur la structure fractale. Nous montrons que, pour ces deux notions, l'ensemble des diviseurs d'un entier normal peut être considéré comme un objet de dimension log 2. ABSTRACT. — We give two natural définitions of thé dimension of a « System of points» (i.e. a séquence of finite séquences strictiy increasing from 0 to 1), one in thé spirit of Hausdorff's measure, thé other following Mandelbrot's ideas on fractal structures. We show that, for both notions, thé set of divisors of a normal integer may be seen as an object of dimension log 2. 1. Introduction A l'origine de ce travail, se trouve le désir de décrire quantitativement la nature fractale de l'ensemble des diviseurs d'un entier «normal». L'entreprise peut surprendre. Chaque entier naturel ne possède qu'un nombre fini de diviseurs et la théorie fractale, pour générale qu'elle soit, ne semble pas s'appliquer à de tels ensembles discrets. Cependant, plusieurs résultats assez récents [l], [4]-[6], [8], [12], [13] fournissent une description relativement fine de la structure d'ordre des diviseurs d'un entier normal. Il en ressort un schéma général que l'on peut grosso modo interpréter de la façon suivante. Les diviseurs sont agglutinés au voisinage d'un petit nombre d'entre eux. De plus, lorsqu'on concentre son attention sur un (*) Texte reçu le 27 juin 1991, révisé le 21 avril 1992. M. MENDÈS-FRANCE, Département de Mathématiques, Université de Bordeaux I, 351, Cours de la Libération, 33405 Talence cedex. G. TENENBAUM, Département de Mathématiques, Université de Nancy 1, BP 239, 54506 Vandœuvre cedex. Classification AMS : U N 37, 28 A 80, 28 A 78. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE © Société mathématique de France 0037-9484/1993/197/S 5.00 198 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM seul de ces grumeaux, on retrouve, après agrandissement convenable, une structure macroscopique de même nature, caractérisée par une condensation autour de quelques éléments attracteurs. On peut même quantifier cette auto-similarité, en adaptant le rapport d'agrandissement au nombre total des points restant à étudier — de manière à éviter de « trivialiser » la situation par une discrétisation abusive. Une situation analogue se produit lorsqu'on considère, pour n grand, l'ensemble des points-frontière à la n-ième étape de la trisection de Cantor. Cela nous a conduit à définir la dimension d'un système de points et à attacher à chaque système une fonction — que nous appelons fonction de résolution — dont la constance dans certains sous-intervalles atteste de la nature fractale du système. On peut ainsi assigner à l'ensemble triadique de Cantor une dimension fractale log 2/ log 3, et à l'ensemble des diviseurs d'un entier normal une dimension fractale log 2. Ces idées s'insèrent dans la ligne des travaux de MANDELBROT [10]. Bien qu'enseignant dans des universités distantes l'une de l'autre (Bordeaux et Nancy), nous avons pu nous rencontrer épisodiquement pour mettre nos idées en commun. Nous tenons, à ce propos, à remercier K. NAGASAKA, d'une part, T. COCHRANE et R. DRESSLER de l'autre, pour nous avoir donné l'occasion d'échanger nos points de vue sur les notions à la base de ce travail à Tokyo, en octobre 1988, et à Manhattan (Kansas), en mai 1990. Par ailleurs, nous exprimons notre gratitude à M. BALAZARD qui, par ses remarques aiguës et pertinentes, nous a permis d'améliorer certains points du présent texte. 2. Systèmes de points, loupes, dimensions Nous définissons un système (dynamique) de points X comme la donnée d'une suite d'états Xn•={xw : 0 < j ^ k n } satisfaisant à : (2.1) 0 = x^ < x^ < ' • • < 4? = 1, lim kn = +00. Une loupe est une suite positive £ = (^n)n^i telle que limën == 0. Chaque loupe possède, relativement à un système donné X, un pouvoir séparateur : (2.2) s(£) = s(£^ X) = lim sup log(l/gn) • n-^oo 10g l^n Parmi les loupes de pouvoir séparateur a > 0 relativement à X^ un rôle privilégié est joué par la suite : (2.3) £(a)=e(a,X):=(CT^i. TOME 121 — 1993 — N° 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 199 Pour décrire la capacité d'une loupe à séparer les points d'un système, il est naturel de considérer le nombre des intervalles de longueur En nécessaires pour recouvrir Xn. Ce nombre est essentiellement /^n/£n, avec (2.4) ^-^(^):=mes{ |j [xf - j^, xf + ^J n [0,1]}, o<j^ où mes A désigne la mesure de Lebesgue d'un sous-ensemble A de R. La capacité de résolution de la loupe e relativement au système X peut être évaluée en comparant ^n/^n soit à kn soit à l / £ n - Nous définissons donc, d'une part, le degré de résolution de X par e (2.5) ^^^limsup10^^^ n—roo 10g K^ et, d'autre part, la puissance de résolution (2.6) ^,X):=limsuplogw^). H-.OO log(l/^) Lorsque e = e(a), le rapport g / 7 r est égal à a, et une seule quantité suffit à décrire la situation : c'est la fonction de résolution définie sur IR"^ par (2.7) p(a) = p(a^X) = 7r{e(a)^X) = a-^(£(a),X). On a en toute circonstance ^ < min(l,é-nA;n), donc (2.8) g(e, X) < min (l, s(e)), p(a, X) ^ min(l, a-1) (a > 0) pour tout système de points X. Lorsque g(e^X) = 1, il faut k^~°^ intervalles de longueur En pour recouvrir Xn pour une infinité d'entiers n. Cela signifie qu'en un certain sens, pour ces valeurs de n, £n est assez petit pour que «presque tous» les x" soient ^-isolés. Nous disons alors que la loupe e résoud le système X. Avant d'aller plus loin, explicitons quelques situations types dans lesquelles on peut visualiser les comportements des diverses notions introduites jusqu'ici. Systèmes réguliers. — Soit {3 un nombre positif fixé et (kn)n^i une suite tendant vers +00. Nous appelons régulier le système de points R((3) correspondant au choix : ^Qy (n>l,0^j<kn). BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 200 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Lorsque En '.=- ^n^ on vérifie aisément que l'ensemble des indices j tels que x^ - x^ > en est du type {j : 0 < j < Jn} ou {j : Jn < j < kn} pour un Jn = Jn(a,/3) convenable. Une estimation de Jn conduit alors à la formule suivante pour la fonction de résolution : (2.9) p(a, R((3)) = min(l, a-1) (a > 0, f3 > 0). Ainsi, un système régulier possède-t-il, au vu de (2.8), une fonction de résolution maximale. Systèmes essentiellement discrets. — On dit que X est essentiellement discret si l'ensemble des points d'accumulation de U^LO ^n est ^nL C'est le cas des systèmes Z^ et Z^ définis, pour n > 1, par : ^-{je-^O^^n}^!}, Z^ ,= f ^ — — : o < Jj < n} U {!}. n L J lnlog2n - ~ J On a : p(a, Z^) = 0, p(a, ^ (2) ) = min(l, a-1) {a > 0). Plus généralement, toute fonction de résolution peut être obtenue à partir d'un système essentiellement discret. Systèmes de Cantor. — Soit 0 > 2. Le système de Cantor C(0) a pour état d'indice n l'ensemble Cn = 9In^ où In est une réunion finie d'intervalles ouverts, définie inductivement de la façon suivante : IQ = ]Q, 1[ et In-}-i est obtenu en retirant de chaque composante connexe de In l'intervalle médian ouvert de longueur ^^(l — 2 / 0 ) . Il est clair que Cn C C^+i pour tout n ^ 0 et que \Cn = 2 n+l . Les différences x^-^ — t r sont du type 6^(1 - 2/6^ où 0 < k < n et (2.10) ri siO<A;<n-l, v =v(k,n) = < l 0 si k = n. Soit En '•= (1 — (2/0)0~m, où m est un paramètre entier, 1 < m < n. D'après ce qui précède, les points de Cm sont ^-espacés, donc : (2.11) ^n)>\Cm\en=^l£n. TOME 121 — 1993 — N° 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 201 De plus, Cn \ Cm est composé exclusivement de points du type x^ avec m < k < n, qui sont donc à une distance au plus 0~ m de Cm' Cela implique que Cn Lr - I I t^771) — û-1715 /T.(m) (_il7 fl-m r U J j j 0<j<2rn+l L et donc (2.12) ^n(2(9-7n) ^ |C^ • 2(9^ = 2 m + 2 (9- m . Considérons alors un nombre réel a de ]0,1]. En faisant tendre m et n vers +00 dans (2.11) et (2.12) de façon que 6^ x 2^, on obtient : ^m-^, («^ Par ailleurs, nous avons vu que les points de Cn sont ^-espacés pour En = (l-^/^)^. Ils sont donc a fortiori 2 -û^^1) -espacés dès que 2" > 0. Cela implique /^(2-^ n + l ^ >2( l - a )( n + l ) et donc p(a, G(0)) = a~1 pour ces valeurs de a. Finalement, nous pouvons énoncer que l'on a : (2.13) p(a, C(0)) = mm (^ ,^) (a > 0). Dans tous nos exemples, la fonction p(a) est constante sur un intervalle ]0,ao]. Cela traduit une propriété d'auto-similarité : le nombre d'intervalles de longueur k^ nécessaires pour recouvrir Xn est une puissance de k^ essentiellement indépendante de a. Lorsque cette puissance vaut 0 ou 1, cela signifie simplement que Xn est trop «maigre» ou trop «dense». Dans le cas contraire, on peut interpréter la situation comme un phénomène fractal. Nous appelons dimension fractale de X et nous notons dimfX la valeur de p{a) pour 0 < a < OQ. D'après (2.8), on a donc pour tout système X : 0 ^ dimfX ^ 1. Parallèlement, on peut introduire une dimension différente, liée à l'idéologie qui sous-tend le concept de mesure de Hausdorff. Pour a e [0,1], posons : (2.14) H^Xn):= ^ (x^-xfY. 0<J<k^ BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 202 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Nous définissons la dimension de Hausdorff de X par la formule : (2.15) dimX = inf {a > 0 : limsup ^ f ^ ^ = ol. l y^oo logA;n J Puisque H(l^Xn) == 1, on a en toute circonstance : 0 < d i m X < 1. Il est incidemment à noter que l'on n'obtient pas une notion plus fine en remplaçant dans (2.14) la fonction x ^—> x0' par une fonction x i—^ y(x) concave, et croissant au sens large de 0 à 1. La dimension «généralisée» obtenue en remplaçant parallèlement a dans (2.15) par limsup^ _^o+ (^g^^V^g^ es^ en ^^ inchangée. Notre premier résultat consiste à dégager un lien entre le degré de résolution (2.5) et la dimension de Hausdorff (2.15). THÉORÈME 1. — Pour tout système de points X et toute loupe £, on a : (2.16) g(e, X) < s(e, X) dim X. De plus, (2.17) supyo(a,X) = àïmX. Q>0 COROLLAIRE. — Si la loupe € résoud le système X , alors on a : (2.18) s(£,X)dïmX^ 1. En particulier^ un système de dimension nulle n'est résolu par aucune loupe de pouvoir séparateur fini. D'après (2.17), on voit que si X est fractal au sens introduit plus haut, sa dimension fractale n'excède pas sa dimension de Hausdorff. Dans tous les exemples que nous avons décrit, le calcul direct de dimX est facile. Nous donnons maintenant les détails correspondant au système de Cantor (7((9), soit (2.19) dimC(0)=^. Pour établir cela, désignons par akn l^ nombre des différences .» ^J'+l TOME 121 — 1993 — N° 2 />) X 3 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 203 égales à 0~k (1-2/6^^), où v(k,n) est défini par (2.10). La construction de Cn+i à partir de Cn fournit immédiatement les relations de récurrence o'fc,n+i = Oikn (0 < k < n), 0^+1^4-1 = 2 Onn, d'où akn =c2k (2.20) ( O ^ k ^ n). n-l II suit H(a, Cn) =(1- 2/0)°' ^(2(9-^ + (2(9-Q)7^ et k=0 (2.21) limsup^log7J(a,^)=0 <^> a > n-^oo ^ log2 . log 6 Cela implique bien (2.19). 3. Systèmes divisoriels Ainsi que nous l'avons signalé dans l'introduction, la terminologie introduite à la section précédente est largement motivée par le désir de disposer de concepts effectifs pour décrire la structure des diviseurs d'un entier normal. Considérons la suite d'états : (3-1) ^ ^ { ^ ^ "} ("=2,3,...). Nous disons qu'un système de points D est dimsoriel si la suite de ses états est une sous-suite {Dn : n e A} de (3.1). Nous posons alors : (3.2) D=D(A). THÉORÈME 2. — II existe une suite d'entiers A de densité unité telle que l'on ait pour tout a > 0 : (3.3) p(a,D(A)) =min(log2,a- 1 ). COROLLAIRE. — II existe une suite d'entiers A de densité unité telle que l'on ait : (3.4) dimD(A)=\og2. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 204 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Nous obtenons en fait une estimation quantitative plus fine que (3.3), à savoir — cf. (5.30) — avec la notation (2.4), (3.5) ^(r(n)-) = ^)-4-min(.iog2, i) ^ {o(^logr(n) log3 r(n)} }. (Ici et dans tout l'article, log^ désigne la /c-ième itérée de la fonction logarithme.) Dans le même esprit, il est intéressant de déterminer avec précision le comportement normal de (3.6) F^n) := HÇa^Dn) = Y /log(W^)^ v \ogn .l<i<r{n) ^~ \wn S ou 1 = di < û?2 < • • • < d^çn) == ^ désigne la suite croissante des diviseurs de n. Les THÉORÈMES 1 et 2 impliquent immédiatement que, pour presque tout 72, la fonction Fa(n) tend vers l'infini comme une puissance de r(n} si a < log2, alors que l'on a F^(n) = r(n)°(1) si a > log2. Nous pouvons affiner cela dans l'énoncé suivant. THÉORÈME 3. — Soient ao > log2 et ^(n) une fonction tendant vers +00. Il existe une suite d'entiers A de densité unité telle que l'on ait uniformément pour tout n e A, a > 0 : ( = ^(n)max(O, l-a/log2) ^ {o(v/logT(n)log3T(n)) } (3.7) F^(n) ^ [ < ç(n) si0<a^ao, si ao < a < 1. La seconde estimation (3.7) est optimale. Ainsi que nous le verrons à la section 6, on a pour toute suite A de densité 1 : (3.8) limsupF^(^) == +00 nçA (a < 1). Cela pourrait être interprété comme une déficience de notre définition de la dimension de Hausdorff : si l'on remplaçait, en effet, dans (2.15) la condition lim sup log H (a, Xn)/ log kn = 0 par lim sup H(a, Xn) < oo, on aurait dimDÇA) = 1 pour toute suite de densité 1. Cependant cela ne refléterait pas le comportement normal des entiers : le membre de gauche de (3.8) est fini pour tout a > log 2 pour des suites A de densité inférieure arbitrairement proche de 1 — cf. section 6. Il découle en particulier de (3.3) et (3.4) que (3.9) dimf D(A) = dim D(A) = log 2 TOME 121 — 1993 — N° 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 205 pour une suite convenable A de densité unité. Pour appréhender ce qu'elles révèlent de la nature fractale de la répartition des diviseurs, il faut mettre ces formules en perspective, à la lumière des modèles de base de la théorie. Désignons par uo{n) le nombre des facteurs premiers de n, comptés sans multiplicité. Un théorème classique d'ERDÔs [3] — voir aussi [8, chap. 1] — énonce, sous une forme quantitative, que le jf-ième facteur premier, pj(n), d'un entier normal n satisfait à (3.10) log2P,(n)~J uniformément pour ^(n) < j < uj(n), où ç(n) tend vers +00 arbitrairement lentement. Il n'est pas très difficile de déduire de (3.10) une évaluation de la croissance normale de la suite ordonnée {dj(n) : 1 < j <, r{n)} des diviseurs de n — cf. [8, p. 22-26]. On obtient, pour presque tout entier n, (3.11) logd,(rz) = /+°œ ($(n) < j < r(n)) avec f3 == l/log2. Si l'on néglige le terme d'erreur de (3.11), on obtient pour D(A) le modèle heuristique A (A) = (A^)^ç^, avec (3.12) ^n:={(j/r(n)f:0^j<r(n)}. Un tel système est régulier, au sens introduit à la section 2, et l'on a (3.13) dimfA(A) = dimA(A) = 1, ce qui met en évidence les limites d'une interprétation heuristique de (3.11). On peut expliquer ce phénomène par le fait que le terme résiduel de (3.11) est relativement grand même si l'on néglige celui de (3.10). Dans cette dernière hypothèse, en effet, les diviseurs de n peuvent être assimilés (en omettant les facteurs carrés, ce que l'on peut montrer être acceptable) aux 2^^ nombres d donnés par : uj{n) (3.14) logd = ^ e^e3 j=i (^ = 0 ou 1). Cette suite satisfait bien (3.11), mais sa structure locale est beaucoup moins régulière que celle de (3.12). Le modèle heuristique pour D(A) correspondant à (3.14) est essentiellement le système de Cantor G(e), pour lequel les relations (3.3) et (3.4) sont bien vérifiées. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 206 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Les THÉORÈMES 2 et 3 peuvent ainsi être considérés comme des pièces supplémentaires à verser au dossier du modèle (3.14) de la structure multiplicative des entiers. On sait que le terme d'erreur implicite dans (3.10) est relativement grand — ^ï ± (v^og^J) — et l'utilisation de (3.10) ou (3.14) est toujours délicate, même comme soutien heuristique de conjectures. Par exemple, (3.14) implique que les diviseurs sont ordonnés lexicographiquement, ce que l'on sait être très éloigné de la réalité — cf., entres autres, BOVEY [2]. De même, il découle certainement de (3.14), même en admettant de fortes perturbations pour les petites valeurs de j, que l'on a pour presque tout n (3.15) min log (c^+i/ûL-) > r]{n} I<J<T"(^) pour toute fonction r](n) —^ 0, alors que le membre de gauche est en réalité (logn)1"1^34'0^ — cf. MAIER-TENENBAUM [9]. Nos résultats montrent cependant que, malgré des fluctuations relativement importantes autour de la tendance générale reflétée par (3.14), ce modèle fournit une description acceptable de structure fractale de l'ensemble des diviseurs. 4. Preuve du théorème 1 Notre démontration repose sur les deux lemmes suivants qui peuvent posséder un intérêt propre. LEMME 4.1. — Soit {xj : 0 < j < k} une suite strictement croissante de nombres réels positifs ou nuls et (p : [0, Xk} —>• M une fonction dérivable satisfaisant à <^(0) = 0 et telle que y/ soit à variation bornée sur [0,^/c]. On pose : (4.1) ri ^(v,w):=< t0 s'il existe j G [0, k] tel que v < x j < w, dans le cas contraire. Alors on a : (4.2) ^ ^(^-+1 -xj} =^k) -y(xo) 0<j<k pxk rw + / / X^? w ) d(//(w — v) dw. Jo Jo- Démonstration. — Lorsque xj < w < .Cj+i, (avec 0 < j < k), on a \{v^w) = 1 si, et seulement si, v < Xj. Le membre de droite de (4.2) vaut TOME 121 — 1993 — N° 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 207 donc : ^{xk) - ^(xo) + ^ ?+1 r^j- / / Q<3<kJX3 Jo dy/(w - v) dw - = ^{xk) - (p(xo) + ^ ?-+1 y {^(w-a^-)-(^(w)}dw 0^j</c7^ = (p(xk) - ^(xo) + Z^ M^+i-^)-^^)+^j)} 0^j<fc = ^ (^+1-^). 0<j<fc LEMME 4.2. — Soit [ x j : 0 < j < k} une suite finie de nombres réels telle que : (4.3) 0 = XQ < x^ < . • • < Xk = 1. Pour chaque z, 0 < z < 1, on pose : M(z):= \J [xj-^z^Xj+^z], ^(z):=mes{[0,l}nM(z)}. O ^ J <k Alors pour toute fonction (p : [0,1] -» R satisfaisant aux hypothèses du lemme 4.1, on a : (4.4) ^ ^.+1 - .r,) = ^(1) - r ^(^) d^(z). Jo 0<j<k Si de plus^ (p est concave et telle que ^'(l) > 0, alors on a : (4.5) V (p(xj^-Xj)> sup ^{e^Çe). 0 0^j<k <£<1 Démonstration. — Pour chaque z de [0, l], la fonction caractéristique de M(z) est \(t- ^ z+0, t+ ^ z). En effectuant le changement de variables v =t — ^ z , w =t-\- ^ z dans (4.2), on obtient donc : (4.6) ^ (^(^+1 - Xj) 0<j<k ri rl-z/2 / =^)JO x(t-^z^t+^z)dtd^(z) Jz/2 = ^(1) - 1 W - z) ^\z) = ^(1) - [ ^(z) d^(z). Jo Jo BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 208 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Cela établit (4.4). Lorsque (//(!) > 0, la croissance de ii(z) et la décroissance de ^p' nous permettent de minorer comme annoncé, pour tout e > 0, cette expression par : ^ ( 1 ) - / ^z)d^(z)>^(l)- f\(e)d^(z) JE Je = ^(1) (1 - ^)) + ^e)^(e) ^ ^e)^(e). Fin de la démonstration du théorème 1. — Soit X un système de points, et e = (£n)n>i une loupe. En appliquant (4.5) aux points de Xn avec e = En et (p(t) =ta, on obtient pour 0 < a < 1 H^Xn)>ae^-1^ (4.7) où fin est défini par (2.4). D'où \OgH(a^Xn) ^ iQg^n/ën) _ ^ log(l/gn) _ log(l/a) \0gkn ~ logÂ-n logkn log kn et finalement, avec les notations (2.2) et (2.5), (4.9) limsup10^^^ >g{e,X)-as{e,X). n—>-oo log kn Comme le membre de gauche de (4.9) est nul pour tout a > dimX, on obtient bien l'inégalité (2.16). Pour établir (2.17), il reste à montrer que H(a,Xn) = k^' dès que a > p := supp(/3,X). /3>0 Par définition de p, on a pour tout f3 > 0 fixé (4.10) /^n(V) ^ k^-^0^ (n -. +00), et la croissance de z i—^ /^n(^) permet de déduire que cette relation est satisfaite uniformément sur tout intervalle borné en f3. En effectuant le changement de variables z = k^ dans (4.4), nous obtenons : y+oo (4.11) H{^Xn)=a+a(l-a)\ogkn \ Jo La majoration triviale ^n(k^)k^-^ df3. ^(^) ^ k^ permet de disposer de la contribution de la demi-droite f3 > 1/a. Le résultat souhaité découle donc alors de (4.10). TOME 121 — 1993 — ? 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 209 5. Preuve du théorème 2 Avant d'aborder la partie technique de la démonstration, il n'est pas inutile de souligner que l'intérêt du THÉORÈME 2 provient en grande partie de l'ordre des quantificateurs apparaissant dans son énoncé. En effet, l'évaluation de p(a,D(w4)) ne peut donner de renseignement sur la nature fractale — et en particulier l'auto-similarité — de la répartition des log d/ log n (où d n) pour n G A que si l'on peut faire varier a indépendamment de n, c'est-à-dire de A. La préservation de cette uniformité rend la preuve que nous allons développer maintenant plus délicate qu'on ne pourrait l'imaginer au prime abord. Nous utilisons les notations suivantes, dont certaines serviront également à la section suivante. (5.1) ^ v ^y,z):= ( n > l , 0 < y ^ z) ^ ^||n y<p<z (5.2) r(n;^):= ^ 1 (n > 1, 0 < y ^ z) ; y<d<z ( - .\ f 1 si 3 d | n, y < d < z^ l 0 dans le cas contraire ; (5.3) x{^y,z) :=mm[l,r(n;y,z)) = < (5.4) r(n, 0) := ^ d'0 {n >. 1, 0 G R) ; d\n (5.5) (n > l ^ y > 1) ; n(y) = ]^ P^ p^Hn p<y (5.6) yj :=expexp^' (j = -1,0,1,2,...). Nous employons indifféremment la notation / = 0(p) de Landau et celle de Vinogradov / <^ g. Enfin, nous introduisons la mention p.p. (presque partout) pour signifier qu'une relation est satisfaite pour tous les entiers d'une suite convenable de densité unité. LEMME 5.0. — Soient Ai, À2 tels que Ai > 0 et 0 < À2 < 2. Pour toute fonction multiplicative f satisfaisant à 0 </(?')< AiAF 1 (p>2, ^ = 1 , 2 , . . . ) on a uniformément pour x >_ 2 : (5.7) 1 ^ /(n) W «,^ «A.,A. x .r H „ (l ^ - ) f; /(p^p-^. n<^x P^x ï^=0 BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 210 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Ce résultat est une version affaiblie d'un théorème de HALBERSTAM et RICHERT [7]. LEMME 5.1. — On a uniformément pour x ^ 1 et 2 < y < z : (5.8) \{n < x : n(y) > z}\ « xexp {- j ^}- Démonstration. —Le théorème 07 de [8] donne la majoration annoncée avec une constante CQ non précisée à la place de ^ dans l'exponentielle. La démonstration proposée dans [8] fournit en fait le résultat indiqué pour un choix convenable des paramètres. Les détails sont essentiellement fournis dans [14, p. 396 et 437]. LEMME 5.2. — On a : max n^-610^ < 1 p.p. (5.9) l<,y<:n Démonstration. — Soit x un nombre réel assez grand. Si un entier n tel que ^/x < n <: x contrevient à la majoration de (5.9), considérons une valeur de y réalisant le maximum de (5.9). On a y > 2. Il existe donc un j, avec — 1 < J ' < log2 x, tel que yj < y < î/j+i et l'on a : / \ . 6 logo ^/x ^Q/j+i) >Vj • D'après (5.8) le nombre des entiers exceptionnels < x est donc v-^ ^ r< ^fx + x / F 3 logo \/x • log y. i exp \ - ——-F————1 \ l lOg ^-4-1 J log^+i /-^ -l^J^lc^^ \ i 1-3/e —ô/e <a;(log2.r) / \ =0(0;). LEMME 5.3. — On a : (5.10) max 3/2^z^n fî(n; z, n) - log f.——) < 2 ^/log2nlog4n \[OgZy\ p.p. Démonstration. — Cela découle immédiatement du théorème 11 de [8] et du théorème de Hardy-Ramanujan, compte tenu de la majoration bien connue (5.11) ^(z.-l)<^(7z) p^\\n valable pour toute fonction <^(n) —^ oo. TOME 121 — 1993 — N° 2 p.p. DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 211 LEMME 5.4. — Pour n > 1 et y > 1, posons : (5.12) F(n;y):=__ ^ 7-(m) i (^=^(y)). d [ m, d | 777, |logWd)|<log2/ Alors on a : maxF(n;î/) < (Ic^n) 3 (5.13) 2/>1 p.p. Démonstration. — Introduisant la fonction .(^(^^^(l-I.De-d., nous pouvons écrire pour tout y > 1 : cv \ ^ ^(^ < 1 ... . . w l)r(m) V^ ^ ^ d\ m, d'1777, w /logd7d\ ° / V log^/ / ri , , /l rfm.-^^d-^dô 1 17 w(l)r(m)7-i V l o g î / ^ l v 1 (5.14) <21og./ / l/logy -i/iog^ n\|2 / ^^L^. T(m) Considérons maintenant une valeur y == y{n) réalisant le maximum dans (5.13). On peut supposer y > j > î/_i. Il existe donc un indice j tel que -1 < j < log2 n et yj < y < ^-+1. Posons mj = n/n(yj). On a pour tout 0 : |ï(m^)|2 ^ |r(m,+i^)|2 |r(m/m,+i^)|2 T(m) T(m^+i) r(m/m^+i) i 2 ^ |r(m^+i,(9) l^^j+i^Jj ^// m mj \ \m^+i~ T(m^+i) r(m^-i) \77i.-Li / Compte tenu de (5.14), il suit : (5.15) maxF(n;y)^ 2 ^ e^ f^ \^±^>r(^}de. yïl i / . ^ _ „ 7^-e-i ^("^.1+1) \m,+i/ T -l^^l°g2" - e-l ^m3+l• ^+^ BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 212 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Désignons par Gj(n) l'intégrale en 0 de la majoration précédente. Le LEMME 5.0 nous permet d'écrire (5.16) ^ G,(n) ^ ji, n<x _. 1 « f^expT Y + y œs(01ogp)1 d6> Jo \ ~ P Vj+i<P<x — vo rP )i S,<P<^+1' où nous avons utilisé l'identité : ^^-l^l+^-l^cos^ogp). La première somme en p de (5.16) est uniformément bornée. Pour estimer la seconde, nous distinguons deux cas. Lorsque 0 < 1/logrc, nous majorons trivialement cos(01ogj?) par 1, d'où : E yj+i<p<x cos(01 ^gp)^log(e-.•log.)+0(l). Lorsque 1/loga; < 0 < e"-7, nous écrivons E Vj+i<P<x cos(<91ogj)) p ~ ^ ^—^ ^+i<p<exp(e/6>) Y^ ^—^ 1 p cos(<91og^) p exp(e/0) <p<x <log(e-^- l )+0(l), d'après le lemme 30.1 de [8]. Il suit ce-3 /.l/logo; J y^(7i)< / a:e- loga;d(9+ / Jo n<x Jl/\ogx 3 in xe ~~j-n ^ 3 <€ xe~ log(l + e~ logx) uniformément pour —1 ^ j < log^ x. En utilisant (5.15), on voit que : ^ maxF(î/;77,) ^ x { ^ n<x 2/^1 ~ ^ < rr(log2;r) 2 . Cela implique bien (5.13). TOME 121 — 1993 — N° 2 log(l + e"7 log.r) ^ -l<J'^log2^ DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 213 Fin de la démonstration du théorème 2. — Dans un premier temps, nous établissons la majoration p{a,D(A)) ^ min(log2,a- 1 ) (5.17) (a > 0) lorsque A est la suite (de densité unité) de tous les entiers n qui satisfont (5.9), (5.10), (5.11) (avec par exemple ç(n) = \og^n) et (5.13). Posant logd I(n) := J f10^ - 2^(n)+ 2jï(n)-1 v / v / Y Liogn logn J et i^n '-= mesJ(n), il faut donc montrer que : 1 limsup10^^^ < min(log2,av /). nçA alogT(n) ° 5 (5.18) Lorsque a > l/log2, la majoration triviale ^n ^ rÇn)1^ implique clairement (5.18). Lorsque 0 < a < l/log2, nous décomposons chaque diviseur d de n sous la forme d = ab, avec a = d(y) pour le choix : y = exp [r^n)-0' log n}. (5.19) Il suit : 7 n A") c y U [^-j^-^+l^l+^^-.l. C M h - — - ^22Tv / Liogn ^gy^ ^g^ 2 v ^ j y Liogn b |n p\b=>p>y D'après le LEMME 5.2, on a pour n G A log^(^) .^ log^ / . ^ ———— < 6 logo n -—— = 6r{n) logo v / 63 n. logn ""logn D'où ^n < ^ (l+61og3n)T(n)- Q <2^ n ^ n )log3n•T(n)- Q b|n p|b=^p>î/ ^lognVog2_ < (\ogy) T(n) aex ^ ^———^———^ P{ 3 V /io g2^og4^} = rÇn)^-1^0^ exp {3^^ nlog4 n }, BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 214 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM où nous avons utilisé la condition (5.10). Nous pouvons donc écrire pour n e A log (rtn^an) ( 1 \ \ n < log 2 + 0 a[ogr(n) • " 5.20) puisque (5.10) et (5.11) garantissent que (5.21) ^=log2+of./login) log2n ° ^y logan ) (neA). Cela complète la preuve de (5.18). Tournons maintenant notre attention vers la minoration : p{a,D(Â)) > min [log 2, a"1). (5.22) Cela nécessite une minoration de f^n- Le paramètre y = y(n) étant toujours défini par (5.19), on a ^n = / +00 x(^; ^/Vv^ ^Vv) d^ -00 avec la notation (5.3). A ce stade, on pourrait espérer une minoration convenable si l'on savait que (5.23) r^r^/^n^) n'est pas trop souvent beaucoup plus grand que x{^nu / \/V ^ nu \/V) • Malheureusement, cela n'est pas le cas. Le LEMME 5.2 montre en effet que n(y) est essentiellement de l'ordre d'une puissance de y , ce qui signifie qu'avec chaque diviseur d de n compté dans (5.23) sont également comptés presque tous ceux qui ont les mêmes facteurs premiers > y que d. Cette analyse conduit à considérer la minoration : l^n > / +00 X^n^/^y.n^^y^àu (m = n/n(y)). -00 L'inégalité de Cauchy-Schwarz implique alors : (5.24) / /l+00 \2 ( / r(m; n"/^/, n"^) du) J—00 / /.+00 +00 < ^n an / TOME 121 — 1993 — N° 2 ^ ^ Tdn'.n^'/^/y, r(m; n'Vv^ n^^/y} ^^yY du. -00 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 215 Le membre de gauche est aisément calculé. On a : / y+oo +00 (5.25) -, r(m; n"/^y, n"^/y) du = ^m)-^ = r^r^)-0. lOgïl ^ —-oo oo De même / /*+oo +00 ^mi^/^n"^)2^ -00 y logy-|log(c;yd)| z f-^ ^ \r\cf n logn d\m,d'\m |log(d7d)|<log2/ lofi' y < ^-^r(m)F(^y) = T(m)T(n)-aF(r^^) avec la notation (5.12). On déduit donc de (5.13), (5.24) et (5.25) que l'on a ^n > T^^n^^loga n)~3 (n ç A) et donc : (5^ log(r(n)^ ^ b g ^ ^ b g ^ alogr(n) alogr(n) valog^n/ Lorsque a > l/log2, on a, grâce à (5.21) : logî/^logn-T^)- 1 / 1 ^ 2 ^exp^v^logan^n)}. D'où, par (5.10) et (5.21) : (5.27) r(m) ^T(n)exp{-0(v/îog2^Tog^)} (a > l/log2). Lorsque 0 < a < l/log2, la relation (5.21) montre que y —^ oo avec n dans A. On peut donc utiliser (5.10) avec z = y pour évaluer r(m). Il vient : (5.28) r(m) >. rÇn^ log2 exp {-0(^\og^n\og^n)} ( 0 < a < l/log2). En reportant (5.27) et (5.28) dans (5.26), on obtient donc, uniformément pour a > 0 : (5.29) ^n)a^ ^ min(log2,a-^) + ofl./ 10 ^) a\ogr{n) v o ^ / \a^\og^n) log (. e A). v / Cela établit bien (5.22) et achève ainsi la démonstration du THÉORÈME 2. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 216 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM REMARQUE. — Nous avons en fait montré que l'estimation effective (5.30) log ^^=^.in(log2,a-)+ofl/^^ alogr(n) < o ' / i ^ y logr(n) ) est valable uniformément pour a > 0, n ç A. Cela nous servira dans la démonstration du THÉORÈME 3. 6. Preuve du théorème 3 Rappelons la définition (6.1) F^n):=H(a,D^= ^ (log(^iM)^ l<i<r(n) ogn (n>l,a>0) où 1 = di < û?2 < • • • < ^r(n) = n désigne la suite croissante des diviseurs de n. Par (5.30) et (4.11), il existe une suite A de densité 1 telle que l'on ait uniformément pour nç:AetO<a<l /*+00 F^{n) = a + a ( l - a ) l o g r ( n ) / Jo ^)mm(^iog2,i)-^+o(^(n)) ^ ^ ^/^\max(0,l-a/log2)+0(0(n)) avec bg3 eçn) := ./ ^V logï(n) Cela fournit la première des deux estimations (3.7). Pour établir la seconde, nous allons montrer que pour chaque e > 0 et chaque a > log2, il existe une suite Ae de densité inférieure excédant (1 — e) telle que : (6.2) ^)<a,.l ( n e A). Cela implique pleinement qu'étant donnée une fonction arbitraire $(n) —^ oo la suite Ao des entiers n satisfaisant à (6.3) F,(n)<^(n) est de densité unité. Ainsi que nous l'avons signalé dans l'introduction, la relation (6.3) est optimale, au sens où F^{n) n'est borné pour aucun a < 1 sur une TOME 121 — 1993 — ? 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 217 suite dé densité 1. La construction suivante, dont nous nous contentons d'indiquer les points-clefs, permet d'établir cela. Soit e > 0 assez petit, k := [log(l/£)/log2] - 2. On constate sans peine que, pour chaque e > 0, la suite des entiers n qui peuvent s'écrire sous la forme n=mpo'"pkp avec les conditions 1 ^ m < n62, n823 < pj < n623^2 (0 < j < k) est de densité inférieure positive, et partant possède une infinité d'éléments dans toute suite de densité 1. Or, si nous désignons par ts (pour 0 ^ s < 2 fc+l ) les diviseurs de po • ' ' p k , il est clair que : (6.4) ts = n^0^62) (0 < s < 2 A; + 1 ). Maintenant, pour chaque valeur de s ^ 1, mis est un certain diviseur dj de n. Pour e assez petit, ts-^-i > dj d'après (6.4) et on a en fait c^+i = tg^-i puisque tous les diviseurs de la forme m'tr avec m' \ m, r < s sont ^ dj. On a donc log(dj+i/d^) > ^e\ogn pour au moins 2^ ^> 1/e valeurs de j. D'où: ^a(n)>^- 1 . Comme e est arbitrairement petit, cela implique bien que limsupFc^) = +00 pour toute suite de densité 1. Nous allons maintenant établir (6.2). Dans toute la suite de cette section, nous convenons que les paramètres y . z ^ u d'une part, Y,Z,U d'autre part, sont liés par les relations : y=zl~u^ (6.5) Y=Z1-U. LEMME 6.1. — Soient 0 < £ < j et À > 0. Alors on a (6.6) max {^(n; 1, z) - (1 + e) \og^ z} ^ X 2 ^ z <^ x pour tous les entiers n < x sauf au plus <€ ^^(l + e)~xx. Démonstration. — C'est une conséquence immédiate du lemme 50.1 de [8]. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 218 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM >0. 0. Le Lenombre nombre des entiers n < x LEMME 6.2. — Soient 0 < e < \ - ci et \ X> ne satisfaisant pas à (6.7) v \^(n', z z) - ( l + ^ l o g 1 } < A max / 2^2Y<Z<x [ logZ^^loga; \ Y U J ~ ) est<^e~^(l^e)~xx. Démonstration. — Introduisons les points-tests : t,:=exp{e-j\ogx} 0-=0,1,2,...). Si n ne satisfait pas (6.7) et si Y, Z réalisent le maximum du membre de gauche, il existe deux indices j, h avec 0 < j ' < / i ^ l + log^ x, tels que : f t j + i <Z<,t^ t^+i < Z / Y < t ^ { 1 t^(n;^+i,^)>(l+^)log^+À. (6.8) De plus h — j — 1 < log — ^ ^ — j + 1, de sorte que : (6.9) ^(n;^+i,^) > ( I + £ ) ( / ^ - J - I ) + À . Par ailleurs, la condition logZ > U10 \ogx implique J ^ log (^|) < 10 log ^ < 10(h -j + 1) ^,-.. d'où Le nombre des exceptions à (6.7) est donc < Y^ — / ^ n^x Y^ / ^ j^Wog^x V^ ^i^^(n;^+i,t,)-(l+£)(^-J-l)-A v / / ^ llj7l0-l</i<l+log2a; +00 «x E E (1 + ^e-W^-^ « rr(l + ^-^(1 + ^)-2 j=o /i>iij/io-i où la somme en n a été estimée grâce au LEMME 5.0 et où l'on a posé Q(f) := tlogt - t + 1. TOME 121 — 1993 — ? 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 219 On obtient le résultat annoncé en observant que Q(l+^)>£2 pour 0<£<1. Nous désignons dans la suite par A{x\ £, A) l'ensemble des entiers n <: x satisfaisant (6.6) et (6.7). On a donc (6.10) |A(^,A) > ^ { l - c l £ - 4 ( l + £ ) - À } pour une constante positive convenable ci. Le lemme suivant fournit une majoration du nombre H ( x , y , z ^ e , \ ) des entiers n de A{x\ £, A) qui possèdent au moins un diviseur dans ]^/,^], soit, avec la notation (5.3) : (6.11) H ( x , y , z ' , e , \ ) := ^ ^(n\y,z). neA{x\e,\} LEMME 6.3. — On a pour 2 <, y < z <, ^/x : (6.12) H ( x ^ y ^ ^ ^ X ) <,, ^ l - log2 - £ (log2/log^ < u < (log^/log^) 1 / 10 ), (6.13) H^y^z^^^^^xdogz^^ulogf—1——} \ u log z / ^z<y<z-l). Démonstration. — Posons t := log(l/îz). Nous décomposons chaque entier compté dans (6.11) sous la forme n = ab avec a = 71(2^). D'après le LEMME 5.1, on a a < z2^ (6.14) sauf pour au plus 0(ux) entiers n <, x. Cette estimation est compatible avec les bornes de (6.12) et (6.13). Nous pouvons donc nous restreindre aux entiers n satisfaisant (6.14). Nous désignons par ïl\ la sous-somme correspondante de (6.11). Si n est compté dans Jïi, la relation \(n\ y^ z) = 1 implique que b = n/a possède au moins un diviseur d tel que ^-ns < d < z où l'on a posé s := 2t + 1. On peut donc écrire : (6.15) ^i^ E r(^1-^). nçA(x;e,\) BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ^20 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM Lorsque y , z , x satisfont la condition de validité indiquée pour (6.12), nous utilisons le fait que les entiers n de A(x',e,\) satisfont (6.7), et en particulier : (6-16) ^;^)<(1+^+A. On déduit donc de (6.15) et (6.16) que l'on a pour toute valeur du paramètre v tel que 0 < v < 1 : H, <, ^v^^^-^^r^z1-^^) n<x ^V-XU{l+e)logv l V^ y v^ us z ~ <d<z p\d => p>zu ^(m;^) m<x/d La somme en m est < (x/d^u1^ d'après le LEMME 5.0. La somme en d apparaissant alors peut être traitée par sommation d'Abel à partir de l'évaluation ^ d<D vsïw<<£ (^<^) —"' log u p\d => p>z qui découle elle-même du LEMME 5.0. On obtient ainsi : H^ < xv~xsu2~2v^l^^v. (6.17) En choisissant alors v = ^ , on obtient (6.12). Lorsque \z < y < z - 1, nous utilisons (6.6). Il suit comme précédemment, pour tout v tel que 0 < v < 1 : H, < ^v^^-^^^-^y^z) n<x <^; - À (log/^) - ( l + £ ) l o g v V yW y<d<z x v l logv <^v~ x(\ogz) ~ -^^ y" ^ z y<d<z y^ ^(m;l^) m<x/d vw d . La somme en d a été évaluée dans [8, formule (2.39), p. 39] en utilisant le théorème de Shiu [11] pour les sommes «courtes» de fonctions multiplicatives. Elle est « ^(iog.r-iog(^) ^(^(log^iog^) TOME 121 — 1993 — ? 2 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 221 d'où : H^ <^v~xxu(\ogz)2v~l-^£^osv log(v 1 ). u log z / Choisissant ici encore v = ^ , on obtient (6.13). Fin de la démonstration du théorème 3. —Soit a > log 2. Nous posons, pour e < eo(a), Ai (a-; £, a) = A(rc; e, (6/e) log(l/£)), de sorte que (6.10) implique, quitte à modifier la valeur de £o(a)^ (6.18) [Ai(^,a)| > x(l - ^e) (x > xo(e)). Nous allons montrer que pour une constante convenable K(e^ a) on a : (6.19) ^ F^(n)^K(e^a}x. nG^4.i(a;;£,a) On en déduit que F^(n) <2£- l ^(£,a) pour tous les entiers n < x sauf au plus pour ex d'entre eux — c'est-àdire (6.2). Pour n > 1, k := [^ r(n)], la symétrie ^j+l _ ^r(n)-7+l dj ^W-j des diviseurs de n permet d'écrire (6.20) ^ (log^+i/d,))" K,<.(n) ^^ (log(^l/d,))a+7n(log(v^/^))a ^ Kj<k où 7n vaut 2 si n est un carré, et 20' dans le cas contraire. D'après le LEMME 4.1, la somme du second membre vaut : /«logdfc /*w (6.21) (logcy+c^l-a) / ^0 / x(^e^e w )(w-î;) a - 2 dî;dw. ^0 BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 222 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM En effectuant le changement de variables ew = z, e° = z1-'11, on déduit donc de (6.20) et (6.21) : ^w ^ (ïoi^/^10^)'"1^/1^ Désignons par J(n) l'intégrale double apparaissant dans cette majoration. Nous pouvons nous restreindre à établir que : (6-23) Y, J(n)<^^x(\ogxY. n€Ai(a;;£,û:) Le résultat souhaité découle ensuite d'une sommation d'Abel. Le traitement de la somme (6.23) est assez complexe, et il est nécessaire d'opérer quelques réductions préalables. Nous observons d'abord que la contribution du domaine \ <, u < 1 est O^logn)^), donc acceptable. Par ailleurs, une majoration grossière de la contribution complémentaire est obtenue en remplaçant ^(n; 24-^ z) par r(n; ^-^ z). Une interversion des signes d'intégration fournit alors : /ll/2 />v/n r[ \ u^du T(n;^-^^)(log^-1— Jo Ji z /.d 1 ^ 1 —) r1 < E / ^-W Jd d\nJO , (iog.r-^ z «^(logûO^T^logn)^ d\n Cela montre que l'on peut imposer la condition supplémentaire n > ^/x dans la sommation (6.23). Considérons alors la partition du domaine d'intégration {Kz<^/n, 0<u<^} induite par les conditions (Pi) ^<^; (P2) z>n2u, zu ^ 2 ; (Ps) z > n2^ ——— < zu < 2, z > 2 ; (?4) z>n2u^ \<^u^——— Z (Ps) ^>n'2u, l ^ z < , 2 ; TOME 121 — 1993 — ? 2 -L ^>2; 223 DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE et désignons par Jk(n) la contribution du domaine (P/c) à l'intégrale double J(n). Nous allons montrer que l'on a : ^ JkW^^x^ogx)0' (6.24) (1^<5). nç.Ai(x;e,a) n>^/x Nous estimons J\(n) en majorant trivialement ^(n; ^ l-n , .z) par 1. Après interversion de sommations, nous obtenons : r1 Ji(n) ^ a~1 / ua~2(2u\ogn)oidu < (logn)0. Jo La relation (6.23) est donc bien satisfaite pour k = 1. Les conditions (V^) impliquent —— < u < —— lorsque n > \fx. On log,z log.r a donc grâce à (6.12), avec A == (6/5) log(l/£) : rVx ^ /*log z / log x Y. J^(n}<, \ (logz) 0 - 1 — / Jl neA^a) n> ^/x z ^(^^-^^AK^dn ^og2/log. «,rr { "(logz)— 12;^ y11^-1^2-1-^ Ji Jo ^^^(loga-) 0 . Cela implique (6.23) pour k = 2. Semblablement, on déduit de (6.13) que E w nçAi{x;e,a) rVx « X / Ji ^ /-l/log^; (log.)"^2-1^ ^ / ^ Jo 2 «,,, xÇlogx)^ ^ <,,. ^(log^r)", d'où (6.23) pour k = 3. Enfin, on estime J^(n) et J5(n) en majorant ^(n'.z^.z) par -1 H"-1 10g (—————) d^ T(n;^ l - n ,^). BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE mogz 224 M. MENDÈS FRANCE ET G. TENENBAUM On obtient ainsi : 0 2 w ï r^)«- s r^"'" ""'- ^ 1/2 d|n 7log^/d)/log^ ^ z-l<d<z «FE 72 ;— (^^"(^^^«E^; vdiogd/ ^ ^ ' ^l72 ^-l<d<^ / ll/2 2 ° d|n />2 ^ J5(n)< / ^- / T^-^^logz)— 1 —^ </o 7i /z ^ ^(log^«l. d|n d<2 On a donc ^ J/,(n) <^ a; pour k = 4, 5, ce qui achève la démonstration. n<^x REMARQUE. — Nous avons établi la seconde estimation (3.7) en majorant la valeur moyenne de F^(n) sur un sous-ensemble de {n : n < x} de densité voisine de 1. Il est légitime, ainsi que l'a fait M. BALAZARD, de se demander si le résultat annoncé ne découle pas, plus simplement, de la majoration : ( 6 - 2 ^) ^F^n) <„ x (a > log2). n<x Un tel résultat n'a en fait pas lieu. En remarquant que l'on a pour tout n > 1 W^C^YY: i, Mogn/ -^ 2 l<J<r(n) dj | dj+i et en appliquant le théorème 2 de [13], on obtient en effet ^ Fa(n) > xÇlogx)1-6-^0^ n^x avec è = 1 - (1 + log2 2)/ log 2=0,086071.... ce qui infirme (6.25) pour log2 < a < 1 - 6. Par ailleurs, pour l - ( ^ < a < l , o n peut effectivement établir (6.25) : grâce à (6.22), le théorème 21 de [8] fournit immédiatement Y,F^(n) <„ x(\ogx)^^1-6-^ n<x TOME 121 — 1993 — ? 2 (0 < a < 1). DIVISEURS ET STRUCTURE FRACTALE 225 BIBLIOGRAPHIE [1] BALOG (A.), ERDÔS (P.) and TENENBAUM (G.). — Où ârithmetic functions involving consécutive divisors, m Analytic Number Theory, Urbana, 1989, B. Berndt, H. Diamond, H. Halberstam, A. Hildebrand eds., Prog. Math. 85, p. 77-90 Birkhàuser, 1990. [2] BOVEY (J.D.). — On thé size of prime factors ofintegers, Acta Arith., t. 33,1977, p.65-80. [3] ERDÔS (P.). — On thé distribution function of additive functions, Ann. ofMath., t. 47, 1946, p. 1-20. [4] ERDÔS (P.) et TENENBAUM (G.). — Sur la structure de la suite des diviseurs d'un entier, Ann. Inst. Fourier, t. 31, 1981, p. 17-37. [5] ERDÔS (P.) et TENENBAUM (G.). — Sur les diviseurs consécutifs d'un entier, Bull. Soc. Math. France, t. 111, 1983, p. 125-145. [6] ERDÔS (P.) et TENENBAUM (G.). — Sur les fonctions arithmétiques liées aux diviseurs consécutifs, J. Number Theory, t. 31, 1989, p. 285-311. [7] HALBERSTAM (H.) and RICHERT (H.-E.). — On a resuit of R.R. Hall, J. Number Theory (1), t. 11, 1979, p. 76-89. [8] HALL (R.R.) and TENENBAUM (G.). — Divisors. — Cambridge University Press, 1988. [9] MAIER (H.) and TENENBAUM (G.). — On thé set of divisors of an integer, Invent. Math., t. 76, 1984, p. 121-128. [10] MANDELBROT (B.B.). — Les objets fractals : forme, hasard et dimension. — Flammarion, Paris 1975 ; 3e édition, 1989. [11] SHIU (P.). — A Brun-Titchmarsh Theorem for Multiplicative Functions, J. Reine Angew. Math., t. 313, 1980, p. 161-170. [12] TENENBAUM (G.). — Lois de répartition des diviseurs 4, Ann. Inst. Fourier, t. 29, 1979, p. 1-15. [13] TENENBAUM (G.). — Un problème de probabilité conditionnelle en arithmétique, Acta Arith., t. 49, 1987, p. 165-187. [14] TENENBAUM (G.). — Introduction à la théorie analytique et proba- biliste des nombres. — Publications de ITnstitut Élie Cartan, Université de Nancy I,1990. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE