Aplicaciones a la Mecánica espacial

Aplicaciones a la Mecánica espacial A Preprint Jaime Chica Escobar Profesor Jubilado, UdeA. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemáticas. Hernando Manuel Quintana Ávila Instituto Tecnológico Metropolitano, ITM. Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas. [email protected] Jonathan Taborda Hernández Independent Scholar [email protected] Abstract En el presente artículo se estudia el movimiento de satélites, cohetes y otros vehículos espaciales alrededor de la Tierra, como un caso particular del comportamiento de las grandes masas en el espacio, lo cual permite determinar las trayectorias (elípticas, circulares, geoestacionarias), la velocidad de lanzamiento, la velocidad de escape, etc. Abstract This article studies the motion of satellites, rockets and other spacecraft around the Earth as a particular case of the behaviour of large masses in space, which allows for the determination of trajectories (elliptical, circular, geostationary), launch speed, escape speed, etc. Índice 1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Aplicaciones a la Mecánica espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Cálculo de ϵ (excentricidad de la trayectoria) en términos de r0 y v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. La III ley de Kepler aplicada al sistema Tierra-satélites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. Satélites en órbita geoestacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Keywords Secciones cónicas · Leyes de Kepler · Ley de gravitación universal · Órbita elíptica · Órbitas circulares · Órbitas geoestacionarias · Velocidad de escape · Velocidad de lanzamiento · Distancia de lanzamiento 1 Introducción El movimiento de los cuerpos celestes, principalmente los planetas se ha estudiado desde los orígenes del razonamiento humano, pasando por las visiones geocéntricas y heliocéntricas. Con los avances matemáticos, la física moderna y los ordenadores el estudio de la Mecánica celeste ha progresado mucho. Desde un punto de vista moderno y utilizando la rigurosidad matemática se explica el comportamiento de las grandes masas en el espacio que se atraen una de la otra siguiendo las leyes de Kepler y Newton. 1 2 2 Chica, Quintana and Taborda Aplicaciones a la Mecánica espacial Hay un problema de ingeniería muy común en nuestro tiempo: la puesta en órbita de satélites y vehículos espaciales alrededor de la Tierra con centro en F, masa M y radio R.1 Consideremos el sistema gravitacional formado por la Tierra como centro de atracción y los satélites artificiales (plataformas espaciales) colocados en órbita. Con relación al problema que se ha venido asaltando, el sistema gravitacional estaba formado por el Sol, los planetas (y otros objetos como cometas, etc...), que giran alrededor de él. Ahora el sistema considerado es la Tierra y los satélites artificiales, girando alrededor de ella, (véase Fig. 1). P m M F R C B Figura 1. Sistema gravitacional formado por la Tierra como centro de atracción de masa M y satélite artificial de masa m Llamemos m al vehículo espacial. Con m también designaremos su masa. Para poner en órbita a m con respecto a la Tierra hay dos fases.2 En la primera fase llamada la fase propulsada del vuelo, el vehículo es lanzado desde B y llevado hasta el punto C por medio de un cohete de etapas múltiples. Una vez colocado en C, se apagan los motores y comienza la segunda fase del lanzamiento. El vehículo, o satélite queda abandonado a la acción del campo gravitacional creado por la Tierra. Vamos a estudiar el movimiento de m a partir del momento en que es abandonado en C. −→ Se asumirá que en el punto C la velocidad del vehículo con respecto a la Tierra es ⃗v0 . Llamaremos r0 = FC y supondremos que −→ −→ ←→ ⃗v0 ⊥ FC, (⃗v0 perpendicular a FC). Definamos un sistema de coordenadas polares de foco en F y eje polar el eje x = FB . La única fuerza que actúa sobre m después de puesto el vehículo en el punto C es el campo gravitacional creado por la Tierra. Todas las demas fuerzas debidas a otros planetas del sistema solar se desprecian. Cuando m está pasando por el punto P de la órbita, la fuerza ⃗F que actúa sobre m es, (véase Fig. 2). ⃗F = − GMm u⃗r r2 Por la II-ley de Newton, 3 .. .2 m(r − r θ )⃗ur = − ✚ 1 Cf. Bannikova and Capaccioli [2]; Hahn [31], [32]. 2 Cf. Hintz [35]. 3 Cf. Cohen [43]; Harper [33]; Chandrasekhar [12]. GMm ⃗ur r2 2 Aplicaciones a la Mecánica espacial 3 m P A M R C B Eje polar Figura 2. La fuerza ⃗ F sobre el satélite de masa m, cuando pasa por el punto P, de la órbita C está dada por: ⃗F = GMm ⃗ur r2 Además, como m se mueve en un campo de fuerzas central, la velocidad areolar es constante. O sea que, . h dA = : cte; r2 θ = h : cte = r0 v0 dt ↓ 2  A: área de la región sombreada o área barrida por el radio vector Se tiene entonces que, . . GM r2 . r2 θ = h; h = r0 v0 : cte r − rθ2 = − . (1) (2) r2 θ Utilizando el hecho de que = h = r0 v0 : cte, vamos a transformar el lado izquierdo de (1) para conseguir una ecuación diferencial para la curva C : la trayectoria seguida por m. De (2): . h dθ = 2 θ= dt r Luego .2 h2 r4 .2 h2 r3 θ = y rθ = (3) Ahora, . r= Como, d dθ dr dr dθ h = · = 2 dt dθ dt ↑ r dθ = dt dr dθ h r2 dr     r·0−1· 1 1 h dr d 1 dθ = =− 2 2 = −h r dθ r r2 r r dθ | {z } ∥ f (θ ) (4) 4 Chica, Quintana and Taborda que llevamos a (4): . r = −h d dθ   1 r d dt  Luego, .. r= dr dt     d d 1 −h dt dθ r    d d 1 = −h dt dθ r | {z } = ∥ f (θ )    d d 1 dθ · dθ dθ r dt  2   1 h d = −h · 2 2 r r dθ   h2 d2 1 =− 2 2 r r dθ = −h (5) Llevando (3) y (5) a (1):   1 GM h2 − 3 =− 2 r r r   d2 1 1 GM + = 2 r dθ 2 r h h2 d2 − 2 2 r dθ Hacemos ahora u = (6) 1 . Entonces: r GM d2 u +u = 2 2 dθ h (7) Ahora, si W es el peso del satélite en la superficie de la Tierra, W es el valor de la atracción gravitacional4 terrestre cuando m GMm ∴ GM = gR2 . está «cerca» a la superficie terrestre W = mg = R2 W m M R Figura 3. W = mg peso del satélite cerca a la superficie de la Tierra que llevamos a (7): d2 u gR2 +u = 2 dθ h2 ↑ 1 u= r ecuación diferencial de la trayectoria 4 Cf. Ducheyne [20], [18], [19]; Hernández [34]; Chen and Cook [13]; MacDougal [40]. (8) 2 Aplicaciones a la Mecánica espacial 5 Para poder identificar el tipo de solución a (8), es necesario que recordemos de nuevo las Cónicas.5 Consideremos la cónica C (DD, F, ϵ), (véase Fig. 4). directriz: DD foco F: centro de la Tierra excentricidad: ϵ distancia foco-directriz: p = d( F; DD ) = FQ D P Eje polar V foco (F) Q p Figura 4. C : órbita elíptica del satélite con foco en F (centro de la Tierra) y directriz DD Vamos a encontrar la ecuación de C con respecto al sistema de coordenadas polares con foco en F y eje polar la perpendicular desde F a DD. Sea P ∈ C . Entonces, PF = ϵ; PD PF = r PD = p − r cos θ Luego, r =ϵ p − r cos θ r = ϵp − ϵr cos θ; r (1 + ϵ cos θ ) = ϵp ∴ 1 1 + ϵ cos θ = r ϵp 1 1 1 = + cos θ r ϵp p 5 Cf. Chica and Quintana [25] (9) 6 Chica, Quintana and Taborda Si llamamos u = 1 se tiene que: r 1 1 1 u = u(θ ) = = + cos θ r ϵp p  1 du   = − cos θ  dθ p 2u 1 d    2 = − sin θ p dθ Luego 1 1 1 ✘ 1 ✘ d2 u cos✘ θ+ cos✘ θ= + ✘ +u = − ✘ 2 p ϵp p ϵp dθ y se tiene que: d2 u 1 1 + = u ϵp dθ 2 (10) Como resultado de comparar (8) y (10) se concluye que la trayectoria del satélite es una cónica con el foco en el centro F de la Tierra y en la que se cumple que gR2 1 = 2 ϵp h Regresando a (9), 1 gR2 1 = 2 + cos θ r p h (11) Si θ = 0, gR2 1 1 = 2 + r0 p h ∴ gR2 1 1 = − 2 p r0 h y regresando a (11): gR2 1 = 2 + r h 3  gR2 1 − 2 r0 h  cos θ : Ecuac. dif. de la trayectoria del satélite Cálculo de ϵ (excentricidad de la trayectoria) en términos de r0 y v0 Como B ∈ C , ϵ= Ahora, según (11), r0 , p − r0 (véase Fig. 5) 1 1 gR2 = 2 + cos θ r p h Si θ = 0◦ , 1 gR2 r 2 v 2 − gr R2 1 = − 2 2 = 0 0 3 20 p r0 r0 v0 r0 v0 = ∴ p= r0 v0 2 − gR2 r0 2 v0 2 r0 2 v0 2 r0 v0 2 − gR2 (12) 3 Cálculo de ϵ (excentricidad de la trayectoria) en términos de r0 y v0 R m 7 C M p r0 v2 r0 0 Figura 5. La excentricidad ϵ de la trayectoria C del satélite está dada por ϵ = p− r0 = gR2 que llevamos a (12) ϵ= r0 r0 2 v0 2 − r0 r0 v0 2 − gR2 r0 r0 v0 2 − gR2 = gr0 R2
O sea que: ϵ= r0 v0 2 − gR2 gR2 Si ϵ = 1, la trayectoria de m es una parábola.6 Pero, ϵ = 1 ⇐⇒ r0 v0 2 − gR2 =1 gR2 ⇐⇒ r0 v0 2 − gR2 = gR2 2 2 ⇐⇒ r0 v0 = 2gR ⇐⇒ v0 = 6 Cf. Chica and Quintana [26]. s 2gR2 r0 8 Chica, Quintana and Taborda Llamemos C a la trayectoria seguida por m una vez alcanza el punto de lanzamiento C. Entonces se cumple que: s 2gR2 C es una parábola ⇐⇒ ϵ = 1 ⇐⇒ v0 = r0 s 2gR2 C es una hipérbola ⇐⇒ ϵ > 1 ⇐⇒ v0 > r0 s 2gR2 C es una elipse ⇐⇒ ϵ < 1 ⇐⇒ v0 < r0 4 Velocidad de escape De lo anterior se desprende que hay una velocidad límite con que m debe llegar a C. Esa velocidad se llama velocidad de escape en el punto C, (véase Fig.6). M R B C Figura 6. La velocidad del satélite en C, para que entre en órbita con respecto a la Tierra debe ser menor que VCesc VCesc = s 2gR2 r0 Como su nombre lo indica, el vehículo m no puede llegar a C con una velocidad mayor o igual a VCesc si lo que se quiere es que entre en órbita. s 2gR2 Para v0 < , m entra en órbita con respecto a la Tierra, (véase Fig. 7). r0 Ecuación de la órbita C .   1 gR2 gR2 1 − 2 cos θ; h = r0 v0 = 2 + r r0 h h ◦ Si θ = 180 ,   1 1 1 gR2 gR2 2gR2 = 2 − − 2 = 2 − r r0 r0 h h h 4 Velocidad de escape 9 a b c O M a Figura 7. Las distancias r0 y r1 son el perigeo y el apogeo de la órbita elíptica C ,  v0 < VCesc = q 2gR2 r0  De aquí se obtiene r1 en términos de r0 y v0 . Las distancias r0 y r1 son llamadas el perigeo y apogeo de la órbita. s 2gR2 Si v0 ≥ , m escapa al espacio. No entra en su órbita con respecto a la Tierra.7 r0 Supongamos que m está en órbita con respecto a la Tierra. Llamemos τ: período orbital o tiempo para realizar una órbita. Vamos a calcular τ en términos de r0 y v0 . dθ dA h Sabemos que r2 = h = r0 v0 : cte y que = : velocidad areolar o la velocidad a la que el radio vector barre el área. dt dt 2 También sabemos que πab es el área encerrada por la elipse.8 Como h h dA = , dA = dt dt 2 2 πab/2 Z Zτ/2 h dA = dt 2 0 0 πab h τ hτ = · = 2 2 2 2 O sea que, τ= Los semiejes a y b de la elipse se obtiene así: es claro que: a= 2πab 2 (13) r0 + r1 2 (14) b2 = a2 − c2 = a2 − ( a − r0 )2 = a2 − ( a2 − 2ar0 + r0 2 ) = 2ar0 − r0 2 = r0 (2a − r0 ) = r0 r1 √ ∴ b = r0 r1 7 Cf. Greenberg [30]. 8 Cf. Chica and Quintana [25], pp. 36-39. (15) 10 Chica, Quintana and Taborda Al llevar (14) y (15) a (13) se obtiene el período τ de la órbita en términos de r0 y r1 . Ya teníamos a r, en términos de r0 y v0 . De esta manera se halla τ en función de r0 , v0 . Podemos dar también a y b en términos de ϵ y p para encontrar otra expresión muy útil para hallar τ: τ= ϵ2 p2 2π 2 r0 v0 (1 − ϵ2 )3/2 Ya tenemos que, √ r0 + r1 y que b = r0 r1 2 ϵp ϵp   + ϵp 2 1 1 r0 + r1 1 + ϵ 1 − ϵ = ϵp = = + a= 2 2 2 1+ϵ 1+ϵ 2 1 − ϵ2 a= O sea que, a= ϵp 1 − ϵ2 b= √ r r0 r1 = ϵp ϵp ϵp · = √ 1+ϵ 1−ϵ 1 − ϵ2 Entonces, b= √ ϵp 1 − ϵ2 A = πab = π ϵp ϵp ·√ 1 − ϵ2 1 − ϵ2 Así que, A=π ϵ2 p2 (1 − ϵ)3/2 y finalmente, τ= 2πab 2π 2 ϵ2 p2 2π π · ϵ2 p2 = = h h (1 − ϵ2 )3/2 r0 v0 (1 − ϵ2 )3/2 que es el resultado que se buscaba. Estudiemos ahora las posibles trayectorias desde el punto de vista de la energía. Una vez el vehículo m es colocado en C, puede entrar en órbita o no. En cualquier caso, como se mueve en un campo central de atracción inverso cuadrático, la energía mecánica, E, se conserva. O sea que: E = EC + EPE = GMm mv0 2 − 2 r0 2 = mv0 2 gR2 m − 2 r0 2 ↑ GM = gR2 = mv2 gR2 m : cte − 2 r2 (16) 4 Velocidad de escape 11 F p Figura 8. ϵ: excentricidad de la trayectoria elíptica en términos de r0 , v0 condiciones iniciales del lanzamiento Ahora, ϵ= r0 v0 2 − gR2 gR2 ϵgR2 + gR2 = r0 v0 2 ∴ gR2 = r0 v0 2 1+ϵ que llevamos a (16) r v 2m mv0 2 − 0 0 2 1 + ϵ r0   1 1 − = mv0 2 2 1+ϵ E= O sea que, E = mv0 ↑  2  ϵ−1 2(1 + ϵ )  Recuérdese que r0 y v0 son los C.I. del lanzamiento Llamemos C a la trayectoria de m. Finalmente llamemos v a la velocidad del satélite en el punto P de la órbita, (véase Fig. 9). Vamos a encontrar a v en términos de r (radio vector del punto, r0 y v0 ). (17) 12 Chica, Quintana and Taborda P m B C F m Figura 9. v: velocidad del satélite de masa m en el punto P de la órbita elíptica Como la energía se conserva, GMm mv2 − = EM 2 r ∴   mv2 GMm = EM − − 2 r = EM + gR2 m r (18) Ahora, EM = mv0 2 GMm − 2 r0 = gR2 m mv0 2 − 2 r0 que llevamos a (18) mv0 2 m m gR2✚ gR2✚ mv2 ✚ ✚ = − + 2 2 r0 r O sea que, v2 v 2 = 0 + gR2 2 2  1 1 − r r0  (19) De aquí se obtiene v en función de las C.I.(r0 , v0 ) del problema y de r: radio vector del punto P. Se tiene entonces que: (1) C es una Parábola ⇐⇒ ϵ = 1 ⇐⇒ E = 0. (2) C es una Hipérbola ⇐⇒ ϵ > 1 ⇐⇒ E > 0. (3) C es una Elipse ⇐⇒ ϵ < 1 ⇐⇒ E < 0. 5 La III ley de Kepler aplicada al sistema Tierra-satélites artificiales Consideremos el sistema gravitacional formado por la Tierra como centro de atracción y los satélites artificiales colocados en órbita. 5 La III ley de Kepler aplicada al sistema Tierra-satélites artificiales 13 m a b c M p Figura 10. Órbita elíptica del satélite de masa m con respecto a la Tierra de masa M En la (Fig. 10), se tiene el satélite m en órbita con respecto a la Tierra de masa M y radio R. La órbita del satélite es la elipse C de foco en F (centro de la Tierra), de semieje mayor a, excentricidad ϵ, directriz DD y p = d(DD, F ). Llamemos τ al período de la órbita, tiempo para eyectar una órbita. Vamos a demostrar que: 4π 2 4π 2 τ2 = = : cte. cualquiera sea el satélite 3 GM a gR2 Así que de nuevo se cumple la tercera ley de Kepler.9 La demostración es como sigue. dA 1 · 1 vareolar = = r2 θ = h : cte; h = r0 v0 , (véase Fig. 11) dt 2 2 m A F m Figura 11. vareolar = dA dt = r0 v0 (constante) El área encerrada por la elipse E es πab, y por tanto πab 1 = h τ 2 ∴ τ= 2πab h 9 Cf. Kepler [37]; Donahue [38]; Stephenson [46]; Martens [42]; Bialas [6]. (20) 14 Chica, Quintana and Taborda Ahora, a= ∴ p 1 − ϵ2 = ϵp 1 − ϵ2  ϵp 1/2 b= √ Llevando (22) a (20): τ= (21) a ϵp ϵp =  1/2 = (ϵp)1/2 · a1/2 ϵp 1 − ϵ2 ↑ (21) a (22) 2πa(ϵp)1/2 a1/2 2πa3/2 (ϵp)1/2 = h h Pero teníamos que ϵp = Luego h2 GM 2πa3/2 τ= = τ2 =  h2 GM h 1/2 2πa3/2 ( GM)1/2 4π 2 a3 GM y finalmente, 4π 2 τ2 4π 2 = : cte. cualquiera sea el satélite en consideración. = 3 GM a gR2 6 Órbitas circulares Recordemos que el satélite llega al punto de lanzamiento P0 con una velocidad v0 ≥ s 2gR2 = vesc, r0 , no entra en órbita. 10 r0 Supongamos que v0 es ligeramente menor que vesc, r0 . El satélite entra en órbita. Su trayectoria es la elipse mostrada en la ( Fig. 12) y en la que r1 = Recuérdese que: ϵp ; 1−ϵ r0 = ϵp ; 1+ϵ r0 v0 = r1 v1 r0 v = 1 r1 v0 Pero r0 < r1 . Luego, r0 <1 r1 y en consecuencia, v1 <1 v0 10 Cf. Bannikova and Capaccioli, [2] a= ϵp 1 − ϵ2 6 Órbitas circulares 15 F' R F p 2a Figura 12. Trayectoria elíptica del satélite alrededor de la Tierra cuando v0 < vesc, r0 (velocidad de escape) O sea que, v1 < v0 Las ecuaciones que permiten obtener a ϵ y p son:  2E ϵ2 − 1    =  2 2  ϵ p mh2      donde 1 gR2 = 2 ϵp h (23) (24) R : radio de la Tierra h = r0 v0 = r1 v1 E= Si llamamos 2 e = 2E = v0 2 − 2gR E m r0 las ecuaciones (23) y (24) quedan así:   e  E ϵ2 − 1   =   ϵ2 p2 h2 E (m se llama la energía por unidad de masa). De la ecuación (26) ϵp = gR2 m mv0 2 − 2 r0 h2 gR2       gR2 1 = 2 ϵp h (25) (26) 16 Chica, Quintana and Taborda que llevamos a (25) ϵ2 = 1 + = 1+ = ↑ 1 u2  h e E ϵ2 p2 h2 e 4 Eh ( gR2 )2 h2  ↑ e 4 Eh u2 h2 u = gR2   2u 2 2 2 2 u + v0 − r0 v0 r0  = r0 v0 e = v0 2 − E = = 1+ 2gR2 r0 2 i 1 1 h 2 2 4 2 2 u + r v − 2ur v r v − u = 0 0 0 0 0 0 u2 u2 O sea que,   u 2 r0 2 2 ϵ = 2 v0 − r0 u 2 y finalmente, ϵ= r0 u v0 2 − u r0 u = gR2 podemos verlo gráficamente, (véase Fig. 13). 1 Figura 13. Dependencia de la excentricidad ϵ para la trayectoria C del satélite respecto a v0 , r0 6 Órbitas circulares 17 F ′ F = 2a − 2r0 =    a= ↑ 2ϵp 2ϵp − (1 + ϵ)(1 − ϵ) 1 + ϵ ϵp 1 − r2 ϵp   r0 = 1+ϵ   2ϵ2 p 1 2ϵp = −1 = 1+ϵ 1−ϵ 1 − ϵ2 = En la (27) se tiene que: 2ϵ2 r0 2 v0 2 2r0 2 ϵv0 2 = 1 − ϵ2 ϵgR2 gR2 1 − ϵ2  1 gR2 gR2    = 2 = 2 2   ϵp h r0 v0   r0 2 v0 2   ∴ p = ϵgR2 Ahora observemos la (Fig. 13). Para una misma ϵ hay dos velocidades de lanzamiento. s gR2 Si v0 −→ , ϵ −→ 0 y si observamos (28) y (27) r0 F ′ F −→ 0 y p −→ ∞ O sea que F ′ se acerca a F y la directriz DD se aleja hacia el infinito. La órbita se acerca cada vez más a una circunferencia de centro en F. La ecuación de la órbita elíptica era: 1 gR2 = 2 − ϵ cos θ r h s 2 gR Cuando ϵ = 0, v0 = , F ′ coincide con F y la órbita es la circunferencia C ( F; r0 ) de ecuación: r0 gR2 1 1 gR2 gR2 = 2 = 2 2 = 2 2 = r r0 h r0 v0 r0 vcirc, r0 ∴ v2circ, r0 = y vcirc, r0 = s u r0 gR2 r0 vcirc, r0 es la velocidad inicial en P0 para que la órbita sea circular, (véase Fig. 14). (27) (28) 18 Chica, Quintana and Taborda T R F Figura 14. vcirc, r0 : velocidad del satélite en P0 para que su trayectoria sea circular • Otra forma de hallar vcirc, r0 , (véase Fig. 15). m M m R Figura 15. Trayectoria del satélite de masa m, es un movimiento circular uniforme de radio r0 Como la trayectoria es un movimiento circular uniforme de radio r0 , la fuerza que actúa sobre m es la fuerza centrípeta Fc = mv2circ, r0 r0 Esta fuerza es igual a la fuerza de atracción gravitacional11 de la Tierra sobre m. Así que Fc = ∴ v2circ, r0 = 2 ✘✘ mv✘ m GM✚ ✘ circ, r0 = r0 r02 GM r0 y se tiene que vcirc, r0 = 11 Cf. Boys, [7]; Chen and Cook, [13] s gR2 r0 (29) 6 Órbitas circulares 19 La energía E0 de un satélite en órbita circular de radio r0 con respecto a la Tierra podemos, en virtud de (29) escribirla así: E0 = mv2circ, r0 2 − GMm gR2 m m gR2 = −  r0  r0  2 r0   y  = v2circ, r0 = gR2 r0  mgR2  r mgR2 −1 = − r0 2 2r0 q 2 gR v0 < vcirc, r0 = r0 , ϵ empieza a crecer. La órbita vuelve a ser una elipse cuyos elementos se calculan así: r0 gR2 r0 2 = v − ϵ=  0 2 r0  gR2 gR    y v0 2 −  gR2 − v0 2 r0  gR2 ⩽0 r0 obtenida la nueva ecentricidad ϵ, p= r0 2 v0 2 gR2 ϵ La directriz DD vuelve a aparecer a la derecha del otro foco F ′ (véase Fig. 16). P0 es ahora el afelio de la órbita. T F Perihelio de la nueva órbita F' Afelio de la nueva órbita Figura 16. Trayectorias del satélite de masa m alrededor de la Tierra dependiendo de v0 . Si v0 < vcirc, v0 la trayectoria elíptica permite su regreso a la Tierra En el caso en que m seas un vehículo tripulado y si F es el centro de la Tierra, la segunda elipse, o sea la correspondiente al caso en que v0 < vcirc, r0 = gR2 será la trayectoria de regreso a la Tierra. r0 20 7 Chica, Quintana and Taborda Satélites en órbita geoestacionaria Consideremos un satélite moviéndose en una órbita circular de radio r0 con respecto a la Tierra, (véase Fig. 17). T R Figura 17. Distancia del lanzamiento del satélite r0 = r 3 gR2 τ 2 con periodo τ 4π 2 Llamemos vcircr0 a su velocidad y τ a su período. Entonces: vcirc, r0 τ = 2πr0 O sea que, s gR2 τ = 2πr0 r0 donde R es el radio de la Tierra y g = 9,8m/seg2 : acceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra ∴ gR2 2 τ = 4π 2 r0 2 r0 y por lo tanto, r0 3 gR2 τ 2 así que r0 = = 4π 2 s 3 gR2 τ 2 4π 2 Si τ = 1 día, el satélite está en órbita geoestacionaria, o sea que siempre lo tendremos en zenit, como «colgado» sobre el mismo lugar, y el radio re0 para esta órbita geoestacionaria es, Figura 18. re0 , ve0 : distancia y velocidad del lanzamiento del satélite con trayectoria geoestacionaria (τ = un día) 7 Satélites en órbita geoestacionaria 21 s gR2 (24 · 3,600)seg2 ≈ 36,000Km 4π 2 ( R: radio de la Tierra ≈ 6,370Km) re0 = 3 Estos satélites están muy lejos de la superficie terrestre y son muy importantes en meteorología y telecomunicaciones. Llamemos ve0 la velocidad de los satélites en órbita geoestacionaria con respecto a la Tierra. Hallemos ve0 , (véase Fig. 18). ve0 = ω re0 ; ω = ve0 = ve0 = ✚ 1h 2πrad 2π rad ✚ × = 3600sg 24 × 3600 seg 24✁h rad 2π × 3600Km 24 × 3600 seg 20π Km 24 sg Referencias [1] P. Acuña. Scientific Understanding in Astronomical Models from Eudoxus to Kepler, pages 289–340. Springer International Publishing, Cham, 2023. ISBN 978-3-031-32375-1. doi: 10.1007/978-3-031-32375-1_12. URL https://doi.org/10.1007/ 978-3-031-32375-1_12. [2] E. Bannikova and M. Capaccioli. Foundations of celestial mechanics. Grad. Texts Phys. Cham: Springer, 2022. ISBN 978-3-03104575-2; 978-3-031-04578-3; 978-3-031-04576-9. doi: 10.1007/978-3-031-04576-9. [3] J. Barbour. The key to newton’s dynamics. 1997. doi: 10.1088/0264-9381/14/3/028. semanticscholar.org/paper/e85db1bda5b8387cbdb6b5c9f68c66877434c6c0. URL https://www. [4] A. Bardi. Copernicus and Axiomatics, pages 1789–1805. Springer International Publishing, Cham, 2024. ISBN 978-3-03140846-5. doi: 10.1007/978-3-031-40846-5_110. 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