Smith intro termodinamica 7e capitulo muestra c07

Capítulo 7 Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo La termodinámica del flujo se apoya en los balances de masa, energía y entropía, que se han desarrollado en los capítulos 2 y 5. En el presente capítulo se examina la aplicación de estos balances a procesos específicos. La disciplina fundamental en el estudio de los flujos es la mecánica de fluidos,1 la cual incluye no sólo los balances termodinámicos sino también el principio del momentum lineal (segunda ley de Newton). Lo anterior hace de la mecánica de fluidos un amplio campo de estudio. La diferencia entre los problemas termodinámicos y los problemas de la mecánica de fluidos depende de si se requiere de este principio para su solución. Los problemas cuyas soluciones obedecen sólo a la conservación de la masa y a las leyes termodinámicas se suelen apartar del estudio de la mecánica de fluidos y se tratan en cursos de termodinámica. Por lo tanto, la mecánica de fluidos considera un amplio espectro de problemas en los cuales es necesario aplicar el principio del momentum. Aun cuando la división es arbitraria, suele hacerse de tal manera porque es lo más conveniente. Considere, por ejemplo, el flujo de gas en una tubería. Si se conocen los estados y las propiedades termodinámicas del gas a la entrada y a la salida de la tubería, la aplicación de la primera ley establece en tal caso la magnitud del intercambio de energía con los alrededores de la tubería. Por lo tanto, el mecanismo del proceso, los detalles del flujo y la trayectoria de los estados que en realidad sigue el fluido entre la entrada y la salida son innecesarios en este cálculo. Por otra parte, si sólo se tiene un conocimiento parcial de los estados inicial y final del gas, en tal caso se necesita contar con información del proceso antes de hacer cualquier cálculo. Por ejemplo, la presión de salida del gas tal vez no esté determinada. En tal caso es preciso aplicar el principio del momentum de la mecánica de fluidos, y ello requiere de una expresión empírica o teórica para el esfuerzo cortante en la pared de la tubería. 1 Noel de Nevers, Fluid Mechanics for Chemical Engineers, 3a ed., McGraw-Hill, Nueva York, 2005. La mecánica de fluidos es tratada como una parte integral de los procesos de transporte por R. B. Bird, W. E. Stewart y E. N. Lightfoot en Transport Phenomena, 2a edición, John Wiley, Nueva York, 2001; por C. O. Bennett y J. E. Myers en Momentum, Heat and Mass Transfer, 2a ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1982; por J. L. Plawsky en Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Nueva York, 2001; por D. P. Kessler y R. A. Greenkorn en Momentum, Heat and Mass Transfer Fundamentals, Marcel Dekker, Nueva York, 1999; y por D. E. Rosner en Transport Processes in Chemically Reacting Systems, Butterworths, Boston, 1986, y DOVER, Mineola, Nueva York, 2000. 254 07-SmithVanNess.indd 254 8/1/07 13:33:22 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles 255 De manera inevitable, los procesos de flujo resultan de gradientes de presión dentro del fluido; además, pueden existir gradientes de temperatura, velocidad y aun de concentración dentro del fluido en circulación. Lo anterior contrasta con las condiciones uniformes que prevalecen en el equilibrio en sistemas cerrados. La distribución de las condiciones en los sistemas de flujo requiere que las propiedades sean atribuidas a las masas puntuales del fluido. De esta manera, suponemos que las propiedades intensivas, como la densidad, la entalpía específica, la entropía específica, etc., en un punto se determinan sólo por la temperatura, la presión y la composición en ese punto, sin la influencia de gradientes que se hallen en el mismo. Es más, suponemos que el fluido presenta el mismo conjunto de propiedades intensivas en el punto, como si existiera un equilibrio a la misma temperatura, presión y composición. La consecuencia es que se utilizaría una ecuación de estado local y de manera instantánea en cualquier punto en un sistema fluido, y que es posible invocar el concepto de estado local, independientemente del concepto de equilibrio. La experiencia muestra que esto conduce, para propósitos prácticos, a resultados que van de acuerdo con la observación. Para una fácil referencia, en la tabla 7.1 se resumen las ecuaciones de balance para sistemas abiertos de los capítulos 2 y 5. Se han incluido las ecuaciones (7.1) y (7.2), que son las formas restringidas del balance de masa. Estas ecuaciones son la base del análisis termodinámico de procesos en éste y en los siguientes dos capítulos. Cuando se combinan con los enunciados de la propiedad termodinámica permiten el cálculo de las velocidades del proceso y de los estados del sistema. 7.1 FLUJO EN CONDUCTOS DE FLUIDOS COMPRESIBLES Algunos problemas como la elección del tamaño de las tuberías y la forma de las toberas requieren de la aplicación del principio del momentum de la mecánica de fluidos,2 y por lo tanto, no entran en el campo de la termodinámica. De cualquier modo, la termodinámica proporciona ecuaciones que interrelacionan los cambios que ocurren en la presión, la velocidad, el área de la sección transversal, la entalpía, la entropía y el volumen específico de una corriente que circula. Consideramos en este caso un flujo en una dimensión, en estado estacionario, adiabático de un fluido compresible en ausencia de trabajo de flecha y de cambios en la energía potencial. Primero se deducen las ecuaciones termodinámicas pertinentes y en seguida se aplican al flujo en tuberías y toberas. � El balance de energía apropiado es la ecuación (2.32). Con Q, Ws y Δz�igualados a cero, �u 2 �H + � = 0 � + 2 = En forma diferencial, =− dH = –udu =− (7.3) . También se aplica la ecuación de continuidad, la ecuación (2.27). Puesto . que es constante, su forma diferencial es: ( / )= ( / ) == 0 d(uA/V) o d V − du − d A = − − =0 V u A (7.4) 2 Ver W. L. McCabe, J. C. Smith y P. Harriott, Unit Operations of Chemical Engineering, 7a ed., Sección 2, McGraw-Hill, Nueva York, 2006; R. H. Perry y D. Green, Perry’s Chemical Engineers’ Handbook, 7a ed., Sección 6, McGraw-Hill, Nueva York, 1997. 07-SmithVanNess.indd 255 8/1/07 13:33:23 256 07-SmithVanNess.indd 256 Table 7.1: 7.1: Ecuaciones Equations of Tabla deBalance balance General Equations Ecuaciones generalesofdeBalance balance for Single-Stream para procesos de flujo estable procesos de flujo estable Steady-Flow Processes Steady-Flow Processes de una corriente dm cv . + �(m)fs = 0 dt . �(m)fs = 0 (2.25) �� � .� . . d(mU )cv + � H + 12 u 2 + zg m fs = Q + W dt (2.28) . � Qj . d(m S)cv . + �(S m)fs − = SG ≥ 0 dt Tσ, j j (5.21) � �� . . . m1 = m2 = m (7.1) � .� . . H + 12 u 2 + zg m fs = Q + Ws (2.30) . � Qj . . �(S m)fs − = SG ≥ 0 Tσ, j j (5.22) �H + (7.2) �u 2 + g�z = Q + Ws 2 (2.32a) �S − � Qj = SG ≥ 0 Tσ, j j (5.23) CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Balance Equations Ecuaciones de balance Balance Equations Ecuaciones de balancefor para 8/1/07 13:33:24 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles 257 La relación fundamental para la evaluación de una propiedad apropiada para esta aplicación es: = T dS + + = + dH = = + V dP (6.8) = = + + = + Además, es posible que el volumen específico del fluido se considere en función de su entropía y de la pre= ((( ,,, ))) = = sión: V = V(S, P). Por = =lo((tanto, ( ,,, ))) � � � � � � = � � � � � � � �∂∂∂V � � � �∂∂∂V � � = + � � � � = ∂∂∂∂ + ∂∂∂ dV = dS + dP = = ∂∂ S P + + ∂∂ P S = + ∂∂∂ ∂∂∂ Esta ecuación se expresa en forma más conveniente por la identidad matemática: � � � � � � � � � � � � � � � � � ∂ �� � � �∂∂∂ V � � � �∂∂∂ T � � = ��∂∂∂∂V � � = � � � � = ∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ S P = = ∂∂ T P ∂∂ S P = ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ Sustituyendo las dos derivadas parciales de la derecha por las ecuaciones (3.2) y (6.17) se obtiene: � � � � � ∂ V �� ββV T � β =β ��∂∂∂∂ � � = = ∂∂∂∂ S P == ββC P = ∂∂∂ β donde β es el β coeficiente de expansión del volumen. La ecuación deducida en física para la velocidad del β sonido c en unβββfluido es: � � � � � � � � � � � � ∂ � ∂ � ∂ ∂ � � � � � ∂ ∂ =− − V2 = − �∂∂ V �� = =− − 2 �∂∂∂P � = − = ∂ ∂ ∂ o − = − −V = − = − c2 = ∂ ∂ =− ∂∂∂V S ∂∂∂ P S = − c2 Sustituyendo las dos derivadas parciales en la ecuación para dV se produce: ββ β =β −V = − βT dV = − ββ d S − (7.5) = = − 2dP − V = CP c Las ecuaciones (7.3), (7.4), (6.8) y (7.5) relacionan las seis diferenciales —dH, du, dV, dA, dS y dP. Con no más de cuatro ecuaciones, tratamos dS y dA como independientes, y desarrollamos ecuaciones que expresen las diferenciales restantes como funciones de estas dos. Primero se combinan las ecuaciones (7.3) y (6.8): + =− − + = − + = + + = = − − T dS + V d P = − −u du (7.6) � y (7.6) obtenemos, después de reacomodarlas: � � � � � Eliminando dV y du de la ecuación (7.4) por las ecuaciones (7.5) β � � � β β �� − 2 +� + +β = − − = + + − β 2 ))) + − = ((( − βu u β = =0 + + + + − − ((1 ( − − 2)) T dS − d A = (7.7) ) dP + 1 + ( − M )V CP A donde M es el número de Mach, definido como la relación de la velocidad del fluido en el conducto a la ve/// /// ecuación (7.7) relaciona dP con dS y dA. locidad del sonido en el fluido, u/c. La Las ecuaciones (7.6) y (7.7)  se combinan para  eliminar a V dP: β    2 β     β � � βu + + 2  � � � �  βββ +  M   2   � � � + + 1 = + −   C �� u  P + T d S +  +� − − =   − = (7.8) u du − dA=     −       − − − + + =0 2 2 − −   A  1 −−M   − = + 1 −−M   − − 07-SmithVanNess.indd 257 8/1/07 13:33:32 258 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Esta ecuación relaciona du con dS y dA. Al combinarse con la ecuación (7.3), relaciona dH con dS y dA, y al combinarse con la ecuación (7.4) relaciona dV con esas mismas variables independientes. Las diferenciales en las ecuaciones anteriores representan cambios en el fluido conforme éste atraviesa una longitud diferencial de su trayectoria. Si esta longitud es dx, en tal caso cada una de las ecuaciones de flujo se divide entre dx. De ese modo, las ecuaciones � (7.7) y�(7.8) serán: β 2�� �� � � d S − u2 d A = + ββu ( − 2) d P + ββ + T 1 + − = ) V((1 − M (7.9) (( − ++ C P d x − − A dx = =0 − ) ) d x ++     2    β � � β + 2 βββu � � + M � � u2 d A = � �   + +   du −  dS + 1    C P     − + =0 − − (7.10) u − T    − + +  2  2 − −   1− dx A d x == 1− − M  d x −M De acuerdo con la segunda ley, las irreversibilidades propiciadas por la fricción del fluido en un flujo adiabático provocan un aumento en la entropía en el fluido en la dirección del flujo. En el límite, conforme el flujo se aproxima a la reversibilidad, este aumento tiende a cero. En tal caso, en general, dS ≥0 d x ≥≥ ≥ Flujo en tuberías / = = En el caso de un flujo adiabático en estado en una tubería horizontal de ///  = =estacionario de fluidos compresibles,    área de sección transversal constante, dA/dx = 0 y las ecuaciones (7.9) y  (7.10) se reducen a: β β      β 2 +   + β 2  β + 2 β   +β β βu βu       =−  =  C ++M  d S d S 1 ++ C          du =  d P = −T  − −         P P ==−−  = =     u T − −  −− 2 d x dx V 1 −−M2 d x dx 1 M < Para un flujo subsónico, M2 < 1, < < <por lo tanto todos los términos de los lados derechos de estas ecuaciones son positivos; y, dP < du > < > < >0 <0 > y dx dx Así que la presión disminuye y la velocidad aumenta en la dirección del flujo. Sin embargo, no es posible aumentar la velocidad indefinidamente. Si la velocidad excediera el valor del sonido, en tal caso se invertirían las desigualdades anteriores. Esta transición no sería viable en una tubería de área de sección transversal constante. Para flujo subsónico, la velocidad máxima del fluido alcanzada en una tubería de sección transver/ es la rapidez del sonido, y este valor se alcanza en la salida de la tubería. En este punto, dS/dx sal constante // / llega a su valor límite de cero. Dada una presión de descarga bastante baja para que el flujo se vuelva sónico, el alargamiento de la tubería no altera este resultado; la relación de flujo másico disminuye, de modo que la velocidad sónica aún se obtiene en la salida de la tubería alargada. Las ecuaciones para el flujo en la tubería indican que cuando éste es supersónico, la presión aumenta y la velocidad disminuye en la dirección del flujo. No obstante, tal régimen de flujo es inestable, y cuando la corriente supersónica entra en una tubería de sección transversal constante, ocurre un choque de compresión que origina un aumento repentino y finito en la presión, así como una disminución de la velocidad a un valor subsónico. 07-SmithVanNess.indd 258 8/1/07 13:33:39 259 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles Ejemplo 7.1 Considere un flujo irreversible, adiabático, en estado estacionario de un líquido incompresible, que está en una tubería horizontal de área de sección transversal constante. Demuestre que: a) La velocidad es constante. b) La temperatura aumenta en la dirección del flujo. c) La presión disminuye en la dirección del flujo. Solución 7.1 a) En este caso, el volumen de control es simplemente una longitud finita de una tubería horizontal, con las secciones de entrada y salida identificadas como 1 y 2. Por la ecuación de continuidad, la ecuación (2.27), u 1 A1 u 2 A2 = = = V2 V1 = = De cualquier modo, A= = A (área de sección transversal constante)= y V2 = V1 (fluido incompresi2= 1 = = ble). Por lo tanto, u2 = u1.= = b) El balance de entropía de la ecuación (5.23) en este caso se convierte= en S− G = S2 – S1. Para un = = − − líquido incompresible con capacidad calorífica C (véase el ejemplo 6.2), = − S1 = = SG = = S2 − − = �� � T2 C T1 dT T > > No obstante, SG es positiva (el flujo es irreversible) y, en consecuencia, para la última > ecuación T2 > T1, y la temperatura se incrementa en la dirección del flujo. = c) Como se indica en el inciso a), = = u2 = u1, y por lo tanto el balance de energía, ecuación (2.32), se − = reduce para las condiciones establecidas − 2 – H1 = 0. Al combinar ésta con la forma integrada − a H= = de la ecuación (A) del ejemplo 6.2 aplicada a un líquido incompresible se obtiene: �� � T2 − = + − = − = ((( 2 − C dT + H2 − H1 = + V (P − P1 ))) = =0 T1 De donde, � �� − ) = − ( − ) = − ( V (P2 − P1 ) = − T2 C dT T1 > < Como se muestra en el inciso > b), P2 < P1, y la presión dismi> T2 > T1; así, por la última ecuación,< < nuye en la dirección del flujo. Resulta ilustrativo repetir este ejemplo para un flujo adiabático reversible. En este caso u2 = = = = == 0. Por lo tanto, el balance = de entropía muestra que T2 = T1, en cuya siu1 como antes, pero SG= = = = = = = el aumento de temperatura en el tuación el balance de energía produce P2 = P1. Concluimos que inciso b) y la disminución de la presión en el inciso c) son la causa de las irreversibilidades del flujo, específicamente de las irreversibilidades asociadas con la fricción del fluido. 07-SmithVanNess.indd 259 8/1/07 13:33:43 260 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Toberas Las limitaciones que se observan para el flujo de fluidos que son compresibles en tuberías no se extienden a toberas diseñadas adecuadamente, las cuales originan el intercambio de energías interna y cinética de un fluido como resultado de un área de sección transversal variable disponible para el flujo. La relación entre la longitud y el área de sección transversal de la tobera no es susceptible al análisis termodinámico, sino que es un problema de la mecánica de fluidos. En una tobera bien diseñada, el área cambia con la longitud, de tal manera que el fluido casi no tiene fricción. En el límite de flujo reversible, la rapidez de incremento de entro/ pía tiende a cero y dS/dx = 0. En/este caso, las ecuaciones (7.9) y (7.10) serán: � � � � � � � � d P = u2 dA dA du = − u 1 1 = = − dx V A 1− dx A 1− − M2 d x − M2 d x < < > 1). En la tabla 7.2 se Las características del flujo dependen de si es subsónico (M < 1) o supersónico (M > > resumen los diversos casos. Tabla 7.2: Características delofflujo tobera Table 7.2: Characteristics Flowpara for auna Nozzle. Subsonic: M Subsónica: M< < 11 < Supersonic: Supersónica:M M> >> 11 Convergente Converging Divergente Diverging Convergente Converging Divergente Diverging dA dx dP dx du dx − − + − − + − − + + − − + − − − − + De este modo, para el flujo subsónico en una tobera convergente, la velocidad aumenta y la presión disminuye conforme decrece el área de la sección transversal. La velocidad máxima alcanzada por el fluido será la rapidez del sonido, y ésta se obtiene en la salida. Debido a esto, es posible utilizar una tobera convergente subsónica para entregar una relación de flujo constante en una región de presión variable. Suponga que un fluido compresible entra en una tobera convergente a presión P1 y desde la tobera se descarga a una cámara de presión variable P2. A medida que esta presión de descarga disminuye debajo de P1, aumentan el caudal // P2/P1 llega a un valor crítico en el cual la velocidad en la y la velocidad. Al final, la relación de las presiones salida de la tobera es sónica. Una mayor reducción en P2 no afecta las condiciones de la tobera. El flujo permanece constante, y en la salida de la tobera la velocidad es sónica, sin considerar el valor de P2/P1, a condición de que //siempre sea menor que el valor crítico. Para el vapor, el valor crítico de este cociente es, a temperaturas y presiones moderadas, de casi 0.55. Las velocidades supersónicas se consiguen con facilidad en la sección divergente de una tobera convergente/divergente bien diseñada (figura 7.1). Con la velocidad sónica alcanzada en la garganta, otro aumento en la velocidad y la disminución en la presión requiere de un aumento en el área de la sección transversal, una sección divergente para dar cabida al creciente volumen de flujo. La transición ocurre en la garganta, donde // velocidad, área y presión en una tobera convergente/divergente se ilustra numédA/dx = 0. La relación entre ricamente en el ejemplo 7.2. 07-SmithVanNess.indd 260 8/1/07 13:33:45 261 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles Figura 7.1: Tobera convergente/divergente. La rapidez del sonido se logra en la garganta de una tobera convergente/divergente sólo cuando la presión en la garganta es bastante baja para alcanzar el valor crítico de P2/P/1. Si la caída de presión disponible en la tobera es insuficiente para que la velocidad sea sónica, la sección divergente de la tobera actúa como // difusor. Es decir, después de llegar a la garganta la presión aumenta y la velocidad disminuye; éste es el com/ portamiento convencional para el flujo subsónico en secciones divergentes. / La relación de la velocidad a la presión en una tobera isentrópica se expresa de manera analítica si el fluido se comporta como un gas ideal con una capacidad calorífica constante. Si se combinan las ecuaciones (6.8) y (7.3) para el flujo isentrópico se obtiene: u du == − –V dP La integración, con las condiciones de entrada=y− salida de la tobera, indicadas por 1 y 2, produce: = =− − = − � � �(γ −1)/γ � � P2 2γ P1 V1 P2 2 2 (7.11) V dP = 1 −� � u 2 − u 1 = −2 � � � � − )/γ � � ��P1 ��(γ ��P1 (γ γγγ − 1 � (γ− − )/γ )/γ γ − =− = � − � − − = − � �(γ − )/γγ − = =− − � = γ− γγ − − γ − (3.30c), PV = constante. − al eliminar =− = la ecuación donde se llega al término final V y, mediante γ− / La ecuación (7.11) se puede resolver para la relación de presiones P2/P1 paraγγγla que u2 llega a la rapidez � � del sonido, es decir, donde // γ ∂ / = =− � � / �∂ � 2 2 �∂∂∂P � u 22 = c = −V γ = = = =− − �∂ V �S ∂∂ = = �− � γ γγ γ∂de PV γ = constante: La derivada se encuentra por diferenciación con∂ respecto aV = − γ � � ��∂∂ �� γγ P ∂∂P γ = − �∂ � = =− −γ ∂∂V =Sγ V =− ∂ = γγ= La sustitución nos da: =γP V u2 = 2 Con este valor para ganta da: 07-SmithVanNess.indd 261 u 22 2 2 � = γ= �γ /(γ − ) = en la ecuación (7.11) y con u1 == 0, la solución para la relación de presiones en la gar=� = − ) ��γγγ/(γ ��γ + � /(γ /(γ− − )) = � � = γ /(γ −1) = γ + P2 2 γ+ = γ+ (7.12) P1 γ +1 8/1/07 13:33:50 262 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Ejemplo 7.2 ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ − − − / / Se diseña una tobera de alta velocidad para funcionar con vapor a 700 kPa y 300//°C. En◦◦la entrada de − − / − la tobera la velocidad es 30 m s –1. Calcule los−−valores de la relación A/A 1 (donde// A1 es el área de sec/ ción transversal de la entrada de la tobera) para las secciones donde la presión es 600, 500, 400, 300 y 200 kPa. Suponga que la tobera funciona de manera isentrópica. Solución 7.2 Las relaciones de las áreas requeridas están dadas por la ecuación (2.27) y la velocidad u se encuentra a partir de la forma integrada de la ecuación (7.3): u1 V A = === u2 = = u=21=− − 2(H H ( − y −− (− −−) )) = = − ((( − − 1 ))) A= V u 1 1 = − = = − )) –1 2 = −de−m = − 2((–2 − − − Con unidades para la velocidad de de J kg–1 para − − − s , u tiene unidades −−m s . Las unidades − −−− –1 − − − 3 2 –2 2 –2 H son consistentes con estas unidades, ya que 1 J =−1 kg m − − s , de donde − −−−1−J kg − =−−1− m s . −−− − − − − − − − − − De las tablas de vapor, los valores iniciales para la−entropía, la entalpía especí− y el volumen − − − − − − − fico son: − −−−− −−− − −−− = == .= . . . × ××× 3 − −1 −−− = = == . . . . 3 −1 −1 K−1 H== === = 7.2997 kJ kg 3,059.8 × 10 J kg V = 371.39 cm g− S1 = − − − 1 1 . = � �� ×� �� = . − − − − � � = = × = .. − − − − � � = .. = × = A= == � 30 � V � � = � . .. � Así que (A) = A1 = 371.39 u . = . = .. = − −− (−2(H ( −−− × ×××10 ) 3))) y (B) u 2===900 3,059.8 (− = − ( − × = − ( − × )) = − − )) =S = S ; × = es isentrópico, − ((== − × valores Puesto que el proceso de expansión de las tablas de vapor a 600 == 1 los = kPa son: = − −−−− −−− − −−− = = . − −−− = === =× ××× = == .= . . − − − − == .. . . = × = = ... − − − − = × = . = 3 3 −1 −1 −1 −1 × 10 V = S= kJ kg − K − H = − −J−−kg − ==3,020.4 =418.25 . cm g − =7.2997 . − === . .. .×. − = = . � � � ��� u =� –1−− = ��� ���. m s� ��� De la ecuación (B), 282.3 � � � = � � � .. .. . . � = .= . . . = === == = = �� . . . . ���� . .. . . .��= = .. A= 30 418.25 = . .. .. Usando la ecuación (A), = = 0.120 . . A1 371.39 282.3 Las relaciones de las áreas para otras presiones se evalúan de igual manera y los resultados se resumen en la siguiente tabla: − −−− − −−− / − −−− − −−− / // // − − − − // // −1 3 g−1 P/kPa V /cm3 g−1 u/m s A/A P/kPa V /cm u/m s−1 A/A 1 − − − − // // 1 − − − − 700 371.39 30 1.0 400 571.23 523.0 0.088 418.25 282.3 0.120 300 711.93 633.0 0.091 600 481.26 411.2 0.095 200 970.04 752.2 0.104 500 La presión en la garganta de la tobera es de casi 380 kPa. A presiones más bajas, es evidente que la tobera difiere. − 3 Cuando u es en (lbm)(ft)(lbf)–1 (s)–2. 07-SmithVanNess.indd 262 (ft)(s)–1, − − −− − −− −− − − − − − − −− − −− − − − − − –1 –1 − (Btu)(lb−m) − − − constante dimensional gc = 32.174 H en debe multiplicarse por 778.16 (ft lb )(Btu) y por la f − − − − − − − − − 8/1/07 13:34:00 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles 263 Ejemplo 7.3 Considere de nuevo la tobera del ejemplo 7.2, pero ahora suponga que el vapor se comporta como un gas ideal. Calcule: a) La relación de presiones críticas y la velocidad en la garganta. b) La presión de descarga para un número Mach de 2.0 en el escape de la tobera. Solución 7.3 a) La relación de los calores específicos para el vapor es aproximadamente 1.3. Sustituyendo en � � la ecuación (7.12), � � .. /( /( .. − − )) �� �� . /( . − ) 1.3/(1.3−1) = = .. � P2 ==�� . ./(2+ . −� ) . /( . − ) = . = ==0.55 . . ++ = . P1 = 1.3 + 1 = . = . + . + La velocidad en la garganta, al igual que la rapidez del sonido, se encuentra a partir de la ecuación (7.11), que contiene el producto P1V1. Para el vapor como un gas ideal: )( . ) RT1 = ((8,314)(573.15) − )()( . . ) )= ==( ( ==264,511 m2 s−−2 == P1 V1 = − . ( )( . ) = =( M )(= . 18.015 ) . − = = − . = = == // las unidades: . . En esta ecuación R/M tiene // / / − m − J Nm kg m s−2 m2 s−2 −− −− = = = = = = − − − − kg K == kg K == kg K == K = −= = = == − Así, RT/M, y, por////lo tanto P1V1, son en m2 s–2 las −−unidades de la velocidad al cuadrado. Si susti− − / tuimos/en la ecuación (7.11) obtenemos: �� (( )( )) ��� .. − )( .. )( )( − )/ )/ .. � �= (( .. ))((( (1.3−1)/1.3 = (( )) 2+ ( (2)(1.3)(264,511) )( . )(� ) �� − 2 − = + )/ . � = = 296,322 −( (0.55) (30) u garganta . . )�( .. − ). )( ++( )( . ..))(− throat=(=()( −− 1 ) ( 1− − )/ . = . − )/ 1.3 = . ) = . −−( . ) −( − = ( ) += ( ) + . − = . − − .. == 544.35 m −s−1 u throat= ugarganta . − − . = . = Este resultado va de acuerdo con el valor obtenido en el ejemplo 7.2, ya que, en estas condiciones, el vapor se asemeja mucho a un gas ideal. b) Para un número Mach de 2.0 (con base en la velocidad del sonido en la garganta de la tobera) la velocidad de descarga es: − − = = (( )( )( .. )) = == − −–1 ===( ((2)(544.35) )()( . . ) )== 2ugarganta 1 088.7 m s − − = ( )( . ) = = ( )( . ) = La sustitución de este valor en la ecuación (7.11) permite� de� � �las presiones: �calcular (( .. − �relación �� la� − )/ )/ .. �� (( )( .. )( )) �� � � � ( . − )/ .� )( )( ( . − )/ . � � � (( )) − ( ) = − ( )( . )( ) − (( )) ==( )( . .)( − � ) �( − .− −� )/ .�(1.3−1)/1.3 P2 (( ) 2) −− = (2)(1.3)(264,511) − ( ( )( ). )( .) − − (30)2 = 1− . . −−− ( ) (1,088.7) −( ) = 1.3 − 1 P1 . − � � � �(( .. − − )/ )/ .. �� �� ( (. .−−)/)/. . = . = )( � �( . − )/ . = . � �(1.3−1)/1.3 = (( .. )( )) = = .. == . . ==( (. . )()( ) )== . . P2 = )( . ) = . Thus, = . = ( . (700) )( (= .30.0 ) = kPa Así, = 0.4834 y=P2.= (0.0428) P1 07-SmithVanNess.indd 263 8/1/07 13:34:08 264 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Procesos de estrangulamiento Cuando un fluido pasa por una restricción, como un orificio, una válvula cerrada parcialmente o un tapón poroso, sin ningún cambio apreciable en la energía cinética o potencial, el principal resultado del proceso es una caída de presión en el fluido. Este proceso de estrangulamiento no produce trabajo de flecha y, en ausencia de transferencia de calor, la ecuación (2.32) se reduce a ΔH = 0 o H2 = H1 Por lo tanto, este proceso ocurre a entalpía constante. Ya que la entalpía de un gas ideal depende sólo de la temperatura, un proceso de estrangulamiento no cambia la temperatura de un gas ideal. Para la mayor parte de los gases reales en condiciones moderadas de temperatura y presión, una reducción en la presión a entalpía constante origina un descenso en la temperatura. Por ejemplo, si el vapor a 1 000 kPa y 300 °C se estrangula a 101.325 kPa (presión atmosférica), H 2 = H 1 = 3 052.1 kJ kg –1 La interpolación en las tablas de vapor para esta entalpía y a una presión de 101.325 kPa indica una temperatura corriente abajo de 288.8 °C. La temperatura ha disminuido, pero el efecto es pequeño. Es posible que el estrangulamiento de vapor húmedo a presiones suficientemente bajas haga que el líquido se evapore y el vapor se sobrecaliente. De ese modo, si el vapor húmedo a 1 000 kPa (t sat = 179.88 °C) con una calidad de 0.96 se estrangula a 101.325 kPa, H 2 = H 1 = (0.04)(762.6) + (0.96)(2 776.2) = 2 695.7 kJ kg –1 El vapor a 101.325 kPa con esta entalpía tiene una temperatura de 109.8 °C; en consecuencia, está sobrecalentado (tsat = 100 °C). En este caso, la considerable caída de temperatura es resultado de la evaporación del líquido. Si un líquido saturado se estrangula a una presión menor, algo del líquido se evapora o vaporiza repentinamente, lo que produce una mezcla de líquido y vapor saturados a menor presión. De manera que si el agua líquida saturada a 1 000 kPa (t sat = 179.88 °C) se vaporiza de manera repentina a 101.325 kPa (t sat = 100 °C), H 2 = H 1 = 762.6 kJ kg –1 A 101.325 kPa la calidad del vapor resultante se encuentra mediante la ecuación (6.73a) con M = H: 762.6 = (1 – x)(419.1) + x(2 676.0) = 419.1 + x(2 676.0 – 419.1) Por lo tanto, x = 0.152 Así, 15.2% del líquido original se evapora en el proceso. De nuevo, la gran caída de temperatura se debe a la evaporación del líquido. Los procesos de estrangulamiento con frecuencia se encuentran aplicados en la refrigeración (capítulo 9). El siguiente ejemplo ilustra el uso de las correlaciones generalizadas en los cálculos para procesos de estrangulamiento. 07-SmithVanNess.indd 264 8/1/07 13:34:09 265 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles Ejemplo 7.4 Gas propano a 20 bar y 400 K se estrangula en un proceso de flujo en estado estacionario hasta 1 bar. Estime la temperatura final del propano y su cambio en la entropía. Las propiedades del propano se obtienen a partir de correlaciones generalizadas apropiadas. Solución 7.4 Aplicando la ecuación (6.93) a este proceso de entalpía constante: � ig � ( 2 − − T1 )) + + H2R − − H1R = =0 � = = �C �H − ))))+ + − = � = =���� P �����H ((T − = � − + − = � = ((( − − + − = � = � ( − )+ − = � =� Si se supone que el propano en su estado final a 1 bar es un gas ideal, por lo tanto H R2 = 0, y la ecuación anterior, resuelta para T2, será: H1R + T1 = T2 = + + = ig � + = = + = + = ����C �� P �����H + �= = . = �.. = = =42.48 ..... K .... bar Para el propano, T= = 369.8 Pc = = = = c= = = . = . Así, para el estado inicial: ( ((((( ( ) ))))) ) (A) ω= = .. ω ω= =0.152 = .... ω ω = ω = ω= . = 400 = = .. = 20 = = .. = = = = 1.082 = .. = = 0.471 .... .... Tr1= Pr1= = = = = . = = = = = ..... = . .... = . = 369.8 = 42.48 . . En estas condiciones es satisfactoria la correlación generalizada, que se basa en el segundo coeficiente virial (figura 3.14), y el cálculo de H R1 a través de las ecuaciones (6.87), (3.65), (6.89), (3.66) y (6.90) se representa por (sección 6.7): H1R = = =− − .. = = HRB(1.082,0.471,0.152)= =− − ... = = = −0.452 = = − RTc = =− . − − = (( .. )( )( .. )(− )(− .. )) = =− − = − − − − =(((( .... )( )( .... )(− )(− .... ))))= =− − = = )( )(− = − = )( )(− = − De donde, H1R = (8.314)(369.8)(−0.452) = −1,390 J mol−1 ��� ��� � La única cantidad restante en la ecuación (A) para evaluarse es 〈CPi��g�� 〉 H. ��La � información para el propano de la tabla C.1 proporciona la ecuación de la capacidad calorífica: ig − − − − = .. + .. × − − .. × − CP = + × × − − − 2 − − −6 − . × =1.213 +28.785 ×10−3 = ... + ... × − . × = + × − . × = + × T − 8.824 × 10 − − T + . × − . × R = . ���� ���� ig � igual Para un cálculo inicial, suponga que 〈CP 〉 H �es de CPig a la temperatura inicial de �� al valor − − − − � � � = . � ig ==. ... –1 − − − − − − − − 400 K, es decir, 〈CP 〉 H = 94.07 J mol ����� –1�����K= = .. = − − � = . � − − −1,390 − − + = . =− − + = = De la ecuación (A), = + 400= = 385.2 T2= + ..... K + = = − .. = + = 94.07 . . . + = . = . . ���� ���� Como se puede ver, el cambio de temperatura es pequeño, �� ��y 〈CPig 〉 H se vuelve a evaluar para una � � ig aproximación excelente de CP a una temperatura media aritmética, + + ... +385.2 + = 400 + = + .. = = = ... K = =392.6 Tam = = = + . = .. = 2 = = . 07-SmithVanNess.indd 265 8/1/07 13:34:19 266 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo − − ig −1 −1 − K− − = = ����C ..... J mol−− − �� P ������H = = − − = = 92.73 − −− −− − �� � �� � = == .. . = . = = = y calculando nuevamente a T2 mediante la ecuación (A) se obtiene el = =valor.....final: T2 = 385.0 K. == .. . = El cambio de entropía del propano se proporciona mediante la ecuación (6.94), que en este caso será: � � − − � = − − � = − � − − � = − − � = − − � = =����� ig ����� T2 − −−R ln P2 − −−S R � � �� �ln �� = ==�C − �S 1 P S T1 P1 Ya que el cambio de temperatura es tan pequeño, una excelente aproximación es, − − − − − − − − = ��� ���� = = ... = = ������ ig������ = � . − − = = − − = � � = . = � ig � = . −1 −1 ==92.73 ==��C� P ��H� = ��C� P ��S�= . . J mol− − K− − Esto da: El cálculo de S R1 mediante las ecuaciones (6.88) a la (6.90) se representa por: S1R = = = − . = = − = = − = = −0.2934 = SRB(1.082,0.471,0.152) = =− − .... == = − R = = − = − .. . − − − − R −1 K− −1 = ( . )(− . ) = − . = ( . )(− . ) = − . )))= − S1 = = = −2.439 J mol−− De donde, − − = )(− = − =(((8.314)(−0.2934) ( ... )(− )(− ... =− − ... − −− − − − = ( . )(− . ) = − . = ( . )(− . ) = − . = (385.0 . .. )(− . ) 1= − . −1 −1 − − ... − − K− − �S = 92.73 ln 8.314 ln + 2.439 = 23.80 J mol− y − + = � = � − − − + = � = − − � = − + = 400.. . − 20 + − ..... + ..... = = ..... � = = ..... − −− − − − − . + . = . � = . � = . − . + . = . − . + . = . � = . El valor positivo refleja la irreversibilidad de los procesos de estrangulamiento. Ejemplo 7.5 El estrangulamiento de un gas real en condiciones de temperatura y presión moderadas, normalmente da como resultado una disminución de la temperatura. ¿Bajo qué condiciones se esperaría que aumentara la temperatura? Solución 7.5 El signo(∂ del/∂ cambio signo de la derivada (∂T/∂P)H, que se (∂ )) de la temperatura se determina por el µ (∂ /∂ µ µ (∂ /∂ µ (∂ /∂ µ (∂ /∂ /∂el )))coeficiente ) µ � � conoce (∂ como de Joule/Thomson µ: (∂ /∂ ) µ � � � � � � (∂ /∂/∂ ) ) ��∂∂∂∂ �� µµ �� �� ∂∂ T � µ ≡ � µ ≡ µ ≡ µ ≡ µµ ≡ ≡ ∂∂∂∂ ∂ µ ≡ µµ≡≡ ∂∂∂ P H ∂∂ µ µ µ µ Cuando µ es positivo, el estrangulamiento conduce a una disminución de la temperatura; cuando µµ µrefleja µ es negativo, seµ en un aumento de temperatura. = ( ,,,, )))) ecuación relaciona el coeficiente de Joule/Thomson con = = Puesto que H = f(T, = P), = ,, )) = la(((((siguiente == (( (,, , 4)) ) = otras propiedades termodinámicas: � � � � � � � � � � − � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � − − � � � � � � � � � � � � �∂∂∂∂T � � � �∂∂∂∂H � � �∂∂∂∂H � �−1 �∂∂∂∂H � � �∂∂∂∂T � − − � �� = � � � � � � � �� ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ � = − = − � � � � � � � ∂ ∂ ∂ ∂ − � � � � � � � � � = − = − − = − = − = − −− ∂ ∂ � ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂∂P H ==−− ∂∂∂∂∂H P ∂∂∂∂P T ==−− ∂∂∂∂T P ∂∂∂∂P T =− ∂ =− ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ 4 � � � � � � � � � � � � � � �∂ � � � � � � � � � � �∂∂∂ �� = − ��∂∂∂∂ �� ��∂∂∂∂ �� Recuerde la ecuación general del cálculo diferencial: ∂ ∂ ∂ � � � � � �� ∂ � �= ∂� ∂ � �� � = − − � = − �� � ∂ ∂ ∂ =− − ∂∂ ∂ x ∂∂∂∂ ∂ x = ∂∂∂∂ ∂z == −− ∂∂∂ ∂ ∂ = − ∂∂ ∂ y z ∂∂ ∂z y ∂∂ ∂ y x 07-SmithVanNess.indd 266 8/1/07 13:34:33 267 7.1. Flujo en conductos de fluidos compresibles 6 ��� ฀฀ ��� � � �� � � 4 Tr ��� ��� ��� ฀฀ � � � 2 0 4 8 Figura 7.2: Curvas de inversión para coordenadas reducidas. Cada línea representa un configuración de puntos µlos = paraµ = cuales µ = 0. La curva µ = pertenece continua a una correlación µ= de datos; la curva discontinua se obtiene de la ecuación de Redlich/ Kwong. Un aumento en la temperatuµ ra resulta del µ estrangulamiento en la zona dondeµµ esµnegativo. 12 Pr � � �∂ � � ∂ �� � µ=− ∂1∂ ∂ H µ=− µ=− De donde, por la ecuación (2.20), (A) µ = − ∂∂ C P ∂µP T µ (∂ es/∂necesariamente ) Ya que C positiva, el signo de µ se determina µ µ por el signo de (∂T/∂P)T, que a � � � � (∂P /∂ ) su vez se relaciona con el comportamiento PVT: (∂ /∂ �∂ � �∂ � (∂ )/∂ ) � ∂ �� =� − � ∂ �� � ∂∂ H ∂ = − ∂V ∂ (6.19) =V= − T −∂ ∂ ∂ P ∂T ∂ T ∂P = / = / � equation � forma � escribir �moremás concisa como: Ya que V = ZRT/P, = esta ecuación se puede enwritten una may be = / this /� ∂ � �∂ � � ∂ H�� =�− RT 2 � ∂ Z � � � ∂∂ ∂ = − ∂ ∂ P T = − =P− ∂ T ∂P ∂ ∂ ∂ ∂ donde Z es el factor de compresibilidad. Sustituyendo en la ecuación (A) se obtiene: � � RT 2 � ∂ Z � �∂ � µ= µ = C P P ∂ T � ∂P � µ=µ= ∂ En estos términos (∂Z/∂T) (∂Z/∂T) ∂ Cuando ∂ (∂ /∂ (∂ /∂ ) Pyµ µ tienen el mismo signo. ) P es cero, como para un (∂ caso /∂ µ)µ= = ) gas ideal, en tal 0, y µ no hay cambio de temperatura(∂que/∂ acompañe el estrangulamiento. (∂ /∂ )/∂ ) µ µ (∂ /∂ (∂ µ (∂ )gases /∂ ) reales. Dichos puntos = La condición (∂Z/∂T) = 0 /∂ se puede obtener en forma local para P(∂ µ=µ= ) = (∂ /∂ ) = definen la curva de inversión de Joule/Thomson, la cual separa la región positiva de µ de la re(∂ /∂ )/∂ =) = (∂ presenta gión negativa de µ. La figura 7.2 las curvas de inversión reducidas y da la relación entre µ µ µ la que µ = 0. La línea µ continua esµuna Tr y Pr para correlación de información para Ar, CH4, N2, = µ µ µ µ = se calcula a partir de la condición (∂Z/∂Tr)Pr, CO, C2H4, Cµ3H8, CO2 y NH3.5 La línea punteada µ=µ= que se aplica a la ecuación (∂ /∂de estado ) = de Redlich/Kwong. (∂ /∂ ) = (∂ /∂ (∂ )/∂ =) = 5 D. G. Miller, Ind. Eng. Chem. Fundam, vol. 9, pp. 585-589, 1970. 07-SmithVanNess.indd 267 8/1/07 13:34:41 268 7.2 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo TURBINAS (EXPANSORES) La expansión de un gas en una tobera para producir una corriente de alta velocidad es un proceso que convierte la energía interna en energía cinética, la cual se convierte en trabajo de flecha cuando la corriente golpea en las aspas de una flecha giratoria. Así, una turbina (o expansor) consiste en un conjunto alternado de toberas y aspas giratorias a través de las cuales fluye vapor o gas en un proceso de expansión en estado estacionario, cuyo efecto total es la conversión eficiente de la energía interna de una corriente de alta presión en un trabajo de flecha. Cuando el vapor proporciona la fuerza motriz, como en una planta de energía, al dispositivo se le conoce como turbina; cuando un gas de alta presión es el fluido de trabajo, como amoniaco o etileno en una planta química o petroquímica, al dispositivo se le conoce como expansor. En cualquier caso el proceso se ilustra en la figura 7.3. Figura 7.3: Flujo en estado estacionario a través de una turbina o expansor. 1 . Ws Turbina 2 Las ecuaciones (2.31) y (2.32) son relaciones apropiadas de energía. De cualquier modo, es posible omitir el término de energía potencial, porque el cambio en la elevación es pequeño. Además, en cualquier diseño apropiado de una turbina, la transferencia de calor es insignificante, y los tubos de la entrada y la salida de la tubería se dimensionan de tal manera que las velocidades del fluido sean casi iguales. Por lo tanto, las ecuaciones (2.31) y (2.32) serán ahora: . .. .. 2 − H1 ) (7.13) Ws = �H = H2 − H1 W. s = = m.. � �H = = m(H (7.14) .( − ) =� = − =� = − = � = ( − ) Por lo general, las condiciones de entrada T1 y P1 y la presión de descarga P2 son fijas. Por esto, en la ecuación (7.14) sólo se conoce H1; mientras que H2 y Ws son incógnitas, y sólo con la ecuación de la energía no es posible realizar algún cálculo. No obstante, si el fluido en la turbina se somete a un proceso de expansión que es tanto reversible como adiabático, éste es isentrópico, y S2 = S1. La segunda ecuación permite la = = = de H2. Para este caso especial, Ws está dado por determinación del estado final del fluido, y por lo tanto la ecuación (7.14) y se escribe como: = (� (� )) (( )) = ) ==(� Ws((isentrópico) (ΔH))S (7.15) || || | | El trabajo de flecha |Ws |(isentrópico) es el máximo que se puede obtener de una turbina adiabática con las condiciones de entrada y la presión de descarga que se proporcionan. Las turbinas reales producen menos trabajo, porque el proceso de expansión real es irreversible. Por lo tanto, la eficiencia de la turbina se define como: ≡ Ws ηη ≡ η≡ (( )) W Wss(isentrópico) (isentropic) donde Ws es el trabajo real de flecha. Por las ecuaciones (7.14) y (7.15), � = �H � (7.16) ηη = (� ))S η = (�H (� ) 07-SmithVanNess.indd 268 8/1/07 13:34:45 269 7.2. Turbinas (expansores) η Los valores de η usualmente abarcan desde 0.7 a 0.8. El diagrama HS de la figura 7.4 muestra una expansión η real en una turbina y una expansión reversible para iguales condiciones de entrada y la misma presión de descarga. La trayectoria reversible es una línea vertical discontinua (entropía constante) desde el punto 1 a la � presión de entrada P1 al punto 2′ a la presión de descarga P2. La línea continua, que representa la trayectoria � irreversible real, empieza en el punto 1 y termina en el punto 2 sobre la isobara para P2. Ya que el proceso es adiabático, las irreversibilidades ocasionan un aumento en la entropía del fluido, y la trayectoria se dirige hacia entropía creciente. Cuanto más irreversible sea el proceso, el punto 2 se encontrará más a la derecha η sobre la isobara para P2 y será menor la eficiencia η del proceso. η 1 � H P1 H � � (H)S Figura 7.4: Proceso de expansión adiabática en una turbina o expansor. � 2 � 2 P2 � � � S S Ejemplo 7.6 − ◦ − Una turbina de vapor con una capacidad nominal de ◦56 400 kW (56 400 kJs–1) funciona con vapor en condiciones de entrada de 8 600 kPa y 500 °C y descarga en un condensador a una presión de 10 kPa. Suponiendo una eficiencia de la turbina de 0.75, determine el estado del vapor en la descarga y la rapidez de flujo de la masa del vapor. Solución 7.6 ◦ ◦ tablas de vapor indican: En las condiciones de entrada de 8 600 kPa y 500 °C, las =H = 3 391.6 kJ−kg−–1 1= − = . kJ kg–1 K –1− S1 = 6.6858 = . − − � . El vapor con esta entropía Si la expansión a 10 kPa es isentrópica, por lo tanto, S 2′ ==�S1== = 6.6858. = v. = � ν = ′ a 10 kPa es húmedo, y la ecuación (6.82b), con M = S y x == x 2, produce: v = � S2� =� S2l + x2� (S�2v −v S2l ) = + ( − ) − . ) . = . + � ( �. En consecuencia, 6.6858 = 0.6493 + x2 (8.1511 − 0.6493) 07-SmithVanNess.indd 269 � = . x2� = 0.8047 8/1/07 13:34:49 270 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo � �� ��� Ésta es la ��calidad (fracción de vapor) de la corriente de descarga en el punto 2 ′. La entalpía H2′ � ��� � también está dada por la ecuación (6.82b), que se escribe: � � v � � = l + �� ( vv − l ) = H2 + + x���2(((Hv2vv − − H2)) H�2��� = = + = + (( − − )) � = − . + ( . � =)( + � (− v − . ) )= � −1 � − = 191.8 + (0.8047)(2,584.8 − 191.8) = 2,117.4 kJ kg H�2�� = Así, − . ( . )( . ) − − + )( − = = ... + (( .. )( − ... ))) = = + )( − = � ( . − (�� =) =. + = )( −− = − −−1 �� − − ( . . ) = (�H ) = H kJ kg �� − H1 = 2,117.4 − 3,391.6 = −1,274.2 − (� − � S − 2 − (� = − = − = − (� − = − = (� ))) = = − = − =− − � − (� ) = − = − = − y por la ecuación (7.16), − −1 ( . )(− ) = −955.6 − . kJ kg−− � = η(�H η(� ) = (0.75)(−1,274.2) �H = (( .. )(− )(− )= =− − .. � = = η(� η(� )) S = − − − ) � ) = ( . )(− ) = − . � = η(� )=− . � = η(� ) = ( . )(− −1 − − De donde, �H == H =(3,391.6 − 955.6 . )= 1+� ) = . )(− = 2,436.0 − . kJ kg− �H2 = η(� − − + � = − . = − − = + � = − = = + − ... = = +� � = = − = Por esto, el vapor que se=halla+ en�su estado real también = final − . = es húmedo y−su calidad se encuentra mediante la ecuación: − . ) = . = . + ( − = .. = + (( − ... ))) = = ... + + − x2 = 2,436.0 = ( − 191.8) = 0.9378 . = 191.8 + x2 (2,584.8 − − = . + ( . + )(( . −− . . ) = . = . = − − − − = . + ( . )( . − . ) = . −1 −1 − − Luego, = + − = kJ kg− K− S2 = .. + )( − .. )) = .. = 0.6493 + ((0.9378)(8.1511 ( .. )( .. − 0.6493) = 7.6846 − − = . + )( . − . )= . . ( . − ... con el valor inicial de S1 = 6.6858. Este valor se puede comparar − − .. − − − La proporción una transferencia de trabajo . de vapor se da a través de la ecuación (7.13). Para . − − . = − . = ... ( .. = . − ) − − de 56 400 kJ s–1...,. = . . . . − = ( − ) = . − − . . − = − = − = .. = − ))) = =− − = . ((( − . = . = . m = 59.02 kg s−1 Ws = −56,400 = m(2,436.0 − 3,391.6) El ejemplo 7.6 se resolvió a partir de la información de las tablas de vapor. Cuando no se cuenta con un conjunto cotejable de tablas para el fluido de trabajo, es posible usar las correlaciones generalizadas de la sección 6.7 en conjunto con las ecuaciones (6.93) y (6.94), como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.7 ◦ ◦◦ ◦◦◦ Una corriente de gas etileno a 300 °C y◦ 45 bar se expande adiabáticamente en una turbina a 2 bar. Calcule el trabajo isentrópico que se produce y encuentre las propiedades del etileno por: a) Ecuaciones para un gas ideal. b) Correlaciones generalizadas apropiadas. Solución 7.7 Los cambios de entalpía y entropía para el proceso son: � ( − )+ − � =� − )) + + R− − R � = = �� ig �� (( − � � � ( − ) + − � = �H (6.93) � P �H (T ( 2 − T1 ) + H2 − H1 � = �C − )+ + − − � � � � ( − �� = = − + R− − R � = = �� ig�� P + T − � � − R ln 2 + + S2 − − S1 � = ���C P ��S ln 2 − (6.94) �S = T1 − P1=+ + . = . � =� � − = + . = . = + = ... += ... = 573.15 K. = + = Los valores que se proporcionan son P1 = 45 bar, P2 = 2= bar y T+ 273.15 1 = 300 = + . = . 07-SmithVanNess.indd 270 9/1/07 12:51:05 271 7.2. Turbinas (expansores) a) Si se supone al etileno como un gas ideal, entonces todas las propiedades residuales son cero y las ecuaciones anteriores se reducen a: − � = − � = P2 − ))))) � = =����� ig����� T2 − � = =����� ig����� ((((( − − − � = � = − − � = − � = � � − T1)) �S = − R ln �H = � P ��H ((T ( 2− � � P ��S ln − � ��C � = ��C � = T1 P1 � � � � Para un proceso isentrópico, ΔS =� 0, y la segunda ecuación se convierte en: � � ��� ig ��� �C = = = − ��� P ����S ln T2 = =ln P2 = =ln 2 = =−3.1135 − .... = = = − = = = − = = = − . R T1 = P1 = 45 = − . − − ..... − − + . = − − −3.1135 .. + =− + = + = ...... = + = ��� ig��� /// + ln T2 = ln 573.15 o + � ���� ////R / ����C � � P S � � � � � � � � �− � − .. � � − . − . + . ( ) = − . − .. − = + .... + = −3.1135 = + = + (((((( )))))) = + .. T2 = 6.3511 exp ����� ig����� ///// + En consecuencia, (A) � ��C �� // P S /R � �/ ������ ig ������ ////// La ecuación (5.17) proporciona una expresión para 〈CP 〉 S / R, que para fines de cálculo se representa por: ���� ig ����� = ��C = = �� P ��S = = = = MCPS(573.15,T2;1.424,14.394E-3,-4.392E-6,0.0) R donde las constantes para el etileno resultan de la tabla C.1. La ���temperatura T2 se encuentra por ���� ///// � //continuación, la ecuación iteración. Suponga un valor inicial para la evaluación de 〈CPig 〉 S����/ R. ��A ��� ��� ///ig ���� . ��〈C (A) proporciona un nuevo valor de T2 a partir del cual se vuelve a calcular �� //// 〉 S / R, y el proce= = = ... P = = . dimiento continúa = K...El valor de 〈CPig 〉 H / R, = ��� ��� ///hasta la convergencia en el valor final: T2 = 370.8 dado por la���� ecuación ���� //// (4.8), para fines de cálculo se representa por: ig � P ���H = MCPH(573.15,370.8;1.424,14.394E-3,-4.392E-6,0.0) = 7.224 ��C ���� R ���� = = = .... = = = = = = = = = .. ig ( )= = (� = − − T1))))) =(� (�H))))) S = =�����C P �����H(((((T2− (� = − En seguida, Ws(isentrópico) = (� = − ((((((isentropic) ))))) = = (� = − = (� )) = �� �� (( − )) − –1 − )= = )( )( − = − − W(((s((isentrópico) = –12 − == )( ..... )( )( ..... − −– 573.15) = − 153 J mol − (((( (7.224)(8.314)(370.8 .... )( )( )( − .... )))))= = − − − = )( )( − = − ((( ))))))= ( . . − − = ( . )( . )( . − . ) = − =( . )( . )( . − . )=− b) Para el etileno, En el estado inicial, = . = 282.3 = Tc = = ..... K = = = . = 50.4 Pc = = = ..... bar = = ωω = = . = 0.087 ω ω= = ω ..... ω = ω = . = = . = = . ..... = = 2.030 = 45 = 0.893 = 573.15 = = = = Pr1 = = = = Tr1 = . = . = .... .... = 282.3 = = = = = 50.4 ..... = . ..... = . De acuerdo con la figura 3.14, las correlaciones generalizadas, que se apoyan en los segundos coeficientes viriales, son satisfactorias. Los procedimientos de cálculo de las ecuaciones (6.87), (6.88), (3.65), (3.66), (6.89) y (6.90) se representan por: H1R RTc 07-SmithVanNess.indd 271 = = − = =− − ..... = = − = = − = = = = − = − .. HRB(2.030,0.893,0.087) = −0.234 8/1/07 13:35:30 272 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo = =− . S1R = = = − = − ... = = =SRB(2.030,0.893,0.087) =−0.097 −= = = = − . − . R == ==− . − . − = (− . )( . )( . ) = − − − −1 = (− )( )( = − − − = (− )( .. )( = − (−0.234)(8.314)(282.3) −549 H1R = ..... )))))= =(− (−=.....(− )( )( )( =. − − . ... )( )( . )( ) = −J mol−−− − = (− )( )( = − En consecuencia, ==(− . )( . )( . ) = − (− . )( . )( . ) = − − − = (− . )( . ) = − . − − − − −1 −1 = (− )( = − − − K− − = (− ... )( )( ... ))))= = − ... S1R = (−0.097)(8.314) −0.806 J mol − − − − (− . . − . = (− )( = − = (− (−=.. (− )( )(. .. )( )).= =− −) = . − . −− −− = . = (− . )( . ) = − . Para una estimación inicial de S2R, suponga que T2 = 370.8 K, el valor determinado en el inciso a). Por lo tanto, . = 370.8 = . = 2 = . .... = = = = = = = = . = Pr2 = Tr2 = ..... = . ..... = . = =..... = =.1.314 = = = 0.040 = = = = ... ==. . . ..... = == 50.4 . == 282.3 =. . .. .. R S2 = = −0.0139 − . De donde, = = − = = − = .... − . = SRB(1.314,0.040,0.087) =− −= R = = = = − == ==−− ... − − = (− . )( . ) = − . − − − − − = (− )( ... ))) = = − −1 K− −1 − = (− .. )( = − .. − − − y (− . )( − . S2R = = (−0.0139)(8.314) = −0.116 J mol = (− (−=. (− .)( )( .. )( )).= = −) = . − . −− −− = = (− . . )( . ) =−− . . Si el proceso de expansión es isentrópico, la ecuación (6.94) será: � − . − . + . = �� − − + = T2. − 2 − �� ig���� − ... − ... + + ... = . . . = − + − =��C � � − . − . + . = � ln − 8.314 ln − 0.116 + 0.806 0= = . ... −− =�� P ��S 573.15 . .. 45 −− . . ++ . . .. − . − − =− − .....− . − = = = −26.576 � � T2... = − = ���= . ���� ... == ln De donde, � . ig � �� � � �. 573.15 �C � P �S� � � � � � � � − . �.. �� � �− − + . = � � � �− − ...− .+ = + − = = + ..... + . = = − � . � + −26.576 + = � � � � = + . T2 = exp ��� ig���� +� 6.3511 o ��C P ��S Un proceso iterativo exactamente como el del inciso a) produce los resultados: = . = . = = = = = = = =..... = ..... = . . = = T= Tr2 === 1.296 2== 365.8 .. K = . y .. = . = . = = ... = . = Con este valor de Tr2 y con Pr2 = 0.040, = = .. R S2 = =− . − = = −0.0144 = = − = = ..... − . = SRB(1.296,0.040,0.087) =− −= = = = − R = ==−− . . = −1 −1 S2R = (−0.0144)(8.314) = −0.120 J mol− y − K− − − − = (− . )( . ) = − . − − = (− . )( . ) = − . − − − − = ... − . =(− (−=...(− .)( )( ... )( ))).= =− − )= = (− )( = − − − − − = (− . )( . ) = − . = (− . )( . ) = − . Este resultado representa un cambio tan pequeño a partir de la estimación inicial, que se considera innecesario volver a calcular T2, y se evalúa H R2 en las condiciones reducidas recién establecidas: H2R RTc = =− . = = − = = −0.0262 − = = ..... − . = HRB(1.296,0.040,0.087) =− −= = = = − == ==− − .. − = (− . )( . )( . ) = − − −1 − = (− .. )( .. )( )( .. ))))= = − − = (−0.0262)(8.314)(282.3) = −61 J mol− H2R = (− . )( . )( . − − (− . )( . . − = (− )( )( = − = (− (−=.. (− .)( )( .. )( )( )(. )( . )) = =. − −) = − −− − = . (� =) (−= .� �)( ( . . )(− . ). =)−− + (� = − − + (� ))) = = − − + (� − )))))− + (� )(�H =)�����S = �����C � (((((ig � .....(365.8 − −..... 573.15) − − +61 + 549 Mediante la ecuación (6.93), (� ) = − − + P H (� ) = � � ( . − . ) − + (� ) = � � ( . − . )− + 07-SmithVanNess.indd 272 8/1/07 13:36:02 273 7.3. Procesos de compresión = �� �� = .. La evaluación de 〈CPig 〉 H como en el inciso a) con T2 = 365.8 K da lo siguiente: ig − K−1 − � P ��H = = 59.843 . �C J mol−1 (�H)) S = =− −11,920 J mol−−1 (� De donde, −− = (� (� )) = =− − (( )) = Ws (isentrópico) = (ΔH) S = –11 920 mol–1 y Éste difiere del valor del gas ideal por menos de 2%. 7.3 PROCESOS DE COMPRESIÓN Al igual que los procesos de expansión dan como resultado la disminución de la presión en el fluido que circula, los procesos de compresión provocan aumentos en la presión. Los compresores, las bombas, los abanicos, los ventiladores y las bombas de vacío son dispositivos diseñados para este propósito. Son importantes para: el transporte de fluidos, la fluidización de partículas sólidas, llevar a los fluidos a la presión apropiada para la reacción o el procesamiento, etc. En esta sección no nos preocupamos por el diseño de estos dispositivos, sino por la especificación de los requerimientos energéticos para la compresión en estado estacionario que ocasionan un aumento en la presión del fluido. Compresores La compresión de los gases se logra en equipos con aspas giratorias (como una turbina que funciona a la inversa) o en cilindros con pistones oscilantes. El equipo giratorio se usa para el flujo de volúmenes considerables, donde no es muy alta la presión de descarga. Para presiones altas se requieren compresores oscilantes. Las ecuaciones de energía son independientes del tipo de equipo; en realidad, son las mismas que para las turbinas o los expansores, porque se supone que también los cambios en las energías cinética y potencial son insignificantes. De este modo, las ecuaciones (7.13) a la (7.15) son útiles para la compresión adiabática, un proceso que se representa en la figura 7.5. 2 . Ws Compresor Figura 7.5: Proceso de compresión en estado estacionario. 1 07-SmithVanNess.indd 273 8/1/07 13:36:07 274 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo En un proceso de compresión, el trabajo isentrópico dado por la ecuación (7.15) es el trabajo de flecha mínimo que se requiere para la compresión de un gas desde un estado inicial dado hasta una presión de descarga determinada. De esta manera, la eficiencia de un compresor se define como: ) W( ηη ≡ Ws (isentrópico) Ws De acuerdo con las ecuaciones (7.14) y (7.15), ésta también se da por: η≡ (� (�H ) S � �H (7.17) En general, las eficiencias del compresor se encuentran en el intervalo de 0.7 a 0.8. 2 � Figura 7.6: Proceso de compresión adiabática. 2 � H P2 � H (H)S 1 P1 � S S En la figura 7.6 se muestra un proceso de compresión en un diagrama HS. La línea vertical discontinua � que se eleva del punto 1 al punto 2 ′ representa el proceso de compresión adiabática reversible (constanteentropía) desde P1 hasta P2. El proceso de compresión irreversible real sigue la línea continua desde el punto 1 hacia arriba y a la derecha en dirección del aumento de la entropía, y termina en el punto 2. Cuanto más irreversible sea el proceso, este punto se encontrará más a la derecha, sobre la isobara para P2 y será menos η la eficiencia η del proceso. Ejemplo 7.8 ◦ Vapor de agua saturado a 100 kPa (t sat = 99.63 °C) se comprime de manera adiabática hasta 300 kPa. Si la eficiencia del compresor es 0.75, ¿cuál es el trabajo necesario y cuáles son las propiedades de la corriente de descarga? 07-SmithVanNess.indd 274 8/1/07 13:36:11 7.3. Procesos de compresión 275 Solución 7.8 Para vapor saturado a 100 kPa, − − − − − − = 7.3598 . = 2,675.4 kJ kg−1 − − − kJ kg−1 K−1 H1 = S1 = . − − − − − − = . = − − − −− − = . = �� = − –1 –1 � − −− = . − − ′ − S− Para la compresión isentrópica = 7.3598 . La −interpolación en las = = .kJ=kg K − 2 = S�1 = = =. . a 300−kPa, − − − − � = . = = .=el vapor con tablas para el vapor sobrecalentado a 300 kPa muestra que esta entropía tiene la � = − − � − = . − � = �� = − − − − − � = entalpía: 2 888.8 kJ kg–1. = . = . = � =− − − − = . �� = − � = − − − −1 = − = . (� ) � = − 2,675.4−=−213.4 kJ kg− (�H ) S = 2,888.8 Así, � − − = . (� ) = � == − − . (� ) = (� (� ) S − 213.4 .. = (�H − − − −1 � = = ==284.5 −− = .. . kJ. kg− (�) = )= = ) = �H Por la ecuación (7.17), (�� = − (� ) (� − − .. .. == . . � ) ==(� ηη ) =− 0.75 − η ) )= . . .= � = (�(� . −1 −kJ−kg− − De donde, H2 = H �H = = .+ =..== 1� . =(�η += � = )2,675.4 +.284.5 = .2,959.9 − = � + � = . � = η η = . . = − − = + � =η + . = . = + muestra � = que el vapor + .sobrecalentado = De nuevo, por interpolación se con−−esta entalpía tiene las − �� == + + . .= = = ++ − propiedades adicionales:= = + �◦◦ = + . = − − − − − − = = .. = .. ◦◦◦ = − − −1 −1 . C . = 246.1 .1 S2 = 7.5019 kJ kg− K− T2 = = . ◦◦ = . − − − − ◦ = = . ◦. = =. . − − = . trabajo requerido =es:. Además, por la ecuación (7.14), el − − − = � = . =� = . −1 �H = 284.5 Ws = � . kJ kg−− =� = . − − == �� == . . − =� = . La aplicación directa de la ecuación (7.13) a la (7.15) supone la disponibilidad de tablas de datos o de un diagrama termodinámico, equivalente para el fluido que será comprimido. Cuando no se disponga de tal información se utilizan las correlaciones generalizadas de la sección 6.7 en conjunto con las ecuaciones (6.93) y (6.94), tal como se ilustra en el ejemplo 7.7 para un proceso de expansión. La suposición de los gases ideales� conduce � = �� a��ecuaciones − de una relativa simplicidad. Mediante la ecua= − ción (5.18) para un gas ideal: � =� � − � =� � − � �= = � � � � T2 − − P2 − R ln � = =�S = �C P �S ln � T1 P1 � = � � � /� /� ���� �� � = /� � � donde, por simplicidad, se omite � el � superíndice capacidad calorífica media. Si la compresión es = = ��� = “ig” � de �la /� /� �� � = en:� � /� � �� isentrópica, Δ฀S = 0, y esta ecuación�se = convierte �� = � � � R/�C � � � � = � P2 � /� /�P� ��S � � ��� T1 T2� =� = (7.18) = P1 �� � ��� � ��� � � � � donde T 2′ es la temperatura que resulta cuando la compresión de T1 y P1 a P2 es isentrópica, y donde 〈CP′ 〉 S �� � �� � � � � � � ′ � es la capacidad calorífica media para el intervalo de temperaturas que van de T1 a T 2. � � � ��� �� � � � � Para una compresión ecuación convierte en: �� − �� � se � � isentrópica, la(� )) = = ��(4.9) ( ) (� ) � � ( �� − � (� ) = � � (� � − � ) ) ) (�H ) = �C=�P� �H� (T ( T�� 1− �� � − (((�(�)S )=))= �=� �� �( �2(� (−� −−) ) ) ( (� ) =)�= ��� ��� (� �(−��� −) ) ( ) = � � � � ( � −� ) ( s (isentropic) ) == � �C� �( (T− ) 1) (7.19) De acuerdo con la ecuación (7.15), isentrópico W 2−T ( ) = � � �P (H � − ) 07-SmithVanNess.indd 275 8/1/07 13:36:34 276 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Es posible combinar este resultado con la eficiencia del compresor obteniendo: Ws (isentropic) (isentrópico) Ws()= (((( ) (7.20) ( ))))) ) = ( (η = = = = = = η =η η η ηηη η se encuentra también a partir de la ecuación La temperatura de descarga real T2, resultado de la compresión, (4.9), rescrita como: � =� � ( − ) �H = � = � �� (=� − �= ) (���C � = −− �� �= �����H((((T = � �P− (�)2(− − T−1)))) ) � �= �− ) = � + �H � � � �� � � = + = T += == ++ Por lo tanto, (7.21) =T= +��+ 1+ � + � � 2 = ��� � � � �C � � � � P �H � � � = donde, por � la ecuación ΔH = == este caso 〈C 〉 es la capacidad calorífica media para el intervalo � �=W=s. En = �(7.14) � � � ����� ������ �P H =� �� �= de temperaturas de T1 a T2. � = Para el caso especial de un gas ideal con capacidades caloríficas constantes, � ��� � � = � � = � ��� � = � ����� � �= = �� P�����H�� = �� �P�����S�� �= � � � = �� � �� ��C = == == = ��= = ��C ��C == == �=C=P �� P�����H� = �= � ��= �= � = Por lo tanto, las ecuaciones � (7.18) � y/(7.19) serán: � � / �� �� �� / � � � � � /� � ( � )= ( ��� − ) �/ � �= � P2/// R/C P ( ( ) = − = � � ����= � � )) ) = ( − ) = ( ) = ( − = (Ws(isentrópico) − = ((( () = =))()C = = = − T= = 2′((((–)��(�− y T− P)(T 1 )−))) ) = 2 = T1 P 1 � �� � 6 Combinando estas ecuaciones se obtiene: / �� � � �� �� �� �� � � �� �� � /� / / � � � � � � � � ( )= // / − � �/ � R/C P − ( ) = P ( ) = − − ( ) = 2 ( Ws(isentrópico) − − ((( () = )))= − 1− =) C =P T1 = (7.22) = − P1 / / / R/CP/////= /2/5 /= 0.4.≈Para / gases = . diatómicos como Para gases monoatómicos, como el argón y el helio, / ≈ // = ≈///./ // ≈ ≈≈ == = ..... . complejidad ≈gases == ≈////./ /= / Para ≈ = oxígeno, nitrógeno y aire a temperaturas moderadas, R/CP ≈ 2/7 = 0.2857. de mayor molecular, la capacidad calorífica del gas ideal depende en mayor medida de la temperatura, y es menos probable que la ecuación (7.22) sea apropiada. Se demuestra con facilidad que la hipótesis de las capacidades �− caloríficas constantes también conduce al resultado: �− = � −+ T�����− −− � T 1 η− − = + = T+= == ++ (7.23) == T1+ + +2η− η + η 2= η ηηη η Ejemplo 7.9 Si el metano (si se supone como un gas ideal) se comprime adiabáticamente desde 20◦◦◦°C y 140 kPa ◦ ◦ ◦ ◦ hasta 560 kPa, estime el trabajo necesario y la temperatura de descarga del metano. La◦◦eficiencia del compresor es 0.75. − γ− = − = = γγ−− −R γ− −− γ− C − C γ − 1 − γ − −γ − − = = = − = − que = ==V == − =.=Una =C −−un−gas=ideal: 6 Puesto γγ=− R = CP−–= para alternativa de la ecuación (7.22) es, por lo tanto: as: � == P γ = − =V = � γ == γγγforma = = − �(γ − C�� C P)/γ γ P γ γ � γ � �� � � � � �(γ(γ−� ����� −�)/γ )/γ − ��� � �� =�� γ RT1 ( P2γ (γ)−1)/γ γγ γ�(γ��− (γ )/γ (γ−− −(γ )/γ − )/γ � )/γ�� (γ ( )== γγγγ − Ws (isentrópico) ésta)/γ es− la más común, la ecuación (7.22) es más simple y se aplica con ( )= − 1 . Aunque −− − (= γ − 1(((() = = − forma − (P1 ))))= ) = γ−− γ = − γ− γγγ−− −γ − más facilidad. 07-SmithVanNess.indd 276 8/1/07 13:36:58 277 7.3. Procesos de compresión Solución 7.9 �� � /� � �� /� �/� � ��/� ′ /� La aplicación de la ecuación (7.18) requiere de la evaluación del exponente /� � /� ���R / 〈CP 〉 S. Ésta se � logra con la ecuación (5.17), que para el presente cálculo se simboliza por: /� � �� � � � � ��� �� ��� = = = P���S ���C�= = MCPS(293.15,T2;1.702,9.081E-3,-2.164E-6,0.0) = � R� � = �� = � � �� � T2′ algo . donde las constantes para el metano se obtienen de la = tabla= Seleccione un valor para =C.1. . . = . � / =// en.= .la ecuación = .= // = /(7.18) = mayor que la temperatura inicial T1�= 293.15 � ��� / � ��� K. /� �El/exponente . es el. �recípro= / = / / = .= .= �� �� �/ �/T =� 293.15 K, � / = / = . � / = / = . ′ � = . co de 〈C 〉 / R. Con P / P = 560/140 = 4.0 y encuentre un nuevo valor de T2′. El � = . =/ � � �/� 1 =. / = . =P S . = .2 1 �� = . � = . � ′ procedimiento se repite hasta que ningún cambio significativo ocurre en el valor de T . Este pro� � � �/ � / = / = . 2 = . � � � ceso da los = valores: . �� � � �� �� � � ��� �� ��C P = = S ..= 4.5574 = � .. . ��� �=��� .= T2� = 397.37 y �� = =K = . � = = . R = ... � �� = . � =�� . �〈C ′ 〉� H��/ R�� por = . � evalúa Para las mismas T1 y T2′, se � P � �� ��� � la� ecuación (4.8): �� � � � �� � �� �� � � �C � � � � � �� � MCPH(293.15,397.37;1.702,9.081E-3,-2.164E-6,0.0) � � �P� �H = = = 4.5774 .= . � � = = .= �� = �� �R= = = ... = � = = � � − = � ��C�� �� = = . −1 − −1 . )(( . )( .) )( . De donde, = P �H( �= . � ((4.5774)(8.314) = = ). = . )38.056 = . J−mol−−− K−−− − � � ��= = ((( ... )( ... ))) = = ... = )( = − − )( ��� � ��� = � � =( . − − )( . ) = . � En consecuencia, por la ecuación (7.19), − − − .. − − =.()( =.)( . ( )( − =)= ( (( ( ) = )() = .)(. )( − .. − )..= )) .= − − W((s(isentrópico) =(( (38.056)(397.37 – 293.15) = 3 996.2 J mol–1 ) = . )( . − . ) = ) = . )( . − . ) = − ( ) = ( . )( . − . )= − ( ) = ( . )( . − . )= El trabajo real se encuentra a partir de la ecuación (7.20): − − − = 3,966.2 = = = = == = − −1 =. .. . = = 5,288.3 J mol− = Ws = = . 0.75 − = . = . Al aplicar la ecuación (7.21) para el cálculo de T2 se obtiene: − .. + =. =+ + = = . �� + �� = 293.15 + 5,288.3 = .. �+ + � � � T2 = �� ��� �C = . + P H �� � � � � � ��� ��� � �� ��� ��� � ′ Puesto que 〈C P 〉 H depende de T2, iteramos de nuevo. Con T2 como valor inicial, lo que conduce � a los resultados: � � ◦◦ = . = = =. = . . = =. ◦=.. ◦◦ . ◦ = . = . = . = . ◦ = . = . T2 = 428.65 K o t2 = 155.5 °C .. . − −−− −−− = − . ◦ = =� ��.� =��� = .� = − − − − = ... = − − ��� ��� = �C P �H = 39.027 J mol−1 K−1 y 07-SmithVanNess.indd 277 8/1/07 13:37:20 278 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo Bombas Por lo general es posible mover líquidos usando bombas, que normalmente son equipo giratorio. Se aplican las mismas ecuaciones a bombas adiabáticas que a compresores adiabáticos. De este modo, son válidas las = =� � ecuaciones (7.13) a la (7.15) y (7.17). De cualquier modo, la aplicación de la ecuación = � (7.14) para el cálculo de Ws = ΔH requiere valores de la entalpía de líquidos comprimidos (subenfriados), y rara vez se encuentran disponibles. La relación fundamental para la evaluación de una propiedad, ecuación (6.8), proporciona una alternativa. Para un proceso isentrópico, = = = dH = V dP (S constante) Al combinar ésta con la ecuación (7.15) se obtiene: � � � (( )) = (� ) = = (� ) = Ws(isentrópico) = (�H ) S = ( )= P2 V dP P1 La suposición acostumbrada para líquidos (en condiciones muy alejadas del punto crítico) es que V es independiente de P. En tal caso la integración proporciona: (� (( 2 − (( )) = Ws(isentrópico) = (�H = (� ))S = = V (P − P1 )) ( ) = (� ) = ( − ) También se consideran útiles las ecuaciones siguientes del capítulo 6: dH = βT = C P dT + + V ((1 ( − −β β )) d P = + ( −β ) (6.28) dT βV dS = = CP T − −β β dP = −β (7.24) (6.29) β donde el coeficiente de expansión volumétrica β se define por la ecuación (3.2). Puesto que los cambios de β β temperatura en el fluido que se bombea son muy pequeños y las propiedades de los líquidos son insensibles a la presión (de nuevo en condiciones alejadas del punto crítico), en general, estas ecuaciones se integran con la β suposición de que CP, V y β son constantes, β usualmente en los valores iniciales. En estos términos, para una β buena aproximación � �H = βT )) � �P � = C dT + + V (((1 − −β β � � = P + ( − β )� (7.25) T2 − β � � βV � �P �S = � =C −β � = P T1 − β � (7.26) Ejemplo 7.10◦◦ ◦ En una bomba adiabática entra agua a 45 °C y 10 kPa y se descarga a una presión de 8 600 kPa. Suponga que la eficiencia de la bomba es de 0.75. Calcule el trabajo de la bomba, el cambio de temperatura y el cambio de entropía del agua. Solución 7.10 ◦ Las siguientes son propiedades para el agua líquida saturada a 45 ºC◦◦ (318.15 K): − − V = = 1,010 cm3 kg−1 − = 07-SmithVanNess.indd 278 − − − β β= = 425 × × 10−6 K−1 β= × − − − − − − −1 . CP = = 4.178 kJ kg−1 − K− = . 8/1/07 13:37:31 279 7.3. Procesos de compresión Por la ecuación (7.24), 6 3 –1− W((s (isentrópico) = (ΔH) – 10))) = = )) = )) S= .. ×× = (� (� == (((1 010))( )((8 600− − =8.676 ×10 kPa cm kg −− ( ) = (� ) = ( )( − )= . × Puesto que 1 kJ = 106 kPa cm3, − W(s (isentrópico) = (ΔH) = 8.676 kJ kg–1 − )) = ( = (� (� )) S = = .. − ( ) = (� ) = . (�H 8.676 (� ))S . −1 �H = de la ecuación (7.17), � = = (�η ) = = 0.75 = 11.57 . kJ kg −− . � = η = . = . η . − − �ΔH = .. kJ kg–1 y W= = 11.57 = = s =� − =� = . El cambio de temperatura del agua durante el bombeo, a partir de la ecuación (7.25): �� �� − 8,590 −6)( � . ) . = . � + − ( × 11.57 = 4.178 �T + 1,010 1 − (425 × 10 − )(318.15) � )( . ) 106 . = . � + −( × � � La solución para ΔT � proporciona: � = .. ◦◦ � ΔT = .. ฀ o 0.97 ºC � = = .0.97 K . ◦ El cambio de entropía del agua se da por la ecuación (7.26): .. − − − − − � − (( × )) 8,590 = � = = .. = .. × − )( )( 319.12 −1 K−1 .. − �S = 4.178 ln = 0.0090 kJ kg − (425 × 10−6 )(1,010) 6 318.15 10 Figura 7.7: Eyector de una sola etapa. Eyectores Los eyectores transfieren gases o vapores de un espacio a evacuar y los comprime para descargarlos a una presión mayor. Cuando es posible mezclar los gases o vapores con el fluido impulsor, por lo general los eyectores son más baratos y tienen costos de mantenimiento más bajos que los otros tipos de bombas de vacío. Como se ilustra en la figura 7.7, un eyector consiste en una tobera interna convergente/divergente a través de la cual se alimenta al fluido impulsor (por lo general vapor) y una tobera externa, más grande, a través de la 07-SmithVanNess.indd 279 8/1/07 13:37:39 280 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo cual pasan los gases o vapores extraídos y el fluido impulsor. El momentum del fluido de alta velocidad, que sale de la tobera impulsora, se transfiere parcialmente a los gases o vapores extraídos, y por lo tanto es menor la velocidad de la mezcla que la del fluido impulsor que sale de la tobera más pequeña. A pesar de eso, ésta es mayor que la rapidez del sonido y, por lo tanto, la tobera más grande actúa como difusor convergente/divergente en donde aumenta la presión y disminuye la velocidad, pasando por la rapidez del sonido en la garganta. Aunque para las toberas se aplican las ecuaciones acostumbradas de la energía, el proceso de mezclado es complejo y, por ello, el diseño del eyector es empírico en gran medida.7 PROBLEMAS 7.1. El aire se expande adiabáticamente a través de una tobera, desde una velocidad inicial insignificante hasta una velocidad final de 325 m s–1. ¿Cuál es la caída de temperatura del aire, si se supone que − éste es un gas ideal para el que CP = (7/2)R? =( / ) 7.2. En el ejemplo 7.5 se encontró una expresión para el coeficiente de Joule/Thomson, µ = (∂T/∂P)H, = (∂ /∂ ) que lo relaciona con la información de una capacidad calorífica y una µ ecuación de estado. Desarrolle expresiones similares para las derivadas: a) (∂T/∂P) (∂ /∂S; b) ) (∂T/∂V) (∂ U./∂ ) ¿Qué se puede decir acerca de los signos de estas derivadas? ¿Para qué clase de procesos estas derivadas podrían ser cantidades importantes? 7.3. La termodinámica de la rapidez del sonido c se define en la sección 7.1. Demuestre que: � V CP c= MC V κ donde V es el volumen molar y M es la masa molar. A qué se reduce este resultado general para: a) ¿Un gas ideal? b) ¿Un líquido incompresible? ¿Qué sugieren cualitativamente estos resultados acerca de la rapidez del sonido en líquidos con respecto a los gases? 7.4. Entra vapor en una tobera a 800 kPa y 280◦ °C a una velocidad insignificante y se descarga a una presión de 525 kPa. Suponga expansión isentrópica del vapor dentro de la tobera. ¿Cuál es la velocidad de salida y cuál el área de la sección transversal en la salida de la tobera para una relación de flujo de 0.75 −kg s–1? ◦ 7.5. Entra vapor en una tobera convergente a 800 kPa y 280 °C con velocidad insignificante. Si la expansión es isentrópica, ¿cuál es la presión mínima que se alcanza en esta tobera y cuál es el área de la sección transversal en la garganta de la tobera con esta presión para una relación de flujo de − 0.75 kg s–1? 7 R. H. Perry y D. Green, Perry’s Chemical Engineers’ Handbook, 7a ed., pp. 10-56 y 10-57, McGraw-Hill, Nueva York, 1997. 07-SmithVanNess.indd 280 8/1/07 13:37:42 281 Problemas 7.6. Un gas entra en una tobera convergente a presión P1 con velocidad insignificante, se expande de manera isentrópica en la tobera y se descarga a una cámara a una presión P2. Trace gráficas que muestren la velocidad en la garganta y la relación de flujo de la masa como funciones de la relación de presiones P2/P1. / 7.7. Para una tobera convergente/divergente con velocidad de entrada insignificante en donde la expansión es isentrópica, trace gráficas de la relación de flujo de masa ṁ, velocidad u y relación entre . las áreas A/A1 en función de la relación de presiones P/P1. En este caso, A es / el área de la sección transversal de la tobera en el punto donde la presión es P y el subíndice 1 denota la entrada de la / tobera. 7.8. Un gas ideal con capacidades caloríficas constantes entra en una tobera convergente/divergente con velocidad insignificante. Si éste se expande isentrópicamente dentro de la tobera, demuestre que la velocidad en la garganta está dada por: � � 2 γ RT1 2 u garganta throat = M γ +1 donde T1 es la temperatura del gas que entra en la tobera, M la masa molar y R la constante molar del gas. 7.9. Se expande vapor isentrópicamente en una tobera convergente/divergente, desde las condiciones de entrada de 1 400 kPa,◦ 325 °C y una velocidad insignificante, a una presión de descarga de 140 kPa. En la garganta, el área de la sección transversal mide 6 cm2. Determine la relación de flujo de la masa del vapor y el estado de éste en la salida de la tobera. 7.10. Se expande vapor adiabáticamente en una tobera desde las condiciones de entrada (◦ de 130(psia), –1 − 420(°F) y una velocidad de 230(pie)(s) a una presión de descarga de 35(psia),. donde su velocidad –1. ¿Cuál es el estado del vapor en la salida de la tobera, y cuál es Ṡ para el − es de 2 000(pie)(s) G proceso? ◦ °C con una velocidad de 580 − m s–1. ¿Cuál es la 7.11. Se descarga aire desde una tobera adiabática a 15 temperatura en la entrada de la tobera si la velocidad de entrada es insignificante? Suponga que el =( / ) aire es un gas ideal con CP = (7/2)R. ◦ 7.12. Se estrangula agua fría a 15 °C desde 5(atm) hasta 1(atm), como en una llave de la cocina. ¿Cuál es el cambio de temperatura del agua? ¿Cuál es el trabajo perdido por kilogramo de agua por día en ◦ β esta casa? A 15 °C y 1(atm), el coeficiente de expansión volumétrica β para el agua líquida es casi − − ◦ –4 –1 . × de los alrededores Tσ es de 20 °C. Establezca de 1.5 × 10 K . La temperatura σ con cuidado cualquier suposición que realice. Las tablas de vapor son una fuente de información. 7.13. Un gas en condiciones corriente arriba (T1, P1) se estrangula a una presión corriente abajo de 1.2 � y ΔS para uno bar. Use la ecuación de Redlich/Kwong para estimar la temperatura corriente abajo de los siguientes gases: a) b) c) d) 07-SmithVanNess.indd 281 = bar. Dióxido de carbono, con T1 = = 350 K y P1 = 80 = = Etileno, con T1 = 350 K y P1 = 60 bar. = K y P1 = 60 bar. = Nitrógeno, con T1 = 250 = K y P1 = 20 bar. = Propano, con T1 = 400 8/1/07 13:37:46 282 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo 7.14. Un gas en condiciones corriente arriba, que son dadas por uno de los incisos del problema 7.13 se estrangula a una presión de 1.2 bar. Use la ecuación de Soave/Redlich/Kwong para estimar la temperatura corriente abajo y ΔS del gas. � 7.15. Un gas en condiciones corriente arriba, dadas por uno de los incisos del problema 7.13 se estrangula a una presión de 1.2 bar. Use la ecuación de Peng/Robinson para estimar la temperatura corriente abajo y ΔS del gas. � 7.16. Para una ecuación de estado explícita en la presión, demuestre que la curva de inversión de Joule/ Thompson es el lugar de los estados para los cuales: T � ∂Z ∂T � ρ =ρ � ∂Z ∂ρ � T Aplique esta ecuación a: a) la ecuación de van der Waals; b) la ecuación de Redlich/Kwong. Analice los resultados. 7.17. Dos tanques no conductores de capacidad calorífica insignificante y de igual volumen contienen inicialmente cantidades idénticas del mismo gas ideal con las mismas T y P. El tanque A descarga a la atmósfera a través de una pequeña turbina en la que el gas se expande isentrópicamente; el tanque B descarga a la atmósfera a través de un tapón poroso. Los dos dispositivos funcionan hasta que se termina la descarga. a) Cuando se acaba la descarga, ¿la temperatura del tanque A es menor, igual o mayor que la temperatura del tanque B? b) Cuando las presiones en ambos tanques disminuyen a la mitad de la presión inicial, ¿la temperatura del gas que se descarga de la turbina es menor, igual o mayor que la temperatura del gas que se descarga del tapón poroso? c) Durante el proceso de descarga, ¿la temperatura del gas que sale de la turbina es menor, igual o mayor que la temperatura del gas que sale del tanque A en el mismo instante? d) Durante el proceso de descarga, ¿la temperatura del gas que sale del tapón poroso es menor, igual o mayor que la temperatura del gas que sale del tanque B en el mismo instante? e) Cuando cesa la descarga, ¿la masa del gas que queda en el tanque A es menor, igual o mayor que la masa del gas que queda en el tanque B? 7.18. Una turbina de vapor funciona adiabáticamente a un nivel de potencia de 3 500 kW. El vapor entra en la turbina a 2 400 kPa y 500 °C, y escapa de la turbina como vapor saturado a 20 kPa. ¿Cuál es la cantidad de vapor a través de◦ la turbina y cuál es la eficiencia de la turbina? 7.19. Una turbina funciona adiabáticamente con vapor sobrecalentado, que entra a T1 y P1 con una relación de flujo de masa ṁ . La presión de descarga es P2 y la eficiencia de la turbina es η. Para uno de . los conjuntos de condiciones de operación siguientes, determine la potenciaη de salida de la turbina, así como la entalpía y la entropía del vapor de descarga. . a) T1 = 450 °C, P1 = 8 000 kPa, m = .80 kg s–1, P2 = 30 kPa, η = 0.80. ◦ − = = = = η= . 07-SmithVanNess.indd 282 8/1/07 13:37:48 283 Problemas b) c) d) e) f) g) . T1 = 550 °C, P1 = 9 000 kPa, m = 90 kg s–1, P2 = 20 kPa, η = 0.77. . T1 = 600 °C, P1 = 8 600 kPa, m = 70 kg s–1, P2 = 10 kPa, η = 0.82. . T1 = 400 °C, P1 = 7 000 kPa, m = 65 kg s–1, P2 = 50 kPa, η = 0.75. . T1 = 200 °C, P1 = 1 400 kPa, m = 50 kg s–1, P2 = 200 kPa, η = 0.75. . T1 = 900°F), P1 = 1 100(psia), m = 150(lbm)(s)–1, P2 = 2(psia), η = 0.80. . T1 = 800(°F), P1 = 1 000(psia), m = 100(lbm)(s)–1, P2 = 4(psia), η = 0.75. 7.20. Gas nitrógeno, inicialmente a 8.5 bar, se expande de manera isentrópica a 1 bar y 150 °C. Suponiendo que el nitrógeno sea un gas ideal, calcule la temperatura inicial y el trabajo producido por mol de nitrógeno. 7.21. Los productos de la combustión de un quemador entran en una turbina de gas a 10 bar y 950 °C, y se descargan a 1.5 bar. La turbina funciona adiabáticamente con una eficiencia de 77%. Si se supone que los productos de la combustión son una mezcla de gases ideales con capacidad calorífica de 32 J mol–1 K–1, ¿cuál es el trabajo de salida de la turbina por mol de gas y cuál es la temperatura de los gases que se descargan de la turbina? 7.22. De manera adiabática se expande isobutano en una turbina desde 5 000 kPa y 250 ºC hasta 500 kPa, con una relación de 0.7 kg mol s–1. Si la eficiencia de la turbina es 0.80, ¿cuál es la potencia de salida de la turbina y cuál es la temperatura del isobutano que sale de ésta? 7.23. La cantidad de vapor a una turbina para una salida variable se controla mediante una válvula de estrangulamiento en la tubería de entrada. Se suministra vapor a la válvula de estrangulamiento a 1 700 kPa y 225 ºC. Durante una corrida de prueba, la presión en la entrada de la turbina es 1 000 kPa, el vapor se descarga a 10 kPa con una calidad de 0.95, la proporción de flujo de vapor es 0.5 kg s–1 y la potencia de salida de la turbina es 180 kW. a) ¿Cuáles son las pérdidas de calor de la turbina? b) ¿Cuál sería la potencia de salida si el vapor suministrado a la válvula de estrangulamiento se expande isentrópicamente a la presión final? 7.24. Gas dióxido de carbono entra en un expansor adiabático a 8 bar y 400 °C y se descarga a 1 bar. Si la eficiencia de la turbina es 0.75, ¿cuál es la temperatura de la descarga y cuál es el rendimiento del trabajo por mol de CO2? Suponga que el CO2 es un gas ideal en estas condiciones. 7.25. Pruebas en una turbina adiabática de gas (expansor) producen valores para las condiciones de entrada (T1, P1) y para las de salida (T2, P2). Suponga gases ideales con capacidades caloríficas constantes y determine la eficiencia de la turbina para uno de los siguientes casos: a) b) c) d) e) 07-SmithVanNess.indd 283 T1 = 500 K, P1 = 6 bar, T2 = 371 K, P2 = 1.2 bar, CP / R = 7/2. T1 = 450 K, P1 = 5 bar, T2 = 376 K, P2 = 2 bar, CP / R = 4. T1 = 525 K, P1 = 10 bar, T2 = 458 K, P2 = 3 bar, CP / R = 11/2. T1 = 475 K, P1 = 7 bar, T2 = 372 K, P2 = 1.5 bar, CP / R = 9/2. T1 = 550 K, P1 = 4 bar, T2 = 403 K, P2 = 1.2 bar, CP / R = 5/2. 8/1/07 13:37:49 284 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo 7.26. La eficiencia de una serie particular de turbinas adiabáticas de gas (expansores) se correlaciona con la potencia de salida de acuerdo con la expresión empírica: η = 0.065 + 0.080 ln | Ẇ | En este caso, | Ẇ | es el valor absoluto de la potencia de salida real en kW. Gas nitrógeno se expande desde las condiciones de entrada de 550 K y 6 bar, hasta una presión de salida de 1.2 bar. Para una relación de flujo molar de 175 mol s–1, ¿cuál es la potencia entregada en kW? ¿Cuál es la eficiencia de la · turbina? ¿Cuál es la rapidez de generación de entropía S G? Suponga que el nitrógeno es un gas ideal con CP = (7/2)R. 7.27. Una turbina funciona adiabáticamente con vapor sobrecalentado que entra a 45 bar y 400 ºC. Si el vapor de salida debe estar “seco”, ¿cuál es la presión de descarga mínima permitida para una eficiencia de la turbina, η = 0.75? Suponga que la eficiencia es de 0.80. ¿La presión de descarga mínima sería menor o mayor? ¿Por qué? 7.28. Las turbinas se usan para recuperar energía de corrientes líquidas a alta presión. Sin embargo, no se utilizan cuando la corriente de alta presión es un líquido saturado. ¿Por qué? Demuestre este hecho determinando el estado corriente abajo, para una expansión isentrópica de agua líquida saturada desde 5 bar hasta una presión final de 1 bar. 7.29. Entra agua líquida en una hidroturbina adiabática a 5(atm) y 15 ºC, y se descarga a 1(atm). Estime la potencia de salida de la turbina en J kg–1 del agua si su eficiencia es η = 0.55. ¿Cuál es la temperatura de salida del agua? Suponga que el agua es un líquido incompresible. 7.30. Un expansor funciona adiabáticamente con nitrógeno que entra a T1 y P1 con una relación de flujo molar ṅ. La presión de descarga es P2 y la eficiencia del expansor es η. Estime la potencia de salida del expansor y la temperatura de la corriente de descarga para uno de los siguientes conjuntos de condiciones de operación. a) b) c) d) e) T1 = 480 °C, P1 = 6 bar, ṅ = 200 mol s–1, P2 = 1 bar, η = 0.80. T1 = 400 °C, P1 = 5 bar, ṅ = 150 mol s–1, P2 = 1 bar, η = 0.75. T1 = 500 °C, P1 = 7 bar, ṅ = 175 mol s–1, P2 = 1 bar, η = 0.78. T1 = 450 °C, P1 = 8 bar, ṅ = 100 mol s–1, P2 = 2 bar, η = 0.85. T1 = 900(°F), P1 = 95(psia), ṅ = 0.5(lb mol)(s)–1, P2 = 15(psia), η = 0.80. 7.31. ¿Cuál es la cantidad de trabajo ideal para el proceso de expansión del ejemplo 7.6? ¿Cuál es la eficiencia termodinámica del proceso? ¿Cuál es la rapidez de generación de entropía ṠG? ¿A qué es igual Ẇperdido? Considere Tσ = 300 K. 7.32. Se descarga gas a 400 °C y 1 bar desde un motor de combustión interna fluye a una proporción de 125 mol s–1 en una caldera de calor residual, donde se genera vapor saturado a una presión de 1 200 kPa. El agua entra en la caldera a 20 °C (Tσ), y los gases de escape se enfrían a la temperatura de vapor, más o menos 10 °C. La capacidad calorífica de los gases de escape es CP /R = 3.34 + 1.12 × 10–3 T/K. El vapor fluye hacia una turbina adiabática y se descarga a una presión de 25 kPa. Si la eficiencia de la turbina η es de 72%, · a) ¿Cuál es Ws, la potencia de salida de la turbina? 07-SmithVanNess.indd 284 8/1/07 13:37:50 285 Problemas b) ¿Cuál es la eficiencia termodinámica de la combinación caldera/turbina? · c) Determine S G para la caldera y la turbina. · · · d) Exprese Wperdido(caldera) y W perdido(turbina) como fracciones de | W ideal |, el trabajo ideal del proceso. 7.33. Un compresor pequeño de aire adiabático se usa para bombear aire hacia un tanque aislado de 20 m3. El tanque contiene inicialmente aire a 25 °C y 101.33 kPa, exactamente las condiciones con las que entra el aire en el compresor. El proceso de bombeo continúa hasta que la presión en el tanque alcanza los 1 000 kPa. Si el proceso es adiabático y la compresión es isentrópica, ¿cuál es el trabajo de flecha del compresor? Suponga que el aire es un gas ideal para el que CP = (7/2)R y CV = (5/2)R. 7.34. 2.5 kg s–1 de vapor saturado a 125 kPa se comprime de manera adiabática en un compresor centrífugo a 700 kPa. La eficiencia del compresor es 78%. ¿Cuál es la potencia requerida del compresor y cuáles son la entalpía y la entropía del vapor en el estado final? 7.35. Un compresor funciona adiabáticamente con aire que entra a T1 y P1 con una relación de flujo molar n·. La presión de descarga es P2 y la eficiencia del compresor es η. Estime la potencia que requiere el compresor y la temperatura de la corriente de descarga para uno de los conjuntos de condiciones de operación siguientes. a) b) c) d) e) f) T1 = 25 °C, P1 = 101.33 kPa, ṅ = 100 mol s–1, P2 = 375 kPa, η = 0.75. T1 = 80 °C, P1 = 375 kPa, ṅ = 100 mol s–1, P2 = 1 000 kPa, η = 0.70. T1 = 30 °C, P1 = 100 kPa, ṅ = 150 mol s–1, P2 = 500 kPa, η = 0.80. T1 = 100 °C, P1 = 500 kPa, ṅ = 50 mol s–1, P2 = 1 300 kPa, η = 0.75. T1 = 80(°F), P1 = 14.7(psia), ṅ = 0.5(lb mol)(s)–1, P2 = 55(psia), η = 0.75. T1 = 150(°F), P1 = 55(psia), ṅ = 0.5(lb mol)(s)–1, P2 = 135(psia), η = 0.70. 7.36. Se comprime gas amoniaco desde 21 °C y 200 kPa hasta 1 000 kPa en un compresor adiabático con una eficiencia de 0.82. Estime la temperatura final, el trabajo requerido y el cambio de entropía del amoniaco. 7.37. Se comprime 1 kg mol s–1 de propileno adiabáticamente desde 11.5 bar y 30 °C hasta 18 bar. Si la eficiencia del compresor es 0.8, ¿cuál es la potencia requerida del compresor y cuál es la temperatura de descarga del propileno? 7.38. Se comprime 1.5 kmol s–1 de metano adiabáticamente en la tubería de una estación de bombeo, desde 3 500 kPa y 35 °C hasta 5 500 kPa. Si la eficiencia del compresor es 0.78, ¿cuál es la potencia requerida del compresor y cuál es la temperatura de descarga del metano? 7.39. ¿Cuál es el trabajo ideal para el proceso de compresión del ejemplo 7.9? ¿Cuál es la eficiencia termodinámica del proceso? ¿Cuáles son los valores de SG y Wperdido? Considere Tσ = 293.15 K. 07-SmithVanNess.indd 285 8/1/07 13:37:50 286 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo 7.40. Un ventilador es (en efecto) un compresor de gas que mueve grandes volúmenes de aire a baja presión a través de pequeñas diferencias de presión (1 a 15 kPa). La ecuación de diseño común es: . .. RT1 . � � W = n = �P η P1 η donde el subíndice 1 denota las condiciones de entrada ηy η es la eficiencia con respecto a la operaη ción isentrópica. Desarrolle esta ecuación. También demuestre cómo se deduce a partir de la ecuación común para la compresión de un gas ideal con capacidades caloríficas constantes. 7.41. Para un compresor de gas adiabático, la eficiencia con respecto a la operación isentrópica ηη es una η medidaade las irreversibilidades internas; así, la rapidez de generación de la entropía sin dimensiomeasure of internal . .. . nes es G /R ≡ / S≡ / SG /n R.. Suponiendo que el gas es ideal con capacidades caloríficas constantes, η demuestre que η/ y SG//R están relacionadas por medio de la expresión: η � � � � C P= η + πη−+1π − SG ln = R R ηπ ηπ ( ) P// ) /1)R/C pπ≡≡(P(2π/P≡ donde / ◦ ◦ 7.42. Se comprime aire de 1(atm) y 35 °C en un compresor oscilante por etapa (con interenfriamiento) a una presión final de 50(atm). Para cada etapa, la temperatura de entrada del gas es 35 °C y la tem◦ ◦ ◦ ◦ peratura máxima permisible de salida es 200 °C. La potencia mecánica es la misma para todas las etapas y la eficiencia isentrópica −es 65% en cada etapa. La relación de flujo volumétrico del aire es − 0.5 m3 s–1 a la entrada de la primera etapa. ¿Cuántas etapas se necesitan? ¿Cuál es el requisito de potencia mecánica por etapa? ¿Cuál es el calor útil para cada interenfriador? ◦ ◦ ◦ ◦ El agua es el refrigerante para los interenfriadores. Entra a 25 °C y sale a 45 °C. ¿Cuál es la cantidad de agua de enfriamiento por cada interenfriador? = ( /=) ( / ) Suponga que el aire es un gas ideal con CP = (7/2)R. a) b) c) d) . 7.43. Demuestre que el requerimiento de potencia. para η unηgas comprimido es más pequeño cuando el gas es más complejo. Suponga valores fijos de ṅ, η, T1, P1 y P2, y que el gas es ideal con capacidades caloríficas constantes. 7.44. Experimentos con un compresor adiabático de gas producen valores para las condiciones de entrada (T1, P1) y de salida (T2, P2). Suponiendo gases ideales con capacidades caloríficas constantes, determine la eficiencia del compresor para una de las condiciones siguientes: = = = = = = = = / =/ / = / = = . = = a) T1 = 300 K, P = 2 bar, T = 464 K, P = 6 bar, C / R = 7/2. = = . 2 = 2 = P / =/ / = / 1 b) T1 = 290 K, P = 1.5 bar, T = 547 K, P = 5 bar, C / R = 5/2. = = . = = 1 2 2 = = . = = P / =/ / = / c) T1 = 295 K, P = 1.2 bar, T = 455 K, P = 6 bar, C / R = 9/2. = = 1 = . = 2 . = =2 = P= / =/ /= / d) T1 = 300 =2 = 8 bar, = K,=P1 = 1.1 = bar, . =T2 .= 505 = K, P = CP=/ R = 11/2. / =/ = e) T1 = 305 K, P1 = 1.5 bar, T2 = 496 K, P2 = 7 bar, CP / R = 4. 07-SmithVanNess.indd 286 8/1/07 13:38:01 Problemas 287 7.45. Se comprime aire en un compresor de flujo estable, entra a 1.2 bar y 300 K, y sale a 5 bar y 500 K. La operación es no adiabática, con transferencia de calor a los alrededores a 295 K. Para el mismo cambio de estado del aire, ¿el requerimiento de potencia mecánica por mol del aire es mayor o menor para una operación no adiabática que para una adiabática? ¿Por qué? 7.46. Un calentador doméstico produce un gran exceso de vapor a baja presión (◦ [50(psig), 5(°F) sobrecalentado]. Se propone una modificación: primero el vapor a baja presión recorrería a través de un compresor adiabático de flujo estable, produciendo vapor a presión media [150(psig)]. Un joven ingeniero expresa su preocupación de que la compresión dé como resultado la formación de agua líquida, dañando el compresor. ¿Existe motivo para preocuparse? Sugerencia: Haga referencia al diagrama de Mollier de la figura 6.4. 7.47. Una bomba funciona en forma adiabática con agua líquida entrando a T1 y P1 con una relación de . flujo de masa m·. La presión de descarga es P2 y la eficiencia de la bomba es η. Para uno de los conη juntos de condiciones de operación siguientes, determine el requerimiento de potencia de la bomba y la temperatura de descarga del agua desde la bomba. . − . (a) T1 = 25◦ C, P1 = 100 kPa, m = 20 kg s−1 , P2 = 2,000 kPa, η = 0.75, − − β = 257.2 . × 10−6 K−1 . . − . (b) T1 = 90◦ C, P1 = 200 kPa, m = 30 kg s−1 , P2 = 5,000 kPa, η = 0.70, − − β = 696.2 . × 10−6 K−1 . . − . (c) T1 = 60◦ C, P1 = 20 kPa, m = 15 kg s−1 , P2 = 5,000 kPa, η = 0.75, − − β = 523.1 . × 10−6 K−1 . . − . (d) T1 = 70((◦ F), P1 = 1(atm), m = 50(lbm )(s)−1 , P2 = 20(atm), η = 0.70, − − β = 217.3 . × 10−6 K−1 . . − . (e) T1 = 200((◦ F), P1 = 15(psia), m = 80(lbm )(s)−1 , P2 = 1,500(psia), η = 0.75, − − β = 714.3 . × 10−6 K−1 . 7.48. ¿Cuál es el trabajo ideal para el proceso de bombeo del ejemplo 7.10? ¿Cuál es la eficiencia termodinámica del proceso? ¿A qué es igual SG? ¿Cuál es el Wperdido? Considere Tσ = 300 K. σ = 7.49. Demuestre que los puntos en la curva de inversión de Joule/Thomson µ = (∂T/∂P)H µ =[para (∂ los /∂ que ) = = 0] también son caracterizados por cada una de las siguientes expresiones: � � � � � � � � V ∂Z ∂H ∂V ∂Z (a) = 0;; ((b)) = 0;; ((c)) = ; ((d)) = 0;; ∂T P ∂P T ∂T P T ∂V P � � � � ∂P ∂P +T =0 (e) V ∂V T ∂T V 7.50. De acuerdo con el problema 7.3, la termodinámica de la rapidez del sonido c depende de la ecuación de estado PVT. Demuestre cómo pueden emplearse las mediciones de la rapidez del sonido para calcular el segundo coeficiente virial B de un gas. Suponga que se aplica la ecuación (3.38) y que la relación CP/CV está dada por su valor de gas ideal. / 7.51. El comportamiento de gas real en la maquinaria de turbinas en ocasiones se adapta de manera em. . · . · · pírica por medio de W = 〈Z 〉W ig, donde W ig es la potencia mecánica = la � expresión � � �del gas ideal y 〈Z 〉 es un valor promedio que es convenientemente definido del factor de compresibilidad. 07-SmithVanNess.indd 287 8/1/07 13:38:11 288 CAPÍTULO 7. Aplicaciones de la termodinámica a los procesos de flujo a) Explique racionalmente esta expresión. b) Planee un ejemplo incorporando el comportamiento de gas real en una turbina mediante propiedades residuales y determine un valor numérico de 〈Z 〉 para el ejemplo. �� �� 7.52. Se captura la información de operación para una turbina de aire. De una corrida en particular, P1 = = 8 bar, T1 = 600 K y P2 = 1.2 bar. No obstante, la temperatura de salida = que se registra = =es poco legi= . ble; podría ser T= 2 = .318, 348 o 398 K. ¿Cuál de éstas debería ser? Para las condiciones observadas considere que el aire es= =un gas ideal con CP = (7/2)R constante. = = (( // )) 7.53. Benceno líquido a 25◦ °C y 1.2 bar se convierte en vapor a 200◦°C y 5 bar en un proceso de flujo ◦ estable de dos etapas:◦compresión por medio de una bomba a 5 bar, seguido por vaporización en un intercambiador de calor en contraflujo. Determine los requerimientos de potencia de la bomba y el rendimiento del intercambiador en kJ− mol–1. Suponga una eficiencia de la bomba de 70% y consi− dere al vapor de benceno como un gas ideal con CP = 105 J mol−–1 K–1 − constante. = − − = 7.54. Benceno líquido a 25 ◦°C y 1.2 bar se convierte en vapor a 200 °C ◦y 5 bar en un proceso de flujo ◦ ◦ estable de dos etapas: vaporización en un intercambiador de calor en contraflujo a 1.2 bar, seguido de una compresión como un gas a 5 bar. Determine el rendimiento del intercambiador y los reque–1. Suponga una eficiencia de compresor de 75% y rimientos de potencia del compresor en kJ mol− − considere al vapor de benceno como un gas ideal con CP = 105 J mol–1 K–1 constante. − − = − − = 7.55. De los procesos propuestos en los problemas 7.53 y 7.54, ¿cuál recomendaría usted, y por qué? 7.56. Los líquidos que se mencionan a ◦◦continuación a 25 °C se encuentran completamente vaporizados a 1(atm) en un intercambiador de calor de contracorriente. El medio de calentamiento es el vapor saturado, disponible a cuatro presiones: 4.5, 9, 17 y 33 bar. ¿De la diversidad de condiciones del vapor cuál es la más apropiada � para cada◦◦caso? Suponga una aproximación mínima ΔT de 10 °C en � el intercambiador de calor. a) Benceno; b) n-Decano; c) Etilenglicol; d) o-Xileno − − etileno 7.57. Cien (100) kmol hr–1 de se comprimen desde 1.2 bar y 300 K hasta 6 bar mediante un compresor impulsado por un motor eléctrico. Determine el costo capital C de la unidad. Considere al − − .. − − etileno como un gas ideal con CP = 50.6 J mol–1= K–1 constante. = η η (compresor) = 0.70 Datos: η . .. .. C(compressor)/$ = 3,040( W S /kW)0.952 · ≡ ≡ donde WS ≡ isentrópica que se requiere para el compresor. . potencia . C(motor)/$ = 380(||W. e ||/kW)0.855 . · donde We ≡. potencia de eje trasmitida por el motor. ≡ ≡ 7.58. Cuatro clases diferentes de impulsores para compresores de gas son: motores eléctricos, expansores de gas, turbinas de vapor y máquinas de combustión interna. Sugiera en qué momento es más apropiado cada uno de estos. ¿Cómo estimaría los costos para cada uno de estos impulsores? Ignore cuestiones adicionales tales como mantenimiento, gastos de operación y gastos en general. 7.59. Se proponen dos esquemas para la reducción en la presión del gas de etileno a 375 K y 18 bar hasta 1.2 bar en un proceso de flujo uniforme: 07-SmithVanNess.indd 288 8/1/07 13:38:17 289 Problemas a) Pasarlo a través de una válvula de estrangulación, reguladora. b) Enviarlo a través de un expansor adiabático con 70% de eficiencia. Para cada proposición, determine la temperatura de descarga y la rapidez de generación de entropía en J mol–1 K–1. ¿Cuál es la salida de potencia para la propuesta b) en kJ mol–1? Discuta los puntos a favor y en contra de las dos propuestas. No haga la suposición de que son gases ideales. 7.60. Una corriente de hidrocarburo gas a 500 °C se enfría al combinarlo de manera continua con una corriente de aceite ligero en una torre adiabática. Este aceite ligero entra como un líquido a 25 °C; en tanto, el flujo combinado sale como un gas a 200 °C. a) Dibuje un diagrama de flujo cuidadosamente señalizado para el proceso. b) Si F y D denotan, respectivamente, la masa molar de hidrocarburo gas caliente y el aceite ligero, haga uso de los datos que se proporcionan a continuación para determinar un valor numérico para la proporción aceite-gas D/F. Explique su análisis. c) ¿Cuál es la ventaja de enfriamiento del hidrocarburo gas con un líquido en vez de hacerlo con otro gas (de enfriamiento)? Proporcione una explicación. Datos: CPv (promedio) = 150 J mol–1 K–1 para el hidrocarburo gas. CPv (promedio) = 200 J mol–1 K–1 para el vapor de aceite. ΔH lv (aceite) = 35 000 J mol–1 a 25°C. 07-SmithVanNess.indd 289 8/1/07 13:38:18