Рівнокутний многокутник
В евклідовій геометрії рівнокутний многокутник — це многокутник, кути при вершинах якого рівні. Якщо при цьому рівні ще й сторони, то виходить правильний многокутник.
Єдиним рівнокутним трикутником є правильний трикутник. Тільки прямокутники, включно з квадратом, є рівнокутними чотирикутниками[1].
У рівнокутному n-кутнику кожен кут дорівнює . Це теорема про рівнокутні многокутники.
Для рівнокутних многокутників виконується теорема Вівіані[2]:
- Сума відстаней від внутрішньої точки до сторін рівнокутного многокутника не залежить від розташування точки і є інваріантом многокутника.
Прямокутник (рівнокутний чотирикутник) з цілими довжинами сторін можна поділити на одиничні квадрати, а рівнокутний шестикутник з цілими довжинами сторін можна поділити на правильні трикутники. Деякі, але не всі, рівнокутні дванадцятикутники можна розкласти на комбінацію одиничних квадратів і рівносторонніх трикутників. Решту можна розкласти на ці два види фігур з додатковими ромбами з кутами 30° і 150°[1].
Вписаний многокутник рівнокутний тоді й лише тоді, коли сторони, що чергуються, рівні (тобто, сторони 1, 3, 5, … рівні і сторони 2, 4, … теж рівні). Таким чином, якщо n непарне, циклічний многокутник рівнокутний в тому і тільки в тому випадку, коли він правильний[3] .
Для простого числа p будь-який рівнокутний p-кутник з раціональними (зокрема і цілими) сторонами є правильним. [4]
Більше того, будь-який рівнокутний pk-кутник з цілими сторонами має p-кратну обертову симетрію[5].
- ↑ а б Derek Ball. Equiangular polygons // The Mathematical Gazette. — 2002. — Т. 86, вип. 507 (14 листопада). — С. 396—407.
- ↑ Elias Abboud «On Viviani's Theorem and its Extensions» pp. 2, 11
- ↑ De Villiers, Michael (2011), Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons, Mathematical Gazette, 95 (532): 102—107
- ↑ Marius Munteanu, Laura Munteanu (2013), Rational Equiangular Polygons, Applied Mathematics, 4 (10): 1460—1465, doi:10.4236/am.2013.410197
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом (посилання) - ↑ McLean, K. Robin. A powerful algebraic tool for equiangular polygons // Mathematical Gazette. — November 2004. — Т. 88. — С. 513—514.
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.
- Weisstein, Eric W. Equiangular Polygon(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? обговорення теореми Вівіані на Cut-the-knot.