Ортогональні функції

Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$

Функції $f$ та $g$ є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, $\langle f,\,g\rangle =0$ при $f\neq g$. Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.

Тригонометричні функції

Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.

Наприклад, функції sin nx та sin mx є ортогональними на інтервалі $x\in (-\pi ,\pi )$ для $m\neq n$, де n та m є натуральними числами. Тоді

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),$

тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю. Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути звбрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.

Многочлени

Якщо для послідовності многочленів $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ на ітервалі $[-1,1]$ застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.

Для ортогоналізації, вагова функція $w(x)$ може вставлятись в таку білінійну форму:

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.$

Поліноми Лаґерра на $(0,\infty )$ мають вагову функцію $w(x)=e^{-x}$.

В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на $(-\infty ,\infty )$, мають вагові функції $w(x)=e^{-x^{2}}$ та $w(x)=e^{-x^{2}/2}$, відповідно.

Поліноми Чебишова визначені на $[-1,1]$ мають вагові функції ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ та ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Поліноми Зерніке визначені на одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.

Функції з бінарним значенням

Функція Уолша and Гаарів вейвлетє прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.

Раціональні функції

Раціональні функції Чебиреша порядку n=0,1,2,3,4 між x=0.01 та 100.

Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі [−1, 1], але деколи потрібні ортогональні системи на [0, ∞). Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до [−1, 1]. Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called раціональні функції Лежандра та раціональні функції Чебишева.

Диференціальні рівняння

Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це узагальнене перетворення Фур'є.

Див. також

• Власні вектори та власні значення
• Гільбертів простір
• Теорема Карунена — Лоева
• Теорема Лаурічелла
• Функції Ваньє

Джерела

• George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
• Price, Justin J. (1975). Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. 82: 594—609. doi:10.2307/2319690.
• Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.
• Weisstein, Eric W. Ортогональні функції(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.