Кватерніонна алгебра

У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмірність якої є рівною 4.

Еквівалентні означення

Пряма побудова

Коли F має характеристику не рівну 2, кожну кватерніонну алгебру над F можна описати як 4-вимірний векторний простір над F із базисом $\{1,i,j,k\}$ і таблицею множення для базисних елементів:

$i^{2}=a$

$j^{2}=b$

$ij=k$

$ji=-k$

де a і b є деякими ненульовими елементами поля F. Із цих рівностей також випливає:

$k^{2}=ijij=-iijj=-ab$

Для позначення кватерніонної алгебри із вказаною таблицею множення використовується позначення (a,b)_F або просто (a,b).

Коли поле F має характеристику 2 таблиця множення базових елементів має трохи інший вигляд:

$i^{2}+i=a$

$j^{2}=b$

$ij=k$

$ji=k+j.$

У будь-якому випадку кватерніонна алгебра над F задана цими співвідношеннями є центральною простою алгеброю розмірності 4 над F і навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є кватерніонною алгеброю заданою якимось із співвідношень (в залежності від характеристики).

Для елемента $q=t+xi+yj+zk\$ кватерніонної алгебри над полем характеристика якого не є рівною 2 його спряжений елемент задається як

${\bar {q}}=t-xi-yj-zk.\$

Для кватерніонної алгебри нормою називається відображення:

$N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}.\$

Еквівалентно $N(q)=q{\bar {q}}.\$

Побудова за допомогою етальних квадратичних алгебр

Для полів довільної характеристики кватерніонну алгебру можна побудувати за допомогою етальних квадратичних алгебр, з використанням побудови Келі — Діксона.

Якщо C є етальною квадратичною алгеброю над F (тобто алгеброю ізоморфною $F\oplus F,$ або квадратичному сепарабельному розширенню поля F), то існує єдиний автоморфізм J алгебри C, що відрізняється від одиничного і називається спряженням.

Конкретно можна взяти $C=F_{\mu }=F+F\nu ,$ де $\nu$ задовольняє рівнянню $\nu ^{2}=\nu +\mu ,\ 4\mu +1\neq 0.$ Спряження у цьому випадку задається як $J(\alpha +\beta \nu )=\alpha +\beta -\beta \nu .$ Якщо многочлен $x^{2}-x-\mu$ не має коренів у F, то C є сепарабельним квадратичним розширенням поля F. Якщо цей многочлен має корені у F, то C є ізоморфною $F\oplus F.$ Наприклад для $\mu =0$ многочлен має корені у F і ізоморфізм між $C=F_{\mu }$ і $F\oplus F$ задається через співвідношення $1\to (1,1)$ і $v\to (0,1).$ Таким чином кожна етальна квадратична алгебра C має вигляд $F_{\mu }.$

Якщо a є ненульовим елементом F то на F-векторному просторі $Q=C\oplus C,$ можна ввести множення (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x). Із цією операцією Q є кватерніонною алгеброю над F, яку позначають як (C, b)_F. Навпаки кожна кватерніонна алгебра над F може бути отримана у описаний спосіб.

Наприклад для $F=\mathbb {R} ,$ поле комплексних чисел $\mathbb {C}$ є етальною квадратичною алгеброю і для a = –1, алгебра Q є ізоморфною звичайним кватерніонам.

За допомогою сепарабельних квадратичних розширень

Нехай F — поле довільної характеристики і L — його квадратичне сепарабельне розширення і $0\neq \xi \in F.$ Нехай J позначає єдиний неодиничний F-автоморфізм поля L.

Тоді алгебра L + L u, де $u^{2}=\xi$ і для кожного $m\in F$ також $um=J(m)u$ є кватерніонною алгеброю над F і кожна кватерніонна алгебра одержується в такий спосіб.

Для елементів a + bu і c + du добуток є рівним $(a+bu)(c+du)=(ac+bJ(d)\xi )+(ab+bJ(c))u.$

Спряження на кватерніонній алгебрі є лінійним продовженням J на L і J(u) = -u.

Приклади

• Класичні кватерніони є кватерніонною алгеброю над $F=\mathbb {R}$. У цьому випадку (a = b = −1)
• Для спліт-кватерніонів (a = −1, b = +1). Для спліт-кватерніонів також $k^{2}=+1$ і $jk=-i$. Спліт-кватерніони є ізоморфними алгебрі квадратних дійсних матриць порядку 2.
• Звичайні кватерніони і спліт-кватерніони є єдиними прикладами кватерніонних алгебр над полем дійсних чисел. Всі інші є ізоморфними одній із цих алгебр.
• Алгебра квадратних матриць порядку 2 з елементами з поля F є кватерніонною алгеброю над полем F. Якщо F є скінченним полем,алгебрично замкнутим полем (наприклад $F=\mathbb {C}$) чи навіть сепарабельно замкнутим полем то ця алгебра є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Властивості

Всюди нижче F є полем характеристика якого не є рівною 2.

• Кватерніонні алгебри (a,b)_F і (b,a)_F є ізоморфними.
• Кватерніонна алгебра (a,b)_F є або алгеброю з діленням або ізоморфною алгебрі 2×2 матриць над F: у другому випадку кажуть, що алгебра розщеплюється.
• Кожна кватерніонна алгебра стає алгеброю матриць після розширення скалярів, тобто для деякого розширення K поля F, $A\otimes _{F}K$ є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над K.
• Елемент q кватерніонної алгебри (a,b)_F є оборотним тоді і тільки, коли його норма не дорівнює нулю. Як наслідок кватерніонна алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо її норма є рівною нулю лише для нульового елемента.
• Кватерніонна алгебра (a,b)_F розщеплюється якщо і тільки якщо b є рівним нормі деякого елемента у квадратичному розширенні $F({\sqrt {a}})$ поля F.
• Нехай A — деяка кватерніонна алгебра над полем F і $a\in F.$ Тоді A є ізоморфною кватерніонній алгебрі (a,b)_F для деякого $b\in F$ тоді і тільки тоді коли $F({\sqrt {a}})$-алгебра $A\otimes _{F}F({\sqrt {a}})$ розщеплюється і тоді і тільки тоді коли A містить підполе ізоморфне $F({\sqrt {a}})$.
• Нехай $(a,b)_{F}\$ — кватерніонна алгебра. Тоді для $K=F({\sqrt {a}})$ алгебра $A\otimes _{F}K$ є ізоморфною $M(2,K)$ і для кожного такого ізоморфізму $\phi$ для норми виконується рівність $N(q)=\det(\phi (q\otimes 1)).$
• Коніка C(a,b) задана як

$ax^{2}+by^{2}=z^{2}\$

має точку (x,y,z) з координатами у полі F для алгебр, що розщеплюються і тільки для них.

Застосування

Кватерніонні алгебри застосовуються у теорії чисел, зокрема при вивченні квадратичних форм. Вони зокрема визначають елементи порядку 2 у групі Брауера поля F. Для деяких полів, наприклад алгебричних числових полів, кожен елемент порядку 2 у групі Брауера є класом еквівалентності кватерніонної алгебри.

Згідно теореми Меркур'єва кожен елемент порядку 2 у групі Брауера довільного поля є класом еквівалентності тензорного добутку кватерніонних алгебр..

Класифікація

Над полем дійсних чисел є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці з дійсними елементами і класичні кватерніони Гамільтона.

Над довільним локальним полем F теж є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці над F і однозначно визначена (з точністю до ізоморфізму) алгебри з діленням. Проте кватерніонна алгебра з діленням над локальним полем є зазвичай не алгебра (-1,-1)_F, як у випадку дійсних чисел. Наприклад для p-адичних чисел $(-1,-1)_{\mathbb {Q} _{p}}$ є алгебрj. з діленням лише у випадку p = 2.

Одним із способів класифікації кватерніонних алгебр над F є однозначна відповідність між класами еквівалентності кватерніонних алгебр над F і класами еквівалентності їх норм як квадратичних форм.

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел мають арифметичну теорію схожу до квадратичних розширень $\mathbb {Q}$.

Нехай $B$ — кватерніонна алгебра над $\mathbb {Q}$ і $\mathbb {Q} _{\nu }$ позначає поповнення $\mathbb {Q}$ по p-адичній нормі (тобто p-адичні числа $\mathbb {Q} _{p}$ для деякого простого числа p) або звичайній нормі (тобто дійсні числа $Q_{\infty }=\mathbb {R}$). Алгебра $B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B$ є кватерніонною алгеброю над полем $\mathbb {Q} _{\nu }$.

Тоді $B_{\nu }$ може бути ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над $\mathbb {Q} _{\nu }$ або бути алгеброю з діленням.

Кажуть, що алгебра $B$ розщеплюється у $\nu$ якщо $B_{\nu }$ є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над $\mathbb {Q} _{\nu }$. В іншому випадку алгебра не розщеплюється у $\nu$. Наприклад, раціональні кватерніони (-1,-1)_Q не розщеплюються у 2 і $\infty$ і розщеплюються для всіх непарних простих чисел. Алгебра раціональних квадратних матриць порядку 2 розщеплюється для всіх $\nu$.

Кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел яка розщеплюється у $\infty$ є аналогом дійсного квадратичного поля, а алгебра яка не розщеплюється у $\infty$ є аналогом уявного квадратичного поля.

Кількість $\nu$ де кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел не розщеплюється є парним числом. До того ж ця множина визначає B з точністю до ізоморфізму. Добуток простих чисел по яких B розщеплюється називається дискримінантом B.

Див. також

• Кватерніони
• Центральна проста алгебра

Література

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2017). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 165. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15637-1.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Т. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Т. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Vignéras, Marie-France (1980). Arithmetique Des Algebres De Quaternions. Lecture notes in Mathematics (French) . Т. 800. Springer-Verlag. ISBN 978-0387099835.