Användare:Frank.wikstrom/sandlåda

Mandelbrotfraktalen.

Komplex analys är den gren inom matematiken som undersöker funktioner av komplexa tal. Man studerar speciellt så kallade holomorfa funktioner, funktioner som är deriverbara i komplex mening. Komplex analys har många tillämpningar, både inom matematiken, bland annat i algebraisk geometri och analytisk talteori, och i andra ämnen som hydrodynamik, elektroteknik och reglerteknik.

Komplexa funktioner

En komplex funktion är en funktion vars definitionsmängd och värdemängd båda är (delmängder av) de komplexa talen. En komplex funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ kan ses som ett par av funktioner $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$. Mer precist, om $w=f(z)$ och vi delar upp z och w i sina real- och imaginärdelar: z = x+iy och w = u+iv kan vi skriva

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$

där u och v är reellvärda funktioner av två reella variabler. Som ett exempel, om $f(z)=z^{2}+z$, så blir

$f(z)=z^{2}+z=(x+iy)^{2}+(x+iy)=\underbrace {x^{2}-y^{2}+x} _{=u(x,y)}+i\underbrace {2xy+y} _{=v(x,y)}.$

Alla elementära funktioner går att utvidga till komplexa funktioner, även om logaritmer och potensfunktioner är något problematiska.

Holomorfa funktioner

En komplex funktion f kallas deriverbar i punkten z=a om gränsvärdet

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

existerar. Observera att h här är ett komplext tal. Om gränsvärdet existerar kallas det derivatan av f i z=a och betecknas f'(a). En funktion som är (komplext) deriverbar på en öppen mängd D kallas holomorf på D.

Även om definitionen av holomorfa funktioner formellt ser precis ut som definitionen av deriverbara funktioner av en [[reella tal|reell] variabel, finns det stora skillnader. Den kanske allra viktigaste skillnaden är att derivatan av en holomorf funktion själv måste vara holomorf. Som en direkt konsekvens av detta följer det att en holomorf funktion går att derivera hur många gånger som helst, vilket är långt ifrån fallet med reella deriverbara funktioner.

Det gäller också att holomorfa funktioner är analytiska, det vill säga att varje holomorf funktion f på mängden D går att skriva som en konvergent potensserie på varje öppen cirkelskiva som ligger helt inuti D.

Cauchy-Riemanns ekvationer

Om f = u+iv är holomorf på D, så uppfyller u och v tillsammans de så kallade Cauchy-Riemanns ekvationer

${\begin{cases}u'_{x}=v'_{y}\\u'_{y}=-v'_{x}\end{cases}}$

överallt på D. Omvänt, om u och v är differentierbara funktioner som uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer på en öppen mängd D, så är f = u+iv holomorf på D. Om f är holomorf kan derivatan f' uttryckas som $f'=u'_{x}+iv'_{x}$.

Framstående resultat

Ett centralt verktyg inom den komplexa analysen är kurvintegralen. Integralen runt en sluten kurva av en funktion som är holomorf på kurvan och området den innesluter är alltid noll. Detta är Cauchys integralsats. Värdena av en holomorf funktion inuti en skiva kan beräknas med en speciell kurvintegral på skivans rand (Cauchys integralformel). Kurvintegraler i det komplexa planet används ofta för att bestämma komplicerade reella integraler, och här är teorin om residyer användbar. Om en funktion har en pol eller singularitet vid någon punkt, det vill säga att det inte finns något finit värde vid denna punkt, kan man definiera funktionens residy vid denna pol, dessa residyer kan användas för att beräkna kurvintegraler gällande funktionen. Detta är innehållet av den kraftfulla residysatsen. Det uppseendeväckande beteendet hos holomorfa funktioner nära singulariteter beskrivs av Weierstrass-Casoratis sats. Funktioner som bara har poler men inga singulariteter kallas meromorfa. Laurentserier liknar Taylorserier, men kan användas för att studera funktioners beteenden nära singulariteter.

En begränsad funktion som är holomorf i hela det komplexa talplanet måste vara konstant. Detta är Liouvilles sats. Denna sats kan användas för att ge ett naturligt och kort bevis av algebrans fundamentalsats, som säger att kroppen av de komplexa talen är algebraiskt sluten.

Tillämpningar

Komplex analys kan användas för att beskriva vågrörelser, bland annat vågfunktioner i kvantfysik, eller växelström. Den kan också användas för konforma avbildningar.

Historia

Komplex analys är en av de klassiska områdena inom matematiken med rötter i 1800-talet och i vissa avseenden även tidigare. Viktiga namn är Ahlfors, Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, och många fler på 1900-talet.

[[Kategori:Komplex analys| ]]

Den här artikeln ingår i boken:  Matematik