Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180^o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremi

Kosinusna teorema

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Sinusna teorema

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Zbir uglova trougla

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Tangensni teorem

${\frac {a-b}{a+b}}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}$

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90^o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:

1. date su tri strane (SSS);
2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trougla

Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.

I način

Kosinusna teorema $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ daje ugao A, jer je $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$

Sinusna teorema $a:\sin \alpha =b:\sin \beta$ daje ugao $\beta$ , jer je $\sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}.$

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva $\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$ .

II način

Iz poluobima $p={\frac {a+b+c}{2}},razlika<math>p-a,\;p-b,\;p-c,$ i tangensne teoreme imaćemo

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.$

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. $a+b>c,b+c>a,c+a>b$.

Date su 2 stranice i ugao između njih

Date su 2 stranice trougla $a,b(a>b)$ i ugao $\gamma$. Naći stranicu с i uglove $\alpha$, $\beta$.

Kosinusna teorema daje stranicu $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova $a>b$ slijedi da je ugao $\beta$ oštar, pa prema tome prvo tražimo

$\sin \beta ={\frac {b\sin \gamma }{c}}$ tj ugao $\beta$ pa ugao $\alpha$ koji je suplementan uglovima $\beta$, $\gamma$, tj. $\alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )$.

Jednistveno rješenje je ako je $\gamma <180^{o}$.

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha.

Prvo nalazimo ugao $\alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )$.

Sinusna teorema daje: $b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}},\;c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }$}.

Za $a>b$ je $a>b\sin \alpha$ pa je $\sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}<1.$

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao $\beta$ oštar nezavisno od toga kakav je ugao $\alpha$.

Kada je $a<b$ tada je $A<B$. Trougao je pravougli, ili, ako je $b\sin \alpha <a$, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

$b\sin \alpha >a$ tj. $\sin \beta >1$ , nema rješenja.

Kada je $a=b$ tada je $\alpha <90^{o}$ i $B<90^{o}$. Postoji jedinstveno rešenje.