Solução de triângulos

Solução de triângulos (em latim: solutio triangulorum) é o principal problema trigonométrico de encontrar as características de um triângulo (ângulos e comprimentos dos lados), quando alguns destes são conhecidos. O triângulo pode ser localizado sobre um plano ou sobre uma esfera. Aplicações requerendo soluções de triângulos incluem geodésia, astronomia, construção e navegação.

Solução de triângulos planos

Notação padrão para um triângulo

Um triângulo de forma geral tem seis características principais (ver figura): três lineares (comprimentos laterais a , b , c) e três angulares ($\alpha ,\beta ,\gamma$). O problema clássico da trigonometria plana é especificar três das seis características e determinar as outras três. Um triângulo pode ser determinado univocamente nesse sentido quando dados um dos seguintes:

• Três lados (SSS) (do inglês side)
• Dois lados e o ângulo incluído (SAS)
• Dois lados e um ângulo não incluído entre eles (SSA), se o comprimento do lado adjacente ao ângulo é menor que o comprimento do outro lado
• Um lado e os ângulos adjacentes a ele (ASA)
• Um lado, o ângulo oposto a ele e um ângulo adjacente a ele (AAS)
• Três ângulos (AAA) sobre a esfera (mas não no plano)

Para todos os casos no plano, pelo menos um comprimento de lado deve ser especificado; se somente os ângulos são dados, os comprimentos dos lados não podem ser determinados, porque qualquer triângulo semelhante é uma solução.

Relações trigonométricas

Visão geral de etapas e ferramentas específicas usadas na resolução de triângulos planos

O método padrão de resolver o problema é usar relações fundamentais.

Lei dos cossenos

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

Lei dos senos

${\frac {a}{\operatorname {sen}(\alpha )}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(\beta )}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(\gamma )}}$

Soma dos ângulos

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Lei das tangentes

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}.$

Existem outras relações universais (algumas vezes usadas praticamente): a lei das cotangentes e as fórmulas de Mollweide.

Notas

1. Para encontrar um ângulo desconhecido, a lei dos cossenos é mais segura que a lei dos senos. A razão é que o valor do seno para o ângulo do triângulo não determina univocamente esse ângulo. Por exemplo, se sen β = 0,5, o ângulo β pode ser igual a 30° ou 150°. Usando a lei dos cossenos evita este problema: dentro do intervalo de 0° a 180° o valor do co-seno determina inequivocamente seu ângulo. Por outro lado, se o ângulo é pequeno (ou próximo a 180°), então ele é mais robusto numericamente para determinar seu seno do que seu cosseno, porque a função arco-cosseno tem uma derivada divergente em 1 (ou -1) .
2. É assumido que a posição relativa de características especificadas é conhecida. Se não, o reflexo especular do triângulo também será uma solução. Por exemplo, três comprimentos laterais definem um triângulo ou sua reflexão.

Três lados dados (SSS)

Três lados dados

Sejam especificados três lados a, b, c. Para encontrar os ângulos α, β, a lei dos cossenos pode ser usada:

${\begin{aligned}\alpha &=\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\\[4pt]\beta &=\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right).\end{aligned}}$

Então o ângulo γ = 180° − α − β.

Algumas fontes recomendam eterminar o ângulo β pela lei dos senos, mas (como a nota 1 acima estabelece) ocorre o risco de confundir o valor de um ângulo agudo com o de um obtuso.

Outro método para calcular os ângulos a partir dos lados conhecidos é aplicar a lei das cotangentes.

Dois lados e o ângulo incluído dados (SAS)

Dois lados e o ângulo incluso dados

Neste caso os comprimentos dos lados a, b e o ângulo γ entre estes lados são conhecidos. O terceiro lado pode ser determinado pela lei dos cossenos:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}.$

Então pela lei dos cossenos é determinado o segundo ângulo:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right).$

Finalmente, β = 180° − α − γ.

Dois lados e o ângulo não incluso dados (SSA)

Dois lados e o ângulo não incluso dados

Duas soluções para o triângulo

Este caso não pode ser resolvido para qualquer situação; uma solução é garantida ser unívoca somente se o comprimento do lado adjacente ao ângulo é menor que o outro comprimento de lado. Assumindo que dois lados b, c e o ângulo β são conhecidos, a equação para o ângulo γ pode ser determinada pela lei dos senos:

$\operatorname {sen}(\gamma )={\frac {c}{b}}\operatorname {sen}(\beta ).$

Denotando D = cb sin(β) (o lado direito da equação). Existem quatro casos possíveis:

1. Se D > 1, não existe um tal triângulo, porque o lado b não atinge a linha BC. Pela mesma razão uma solução não existe se o ângulo β ≥ 90° e b ≤ c.
2. Se D = 1 existe uma solução única: γ = 90°, i.e., o triângulo é um triângulo retângulo.
3. Se D < 1 duas soluções alternadas são possíveis:
   1. Se b ≥ c, então β ≥ γ (o lado maior corresponde a um ângulo maior). Como um triângulo não pode ter dois ângulos obtusos, γ é um ângulo agudo e a solução γ = arcsin( D) é unica.
   2. Se b < c, ângulo γ pode ser agudo: γ = arcsin (D) ou obtuso: γ′ = 180° - γ. A figura na direita mostra o ponto C, o lado b e o ângulo γ como a primeira solução, e o ponto C′, lado b′ e o ângulo γ′ como a segunda solução.

Sendo γ obtido, o terceiro ângulo α = 180° − β − γ.

O terceiro lado pode então ser determinado pela lei dos senos:

$a=b\ {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\beta )}}$

ou

$a=c\cos(\beta )\pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\beta )}}$

Um lado e dois ângulos adjacentes dados (ASA)

Um lado e dois ângulos adjacentes dados

As características conhecidas são o lado c e os ângulos α, β. O terceiro ângulo γ = 180° − α − β. Dois lados incógnitos podem ser calculados pela lei dos senos:

$a=c\ {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\gamma )}};\quad b=c\ {\frac {\operatorname {sen}(\beta )}{\operatorname {sen}(\gamma )}}.$

ou

$a=c{\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\operatorname {sen}(\beta )\cos(\alpha )}}$

$b=c{\frac {\operatorname {sen}(\beta )}{\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\operatorname {sen}(\beta )\cos(\alpha )}}$

Um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto dados (AAS)

O procedimento para resolver um triângulo AAS é o mesmo que para um triângulo ASA: Iniciando, encontrar o terceiro ângulo usando a propriedade de soma de ângulos de um triângulo, depois encontrar os outros dois lados usando a lei dos senos.

Ver também

• Congruência

Ligações externas

• Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
• Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.
• Spherical trigonometry on Math World.
• Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier's rules
• Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library.
• Triangulator – Triangle solver. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.
• TriSph – Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.
• Spherical Triangle Calculator – Solves spherical triangles.