Flambagem

Barra flexionada por flambagem devido à compressão axial

A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças em que a área de seção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre em torno do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas sim de seu módulo de Young.

$P_{CR}$ - carga crítica de flambagem: faz com que a peça comece a flambar. Unidade - N

• Equilíbrio estável: $P<P_{CR}$ - não há flambagem
• Equilíbrio indiferente: $P=P_{CR}$
• Equilíbrio instável: $P>P_{CR}$

Quando a flambagem ocorre na fase elástica do material, a carga crítica ( Pcr ) é dada pela fórmula de Euler:

$P_{CR}={\frac {\pi ^{2}.E.I}{L_{f}^{2}}}$

$E$ = módulo de elasticidade longitudinal do material em pascal

$I$ = menor dos momentos de inércia da secção em m⁴

$L_{f}$ = comprimento de flambagem da peça em metros

Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos que calcular o seu índice de esbeltez e compara-lo ao índice de esbeltez crítico. Esse índice de esbeltez é padronizado para todos os materiais.

Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão.

Considerações físicas

Flambagem de uma barra elástica.

Consideramos uma barra homogênea de comprimento inicial L preso por pinos em ambas as extremidades, à qual é aplicada uma força axial de compressão de módulo P. Supomos que a barra se flexiona formando uma pequena flecha para direita. Esta flexão acarreta que a distância entre as extremidades seja ligeiramente reduzida de L para A. Denotamos então por u(x) a deflexão horizontal da curva central, onde x varia entre 0 e A. Sabemos que momento da força P à altura x é dado então por:

$M(x)=Pu(x)\,$

Da teoria de vigas, sabe-se que o momento fletor se relaciona com o raio de curvatura da barra de seguinte forma:

$M(x)=-{\frac {EI}{R(x)}}\,$

onde M é momento, E é o módulo de Young, I é o momento de inércia e R é o raio de curvatura, que, sob a hipótese de pequena deflexão, pode ser aproximado por ${\frac {1}{R(x)}}=u_{xx}(x)\,$, assim temos:

$M(x)=Pu(x)=-EIu_{xx}(x)\,$

A deflexão u(x) satisfaz, portanto, a seguinte equação diferencial ordinária:

$u_{xx}(x)+k^{2}u(x)=0\,$

onde $k^{2}={\frac {P}{EI}}\,$ A solução geral desta equação é dada por:

$u(x)=C_{1}\sin(kx)+C_{2}\cos(kx)\,$

Da condição $u(0)=0\,$, temos que $C_{2}=0\,$. Da condição $u(A)=0\,$, temos:

$kA=n\pi ,~~n=0,1,2,\ldots \,$

assim, temos que $k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{A^{2}}}={\frac {P}{EI}}\,$, de onde temos:

$P={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{A^{2}}}\,$

Quando $n=0\,$, não há flambagem, portanto escolhemos n=1. A altura A deve ser inferior ao comprimento L, portanto temos:

$P>P_{cr}:={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}\,$

Concluimos, que esta desigualdade é uma condição mínima para que ocorra a flambagem.

Aproximação da flecha de flambagem.

A flecha formada após o início da flambagem pode ser aproximada conforme a figura à direita:

$f^{2}={\frac {L^{2}}{4}}-{\frac {A^{2}}{4}}={\frac {L^{2}}{4}}-{\frac {\pi ^{2}EI}{4P}}\,$

O valor da flecha em relação ao comprimento L assume uma forma mais simples:

$\left({\frac {f}{L}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {P_{cr}}{P}}\right)\,$

O que mostra que o comprimento da flecha possui uma dependência não linear com a força aplicada.

Cálculo do comprimento de Flambagem da peça

Experimento mostrando o efeito das extremidades sobre o fenômeno de flambagem.

Peças engastadas e livres

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é o dobro do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 2L

Peças bi-articuladas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é igual o comprimento da peça, ou seja:

Lf = L

Peças articuladas e engastadas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é 0,7 do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 0,7 L

Peças bi-engastadas

Para esse tipo de peça, o comprimento de flambagem é metade do comprimento da peça, ou seja:

Lf = 0,5 L

Referências

• Saraiva, Karla (2006), Homepage do Defensor do Código Aberto - inf.unisinos.br Acessado em 5 de dezembro de 2008.
• MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 10ª edição. São Paulo: Editora Érica, 2000.