Λυγισμός

Στην επιστήμη, ο λυγισμός είναι μια μαθηματική αστάθεια που οδηγεί σε μια μορφή δομικής αστοχίας.

Ο λυγισμός χαρακτηρίζεται από μια ξαφνική πλάγια αστοχία ενός δομικού μέλους, το οποίο υπόκειται σε υψηλή θλιπτική τάση, που στο σημείο αστοχίας αυτή η τάση είναι μικρότερη από τη μέγιστη θλιπτική τάση που μπορεί να αντέξει αυτό το υλικό. Η μαθηματική ανάλυση του λυγισμού συχνά κάνει χρήση μιας "τεχνητής" εκκεντρότητας αξονικού φορτίου, που εισάγει μια δευτερεύουσα καμπτική ροπή που δεν είναι μέρος των πρωταρχικών δυνάμεων που εφαρμόζονται και μελετώνται. Καθώς το εφαρμοζόμενο φορτίο αυξάνεται σε ένα μέλος, όπως ένα υποστύλωμα, τελικά θα γίνει αρκετά μεγάλο ώστε να προκαλέσει στο μέλος αστάθεια και λυγισμό. Περαιτέρω φορτίο θα προκαλέσει σημαντικές και κάπως απρόβλεπτες παραμορφώσεις, πιθανώς να οδηγήσει και σε πλήρη απώλεια της φέρουσας ικανότητας του μέλους. Αν οι παραμορφώσεις που ακολουθούν το λυγισμό δεν είναι καταστροφικές, το μέλος θα συνεχίσει να φέρει το φορτίο που του προκάλεσε το λυγισμό. Αν το μέλος που λύγισε είναι μέρος ενός μεγαλύτερου συνόλου από στοιχεία, όπως ένα κτίριο, κάθε φορτίο που εφαρμόζεται στην κατασκευή πέραν αυτού που προκάλεσε το λυγισμό του μέλους, θα ανακατανεμηθεί εντός της κατασκευής.

Θεωρητικά, λυγισμός προκαλείται από μια διακλάδωση στη λύση των εξισώσεων της στατικής ισορροπίας. Σε ένα συγκεκριμένο στάδιο κάτω από αυξανόμενο φορτίο, το περαιτέρω φορτίο είναι σε θέση να διατηρηθεί σε μία από τις δύο καταστάσεις ισορροπίας: ένα αμιγώς θλιβόμενο μέλος (χωρίς πλευρική απόκλιση) ή μια πλαγίως-παραμορφωμένη κατάσταση.

Μέλη

Υποστύλωμα κάτω από ένα αξονικό φορτίο χωρίς εκκεντρότητα που παρουσιάζει τη χαρακτηριστική παραμόρφωση λυγισμού

Η εκκεντρότητα της αξονικής δύναμης οδηγεί σε καμπτική ροπή που ενεργεί πάνω στο στοιχείο δοκού.

Ο λόγος του ενεργού μήκους του στοιχείου προς τη μικρότερη ακτίνα αδράνειας της διατομής, ονομάζεται λυγηρότητα (συνήθως εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα λάμδα, λ). Αυτός ο λόγος παρέχει ένα μέσο για την κατάταξη των υποστυλωμάτων. Η λυγηρότητα είναι σημαντική για ζητήματα σχεδιασμού. Όλα τα παρακάτω είναι προσεγγιστικά οι τιμές που χρησιμοποιούνται για ευκολία.

• Ένα κοντό υποστύλωμα από χάλυβα, είναι ένα του οποίου η λυγηρότητα δεν υπερβαίνει το 50. Ένα ενδιάμεσο μήκος υποστυλώματος έχει λυγηρότητα που κυμαίνεται από 50 έως 200 και η συμπεριφορά κυριαρχείται από το όριο αντοχής του υλικού, ενώ ένα μακρύ υποστύλωμα μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει λυγηρότητα μεγαλύτερη από 200 και η συμπεριφορά του κυριαρχείται από το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. 
• Ένα κοντό υποστύλωμα από σκυρόδεμα, είναι ένα που έχει μια αναλογία ελεύθερου μήκους προς τη μικρότερη διάσταση της διατομής ίση ή μικρότερη από το 10. Αν η αναλογία είναι μεγαλύτερη από 10, θεωρείται μακρύ υποστύλωμα (μερικές φορές αναφέρεται ως λυγηρό υποστύλωμα). 
• Ξύλινα υποστυλώματα μπορούν να ταξινομηθούν ως κοντά, αν η αναλογία του μήκους προς τη μικρότερη διάσταση της διατομής είναι ίση ή μικρότερη από το 10. Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ ενδιάμεσων και μακρών υποστυλωμάτων δεν μπορεί να διατυπωθεί εύκολα. Ένας τρόπος καθορισμού του κατώτερου ορίου για τα μακρά υποστυλώματα, θα ήταν να οριστεί ως η μικρότερη τιμή του λόγου του μήκους προς το ελάχιστο εμβαδόν της διατομής, που οριακά θα υπερβαίνει μια ορισμένη σταθερά K του υλικού. Αφού το K εξαρτάται από το μέτρο ελαστικότητας και την επιτρεπόμενη θλιπτική τάση παράλληλα στις ίνες του ξύλου, μπορεί να παρατηρηθεί ότι αυτό το αυθαίρετο όριο θα ποικίλει ανάλογα με το είδος του ξύλου. Η τιμή του K δίνεται στις περισσότερα κατασκευαστικά εγχειρίδια.

Αν το φορτίο σε ένα υποστύλωμα εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους (κεντροειδές) της διατομής, είναι ένα αξονικό φορτίο. Ένα φορτίο σε οποιοδήποτε άλλο σημείο της διατομής, είναι γνωστό ως έκκεντρο φορτίο. Ένα κοντό υποστύλωμα υπό την επίδραση αξονικού φορτίου θα αστοχήσει σε άμεση θλίψη πριν λυγίσει, αλλά ένα μακρύ υποστύλωμα που φορτίζεται με τον ίδιο τρόπο ίσως αστοχήσει σε λυγισμό (εμφάνιση καμπτικών τάσεων), με τη λυγισμική επίδραση να είναι τόσο μεγάλη που η επίδραση του αξονικού φορτίου μπορεί να αγνοηθεί. Ένα υποστύλωμα ενδιάμεσου μήκους θα αστοχήσει με ένα συνδυασμό άμεσων θλιπτικών τάσεων και καμπτικών τάσεων.

Το 1757, μαθηματικός Leonhard Euler ανέπτυξε έναν τύπο που δίνει το μέγιστο αξονικό φορτίο που μπορεί να φέρει ένα μακρύ, λεπτό, ιδεατό υποστύλωμα χωρίς να λυγίσει. Ένα ιδεατό υποστύλωμα είναι εντελώς ευθύγραμμο, ομοιογενές, και χωρίς αρχικές (παραμένουσες) τάσεις. Το μέγιστο φορτίο, που μερικές φορές ονομάζεται κρίσιμο φορτίο, προκαλεί κατάσταση ασταθούς ισορροπίας στο υποστύλωμα. Αυτό σημαίνει, ότι η εισαγωγή της παραμικρή πλευρικής δύναμης (διαταραχής) θα προκαλέσει την αστοχία σε λυγισμό. Ο τύπος του Euler για τα υποστυλώματα χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι πλευρικές δυνάμεις, δίνεται παρακάτω. Ωστόσο, ακόμα και αν λαμβάνονται υπόψη, η τιμή του κρίσιμου φορτίου παραμένει περίπου ίδια. Το κρίσιμο φορτίο Euler δίνεται από τον τύπο:

$F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$

όπου

$F$ = μέγιστη ή κρίσιμη δύναμη (το κατακόρυφο φορτίο στο μέλος)

$E$ = μέτρο ελαστικότητας,

$I$ = ροπή αδράνειας επιφάνειας της διατομής του μέλους,

$L$ = μη υποστηριζόμενο μήκος του μέλους,

$K$ = συντελεστής ενεργού μήκους μέλους, του οποίου η τιμή εξαρτάται από τις συνθήκες στήριξη της στήριξης, ως εξής.

Για δύο άκρα αρθρωτά (ελευθερία περιστροφής), $K$ = 1.0.

Και για τις άκρα πακτωμένα (στροφική δέσμευση), $K$ = 0.50.

Για το ένα άκρο πακτωμένο και το άλλο άκρο αρθρωτό, $K$ ≈ 0.7071.

Για το ένα άκρο πακτωμένο και το άλλο άκρο ελεύθερο, $K$ = 2.0.

$KL$ είναι το ενεργό μήκος του μέλους

Με την εξέταση αυτού του τύπου παρατηρούνται τα εξής ενδιαφέροντα στοιχεία σχετικά με τη φέρουσα ικανότητα λυγηρών μελών.

1. Το κρίσιμο φορτίο καθορίζεται από την ελαστικότητα και όχι από τη θλιπτική αντοχή του υλικού του μέλους. 
2. Το κρίσιμο φορτίο είναι άμεσα ανάλογο με τη ροπή αδράνειας επιφάνειας της διατομής. 
3. Οι συνοριακές συνθήκες έχουν σημαντικές επιπτώσεις στο κρίσιμο φορτίο των λυγηρών μελών. Οι συνοριακές συνθήκες καθορίζουν τη μορφή της κάμψης και την απόσταση μεταξύ των σημείων καμπής στο παραμορφωμένο μέλος. Τα σημεία καμπής στο παραμορφωμένο σχήμα του μέλους, είναι τα σημεία στα οποία η καμπυλότητα αλλάζει πρόσημο και επίσης τα σημεία στα οποία οι εσωτερικές ροπές κάμψης είναι μηδέν. Όσο πιο κοντά μεταξύ τους βρίσκονται αυτά τα σημεία καμπής, τόσο υψηλότερη προκύπτει η φέρουσα ικανότητα του μέλους.

Ένα μοντέλο που αναπαριστά τις διαφορετικές μορφές λυγισμού κατά "Euler". Το μοντέλο δείχνει πώς οι συνοριακές συνθήκες επηρεάζουν το κρίσιμο ενός λυγηρού μέλους. Σημειώστε ότι τα μέλη είναι πανομοιότυπα, εκτός από τις οριακές συνθήκες.

Η αντοχή ενός μέλους μπορεί ως εκ τούτου να αυξηθεί με κατάλληλη διανομή του υλικού, έτσι ώστε να αυξηθεί η ροπή αδράνειας. Αυτό μπορεί να γίνει χωρίς να αυξηθεί το βάρος της στήλης διανέμοντας το υλικό μακριά από τον κύριο άξονα της διατομής όσο το δυνατόν, διατηρώντας παράλληλα το υλικό αρκετά πυκνά να αποτρέψει τοπικού λυγισμού. Αυτό επιβεβαιώνει το γνωστό γεγονός ότι ένα σωληνοειδές τμήμα είναι πολύ πιο αποτελεσματικό από ένα στερεό τμήμα για τη στήλη υπηρεσία.

Η αντοχή ενός μέλους μπορεί επομένως να αυξηθεί με κατάλληλη διανομή του υλικού, έτσι ώστε να αυξηθεί η ροπή αδράνειας. Αυτό μπορεί να γίνει χωρίς να αυξηθεί το βάρος του μέλους, διανέμοντας το υλικό όσο το δυνατόν πιο μακριά από τον κύριο άξονα της διατομής, διατηρώντας παράλληλα επαρκές πάχος υλικού ώστε να αποτρέπεται ο τοπικός λυγισμός. Αυτό επιβεβαιώνει το γνωστό γεγονός ότι μια κοίλη διατομή είναι πολύ πιο αποτελεσματική από μια συμπαγή, για χρήση σε υποστύλωμα.

Δεδομένου ότι η ακτίνα αδράνειας ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του λόγου της ροπής αδράνειας του μέλους περί ενός άξονα προς την επιφάνεια της διατομής, ο παραπάνω τύπος μπορεί να ανακαταταχθεί κατάλληλα. Χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα του Euler για αρθρωτά άκρα και αντικαθιστώντας A·r² για το Ι, προκύπτει ο ακόλουθος τύπος:

$\sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(\ell /r)^{2}}}$

όπου $F/A$ είναι η επιτρεπόμενη τάση του μέλους και $l/r$ είναι η λυγηρότητα.

Δεδομένου ότι τα δομικά μέλη είναι συνήθως ενδιάμεσου μήκους, ο τύπος του Euler έχει μικρή πρακτική εφαρμογή για κανονικό σχεδιασμό. Ζητήματα που προκαλούν αποκλίσεις από την καθαρά κατά Euler συμπεριφορά, περιλαμβάνουν ατέλειες στη γεωμετρία του μέλους, σε συνδυασμό με την πλαστικότητα/μη-γραμμική συμπεριφορά τάσης-παραμόρφωσης του υλικού. Κατά συνέπεια, έχει αναπτυχθεί μια σειρά από εμπειρικούς τύπους που συμφωνούν με τα στοιχεία δοκιμών και τα οποία όλα ενσωματώνουν την λυγηρότητα. Λόγω της αβεβαιότητας στη συμπεριφορά των μελών, για το σχεδιασμό εισάγονται κατάλληλοι συντελεστές ασφαλείας σε αυτούς τους τύπους. Ένας τέτοιος τύπος είναι του Perry Robertson, που υπολογίζει το κρίσιμο φορτίο λυγισμού με βάση μια υποτιθέμενη μικρή αρχική καμπυλότητα, εξ ου και η εκκεντρότητα του αξονικού φορτίου. Ο τύπος Gordon-Rankine (από τους William Rankine και Perry Hugesworth Gordon) επίσης βασίζεται σε πειραματικά αποτελέσματα και προτείνει ότι ένα μέλος θα λυγίσει σε ένα φορτίο F_max που δίνεται από:

${\frac {1}{F_{max}}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}$

όπου ${F_{e}}$ είναι το μέγιστο φορτίο Euler και ${F_{c}}$ είναι το μέγιστο θλιπτικό φορτίο. Αυτή η μέθοδος συνήθως παράγει μια συντηρητική εκτίμηση του ${F_{max}}$.

Αυτο-λυγισμός

Θεωρητικά, λυγισμός προκαλείται από μια διακλάδωση στη λύση των εξισώσεων της στατικής ισορροπίας. Σε ένα συγκεκριμένο στάδιο κάτω από αυξανόμενο φορτίο, το περαιτέρω φορτίο είναι σε θέση να διατηρηθεί σε μία από τις δύο καταστάσεις ισορροπίας: ένα αμιγώς θλιβόμενο μέλος (χωρίς πλευρική απόκλιση) ή μια πλαγίως-παραμορφωμένη κατάσταση.

Ένα ελεύθερο κατακόρυφο μέλος, με πυκνότητα $\rho$, Το μέτρο ελαστικότητας $E$ και επιφάνεια διατομής $A$, θα λυγίζει κάτω από το ίδιο βάρος του εάν το ύψος του υπερβαίνει μια ορισμένη κρίσιμη τιμή:

$h_{crit}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{1/3}$

όπου $g$ είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, $I$ η ροπή αδράνειας επιφάνειας της δοκού διατομής και $B$ είναι το πρώτο μηδέν της συνάρτησης Bessel πρώτου είδους και τάξης -1/3, που ισούται με 1.86635086.

Λυγισμός υπό εφελκυστική φόρτιση

Εικ. 2: Σύστημα ελαστικών δοκών με ολισθητήρα στη μέσα, που εμφανίζουν λυγισμό κάτω από μόνιμο εφελκυστικό φορτίο.

Συνήθως ο λυγισμός και η αστάθεια σχετίζονται με θλιπτική φόρτιση, αλλά πρόσφατα η ομάδα των Zaccaria, Bigoni, Noselli και Misseroni (2011) έδειξαν ότι μπορούν επίσης να εμφανιστούν σε ελαστικές κατασκευές που υπόκεινται σε μόνιμα εφελκυστικά φορτία. Ένα παράδειγμα κατασκευής ενός βαθμού ελευθερίας φαίνεται στην Εικ. 2, μαζί με το αντίστοιχο κρίσιμο φορτίο. Ένα άλλο παράδειγμα που περιλαμβάνει την κάμψη μιας κατασκευής που αποτελείται από στοιχεία δοκού και που διέπονται από την εξίσωση του Euler, φαίνεται στην Εικ.3. Και στις δύο περιπτώσεις, δεν υπάρχουν στοιχεία που υπόκεινται σε θλίψη. Η αστάθεια σε εφελκυσμό σχετίζεται με την παρουσία ολισθητήρα (slider) στη διασταύρωση μεταξύ των δύο ράβδων, που επιτρέπει μόνο σχετική ολίσθηση μεταξύ των συνδεόμενων κομματιών.

Πλευρικός-στρεπτικός λυγισμός

Πλευρικός-στρεπτικός λυγισμός δοκού Ι με την κάθετη δύναμη στο κέντρο: α) διαμήκης όψη, β) διατομή κοντά στη στήριξη, γ) διατομή στο κέντρο, με πλευρική-στρεπτικό λυγισμό

Όταν μια αμφιέρειστη δοκός φορτίζεται σε κάμψη, η πάνω πλευρά βρίσκεται σε θλίψη και η κάτω πλευρά σε εφελκυσμό. Αν η δοκός δεν υποστηρίζεται στην πλευρική κατεύθυνση (δηλαδή, κάθετα στο επίπεδο της κάμψης), και το φορτίο της κάμψης αυξάνεται σε ένα κρίσιμο όριο, η δοκός θα υποστεί μια πλευρική εκτροπή του θλιβόμενου πέλματος. Αυτή η πλευρική εκτροπή του θλιβόμενου πέλματος είναι συγκρατημένη από τον κορμό της διατομής και το εφελκυόμενο πέλμα, αλλά για μια ανοιχτή διατομή η στρεπτική λειτουργία είναι πιο ευέλικτη, εξ ου και η δοκός συστρέφεται και εκτρέπεται πλευρικά, σε μια κατάσταση αστοχίας γνωστή ως πλευρικός-στρεπτικός λυγισμός (ή απλώς πλευρικός λυγισμός). Σε πλατύπελμες διατομές (με υψηλή πλευρική δυσκαμψία), η μορφή αστοχίας θα αποτελείται ως επί το πλείστον από τη στρέψη. Σε διατομές με στενά πέλματα, η πλευρική δυσκαμψία είναι χαμηλότερη και η εκτροπή θα είναι πιο κοντά στη μορφή εκτροπής του πλευρικού λυγισμού.

Συντελεστής τροποποίησης (C_b)

Ο C_b είναι ένας συντελεστής που χρησιμοποιείται στην εξίσωση της ονομαστικής καμπτικής αντοχής, κατά τον έλεγχο του πλευρικού λυγισμού. Ο λόγος ύπαρξης αυτού του συντελεστή είναι να ενσωματώσει μη-ομοιόμορφα διαγράμματα ροπών, όταν τα άκρα του υπό εξέταση τμήματος του μέλους είναι διασυνδεδεμένα. Η συντηρητική τιμή του C_b μπορεί να ληφθεί ως 1, ανεξάρτητα από τη διάταξη του μέλους ή τη φόρτιση, αλλά σε μερικές περιπτώσεις μπορεί να είναι υπερβολικά συντηρητική. Είναι πάντα ίσος ή μεγαλύτερος από 1, ποτέ λιγότερος. Για προβόλους ή προεξοχές όπου το ελεύθερο άκρο είναι μη-διασυνδεδεμένοt. Υπάρχουν πίνακες για τις τιμές του C_b για απλά εδραζόμενες (αρθρωτές) δοκούς.

Αν δεν δεν δίνεται κατάλληλη τιμή του C_b στους πίνακες, μπορεί να υπολογιστεί από τον ακόλουθο τύπο.

$\ C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}$

όπου

$M_{\max }$ = απόλυτη τιμή της μέγιστης ροπής στο μη-διασυνδεδεμένο τμήμα,

$M_{A}$ = απόλυτη τιμή της μέγιστης ροπής στο ένα τέταρτο του μήκους του μη-διασυνδεδεμένο τμήματος,

$M_{B}$ = απόλυτη τιμή της μέγιστης ροπής στο μέσο του μη-διασυνδεδεμένου τμήματος,

$M_{C}$ = απόλυτη τιμή της μέγιστης ροπής στα τρία τέταρτα του μη-διασυνδεδεμένου τμήματος,

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο για όλα τα συστήματα μονάδων μέτρησης.