Wikipedystka:Agaguga/brudnopis

Twierdzenie Ostrowskiego twierdzenie Aleksandra Ostrowskiego mówiące, że jakakolwiek wartość bezwzględna w zbiorze liczb rzeczywistych Q jest równoważna do innej rzeczywistej wartości bezwzględnej lub p-adycznych wartości bezwzględnych.

Definicje

Dwie wartości bezwzględne | | i | |^* w zbiorze F są definiowane jako równoważne jeśli istnieje liczba rzeczywista c > 0 taka że

$|x|^{*}=|x|^{c}{\mbox{ dla wszystkich }}x\in F.$

wartość bezwzględna w dowolnym zbiorze F jest

$|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}$

rzeczywista wartość bezwzględna w Q jest normalną wartością bezwzględną liczby rzeczywistej, takiej że

$|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$

Dla liczby pierwszej p, p-adyczna wartość bezwzględna w Q jest definiowana: dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, nie będącego zerem, może być zapisane jako $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ gdzie n może być dodatnie, ujemne lub 0; wtedy

$|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}$

Dowód

Są dwa przypadki, kiedy | | jest Archimedejska lub niearchimedejska

przypadek Archimedejski

Niech a, b > 1 będą liczbami całkowitymi.bⁿ = c_ma^m + ... + c₀, gdzie 0 ≤ c_i < C i m ≤ n log_a b. wtedy:

${\begin{aligned}&&|b|^{n}&\leq &&C(m+1)\max(|a|^{m},1)\\&&&\leq &&C(n\log _{a}b+1)\max(|a|^{n\log _{a}b},1)\\\implies &&|b|&\leq &&\underbrace {{\big (}C(n\log _{a}b+1){\big )}^{\frac {1}{n}}} _{\to 1\ \mathrm {as} \ n\to \infty }\max(|a|^{\log _{a}b},1)\\\implies &&|b|&\leq &&\max(|a|^{\log _{a}b},1).\end{aligned}}$

więc możemy wziąć b > 1, |b| > 1. Wtedy $|b|\leq |a|^{\log _{a}b}$ i w szczególnym |a| > 1 więc $|a|\leq |b|^{\log _{b}a}$.

Wtedy ${\frac {\log |a|}{\log a}}={\frac {\log |b|}{\log b}}=\lambda$, niektóre λ, i |a| = a^λ dla wszystkich liczb całkowitych a > 1.

Dlatego | | jest równoznaczny do typowiej wartości bezwzględnej.

przypadek niearchimedejski

Kiedy | | jest niearchimiedejski, |n| ≤ 1 dla wszystkich liczb całkowitych n. także jako | |, istnieje liczba całkowita n taka że |n| < 1 i $n=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}$. Z tego możemy wydedukować, że |p| < 1 dla niektórych liczb pierwszych p.

przypuszczając ze sprzeczności że p, q są różnymi liczbami pierwszymi od |p|, |q| < 1.

Weźmy e, f takie że |p|^e, |q|^f < 1 i napiszmy 1 = rp^e + sq^f dla niektórych liczb całkowitych r, s. Ale wtedy 1 = |rp^e + sq^f| < max(|r|, |s|) ≤ 1, co jest pożądaną sprzecznością.

Więc musi być |p| = α, niektóre 0 < α < 1, i |q| = 1 dla wszystkich innych liczb pierwszych q.

Dlatego | | jest równoważne do p-adycznej wartości bezwględnej.

zobacz też

wartość bezwzględna