Wikipedysta:Alef/brudnopis

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3)=\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$:

Dla każdego $k=1,2,\ldots$ istnieje jedyne ciało $GF(3^{k})$ o $3^{k}$ elementach. Na przykład, ciało $GF(3^{2})$ można reprezentować jako $\mathbb {Z} _{3}({\sqrt {2}})=\{0,1,2,\;\alpha ,\,\alpha +1,\,\alpha +2,\;2\alpha ,\,2\alpha +1,\,2\alpha +2\alpha \}$, gdzie $\alpha ^{2}=2$.

Dla każdego $m,n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$, $GF(3^{m})\subseteq GF(3^{n})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n$. Więc dla każdego $m,n$ można znaleźć skończone ciało $C$ obejmujące $GF(3^{m})$ i $GF(3^{n})$, np ciało $GF(3^{mn})$. Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $GF(3^{n})$ jest znowu ciałem, który nazywamy $\mathbb {\overline {Z}} _{3}$.

Każdy wielomian z współczynnikami w ciele ${\overline {\mathbb {Z} }}_{3}$ ma w rzeczywistosci współczynniki w pewnym ciele skonczonym $GF(3^{n})$, więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $GF(3^{n})$; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn pewne ciało $GF(3^{n'})\subseteq \mathbb {\hat {Z}} _{3}$.

Więc ciało $\mathbb {\hat {Z}} _{3}$ (zbiór nieskończony ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.