Przejdź do zawartości

Wielomian cyklotomiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Dla dowolnej liczby naturalnej -ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako

gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia (takie, że nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • stopień wynosi (funkcja Eulera);
  • wielomian dzieli ale nie dzieli dla żadnego
  • współczynniki całkowite;
  • wielomian jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych;
  • ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki -tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu
  • zachodzą wzory

gdzie jest funkcją Möbiusa.

Dla liczb pierwszych

Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo (szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]