Twierdzenie Stokesa

George Gabriel Stokes (1819–1903)

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi, który opublikował je jako problem w egzaminach nagrody Smitha w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell, to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez Hermanna Hankela w 1861.

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$

Jeżeli $\Sigma$ jest płatem powierzchni w $\mathbb {R} ^{3},$ a $\partial \Sigma$ jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego $F\colon =P{\vec {i}}+Q{\vec {j}}+R{\vec {k}},$ (gdzie $F\in C^{1}({\bar {\Sigma }})$) mamy:

$\oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} {\vec {F}}d{\vec {\Sigma }}.$

Dowód

Niech $\Sigma =\{r(s,t),\,(s,t)\in D\},$ gdzie $r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))$ oraz $r(D)=\Sigma .$ Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest $r(s,t)$), otrzymujemy równość:

$\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\oint \limits _{\partial D}(P\circ r)(x'_{s}ds+x'_{t}dt).$

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych $Q$ i $R$).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

$\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial }{\partial s}}((P\circ r)x'_{t})-{\frac {\partial }{\partial t}}((P\circ r)x'_{s})\right)ds\,dt.$

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

$\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial y}}(x'_{t}y'_{s}-x'_{s}y'_{t})+{\frac {\partial P}{\partial z}}(x'_{t}z'_{s}-x'_{s}z'_{t})\right)ds\,dt.$

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych $Q$ i $R$ i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

$\oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{D}(\operatorname {rot} F(s,t))\circ {\vec {n}}(s,t)ds\,dt,$

gdzie ${\vec {n}}(s,t)=r'_{s}\times r'_{t}.$

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego $\operatorname {rot} F$ przez płat $\Sigma .$ Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla $n$-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że $H\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest orientowalną powierzchnią gładką, $K\subseteq H$ jest zbiorem zwartym oraz $K=\operatorname {cl\,Int} K$ oraz że brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest $(M\!-\!1)$-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli $W\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię $H,$ $\Omega \colon W\to S^{M-1}(\mathbb {R} ^{N},\mathbb {R} )$ jest formą klasy $C^{1},$ a $\sigma$ jest orientacją powierzchni $H,$ to

${}\,\int \limits _{[K]_{\sigma }}d\Omega =\int \limits _{[\mathrm {Fr} K]_{\sigma ^{\mathrm {Fr} }}}\Omega ,$

gdzie orientacja $\sigma ^{\rm {Fr}}$ powierzchni $\mathrm {Fr} K$ dana jest wzorem

$\sigma ^{\mathrm {Fr} }(y)=\{(a_{1},\dots ,a_{M-1})\in B_{(\mathrm {Fr} K)_{y}}\colon \,(z(y),a_{1},\dots ,a_{M-1})\in \sigma (y)\}$

dla $y\in \mathrm {Fr} K,$ a

$z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}$

jest taką funkcją, że $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru $K$ w punkcie $y,$ $|z(y)|=1,$ $z(y)$ jest wektorem normalnym do powierzchni $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y$ dla każdego $y\in \mathrm {Fr} K.$

Wnioski

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zbiorem otwartym, $K\subseteq W$ zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest $(N\!-\!1)$-wymiarową powierzchnią gładką oraz

$z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}$

jest funkcją o własnościach

• $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do $K$ w punkcie $y,$
• $|z(y)|=1,$
• $z(y)$ jest wektorem normalnym do $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y$ leżącym na brzegu $\mathrm {Fr} K.$

Jeżeli $\omega \colon W\to \mathbb {R} ^{N}$ jest funkcją klasy $C^{1},$ to

${}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)z(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}\operatorname {div} \omega (y)dy,$

gdzie $\operatorname {div}$ oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ jest zbiorem otwartym, $K\subset W$ jest zbiorem zwartym takim, że $K=\operatorname {cl\,Int} K$ oraz brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

$s\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{2}$

jest funkcją o własnościach

• $s(y)$ jest wektorem stycznym do krzywej $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y,$
• $|s(y)|=1,$
• $\det[z(y),s(y)]>0.$

gdzie $z(y)$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy $N=2$). Jeżeli $\omega =(\omega _{1},\omega _{2})\colon W\to \mathbb {R} ^{2}$ jest funkcją klasy $C^{1},$ to

${}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)s(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}(\omega _{2|1}(y)-\omega _{1|2}(y))dy.$

Linki zewnętrzne

• Jerzy Juliusz Kijowski, Twierdzenie Stokesa, kanał Centrum Fizyki Teoretycznej PAN na YouTube, 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23].
• Stokes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].