Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza – wielowymiarowy odpowiednik twierdzenia Riemanna o szeregach rzeczywistych. Naturalnym wydaje się pytanie, czy dla szeregu zespolonego zbieżnego warunkowo $\sum z_{n}$ można tak przestawić jego wyrazy, aby nowy szereg był zbieżny do z góry zadanej liczby zespolonej lub rozbieżny. Tak nie jest, co pokazuje przykład szeregu $\sum \left({\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {(-1)^{n}}{n}}i\right).$

Twierdzenie

Jeśli $\sum z_{n}$ jest szeregiem zespolonym zbieżnym warunkowo, to istnieje prosta na płaszczyźnie zespolonej, taka że każdy jej punkt jest sumą szeregu $\sum z_{n}$ przy pewnym przestawieniu jego wyrazów.

Prawdziwe jest również n-wymiarowe uogólnienie powyższego twierdzenia.

Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Zbiór sum powstałych przez zmianę porządku wyrazów szeregu n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest albo zbiorem pustym, albo przesunięciem pewnej podprzestrzeni liniowej (tzn. dla szeregu $\sum x_{n},\ x_{n}\in \mathbb {R} ^{n},$ zbiór jego sum jest postaci $v+M,$ gdzie $v$ jest pewnym wektorem, a $M$ pewną podprzestrzenią liniową przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$).

Pierwszą próbę dowodu twierdzenia podjął Paul Lévy w 1905 r. W roku 1913 Ernst Steinitz zauważył, że praca Lévy’ego jest niekompletna i uzupełnił lukę, jak również znalazł zupełnie nowe podejście i przeprowadził własny dowód.

Uwagi

• W przestrzeniach Hilberta twierdzenie nie musi zachodzić. Pierwszy kontrprzykład podał Józef Marcinkiewicz, który był rozwiązaniem problemu z księgi szkockiej.