Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy pozwala na pokazanie, że proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, gdy mamy pewne dane o kątach, ale nie mamy danych o tym, w jakim stosunku te proste dzielą boki trójkąta.
Jeżeli proste Cevy
A
D
,
{\displaystyle AD,}
B
E
,
{\displaystyle BE,}
C
F
{\displaystyle CF}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
sin
α
1
⋅
sin
β
1
⋅
sin
γ
1
=
sin
α
2
⋅
sin
β
2
⋅
sin
γ
2
.
{\displaystyle \sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2}.}
Z twierdzenia Cevy mamy:
|
A
F
|
|
F
B
|
⋅
|
B
D
|
|
D
C
|
⋅
|
C
E
|
|
E
A
|
=
1.
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1.}
Z twierdzenia sinusów mamy:
|
A
F
|
|
A
C
|
=
sin
γ
2
sin
∠
A
F
C
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|AC|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \angle AFC}}}
oraz
|
F
B
|
|
B
C
|
=
sin
γ
1
sin
∠
B
F
C
,
{\displaystyle {\frac {|FB|}{|BC|}}={\frac {\sin \gamma _{1}}{\sin \angle BFC}},}
sin
∠
B
F
C
=
sin
∠
A
F
C
,
{\displaystyle \sin \angle BFC=\sin \angle AFC,}
kąty przyległe ),więc
|
A
F
|
|
F
B
|
=
sin
γ
2
sin
γ
1
⋅
A
C
B
C
.
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}}.}
Podobnie
|
B
D
|
|
D
C
|
=
sin
α
2
sin
α
1
⋅
A
B
A
C
,
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},}
|
C
E
|
|
E
A
|
=
sin
β
2
sin
β
1
⋅
B
C
A
B
.
{\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}}.}
Mnożąc stronami, dostajemy
1
=
|
A
F
|
|
F
B
|
⋅
|
B
D
|
|
D
C
|
⋅
|
C
E
|
|
E
A
|
=
sin
γ
2
sin
γ
1
⋅
sin
α
2
sin
α
1
⋅
sin
β
2
sin
β
1
.
{\displaystyle 1={\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.}
Jeżeli proste Cevy spełniają przy oznaczeniach jak na rysunku
sin
α
1
⋅
sin
β
1
⋅
sin
γ
1
=
sin
α
2
⋅
sin
β
2
⋅
sin
γ
2
,
{\displaystyle \sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2},}
to przecinają się w jednym punkcie.
Dowód prowadzimy korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy i analogicznie za pomocą zależności
|
A
F
|
|
F
B
|
=
sin
γ
2
sin
γ
1
⋅
A
C
B
C
,
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}},}
|
B
D
|
|
D
C
|
=
sin
α
2
sin
α
1
⋅
A
B
A
C
,
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},}
|
A
F
|
|
F
B
|
=
sin
β
2
sin
β
1
⋅
B
C
A
B
,
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}},}
sprowadzamy równość
|
A
F
|
|
F
B
|
⋅
|
B
D
|
|
D
C
|
⋅
|
C
E
|
|
E
A
|
=
1
{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}
do postaci trygonometrycznej
1
=
sin
γ
2
sin
γ
1
⋅
sin
α
2
sin
α
1
⋅
sin
β
2
sin
β
1
.
{\displaystyle 1={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.}
Za pomocą twierdzenia można łatwo udowodnić, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się dwusieczne , symediany , wysokości , środkowe . Nie znaczy to jednak, że punkty przecięcia np. wysokości i symetralnych są tym samym punktem. Taki przypadek występuje tylko w trójkącie równobocznym .
