Punkty Brocarda
Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.
Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie[1]:
W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości[1]:
Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta Kąt jest kątem Brocarda trójkąta
Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:
Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi
Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie
Konstrukcja
[edytuj | edytuj kod]Przykład:
- Obieramy trzy niewspółliniowe punkty
- Kreślimy prostą przez punkty i prostą, a przez punkty i oraz prostą przez punkty i
- Kreślimy symetralną boku i oznaczamy ją przez
- Kreślimy prostą prostopadłą do prostej, a przez punkt
- Punkt przecięcia się symetralnej i prostej oznaczamy
- Z punktu kreślimy okrąg o promieniu Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt i jest styczny do prostej
- Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty i styczny do prostej
a następnie okrąg przez punkty i styczny do prostej
Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta
Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.
Równania kąta Brocarda
[edytuj | edytuj kod]Oznaczmy przez pole powierzchni trójkąta Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:
Dla każdego trójkąta:
Właściwości
[edytuj | edytuj kod]- Oba punkty Brocarda trójkąta są ze sobą sprzężone izogonalnie.
- Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.
Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , First Brocard Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-10-30].
- Eric W. Weisstein , Second Brocard Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-10-30].
- Eric W. Weisstein , Third Brocard Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-10-30].
- Brocard point (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30].