Punkt stacjonarny

Niebieski wykres funkcji ma zaznaczone różne punkty stacjonarne: lokalne ekstrema obydwu rodzajów oraz (stacjonarny) punkt przegięcia w początku układu. Czerwony wykres przedstawia pochodną tej funkcji – w każdym z tych punktów się zeruje, a w przegięciu dodatkowo ma lokalne ekstremum.

Punkt stacjonarny, czasem: punkt krytyczny – punkt w dziedzinie funkcji rzeczywistej, w którym pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero^[1]^[2]. Punkt krytyczny bywa definiowany tak samo^[3] lub szerzej – obejmując też te punkty, w których pochodna w ogóle nie istnieje^[4].

Własności

Jeśli w tym punkcie istnieje druga pochodna, to jest on ekstremum lokalnym albo punktem przegięcia^[1]. Jeśli jest dodatnia, to funkcja ma minimum lokalne; jeżeli istnieje i jest ujemna, funkcja ma maksimum lokalne. Są to warunki wystarczające dla istnienia ekstremów w punkcie stacjonarnym.

Dla funkcji wielu zmiennych w punkcie krytycznym zerują się pochodne cząstkowe po wszystkich zmiennych, czyli jest to miejsce zerowe gradientu^[3].

Przypisy

↑ ^a ^b pochodna funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-16] .
↑ Smoluk 2017 ↓, s. 171.
↑ ^a ^b krytyczny punkt funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-16] .
↑ Pochodna funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2022-01-23].

Bibliografia

Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.

[epwn-1] pochodna funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-16] .

[CITEREFSmoluk2017171-2] Smoluk 2017 ↓, s. 171.

[epwn-k-3] krytyczny punkt funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-16] .

[4] Pochodna funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2022-01-23].

[1]

[2]

[3]

[4]