Pierwiastek z jedynki

Pierwiastek z jedynki $n$-tego stopnia w ciele K – element $a\in K$ spełniający równość:

$a^{n}=1$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od 0. Ciałem $K$ może być w szczególności ciało liczb zespolonych $\mathbb {C}$.

Grupa pierwiastków z jedynki

Zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia $n$ tworzy grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n,$ zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt $\mathbb {Z} _{n}.$

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych

Pierwiastki piątego stopnia z jedynki na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki w zbiorze liczb zespolonych $\mathbb {C}$; dane są one wzorami de Moivre'a:

$\omega _{n}^{(k)}=\cos \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)$ , $k=0,1,\dots ,n-1$

lub równoważnie

$\omega _{n}^{(k)}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}$, $k=0,1,\dots ,n-1$

Tradycyjnie liczby $k=0,1,\dots ,n-1$ ustanawia się jednocześnie indeksami poszczególnych pierwiastków z jedynki stopnia $n$.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Przykłady

Z powyższych wzorów otrzymujemy:

• Pierwiastki 1-go stopnia z jedynki: $\omega _{0}=1$
• Pierwiastki 2-go stopnia z jedynki: $\omega _{0}=1,\ \omega _{1}=-1$
• Pierwiastki 3-go stopnia z jedynki: $\omega _{0}=1,\ \ \omega _{1}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ \ \omega _{2}={\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

• Pierwiastki 4-go stopnia z jedynki: $\omega _{0}=1,\ \ \omega _{1}=i,\ \ \omega _{2}=-1,\ \ \omega _{3}=-i$

Własności

(1) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki $n$-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1.$ Realizują one podział tego okręgu na $n$ równych części.

(2) Dla $n>1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0{:}$

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0$

(3) Przypadek $n=2$ powyższej tożsamości jest znany pod nazwą tożsamości Eulera:

$e^{\pi i}+1=0$

(4) Grupy $\mathbb {C} _{n}$ pierwiastków z jedności $n$-tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

$\mathbb {C} _{p^{\infty }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\bigcup _{n=1}^{\infty }~\mathbb {C} _{p^{n}},$

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Pierwiastki pierwotne z jedynki

Pierwiastki z jedynki stopnia 6-go. Tylko pierwiastek 1-szy i 5-ty są pierwiastkami pierwotnymi (generują wszystkie inne poprzez mnozenie przez siebie).

Df. Pierwiastkami pierwotnymi stopnia $n$ z jedynki nazywamy te spośród pierwiastków $\omega _{n}^{(k)}$, $k=0,1,\dots ,n-1$, które są generatorami grupy, jaką tworzą te pierwiastki. Innymi słowy, wszystkie pozostałe pierwiastki można otrzymać z mnożenia przez siebie generatora odpowiednią ilość razy.

Tw. 1 Dla stopnia $n$ pierwiastkiem pierwotnym z jedynki jest na pewno pierwiastek postaci

$\omega =\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

lub równoważnie, w zapisie wykładniczym

$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}$

Dowód: Ze wzoru de Moivre'a mamy dla $k=1,\dots ,n-1$

$\omega ^{k}=\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1$

zaś dla $k=n$ mamy

$\omega ^{n}=\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

co dowodzi, że $k=n$ jest najniższym stopniem, dla którego $\omega ^{k}=1$. Oznacza to, że $\omega =\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ jest pierwotnym pierwiastkiem z jedynki stopnia $n$.

Tw. 2 Pierwiastek stopnia $n$ z jedynki o indeksie $k$ jest pierwotny, jeżeli liczba $k$ jest względnie pierwsza względem stopnia $n$ pierwiastka.

Z Tw. 2 wynika stąd, że pierwiastkami prymitywnymi z jedynki są

• 1-go stopnia: $\omega _{0}=1$
• 2-go stopnia: $\omega _{1}=-1$
• 3-go stopnia: $\omega _{1}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ \ \omega _{2}={\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

• 4-go stopnia: $\omega _{1}=i,\ \ \omega _{3}=-i$
• 5-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{2},\ \ \omega _{3},\ \ \omega _{4}$
• 6-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{5}$
• 7-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{2},\ \ \omega _{3},\ \ \omega _{4},\ \ \omega _{5},\ \ \omega _{6}$
• 8-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{3},\ \ \omega _{5},\ \ \omega _{7}$
• 9-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{2},\ \ \omega _{4},\ \ \omega _{5},\ \ \omega _{7},\ \ \omega _{8}$
• 10-go stopnia: $\omega _{1},\ \ \omega _{3},\ \ \omega _{7},\ \ \omega _{9}$
• ....

Obliczając liczby pierwiastków dla poszczególnych stopni otrzymamy:

$\varphi (1)=1,\varphi (2)=1,$ $\varphi (3)=2,\varphi (4)=2,$ $\varphi (5)=4,\varphi (6)=2,$ $\varphi (7)=6,\varphi (8)=4,$ $\varphi (9)=6,\varphi (10)=4,$

- zgodnie z funkcją Eulera, co wyraża poniższe twierdzenie.

Tw. 3 Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia $n$ z jedynki jest równa $\varphi (n),$ gdzie $\varphi$ jest funkcją Eulera.

Tw. 4 Pierwiastek pierwotny stopnia n z jedynki spełnia równanie algebraiczne stopnia n-1 postaci:

$\omega ^{n-1}+\omega ^{n-2}+\ldots +\omega +1=0$

Dowód:

Z twierdzenia o sumowaniu się wszystkich pierwiastków stopnia n mamy

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0$

Dokonując przekształceń i podstawiając do równania postać wykładniczą pierwiastka pierwotnego $\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}$ otrzymamy

$\sum _{k=0}^{n-1}{\Big (}e^{\frac {2\pi i}{n}}{\Big )}^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}\omega ^{k}=\omega ^{0}+\omega ^{1}+\ldots +\omega ^{n-1}=0$

Ponieważ $\omega ^{0}=1$, to po zamianie kolejności składników sumy na odwrotny otrzymamy tezę, cnd.

Zobacz też

• addytywna grupa klas reszt
• ciało algebraicznie domknięte
• pierwiastkowanie

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 86–88.
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.

Literatura dodatkowa

• Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4. Brak numerów stron w książce