Antyhomomorfizm

Antyhomomorfizm – funkcja określona na zbiorach z określonym na nich działaniem mnożenia odwracająca jego porządek; homomorfizm odwracający porządek mnożenia.

Antyautomorfizm – antyhomomorfizm będący zarazem przekształceniem wzajemnie jednoznacznym obiektu na siebie.

Grupy

Niech $G,H$ będą grupami. Mówimy, że przekształcenie $\varphi \colon G\to H$ jest antyhomomorfizmem grup, jeśli

$\forall _{g,h\in G}\;\varphi (gh)=\varphi (h)\varphi (g).$

Pierścienie

Niech $P,R$ będą pierścieniami. Mówimy, że przekształcenie $\varphi \colon P\to R$ jest antyhomomorfizmem pierścieni, jeśli

$\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y),$

$\varphi (xy)=\varphi (y)\varphi (x)$

dla każdego $x,y\in P,$ jeżeli pierścień ma jedynkę, to dodatkowo musi być spełniony warunek

$\varphi (1)=1.$

Jeśli $R$ jest pierścieniem przemiennym, to każdy antyhomomorfizm jest homomorfizmem pierścieni.

Dla algebr nad ciałem przekształcenie $\varphi$ musi być liniowe nad daną przestrzenią liniową.

Uwagi

• Warto zauważyć, że jeśli mnożenie w obrazie $\varphi$ jest przemienne, to antyhomomorfizm jest tym samym co homomorfizm, zaś antyautomorfizm staje się wtedy zwykłym automorfizmem.
• Antyhomomorfizm można zdefiniować również jako homomorfizm z $X$ do obiektu odwróconego $Y^{op}$ (który poza porządkiem mnożenia jest identyczny z $X$).
• Oczywiście złożenie dwóch antyhomomorfizmów jest zawsze homomorfizmem, gdyż dwukrotne odwrócenie porządku zachowuje go. Podobnie złożenie antyhomomorfizmu z automorfizmem daje inny antyautomorfizm.
• Częstokroć antyautomorfizmy są inwolucjami, tj. złożenie takich antyautomorfizmów ze sobą jest identycznością.

Przykłady

• Przekształcenie elementu $x$ w jego element odwrotny $x^{-1}$ jest antyautomorfizmem dowolnej grupy.
• Operacja transponowania macierzy jest przykładem antyautomorfizmu pierścieni.
• Przekształcenie transpozycji (lub sprzężona transpozycja) jest antyautomorfizmem algebry macierzy kwadratowych.
• Sprzężenie hermitowskie jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.
• Ogólnie, *-inwolucja dowolnej *-algebry jest antyautomorfizmem.
• Sprzężona inwolucja w dowolnej algebrze Cayleya-Dicksona, np. kwaternionach i oktawach Cayleya.