Полярлық координаталар

Полярлық координаталар

Полярлық координаталар - геодезиялық жұмыстарда бастапқы нүкте ретінде қабылданған бір нүкте арқылы анықтау үшін қолданылатын координаталар жүйесі. Нүктелердің жазықтықтағы орны қарастырылатын бұл жүйеде нүктенің орны екі координатамен; — полярлық осімен анықталатын нуктеге қарай бағытталған кесіндінің арасындағы горизонталь бұрышпен; d — полюстен анықталатын нуктеге дейінгі горизонталь арақашықтыкпен анықталады. Полярлық бұрыштар полярлық осьтен сағат тілінің бағыты бойымен 0°-тан 360°-қа дейін өлшенеді. Бұл координаталар жүйесі теодолиттік түсіру және жобадағы барлау ұңғымасының горизонталь жазықтықтағы орнын табу кезінде қолданылады.

Екі полярлық доға ауданы

Полярлық координаттар — тік бұрышты х және у координаттарымен х=rcosj, y=rsіnj (мұндағы 0r<¥, 0j<2p) формулалары арқылы байланысатын r, j сандары. Координаттық сызықтар — концентрлі шеңберлер (r=const) және полюстен шығатын сәулелер (j=const). Мұндағы r (полярлық радиус) О-дан М-ге дейінгі қашықтық, ал j (полярлық бұрыш) ОМ мен Ох-тің арасындағы бұрыш (қаласы сурет). j бұрышын М нүктесінің амплитудасы немесе фазасы деп те атайды. Оху жазықтығының әрбір нүктесіне (0-ден басқа) r, j сандар жұбы сәйкес келеді және керісінше де осы сандарға сәйкес нүкте табылады. Полярлық координаттардың қазіргі түрі 1691 ж. швейцариялық математик Я.Бернуллидің (1654 — 1705) еңбегінде кездескенімен, “Полярлық координаттар” термині тек 19 ғ-да пайда болды. Полярлық координаттар физикада, математикада және астрономияда жиі қолданылады.

1.1 Полярлық координаталар жүйесінің шығу тарихы Шындығында, бұрыш пен радиус ұғымдары б.э.б. бірінші мыңжылдықта белгілі болған. Грек астрономы Гиппарх (б.э.б. 190-120 жж ) әр түрлі бұрыштарға арналған хорда ұзындықтары келтірілген кесте ойлап тапқан. Оның аспан денелерінің орналасуын анықтауда полярлық координаталар қолданғаны жайлы мағұлматтар бар. Архимед өзінің «Спиральдер» деген шығармасында радиусы бұрышқа байланысты анықталатын функцияны, яғни Архимед спиралін суреттейді. Бірақ, грек ғалымдарының жұмыстары координаталар жүйесінің толық анықтамасына дейін дамымады. IX ғасырда парсы математигі Хабас әл-Хасиб әл-Марвази Құбыланы, Меккенің бағытын анықтау мақсатында картографиялық проекциялар әдісін және полярлық координаталарды сферада ортасы басқа нүкте болатын координаталар жүйесін құруда сферикалық тригонометрия әдісін қолданған. Парсы астрономы Әбу Райхан Бируни (973-1048) полярлық координаталар суреттеуіне ұқсас көрінетін ойлар қозғаған. Ол, 1025 жылдары, аспан сферасының полярлық экви-азимутальдік теңаралы проекциясын суреттеген алғаш астроном. Полярлық координаталардың формалық координаталар жүйесіне енуі жайлы түрлі тұжырымдар бар. Полярлық координаталардың толық шығу тарихы мен зерттелуі Гарвард профессоры Джулиан Лоувел Кулидждың «Полярлық координаталардың шығу тегі» деген жұмысында суреттелген. XVI ғасырдың ортасында Грегуар де Сен-Венсан мен Бонавентура Кавальери бір-бірінен дербес ұқсас нәтижеге қол жеткізеді. Сен-Венсан полярлық жүйені жеке жұмыстарында 1625 жылы, басылымда 1647 жылы суреттеген. Ал, Кавальери болса өз еңбектерін 1635 жылы басылымға шығарып, 1653 жылы түзетілген түрін шығарған. Кавальери полярлық координаталарды шектелген Архимед спиралінің ауданын есептеуде қолданған. Нәтижесінде, Блез Паскаль полярлық координаталарды параболалық доғаның ұзындығын есептеуде қолданды. Исаак Ньютон (1671 жылы жазылып, 1736 жылы басылған) «Флукциялау әдісі» деген кітабында «Спирьдерге арналған жетінші әдіс» («ағыл. Seventh Manner; For Spirals» ) деп атап өткен, полярлық координаталар мен басқа да тоғыз түрлі координаталар жүйесі арасындағы құрылымдарды зерттеген. Якоб Бернулли 1691 жылы «Acta eruditorum» деген журналға шыққан мақаласында полюс және полярлық ось деп өзі ат қойған,түзу бойында нүктесі бар жүйені қолданады. Координаталар полюстен қашықтық және полярлық осьтен бұрыш деп белгіленген. Бернуллидың жұмысы осы координаталар жүйесінде анықталған қисықтар қисығының радиусын табуда туған мәселелерге арналды. «Полярлық координаталар» терминін енгізген Грегорио Фонтана. XVIII ғасырда бұл сөз итальяндық авторлардың лексиконына енген. Ағылшын тіліне термин Сильвестер Лакруаның 1816 жылы орындалған «Дифференциалдық және интегралдық есептеулер» трактатын Джордж Пикок аударылғаннан кейін енді. Алекси Клеро алғашқы болып, полярлық координаталарды үшөлшемді кеңістікте қолдануды ұсынды. Ал, Леонард Эйлер алғашқы болып сәйкес жүйені ойлап тапты.