Papers by Frederic Barbaresco
The classical notion of Gibbs' canonical ensemble is extended to the case of a symplectic manifol... more The classical notion of Gibbs' canonical ensemble is extended to the case of a symplectic manifold on which a Lie group has a symplectic action ("dynamic group"). The rigorous definition given here makes it possible to extend a certain number of classical thermodynamic properties (temperature is here an element of the Lie algebra of the group, heat an element of its dual), notably inequalities of convexity. In the case of non-commutative groups, particular properties appear: the symmetry is spontaneously broken, certain relations of cohomological type are verified in the Lie algebra of the group. Various applications are considered (rotating bodies, covariant or relativistic statistical Mechannics). [These results specify and complement a study published in an earlier work [8], which will be designated by the initials SSD].
This paper is a translation of Jean-Marie Souriau article published by CNRS in 1974 : Souriau, J-M., Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Colloques Internationaux C.N.R.S., n°237-Géométrie symplectique et physique mathématique, pp.59-113, 1974
Texte pour la Revue TANGENTE, 2019
Les espaces des paramètres des densités de probabilité des familles exponentielles sont des domai... more Les espaces des paramètres des densités de probabilité des familles exponentielles sont des domaines bornés homogènes, dont Jean-Louis Koszul (thésard d'Henri Cartan et membre de Bourbaki) étudia les structures algébriques. Koszul précise: « C'est au problème de la détermination des domaines bornés homogènes posé par E. Cartan vers 1935 que se rattache [mes travaux]…Ce sont les travaux de Piatetski Shapiro sur les domaines de Siegel, puis ceux de E.B. Vinberg sur les cônes homogènes qui m'ont amené à l'étude des groupes de transformation affines des variétés localement plates et en particulier aux critères de convexité liés aux formes invariantes.».
Ces structures géométriques de l’Information de Fisher ont été généralisées dans le cadre de la physique statistique des systèmes dynamiques par le physicien Jean-Marie Souriau, via le modèle qu’il a appelé la « Thermodynamique des groupes de Lie ». Cette Thermodynamique de Souriau décrit par exemple le comportement d'un gaz composé de particules ponctuelles de différentes masses dans une centrifugeuse tournant à une vitesse angulaire constante et explique l'observation selon laquelle les particules les plus lourdes se concentrent plus loin de l'axe de rotation. Souriau a fait référence à sa thermodynamique comme celle de la centrifugeuse pour faire le beurre baratte de la crémière.
Cyber Week 2019, Conférence DGA "IA & Défense", Rennes, Novembre 2019, 2019
L'usage illégal des drones, leur emploi malveillant ou dangereux nécessite de déve-lopper en para... more L'usage illégal des drones, leur emploi malveillant ou dangereux nécessite de déve-lopper en parallèle des systèmes capables de les détecter, les pister et les reconnaître de façon non-collaborative, et ceci avec suffisamment d'anticipation pour pouvoir engager des moyens d'interception adaptés à la menace. La taille réduite des aéronefs autonomes rend difficile leur détection à longue distance avec assez de préavis avec des techniques classiques, et semble plus adaptée pour une observation par des systèmes de type radar. Cependant, la détection radiofré-quence de ce type d'objet pose d'autres difficultés à résoudre du fait de leur vitesse lente qui peut les faire confondre avec d'autres échos mobiles comme ceux des véhicules terrestres, des oiseaux et des mouvements de la végétation agitée par des turbulences de l'atmosphère. Il est donc nécessaire de concevoir des procédés de classification robustes de ses échos pour assurer leur discrimination relativement à des critères caractérisant leurs mouvements (micromouve-ments de leurs parties mobiles et mouvements cinématiques de l'engin).
F. Nielsen (ed.), Geometric Structures of Information, Signals and Communication, 2019
This paper is a scientific exegesis and admiration of Jean-Louis Koszul’s works on homogeneous bo... more This paper is a scientific exegesis and admiration of Jean-Louis Koszul’s works on homogeneous bounded domains that have appeared over time as elementary structures of Information Geometry. Koszul has introduced fundamental tools to characterize the geometry of sharp convex cones, as Koszul-Vinberg characteristic Function, Koszul Forms, and affine representation of Lie Algebra and Lie Group. The 2nd Koszul form is an extension of classical Fisher metric. Koszul theory of hessian structures and Koszul forms could be considered as main foundation and pillars of Information Geometry.
F. Nielsen and F. Barbaresco (Eds.): GSI 2019, LNCS 11712, pp. 85–95, 2019, 2019
Jean-Marie Souriau extended Urbain Jean Joseph Leverrier algorithm to compute characteristic poly... more Jean-Marie Souriau extended Urbain Jean Joseph Leverrier algorithm to compute characteristic polynomial of a matrix in 1948. This Souriau algorithm could be used to compute exponential map of a matrix that is a challenge in Lie Group Machine Learning. Main property of Souriau Exponential Map numerical scheme is its scalability with highly parallelization.
F. Nielsen and F. Barbaresco (Eds.): GSI 2019, LNCS 11712, pp. 157–170, 2019, 2019
In 1969, Jean-Marie Souriau has introduced a “Lie Groups Thermodynamics” in Statistical Mechanics... more In 1969, Jean-Marie Souriau has introduced a “Lie Groups Thermodynamics” in Statistical Mechanics in the framework of Geometric Mechanics. This Souriau’s model considers the statistical mechanics of dynamic systems in their “space of evolution” associated to a homogeneous symplectic manifold by a Lagrange 2-form, and defines thanks to cohomology (non equivariance of the coadjoint action on the moment map with appearance of an additional cocyle) a Gibbs density (of maximum entropy) that is covariant under the action of dynamic groups of physics (e.g., Galileo’s group in classical physics). Souriau model is more general if we consider another Souriau theorem, that we can associate to a Lie group, an homogeneous symplectic manifold with a KKS 2-form on their coadjoint orbits. Souriau method could then be applied on Lie Groups to define a covariant maximum entropy density by Kirillov representation theory. We will illustrate this method for homogeneous Siegel domains and more especially for Poincaré unit disk by considering SU(1,1) group coadjoint orbit and by using its Souriau’s moment map. For this case, the coadjoint action on moment map is equivariant.
International Radar Symposium, 2011
A new geometric approach for HR Doppler processing is developed, which is based on the notion of ... more A new geometric approach for HR Doppler processing is developed, which is based on the notion of Riemannian p-means and the information geometry of radar Toeplitz covariance matrices. First of all, we give the definition of Riemannian p-means and a simple stochastic algorithm to compute it. We show the almost sure convergence of this algorithm and give some simulation examples. Under a further regularity condition, the rate of convergence is given by a central limit theorem. After that, we give a short introduction to the Riemannian geometry of radar Toeplitz covariance matrices. Finally, some simulation examples are given to illustrate the performance of this new method.
We propose to use new shortest path computation methods based on Front propagation with Level Set... more We propose to use new shortest path computation methods based on Front propagation with Level Set approach for a radar application. This new radar function consists in computing most threatening trajectories & corridors in the radar coverage in order to adapt radar modes for detection optimization. This Radar problem may be declined as a variationnal problem solved by calculus of variations and front propagation based on an adaptation of Fermat's principle of least time with an Hamilton-Jacobi formulation. A partial differential equation PDE drives the temporal evolution of contours of constant action (level lines of the manifold defined by the minimal potential surface given by the integration of a local function of the detection probability along every potential trajectories). The orthogonality between geodesics (shortest path) and curves of iso-action provides a simple numerical scheme for geodesics computation based on a steepest gradient descent algorithm (backtracking on the level-lines of iso-action). We underline the analogy of this radar problem with Feynman/Schwinger's principle that states close connexion between variational principle and quantum theory. Finally, we have extended the problem to anisotropic constraint induced by Radar Cross Section.
"Data science sur un plateat" seminar, Paris-Saclay Campus
At airports, runway operation is the limiting factor for the overall throughput; specifically the... more At airports, runway operation is the limiting factor for the overall throughput; specifically the fixed and overly conservative ICAO wake turbulence separation minima. The wake turbulence hazardous flows can dissipate quicker because of decay due to air turbulence or be transported out of the way on oncoming traffic by crosswind , yet wake turbulence separation minima do not take into account wind conditions. Indeed, for safety reasons, most airports assume a worst-case scenario and use conservative separations; the interval between aircraft taking off or landing therefore often amounts to several minutes. However, with the aid of accurate wind data and precise measurements of wake vortex by radar sensors, more efficient intervals can be set, particularly when weather conditions are stable. Depending on traffic volume, these adjustments can generate capacity gains, which have major commercial benefits. This paper presents the use of Electronic scanning radar for detecting wake vortices. In this method, the raindrops Doppler spectrogram is used to retrieve the strength of the wake vortex. Numerical simulation are performed to establish an empirical model used during the retrieval method. This paper presents also the results obtained during the trials of the PARIS-CDG data set recorded from October 2014 to November 2015 with an X-band RADAR developed and deployed by THALES. Reference format: Jean-Yves Schneider, Gilles Beauquet, and Frédéric Barbaresco. Circulation retrieval of wake vortices under rainy conditions with an X band radar[J].
—This paper explores a new way of monitoring tracking quality based on information geometry metho... more —This paper explores a new way of monitoring tracking quality based on information geometry methods. The method proposed takes into account all parameters of the movement of the target with the use of an appropriate distance which reflects the mean and the covariance of the distribution we obtain with the Kalman filter. To achieve that, we develop the distance in the manifold of multivariate gaussians, compute the Fisher-Rao distance, and compare it with bounds. For more details, see [1].
2014 International Radar Conference, 2014
6th AIAA Atmospheric and Space Environments Conference, 2014
6th AIAA Atmospheric and Space Environments Conference, 2014
2014 International Radar Conference, 2014
2011 Tyrrhenian International Workshop on Digital Communications Enhanced Surveillance of Aircraft and Vehicles, Sep 1, 2011
Currently at many airports, runway is the limiting factor for the overall throughput. Among the m... more Currently at many airports, runway is the limiting factor for the overall throughput. Among the most important parameters are the fixed wake turbulence separation minima expressed in time for take-off clearance and by distance for arrivals on final approach. This wake turbulence separation limits the arrival and departure flow on many airports in Europe already today. Existing departure and arrival wake turbulence separations are sometimes considered over conservative as they do not take into account meteorological conditions likely to shift, reduce or alleviate their circulations. This paper will present the main aspects of a SESAR project that defines, analyses and develops a verified wake turbulence system according to related operational concept improvements in order to, punctually or permanently, reduce landing and departure wake turbulence separations and, therefore, to increase the runway throughput in such a way that it safely absorbs arrival demand peaks and/or reduces departure delays. This global objective will be achieved by means of developing a wake vortex decision support system able to deliver in real time position and strength of the wake vortices and to predict their behavior and potential impact on safety and capacity, taking in account actual weather information as well as the airport specific climatological conditions, aircraft characteristics (generated wake vortex and wake vortex sensitivity) and airport runways layout. These functionalities will be progressively included in the wake vortex decision support system to be validated and deployed on airports in order to optimize the runway throughput and reduce delays.
2013 IEEE/AIAA 32nd Digital Avionics Systems Conference (DASC), 2013
2015 16th International Radar Symposium (IRS), 2015
Uploads
Papers by Frederic Barbaresco
This paper is a translation of Jean-Marie Souriau article published by CNRS in 1974 : Souriau, J-M., Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Colloques Internationaux C.N.R.S., n°237-Géométrie symplectique et physique mathématique, pp.59-113, 1974
Ces structures géométriques de l’Information de Fisher ont été généralisées dans le cadre de la physique statistique des systèmes dynamiques par le physicien Jean-Marie Souriau, via le modèle qu’il a appelé la « Thermodynamique des groupes de Lie ». Cette Thermodynamique de Souriau décrit par exemple le comportement d'un gaz composé de particules ponctuelles de différentes masses dans une centrifugeuse tournant à une vitesse angulaire constante et explique l'observation selon laquelle les particules les plus lourdes se concentrent plus loin de l'axe de rotation. Souriau a fait référence à sa thermodynamique comme celle de la centrifugeuse pour faire le beurre baratte de la crémière.
This paper is a translation of Jean-Marie Souriau article published by CNRS in 1974 : Souriau, J-M., Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Colloques Internationaux C.N.R.S., n°237-Géométrie symplectique et physique mathématique, pp.59-113, 1974
Ces structures géométriques de l’Information de Fisher ont été généralisées dans le cadre de la physique statistique des systèmes dynamiques par le physicien Jean-Marie Souriau, via le modèle qu’il a appelé la « Thermodynamique des groupes de Lie ». Cette Thermodynamique de Souriau décrit par exemple le comportement d'un gaz composé de particules ponctuelles de différentes masses dans une centrifugeuse tournant à une vitesse angulaire constante et explique l'observation selon laquelle les particules les plus lourdes se concentrent plus loin de l'axe de rotation. Souriau a fait référence à sa thermodynamique comme celle de la centrifugeuse pour faire le beurre baratte de la crémière.
References:
[1] Jean-Marie Souriau, Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Colloques int. du CNRS numéro 237. Aix-en-Provence, France, 24–28, pp. 59–113, 1974 (English translation: https://www.academia.edu/42630654/Statistical_Mechanics_Lie_Group_and_Cosmology_1_st_part_Symplectic_Model_of_Statistical_Mechanics )
[2] Frédéric Barbaresco; François Gay-Balmaz, F. Lie Group Cohomology and (Multi)Symplectic Integrators: New Geometric Tools for Lie Group Machine Learning Based on Souriau Geometric Statistical Mechanics. Entropy 2020, 22, 498.
https://www.mdpi.com/1099-4300/22/5/498
[3] Frédéric Barbaresco; Lie Group Statistics and Lie Group Machine Learning Based on Souriau Lie Groups Thermodynamics & Koszul-Souriau-Fisher Metric: New Entropy Definition as Generalized Casimir Invariant Function in Coadjoint Representation. Entropy 2020, 22, 642. https://www.mdpi.com/1099-4300/22/6/642
[4] Charles-Michel Marle. From Tools in Symplectic and Poisson Geometry to J.-M. Souriau’s Theories of Statistical Mechanics and Thermodynamics. MDPI Entropy, 18, 370, 2016
https://www.mdpi.com/1099-4300/18/10/370
[5] Jean-Louis Koszul, Introduction to Symplectic Geometry, SPRINGER, 2019
https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-981-13-3987-5
We have just coordinated, with Charles-Michel Marle and Michel Nguiffo-Boyom, the translation of a book by Jean-Louis Koszul which takes over and develops this Souriau’s model. Jean-Louis Koszul and Jean-Marie Souriau jointly used the theory of affine representations of Lie groups and Lie algebras. Ten years earlier, Jean-Louis Koszul had introduced a 2-form on sharp convex cones, invariant under the action of their automorphisms, for which the Fisher metric from Information Geometry appears as a special case. The link is natural because the spaces of the probability densities parameters for the exponential families live in homogeneous bounded domains, which were the object of study of Jean-Louis Koszul following Elie Cartan. It is now common to speak about Koszul-Souriau-Fisher metric.
We will introduce the current study topics which, following Muriel Casalis PhD work, explore the link between "Thermodynamics of Lie groups", Information Geometry and Kirillov representation theory to define probability densities as Souriau covariant Gibbs densities (density of Maximum of Entropy). We will illustrate this case for the matrix Lie group SU (1,1) (acting homogeneously in the Poincaré disk), case with zero cohomology, and the one for the matrix Lie group SE(3), case with non-zero cohomology, through the computation of Souriau’s moment map, and Kirillov's orbit method.
The illegal use of drones requires development of systems capable of detecting, tracking and recognizing them in a non-collaborative manner, and this with sufficient anticipation to be able to engage interception means adapted to the threat. The small size of autonomous aircraft makes it difficult to detect them at long range with enough early warning with conventional techniques, and seems more suitable for observation by radar systems. However, the radio frequency detection of this type of object poses other difficulties to solve because of their slow speed which can make them confused with other mobile echoes such as those of land vehicles, birds and movements of vegetation agitated by atmospheric turbulences. It is therefore necessary to design robust classification methods of its echoes to ensure their discrimination with respect to criteria characterizing their movements (micro-movements of their moving parts and kinematic movements of the machine).
The first idea is to listen to the Doppler signature of the radar echo coming from the drone, which signs the radial velocity variations of the reflectance parts of the moving elements, like the blades. Depending on the speed of the drone, the number of moving elements and their speed of rotation, and the roll & pitch attitude characterizing the angle of observation, the Doppler signature of the drone will be modified. Other factors may also vary this signature as the payload that will vary the blades rotation speeds, or as the wind according to which the drone will change the engine speeds of each blade and the attitude of the drone. The size of the radar radio frequency sensor analysis box, which depends on the beam width (related to the size of the antenna) and the distance resolution (linked to the bandwidth), can also be adapted in the cases of drones close to each other as in coordinated flights or in swarms, which will mix the Doppler signatures of several objects, sometimes with echoes from the ground at very low altitude. Micro-Doppler Analysis can then be achieved by SU(1,1) Lie Group Machine Learning in Poincaré unit disk using Verblunsky/Trench Theorem that all Toeplitz Hermitian Positive Definite Covariance matrices of stationary Radar Time series could be coded and parameterized in a product space with a real positive axis (for signal power) and a Poincaré polydisk (for Doppler Spectrum shape). Each data in Poincaré unit disk of this polydisk could be coded by SU(1,1) matrix Lie group element and their statistics could be learnt.
To improve the classification performance of drones when the blade Doppler signature is more difficult to characterize (blade fairing, carbon blades, ...), we consider, in addition to Doppler signatures, the drone kinematic, characterizing its speed / acceleration / jerk and curvature/torsion of its trajectory, and provided through Invariant Extended Kalman Filter (IEKF) Radar Tracker based on local Frenet-Seret model. Drone kinematics will be then coded by time series of SE(3) matrix Lie Group characterizing local rotation and translation of Frenet frame along the drone trajectory.
Jean-Louis Koszul in São Paulo, His Work and Legacy
https://www.ime.usp.br/~2wspjm/index.html
It emphasizes an active participation of young researchers to discuss emerging areas of collaborative research on “Geometric Science of Information and their Applications”.
Current and ongoing uses of Information Geometry Manifolds in applied mathematics are the following: Advanced Signal/Image/Video Processing, Complex Data Modeling and Analysis, Information Ranking and Retrieval, Coding, Cognitive Systems, Optimal Control, Statistics on Manifolds, Topology/Machine/Deep Learning, Artificial Intelligence, Speech/sound recognition, natural language treatment, Big Data Analytics, Learning for Robotics, etc., which are substantially relevant for industry.
rappelant les apports fondamentaux des modèles mathématiques de ce grand algébriste et géomètre dans le domaine
des sciences géométriques de l’information, qui ont de nombreuses applications dans le domaine de l’Intelligence
Artificielle où les algorithmes les plus performants sont bâtis sur le gradient naturel de la géométrie de l’Information
déduit de la matrice de Fisher, comme l’a montré récemment Yann Ollivier. Le Professeur Koszul a introduit une 2-
forme pour l’étude des domaines bornés homogènes qui est liée à généralisation de la métrique de Fisher pour les
cônes convexes homogènes.
Abstract - In this article, we will pay tribute to part of the work of Professor Jean-Louis Koszul by recalling the
fundamental contributions of the mathematical models of this great algebraist and geometer in the field of geometric
information sciences, which have many applications in the field of Artificial Intelligence where the most powerful
algorithms are built on the natural gradient of the information geometry deduced from the Fisher matrix, as Yann
Ollivier recently showed. Professor Koszul introduced a 2-form for the study of homogeneous bounded domains that
is related to the generalization of the Fisher metric for homogeneous convex cones.
(non équivariance de l’opérateur coadjoint pour l’application moment avec apparition d’un cocyle) une densité (de Gibbs) qui est covariante sous l’action des groupes dynamiques de la physique (par exemple, le groupe de Galilée en physique classique). Le cas des familles exponentielles invariantes par un groupe est un cas particulier associé
au groupe affine. L’approche de Koszul et Souriau utilise la représentation affine des groupes de Lie et algèbre de Lie. J.-L. Koszul revient sur ce modèle de J.-M. Souriau en 1987 (ouvrage qui vient d’être traduit en anglais). Ces structures géométriques associées aux familles exponentielles permettent de définir des généralisations de la métrique de Fisher en géométrie de l’Information (métrique de Fisher-Koszul liée à la 2-forme de Koszul sur les cônes convexes saillants et métrique de Fisher-Souriau liée aux orbites coadjointes et l’application moment). L’équation de Clairaut-Legendre à la base de ces structures géométriques avait été découverte dès 1943 par Maurice Fréchet de façon concomitante à sa découverte de la borne de Fréchet-Darmois.
un cadre géométrique par Jean-Louis Koszul dans les années 60 [3-7], en parallèle des travaux d'Ernest Vinberg [8, 10, 11] en Russie, pour définir des densités, sur des cônes convexes saillants, invariantes par
les automorphismes de ces cônes. Le problème général a été résolu pour les groupes de Lie par Jean-Marie Souriau en Mécanique Géométrique en 1969 [12, 13], en définissant une "Thermodynamique des groupes de Lie" en Mécanique Statistique. Ce modèle de Souriau considère la statistique des systèmes dynamiques dans leur "espace d'évolution" associée à une variété symplectique, et définit grâce à des outils cohomologiques (non équivariance de l'action coadjointe pour l'application moment avec apparition d'un cocyle de Souriau) une densité (de Gibbs) qui est covariante sous l'action des groupes dynamiques de la physique (par exemple, le groupe de Galilée en physique classique). Le cas des familles exponentielles invariantes par un groupe est un cas particulier associé au groupe affine. L'approche de Koszul et Souriau utilise la représentation affine des groupes de Lie et algèbre de Lie. Jean-Louis Koszul revient sur ce modèle de Jean-Marie Souriau en 1987 (ouvrage qui vient d'tre traduit en anglais [14]). Ces structures géométriques associées aux familles exponentielles permettent de définir des généralisations de la métrique de Fisher [15{17] en géométrie de l'Information (métrique de Fisher-Koszul liée à la 2-forme de Koszul sur les cones convexes saillants et métrique de Fisher-Souriau liée aux orbites coadjointes et l'application moment). L'équation de Clairaut-Legendre à la base de ces structures géométriques avait été découverte dès 1943 par Maurice Fréchet [18, 19] de façon concomitante à sa découverte de la borne de Fréchet Darmois. Nous illustrerons ces outils pour le cas du disque de Poincaré considéré, conjointement comme un domaine borné homogène ou comme une variété Symplectique homogène, homéomorphe à SU(1,1)/K avec K le sous-groupe compact maximal en utilisant la décomposition de Cartan, et l'application moment et les orbites coadjointes de SU(1,1) [23-25].
Références
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[2] Casalis, M, Familles exponentielles naturelles sur Rd invariantes par un groupe, Int. Stat. Rev., 59(2), pp. 241-262, 1991.
[3] Casalis, M, Les familles exponentielles à variance quadratique homogène sont des lois de Wishart sur un cône symétrique, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 312, pp. 537540, 1991.
[4] Koszul J.L., Domaines bornées homogènes et orbites de groupes de transformations affines, Bull. Soc. Math. France 89, pp. 515-533, 1961.
[5] Koszul J.L., Ouverts convexes homogènes des espaces affines, Math. Z., 79, pp. 254259, 1962.
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[7] Koszul J.L., Déformations des variétés localement plates, Ann Inst Fourier, 18, pp. 103-114, 1968.
[8] Koszul J.L., Trajectoires Convexes de Groupes Affines Unimodulaires. In Essays on Topology and Related Topics; Springer: Berlin, Germany, pp. 105-110, 1970.
[9] Alekseevsky D., Vinberg's theory of homogeneous convex cones : developments and applications, Transformation groups 2017. Conference dedicated to Prof. Ernest B. Vinberg on the occasion of
his 80th birthday, Moscou, December, 2017; https://www.mccme.ru/tg2017/slides/alexeevsky.pdf
[10] Vinberg E.B., Homogeneous cones, Dokl. Akad. Nauk SSSR., 133, pp. 912, 1960 ; Soviet Math. Dokl., 1, pp. 787790, 1961.
[11] Vinberg E.B., The structure of the group of automorphisms of a convex cone, Trudy Moscov. Mat. Obshch., 13, pp.5683, 1964 ; Trans. Moscow Math. Soc., 13, 1964.
[12] Souriau, J.M., Structure des systèmes dynamiques, Editions Jacques Gabay: Paris, France, 1970.
[13] Souriau, J.-M., Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Colloques internationaux du CNRS numéro 237, Géométrie symplectique et physique mathématique, pp. 59113, 1974.
[14] Koszul, J.L., Introduction to Symplectic Geometry, Science Press: Beijing, China, 1986 (en chinois), traduit en anglais par Springer, avec préface de M. Boyom, F. Barbaresco and C.M. Marle, 2019; https://www.springer.com/la/book/9789811339868 .
[15] Barbaresco, F., Jean-Louis Koszul and the elementary structures of Information Geometry, in Geometric Structures of Information, Nielsen, F.; Ed., Springer: Berlin, Germany, 2018; https:
//link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-02520-5_12 .
[16] Barbaresco, F., Koszul Contemporaneous Lectures: Elementary Structures of Information Geometry and Geometric Heat Theory, in Introduction to Symplectic Geometry; Koszul, J.L., Ed.; Springer: Berlin, Germany, 2018.
[17] Barbaresco, F., Jean-Louis Koszul et les Structures Elémentaires de la Géométrie de l'Information, Revue SMAI Matapli; SMAI Editor, Volume 116, pp. 71-84, Novembre 2018.
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[19] Barbaresco, F., Les densités de probabilité distinguées et l'équation d'Alexis Clairaut: regards croisés de Maurice Fréchet et de Jean-Louis Koszul, conférence Histoire de la discipline, GRETSI'17 , Juan-Les-Pins, Septembre 2017.
[20] Letac, G., Lectures on Natural Exponential Families and their Variance Functions, Instituto De Matematica Pura E Aplicada, 1992.
[21] Letac, G., Les familles exponentielles statistiques invariantes par les groupes du Cône et du parabolode de révolution, Journal of Applied Probability, Vol. 31, Studies in Applied Probability, pp. 71-95, 1994.
[22] Letac, G., Wesolowski, J., Why Jordan Algebras are Natural in Statistics: Quadratic Regression Implies Wishart Distributions, Bull. Soc. math. France 139 (1), p. 129144, 2011.
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[38] Foth, P. and Lamb, M., The Poisson Geometry of SU(1,1), Journal of Mathematical Physics,Vol. 51, September 2010.
[39] Barbaresco, F., Lie Group Machine Learning and Gibbs Density on Poincaré Unit Disk from Souriau Lie Groups Thermodynamics and SU(1,1) Coadjoint Orbits, GSI'19, Toulouse, Aout 2019.
L’apprentissage profond a été étendu récemment avec succès aux graphes, mais le thème émergent « (Matrix) Lie Group Machine Learning » [14][18][15][16][20][21] est une extension particulièrement intéressante pour les applications indus-trielles : reconnaissance de mouvements/cinématiques (série temporelle d’éléments du groupes SE(3)), reconnaissances de postures/gestes articulés [3](série temporelle de vecteurs d’éléments du groupe SO(3)), reconnaissance micro-Doppler [12](série temporelle d’éléments du groupe SU(1,1)) et en robotique (éléments de sous-groupes du groupe affine Aff(n)).
Nous exposerons l’extension de la notion de métrique de Fisher par le mathématicien Jean-Louis Koszul [4][6][17] sur les cônes convexes saillants. Pour l’extension de l’apprentissage machine aux groupes de Lie, nous présenterons les outils issues de la physique statistique à travers le modèle du physicien Jean-Marie Souriau de la « Thermodynamique des groupes de Lie » [7][8][19][22] basé sur la géométrie symplectique (application moment, 2 forme KKS « Kirillov-Kostant-Souriau » dans le cas non-équivariant [5], le cocycle symplectique de Souriau, les méthodes des orbites coadjointes [9] issues de la théorie des représentations de Kirillov des groupes de Lie [10][11]).
Nous terminerons par une illustration d’apprentissage machine pour les exemples canoniques de groupes de Lie matri-ciels classiques tels que les groupes SU(1,1)[13][23] (cas équivariant à cohomologie nulle), et le groupe SE(3) (cas non-équivariant à cohomologie non-nulle)[13].
Abstract - Jean-Marie Souriau extended Urbain Jean Joseph Leverrier algorithm to compute characteristic polynomial of a matrix in 1948. This Souriau algorithm could be used to compute exponential map of a matrix that is a challenge in Lie Group Machine Learning. Main property of Souriau Exponential Map numerical scheme is its scalability by highly parallelization.
(https://www.ihes.fr/wp-content/uploads/2017/03/invitationAmisA4_mars2017.pdf)
Au XXième siècle, l’Homme a domestiqué les ondes électromagnétiques qui ont profondément bouleversé ses modes de vies pour communiquer, localiser et observer la Nature et l’Univers. Dans ce contexte, le RADAR a une longue histoire plus que centenaire mais la digitalisation récente spatiale et temporelle complète, de la mesure des ondes électromagnétiques par des antennes numériques ouvre la voie à la manipulation plus efficace de l’Information inscrite dans ce signal aléatoire. Cette digitalisation spatio-temporelle de l’onde électromagnétique a révélé les structures géométriques intimes qui décrivent cette Information. Etrangement, ces structures révèlent des affinités naturelles avec les outils mathématiques les plus récents comme la géométrie des espaces métriques et la géométrie Symplectique. En filigrane, le rôle de l’Entropie sera évoquée et nous ferons allusion aux tenants et aboutissants géométriques de ce concept. Par de nombreux exemples illustratifs et imagés, sans entrer dans les détails techniques, nous parcourrons ces avancées récentes du traitement du signal électromagnétique RADAR. Nous soulignerons au fil de l’exposé comment interviennent les intuitions lumineuses et le plus souvent oubliées présentes dans cette filiation des idées de Clairaut, Legendre, Massieu, Poincaré, Cartan, Fréchet, Koszul, Balian et Souriau. Nous conclurons sur quelques perspectives dans le domaine plus large des Sciences Géométriques de l’Information, qui sont susceptibles de nombreuses retombées au-delà du domaine applicatif RADAR.
rappeler les apports fondamentaux des modèles mathématiques de ce grand algébriste et géomètre
dans le domaine des sciences géométriques de l’information, qui ont de nombreuses applications
dans le domaine des mathématiques appliquées, et dans le domaine émergent de l’Intelligence
Artificielle où les algorithmes les plus performants sont bâtis sur le gradient naturel de la géométrie de l’Information déduit de la matrice de Fisher, comme l’a montré récemment Yann Ollivier
algorithm, which provides a new regularized reflexion
coefficient formula, in case of very short data records analysis.
From the structure of the inverse correlation matrix, we have
also proposed [6][7] a recursive eigendecomposition of this
matrix via reflection coefficients and an interlacing root
property. We propose to establish performances comparison
between Root-Music (recursively computed by [7] and
regularized by [5]) and new spectral analysis algorithms [3][4]
based on Hessenberg methods and regularized reflection
coefficients. Gragg [1] has proved that the problem of
computing the zeros of the AR predictor polynomial is
equivalent to that of computing the eigenvalues of a unitary
Hessenberg matrix, only defined by reflexion coefficients. C. He
[2] has proved, by a Krylov subspace approach, that this
equivalence is true for any Hermitian positive definite Toeplitz
matrix, even non unitary, if we choose last reflection coefficient
arbitrary on the unit circle. Bunse-Gerstner [3] has proposed a
bisection method for computing the eigenvalues of the unitary
Hessenberg matrix based on a three term recurrence polynomial
with interlacing roots and a sturm sequence approach.
Independently, Ammar [4] has proposed a continuation method
for the computation of zeros of Szegö polynomials, to track the
eigenvalues from the unitary case to the non-unitary case of the
associated Hessenberg matrix.