Kebebasan linear

Untuk ketergantungan linear variabel acak, lihat Kovarian.

Linearly independent vectors in $\mathbb {R} ^{3}$

Linearly dependent vectors in a plane in $\mathbb {R} ^{3}$.

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier.

Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi $\mathbb {R} ^{3}$ kita bisa mengambil tiga vektor berikut:

${\begin{matrix}{\mbox{bebas linear}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{bergantung linear}}\\\end{matrix}}$

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut bergantung linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

$\mathbf {v} _{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.$

Definisi formal

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut bergantung linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v₁, v₂, ..., v_n dalam S dan skalar a₁, a₂, ..., a_n, yang tidak semuanya nol, sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.

Bila persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh skalar-skalar nol, vektor tersebut disebut bebas linear.

Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v₁, v₂, ..., v_n dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a₁,a₂,...,a_n adalah skalar sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$

jika dan hanya jika a_i = 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n.

Arti geometris

Contoh geografis dapat membantu memperjelas konsep kemerdekaan linier. Seseorang yang menjelaskan lokasi suatu tempat mungkin berkata, "3 mil sebelah utara dan 4 mil timur dari sini." Informasi ini cukup untuk menggambarkan lokasi, karena sistem koordinat geografis dapat dianggap sebagai ruang vektor 2 dimensi (dengan mengabaikan ketinggian dan kelengkungan bumi). Orang itu mungkin menambahkan, "Tempatnya 5 mil timur laut dari sini." Meskipun pernyataan terakhir ini adalah benar , itu tidak perlu.

Dalam contoh ini vektor "3 mil utara" dan vektor "4 mil timur" tidak bergantung linear. Artinya, vektor utara tidak dapat dijelaskan dalam bentuk vektor timur, dan sebaliknya. Vektor ketiga "5 mil timur laut" adalah kombinasi linear dari dua vektor lainnya, dan itu membuat himpunan vektor bergantung secara linear , yaitu, salah satu dari tiga vektor tidak diperlukan.

Perhatikan juga bahwa jika ketinggian tidak diabaikan, vektor ketiga harus ditambahkan ke himpunan bebas linear. Secara umum, vektor bebas linear n diperlukan untuk mendeskripsikan semua lokasi dalam ruang dimensi n .

Mengevaluasi independensi linear

Vektor pada R²

Tiga vektor: Pertimbangkan himpunan vektor' 'v' ' ₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2) dan v₃ = (2, 4), maka kondisi untuk ketergantungan linier mencari sekumpulan skalar bukan nol, sedemikian rupa

$a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}+a_{3}{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},$

atau

${\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.$

Reduksi baris persamaan matriks ini dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua untuk mendapatkan,

${\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.$

Lanjutkan pengurangan baris dengan (i) membagi baris kedua dengan 5, lalu (ii) mengalikan dengan 3 dan menjumlahkan baris pertama, yaitu

${\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.$

Sekarang kita dapat mengatur ulang persamaan ini untuk mendapatkan

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}16/5\\2/5\end{Bmatrix}}.$

yang menunjukkan bahwa bukan nol a_i ada seperti itu v₃ = (2, 4) dapat didefinisikan dalam istilah v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2). Jadi, ketiga vektor tersebut bergantung secara linear.

Dua vektor: Sekarang perhatikan ketergantungan linear dari dua vektor v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2), dan cek,

$a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},$

atau

${\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.$

Pengurangan baris yang sama disajikan di atas hasil,

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.$

Ini menunjukkan a_i = 0, yang berarti vektor v₁ = (1, 1) dan v₂ = (−3, 2) adalah independen linear.

Vektor pada R⁴

Untuk menentukan apakah ketiga vektor pada R⁴,

$\mathbf {v} _{1}={\begin{Bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{Bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{Bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{Bmatrix}}.$

bergantung secara linear, membentuk persamaan matriks,

${\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.$

Baris mengurangi persamaan ini untuk mendapatkan,

${\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.$

Atur ulang untuk memecahkan v ₃ dan dapatkan,

${\begin{bmatrix}1&7\\0&-18&\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}-2\\9\end{Bmatrix}}.$

Persamaan ini dengan mudah diselesaikan untuk mendefinisikan bukan nol a_i,

$a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,$

dimana a₃ bisa dipilih secara sewenang-wenang. Jadi, vektornya v₁, v₂ dan v₃ bergantung secara linear.

Metode alternatif menggunakan determinan

Metode alternatif bergantung pada fakta bahwa vektor n di $\mathbb {R} ^{n}$ secara linier 'independen' jika dan hanya jika determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengambil vektor sebagai kolomnya bukan nol.

Dalam hal ini, matriks yang dibentuk oleh vektor adalah

$A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.$

Kami dapat menulis kombinasi linier dari kolom sebagai

$A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$

Kami tertarik pada apakah A = 0 untuk beberapa vektor bukan nol Λ. Ini tergantung pada determinan A , yaitu

$\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.$

Karena determinan bukan nol, vektor (1, 1) dan (−3, 2) bebas linear.

Jika tidak, misalkan kita memiliki vektor m dengan koordinat n , dengan m < n . Maka A adalah matriks n × m dan Λ adalah vektor kolom dengan entri m , dan kami kembali tertarik pada A = 0. Seperti yang kita lihat sebelumnya, ini setara dengan daftar persamaan n . Perhatikan baris pertama m dari A , persamaan m pertama; solusi apa pun dari daftar lengkap persamaan juga harus benar untuk daftar yang dikurangi. Faktanya, jika 〈i₁,...,i_m〉 adalah daftar baris m , maka persamaan tersebut harus benar untuk baris tersebut.

$A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .$

Lebih jauh, kebalikannya benar. Artinya, kita dapat menguji apakah vektor m bergantung secara linier dengan menguji apakah

$\det A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }=0$

untuk semua kemungkinan daftar baris m . (Dalam kasus m = n , ini hanya membutuhkan satu determinan, seperti di atas. Jika m > n , maka itu adalah teorema bahwa vektor harus linier d) Fakta ini berharga untuk teori; dalam perhitungan praktis tersedia metode yang lebih efisien.

Lebih banyak vektor daripada dimensi

Jika ada lebih banyak vektor daripada dimensi, vektor-vektor tersebut bergantung secara linier. Ini diilustrasikan dalam contoh di atas dari tiga vektor di R².

Lihat pula

• Matroid – sifat himpunan bagian dari dasar ruang vektor

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Linear independence", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Fungsi Bergantung Linier di Wolfram MathWorld.
• Tutorial dan program interaktif tentang Kemerdekaan Linear.
• Pengantar Kemerdekaan Linier di KhanAcademy.