استقلال خطی

دو نمونه از بردارهای وابسته در فضای سه‌بعدی.

یک مجموعه بردار مستقل خطی

در جبر خطی، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری $V$ مانند ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}$ را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد $v_{n}\in \operatorname {Span} \{v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$. به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد $v_{n}=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1}$.

اگر ${\mathcal {B}}$ وابستهٔ خطی نباشد می‌گوییم این بردارها استقلال خطی (به انگلیسی: Linear Independence) دارند یا مستقل خطی هستند.

تعریف

مجموعهٔ ${\mathcal {B}}$ را مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ $c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=0$ جواب بدیهی $c_{1}=\cdots =c_{n}=0$ باشد.

در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم. به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ $c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=0$ یک جواب غیربدیهی $\exists c_{i}\neq 0$ داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم. از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: $v_{n}=(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1})/c_{n}$

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: $v_{n}\in \operatorname {Span} \{v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$ یا

$v_{n}\in \operatorname {Span} ({\mathcal {B}}\backslash \{v_{n}\})$

نتایج و قضایا

یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار ${\mathcal {B}}=\{v\}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد $v\neq 0$.

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها ${\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2}\}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند $v_{1}\neq cv_{2}$.

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر $0\in {\mathcal {B}}$ وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}$ با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند $k$ وجود داشته باشد که بردار $v_{k}$ با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی $v_{k}=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{k-1}v_{k-1}$ از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد $v_{k}\in \operatorname {Span} \{v_{1},\cdots ,v_{k-1}\}$.

برای توابع

طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند $\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}\neq \{0\}$ برای مجموعهٔ توابع $F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}$ پیدا کرد که $b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}+\cdots +b_{n}f_{n}=0$ باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع $F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}$ مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت $F$ را مستقل خطی می‌نامیم.

استفاده از یک قضیه

اگر توابع $F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}$ (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ $n-1$ اُم باشند و همچنین اگر $W[f_{1},\cdots ,f_{n}](x)$ رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع $F$ مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک $x_{0}$ پیدا کرد که $W[f_{1},\cdots ,f_{n}](x_{0})\neq 0$.

این مفهوم در موارد زیر کاربرد دارد:

• تعیین خطی بودن یک مجموعه بردارها-
• تعیین رتبه ماتریس
• بررسی ابعاد فضاهای بردار
• طراحی و تحلیل سیستم‌های خطی در مهندسی

جستارهای وابسته

• فضای برداری
• زیرفضای خطی
• پوشش خطی (اسپن)
• پایه‌های فضا
• بعد (فضای برداری)

منابع

• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)

• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8