Geometri aljabar

Halaman ini berisi artikel tentang cabang matematika. Untuk buku oleh Robin Hartshorne, lihat Geometri Aljabar (buku). Untuk jurnal, lihat Geometri Aljabar (jurnal). Untuk sebuah struktur aljabar, lihat Aljabar geometris.

Permukaan Togliatti ini adalah permukaan aljabar derajat lima. Gambar tersebut mewakili sebagian dari lokus aslinya.

Geometri aljabar merupakan cabang matematika yang mempelajari akar dari suatu suku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari aljabar abstrak seperti aljabar komutatif dan teori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.

Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti garis, parabola, elips, kurva eliptik dan lain-lain.

Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori kategori, dan lain-lain.

Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern dan memiliki beberapa hubungan konseptual dengan berbagai bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori bilangan. Awalnya studi tentang sistem persamaan polinomial dalam beberapa variabel, subjek geometri aljabar dimulai di mana pemecahan persamaan berhenti, ini mengarah ke beberapa daerah terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam istilah teknik.

Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah.

• Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam bidang tertutup aljabar.
• Geometri aljabar nyata adalah ilmu yang mempelajari titik-titik nyata dari suatu ragam aljabar.
• Geometri Diofantin dan, secara lebih umum, geometri aritmetika adalah studi tentang titik variasi aljabar dengan koordinat di bidang yang tidak tertutup secara aljabar dan terjadi di teori bilangan aljabar, seperti bidang bilangan rasional, bidang bilangan, bidang terbatas, bidang fungsi, dan bilangan p-adic.
• Sebagian besar teori singularitas dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
• Geometri aljabar komputasi adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan aljabar komputer, dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari algoritma desain dan perangkat lunak pengembangan untuk mempelajari properti dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.

Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam topologi, diferensial dan geometri kompleks. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah Grothendieck pada teori skema yang memungkinkan seseorang untuk menggunakan teori sheaf untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi diferensial dan lipatan analitik. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari variasi afin dapat diidentifikasi, melalui Hilbert Nullstellensatz, dengan ideal maksimal dari gelanggang koordinat, sedangkan titik dari skema affine yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa poin dari skema seperti itu dapat berupa poin biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan poin kompleks, dan teori bilangan aljabar. Bukti Wiles dari konjey lemma yang disebut Teorema terakhir Fermat adalah contoh kekuatan pendekatan ini.

Pengertian dasar

Informasi lebih lanjut: Varietas aljabar

Angka nol dari polinomial simultan

Bola dan lingkaran miring

Dalam geometri aljabar klasik, objek utama yang menarik adalah kumpulan kumpulan polinomial yang hilang, artinya himpunan semua titik yang secara bersamaan memenuhi satu atau lebih persamaan polinomial. Misalnya, dua dimensi pada bola dengan radius 1 dalam tiga dimensi dalam Ruang Euklides R³ dapat didefinisikan sebagai himpunan semua poin (x, y, z) dengan

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,$

Lingkaran "miring" pafa R³ dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (x, y, z) yang memenuhi dua persamaan polinomial

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

Varietas Affine

Artikel utama: Varietas Affine

Pertama kita mulai dengan bidang k. Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks C, tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa k saja tertutup secara aljabar. Kami menganggap ruang affine dari dimensi n di atas k, dilambangkan Aⁿ(k) (atau lebih sederhananya Aⁿ, ketika k jelas dari konteksnya). Ketika seseorang memperbaiki sistem koordinat, seseorang dapat mengidentifikasi Aⁿ(k) dengan kⁿ. Tujuan tidak bekerja dengan kⁿ adalah untuk menekankan bahwa seseorang "melakukan" sesuatu dengan struktur ruang vektor pada kⁿ.

Fungsi f:Aⁿ → A¹ dikatakan sebagai polinomial (atau regular) jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial p maka k[x₁,...,x_n] merupakan f(M) = p(t₁,...,t_n) untuk titik M dengan koordinat (t₁,...,t_n) in Aⁿ. Properti suatu fungsi menjadi polinomial (atau reguler) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di Aⁿ.

Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi reguler pada n sebagai ruang affine dapat diidentifikasi dengan gelanggang fungsi polinomial dalam variabel n pada k. Oleh karena itu, himpunan fungsi reguler pada Aⁿ adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan k[Aⁿ].

Kami mengatakan bahwa polinomial menghilang pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan S adalah kumpulan polinomial masuk k[Aⁿ]. Himpunan menghilang dari S atau himpunan nol adalah himpunan V(S) dari semua titik di Aⁿ di mana setiap polinomial pada S. Secara simbolis,

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,$

Bagian dari Aⁿ yang mana adalah V(S), untuk beberapa S, disebut himpunan aljabar. V adalah singkatan dari varietas (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).

Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan topologi Zariski, sebuah topologi aktif Aⁿ yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar k[Aⁿ]. Kemudian U = V(I(U)) adalah U bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh Hilbert's Nullstellensatz. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian I(V(S)) adalah radikal dari ideal yang dihasilkan oleh S. Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada koneksi Galois, yang memunculkan dua operator penutupan; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; contoh diuraikan pada koneksi Galois.

Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar U. Teorema dasar Hilbert menyiratkan bahwa cita-cita dalam k[Aⁿ] selalu dihasilkan tanpa batas.

Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan varietas yang tidak dapat direduksi untuk membuat perbedaan bila diperlukan.

Fungsi biasa

Artikel utama: Fungsi biasa

Sama seperti fungsi berkelanjutan adalah peta alami pada ruang topologi dan fungsi mulus adalah peta alami pada lipatan diferensial, ada kelas fungsi alami pada himpunan aljabar, yang disebut fungsi reguler atau fungsi polinomial . Fungsi reguler pada himpunan aljabar V yang terdapat di Aⁿ adalah batasan untuk V dari fungsi reguler di Aⁿ. Untuk himpunan aljabar yang ditentukan pada bidang bilangan kompleks, fungsi regulernya adalah mulus dan genap analitik.

Mungkin tampak membatasi secara tidak wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi reguler selalu diperluas ke ruang ambien, tetapi sangat mirip dengan situasi pada normal ruang topologi, dimana Teorema ekstensi Tietze menjamin bahwa fungsi kontinu pada subset tertutup selalu meluas ke ruang topologi ambien.

Seperti halnya fungsi reguler pada ruang affine, fungsi reguler pada V membentuk sebuah gelanggang, yang kami nyatakan dengan k[V]. Cincin ini disebut koordinat gelanggang dari V .

Geometri aljabar nyata

Artikel utama: Geometri aljabar nyata

Geometri aljabar nyata adalah ilmu yang mempelajari titik-titik nyata dari varietas aljabar.

Fakta bahwa bidang bilangan real adalah bidang terurut tidak dapat diabaikan dalam studi semacam itu. Misalnya, kurva persamaan $x^{2}+y^{2}-a=0$ adalah lingkaran jika $a>0$, tetapi tidak memiliki poin nyata jika $a<0$. Oleh karena itu, geometri aljabar nyata tidak hanya mempelajari varietas aljabar nyata, tetapi telah digeneralisasikan untuk mempelajari himpunan semi-aljabar, yang merupakan solusi dari sistem persamaan polinomial dan pertidaksamaan polinomial. Misalnya, cabang dari persamaan hiperbola $xy-1=0$ bukan ragam aljabar, tetapi himpunan semi-aljabar yang didefinisikan oleh $xy-1=0$ dan $x>0$ atau oleh $xy-1=0$ dan $x+y>0$.

Salah satu masalah yang menantang dari geometri aljabar nyata adalah masalah keenam belas Hilbert yang tidak terpecahkan: Tentukan posisi masing-masing yang mungkin untuk oval dari kurva bidang nonsingular.

Geometri aljabar komputasi

Bagian Dasar Gröbner

Artikel utama: Bagian Dasar Gröbner

Kompleksitas asimtotik vs. efisiensi praktis

Algoritme umum dasar dari geometri komputasi memiliki kasus terburuk eksponensial ganda kompleksitas. Lebih tepatnya, jika d adalah derajat maksimal dari polinomial masukan dan n jumlah variabel, kompleksitasnya paling banyak. $d^{2^{cn}}$ untuk beberapa konstanta c , dan, untuk beberapa masukan, paling tidak kompleksitasnya $d^{2^{c'n}}$ untuk konstanta lain c′.

Selama 20 tahun terakhir abad ke-20, berbagai algoritme telah diperkenalkan untuk menyelesaikan sub-masalah tertentu dengan kompleksitas yang lebih baik. Sebagian besar algoritme ini memiliki kompleksitas $d^{O(n^{2})}$.

Di antara algoritme ini yang memecahkan sub masalah dari masalah yang dipecahkan oleh basis Gröbner, seseorang dapat mengutip pengujian jika variasi affine kosong dan menyelesaikan sistem polinomial nonhomogen. Algoritme semacam itu jarang diterapkan karena, pada sebagian besar entri Algoritme F4 dan F5 Faugère memiliki efisiensi praktis yang lebih baik dan mungkin kompleksitas yang serupa atau lebih baik ( mungkin karena evaluasi kompleksitas algoritma dasar Gröbner pada kelas entri tertentu adalah tugas yang sulit yang telah dilakukan hanya dalam beberapa kasus khusus).

Algoritma utama geometri aljabar nyata yang memecahkan masalah yang diselesaikan dengan CAD berhubungan dengan topologi himpunan semi-aljabar. Seseorang mungkin mengutip menghitung jumlah komponen yang terhubung, menguji jika dua titik berada dalam komponen yang sama atau menghitung stratifikasi Whitney dari himpunan aljabar nyata . Mereka memiliki kompleksitas $d^{O(n^{2})}$, tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi O begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah nontrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika seseorang dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritma ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritma yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.