Xeometría alxebraica

Xeometría alxebraica
	área de les matemátiques

La xeometría alxebraica ye una caña de la matemática que, como suxer el so nome, combina'l álxebra astracta, especialmente'l álxebra conmutativa, cola xeometría analítica. Puede entendese como l'estudiu de los conxuntos de soluciones de los sistemes de ecuaciones alxebraiques. Cuando hai más d'una variable, apaecen les considerancies xeométriques que son importantes pa entender el fenómenu. Podemos dicir que la materia en cuestión empieza cuando abandonamos la mera solución d'ecuaciones, y la tema de "entender" toles soluciones vuélvese tan importante como'l d'atopar dalguna solución, lo cual lleva a les "agües más fondes" del mundu de la matemática, tanto conceptual como téunicamente.

Ceros de polinomios simultáneos

Na xeometría alxebraica clásica, el principal oxetu d'interés son los conxuntos onde s'anula cierta coleición de polinomios, lo que quier dicir, el conxuntu de tolos puntos que satisfaen simultáneamente una o más ecuaciones polinómiques. Por casu, la esfera de dos dimensiones nel espaciu euclideu de tres dimensiones R³ puede definise como'l conxuntu de tolos puntos (x, y, z) tales que : $x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$

Un círculu "inclináu" en R³ puede definise como'l conxuntu de tolos puntos (x, y, z) que satisfaen los dos ecuaciones polinómiques siguientes:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0

x+y+z=0

Variedaes allegaes

Empezamos en primer llugar con un cuerpu k. En xeometría alxebraica clásica, esti cuerpu foi siempres C, los númberos complexos, pero munchos de los resultaos son tamién ciertos si namái asumimos que k ye algebraicamente zarráu. Definimos ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$ , llamáu n-espaciu allegáu sobre k, como kⁿ. Vamos Usar esta notación pos non siempres se va trabayar con un cuerpu k. Abstractamente falando, ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$ ye, pel momento, solamente una coleición de puntos.

Por tanto, d'equí p'arriba vamos esaniciar la k en ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$ y vamos escribir ${\mathbb {A} }^{n}$ .

Vamos Dicir qu'una función $f:{\mathbb {A} }^{n}\to {\mathbb {A} }^{1}$ ye regular si puede escribise por aciu un polinomiu, esto ye, si esiste un polinomiu p sobre k [x₁,...,x_n] tal que pa cada puntu (t₁,...,t_n) de ${\mathbb {A} }^{n}$ , f(t₁,...,t_n)=p(t₁,...,t_n). Les funciones regulares sobre'l n-espaciu allegáu son d'esta manera lo mesmo que los polinomios sobre k en n variables. Vamos Escribir les funciones regulares sobre ${\mathbb {A} }^{n}$ como $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ .

Vamos Dicir qu'un polinomiu anúlase nun puntu si al evalualo nél la resultancia ye cero. Sía S un conxuntu de polinomios en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ . El conxuntu anulador de S (o locus anulador) ye'l conxuntu V(S) de tolos puntos en $\mathbb {A} ^{n}$ onde cada polinomiu de S anúlese. N'otres pallabres,

V(S)=\{o\in {\mathbb {A} }^{n}|\forall P\in S,P(o)=0\}

Un subconxuntu de ${\mathbb {A} }^{n}$ que ye un V(S) pa dalgún S llámase conxuntu alxebraicu allegáu. La V referir a la inicial de variedá. En munchos testos nun esiste diferencia ente variedá alxebraica afin y conxuntu alxebraicu allegáu, sicasí ye avezáu referise a V(S) como variedá alxebraica allegada cuando nun puede espresase como unión de dos subconxuntos alxebraicos allegaos propios (conteníos nel sentíu estrictu). Sía que non, esta última definición coincide cola de conxuntu alxebraicu afin irreducible. De forma que, en determinaos testos, les nociones de variedá y irreducibilidad son equivalentes.

Dau un conxuntu V de ${\mathbb {A} }^{n}$ del que sepamos que ye una variedá, sería deseable determinar el conxuntu de polinomios que lu xenera, anque vamos faer una definición pa un casu más xeneral: si V ye cualquier subconxuntu de ${\mathbb {A} }^{n}$ (non necesariamente una variedá), definimos I(V) como'l conxuntu de tolos polinomios que'l so conxuntu anulador contién a V. La I esta vegada ye por Ideal: si tengo dos polinomios f y g y los dos anular en V, entós f+g tamién s'anula en V, y si h ye cualquier polinomiu, entós hf anular en V, asina qu'I(V) ye siempres un ideal de $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ .

Dos cuestiones que se planteguen agora son: si tenemos un subconxuntu V de ${\mathbb {A} }^{n}$ , ¿cuándo ye V=V(I(V))? Y, si tenemos un conxuntu de polinomios, S, ¿cuándo ye S=I(V(S))? La respuesta a la primer cuestión aprovir la introducción de la topoloxía de Zariski, una topoloxía en ${\mathbb {A} }^{n}$ que reflexa direutamente la estructura alxebraica de $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ . Entós V=V(I(V)) si y namái si V ye un conxuntu Zariski-zarráu. La respuesta a la segunda cuestión vien dada pola Hilbert Nullstellensatz. Nuna de les sos formes, diz que S=I(V(S)) ye l'ideal radical del ideal xeneráu por S.

Por delles razones non siempres queremos trabayar con tol ideal correspondiente a un conxuntu alxebraicu V. El teorema de la base de Hilbert implica que los ideales en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ siempres se xeneren finitamente.

Entós tiense qu'un conxuntu alxebraicu ye una irreducible (o en dellos casos a cencielles variedá) si y namái si los polinomios que lu definen xeneren un ideal primu del aniellu de polinomios.

Funciones regulares

Al igual que les funciones continues son les aplicaciones naturales nos espacios topolóxicos y les funciones nidies son les aplicaciones (morfismos) naturales nes variedaes diferenciables, esiste una clase natural de funciones sobre un conxuntu alxebraicu, llamaes regulares. Una función regular sobre un conxuntu alxebraicu V conteníu en ${\mathbb {A} }^{n}$ ta definida como la restricción d'una función regular en ${\mathbb {A} }^{n}$ , nel sentíu definíu enriba.

Puede paecer antinaturalmente restrictivu'l riquir qu'una función regular siempres s'estienda al espaciu ambiente, pero esta situación ye bien similar a la que se da nun espaciu topolóxicu normal, onde'l teorema d'estensión de Tietze garantiza qu'una función continua nun subconxuntu zarráu siempres puede estendese al espaciu topolóxicu ambiente.

Al igual que les funciones regulares nun espaciu allegáu, les funciones regulares en V formen un aniellu, que denotamos como k[V]. A esti aniellu llámase-y el aniellu coordenáu de V.

Una y bones les funciones regulares en V provienen de les funciones regulares en ${\mathbb {A} }^{n}$ , tendría d'haber una rellación ente los sos aniellos coordenaos. Específicamente, coyendo una función de k[V] lo tamos faciendo en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ , y diximos que yera la mesma qu'otra función si daben los mesmos valores cuando les evaluávamos en V. Esto ye lo mesmo que dicir que la so diferencia ye cero en V. D'esto podemos ver que k[V] ye'l cociente $k[{\mathbb {A} }^{n}]/I(V)$ .

La categoría de les variedaes allegaes

Usando les funciones regulares dende una variedá allegada a ${\mathbb {A} }^{1}$ , podemos definir les funciones regulares d'una variedá allegada a otra. Primero vamos definir una función regular d'una variedá a un espaciu allegáu: sía V una variedá contenida en ${\mathbb {A} }^{n}$ . Escueye m funciones regulares en V, y llámales f₁,...,f_m. Definimos una función regular f de V a ${\mathbb {A} }^{m}$ por aciu f(t₁,...,t_n)=(f₁,...,f_m). N'otres pallabres, cada f_i determina una coordenada del rangu de f.

Si V ye una variedá contenida en ${\mathbb {A} }^{m}$ , dicimos que f ye una función regular de V a V' si'l rangu de f ta conteníu en V.

Esto convierte a la coleición de toles variedaes allegaes nuna categoría, que los sos oxetos son variedaes allegaes y que los sos morfismos son les aplicaciones regulares. El teorema siguiente caracteriza esta categoría:

La categoría de variedaes allegaes ye la dual de la categoría de les k-álxebres amenorgaes y finitamente xeneraes, y los sos homomorfismos.

Espaciu proyectivo

Considérese la variedá V(y=x²). Si dibuxar nun sistema de coordenaes cartesianes llogramos una parábola. Según x crez, vemos que la rimada de la llinia que va dende l'orixe hasta'l puntu (x, x²) faise más y más grande. Según x escai, la rimada de la mesma fai más y más pequeña.

Comparemos esto cola variedá V(y=x³). Ésta ye una ecuación cúbica. Según x crez, la rimada de la llinia dende l'orixe hasta'l puntu (x, x³) faise mayor, como antes. Pero, al contrariu que na anterior, según x escai, la rimada de la mesma llinia faise mayor. Asina que el comportamientu "al infinitu" de V(y=x³) ye distintu del de V(y=x²). Sicasí, ye difícil dar sentíu al conceutu de "al infinitu", si acutamos al espaciu allegáu.

El remediu a esto ye trabayar nel espaciu proyectivo, que tien propiedaes análogues a les d'un espaciu de Hausdorff compautu. Ente otres coses, déxanos faer precisa la noción de "al infinitu" por aciu la inclusión de puntos extra. El comportamientu d'una variedá naquellos puntos extra danos más información sobre ella. Y vese que V(y=x³) tien una singularidá n'unu d'aquellos puntos extra, pero V(y=x²) ye nidiu.

Los primeros xeómetres alxebraicos diéronse cuenta rápido de que l'espaciu proyectivo tien propiedaes enforma meyores que l'allegáu ordinariu. Por casu, el Teorema de Bézout sobre'l númberu de puntos d'intersección ente dos variedaes puede ser amosáu na so forma más afilada namái nel espaciu proyectivo. Por esta razón, esti espaciu tien un papel fundamental na xeometría alxebraica.

El puntu de vista modernu

L'estudiu modernu de la xeometría alxebraica redefine los oxetos básicos del so estudiu. Les variedaes queden subsumidas nel conceutu d'esquema, d'Alexander Grothendieck. Ésti vien de la observación de que si les k-álxebres amenorgaes finitamente xeneraes son oxetos xeométricos, entós quiciabes cualquier aniellu conmutativu podría selo. Como se comprueba asina, ésti ye un nuevu puntu de vista bien granible, y ye la base pa tola investigación moderna en xeometría alxebraica.

Notes y hestoria

Una clase importante de variedaes son les variedaes abelianas, que son aquelles que los sos puntos formen un grupo.

Los exemplos prototípicos son les curves elíptiques, que fueron un preséu fundamental pa la prueba del últimu teorema de Fermat y úsense tamién en criptografía de curves elíptiques.

Ente que muncha de la xeometría alxebraica trata de proposiciones astractes y xenerales sobre variedaes, tamién se desenvolvieron los métodos pa la computación efectiva con polinomios concretos dados. La téunica más importante ye la de les bases de Gröbner, que s'emplega en tolos sistemes d'álxebra computacional.

La xeometría alxebraica foi desenvuelta descomanadamente polos xeómetres italianos a principios del sieglu XX. Enriques clasificó les superficies alxebraiques salvu isomorfismu biracional. L'estilu d'esti grupu de matemáticos foi bien intuitivu y nun tenía'l rigor moderno.

Sobre los años 1930 y 1940, Oscar Zariski, André Weil y otros dieron cuenta de qu'esta disciplina precisaba refundarse por aciu la álxebra conmutativa. La álxebra conmutativa (como l'estudiu de los aniellos conmutativos y los sos ideales) fuera y foi desenvuelta por David Hilbert, Max Noether, Emanuel Lasker, Emmy Noether, Wolfgang Krull y otros. Antes d'ellos nun esistíen fundamento estándar pa la xeometría alxebraica.

Nos años 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck rehicieron la fundamentación faciendo usu de la teoría de fexes. Más tarde, alredor de 1960, desenvolvióse la idea de los esquemes, conjuntamente col refináu aparatu del álxebra homológica. Tres una década de rápidu desenvolvimientu, el campu estabilizar nos años 1970, y surdieron aplicaciones na teoría de númberos y nes más clásiques cuestiones xeométriques de variedaes alxebraiques, singularidaes y módulos.

Referencies esternes

Un llibru clásicu, col llinguaxe d'esquemes:

Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 1, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46900-7
Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 2, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46901-5
Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 3, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46775-6

Testos modernos ensin el llinguaxe d'esquemes:

Griffiths, Phillip, and Harris, Joe, Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, 1994, ISBN 0-471-05059-8
Harris, Joe, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-97716-3
Mumford, David, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, 2nd ed., Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58657-1
Reid, Miles, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35662-8
Shafarevich, Igor, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2

Llibros y referencies pa los esquemes:

Eisenbud, David, and Harris, Joe, The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98637-5
Grothendieck, Alexander, Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l'IHÉS, vols. 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, 1960, 1961, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967
Grothendieck, Alexander, Éléments de géométrie algébrique, vol. 1, 2nd ed., Springer-Verlag, 1971, ISBN 3-540-05113-9
Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-90244-9
Mumford, David, The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians, 2nd ed., Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63293-X
Shafarevich, Igor, Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds, Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2

N'Internet:

Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
Algebraic geometry entry on PlanetMath

Referencies

Enllaces esternos