תרשים מינקובסקי

תרשים מינקובסקי פשוט, המראה פוטון עובר דרך ראשית הצירים (הקו הצהוב)

תרשים מינקובסקי, הידוע גם בתור תרשים חלל-זמן, הוא תרשים הנותן ייצוג ויזואלי של תכונות החלל והזמן בתורת היחסות הפרטית. התרשים פותח בידי הרמן מינקובסקי בשנת 1908, והוא נותן הערכה כמותית לתופעות כמו תופעת התארכות הזמן וטרנספורמציות לורנץ ללא שימוש במשוואות המתמטיות המתאימות.

תרשים מינקובסקי הוא גרף דו-ממדי המתאר אירועים שקורים ביקום עם מימד חלל אחד ומימד זמן אחד. הציר האופקי בתרשים מינקובסקי מתאר את המיקום התלת־ממדי של גוף או אירוע, והציר האנכי את הזמן, בניגוד לגרף מיקום כתלות בזמן של גוף בתנועה חד־ממדית בו הציר האנכי מתאר את המיקום ואילו הציר האופקי מתאר את הזמן. בנוסף, היחידות על הצירים נבחרו כך שעצם הנע במהירות האור יצור זווית של 45 מעלות עם הצירים, או יהיה בעל שיפוע של 1.

באופן כזה - כל עצם, כגון צופה או כלי רכב - יוצר קו מסוים בתרשים, וקו זה נקרא קו העולם שלו. כל נקודה בתרשים מציינת נקודה מסוימת במרחב החלל והזמן וכל נקודה כזאת נקראת אירוע, ללא קשר אם קורה בה משהו רלוונטי.

לדוגמה, קו העולם של גוף העומד במקומו יהיה מקביל לציר הזמן.

תכונות התרשים

התרשים יכול לבוא לידי שימוש בשני מצבים, מצב כללי ומצב פרטי. באופן כללי, תרשים מינקובסקי הוא ייצוג גרפי דו־ממדי של חלק של מרחב מינקובסקי, כאשר ברוב המקרים המרחב התלת־ממדי שאנו מכירים מקוצץ לממד אחד בגרף – ציר ה-x. בגרף תלת־ממדי יחידות המידה של התרשים מותאמות כך שקונוס האור באירוע מסוים יוצר שיפוע בגרף ששווה לאחד או מינוס אחד (כלומר, אם $ct=mx+n$, אז $m=\pm 1$) דרך אירוע זה. כלומר, כל קרני האור שיכולות להגיע לאירוע מסוים, נכללות בקונוס זה, כפי שמודגם בתרשים.

קו אופקי בתרשים כללי זה ייצג אירועים בו זמניים במקומות שונים, בזמן שקו אנכי ייצג אירועים בו מקומיים בזמנים שונים – כל זה מנקודת מבט של צופה במנוחה בראשית הצירים.

אירועים במרחב מינקובסקי

תרשים מינקובסקי פרטי מדגים את התוצאה של מקרה של טרנפורמציית לורנץ. טרנפורמציית לורנץ מקשרת בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות, כאשר יש צופה אחד שנמצא במנוחה בראשית הצירים (לצורך הדיון, הצירים מנקודת המבט שלו יסומנו ב-x ו-ct) וצופה שני שמתחיל את תנועתו בראשית הצירים אך נע במהירות הגדולה ממהירות הצופה הנמצא במנוחה (הצירים מנקודת המבט שלו יסומנו ב-x' ו-ct'). ציר הזמן של הצופה השני יוצר זווית α עם ציר הזמן של צופה הראשון כאשר α<π/4 (ברדיאנים; ראו תרשים ראשון). במסגרת ייחוס זו, מצבים בו זמניים מתרחשים לאורך קו המוטה בזווית α יחסית לקו הבו-זמניות של הצירים x ו-ct. קו זה מייצג גם את ציר x'. גם זוג הצירים של הצופה הראשון וגם זוג הצירים של הצופה השני מקיימים את התכונה שהם ניצבים ביחס למכפלה הפנימית של מינקובסקי או מכפלה סקלרית יחסית. בנוסף, הישר ct=x משמש כחוצה זווית אוניברסלי, ללא קשר לגודל הזווית α.

תרשים דרך-זמן בפיזיקה ניוטונית

תרשים מינקובסקי עם אירוע A

באיור, הצירים השחורים x ו-ct הם מערכת הקוארדינטות של הצופה שנמצא במנוחה וממוקם בנקודה x=0. קו העולם של צופה זה נמצא על ציר ct. כל קו אחר שמקביל לציר זה נמצא גם הוא במנוחה במיקום אחר. הקו הכחול מייצג תנועה של עצם כלשהו (למשל, צופה אחר) במהירות קבועה v ימינה.

הקו הכחול 'ct יכול להתפרש בתור ציר הזמן של הצופה השני. יחד עם ציר המיקום המסומן ב-x (שזהה עבור שני הצופים), זוהי מערכת הקוארדינטות שלו. שני הצופים מסכימים על ראשית הצירים. הצירים של הצופה שבתנועה אינם מאונכים זה לזה, והמידות בציר הזמן שלו מתארכות. על מנת למצוא את הקוארדינטות של אירוע מסוים צריך להעביר שני קווים, אחד מקביל לכל ציר ולמצוא את נקודת החיתוך אחד עם השני.

באופן כזה, מציאת המיקום והזמן של האירוע A בתרשים מוביל לכך ששני הצופים יראו שהאירוע קורה באותו הזמן. שני הצופים מקבלים תשובות שונות על מיקום האירוע כיוון שהצופה השני הלך לכיוון מיקום האירוע. באופן כללי, כל האירועים המתרחשים על קו מקביל לציר ה-x מתרחשים בו זמנית עבור שני הצופים.

יש רק זמן אחד אוניברסלי 't=t שיוצר ציר מיקום אחד משותף. מצד שני, בעקבות שני צירי הזמן השונים הצופים בדרך כלל ימדדו קואורדינטות דרך שונות עבור אותו האירוע. התרגום הגרפי של x ו-t ל-'x ו-'t מתוארת באופן מתמטי בטרנספורמציית גליליי.

תרשים מינקובסקי ביחסות הפרטית

אלברט איינשטיין גילה בשנת 1905 שהתיאור הניוטוני שגוי, ובשנת 1908 הרמן מינקובסקי הוסיף את התיאור הגרפי. לחלל והזמן יש תכונות אשר מובילות לחוקים שונים בתרגום מערכת הקואורדינטות במקרים של צופים בתנועה. לדוגמה, אירועים המשוערים שהתרחשו בו זמנית מנקודת מבט של צופה אחד התרחשו בזמנים שונים מנוקדת מבטו של צופה אחר.

בתרשים מינקובסקי, היחסיות של הבו-זמניות מתאימה לקיום של ציר מרחק שונה עבור הצופה שבתנועה. בעקבות יחסיות זו, כל צופה מתייחס לכל האירועים על קו המקביל לקו הדרך שלו כאל אירועים המתרחשים בו- זמנית.

אם נשתמש ב-ct במקום t על ציר הזמן, הזווית α בין שני צירי הדרך x ו-'x תהיה שווה לזווית בין שני צירי הזמן ct ו-'ct. זה נובע מההנחה שמהירות האור היא קבועה עבור כל הצופים, ללא קשר למהירותם היחסית.

הזווית α ניתנת בעזרת:

$\tan \alpha =v/c=\beta$

תרגום היחידות מ-x ו-t ל-'x ו-'t מתואר באופן מתמטי בטרנספורמציית לורנץ. המידות על הצירים יהיו כדלקמן: אם U היא יחידת מידה אחת על הצירים ct ו-x אז יחידת מידה אחת ב-'ct ו-'x תהיה:

$U'=U\cdot {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}$

ציר ה-ct הוא קו העולם של שעון במנוחה בראשית הצירים, ואילו U מייצג את משך הזמן בין שני אירועים, הנקרא גם הזמן העצמי בין שני אירועים אלה. האורך U מייצג את האורך במנוחה, או האורך העצמי של מוט הנמצא בראשית הצירים. אותו פירוש ניתן גם ל-'U עבור הצירים 'ct ו-'x.

לקריאה נוספת

• הרמן מינקובסקי
• מרחב-זמן
• תורת היחסות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תרשים מינקובסקי בוויקישיתוף