תלות ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי , אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.
לדוגמה, שלושת הווקטורים
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
בלתי תלויים ליניארית .
(
2
,
−
1
,
1
)
,
(
1
,
0
,
1
)
,
(
3
,
−
1
,
2
)
{\displaystyle (2,-1,1),(1,0,1),(3,-1,2)}
תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).
יהי
V
{\displaystyle V}
מרחב וקטורי מעל שדה
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V}
תלויים ליניארית מעל
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
סקלרים
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
F
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {F} }
אפסים , עבורם
∑
i
=
1
n
a
i
v
i
=
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle \sum _{i\,=\,1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
בלתי תלויים ליניארית , או בקיצור בת"ל.
מכאן נובע כי הווקטורים
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
אם ורק אם מן השוויון
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
a
i
=
0
{\displaystyle a_{i}=0}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
עריכה
תלות ליניארית בין וקטורים
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
n
{\displaystyle n}
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
אם קיימת תלות כזו, הווקטורים תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
מרחב וקטורי , שהוא תת-מרחב של
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}
הווקטורים
(
1
,
1
)
,
(
2
,
−
3
)
{\displaystyle (1,1),(2,-3)}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
הוכחה:
יהיו
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
(
1
,
1
)
+
b
(
−
3
,
2
)
=
(
0
,
0
)
(
a
−
3
b
,
a
+
2
b
)
=
(
0
,
0
)
a
−
3
b
=
0
a
+
2
b
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)\\(a-3b,a+2b)=(0,0)\\a-3b=0\\a+2b=0\end{aligned}}}
אם נפתור עבור
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
=
b
=
0
{\displaystyle a=b=0}
יהי
V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
V
{\displaystyle V}
e
1
=
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
⋮
e
n
=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots &\\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}
אזי
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
הוכחה:
נתבונן בקבוצת סקלרים
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
=
0
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
מתקיים
a
i
=
0
{\displaystyle a_{i}=0}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
