Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone (parfois appelé théorème de convergence monotone) est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctions

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : $-\infty \leq a<b\leq +\infty$) et $f:\left]a,b\right[\to \mathbb {R}$ une fonction croissante. Alors :

• f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon ;
• f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon ;
• f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite, qu'on note respectivement f(x^–) et f(x⁺) ; elles sont finies et vérifient $f(x^{-})\leq f(x)\leq f(x^{+})$.

Plus généralement :

Soient $D$ une partie de $\mathbb {R}$, $f:D\to \mathbb {R}$ une application croissante et $a\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$.

• Si $a$ est adhérent à $D\cap ]-\infty ,a[$ alors$\lim _{a^{-}}f=\sup f(D\cap ]-\infty ,a[)$.
• Si $a$ est adhérent à $D\cap ]a,+\infty [$ alors$\lim _{a^{+}}f=\inf f(D\cap ]a,+\infty [)$.

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par –f ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « +∞ » et « –∞ ».

Énoncé pour les suites

Lorsqu'on prend $D=\mathbb {N}$ et $a=+\infty$ dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit $u=\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite croissante de réels. Alors, $\lim u=\sup u(\mathbb {N} )$. Par conséquent :

• si la suite est majorée alors elle est convergente ;
• si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant $u$ par $-u$.

Articles connexes

• Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.
• Théorème de la bijection (version forte), utilisant parfois le théorème de la limite monotone pour établir la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.