Fonction monotone

fonction ayant un sens de variation constant
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En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres.

Figure 1. Graphe d'une fonction monotone (fonction croissante).
Figure 2. Graphe d'une fonction monotone (fonction décroissante).
Figure 3. Graphe d'une fonction qui n'est pas monotone.

Monotonie en analyse réelle

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Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif.

Définition

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Soient   un intervalle de   et   une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle  .

Monotonie au sens large. On dit que   est[1] :

  • croissante (ou : croissante au sens large) sur   sipour tout couple   tels que  , on a   ;
  • décroissante (ou : décroissante au sens large) sur   sipour tout couple   tels que  , on a   ;
  • monotone (ou : monotone au sens large) sur   si elle est croissante sur   ou décroissante sur  .

Exemple : pour tout réel  , notons ici   la partie entière de   (c'est l'unique entier relatif   tel que  ). La fonction   est croissante sur   mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle   d'extrémités entières.

Monotonie stricte. On dit que   est :

  • strictement croissante sur   si pour tout couple   tels que  , on a  ;
  • strictement décroissante sur I sipour tout couple   tels que  , on a  ;
  • strictement monotone sur   si elle est strictement croissante sur   ou strictement décroissante sur  .

Exemples : soit   un entier strictement positif.

  • La fonction  , est strictement croissante sur  .
    En effet, si   et   sont des réels tels que   et  , alors  . On en déduit par récurrence sur l'entier   que pour tout couple   de réels positifs ou nuls tels que  , on a  .
  • Lorsque   est impair, la fonction  , est strictement croissante sur  .
    En effet, elle est strictement croissante sur   (cf. l'exemple précédent) et impaire.

Remarque 1 : pour qu'une fonction   soit croissante (respectivement strictement croissante) sur  , il faut et il suffit que   soit décroissante (resp. strictement décroissante) sur  .

Remarque 2 : pour qu'une fonction monotone   ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) que   contienne un intervalle non trivial (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) sur lequel   est constante[2].

Propriétés élémentaires

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Opérations algébriques

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Soient deux fonctions croissantes sur  . Alors :

  • leur somme est croissante ;
  • si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant.

On a une propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes.

Composition

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Soient deux fonctions   et  , où   et   sont deux intervalles réels tels que  ; on peut définir la fonction composée  .

Si   est monotone sur   et   monotone sur  , alors   est monotone sur  . Plus précisément :

  • si   et   sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors   est croissante ;
  • si l'une des deux fonctions   ou   est croissante et l'autre décroissante, alors   est décroissante.

On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones.

Injectivité

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Une fonction strictement monotone sur un intervalle   est injective, c'est-à-dire que deux éléments de   distincts ont des images distinctes. En effet, si   sont deux éléments de   distincts on a (en supposant par exemple   strictement croissante) si   alors  ,
si   alors  ,
donc dans les deux cas,   et   sont distincts.
Cette propriété, associée au théorème des valeurs intermédiaires, se révèle utile pour la recherche du nombre de zéros d'une fonction.

Propriétés relatives à la continuité et aux limites

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Théorème de la limite monotone pour une fonction

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Soient   un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante  . Alors :

  •   admet en tout point   de   une limite à gauche et une limite à droite, finies, qu'on note respectivement[3]   et   ; elles vérifient la double inégalité   ;
  •   admet une limite à gauche en  , finie ou égale à   ; cette limite est finie si et seulement si   est majorée.
  •   admet une limite à droite en  , finie ou égale à   ; cette limite est finie si et seulement si   est minorée.

Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant   par  .

Un corollaire de ce théorème est la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.

Une autre application classique concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires réelles.

Points de discontinuité

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Théorème de Froda (1929) : l'ensemble   des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable). En effet, en notant  , la famille   de réels strictement positifs est sommable donc au plus dénombrable pour tout   inclus dans l'intervalle de monotonie. Froda a en fait démontré que pour une fonction réelle quelconque, l'ensemble des points de discontinuité de première espèce est au plus dénombrable. Or pour une fonction monotone, le théorème de la limite monotone dit exactement que ce type de discontinuité est le seul possible.

Monotonie et signe de la dérivée

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Une utilisation classique et importante du calcul différentiel est la caractérisation, parmi les fonctions dérivables (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.

Théorème — Soient   un intervalle réel et   une application dérivable.

  1.   est :
    • croissante si et seulement si pour tout   ;
    • décroissante si et seulement si pour tout   ;
    • constante si et seulement si pour tout  .
  2.   est strictement croissante si et seulement si pour tout   et de plus l'ensemble des points où la dérivée   s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial). Un théorème analogue caractérise, parmi les fonctions dérivables, celles qui sont strictement décroissantes.
Remarques
  • Il en résulte qu'une condition suffisante pour qu'une fonction dérivable   soit strictement croissante sur   est que pour tout  . Mais cette condition n'est nullement nécessaire, comme le montrent l'énoncé du théorème et les deux exemples suivants.
  • Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-ensemble dénombrable : cf. Inégalité des accroissements finis.
Exemple 1
La fonction  , est strictement croissante sur   (cf. Exemples dans le § Monotonie stricte). Le critère ci-dessus permet de le redémontrer :
  • elle est dérivable, et pour tout réel   ;
  • de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est   ; il est d'intérieur vide.
Exemple 2
La fonction  , est strictement croissante sur  . En effet :
  • elle est dérivable, et pour tout réel   ;
  • de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est  , qui est d'intérieur vide (il est même dénombrable).
Exemple 3
La fonction   est constante. En effet, les dérivées de   et  , définies sur  , sont opposées l'une de l'autre donc sur   est nulle et   est constante. Ainsi, pour tout   dans   (et même dans  , par continuité),  .

Propriétés liées à la théorie de l'intégration

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Une fonction croissante est dérivable presque partout (on montre d'abord – grâce à l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood – que ses quatre dérivées de Dini sont finies presque partout, puis – grâce au théorème de recouvrement de Vitali – qu'elles sont égales[5],[6] ; une autre méthode pour cette seconde étape[7] est de la démontrer dans le cas où la fonction est continue – grâce au lemme du soleil levant – puis de remarquer que toute fonction croissante est somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut » et que cette dernière est presque partout de dérivée nulle).

On en déduit deux corollaires :

Monotonie en topologie

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Une application   entre deux espaces topologiques est dite monotone si chacune de ses fibres est connexe c'est-à-dire que pour tout   dans   l'ensemble   (qui peut être vide) est connexe.

Monotonie en analyse fonctionnelle

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En analyse fonctionnelle, un opérateur   sur un espace vectoriel topologique   (qui peut être non linéaire) est appelé opérateur monotone si

 

Le théorème de Kachurovskii (en) montre que les dérivées des fonctions convexes sur les espaces de Banach sont des opérateurs monotones.

Monotonie en théorie des ordres

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La théorie des ordres traite des ensembles partiellement ordonnés et des ensembles préordonnés généraux, en plus des intervalles de réels. La définition ci-dessus de la monotonie est également pertinente dans ces cas. Par exemple, considérons une application   d'un ensemble ordonné   dans un ensemble ordonné  .

  •   est appelée une application croissante (resp. application strictement croissante) si elle préserve l'ordre (resp. strictement l'ordre), c'est-à-dire que si deux éléments   et   de   vérifient   (resp.  ), alors leurs images respectives par   vérifient   (resp.  ).
  •   est appelée une application décroissante (resp. application strictement décroissante) si elle renverse l'ordre (resp. strictement l'ordre), c'est-à-dire que si deux éléments   et   de   vérifient   (resp.  ), alors leurs images respectives par   vérifient   (resp.   )

Les applications monotones sont centrales dans la théorie des ordres. Certaines applications monotones remarquables sont les plongements d'ordres (applications pour lesquelles   si et seulement si   et les isomorphismes d'ordre (les plongements d'ordres qui sont surjectifs).

Notes et références

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  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. III.7.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  3. C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel et al., Mathématiques tout-en-un MPSI, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 507.
  4. Voir « Dérivée et sens de variation » sur Wikiversité.
  5. (en) Russel A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, AMS, , 395 p. (ISBN 978-0-8218-3805-1, lire en ligne), p. 55-56
  6. (en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. Bruckner et Brian S. Thomson, Real Analysis, , 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5, lire en ligne), p. 269
  7. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS, (lire en ligne), p. 129-135
  8. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, , 2e éd., 341 p. (ISBN 978-0-486-66509-2, lire en ligne), p. 235-236

Articles connexes

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