Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Es bildet die Grundlage für den Satz des Pythagoras, für Sinus und Kosinus und weitere trigonometrische Funktionen.

Bezeichnungen

Als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze $\alpha$) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Berechnung und Konstruktion

Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse $c$ und Winkel $\beta$

SSS-Fall: kleinstes Tripel: $(3,4,5)$

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Des Weiteren ist die Höhe $h_{a}$ gleich der Kathete $b$ sowie die Höhe $h_{b}$ gleich der Kathete $a$.

• Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.

Die Kathete $b$ senkrecht auf die Kathete $a$ anordnen. Der Abstand $|{\overline {AB}}|$ ergibt die fehlende Hypotenuse $c$ und somit das Dreieck $ABC$.

• Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.

Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt $M$ den Thaleskreis ziehen. Ist z. B. die Kathete $b$ gegeben, schneidet der Kreisbogen um $A$ mit dem Radius $b$ den Thaleskreis in $C$. Die Verbindung $C$ mit $B$ vollendet das Dreieck $ABC$.

• Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW- bzw. SWW-Fall behandeln.

Ist z. B. die Kathete $a$ und der Winkel $\beta$ gegeben (WSW-Fall), wird ab $B$ eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete $a$ den Winkel $\beta$ bildet. Die abschließende Senkrechte auf $a$ ab $C$ schneidet die gerade Linie in $A$ und erzeugt somit das Dreieck $ABC$.

Ist z. B., wie im nebenstehenden Bild zu sehen, die Hypotenuse $c$ und der Winkel $\beta$ gegeben (SWW-Fall), wird $c$ halbiert und über den Mittelpunkt $M$ der Thaleskreis gezogen. Beim Festlegen des Winkels $\beta$ mit Scheitel $B$ ergibt sich $C$ auf dem Thaleskreis und damit die Kathete $a$. Die Verbindung $C$ mit $A$ liefert die Kathete $b$ und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck $ABC$.

• Stehen im SSS-Fall die Seiten zueinander im Verhältnis gleich dem eines pythagoreischen Tripels, beispielsweise $(3,4,5)$, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt	${\begin{aligned}A&={\frac {a\cdot b}{2}},\\A&=\rho \cdot (\rho +2\cdot r)\end{aligned}}$
Hypotenuse	${\begin{aligned}c&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\c&={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\c&={\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}c&={\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\\c&={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {a}{\cos(\beta )}}\end{aligned}}$
Kathete	${\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}},\\a&={\frac {b\cdot h_{c}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}},\\a&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c-{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a&=c\cdot \sin(\alpha )=c\cdot \cos(\beta ),\\a&=b\cdot \tan(\alpha )=b\cdot \cot(\beta )\end{aligned}}$
	${\begin{aligned}b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}},\\b&={\frac {a\cdot h_{c}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\b&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c+{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}b&=c\cdot \cos(\alpha )=c\cdot \sin(\beta ),\\b&=a\cdot \cot(\alpha )=a\cdot \tan(\beta )\end{aligned}}$
Umfang	${\begin{aligned}U&=a+b+c,\\U&=2\cdot \rho +4\cdot r\end{aligned}}$
Höhe	${\begin{aligned}h_{c}&={\frac {a\cdot b}{c}},\\{\frac {1}{h_{c}^{2}}}&={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{c}&=b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \cos(\alpha ),\\h_{c}&=a\cdot \sin(\beta )=b\cdot \cos(\beta )\end{aligned}}$
Winkel	$\alpha +\beta =\gamma =90^{\circ }$	${\begin{aligned}\alpha &=\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right),\\\alpha &=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)\end{aligned}}$
		${\begin{aligned}\beta &=\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right),\\\beta &=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)\end{aligned}}$
Inkreisradius	$\rho ={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}$
Ankreisradien	${\begin{aligned}\rho _{a}&={\frac {a\cdot b}{c-(a-b)}}={\frac {c+(a-b)}{2}},\\\rho _{b}&={\frac {a\cdot b}{c+(a-b)}}={\frac {c-(a-b)}{2}},\\\rho _{c}&={\frac {a\cdot b}{(a+b)-c}}={\frac {(a+b)+c}{2}}={\frac {U}{2}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho \cdot \rho _{c}=\rho _{a}\cdot \rho _{b}=A,\\\rho _{c}-\rho =\rho _{a}+\rho _{b}=c,\\\rho _{c}+\rho =a+b,\\\rho _{a}-\rho _{b}=a-b\\\end{aligned}}$
Umkreisradius	$r={\frac {c}{2}}$

Sätze

Pythagoras

→ Hauptartikel: Satz des Pythagoras

• Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind $a$ und $b$ die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist $c$ die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von $90^{\circ }$ ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.

• Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras). Die Höhe $h=h_{c}$ eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile $p$ und $q$, sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten $p$, $a$, $h$ und $q$, $h$, $b$ wiederum rechtwinklig sind. Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben ($a$, $b$, $c$, $p$, $q$ und $h$) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Satz des Pythagoras	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Kathetensatz	$a^{2}=c\cdot p$
	$b^{2}=c\cdot q$
Höhensatz	$h^{2}=p\cdot q$

Thales

→ Hauptartikel: Satz des Thales

• Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

Höhensatz, Kathetensatz und trigonometrische Funktion

→ Hauptartikel: Höhensatz, Kathetensatz und Trigonometrische Funktion

• Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

• Die trigonometrischen Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen.

Satz von Eddy

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, „ist aber sicher schon sehr viel älter“.

Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)

Bild 1: Beweis durch Symmetrie

„Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flächen.“

Es sei ein beliebiges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c,$ dem Hypotenusenquadrat $c^{2}$ und mit der Winkelhalbierenden $wh$ des rechten Winkels am Scheitel $C.$ Die Winkelhalbierende $wh$ schneidet im Punkt $F$ sowie im Punkt $G$ das Hypotenusenquadrat $c^{2}$ in zwei Vierecke $ADGF$ und $GEBF.$

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1, gleichermaßen der Geometrische Beweis durch Ergänzung für den Satz des Pythagoras.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

• Die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ müssen kongruent sein.
• Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende $wh$ durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}$ verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt $M$ der Hypotenuse $c$ bestimmt, anschließend der Kreis $k_{1}$ mit dem Radius $|{\overline {MB}}|$ um $M$ eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers $|{\overline {AB}}|$ mit den soeben erzeugten Schnittpunkten $H,$ $I$ und $J$ eingetragen. Der Schnittpunkt $I$ entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$ Abschließend noch den Punkt $A$ mit $I$ verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck $AIC$ hat am Scheitel $M$ den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich $90^{\circ }.$ Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel $ACI$ folglich die Winkelweite $45^{\circ },$ damit verläuft die Winkelhalbierende $wh$ ebenfalls durch den Mittelpunkt $I$ des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke $ADGF$ und $GEBF$ gleiche Flächeninhalte.

Weitere Sätze

• In dem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ schneiden die Kreise um $A$ und $B$ mit den Radien $|{\overline {AC}}|$, bzw. $|{\overline {BC}}|$ die Hypotenuse ${\overline {AB}}$ in den Punkten $D$ und $E$.

Dann hat die Strecke ${\overline {DE}}$ dieselbe Länge wie der Durchmesser des Inkreises (Figuren 1 und 2).

Beweis:

Die Differenz aus der Summe der Kathetenlängen und der Hypotenusenlänge beträgt $(x+r)+(y+r)-(x+y)=2r$ (Figur 2).

Somit hat die Überlappung der bis zur Hypotenuse gedrehten Katheten die Länge $2r={\overline {DE}}$ (Figuren 1 und 2).

• In dem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ ist die Summe der Inkreisradien $r$, $r_{1}$ und $r_{2}$ der Dreiecke $ABC$, $ADC$ und $DBC$ gleich der Länge der Höhe $CD$ (Figuren 2, 3 und 4).

Beweis:

$2r+2r_{1}+2r_{2}=({\overline {AC}}+{\overline {BC}}-{\overline {AB}})+({\overline {AD}}+{\overline {CD}}-{\overline {AC}})+({\overline {BD}}+{\overline {CD}}-{\overline {BC}})=2{\overline {CD}}$ (Figuren 2, 3 und 4).

Hieraus folgt die Behauptung, nämlich $r+r_{1}+r_{2}={\overline {CD}}$

• 
  Figur 1
• 
  Figur 2
• 
  Figur 3
• 
  Figur 4

• In einem rechtwinkligen Dreieck halbiert die Winkelhalbierende des rechten Winkels auch den von der Höhe und der Seitenhalbierenden auf der Hypotenuse eingeschlossenen Winkel (Figur 5).

Figur 5

Figur 6

Beweis:

In dem gelben rechtwinkligen Dreieck sind $CD$ die Winkelhalbierende, $CH$ die Höhe und $CM$ die Seitenhalbierende des rechten Winkels. Es ist zu zeigen, dass $CD$ auch den Winkel $\angle MCH$ halbiert.

Das Dreieck ist dargestellt als Teil eines Quadrats mit der Seitenlänge $b$. Die Strecken ${\overline {CH}}$, ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CM}}$ sind bis zu ihren jeweiligen Schnittpunkten $Q$ bzw. $R$ bzw. $S$ mit den Quadratseiten verlängert. Die Behauptung folgt dann aus der paarweisen Kongruenz der rechtwinkligen Dreiecke $ABC$, $CQP$ und $CAS$ (Übereinstimmung in ihren Kathetenlängen a und b und dem eingeschlossenen rechten Winkel) sowie der daraus resultierenden Kongruenz der Dreiecke $CRQ$ und $CSR$, aus denen sich das zu der Diagonalen $CR$ symmetrische (Drachen-)Viereck $CSRQ$ zusammensetzt.

• Verbindet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenmittelpunkte mit dem Höhenfußpunkt auf der Hypotenuse, so hat das aus den beiden Verbindungsstrecken und den beiden jeweils halben Katheten gebildete Viereck einen rechten Innenwinkel beim Höhenfußpunkt (Figur 6).

Beweis:

$HK$ ist die Seitenhalbierende von $CA$ im rechtwinkligen Dreieck $CAH$ und $HL$ die Seitenhalbierende von $CB$ im rechtwinkligen Dreieck $BCH$. Deshalb ist $|{\overline {HK}}|$ Thaleskreisradius von $CAH$ und $|{\overline {HL}}|$ Thaleskreisradius von $BCH$. Daraus folgt, dass das Dreieck $AHK$ gleichschenklig mit der Schenkellänge ${\tfrac {b}{2}}$ und den Basiswinkeln $\angle HAK$ und $\angle KAH$ und das Dreieck $HBL$ gleichschenklig mit der Schenkellänge ${\tfrac {a}{2}}$ und den Basiswinkeln $\angle BHL$ und $\angle LBH$ ist. Da die Winkel $\angle HAK$ und $\angle KHA$ bzw. $\angle LBH$ und $\angle BHL$ jeweils dieselben Weiten haben und das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, addieren sich die Winkelweiten von $\angle KHA$ und $\angle BHL$ zu $90^{\circ }$. Damit hat auch der Winkel $\angle LHK$ die Weite $90^{\circ }$, woraus die Behauptung folgt.

Folgerung:

Wegen der Längengleichheit der Strecken ${\overline {CL}}$ und ${\overline {LH}}$ sowie der Strecken ${\overline {CK}}$ und ${\overline {KH}}$ ist das grüne Viereck $CKHL$ ein spezielles Drachenviereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln. Seine diagonale Symmetrieachse $LK$ teilt es in die rechtwinkligen Dreiecke $KLC$ und $LKH$, die einen gemeinsamen Thaleskreis besitzen. Hieraus folgt, dass das Drachenviereck $CKHL$ auch ein Sehnenviereck ist.

• Der Inkreisradius r eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c ist auf zwei Arten in Abhängigkeit von den drei Seitenlängen darstellbar (Figur 7):

$r={\frac {ab}{a+b+c}}$

$r={\frac {a+b-c}{2}}$

Figur 8

Figur 7

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck. Mit Hilfe von Figur 7 ergibt sich

$ab=r(a+b+c)$,

woraus unmittelbar die erste Behauptung folgt.

In Figur 8 lässt sich

$c=(a-r)+(b-r)$

ablesen. Durch einfache Umformung erhält man sofort die zweite Behauptung.

Ungleichungen

→ Hauptartikel: Ungleichung

Abb. 1: $a+b\leq c{\sqrt {2}}$

Abb. 2: $a+b=c{\sqrt {2}}$

Für die Katheten $a$ und $b$ gilt $(a-b)^{2}\geq 0$, also $a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b$. Addition von $a^{2}+b^{2}$ ergibt $2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}\geq a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$, also $2\cdot (a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$. Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus $c^{2}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}$ und die Ungleichungen

$c\geq {\frac {a+b}{\sqrt {2}}}\geq {\sqrt {2\cdot a\cdot b}}$

Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Die linke Ungleichung wird auch als Dreiecksungleichung für rechtwinklige Dreiecke bezeichnet (siehe Abb. 1 für den Fall der Ungleichheit und Abb. 2 für den Fall der Gleichheit).

Division von $4\cdot a\cdot b\leq (a+b)^{2}$ durch die linke Ungleichung ergibt ${\frac {4\cdot a\cdot b}{c}}\leq {\sqrt {2}}\cdot (a+b)$. Wegen $h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}$ folgt daraus

$h_{c}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$

Aus $c^{2}=a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b$ folgt wegen $a>0$, $b>0$, $c>0$ für die Kehrwerte ${\frac {1}{c^{2}}}\leq {\frac {1}{2\cdot a\cdot b}}$, also ${\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}$. Multiplikation mit $a\cdot b$ auf beiden Seiten ergibt ${\frac {a\cdot b}{c}}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}$. Wegen $h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}$ folgen daraus die genaueren Ungleichungen

$h_{c}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$

Die Gleichungen $c={\frac {a+b}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2\cdot a\cdot b}}$ und $h_{c}={\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}={\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$ gelten genau dann, wenn $a=b$, also für ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln $45^{\circ }$, $45^{\circ }$ und $90^{\circ }$.

Ausgezeichnete Punkte

Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten $U,$ $S,$ $I$ und $H,$ darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises $F$ mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden $e.$

→ Hauptartikel: Kreise am Dreieck und Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt $H$ (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt $C$, und der Umkreismittelpunkt $U$ (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite $c.$ Der Schwerpunkt $S$ (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt $I$ (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt $F$ des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke ${\overline {HU}}$ und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes $H,$ nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte $J,M$ und $O$ sowie die Höhenfußpunkte $D$ und $G.$ Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich $E$ und $N,$ liegen auf den Seitenmittelpunkten $J$ bzw. $M.$ Der dazugehörende dritte Mittelpunkt $K$ liegt auf dem Scheitelpunkt $C.$ Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt $L$ auf dem Höhenschnittpunkt $H.$

Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar. Die Punkte $U$, $S$, $F$ und $H$ befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade $e$ (rot).

Andere Dreiecke

• Gleichseitiges Dreieck
• Gleichschenkliges Dreieck
• Spitzwinkliges Dreieck
• Stumpfwinkliges Dreieck

Weblinks

Commons: Rechtwinkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Hypotenuse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Kathete – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: rechtwinkliges Dreieck. In: MathWorld (englisch).