Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.

Die Verteilung wurde 1972^[1] von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Sei

$V_{n,p}:=V_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als $V_{n,p}=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=I_{p},\;p\leq n\}$ identifizieren,
$[dX]$ das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf $V_{n,p}$ ,
${}_{0}F_{1}^{(2)}(b;S)$ die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. $b\in \mathbb {C}$ und $S\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ symmetrisch,
$\operatorname {etr} (S)=\exp(\operatorname {tr} (S))$ ,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum $n\times p$ -Parameter $F$ definiert als^[2]

L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.

${}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)$ kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Normalisierungskonstante

Die Integraldarstellung

\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)

wurde 1961^[3] von Alan T. James bewiesen. Sei $F$ vom Rang $p$ und $F=MDV^{T}$ die Singulärwertzerlegung, dann gilt

{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)

mit $D^{2}=\operatorname {diag} (d_{1}^{2},\dots ,d_{p}^{2})$ .

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

M_{X}(Z)=\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)\operatorname {etr} (ZX)[dX]={\frac {{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}(F'+Z)(F'+Z)'\right)}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}}.

^[4]

Verallgemeinerung

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit $S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\}$ , wobei $C$ eine positiv definite $p\times p$ -Matrix ist.^[5]

Literatur

Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).
Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch).
Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch).

Einzelnachweise

↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817.
↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281.
↑ Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980.
↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282.
↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.

[1] Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817.

[2] Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281.

[3] Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980.

[4] Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282.

[5] Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.

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