Формула Эйлера

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) $x$ выконваецца наступная роўнасць:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

,

дзе

e

— адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай:

e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}

,

i

— уяўная адзінка.

Гісторыя

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе^[1] і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара^[2]. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд^[3]:

\ln(\cos x+i\sin x)=ix.

Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748)^[4], пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

Вытворныя формулы

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі $\sin$ і $\cos$ наступным чынам:

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.

Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай $x=iy$ , тады:

\sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y,

\cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y.

Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

e^{i\pi }+1=0

з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры $x=\pi$ .

Прымяненне ў камплексным аналізе

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.

Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

x=|x|e^{i\varphi }

,

x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.

Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку $x$ ў ступень $n$ яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень $n$ , а вугал павароту адносна восі $OX$ павялічваецца ў $n$ разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых $n$ , але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Узаемасувязь з трыганаметрыяй

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

\cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}

\sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.

Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\;

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;

з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:

\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),

\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).

Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}

Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

{\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

Доказ

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю $e^{ix}$ у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях $x$ . Атрымаем:

$e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Але

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x$

${\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Таму $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ , што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая форма камплекснага ліку

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік $z$ у трыганаметрычнай форме мае выгляд $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ . Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем: