Рад Тэйлара

Мнагачлены Тэйлара пры нарастанні іх ступеней набліжаюцца да функцыі. Тут паказаны sin(x) і яго прыбліжэнні мнагачленамі Тэйлара ступеней 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

Паказчыкавая функцыя (блакітная крывая), і сума першых n+1 членаў яе рада Тэйлара ў пункце 0 (чырвоная крывая).

У матэматыцы, рад Тэ́йлара — прадстаўленне функцыі ў выглядзе бесканечнай сумы ступенных складнікаў, лікавыя каэфіцыенты пры якіх вылічваюцца праз значэнні вытворных функцыі ў нейкім пэўным пункце:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}.$

Ідэя радоў Тэйлара была фармальна ўведзена англійскім матэматыкам Брукам Тэйларам у 1715 годзе. Калі рад Тэйлара будуецца ў пункце x₀ = 0, выгляд рада спрашчаецца:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}.$

Такія рады называюцца радамі Маклорэна, у гонар шатландскага матэматыка Коліна Маклорэна, які шырока выкарыстоўваў гэты асобны выпадак у 18-м стагоддзі.

Адно з галоўных прымяненняў радоў Тэйлара — прыбліжэнне функцый. На практыцы, каб прыбліжана вылічыць значэнне функцыі, бяруць некаторы канечны лік складнікаў рада (па сутнасці, замяняючы рад так званым мнагачленам Тэйлара). Пры гэтым колькасныя ацэнкі пагрэшнасці атрымліваюцца з тэарэмы Тэйлара. Рад Тэйлара функцыі ёсць граніца паслядоўнасці мнагачленаў Тэйлара гэтай функцыі пры нарастанні іх ступеней. Функцыя можа не быць роўнай свайму раду Тэйлара, нават калі ён збягаецца ва ўсіх пунктах. Функцыі, роўныя свайму раду Тэйлара ў адкрытым прамежку (або ў адкрытым крузе на камплекснай плоскасці), называюцца аналітычнымі.

Азначэнне

Няхай ƒ(x) — некаторая рэчаісна- ці камплексназначная функцыя, бясконца дыферэнцавальная ў рэчаісным ці камплексным пункце a.

Тады рад Тэйлара функцыі ƒ(x) у пункце a — гэта ступенны рад, пабудаваны наступным чынам:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

што з дапамогай знака сумы можна запісаць як

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}.$

дзе n! — фактарыял ліку n, а ƒ ⁽ⁿ⁾(a) — значэнне n-ай вытворнай функцыі ƒ у пункце a. Па азначэнню, вытворная функцыі ƒ нулявога парадку ёсць сама функцыя, а (x − a)⁰ і 0! абодва роўныя 1. У выпадку a = 0 рад таксама называецца радам Маклорэна.

Прыклады

Рад Маклорэна для любога мнагачлена супадае з самім мнагачленам.

Рад Маклорэна для (1 − x)⁻¹ у x = 0 ёсць геаметрычны рад

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

такім чынам, рад Тэйлара для x⁻¹ у a = 1:

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

Інтэгруючы вышэйпрыведзены рад Маклорэна, атрымліваем рад Маклорэна для log(1 − x), дзе log абазначае натуральны лагарыфм:

$-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!$

і адпаведны рад Тэйлара для log(x) у a = 1:

$(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!$

а ў агульным выпадку, адпаведны рад Тэйлара для log(x) у некаторым пункце $a=x_{0}$ мае выгляд:

$\log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .$

Рад Тэйлара для паказчыкавай функцыі e^x у a = 0 такі:

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Паказчыкавая функцыя e^x раскладваецца так па x таму, што вытворная функцыі e^x — гэта ізноў e^x, і e⁰ раўняецца 1.

Гл. таксама

• Рад Ларана
• Інтэрпаляцыйны мнагачлен Ньютана