域 (数学)

「域」的各地常用名稱
中国大陸	域
臺灣	體

在抽象代数中，體（德語：Körper，英語：field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由Évariste Galois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定义

給定集合 $K$ ，它具有了以下兩種二元运算：

• $+:K\times K\to K$ （其中 $+(a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a+b$ ）
• $\times :K\times K\to K$ （其中 $\times (a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a\times b$ 或 $a\cdot b$ 甚至是 $ab$ ）

滿足：

1. $\left(K,\,+\right)$ 為交换群，且其單位元為 $0_{K}$ 。
2. $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 為交换群。
3. 分配律：對所有 $a,\,b,\,c\in K$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$。

那稱「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體」，當二元运算的符號不重要時，亦可將 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 簡記為 $K$ 。

慣用符號與稱呼

(1)體的代號：

有時會基於德语 Körper ，以字母 $K$ 代稱體，但也會基於英语 Field 以 $F$ 代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上，$\times$ 被稱為乘法， $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 的單位元會記為 $1_{K}$ ，並稱為 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 的乘法單位元。

類似地， $+$ 被稱為加法， $0_{K}$ 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後，仍依照先乘後加的方式閱讀。

(3)減法與除法：

對於任意 $a,\,b\in K$ ，會依據群的習慣，將 $a$ 的加法逆元素記做 $-a$ ，並將 $b+(-a)$ 簡記為 $b-a$ ，並可暱稱為減法。

類似地，若 $a\neq 0_{K}$ ， $a$ 的乘法逆元素記做 ${\frac {1}{a}}$ ，並將 $b\times {\frac {1}{a}}$ 簡記為 ${\frac {b}{a}}$ ，並可暱稱為除法。

基本性質

定理 （1） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，那對任意 $a\in K$ 有

$0_{k}\times a=a\times 0_{K}=0_{K}$

證明

根據分配律和加法單位元的性質會有

$a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}$

$0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a$

這樣的話，根據加法結合律還有加法單位元的性質有

${\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned}}$

故得証。$\Box$

以上的定理也證明了，只要$\left(K,\,+\right)$ 為交换群且有分配律，就足以決定 $0_{K}$ 相關乘法的值。所以正式定義中把 $0_{K}$ 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

系理 （乘法交換律） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，那對任意 $a,\,b\in K$ 有

$a\times b=b\times a$

系理 （乘法結合律） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，那對任意 $a,\,b,\,c\in K$ 有

$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

定理 （2） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，那對任意 $a,\,b\in K$ 有

$-(a\times b)=(-a)\times b=a\times (-b)$

證明

根據乘法交換律跟分配律有

${\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned}}$

這樣根據定理(1)和加法交換律就有

$(a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}$

所以

$-(a\times b)=[(-a)\times b]$

再考慮到乘法的交換律有

$-(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)$

故得証。$\Box$

定理 （3） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，若 $a,\,b\in K$ 且 $a\neq 0_{K}$ 和 $b\neq 0_{K}$ ，則

${\frac {1}{a\times b}}={\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}$

證明

根據乘法的結合律和交換律，還有乘法單位元的性質會有

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b}}\times {\frac {1}{a}}\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times \left[{\frac {1}{a}}\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b}}\times \left[\left({\frac {1}{a}}\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b}}\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\end{aligned}}$

故得証。$\Box$

定理 （4） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體，那對任意 $a,\,b\in K$ ，若 $a\times b=0_{K}$ ， 則 $a=0_{K}$ 或 $b=0_{K}$。

證明

如果 $K-\{0_{K}\}=\varnothing$ ，那對任意 $a\in K$ 都有 $a=0_{K}$ ，所以以下只考慮 $K-\{0_{K}\}\neq \varnothing$ 狀況。

假設存在 $a,\,b\in K$ 滿足 $a\neq 0_{K}$ 和 $b\neq 0_{K}$ ，但同時 $a\times b=0_{K}$ ，這樣根據定理(1)和(3)有

${\begin{aligned}1_{K}&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times 0_{K}\\&=0_{K}\end{aligned}}$

這顯然是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有的 $a,\,b\in K$ ，只能「 $a,\,b$ 其中一者為 $0_{K}$ 」或「 $a\times b\neq 0_{K}$ 」，也就等價於：

「對所有 $a,\,b\in K$ ，若 $a\times b=0_{K}$ 則 $a,\,b$ 其中一者為 $0_{K}$ 。」

故得証。$\Box$

• 域F中的所有非零元素的集合（一般记作F^×）是一个關於乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时$F$中最小的子域分别是$\mathbb {Q}$或有限域$\mathbb {F} _{p}$，称之为$F$的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

例子

• 許多常见的数域都是域。比如说，全体複數的集合$\mathbb {C}$與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合$\mathbb {Q}$ 與其加法和乘法也是一个域，它是$\mathbb {C}$的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域$\mathbb {Q}$的有限扩域，也就是说代数数域是$\mathbb {Q}$上的有限维向量空间。代数数域都同构于$\mathbb {C}$的子域，并且这个同构保持$\mathbb {Q}$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是有理数域$\mathbb {Q}$的代数闭包（见下）。${\overline {\mathbb {Q} }}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合$\mathbb {R}$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域$\mathbb {C}$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是$\mathbb {R}$的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作F_q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F₂。F₂只含有两个元素0和1，运算法则如下：

$\oplus$ 0 1 0 0 1 1 1 0

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域$\mathbb {C}$就是实数域$\mathbb {R}$在$\mathbb {C}$中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X² + 1>是一个域（同构于复数域$\mathbb {C}$）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于$2^{2^{n}}$的所有自然数构成的子集）都是域。

有限體

有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道$\mathbb {F} _{2}$為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素$1\neq 0$。

通常來說，最簡單的質數階體，就是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}$，此處$p$為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數$\mathbb {\mathbb {Z} }$上的運算，然後除以$p$，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作$\mathbb {F} _{p}$。要注意的是$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}$，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 中 $2\times 2=0$ ，因此 $(\{1,2,3\},\times )$ 不能形成群。

如果我們將向量空間${\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}$，則我們將V稱作有限體向量空間，其中$n=\dim {\mathit {V}}$，可知這個向量空間中，有$p^{n}$個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是$GL_{n}(\mathbb {F} _{p})$，則此矩陣的元素有$(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})$

歷史

歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x₁, x₂, x₃的置換，在以下的表達

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x³的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

伽羅瓦理論

請參見伽羅瓦理論

參見

• 特徵 (代数)
• 環論
• 域論
• 有序域