交換群

交換群者，乘法合交換律之群也，亦曰阿貝爾群。可以加法謂之，則其單位元曰「零」，逆改曰負。

初，阿貝爾以置換之不可交換，證五次多項式無簡約解（阿貝爾–魯芬尼定理）。然天妒英才，終年不過三十。泰西疇人念其功績，名交換群為阿貝爾群也。

例

整數合加法，分數合加法，正數合乘法，非零複數合乘法，同餘集合加法，俱交換群也。

有限生成交換群基本定理

取一集合，含此集之群最小者，曰集之生成群。有限集之生成群，曰有限生成群。

「有限生成交換群基本定理」云：有限生成交換群，乃整數群與同餘群之直積也。（「$G\cong \mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{n_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{n_{r}}$」）

因而得證，有限交換群乃同餘群之直積也。