DISEÑO PARCELAS DIVIDIDAS

DISEÑO PARCELAS DIVIDIDAS Este es un diseño experimental combinado que resulta útil cuando al estudiar simultáneamente varios factores, alguno o algunos de ellos deben ser aplicados sobre unidades experimentales relativamente grandes, pudiéndose aplicar el otro o los otros en unidades experimentales menores, dentro de las unidades mayores. El caso más sencillo es aquél en el que se tienen sólo dos factores, asignando los niveles de uno de ellos a las unidades mayores y los niveles del otro a las subunidades. A las unidades experimentales mayores suele llamárseles parcelas grandes o parcelas principales y a las unidades experimentales menores se le llama subparcelas o subunidades. Se debe notar que además de que los niveles de los diferentes factores son asignados a unidades experimentales de diferentes tamaños, está implícito también un número diferente de repeticiones. El número de repeticiones para el factor asignado a las subunidades es r*a, siendo r el número de repeticiones del factor asignado a las unidades principales y a su número de niveles. El factor correspondiente a las parcelas principales puede asignarse a éstas utilizando cualquiera de los esquemas de aleatorización básicos: Completamente al Azar, en Bloques al Azar o en Cuadro Latino. El factor correspondiente a las subparcelas se asigna al azar dentro de cada parcela principal; en tal sentido, las parcelas principales son análogas a bloques, solo que por asignarse a éstas los niveles de un efecto fijo y por existir repeticiones de las mismas, es posible evaluar tanto los efectos principales del factor asignado a las mismas como su posible interacción con en el otro factor. En adelante nos concentraremos en el caso más sencillo de un Diseño Parcelas Divididas, es decir aquél con sólo dos factores. Todos los resultados obtenidos son generalizables a casos más complejos en los que los tratamientos asignados a las unidades principales, a las subunidades o a ambas estén comformados a su vez por las combinaciones de los niveles de dos o más factores. Supóngase que se quiere realizar un experimento que involucre dos factores: el primero con tres niveles y el segundo con dos, así: a a1 a2 a3 b1 b b2 Se muestran a continuación posibles esquemas de aleatorización considerando los diseños más comunes (Parcelas Divididas y otros), suponiendo que ambos factores tienen igual importancia relativa y que se desean evaluar tanto sus efectos principales como su posible interacción, es decir, descartando la opción de tomar alguno de éstos como factor de bloqueo. Para facilitar la ilustración de los posibles esquemas de aleatorización, se considerarán sólo dos repeticiones, excepto donde el diseño exige tantas repeticiones como tratamientos (Cuadro Latino). Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 2 de 14 1) Diseño Completamente al Azar. a2b2 a1b1 a3b1 a2b1 a1b2 a3b2 a1b1 a3b1 a2b2 a2b1 a1b2 a3b2 2) Diseño Bloques Completos al Azar. Bloque I Bloque II a1b2 a3b1 a2b2 a1b1 a2b1 a3b2 a1b1 a3b2 a1b2 a2b2 a3b1 a2b1 3) Diseño Cuadro Latino (si el número de combinaciones de tratamientos no es muy alto). a1b1 a3b2 a2b1 a3b1 a2b2 a1b2 a2b1 a2b2 a3b2 a1b1 a1b2 a3b1 a3b2 a 1b2 a 2b2 a 2b1 a 3b1 a 1b1 a2b2 a3b1 a1b2 a3b2 a1b1 a2b1 a1b2 a1b1 a3b1 a2b2 a2b1 a3b2 a3b1 a2b1 a1b1 a1b2 a3b2 a2b2 4) Diseño Parcelas Divididas con el factor a asignado a las parcelas principales, distribuido completamente al azar. b1 b2 a3 a1 b2 b2 b1 b1 a1 a2 b1 b2 b2 b1 a2 a3 b1 b2 Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 3 de 14 5) Diseño Parcelas Divididas con el factor a asignado a las Parcelas Principales, distribuido en Bloques Completos al Azar. Bloque I Bloque II a2 a3 b1 b2 a3 b2 b1 a1 b1 b2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 b1 b2 6) Diseño Parcelas Divididas con el factor b asignado a las Parcelas Principales, distribuido Completamente al Azar. b1 b2 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a3 a2 a3 a2 a1 b2 b1 7) Diseño Parcelas Divididas con el factor b asignado a las Parcelas Principales en Bloques Completos al Azar. Bloque I a1 2 a3 a2 a1 1 a2 a3 Bloque II a3 1 a2 a1 a2 2 a3 a1 b b b b Aunque el factor asignado a las parcelas principales podría asignarse a éstas con base en un esquema de aleatorización de Cuadro Latino, no se ilustra aquí por tratarse de una situación muy poco común. Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 4 de 14 Es importante aclarar que la igual importancia relativa entre los dos factores a la que se hace referencia anteriormente tiene que ver básicamente con el hecho de que ninguno de éstos se tome como factor de bloqueo. Hay que anotar, sin embargo, que sólo bajo los tres primeros esquemas de aleatorización, los factores son tratados de la misma manera, es decir que son asignados a unidades del mismo tamaño y cuentan con el mismo número de repeticiones. Esta situación es diferente en el Diseño Parcelas Divididas, pues dado que el factor asignado a las subparcelas cuenta con mayor número de repeticiones, sus efectos son estimados con mayor precisión. USOS. 1. Cuando uno de los factores, por su naturaleza, exige parcelas relativamente grandes, por ejemplo, sistemas de labranza, de irrigación, distancias entre surcos, niveles de luz o de temperatura; mientras que el otro factor permite su aplicación sobre unidades experimentales más pequeñas como variedades, distancia entre plantas, dosis de fertilizantes, etc. 2. Cuando en un experimento se toman varias mediciones sobre la misma unidad experimental a través del tiempo y tales mediciones son independientes, puede considerarse el conjunto de las mediciones realizadas sobre una misma unidad experimental como la Unidad Principal, y cada una de las lecturas realizadas en el tiempo como las subunidades. El análisis es análogo al de un diseño Parcelas Divididas (en el espacio), por lo que se le designa a este diseño como Parcelas Divididas en el Tiempo. 3. Si luego de iniciado el experimento se desea incluir otro factor —y su naturaleza lo permite—, pueden dividirse las unidades experimentales y realizar la aleatorización de los niveles del segundo factor en las subunidades resultantes. 4. Debido a que el factor asignado a las subparcelas cuenta con más repeticiones, los efectos relacionados con éste se estiman con mayor precisión. Aunque muchos autores relacionan esta característica como uno de los criterios para escoger un Diseño Parcelas Divididas, se considera que éste no debería condicionar la escogencia del Diseño y se menciona aquí más como una consecuencia del uso del mismo, cuando se elija con base en alguno de los tres primeros criterios. EJEMPLO. Se estudió el rendimiento forrajero del ramio en función de diferentes frecuencias de corte y niveles de fertilizante. Los niveles de fertilizante se asignaron a las parcelas grandes con base en un diseño de bloques completos al azar (tipos de suelo) con 3 repeticiones; las frecuencias de corte se asignaron a las subparcelas. Correa, Guillermo – Parcelas Divididas Fertilizante (a) 5 de 14 0 kg/ha (a0) 100 kg/ha (a1) 200 kg/ha (a 2) 38 días (b1) 57 días (b2) 76 días (b3) Frecuencias de corte (b) A continuación se presenta un posible esquema de aleatorización Bloque I b3 b1 b2 Bloque II b1 b2 b3 Bloque III b3 b2 b1 b2 b3 b1 b3 b2 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3 b3 b1 b2 b1 b2 b3 La siguiente tabla contiene el rendimiento en kilogramos de forraje verde por parcela, registrado durante un ciclo de producción de 228 días. Tratamientos a0b1 a0b2 a0b3 Y0.k a1b1 a1b2 a1b3 Y1.k a2b1 a2b2 a2b3 Y2.k Y..k I 78.9 68.1 56.9 203.9 84.3 86.8 73.1 244.2 95.6 97.8 90.3 283.7 731.8 Bloques II 72.5 66.1 57.1 195.7 99.3 108.9 73.4 281.6 95.2 108.1 121.4 324.7 802.0 III 78.6 69.3 53.9 201.8 72.9 86.6 61.7 221.2 96.9 99.2 97.6 293.7 716.7 Yij. 230.0 203.5 167.9 601.4 256.5 282.3 208.2 747.0 287.7 305.1 309.3 902.1 Y…=2250.5 Con el fin de ilustrar el proceso de análisis, éste se desglosa en dos partes: el análisis de las Parcelas Principales y el análisis de las Subparcelas. Se inicia con la parte correspondiente a las Parcelas Principales. Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 6 de 14 Bloque I Bloque II Bloque III a1 a2 a0 a0 a1 a2 a2 a0 a1 Se hacen particiones tanto de las sumas de cuadrados como de los grados de libertad correspondientes a las parcelas grandes, acorde con el esquema de aleatorización usado para el factor principal. Bloques: (r − 1) = 2 A: (a − 1) = 2 Error a: (r − 1)(a − 1) = 4 Parcelas Grandes (a * r ) − 1 = 8 Es importante anotar que cuando el factor asignado a las Parcelas Principales se distribuye con base en un Diseño Completamente al Azar, la suma de cuadrados y los grados de libertad de las Parcelas Principales se particiona sólo entre el efecto principal del factor a y el Error a. Totales de las Parcelas Grandes (Combinaciones Bloques*a) (Yi.k) a0 a1 a2 Y..k I 203.9 II 195.7 II 201.8 Yi . . 601.4 244.2 281.6 221.2 747.0 283.7 731.8 324.7 802.0 293.7 716.7 902.1 2250.5 Las Parcelas Grandes están conformadas por las combinaciones Bloques*a (por las combinaciones r*a, en un DCA), ∴ SC (Combinaciones Bloques*a) ≡ SC (Parcelas Grandes) Y. Y ... SC (PG)= ∑ i k − b a *b * r ik 2 2 TC: Término de Corrección. = 203.9 2 + 195.7 2 + ... + 293.7 2 2250.5 2 − = 5961.34 3 3 x3 x3 Correa, Guillermo – Parcelas Divididas SC (Bloques)= ∑ Y .. i SC (A)= i b*r 2 ∑ Y .. − TC = 2 k k a *b − TC = 7 de 14 731.8 2 + 802 2 + 716.7 2 − TC = 460.45 3 x3 601.4 2 + 747.0 2 + 902.12 − TC = 5025.03 3 x3 SC (Error a)= SC (PG) – SC (Bloques) SC (A) = 475.86 Antes de pasar al análisis de las subparcelas, es importante analizar el esquema completo que ilustra la forma en que se particionan tanto las sumas de cuadrados como los grados de libertad. Bloques (r-1)=2 Parcelas Grandes (a*r)-1=8 A (a-1)=2 Error a (r-1)(a-1)=4 Total (a*b*r)-1=26 Tratamientos (a*b-1)=8 B (b-1)=2 Subparcelas a*r(b-1)=18 AB (a-1)(b-1)=4 Error b a(r-1)(b-1)=12 Se inicia el análisis de las Subparcelas con la partición de las sumas de cuadrados de los tratamientos. Totales de las Combinaciones ab (tratamientos) (Yij.) a0 a1 a2 Y.j. b1 b2 b3 230 203.5 167.9 256.5 282.3 208.2 287.7 774.2 305.1 790.9 309.3 685.4 Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 8 de 14 A B AB Tratamientos SC (Tratamientos) ≡ SC (Combinaciones ab) ∑Y . ij SC (combinaciones ab) = SC (B) = ∑ a*r Y . j. 2 − TC j ij r = 2 − TC = 230 2 + 203.5 2 + ... + 309.3 2 − TC = 6703.07 3 774.2 2 + 790.9 2 + 685.4 2 − TC = 714.62 3 x3 SC (AB) = SC (combinaciones ab) – SC (A) – SC (B) = 963.42 SCT = ∑Y ijk 2 − TC = 78.9 2 + 72.5 2 + ... + 97.6 2 − TC = 8101.99 ijk SC (Error b) = SCT – SC (PG) – SC (B) –SC (AB) = 462.61 Tabla resumen del Análisis de Varianza Fuentes de Variación Parcelas Principales Subparcelas Bloque A Error a B AB Error b Total Grados de libertad 2 2 4 2 4 12 26 Sumas de Cuadrados Cuadrados Medios 460.45 5025.03 475.86 714.62 963.42 462.61 8101.99 230.225 2512.515 118.965 357.310 240.855 38.550 Estadísticos F0.05(gln, gld) F 1.935 21.119 6.94 9.268 6.247 3.88 3.26 El efecto principal del factor a (A) se evalúa con el Error a; mientras que el efecto principal del factor b (B) y la interacción AB se evalúan con el Error b. En caso de tener más de dos factores, las interacciones entre factores asignados a las parcelas principales se evalúan con el Error a; las interacciones entre factores asignados a las Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 9 de 14 subparcelas o interacciones de éstos con algún factor asignado a las parcelas principales se evalúan con el Error b. En este caso, puesto que la interacción resultó significativa el siguiente análisis debería ser la evaluación de los efectos simples. No obstante, debido a que en este diseño se generan errores estándar distintos para cada uno de los diferentes grupos de comparaciones, se ilustran las diferentes posibilidades de comparación de medias. COMPARACIONES DE MEDIAS. Los errores estándar que se presentan corresponden a los que se usarían en las pruebas de Duncan o de Tukey. Si se desea trabajar con las pruebas LSD o Scheffé, deberá duplicarse el numerador de la expresión dentro del radical. Sean: CM (Error a):= Ea CM (Error b):= Eb 1. Efectos principales del factor a (A): Corresponde en este caso a la comparación del efecto promedio de los tres niveles de fertilizante. SY = Ea b*r = 118.965 =3.64 3 x3 El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY p r0.05(gl Error a=4) 2 3.93 3 4.01 ALS 14.30 14.60 a0 < a1 a0 − a 2 = 33 .41 > 14 .60 66.82 83 a1 − a 2 = 17 .23 > 14 .30 a0 − a1 = 16 .18 > 14 .30 < a2 100.23 a2 a1 a0 a b c Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 10 de 14 2. Efectos Principales del factor b (B): Corresponde en este caso a la comparación del efecto promedio de los tres niveles de la frecuencia de corte. SY = Eb a*r = 38.55 =2.07 3 x3 El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY p 2 3 r0.05(gl Error b=12) 3.082 3.225 ALS 6.38 6.68 b3 76.16 < b1 b2 < 86.02 b3 − b2 = 11 .72 > 6 .68 b3 − b1 = 9 .86 > 6 .38 b1 − b2 = 1 .86 < 6 .38 87.88 b2 b1 b3 a a b 3. Efectos simples del factor b: Corresponde a comparar los efectos de la frecuencia de corte en cada uno de los niveles de fertilización. SY = 38.55 Eb = =3.58 r 3 El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY p r0.05(gl error b=12) 2 3.082 3 3.225 ALS 11.03 11.56 Correa, Guillermo – Parcelas Divididas a0 b1 b2 b3 a1 11 de 14 Comparaciones Verticales a2 76.67 a 85.5 a 95.9 a 67.83 a 94.1 a 101.7 a 55.97 b 69.4 b 103.1 a 4. Efectos simples del factor a (Factor asignado a las parcelas principales) y efectos cruzados1: Corresponde a comparar los diferentes niveles de fertilización, bien sea en un nivel dado de frecuencia de corte (efectos simples del factor a) o en diferentes niveles de este factor (efectos cruzados). Usualmente son de mayor interés los efectos simples que los efectos cruzados. S __ = y Ea + (b − 1) * Eb 118.97 + (3 − 1) x38.55 = = 4.67 b*r 3 x3 Los grados de libertad se aproximan usando la fórmula de Satterthwaite, así: ν≅ [(b − 1) Eb + Ea]2 [(b − 1) Eb]2 + [Ea]2 glEb glEa = [(3 − 1) x38.55 + 118.97]2 [(3 − 1) x38.55]2 + [118.97]2 12 = 9.53 . 4 Si se quiere aplicar una prueba cuyos valores deban obtenerse en tablas, deberá aproximarse el valor de los grados de libertad al entero más cercano. Si se cuenta con una aplicación, como Statcalc® o SAS®, que permita obtener valores de algunas distribuciones con grados de libertad no enteros, podrá aplicarse la prueba DMS (LSD) o Scheffé usando el valor exacto de los grados de libertad obtenidos mediante la aproximación de Satterthwaite. Si se quiere proteger contra el error tipo I al momento de realizar la aproximación, deberá usarse la función “mayor entero contenido en”, es decir, aproximar al entero inferior. Siguiendo esta última recomendación, se obtendrían los valores críticos para la prueba de Duncan con 9 grados de libertad, así: ALS = rα(9 g. l.) * SY p r0.05(9 g. l.) 2 3.20 3 3.34 ALS (Valor Crítico) 14.95 15.60 1 Los efectos cruzados consisten en comparaciones entre dos combinaciones de tratamientos, donde difieren todos los niveles de los factores involucrados, por ejemplo, a0b1 vs. a2b2. Correa, Guillermo – Parcelas Divididas a0 b1 b2 b3 a1 12 de 14 a2 76.67 b 85.5 ab 95.9 a 67.83 b 94.1 a 101.7 a 55.97 b 69.4 b 103.1 a Comparaciones Horizontales ANÁLISIS EN SAS. Se usan los procedimientos GLM y MIXED. El GLM tiene la ventaja de presentar los resultados en un formato más familiar. La tabla resumen del Análisis de varianza incluye todos sus componentes (fuentes de variación, grados de libertad, sumas de cuadrados, cuadrados medios, valores F y valores p), indicando cuál es el término del error usado en cada caso. Para la evaluación de los efectos principales se pueden usar diversas pruebas, entre ellas la de Duncan –no disponible en el PROC MIXED. El PROC GLM tiene, sin embargo, la gran desventaja de que los errores estándar estimados para la evaluación de los efectos simples del factor a (el factor asignado a las parcelas principales) son incorrectos, por lo que tales pruebas carecen de validez. DATA Ramio; INPUT a$ b$ @; DO Bloques=1 to 3; INPUT Peso@; OUTPUT; END; DATALINES; a0 b1 78.9 72.5 78.6 a0 b2 68.1 66.1 69.3 a0 b3 56.9 57.1 53.9 a1 b1 84.3 99.3 72.9 a1 b2 86.8 108.9 86.6 a1 b3 73.1 73.4 61.7 a2 b1 95.6 95.2 96.9 a2 b2 97.8 108.1 99.2 a2 b3 90.3 121.4 97.6 ; PROC GLM; CLASS Bloques A B; MODEL Peso=Bloques A Bloques(A) B A*B/NOUNI; RANDOM Bloques(A)/TEST; MEANS A/DUNCAN E=Bloques(A); MEANS B/DUNCAN; LSMEANS A*B/PDIFF; RUN; Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 13 de 14 Nótese que el Error a se estima con base en la expresión: “Bloques(A)”. En caso de que el factor correspondiente a las Parcelas Principales se haya asignado completamente al azar, este error se estimará con base en la expresión R(A), siendo R las repeticiones. Bastará, pues, con cambiar Bloques(A) por R(A) en todas las expresiones en las que aparezca y eliminar Bloques en el estamento MODEL, realizando las adecuaciones del caso en el paso DATA. Para la evaluación de los efectos principales pueden usarse en el estamento MEANS las opciones LSD, DUNCAN, TUKEY, SCHEFFE y DUNNETT, entre otras. No está de más insistir en el hecho de que las comparaciones generadas por el estamento LSMEANS sólo son adecuadas para los efectos simples del factor b. El error estándar estimado para los efectos simples del factor a es inadecuado, por lo que la evaluación de éstos no es correcta. Para la evaluación de los efectos simples, el procedimiento usa por defecto la prueba t. La opción PDIFF genera los valores p de todas las comparaciones por pares de medias. Se contrasta el siguiente juego de hipótesis: H0: µij = µ(ij)’ Ha: µij ≠ µ(ij)’ La salidas contienen los valores p de todas las posibles comparaciones entre pares de medias. Se deberán analizar aquellas que corresponden a los efectos simples de interés. Si el valor p es menor o igual que el nivel de significancia preestablecido (usualmente 0.05), se rechaza H0, y se declara, con probabilidad de error igual a valor p, que hay diferencia entre las medias de los dos tratamientos comparados. a b a0 a0 a0 a1 a1 a1 a2 a2 a2 b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2 b3 Peso LSMEAN LSMEAN Number 76.666667 67.833333 55.966667 85.500000 94.100000 69.400000 95.900000 101.700000 103.100000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Correa, Guillermo – Parcelas Divididas 14 de 14 Least Squares Means for effect a*b Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: Peso i/j 1 2 3 4 5 6 1 0.1070 0.0015 0.1070 0.0049 0.1773 2 3 4 5 0.1070 0.0015 0.0373 0.1070 0.0045 <.0001 0.0049 0.0002 <.0001 0.1156 0.0373 0.0045 0.0002 0.7626 <.0001 <.0001 0.0212 0.1156 0.0080 0.0004 La comparación de los efectos simples de b en a0 consiste en comparar las medias 1, 2 y 3 acorde con el número asignado a cada una de las combinaciones de tratamientos (LSMEAN Number de la página anterior). El valor p de comparar b1 contra b3 en a0 es 0.0015, lo cual significa que tal diferencia es estadísticamente significativa, a favor de b1 (76.67 vs. 55.97). La evaluación de los efectos simples de a en cada uno de los niveles de b no debe hacerse, pues como ya se dijo, el error estándar estimado para dichos efectos simples es inadecuado, por lo que la evaluación de éstos debe obtenerse con base en el procedimiento MIXED, que aunque genera los resultados en un formato menos familiar estima errores estándar adecuados para todas las comparaciones. La parte central del procedimiento se muestra a continuación. PROC MIXED; CLASS Bloques A B; MODEL PESO=A B A*B/DDFM=SATTERTH; RANDOM Bloques Bloques(A); LSMEANS A B A*B/PDIFF; RUN; Nótese que en el estamento RANDOM del procedimiento MIXED se declaran todos los efectos aleatorios, mientras que en el estamento MODEL se incluyen solamente los efectos fijos. Se aclara que el factor bloques usualmente es aleatorio. Es importante resaltar que el procedimiento MIXED calcula los errores estándar correspondientes a diferencias de medias, es decir los que se usarían con las pruebas de t o de Scheffé. Si se quisieran realizar comparaciones manuales de medias con las pruebas de Duncan o de Tukey, con base en los errores estándar generados por el PROC MIXED, deberán usarse los siguientes errores: S _ (Duncan o Tukey) = Y ⎡ S ( MIXED)⎤ ⎢⎣ Y_ ⎥⎦ 2 2 A manera de resumen, se sugiere iniciar los análisis para este tipo de diseño con base en el PROC GLM. Si la interacción no es significativa, bastará con evaluar los efectos principales que sean del caso, con base en el mismo procedimiento, usando el estamento MEANS. En caso de que la interacción resulte significativa, será necesario complementar el análisis con el PROC MIXED, para la evaluación de los efectos simples.