Lembar Kerja Siswa (LKS)-2

Lembar Kerja Siswa (LKS)-2 Permutasi objek berbeda Pertemuan ke-2 Kelompok : 1. 2. 3. 4. Tujuan Pembelajaran D.4 Menjelaskan pengertian permutasi D.5 Mengontruksi rumus permutasi D.6 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep permutasi Pendahuluan Kegiatan menata produk (barang) sering disebut dengan display produk. Kegiatan ini bertujuan untuk menarik perhatian dan minat konsumen terhadap barang atau produk yang dijual. Display produk sangat berpengaruh terhadap penghasilan dalam penjualan. Kegiatan tersebut perlu memperhatikan susunan, baik warna, bentuk, jumlah maupun harga. Oleh karena itu penting untuk diketahui bagaimana cara https://www.kemasan.net/index.php/artikel/42-syaratmenyusun produk yang baik serta banyak variasi display-produk-yang-benar susunan yang mungkin dapat dibentuk. Dalam display produk sering dijumpai permasalahan pengaturan atau penyusunan objek yang terdiri dari beberapa objek dengan memperhatikan urutan maupun tidak. Dalam ilmu matematika, penyusunan objek yang memperhatikan urutan disebut permutasi sedangkan yang tidak memperhatikan urutan disebut kombinasi. Bagaimana perhitungan permutasi dan kombinasi dapat digunakan dalam kehidupan sehar-hari? Mari kita cari tahu melalui aktivitas pada LKS-2 berikut ini! Sebelum belajar permutasi, kita harus mengenal terlebih dahulu tentang faktorial. Definisi : n faktorial ditulis n! didefinisikan sebagai perkalian n bilangan asli yang pertama. n ! = 1  2  3  4  5  . . .  (n - 3)  (n – 2)  (n – 1)  n atau n ! = n  (n – 1)  (n – 2)  (n – 3)  (n – 4)  . . .  3  2  1 dengan n bilangan asli dan n  2. Untuk n= 1 dan n= 0 didefinisikan sebagai : 1 ! = 1 dan 0 ! = 1 Contoh :  5! = 5  4  3  2  1 = 120  10!  10  9  8  7!  10  9  8  720 7! MAT.F.ARF.F.11.4 7! 26 A. Permutasi dari n objek dari n objek berbeda Aktivitas 1 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok. Masalah 1 : Seorang pengembang bisnis properti rumah menawarkan 3 unit kavling rumah minimalis yang belum terjual. Setiap kavling akan dipasang kode rumah yakni kavling 1, kavling 2, kavling 3 dan kavling 4 seperti ilustrasi gambar di samping. Pengembang ingin mengetahui tingkat minat pembeli terhadap ketiga kavling rumah tersebut berdasarkan susunan kode kavling rumah yang belum terjual. Bantulah pengembang tersebut untuk menentukan banyaknya susunan kavling rumah yang mungkin terjual berdasarkan kodenya. Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas. Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian? Jika Ya, bagaimana hasilnya? Jika tidak apakah kamu punya cara lain? Penyelesaian : (jika menggunakan cara mendaftar untuk menyingkat penulisan cukup ditulis 1, 2, 3 atau 4) Susunan kode rumah yang mungkin terjual : 1234, 1243, . . . . , Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh? MAT.F.ARF.F.11.4 27 Permasalahan tersebut merupakan salah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi n objek dari n objek yang berbeda. Dari kegiatan di atas dapat disimpulkan bahwa terdapat 4 tahap penjualan dimana: Penjualan tahap Banyaknya pilihan kekavling 1 ...  terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-1 2 ...  terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-2 3 ...  terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-3 4 ...  terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-4 Menurut aturan perkalian, maka banyaknya susunan 4 kavling rumah yang mungkin terjual adalah : ...  ...  ...  ... = ... ! = ... Atau secara umum, untuk menentukan banyaknya susunan terurut n objek dari n objek berbeda dapat melalui n tahap pengisian, seperti pada tabel di bawah ini. Penjualan tahap Banyaknya pilihan kekavling 1 ... 2 ... ... ... (n – 2) ... (n – 1) 2 n 1 Sehingga banyaknya permutasi n objek dari n objek berbeda adalah : n Pn = ...  ...  ...  ... ...  ...  ...  ... = ... ! Kesimpulan Secara umum banyak permutasi n objek dari n objek berbeda yang dinyatakan dengan simbol adalah = ...! MAT.F.ARF.F.11.4 28 Contoh Soal-1 Kelas XII MIPA 1 akan mengadakan pemilihan pengurus kelas yang baru terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara. Terdapat 3 calon kandidat yakni Ari, Budi, Candra yang akan mengisi ketiga jabatan pengurus kelas tersebut. Tentukan banyaknya susunan pengurus kelas yang mungkin dapat dibentuk. Penyelesaian : Diketahui : Ditanya : Cara menyelesaikan : Penyelesaian : terdapat 3 jabatan pengurus kelas dan 3 calon kandidat pengurus kelas. banyaknya permutasi pengurus kelas yang mungkin. menggunakan rumus permutasi n objek dari n objek berbeda. 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Jadi 6 susunan pengurus kelas yang mungkin dibentuk. Pengecekan Kembali : Misalkan Ari = A, Budi = B, Candra = C. Permutasi yang mungkin mengisi jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara secara berturutturut adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA. Terdapat 6 susunan pengurus yang mungkin. Latihan Soal -1 1. Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh enam negara. panitia akan memasang keenam bendera dari enam negara yang hadir. Tentukan banyak cara panitia menyusun keenam bendera tersebut. Penyelesaian : 2. Seorang pegawai toserba sedang membuat label barang untuk mempermudah pencatatan barang yang dijual di tokonya. Label tersebut terdiri 2 huruf (A dan B) di bagian depan dan 5 angka (1-5) di bagian belakang, contohnya: AB 12345. Tentukan berapa banyak susunan label yang dapat dibentuk pegawai tersebut. Penyelesaian : MAT.F.ARF.F.11.4 29 B. Permutasi dari r objek dari n objek berbeda Setelah kalian belajar mengenai permutasi n objek dari n objek yang berbeda dan penggunaannya dalam pemecahan masalah, kini saatnya kalian belajar mengenai jenis permutasi lainnya yaitu, permutasi r objek dari n objek yang berbeda. Dalam penyusunan objek-objek yang berbeda, terkadang kita tidak selalu menyusun semua objek yang ada, melainkan hanya menyusun sebagian objek saja. Misalnya, dalam suatu kompetisi matematika dari sejumlah finalis hanya akan diambil juara I, II dan III. Susunan pemenang kejuaraan tersebut merupakan salah satu contoh permutasi k objek dari n objek yang berbeda. Kemudian bagaimana cara menghitungnya? Apakah caranya sama dengan cara menghitung banyaknya permutasi n objek dari n objek? Mari ikuti aktivitas 2 untuk mencari tahu jawabannya. Aktivitas 2 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok. Masalah 2 : Di kantor pusat sebuah perusahaan besar terdapat 4 orang staf yang dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala bagian umum dan kepala bagian pemasaran. Tentukan banyak cara yang dapat dipakai untuk mengisi jabatan tersebut dengan syarat tidak boleh merangkap jabatan? Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas. Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian? Jika Ya, bagaimana hasilnya? Jika tidak apakah kamu punya cara lain? Penyelesaian : (jika menggunakan cara mendaftar untuk menyingkat penulisan cukup ditulis misalnya 4 staf diberi kode A, B, C dan D sedangkan kepala bagian umum ditulis 1 dan kepala bagian pemasaran ditulis 2) Susunan nama dan jabatan yang mungkin : A1, B1, C1, . . , . . , Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. MAT.F.ARF.F.11.4 30 Permasalahan tersebut merupakan salah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi r objek dari n objek yang berbeda. Dari aktivitas di atas dapat disimpulkan bahwa terdapat 2 tahap pemilihan dimana: Pemilihan tahap ke- Banyaknya calon 1 ... 2 ... Menurut aturan perkalian, maka banyak susunan 2 jabatan dari 4 calon yang mungkin dipilih adalah : . . .  . . . Jika bentuk perkalian di atas . . .  . . . di ubah dalam notasi faktorial menjadi ...  ... = ...  ... ... ... ...! ...!   ... ... ...! (...  ...)! Atau ditulis dalam notasi permutasi menjadi  ... P ... ... ! (...  ...)! Atau secara umum, untuk menentukan banyaknya susunan terurut r objek dari n objek berbeda dapat melalui r tahap pengisian, seperti pada tabel di bawah ini. Pengisian ke- Banyaknya pilihan 1 n 2 (n -1) 3 (n – 2) …. …. …. …. r (n – r+1) Berdasarkan aturan perkalian maka banyaknya keseluruhan cara ada : n Pr = n x (n1) x (n2) x ……..x (nr+1) dikalikan dengan bentuk sekawan menjadi = n x (n1) x (n2) x ……..x (nr+1)x (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1 (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1 = (...  ...)  (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1 (...  ...)  (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1 = MAT.F.ARF.F.11.4 ... ! (...  ...)! 31 Jadi banyaknya permutasi r objek diambil dari n objek yang berbeda adalah ... ! = n Pr (...  ...)! Kesimpulan Secara umum banyak permutasi r objek dari n objek berbeda untuk r  n. yang dinyatakan dengan simbol adalah = Contoh Soal-2 Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk. Penyelesaian : Diketahui : Ditanya : Cara menyelesaikan : Penyelesaian : terdapat 4 orang dan tersedia 10 tempat duduk kosong. banyak kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk. menggunakan rumus permutasi r objek dari n objek berbeda. r = 4 dan n = 10 maka 10 P 4 MAT.F.ARF.F.11.4  10 ! 10 ! 10  9  8  7  6 !    10  9  8  7  5040 (10  4)! 6! 6! 32 Latihan Soal -2 1. Sebuah perusahaan asuransi akan mengadakan survey tentang minat sesorang terhadap berbagai jenis asuransi yakni asuransi pendidikan, kesehatan, tunjangan hari tua, kendaraan, dan asuransi rumah. Setiap orang yang disurvey akan diminta untuk memilih dan memberikan peringkat 1, 2, dan 3 dari kelima jenis asuransi. Akankah ada lebih dari 50 permutasi 3 dari 5 jenis asuransi yang dapat dipilih setiap orang? Berikan alasanmu ! 2. Sebuah perusahaan sedang membuka lowongan pekerjaan untuk mengisi jabatan sebagai administrasi dan pemasaran masing-masing 1 orang. Berikut adalah daftar calon pegawai yang telah melamar : Pengalaman Pendidikan Nama kerja (tahun) Ardian SMA 1 Beni SMK 2 Cantika SMA Dedi SMA 2 Ervan SMA 3 Faqih SMK Gatot SMK 2 Harsono SMA 3 Intan SMK 1 Jaka SMA 1 a. Jika perusahaan tersebut hanya menerima calon karyawan yang sudah memiliki pengalaman kerja minimal 1 tahun, berapakah banyak susunan karyawan yang mungkin diterima? b. Jika perusahaan tersebut hanya menerima calon karyawan yang berpendidikan SMA, berapakah banyak susunan karyawan yang mungkin diterima? 3. Penjaga perpustakaan bermaksud untuk menyimpan buku sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika ia mempunyai 12 tempat untuk 5 buku berbeda dalam bahasa inggris, 4 buku berbeda dalam bahasa jepang, dan 3 buku berbeda dalam bahasa korea. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut. 4. Safira akan membuat alamat email baru. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari sembilan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika ia menggabungkan antara huruf dan angka. Safira akan menggunakan namanya pada enam karakter awal atau akhir secara berturut-turut. Kemudian ditambahkan tiga buah angka berbedadari 0,1,2,⋯,9 secaraacak,misal SAFIRA123, SAFIRA321, 456SAFIRA, 046SAFIRA dan lain-lain. Berapa banyak cara penyusunan kata sandi tersebut ? MAT.F.ARF.F.11.4 33