el juego de la lógica Lewis Carroll

El j uego de la lógica Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e www.librosm ar avillosos.com 1 Lewis Carroll Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Pr e se n t a ción Es frecuent e que los lect ores de «Alicia en el País de las Maravillas» ( LB 276) y «A Través del Espej o» ( LB 455) queden sorprendidos, com o dicen que le sucedió a la reina Vict oria, al averiguar que LEWI S CARROLL no era sino el sobrenom bre lit erario de CHARLES DOGSON ( 1832- 1895) , diácono de la I glesia de I nglat erra, profesor de m at em át ica y ciudadano de vida circunspect a y ordenada. Son varias las int erpret aciones ofrecidas para explicar las relaciones ent re esas dos personalidades en apariencia t an alej adas. Para ALFREDO DEAÑO, prologuist a, organizador y t raduct or de est e volum en, fue precisam ent e el cam po de la lógica la encrucij ada elegida por Dogson- Carroll para que la fabulación y las m at em át icas llevaron a cabo la cont radict oria t area de aunar la ciencia del sent ido y el fluj o del sinsent ido. EL JUEGO DE LA LÓGI CA reúne pruebas para fundam ent ar est a hipót esis: en los capít ulos t om ados de los libros de lógica, la neurosis del vict oriano conform ist a, t ransferida a las const rucciones m ent ales, m uest ra com o el rigor de la inferencia puede desem bocar en la locura; en la paradoj a de los t res peluqueros y el debat e ent re Aquiles y la t ort uga, la m ent alidad del m at em át ico plant ea con sorprendent e lucidez algunos problem as claves de la lógica m oderna. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 2 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Ave n t u r a s de Le w is Ca r r oll e n e l Pa ís de la Lógica «Si así fue, así pudo ser; si así fuera, así podría ser; pero com o no es, no es. Eso es lógica». Tweedledee, en Through t he Looking Glass, cap, I V, 1 . Ace r ca de l ca r á ct e r n e u r ót ico de la lógica de Ch a r le s Ca r r oll. Es posible que quienes hayan leído sólo por encim a a Lewis Carroll se sient an sorprendidos al recibir la not icia de que Lewis Carroll escribió libros de lógica. ¿Cóm o es que Lewis Carroll escribió libros de lógica? Trat arem os de dem ost rar que era lógico que lo hiciera. Para lo cual es m enest er form ular esa pregunt a de ot ro m odo. De est e m odo: ¿qué sent ido t iene la obra lógica de Carroll? Ant es de nada, ¿quién era Lewis Carroll? ¿Quién era ese hom bre capaz de int eresar a la vez a los filósofos analít icos y a los surrealist as, a los poet as dadaíst as y a los lógicos form ales, a Russell y a Bret on, a Art aud y a St raw son, a Deleuze y a Eddingt on, a Ryle y a Cort ázar? Lewis Carroll era, en realidad, Charles Lut widge Dodgson: hij o de un past or prot est ant e; habit ant e, durant e cuarent a y siet e años, de la Universidad de Oxford, prim ero com o est udiant e y luego com o profesor de m at em át icas; profesor de lógica en Lady Margaret Hall y en la High School de Oxford; hom bre de vida ordenada, cast a, apacible; burgués brit ánico de la segunda m it ad del siglo XI X; diácono de la I glesia de I nglat erra, a pesar de que no creía en el cast igo et erno de los pecadores; rem ilgado, alt ivo, im polut o, profundam ent e aburrido en clases y reuniones; m uert o víct im a de las corrient es de aire que en vida t ant o había com bat ido; aut or de algunos libros que llevan est os t ít ulos: Fórm ulas de t rigonom et ría plana, Trat ado elem ent al de los det erm inant es, El libro V de Euclides t rat ado de un m odo algebraico, en cuant o hace relación a m agnit udes conm ensurables, et c. o bien: Lewis Carroll era, en realidad, Lewis Carroll: dom est icador de serpient es y sapos; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 3 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll prest idigit ador; edit or, siendo niño, de revist as m anuscrit as para niños; zurdo ( según algunos t est im onios) , t art am udo, bello, sordo de un oído; invent or de caj as de sorpresas, de rom pecabezas, de aparat os inút iles; insom ne; ent usiast a de las biciclet as en su j uvent ud y de los t riciclos en su m adurez1 : creador de j uegos de palabras incluso en idiom as que no conocía, com o cuando dij o «I am fond of children ( except boys) », que en inglés no es un j uego de palabras, pero si en cast ellano: «Me gust an los niños, a excepción de los niños»; excelent e fot ógrafo, sobre t odo de niñas vest idas y desnudas; aut or de poem as com o ést e: Creía ver un Elefant e, un Elefant e que t ocaba el pífano; m irando m ej or vio que era una cart a de su esposa. «¡De est a vida, finalm ent e» —dij o— «sient o la am argura! » Creía descubrir un Búfalo inst alado sobre la chim enea; m irando m ej or vio que era la sobrina de su cuñado. «¡Sal de aquí» —dij o— «o llam o a la policía! » Creía ver una Serpient e de cascabel que le int errogaba en griego; m irando m ej or vio que era la m it ad de la próxim a sem ana, ¡Lo único que sient o! —dij o— «es que no pueda hablar». Creía ver una I nferencia 1 Cf. el enigm a de Edipo y la Esfinge Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 4 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll dem ost rando que él era el Papa. Mirando m ej or vio que era un pedazo de j abón de m árm ol. «¡Dios m ío» —dij o— «un hecho t an funest o dest ruye t oda esperanza! » 2 invent or de un nuevo m ét odo de adición, de acuerdo con el cual, para sum ar 2 + 1 habría que hacer lo siguient e: Tom am os Tres com o base del razonam ient o que hacem os... Un núm ero apropiado para com enzar… Le sum am os Siet e, y Diez, y lo m ult iplicam os t odo por Mil m enos Ocho. El result ado que obt enem os lo dividim os, com o ve, por Novecient os Novent a y Dos; le rest am os Diecisiet e, y la respuest a debe ser exact a y perfect am ent e j ust a 3 . Un resum en inocuo de t odo lo ant erior lo const it uiría el decir que hay dos Carroll: un Carroll circunspect o y un Carroll excént rico. O, para expresarlo con m ayor rigor, que hay una sola persona bifurcada en ot ras dos: Charles Lut widge Dodgson, por una part e, y, por ot ra part e, Lewis Carroll. Conviene que encont rem os un nom bre para referirnos a esa persona escindida. Ut ilizando la t écnica carrolliana de las palabras- m alet ín ( dos o m ás palabras incrust adas en una sola, com o «snark» ( «serprón») , cruce de «Snake» ( «serpient e») y «shark» ( «t iburón») ) , podríam os nom brarla de diversos m odos. Se t rat a, en efect o, de ent ret ej er est os nom bres: Charles Dodgson Lewis Carroll 2 «Canción del Jardinero Loco», en Silvia y Bruno ( 1889, 1893) . Hem os seguido en líneas generales la t raducción que da del poem a Joaquín Jor dá en la edición cast ellana del libro de H. Parisot : Lew is Carroll. Par is., Seghers, 1952, 1965. Trad. cast . en Barcelona, Kairós, 1970, pp. 177- 79. 3 «La Caza del Snark». Trad. cast . en op. cit ., en not a ant erior páginas 138- 61, p. 153. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 5 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Lo cual nos da varias posibilidades. Por ej em plo: Charwis Dodgrroll Lewrles Carrson Leslew Soncarr Wischar Rollldodg Ahora bien: es posible —y, t rat ándose de Carroll, deseable— com plicar algo m ás las cosas e int roducir un nuevo elem ent o que a Lewis Carroll, aut or de cart as escrit as al revés, le result aría part icularm ent e grat o: la inversión. Con lo cual t endrem os: Selrach Nosgdod Siwel Llorrac Y est as com binaciones posibles, ent re ot ras: Selwell Nosrrac Sirach Llogdod Rachsiw Dodglio Welsel Rachnos Si adem ás de invert ir el orden de las let ras dent ro de cada palabra invirt iéram os el orden de nom bre y apellido, y si invirt iéram os asim ism o el orden de las sílabas dent ro de cada palabra, o bien si prefiriéram os, por ej em plo, ent rem ezclar las let ras en lugar de las sílabas, se abriría ant e nosot ros un vast ísim o cam po de experim ent ación a la vez út il y agradable. Lim it aciones de espacio nos im piden desarrollar com o quisiéram os t odas est as apasionant es posibilidades. Pero, después de t odo, t al vez sea m ás sencillo lim it arse a com binar los nom bres ent eros, y hablar de «Charles Carroll» para designar al hom bre que escribió sobre t rigonom et ría y sobre sueños. Algunos aut ores se han lim it ado a señalar esa escisión y a buscar sus causas. Así, Chest ert on, en su defensa del sinsent ido, afirm a que Edward Lear —aut or de un Book of Nonsense publicado en 1846— le parece superior a Lewis Carroll. Y ello porque, según Chest ert on, para Carroll era m ás fácil —era, en rigor, inevit able— recurrir al sinsent ido. Un hom bre com o él, con una vida de inhibición com o la suya, Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 6 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll fat alm ent e habría de evadirse a ot ro m undo para sobrevivir. En esa necesidad de evadirse ve Chest ert on la fuent e de la nueva lit erat ura de la sinrazón. Edward Lear, en cam bio, no era un inhibido que sublim aba: era un ciudadano del m undo del sinsent ido, inst alado en él a sus anchas, y nada m ás. Para Carroll el m undo del sinsent ido era sólo la m it ad de su m undo. La ot ra m it ad era Oxford, la I glesia de I nglat erra, las clases de m at em át icas. «El país de las m aravillas de Carroll es son t errit orio poblado por m at em át icos locos» 4 . En est o m ism o insist e André Bret on: «El sinsent ido en Lewis Carroll ext rae su im port ancia del hecho de que const it uye para él la solución vit al de una profunda cont radicción ent re la acept ación de la fe y el ej ercicio de la razón, por una part e. Por ot ra part e, ent re una aguda conciencia poét ica y los rigurosos deberes profesionales. La part icularidad de est a solución subj et iva es el doblarse en una solución obj et iva, precisam ent e de orden poét ico: el espírit u, ant e cualquier clase de dificult ad puede encont rar una salida ideal en el absurdo» 5 . Ot ro t ant o afirm a Mart in Gardner, aut or de una m agnífica edición anot ada de Alicia: «El últ im o nivel de m et áfora en los libros de Alicia es ést e: que la vida, vist a racionalm ent e y sin ilusión, aparece com o un cuent o carent e de sent ido relat ado por un m at em át ico idiot a», señalando m ás adelant e que Alicia en el país de las m aravillas y Al ot ro lado del espej o fueron escrit os por el Reverendo C. L. Dodgson «durant e una vacación m ent al» 6 . Pero Charles Carroll no sólo pract icaba el sinsent ido en vacaciones, sino t am bién durant e el curso. Hay, ciert am ent e, un Charles Dodgson bienpensant e, profesor de m at em át icas y aut or de libros bien pensados sobre la m at eria; y hay t am bién un Lewis Carroll librepensador y librecreador que escribe lit erat ura dem encial. Hay un hom bre que sabe dist inguir ent re lo necesario y lo libre, pero que se ve obligado a som et erse a lo necesario y huir hacia la libert ad en rat os libres. Hay un Charles Dodgson encadenado y un Lewis Carroll evadido. Pero, ¿no hay nada ent re ellos? ¿No hay ninguna t ierra, ninguna t ierra de nadie, en la que puedan encont rarse? 4 G. K. Chest ert on: «A Defence of Nonsense», en The Defendant ( 1901) . Ed. en St ories, Essays and Poem s. Londres, Dent and Sons, 1966, pp. 123- 27. 5 A. Bret on: Ant ología del hum or negro. Cit . por Parisot , op. cit .., p. 21 6 Alice's Adv ent ures in Wonderland and Through t he Looking Glass edit ed by M. Gardner. Harm ondswort h, Penguin Books, 1965; revised edit ion, 1970. I nt roduct ion, pp. 15 y 16. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 7 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Pensam os que si la hay. Y pensam os que ese lugar donde am bos se encuent ran es el lugar de la lógica. Las obras m at em át icas las firm aba «Charles L. Dodgson». Las obras de im aginación y los libros de lógica los firm aba «Lewis Carroll». Pero quizá—si hubiera sido «conscient e»— los libros de lógica debiera haberlos firm ado «Charles Carroll». Porque Lew is Carroll no se lim it ó a evadirse. Tam bién present ó bat alla. Y esa bat alla revist ió la form a de un int ent o de int roducir el sinsent ido en el seno de la lógica m ism a. En sus libros de lógica se anudan el Dodgson m at em át ico y el Carroll neurót ico, y lo que result a es la lógica neurót ica de Charles Carroll. Después de leer algunos de los ej em plos de silogism os y sorit es que Carroll nos ofrece, el lenguaj e de los surrealist as, pongam os por caso, acaba casi pareciéndosenos al de Rudolf Carnap, pongam os t am bién por caso. Ciert as filosofías habían venido a decirnos en resum idas cuent as que no conocem os de los obj et os m ás que lo que ponem os en ellos. Hoy sabem os incluso m ás. Sabem os que ponem os en las cosas m ás de lo que sabem os que ponem os. De est o da el propio Carroll t est im onio: «He recibido a m enudo cart as cort eses de ext ranj eros que querían saber si La caza del snark es una alegoría o cont iene alguna m oralej a ocult a o const it uye una sát ira polít ica; y para t odas las pregunt as de ese t ipo t engo una sola respuest a: ¡No lo sé! » 7 . Y en una cart a a un am igo es t odavía m ás explícit o sobre est e punt o: «Las palabras no significan sólo lo que hem os t enido int ención de expresar al em plearlas: de m anera que la significación de un libro debe ciert am ent e rebasar las int enciones del aut or» 8 . Est as observaciones de Carroll acerca de La caza del snark pueden nat uralm ent e hacerse ext ensivas a t oda su obra, incluida su obra lógica. ¿Qué puso Charles Carroll, sin saberlo, en sus libros de lógica? Se suele concebir la lógica com o la ciencia de los principios de la inferencia form alm ent e válida. Se suele pensar t am bién que pensam ient o y lenguaj e son de hecho inseparables —al m enos en el adult o, ya que ot ra cosa parecen pensar del niño aut ores com o Piaget —, de t al m odo que la validez form al de las inferencias sólo es cont rolable a t ravés de su inevit able form ulación en el lenguaj e. Parece, por t ant o, que la lógica ha de ser —en 7 «Alice on t he st age», aparecido en The Theat r e, abr il 1887. Recogido en Diver sions and Digressions of Lew is Carroll ( for m er ly t it led The Lewis Carroll Pict ur e Book) . Edit ed by St uar t Dodgson Collingwood. Nuev a York, Dover Publicat ions, 1961, pp. 163- 74, pp. 167- 68. 8 Cit ado por Par isot , op. cit ., p. 72. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 8 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll un det erm inado sent ido y ent re ot ras cosas— la ciencia de las leyes del lenguaj e, la ciencia de las leyes del uso sensat o del lenguaj e. Ahora bien: Charles Carroll escribió libros de, lógica —libros sobre la cordura en el em pleo del lenguaj e— y, al m ism o t iem po, fue aut or de obras en las que las palabras9 , lej os de ser t raídas de su uso m et afísico a su uso cot idiano, com o querrá hacer el segundo Wit t genst ein 10 , son llevadas de su uso ordinario a un uso onírico, t rast ornado. Algo dirá en sus libros de lógica, o algo se m ost rará en ellos que m anifiest e esa t ensión. Repit am os la pregunt a que al principio hacíam os: ¿Cuál es el sent ido de la obra lógica de Carroll? A la vist a de lo que hem os dicho parece que ha de t rat arse de una obra front eriza, crucial, de una obra- m alet ín en la que se dan cit a y se inm iscuyen Charles Dodgson, profesor de m at em át icas, y Lew is Carroll, t eórico de m anicom ios. Jean Gat t égno, int roduct or de la obra lógica de Carroll en francés, hace un int ent o de encont rar la art iculación que une la lógica con la analógica en la obra de Charles Carroll. «La obra fant ást ica de Carroll represent a sim plem ent e el m uest rario de t ram pas y de dificult ades en que caem os cuando no observam os las reglas y leyes form uladas por la obra lógica.» 11 Así pues, según Gat t égno, Alicia y Al ot ro lado del espej o no serían sino el repert orio de los errores y perplej idades a que el lenguaj e nos conduce cuando no lo usam os con cuidado. Y El j uego de la lógica y Lógica sim bólica serían libros de profilaxis, libros dest inados a enseñarnos los cuidados que debem os procurar al lenguaj e en evit ación de que el lenguaj e nos vuelva locos. «Vem os ent onces m ás claram ent e que Carroll no nos ofrece en sus obras “ ligeras” una respuest a a las obras lógicas “ serias” , sino sim plem ent e una confirm ación de est as últ im as. Aquí est á la gran cont inuidad ent re Carroll y Dodgson, ent re el aut or de relat os para niños y el lógico m at em át ico. Am bos com part en una gran preocupación que t raducen, a su m anera, para cada uno de sus públicos: la com unicación ent re los seres.» 12 9 «Creem os que la invención en Carroll es esencialm ent e de vocabular io, y no sint áct ica o gram at ical». G. Deleuze: Logique du sens. Par ís, Les Édit ions de Minuit , 1969. Lógica del sent ido. y. cast . de A. Abad. Bar celona, Barrai Edit ores, 1971, p. 122, not a. 10 Wit t genst ein: Philosophische Unt ersuchungen, m ún. 116. 11 J. Gat t égno: «La logique et les m ot s dans l'oeuvre de Lewis Canon», en La logique sans peine. Par is, Her m ann, 1966, pp. 6- 43. Deleuze, op. cit ., p. 36. 12 Gat t égno, op. cit ., pp. 40- 41. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 9 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Es llam at iva la sem ej anza ent re un Lewis Carroll Carroll así int erpret ado y el segundo Wit t genst ein, el cual ha dej ado dicho lo siguient e: «La filosofía ( en Carroll, la lógica) es una lucha cont ra el em bruj am ient o de nuest ra int eligencia por el lenguaj e» 13 . Efect ivam ent e, hay t ext os de Carroll —cuando habla, por ej em plo, de las falacias, del m odo de evit arlas y de los beneficios que de ello se derivarían 14 — que abonarían la int erpret ación de Carroll com o una especie de ilust rado, com o alguien para quien el problem a de la confusión es un problem a puram ent e lógico y no t am bién ideológico. Com o alguien que piensa que si habláram os con claridad y sin am bigüedades el m undo iría m ucho m ej or. Pero no nos sat isface est a int erpret ación. Lo que nosot ros negam os es que las obras lógicas de Carroll pert enezcan al grupo de sus obras «serias». Y ello independient em ent e de lo que Carroll pensara de ellas. En el Prefacio a la cuart a edición de su Lógica sim bólica Carroll afirm a que su int ención es «popularizar est e t em a fascinant e», hacer accesible la lógica a los j óvenes est udiant es proporcionándoles así una fuent e de goce int elect ual. Los edit ores franceses de su obra acept an la int erpret ación que el propio Candi da de ella, respet an las int enciones conscient es de Carroll. Por eso t it ulan su ant ología «La lógica sin esfuerzo». Pero ya sabem os —Carroll m ism o lo sabía— que una obra no t iene solam ent e— o no t iene por qué t ener t an sólo— el sent ido que su aut or haya querido at ribuirle. Wit t genst ein, el prim er Wit t genst ein, elaboró en su Tract at us Logico- Philosophicus una dist inción profunda y út il: la dist inción ent re «decir» y «m ost rar». Hay algo que el lenguaj e dice y hay algo que se m uest ra en el lenguaj e. Wit t genst ein —para decirlo brevem ent e— pensaba a la sazón que el m undo es la t ot alidad de los hechos ( Tract at us, 1, 1) y que las proposiciones —cuya t ot alidad const it uye el lenguaj e ( Tr., 4.001) — son pint uras de los hechos ( Tr., 4.06) . Las proposiciones nos dicen que las cosas son de una det erm inada m anera y al m ism o t iem po m uest ran su form a lógica com ún con la del hecho que represent an. Ahora bien: «las proposiciones no pueden represent ar la form a lógica: est á reflej ada en ellas» ( Tr., 4.12) . Porque «nosot ros no podem os represent ar por m edio del lenguaj e aquello que se expresa en el lenguaj e» ( Tr., 4.121) . En frase lapidaria: «Lo que puede ser 13 14 Philosophische Unt ersuchungen, núm . 109. Cf, El m ét odo de los subíndices. Cf. t am bién el final de la I nt roducción para est udiant es, de est e libro. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 10 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll m ost rado no puede ser dicho» ( Tr., 4.1212) . Lo que se m uest ra en el lenguaj e no puede ser dicho en él. Sabem os que Bert rand Russell —precisam ent e en la I nt roducción al Tract at us— y luego sobre t odo Tarski y Carnap desplazaron est e problem a al infinit o m ediant e la llam ada «t eoría de la j erarquía de los lenguaj es» o t eoría de la dist inción ent re un lenguaj e y su m et alenguaj e. Lo que se m uest ra en un lenguaj e puede ser dicho en su m et alenguaj e. Y lo que en est e m et alenguaj e se m uest ra puede ser dicho en un nuevo m et alenguaj e. Y así sucesivam ent e hast a siem pre. La dist inción ent re decir y m ost rar la vam os a usar aquí de un m odo analógico. Una cosa es lo que Carroll dice en sus obras y ot ra cosa es lo que est as obras m uest ran. Y lo que las obras lógicas de Carroll m uest ran es la cont radicción ent re la exposición rigurosa de una ciencia que es la ciencia del sent ido, y la filt ración, desde lo subt erráneo hast a la superficie, de la corrient e del sinsent ido. La lógica de Carroll m uest ra por lo m enos dos cosas: que la lógica, obedecida hast a sus últ im as consecuencias, lleva a la locura; y que la t ransgresión de los principios lógicos const it uye una purificación, una cura de sueño. Lógica m ast urbada, por una part e, y violación de la lógica, por ot ra. De lo prim ero t enem os dos ej em plos en Al ot ro lado del espej o. Es un diálogo ent re Alicia y el Caballero Blanco: «Perm ít am e —dij o el Caballero con t ono de ansiedad— que le cant e una canción.» «¿Es m uy larga?» —pregunt ó Alicia, que había t enido un día poét icam ent e m uy cargado. «Es larga —dij o el Caballero—, pero es m uy, m uy herm osa. Todo el que m e la oye cant ar, o bien prorrum pe en llant o, o bien...» «¿O bien qué?» —dij o Alicia al ver que el Caballero se habla callado de repent e «O bien no prorrum pe.» He aquí una aplicación inexorable del principio lógico de t ercio excluso. Sin em bargo, no cont ent o con lo ant erior, el Caballero Blanco se ent rega de inm ediat o a una enloquecida j erarquización de lenguaj es. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 11 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «El nom bre de la canción se llam a “ Haddocks” Eyes” ». «Así que ese es el nom bre de la canción, ¿no?» —pregunt ó Alicia, que com enzaba a sent irse int eresada. «No. Veo que no m e ent iende. Así es com o se llam a el nom bre. El nom bre en realidad es The Aged Aged Man’.» «Ent onces lo que t endría que haber dicho —dij o Alicia corrigiéndose— es que así es com o se llam a la canción, ¿no?» «¡No! ¡Es algo t ot alm ent e dist int o! La canción se llam a " Ways and m eans” : pero eso es sólo lo que se le llam a.» «Bien. Ent onces, ¿cuál es la canción?» —pregunt ó Alicia, que a est as alt uras se hallaba ya sum ida en com plet a perplej idad. «A eso iba —dij o el Caballero—. En realidad la canción es A- sit t ing On a Gat e’» 15 La dist inción ent re lenguaj e y el m et alenguaj e aparece ya en la obra de Carroll llevada hast a el delirio. Por ot ra part e, la lect ura de los ej ercicios de lógica que Carroll propone 16 m uest ra hast a qué punt o en los alvéolos de la lógica se pueden aloj ar las const rucciones lingüíst icas m ás alucinant es. El diálogo sin fin de Aquiles y la Tort uga, y el furor deduct ivo de Tío Joe y Tío Jim son ej em plos de lo m ism o. Hem os dicho, sin em bargo, que la t ensión no sólo se m anifiest a en Carroll a t ravés del som et im ient o a la lógica, sino t am bién a t ravés de la t ransgresión de sus leyes. La revolución indust rial conduj o en el siglo XI X a la aparición de una reacción rom ánt ica, neo- m edieval. Los espect aculares desarrollos de la lógica en los últ im os cien años han provocado el florecim ient o de un nuevo rom ant icism o: el de aquellos que se lim it an a afirm ar que la lógica es la cárcel del lenguaj e y que es necesario pract icar la evasión perm anent e. Se t rat a de una acrit ud idealist a, desde luego. «La ligera palom a, hendiendo con su libre vuelo el aire, cuya resist encia not a, podría im aginar que volaría m ucho m ej or en el espacio vacío» 17 . Hay quien im agina que si no exist iera la lógica ( ¿qué puede querer decir est o?) , el lenguaj e sería m ás libre. Hay quien olvida que de un lenguaj e libre sólo se puede hablar por respect o a un 15 16 17 Through t he Looking Glass, cap. VI I I . Ver Libro VI I I de est a edición. I nm anuel Kant : Kr it ik der Reinen Vernunft , 13 8- 9. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 12 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll lenguaj e cont rolado. Sólo por cont radicción con un lenguaj e obedient e puede t ener sent ido un lenguaj e de vacaciones18 , o, m ej or aún, un lenguaj e en huelga. Únicam ent e desde la lógica com o horizont e de cordura se puede ent ender —se puede «encont rar la gracia»— de un lenguaj e dem encial. Violar la lógica es poseerla. Así hace Carroll. En el Capít ulo 1 de su The Gam e of Logic nos dice que el m undo cont iene m uchas cosas y que est as cosas poseen at ribut os, y que los at ribut os no pueden exist ir si no es en las cosas. Los at ribut os no andan solos. Pues bien: en Alicia aparece un gat o que se va desvaneciendo poco a poco em pezando por la punt a de la cola y t erm inando por la sonrisa, que perm aneció flot ando en el aire un rat o después de haber desaparecido t odo el rest o, «Bien — pensó Alicia— he vist o m uchas veces un gat o sin sonrisa, pero ¡una sonrisa sin gat o! ¡Esa es la cosa m ás curiosa que he vist o en t oda m i vida! » Pero ant es de desaparecer con su sonrisa a la zaga, el gat o de Chesshire se había aplicado a dem ost rar su propia condición de dem ent e m ediant e la siguient e inferencia: ¿Cóm o sabes que t ú est ás loco?» —pregunt a Alicia. «Para em pezar —repuso el gat o—, los perros no est án locos. ¿De acuerdo?» «Supongo que no» —dij o Alicia. «Bueno, pues ent onces —cont inuó el gat o—, observarás que los perros gruñen cuando algo no les gust a, y m ueven la cola cuando est án cont ent os. En cam bio yo gruño cuando est oy cont ent o y m uevo la cola cuando m e enoj o: luego est oy loco.» 19 Carroll era, según propia confesión, «prim ero un inglés y después un .conservador». Era not orio su absolut o desint erés por los problem as de la clase obrera inglesa de su t iem po, desint erés t ant o m ás llam at ivo cuant o que Carroll vivía en el país y en la época en que t ales problem as com enzaban a ponerse de m anifiest o del m odo m ás t enso. Se ha dicho m uchas veces que Charles Dodgson era ant e t odo un burgués bienpensant e en una sociedad t an caract eríst icam ent e convencional com o la vict oriana. Acept aba el est ado de cosas, la vida m onót ona y est rict a que le im pusieron. 18 19 Wit t genst ein: Philosophische Unt ersuchungen, núm . 38 Alice's Adv ent ures in Wonder land, cap. VI Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 13 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Por eso buscó descargar su t ensión en el m undo de los sueños. Acept aba la lógica —cosa bast ant e lógica— y por eso t rat aba, com o hem os vist o, de hacerla int eligible y agradable. Eso dice. Pero lo que sus escrit os lógicos m uest ran es ot ra cosa: la represent ación de su neurosis, la escenificación de la t ensión ent re purit anism o y desenfreno a que su vida est uvo som et ida. Por el t iem po en que Carroll com enzó a escribir sus libros de lógica com enzó t am bién a sufrir alucinaciones. Algún rom ánt ico podría pensar que ent re lo uno y lo ot ro había una relación de causa a efect o. Parece, sin em bargo, m ás razonable pensar que lo uno y lo ot ro, su neurosis lógico- form al y sus ilusiones ópt icas, son efect os de una m ism a causa: sus inhibiciones. En una ocasión, I rene Barnes, deliciosa act riz de quince años, pasó una sem ana con Charles Carroll en un lugar j unt o al m ar. No se puede decir que Carroll haya sacado part ido de la sit uación. I rene relat a así su avent ura: «Lo recuerdo ahora com o un hom bre m uy delgado, alt o, de rost ro fresco y j uvenil, con el cabello blanco y un aire de ext rem ada pulcrit ud... Su gran placer —m ient ras la gent e gozaba en el j ardín y la luna brillaba en el m ar— era enseñarm e su j uego de lógica.» 20 2 . Ace r ca de l pu e st o de Le w is Ca r r oll e n la h ist or ia de la lógica . «Que la lógica ha ent rado, desde los t iem pos m ás ant iguos, en el seguro cam ino de la ciencia lo prueba el que desde Arist ót eles no ha t enido que ret roceder un solo paso, a no ser que se quiera considerar com o m ej oras el despoj arla de algunas sut ilezas superfluas o el darle una claridad m ás acabada en la exposición, cosas am bas que m ás pert enecen a la elegancia que a la seguridad de la ciencia. Es t am bién digno de at ención el que t am poco haya podido dar hast a ahora ningún paso hacia adelant e, de m odo que, según t oda verosim ilit ud, parece est ar conclusa y perfect a.» 21 20 Cit ado por NI . Gardner, en op, cit ., pp. 13- 14 I . Kant : K. der R. V., B VI I I : seguim os la t raducción de la Crít ica de la Razón Pura de Andrés Sánchez Pascual, de próxim a publicación. 21 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 14 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Que el asert o de Kant ha sido am pliam ent e refut ado es algo t an obvio que ni siquiera m erece la pena ofrecer pruebas de ello. La lógica ha dado m uchos pasos adelant e, ant es y después de Kant . Ahora bien: si nos at enem os exclusivam ent e a sus libros de lógica no podem os decir que Carroll haya cont ribuido a ese avance. Verdad es que sus int ereses eran t an sólo didáct icos. Pero verdad es t am bién que en sus libros de lógica no hay sino «una claridad m ás acabada en la exposición y un añadido de sut ilezas divert idas». Y en ello conviene insist ir t ant o m ás cuant o que en nuest ro país —por increíble que ello pueda parecer— hay t odavía quien piensa que la lógica form al se divide en concept o, j uicio y raciocinio. No vaya a ser que alguien piense que la lógica de Carroll es t oda la lógica. Sabido es que durant e m uchos siglos la lógica «oficial» —a pesar de los est oicos, a pesar de los lógicos del siglo XI V, a pesar de Leibniz, a pesar de m uchos ot ros— ha sido la silogíst ica arist ot élica. O —para ser m ás exact os y no ofender la m em oria de Arist ót eles— una silogíst ica ,arist ot élica em pobrecida y pet rificada. Una lógica que est udia sólo diecinueve silogism os es una lógica canij a. Una lógica que est udia sólo diecinueve silogism os y pret ende encim a que se t rat a de las únicas form as posibles de razonam ient o deduct ivo es una lógica ridícula. Hoy sabernos que en la m ent e hum ana hay m uchas m ás posibilidades deduct ivas que las que han podido soñar los em balsam adores de Arist ót eles. A part ir del siglo XI X la lógica ha experim ent ado un progreso acelerado que ha convert ido la silogíst ica arist ot élica en un pequeño conj unt o de t eorem as de la lógica cuant ificacional de prim er orden m onádica ( o de la lógica de clases, a elegir) . Est o no quit a genialidad a Arist ót eles, pero en cam bio quit a la razón a quienes le han hecho el m enguado favor de proclam arse discípulos suyos. Todo lo que había de propiam ent e lógico en la lógica escolást ica ha quedado incorporado, com o unas got as de agua en un m ar, a la lógica en su form a act ual. El rest o es m et afísica o psicología, lo cual no t iene nada de m alo, pero t am poco t iene nada de lógico- form al. En los sesent a y t res años que m edian ent re The Mat hem at ical Analysis of Logic ( 1847) de George Boole y los Principia Mat hem at ica ( 1910- 13) de Whit ehead y Russell la lógica se desarrolló con m ás rapidez de la que est am os t eniendo nosot ros al cont arlo. En la m edida en que la hist oria de una ciencia puede ser descrit a Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 15 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll cit ando una serie de fechas, cabe decir que 1879 es la fecha decisiva en la hist oria cont em poránea de nuest ra disciplina. Esa es, en efect o, la fecha en que Frege publica su Begriffsschrift , el prim er sist em a com plet o de lógica m oderna, en el que la lógica de t érm inos —de t radición arist ot élica— y la lógica de proposiciones ——de t radición m egárico- est oica—, que hast a ent onces se habían considerado com o dos lógicas dist int as e incluso incom pat ibles, aparecen art iculadas com o dos dist int os apanados de una lógica única. Russell, Gilbert , Lukasiewicz, Carnap, Tarski, Gödel son sólo los nom bres de algunos de los aut ores que en el t ranscurso de pocas décadas han cont ribuido a la const rucción de un nuevo edificio de la lógica, de una lógica reest ruct urada y renovada, organizada ahora de un m odo coherent e y abiert a const ant em ent e a nuevos desarrollos; una lógica, por añadidura, desde la cual est á siendo posible ent ender el sent ido de t oda la hist oria de la lógica y recuperar aut ores y hallazgos olvidados; una lógica, en definit iva, const it uida ya en ciencia form al, com o pueda serlo la m at em át ica. La viej a lógica, fuent e del desprest igio de los lógicos ent re los cient íficos, ha quedado t rit urada o incorporada. Lo que a veces se llam a «lógica m at em át ica», «logíst ica», et cét era, es sim plem ent e la lógica form al m ism a, la lógica sin m ás, la única. La dialéct ica es ot ra cosa: una filosofía quizá un em brión de ciencia. La lógica escolást ica es t am bién ot ra cosa: una m om ia con la que se especula ( en el doble sent ido de la palabra “ especular” ) . Pues bien: Lewis Carroll era cont em poráneo de t odos esos progresos en el desarrollo de la lógica. Cont em poráneos ,suyos eran Boole, De Morgan, Peirce, Frege, et cét era. Pase que no t uviera not icia de Frege. Al fin y al cabo, Frege era alem án, y ya se sabe que el Canal de la Mancha es una front era cult ural difícilm ent e franqueable. El propio Russell no supo de Frege hast a m uy t arde. Pero Book De Morgan vivían y escribían cerca de Carroll, a veces en las m ism as revist as que ést e. De los libros lógicos de Carroll est án ausent es esos nuevos desarrollos. Ya hem os dicho que las int enciones de Carroll eran pedagógico- recreat ivas, y en est e sent ido lo que en él hay es claridad en la exposición, y no novedad en lo expuest o. Pero t am bién podía haber expuest o con la m ism a claridad la nueva lógica que algunos de sus colegas est aban const ruyendo, Ahora bien: si en sus libros de lógica Carroll es t an sólo un Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 16 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll agudo y divert ido exposit or de Un saber t radicional, ot ra cosa sucede con sus art ículos. Si sus libros de lógica no cont ienen sino una lógica escolást ica neurot izada, sus art ículos, en cam bio, plant ean con sorprendent e lucidez algunos problem as clave de la lógica cont em poránea. La paradoj a de los t res peluqueros22 suscit a el viej o 23 problem a de la llam ada «im plicación m at erial» «si p, ent onces q») , y la paradoj a lógica a la que se refiere el t it ulo es precisam ent e una de las paradoj as de la im plicación m at erial: una proposición falsa im plica cualquier proposición. Ex falso sequit ur quodlibet . Por su part e, el debat e ent re Aquiles y la Tort uga 24 es una hist oria con m oralej a lógica. La m oralej a es que es necesario dist inguir ent re leyes lógicas y reglas lógicas de inferencia. Una ley lógica es, por ej em plo, ést a: [ ( p  q) · —q]  —p. Una regla de inferencia —la que corresponde j ust am ent e a la ley que acabam os de t ranscribir— sería: «Si t om am os com o prem isa un condicional y la negación de su consecuent e, podem os inferir la negación del ant ecedent e com o conclusión». Las leyes pert enecen al lenguaj e, son expresiones del cálculo. Las reglas, por el cont rario, son expresiones sobre las expresiones del cálculo: pert enecen al m et alenguaj e. Una expresión com o «( A) Dos cosas iguales a una t ercera son iguales ent re si» pert enece al lenguaj e ( al lenguaj e de la geom et ría de Euclides, concret am ent e) . Una expresión com o «( C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera» pert enece al m et alenguaj e. No se puede, com o pret ende el ágil Aquiles, dar el salt o de la una a la ot ra. Aquiles no dist ingue ent re lenguaj e y m et alenguaj e. La Tort uga, sí, y por eso t ort ura a Aquiles hast a el infinit o. Una vez m ás, Carroll dij o cosas im port ant es sin darles im port ancia. 3 . Ace r ca de la e st r u ct u r a y con t e n ido de la pr e se n t e e dición . 22 Ver Una paradoj a lógica, de est a edición Calím aco, bibliot ecario de Alej andr ía, decía en el siglo I I ant es de Crist o: «Hast a los cuervos graznan en los t ej ados sobre cuál es la im plicación correct a» ( Sext o Em pír ico: Adversus Mat hem at icos, VI I I , 112) . 24 Ver La t ort uga y Aquiles de est a edición 23 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 17 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Una ant ología de los escrit os lógicos de Carroll t iene com o m arco de selección los siguient es t ext os:     The Gam e of Logic. Londres, Macm illan, 1887. Sym bolic Logic. Part 1: Elem ent ary. Londres, Macm illan, 1896; cuart a edición, 1897. «A Logical Paradox». En Mind, N. S., núm . 11 ( j ulio 1894) . «What t he Tort oise said t o Achines», Publicado en Mind, N. S., vol. I V, núm . 14 ( abril 1895) 25 . Nuest ra selección se com pone:   De los dos art ículos cit ados en últ im o lugar. Del t ext o casi com plet o de Sym bolic Logic. De est a obra no hem os t raducido ent ero el libro VI I I ( «Exam pies wit h Answ ers and Solut ions») , lim it ándonos a seleccionar unos cuant os ej ercicios de ent re los m ás delirant es. Tam poco hem os t raducido en su t ot alidad el Apéndice para profesores. Falt an de él algunas páginas en las que Carroll discut e problem as lógicos m uy t écnicos, de int erés únicam ent e para el especialist a en hist oria de la lógica. Asim ism o hem os excluido de nuest ra edición —salvo algunas incrust aciones que se indican en not a— el t ext o ínt egro de The Gam e of Logic. La razón es que est a obra no const it uye, com o el m ism o Carroll señala, m ás que un esbozo incom plet o de su obra post erior, de t al m odo que t odo lo que aparece en aquélla est á en ést a incluido y desarrollado. Una últ im a palabra acerca de la t raducción. En su exposición, Carroll ut iliza const ant em ent e los m ism os t érm inos, los m ism os giros, las m ism as frases, en una repet ición obsesiva, casi kafkiana ( hablar de Kafka en relación con Carroll no t iene, com o es sabido, nada de grat uit o) . Hem os procurado conservar en nuest ra versión esas repet iciones, t al vez poco elegant es, pero m uy reveladoras del clim a del libro. 25 La t raducción de The Gam e of Logic y de Sym bolic Logic la hem os hecho sobre la edición m oderna de am bas : Sym bolic Logic and The Gam e of Logic ( bot h books bound as one) . Nuev a York, Dover , 1958. El t ext o de Sy m bolic Logic es, nat ur alm ent e, el de la cuar t a edición. Para la t raducción de «A Logical Paradox » hem os ut ilizado la versión que de ella ofr ece St uar t Dodgson Collingwood en Diver sions and Digressions of Lewis Carroll ( for m er ly ent it led The Lewis Carroll Pict ur e Book) . Nueva York, Dover, 1961, pp. 312k 316. El t ext o de «What t he Tort oise said t o Achines» que hem os seguido es el de la rev ist a Mind, donde se publicó por vez prim era. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 18 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Quizá alguien se pregunt e por qué, habiendo excluido de nuest ra edición el t ext o de The Gam e of Logic, la hem os t it ulado, sin em bargo, El j uego de la lógica. Pues porque lo que Carroll nos ofrece no es propiam ent e un libro de lógica, sino un j uego de lógica. Lást im a que Carroll no haya vivido en nuest ro t iem po, para poder j ugar con t oda la lógica, y no sólo con una m ínim a part e de ella. Esperem os que surj a un lógico lo suficient em ent e hábil, lo suficient em ent e j ocundo y lo suficient em ent e reprim ido com o para seguir sus pasos. Est a colección de t ext os es una m uest ra de esquizofrenia ( en el sent ido explicado en el apart ado 1, sent ido m et afórico, y, por ot ra parle, et im ológico) . La ofrecem os en cast ellano con la esperanza de que les sea de alguna ut ilidad a los burgueses m alpensant es que hayan elegido el cam ino de la carrollización. Alfredo Deaño, j unio de 1971 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 19 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll I n t r odu cción pa r a e st u dia n t e s Un silogism o r e su e lt o Esa hist oria que ust ed m e cuent a acerca de su encuent ro con una serpient e de m ar siem pre m e hace bost ezar. Yo sólo bost ezo cuando est oy oyendo algo t ot alm ent e desprovist o de int erés La s pr e m isa s por se pa r a do La s pr e m isa s com bina da s Con clu sión Al est udiant e que experim ent e un deseo serio de com probar si est e librit o le proporciona o no le proporciona los m at eriales para una m uy int eresant e recreación int elect ual, se le exhort a encarecidam ent e a que observe las siguient es norm as: Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 20 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 1. Em pezar por el principio, sin perm it irse sat isfacer una curiosidad ociosa chapot eando en el libro aquí y allá. Est o le llevaría verosím ilm ent e a dej arlo a un lado con el siguient e com ent ario: «¡Es dem asiado duro para m í! », desperdiciando así la oport unidad de enriquecer su acervo de delicias int elect uales. Est a regla ( la de no chapot ear) es m uy deseable que se siga con ot ros t ipos de libros —t ales com o novelas, por ej em plo, donde puede ust ed fácilm ent e echar a perder gran part e del goce que de ot ro m odo podría obt ener del relat o chapot eando en él const ant em ent e, de t al m odo que lo que el aut or había previst o com o agradable sorpresa aparece ant e ust ed com o algo de caj ón. Conozco alguna gent e que hace la experiencia de leer el Volum en I I I ant es de t om arse la m olest ia de leer el Volum en I . Quizá lo hacen para cerciorarse de que t odo t erm ina felizm ent e— que los am ant es t an perseguidos acaban después de t odo por casarse, que se dem uest ra la inocencia del prot agonist a en el asesinat o, que el m alvado prim o ha fracasado por com plet o en sus int rigas y recibe el cast igo que m erece, que el t ío adinerado que est á en la I ndia ( Pregunt a. —¿Por qué en la I ndia? Respuest a. —Porque, de algún m odo, los t íos no pueden nunca hacerse ricos en ninguna ot ra part e) m uere exact am ent e en el m om ent o adecuado. Est o, digo, es perm isible con una Novela, donde el volum en I I I t iene un sent ido incluso para los que no han leído la part e ant erior de la hist oria; pero con un libro cient ífico es pura dem encia; la últ im a part e la encont rará ust ed desesperadam ent e inint eligible si la lee ant es de haber llegado a ella en una. 2. No em piece ningún nuevo capít ulo o sección hast a t ant o no est é ciert o de que ha ent endido ust ed com plet am ent e t odo lo ant erior y no haya resuelt o correct am ent e la m ayoría, si no t odos los ej em plos que se han puest o. Si t iene ust ed conciencia de que t odo el t erreno que ha recorrido est á absolut am ent e conquist ado y de que no est á dej ando a sus espaldas dificult ades sin resolver, su m archa t riunfal será fácil y deliciosa. Si procediera de ot ro m odo vería ust ed cóm o su est ado de confusión iba a peor a m edida que avanzaba, hast a llegar a abandonarlo t odo en m edio de un com plet o fast idio. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 21 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 3. Cuando llegue a algún pasaj e que no ent ienda léalo de nuevo; si t odavía no lo ent iende, léalo de nuevo. Si fracasa incluso después de t res lect uras, habrá que pensar que su cerebro se encuent ra un poco cansado. En ese caso, dej e el libro, dedíquese a ot ras ocupaciones y al día siguient e, cuando vuelva a él fresco, verá probablem ent e que se t rat a de algo com plet am ent e fácil. 4. Si es posible, provéase de algún am igo genial que le acom pañe en la lect ura del libro y en la discusión de las dificult ades. Discut ir es un m aravilloso m odo de allanar los obst áculos. Yo, cuando m e t opo —en lógica o en cualquier ot ro t erreno difícil— con algo que m e sum e en t ot al perplej idad, encuent ro que es un plan excelent e com ent arlo en voz alt a incluso cuando est oy com plet am ent e solo. ¡Se puede uno explicar t an claram ent e las cosas a si m ism o ! Y adem ás, com o ust ed sabe, ¡es uno t an pacient e consigo m ism o ! Uno nunca se irrit a con la propia est upidez! Si observa ust ed fielm ent e est as reglas, querido lect or, y som et e así a m i libro a una prueba verdaderam ent e obj et iva, le prom et o con la m áxim a confianza que la lógica sim bólica aparecerá ant e ust ed com o una de las m ás —si no la m ás— fascinant e de las recreaciones int elect uales. En est a prim era part e he evit ado cuidadosam ent e t odas las dificult ades que, a m i m odo de ver, desbordaran los lim it es de com prensión de un niño int eligent e de, por ej em plo, doce o cat orce años. Yo m ism o he enseñado la m ayoría de m is t em as, viva voce, a m uchos niños, y m e he encont rado con que t om aban un aut ént ico e int eligent e int erés en el asunt o. A aquellos que hayan logrado dom inar la part e I y que em piezan, com o Oliver, «a pedir m ás», espero proporcionarles, en la part e I I , algunas nueces t olerablem ent e duras que cascar, nueces que requerirán el em pleo de t odos los cascanueces de que dispongan. La recreación int elect ual es algo que t odos necesit am os para nuest ra salud m ent al; y es indudable que se puede lograr un gran goce saludable con j uegos com o el del chaquet e, el del aj edrez, o el nuevo j uego «Halm a». Pero, al fin y al cabo, cuando ust ed ya ha llegado a dom inar cualquiera de est os j uegos, no obt iene de ello ningún result ado que pueda m ost rar. Ust ed disfrut a del j uego y de la vict oria, no lo dude, pero no ent ra en posesión de ningún result ado que pueda at esorar y del que pueda Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 22 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll sacar provecho efect ivo. Y, en el ent ret ant o, ha dej ado ust ed sin explot ar una m ina perfect a de salud. Dom ine ust ed la m aquinaria de la lógica sim bólica y t endrá siem pre a m ano una ocupación int elect ual que absorberá su int erés y que será de una efect iva ut ilidad en cualquier t em a del que pueda ocuparse. Ello le proporcionará la claridad de pensam ient o y la habilidad para encont rar el cam ino en m edio de la confusión, el hábit o de disponer sus ideas de una form a m et ódica y ordenada y —lo cual vat e m ás que t odo eso— el poder de det ect ar falacias y despedazar los argum ent os insust ancialm ent e ilógicos que encont rará de cont inuo en los libros, en los periódicos, en los discursos e incluso en los serm ones, y que con t ant a facilidad engañan a los que nunca se han t om ado la m olest ia de aprender est e art e fascinant e. I nt ént elo. Es lo único que le pido. L. C. 29, Bedford St reet , St rand 21 de febrero de 1896 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 23 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 1 La s cosa s y su s a t r ibu t os 1 . I n t r odu cción El Universo cont iene “ Cosas” . [ Por ej em plo, «yo», «Londres», «rosas», «verdor», «libros ingleses viej os», «la cart a que recibí ayer».] Las Cosas t ienen “ At ribut os” . [ Por ej em plo, «grande», «verde», «viej o», «que recibí ayer».] Una Cosa puede poseer m uchos At ribut os; y un At ribut o puede pert enecer a m uchas Cosas. [ Así, la Cosa «una rosa» puede poseer los At ribut os «roj a», «perfum ada», «abiert a», et c.; y el At ribut o «roj o» puede pert enecer a las Cosas «una rosa», «un ladrillo», «una cint a», et c.] 2 . La Cla sifica ción La “ Clasificación” o form ación de Clases es un Proceso Ment al en el que im aginam os que hem os reunido en un grupo ciert as cosas. A ese grupo se le llam a una “ Clase” . Est e proceso se puede llevar a cabo de t res m odos diferent es, a saber: 1. Podem os im aginar que hem os reunido t odas las cosas. La clase así form ada ( es decir, la clase «Cosas») cont iene el Universo ent ero. 2. Podem os pensar en la clase «Cosas» e im aginar que hem os espigado en ella t odas las cosas que poseen un det erm inado at ribut o no poseído por la clase ent era. Decim os que est e at ribut o es “ peculiar” de la clase así form ada. En est e caso, a la clase «Cosas» se le llam a un “ Género” con respect o a la clase que hem os const ruido: a est a Clase se le llam a una “ Especie” de la clase «Cosas»: y al at ribut o peculiar se le llam a su “ Diferencia” . Com o est e proceso es ent eram ent e m ent al, podem os llevarlo a cabo haya o no haya una cosa Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 24 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll exist ent e que posea ese at ribut o. Si la hay, se dice que la clase es “ Real” ; si no, se dice que es ` I rreal” o “ I m aginaria” . [ Por ej em plo, podem os im aginar que hem os ent resacado, de la clase «Cosas», t odas las cosas que poseen el conj unt o de at ribut os «m at erial, art ificial, com puest o de casas y calles»; y podem os form ar de est e m odo la clase real «ciudades». Aquí consideraríam os a «Cosas» com o un Género, a «Ciudades» com o una Especie de cosas y a «m at erial, art ificial, com puest o de casas y calles» com o su Diferencia. O podem os im aginar que hem os ent resacado las cosas que poseen un conj unt o de at ribut os «que pesan una t onelada, que pueden ser levant adas fácilm ent e por un niño»; y podem os form ar así la clase im aginaria «Cosas que pesan una t onelada y que pueden ser levant adas fácilm ent e por un niño».] 3. Podem os pensar en una det erm inada clase —que no sea la clase «Cosas»— e im aginar que hem os ent resacado de ella t odos aquellos m iem bros suyos que poseen un ciert o at ribut o no poseído por la clase ent era. De est e at ribut o se dice que es “ peculiar” a la clase inferior así form ada. En est e caso, la clase en la que se ha pensado se llam a un “ Género” respect o a la clase inferior ext raída de ella: la clase inferior se llam a una “ Especie” de la superior: y su at ribut o peculiar se llam a su “ Diferencias. [ Por ej em plo, podem os pensar en la clase «ciudades» e im aginar que hem os ent resacado de ella t odas las ciudades que poseen el at ribut o «alum bradas con gas»; y podem os ent onces form ar la clase real «ciudades alum bradas con gas». En est e caso podem os considerar a «ciudades» com o un Género, a «ciudades alum bradas con gas» com o una Especie de ciudades, y a «alum bradas con gas» com o su Diferencia. Si en el ej em plo ant erior cam biáram os «alum bradas con gas» por «pavim ent adas con oro», obt endríam os la dase im aginaria «ciudades pavim ent adas con oro».] Una clase que cont enga un solo m iem bro se llam a un “ I ndividuo” . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 25 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Por ej em plo, la clase «ciudades con m ás de cuat ro m illones de habit ant es en 1896», que sólo t iene un m iem bro, «Londres».] Por lo t ant o, cualquier cosa singular que podam os nom brar dist inguiéndola de las dem ás cosas se puede considerar com o una clase de un solo m iem bro. [ Así. «Londres» se puede considerar com o la clase de un solo m iem bro ext raída de la clase «ciudades» y que t iene com o Diferencia «t ener cuat ro m illones de habit ant es en 1896».] Una clase que cont enga dos o m ás m iem bros se considera a veces com o una sola cosa. Cuando se la considera así se le pueden asignar at ribut os que sus m iem bros t om ados separadam ent e no poseen. [ Así, la clase «los soldados del décim o regim ient o», cuando se considera com o una sola cosa, puede poseer el at ribut o «form ados en cuadro», at ribut o que sus m iem bros t om ados separadam ent e no poseen.] 3 . La D ivisión § 1. I nt roducción La “ División” es un proceso m ent al por el cual pensam os en una det erm inada clase de cosas e im aginam os que la hem os dividido en dos o m ás clases inferiores. [ Así, podem os pensar en la clase «libros» e im aginar que la hem os dividido en dos clases inferiores: «libros encuadernados» y «libros sin encuadernar»; o en las t res clases siguient es: «libros que cuest an m enos de un chelín», «libros de a chelín» y «libros que cuest an m ás de un chelín»; o en las siguient es veint iocho clases: «libros cuyo t ít ulo em pieza por A», «libros cuyo t ít ulo em pieza por B», et c.] Una clase que ha sido obt enida m ediant e una det erm inada división se dice que es “ codivisional” con t oda clase obt enida m ediant e esa división. [ Así, la clase «libros encuadernados» es codivisional con cada una de las dos clases «libros encuadernados» y «libros sin encuadernar». De m odo sim ilar, se puede decir que la bat alla de Wat erloo fue «cont em poránea» de t odos los sucesos que t uvieron lugar en 1815.] Por t ant o, una clase obt enida por división es codivisional consigo m ism a. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 26 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Así, la clase «libros encuadernados» es codivisional consigo m ism a, De m odo sim ilar, se puede decir que la bat alla de Wat erloo fue «cont em poránea» de si m ism a.] § 2. La dicot om ía Si pensam os en una ciert a clase e im aginam os que hem os ext raído de ella una det erm inada clase inferior es evident e que el rest o de la clase superior no posee la diferencia, es decir, el at ribut o especifico de la clase inferior. Por lo t ant o, se puede considerar a ese rest o com o ot ra clase inferior cuya diferencia se puede form ar a part ir de la clase que habíam os ext raído ant eriorm ent e m ediant e el prefij o «no», y podem os im aginar que hem os dividido la clase prim it iva en dos clases inferiores cuyas diferencias son cont radict orias. A est e t ipo de división se le llam a “ Dicot om ía” [ Por ej em plo, podem os dividir «libros» en dos clases cuyas diferencias sean «viej os» y «no- viej os».] Al llevar a cabo est e proceso podem os encont ram os a veces con que los at ribut os que hem os escogido se usan de una m anera t an vaga en la conversación ordinaria que no es fácil decidir cuáles cosas pert enecen a una clase y cuáles a ot ra. En un caso sem ej ant e sería necesario est ablecer alguna regla arbit raria que det erm inara dónde t erm ina una clase y em pieza ot ra. [ Así, al dividir «libros» en «viej os» y «no- viej os» podem os decir : «Considerem os com o “ viej os” t odos los libros im presos ant es del año 1801 de nuest ra era, y t odos los dem ás com o “ no- viej os” ».] Quede bien ent endido a part ir de ahora que si dividim os una clase de cosas en dos clases cuyas diferencias t ienen significados cont rarios, cada diferencia ha de ser considerada com o equivalent e a la ot ra con la palabra «no» delant e. [ Así, si dividim os «libros» en «viej os» y «nuevos», el at ribut o «viej o» ha de ser considerado com o equivalent e a «no- nuevo», y el at ribut o «nuevo» com o equivalent e a «no- viej o».] Una vez que hem os dividido una clase, por el procedim ient o de la dicot om ía, en dos clases inferiores, podem os subdividir cada una de ést as en dos clases t odavía m ás Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 27 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll pequeñas, y est e proceso se puede repet ir una y ot ra vez, obt eniendo con cada repet ición un núm ero doble de clases. [ Por ej em plo, podem os dividir «libros» en «viej os» y «nuevos» ( es decir, «no- viej os») : podem os luego subdividir cada una de est as clases en «ingleses» y «ext ranj eros» ( es decir, «no- ingleses») , obt eniendo así cuat ro clases: 1. ( libros) viej os ingleses; 2. ( libros) viej os ext ranj eros; 3. ( libros) nuevos ingleses; 4. ( libros) nuevos ext ranj eros. Si hubiéram os em pezado dividiéndolos en «ingleses» y «ext ranj eros» y los hubiéram os subdividido luego en «viej os» y «nuevos», las cuat ro clases hubieran sido ést as: 1. ( libros) ingleses viej os; 2. ( libros) ingleses nuevos; 3. ( libros) ext ranj eros viej os; 4. ( libros) ext ranj eros nuevos. El lect or podrá ver fácilm ent e que se t rat a de las m ism as cuat ro clases que t eníam os arriba.] 4 . N om br e s La palabra «cosa», que conlleva la idea de una cosa sin idea alguna de un at ribut o, represent a cualquier cosa singular. Cualquier ot ra palabra o expresión que conlleve la idea de una cosa j unt o con la idea de un at ribut o represent a cualquier cosa que posea ese at ribut o; es decir, represent a cualquier m iem bro de la clase de la que ese at ribut o es peculiar. Tal palabra ( o expresión) se llam a un “ Nom bre” ; y si exist e alguna cosa que ese nom bre represent e se dice que es nom bre de esa cosa. [ Por ej em plo, las palabras «cosa», «t esoro», «ciudad», y las expresiones «cosa valiosa», «cosa m at erial art ificial com puest a de casas y calles», Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 28 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «ciudad alum brada con gas», «ciudad pavim ent ada con oro», «libro inglés viej o».) Así com o decim os que una clase es real o irreal según que haya o no haya una cosa exist ent e que pert enezca a ella, así t am bién se dice que un nom bre es real o irreal según que haya o no haya una cosa exist ent e represent ada por él. [ Así, «ciudad alum brada con gas» es un nom bre real; «ciudad pavim ent ada con oro» es un nom bre irreal.] Todo nom bre es o bien un sust ant ivo solo o bien una expresión que const a de un sust ant ivo y uno o m ás adj et ivos ( o expresiones usadas com o adj et ivos] . Todo nom bre, except o «Cosa», se puede expresar norm alm ent e de t res m odos dist int os: a. el sust ant ivo «cosa» y uno o m ás adj et ivos ( o expresiones usadas com o adj et ivos) que denot an los at ribut os. b. un sust ant ivo que denot e una cosa y connot e a la vez algunos de los at ribut os, y uno o m ás adj et ivos ( o expresiones usadas com o adj et ivos) que denot an los dem ás at ribut os. c. un sust ant ivo que denot e una cosa j unt o con t odos sus at ribut os. [ Así, la expresión «cosa m at erial vivient e, pert enecient e al reino anim al, dot ada de dos m anos y dos pies» es un nom bre expresado en form a ( a) . Si opt am os por agrupar el sust ant ivo «cosa» y los adj et ivos «m at erial, vivient e, pert enecient e al reino anim al» y form ar así el nuevo sust ant ivo «anim al», obt enem os la expresión «anim al que t iene dos m anos y dos pies», que es un nom bre ( que represent a la m ism a cosa que el ant erior) expresado en form a ( b) . Y si opt am os por resum ir la expresión ent era en una sola palabra y form am os el nuevo sust ant ivo «hom bre», obt enem os un nom bre ( que represent a t am bién la m ism a cosa que los ant eriores) expresado en form a ( c) .] Un nom bre cuyo sust ant ivo est á en plural se puede em plear para represent ar: 1. o bien m iem bros de una clase considerados com o cosas separadas; 2. o bien una clase ent era considerada com o una sola cosa. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 29 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Así, cuando yo digo «algunos soldados del décim o regim ient o son alt os» o «los soldados del décim o regim ient o son valient es», est oy usando el nom bre «soldados del décim o regim ient o» en el prim er sent ido ; y est o es exact am ent e lo m ism o que si yo t om ara a cada uno de ellos por separado y dij era «Est e soldado del décim o regim ient o es alt o», «Ese soldado del décim o regim ient o es alt o», et c. Pero cuando digo «los soldados del décim o regim ient o est án form ados en cuadro», est oy usando la expresión en el segundo sent ido; y est o es exact am ent e lo m ism o que si dij era «el décim o regim ient o est á form ado en cuadro».] 5 . D e fin icion e s Es evident e que t odo m iem bro de una especie es t am bién m iem bro del género del que esa especie ha sido ext raída, y que posee la diferencia de esa especie. Por t ant o, puede ser represent ado m ediant e un nom bre com puest o de dos part es: una que sea un nom bre que designe cualquier m iem bro del género, y ot ra que exprese la diferencia de esa especie. A ese nom bre se le llam a una “ Definición” de cualquier m iem bro de esa especie, y darle ese nom bre es “ definirlo” . [ Así, podem os definir un «t esoro» com o una «cosa valiosa». En est e caso, consideram os «cosas» com o el género, y «valioso» com o la diferencia.] Los siguient es ej em plos de est e proceso se pueden t orm ar com o m odelos para const ruir ot ros. [ Nót ese que, en cada definición, el sust ant ivo que represent a un m iem bro ( o m iem bros) del género est á im preso en let ras m ayúsculas.] 1. Defina ust ed «un t esoro». Resp. : «una COSA valiosa». 2. Defina «t esoros». Resp.: «COSAS valiosas». 3. Defina «una ciudad». Resp.: «COSA m at erial art ificial que se com pone de casas y calles». 4. Defina «hom bres». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e Resp.: «COSAS m at eriales, vivient es, 30 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll pert enecient es al reino anim al, dot adas de dos m anos y dos pies», o bien «ANI MALES que t ienen dos m anos y dos pies». [ El lect or puede ponerse a si m ism o cuant os ej em plos quiera de est e proceso escogiendo sim plem ent e el nom bre de cualquier cosa corrient e ( t al com o «casa», «árbol», «navaj a») , dando una definición de ella y cont rast ando su respuest a por referencia a cualquier diccionario de la lengua cast ellana.] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 31 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 2 La s pr oposicion e s 1 . D e la s pr oposicion e s e n ge n e r a l § 1. I nt roducción Nót ese que la palabra «algunos» ha de ser t om ada, de ahora en adelant e, com o si significara «uno o m ás». La palabra “ proposición” , t al com o se usa en la conversación ordinaria, se puede aplicar a cualquier palabra o expresión que com unique una inform ación cualquiera. [ Así, las palabras «sí» y «no» son proposiciones en el sent ido ordinario de la palabra; y así t am bién las expresiones com o «m e debe Ud. cinco cuart os de penique» y «¡Yo, no! ». Palabras t ales com o «¡Oh! » o «¡Nunca! » y expresiones del t ipo de «t ráigam e ese libro», «¿a qué libro se refiere?», no parecen, a prim era vist a, proporcionar ninguna inform ación; pero pueden ser t ransform adas fácilm ent e en form as equivalent es. Que serían ést as: «Est oy sorprendido», «nunca lo consent iré», «le ordeno que m e t raiga ese libro», «quiero saber a qué libro se refiere ust ed».] Pero una “ Proposición” t al com o la usam os aquí t iene una form a peculiar, que podríam os llam ar su “ form a norm al” ; y si alguna proposición que queram os usar en una argum ent ación no est á en form a norm al, debem os reducirla a esa form a ant es de poder usarla. Una “ Proposición” , cuando est á en form a norm al, afirm a, respect o de dos clases det erm inadas, que se denom inan “ Suj et o” y " Predicado” : 1. bien que algunos m iem bros de su suj et o son m iem bros de su predicado. 2. bien que ningún m iem bro de su suj et o es m iem bro de su predicado; 3. bien que t odos los m iem bros de su suj et o son m iem bros de su predicado. Al suj et o y al predicado de una proposición les llam am os sus “ Térm inos” . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 32 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica Dos proposiciones www.librosm ar avillosos.com que com unican la m ism a Lewis Carroll inform ación se dice que son “ equivalent es” . [ Así, las dos proposiciones «Yo veo a John» y «John es vist o por m i» son equivalent es.] § 2. Form a norm al de una proposición Una proposición en form a norm al const a de cuat ro part es, a saber: 1. La palabra «algunos» o «ningún» o «t odos». ( Est a palabra, que nos dice cuánt os m iem bros del suj et o son t am bién m iem bros del predicado, se llam a “ Signo de cant idad” ) 2. Nom bre del suj et o. 3. El verbo «son» ( o «es») . ( A est o se le llam a la “ Cópula” .) 4. Nom bre del predicado. § 3. Dist int os t ipos de proposiciones Una Proposición que em pieza con «algunos» se dice que es “ Part icular” . Tam bién se le llam a runa proposición en I ” . [ Nót ese que se llam a “ part icular” porque se refiere a una part e t an sólo del suj et o.] Una proposición que em pieza por «Ningún» se llam a “ Universal Negat iva” , o t am bién “ una proposición en E” . Una Proposición que em pieza por «t odos» se dice que es “ Universal Afirm at iva” , o t am bién “ una proposición en A” . [ Nót ese que se llam an «universales” porque se refieren a t odo el suj et o.] Una proposición cuyo suj et o es un individuo ha de ser considerada com o universal. [ Tornem os, com o ej em plo, la proposición «John no est á bien». Est o im plica por supuest o que hay un individuo a quien el hablant e se refiere cuando m enciona a John y a quien el oyent e conoce com o referencia del signo, Por t ant o, la clase «hom bres a los que el hablant e se refiere cuando m enciona a “ John” » es una clase de un solo m iem bro, y la proposición es equivalent e a «t odos los hom bres a los que el hablant e se refiere cuando m enciona a “ John” no est án bien».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 33 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Las proposiciones son de das t ipos: Proposiciones de Exist encia” y “ Proposiciones de relación” . Las discut irem os por separado. 2 . La s Pr oposicion e s de Ex ist e n cia Una “ Proposición de Exist encia” , cuando est á en form a norm al, t iene com o suj et o la clase «cosas exist ent es». Su signo de cant idad es «algunos» o «ninguno». [ Nót ese que, aunque su signo de cant idad nos dice cuánt as cosas exist ent es son m iem bros de su predicado, no nos dice el núm ero exact o: de hecho, sólo opera con dos núm eros, que son, en orden ascendent e, «0» y «1 o m ás».] Se le llam a «proposición de exist encia» porque m ediant e ella se afirm a el caráct er real ( es decir, la exist encia real) o bien el caráct er im aginario de su predicado. [ Así, la proposición «algunas cosas exist ent es son hom bres honest os» afirm a que la clase «hom bres honest os» es real. Est a es la form a norm al; pero t am bién se puede expresar de cualquiera de los siguient es m odos: 1. «Exist en hom bres honest os»; 2. «Exist en algunos hom bres honest os»; 3. «La clase “ hom bres honest os” exist e»; 4. «Hay hom bres honest os»; 5. «Hay algunos hom bres honest os». De m odo sim ilar, la proposición «Ninguna cosa exist ent e es un hom bre de cincuent a pies de alt ura» afirm a que la clase «hom bre de cincuent a pies de alt ura» es im aginaria. Est a es la form a norm al; pero t am bién se puede expresar de cualquiera de los siguient es m odos: 1. «No exist en hom bres de cincuent a pies»; 2. «No exist e ningún hom bre de cincuent a pies»; 3. «La clase “ hom bres de cincuent a pies” no exist e»: 4. «No hay hom bre alguno que m ida cincuent a pies»; 5. «No hay hom bres de cincuent a pies».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 34 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 3 . La s pr oposicion e s de r e la ción § I . I nt roducción Una proposición de relación del t ipo que se discut irá aquí t iene com o t érm inos dos especies del m ism o género, de t al m odo que cada uno de los dos nom bres connot a un at ribut o no connot ado por el ot ro. [ Así, la proposición «algunos m ercaderes son avaros» es del t ipo correct o, porque «m ercaderes» y «avaros» son especies del m ism o género, «hom bres»; y puest o que el nom bre «m ercaderes» connot a el at ribut o «m ercant il » y el nom bre «avaros» el at ribut o «avariciosos», result a que cada uno de los at ribut os est á connot ado por uno de los nom bres, pero no por el ot ro. En cam bio, la proposición «algunos perros son perdigueros» no es del t ipo correct o, puest o que, si bien «perros» y «perdigueros» son especies del m ism o género, «anim ales», no es ciert o que el nom bre «perros» connot e algún at ribut o no connot ado por el nom bre «perdigueros». Tales proposiciones serán discut idas en la part e I I ] El género del que los dos t érm inos son especies se llam a el “ Universo del Discurso” , o ( m ás brevem ent e) el “ Univ.” . El signo de cant idad es «algunos» o «ninguno» o «t odos». [ Nót ese que aunque su signo de cant idad nos dice cuánt os m iem bros del suj et o son t am bién m iem bros del predicado, no nos dice el núm ero exact o: de hecho, sólo opera con t res núm eros, que son, en orden ascendent e, «0», «1 o m ás» y «el núm ero t ot al de m iem bros del suj et o».] Se le llam a «una proposición de relación» porque con ella se afirm a la exist encia de una ciert a relación ent re sus t érm inos. § 2. Reducción de una proposición de relación a su form a norm al Las regias para llevar est o a cabo son las siguient es: 1. Averigüe cuál es el suj et o ( es decir, averigüe de qué clase est am os hablando) ; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 35 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. Si el verbo, regido por el suj et o, no es el verbo «son» ( o «es») , sust it úyalo por una expresión que em piece con «son» ( o «es») ; 3. Averigüe cuál es el predicado ( es decir, averigüe cuál es la clase de la que se dice que cont iene algunos, o ninguno o t odos los m iem bros del suj et o) ; 4. Si el nom bre de cada t érm ino est á com plet am ent e explícit o ( es decir, si cont iene un sust ant ivo) , no hay necesidad de det erm inar el “ Univ.” ; pero si hay algún nom bre que est á expresado de una ~ era incom plet a y cont iene sólo at ribut os, en ese caso es necesario det erm inar un “ univ.” , con el fin de insert ar com o sust ant ivo el nom bre de ese universo. 5. Averigüe cuál es el signo de cant idad; 6. Dispóngalos en el orden siguient e: Signo de cant idad, Suj et o, Cópula, Predicado. [ Veam os algunos ej em plos para ilust rar la aplicación de est as reglas. ( 1) «Un perrit o coj o no le diría a ust ed «gracias» si le ofreciera una com ba en prést am o» 1. El suj et o es evident em ent e «perrit o coj o», y t odo el rest o de la oración debe ser incluido en el predicado. 2. El verbo es «no le diría a Ud. ...», que podríam os sust it uir por la expresión «no se m ost raría agradecido». 3. El predicado se puede expresar por «... no agradecido por el ofrecim ient o de una com ba en prést am o». 4. Sea el universo «perrit os». 5. El signo de cant idad es «t odos». 6. La proposición se conviert e en est o: «Todos / los perrit os coj os / son / perros no agradecidos por el ofrecim ient o en prést am o de una com ba.» ( 2) «Algunos labradores se quej an del t iem po que hace, sea ést e el que fuere.» El suj et o es «labradores». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 36 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 1. El verbo es «se quej an», que nosot ros sust it uim os por la expresión «son que se quej an». 2. El predicado es «... que siem pre se quej an». 3. Sea el universo «personas». 4. El signo de cant idad es «algunos». 5. La proposición se conviert e en est o: «Algunos / labradores son / personas que siem pre se quej an del t iem po que hace, sea ést e el que fuere.» ( 3) «Ningún borrego es fum ador habit ual de cigarros puros.» El suj et o es «borrego». 1. El suj et o es «borrego» 2. El verbo es «es». 3. El predicado es «fum ador habit ual ...». 4. Sea el universo «anim ales». 5. El signo de cant idad es «ningún». 6. La proposición se conviene en est o: «Ningún / borrego / es / un anim al fum ador habit ual de cigarros puros.»] § 3. Una proposición de relación que em piece por «iodos» es una proposición doble Una proposición de relación que em piece por «t odos» afirm a, com o ya sabernos, que «lodos los m iem bros del suj et o son m iem bros del predicado». Evident em ent e, en est a proposición est á cont enida, com o part e de lo que se nos dice, la proposición subalt erna «algunos m iem bros del suj et o son m iem bros del predicado». [ Así, la proposición «t odos los banqueros son hom bres adinerados», cont iene evident em ent e la proposición subalt erna «algunos banqueros son hom bres adinerados».] Pero ahora se plant ea un problem a: «¿Cuál es el rest o de inform ación que est a proposición nos proporciona?» A fin de responder a est a pregunt a, em pecem os por la proposición subalt erna «algunos m iem bros del suj et o son m iem bros del predicado», y supongam os que est o es t odo lo que se nos ha dicho; procedam os Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 37 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll luego a averiguar qué m ás necesit am os que nos digan para saber que «t odos los m iem bros del suj et o son m iem bros del predicado». [ Así, supongam os que la proposición «algunos banqueros son hom bres adinerados» const it uye t oda la inform ación que poseem os; podem os ent onces proceder a averiguar qué ot ra proposición ha de ser añadida a ella, con el fin de llegar a la proposición ent era «iodos los banqueros son hom bres adinerados».] Supongam os asim ism o que el “ Univ.” ( es decir, el género del que t ant o el suj et o com o el predicado son especies) ha sido dividido ( m ediant e el proceso de dicot om ía) en dos clases inferiores, a saber: 1. el predicado; 2. la clase cuya diferencia es cont radict oria de la del predicado. [ Así, supongam os que el género «hom bres» ( del que t ant o «banqueros» com o «hom bres adinerados.» son especies) ha sido dividido en dos clases inferiores, «hom bres adinerados» y «hom bres pobres».] Ahora bien: sabem os que t odo m iem bro del suj et o es un m iem bro del Univ. Por lo t ant o, t odo m iem bro del suj et o pert enece o bien a la clase ( 1) o bien a la clase ( 2) . [ Así, sabernos que t odo banquero es m iem bro del género «hom bres». Por lo t ant o, t odo banquero o bien pert enece a la clase «hom bres adinerados» o bien a la clase «hom bres pobres».] Tam bién se nos ha dicho que, en el caso que est am os discut iendo, algunos m iem bros del suj et o pert enecen a la clase ( 1) . ¿Qué m ás necesit am os que nos digan para saber que t odos ellos pert enecen a ella? Evident em ent e necesit am os que nos digan que ninguno de ellos pert enece a la clase ( 2) ; es decir, que ninguno de ellos es m iem bro de la clase cuya diferencia es cont radict oria de la del predicado. [ Así, podem os suponer que se nos ha dicho que algunos banqueros pert enecen a la clase «hom bres adinerados». ¿Qué m ás necesit am os que nos digan para saber que pert enecen t odos? Evident em ent e necesit am os que nos digan que ninguno de ellos pert enece a la clase «hom bres pobres».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 38 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Por lo t ant o, una proposición de relación que em piece por «t odos» es una proposición doble y es “ equivalent e” a ( es decir, proporciona la m ism a inform ación que) las dos proposiciones siguient es: 1. «Algunos m iem bros del suj et o son m iem bros del predicado»; 2. «Ningún m iem bro del suj et o es m iem bro de la clase cuya diferencia es cont radict oria de la del predicado». [ Así, la proposición «Todos los banqueros son hom bres adinerados» es una proposición doble, y equivale a est as dos proposiciones: 1. «Algunos banqueros son hom bres adinerados»; 2. «Ningún banquero es hom bre pobre».] § 4. ¿Qué es lo que est á im plicado, en una proposición de relación, respect o de la realidad de sus t érm inos? Nót ese que las reglas aquí est ablecidas son arbit rarias y sólo se aplican a la Part e I de m i «Lógica Sim bólica». Una proposición de relación que em piece por «algunos» será ent endida de ahora en adelant e com o si afirm ara que hay algunas cosas exist ent es que, siendo m iem bros del suj et o, son t am bién m iem bros del predicado; es decir, que algunas cosas exist ent es son m iem bros de am bos t érm inos a la vez. Por lo t ant o, se ha de ent ender com o si im plicara que cada uno de los t érm inos, t om ado aisladam ent e, es real. [ Así, la proposición «algunos hom bres adinerados son inválidos» se ha de ent ender com o si afirm ara que algunas cosas exist ent es son «hom bres adinerados inválidos». Por lo t ant o, im plica que cada una de las dos clases, «hom bres adinerados» e «inválidos», t om ada aisladam ent e, es real.] Una proposición de relación que em piece por «ningún» se ent enderá de ahora en adelant e com o si afirm ara que no hay ninguna cosa exist ent e que, siendo m iem bro del suj et o, sea t am bién m iem bro del predicado; es decir, que no hay ninguna cosa exist ent e que sea m iem bro de am bos t érm inos a la vez. Pero est o no im plica nada con respect o a la realidad de cualquiera de los t érm inos t om ados aisladam ent e.. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 39 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Así, la proposición «ninguna sirena es m odist a» se ent enderá com o si afirm ara que ninguna cosa exist ent e es una «sirena- m odist a». Pero est o no im plica nada respect o de la realidad o irrealidad de cualquiera de las dos clases, «sirenas» y «m odist as», t om adas aisladam ent e. En est e caso en concret o se da la circunst ancia de que el suj et o es im aginario y el predicado real.] Una proposición de relación que em piece por «t odos» cont iene ( véase 3) una proposición sim ilar que em piece por «algunos». Por t ant o, se ent enderá com o si im plicara que cada uno de los t érm inos, t om ado aisladam ent e, es real. [ Así, la proposición «t odas las hienas son anim ales salvaj es» cont iene la proposición «algunas hienas son anim ales salvaj es». Por t ant o, est o im plica que cada una de las dos clases, «hienas» y «anim ales salvaj es», t om ada aisladam ent e, es real.] § 5. Traducción de una proposición de relación a una o m ás proposiciones de exist encia Hem os vist o que una proposición de relación que em pieza con «algunos» afirm a que algunas cosas exist ent es que son m iem bros de un suj et o son m iem bros t am bién de su predicado. Por lo t ant o, lo que afirm a es que algunas cosas exist ent es son m iem bros de am bos; es decir, que algunas cosas exist ent es son m iem bros de la clase de cosas que poseen t odos los at ribut os del suj et o y del predicado. Así pues, para t raducirla a una proposición de exist encia t om am os «cosas exist ent es» com o el nuevo suj et o, y las cosas que poseen t odos los at ribut os del suj et o y del predicado com o el nuevo predicado. De m odo sim ilar procederem os con una proposición de relación que em piece por «ninguno». Una proposición de relación que em piece por «t odos» es ( t al com o se m uest ra en 3) equivalent e a dos proposiciones, una de las cuales em pezará por «algunos» y la ot ra por «ninguno», Sabem os ya cóm o t raducir cada una de ellas. [ Veam os algunos ej em plos que ilust ren la aplicación de est as reglas. ( 1) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 40 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Algunos labradores se quej an del t iem po que hace, sea ést e el que fuere.» La ordenación seria ést a: «Algunas / cosas exist ent es / son / labradores que siem pre se quej an del t iem po que hace, sea ést e el que fuere.» ( 2) «Ningún borrego es fum ador habit ual de cigarros puros.» La ordenación seria ést a: «Ninguna / cosa exist ent e / es / un borrego fum ador de cigarros puros.» ( 3) «Todos los banqueros son hom bres adinerados.» Est o equivale a las dos proposiciones siguient es: «Algunos banqueros sen hom bres adinerados» y «Ningún banquero es hom bre pobre.» La ordenación seria ést a: " «Algunas / cosas exist ent es / son / banqueros adinerados»; y «Ninguna / cosa exist ent e / es / un banquero pobre.»] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 41 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 3 El dia gr a m a bilit e r a l xy xy' x'y x'y’ 1 . Sím bolos y ce ldilla s Supongam os en prim er lugar que el diagram a arriba reproducido es un espacio asignado a una ciert a clase de cosas que hem os seleccionado com o nuest ro “ Universo del discurso” o, m ás brevem ent e, com o nuest ro “ Univ.” [ Por ej em plo, podem os decir: «sea el universo “ libros” »; y podem os im aginar que el diagram a es un gran t ablero asignado a t odos los libros. Se recom ienda vivam ent e al lect or que, al leer est e capít ulo, no t om e com o punt o de referencia el diagram a arriba expuest o, sino que diseñe uno de m ayor t am año para su uso part icular, sin let ras, que lo t enga a su lado m ient ras lee y que t enga su dedo sobre aquella part e concret a de él a la que se refiera lo que est á leyendo.] En segundo lugar, supongam os que hem os seleccionado un det erm inado at ribut o o conj unt o de at ribut os que podem os llam ar «x», y hem os dividido la clase superior, represent ada por el diagram a ent ero, en dos clases inferiores cuyas diferencias son «x» y «no- x» ( que podríam os llam ar «x') } ) , y hem os asignado la m it ad nort e del diagram a a una de ellas ( que podríam os llam ar «la clase de las cosas x» o «la clase x») y la m it ad sur a la ot ra ( que podríam os llam ar «la clase de las cosas x'» o «la clase x’») . [ Por ej em plo, podem os decir: «Convengam os en que x significa “ viej o” , de t al m odo que x' significará “ nuevo” y podem os suponer que hem os dividido los libros en las dos clases cuyas diferencias son «viej os» y «nuevos y que hem os asignado la m it ad nort e del t ablero I «libros viej os» y la m it ad sur a «libros nuevos».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 42 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll En t ercer lugar, supongam os que hem os seleccionado ot ro at ribut o o conj unt o de at ribut os, que podem os llam ar «y», y que hem os subdividido la clase x en dos “ clases cuyas diferencias son «y» y «y’», y que hem os asignado la celdilla noroccident al a una de ellas ( que podem os llam ar «la clase xy») , y la celdilla nororient al a la ot ra ( que podem os llam ar «la clase xy’») . [ Por ej em plo, podem os decir «convengam os en que y significa “ inglés” , de t al m odo que y' significará “ ext ranj ero” », y podem os suponer que hem os subdividid «libros viej os» en las dos clases cuyas diferencias son «ingleses» y «ext ranj eros», y que hem os asignado la celdilla noroccident al a «libros viej os ingleses», y a la celdilla nororient al a «libros viej os ext ranj eros».] En cuart o lugar, supongam os que hem os subdividido la clase x' del m ism o m odo, y que hem os asignado la celdilla suroccident al a la clase x’y, y la celdilla sur orient al a la clase x’y’. [ Por ej em plo, podem os suponer que hem os subdividido «libros nuevos» en las dos clases «libros nuevos inglés» y «libros nuevos ext ranj eros», y que hem os asignado a la celdilla suroccident al a una, y la celdilla surorient al a la ot ra] Es evident e que si hubiéram os em pezado dividiendo en y e y' y luego hubiéram os subdividido en x y x’ hubiéram os obt enido las m ism as cuat ro clases. Vem os por t ant o que hem os asignado la m it ad occident al a la clase y, y la m it ad orient al a la clase y'. [ Así, en el ej em plo de ant es, nos encont raríam os que habíam os asignado la m it ad occident al del t ablero a «libros ingleses» y la m it ad orient al a «libros ext ranj eros».] De hecho, hem os asignado los cuat ro cuart eles del t ablero a cuat ro clases diferent es de libros, com o verse: Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 43 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Libros Libros ingleses ext ranj eros viej os viej os Libros Libros ingleses ext ranj eros nuevos nuevos Lewis Carroll El lect or recordará que, en una expresión com o «las cosas x», la palabra «cosas» significa aquel t ipo part icular de cosas al que se ha asignado el diagram a ent ero. [ Así, si decim os «sea “ libros” nuest ro universo del discurso», querem os indicar que hem os asignado el diagram a ent ero a la clase «libros». En ese caso, si convenirnos en que «x» signifique «viej o», la expresión «las cosas x» significaría «los libros viej os»] El lect or no debe pasar al capít ulo siguient e hast a t ant o no se haya fam iliarizado por com plet o con el diagram a en blanco del que se le ha aconsej ado que se provea. Debe ser capaz de nom brar inst ant áneam ent e el at ribut o o conj unt o de at ribut os asignados a cualquier com part im ent o m encionado en la colum na de la derecha de la Tabla siguient e. Tabla I At ribut os Com part im ent os o celdillas que de Clases les han sido asignadas x Mit ad Nort e x’ Mit ad Sur y Mit ad Oest e y’ Mit ad est e xy Celdilla Noroccident al xy’ Celdilla Nor- orient al x’y Celdilla Sur- occident al x’y’ Celdilla Sur- orient al Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 44 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Asim ism o debe ser capaz de nom brar inst ant áneam ent e el com part im ent o asignado a cualquier at ribut o m encionado en la colum na de la izquierda. Para t ener seguridad en est o, lo m ej or sería que pusiera el libro en m anos de algún am igo genial, quedándose él m ism o sólo con el diagram a en blanco, e hiciera que el am igo genial le plant eara problem as en est e t ablero, t an ast ut am ent e com o sea posible. Las pregunt as y respuest as; serian algo así: Pregunt a. —«¿At ribut o para la m it ad oest e? Respuest a.—«y». Pregunt a.—« ¿Com part im ent o para xy'?» Respuest a.—«Celdilla nor- orient al». Pregunt a.—«¿At ribut o para la celdilla sur- occident al?» Respuest a.—«x'y». Et c., et c. Una vez que haya adquirido un poco de práct ica, el lect or se encont rará con que es capaz de operar sin diagram a en blanco, y conque puede ver m ent alm ent e ( «¡con los oj os de m i espírit u, Horacio! ») las respuest as a las pregunt as de su am igo genial. Cuando haya conseguido est e result ado, puede pasar felizm ent e al próxim o capít ulo. 2 . Fich a s Convengam os en que una ficha roj a, colocada dent ro de una celdilla, significará «Est a celdilla est á ocupada ( es decir, «hay al m enos una cosa en ella») . Convengam os asim ism o en que una ficha roj a, colocada en la divisoria ent re dos celdillas, significa «el com part im ent o form ado por est as dos celdillas, est á ocupado; pero no se sabe por dónde est án sus ocupant es». Por t ant o, se puede ent ender que significa «al m enos una de est as dos celdillas est á ocupada; posiblem ent e lo est én am bas». Nuest ros ingeniosos prim os am ericanos han invent ado una expresión para describir la condición de un hom bre que no ha decidido aún a cuál de dos part idos polít icos apunt arse: de un hom bre en esa sit uación se dice que est á «sent ado en la valla». Est a expresión describe exact am ent e la sit uación de la ficha roj a. Convengam os t am bién en que una ficha gris, colocada dent ro de una celdilla, significará «est a celdilla est á vacía» ( es decir, «no hay nada en ella») . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 45 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ El lect or haría bien en proveerse de cuat ro fichas roj as y cinco grises.] 3 . Re pr e se n t a ción de pr oposicion e s § 1. I nt roducción De ahora en adelant e, al enunciar proposiciones t ales com o «exist en algunas cosas x» o «ninguna cosa x es una cosa y», om it iré la palabra «cosas», que el lect or puede suplir por su cuent a, y las escribiré así «Exist en algunos x» o «ningún x es y». Una proposición que cont enga sólo una de las let ras usadas com o sím bolos de at ribut os se dice que es “ unilit eral” [ Por ej em plo, «exist en algunos x», «no exist e ningún y’».] Una proposición que cont iene dos let ras se dice “ bilit eral” . [ Por ej em plo, «exist en algunos xy», «ningún x' es y», et cét era.] Se dice que una proposición est á en t érm inos de las let ras que cont iene, lleven o no lleven acent os. [ Así «exist en algunos xy" », «ningún x' es y», et c., se dice que est án en t érm inos de x e y.] § 2. Represent ación de proposiciones de exist encia Tom em os prim ero la proposición «exist en algunos x». [ Recuérdese que est a proposición es equivalent e a «algunas cosas exist ent es son cosas x».] Est o nos dice que hay al m enos una cosa en la m it ad nort e; es decir, que la m it ad nort e est á ocupada. Y es evident e que est o podem os represent arlo colocando una ficha roj a ( sim bolizada aquí por un círculo con un punt o) en la divisoria de la m it ad nort e. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 46 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ En el ej em plo de los libros, est a proposición sería «exist en algunos libros viej os».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «exist en algunos x», «exist en algunos y», «exist en algunos y’». [ Que el lect or desarrolle est os ej em plos por su cuent a. En el ej em plo de los libros est as proposiciones serían «exist en algunos libros buenos», et c.] Tom em os a cont inuación la proposición «ningún x exist e». Est o nos dice que no hay nada en la m it ad nort e; es decir, que la m it ad nort e est á vacía; es decir, que la celdilla noroccident al y la nororient al est án am bas vacías. Y est o se puede represent ar, colocando dos fichas grises en la m it ad nort e, una en cada celdilla. [ El lect or podría pensar que sería suficient e con colocar una ficha gris en la divisoria de la m it ad nort e, y que, del m ism o m odo que una ficha roj a allí colocada significaría «est a m it ad est á ocupada», así t am bién una ficha gris significaría «est a m it ad est á vacía». Pero est o sería un error. Hem os vist o que una ficha roj a en esa posición quería decir «al m enos una de est as dos celdillas est á ocupada; posiblem ent e lo est én am bas». Por t ant o, una ficha gris significaría sim plem ent e «al m enos una de est as dos celdillas est á vacía: posiblem ent e lo est én am bas». Pero lo que nosot ros t enem os que represent ar es que am bas celdillas est án con seguridad vacías y est o sólo se puede hacer colocando una ficha gris en cada una de ellas. En el ej em plo de los libros est a proposición seria «ningún libro viej o exist e».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «ningún x’ exist e», «ningún y exist e», y «ningún y' exist e». [ Que el lect or desarrolle est os ej em plos por su cuent a, En el ej em plo de los «libros» est as t res proposiciones serían «ningún libro nuevo exist e», et c.] Tom em os a cont inuación la proposición «exist en algunos xy». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 47 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica Est o www.librosm ar avillosos.com nos dice que hay al m enos una cosa Lewis Carroll en la celdilla noroccident al; es decir, que la celdilla noroccident al est á ocupada. Y est o se puede represent ar colocando en ella una ficha roj a. [ En el ej em plo de los libros est a proposición seria «exist en algunos viej os libros ingleses».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «exist en algunos xy’», «exist en algunos x’y», y «exist en algunos x’y’». [ Que el lect or desarrolle est os ej em plos por su cuent a. En el ej em plo de los libros est as t res proposiciones serian «exist en algunos viej os libros ext ranj eros», et c.] Tom em os a cont inuación la proposición «no exist e ninguna xy». Est o nos dice que no hay nada en la celdilla noroccident al; es decir, que la celdilla noroccident al est á vacía. Y est o se puede represent ar colocando en ella una ficha gris. [ En el ej em plo de los libros est a proposición seria «no exist e ningún libro inglés viej o».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «no exist e ningún xy'», «no exist e ningún x'y», y «no exist e ningún x’y’». [ Que el lect or desarrolle est os ej em plos por su cuent a. En el ej em plo de los libros, est as t res proposiciones serian «no exist e ningún libro ext ranj ero viej o», et c.] Hem os vist o que la proposición «no exist e ningún x» se puede represent ar colocando dos fichas grises en la m it ad nort e, una en cada celdilla. Hem os vist o t am bién que est as dos fichas grises, t om adas separadam ent e, represent an las dos proposiciones siguient es: «no exist e ningún xy» y «no exist e ningún xy'». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 48 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Vem os, por t ant o, que la proposición «no exist e ningún x» es una proposición doble, y que equivale a las dos proposiciones «no exist e ningún xy» y «no exist e ningún xy'». [ En el ej em plo de los libros est a proposición seria «no exist e ningún libro viej o». Por lo t ant o, est a es una proposición doble, que equivale a las dos siguient es: «No exist e ningún libro inglés viej o» y «no exist e ningún libro ext ranj ero viej o».] § 3. Represent ación de proposiciones de relación Tom em os, en prim er lugar, la proposición «algunos x son y». Est o nos dice que al m enos una cosa que est á en la m it ad nort e est á t am bién en la m it ad oest e. Por t ant o, debe est ar en el espacio com ún a ellas, es decir, en la celdilla noroccident al. Por t ant o, la celdilla noroccident al est á ocupada. Y est o se puede represent ar colocando una ficha roj a en ella. [ Nót ese que el suj et o de la proposición est ablece cuál es la m it ad que hem os de usar; y que el predicado est ablece en qué porción de ella hem os de colocar la ficha roj a. En el ej em plo de los libros est a proposición seria «algunos libros viej os son ingleses».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «algunos x son y'», «algunos x' son y», y «algunos x' son y». [ Que el lect or los desarrolle por su cuent a. En el ej em plo de los libros, est as t res proposiciones serían «algunos libros viej os son ext ranj eros», et c.] Tom em os a cont inuación la proposición «algunos y son x». Est o nos dice que al m enos una cosa que est á en la m it ad oest e est á t am bién en la m it ad nort e. Por t ant o, debe est ar en el espacio com ún a ellas, es decir, en la celdilla noroccident al. Por t ant o, la celdilla noroccident al est á ocupada. Y est o se puede represent ar colocando una ficha roj a en ella. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 49 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ En el ej em plo de los libros, est a proposición seria «algunos libros ingleses son viej os».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «algunos y son x'», «algunos y' son x», y «algunos y' son x'». [ Que el lect or los desarrolle por su cuent a. En el ej em plo de los libros est as t res proposiciones serian «algunos libros ingleses son nuevos», et c.] Vem os que est e único diagram a nos ha servido para represent ar no m enos de t res proposiciones, a saber: 1. «Exist en algunos xy’ 2. Algunos x son y; 3. Algunos y son x». Por t ant o, est as t res proposiciones son equivalent es. [ En el ej em plo de los libros est as proposiciones serían: 1. «Exist en algunos libros ingleses viej os; 2. Algunos libros viej os son inglesa; 3. Algunos libros ingleses son viej os».] Las dos proposiciones equivalent es, «algunos x son y» y «algunos y son x», se dice que son “ conversas” ent re sí; y el proceso por el que se pasa de la una a la ot ra se llam a “ convert ir” o “ conversión” . [ Por ej em plo, si se nos dice que convirt am os la proposición «algunas m anzanas son no- verdes» elegiríam os prim ero nuest ro univ. ( digam os, «los frut os») , y luego com plet aríam os la proposición añadiendo el sust ant ivo «frut o» en el predicado, de donde result aría «algunas m anzanas son frut os no- verdes»; y luego la convert iríam os int ercam biando sus t érm inos, así: «algunos frut os no- verdes son m anzanas».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 50 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll De m odo parecido podem os represent ar los t res t ríos sim ilares de proposiciones equivalent es. El conj unt o com plet o de cuat ro t ríos seria com o sigue: 1. «Exist en algunos xy» «Algunos x son y» = «Algunos y son x». 2. «Exist en algunos xy’» = «Algunos x son y'» = «Algunos y' son x». 3. «Exist en algunos x’y» = «Algunos x' son y» = «Algunos y son x'». 4. «Exist en algunos x'y'» = «Algunos x' son y'» = «Algunos y' son x'». Tom em os a cont inuación la proposición «ningún x es y». Est o nos dice que ninguna cosa que est á en la m it ad nort e est á t am bién en la m it ad oest e. Por t ant o, no hay nada en el espacio com ún a ellas, es decir, en la celdilla noroccident al. Por t ant o, la celdilla noroccident al est á vacía. Y est o podem os represent arlo colocando en ella una ficha gris. [ En el ej em plo de los libros est a proposición sería «ningún libro viej o es inglés».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «ningún x es y», «ningún x' es y» y «ningún x' es y'». [ Que el lect or los desarrolle por su cuent a. En el ej em plo de los libros est as t res proposiciones serian «ningún libro viej o es ext ranj ero», et c.] Tom em os a cont inuación la proposición «ningún y es x». Est o nos dice que ninguna cosa que est á en la m it ad oest e est á t am bién en la m it ad nort e. Por t ant o, no hay nada en el espacio com ún a ellas, es decir, en la celdilla noroccident al. Es decir, la i celdilla noroccident al est á vacía. Y est o podem os represent arlo colocando una ficha gris en ella. [ En el ej em plo de los libros est a proposición sería «ningún libro inglés es viej o».] De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares «ningún y es x'», «ningún y' es x» y «ningún y' es x'». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 51 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Que el lect or los desarrolle por su cuent a. En el ej em plo de los libros est as t res proposiciones serian «ningún libro inglés es nuevo», et c.] Vem os que est e único diagram a nos ha servido para represent ar no m enos de t res proposiciones, a saber: 1. «No exist e ningún xy 2. Ningún x es y; 3. Ningún y es x». Por t ant o, est as t res proposiciones son equivalent es. [ En el ej em plo de los libros, est as proposiciones serían: «No exist e ningún libro inglés viej o; Ningún libro viej o es inglés; Ningún libro inglés es viej o»] Las dos proposiciones equivalent es, «ningún x es y» y «ningún y es x» se dice que son “ conversas” ent re sí. [ Por ej em plo, si se nos dice que convirt am os la proposición «Ningún puercoespín es locuaz» elegiríam os prim ero nuest ro unir, ( digam os, «los anim ales») , y luego com plet aríam os la proposición añadiendo el sust ant ivo «anim al» en el predicado, de donde result ado «Ningún puercoespín es un anim al locuaz»; y luego la convert iríam os, int ercam biando sus t érm inos, así: «Ningún anim al locuaz es puercoespín».] De m odo parecido podem os represent ar los t res t ríos sim ilares de proposiciones equivalent es; el conj unt o com plet o de cuat ro t ríos seria com o sigue: 1. «No exist e ningún xy» = «Ningún x es y» = «Ningún y es x». 2. «No exist e ningún xy'» = «Ningún x es y’» = «Ningún y' es x». 3. «No exist e ningún x'y» = «Ningún x' es y» = = «Ningún y es x'». 4. «No exist e ningún x'y'» = «Ningún x' es y'» = «Ningún y' es x'». Tom em os a cont inuación la proposición «t odos los x son y». Sabem os que se t rat a de una proposición doble y que equivale a las dos proposiciones siguient es: «Algunos x son y» y «ningún x es y'», y sabem os t am bién cóm o represent ar cada una de ést as. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 52 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Nót ese que el suj et o de la proposición dada est ablece cuál es la m it ad que hem os de usar; y que su predicado est ablece en qué porción de est a m it ad hem os de colocar la ficha roj a.] De m odo parecido podem os represent ar las siet e proposiciones sim ilares, «t odos los x son y’», «t odos los x' son y», «t odos los x' son y», «t odos los y son x», «t odos los y son x'», «t odos los y' son x» y «t odos los y' son x’». Tabla I I Tom em os finalm ent e la proposición doble „ «algunos x son y, y algunos son y'», cuyas part es sabem os cóm o represent ar. De m odo parecido podem os represent ar las t res proposiciones sim ilares, «algunos x' son y, y algunos son y'», «algunos y son x y algunos son x'», «algunos y' son x y algunos son x'», El lect or t endría que conseguir que su am igo genial le int errogara con severidad acerca de est as dos t ablas. El I nquisidor t endría las t ablas ant e sí; la Víct im a, en cam bio, no t endría m ás que un diagram a en blanco y las fichas con las que ha de represent ar las diversas Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 53 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll proposiciones nom bradas por su am igo: por ej em plo, «exist en algunos y», «ningún y' es x»,, «t odos los x son y», et c. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 54 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll § 4. I nt erpret ación del diagram a bilit eral cuando aparece m arcado con fichas Se supone que t enem os ant e nosot ros el diagram a, y que sobre él hay colocadas det erm inadas fichas; el problem a est á en averiguar qué proposición o proposiciones represent an esas fichas. Puest o que el proceso es sim plem ent e el inverso del que se discut ió en el capit ulo ant erior, podem os aprovecharnos de los result ados allí obt enidos en la m edida en que nos sean út iles. Supongam os, en prim er lugar, que encont ram os una ficha roj a colocada en la celdilla noroccident al. Sabernos que est o represent a cada una de las t res proposiciones equivalent es: «Exist en algunos xy» = «Algunos x son y» = «Algunos y son x». De m odo parecido podem os int erpret ar una ficha roj a cuando aparece en la celdilla nor- orient al, o suroccident al, o sur- orient al. A cont inuación, supongam os que encont ram os una ficha gris colocada en la celdilla noroccident al. Sabem os que est o represent a cada una de las t res proposiciones equivalent es: «No exist e ningún xy» = «Ningún x es y» = «Ningún y es x». De m odo parecido podem os int erpret ar una ficha gris cuando aparece en la celdilla nor- orient al, o sur- occident al o sur- orient al. A cont inuación supongam os que encont ram os una ficha roj a colocada en la divisoria de la m it ad nort e. Sabem os que est o represent a la proposición «Exist en algunos x». De m odo parecido podem os int erpret ar una ficha roj a cuando est á sit uada en la línea que divide m it ad sur, o la occident al, o la orient al. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 55 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Supongam os a cont inuación que encont ram os osa dos fichas roj as colocadas en la m it ad nort e, una en cada celdilla. Sabem os que est o represent a la doble proposición, «Algunos x son y, y algunos son y'». De m odo parecido podem os int erpret ar dos fichas roj as cuando est án colocadas en la m it ad sur, o en la m it ad oest e, o en la m it ad est e. Supongam os a cont inuación que encont ram os dos fichas grises colocadas en la m it ad nort e, una en cada celdilla. Sabem os que est o represent a la proposición «No exist e ningún x». De m odo parecido podem os int erpret ar dos fichas grises cuando est án colocadas en la m it ad sur, o en m it ad oest e, o en la m it ad est e. Por últ im o, supongam os que nos encont ram os en m it ad nort e una ficha roj a y ot ra gris, la roj a en la celdilla noroccident al, y la gris en la nororient al. Sabem os que est o represent a la proposición «Todos los x son y». [ Nót ese que la m it ad ocupada por las dos fichas est ablece cuál ha de ser el suj et o de la proposición, y que celdilla ocupada por la ficha roj a est ablece cuál ha de ser su predicado.         De m odo parecido podem os int erpret ar una ficha roj a y una gris cuando est án colocadas en cualquiera de las siet e posiciones sim ilares: La roj a en la nor- orient al, la gris en la nor- occident al. La roj a en la sur- occident al, la gris en la sur- orient al La roj a en la sur- orient al, la gris en la sur- occident al La roj a en la noroccident al, la gris en la sur- occident al La roj a en la sur- occident al, la gris en la noroccident al La roj a en la nor- orient al, la gris en la sur- orient al La roj a en la sur- orient al, la gris en la nor- orient al. Aquí una vez m ás se debe acudir al am igo genial y dem andar de él que exam ine al lect or sobre las t ablas I I . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 56 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll y I I I , y le haga no sólo represent ar proposiciones, sino t am bién int erpret ar diagram as cuando est án m arcados con fichas. Las pregunt as y respuest as serian de est e t ipo: Preg.— Represent e «Ningún x’ es y’». Resp.— Ficha gris en la celdilla sur- orient al. Preg.— I nt erpret e una ficha roj a sobre la divisoria orient al. Resp.— «Exist en algunos y’». Preg.— Represent e «t odos los y' son x». Resp.— Roj o en la celdilla nor- orient al; gris en la sur- orient al. Preg.— I nt erpret e una ficha gris en la celdilla suroccident al. Resp.— «No exist e ningún x’y> = «Ningún x' es y» = «Ningún y es x'», et c. Al principio el exam inado necesit ará t ener delant e el t ablero y las fichas ; pero pront o aprenderá a pasar sin ellas y a responder con los oj os cerrados o m irando al vacío. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 57 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 4 El dia gr a m a t r ilit e r a l 1 . Sím bolos y ce ldilla s En prim er lugar, supongam os que el diagram a de arriba a la izquierda es el diagram a bilit eral que hem os est ado usando en el libro 3, y que lo t ransform am os en un diagram a t rilit eral t razando un cuadrado int erior; cada una de sus cuat ro celdillas queda dividida en dos porciones, y obt enem os así ocho celdillas. El diagram a de arriba, ala derecha, m uest ra el result ado. [ Se recom ienda vivam ent e al lect or que, en la lect ura de est e capít ulo no t om e com o referencia los diagram as arriba reproducidos sino que haga una copia en grande del de la derecha sin let ra alguna, y lo t enga a m ano m ient ras lee, m ant eniendo su dedo sobre ! a part e concret a a la que se refiere lo que est á leyendo.] En segundo lugar, supongam os que hem os seleccionado un ciert o at ribut o o conj unt o de at ribut os que podem os llam ar «m », y. que hem os subdividido la clase xy en dos clases cuyas diferencias son m y m ' ; supongam os asim ism o que hem os asignado la celdilla nor- occident al int erior a una de ellas ( que podem os llam ar «la clase de las cosas xym », o «la clase xym ») , y la celdilla noroccident al ext erior a la ot ra ( que podem os llam ar «la clase de las cosas xym '», o «la clase xym '») . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 58 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Así, en el ej em plo de los libros podem os decir «supongam os que m significa “ encuadernado” , de m odo que m ' significará “ sin encuadernar” , y podem os suponer que hem os subdividido la clase «libros ingleses viej os» en las dos clases, «libros ingleses viej os encuadernados» y «libros ingleses viej os sin encuadernar», y que hem os asignado la celdilla nor- occident al int erior a una, y la nor- occident al ext erior a la ot ra.] En t ercer lugar, supongam os que hem os subdividido la clase xy', la clase x'y y la clase x'y' del m ism o m odo, y que hem os, en cada caso, asignado la celdilla int erior a la clase que posee el at ribut o m , y la celdilla ext erior a la clase que posee el at ribut o m '. [ Así, en el ej em plo de los libros podem os suponer que hem os subdividido «libros ingleses nuevos» en dos clases, «libros ingleses nuevos encuadernados» y «libros ingleses nuevos sin encuadernar», y hem os asignado la, celdilla sur- occident al int erior a una, y la celdilla sur occident al ext erior a la ot ra] Es evident e que hem os asignado ahora el cuadrado int erno a la clase m , y el borde ext erior a la clase m '. [ Así, en el ej em plo de los libros hem os asignado el cuadrado int erno a «libros encuadernados» y el borde ext erior a «libros sin encuadernar»] Cuando el lect or se haya fam iliarizado con est e diagram a debe ser capaz de encont rar en un m om ent o el com part im ent o asignado a un det erm inado par de at ribut os, o la celdilla asignada a un det erm inado t río de at ribut os. Las reglas siguient es le ayudarán en est a t area: 1. Disponga los at ribut os en el orden x, y, m . 2. Tom e el prim ero de ellos y averigüe cuál es el com part im ent o que le ha sido asignado. 3. Tom e luego el segundo, y vea qué porción de ese com part im ent o le ha sido asignada. 4. Proceda con el t ercero, si lo hay, del m ism o m odo. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 59 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ Por ej em plo, supongam os que t enem os que encont rar el com part im ent o asignado a ym . Nos decirnos: «y t iene la m it ad occident al; y m t iene la porción int erior de esa m it ad occident al». O supongam os que t enem os que encont rar la celdilla asignada a x'ym '. Nos decim os: «x' t iene la m it ad sur; y t iene la porción occident al de esa m it ad sur, es decir, t iene el cuart el sur- occident al; y m ' t iene la porción ext erior de ese cuart el sur- occident al».] El lect or deberá conseguir que su am igo genial le haga pregunt as sobre la t abla reproducida en la página próxim a, del est ilo del siguient e diálogo m odelo. Preg.— ¿At ribut o para la part e int erior de la m it ad sur? Resp.— x'm . Preg.— ¿Com part im ent o para m '? Resp.— El borde ext erior. Preg.— ¿At ribut o para la part e ext erna del cuart el nor- orient al? Resp.— xy'm ' Preg.— ¿Com part im ent o para ym ? Resp.— Porción int erior de la m it ad oest e. Preg.— ¿At ribut o para la m it ad sur? Resp.— x'. Preg.—¿Com part im ent o para x'y'm ? Resp. —Part e int erna del cuart el sur- orient al, et c. Tabla I V At ribut os de Com part im ent os o celdillas que les han sido clases asignados x Mit ad Nort e. x' Mit ad Sur. y Mit ad Oest e. y' Mit ad Est e. m Cuadrado int erior. xy Cuart el Nor- occident al. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 60 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll xy Cuart el Nor- occident al xy' Cuart el Nor- orient al. x'y Cuart el Sur- occident al. x'y' Cuart el Sur- orient al. xm Porción int erior de la m it ad Nort e. xm ' Porción ext erior de la m it ad Nort e. x'm Porción int erior de la m it ad Sur. x'm ' Porción ext erior de la m it ad Sur. ym Porción int erior de la m it ad Oest e. ym ' Porción ext erior de la m it ad Oest e. y'm Porción int erior de la m it ad Est e. y'm ' Porción ext erior de la m it ad Est e. xym Porción int erior del cuart el Nor- occident al xym ' Porción ext erior del cuart el Nor- occident al. xy'm Porción int erior del cuart el Nor- orient al. xy'm ' Porción ext erior del cuart el Nor- occident al. x'ym Porción int erior del cuart el Sur- occident al x'ym ’ Porción ext erior del cuart el Sur- occident al. x’y'm Porción int erior del cuart el Sur- orient al. x'y'm ' Porción ext erior del cuart el Sur- orient al. 2 . Re pr e se n t a ción de pr oposicion e s e n t é r m in os de x y m o de y y m § 1. Represent ación de proposiciones de exist encia en t érm inos de x y m , o de y y m Com part im ent os Tom em os, en prim er lugar, la proposición «exist en algunos xm ». [ Nót ese que el significado com plet o de est a proposición, es, com o ya se ha señalado, «algunas cosas exist ent es son cosas xm ».] Est o nos dice que hay al m enos una cosa en la porción int erna de la m it ad nort e; es decir, que est e com part im ent o est á ocupado. Y evident em ent e est o se puede represent ar colocando una ficha Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 61 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll roj a sobre la línea que lo divide. [ En el ej em plo de los libros est a proposición seria «exist en algunos libros viej os encuadernados» ( o «hay algunos libros viej os encuadernados») .] De m odo parecido podem os represent ar las siet e proposiciones sim ilares: 1. «exist en algunos xm '» 2. «exist en algunos x'm » 3. «exist en algunos x'm '» 4. «exist en algunos ym » 5. «exist en algunos ym ’» 6. «exist en algunos y’m » y 7. «exist en algunos y’m '» Tom em os a cont inuación la proposición «no exist e ningún xm ». Est o nos dice que no hay nada en la posición int erior de la m it ad nort e; es decir, que est e com part im ent o est á vacío. Y est o podem os represent arlo colocando en él dos fichas grises, una en cada celdilla. De m odo parecido podem os represent ar las siet e proposiciones sim ilares en t érm inos de x y m , o de y y m , a saber, «no exist e ningún xm '», «no exist e ningún x'm », et c. Est o dieciséis proposiciones de exist encia son las únicas que t endrem os que represent ar en est e diagram a. § 2. Represent ación de proposiciones de relación en t érm inos de x y m de y y m Tom em os, en prim er lugar, el siguient e par de proposiciones conversas: «algunos x son m » = «algunos m son x» Sabem os que cada una de ellas es equivalent e a la proposición de exist encia «exist en algunos xm », cuyo m odo de represent ación ya conocem os. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 62 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll De m odo parecido para los siet e pares sim ilares, en t érm inos de x y m , o de y y m . Tom em os a cont inuación el par de proposiciones conversas: «ningún x es m » «ningún m es x». Sabem os que cada una de ellas es equivalent e a la proposición de exist encia «no exist e ningún xm », cuyo m odo de represent ación ya conocem os. De m odo parecido para los siet e pares sim ilares en t érm inos de x y m o de y y m . Tom em os a cont inuación la proposición «t odos los x son m ». Sabem os que se t rat a de una proposición doble, y que equivale a las dos proposiciones siguient es: «Algunos x son m » y «ningún x es m '», cuy os m odos de represent ación conocem os. De m odo parecido para las quince proposiciones sim ilares en t érm inos de x y m , o de y y m . Est as t reint a y dos proposiciones de relación son las únicas que t endrem os que represent ar en est e diagram a. El lect or debe conseguir ahora que su am igo genial le exam ine sobre las siguient es cuat ro t ablas. La Víct im a no t endrá ant e sí m ás que un diagram a t rilit eral en blanco, una ficha roj a y dos grises, con las cuales ha de represent ar las diversas proposiciones m encionadas por el I nquisidor; por ej em plo, «ningún y' es m », «exist en algunos xm '», et c. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 63 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tabla I V Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 64 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tabla V Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 65 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tabla VI Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 66 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tabla VI I Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 67 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tabla VI I I 3 . Re pr e se n t a ción de dos pr oposicione s de r e la ción , u n a e n t é r m in os de x y m , y la ot r a e n t é r m in os de y y m e n e l m ism o dia gr a m a . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 68 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll El lect or haría bien ahora en em pezar por dibuj ar pequeños diagram as para su uso part icular y m arcarlos con los dígit os «1» y «0», en lugar de usar el t ablero y las fichas: podría poner un «1» para represent ar una ficha roj a ( lo cual se puede int erpret ar com o si significara «hay al m enos una cosa ahí») , y un «0» para represent ar una ficha gris ( lo cual se puede int erpret ar com o si significara «no hay nada ahí») . El par de proposiciones que t endrem os que represent ar const ará siem pre de una proposición en t érm inos de x y m , y de ot ra en t érm inos de y y m . Cuando t engam os que represent ar una proposición que em pieza por «t odos», la descom pondrem os en las dos proposiciones a las que equivale. Cuando t engam os que represent ar en el m ism o diagram a proposiciones de las cuales algunas em piezan por «algunos» y ot ras por «ningún», represent arem os prim ero las negat ivas. Est o nos ahorrará a veces de t ener que poner un «1» «en la valla», para t ener que desplazarlo después a una celdilla. [ Veam os unos pocos ej em plos. ( 1) «Ningún x es m '; Ningún y' es m ». Represent em os prim ero «ningún x es m '». Est o nos da el Diagram a a. Represent ando luego «ningún y' es m » en el m ism o diagram a obt enem os el diagram a b. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 69 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll ( 2) «Algunos ni son x; Ningún m es y». Si despreciando la regla ant es enunciada, em pezáram os por «algunos m son x», obt endríam os el diagram a a. Y si t om áram os después «ningún m es y», que nos dice que la celdilla noroccident al int erior est á vacía, nos vedam os obligados a quit ar el «I » de la valla ( puest o que no puede elegir ya ent re dos celdillas) y ponerlo en la celdilla nor- orient al int erior, com o en el diagram a c. Est a dificult ad se puede soslayar em pezando por «ningún m es y», com o en el diagram a b. Y ahora, cuando t om am os «algunos m son x» no hay valla donde colocarlo. El «I » t iene que ir inm ediat am ent e en la celdilla nor- orient al, com o en el diagram a c. ( 3) «Ningún x' es m ' Todos los ni son y». Aquí em pezam os descom poniendo la segunda proposición en las dos proposiciones a las que es equivalent e. Tenem os, pues, t res proposiciones para represent ar, a saber: 1. «Ningún x es m ' Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 70 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 2. Algunos m son y 3. Ningún m es y'». www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Hem os de t om arlas en el orden 1, 3, 2. Tom arnos prim ero la núm . 1, es decir, «ningún x' es m '». Est o nos da el diagram a a. Añadiendo a ést a la núm . 3, es decir, «ningún es y'» obt enem os el diagram a b. Est a vez el «1» que represent a a la núm . 2 —«Algunos m son y»— t iene que est ar en la valla, puest o que no hay «0» que lo eche. Est o nos da el diagram a c.) 4 . I n t e r pr e t a ción , e n t é r m in os de x e y, de l dia gr a m a t r ilit e r a l cu a n do e st á m a r ca do con fich a s o dígit os El problem a que se nos plant ea es ést e: dado un diagram a t rilit eral m arcado, hem os de averiguar qué proposiciones de relación, en t érm inos de x e y, est án represent adas en él. El m ej or plan que podría adopt ar un principiant e es dibuj ar un diagram a bilit eral paralelo a aquél, y t ransferir del uno al ot ro t oda la inform ación que pueda. Así podrá leer en el diagram a bilit eral las proposiciones en cuest ión. En cuant o haya cogido un poco de práct ica será capaz de prescindir del diagram a bilit eral y leer direct am ent e el result ado en el propio diagram a t rilit eral. Para llevar a cabo la t ransferencia de inform ación han de observarse las siguient es reglas: 1. Exam inar el cuart el nor- occident al del diagram a t rilit eral. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 71 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. Si cont iene una «I » en una cualquiera de las celdillas, ent onces es seguro que est á ocupado, y puede ust ed m arcar el cuart el nor- occident al del diagram a bilit eral con una «I ». 3. Si cont iene dos «0», una en cada celdilla, ent onces es seguro que est á vacío, y puede ust ed m arcar el cuart el nor- occident al del diagram a bilit eral con una «0». 4. Proceda del m ism o m odo con los cuart eles nororient al, sur- occident al y surorient al. [ Veam os com o ilust ración los result ados de los dos prim eros ej em plos desarrollados en capít ulos ant eriores. En el cuart el nor- occident al sólo una de las dos celdillas est á m arcada com o vacía: de m odo que no sabernos si el cuart el nor- occident al del diagram a bilit eral est á ocupado o vacío: no podem os, por t ant o, m arcarlo. En el cuart el nor- orient al, encont ram os dos «0»: de m odo que es seguro que est e cuart el est á vacío; y lo m arcam os así en el diagram a bilit eral. En el cuart el sur- occident al, carecem os en absolut o de inform ación. En el cuart el sur- orient al no t enem os la suficient e com o para poder hacer uso de ella. Podem os leer el result ado com o «ningún x es y'» o bien «Ningún y es x», según prefiram os. En el cuart el nor- occident al no t enem os la suficient e inform ación com o para poder hacer uso de ella. En el cuart el nor- orient al encont ram os una «I ». Est o nos m uest ra que est á ocupado: de m odo que podem os m arcar el cuart el nor- orient al en el diagram a bilit eral con una «I ». En el cuart el sur- occident al no t enernos la suficient e inform ación corno para poder hacer uso de ella. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 72 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll En el cuart el sur- orient al carecem os en absolut o de ella. Podem os leer el result ado com o «algunos x son Y», o «algunos y' son x», según prefiram os.] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 73 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 5 Los silogism os 1 . I n t r odu cción Cuando un t río de proposiciones bilit erales de relación reúne las siguient es condiciones: 1. sus seis t érm inos son especies del m ism o género, 2. cualesquiera dos de esos t érm inos cont ienen siem pre ent re ellos un par de clases codivisionales 3. las t res proposiciones se relacionan de t al m odo que, si las dos prim eras son verdaderas, la t ercera lo será t am bién, llam am os a ese t río un “ silogism o” ; el género del que cada uno de los seis t érm inos es una especie se denom ina “ Universo del discurso” , o, m ás brevem ent e, “ Univ.” ; las dos prim eras proposiciones se llam an “ Prem isas” del silogism o, y la t ercera “ Conclusión” ; asim ism o el par de t érm inos codivisionales que aparecen en las prem isas se denom inan los “ Elim inandos” del silogism o, y los ot ros dos, los “ Ret inendos” . Se dice que la conclusión de un silogism o es “ consecuent e” de sus prem isas: de ahí que sea usual preceder la conclusión de la expresión «Por lo t ant o» ( o del sím bolo «») . [ Nót ese que los “ Elim inandos” reciben est e nom bre debido a que result an elim inados y no aparecen en la conclusión; y que los “ Ret inendos” reciben est e nom bre debido a que result an ret enidos, y si aparecen en la conclusión. Nót ese t am bién que la cuest ión de si la conclusión es o no consecuent e de las prem isas, no se ve afect ada por la efect iva verdad o falsedad de cualquier de las t res proposiciones, sino que depende ent eram ent e de las relaciones ent re ellas. Com o m odelo de silogism o podem os present ar el siguient e t río de proposiciones: «Ninguna cosa x es una cosa m ; ninguna cosa y es una cosa m '; Ninguna cosa x es una cosa y». lo cual podría ser form ulado t am bién así: «Ningún x es m ’; ningún y es m '. Ningún x es y.». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 74 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Aquí la prim era y la segunda proposición cont ienen el par de clases codivisionales m y m '; la prim era y la t ercera cont ienen el par x y x; y la segunda y la t ercera cont ienen el par x e y. Asim ism o las t res proposiciones se relacionan de t al m odo que, si las dos prim eras fueran verdaderas, la t ercera lo sería t am bién. Por t ant o, est e t río es un silogism o; las dos proposiciones «ningún x es m » y «ningún y es m '» son sus prem isas; la proposición «ningún x es y» es su conclusión; los t érm inos m y m ' son sus elim inandos; y los t érm inos x e y son sus ret inendos. Podem os, en consecuencia, escribirlo así: «Ningún x es m ; Ningún y es m '. luego, ningún x es y». Com o segundo m odelo t om em os el siguient e t río: «Todos los gat os ent ienden francés; Algunos polluelos son gat os. Algunos polluelos ent ienden francés». Est as t res proposiciones, puest as en form a norm al, serían: «Todos los gat os son criat uras que ent ienden francés; Algunos polluelos son gat os. Algunos polluelos son criat uras que ent ienden francés». Aquí los seis t érm inos son especies del género «criat uras». Tam bién la prim era y la segunda proposición cont ienen el par de clases codivisionales «gat os» y «gat os»; la prim era y la t ercera cont ienen el par «criat uras que ent ienden francés» y «criat uras que ent ienden francés»; y la segunda y la t ercera cont ienen el par «polluelos» y «polluelos». Tam bién las t res proposiciones se relacionan de t al m odo que, si las dos prim eras fueran verdaderas, la t ercera lo seria. ( De hecho las dos prim eras no son est rict am ent e verdaderas en nuest ro planet a. Pero nada les im pide ser verdaderas en ot ro planet a, Mart e o Júpit er, por ej em plo, en cuyo caso la t ercera seria t am bién verdadera en ese planet a, y es probable que sus habit ant es cont rat aran polluelos com o inst it ut rices de niños. Gozarían así event ualm ent e de un singular privilegio desconocido en I nglat erra, a saber: el de poder, en un m om ent o en que escaseen las provisiones, ut ilizar las inst it ut rices de los niños com o alim ent os para los niños.) Por t ant o, est e t río es un silogism o; el género «criat uras» es su “ univ.” ; las dos proposiciones, «t odos los gat os ent ienden francés» y «algunos polluelos son gat os» son sus Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 75 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll prem isos; la proposición «algunos gat os ent ienden francés» es su conclusión; los t érm inos «gat os» y «gat os» son sus elim inandos; y los t érm inos «criat uras que ent ienden francés» y «polluelos» son sus ret inendos. Podem os, en consecuencia, escribirlo así: «Todos los gat os ent ienden francés; Algunos polluelos son gat os; Algunos polluelos ent ienden francés».] 2 . Pr oble m a s sobr e silogism os §1. I nt roducción Cuando los t érm inos de una proposición est án represent ados por palabras se dice que es “ concret a” ; cuando lo est án por let ras se dice que es “ abst ract a” . Para t raducir una proposición de form a concret a a form a abst ract a, fij am os un Univ., consideram os cada t érm ino com o una especie de ese Univ., y elegim os una let ra para represent ar su diferencia. [ Por ej em plo, supóngase que descarnas t raducir «algunos soldados son valient es» a form a abst ract a. Podernos t om ar «hom bres» com o universo y considerar «soldados» y «hom bres valient es» com o especies del género «hom bres» y podem os elegir x para represent ar el at ribut o peculiar ( «m ilit ares», por ej em plo) de «soldados», e y para represent ar «valient es». Ent onces la proposición se puede escribir «algunos hom bres m ilit ares son hom bres valient es»; es decir, «algunos hom bres x son hom bres y»; es decir ( om it iendo «hom bres», t al com o hem os explicado) , «algunos x son y». En la práct ica nos lim it aríam os a decir: «sea «hom bres» el Univ., x = soldados, y = valient es», y enseguida t raduciríam os «algunos soldados son valient es» en «algunos x son y».] Los problem as que t endrem os que resolver son de dos t ipos: 1. «Dado un par de proposiciones de relación que cont ienen ent re si un par de clases codivisionales y que se nos proponen com o prem isas, averiguar qué conclusión —si es que hay alguna— es consecuent e de ellas.» Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 76 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. «Dado un t río de proposiciones de relación, dos cualesquiera de las cuales cont ienen un par de clases codivisionales, y que se nos proponen com o un silogism o, averiguar si la conclusión propuest a es consecuent e de las prem isas propuest as, y, en el caso de que lo sea, si es com plet a.» Discut irem os est os problem as por separado. § 2. Dado un par de proposiciones de relación que cont ienen ent re sí un par de clases codivisionales y que se nos proponen com o prem isas., averiguar qué conclusión —si es que hay alguna— es consecuent e de ellas. Las reglas para llevar est o a cabo son las siguient es: 1. Det erm inar el “ Universo del Discurso” . 2. Const ruir un diccionario, haciendo que in y m ( o m y m ') represent en el par de clases codivisionales, y x ( ó x') e y ( ó y') las ot ras dos clases 3. Traducir las prem isas propuest as a form a abst ract a. 4. Represent arlas t odas j unt as en un diagram a t rilit eral. 5. Averiguar qué proposición en t érm inos de x e y —si es que hay alguna— est á t am bién represent ada en el diagram a. 6. Traducir est o a su form a concret a. Es evident e que, si las prem isas propuest as fueran verdaderas, est a ot ra proposición seria t am bién verdadera. Por t ant o, es una conclusión consecuent e de las prem isas propuest as. [ Veam os algún ej em plo. ( 1) «Ningún hij o m ío es deshonest o; La gent e t rat a siem pre a un hom bre honest o con respet o» Tom ando «hom bres» com o Univ, podem os escribir est o del m odo siguient e: «Ningún hij o m ío es un hom bre deshonest o; Todos los hom bres honest os son hom bres t rat ados con respet o». Podem os ahora const ruir nuest ro diccionario: Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 77 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll m = Honest o; x = hij o m ío; y = t rat ado con respet o. Lo siguient e que t enem os que hacer es t raducir las prem isas propuest as a form a abst ract a, así «Ningún x es m '; Todos los m son y». A cont inuación, y m ediant e el proceso que ya hem os descrit o, represent am os est as pro posiciones en un diagram a t rilit eral, así: «Ningún x es m ', Todos los m son y» A cont inuación, y m ediant e ot ro proceso t am bién descrit o ya, t ransferim os a un diagram a bilit eral t oda la inform ación que podam os. El result ado se puede leer o bien com o «ningún x es y '» o bien com o «ningún y es x»», según prefiram os. De m odo que acudim os a nuest ro diccionario para ver cuál parece m ej or; y elegim os «Ningún x es y'», que, t raducida a form a concret a, es «Ningún hij o m ío dej a nunca de ser t rat ado con respet o». ( 2) «Todos los gat os ent ienden francés. Algunos polluelos son gat os». Tom ando «criat uras» com o Univ., podem os escribir est o del m odo siguient e: «Todos los gat os son criat uras que ent ienden francés; algunos polluelos son gat os» Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 78 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Podem os ahora const ruir nuest ro diccionario, a saber: m = gat os; x que ent ienden francés; y = polluelos. Las prem isas propuest as, t raducidas a form a abst ract a, son: «Todos los m son x; algunos y son m », A fin de represent arlas sobre un diagram a t rilit eral, descom ponem os la prim era en las dos proposiciones a las que es equivalent e, y obt enem os las t res proposiciones: 1. «Algunos m son x, 2. Ningún m es x'; 3. Algunos y son m ». Una regla que ya hem os dado nos indicaría que las t om áram os en el orden 2, 1, 3. Est o, sin em bargo, produciría est e result ado: De m odo que sería m ej or t om arlas en el orden 2, 3, 1. Los núm eros 2 y 3 nos dan el result ado que ahí se m uest ra; y ahora no se nos plant ea problem a alguno respect o de la núm ero 1, puest o que la proposición «algunos m son x» est á ya represent ada en el diagram a. Transfiriendo nuest ra inform ación a un diagram a bilit eral, obt enem os el diagram a del lado. Est e result ado se puede leer o bien com o «algunos x son y» o com o < algunos y son x». Después de consult ar nuest ro diccionario, elegim os «algunos y son x», que, t raducido a form a concret a, es «algunos polluelos ent ienden francés» ( 3) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 79 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Todos los est udiant es diligent es son t riunfadores; Todos los est udiant es ignorant es son fracasados». Sea «est udiant es» el Univ.= t riunfadores; x = diligent es; y = ignorant es. Est as prem isas, en form a abst ract a, son «Todos los x son m ; t odos los y son m '». Cuando las descom ponem os nos dan est as cuat ro proposiciones: 1. «Algunos x son m ; 2. Ningún x es m '; 3. Algunos y son m ' ; 4. Ningún y es m ». que t om arem os en el orden 2, 4, 1, 3. Represent ando est o sobre un diagram a t rilit eral, obt enem os la prim era figura de abaj o y est a inform ación, t ransferida a un diagram a bilit eral, est á represent ada en la figura inferior: En est e caso obt enem os dos conclusiones, a saber: «Todos los x son y'; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 80 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Todos los y son x'». que, t raducidas a form a concret a, se conviert en en «Todos los est udiant es diligent es son ( no- ignorant es, es decir) inst ruidos; Todos los est udiant es ignorant es son ( no- diligent es, es decir) perezosos». ( 4) «De los prisioneros que fueron procesados en la últ im a sesión del t ribunal, t odos aquellos cont ra los que se pronunció el veredict o “ culpable” fueron sent enciados a prisión; Algunos que fueron sent enciados a prisión lo fueron t am bién a t rabaj os forzados». Sea «los prisioneros que fueron procesados en la últ im a sesión del t ribunal» nuest ro Univ.; que fueron sent enciados a prisión»; x = cont ra los que se pronunció el veredict o “ culpable” ; y que fueron sent enciados a t rabaj os forzados. Las prem isas, t raducidas a form a abst ract a, son: «Todos los x son m ; algunos m son y». Descom poniendo la prim era, obt enem os est as t res: 1. «Algunos x son m ; 2. Ningún x es m '; 3. Algunos m son y». Represent ándolas, en el orden 2, 1, 3, sobre un diagram a t rilit eral, obt enem os Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 81 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll En est e caso no llegam os a ninguna conclusión. Si se hubiera fij ado t an sólo en las prem isas, podría haber supuest o ust ed que la conclusión sería ést a: «Algunos de aquellos cont ra los que fue pronunciado el veredict o “ culpable” , fueron sent enciados a t rabaj os forzados». Pero est a conclusión ni siquiera es verdadera con respect o al proceso que m e acabo de invent ar. «¡No es verdadera! », exclam a ust ed. «Ent onces, ¿quiénes eran aquellos que fueron sent enciados a prisión y sent enciados t am bién a t rabaj os forzados? Es necesario que cont ra ellos se haya pronunciado el veredict o “ culpable” , porque, de ot ro m odo, ¿cóm o podían haber sido sent enciados?» Bien. Lo que sucedió fue est o. Se t rat aba de t res rufianes, salt eadores de cam inos. Cuando fueron conducidos ant e el t ribunal se confesaron “ culpables” . De m odo que no fue pronunciado veredict o alguno; y fueron sent enciados inm ediat am ent e.] § 3. Dado un t río de proposiciones de relación, dos cualesquiera de las cuales cont ienen un par de clases codivisionales, y que se nos proponen com o un silogism o, averiguar si la conclusión propuest a es consecuent e de las prem isas propuest as, y, en el caso que; lo sea, si es com plet a. Las reglas para llevar est o a cabo son las siguient es; 1. Tóm ense las prem isas propuest as, y averígüese, luego, por el procedim ient o descrit o en la sección ant erior, qué conclusión —si es que hay alguna— es consecuent e de ellas. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 82 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. Si no hay conclusión, hágase const ar. 3. Si hubiera conclusión, com páresela con la conclusión propuest a y decídase de acuerdo con est o. Voy ahora a desarrollar, de la form a m ás breve y para que sirvan de m odelos al lect or, seis problem as. ( 1) «Todos los soldados son fuert es; t odos los soldados son valient es. Algunos hom bres fuert es son valient es». Univ., «hom bres»; m = soldados; x = fuert es; y = valient es. «Todos los m son x; Todos los m son y. Algunos x son y» «Algunos x son y» Por t ant o la conclusión propuest a es correct a. ( 2) «Yo adm iro est as pint uras; Cuando yo adm iro algo m e gust a exam inarlo exhaust ivam ent e. Me gust a exam inar algunas de est as pint uras exhaust ivam ent e». Univ., «cosas»; m = adm iradas por m ’; x est as pint uras; y = cosas que m e gust a exam inar exhaust ivam ent e. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 83 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Todos los x son m ; Todos los m son y Algunos x son y» «Todos los x son y». Por t ant o, la conclusión propuest a es incom plet a; la conclusión com plet a seria «m e gust a exam inar t odas est as pint uras exhaust ivam ent e». ( 3) «Todos los soldados saben andar», . Algunos niños no son soldados. Algunos niños no saben andar». Univ., «personas»; m = soldados; x = que saben andar; y = niños. «Todos los m son x; Algunos y son m Algunos y son x» No hay conclusión ( 4) «Nadie que quiera t om ar el t ren y que no pueda coger un t axi y que no t enga t iem po suficient e para ir dando un paseo hast a la est ación, puede t ornarlo sin echar a correr. Est e grupo de t urist as quiere t om ar el t ren y no puede coger un t axi, pero Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 84 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll les sobra t iem po para ir hast a la est ación dando un paseo. Est e grupo de t urist as no necesit a correr». Univ., «personas que quieren t om ar el t ren y no pueden coger un t axi»; m = que t ienen t iem po suficient e para ir hast a la est ación dando un paseo ; x = que necesit an correr; y = est os t urist as. «Ningún m ’ es x' Todos los y son m Todos los y son x'» No hay conclusión [ He aquí, am able lect or, ot ra oport unidad de hacerle una j ugarret a a un am igo cándido. Presént ele est e silogism o y pregúnt ele qué opina de la conclusión, El replicará: «¿A qué viene esa pregunt a? Desde luego, es perfect am ent e correct a. Y si t u precioso libro de lógica t e dice que no lo es, no hagas caso. No pret enderás decirm e que esos t urist as necesit an echar a correr, ¿verdad? Si yo fuera uno de ellos y supiera que las prem isas son verdaderas vería com plet am ent e claro que no necesit o hacerlo. Y m e iría dando un paseo». Y ust ed ! e replicará: «Pero supongam os que le persiguiera un t oro dem ent e». Ent onces su cándido am igo dirá : «Hum . ¡Ah! Tengo que pensarlo un rat o», Puede ust ed ent onces explicarle que hay un m odo de com probar la corrección de un silogism o, y es ést e: sí se pueden im aginar circunst ancias que, sin int erferir en la verdad de las prem isas hacen falsa la conclusión, el silogism o debe ser incorrect o.] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 85 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 6 El m é t odo de los subín dice s 1 . I n t r odu cción Convengam os en que «x 1 » significa «algunas cosas exist ent es t ienen el at ribut o x», es decir, con m ayor brevedad, «exist en algunos x»; convengam os t am bién en que «xy 1 » significa «exist en algunos «xy», et c. A una proposición de est e t ipo se le puede llam ar una “ ent idad” . [ Nót ese que cuando hay dos let ras en la expresión no im port a nada en absolut o que sea una o la ot ra la que va prim ero: «xy 1 » y «yx 1 » significan exact am ent e lo m ism o.] Convengam os t am bién en que «x 0 » significa «ninguna cosa exist ent e t iene el at ribut o x», es decir, con m ayor brevedad, «no exist e ningún x»; y convengam os t am bién en que «xy 0 » significa «no exist e ningún xy», et c. A una proposición de est e t ipo se le puede llam ar una “ nulidad” . Convengam os t am bién en que «†» significa la conj unción copulat iva «y». [ Así, «ab 1 †cd 0 » significa «exist en algunos ab y no exist e ningún cd».] Convengam os t am bién en que «¶» significa «probaría si fuera verdadera». [ Así, «x 0 ¶ xy 0 » significa «la proposición “ no exist e ningún x” probaría, si fuera verdadera, la proposición “ no exist e ningún xy’ ” ».] 2 . Re pr e se n t a ción de pr oposicion e s de r e la ción Tom em os, en prim er lugar, la proposición «algunos x son y». Sabem os que est a proposición equivale a la proposición de exist encia «exist en algunos xy». Por t ant o, puede represent ar m ediant e la expresión «xy 1 ». La proposición conversa «algunos y son x» se puede represent ar, por supuest o, m ediant e la m ism a expresión, a saber, «xy 1 ». De m odo parecido podem os represent ar los t res pares sim ilares de proposiciones conversas, a saber: «Algunos x son y'» = «Algunos y' son x», Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 86 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Algunos x' son y» = «Algunos y son x'», «Algunos x' son y'» = «Algunos y' son x'». Tom em os a cont inuación la proposición «Ningún x es y». Sabem os que est a proposición es equivalent e a la proposición de exist encia «no exist e ningún xy». Por t ant o se puede represent ar m ediant e la expresión «xy 0 ». La proposición conversa «ningún y es x» se puede represent ar, por supuest o, m ediant e la m ism a expresión a saber «xy 0 ». De m odo parecido podem os represent ar los t res pares sim ilares de proposiciones conversas, a saber: «Ningún x es y'» = «Ningún y' es x», «Ningún x’ es y» = «Ningún y es x'», «Ningún x’ es y'» = «Ningún y' es x’», Tom em os, a cont inuación, la proposición «t odos los x son y». Ahora bien: es evident e que la proposición doble de exist encia «exist en algunos x y no exist e ningún xy'» nos dice que exist en algunas cosas x, pero que ninguna de ellas t iene el at ribut o y': es decir, nos dice que «t odos los x son y». Tam bién es evident e que la expresión «x 1 † xy 0 ') » represent a est a doble proposición. Por t ant o, t am bién represent a la proposición «t odos los x son y». Est a expresión se puede escribir de una form a abreviada, a saber, « x 1 y 0 '», puest o que cada subíndice ret rot rae su efect o hast a el principio de la expresión. De m odo parecido podem os represent ar las siet e proposiciones sim ilares «t odos los x son y'», «t odos los x' son y», «t odos los x' son y'», «t odos los y son x», «t odos los y son x'», «t odos los y' son x» y «t odos los y' son x'». [ Que el lect or los desarrolle por su cuent a.] Conviene recordar que, al t raducir una proposición que em pieza por «t odos» de form a abst ract a a form a con subíndices, o viceversa, el predicado cam bia de signo ( es decir, pasa de negat ivo a posit ivo, o al revés) . [ Así, la proposición «t odos los y son x'» se conviert e en «y 1 x 0 », donde el predicado cam bia de x' a x. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 87 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Y la expresión «x 1 'y 0 '» se conviert e en «t odos los x' son y», donde el predicado cam bia de y' a y.] 3 . Los silogism os § 1. Represent ación de silogism os Sabem os cóm o represent ar por m edio de subíndices, cada una de las t res proposiciones de un silogism o. Una vez que hem os hecho est o necesit am os adem ás escribir las t res expresiones en línea, con †» ent re las prem isas, y «¶» ant es de la conclusión. [ Así, el silogism o «Ningún x es m '; Todos los m son y. Ningún x es y'». se puede represent ar de est e m odo: xm ’ 0 † m 1 x 0 ’ ¶ xy' 0 ] § 2. Fórm ulas para resolver problem as de silogism os Una vez que hayam os encont rado, m ediant e diagram as, la conclusión de un det erm inado par de prem isas, y una vez que hayam os represent ado el silogism o en una form a con subíndices, t enem os una fórm ula por m edio de la cual podem os inm ediat am ent e encont rar, sin necesidad de usar diagram as ot ra vez, la conclusión de cualquier ot ro par de prem isas que t engan las m ism as form as con subíndices. [ Así, la expresión xm 0 † ym ’ 0 ¶ xy 0 es una fórm ula por m edio de la cual podem os encont rar la conclusión de cualquier par de prem isas cuyas form as con subíndices sean xm 0 † ym ’ 0 . Por ej em plo: supongam os que t enem os el siguient e par de proposiciones: «Ningún glot ón goza de buena salud; Ningún hom bre de buena salud est á fuert e», propuest as com o prem isas. Tom ando «hom bres» com o universo, y con m = goza de buena salud; x glot ón; y = fuert e; podem os t raducir el par de proposiciones a form a abst ract a así: «Ningún x es m ; Ningún m es y». Est as proposiciones, llevadas a una form a con subíndices, serian xm 0 † ym ’ 0 es decir, igual que en nuest ra fórm ula. Por t ant o, sabem os inm ediat am ent e Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 88 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll que la conclusión es xy 0 es decir, en form a abst ract a., «Ningún x es y»; es decir, en form a concret a, «Ningún glot ón es fuert e».] Ahora t om aré t res form as diferent es de pares de prem isas y ext raeré sus conclusiones de una vez para siem pre, m ediant e diagram as; así obt endrem os algunas fórm ulas út iles. Las llam aré «Fig. I », «Fig. I I » y «Fig.I I I » Fig. I . Se incluye en est a figura cualquier par de prem isas que sean nulidades y que cont engan elim inandos. El caso m ás sim ple es xm 0 † ym ’ 0 En est e caso vem os que la conclusión es una nulidad, y que los ret inendos han conservado sus signos. Podríam os com probar que est a regla se cum ple con cualquier par de prem isas que reúna las condiciones dadas. [ El lect or haría bien en convencerse de est o desarrollando sobre diagram as diversas variedades, t ales com o m 1 x 0 † ym ' 0 ( que ¶ xy 0 ) xm ’ 0 † m 1 y’ 0 ( que ¶ xy 0 ) x’m 0 † y’m 0 ( que ¶ x’y 0 ) m ' 1 x’ 0 † m 1 y’ 0 ( que ¶ x’y’ 0 ) ] Si uno cualquiera de los ret inendos es afirm ado com o exist ent e en una de las prem isas, debe serlo t am bién en la conclusión. Por t ant o, t enem os dos variant es de la Fig. I , Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 89 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll a. a saber: cuando un ret inendo es afirm ado de ese m odo; b. cuando lo son los dos. [ El lect or haría bien en desarrollar sobre diagram as ej em plos de est as dos variant es, t ales com o m 1 x 0 † y 1 m ' 0 ( que prueba x 1 y 0 ) , x 1 m ’ 0 † m 1 y 0 ( que prueba x 1 y 0 ) , x’ 1 m 0 † y 1 m ’ 0 y’ 0 ( que prueba x’ 1 y 0 y 1 x’ 0 ) .] La fórm ula, recordém oslo, es ést a: xm 0 † ym ’ 0 ¶ xy 0 con las dos reglas siguient es: 1. Dos nulidades con elim inandos conducen a una nulidad en la que am bos ret inendos conservan sus signos. 2. Un ret inendo afirm ado com o exist ent e en las prem isas puede serlo t am bién en la conclusión. [ Nót ese que la regla ( 1) es sim plem ent e la fórm ula expresada en palabras.] Fig. I I Se incluye en ella cualquier par de prem isas de las que una es una nulidad y la ot ra una ent idad y que cont ienen elim inandos. El caso m ás sim ple es xm 0 † ym 1 En est e caso vem os que la conclusión es una ent idad, y que el ret inendo de la nulidad ha cam biado de signo. Podríam os com probar que est a regla se cum ple con cualquier par de prem isas que reúnan las condiciones dadas. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 90 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ El lect or haría bien en convencerse de est o desarrollando sobre diagram as, diversas variedades, t ales com o x’m 0 † xy 1 ( que ¶ xy 0 ) , x 1 m ’ 0 † y’m ’ 1 ( que ¶ x’y’ 1 ) , m 1 x 0 † y’m 1 ( que ¶ x’y’ 1 ) ] La fórm ula, recordém oslo, es ést a: xm 0 † ym 1 ¶ x’y 1 con la regla siguient e: Una nulidad y una ent idad, con elim inandos, producen una ent idad en la que el ret inendo de la nulidad cam bia de signo. [ Nót ese que est a regla es sim plem ent e la fórm ula expresada en palabras.] Fig. I I I Se incluye en ella cualquier par de prem isas que sean nulidades y que cont engan elim inandos afirm ados com o exist ent es. El caso m ás sim ple es xm 0 † ym 0 † m 1 [ Nót ese que aquí «m » est á form ulada por separado. porque no im port a en cuál de las dos prem isas aparezca: de m odo que quedan incluidas las t res form as «m 1 x 0 † ym 0 ». «xm 0 † m 1 y 0 », y «m 1 x 0 † m 1 y 0 »] En est e caso vem os que la conclusión es una ent idad, y que am bos ret inendos han cam biado sus signos. Podríam os com probar que est a regla se cum ple con cualquier par de prem isas que reúnan las condiciones dadas. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 91 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll [ El lect or haría bien en convencerse de est o desarrollando sobre diagram as diversas variedades, t ales com o x’m 0 † m 1 y 0 ( que ¶ xy’ 1 ) , m ’ 1 x 0 † m ’y’ 0 ( que ¶ x’y) , m 1 x’ 0 † m 1 y’ 0 ( que ¶ xy 1 ) ] La fórm ula, recordém oslo, es xm 0 † ym 0 † m 1 ¶ x’y’ 1 con la siguient e regla ( que es sim plem ent e la fórm ula expresada en palabras) : Dos nulidades, con elim inandos afirm ados com o exist ent es, producen una ent idad en la que am bos ret inendos cam bian de signo. Voy ahora a desarrollar por m edio de est as fórm ulas, y com o m odelos a im it ar por part e del lect or, algunos problem as sobre silogism os que han sido ya desarrollados por m edio de diagram as en el Libro 5, acápit e 2. ( 1) «Ningún hij o m ío es deshonest o; La gent e t rat a siem pre a un hom bre honest o con respet o» Univ., «hom bres»; m = honest o; x = m is hij os; y = t rat ado con respet o xm ’ 0 † m 1 y’ 0 ¶ xy’ 0 [ Fig. I ] es decir, «ningún hij o m ío dej a nunca de ser t rat ado con respet o». ( 2) «Todos los gat os ent ienden francés; Algunos polluelos son gat os». Univ., «criat uras»; m = gat os; x = que ent ienden francés; y = polluelos. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 92 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll m 1 x’ 0 † ym 1 ¶ xy 1 [ Fig. I I ] es decir, «algunos polluelos ent ienden francés». ( 3) «Todos los soldados son fuert es; Todos los soldados son valient es. Algunos hom bres fuert es son valient es». Univ., «hom bres»; m = soldados; x = fuert e; y = valient e. m 1 x’ 0 † m 1 y’ 0 ¶ xy 1 [ Fig. I I I ] Por t ant o, la conclusión propuest a es correct a. § 3. Falacias ¿Así que ust ed piensa que la ut ilidad fundam ent al de la lógica en la vida real est á en que nos perm it e deducir conclusiones a part ir de prem isas viables y en que proporciona la seguridad de que las conclusiones deducidas por ot ras personas son correct as? ¡Oj alá fuera así! La sociedad est aría m ucho m enos expuest a a pánicos y ot ros engaños, y la vida polít ica, especialm ent e, sería algo t ot alm ent e dist int o con sólo que una m ayoría de los argum ent os difundidos por t odo el m undo fueran correct os. Pero m e t em o que ocurre al cont rario. Por cada par de prem isas viables ( quiero decir: un par de prem isas que conduzcan a una conclusión lógica) que pueda leer ust ed en su periódico o revist a se encont rará probablem ent e con cinco que no conducen a ninguna conclusión en absolut o; e, incluso cuando las prem isas son viables, por cada vez que el aut or ext rae una conclusión correct a, hay probablem ent e diez casos en los que la conclusión ext raída no lo es. En el prim er caso puede ust ed decir: «las prem isas son falaces»; en el segundo: «la conclusión es falaz». La ut ilidad fundam ent al que le encont rará ust ed a la habilidad adquirida gracias al est udio de la lógica será la posibilidad de det ect ar falacias de est os dos t ipos. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 93 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll El prim er t ipo de falacia " Prem isas Falaces” — lo det ect ará ust ed cuando, después de haberlas m arcado en el diagram a t rilit eral int ent e t ransferir las m arcas al bilit eral. Tom ará ust ed sus cuat ro com part im ent os, uno por uno, y pregunt ará cada vez: «¿Qué m arca puedo colocar aquí ?» Y en t odos la respuest a será: «No hay inform ación», m ost rando así que no hay conclusión en absolut o. Por ej em plo:  «Todos los soldados son valient es;  Algunos ingleses son valient es.  Algunos ingleses son soldados» se parece ext raordinariam ent e a un silogism o y podría engañar con facilidad a un lógico m enos experim ent ado. ¡Pero a ust ed no le cogerían en esa t ram pa! Ust ed se lim it aría a señalar las prem isas y diría con serenidad: «¡Prem isas falaces! sin descender a pregunt ar qué conclusión pret endía haber deducido el aut or, sabiendo com o sabe ust ed que cualquiera que ella sea debe ser equivocada. Ust ed se encont rará t an a cubiert o com o lo est aba aquella sabia m adre que decía: «Mary, sube al cuart o de los niños, m ira lo que est á haciendo el pequeño y dile que no lo haga». El ot ro t ipo de falacia “ Conclusión falaz” — no lo det ect ará ust ed hast a t ant o no haya m arcado am bos diagram as, haya ext raído la conclusión correct a y la haya com parado con la conclusión que el aut or ha deducido. Pero oj o: no debe ust ed decir «conclusión falaz» sólo porque no sea idént ica a la conclusión correct a: puede ser una part e de la conclusión correct a y ser, por t ant o, com plet am ent e correct a, dent ro de su lim it ación. En est e caso ust ed haría not ar sim plem ent e con una sonrisa m isericordiosa: «Conclusión defect iva». Supongam os, por ej em plo, que se encuent ra ust ed con est e silogism o: «Todas las personas alt ruist as son generosas Ningún avaro es generoso.  Ningún avaro es alt ruist a»   cuyas prem isas, expresadas por m edio de let ras serían: Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 94 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica «Todos los x' son m ; ningún y es m ». www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll   Aquí la conclusión correct a sería «Todos los x' son y» ( es decir, «t odas las personas alt ruist as son no avaras») , m ient ras que la conclusión ext raída por el aut or es «Ningún y es x'» ( que es lo m ism o que «Ningún x' es y», y, por t ant o, part e de «t odos los x' son y'») . En est e caso ust ed diría sim plem ent e «Conclusión defect iva». Ot ro t ant o ocurriría si est uviera ust ed en una t ienda de confit uras y ent rara un pequeño, pusiera dos peniques sobre el m ost rador y se m archara t riunfalm ent e llevándose un solo bollo de a penique. Ust ed sacudiría la cabeza t rist em ent e y diría. «Conclusión defect iva. ¡Pobre m uchachit o! ». Y quizá pregunt ara a la m uchacha que est á det rás del m ost rador si le perm it iría com erse el bollo que el niño había pagado y se había dej ado. Y ella replicaría quizá: «¡Ni hablar» En cam bio, si en el ej em plo ant erior el aut or ha ext raído la conclusión «Todos los avaros son egoíst as» ( es decir, «t odos los x son y») est o sería ir m ás allá de sus legít im os derechos ( puest o que afirm aría la exist encia de y, lo cual no est á cont enido en las prem isas) y ust ed diría con m ucha propiedad: «Conclusión falaz». Ahora bien: cuando lea ust ed ot ros t rat ados de lógica se encont rará con varios t ipos de lo que llam an “ falacias” , que en m odo alguno lo son siem pre. Por ej em plo, si ust ed present ara a uno de esos lógicos est e par de prem isas «Ningún hom bre honest o com et e est afas; Ningún hom bre honest o es digno de confianza»   y le pregunt ara qué conclusión se seguía, probablem ent e diría «¡Ninguna en absolut o! Sus prem isas at ent an cont ra dos reglas dist int as, y no pueden ser m ás falaces». Supongam os ent onces que fuera ust ed lo bast ant e audaz com o para decir «La conclusión es “ Ningún hom bre que com et e est afas es digno de confianza” ». Me t em o que su am igo lógico daría m edia vuelt a apresuradam ent e —quizás airado, quizá solam ent e despreciat ivo—; en cualquier caso, el result ado sería desagradable. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 95 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll ¡Le aconsej o que no int ent e la experiencia! «Pero, ¿y est o por qué?», dirá ust ed. «¿Quiere ust ed decir que t odos est os lógicos est án equivocados?» ¡Nada m ás lej os de m i int ención, querido lect or! Desde su punt o de vist a, t ienen perfect a razón. Per o ocurre que ellos no incluyen en su sist em a algo así com o t odas las form as posibles de silogism os. Tienen una especie de m iedo nervioso a los at ribut os que em piezan por una part ícula negat iva. Por ej em plo, proposiciones t ales com o «t odos los no- x son y», «ningún x es no- y», quedan por com plet o fuera de su sist em a. Y así, habiendo excluido ( por un sim ple nerviosism o) gran cant idad de form as m uy út iles, han hecho reglas que, aunque del t odo aplicables a las pocas form as que adm it en, carecen en absolut o de ut ilidad cuando se consideran t odas las form as posibles. ¡No disput em os con ellos, querido lect or! En el m undo hay espacio suficient e para ellos y para nosot ros a la vez. Em pleem os t ranquilam ent e nuest ro sist em a, m ás am plio que el suyo, y si ellos prefieren cerrar los oj os ant e t odas esas form as út iles y decir «¡No son silogism os! », no podem os hacer ot ra cosa que echarnos a un lado y dej ar les correr al encuent ro de su dest ino. No hay cosa m ás peligrosa para ust ed que correr hacia su dest ino. Ust ed puede correr hacia el m acizo de pat at as de su j ardín, o hacia el m acizo de fresas, sin arrost rar por ello grandes riesgos; puede ust ed correr hacia su balcón ( a m enos que se t rat e de una casa nueva edificada por acuerdo am ist oso, sin un arquit ect o responsable de la obra) y sobrevivir a una em presa t an t em eraria. Pero si ust ed corre hacia su dest ino, ent onces, ¡at éngase a las consecuencias! Todo argum ent o que nos engaña, porque parece probar algo que en realidad no prueba, puede ser llam ado una “ falacia” ( palabra derivada del verbo lat ino fallo, «y o engaño»; pero el t ipo part icular de falacia que vam os a discut ir ahora consist e en un par de proposiciones que se nos proponen com o prem isas de un silogism o, pero que no conducen a ninguna conclusión. Cuando cada una de las prem isas propuest as es una proposición en I o en E o en A ( que son los únicos t ipos de los que nos est am os ocupando ahora) la falacia se puede det ect ar por el “ m ét odo de los diagram as” con sólo inst alarlas en un Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 96 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll diagram a t rilit eral y observar que no proporcionan ninguna inform ación que pueda ser t ransferida al diagram a bilit eral. Pero supongam os que est am os em pleando el “ m ét odo de los subíndices” y que t enem os que vérnoslas con un par de prem isas que const it uyen una falacia. ¿Cóm o podem os asegurarnos de que no conducen a ninguna conclusión? Pienso que el m ej or plan es t rat ar las falacias del m ism o m odo que hem os t rat ado los silogism os, es decir, t om ar ciert as form as de pares de proposiciones y desarrollarlas de una vez por t odas sobre el diagram a t rilit eral, averiguando ent onces que no conducen a ninguna conclusión; y luego, regist rarlas, para un uso ult erior, com o fórm ulas para falacias, del m ism o m odo que hem os regist rado ya nuest ras t res fórm ulas para silogism os. Ahora bien: si regist ráram os los dos conj unt os de fórm ulas de la m ism a form a, es decir, por el m ét odo de subíndices, correríam os un riesgo considerable de confundirlos ent re sí. Por t ant o, en orden a m ant ener la dist inción propongo regist rar las fórm ulas para falacias en palabras, y llam arlas «form as» en lugar de «fórm ulas». Procedam os ahora a descubrir, por el m ét odo de los diagram as, t res «form as de falacias», que luego regist rarem os para uso ult erior. Son las siguient es: 1. Falacia de elim inandos no afirm ados com o exist ent es. 2. Falacia de elim inandos con una prem isa que es una ent idad. 3. Falacia de dos prem isas que son ent idades. Las discut irem os por separado, y verem os cóm o de ninguna de ellas se puede ext raer una conclusión. 1. Falacia de elim inandos no afirm ados com o exist ent es. Es evident e que ninguna de las proposiciones dadas puede ser una ent idad, puest o que las proposiciones que llam am os «ent idades» afirm an la exist encia de sus dos t érm inos. Por t ant o, t iene que t rat arse de nulidades. Si est o es así, el par de proposiciones se puede represent ar por ( xm 0 † ym 0 ) , con o sin x 1 , y 1 . Est as proposiciones, dispuest as en diagram as t rilit erales, son Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 97 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. Falacia de elim inandos con una prem isa que es una ent idad. Aquí el par de proposiciones puede ser represent ado por ( xm 0 † ym ’ 1 ) , con o sin x 1 o m 1 . Est as proposiciones, dispuest as en diagram as t rilit erales, son 3. Falacia de dos prem isas que son ent idades. Aquí el par de proposiciones puede ser represent ado o bien por ( xm 1 † ym 1 ) o bien por ( xm 1 † ym ' 1 ) . Est as proposiciones, dispuest as en diagram as t rilit erales, son Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 98 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll § 4. Mét odo para proceder con un par dado de proposiciones 1) Supongam os que t enem os ant e nosot ros un ciert o par de proposiciones de relación, que cont ienen ent re sí un par de clases codivisionales, y que deseam os averiguar qué conclusión —si es que hay alguna— se puede deducir de ellas. Si es necesario, las t raducim os a una form a con subíndices y luego procedem os del m odo siguient e: Exam inam os sus subíndices para ver si son a) Un par de nulidades; bien b) una nulidad y una ent idad; bien c) un par de ent idades. 2) Si se t rat a de un par de nulidades, exam inam os sus elim inandos para ver si o bien sus let ras est án am bas acent uadas o am bas sin acent uar, o bien hay una que lo est á y ot ra que no lo est á. Si ocurre est o últ im o, es un caso de la Fig. Y. Exam inam os ent onces sus ret inendos, para ver si uno o am bos est án afirm ados com o exist ent es. Si hay uno afirm ado com o t al, es un caso de la Fig. I ( a) ; si lo est án los dos, es un caso de la Fig. I ( b) . Si ocurre que am bos elim inandos est án o bien acent uados o bien sin acent uar, los exam inam os para ver si uno cualquiera de ellos est á afirm ado com o exist ent e. Si es así, se t rat a de un caso de la Fig. I I I ; si no, es un caso de la «falacia de elim inandos no afirm ados com o exist ent es». 3) Si las dos proposiciones en cuest ión son una nulidad y una ent idad, exam inam os sus elim inandos para ver si est án o bien am bos acent uados o am bos sin acent uar o bien uno est á acent uado y ot ro no lo est á. Si ocurre lo prim ero, es un caso de la Fig. I I ; si lo Últ im o, es un caso de «falacia de elim inandos con una prem isa que es una ent idad». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 99 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 4) Si se t rat a de un par de ent idades, es un caso de «falacia de dos prem isas que son ent idades». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 100 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 7 Los sor it e s I n t r odu cción Cuando un conj unt o de t res o m ás proposiciones bilit erales son de t al m odo que t odos sus t érm inos son especies del m ism o género y est án relacionadas de t al m odo que dos de ellas, t om adas j unt am ent e, conducen a una conclusión que, t om ada j unt o con ot ra de ellas, conduce a ot ra conclusión, y así sucesivam ent e hast a que las hayam os t om ado t odas, es evident e que, si el conj unt o originario fuera verdadero, la últ im a conclusión lo sería t am bién. A un conj unt o com o ese ( incluyendo en él la últ im a conclusión deducida) se le llam a un “ sorit es” ; el conj unt o originario de proposiciones recibe el nom bre de “ prem isas” ; cada una de las conclusiones int erm edias es una “ conclusión parcial” del sorit es; la últ im a conclusión es su “ conclusión com plet a” , o, m ás brevem ent e, su “ conclusión” ; el género del que t odos los t érm inos son especies es el “ universo del discurso” , o, m ás brevem ent e, el “ univ.” ; los t érm inos usados com o elim inandos en los silogism os se llam an “ elim inandos” ; y los dos t érm inos que se ret ienen y por t ant o aparecen en la conclusión son los “ ret inendos” . [ Nót ese que cada conclusión parcial cont iene uno o dos elim inandos, pero que la conclusión com plet a cont iene sólo ret inendos.] Se dice que la conclusión es “ consecuent e” de las prem isas, razón por la cual es usual que vaya precedida de la part ícula «por lo t ant o» ( o del sím bolo «») . [ Nót ese que la cuest ión de si la conclusión es o no es consecuent e de las prem isas no se ve afect ada por la efect iva verdad o falsedad de cualquiera de las proposiciones que com ponen el sorit es, sino que depende ent eram ent e de las relaciones ent re ellas.] [ Com o m odelo de sorit es t om em os el siguient e conj unt o de 5 proposiciones: 1. «Ningún a es b'; 2. Todos los b son c; 3. Todos los c son d; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 101 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 4. Ningún e’ es a'; 5. Todos los h son e'» Aquí la prim era y la segunda proposiciones, t om adas j unt am ent e, llevan a «Ningún a es c'». Est a últ im a proposición, unida a la t ercera, nos da «Ningún a es d'». Est a últ im a proposición, unida a la cuart a, nos da «ningún d' es e'». Y est a últ im a, j unt o con la quint a, nos da «t odos los h son d». Por t ant o, si el conj unt o originario de proposiciones fuera verdadero, est a proposición t am bién lo sería. El conj unt o originario, con est a últ im a proposición incluida, es un sorit es; el conj unt o originario son las prem isas; la proposición «t odos los h son d» es su conclusión; los t érm inos a, b, c, e, son los elim inandos; y los t érm inos d y h son los ret inendos. Por lo t ant o, el sorit es com plet o podíam os escribirlo así: «Ningún a es b’; Todos los b son c; Todos los c son d; Ningún e' es a'; Todos los h son e'. Todos los h son d». En est e sorit es las 3 conclusiones parciales son las proposiciones «Ningún a es c'», «ningún a es d'», «ningún d' es e'»; pero, si dispusiéram os las prem isas en ot ro orden se podrían obt ener conclusiones parciales de est e sorit es, que sería int eresant e para el lect or desarrollar.] 2 . Pr oble m a s sobr e sor it e s §1. I nt roducción Los problem as que t endrem os que resolver son de la siguient e form a: «Dadas t res o m ás proposiciones de relación, que se nos proponen com o prem isas, averiguar qué conclusión —si es que hay alguna— se deduce de ellas». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 102 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Por el m om ent o nos lim it arem os a ver los problem as que se pueden resolver m ediant e las fórm ulas de la Fig. I . Los que requieran ot ras fórm ulas son dem asiado duros para principiant es. Esos problem as se pueden resolver por cualquiera de los dos siguient es m ét odos: 1. El m ét odo de los silogism os separados; 2. El m ét odo del subrayado. Los discut irem os uno por uno. Solución por el m ét odo de los silogism os separados Las reglas para llevar est o a cabo son las siguient es: 1. Señalar el “ Universo del discurso” . 2. Const ruir un diccionario haciendo que a, b, c, et c., represent en los t érm inos. 3. Poner las prem isas propuest as en una form a con subíndices. 4. Seleccionar dos que, cont eniendo ent re ellas un par de clases codivisionales, puedan ser usadas com o prem isas de un silogism o. 5. Hallar su conclusión por m edio de una fórm ula. 6. Encont rar una t ercera prem isa que, unida a est a conclusión, t om e con ella las prem isas de un segundo silogism o. 7. Hallar una segunda conclusión por m edio de una fórm ula. 8. Proceder de est e m odo hast a que hayan sido ut ilizadas t odas las prem isas propuest as. 9. Poner la últ im a conclusión, que es la conclusión com plet a del sorit es, en form a concret a. [ A t ít ulo de ej em plo de est e proceso, t om em os, com o conj unt o propuest o de prem isas, el siguient e: 1. «Todos los policías de la ronda com en con nuest ra cocinera; 2. Ningún hom bre de pelo largo puede dej ar de ser poet a; 3. Am os Judd no ha est ado nunca en prisión; 4. A t odos los prim os de nuest ra cocinera les gust a el cordero frío; 5. Sólo los policías de la ronda son poet as; 6. Sólo sus prim os com en con nuest ra cocinera; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 103 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 7. Todos los hom bres con el pelo cort o han est ado en prisión». Univ.: «hom bres»; a = Am os Judd; b = prim os de nuest ra cocinera; c = que han est ado en prisión; d = de cabello largo; e = que les gust a el cordero frío; h = poet as; k = policías de la ronda; l = que com en con nuest ra cocinera. Ahora t enem os que poner las prem isas propuest as en una form a con subíndices. Com encem os por ponerlas en form a abst ract a. El result ado es 1. «Todos los k son l; 2. Ningún d es h'; 3. Todos los a son c'; 4. Todos los b son e; 5. Ningún k' es h; 6. Ningún b' es l; 7. Todos los d' son c». Y ahora es fácil ponerlas en una form a con subíndices, del m odo siguient e: 1. k1l' 0 2. dh' 0 3. a 1 c0 4. b 1 e' 0 5. k’h 0 6. b'l 0 7. d' 1 c' 0 Tenem os que encont rar ahora un par de prem isas que lleven a una conclusión. Em pecem os por el núm . ( 1) y recorram os la list a hast a encont rar una que form e con la prim era un par de prem isas pert enecient es a la Fig. I . Vem os que la núm . ( 5) cum ple est e requisit o, puest o que podem os t om ar k com o elim inando. De m odo que nuest ro prim er silogism o es ( 1) k 1 l' 0 ( 5) k’h 0 ,  l'h 0 ... ( 8) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 104 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Ahora debem os em pezar de nuevo con l'h 0 y encont rar una prem isa que la acom pañe. La núm . ( 2) , con h com o elim inando. De m odo que nuest ro próxim o silogism o es ( 8) l'h 0 ( 2) dh' 0  l'd 0 ... ( 9) Hast a ahora hem os ut ilizado los núm eros ( 1) , ( 5) y ( 2) . Debem os buscar com pañía para l'd. La encont ram os en el núm . ( 6) . De m odo que escribirem os ( 9) l'd 0 ( 6) b’l 0  db’ 0 ... ( 10) Y ahora, ¿qué es lo que podem os t om ar j unt o con db' 0 ? El núm . ( 4) . ( 10) db' 0 ( 4) b 1 e' 0  de' 0 ... ( 11) Junt o con ést a podem os t om ar la núm . ( 7) . ( 11) dc' 0 ( 7) d' 1 c' 0  e'c' 0 ... ( 12) Y j unt o con ést a podem os t om ar la núm . ( 3) ( 12) e'c' 0 ( 3) a 1 c0  a’ 1 e’ 0 Est a conclusión com plet a, t raducida a form a abst ract a, es «Todos los a son e»; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 105 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll y, t raducida a form a concret a, «A Am os Judd le gust a el cordero frio».] §3. Solución por el m ét odo del subrayado Considérese el siguient e par de prem isas xm 0 † ym ’ 0 que llevan a la conclusión xy 0 . Vem os que para llegar a est a conclusión debem os elim inar m y m ' y escribir x e y j unt as en una m ism a expresión. Ahora bien: si t om am os el acuerdo de m arcar m y m ' com o elim inadas y leem os las dos expresiones j unt as, com o si est uvieran escrit as en una, las dos prem isas represent arán exact am ent e la conclusión, y no necesit am os escribirlas por separado. Convengam os en m arcar las let ras elim inadas subrayándolas, poniendo una sola raya baj o la prim era y una raya doble baj o la segunda. Ahora las dos prem isas quedarán así xm 0 † ym ’ 0 que leem os com o «xy 0 ». Al copiar las prem isas para el subrayado, será convenient e om it ir t odos los subíndices. Respect o de los «0» podem os siem pre suponerlos escrit os, y, respect o de los «1», no nos est am os ocupando de cuáles t érm inos est án afirm ados com o exist ent es, si except uam os a aquellos que aparecen en la conclusión com plet a; y para ellos será bast ant e fácil acudir a la list a original. [ Voy a int ent ar ahora desarrollar el proceso para resolver por est e m ét odo el ej em plo de la sección ant erior. Los dat os son: 1 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 2 3 4 106 5 6 7 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll k 1 l’ 0 † dh’ 0 † a 1 c0 b 1 e’ 0 † k’h 0 † b’l 0 † d’ 1 c’ 0 El lect or debiera proveerse de un papel y t ranscribir por su cuent a la solución. La prim era línea const ará de los dat os arriba reproducidos; la segunda debe ser com puest a, gradualm ent e, de acuerdo con las siguient es direct rices: Em pezam os por escribir la prim era prem isa, con su núm ero sobre ella, pero sin subíndices. Ahora t enem os que encont rar una prem isa que se pueda com binar con la ant erior, es decir, una prem isa que cont enga k' o l. La prim era que encont ram os es la núm . ( 5) que añadim os a la núm . ( 1) por m edio de †. Para obt ener a part ir de ellas una conclusión, se deben elim inar k y k' y t om ar lo que queda com o una sola expresión. Por t ant o, las subrayam os, poniendo una sola raya baj o k y una raya doble baj o k'. El result ado lo leem os com o l'h. Ahora debernos encont rar una prem isa que cont enga l o h. Recorriendo la list a, nos fij am os en la núm . ( 2) y la añadim os. Pero est as t res nulidades en realidad equivalen a ( l’h † dh’) en la que h y h’ deben ser elim inadas y lo que queda t om ado com o una expresión. Por t ant o, las subrayam os. El result ado se lee l'd. Querem os ahora una prem isa que cont enga l o d'. La núm . ( 6) . Est as cuat ro nulidades en realidad equivalen a ( l’d † b’l) . Así que subrayam os l' y l. El result ado se lee db'. Querernos ahora una prem isa que cont enga d' o b. La núm . ( 4) . Aquí subrayam os b' y b. El result ado se lee de’. Querem os ahora una prem isa que cont enga d' o e. La núm . ( 7) . Aquí subrayam os d y d'. El result ado se lee e'c'. Querem os ahora una prem isa que cont enga e o c. La núm . ( 3) que, adem ás, es la única que queda. Aquí subrayam os c' y c; y puest o que el t ot al se lee ahora ea, podem os añadir e'a 0 , com o conclusión, con un ¶. Ahora m iram os la list a de dat os para ver si c' o a han sido dados com o exist ent es. Nos encont ram os que a ha sido dada com o exist ent e en el núm . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 107 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll ( 3) . De m odo que añadim os est e hecho a la conclusión, que ahora quedará así: ¶e’a 0 † a 1 , es decir, ¶a 1 e’ 0 es decir, «Todos los a son e». Si el lect or ha obedecido fielm ent e las direct rices expuest as, la solución que ha escrit o será la siguient e: 1 2 3 4 5 6 7 k 1 l’ 0 † dh’ 0 † a 1 c0 b 1 e’ 0 † k’h 0 † b’l 0 † d’ 1 c’ 0 1 5 2 6 4 7 3 kl’ † k’h † dh’ † b’l † be’ † d’c’ † ac † e’a 0 † a 1 es decir ¶e’a 0 , es decir, «t odos los a son e». El lect or debería t om ar ahora un segundo t rozo de papel, copiar t an sólo los dat os e int ent ar sacar la solución por sí m ism o, part iendo de alguna ot ra prem isa. Si no consigue llegar a la conclusión a 1 e' 0 , le aconsej o que coj a un t ercer t rozo de papel y em piece de nuevo.] Quisiera ahora desarrollar, en su form a m ás breve, un sorit es de cinco prem isas, que sirva com o m odelo para que el lect or lo im it e con ot ros ej em plos. 1. «Yo valoro en m ucho t odo lo que Juan m e da; 2. Nada salvo est e hueso sat isfará a m i perro; 3. Me preocupo con especial cuidado por t odo lo que valoro en m ucho; 4. Est e hueso era un regalo de Juan; 5. Las cosas por las que m e preocupo con especial cuidado son cosas que no doy a m i perro». Univ., «cosas»; a = dado por Juan; b dado por m í a m i perro; e = valorado en m ucho por m í; d = sat isfact orio para m i perro; e = t om ado por m í con especial cuidado; h = est e hueso. 1 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 2 3 108 4 5 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll a 1 c’ 0 † h’d 0 † c1 e’ 0 † h 1 a’ 0 † e 1 b 0 1 3 4 2 5 ac’ † ce’ † ha’ † h’d † eb ¶ db 0 es decir, «nada de lo que yo doy a m i perro le sat isface», o «m i perro no est á sat isfecho con nada de lo que yo le doy». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 109 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Libr o 8 Ej e r cicios con r e spu e st a 1 . Ej e r cicios §1. Pares de proposiciones concret as propuest as com o prem isas. Hay que encont rar su conclusión. 1. Algunos j udíos son ricos; Todos los esquim ales son gent iles. 2. Todas las avispas son hoscas; Todas las criat uras hoscas son m al acogidas. 3. Todos los canarios bien nut ridos cant an con pot encia; Ningún canario se sient e m elancólico si cant a con pot encia. 4. Ningún país que haya sido explorado est á infest ado de dragones; Los países inexplorados son fascinant es. 5. Ningún cuadrúpedo sabe silbar; Algunos gat os son cuadrúpedos. 6. Los pelm azos son t erribles; Ust ed es un pelm azo. 7. Algunas ost ras son silenciosas; Las criat uras no silenciosas son divert idas. 8. Algunos sueños son t erribles; Ningún borrego es t errible. 9. Ninguna pesadilla es agradable; Las experiencias desagradables no se buscan con avidez. 10. Ningún bogavant e es irrazonable; Ninguna criat ura razonable espera im posibles. 11. A t odos los abst em ios les gust a el azúcar; Ningún ruiseñor bebe vino. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 110 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll § 2. Tríos de proposiciones concret as propuest os com o silogism os. Averigüe si las conclusiones son correct as. 1. Ningún fósil puede est ar t raspasado de am or; Una ost ra puede est ar t raspasada de am or Las ost ras no son fósiles. 2. Todos los leones son fieros; Algunos leones no beben café. Algunas criat uras que beben café no son fieras26 3. «Lo vi en un periódico». «Todos los periódicos dicen m ent iras». Era una m ent ira. 4. Un hom bre prudent e rehúye las hienas; Ningún banquero es im prudent e. Ningún banquero dej a de rehuir las hienas. 5. Algunas alm ohadas son blandas; Ningún at izador es blando. Algunos at izadores no son alm ohadas. 6. Ningún páj aro, except o los pavos reales, se pavonea de su cola; Algunos páj aros que se pavonean de sus colas no saben cant ar. Algunos pavos reales no saben cant ar. 7. Ninguna rana es poét ica; Algunos ánades est án desprovist os de poesía. Algunos ánades no son ranas. 8. Toda águila puede volar; Algunos cerdos no pueden volar. Algunos cerdos no son águilas. 26 En The Gam e of Logic Carroll propone el siguient e ej er cicio: «Ext raer un par de prem isas del siguient e párrafo y deducir la conclusión, si la hay: 'El león —y est o puede decírselo cualquiera que haya sido perseguido por ellos con t ant a frecuencia com o yo lo he sido—es un anim al m uy salv aj e. Y ent re ellos hay algunos —aunque no garant izo que est o sea una ley general— que no beben café'»( N. del T.) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 111 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll § 3. Conj unt os de proposiciones concret as propuest as com o prem isas de un sorit es. Encont rar las conclusiones. 1 1. Los niños son ilógicos; 2. Nadie que sepa m anej ar un cocodrilo es despreciado; 3. Las personas ilógicas son despreciadas. Univ., «personas»; a = capaz de m anej ar un cocodrilo; b = niños; e = despreciado; d = lógico. 2 1. No hay j udíos en la cocina; 2. Ningún gent il dice «shpoonj »; 3. Todos m is sirvient es est án en la cocina. Univ., «personas»; a = que est án en la cocina; b = j udíos; c = sirvient es m íos; d = que dicen «shpoonj ». 3 1. Ningún ánade baila el vals; 2. Ningún oficial declina nunca una invit ación a bailar el vals; 3. Todas m is aves de corral son ánades. Univ., «criat uras»; a = ánades; b = m is aves de corral; c = oficiales; d = deseosos de bailar el vals. 4 1. Ningún perro t errier corret ea ent re los signos del zodíaco; 2. Nada que no corret ee ent re los signos del zodiaco es un cornet a ; 3. Nadie sino un t errier t iene una cola rizada. Univ., «cosas»; a = com et as; b = de de cola rizada; c = t erriers; d = que corret ean ent re los signos del zodiaco. 5 Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 112 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 1. Los perrillos que no est án quiet os se m uest ran siem pre agradecidos por el prést am o de una com ba; 2. Un perrillo coj o no le diría a ust ed «gracias» si le ofreciera en prést am o una com ba; 3. Nadie salvo los perrillos coj os se preocupa nunca por hacer labor de est am bre. Univ., «perrillos»; a = que se preocupan de hacer labor de est am bre; b = agradecidos por el prést am o de una com ba; c = coj o; d = deseosos de est ar quiet os. 6 1. Nadie que aprecie realm ent e a Beet hoven dej a de guardar silencio cuando se est á int erpret ando la sonat a «Claro de Luna; 2. Los conej illos de indias son desesperadam ent e ignorant es en cuest iones m usicales; 3. Nadie que sea desesperadam ent e ignorant e en cuest iones m usicales guarda nunca silencio cuando se est á int erpret ando la sonat a «Claro de Luna». Univ., «criat uras»; a = conej illos de indias; b = desesperadam ent e ignorant es en cuest iones m usicales; c = que guardan silencio m ient ras se est á int erpret ando la sonat a «Claro de Luna»; d = que realm ent e aprecian a Beet hoven. 7 1. Ningún gat it o al que le gust e el pescado es em brut ecible; 2. Ningún gat it o sin cola j ugará con un gorila; 3. A los gat it os con bigot es les gust a el pescado; 4. Ningún gat it o que no sea em brut ecible t iene oj os verdes 5. Ningún gat it o t iene cola a m enos que t enga bigot es. Univ., «gat os»; a = de oj os verdes; b = que le gust a el pescado; e = con cola; d = em brut ecible; e = con bigot es; h = deseoso de j ugar con un gorila. 8 1. Todos los anim ales que no cocean son flem át icos; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 113 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 2. Los asnos no t ienen cuernos; 3. Un búfalo puede siem pre lanzarlo a uno cont ra una puert a; 4. Ningún anim al que cocea es fácil de engullir; 5. Ningún anim al sin cuernos puede lanzarlo a uno cont ra una puert a; 6. Todos los anim ales son excit ables, except o los búfalos. Univ.; «anim ales»; a = capaz de lanzarlo a uno cont ra una puert a; b = búfalos; e = asnos; d = fácil de engullir; e = excit able [ no flem át ico] ; h = con cuernos; k = que cocea. 9 1. Los anim ales se irrit an siem pre m ort alm ent e si no les prest o at ención; 2. Los únicos anim ales que m e pert enecen a m í est án en ese prado; 3. Ningún anim al puede adivinar un acert ij o a m enos que haya sido adecuadam ent e inst ruido en un colegio con int ernado; 4. Ningún anim al de los que est án en est e prado es un t ej ón; 5. Cuando un anim al est á m ort alm ent e irrit ado corre de un lado para ot ro salvaj em ent e y gruñe; 6. Nunca prest o at ención a un anim al, a no ser que m e pert enezca; 7. Ningún anim al que haya sido adecuadam ent e inst ruido en un colegio con int ernado corre de un lado para ot ro salvaj em ent e y gruñe. Univ., «anim ales»; a = capaz de adivinar un acert ij o; b = t ej ones; c = que est á en ese prado; d = m ort alm ent e t et ado si no le prest o at ención; e = yo; h = at endido por m í; k = adecuadam ent e inst ruido en un colegio con int ernado; l = que corre de un lado para ot ro salvaj em ent e y gruñe. 10 1. Los únicos anim ales que hay en est a casa son gat os; 2. Todo anim al aficionado a cont em plar la luna es digno de m im o; 3. Cuando yo det est o a un anim al, lo rehúyo; 4. Ningún anim al que no m erodee de noche es carnívoro; 5. Ningún gat o dej a de m at ar rat ones; 6. Ningún anim al la t om a conm igo, except o los que est án en est a casa; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 114 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll 7. Los canguros no son dignos de m im o; 8. Sólo los carnívoros m at an rat ones; 9. Det est o a los anim ales que no la t om an conm igo; 10. Los anim ales que m erodean de noche son siem pre aficionados a cont em plar la luna. Univ., «anim ales»; a = evit ados por m i; b = carnívoros; e = gat os; d = det est ados por m i; e = que est án en est a casa; h = canguros; k = que m at an rat ones; l = aficionados a cont em plar la luna; m = que m erodean de noche; n = dignos de m im o; r = que la t om an conm igo. 11 1. Nadie que se disponga a ir a una fiest a dej a de cepillarse el cabello 2. Nadie parece fascinant e si va desaliñado; 3. Los consum idores de opio no t ienen dom inio de sí m ism os; 4. Todo el que ha cepillado su cabello parece fascinant e; 5. Nadie usa guant es de cabrit o blanco a m enos que vaya a una fiest a; 6. Un hom bre est á siem pre desaliñado si no t iene dom inio de sí m ism o. Univ., «personas»; a = que van a una fiest a; b = que se han cepillado el cabello; c = que t ienen dom inio de sí m ism os; d = que parecen fascinant es; e = consum idores de opio; h = aliñado; k = que usan guant es de cabrit o blanco. 2 . Re spu e st a s Respuest as a §1. 1. Algunas personas ricas no son esquim ales. 2. Todas las avispas son m al acogidas. 3. Todos los canarios bien nut ridos son j oviales. 4. No hay ningún país infest ado de dragones que no sea fascinant e. 5. Algunos gat os no saben silbar. 6. Es ust ed t errible. 7. Algunas ost ras no son divert idas. 8. Algunos sueños no son borregos. 9. Ninguna pesadilla se busca con avidez. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 115 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com 10. Ningún bogavant e espera im posibles. 11. A ningún ruiseñor le disgust a el azúcar. Lewis Carroll Respuest as a §2. 1. Conclusión correct a. 2. Conclusión incorrect a. La correct a es «Algunas criat uras fieras no beben café.» 3. Conclusión incorrect a. La correct a es «La publicación en la que lo vi dice m ent iras.» 4. Conclusión correct a. 5. Conclusión incorrect a. La correct a es «Algunas alm ohadas no son at izadores.» 6. Conclusión correct a. 7. No hay conclusión. Es un ej em plo de la Falacia de Elim inarlos con una prem isa que es una ent idad. 8. Conclusión correct a. Respuest as a §3. 1. Los niños no saben m anej ar cocodrilos. 2. Mis sirvient es no dicen nunca «shpoonj ». 3. Mis aves de corral no son oficiales. 4. Ningún com et a t iene una cola rizada. 5. Los perrillos que no est án quiet os no se preocupan nunca por hacer labor de est am bre. 6. Ningún conej o de indias aprecia realm ent e a Beet hoven. 7. Ningún gat it o de oj os verdes j ugará con un gorila. 8. Los asnos no son fáciles de engullir. 9. Ningún t ej ón puede adivinar un acert ij o. 10. Yo siem pre rehúyo a un canguro. 11. Los consum idores de opio no usan nunca guant es de cabrit o blanco. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 116 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Apé n dice dir igido a los pr ofe sor e s Algu n a s obse r va cion e s sobr e la s pa r t e s I I y I I I de e st a obr a 2 7 y sie t e pr oble m a s pa r a pr ofe sor e s. En la part e I I se encont rarán t em as t ales com o el del «com prom iso exist encial» [ «exist ent ial im port »] de las proposiciones, el del uso de una cópula negat iva o la t eoría de que «de dos prem isas negat ivas no se concluye nada». Tam bién am pliaré el radio de acción de los silogism os int roduciendo proposiciones que cont engan alt ernat ivas ( t ales com o «No t odos los x son y») , proposiciones que cont engan t res o m ás t érm inos ( t ales com o «t odos los ab son c») , que, unida a «algunos bc' son d» serviría com o prem isa para deducir «algunos d son a») , et cét era. Ot ros t em as de est a part e I I serán los sorit es que cont ienen ent idades y la m uy com plej a cuest ión de las proposiciones hipot ét icas y de los dilem as. En la part e I I I espero ocuparm e de m uchos t em as curiosos y originales, algunos de los cuales no aparecen ni siquiera aludidos en ninguno de los t rat ados de lógica que conozco. En est a últ im a part e se encont rarán cuest iones t ales com o el análisis de las proposiciones en sus elem ent os, el t rat am ient o de problem as num éricos y geom ét ricos, la const rucción de problem as y la solución silogism os y sorit es con proposiciones m ás com plicadas que las que habré ut ilizado en la part e H. Quiero concluir plant eando algunos problem as, com o m uest ra de lo que vendrá en la part e I I . Me alegrará m ucho recibir de cualquier lect or que piense que ha resuelt o uno de ellos ( especialm ent e si lo ha hecho sin ut ilizar ningún m ét odo sim bólico) lo que él considere corno solución com plet a. 1 Todos los alum nos de una escuela se sient an j unt os t odas las t ardes en un aula espaciosa. Los hay de cinco nacionalidades: ingleses, escoceses, galeses, irlandeses y alem anes. Uno de los inst ruct ores ( lect or fervient e de las novelas de Wilkie Collins) es m uy observador y t om a not as m anuscrit as de casi t odo lo que ocurre, con vist as a convert irse en un t est igo de excepción en el caso de que se est uviera 27 Que nunca llegaron a publicarse ( N. del T.) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 117 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll fraguando allí una conspiración para com et er un asesinat o. Las siguient es son algunas de sus not as: 1. Cuandoquiera que algunos de los alum nos ingleses cant an «Rule Brit annia» y ot ros no lo hacen, algunos de los inst ruct ores perm anecen m uy despiert os; 2. Cuandoquiera que algunos de los escoceses bailan una danza t ípica de su t ierra y algunos de los irlandeses se pelean, algunos de los galeses com en queso t ost ado; 3. Cuandoquiera que algunos alem anes j uegan al aj edrez, algunos de los once no est án engrasando los palos de j uego; 4. Cuandoquiera que algunos de los inst ruct ores est án dorm idos y ot ros no lo est án, algunos de los irlandeses se pelean; 5. Cuandoquiera que algunos de los alem anes j uegan al aj edrez y ninguno de los escoceses baila una danza t ípica de su t ierra, algunos de los galeses no com en queso t ost ado; 6. Cuandoquiera que algunos de los escoceses no bailan una danza t ípica de su t ierra y algunos de los irlandeses no se pelean, algunos de los alem anes j uegan al aj edrez; 7. Cuandoquiera que algunos de los inst ruct ores est án despiert os y algunos de los galeses com en queso t ost ado, ninguno de los escoceses est á. bailando una danza t ípica de su t ierra; 8. Cuandoquiera que algunos de los alem anes no j uegan al aj edrez y algunos de los galeses no com en queso t ost ado, ninguno de los irlandeses se pelea; 9. Cuandoquiera que t odos los ingleses cant an «hule Brit annia» y algunos de los escoceses no bailan una danza de su t ierra, ninguno de los alem anes j uega al aj edrez; 10. Cuandoquiera que algunos de los ingleses cant an Rule Brit annia» y algunos de los inst ruct ores est án dorm idos, algunos de los irlandeses no se pelean; 11. Cuandoquiera que algunos de los m onit ores est án despiert os y algunos de los once no est án engrasando sus palos de j uego, algunos de los escoceses bailan una danza t ípica de su t ierra; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 118 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 12. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Cuandoquiera que algunos de los ingleses cant an «hule Brit annia» y algunos de los escoceses no bailan una danza de su t ierra... Aquí se int errum pe súbit am ent e el m anuscrit o. El problem a consist e en com plet ar la frase, si es posible. [ NB. —En la resolución de est e problem a es necesario t ener present e que la proposición «Todos los x son y» es una proposición doble, y que equivale a «Algunos x son y, y ninguno es y'».] 2 1. Un lógico que t om e para cenar chulet as de cerdo probablem ent e perderá dinero; 2. Un j ugador cuyo apet it o no sea feroz probablem ent e perderá dinero; 3. Un hom bre que est á deprim ido porque ha perdido dinero y es verosím il que pierda m ás se levant a siem pre a las cinco de la m añana; 4. Un hom bre que no j uega ni t am poco t orna para cenar chulet as de cerdo, es seguro que t iene un apet it o feroz; 5. Un hom bre dinám ico que se acuest a ant es de las cuat ro de la m añana debería hacerse conduct or de coche de punt o; 6. Un hom bre de apet it o feroz que no haya perdido dinero y que no se levant e a las cinco de la m añana t om a siem pre para cenar chulet as de cerdo; 7. Un lógico que corre el riesgo de perder dinero debería hacerse conduct or de coche de punt o; 8. Un j ugador diligent e que est é deprim ido aunque no haya perdido dinero no corre peligro de perderlo; 9. Un hom bre que no j uegue y cuyo apet it o no sea voraz es siem pr e dinám ico; 10. Un lógico dinám ico que sea realm ent e diligent e no corre ningún peligro de perder su dinero; 11. Un hom bre de apet it o voraz no t iene necesidad de hacerse conduct or de coche de punt o si es realm ent e diligent e; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 119 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 12. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Un j ugador que est é deprim ido aunque no corra el riesgo de perder su dinero t rasnocha hast a las cuat ro de la m adrugada; 13. Un hom bre que haya perdido dinero y que no t om e para cenar chulet as de cerdo debería hacerse conduct or de coche de punt o, a m enos que se levant e a las cinco de la m adrugada; 14. Un j ugador que se acuest e ant es de las cuat ro de la m adrugada no necesit a hacerse conduct or de coche de punt o a m enos que t enga un apet it o feroz; 15. Un hom bre de apet it o feroz, que est á deprim ido, aunque no en peligro de perder su dinero, es un j ugador. 3 1. Cuando hace buen día le digo a Froggy: «¡Viej o, eres un com plet o dandy ! » 2. Cada vez que yo perm it o que Froggy olvide que m e debe diez libras y él em pieza a pavonearse, su m adre declara : «¡No t e dej aré ir de galant eo! » 3. Ahora que su pelo no est á ensort ij ado, Froggy se ha quit ado su sunt uoso chaleco; 4. Cada vez que voy a la t erraza a fum ar un cigarro con t ranquilidad est oy seguro de descubrir que m i cart era est á vacía; 5. Cuando m i sast re m e pasa su pequeña cuent a y yo le recuerdo a Froggy que m e debe diez libras, él no se pone a reír com o una hiena; 6. Cuando hace m ucho calor, el t erm óm et ro est á alt o; 7. Cuando hace un herm oso día, y yo no est oy de hum or para fum ar un cigarro y Froggy se ríe com o una hiena, nunca m e arriesgo a sugerirle que es un com plet o dandy; 8. Cuando m i sast re m e pasa su pequeña cuent a y m e encuent ro con la cart era vacía, le recuerdo a Froggy que m e debe diez libras; 9. Mis acciones de ferrocarriles est án en alza; 10. Cuando m i cart era est á vacía y cuando, sabiendo que Froggy se ha com prado un sunt uoso chaleco, m e avent uro a recordarle las diez libras que m e debe, la t em perat ura se m uest ra inclinada a subir; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 120 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 11. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Ahora que am enaza lluvia y Froggy se est á riendo com o una hiena, puedo pasarm e sin m i cigarro; 12. Cuando el t erm óm et ro est á alt o no necesit a ust ed preocuparse por conseguir un paraguas; 13. Cuando Froggy lleva puest o su sunt uoso chaleco, pero no se est á pavoneando, m e dedico a fum ar un cigarro con t ranquilidad; 14. Cuando le digo a Froggy que es un com plet o dandy se ríe com o una hiena; 15. Cuando m i cart era est á. razonablem ent e llena y el pelo de Froggy es una m asa de bucles, y cuando no se est á pavoneando, yo salgo a la t erraza; 16. Cuando m is acciones de ferrocarriles suben, y hace frío, y am enaza lluvia, m e fum o un cigarro en paz; 17. Cuando la m adre de Froggy le perm it e ir de galant eo, parece enloquecer de alegría y se pone un chaleco de sunt uosidad indescript ible; 18. Cuando va a llover y yo est oy fum ando t ranquilam ent e un cigarro y Froggy no est á int ent ando ir de galant eo, lo m ej or es procurarse un paraguas; 19. Cuando m is acciones de ferrocarriles suben y Froggy parece enloquecer de alegría, ese es el m om ent o que m i sast re escoge para pasarm e su pequeña cuent a; 20. Cuando hace un día frío y el t erm óm et ro est á baj o y yo no le digo a Froggy que es un com plet o dandy y no hay ni rast ro de una sonrisa en su cara, no t engo ánim o para fum ar un cigarro. 4 1. Todo individuo apt o para ent rar en el Parlam ent o que no se pase el día hablando es un benefact or público; 2. La gent e de cabeza clara y palabra fácil ha recibido una buena educación; 3. Una m uj er digna de elogio es una m uj er capaz de guardar un secret o; 4. La gent e que beneficia al pueblo, pero que no usa su influencia con buenos propósit os, no es apt a para ent rar en el Parlam ent o; 5. La gent e que vale su peso en oro y que m erece elogio es siem pre gent e nada pret enciosa; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 121 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 6. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Los benefact ores del pueblo que usan su influencia con buenos propósit os, m erecen elogios; 7. La gent e que es im popular y que no vale su peso en oro, es incapaz de guardar j am ás un secret o; 8. Las personas que saben hablar durant e horas y son apt as para ent rar en el Parlam ent o, m erecen elogios; 9. Cualquiera que sepa guardar un secret o y sea poco pret encioso es un benefact or del pueblo cuyo recuerdo será im perecedero; 10. Una m uj er benefact ora del pueblo es siem pre popular; 11. Las personas que valen su precio en oro, que hablan sin parar y a quienes es im posible olvidar, son j ust am ent e aquellas cuyas fot ografías est án en t odos los escaparat es; 12. Una m uj er m al educada, que no t iene la cabeza clara, no es apt a para ent rar en el Parlam ent o; 13. Cualquiera que sepa guardar un secret o y que no est é siem pre hablando, es seguro que carece de popularidad; 14. Una persona de cabeza clara, que t enga influencia y la ut ilice con buenos propósit os, es un benefact or del pueblo; 15. Un benefact or del pueblo que no sea pret encioso no es el t ipo de persona cuya fot ografía figura en t odos los escaparat es; 16. La gent e que sabe guardar un secret o y que usa su influencia con buenos propósit os, vale su peso en oro; 17. Una persona que no t enga facilidad de expresión y carezca de capacidad para influir sobre los dem ás no es ciert am ent e una m uj er 18. Las personas que son populares y m erecedoras de elogio, o bien son benefact ores del pueblo, o bien no son nada pret enciosos. 5 Seis am igos, y sus seis respect ivas esposas, se hospedan en el m ism o hot el ; y t odos ellos salen t odos los días, asist iendo a reuniones de dist int o volum en y com posición. Para asegurar la variedad en est as diarias salidas, han acordado est ablecer las siguient es reglas: Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 122 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 1. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Si Acres est á con su m uj er —es decir, en la m ism a reunión que su m uj er— y Barry con la suya, y Eden con la señora Hall, Cole debe est ar con la señora Dix; 2. Si Acres est á con su m uj er y Hall con la suya, y Barry con la señora Cole, Dix no debe est ar con la señora Eden; 3. Si Cole y Dix y sus m uj eres est án t odos en la m ism a reunión, y Acres no est á. con la señora Barry, Eden no debe est ar con la señora Hall; 4. Si Acres est á con su m uj er y Dix con la suya, y Barry no est á con la señora Cok, Eden debe est ar con la señora Hall; 5. Si Eden est á con su m uj er y Hall con la suya y Cole con la señora Dix, Acres no debe est ar con la señora Barry; 6. Si Barry y Cole y sus m uj eres est án t odos en la m ism a reunión, y Eden no est á con la señora Hall, Dix debe est ar con la señora Eden. El problem a consist e en dem ost rar que t odos los días debe haber al m enos un m at rim onio cuyos m iem bros no est én j unt os en la m ism a reunión. 6 Una vez que los seis am igos del problem a ant erior han regresado de su viaj e, t res de ellos, Barry, Cole y Dix acuerdan, con ot ros dos am igos, Lang y Mill, encont rarse t odos a diario en un det erm inado rest aurant e. Recordando el m ucho placer que hablan conseguido obt ener de su código de reglas para dist ribuirse en las reuniones, est ablecieron las siguient es reglas, que debían ser observadas cada vez que se sirviera la carne de vaca: 1. Si Barry t om a sal, ent onces o bien Cole o bien Lang t om an uno solo de est os dos condim ent os: sal y m ost aza; si t om a m ost aza, ent onces o bien Dix no t om a ningún condim ent o, o bien Mill t om a am bos; 2. Si Cole t om a sal, ent onces o bien Barry t om a sólo un condim ent o o bien Mill no t om a ninguno; si t om a m ost aza, ent onces o Dix o Lang t om an am bos; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 123 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 3. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Si Dix t om a sal, ent onces o bien Barry no t om a ningún condim ent o o bien Cole t om a am bos; si t om a m ost aza, ent onces o Lang o Mill no t om an ninguno 4. Si Lang t om a sal, ent onces o bien Barry o bien Dix t om an sólo un condim ent o; 5. Si Mill t om a sal, ent onces o bien Barry o bien Lang t om an am bos condim ent os; si t om a m ost aza, ent onces o bien Cole o bien Dix t om an sólo un condim ent o. El problem a consist e en descubrir si est as reglas son com pat ibles, y, en caso de que lo sean, cuáles son las ordenaciones posibles. [ NB.—En est e problem a se supone que la frase «Si Barry t om a sal» adm it e dos casos posibles : ( 1) «Barry t om a sólo sal» ; ( 2) «Barry t om a am bos condim ent os». Y así t am bién con t odas las expresiones sim ilares. Se supone t am bién que la expresión «O bien Cole o bien Lang t om an solam ent e uno de los dos condim ent os» adm it e t res casos posibles: ( 1) «Cole t om a solam ent e uno, y Lang t om a am bos o ninguno»; ( 2) «Cole t om a am bos o ninguno, y Lang t om a solam ent e uno»; ( 3) «Cole t om a solam ent e uno, y Lang t om a solam ent e uno» Y así t am bién con t odas las frases sim ilares. Se supone asim ism o que t oda regla ha de ser ent endida corno si im plicara las palabras «y viceversa». Así, la prim era regla im plicaría la cláusula adicional «y, si o Cole o Lang t om an solam ent e un condim ent o, ent onces Barry t om a sal»] . 7 1. Un hom bre puede siem pre ser am o de su padre; 2. Un subordinado de un t ío de un hom bre debe dinero a ese hom bre; 3. El padre de un enem igo de un am igo de un hom bre no debe nada a ese hom bre; 4. Un hom bre es siem pre perseguido por los acreedores de su hij o; Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 124 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica 5. www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Un subordinado del am o del hij o de un hom bre es m ás viej o que est e hom bre; 6. Un niet o de una persona m ás j oven que un hom bre no es sobrino de ést e; 7. Un sirvient e de un subordinado de un am igo de un enem igo de un hom bre no es nunca perseguido por ese hom bre; 8. Un am igo de un superior del am o de la víct im a de un hom bre es enem igo de est e hom bre; 9. Un enem igo de un perseguidor de un sirvient e del padre de un hom bre es am igo de est e hom bre. El problem a consist e en deducir algún hecho acerca de los bizniet os. [ NB. —En est e problem a se supone que t odos los hom bres a los que aquí nos referim os viven en la m ism a ciudad, que cada par de ent re ellos son o bien am igos o bien enem igos, que cada par est á relacionado com o «senior y j unior», «superior y subordinado», y que ciert os pares se relacionan com o «acreedor y deudor», «padre e hij o», «am o y sirvient e», «perseguidor y víct im a», «t ío y sobrino».] Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 125 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Un a pa r a doj a lógica « ¿Cóm o? ¿No t ienes nada que hacer? —dij o t ío Jim —. Ent onces ven conm igo a casa de Allen. Puedes dar una vuelt a m ient ras yo m e afeit o». «De acuerdo —dij o t ío Joe—. Supongo que el cachorro podría acom pañarnos, ¿no?» «El cachorro» era yo, com o quizá haya adivinado el lect or por sí m ism o. He cum plido quince años hace m ás de t res m eses, pero es inút il m encionarle eso a t ío Joe. Se lim it ada a decirm e «Vet e a t u cam it a, m uchachit o», o «Ent onces supongo que serás capaz de hacer ecuaciones cúbicas» 28 o cualquier ot ro ret ruécano igualm ent e ruin. Ayer m e pidió que le pusiera un ej em plo de proposición en A. Y yo le dij e: «Todos los t íos hacen ret ruécanos ruines». Pienso que no le gust é. En t odo caso, la cuest ión no es ésa. Yo est aba cont ent o de acom pañarlos. Me encant a oír a m is t íos «despedazar la lógica», com o ellos dicen; y puedo asegurarles por experiencia que su habilidad para eso es t errible. «Eso no se infiere lógicam ent e de la observación que acabo de hacer» —dij o t ío Jim . «Nunca dij e que así fuera —dij o t ío Joe—; se t rat a de una Reduct io ad Absurdum ». «¡Mi prem isa m enor no lleva consigo que debam os llevar con nosot ros al m enor! » — dij o t ío Jim riéndose 29 . Ese es el t ipo de com port am ient o que adopt an cuando yo est oy con ellos. ¡Com o si fuera m uy divert ido llam arm e «un m enor»! Al cabo de un rat o, cuando avist ábam os la barbería, t ío Jim em pezó de nuevo. «Mi única esperanza es que est é Carr —dij o. ¡Brown es t an t orpe! Y la m ano de Allen t iem bla const ant em ent e desde que t uvo aquel acceso de fiebre». «Seguro que Carr est á» —dij o t ío Joe. «Te apuest o seis peniques a que no est á» —dij e yo. 28 29 Juego de palabras int raducible con 'cubs ( 'cachorro') , 'cubbicle' Ceram it a') y 'cubbic' ( 'cúbico') ( N. del T.) Juego de palabras relat ivam ent e sofist icado y difícilm ent e ver t ible al cast ellano. Hem os opt ado por parafraseado. La frase or iginal es: «An I llicit Process of t he Minor! », que puede ent enderse com o «deducción ilegit im a de la prem isa m enor» o bien com o «deducción ilegít im a del m enor», es decir, «deducción ilegit im a de que debem os llevar con nosot ros al m enor» ( N. del T.) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 126 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Guárdat e t us apuest as, apuest o m uchacho 30 —dij o t ío Joe—. Quiero decir —se apresuró a aclarar, al com prender por la m ueca de m i cara que su int ervención no había sido m uy afort unada—, quiero decir que puedo probarlo lógicam ent e. No es cuest ión de azar». «¡Pruébalo lógicam ent e ! —se burló t ío Jim —. ¡Al at aque, pues! ¡Te desafío a que lo hagas! » «Supongam os com o hipót esis de t rabaj o —em pezó t ío Joe— que Carr no est á. Y veam os a dónde nos conduce est a suposición. Voy a ut ilizar para ello la Reduct io ad Absurdum ». «Eso, desde luego —gruñó t ío Jim —. ¡No he vist o nunca un razonam ient o desarrollado por ti que no t erm inara en una absurdidad! » «Sin dej arm e desm oralizar por t us vit uperios —dij o t ío Joe con t ono alt ivo— voy a proceder a la deducción. Si Carr no est á, adm it irás que, si Allen t am poco est á, Brown debe est ar, ¿no?» «¿Y qué t iene de bueno el que est é? —dij o t ío Jim —. Yo no quiero que m e afeit e Brown. Es dem asiado t orpe». «La paciencia es una de esas cualidades inest im ables...» —em pezó t ío Joe ; pero t ío Jim le cort ó. «¡Razona! —dij o—. ¡No m oralices! » «Bueno, pero ,lo adm it es? —persist ió t ío Joe—. ¿Me adm it es que, si Can no est á se sigue de ello que, si Allen no est á, Brown t iene que est ar allí?» «Claro que t iene que est ar —dij o t ío Jim —; de ot ro m odo, no habría nadie que cuidara de la barbería». «Vem os, ent onces, que la ausencia de Carr hace ent rar en j uego una proposición hipot ét ica, cuya prót asis es “ Allen no est á” y cuya apódosis es “ Brown est á” . Vem os t am bién que est a proposición conserva su fuerza lógica m ient ras Carr no est é, ¿no?» «Bueno, supongo que sí. Y ¿qué pasa ent onces?» —dij o t ío Jim . «Me adm it irás t am bién que la verdad de una proposición hipot ét ica —quiero decir: su validez com o inferencia lógica— no depende en absolut o de que su prót asis sea de hecho verdadera, ni siquiera de que sea posible. La proposición hipot ét ica " si t ú llegaras de aquí a Londres en cinco m inut os, la gent e se sorprendería” sigue siendo 30 Nuevo j uego de palabras con 'bet ' ( 'apuest a') y 'bet t ers' ( 'los m ayores') : «Keep your bet s for your bet t ers» ( N. del T.) , Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 127 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll verdadera en cuant o inferencia, t ant o si puedes com o si no puedes llegar a Londres en ese t iem po». «No puedo hacerlo> —dij o t ío Jim . «Hem os de considerar ahora ot ra proposición hipot ét ica. ¿Qué es lo que m e dij ist e t ú ayer a propósit o de Allen ?» «Te dij e —recordó t ío Jim — que desde que t uvo el acceso de fiebre lo pone t an nervioso salir solo que siem pre se lleva a Brown con él». «Just am ent e —dij o t ío Joe—. Ent onces la proposición hipot ét ica " Si Allen no est á, Brown no est á” es siem pre verdadera, ¿no?» «Supongo que sí» —dij o t ío Jim . ( Parecía com o si se est uviera poniendo un poco nervioso.) «Ent onces, si Carr no est á, t enem os dos proposiciones hipot ét icas, “ Si Allen no est á, Brown est á” y “ Si Allen no est á, Brown no est á” ¡Pero fíj at e en que son dos proposiciones hipot ét icas incom pat ibles 1 ¡No es posible que sean verdaderas a un t iem po! » «¿No pueden?» —dij o t ío Jim . «¡Cóm o van a poder ! —dij o t ío Joe—. ¿Cóm o puede una y la m ism a prót asis probar dos apódosis cont radict orias? Supongo que m e acept arás que las dos apódosis, “ Brown est á” y " Brown no est á" son cont radict orias, ¿no?» «Si, adm it o eso» —dij o t ío Jim . «Ent onces, resum am os —dij o t ío Joe—. Si Carr no est á est as dos proposiciones hipot ét icas son verdaderas a un t iem po, Y sabem os que no pueden ser verdaderas a la vez. Lo cual es absurdo. Por t ant o, Carr no puede est ar ausent e. ¡He aquí una exquisit a Reduct io ad Absurdum para ust ed! » Tío Jim parecía sum ido en la m ás absolut a perplej idad. Pero al cabo de un rat o cobró valor y em pezó de nuevo, «No veo en m odo alguno clara esa incom pat ibilidad. ¿Por qué no pueden ser verdaderas a La vez? Me parece que lo único que t odo ello probaría es la proposición “ Allen est á” . Desde luego, es claro que las apódosis de esas dos proposiciones hipot ét icas —" Brown est á” y " Brown no est á" — son incom pat ibles. Pero ¿por qué no podem os present arlo de ot ra m anera? Por ej em plo, así: Si Allen no est á, Brown no est á. Si Carr y Allen no est án ninguno, Brown est á. Lo cual es absurdo. Por lo t ant o, Carr y Allen no pueden est ar ausent es am bos. Pero, puest o que Allen est á, no veo qué es lo que im pide que Carr no est é». Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 128 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll «Mi querido pero sum am ent e ilógico herm ano —dij o t ío Joe ( siem pre que t ío Joe com ienza diciendo «querido” su int erlocut or puede t ener la seguridad de que est á a su m erced) - ¿no t e das cuent a de que est ás dividiendo equivocadam ent e la prót asis y la apódosis de esa proposición hipot ét ica? Su prót asis es sim plem ent e “ Carr no est á” , y su apódosis es una especie de proposición subhipot ét ica, " Si Allen no est á, Brown est á" . Apódosis absurda, puest o que es fat alm ent e incom pat ible con esa ot ra proposición hipot ét ica de la que sabem os que es siem pre verdadera, Si Allen no est á, Brow n no est á” . La causa de est e absurdo es sim plem ent e la hipót esis de que " Carr no est á" . De m odo que sólo hay una conclusión posible: ¡Carr est á! » I gnoro cuánt o t iem po hubiera podido durar est a discusión. Creo que cualquiera de ellos era capaz de argum ent ar durant e seis horas de un t irón. Pero j ust o en est e m om ent o llegábam os a la barbería, y al ent rar nos encont ram os. N ot a bibliogr á fica La paradoj a de los t res peluqueros ha sido am pliam ent e discut ida, sobre t odo en las m ism as páginas de la revist a Mind donde se publicó por vez prim era. Cf. a est e respect o:       J. Venn: Sym bolic Logic. Londres, Macm illan, 1881; 2da ed., 1894, p. 442. W. E. Jonhson: «A Logical Paradox: ». Mind, N. S., vol. I I I ( 1894) , p. 583; y t am bién vol. I V ( 1895) , pp. 143- 44, Sidgwick: ibid., vol. I I I ( 1894) , p. 582; y t am bién vol, I V ( 1895) , p. 143. Russell: The Principles of Mat hem at ics. Londres, Allen and Unwin, 1903; 2da ed.. 1937, p. 18, not a. Russell: «The exist ent ial im port of proposit ions», en Mind, N. S., vol. XI V ( 1905) , pp. 308- 401.  L. Cout urat : Les principles des m at hém at iques. París, Alean, 1905, p. 16.  ( 1905) , pp. 292- 93  W. ( pseudónim o) : «Lewis Carroll's logical paradox», en Mind, N. S., vol. XI V C. iones, ibid., pp. 146- 47 y 576- 78. A, W. Burk s and 1+ Ni. Copi: «Lewis Carroll’s Barber Shop Paradox », en Mind, N. S. vol. LI 1 ( 1950) . Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 129 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica   www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll W. Burks: «The logic of causal proposit ions», Mind, N. 5,, vol. LX ( 1951) , pp. 363- 387 G. P. Henderson: «Causal I m plicat ion», en Mind, N. S., vol. LXI I I ( 1954) , pp. 504- 518. A. J, Baker: «I ncom pat ible Hypot het icals and t he Barber Shop   Paradox) , en Mind, N. S., vol. LXI V ( 1955) , pp. 384- 357 Daniel Kirk: Charles Dogson sem eiot ician. Gainesville, Universit y of Florida Monographs, Hum anit ies, num . 11, Fall 1962. Ernest Coum et : «Lew is Carroll logicien», en La logique sans peine, ant ología de escrit os lógicos de L. C, Paris, Herm ann, 1966v pp. 255- 288. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 130 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Lo qu e la Tor t u ga dij o a Aqu ile s. Aquiles habla dado alcance a la Tort uga y había t om ado asient o cóm odam ent e en su caparazón. «¿Así que ha llegado ust ed al final de nuest ra carrera? —dij o la Tort uga—. Y ello a pesar de que la carrera se com ponía de una serie infinit a de dist ancias. Tenía ent endido que algún sabihondo había probado que eso era im posible». «Es posible —dij o Aquiles—. ¡Es un hecho! Solvit ur am bulando. Ha vist o ust ed que las dist ancias iban dism inuyendo const ant em ent e, y, claro, ...» —«Pero ¿y si hubieran ido aum ent ando const ant em ent e? —le int errum pió la Tort uga—. ¿Qué hubiera sucedido en ese caso?» —«Ent onces yo no est aría aquí —replicó Aquiles m odest am ent e—. Y ust ed a est as alt uras hubiera dado ya varías veces la vuelt a al m undo». —«Me halaga ust ed ( perdón, quiero decir que m e aplast a) —dij o la Tort uga—. ¡Pesa ust ed dem asiado, se lo aseguro! ... Bien: ¿le gust aría que le cont ara a ust ed una carrera de la que t odo el m undo cree que puede t erm inar en dos o t res pasos y que, en realidad, const a de un núm ero infinit o de dist ancias, cada una de ellas m ayor que la precedent e?» —«¡Ya lo creo que m e gust aría! —dij o el guerrero griego sacando de su casco ( raros eran los guerreros griegos que disponían de bolsillos en aquellos t iem pos) una enorm e libret a de not as y un lápiz—. ¡Em piece! ¡Y hable despacio, por favor! ¡Todavía no se ha invent ado la t aquigrafía! » —«¡Esa m aravillosa Prim era Proposición de Euclides...! —m urm uró la Tort uga com o en sueños—. —¿Adm ira ust ed a Euclides?» —«¡Apasionadam ent e! O al m enos lo adm iro en la m edida en que se puede adm irar un t rat ado que no se publicará hast a dent ro de algunos siglos». —«Bien, en ese caso t om em os una pequeña part e de la argum ent ación cont enida en esa Prim era Proposición: dos prem isas, y la conclusión ext raída de ellas. Sólo eso. Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 131 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Tenga la bondad de anot arlas en su libret a, Y a fin de poder referirnos a ellas cóm odam ent e, llam ém oslas A y B. ( A) Dos cosas iguales a una t ercera son iguales ent re sí. ( B) Los dos lados de est e t riángulo son iguales a un t ercero. ( Z) Los dos lados de est e t riángulo son iguales ent re sí. Los lect ores de Euclides concederán, supongo, que Z se sigue lógicam ent e de A y B, de m odo que t odo el que acept e A y B com o verdaderas debe acept ar Z com o verdadera, ¿no?» —«¡Sin duda! El m ás bisoño de los alum nos de una Escuela Superior —t an pront o com o se invent en las Escuelas Superiores, cosa que no t endrá lugar hast a dent ro de dos m il años— adm it iría eso». —«E incluso si algún lect or no ha acept ado A y B com o verdaderos, supongo que no por eso dej ará de acept ar que la inferencia es válida». —«No cabe duda de que algún lect or podría encont rarse en ese caso. Podría haber alguien que dij era: 'Acept o com o verdadera la proposición hipot ét ica que dice que si A y B son verdaderas Z debe ser verdadera, pero no acept o que A y B sean verdaderas. Ese lect or procedería m uy sabiam ent e si abandonara a Euclides y se dedicara al balom pié». —«¿Y no podría haber t am bién ot ro lect or que dij era Acept o A y B com o verdaderas, pero no acept o la inferencia com o válida [ '... no acept o la proposición hipot ét ica'] .» —«Ciert am ent e podría haberlo. Y t am bién ést e haría m ej or dedicándose al balom pié». —«Y ninguno de est os lect ores est á hast a ahora lógicam ent e obligado a acept ar Z com o verdadero. ¿No es así?» —«Así es» —asint ió Aquiles. —«Bien. Quisiera ahora que m e considerara com o un lect or del segundo t ipo y que m e obligara lógicam ent e a acept ar Z com o verdadero». —«Una Tort uga j ugando al balom pié sería...» —em pezó Aquiles, algo fuera de lo com ún, desde luego —le int errum pió la Tort uga con irrit ación—. —¡No se desvíe ust ed del t em a! ¡Prim ero, Z; el balom pié, después! » Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 132 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll —«Así que, si le he ent endido bien, yo debo obligarle a ust ed a acept ar Z, ¿no es así? —dij o Aquiles m edit at ivam ent e y su post ura, en est e m om ent o, es que ust ed acept a A y B, pero no acept a la proposición hipot ét ica...» —«Llam ém osle C» —dij o la Tort uga. —«... pero no acept a ust ed ( C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera». —«Esa es m i post ura en est e m om ent o» —«De m odo que yo debo pedirle a ust ed que acept e C». —«Así lo haré —dij o la Tort uga—, t an pront o com o lo hayáis apunt ado en vuest ra libret a. Por ciert o, ¿qué son esas ot ras not as que t enéis en ella?» —«Sólo unas pocas anot aciones para una m em oria —dij o Aquiles pasando nerviosam ent e las hoj as—, unas pocas not as para una m em oria de las bat allas en las que m e he dist inguido part icularm ent e». —«Cuánt as hoj as en blanco —observó la Tort uga con j ovialidad—. ¡Las vam os a necesit ar t odas ! ( Aquiles se est rem eció) . Ahora copie lo que le dict o: Las cosas que son iguales a una t ercera son iguales ent re sí, Los dos lados de est e t riángulo son iguales a un t ercero. Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera. ( Z) Los dos lados de est e t riángulo son iguales ent re sí». —«Debería llam arla ust ed D y no Z —dij o Aquiles—. Viene inm ediat am ent e después de las ot ras t res. Si acept a ust ed A y B y C, debe ust ed acept ar Z». —«¿Y por qué debo acept arla?» «Porque se sigue lógicam ent e de ellas. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. Me im agino que no se le ocurrirá ponerlo en duda». —«Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera —repit ió pensat ivam ent e la Tort uga—. He aquí ot ra proposición hipot ét ica, ¿no? Y si yo no soy capaz de ver que es verdadera, puedo acept ar A y B y C y, sin em bargo, no acept ar Z, ¿No es ciert o que puedo?» «Ciert o que puede —adm it ió con franqueza el héroe—, aunque ello sería ciert am ent e una m uest ra fenom enal de espírit u obt uso. Así que debo pedirle que acept e una proposición hipot ét ica m ás». —«Muy bien. Est oy dispuest a a acept arla t an pront o com o ust ed haya t om ado not a de ella. La llam arem os Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. ¿La ha Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 133 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll anot ado ya en su libret a?» «¡Claro que la he anot ado! —exclam ó Aquiles lleno de alegría, guardando el lápiz en su est uche—. ¡Y por fin hem os llegado a la m et a de est a carrera ideal! Ahora que acept a ust ed A y B y C y D, por supuest o que acept a ust ed Z». «¿La acept o? —dij o la Tort uga con ingenuidad—. Ent endám onos. Yo acept o A y B y C y D. Supongam os que yo m e niego, sin em bargo, a acept ar Z». —«¡En ese caso la lógica la cogerla a ust ed por el cuello y le obligaría a hacerlo ! - replicó t riunfalm ent e Aquiles—. La lógica le diría: 'No t iene ot ro recurso. Si ha acept ado A y B y C y D, debe ust ed acept ar Z! ' No hay alt ernat iva, com o puede ver». —«Todo lo que la lógica t enga a bien decirm e m erece ser anot ado —dij o la Tort uga—. Así que apúnt elo en su libret a, por favor. Lo llam arem os Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera. Hast a que yo haya adm it ido eso es claro que no t engo por qué adm it ir Z. De m odo que se t rat a de un paso t ot alm ent e necesario. ¿Lo ve ust ed?» —«Lo veo» —dij o Aquiles. Y habla en su voz un t ono de t rist eza. Al llegar a est e punt o, el narrador, que t enia cosas urgent es que hacer en el Banco, se vio obligado a abandonar a la feliz parej a, y no volvió a pasar por allí hast a algunos m eses después. Cuando lo hizo, Aquiles est aba t odavía sent ado en el caparazón de la m uy pacient e Tort uga escribiendo en su libret a de not as, que parecía est ar casi llena. La Tort uga est aba diciendo: —«¿Ha t om ado not a ust ed de est e últ im o paso? Si no he perdido la cuent a vam os en el m il uno. Nos quedan t odavía varios m illones. Y querría pedirle algo, a t it ulo de favor personal: ¿le im port aría, habida cuent a de la gran cant idad de enseñanzas que est e coloquio nuest ro ha de proporcionar a los lógicos del siglo XI X, le im port aría, digo, adopt ar un ret ruécano que m i prim a, la Tort uga Art ificial, hará hacia esa época y dej aron rebaut izar con el nom bre de “ Aquiles el sut iles” ?» —«Lo que ust ed quiera —replicó el fat igado guerrero, con t onos de desesperanza en su voz, m ient ras sepult aba su cara en las m anos—. ¡Siem pre y cuando ust ed, por Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 134 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica su part e, haga www.librosm ar avillosos.com suyo un ret ruécano que la Lewis Carroll Tort uga Art ificial nunca hizo perm it iéndom e rebaut izaros 'Tort uga, Tort uga'! 31 » N ot a bibliogr á fica . Quien desee inform arse sobre la polém ica suscit ada en t orno a est e art ículo puede consult ar, ent re ot ros t ext os:   B. Russell: The Principies of Mat hem at ics. Londres, Allen and Unwin, 1903; 2da ed. 1937, p. 35. W. J. Rees: «What Achines said t o t he Tort oise ( being a revised account of a fam ous int erview, first report ed... by Lewis Carroll», en Mind, N. 5., vol LX     ( 1951) , pp. 142- 46. D. G. Brown: «What t he Tort oise t aught us», en Mind, N. S., vol. LXI I I ( 1954) , pp. 170- 79. J. Woods: «Was 'Achilles' hect ' Achines' heel», en Analysis, vol. 25 ( 1965) , pp. 142- 46. E. Coum et : «Lewis Carroll logicien», en La logique sans peine, ant ología de escrit os lógicos de L. C. Paris, Herm ann, 1966. J. L. Borges: «Avat ares de la t ort uga», en Discusión. Buenos Aires, pp. 355388. Em ecé Edit ores, 1957, pp. 129- 36. 31 1 Se t rat a de un j uego de palabras int r aducible y difícilm ent e adapt able al cast ellano. Carroll j uega con la sim ilit ud fonét ica ent r e «Tort oise» y «Taught - Us», por una part e, y ent r e «Achilles» y «A Kill- Ease», por ot ra. La Tort uga pr et ende rebaut izar a Aquiles con un nom br e que suena parecido a «Tort uga», y Aquiles pr et ende rebaut izar a la Tort uga con un nom bre que suena par ecido a «Aquiles». Con el fin de dar una ver sión cast ellana m edianam ent e int eligible hem os preferido alt erar la corr espondencia. Esa Tort uga Ar t ificial que har á j uegos de palabras en el siglo XI X no es ot ra que el sollozant e quelonio que aparece en el capít ulo I X de Alicia en el país de las m aravillas ( «La hist oria de la Tort uga Art ificial ») . Allí la Tort uga Art ificial cuent a su vida: «Cuando éram os pequeños íbam os al colegio baj o el m ar. El m aest ro era una v iej a t ort uga [ t urt le] a la que nosot ros solíam os llam ar t or t uga [ t ort oise...] ». «¿Por qué?», pregunt ó Alicia. «Le llam ábam os t ort uga [ t ort oise] porque nos enseñaba [ t aught us] », Cf. M. Gardner : The Annot at ed Alicia..., cit ., cap. I X not a 7., ( N. del T.) Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 135 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll Cu a dr o Cr on ológico Vida y Obr a Lógica , M a t e m á t ica , Lit e r a t u r a H ist or ia 1832 21 de enero. Nace Charles Lut widge Muere Galois. Refor m a Dodgson Muere Goet he. I nglat erra. Est ablecim ient o de Muere Walt er Scot t . los dos gr upos, t ories y whigs. Máquina de calcular de Babbage. Grey ( w hig) , prim er m inist ro. Bolyai, Geom et rías no euclídeas. Com ienzos del m ovim ient o de Balzac, Eugenia Grandet Oxford. en Daresbury , Warringt on. 1833 cerca de elect oral en Abolición de la esclav it ud en las colonias br it ánicas La Trader’s Union de Owen. 1834 Ley de los Pobres en I nglat erra Prim er t r ek de los boer s. China cierra sus puert os al com er cio europeo. 1835 Nace Jevons Andersen, Cuent os. 1836 Dickens, Club Pickwick's Papers. 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Mansel, Prolegom ena Luis Napoleón, president e vit alicio Logica. Liouv ille descubre los núm eros t rascendent es Ruskin, Pr errafaelism o y Las piedras de Venecia Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 138 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll H. Melville, Moby Dick 1852 Reconocim ient o de la independencia del Transvaal y anexión del ingleses. I nglat erra Pegú Se el por los bot a prim er en barco carbonero. Napoleón I I I em perador 1853 Consigue una bolsa de est udios Ham ilt on ( Sir William Rowan) , Lect ures on Quat ernions 1854 Diciem bre. Obt iene el t ít ulo de Licenciado en Let ras ( Graduat ed B. A.) . Boole, An I nvest igarían of t he Guerra de Cr im ea. Laws of Thought , on which are founded t he Theories of Mat hem at ical Logic and Probabilit ies. Riem ann lee su m em or ia sobre las hipót esis que sirv en de fundam ent o a la geom et ría. Cayley, definición de los grupos abst ract os. 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Com ienza la publicación póst um a Expedición franco- inglesa en de las Lect ur es on Met aphysics Ext rem o Orient e. and Logic, de W. Ham ilt on ( 1858- Trat ado de Tien- t sin. 1860) China 139 es obligada a abrir Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica www.librosm ar avillosos.com Lewis Carroll puert os a los ext ranj eros. 1859 Ponson du Terrail, Hazañas de Com ienza la const r ucción del Rocam bole. canal de Suez. Darwin, El origen de las especies. 1860 Publica Syllabus Of Plane Algebraical De Morgan, Syllabus of a Geom et ry proposed brit ánico. Syst em of Logic. Expedición franco- br it ánica en Trat ado de com ercio franco- China. Trat ado de Pek ín. Junt a de las Trade Unions en I nglat erra Const r ucción del m et ropolit ano en Londr es 1861 22 de diciem br e. El obispo de Oxford lo Com ienza ordena de diácono. Publica Form ulae Of Secesión. la Guerra de Plane Trigonom et ry. 1862 4 de j ulio. Paseo por el rio con las t res Nace D. 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Vem e, De la t ierra a la luna. paseo por el r ío Alicia r ecibe el pr im er Fin de la guerr a de Secesión Asesinat o de Lincoln ej em plar im pr eso del libro, que ahora Gent ileza de Sinuhé Per ea Puent e 140 Preparado por Pat ricio Barros El j uego de la lógica se t it ula www.librosm ar avillosos.com Alice's Advent ur es Lewis Carroll In Wonderland. Publica The Dynam ics Of A Part icle y The New Met hod Of Evaluat ion As Applied To p 1866 Publica Fact s, Figur es And Dost oievski, Fancies. Verlaine, Crim en Poem as y cast igo. sat urnianos. I bsen, Peer Gy nt . 1867 Publica An Elem ent ary Treat ise On I nt erv ención Det er m inant s Durant e el brit ánica en Abisinia, verano viaj a por el Refor m a cont inent e hast a Rusia elect oral en I nglat erra Ext ensión del sufragio. K. Marx, El capit al, I . 1868 Muere su padr e. 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